รายงานสมมนา

เรอง On the properties of

Lucas Number with binomial coefficients

จดทำาโดย

นางสาวสรลกษณ อนทรบตร

คบ 4 คณตศาสตร รหสนกศกษา 524143024

นำาเสนอ

ดรกฤษณะ โสขมา

รายงานนเปนสวนหนงของวชา สมมนาคณตศาสตร ภาคเรยนท 2

ปการศกษา 2555 มหาวทยาลยราชภฎหมบานจอมบง 70150

องคความรทเกยวของ

Édouard ลคส (1842-1891)

ลคส Édouard

François Édouard Anatole ลคสเปนนกคณตศาสตรในศตวรรษท 19 ภาษาฝรงเศสสำาหรบผซร สทชอลคส ลคสเกดใน 1842 ในอาเมยง ฝรงเศสและไดรบการศกษาใน École Normale ในเมองท หลงจากนนเขากทำางานภายใต Le Verrier ทหอสงเกตการณปารส เขาทำาหนาทเปนเจาหนาทปนใหญในฝรงเศสปรสเซย (1870-1871) และกลายเปนอาจารยของคณตศาสตรทLycée Saint Louis ในปารสหลงจากความพายแพของฝรงเศส เขาเปนอาจารยในภายหลงของคณตศาสตรทLycée Charlemagne ยงอยในปารส

ลคสมชอเสยงมากทสดสำาหรบการทำางานของเขากบทฤษฎจำานวน- เขาศกษาชด Fibonacci และทเกยวของกบลคสซรส ชดลคสถกกำาหนดไวเกอบเหมอนกนกบ Fibonacci ชด (จำานวนแตละคอผลรวมของกอนหนานสองยกเวนครงแรกทสองสมาชกของชด; f (n) = f (n-2) + f (n-1) ) ความแตกตางในความหมายกคอวาชดลคสเรมตนดวย 2 และ 1 มากกวา 1 และ 1 นดเหมอนวาแตกตางเลก ๆ ในตอนแรก แตเมอเหนชดหนงอยางตอเนองตงแต 2 และ 1 ความแตกตางทเหนไดชด (ด ตวเลขจำานวนลคส ):

ซรส Lucas: 2 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 199 322 521

ซรส Fibonacci: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377

ฟโบนกชและลคสซรสมความสมพนธในรปแบบทสำาคญมาก สำาหรบหนงอตราสวนของตวเลข Lucas เนองลไป (1618 ) เชนเดยวกบชด Fibonacci แตกอนทคณจะไดรบตนเตนเกนไปเกยวกบความคลายคลงกนนโดดเดนทคณควรรวาเปนความจรงใด ๆ ชด Fibonacci เหมอนเรมตนดวยคของตวเลขใด ๆ ; ขด จำากด ของอตราการเจรญเตบโต

บางแหลงเครดตลคสกบ สตร Binet ของ วธการหาตวเลขฟโบนกช แตไมวาลคสมาดวยสตรนจะเปดใหอภปราย นกคณตศาสตรสำาหรบผทสตรมชอ ฌาคสฟลปร Binet จะใหเครดตกบการหามนใน 1843 เพยงหนงปหลงจาก Édouard ลคสเกด ประวตของคณตศาสตรทเตมไปดวยชนดของความสบสนนเพอใหความจรงทวาบางเครดตลคสกบสตรนไมแปลกใจ

Édouard ลคสยงคดคนวธการของการทดสอบสำาหรบ primality (หรอไมวาจำานวนเปนสำาคญ) ในป 1876 เขาพสจนวาจำานวน Mersenne 2 127-1 เปนสำาคญโดยใชวธการของเขาเอง จำานวนทยงคงยนเปนนายกทใหญ

ทสดทเคยพบโดยความชวยเหลอของคอมพวเตอรและวธการของลคสสำาหรบการทดสอบสำาหรบ primality ยงคงใชวนน

ประจำาไตรมาสสนสดวน Fibonacci สงพมพทางวชาการทอทศใหกบการวจยตอเนองเปน Fibonacci คณตศาสตรบอยตพมพงานวจยใหมเกยวกบวธการทลคสของ primes

ทาวเวอรของฮานอยใน 1883 ลคสทเผยแพรเกมทางคณตศาสตรของเขาทมชอเสยงทาวเวอรของฮานอยภายใตนามแฝง "เอม Claus" ("Claus" เปน anagram ของ "ลคส") ทาวเวอรของฮานอย (ดขวา) เปนปรศนางายๆทมสามเขมบนกระดานกบแผนดสกทมขนาดนอยไปหามากวางไวจากบนลงลางรอบ ๆ ตรงกลางตรง วตถคอการยายทงหมดของแผนจากทหนงไปยงอกตรงหนงทเวลาในจำานวนทนอยทสดของการยาย กฎเดยวกคอแผนดสกทไมมอาจจะอยทดานบนของแผนดสกทมขนาดเลกไดตลอดเวลา

ชดจำานวนลคส

นกคณตศาสตรชาวฝรงเศส Edouard Lucas (1842-1891) ซงทำาใหชดของตวเลข 0 1 1 2 3 5 8 13  ชอตวเลข Fibonacci พบชดคลายคลงกนเกดขนบอยครงเมอ investigatng รปแบบจำานวน Fibonacci:

2 1 3 4 7 11 18 กฎของการเพม Fibonacci ลาสดสองทจะไดรบตอไปจะถกเกบไว แตทนเราเรมตนจาก 2 และ 1 (ตามลำาดบน) แทน 0 และ 1 สำาหรบ (ธรรมดา) ตวเลข Fibonacci ชดทเรยกวาลคสเบอรหลงจากทเขาถกกำาหนดใหเปนดงน: ทเราเขยนเปนสมาชกของ L n 

L n = L n-1 + L n-2 สำาหรบ n> 1 L 0 = 2 L 1 = 1

และนคอคาบางอยางเพมเตมของ n กน L กบตวเลข Fibonacci สำาหรบการเปรยบเทยบ:

n: 01234 5 6 7 8 9 1

0F n:

0 1 1 2 3 5 8 13

21

34

55

n L: 2 1 3 4 7 1

118

29

47

76

123

จำานวนลคสมจำานวนมากของคณสมบตทคลายกบทของตวเลข Fibonacci และทไมซำากนในชดทคณตรวจสอบในสถานททนาสนใจสวนขางตนตวเลขลคสมกจะเกดขนในสตรตางๆสำาหรบตวเลข Fibonacci นอกจากนถาคณมองไปทหลายสตรสำาหรบตวเลขลคส คณจะพบชด Fibonacci จะมเกนไป สวนถดไปแนะนำาใหคณบางสวนของสมการเหลาน ดงนนทกชดทวไป Fibonacci ' สองเหลานดเหมอนจะสำาคญทสด

ยกตวอยางเชนทนเปนกราฟของอตราสวนของตวเลขลคสตอเนอง:

ในความเปนจรงสำาหรบชดทกรปแบบโดยการเพมลาสดสองคาทจะไดรบตอไปและไมวาสงทสองคาทเราเรมตนดวยเรามกจะจบลงดวยการทมเงอนไขการใชอตราสวนพ = 16180339 

จำานวนฟโบนกช

ฟโบนกช (Fibonacci) (มกจะสะกดผดวา ฟโบนกช หรอ ฟโบนกช) เปนนกคณตศาสตรชาวอตาล มชอเสยงโดงดงทสดจากการคนพบจำานวนฟโบนกช และบทบาทในการเผยแพรการเขยนและวธการคำานวณระบบจำานวนฐานสบทใหคาตามหลกแบบอาราบก (Arabic positional decimal system) ทใชกนในปจจบน หลายคนยกยองวาเขาเปนนกคณตศาสตรทเกงทสดในยคกลาง

ลำาดบฟโบนกช คอ 1 1 2 3 5 8 13 21 โดยทเลขสองตวขางหนาบวกกนกลายมาเปนผลลพธ ของอกตวหนงทางดานขวา เชน 2+3 =5 ไปเรอยๆ อยางเชน ในหนงสอ รหสลบดาวนซ ท โซนแยรทงไวใหโรเบรต แลงดอน และ โซเฟย ทปรากฏในวรรณกรรม รหสลบดาวนช

ความสมพนธระหวางจำานวนลคส และฟโบนกช

จาก ทำาใหได จำานวนฟโบนกช ( ) และ

จาก

ทำาใหไดจำานวนลคส ( ) ดงตารางน

n 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 1 2 3 5 8 13 212 1 3 4 7 11 18 29 47

ทำาใหไดวา สำาหรบจำานวนเตมบวก n และความ

สมพนธตางๆดงน

5

จำานวนลคส และฟโบนกชในธรรมชาต

ในธรรมชาตนนจำานวนลคส และจำานวนฟโบนกช มความคลายคลงกนในการจดวางหรอตงคาทางชวภาพทางธรรมชาต ในทนขอยกตวอยางจำานวนฟโบนกช เทานน

ดอกคาโมไมลสเหลอง หวแสดงจดใน 21 (สฟา) และ 13 (Aqua) เกลยว ทเกยวของกบการเตรยมการดงกลาวตวเลข Fibonacci ตดตอกนปรากฏในหลากหลายของพช

 ในสองตวเลข Fibonacci ตดตอกนเชนแยกในตนไม จดของใบบนลำาตน  fruitlets จาก สบปะรด   ออกดอกของ อาตโชค  uncurling เฟรนและการจดเรยงของ โคนตนสน   นอกจากนการเรยกรองพสจนคณภาพมากมายของตวเลข Fibonacci หรอสวนทอง ในธรรมชาตจะพบในแหลงทนยมเชนท

เกยวของกบการแพรพนธของกระตายเมลดทานตะวนเมอ spirals ของเปลอกหอยและ เสนโคงของคลน  ตวเลข Fibonacci ยงพบในตนไมและในครอบครวของผง 

แบบจำาลองสำาหรบรปแบบของ florets ในหวของ ดอกทานตะวน ทถกเสนอโดยเอช Vogel ในป 1979 

นมรปแบบ ท n คอจำานวนดชนของดอกและ c คอปจจยทปรบคาคงท florets จงนอนอยบน เกลยวของแฟรมาต  มมแตกตางประมาณ 13751 ° เปน มมทอง แบงวงกลมสทองในอตราสวน เพราะอตราสวนนมเหตผลดอกไมมใครมเพอนบานทตรงมมเดยวกนจากใจกลางดงนน florets แพคไดอยางมประสทธภาพ เพราะเหตผลประการทอตราสวนทองคำาเปนรปแบบของ F (j): F (J + 1) เพอนบานทใกลทสดของจำานวนดอก n เปนผทn ± F (ญ) สำาหรบ j ดชนบางซงขนอยกบ r ระยะหางจากจดศนยกลาง ไดมการกลาวบอยครงทดอกทานตะวนและการเตรยมการทคลายกนม 55 เกลยวในทศทางเดยวและอน ๆ 89 ใน (หรอบางคอน ๆ ของตวเลข Fibonacci ทอยตดกน) แตนเปนจรงเพยงหนงเดยวของชวงหนงของรศมโดยปกตนอกสดและทำาใหเหนไดชดเจนทสด 

สมประสทธทวนาม

จากสตรการคณสำาหรบการกระจายทวนาม จะไดวา ทวนาม (a+b)n เมอ n เปนจำานวนเตมบวกหรอศนย คอ การนำา (a+b) มาคณกนจำานวน n

วงเลบ เชน (a+b)4 = (a+b) (a+b) (a+b) (a+b) แตถาการกระจายนนมคา n มากๆ กจะทำาใหหาคาไดยากขน ดงนน เราจงตองใชทฤษฎบททวนามชวยในการกระจาย

สามเหลยมของปาสคาล (Pascal’s triangle)

เมอพจารณาการกระจายทวนาม (a+b)n เมอ n เปนจำานวนเตมบวกหรอศนย จะได

(a+b)0 = 1(a+b)1 = a+b

(a+b)2 = a2+2ab+b2

(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b2

(a+b)4 = a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

 (a+b)5 = a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

(a+b)6 = a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6

เราจะเหนวาสามารถเขยนแผนภาพเฉพาะสมประสทธของการกระจายทวนาม (a+b)n เมอ n เปนจำานวนเตมบวกหรอศนย ไดดงน

 

n=0                                          1n=1                                      1      1n=2                                  1      2      1n=3                              1      3      3      1n=4                         1      4      6      4      1

n=5                      1      5      10     10     5     1n=6                 1      6      15     20    15     6      1

 แผนภาพนเรยกวา สามเหลยมของปาสคาล จากสามเหลยมปาสคาล ทำาให“ ”เราทราบวา

1 จำานวนแรกและจำานวนสดทายของแตะแถมเทากบ 1 เสมอ

2 จำานวนใดๆ ในแตละแถว เกดจากการบวกของจำานวน 2 จำานวน ทอยเหนอจำานวนนนๆ ไปทางซายและทางขวาของแถวดานบนทตดกน

3 สามเหลยมปาสคาลมลกษณะสมมาตร

4 จำานวนทงหมดทอยในแถวท n มคาเทากบ n+1 จำานวน

5 ผลบวกของจำานวนทกจำานวนในแถวท n มคาเทากบ 2n

ทฤษฎบททวนาม (Binomial Theorem)

     จากการพจารณาสามเหลยมของปาสคาลตามแผนภาพ เราจะสามารถเขยนใหอยในรปของ C(n r) เมอ n r เปนจำานวนเตมบวกใดๆ ซง n>r>0 และ C(n r) = n! / (n-r)! r! ดงน

n=0                                C(0 0)

n=1                            C(1 0)  C(1 1)

n=2                       C(2 0) C(2 1)  C(2 2)

n=3                  C(3 0) C(3 1)  C(3 2) C(3 3)

n=4             C(4 0) C(4 1)  C(4 2)  C(4 3) C(4 4)

n=5        C(5 0) C(5 1) C(5 2) C(5 3) C(5 4) C(5 5)

n=6    C(6 0) C(6 1) C(6 2) C(6 3) C(6 4) C(6 5) C(6 6)

ดงนน สงททราบเพมเตมจากสามเหลยมปาสคาล คอ

(a+b)0 = C(0 0)

(a+b)1 = aC(1 0) + bC(1 1)

(a+b)2 = a2 C(2 0) + ab C(2 1) + b2 C(2 2)

(a+b)3 = a3 C(3 0) + a2b C(3 1) + ab2 C(3 2) + b2 C(3 3)

(a+b)4 = a4 C(4 0) + a3b C(4 1) + a2b2 C(4 2) + ab3 C(4 3) + b4 C(4 4)

(a+b)5 = a5 C(5 0) + a4b C(5 1) + a3b2 C(5 2) + a2b3 C(5 3) + ab4 C(5 4) + b5 C(5 5)

(a+b)n = an C(n 0) + a(n-1)b C(n 1) + a(n-2)b2 C(n 2) + … + a(n-r)br C(n r) + … + ab(n-1) C(n n-1) + bn C(n n)

 จากการกระจายบททวนามขางตน จะสามารถสรปเปนทฤษฎบททวนามได ดงนทฤษฎบททวนาม

ถา a b เปนจำานวนจรง และ n r เปนจำานวนเตมบวกใดๆ และ  n>r>0  แลว

(a+b)n = an + a(n-1)b C(n 1) + a(n-2)b2 C(n 2) + … + a(n-r)br C(n r) + … + ab(n-1) C(n n-1) + bn

และเรยก C(n r) วา สมประสทธทวนาม

จากทฤษฎบททวนาม เราจะไดบทสรปวา

1 การกระจายทวนาม(a+b)n แลวจะได n+1 พจน

2 เนองจาก C(n 0) = C(n n) = 1 ทำาใหทราบวา an C(n 0) = an และ bn C(n

n) = bn

3 กำาลงของ a เรมจาก n แลวลดลงทละ 1 จนถง 0 สำาหรบกำาลงสองของ b เรมจาก 0 เพมขนทละ 1 จนถง n4 ผลบวกของกำาลงของ a กบ b ในแตละพจน จะเทากบ n เสมอ

5 C(n 0) + C(n 1) + C(n 2) + … + C(n n) = 2n

6 (a+b)n = ผลบวกของ a(n-r)br C(n r) เมอ r มคาตงแต 0-n7 การหาพจนและสมประสทธทวนาม ไดเทากบ Tr+1 = a(n-r)br C(n r)

8 C(n r) = C(n-1 r-1) + C(n-1 r)

9 การหาเศษของการหาร (a+b)n / a เมอ n เปนจำานวนเตมบวก สามารถพจารณาไดจากการหาคาตวเศษของ bn / a10 เมอ n เปนจำานวนเตม :     a (a+b)n + (a-b)n = 2 เทา ของผลรวมพจนคจากการกระจาย (a+b)n          b (a+b)n - (a-b)n = 2 เทา ของผลรวมพจนคจากการกระจาย (a+b)n    การกระจายพหนามทมมากกวา 2 พจนของเอกนาม

พหนาม (a1 + a2 + a3 + … + ak)n สามารถกระจายได C(n+k-1 k-

1) พจน และสามารถหาพจนทวไปได ดงน

[n! / P1! P2! P3! … Pk!] (a1)P1  (a2)P2  (a3)P3  … (ak)Pk

เมอ P1+P2+P3+ … +Pk = n และ P1 P2 P3 … Pk เปนจำานวนเตม

อตราสวนทองคำา (Golden Ratio) หรอ ฟ (Phi)เปนคาคงท ทมคา 1618 โดยประมาณ หรอกลาวไดวา เลข 2 จำานวน

(คอ a และ b) จะเปนอตราสวนทองคำากตอเมอ อตราสวนระหวางจำานวนทมากกวา (a) ตอผลรวม (a+b) มคาเทากบอตราสวนระหวางจำานวนทนอยกวา (b) ตอจำานวนทมากกวา (a) นนคอ ((a+b)/a)=(a/b) นนเองอตราสวนทองคำาน เมอเรานำามาเขยนในรปแบบพชคณต จะไดเปน (1+sqrt(5))/2 โดยท sqrt(x) หมายถง รากท 2 ของ x

ความสมพนธระหวางอตราสวนทองคำากบอนกรมฟโบนคช (Fibonacci) อนกรมฟโบนคช คออนกรมทมคาเปนผลบวกของตวเลขในลำาดบกอนหนานน 2 จำานวน นนคอ 1123581321… นนเอง เมอเรานำาตวเลขทอยตดกนในอนกรมนมาหารกน (ตวมากตงแลวหารดวยตวนอย) จะพบวา มนจะมคาใกลเคยงกบอตราสวนทองคำาเสมอ และเมอเรานำาตวเลขทอยตดกนในอนกรมนทมคามาก ๆ มาหารกน จะพบวา จะมคาเปน 1618 เสมอ

ความสมพนธระหวางอตราสวนทองคำากบอนกรมลคส (Lucus)อนกรมลคส คลายคลงกบอนกรมฟโบนกช คอเมอเรานำาตวเลขท

อยตดกนในอนกรมนมาบวกกนแลวนำาจำานวนทมากหารดวยจดนำาจำานวนทนอยจะพบวาจะมคาใกลเคยงกบอตราสวนทองคำาเสมอ และเมอเรานำาตวเลขทอยตดกนในอนกรมนทมคามาก ๆ มาหารกน จะพบวา จะมคาเปน 1618 เสมอเชนเดยวกบอนกรมฟโบนกช

สเหลยมผนผาทองคำา (Golden Rectangle)คอ สเหลยมผนผาทมอตราสวนดานยาวตอดานสนเปนอตราสวนทองคำา เมอเราแบงสเหลยมผนผานออกเปนสองสวน โดยสวนแรกเปนสเหลยมจตรสทมความยาวของดานเปนความกวางของสเหลยมผนผา เราจะพบวาสเหลยมผนผาทเหลอจะกลายเปนสเหลยมผนผาทองคำาทมขนาดเลกลง และเราสามารถแบงสเหลยมผนผาทองคำาทเกดขนใหมนโดยวธการเดยวกนนตอไปเรอย ๆ ไมรจบ

เพนทากอน (Pentagon) หรอรปหาเหลยมดานเทาจะมอตราสวนระหวางความยาวของเสนทแยงมมเทยบกบความยาวของดานหนง ๆ เทากบอตราสวนทองคำาเสมอ

เกลยวฟโบนคช (Fibonacci Spiral)เกดจากการลากเสนโคงผานไปยงจดแบงสเหลยมผนผาทองคำา เราจะไดเกลยวฟโบนคชทไมรจบ เชนเดยวกนกบลคส

อตราสวนทองคำาในผลงานทสรางโดยมนษยเชน มหาวหารพารธนอน (Parthenon) ในเอเธนส มหาวหารนอตเตอรดาม (NotreDame Cathedral) ในปารส ภาพวาดโมนาลซา (Mona Lisa) ภาพเดอะวทรเวยนแมน (The Vitruvian Man)

อตราสวนทองคำาในธรรมชาต เชน เปลอกหอยนอตลส (Nautilus Shell) เมลดดอกทานตะวน การแตกใบของตนไม (ใบทแตกใหมจะทำามม 1375 องศา กบแนวใบเดม ซงเอา 360 องศา – 1375 องศา จะได 2225 เมอเอาไปหารดวย 1375 จะไดคา Phi นนเอง) โครงสรางรางกายมนษย เชน ระยะจากหวถงพน หารดวยระยะจากสะดอถงพน ระยะจากไหลถงปลายนว หารดวยระยะจากขอศอกไปถงปลายนว ใบหนาของมนษย

Padovan Sequcence

ลำาดบ Padovan เปน ลำาดบ จาก จำานวนเตม P (n) ทกำาหนดโดยคาเรมตน

และ ความสมพนธเกดขนอก

คาไมกครงแรกของ P (n) เปน1 1 1 2 2 3 4 5 7 9 12 16 21 28 37 49 65 86 114 151 200 265  (ลำาดบ A000931 ใน OEIS )

เกลยวสามเหลยมดานเทาทมความยาวดานซงเปนไปตามลำาดบ Padovanลำาดบ Padovan เปนชอหลงจากท รชารด Padovan  ผประกอบการคนพบเพอ ดตช สถาปนก ฮนสแวนเดอร Laan  ในป 1994 เรยงความ Dom ฮนสแวนเดอร Laan: Modern ดงเดม ลำาดบถกอธบายโดย เอยนสจวต ของเขาใน วทยาศาสตรอเมรกน พกผอนหยอนใจทางคณตศาสตรในคอลมนมถนายน 1996 นอกจากนเขายงเขยนเกยวกบเรองนในหนงสอเลมหนงของเขา "ฮสทเรยคณตศาสตร: เกมสสนกกบคณตศาสตร"คำานยามขางตนใหเปนหนงโดยเอยนสจวตและ MathWorld  แหลงอน ๆ อาจเรมตนลำาดบทสถานททแตกตางกนซงในกรณบางสวนของตวตนในบทความนจะตองปรบทเหมาะสมกบ offsets

Tribonacci Sequcence

หมายเลข tribonacci มลกษณะทวไปของ ตวเลข Fibonacci กำาหนดโดย กำาหนดนยามโดย

ครงแรกไมกตวเลขทสำาคญ tribonacci เปน 2 7 13 149 19341322569415713958901 ซงม 3 ดชน 5 6 10 86

97 214 801 4201 18698 96878 และอน ๆ กบ (EW Weisstein 21 มนาคม 2009)

ใชเกณฑของบราวนกสามารถแสดงใหเหนวาตวเลข tribonacci จะเสรจสมบรณนนคอทกตวเลขทเปนบวกสามารถเขยนเปนผลรวมของตวเลขทแตกตางกน tribonacci นอกจากนทกตวเลขทเปนบวกมเอกลกษณ การขยายตว Zeckendorf เหมอน  เปนผลรวมของตวเลขทแตกตางกน tribonacci และผลรวมทไมประกอบดวยสามตวเลข tribonacci ตดตอกนการขยายตวอยางตอเนอง

การแสดงออกทแนนอนสำาหรบ จำานวน tribonacci จะไดรบอยางชดเจนโดย

ทไหน เปนสามรากของพหนาม

นสามารถเขยนในรปแบบเลกนอยรดกมมากขนเปน

Perrin Sequcence

ลำาดบจำานวนเตม นยามโดย

ดวยเงอนไขเรมตน น ซำา เปนเชนเดยวกบทสำาหรบ ลำาดบ Padovan แตมเงอนไขทแตกตางกนเรมตนคำาไมกครงแรกสำาหรบ 1 ม 3 0 2 3 2 5 5 7 10 12 17

สมบต Summation

ผลรวมของลำาดบเชน 1 2 4 คอ 1 + 2 + 4 = 7 ดงนนผลบวกกคอ 7 และเนองจากการบวกมสมบตการเปลยนหม จงไมสำาคญทจะแปลผล 1 + 2 + 4 วาเปน (1 + 2) + 4 หรอ 1 + (2 + 4) เพราะถงอยางไรกใหผลลพธเหมอนกน ดงนนเครองหมายวงเลบจงมกจะถกละทงในการเขยนผลรวม นอกจากนนการบวกจำานวนจำากดมสมบตการสลบท จงทำาใหลำาดบในการบวกจำานวนกอนหรอหลงกไมสงผลตอผลบวกสดทาย (สำาหรบสมบตการสลบทของการบวกจำานวนไมจำากด ดเพมทการลเขาสมบรณ)

ถาหากผลรวมหนงๆ มพจนมากเกนไปเกนกวาจะเขยนใหแยกออกจากกน มกจะยอดวยจดไขปลาตรงตำาแหนงพจนทหายไป ตวอยางเชน ผลรวมของจำานวนธรรมชาตตงแต 1 ถง 100 เขยนไดเปน 1 + 2 + … + 99 + 100 = 5050

สญกรณซกมาตวใหญคณตศาสตรมสญกรณพเศษมาใชเพอทจะเขยนผลรวมใหกะทดรดมาก

ขน นนคอ สญลกษณผลรวม  โดยยมมาจาก∑ อกษรกรก ซกมา ตวใหญ Σ ซงนยามการใชไววา

ตวหอยทอยขางลาง i เปนสญลกษณแทนดชนของผลรวม m คอขอบเขตลางของผลรวม และ n คอขอบเขตบนของผลรวม การทกำาหนดให i = m หมายความวาดชน i เรมตงแตคาทเทากบ m พจนถดไปจะถกสรางขนโดยเพมคา i ขนไปทละหนงของคากอนหนา และหยดเมอ i = n เราสามารถใชตวแปรอนแทน i กได เชน

ถงแมวาชอของตวแปรดชนจะไมมความสำาคญ เรามกจะใชอกษรละตนชวงกลาง (i ไปถง q) เพอใชแสดงจำานวนเตมถาหากเกดความสบสนขน

บางครงเราอาจพบการเขยนแบบไมเปนทางการ โดยการตดดชนและขอบเขตของผลรวมออกไป เมอสงเหลานไดอธบายไวอยางชดเจนแลวในบรบท เชน

 จะมความหมายเทยบเทากบ 

หรออาจพบรปแบบการใสเงอนไขทางตรรกะลงไปแทน ซงผลรวมนนตงใจทจะบวกคาทตรงตามเงอนไขเขาดวยกนทงหมด ตวอยางเชน

คอผลรวมของ f (k) บนทกจำานวนเตม k ทอยในชวงดงกลาว

คอผลรวมของ f (x) บนทกสมาชก x ในเซต S และ

คอผลรวมของ μ (d) บนทกจำานวนเตม d ทหาร n ไดลงตว เปนตน นอกจากนกยงมอกทางหนงเพอนำาเสนอแทนการใชสญลกษณผลรวมจำานวนมาก เราอาจยบเขาดวยกนได เชน

 จะมความหมายเหมอนกบ 

การพสจนแบบอปนยทางคณตศาสตร

การพสจนขอความในแบบ ทกๆ จำานวนนบ “ nP(n)” หรอ “ ” เมอ n เปนจำานวนนบนนมวธหนงทนยมใช คอ การใชหลกการอปนยทางคณตศาสตร ซงวธการพสจนแบบนมการพสจนเปน 2 ตอนดงน

คอ 1) แสดงวา P(1) จรง (คอ แสดงวา n=1 เปนจรง)

2) แสดงวา P(k) = P(k+1) (คอแสดงวา สำาหรบ k ใดๆ ถา n=k เปนจรงแลว จะตองแสดงใหไดวา n=k+1 เปนจรงดวย)

ถาทง 2 ตอนนเปนจรงแลว กจะสรปผลไดวา “ P(n) เปนจรงสำาหรบทกๆ n ทเปนจำานวนนบ”

ทกลาวมาแลวทงหมดนหลกเกณฑกวางๆ ทมกจะพบในการพสจนขอความทางคณตศาสตร สวนรายละเอยดในการพสจนแตละแบบนน นกศกษาจะไดพบในกระบวนวชาตางๆและอาจนำาความรเหลานไปชวยในการพสจนทางคณตศาสตรตอไป

สมบตของจำานวนลคสกบสมประสทธทวนาม

ผเรยบเรยง : นางสาวสรลกษณ อนทรบตร

รหสนกศกษา : 524143024

อาจารยทปรกษา: ดร.กฤษณะ โสขมา

คำาสำาคญ

จำานวนลคส จำานวนฟโบนกช และสมประสทธทวนาม

บทคดยอ

ในการศกษาครงนจะเกยวกบสมบตบางประการของจำานวนลคสและสมประสทธ

ทวนามทสามารถเขยนผลลพธจำานวนลคสไดในรปแบบใหมไดโดยตรง และทสำาคญผลลพธเหลานนกสมพนธกบจำานวนฟโบนกชอกดวย

บทนำา

ในทางคณตศาสตรจำานวนฟโบนกชและลคสเปนสงทนาสนใจมาอยางยาวนานสำาหรบทฤษฎบทและความสมพนธสวนใหญจำานวนเหลานทงทางวทยาศาสตรและธรรมชาตสามารถเหนไดจากเอกสารอางอง [1-5] สำาหรบ

กรณอตราสวนของสองจำานวนตอเนองกนนำาไปสอตราสวนทองคำา (

ความสมพนธของอตราสวนทองคำาปรากฏในหลายการวจย โดยเฉพาะในฟสกสวศวกรรมศาสตรสถาปตยกรรมธรรมชาตและศลปะนกฟสกส Naschie และ Marek-Crnjac แสดงบางตวอยางของอตราสวนทองคำาในเรองเกยวกบทฤษฎทางฟสกสและเรองอนภาคพลงงานสง [6-9]) เพราะฉะนนในงานวจยฉบบนเรามความสนใจในการพฒนาสงใหมบางอยางทางคณตศาสตรทสามารถใชไดกบจำานวนเหลาน ในงานวจยฉบบนเราไดผลลพธเกยวกบความสมพนธของจำานวนลคสแบบใหมสำาหรบ แตอยางไร

กตามเราควรทราบวาลำาดบฟโบนกช และลำาดบลคส นยามโดย

และ โดย และ

ตามลำาดบ อยางไรกตามสำาหรบ พจนแรกของลำาดบฟโบนกช หมายถงผล

บวกในรปกำาลงสองคอ

หรอ =

ผลบวกในรปยกกำาลงสองเปนแรงบนดาลใจของเราทจะคนหาการจดผลบวกทเกยวของกบกำาลงสองของจำานวนลคส และแรงบนดาลใจอกอยางหนงสำาหรบงานวจย

ฉบบน เราควรสงเกตในเอกสารอางอง[10] Spivey ซงไดนำาเสนอความคลายแบบใหมสำาหรบการประเมนผลการจดผลบวกโดยใชผลตางทมขอบเขตดงนนเขาจงขยายการเขาใกลแบบใหมนขนจนนำาไปสการจดผลบวกในรปแบบ

และผลบวกเกยวกบการใชและการไมใชหมายเลขสเตอรงใน

ครงแรกเชน

ในทนสนใจสำาหรบพหนามฟโบนกช k ให เปนลำาดบฟ

โบนกชท k นยามวา ถา k เปนตวแปรจรง x ในขณะท และสงเหลา

นสอดคลองกบพหนามฟโบนกช นยามโดย

(ดใน[11]) หลายความสมพนธสำาหรบการพฒนามาจากของพหนามฟโบนกชไดถกพสจนแลวในบทสรปเอกสารดงกลาวเขายงเขยนไวในอางอง[12] สมบตบางประการของจำานวนฟโบนกชกบสมประสทธทวนามไดมการคนหาความจรงและความจรงของสมบตบางประการเหลานมความจำาเปนอยางยงในการพสจนผลลพธหลก

2 ผลลพธหลก

เมอ

เมอ เมอ

งานวจยชนน เราคนพบความจรงเกยวสมบตใหมของจำานวนลคสทสมพนธกบจำานวนฟโบนกชโดยใชสมประสทธทวนามวธนนำาไปสการไดผลลพธในรปอยางงายจากจำานวนลคสในแบบใหมทเปนทางตรง

ทฤษฎบทท 1 สำาหรบ และ เราจะไดมความสมพนธวา

(1)พสจน การพสจนอาศยหลกการอปนยเชงคณตศาสตรสำาหรบ

สำาหรบ จะสงเกตไดโดยงายเมอแทน ใน (1) จะได

จากทเราทราบวา ในบทนำาและสมบตทวไปของ

จำานวนลคสทำาใหเมอแทนคาจะได พบ

วาเปนจรงเพราะเมอเทยบกบตารางจำานวนลคสดงน

เนองจากทราบวา และ ทำาใหไดคา

ดงน

1 2 11 1232 1 12 1993 3 13 3224 4 14 5215 7 15 8436 11 16 13647 18 17 2207

8 29 18 35719 47 19 577810 76 20 9349

ยอมรบวาเปนจรงทกกรณสำาหรบจำานวนเตมบวก นนคอ

(2)

นำา บวกเขาทงสองขางของ (2)เราจะได

จาก เราจะไดผลลพธแรกคอ

ทางซายมอของเครองหมายเทากบ และสำาหรบทางขวามอของเครองหมาย

เทากบเราสามารถเขยน ดงนนโดยการกระทำาซำาเรา

สามารถเขยน

ดงนนจะได จบการพสจน

ในทฤษฎบทถดมาสำาหรบตวแปรเฉพาะของ เราจะสรางสตรเฉพาะ

ของจำานวนลคสในแบบผลตางยกกำาลง

ทฤษฎบทท 2 สำาหรบ เราจะไดความสมพนธตอมา

พสจน สำาหรบ และ เราทราบวา

(3)จากเอกสารอางอง[12] ใชสมบตในสมการ (3) และความเทากนจะได

ใหไวในเอกสารอางอง [4] ทำาใหไดรปแบบทวไปดงน

หรอใชเครองหมายในรปผลบวก เราเขยนไดวา

ใชความเทากนของ ซงใหไวในอางอง [4]

สำาหรบ และ ใหในเอกสารอางอง [12]

พสจน

จาก (4)

และ

แทนคา ใน ( 4 ) จะได

จบการพสจน

ทฤษฎบทท 3 สำาหรบ และ เราจะไดความสมพนธตามมา

พสจน ทฤษฎบทท 3 (a)

จาก

เราสงเกตพบวา

จะขอยกตวอยางประกอบ ให n = 1 จะได

พบวาเปนจรง

ให n = 3 จะได

พบวาเปนจรง

ให n = 5 จะได

พบวาเปนจรง

พจารณา เพราะกรณนใชสำาหรบ จงตองกำาหนด

หรอ

เมอ จะได

หรอ

นนคอ

จบการ

พสจน

พสจน ทฤษฎบทท 3 (b)

เราทราบวา

จากเอกสารอางอง [4] ทำาใหเราทราบวา สำาหรบ และ

จะไดวา

จะขอยกตวอยางประกอบ n = 3

จะได

พบวาเปนจรง

และ

ทำาใหไดวา

จบการพสจน

ทฤษฎบทท 4 สำาหรบ และ เราจะไดความสมพนธตามมา

พสจน พสจนโดยใชการอปนยทางคณตศาสตร

สำาหรบ จะเหนไดวา

พบวาจรง

สำาหรบ เราเขยนไดวา

พบวาจรง

สมมตใหเปนจรงทกกรณสำาหรบจำานวนเตมบวกและ ให จะได

(5)

ดงนน เราสามารถแสดงไดวาเปนจรงสำาหรบ ไดดงน

เราสามารถเขยนสมการ (5) ใหมโดยใช (3) ดงน

จาก (3) ทกลาวไววา

และจาก (5) ทให เมอแทนลงใน (3) จะได

ทำาใหเราเขยน (5) ไดวา

(6)

บวกเพม ทงสองขางของ (6) เราจะได

พจารณาทางซายมอของสมการ

ทำาใหไดวา

จาก เราจะไดผลลพธแรก ทางดานขวามอของเครองหมายเทากบ ดงนนเราสามารถเขยน

พจารณาจาก

และ

ทำาใหเขยนใหมไดวา

(7)

เพราะจากการพจารณา

ดงนนจากทรเอกสารอางอง [4] วา

(8)

โดยสมการ (8) เราจะเหนไดวา และ

ดงนนเราสามารถเขยนสมการ (7) ในรปแบบอยางงายวา

ให เราสามารถเขยน และ

เราจะไดผลลพธ

นนหมายถงวา

เพราะเราสามารถใชสมการ (3) เราไดผลลพธ

จากสมการ( 3 )ทกลาววา

พจารณากรณ

ทำาใหไดวา

จบการพสจน

พสจน ( ) โดยใชหลกการอปนยเชงทางคณตศาสตร สมมตให

จะไดวา

จาก

ให จะได

จาก

ใหเปนจรงบนทกจำานวนจรงเตมบวก พจารณา

จะได เปนจรง

( 9 )

พจารณา จะได

จากสมการ( 3 )

ถา จะได

สามารถจดเรยงสมการ ( 9 ) ใหมวา

( 10 )

บวกดวย ทงสองขางของสมการ

+

จบ

การพสจน

ทฤษฎบทท 5 สำาหรบ และ เราจะไดความสมพนธตามมา

a

พสจน โดยใชหลกการอปนยทางคณตศาสตร

ให

ให

ใหเปนจรงทกกรณบน จำานวนจรงเตมบวก พจารณา จะได

ใหเปนจรง ( 11 )

พจารณา จะได

จากทฤษฎบทท 3 ( a ) เราทราบวา

เมอ จะได

พจารณาสมการ ( 11 ) จะเขยนในรปใหมไดวา

บวกดวย เขาทงสองขาง

b พสจน พสจนโดยใชหลกการอปนยทางคณตศาสตร

พจารณาเมอ จะได

พบวาเปนจรง

พจารณาเมอ จะได

พบวา

เปนจรง

ใหเปนจรงทกกรณทเปนจำานวนเตมบวก พจารณา จะได

ใหเปนจรง

พจารณา จะได

(12)

จากทฤษฎบทท 3 (a) เราทราบวา จะได

พจารณา (12) จะได

พบวาเปนจรง ตามความสมพนธของจำานวนลคสและจำานวนฟโบนกช ท

กลาววา

จบการพสจน

จากทไดกลาวมาของเอกสารน พวกเราตองการนำาเสนอ n สองอยางตามมาคอ นอกจากผลลพธขางตนเกยวกบผลลพธจำานวนลคสบางอยางทเกยวของกบสมประสทธทวนาม ซงความจรงเราคดวาสงนคอความตองการของผอาน

สำาหรบ เรามความสมพนธ

และ

การศกษาตอ

สำาหรบ เรามความสมพนธ

(13)

วธทำา พสจนโดยใชการยกตวอยางประกอบ

สำาหรบ เมอแทนใน (13) จะได

เปนจรง

สำาหรบ เมอแทนใน (13) จะได

4 เปน

จรง

จากตวอยางประกอบพบวา เมอ เรามความสมพนธ

และจากงานวจยของอ.มนตร ทองมล มหาวทยาลยมหาสารคามพบวา

เมอ n เปนจำานวนค

เมอ n เปนจำานวนค

ทำาให พจารณาเมอ

จะไดวา

หรอ

สำาหรบ จะไดวา

สำาหรบ จะไดวา

และจากงานวจยของอาจารยพบวา เมอ n เปนจำานวนค พบวาคาคำาตอบทไดจะเปนจำานวนตรงขามของจำานวนลคสเสมอ

สำาหรบ จะไดวา

4พบวาเมอ n เปนจำานวน 2n+1 คำาตอบทไดจะเปนคำาตอบเดยวกนกบ

จำานวนลคส

บรรณานกรม