Câu 1 :Nguyên lý kích thích phân cực Plasmon bề mặt sử dụng mô hình

Kretchmans. Phân tích điều kiện cộng hưởng trong mô hình này ?

Kích thích SPPs bằng photon có nhiều cách. Một trong số đó là :

Dùng thiết bị ATR để kích thích : dùng lăng kính ( prism ) hoặc cách tử ( grating ).

Dùng lăng kính : ta có thể dùng mô hình Kretchmans hoặc Otto.

Mô hình Kretchmans :

εm

M

Z

xksp

D

M

εd

ko= ω/c

k photon

in air

θ

Prism

k0 = 𝜔

𝑐=> k =

𝜔

𝑐 𝜀0

kx= 𝜔

𝑐 𝜀0sin θ =

𝜔

𝑐

𝜀𝑚

1+ 𝜀𝑚

Điều kiện cộng hưởng :

+ Sử dụng lăng trụ SiO2

+ Tạo tia sóng evanescent bởi TIR.

+ Ghép nối tốt khi k //,SiO2 ksp

+ Sóng phản xạ cải thiện về cường độ

Câu 2:

Như một SPP truyền dọc theo bề mặt , nó sẽ mất năng lượng cho kim loại do

sự hấp thụ . Cường độ của plasmon bề mặt phân rã với bình phương của điện

trường , do đó ở một khoảng cách x , cường độ đã giảm theo hệ số exp [ - 2kx

"x ] . Chiều dài tuyên truyền được định nghĩa là khoảng cách đối với cường độ

SPP phân rã theo hệ số 1 / e . tình trạng này là hài lòng ở một độ dài [10]

Mối quan hệ giữa độ dài truyền sóng này và tần số cộng hưởng

Theo sơ đồ ta thấy khi tần số ω tăng thì chiều dài truyền sóng Lx giảm đến khi ω

=ωp thi Lx min,chiều dài Lx sẽ tăng lên khi ω tiếp tục tăng tức là ω >ωp

Câu 3: Phân tích sự ảnh hưởng của bề mặt nhám nhỏ (small roughness) đến

việc hình thành plasmom bề mặt?

1. Phát xạ ánh sáng cộng hưởng (quan sát được với thiết bị ATR.) Thí nghiệm:

- Nếu SPs kích thích đạt tối đa tại góc cộng hưởng 0 , cường độ phản xạ đi qua

mức tổi thiểu (trên cùng bên phải), đồng thời phát xạ ánh sáng cực đại tại khớp

nối của SP với các photon thông qua bề mặt gồ ghề (dưới cùng bên trái). Cả hai

phương pháp cho phép thí nghiệm chi tiết với SPs. có nghĩa là hướng quan sát

cố định

Thí nghiệm này chứng minh sự ảnh hưởng rõ rệt đầu tiên của bề mặt gồ ghề lên

SPs là sự phát xạ của ánh sáng. Các SPs không bức xạ trở nên bức xạ. Việc tăng cường

các bức xạ này được thể hiện bằng số lượng các nhân tố 2

012t

- phát xạ ánh sáng của bề mặt gồ ghề, 5A

do khớp nối giữa photons với SPs, Kích

thích cộng hưởng của SP tạo ra sự tăng cường 2

012

Pt của trường điện từ trong bề mặt

phim, cường độ trường điện từ này mạnh hơn với các vước sóng dài hơn. Cường độ phát

ra được là hàm của bước sóng ánh sáng đến với tỷ lệ các góc giữ cố định. Sự kích

thích cực đại tại các bước sóng khác nhau chứng tỏ việc tăng cường trường bức xạ và

phản ánh hệ thức tán xạ của SP.

- Sự phát xạ ánh sáng tương tự, nó là hàm của của góc tới , thực hiện với Ag và Au tại

hằng số . Sự tăng cường các bức xạ phát ra trong cộng hưởng là một điều hiển nhiên.

Hai kim loại được sử dụng có độ nhạy khác nhau. Cả hai đường cong chứng tỏ được sự

biến dạng Lorentz */

2. Hướng tán xạ

Trên bề mặt gồ ghề, các SP nằm rải rác trên bề mặt, ngoài sự chỉ đạo của kx mà

không thay đổi giá trị của nó gọi là “tán xạ định hướng”

3. Mức độ gồ ghề và bức xạ SPs

Bức xạ vô hướng SPs tương tác với độ gồ ghề bề mặt.

Hệ thức độ phân tán của bức xạ nằm bên trái của ánh dòng ánh sáng SPs :

Bắt đầu tại 𝑘𝑥 với p và tăng đến khoảng 1

2𝑘𝑝𝑑 ≪ 1.

22

1[1

2 2

p xp

p

k d k

k

xk k k

Sự giảm của nó tăng dần với 𝑘𝑥

221

2

x x

p

k k

k

Sự giảm dần là do các bức xạ ánh sáng từ các bức xạ SPs được kết trực tiếp với các

photon nằm bên trong nón ánh sáng, để 𝑘𝑥 của SPs là đồng nhất với 𝑘𝑥 của ánh sáng.

Câu 4 : Nguyên lý hình thành plassmon bề mặt, so sánh SPs với sóng bề mặt.

+ Plasmon bề mặt và sự hình thành plasmon bề mặt

Plasmon bề mặt là những sóng điện từ được lan truyền dọc theo giao diện kim loại-điện

môi. Đơn giản hơn, plassmon bề mặt là sự dao động của các điện tử tự do ở bề mặt của

các hạt nano với kích thích ánh sáng tới.

Nguyên lý hình thành.

Sự dao động của các điện tử liền kề bề mặt có sự thay đổi hẳng số điện môi( chẳng hạn

lớp tiếp giáp kim loại và điện môi…) Khi nhận được năng lượng kích thích phù hợp, các

hạt này sao động mạnh hơn và hình thành một sóng điện từ, lan truyền dọc theo bề mặt

tiếp xúc và bức xạ vào khoogn gian tự do.

Có 4 phương pháp kích thích hình thành SPs bề mặt:

+ Sử dụng cấu trúc Kresman .

+ Kích thích ánh sáng lên bề mặt cách tử.

+ Kích thích ánh sáng lên bề mặt có độ nhám lớn

+kích thích bằng electro

Nhìn chung, cả 4 phương pháp trên đều nhằm mục đích đưa năng lượng kích thích về

đúng ngưỡng mà các điện tử có thể hấp thụ được.

+ phân biệt sự khác nhau của SPs bề mặt

và sóng bề mặt. Sps bề mặt

Sóng bề mặt

Nguyên nhân hình thành Do sự dao động của các hạt điện

tử và lỗ trống, xung quanh lớp tiếp

giáp kim loại điện môi khi nhận được ánh sáng kích thích

Sự cộng hưởng của một

nguồn dao động điện từ

Khoảng cách lan truyền

trong không gian

Kích thước một vài nm Phụ thuộc vào tần số ,

thường trong kích thước

quan sát

Suy hao Suy hao với hệ số e mũ ,

gồm cả hệ số suy hao biên

và pha, độ suy hao tỷ lệ

thuận với tần số

Suy hao với hệ số e mũ ,

gồm cả hệ số suy hao biên

và pha, độ suy hao tỷ lệ

thuận với tần số

Phương trình trường bức

xạ

E = E0*e^jkr. Với k là

vecto sóng

K =k’+jk’’

E= E0*e^-αr*e^jβr

K=jα+β

ứng dụng Chế tạo các linh kiện có

kích thước nhỏ, độ tin cậy

cao( photonic bangap-

vùng cấm quang tử)

ứng dụng trong truyền

sóng

Câu 5: Nguyênly kichthichphâncưcplasmonbê mătsư dungmôhinhcachtư (Grating).

Phântichđiêukiêncônghương .

Nếu một cách tử được sử dụng cho thí nghiệm phản xạ, trong đó một tấm kim loại

thỏa mãn điều kiện cho sự kích thích của SPs: ε'< 0, | ε

' | > 1 và ε

''< ε

' , cường độ nhiễu xạ

bậc 0 (n = 0), chùm tia phản xạ, cho thấy ở góc cộng hưởng cường độ tối thiểu. Đấy là

giá trị của ánh sáng phân cực p, ánh sáng phân cực s không cho biết giá trị tối thiểu. Cộng

hưởng xuất hiện khi kx = (ω/c) ' '

1 1/ ( 1) = (ω/c)sinθ ± νg khi ∆kx = g, miễn là chúng ta

bỏ qua ảnh hưởng của biên độ ℎ.

a. Cường độ của phản xạ mức 0 tại cách tử với ánh sáng phân cực p. Giá trị tối thiểu chỉ

ra mức hấp thụ năng lượng với mục đích kích thích SP. LL chỉ vị trí của đường ánh sáng.

Giá trị 26.1o là giá trị tính toán, 29.0

o là vị trí quan sát; giá trị dịch chuyển với mục đích

gợn sóng trên bề mặt bạc.

Độ sâu tối thiểu này phụ thuôc vào chiều cao biên độ ℎ của cách tử (hình b). Tồn

tại biên độ ℎc mà tại đó cường độ phản xạ bằng 0, điều này chỉ ra các khớp nối mạnh nhất

giữa photons với SPs thông qua các gợn sóng. Điều này cũng xảy ra đối với bề mặt nhám

và bề mặt nhẵn.

Một cấu trúc khác ít rõ ràng hơn "Wood's anomaly" cũng được nhìn thấy trong

hình a; tại θo ≈ 24o sự gián đoạn của cường độ nhiễu xạ có thể nhìn thấy đó là do sự biến

mất của các nhiễu xạ n = +1. Sự khác biệt của cường độ trên và dưới gián đoạn tăng với

ℎ2 do cường độ nhiễu xạ cũng xảy ra như vậy với ℎ2

.

Nếu giá trị của ℎ vượt quá giá trị biên độ ℎc, mức tối thiểu I0 sẽ trở nên khá bất đối

xứng và giá trị của R trên ℎc không đạt giá trị dưới ℎc như các điểm đối với I0 như trong

hình c.

Hình b. Quan sát phản xạ (I0+I

-1) của một cách tử bạc hình sin (a = 6015 A°), biên độ

của đường bao hình sin như là tham số chức năng của góc tỉ lệ θo (λ = 5145 A°). Tại ℎ =

130 A° cộng hưởng mạnh nhất dẫn đến sự tăng cường cường độ điện trường khoảng độ

231. Giá trị của ℎ [A°]: (-∙∙-) 25; (---) 75;( − ) 135; (∙∙∙) 215; (-∙-) 315; (−−−) 550.

Hình c. Cường độ quan sát(điểm) và tính toán(nét liền) phản ánh tại một cách tử

vàng(can thiệp) hình sin với a = 7965 A° và λ = 6471 A°. I0 + I

-1 là tổng của hai cường

độ ánh sáng. Đây là cường độ tương đối(I0). Biên độ ℎ của đường bao được đưa ra như

tham số: (1) 89 A°, (2) 174 A°, (3) 308 A°, (4) 514 A°. Độ sâu nhỏ nhất xảy ra tại ℎ =

300 A° mà tại đó mỗi một sự tăng cường |tp|2 ≈ 59 được tính toán sử dụng (ε', ε

'') = (-

9.75;1.1).Sự dịch chuyển giá trị nhỏ nhất để góc lớn hơn và tăng chiều rộng nhỏ nhất với

giá trị ℎ lớn hơn hiển thị sự phụ thuộc của quan hệ phân tán SP.(o): biên độ ℎ của cách

tử.

Hình c cho thấy, ngoài I0, giá trị I

-1 được phản xạ tại cách tử vàng hình sin với a =

7965 A° tại λ = 6471 A°. Nếu cường độ I0 và I

-1 được cộng vào, cường độ I

0 + I

-1 được

tăng lên để giá trị tối thiểu tốt nhất được xác định (hình c).

Những giá trị thay đổi Δθ0 của mức tối thiểu ATR cũng như sự gia tăng chiều rộng

Δθ0 1/2

được định lượng bằng phương pháp Reileigh, giá trị giới hạn ℎ/a = 0.007. Để tính

toán giá trị lớn hơn ℎ/a, định lí suy giảm Toigo được áp dụng cho phép hội tụ đủ để đạt

tới ℎ/a ∼ 0.5.

Trong hình c, đường cong phản xạ quan sát được cho biết chức năng của θ và ℎ là

các tham số được so sánh trực tiếp với đường cong tính toán được của Diaz. Thay đổi

hình dạng của phản xạ tối thiểu gần với mô phỏng định lượng. Sự khác biệt nhỏ xuất

hiện, ví dụ, trên cách tử bạc tại bước sóng λ = 5145: vị trí tối thiểu được tính toán nhỏ

hơn 0.5 so với giá trị góc cộng hưởng quan sát được. Giá trị của ε phải được lấy là -

11/0.33 thay cho giá trị -10.4/0.38, tuy nhiên cả hai giá trị ε nằm trong giới hạn chính xác

của phép đo.

Hình d. Phản xạ tính toán được (1) (---) và dữ liệu thực nghiệm (2) (-) với các nhiễu xạ

khác nhau n. Các hằng số cách tử ℎ = 1200 A° và a = 20140 A°; λ = 5682 A°.(...,∘∘∘)

trong (a), n = 0, dữ liệu được quan sát.

Một ví dụ khác trong hình d trong đó cường độ phản xạ đối với cách tử bạc với a =

20140 A° và ℎ = 1200 A° ở bước sóng 5682 A° được hiển thị trên các hàng khác nhau từ

n = 0 đến n = 4 như một hàm của góc tới θ0. Trong khi đó các giá trị đo, bên phải, chứng

minh cho n = 0, sự biến dạng của I0 tương tự như trong hình 6.10, các giá trị quan sát n >

0 cho biết cực tiểu được phát triển: Ở phía bên trái, các giá trị đo được của n = 0(chấm

".", đường cong tương tự như n = 0 trong hình d2) phù hợp với dữ liệu tính toán

được(đường đầy đủ phía dưới). Ngoài ra, tổng của các giá trị quan sát của tất cả các giá

trị ΣI(n)

, bao gồm cả n = +5 và n = +6 không được mô phỏng trong hình d, được hiển thị

bằng các vòng tròn mở, cho biết giá trị tối thiểu được dịch chuyển tốt. Các dòng đầy đủ

trên là giá trị tính toán phù hợp với dữ liệu quan sát được. Tại 45.9 o

thứ tự nhiễu xạ biến

mất dưới đường chân trời để cường độ có sự gián đoạn tương tự trong hình a.

Câu 6. Hệ số truyền Plasmon bề mặt tại phân cách giữa lớp kim loại và điện

môi theo các hệ số pha và hệ số suy hao trong lớp điện môi

Bài làm

Plasmon bề mặt là những sóng điện từ được truyền dọc theo giao diện

kim loại –điện môi hay là sự kích thích các electron bề mặt của kim loại

bằng nguồn sáng tới.

Cường độ điện trường của plasmon bề mặt giảm theo hàm mũ khi xa dần

giao diện kim loại – điện môi. Tại vùng giao diện có sự định xứ lớn của

năng lượng và các điện tích.

Những tính chất của chúng phụ thuộc vào các tính chất của cả kim loại

(hàm điện môi phức, cấu hình, độ nhám) và điện môi (chiết suất).

Điều kiện tồn tại SP

với: Ɛm là hằng số điện môi của kim loại

Ɛd là hằng số của môi trường điện môi

Biểu thức quan hệ của kx là : kxm= kxd

Với bất kỳ dạng sóng EM nào thì:

với kx= kxm=kxd

Hệ số truyền Plasmon bề mặt:

Với: Hệ số pha

kx là thành phần của véc tơ sóng dọc theo hướng lan

truyền của sóng plasmon.

Tại bề mặt tiếp giáp thì k0= Ω/c

Câu 7.Phương pháp đo độ nhám của bề mặt không có thiết bị ATR?

Bài làm

Đây là phương pháp xác định độ nhám bề mặt bằng cách đo tia phản xạ.

Cụthể, nóđượcgọilàphươngphápTánxạtíchhợptổng (TIS)

Việcxácđịnhđộnhámbằngphươngpháp "Tánxạtíchhợptổng" khôngsửdụngthiếtbị

ATR đượctiếnhànhnhưsau:

Mộtchùmánhsángđậpvàobềmặtđượcnghiêncứugầnvớihướngbìnhthường, θ=0º.

Mộtbáncầu (cầuCoblentz) baophủbởibềmặtghồghề,

nóthuthậpánhsángphântántrongbáncầuRsckếthợpcùngvớihiệunăngtổngcủaánhsáng

phảnxạRtot "Cáctánxạtíchhợptổng" đượcđịnhnghĩalà: TIS= Rsc/Rtot;

vớiRscvàRtotđượcđo.

Đểxácđịnhđộnhámcủamộtbềmặtgiảsửtrướctiên ε1’>>1 và ε1’>ε1’’

cùngvớihàmtươngquan Gauss. Sauđóxemxétvớiđiềukiệnmàchiếusáng λ làđủnhỏ

so vớichiềudàitươngquan𝜎: k𝜎>>1. Độlớn |ε1’|

làgiốngnhauvớicácbướcsóngrấtdài, do vậycáchàmphụthuộcvàogóc (5.2) và

(5.3) giảmtới |Wpp|2=|Wss|2 = (2cos θ)2=4, sin θ≈0.

Hình1. Hàmxácđịnhđộnhám

Sựtíchhợpánhsángtánxạ (1/I0) (dI/dΩ) (5.1) qua dΩ cóthểđượcthựchiện,

từhàmđộnhám|𝑠( kx)|2= |𝑠(kx)|2(k°x=0.) cóthểxấpxỉchừngbằngmộthàm delta

Dirac :

Nếugiảsử |ε1’| >>1có nghĩarằngcácmốiquanhệgiữa (5.2) và (5.3)

khôngphụthuộcvàovàosựphâncựccủaánhsángWpp=Wss(còngọilàtrườnghợpvôhướ

ng).Hơnnữa ,sựkíchthíchSP cóthểbỏ quavìnănglượngánhsáng photon làquánhỏ.

Hàm Delta Dirac chỉcógiátrịvớicácđiềukiệnràngbuộcnhấtđịnh, Do

vậyvớiviệcsửdụngánhsángnhìnthấychỉchokếtquảgầnđúng.

Sựtíchhợpcườngđộtrongbáncầuđãngănchặnnhằmkiểmsoáthơnnữahàmtươngquanc

ủaphươngpháp.Tínhưuviệtcủaphươngphápnàylàsựđơngiảncủanóđểnhanhchóngcóđ

ượcmộtgiátrịđộnhámgầnđúng, giátrịnàylàquantrọngchocácmụcđíchcụthể.

Câu 8: Sự thay đổi tính chất Surface Plasmon trong trường hợp bề mặt có độ nhám

tăng cường

Nếu các ATR mini của tấm film bạc được quan sát trong các trường hợp có độ

nhám khác nhau (đc hình thành bởi những tấm film CaF2 có độ dày khác nhau) thì ta sẽ

thu được các đường cong ở Fig4.1. Nó cho thấy rằng: tại 1 bước sóng đã cho, góc cộng

hưởng (ATR min) sẽ thay thế các vector sóng lớn hơn và độ rộng của giá trị nhỏ nhất

tăng mạnh. Hiệu ứng này đã được đo lường ở d (CaF2) 250 A hoặc 6 & 10 A (tổng cộng

độ nhám) như ở Fig 4.2. Ở đây sự phụ thuộc của ω vào kx được thay thế bởi đồ thị: λ (độ

dài bước sóng) so với θ0 (kx = √𝜀(𝜔/𝑐)sinθ0) với λ giảm từ dưới lên trên. Hàm λ(θ0) cho

phép những khoảng nhỏ của hàm tương quan tán xạ được hiển thị tốt hơn. Những giá trị

giữa d(CaF2)=0 và 100Ȧ là lỗi của phương pháp đo đạc. Fig.4.2 chứng minh được vận

tốc pha 𝜔/kx của SPs được giảm bớt trong khi δ tang lên. Dữ liệu được xem xét độc lập từ

sự phản xạ hay tán xạ của thí nghiệm. Tiêu chuẩn đánh giá hiệu quả của thí nghiệm ở

Fig.4.3 a,b chỉ ra sự tăng nhanh của ∆θ0 và ∆𝜃01/2

cùng với δ, nó chứng minh nhiều hơn

sự ảnh hưởng của độ dài bước song, đặc biệt là hiệu quả của sóng ngắn.

Kết quả tương tự với bề mặt bằng vàng.

Fig.4.1. Sự tương phản cường độ ánh sáng Rp phụ thuộc vào góc tới θ0(λ = 5000Ȧ) đo

đc tại phim bạc có độ dày 540Ȧ, độ nhám của lớp bên dưới của CaF2 từ 0, 500, 1000, và

2000 Ȧ. Anh hưởng mạnh mẽ của độ nhám trên sự dịch chuyển ATR tối thiểu và chiều

rộng của nó được thấy rõ ràng trong [4,1]. Sự tương phản có giá trị thấp nhất tại 1000 Ȧ

CaF3; điều kiện là sự bức xạ được thỏa mãn. Các kết quả thí nghiệm được thể hiện trong

fig.3.1

Fig.4.2. Sự thay thế của các vị trí góc tối thiểu phản ánh độ dài bước sóng khác nhau λ.

Những con số trên đường cong đại diện cho độ dày khác nhau của film CaF2 cơ bản. Các

đường cong số 5 và 6 cho thấy một "điểm uốn" tại θ lớn hơn.

Fig.4.3 a,b. Góc thay thế Δθ0 (a) và sự tăng của góc ½ bước sóng (Δ𝜃01/2

) (b) của sự phản

xạ nhỏ nhất trên film bạc (dầy 540Ȧ) tại những bước sóng có độ dài khác nhau giống như

hàm của độ nhám. (1) λ = 6200 Ȧ; λ = 5600 Ȧ; (3) λ = 5000 Ȧ; (4) λ = 4400 Ȧ. Độ nhám

được cho bởi độ dày lớp dưới của film CaF2 được thể hiện ở fig.4.2. Các giá trị quan sát

được tại d>1500 Ȧ CaF2 và nhiều hơn ở Δ𝜃01/2

= 6ᵒ và λθ0> 5ᵒ bị nén xuống.

Bảng 4.1a. Giá tr ị Δθ0 của 1 film bạc có độ dày 540 Ȧ tại những độ nhám và bước sóng

ánh sáng λ khác nhau [3.12]

Bảng 4.1b. giá trị Δ𝜃01/2

(độ) của film bạc (dày 540 Ȧ) tại những độ nhám và độ dài

bước sóng khác nhau.

Trong fig.4.4 so sánh sự phụ thuộc của Δθ0 trên bề mặt bạc thô như 1 hàm của δ (λ =

5000 Ȧ) và sự phụ thuộc vào grating với hằng số grat a = 4400 Ȧ ( λ = 5000 Ȧ) như một

hàm của biên độ âm h.Sự lựa chọn lưới được so sánh với bề mặt nhám tùy ý nào đó;

Chúng tôi chọn một giá trị của a = 4400 Ȧ, trong đó cho thấy một sự phụ thuộc tương đối

mạnh mẽ của Δθ0 trên giá trị của h, ở λ = 5000 Ȧ. So sánh chứng minh rằng một đường

hình sin có ảnh hưởng yếu hơn nhiều về sự phân tán hơn một bề mặt thô. điều này là dễ

hiểu, nhưng thật ngạc nhiên là sự khác nhau nhiều đến vậy.

Kết luận:

Sự thay đổi bề mặt độ nhám sẽ ảnh hưởng tới các yếu tố sau của surface plasmon:

- Làm thay đổi sự tương phản cường độ ánh sáng Rp.

- Làm thay đổi góc thay thế Δθ0, độ nhám càng lớn thì Δθ0 càng tăng.

- Làm thay đổi Δ𝜃01/2

, độ nhám càng tăng thì Δ𝜃01/2

càng tăng, mức độ tăng lớn hơn

so với Δθ0.

- Vận tốc pha 𝜔/kx của SPs được giảm bớt trong khi độ nhám tăng.

Câu 9: cơ chế hình thành dải chắn PBG.

Trong 1 tinh thể photonic, các lỗ khoét tương tự như các nguyên tử trong

bán dẫn.

Ánh sáng khi xuyên qua các khe vật liệu đã khoét sẽ phản xạ và khúc xạ qua

giao diện giữa glass và không khí. Các mẫu phức của các beams phức sẽ dẫn tới trì

hoãn dải sóng trong tất cả các hướng dẫn đến ngăn cản lan truyền băng này trong

tinh thể. Kết quả là cấu trúc dải có thể được sửa đổi bằng cách điền đầy 1 vài lỗ

khoét hoặc tạo thêm các lỗ khoét nhưng cần đảm bảo tính chu kì cẩn thận.

Câu 10: Xác định tần số cộng hưởng trung tâm của dải chắn tạo bởi cấu trúc

PBG 1 chiều

Bài làm:

tần số trung tâm của băng thông tương đối tối đa; f0; tại β = βmaxwhich là một chức năng

của các hằng số mạng tinh thể, tỷ lệ chỉ số, tỷ lệ chiết và hằng số điện môi của máy chủ.

nó là thấy rằng, nội suy trực tiếp của tần số trung tâm như vậy thường là yếu hội tụ. Do

đó, được ưu tiên để nội suy đối ứng tần số trung tâm bình thường được định nghĩa là

Cho α> 1, chẳng hạn tần số trung tâm bình thường đối ứng có thể được xấp

xỉ như

Mặt khác, cho PBG withα <1, bình thường đối ứng tần số trung tâm có thể được xấp xỉ

như

Đối với trường hợp của lưới vuông của thanh điện môi tròn, các trung tâm tần số được

đưa ra bởi cho α> 1, Hình. 6 (a),

trong khi forα <1 hình. 6 (c)

trong đó f là trong (GHz) và AIS trong (mm). Hình 6 cho thấy một so sánh giữa tính đối

ứng tần số trung tâm bình thường và nội suy tương ứng là hàm của tỷ lệ chỉ số cho cả hai

vuông cản tam giác của thanh tròn.