olimpiade sains nasional matematika sma/ma · olimpiade matematika sma/ma 1. suatu bilangan bulat...
TRANSCRIPT
1 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007
OLIMPIADE SAINS NASIONAL MATEMATIKA SMA/MA
Disajikan pada Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA
Jenjang Dasar 28 Oktober – 9 November 2007
Oleh Wiworo, S.Si., M.M.
Departemen Pendidikan Nasional Direktorat Jenderal Peningkatan Mutu Pendidik dan Tenaga Kependidikan
Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan Matematika
Yogyakarta 2007
PPPG Matematika Yogyakarta Kode Dok. : F-PRO-016 Revisi No . : 0
2 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007
CONTOH SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA SMA/MA
1. Suatu bilangan bulat 2p merupakan bilangan prima jika faktornya hanyalah p dan 1. Misalkan M
menyatakan perkalian 100 bilangan prima yang pertama. Berapa banyakkah angka 0 di akhir bilangan M
?
(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2003)
2. Misalkan 2
1
)!9(10p , 2
1
)!10(9q dan 2
1
)!11(r , dengan nnn )1(321! . Bagaimana
pengurutan yang benar dari ketiga bilangan ini?
(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2003)
3. Misalkan a dan b bilangan real yang berbeda sehingga
210
10
ab
ba
b
a
Tentukan nilai b
a
(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2003)
4. Berapakah jumlah digit-digit bilangan 20001999 52 ?
(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2003)
5. Bilangan bulat positif 2p disebut bilangan prima jika ia hanya mempunyai faktor 1 dan p. Tentukan
nilai penjumlahan semua bilangan prima di antara 1 dan 100 yang sekaligus bersifat satu lebihnya dari
suatu bilangan kelipatan 5 dan satu kurangnya dari suatu bilangan kelipatan 6.
(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2003)
6. Bilangan real 525252,2 adalah bilangan rasional sehingga dapat ditulis dalam bentuk n
m, di mana m,
n bilangan-bilangan bulat, 0n . Jika dipilih m dan n yang relatif prima, berapakah nm ?
(Seleksi Tingkat Provinsi – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2003, 10 Juni 2002)
7. Misalkan M dan m berturut-turut menyatakan bilangan terbesar dan bilangan terkecil di antara semua
bilangan 4 angka yang jumlah keempat angkanya adalah 9. Berapakah faktor prima terbesar dari
mM ?
(Seleksi Tingkat Provinsi – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2003, 10 Juni 2002)
8. Tentukan semua solusi dari sistem persamaan
24
12
6
333
222
zyx
zyx
zyx
(Olimpiade Sains Nasional I 2002, Matematika SMA, Yogyakarta, 10 September 2002)
3 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007
9. Ada berapa banyak bilangan 4 angka yang semua angkanya genap dan bukan merupakan kelipatan
2003 ?
(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2004)
10. Jika a dan b bilangan bulat sedemikian sehingga 200322 ba , maka berapakah nilai 22 ba ?
(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2004)
11. Untuk setiap bilangan real , kita definisikan sebagai bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau
sama dengan . Sebagai contoh, 49,4 dan 77 . Jika x dan y bilangan real sehingga
9x dan 12y , maka nilai terkecil yang mungkin dicapai oleh xy adalah .....
(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2004)
12. Jika 0x dan 71
2
2 x
x , maka 5
5 1
xx
(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2005, 28 April 2004)
13. Jika f suatu fungsi yang memenuhi 4)1( f dan )(2)1( xfxf maka )2004(f
(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2005, 28 April 2004)
14. Dua lingkaran pada bidang mempunyai titik pusat yang sama. Jari-jari lingkaran besar adalah tiga kali jari-
jari lingkaran kecil. Jika luas daerah di antara kedua lingkaran ini adalah 8, maka luas daerah lingkaran
kecil adalah ...
(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2005, 28 April 2004)
15. Nilai dari 10100
1
20
1
12
1
6
1
2
1 adalah ...
(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2005, 28 April 2004)
16. Diberikan persegipanjang PQRS. Titik O terletak di dalam PQRS demikian rupa sehingga OP = 3 cm,
OQ = 12 cm dan OS = 11 cm. Maka OR = ...
(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2005, 28 April 2004)
17. Titik (a, b) disebut titik letis jika a dan b keduanya adalah bilangan bulat. Banyaknya titik letis pada
lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari 5 adalah ...
(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2006, 11 Juni 2005)
18. Tentukan semua solusi persamaan 241 xx .
(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2006, 11 Juni 2005)
19. Tentukan banyaknya pasangan bilangan bulat positif (m, n) yang merupakan solusi dari persamaan
124
nm.
(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2006, 11 Juni 2005)
20. Sebuah kelompok terdiri dari 2005 anggota. Setiap anggota memegang tepat satu rahasia. Setiap
anggota dapat mengirim surat kepada anggota lain manapun untuk menyampaikan seluruh rahasia yang
4 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007
dipegangnya. Banyaknya surat yang perlu dikirim agar semua anggota kelompok mengetahui seluruh
rahasia adalah ...
(Seleksi Tingkat Provinsi – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2006, 18 Juli 2005)
21. Banyaknya pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi persamaan 5552 yxxy adalah ...
(Seleksi Tingkat Provinsi – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2006, 18 Juli 2005)
22. Find all pairs of integers (x, y) such that 3
111
yx.
(South East Asian Mathematics Olympiad III, Penang – Malaysia, First Day – Individual Contest – 17 May 2005)
23. How many integers from 1 to 2005 have the sum of their digits divisible by 5 ?
(South East Asian Mathematics Olympiad III, Penang – Malaysia, First Day – Individual Contest – 17 May 2005)
24. Let a, b, c be a real numbers such that 80 cba and 2390222 cba . Find the value of
cabcab .
(South East Asian Mathematics Olympiad III, Penang – Malaysia, First Day – Individual Contest – 17 May 2005)
25. How many pairs of integers (x, y) such that 0 yx satisfy
2005)()( y
xxyyxyx
(South East Asian Mathematics Olympiad III, Penang – Malaysia, First Day – Individual Contest – 17 May 2005)
26. Let N be the set of all positive integers. Let NNf : be a function such that xxfxf )()1( for
Nx and 5)1( f . Find the value of )2005(f .
(South East Asian Mathematics Olympiad III, Penang – Malaysia, First Day – Individual Contest – 17 May 2005)
27. Buktikan bahwa aa 9 habis dibagi 6 untuk semua bilangan bulat a.
(Olimpiade Sains Nasional II 2003, Matematika SMA, Hari I – Balikpapan, 16 September 2003)
28. Buktikan untuk setiap bilangan real a, b dan c berlaku ketaksamaan
cabcabcba 444555 222
dan tentukan kapan kesamaan berlaku.
(Olimpiade Sains Nasional II 2003, Matematika SMA, Hari II – Balikpapan, 17 September 2003)
29. Tentukan banyaknya pembagi genap dan pembagi ganjil dari 156
(Olimpiade Sains Nasional III 2004, Matematika SMA, Hari I – Pekanbaru, 25 Agustus 2004)
30. Untuk sebarang bilangan real x, notasi x menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau
sama dengan x. Buktikan bahwa ada tepat satu bilangan bulat m yang memenuhi persamaan
20052005
mm .
(Olimpiade Sains Nasional VI 2005, Matematika SMA, Hari II – DKI Jakarta, 7 September 2005)
5 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007
LATIHAN 1
31. Tampilan suatu jam digital mempunyai format Bulan : Tanggal : Jam : Menit. Jangkauan
bilangan-bilangan pada tampilan jam tersebut adalah sebagai berikut:
Bulan, dari 01 sampai 12
Tanggal, dari 01 sampai 31
Jam, dari 00 sampai 23
Menit, dari 00 sampai 59
Berapa kali pada tahun 2007, tampilan jam digital tersebut menunjukkan suatu palindrom ?
(Palindrom adalah suatu bilangan yang sama jika dibaca dari depan maupun dari belakang. Contoh,
12 : 31 : 13 : 21 dan 01 : 02 : 20 : 10)
32. Tiga pola susunan pengubinan berikut tersusun dari ubin putih dan ubin hitam. Selanjutnya
suatu susunan pengubinan yang lebih besar dibuat mengikuti pola yang sama dan tersusun dari
58 ubin hitam. Hitunglah banyaknya ubin putih pada susunan pengubinan yang tersusun dari 58
ubin hitam tersebut.
33. Berapa banyak bilangan tiga angka n sedemikian hingga jika s merupakan jumlah angka-angka
dari n, maka dan n habis dibagi s ?
34. Misalkan . Berapa kali angka 1 muncul pada n ?
35. Jika , berapakah ?
36. Pada trapezium berikut ini, DC sejajar AB, dan . Carilah
.
37. Pada gambar berikut, ABCD adalah trapesium. AF dan BE tegak lurus terhadap CD, dengan
dan . Carilah nilai .
38. Diketahui bahwa . Tentukan nilai A agar .
6 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007
39. Untuk setiap pasangan bilangan asli a dan b, kita definisikan . Bilangan asli x
dikatakan penyusun bilangan asli n jika terdapat bilangan asli y yang memenuhi .
Sebagai contoh, 2 adalah penyusun 6 karena terdapat bilangan asli 4 sehingga
. Tentukan semua penyusun 2005.
40. Carilah hasil dari
LATIHAN 2
1. Buktikan pernyataan-pernyataan berikut:
a. Jumlah dua bilangan genap adalah bilangan genap
b. Jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan genap
c. Jumlah bilangan genap dan bilangan ganjil adalah bilangan ganjil
2. Buktikan bahwa pada bentuk bintang berikut ini .
3. Buktikan ba
abba
4 jika 0a , 0b dan ba .
4. Buktikan jika ABCD persegipanjang dan titik E adalah titik sebarang di luar persegipanjang
ABCD seperti pada gambar berikut, maka akan berlaku hubungan .
Perhatikan bahwa A, B, C, D, E adalah titik-titik yang koplanar (sebidang).
5. Buktikan bahwa 333 )2()1( nnn selalu habis dibagi 9 untuk setiap bilangan asli n.
6. Jika a, b, c, d dan e adalah bilangan-bilangan sedemikian hingga
baed
aedc
edcb
dcba
E
D C
B A
7 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007
buktikan bahwa bilangan terbesar adalah a dan bilangan terkecil adalah b.
7. Pada segilima ABCDE, segitiga-segitiga ABC, BCD, CDE, DEA dan EAB semuanya mempunyai
luas yang sama. Garis AC dan AD memotong BE pada titik M dan N. Buktikan bahwa
.
8. Buktikan bahwa nnnn 6381 selalu habis dibagi 10 untuk setiap bilangan bulat positif n.
9. Buktikan bahwa jumlah kuadrat dua bilangan asli berurutan tidak akan sama dengan jumlah
pangkat empat dua bilangan asli berurutan.
10. Buktikan bahwa sistem persamaan
0111
0
zyx
zyx
tidak mempunyai solusi bilangan real.
8 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007
CONTOH SOLUSI DARI SISWA YANG MEMILIKI KEMAHIRAN MATEMATIKA CUKUP BAIK
1. Prove that the system of equations
0111
0
zyx
zyx
has no real solutions. (The 55th Leningrad Mathematical Olympiad 1989, Grade 8)
Bukti: (dibuktikan oleh Nurvirta Monarizqa, kelas IX – 5 SMPN 8 Yogyakarta) Misal 0 zyx ..........(1)
0111
zyx ........(2)
Dari (2) maka
0111
zyx kedua ruas dikali xyz
0 yzxzxy ..........(3)
Dari (1) maka 0)( zyx kedua ruas dikuadratkan
0)( 2 zyx
0222222 yzxzxyzyx ..........(4)
Pengantar:
Berikut ini diberikan beberapa contoh soal dan jawaban siswa untuk Tugas Mingguan Pembinaan Kelas
VII dan VIII untuk OSN Matematika SMP serta Tugas Mingguan Pembinaan Veteran Kelas VIII
dan IX untuk OSN Matematika SMA, yang dilakukan siswa selama mengikuti Pembinaan Tim
Olimpiade Matematika SMPN 8 Yogyakarta. Jawaban siswa diketikkan apa adanya seperti yang
mereka tulis di lembar jawaban dan tidak ada yang ditambah-tambahi. Memang masih ada kesalahan
pada beberapa langkah jawaban ataupun langkah pembuktian. Terlepas dari itu semua, yang harus
dicermati adalah keberanian siswa untuk berpikir kreatif, sistematis, logis dan rasional serta
keberanian mereka untuk mengungkapkan gagasan yang ada dalam pikiran ke dalam bahasa tulis
dengan cukup terstruktur. Hal ini merupakan contoh langkah awal penguasaan siswa terhadap lima
hal yang disyaratkan untuk menjadi mahir dalam matematika, yaitu:
1. Conceptual Understanding
2. Procedural Fluency
3. Strategic Competence
4. Adaptive Reasoning
5. Productive Disposition
Diperlukan waktu dua tahun lebih untuk membimbing dan membiasakan siswa-siswa tersebut sehingga
dapat mencapai kemampuan seperti ini. Proses pembimbingan ini masih berlangsung terus sampai
sekarang.
9 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007
Persamaan (4) dikurangi persamaan (3) diperoleh
0222 yzxzxyzyx kedua ruas dikali 2
0222222 222 yzxzxyzyx
0222 222222 zyzyzxzxyxyx
0)()()( 222 zyzxyx ..........(5)
Andaikan x, y dan z adalah sembarang bilangan real, maka yx , zy dan zx juga merupakan
bilangan real. Perhatikan bahwa kuadrat sembarang bilangan real selalu nonnegatif, maka penjumlahan ketiga bilangan real kuadrat juga pasti nonnegatif. Pada persamaan (5) penjumlahan ketiga sembarang kuadrat bilangan real sama dengan nol, akibatnya
2)( yx , 2)( zx dan 2)( zy juga harus sama dengan 0. sehingga
0 zxzyyx
zyyx kedua ruas dikurangi y
zx
zxzy kedua ruas dikurangi z
xy
Maka zyx .
Sehingga jika zyx disubstitusikan ke persamaan (5)
0
0
012
0444
0)2()2()2(
0)()()(
0)()()(
2
2
222
222
222
222
z
z
z
zzz
zzz
zzzzzz
zxzyyx
yxz 0 .
Kembalikan ke persamaan (2) dengan mensubstitusikan 0 zyx .
00
1
0
1
0
1
0111
zyx
Perhatikan bahwa bilangan pada penyebut tidak boleh nol karena hasilnya tidak terdefinisi, bukan nol. Kontradiksi, maka pengandaian salah. Jadi terbukti bahwa sistem persamaan
0
111
0
zyx
zyx
tidak mempunyai solusi real.
Prestasi Nurvirta Monarizqa:
Juara 3 Matematika SMP Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN IV 2005
Juara 3 Matematika SMP Seleksi Tingkat Provinsi DIY OSN IV 2005
Medali Perak Matematika SMP Olimpiade Sains Nasional IV 2005 DKI Jakarta
Peringkat 12 Matematika SMA Seleksi Tingkat Provinsi DIY OSN V 2006
Juara 1 Matematika SMP Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN V 2006
Juara 2 Matematika SMP Seleksi Tingkat Provinsi DIY OSN V 2006
Medali Perunggu Matematika SMP Olimpiade Sains Nasional V 2006 Semarang
Juara 1 Matematika SMA Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN VI 2007
Peringkat 8 Matematika SMA Seleksi Tingkat Provinsi DIY OSN VI 2007
Kemampuan
mengkonstruksi
Pembuktian dengan kontradiksi.
Perhatikan cara menyusun kalimat-
kalimatnya.
10 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007
2. Prove that 333 )2()1( nnn is divisible by 9 for all natural numbers n.
Bukti 1: (dibuktikan oleh Gabriela Kasih Mawarni, kelas IX – 4 SMPN 8 Yogyakarta) Untuk 1n
36
2781
321)21()11(1 333233
36 habis dibagi 9. Terbukti. Andaikan rumus benar untuk kn .
akkk 9)2()1( 333 dengan a sembarang bilangan bulat.
Harus dibuktikan rumus benar untuk 1 kn .
339
3399
33339
99339
39639
)3()3()3(9
)3(9
)3(9)3()2()1(
2
2
2
2
222
22
33
33333
kka
kka
kka
kka
kkkkka
kkkkkka
kka
kkakkk
Jadi terbukti bahwa 333 )2()1( nnn habis dibagi 9 untuk sembarang bilangan asli n.
Bukti 2: (dibuktikan oleh Ikhsan Permadi Kusumah, kelas IX – 4 SMPN 8 Yogyakarta) Kasus I untuk kn 9 , maka
115812439
91357292187
8108486729729127243729)29()19()9(
23
23
23323333
kkk
kkk
kkkkkkkkkk
Terbukti habis dibagi 9. Kasus II untuk 19 kn , maka
4421622439
3637814582187)39()29()19(23
23333
kkk
kkkkkk
Terbukti habis dibagi 9. Kasus III untuk 29 kn , maka
11872432439
9978321872187)49()39()29(23
23333
kkk
kkkkkk
Kemauan untuk bekerja keras karena berani
membagi masalah dalam kasus per kasus dan diselesaikan satu per
satu
Prestasi Gabriela Kasih Mawarni:
Peringkat 14 Matematika SMP Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN IV 2005
Juara 4 Matematika SMP Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN V 2006
Juara 2 Matematika SMA Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN VI 2007
Juara 1 Matematika SMA Seleksi Tingkat Provinsi DIY OSN VI 2007
Ada sedikit kesalahan dalam
menuliskan langkah induksi.
11 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007
Terbukti habis dibagi 9. Kasus IV untuk 39 kn , maka
171503242439
153135029162187)59()49()39(23
23333
kkk
kkkkkk
Terbukti habis dibagi 9. Kasus V untuk 49 kn , maka
452314052439
405207936452187)69()59()49(23
23333
kkk
kkkkkk
Terbukti habis dibagi 9. Kasus VI untuk 59 kn , maka
763304862439
684297043742187)79()69()59(23
23333
kkk
kkkkkk
Terbukti habis dibagi 9. Kasus VII untuk 69 kn , maka
1197265672439
1071653451032187)89()79()69(23
23333
kkk
kkkkkk
Terbukti habis dibagi 9. Kasus VIII untuk 79 kn , maka
956184052439
855556236452187
)9()89()79()99()89()79(
23
33
333333
mmm
mmm
mmmkkk
Terbukti habis dibagi 9. Kasus IX untuk 89 kn , maka
574762432439
513426621872187
)19()9()89()109()99()89(
23
23
333333
mmm
mmm
mmmkkk
Terbukti habis dibagi 9.
Karena terbukti untuk seluruh n bilangan asli, maka terbukti 333 )2()1( nnn habis dibagi 9.
Bukti 3: (dibuktikan oleh Nurvirta Monarizqa, kelas IX – 5 SMPN 8 Yogyakarta)
Perhatikan bahwa untuk n bilangan asli, n, n + 1 dan n + 2 merupakan 3 bilangan asli berurutan. Padahal setiap 3 bilangan asli berurutan pasti memuat 1 buah bilangan yang merupakan kelipatan 3. Sehingga diperoleh 3 kemungkinan.
Jika n merupakan kelipatan 3, maka ambil sembarang k bilangan real positif sedemikian hingga kn 3 ,
131 kn dan 232 kn . Maka
9k + 9 dapat ditulis 9m
Prestasi Ikhsan Permadi Kusumah:
Juara 2 Matematika SMP Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN IV 2005
Juara 2 Matematika SMP Seleksi Tingkat Provinsi DIY OSN IV 2005
Medali Perak Matematika SMP Olimpiade Sains Nasional IV 2005 DKI Jakarta
Peringkat 17 Matematika SMA Seleksi Tingkat Provinsi DIY OSN V 2006
Juara 5 Matematika SMP Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN V 2006
Juara 3 Matematika SMA Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN VI 2007
Peringkat 9 Matematika SMA Seleksi Tingkat Provinsi DIY OSN VI 2007
12 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007
19999
9815427273
872542719272727
)23()13()3()2()1(
23
223
23233
333333
kkk
kkkk
kkkkkkk
kkknnn
Merupakan kelipatan 9.
Jika n + 1 merupakan kelipatan 3, maka ambil sembarang k bilangan real positif sedemikian hingga
13 kn , kn 31 dan 132 kn . Maka
kk
kk
kkkkkkk
kkknnn
299
18327
19272727192727
)13()3()13()2()1(
3
3
23323
333333
Merupakan kelipatan 9. Jika n + 2 merupakan kelipatan 3, maka ambil sembarang k bilangan real positif sedemikian hingga
23 kn , 131 kn dan kn 32 . Maka
19999
98181273
271927278725427
)3()13()23()2()1(
23
23
32323
333333
kkk
kkk
kkkkkkk
kkknnn
Merupakan kelipatan 9.
Maka dari kemungkinan tersebut terbukti bahwa 333 )2()1( nnn habis dibagi 9 untuk
sembarang bilangan asli n.
3. Two integers are called equivalent, written x y, if they are divisible by the same prime numbers. So 2 2
4, 3 27 but 2 3.
a. Show that 10 80, but 10 90.
b. Prove that if x y, then x2 y2. (Canadian Mathematical Society Prize Exam, 26 April 1999)
Bukti: (dibuktikan oleh Robertus Sonny Prakoso, kelas IX – 1 SMPN 8 Yogyakarta)
a. 5210 .
5280 4 .
53290 2 .
10 dan 80 mempunyai faktor prima yang sama sehingga 10 80. 10 dan 90 mempunyai faktor prima yang berbeda (90 memiliki faktor prima 3, sementara 10 tidak
punya) sehingga 10 90 .
b. Ambil dua bilangan bulat sebarang x dan y sedemikian hingga x y . Maka x dan y memiliki faktor prima yang sama (misalkan a dan b). Sehingga x dapat dinyatakan dalam faktorisasi prima
nm ba dengan m dan n adalah sebarang bilangan asli, y dapat dinyatakan dalam faktorisasi prima qp ba dengan p dan q adalah sebarang bilangan asli.
nm bax maka Selalu
mengambil generalisasi atau bentuk
umum
13 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007
nm
nm
nm
ba
ba
bax
22
22
22
qp bay maka
qp
qp
qp
ba
ba
bay
22
22
22
2x dan 2y tetap memiliki faktor prima yang sama. Sehingga terbukti bahwa jika x y maka
x2 y2.
4. If a, b, c, d and e are numbers such that
baed
aedc
edcb
dcba
Prove that the largest number is a and the smallest is b. (Old Mutual Mathematical Olympiad 1991, Final Paper 2)
Bukti: (dibuktikan oleh Mirna Jatiningrum, kelas IX – 4 SMPN 8 Yogyakarta)
)4(
)3(
)2(
)1(
baea
aedc
edcb
dcba
Dari (1) dan (4):
baed
dcba
Maka )5(dcbaed
Dari (3) dan (5):
dcbaed
aedc
Maka )6(aedcbaed
Dari (2) dan (6):
aedcbaed
edcb
Maka )7(aedcbaedcb
Prestasi Robertus Sonny Prakoso:
Juara 4 Matematika SMP Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN IV 2005
Juara 6 Matematika SMP Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN V 2006
Peringkat 12 Matematika SMA Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN VI 2007
Juara 2 Matematika SMA Seleksi Tingkat Provinsi DIY OSN VI 2007
14 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007
Dari (7):
)8(db
dccb
Dari (7):
)9(eb
aeba
Dari (7):
)10(ad
aeed
Dari (7):
)11(ac
bacb
Dari (7):
)12(ce
dced
Dari (9) dan (12):
ce
eb
maka
)13(cb
acb
Dari (13) dan (11):
ac
cb
maka
)14(ab
acb
Dari (8), (9), (13), (14):
ab
cb
eb
db
maka terbukti b adalah yang terkecil
Dari (11) dan (12);
ce
ac
maka
)15(ae
ace
Dari (15), (11), (10), (14):
ab
ad
ac
ae
maka terbukti a adalah yang terbesar
Jadi dari persamaan-persamaan di atas terbukti bahwa a adalah yang terbesar dan b yang terkecil.
Prestasi Mirna Jatiningrum:
Peringkat 11 Matematika SMP Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN IV 2005
Juara 3 Matematika SMP Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN V 2006
Juara 1 Matematika SMP Seleksi Tingkat Provinsi DIY OSN V 2006
Medali Perak Matematika SMP Olimpiade Sains Nasional V 2006 Semarang
Juara 4 Matematika SMA Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN VI 2007
Juara 6 Matematika SMA Seleksi Tingkat Provinsi DIY OSN VI 2007
Kontingen Indonesia ke The 4th IJSO 2007 China Taipei
15 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007
5. How many non-congruent triangles with integer sides and perimeter 1999 can be constructed ? (South African Mathematics Olympiad, Senior Section – Third Round 1999)
Solusi: (diselesaikan oleh Mirna Jatiningrum, kelas IX – 4 SMPN 8 Yogyakarta) Misal sisi-sisi segitiga adalah a, b dan c.
1999 cba dan cba , acb , bca .
Karena segitiga-segitiga tidak kongruen maka kita asumsikan saja cba , supaya tidak ada a, b, c yang dobel. Maka nilai-nilai a, b, c:
a b c Pola 1 999 999 1 2 998 999 1 3 997 999
2 3 998 998 4 996 999
2 4 997 998 5 995 999 3 5 996 998 5 997 997 6 994 999
3 6 995 998 6 996 997 7 993 999
4 7 994 998 7 995 997 7 996 996
500 500 999
250 500 501 998
500 749 750
6. In a given pentagon ABCDE, triangles ABC, BCD, CDE, DEA and EAB all have the same area. The
lines AC and AD intersect BE at points M and N. Prove that BM = EN. (South African Mathematics Olympiad, Senior Section – Third Round 2003)
Bukti: (dibuktikan oleh Gabriela Kasih Mawarni, kelas IX – 4 SMPN 8 Yogyakarta)
Diketahui bahwa EABDEACDEBCDABC LLLLL .
BCDABC LL .
Karena alas dari kedua segitiga sama, yaitu BC dan karena luas kedua segitiga sama, maka kedua tinggi dari segitigapun sama. Maka jika ditarik garis dari kedua tinggi akan sejajar dengan alasnya.
BCAD .
Dengan cara yang sama kita memperoleh CEAB , BECD , ACDE , BDAE .
Karena BECD dan ADBC , maka kita dapat membuat jajargenjang CDNB dengan BNCD , serta
dapat membuat jajargenjang CDEM karena ACDE dengan EMCD .
Maka banyak a, b, c yang mungkin ada
627502
2512502)250321(2
Menerapkan prinsip
Without Loss of Generality
Melakukan kesalahan
dalam menyimpulkan pola
Pemahaman konsep luas yang mendalam
16 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007
Akibatnya
BMEN
MNBNMNME
BNME
7. ABCD is a convex quadrilateral with perimeter p. Prove that pBDACp 2
1.
(South African Mathematics Olympiad, Senior Section – Third Round 2001)
Bukti 1: (dibuktikan oleh Ikhsan Permadi Kusumah, kelas IX – 4 SMPN 8 Yogyakarta)
ABOAOB (menurut teori ketaksamaan pada segitiga). Dengan cara yang sama maka:
BCOCOB
CDODOC
ADOAOD +
pBDAC
pODOBOCOA
pODOCOBOA
ADCDBCABODOCOBOAODOCOBOA
2
12
1
)(2
BCABAC (menurut teori ketaksamaan pada segitiga). Dengan cara yang sama maka:
CDADAC CDBCBD
ADABBD +
pBDAC
ADCDBCABBDAC
ADCDBCABBDAC
ADADCDCDBCBCABABBDBDACAC
)(2)(2
Dari kedua ketaksamaan tersebut dapat ditulis pBDACp 2
1.
Bukti 2: (dibuktikan oleh Gabriela Kasih Mawarni, kelas IX – 4 SMPN 8 Yogyakarta)
Akan dibuktikan BDACp 2
1 dengan p adalah keliling segiempat.
Perhatikan BEC .
)(iBCECBE
Perhatikan DEA .
)(iiADEAED
Perhatikan CED .
)(iiiCDEDEC
Perhatikan AEB
)(ivABEBEA
(i) + (ii) + (iii) + (iv):
O
O
O
D
A
C
B
O
C
D
B
A
E
17 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007
ABEBEA
CDEDEC
ADEAED
BCECEB
+ BCCDADABEDECEAEB 2222
pEDEBECEA )()(2
pBDAC2
1
Akan dibuktikan bahwa pBDAC dengan p keliling segiempat.
Perhatikan ABC
)(iACBCAB
Perhatikan ADC
)(iiACDACD
(i) + (ii):
ACDACD
ACBCAB
+
(*)2
1
2
2
ACp
ACp
ACDACDBCAB
Perhatikan ABD
)(iiiBDADAB
Perhatikan BCD
)(ivBDCDBC
(iii) + (iv):
BDCDBC
BDADAB
+
(**)2
1
2
2
BDp
BDp
BDADCDBCAB
(*) + (**):
BDp
ACp
2
12
1
+ BDACp
8. Prove that for all positive integers n, nnnn 6381 is divisible by 10.
O
O
Perhatikan sistematika penulisan
langkah-langkah pembuktiannya
18 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007
Bukti: (dibuktikan oleh Alimatun Nashirah, kelas VIII – 8 SMPN 8 Yogyakarta)
Akan dibuktikan bahwa nnnn 6381 habis dibagi 10 untuk seluruh n bilangan bulat positif. Menurut syarat keterbagian bilangan, bilangan dikatakan habis dibagi 10 apabila habis dibagi 2 dan 5. Habis dibagi 2:
nnnnnnnn 68316381
12
1211
12232211
3327932
313191312
31313131313131
nn
nn
nnnnnnn
12233221
12233221
68686868682
68686868686868
nnnnn
nnnnnnn
Sehingga
122332211 686868686839326831 nnnnnnnnnn
Maka nnnn 63812 .
Habis dibagi 5:
nnnnnnnn 38616381
1232
12321
122332211
666665
666665
61616161616161
nn
nn
nnnnnnn
12233221
12233221
38383838385
38383838383838
nnnnn
nnnnnnn
Sehingga
1222211232 383838386666653861 nnnnnnnnnn
Maka nnnn 63815 .
Karena sudah memenuhi 2 syarat tersebut, terbukti bahwa nnnn 6381 habis dibagi 10 untuk setiap n bilangan bulat positif. Q.E.D.
9. The number 22 has the following property: the sum of its digits is equal to the product of its digits. Find the smallest 8-digit natural number that satisfies the given condition.
(4th Indonesia Elementary Mathematics International Contest 2006, Team Test Problems, Denpasar – Bali, 29 May 2006)
Solusi: (diselesaikan oleh Alimatun Nashirah, kelas VIII – 8 SMPN 8 Yogyakarta) Bilangan 8 angka terkecil yang jumlah digit-digitnya sama dengan hasil kali digit-digitnya = ? Yang jelas pada bilangan ini tidak boleh ada angka 0, karena hasil kali digit-digitnya juga pasti nol. Kita coba dulu dengan angka 1 di digit awal. Angka 1 ini tidak mungkin sampai digit 8 karena
1111111111111111 .
Prestasi Alimatun Nashirah:
Juara 2 Matematika SMP Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN V 2006
Juara 3 Matematika SMP Seleksi Tingkat Provinsi DIY OSN V 2006
Medali Perunggu Matematika SMP Olimpiade Sains Nasional V 2006 Semarang
Kontingen Indonesia ke The 4th IJSO 2007 China Taipei
Melakukan kesalahan dalam
pola
perpangkatannya
Melakukan kesalahan dalam
pola
perpangkatannya
19 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007
Juga tidak mungkin sampai digit 7 karena nn 11111111111111
nn 7 . Untuk angka 1 ada sampai digit ke 6. Misalkan digit ke 7 = x dan ke 8 = y, dengan x dan y adalah angka dari 1 s/d 9.
1
71
1
7
1
11
6
)1(6
6
6
111111111111
xy
xx
xy
x
xy
xyx
yxyx
xyyx
yxyx
Agar y bilangan bulat, maka )1( x harus faktor dari 7, yaitu 1 atau 7.
211 xx dan 812
62
1
6
x
xy
871 xx dan 218
68
y
Jadi kemungkinan bilangan yang dicari adalah 11111128 dan 11111182. Maka bilangan 8 angka terkecil yang dimaksud adalah 11111128.
10. Prove that the sum of the squares of two consecutive positive integers cannot be equal to a sum of the
fourth powers of two consecutive positive integers. (South African Mathematics Olympiad, Senior Section – Third Round 2003)
Bukti: (dibuktikan oleh Robertus Sonny Prakoso, kelas IX – 1 SMPN 8 Yogyakarta) Ambil sebarang dua bilangan bulat positif berurutan, misal a dan 1a .
Kasus I: a dan 1a bukan bilangan kuadrat. Jumlah kuadrat:
122
12)1(2
2222
aa
aaaaa
Jumlah pangkat empat:
16462
1646)1(234
234444
aaaa
aaaaaaa
Kasus II: a adalah bilangan kuadrat, maka a dapat dimisalkan dalam 2m dan 1a dimisalkan 12 m . Jumlah kuadrat:
122
12124
2442222
mm
mmmmm
Jumlah pangkat empat:
16462
164612468
246884242
mmmm
mmmmmmm
Kasus III: 1a adalah bilangan kuadrat, maka 1a dapat dimisalkan 2n dan a dimisalkan 12 n . Jumlah kuadrat:
Perhatikan cara menyusun
model/kalimat matematikanya
20 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007
122
12124
2442222
nn
nnnnn
Jumlah pangkat empat:
16462
164612268
226884242
nnnn
nnnnnnn
Kasus IV: a dan 1a adalah bilangan kuadrat. Hanya ada satu pasangan, 0 dan 1. Tetapi karena 0 bukan bilangan positif maka Kasus IV tidak termasuk. Dari ketiga bentuk jumlah kuadrat, tidak ada yang sama dengan ketiga bentuk jumlah pangkat empat. Sehingga terbukti bahwa jumlah kuadrat dua bilangan bulat berurutan tidak pernah sama dengan jumlah pangkat empat dua bilangan bulat berurutan.
11. Prove that by adding one to the product of four consecutive integers, a perfect square is obtained. For
example: 21112115432 .
Bukti: (dibuktikan oleh Nurvirta Monarizqa, kelas IX – 5 SMPN 8 Yogyakarta) Ambil sembarang bilangan bulat a sedemikian hingga 1a , a, 1a dan 2a merupakan 4 bilangan bulat berurutan. Kalikan keempat bilangan bulat tersebut:
aaaa
aaaaaaa
22
21)2)(1()1(234
22
Kedua ruas ditambah 1:
22
2222
4232
2234
234
)1(
121
2212
1222
1221)2)(1()1(
aa
aaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaaaaa
Terlihat bahwa hasil akhirnya merupakan kuadrat sempurna, sehingga terbukti bahwa dengan menambah bilangan 1 pada perkalian 4 bilangan bulat berurutan akan menghasilkan bilangan kuadrat sempurna.
12. Show that there are no integers a, b, c for which 6822 cba .
Bukti: (dibuktikan oleh Mirna Jatiningrum, kelas IX – 4 SMPN 8 Yogyakarta)
Akan dibuktikan tidak ada bilangan bulat ) , ,( cba yang memenuhi untuk 6822 cba .
cba
cba
cba
432
86
68
22
22
22
Akan dibagi menjadi 3 kasus: (i) Untuk ),( ba keduanya genap
(ii) Untuk ),( ba keduanya ganjil
(iii) Untuk ),( ba salah satunya genap, satunya ganjil
Untuk kasus (i):
cba
432
22
Misal na 2 , mb 2
Perhatikan cara mengkonstruksi dan
memanipulasi suku-sukunya supaya menjadi bentuk
kuadrat sempurna
Perhatikan kemampuan menggunakan strategi
pemecahan masalah dengan memecah masalah ke dalam
beberapa bagian
21 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007
22
222222
22
4
2
44
2
)2()2(mn
mnmnmn
Padahal c43 ganjil merupakan bilangan genap
Maka c43 ganjil. Padahal 2
22 ba genap. Maka untuk ),( ba genap tidak mungkin.
Untuk kasus (ii) ),( ba keduanya ganjil.
cba
432
22
Misal )12( na , )12( mb .
cmmnn
cmmnn
cmn
cba
432
24444
432
144144
432
)12()12(
432
22
22
22
22
cmmnn 4312222 22 kedua ruas dikurangi 1
cmmnn 422222 22 kedua ruas dibagi 2
cmmnn 2122
cmmnn 21)1()1(
Perkalian 2 bilangan berurutan pasti menghasilkan bilangan genap karena salah satunya pasti genap.
genapganjil
genapgenap
cmmnn 21)1()1(
Penjumlahan 2 bilangan genap akan menghasilkan bilangan genap. Penjumlahan bilangan genap dan ganjil akan menghasilkan bilangan ganjil.
tidak mungkin untuk ),( ba keduanya ganjil.
Untuk kasus (iii) ),( ba salah satu ganjil.
Misal 12 na , mb 2
cba
432
22
2a genap
2b ganjil Penjumlahan bilangan genap dan ganjil akan menghasilkan bilangan ganjil.
Jika 22 ba dibagi 2 maka tidak akan menghasilkan bilangan bulat. Jadi untuk ),( ba salah satu genap
tidak mungkin. Jadi terbukti, untuk ) , ,( cba bilangan bulat tidak ada yang memenuhi untuk persamaan
6822 cba .
22 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007
DAFTAR PUSTAKA
____, 2004, Tim Olimpiade Matematika Indonesia: Menembus Dunia, Jakarta: Bagian Proyek Pengembangan Wawasan Keilmuan, Direktorat Pendidikan Menengah Umum, Departemen Pendidikan Nasional.
____, 2006, Kumpulan Jawaban Siswa untuk Tugas Mingguan Pembinaan Kelas VII dan VIII untuk OSN Matematika SMP, Yogyakarta: Tim Olimpiade Matematika SMPN 8 Yogyakarta.
____, 2006, Kumpulan Jawaban Siswa untuk Tugas Mingguan Pembinaan Veteran Kelas VIII dan IX untuk OSN Matematika SMA, Yogyakarta: Tim Olimpiade Matematika SMPN 8 Yogyakarta.
As’ari, Abdur Rahman, 2006, OSN Bidang Matematika SMP: Kontribusinya dalam Peningkatan Mutu Pendidikan Matematika di Sekolah Menengah Pertama, makalah disajikan dalam Seminar Peningkatan Kualitas Widyaiswara LPMP se-Indonesia di PPPG Matematika Yogyakarta.
Monarizqa, Nurvirta, Ikhsan Permadi Kusumah dan Agatha Previan Chrisditya, 2006, Kesan-kesan Mengikuti Pembinaan di Sekolah dan Mendapat Medali di OSN, artikel dalam Jurnal Mahkota Matematika Volume 1 Nomor 3 Maret 2006, Malang: Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Malang.
Muchlis, Achmad, 2004, Pembelajaran Matematika dalam KBK, makalah disajikan dalam Lokakarya Widyaiswara Matematika LPMP se-Indonesia di PPPG Matematika Yogyakarta.
Muchlis, Achmad, 2004, Peningkatan Mutu Pendidikan Melalui Kompetisi, makalah disajikan dalam Lokakarya Widyaiswara Matematika LPMP se-Indonesia di PPPG Matematika Yogyakarta.
Muchlis, Achmad, 2005, Indonesia dan Kompetisi Matematika, Jakarta: Direktorat Pendidikan Menengah Umum, Departemen Pendidikan Nasional.
Susanto, Hery, 2005, Soal Olimpiade MIPA Bidang Matematika Tingkat SD/MI Provinsi Jawa Timur, artikel dalam Jurnal Mahkota Matematika Volume 1 Nomor 1 September 2005, Malang: Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Malang.
Susanto, Hery, 2005, Hasil OSN 2005 Bidang Matematika, artikel dalam Jurnal Mahkota Matematika Volume 1 Nomor 2 Desember 2005, Malang: Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Malang.
Susanto, Hery, 2006, Pemecahan Masalah dalam Pembelajaran Matematika, makalah disampaikan pada Penataran dan Lokakarya Widyaiswara Matematika LPMP Se-Indonesia Tahun 2006, Yogyakarta: PPPG Matematika.
Susanto, Hery, Sisworo dan Abdur Rahman As’ari, 2006, Napak Tilas Olimpiade Sains Nasional Matematika SMP, Malang: Universitas Negeri Malang.
Wiworo, 2004, Metode Pembinaan untuk Menghadapi Olimpiade Matematika SMP, makalah disampaikan pada Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMP, Yogyakarta: PPPG Matematika.
Wiworo, 2004, Pemecahan Masalah Aljabar dalam Olimpiade Matematika SMP, Yogyakarta: PPPG Matematika.
Wiworo, 2005, Dasar-dasar Bilangan untuk Olimpiade Matematika SMP, Yogyakarta: PPPG Matematika.
Wiworo, 2006, Ketaksamaan, Yogyakarta: PPPG Matematika.
23 | Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007
Wiworo, 2006, Impossible is Nothing: Sebuah Pengalaman Membina Tim Olimpiade Sains SMPN 8 Yogyakarta, artikel dalam Jurnal Mahkota Matematika Volume 1 Nomor 3 Maret 2006, Malang: Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Malang.