on the synthesis of sequential reversible circuit

8/6/2019 On the Synthesis of Sequential Reversible Circuit

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O n t h e S y n t h e s i s o f S e q u e n t i a l R e v e r s i b l e C i r c u i t

A n i n d i t a B a n e r j e e

1

a n d A n i r b a n P a t h a k

2

D e p a r t m e n t o f P h y s i c s a n d M a t e r i a l S c i e n c e a n d E n g i n e e r i n g , J I I T U n i v e r s i t y , A - 1 0 , S e c t o r - 6 2 , N o i d a ,

U P - 2 0 1 3 0 7 , I n d i a .

A b s t r a c t

R e v e r s i b l e c i r c u i t s f o r S R i p o p , J K i p o p , D i p o p , T i p o p , M a s t e r S l a v e D i p o p a n d M a s t e r

S l a v e J K i p o p h a v e b e e n p r o v i d e d w i t h t h r e e d i e r e n t l o g i c a l a p p r o a c h e s . A l l t h e c i r c u i t s h a v e b e e n o p t i m i z e d

w i t h t h e h e l p o f e x i s t i n g l o c a l o p t i m i z a t i o n a l g o r i t h m s ( e . g . t e m p l a t e m a t c h i n g , m o v i n g r u l e a n d d e l e t i o n r u l e )

a n d t h e o p t i m i z e d s e q u e n t i a l c i r c u i t s h a v e b e e n c o m p a r e d w i t h t h e e a r l i e r p r o p o s a l s f o r t h e s a m e . I t h a s b e e n

s h o w n t h a t t h e p r e s e n t p r o p o s a l s h a v e l o w e r g a t e c o m p l e x i t i e s a n d l o w e r n u m b e r o f g a r b a g e b i t s c o m p a r e d

t o t h e e a r l i e r p r o p o s a l s . I t h a s a l s o b e e n s h o w n t h a t t h e a d v a n t a g e i n g a t e c o u n t o b t a i n e d i n s o m e o f t h e

e a r l i e r p r o p o s a l s b y i n t r o d u c t i o n o f N e w g a t e s i s a n a r t i f a c t a n d i f i t i s a l l o w e d t h e n e v e r y c i r c u i t b l o c k ( u n l e s s

t h e r e i s a m e a s u r e m e n t ) c a n b e r e d u c e d t o a s i n g l e g a t e . F u r t h e r , i t i s s h o w n t h a t a r e v e r s i b l e i p o p c a n b e

c o n s t r u c t e d e v e n w i t h o u t a f e e d b a c k . I n t h i s c o n t e x t , s o m e i m p o r t a n t c o n c e p t u a l i s s u e s r e l a t e d t o t h e d e s i g n i n g

a n d o p t i m i z a t i o n o f s e q u e n t i a l r e v e r s i b l e c i r c u i t s h a v e a l s o b e e n a d d r e s s e d .

1 I n t r o d u c t i o n

L a n d a u e r ' s p r i n c i p l e [ 1 ] s t a t e s t h a t a n y l o g i c a l l y i r r e v e r s i b l e o p e r a t i o n o n i n f o r m a t i o n , s u c h a s t h e e r a s u r e o f a b i t

o r t h e m e r g i n g o f t w o c o m p u t a t i o n p a t h s , i s a l w a y s a s s o c i a t e d w i t h a n i n c r e a s e o f e n t r o p y o f t h e n o n - i n f o r m a t i o n

b e a r i n g d e g r e e s o f f r e e d o m o f t h e i n f o r m a t i o n p r o c e s s i n g a p p a r a t u s o r i t s e n v i r o n m e n t [ 2 ] a n d c o n s e q u e n t l y e a c h

b i t o f l o s t i n f o r m a t i o n w i l l l e a d t o t h e r e l e a s e o f a t l e a s t kTln2 a m o u n t o f h e a t . B u t i t i s w e l l k n o w n t h a t m o s t o f

t h e c o m m o n l y u s e d c l a s s i c a l g a t e s ( e x c e p t N O T a n d I D E N T I T Y ) a r e i r r e v e r s i b l e a n d t h e y e r a s e a t l e a s t o n e b i t o f

i n f o r m a t i o n i n e v e r y o p e r a t i o n . T h u s t h e i r r e v e r s i b l e l o g i c g a t e s w i l l a l w a y s r e l e a s e s o m e h e a t e n e r g y . O n t h e o t h e r

h a n d , M o o r e ' s l a w s t a t e s t h a t t h e n u m b e r o f t r a n s i s t o r s i n a c h i p g e t s d o u b l e d i n e v e r y 1 8 m o n t h s . T h e r e f o r e , i f w e

c o n t i n u e t o d e s i g n c h i p s w i t h t h e h e l p o f c o n v e n t i o n a l i r r e v e r s i b l e l o g i c g a t e s t h e n t h e l o w e r l i m i t o f p o w e r l o s s w i l l

c o n t i n u e t o i n c r e a s e . T h i s l e d t o t h e i d e a o f r e v e r s i b l e c o m p u t a t i o n a n d r e v e r s i b l e l o g i c . S i n c e q u a n t u m m e c h a n i c s

i s e s s e n t i a l l y r e v e r s i b l e , q u a n t u m m e c h a n i c a l p r o c e s s e s a p p e a r e d a s g o o d c a n d i d a t e t o c o n s t r u c t r e v e r s i b l e g a t e s

a n d t h e s e g a t e s a r e k n o w n a s q u a n t u m g a t e s . W h e n w e g l u e s o m e o f t h e s e g a t e s w e o b t a i n a q u a n t u m c i r c u i t .

A f t e r i n t r o d u c t i o n o f t h e i d e a o f q u a n t u m c o m p u t a t i o n i t h a s a l r e a d y b e e n s e e n t h a t t h e r e e x i s t s o m e q u a n t u m

a l g o r i t h m s [ 3 ] w h i c h w o r k s m u c h f a s t e r t h a n t h e i r c l a s s i c a l c o u n t e r p a r t s , t h e r e e x i s t s i n n i t e l y s e c u r e d q u a n t u m

c r y p t o g r a p h i c p r o t o c o l [ 4 , 5 ] ; t h e r e e x i s t s p r o t o c o l f o r q u a n t u m t e l e p o r t a t i o n [ 6 ] a n d a l l t h e s e p r o c e s s e s w h i c h

e s t a b l i s h q u a n t u m c o m p u t i n g a s a s u p e r i o r f u t u r e t e c h n o l o g y i n v o l v e s q u a n t u m c i r c u i t s a n d q u a n t u m g a t e s . I t h a s

a l s o b e e n s e e n t h a t i t i s p o s s i b l e t o d e s i g n c l a s s i c a l r e v e r s i b l e g a t e s a n d c l a s s i c a l r e v e r s i b l e c i r c u i t s b u t s i n c e t h e y

c a n n o t h a n d l e s u p e r p o s i t i o n o f s t a t e s ( q u b i t ) t h e y j u s t f o r m s p e c i a l c a s e s o f q u a n t u m c i r c u i t o r a s u b s e t o f t h e s e t

o f t h e q u a n t u m c i r c u i t s . B u t f r o m t h e c o n s t r u c t i o n p o i n t o f v i e w t h e y a r e e a s y t o b u i l d . K e e p i n g t h i s b a c k g r o u n d

i n m i n d i t i s r e a s o n a b l e t o s t a t e t h a t a l l n o v e l a p p l i c a t i o n s o f r e v e r s i b l e / q u a n t u m c o m p u t a t i o n e s s e n t i a l l y i n v o l v e

r e v e r s i b l e / q u a n t u m c i r c u i t s .

A c o n s i d e r a b l e a m o u n t o f w o r k h a s a l r e a d y b e e n d o n e i n t h e e l d o f d e s i g n i n g a n d o p t i m i z a t i o n o f r e v e r s i b l e

c o m b i n a t o r i a l c i r c u i t [ 7 - 1 0 ] . B u t t h e d e s i g n i n g a s p e c t o f r e v e r s i b l e s e q u e n t i a l c i r c u i t i s n o t y e t s t u d i e d r i g o r o u s l y .

T h i s i s b e c a u s e o f t h e f a c t t h a t f e e d b a c k i n a r e v e r s i b l e c i r c u i t c a n n o t b e v i s u a l i z e d i n t h e u s u a l s e n s e i n w h i c h

f e e d b a c k i s v i s u a l i z e d i n a c o n v e n t i o n a l i r r e v e r s i b l e c i r c u i t . T h i s i s s u e w a s r s t a d d r e s s e d b y T o o l i [ 1 1 ] . I n [ 1 1 ] h e

h a d s h o w n t h a t t h e r e v e r s i b l e s e q u e n t i a l c i r c u i t s c a n b e c o n s t r u c t e d p r o v i d e d t h e t r a n s i t i o n f u n c t i o n o f t h e c i r c u i t

b l o c k w i t h o u t t h e f e e d b a c k l o o p i s u n i t a r y . H i s i d e a s o n t h e s e q u e n t i a l r e v e r s i b l e c i r c u i t h a d f u r t h e r s t r e n g t h e n

i n h i s p i o n e e r i n g w o r k o n c o n s e r v a t i v e l o g i c [ 1 2 ] . L a t e r o n s o m e e o r t s h a v e b e e n m a d e t o c o n s t r u c t r e v e r s i b l e

s e q u e n t i a l c i r c u i t [ 1 3 - 1 5 ] . A l l t h e s e e o r t s a r e c o n c e n t r a t e d o n t h e d e s i g n i n g o f v a r i o u s i p o p s b e c a u s e o f t h e

f a c t t h a t t h e i p o p s a r e t h e b a s i c b u i l d i n g b l o c k o f t h e m e m o r y e l e m e n t o f a c o m p u t e r a n d i f o n e w i s h e s t o b u i l d

a r e v e r s i b l e c l a s s i c a l c o m p u t e r t h e n t h e s e d e s i g n s w i l l p l a y a c r u c i a l r o l e . B u t s e v e r a l c o n c e p t u a l i s s u e s r e l a t e d t o

d e s i g n i n g a n d o p t i m i z a t i o n o f s e q u e n t i a l c i r c u i t s a r e n o t a d d r e s s e d t i l l n o w . I n t h e n e x t s e c t i o n w e a d d r e s s t h o s e

c o n c e p t u a l i s s u e s r e l a t e d t o t h e f e e d b a c k a n d t h e c h o i c e o f g a t e l i b r a r y . I n s e c t i o n 3 w e h a v e d e s c r i b e d d i e r e n t

a r c h i t e c t u r e s f o r i p o p s . I n s e c t i o n 4 w e h a v e c o m p a r e d t h e c i r c u i t a r c h i t e c t u r e s p r o p o s e d i n t h e p r e s e n t w o r k

w i t h t h e e x i s t i n g c i r c u i t a r c h i t e c t u r e s f o r t h e s a m e . F i n a l l y w e c o n c l u d e t h e w o r k i n s e c t i o n 5 .

1

a n i n d i t a b a n e r j e e 2 0 0 0 @ y a h o o . c o m

2

a n i r b a n . p a t h a k @ j i i t . a c . i n

1

a r X i v : 0 7 0 7 . 4 2

3 3 v 1

[ q u a n t - p h ] 2

8 J u l 2 0 0 7



2 C o n c e p t u a l i s s u e s r e l a t e d t o r e v e r s i b l e c i r c u i t

T o p r o v i d e a s y s t e m a t i c p r o t o c o l f o r d e s i g n i n g r e v e r s i b l e s e q u e n t i a l c i r c u i t a n d t o c o m p a r e t h e p r o p o s e d c i r c u i t

a r c h i t e c t u r e s w i t h t h e e x i s t i n g a r c h i t e c t u r e s w e n e e d t o a d d r e s s c e r t a i n c o n c e p t u a l i s s u e s r e l a t e d t o r e v e r s i b l e c i r c u i t

d e s i g n i n g . T o b e p r e c i s e , c o n c e p t u a l i s s u e s r e l a t e d t o f e e d b a c k , c h o i c e s o f g a t e l i b r a r y a n d a p p r o x i m a t e o p t i m i z a t i o n

( l o c a l o p t i m i z a t i o n ) t e c h n i q u e s w i l l b e a d d r e s s e d i n t h e f o l l o w i n g s u b s e c t i o n s .

2 . 1 F e e d b a c k i n a r e v e r s i b l e c i r c u i t

F i g u r e 1 : C i r c u i t a a n d b a r e e q u i v a l e n t b u t t h e i d e a o f t i m e a x i s i s n o t v a l i d i n b . H e r e |Ψ(t) i s t h e p r o d u c t s t a t e

a t t i m e t a n d t3 > t2 > t1 > 0

.

I t i s w i d e l y b e l i e v e d t h a t f e e d b a c k i s n o t a l l o w e d i n a r e v e r s i b l e c i r c u i t [ 9 ] . T h i s i s t r u e i f w e c o n s i d e r f e e d b a c k

i n a s i m i l a r f a s h i o n a s i t i s d e a l t i n c l a s s i c a l i r r e v e r s i b l e l o g i c . T h e o b j e c t i o n a g a i n s t f e e d b a c k i s t w o f o l d . F i r s t l y ,

m e r g i n g o f t w o c o m p u t a t i o n a l p a t h s i s n o t a l l o w e d i n a r e v e r s i b l e c i r c u i t a n d s e c o n d l y , t i m e a x i s g o e s f r o m l e f t

t o r i g h t i n a r e v e r s i b l e c i r c u i t ( a s s h o w n i n F i g . 1 a ) . T h u s i f w e n e e d t o f o l l o w t h e s a m e n o t i o n o f t i m e a x i s

i n a r e v e r s i b l e s e q u e n t i a l c i r c u i t t h e n f e e d b a c k w i l l e s s e n t i a l l y m e a n a j o u r n e y i n n e g a t i v e t i m e a x i s o r e x i s t e n c e

o f t i m e m a c h i n e . T h i s i s a g a i n s t t h e n o t i o n o f p h y s i c a l r e a l i t y . B u t t h e s e s t r o n g o b j e c t i o n s a g a i n s t f e e d b a c k i n

r e v e r s i b l e c i r c u i t c a n b e c i r c u m v e n t e d b y e s t a b l i s h i n g t h e e q u i v a l e n c e b e t w e e n t h e c i r c u i t s i n F i g . 1 a a n d F i g . 1 b .

T o b e p r e c i s e , t h e f e e d b a c k l o o p s h o w n i n F i g . 1 b i s o n l y i n s p a c e n o t i n t i m e . T h e r e f o r e , t h e c i r c u i t i n F i g . 1 b

i s e q u i v a l e n t t o a c a s c a d e d c i r c u i t i n t i m e a x i s ( s e e F i g . 1 a ) . T h u s t h e u s u a l n o t i o n o f t i m e a x i s i s n o t v a l i d i n

r e v e r s i b l e s e q u e n t i a l c i r c u i t ( i . e . i n a c i r c u i t h a v i n g s p a t i a l f e e d b a c k l o o p s i m i l a r t o o n e s h o w n i n F i g . 1 b ) . F u r t h e r ,

s i n c e t h e c i r c u i t i n F i g . 1 b i s e q u i v a l e n t t o t h e c a s c a d e s h o w n i n F i g 1 a , t h e r e i s n o m e r g i n g o f c o m p u t a t i o n a l p a t h s

a n d c o n s e q u e n t l y t h e r e w o u l d n o t b e a n y l o s s o f e n e r g y p r o v i d e d U i s u n i t a r y . T h i s c o n c l u s i o n c o i n c i d e s w i t h t h e

T o o l i ' s i d e a [ 1 1 ] o f u n i t a r y t r a n s i t i o n f u n c t i o n . N o w i f w e f o l l o w , t h i s n o t i o n o f f e e d b a c k , t h e n t o e s t a b l i s h t h e

r e v e r s i b i l i t y o f t h e a r c h i t e c t u r e i t w o u l d b e s u c i e n t t o e s t a b l i s h t h e u n i t a r i t y o f U . H e r e w e w o u l d a l s o l i k e t o n o t e

t h a t i n t h i s r e s t r i c t e d n o t i o n o f s p a t i a l f e e d b a c k w e c a n n o t a l l o w a n y a r b i t r a r y f e e d b a c k l o o p . A n a l l o w e d l o o p h a s

t o b e r e d u c i b l e t o s t r u c t u r e s h o w n i n F i g . 1 b .

2 . 2 H o w t o d e s i g n t h e c i r c u i t

F i g u r e 2 : R e a l i z a t i o n o f c l a s s i c a l i r r e v e r s i b l e o p e r a t i o n s w i t h t h e h e l p o f r e v e r s i b l e g a t e s : a ) C O P Y g a t e , b ) A N D

g a t e , c ) N A N D g a t e , d ) O R g a t e , e ) N O R g a t e

I n t h e p r e v i o u s s u b s e c t i o n w e h a v e s h o w n t h a t i n o r d e r t o d e s i g n a r e v e r s i b l e s e q u e n t i a l c i r c u i t w e h a v e t o

d e s i g n U ( i n F i g . 1 b ) a s u n i t a r y . N o w i f w e k n o w t h e t r u t h t a b l e o f U a n d w i s h t o d e c o m p o s e U i n t e r m s o f

n i t e n u m b e r o f l o g i c g a t e s , w e c a n u s e o n e o f t h e t w o e x i s t i n g a p p r o a c h e s . I n t h e r s t a p p r o a c h , o n e d e s i g n s

r e v e r s i b l e g a t e s e q u i v a l e n t t o i r r e v e r s i b l e l o g i c g a t e s . F o r e x a m p l e , s e e F i g . 2 i n w h i c h t h e c l a s s i c a l i r r e v e r s i b l e

g a t e s l i k e N A N D , A N D , N O R e t c a r e r e p l a c e d b y c o r r e s p o n d i n g r e v e r s i b l e g a t e s f o r r e v e r s i b l e c i r c u i t , c o n s t r u c t e d

b y c o m b i n a t i o n o f N O T , C N O T a n d C C N O T g a t e s . I n t h i s a p p r o a c h a f t e r d e s i g n i n g t h e e q u i v a l e n t g a t e s o n e c a n

s u b s t i t u t e e a c h i r r e v e r s i b l e g a t e o f a c o n v e n t i o n a l c i r c u i t b y c o r r e s p o n d i n g e q u i v a l e n t r e v e r s i b l e g a t e s a n d o b t a i n

t h e r e q u i r e d r e v e r s i b l e c i r c u i t . T h i s s t r a i g h t f o r w a r d a p p r o a c h i s u s e d i n e a r l i e r w o r k s [ 1 3 - 1 9 ] b u t t h e a p p l i c a t i o n o f

t h i s a p p r o a c h i s l i m i t e d s i n c e i t r e q u i r e s a n e x i s t i n g r e v e r s i b l e c i r c u i t a n d i t c a n n o t g o b e y o n d t h e l i m i t s o f c l a s s i c a l

c o m p u t a t i o n . H e r e w e w o u l d l i k e t o n o t e t h a t a l l e a r l i e r e o r t s o f d e s i g n i n g s e q u e n t i a l r e v e r s i b l e c i r c u i t s [ 1 3 - 1 5 ]

w e r e l i m i t e d t o t h i s a p p r o a c h . F o r e x a m p l e , J . E . R i c e [ 1 4 ] h a s s u b s t i t u t e d N O R g a t e ( p r e s e n t i n a c o n v e n t i o n a l

i r r e v e r s i b l e c i r c u i t ) b y C C N O T a n d h a s u s e d F r e d k i n g a t e t o g e n e r a t e f a n o u t f r o m t h e c l o c k . H . T h a p i y a l [ 1 5 ] h a s

2



s u b s t i t u t e d N A N D g a t e b y N e w g a t e a n d A N D g a t e b y F r e d k i n g a t e . I n t h e s e c o n d a p p r o a c h o n e s t a r t s w i t h a t r u t h

t a b l e ( d e n i n g t h e d e s i r e d l o g i c ) a n d t h e g a t e l i b r a r y a n d t h e n t h e c o r r e s p o n d i n g r e v e r s i b l e c i r c u i t s a r e d e s i g n e d

b y t r a n s f o r m i n g t h e i n p u t s i n t o o u t p u t s . U n i d i r e c t i o n a l a n d b i d i r e c t i o n a l s y n t h e s i s a l g o r i t h m s [ 7 ] a r e e x a m p l e o f

t h i s a p p r o a c h . I n p r i n c i p l e w e h a v e f o l l o w e d t h i s a p p r o a c h , b u t i n s t e a d o f f o l l o w i n g a n e x i s t i n g s y n t h e s i s a l g o r i t h m

w e h a v e d e v e l o p e d t h e d e s i g n s b y u t i l i z i n g t h e l o g i c a l s y m m e t r y o f t h e t r u t h t a b l e . F o r e x a m p l e , a c a r e f u l l o o k o n

t h e t r u t h t a b l e o f c o n v e n t i o n a l S R i p o p t e l l s u s t h a t t h e r e i s a n u n s t a b l e c o n d i t i o n a n d a s Q i s c o m p l e m e n t o f

Q, s o b o t h o f t h e m c a n n e v e r t a k e s a m e v a l u e s . L e t u s c o n s i d e r t w o c a s e s : ( i ) w h e n c l o c k i s h i g h , a n d t h e l a s t s t a t e

i s i n S e t c o n d i t i o n a n d ( i i ) w h e n c l o c k i s h i g h a n d t h e l a s t s t a t e i s i n R e s e t c o n d i t i o n . N o w i f w e o p e r a t e t h e i p

o p i n S e t c o n d i t i o n ( i . e . S = 1 a n d R = 0 ) t h e n t h e s t a t e o b t a i n e d i n t h e o u t p u t i n b o t h o f t h e a b o v e c a s e s w i l l

b e Q+ = 1 a n d Q+

= 0. S i n c e w e o b t a i n s a m e r e s u l t f o r t w o d i e r e n t c a s e s , i t a l w a y s v i o l a t e s b i j e c t i v i t y . T h i s

p r o b l e m m a y a r i s e i n t h e c i r c u i t s d e s i g n e d b y t h e r s t a p p r o a c h a n d t h i s f a c t i s r e e c t e d i n t h e s t a t e t a b l e o f S R

l a t c h r e p o r t e d b y R i c e [ 1 4 ] . T h e t r u t h t a b l e p r o v i d e d b y R i c e ( s e e t a b l e V i n [ 1 4 ] ) i s n o t b i j e c t i v e a s i t g i v e s s a m e

o u t p u t ( 0 1 0 0 ) f o r t w o d i e r e n t i n p u t s ( 0 1 0 0 a n d 0 1 0 1 ) . F u r t h e r w e w o u l d l i k e t o n o t e t h a t n u m b e r o f f e e d b a c k

l o o p s p r e s e n t i n a n i r r e v e r s i b l e s e q u e n t i a l c i r c u i t c a n n o t b e r e d u c e d , i f w e a d h e r e t o t h e r s t a p p r o a c h .

2 . 3 G a t e l i b r a r y : W h i c h g a t e s s h o u l d b e u s e d f o r t h e s y n t h e s i s o f t h e r e v e r s i b l e

c i r c u i t ?

W h i c h e v e r s y n t h e s i s a l g o r i t h m w e f o l l o w , i t i s i m p o r t a n t t o d e n e a g a t e l i b r a r y . T h e d e n i t i o n o f t h e g a t e l i b r a r y

( i . e . g a t e s w h i c h a r e t h e m e m b e r o f t h a t l i b r a r y ) i s n o t w e l l d e n e d a n d t h e r e d o e s n o t e x i s t a n y s i n g l e c o n v e n t i o n .

T h e p h y s i c a l c o m p l e x i t y o f g a t e s m a y n o t b e s a m e i n t w o d i e r e n t i m p l e m e n t a t i o n o f q u a n t u m c i r c u i t s . F o r e x a m p l e ,

i t m a y b e e a s y t o b u i l d a n a r b i t r a r y g a t e ' A ' i n N M R t e c h n o l o g y b u t i t m a y n o t b e t h a t e a s y i n s u p e r c o n d u c t i v i t y

b a s e d t e c h n o l o g y . A N - q u b i t q u a n t u m g a t e i s r e p r e s e n t e d b y

2

N x

2

N u n i t a r y m a t r i x a n d p r o d u c t o f a n y a r b i t r a r y

n u m b e r o f u n i t a r y m a t r i c e s i s u n i t a r y . C o n s e q u e n t l y , i f w e p u t a s e t o f q u a n t u m g a t e s i n a b l a c k b o x t h e n a n u n i t a r y

m a t r i x w i l l r e p r e s e n t t h e b o x a n d o n e c a n t e c h n i c a l l y c o n s i d e r i t a s a N e w g a t e . I f w e a l l o w s u c h c o n s t r u c t i o n o f

n e w g a t e s t h e n a n y c i r c u i t b l o c k ( o f a r b i t r a r y s i z e ) c a n b e r e d u c e d t o a s i n g l e N e w g a t e , p r o v i d e d i t d o e s n o t c o n t a i n

a n y m e a s u r e m e n t o p e r a t i o n . T h u s i t i s s t r a i g h t f o r w a r d t o o b s e r v e t h a t t h e u s e o f N e w g a t e t o r e d u c e t h e g a t e c o u n t

( a s i t i s d o n e i n [ 1 5 - 1 9 ] ) i s a n a r t i f a c t . T o b e p r e c i s e , w e w o u l d l i k e t o m e n t i o n t h a t H . T h a p i y a l e t a l [ 1 5 - 1 8 ] h a s

i n t r o d u c e d N e w g a t e , T K S g a t e a n d T S G g a t e t o r e d u c e t h e g a t e c o m p l e x i t y o f s e v e r a l c i r c u i t s . S i m i l a r l y , H . M .

H a s a n B a b u ( s e e F i g . 7 i n [ 1 9 ] ) h a s i n t r o d u c e d a n o t h e r N e w g a t e t o r e d u c e t h e g a t e c o u n t o f a f u l l a d d e r c i r c u i t .

T h u s t h e g a t e c o u n t ( g a t e c o m p l e x i t y ) r e p o r t e d i n t h e s e w o r k s [ 1 5 - 1 8 ] a r e m i s l e a d i n g a n d c o n s e q u e n t l y w e n e e d a

l o g i c a l a p p r o a c h t o c o n s t r u c t a g a t e l i b r a r y w h i c h i n t u r n w i l l h e l p u s t o c o m p a r e m o r e t h a n o n e c i r c u i t d e s i g n s

p r o p o s e d f o r t h e s a m e p u r p o s e .

A l l t h e 1 q u b i t g a t e s ( s e t o f a l l p h a s e g a t e s ) a l o n g w i t h a n y t w o q u b i t g a t e f o r m s a n u n i v e r s a l s e t o f q u a n t u m

g a t e s . S i n c e C N O T i s a t w o q u b i t g a t e , w h i c h h a v e b e e n e x p e r i m e n t a l l y r e a l i z e d b y d i e r e n t g r o u p s b y u s i n g

d i e r e n t t e c h n i q u e s , i t s e e m s l o g i c a l t o c o n s t r u c t a g a t e l i b r a r y w h o s e e l e m e n t s a r e p h a s e g a t e s a n d C N O T i n c a s e

o f q u a n t u m c i r c u i t a n d C N O T s i n c a s e o f C l a s s i c a l r e v e r s i b l e c i r c u i t s . T h i s i s w h y w e h a v e c h o s e n a g a t e l i b r a r y

w h i c h c o n t a i n s N O T ( N ) , C N O T ( C ) a n d T o o l i ( T ) a s i t s e l e m e n t . T h i s p a r t i c u l a r c h o i c e o f g a t e l i b r a r y ( N C T )

i s n o t o n l y l o g i c a l b u t a l s o c o n s i s t e n t w i t h t h e e x i s t i n g a p p r o a c h e s [ 7 , 1 0 ] . S i n c e p h a s e g a t e s a n d C N O T f o r m s a

s e t o f u n i v e r s a l g a t e , w e c a n c o n s t r u c t T o o l i w i t h p h a s e g a t e s a n d C N O T a n d t h a t r e q u i r e s v e g a t e s . W e h a v e

u s e d t h e s e f a c t s t o c o m p a r e t h e g a t e c o m p l e x i t y o f o u r d e s i g n s o f s e q u e n t i a l c i r c u i t s w i t h t h e e x i s t i n g p r o p o s a l s .

T h e c o m p a r i s o n i s d o n e w i t h r e s p e c t t o t h e ( N C T ) g a t e l i b r a r y ( a s s h o w n i n T a b l e I ) a n d a l s o w i t h r e s p e c t t o t h e

u n i v e r s a l g a t e l i b r a r y , c o m p r i s i n g o f p h a s e g a t e s a n d C N O T ( a s s h o w n i n T a b l e I I ) .

2 . 4 W h y t h e o p t i m i z e d a r c h i t e c t u r e s a r e d i e r e n t ?

E v e n i f w e s t a r t w i t h t h e s a m e t r u t h t a b l e a n d s a m e g a t e l i b r a r y a n d u s e t h e s e c o n d a p p r o a c h o f s y n t h e s i s t h e n

a l s o d i e r e n t l o g i c a l p a t h s m a y l e a d t o d i e r e n t c i r c u i t s . W e h a v e f o l l o w e d t h r e e d i e r e n t l o g i c a l p a t h s a n d h a v e

o b t a i n e d t h r e e d i e r e n t a r c h i t e c t u r e s f o r e v e r y i p o p . A f t e r d e s i g n i n g a c i r c u i t w e n e e d t o o p t i m i z e i t b u t a n

e x a c t o p t i m i z a t i o n t e c h n i q u e ' s t i m e c o m p l e x i t y (τ ) i s [ 2 0 ]

τ = O

22nnlm

( 1 )

w h e r e , n i s t h e n u m b e r o f q u b i t l i n e p r e s e n t i n t h e c i r c u i t , m i s t h e t o t a l n u m b e r g a t e p r e s e n t i n t h e c i r c u i t a n d

l ≤ n, i s t h e n u m b e r o f q u b i t a s s o c i a t e d w i t h t h e l a r g e s t g a t e p r e s e n t i n t h e g a t e l i b r a r y . T h u s i n t h e p r e s e n t c a s e

w h e n t h e g a t e l i b r a r y i s ( N C T ) t h e n l = 3 a n d t h e t i m e c o m p l e x i t y o f e x a c t o p t i m i z a t i o n a l g o r i t h m i s

τ = O

22nn3m

. ( 2 )

T h i s i n c r e a s e s e x p o n e n t i a l l y w i t h n a n d m. I n o r d e r t o a v o i d t h i s e x p o n e n t i a l r i s e i n t i m e , c e r t a i n a p p r o x i m a t e

o p t i m i z a t i o n ( l o c a l o p t i m i z a t i o n ) a l g o r i t h m s ( e . g . b i - d i r e c t i o n a l a l g o r i t h m , t e m p l a t e m a t c h i n g a l g o r i t h m ) h a v e

3



b e e n d e s i g n e d a n d i n p r a c t i c e w e u s e t h e m . S i n c e t h e o p t i m i z a t i o n a l g o r i t h m i s a n a p p r o x i m a t e o n e , i t m a y l e a d t o

d i e r e n t c i r c u i t a r c h i t e c t u r e b u t t h e o r d e r o f g a t e c o m p l e x i t i e s h a v e t o b e t h e s a m e . T h i s f a c t i s c l e a r l y r e e c t e d

i n t h e T a b l e I a n d T a b l e I I g i v e n b e l o w .

3 P r o p o s e d s e q u e n t i a l c i r c u i t s

I t i s c l e a r f r o m t h e e a r l i e r a p p r o a c h e s o n r e v e r s i b l e c i r c u i t d e s i g n i n g t h a t t h e r e i s n o u n i q u e c i r c u i t f o r a p a r t i c u l a r

p u r p o s e a n d e v e n i f w e s t a r t w i t h t h e s a m e g a t e l i b r a r y d i e r e n t s y n t h e s i s t e c h n i q u e m a y y i e l d d i e r e n t c i r c u i t

a r c h i t e c t u r e . M o r e i m p o r t a n t l y , i f w e o b t a i n t w o d i e r e n t c i r c u i t a r c h i t e c t u r e s f o r t h e s a m e p u r p o s e ( w h i c h s a t i s e s

t h e s a m e t r u t h t a b l e ) b y u s i n g t w o d i e r e n t s y n t h e s i s t e c h n i q u e s a n d t h e n a p p l y s a m e a p p r o x i m a t e c i r c u i t o p t i -

m i z a t i o n a l g o r i t h m s ( e . g . t e m p l a t e m a t c h i n g a l g o r i t h m , u n i d i r e c t i o n a l a l g o r i t h m , b i - d i r e c t i o n a l a l g o r i t h m s e t c . ) o n

t h e m i t i s n o t e s s e n t i a l t h a t t h e n a l c i r c u i t w i l l b e s a m e . T h i s f a c t h a s b e e n r e e c t e d i n t h e a l t e r n a t i v e d e s i g n s

p r o p o s e d i n t h e p r e s e n t w o r k . I n a l l t h e c i r c u i t a r c h i t e c t u r e s p r o p o s e d i n t h e p r e s e n t w o r k w e h a v e u s e d T f o r

T o o l i ( C C N O T ) g a t e , F f o r F e y n m a n ( C N O T ) g a t e a n d N f o r N O T g a t e . T h e s u m o f T i , F i a n d N i g a t e s p r e s e n t

i n a c i r c u i t g i v e s u s t h e g a t e c o u n t o r t h e g a t e c o m p l e x i t y o f t h e c i r c u i t . H e r e w e h a v e u s e d a d i e r e n t a p p r o a c h

a n d ( N C T ) g a t e l i b r a r y t o d e s i g n r e v e r s i b l e m e m o r y e l e m e n t s / i p o p s . T o b e p r e c i s e w e h a v e o b t a i n e d t h r e e

c i r c u i t s f o r S R i p o p , J K i p o p , D i p o p , T i p o p , M a s t e r S l a v e D i p o p , a n d M a s t e r S l a v e J K i p o p .

H e r e D1 r e f e r s t o r s t f e e d b a c k b a s e d d e s i g n , D2 r e f e r s t o s e c o n d f e e d b a c k b a s e d d e s i g n a n d D3 r e f e r s t o d e s i g n

w i t h o u t f e e d b a c k w h i c h , m a i n l y u s e s r e f r e s h m e c h a n i s m e x c e p t i n T i p o p . W e h a v e i n c l u d e d a l l t h e c i r c u i t s i n

t h e p r e s e n t w o r k b e c a u s e o f t h e f a c t t h a t n o p a r t i c u l a r d e s i g n a p p e a r e d a s b e t t e r t h a n t h e o t h e r . T h i s f a c t c a n

b e s e e n c l e a r l y f r o m T a b l e I w h e r e w e c a n s e e t h a t t h e t h i r d d e s i g n i s b e s t t o c o n s t r u c t T i p o p b u t t h e r s t

d e s i g n i s b e t t e r a s f a r a s c o n s t r u c t i o n o f S R i p o p i s c o n c e r n e d a n d a l l t h r e e a p p r o a c h e s u s e d b y u s y i e l d b e t t e r

r e s u l t s c o m p a r e d t o e a r l i e r w o r k s w i t h r e s p e c t t o t h e m o s t l o g i c a l g a t e l i b r a r y ( N C T ) . T h e r e s u l t a n t r e v e r s i b l e i p

o p e l i m i n a t e s t h e u n s t a b l e c o n d i t i o n f o u n d i n S R i p o p a n d a l s o m i n i m i z e s t h e n u m b e r o f f e e d b a c k l o o p s i n t h e

J K i p o p a n d M a s t e r S l a v e J K i p o p . T h e l o g i c o f e a c h o f t h e c i r c u i t d e s i g n e d i s d i s c u s s e d i n t h e f o l l o w i n g

s u b s e c t i o n s .

3 . 1 S R F l i p F l o p

F i g u r e 3 : S R i p o p : a ) d e s i g n 1 u s i n g f e e d b a c k , b ) d e s i g n 2 u s i n g f e e d b a c k , c ) d e s i g n 3 u s i n g r e f r e s h m e c h a n i s m

S R i p o p o r S e t R e s e t i p o p f o r m s t h e b a s i c b u i l d i n g b l o c k o f c l a s s i c a l i p o p s . W h e n c l o c k i s h i g h i t g i v e s

o u t p u t s c o r r e s p o n d i n g t o i n p u t s , i . e . i f R = 1 , t h e n Q = 1 a n d i f S = 1 , t h e n Q = 1 . I f R = S = 0 t h e n i t h o l d s t h e

l a s t s t a t e a n d i f R = S = 1 t h e n i t i s u n s t a b l e . T h e r e v e r s i b l e S R i p o p d e s i g n e d s o f a r [ 1 3 - 1 5 ] h a v e s u b s t i t u t e d

A N D , N A N D a n d N O R g a t e s p r e s e n t i n c o n v e n t i o n a l d e s i g n b y t h e i r e q u i v a l e n t r e v e r s i b l e g a t e , b u t w e p r e s e n t a

d i e r e n t l o g i c t o o b t a i n s i m i l a r r e s u l t w i t h n o u n s t a b l e s t a t e . F i g . 3 s h o w s o u r d e s i g n s o f S R i p o p . W h e n c l o c k

i s h i g h a n d e i t h e r i n p u t s a r e h i g h t h e n i p o p i s S e t o r R e s e t b u t w h e n b o t h i n p u t s a r e h i g h o r l o w t h e n i t r e t a i n s

i t s l a s t s t a t e a l s o w h e n c l o c k i s l o w t h e n a l s o i t r e t a i n s i t s l a s t s t a t e .

4



I n F i g . 3 a , w h e n c l o c k i s h i g h , t h e n T 1 a n d T 2 w i l l c o m p a r e t h e i n p u t s . T h i s i m p l i e s t h a t (C.S ) ⊕ (C.R) = 1o n l y w h e n c l o c k ( C ) a n d o n e o f t h e i n p u t s ( i . e . e i t h e r S o r R) a r e h i g h . T h e r e q u i r e d o u t p u t s (Q+

a n d Q̄+)c o r r e s p o n d i n g t o t h i s p a r t i c u l a r s i t u a t i o n ( i . e . w h e n (C.S )⊕ (C.R) = 1 ) a r e o b t a i n e d f r o m t a r g e t b i t s o f T 3 a n d T 4r e s p e c t i v e l y . B u t t h e s i t u a t i o n i s d i e r e n t i f t h e r e s u l t i s l o w ( i . e . (C.S )⊕C.R) = 0) . T h i s h a p p e n s i n t h r e e c a s e s :

( i ) W h e n c l o c k i s l o w , ( i i ) w h e n c l o c k i s h i g h a n d b o t h t h e i n p u t s a r e l o w a n d ( i i i ) w h e n c l o c k i s h i g h a n d b o t h t h e

i n p u t s a r e h i g h . I f w e u s e a c o n v e n t i o n a l S R i p o p c i r c u i t m a d e o f N A N D \ N O R g a t e t h e n w e o b t a i n u n s t a b l e

s t a t e i n o u t p u t i n c a s e ( i i ) \ c a s e ( i i i ) a b o v e . H e r e w e w a n t t o g o b e y o n d t h e d o m a i n o f c l a s s i c a l i r r e v e r s i b l e c i r c u i t

a n d d e s i g n a r e v e r s i b l e S R i p o p c i r c u i t f r e e f r o m u n s t a b l e c o n d i t i o n . T o d o s o w e h a v e a d d e d a N O T g a t e ( o n

t h e s e c o n d q u b i t l i n e o f t h e o u t p u t o f T 4 ) w h i c h y i e l d s (C.S ) ⊕ (C.R). C o n s e q u e n t l y , t h e t a r g e t b i t s o f T 5 a n d T 6w i l l g i v e t h e o u t p u t w h i c h w i l l b e t h e l a s t s t a t e o r t h e p r e v i o u s s t a t e . H e r e w e h a v e d e s c r i b e d t h e l o g i c a l p a t h o f

t h e r s t d e s i g n ( i . e D1) i n d e t a i l b e c a u s e t h i s d e s i g n h a s l e s s n u m b e r o f g a t e s c o m p a r e d t o o t h e r t w o d e s i g n s ( D2a n d D3 ) o b t a i n e d b y u s b y u s i n g o t h e r l o g i c a l p a t h s . I n F i g . 3 b , D2 d e s i g n i s s h o w n w h i c h r s t c o p i e s t h e l a s t

s t a t e o f Q a n d Q i n 8th a n d 9th q u b i t l i n e s f r o m 4th a n d 6th q u b i t l i n e s a n d t h e n s e t s i t t o z e r o s o t h a t i t c a n s t o r e

n e w o u t p u t v a l u e s ( Q+a n d Q

+) . T h i s i m p l i e s t h a t w h e n e v e r w e n e e d t o c o m p a r e l a s t v a l u e s ( Q a n d Q ) w e c a n

o b t a i n i t f r o m 8th a n d 9th q u b i t l i n e s . I t f u r t h e r f o l l o w s s i m i l a r l o g i c a s i n D1 b u t h a s h i g h e r g a t e c o u n t . I n F i g .

3 c , D3 d e s i g n i s s i m i l a r t o D2 b u t o n l y d i e r e n c e i s t h a t i t d o e s n o t u s e s a n y f e e d b a c k , r a t h e r i t r e f r e s h e s t h e l a s t

t h r e e q u b i t l i n e s b e f o r e a n y o p e r a t i o n .

F i g u r e 4 : D i p o p : a ) d e s i g n 1 u s i n g f e e d b a c k , b ) d e s i g n 2 u s i n g f e e d b a c k , c ) d e s i g n 3 u s i n g r e f r e s h m e c h a n i s m

3 . 2 D F l i p F l o p

I n c o n v e n t i o n a l i r r e v e r s i b l e l o g i c , D i p o p i s b u i l t b y u s i n g a N O T g a t e b e t w e e n t h e t w o i n p u t s o f S R i p o p .

C o n s e q u e n t l y , o u t p u t Q f o l l o w s D w h e n c l o c k i s h i g h a n d i t s t o r e s t h e d a t a o t h e r w i s e . F i g . 4 a s h o w s r e v e r s i b l e

r e a l i z a t i o n s o f D i p o p b y u s i n g s i m i l a r i d e a . I n F i g . 4 b w h e n c l o c k i s h i g h , v a l u e o f Q i s c o p i e d i n 5th q u b i t l i n e

a n d t h u s t h e n e x t o p e r a t i o n ( i . e . Q⊕Q ) r e d u c e s t h e 3rd q u b i t t o z e r o a n d a f t e r i t c o p i e s D b y u s i n g t h e l a s t T o o l i

g a t e ( T 2 ) . B u t i f t h e c l o c k i s l o w t h e n t h e 3rd q u b i t ( Q) w i l l r e t a i n i t s l a s t v a l u e . I n F i g . 4 c f e e d b a c k i s a v o i d e d ,

t h u s t h e r e i s n o n e e d o f a n c i l l a b i t ( 5th q u b i t l i n e ) a n d t h e 4th q u b i t l i n e i s r e f r e s h e d a f t e r e v e r y o p e r a t i o n .

3 . 3 J K i p o p

F i g u r e 5 : J K i p o p : a ) d e s i g n 1 u s i n g f e e d b a c k a n d b ) d e s i g n 2 u s i n g f e e d b a c k

5



C l a s s i c a l l y J K i p o p i s b u i l t f r o m S R i p o p . T h e o u t p u t s o f S R i p o p a n d i n p u t s o f J K i p o p d r i v e s

S R b l o c k s u c h t h a t w h e n t h e l a s t s t a t e Q a n d J = 1 t h e n Q+ = 1 a n d w h e n l a s t s t a t e Q a n d K = 1 t h e n Q+

= 1.

I n c a s e o f s i m i l a r i n p u t s , J = K = 1 o u t p u t t o g g l e s a n d f o r J = K = 0 o u t p u t h o l d s t h e l a s t s t a t e . F i g . 5 s h o w s

J K i p o p b u i l t o n t h i s l o g i c . I n F i g . 5 a , T 1 a n d T 3 w i l l g i v e t h e v a l u e s o f J a n d K o n l y w h e n c l o c k i s h i g h . T h e

n e x t s t e p i s t o o b t a i n t h e v a l u e s o f S a n d R d e p e n d i n g u p o n v a l u e s o f J a n d K a n d f e e d b a c k v a l u e s o f Q a n d Q.

T h e r e s u l t i s o b t a i n e d f r o m t h e t a r g e t b i t s o f T 2 a n d T 4 r e s p e c t i v e l y . T h e r e s t i s S R b l o c k , i t s T 1 a n d T 2 i s r e d u c e d

h e r e t o C N O T g a t e s ( F 1 a n d F 2 ) . I n t h i s d e s i g n f e e d b a c k v a l u e s Q a n d Q a r e c o m p a r e d f o u r t i m e s i . e . f o u r g a t e s

(T 2, T 4, T 7 a n d T 8) u s e s f e e d b a c k v a l u e s a s c o n t r o l s b u t e x t e r n a l f e e d b a c k i s u s e d t w i c e . I n D3 w e h a v e r e m o v e d

t h e c o p y g a t e s f r o m F i g . 5 b a n d l a s t v e b i t l i n e s h a v e b e e n r e f r e s h e d t o i n i t i a l l y s e t v a l u e s .

3 . 4 T i p o p

F i g u r e 6 : T i p o p : a ) d e s i g n 1 u s i n g f e e d b a c k , b ) d e s i g n 2 u s i n g f e e d b a c k a n d c ) d e s i g n 3

A s t h e n a m e s u g g e s t s , t h i s i p o p c i r c u i t u s e d t o t o g g l e t h e o u t p u t w h e n i n p u t i s h i g h (1) a n d r e t a i n s t h e o u t p u t

w h e n i n p u t i s l o w (0), t h u s i t d o e s t w o o p e r a t i o n , i t e i t h e r h o l d s t h e l a s t s t a t e o r t o g g l e s t h e o u t p u t . E s s e n t i a l l y , i t

h a s a l o g i c a l s y m m e t r y w i t h C o n t r o l l e d N O T k i n d o f o p e r a t i o n . I n f a c t , i t c a n b e m a d e b y j o i n i n g J a n d K i n p u t s

f r o m J K i p o p . I n t h e r s t d e s i g n , w h i c h a p p e a r e d a s t h e b e s t a p p r o a c h f o r d e s i g n i n g S R i p o p , w e c a n a c h i e v e

t h e g o a l o f d e s i g n i n g J K i p o p s i m p l y b y a d d i n g a C N O T g a t e i n J K i p o p ( s e e F i g . 6 a ) . S i m i l a r o p e r a t i o n

c a n a l s o b e a c h i e v e d b y a n a l t e r n a t i v e l o g i c a l a p p r o a c h ( a s s h o w n i n F i g . 6 b ) b y u s i n g C C N O T a n d C N O T g a t e s .

H e r e a C N O T c o p i e s t h e o u t p u t a n d s e n d i t t o C C N O T , w h i c h o p e r a t e s w h e n c l o c k i s h i g h ( t o g g l e s ) a n d w h e n

c l o c k i s l o w t h e n i t r e t a i n s t h e l a s t s t a t e . A s f a r a s g a t e c o u n t i s c o n c e r n e d t h i s s e c o n d d e s i g n i s m u c h b e t t e r t h a n

t h e r s t o n e . B u t s t i l l i t h a s n o t b e e n s u c c e s s f u l l y e x p l o i t e d t h e l o g i c a l s y m m e t r y o f t h e T i p o p w i t h C o n t r o l l e d

N O T k i n d o f o p e r a t i o n . N o w , s i n c e a q u b i t l i n e c a n a l w a y s b e u s e d t o h o l d t h e l a s t s t a t e , t h u s w e c a n r e p r e s e n t

T i p o p b y a T o o l i g a t e ( a s i n F i g . 6 c ) . T h e r e f o r e , t o d e s i g n a r e v e r s i b l e T i p o p n e i t h e r f e e d b a c k n o r t h e

r e f r e s h m e n t m e c h a n i s m i s r e q u i r e d . T h i s h a s a s h a r p c o n t r a s t w i t h t h e c l a s s i c a l d e s i g n o f T i p o p .

3 . 5 M a s t e r S l a v e D i p o p a n d M a s t e r S l a v e J K i p o p

F i g u r e 7 : M a s t e r S l a v e D F l i p F l o p

M a s t e r S l a v e i p o p s a r e f o r m e d b y j o i n i n g t w o s i m i l a r b l o c k s . T h e f o r m e r b l o c k i s d r i v e n b y C l o c k (C ) a n d

l a t e r b l o c k b y i n v e r s e o f c l o c k (C ) . A p p a r e n t l y t h e s e c o n d b l o c k b e h a v e s a s S l a v e a n d f o l l o w s t h e M a s t e r , i . e t h e

r s t b l o c k . M a s t e r S l a v e D i p o p ( F i g . 7 ) i s m a d e b y j o i n i n g t w o D i p o p s w h e r e t h e l a t e r i s d r i v e n b y C .

M a s t e r b l o c k w i l l h a v e 1 0 g a t e s w h i l e S l a v e b l o c k w i l l h a v e 9 g a t e s s i n c e i t d o e s n o t r e q u i r e F 1 g a t e ( s e e F i g . 4 a )

a n d t h e r e w i l l b e a N O T g a t e t o o b t a i n C f r o m C . T h u s i t s g a t e c o u n t i n d e s i g n 1 o f M a s t e r S l a v e i p o p w i l l b e

2 0 . I n d e s i g n 2 a n d 3 , M a s t e r a n d S l a v e b l o c k w i l l b e s i m i l a r i n c o n s t r u c t i o n i . e . h a v e e q u a l n u m b e r o f g a t e s a n d

w i l l a l s o h a v e a N O T g a t e b e t w e e n t h e m . S i m i l a r l y M a s t e r S l a v e J K i p o p ( F i g . 8 ) i s m a d e b y a d d i n g t w o J K

6



F i g u r e 8 : M a s t e r S l a v e J K F l i p F l o p

b l o c k s a n d d r i v i n g t h e l a t e r b y C . T h e M a s t e r b l o c k b e h a v e s a s J K i p o p o f D1 a n d h a s 1 3 g a t e s , i t s o u t p u t a r e

g i v e n t o S l a v e b l o c k t h a t i s s i m i l a r t o t h a t o f S R b l o c k o f

D1a l o n g w i t h t w o C N O T g a t e s f o r f a n o u t a n d i n t o t a l

h a s 2 5 g a t e s .

4 C o m p a r i s o n

S i n c e t h e e a r l i e r d e s i g n s o f r e v e r s i b l e c i r c u i t s u s e d i e r e n t g a t e l i b r a r i e s . F o r t h e p u r p o s e o f c o m p a r i s o n o f c i r c u i t

c o m p l e x i t y o f o u r p r o p o s a l s w i t h t h e e x i s t i n g p r o p o s a l s w e h a v e f o l l o w e d t h e s t e p s g i v e n b e l o w s t e p s :

1 . A n e q u i v a l e n t c i r c u i t ( u s i n g N C T g a t e l i b r a r y ) i s c o n s t r u c t e d f o r e a c h n o n - N C T g a t e s u s e d b y P i c t o n [ 1 3 ] ,

R i c e [ 1 4 ] a n d T h a p i y a l [ 1 5 ] . T h i s h a s b e e n d o n e w i t h t h e h e l p o f u n i - d i r e c t i o n a l a l g o r i t h m a n d b i - d i r e c t i o n a l

a l g o r i t h m . N o r m a l l y i t i s f o u n d t h a t t h e b i - d i r e c t i o n a l a l g o r i t h m p r o v i d e s b e t t e r r e s u l t ( i . e . l e s s e r g a t e

c o m p l e x i t y ) .

2 . T h e e q u i v a l e n t c i r c u i t s c o n s t r u c t e d b y t h e a b o v e t e c h n i q u e s a r e t h e n o p t i m i z e d w i t h t h e h e l p o f t e m p l a t e

m a t c h i n g a l g o r i t h m , m o v i n g r u l e a n d d e l e t i o n r u l e [ 7 ] . F o r e x a m p l e , t h e N e w g a t e i n t r o d u c e d i n [ 1 9 ] r e q u i r e s

7 N C T - g a t e s , t h e N e w g a t e i n t r o d u c e d i n [ 1 6 ] r e q u i r e s 5 N C T - g a t e s a n d F r e d k i n g a t e r e q u i r e s 3 N C T - g a t e s .

3 . O n c e t h e o p t i m i z e d c i r c u i t s e q u i v a l e n t t o n o n - N C T g a t e s a r e o b t a i n e d , t h e y a r e r e p l a c e d i n t h e o r i g i n a l

c i r c u i t s o f T h a p i y a l , R i c e a n d P i c t o n . T h u s t h e e s s e n t i a l l o g i c r e m a i n e d s a m e .

4 . A f t e r o b t a i n i n g t h e N C T e q u i v a l e n t a n d l o g i c c o n s e r v i n g c i r c u i t s o f e a r l i e r p r o p o s a l s , t h e o p t i m i z a t i o n t e c h -

n i q u e s ( i . e . t e m p l a t e m a t c h i n g a l g o r i t h m , m o v i n g r u l e a n d d e l e t i o n r u l e ) a r e a p p l i e d o n c e a g a i n o n t h e w h o l e

c i r c u i t t o o b t a i n o p t i m i z e d , N C T e q u i v a l e n t a n d l o g i c c o n s e r v i n g c i r c u i t o f t h e e a r l i e r p r o p o s a l s . N u m b e r o f

N C T g a t e s p r e s e n t i n t h e s e c i r c u i t s i s c o u n t e d a n d t h i s c o u n t i s c o n s i d e r e d a s t h e c o m p l e x i t y o f t h e c i r c u i t .

F i n a l l y , w e h a v e c o m p a r e d t h e g a t e c o m p l e x i t y o f d i e r e n t d e s i g n s i n [ 1 4 , 1 5 ] w i t h t h e c o r r e s p o n d i n g p r o p o s a l s o f

t h e p r e s e n t w o r k ( s e e T a b l e I b e l o w ) a n d h a v e f o u n d t h a t t h e p r e s e n t p r o p o s a l s h a v e l o w e r g a t e c o m p l e x i t y a s w e l l

a s t h e l o w e r n u m b e r o f g a r b a g e o u t p u t c o m p a r e d t o t h e e a r l i e r p r o p o s a l s , w h i c h s a t i s e s a l l t h e r e q u i r e m e n t o f

b i j e c t i v i t y .

N o . o f G a t e s N o . o f G a r b a g e o u t p u t s

S R F / F

D F / F

J K F / F

T F / F

M S D F / F

M S J K F / F

R i c e T h a p i y a l D1 D2 D39 1 8 9 1 5 1 3

- 2 3 1 0 4 3

- 2 6 1 3 1 9 1 7

- 2 6 1 4 2 1

1 7 - 2 0 9 7

- 5 4 2 3 3 7 3 3

R i c e T h a p i y a l D1 D2 D37 8 6 6 6

- 8 6 3 3

- 1 2 1 0 1 0 1 0

- 1 2 1 0 2 2

1 2 - 1 1 5 5

- 2 1 1 5 1 8 1 8

T a b l e I : A c o m p a r i s o n t a b l e o f g a t e c o m p l e x i t y a n d g a r b a g e o u t p u t s r e p o r t e d i n [ 1 4 , 1 5 ] w i t h t h e p r e s e n t p r o -

p o s a l s . T h e c o m p a r i s o n i s d o n e w i t h r e s p e c t t o N C T g a t e l i b r a r y .

I t i s w e l l k n o w n t h a t t h e s e t o f a n y t w o q u b i t g a t e a n d a l l p o s s i b l e o n e q u b i t g a t e f o r m s a s e t o f u n i v e r s a l g a t e .

T h e l i b r a r y u s e d t i l l n o w i s n o t u n i v e r s a l a n d i t m a y b e t e m p t i n g t o s e e w h a t h a p p e n s i f o n e u s e s s u c h a g a t e

l i b r a r y . S i n c e t h e t w o c h o i c e o f t w o q u b i t g a t e i s n o t u n i q u e s o w e c a n h a v e m a n y s u c h u n i v e r s a l s e t , b u t f o l l o w i n g

t h e e a r l i e r l o g i c w e c a n c o n c l u d e t h a t t h e s e t o f C N O T a n d a l l o n e q u b i t o p e r a t i o n s ( o r C N O T a n d a P h a s e g a t e

7



i n g e n e r a l

3

) f o r m s t h e b e s t c h o i c e f o r t h e a l t e r n a t i v e g a t e l i b r a r y . I n s u c h c a s e g a t e c o m p l e x i t y o f a T o o l i g a t e

b e c o m e 5 a n d i f w e c o n s i d e r t h i s f a c t w h i l e c i r c u i t c o m p l e x i t i e s o f t h e c i r c u i t s d e s i g n e d s o f a r t h e n T a b l e I r e d u c e s

t o T a b l e I I b e l o w .

N o . o f G a t e s

S R F / F

D F / F

J K F / F

T F / F

M S D F / F

M S J K F / F

R i c e T h a p i y a l D1 D2 D32 9 3 2 3 3 3 9 3 7

- 5 5 3 4 1 2 1 1

- 5 8 4 5 5 1 4 9

- 5 8 4 6 6 5

5 3 - 6 8 1 9 1 7

- 1 2 6 7 9 9 3 8 9

T a b l e I I : A c o m p a r i s o n t a b l e o f g a t e c o m p l e x i t y r e p o r t e d i n [ 1 4 , 1 5 ] w i t h t h e p r e s e n t p r o p o s a l s . T h e c o m p a r i s o n

i s d o n e w i t h r e s p e c t t o a n u n i v e r s a l g a t e l i b r a r y w h i c h c o n t a i n s a l l o n e q u b i t g a t e s ( a l l p h a s e g a t e s ) a n d C N O T a s

i t s e l e m e n t . H e r e w e c o u n t c o m p l e x i t y o f C C N O T g a t e a s 5 .

I t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t t h e a d v a n t a g e s o f o u r d e s i g n o v e r t h e e a r l i e r p r o p o s a l s a n d a l l o t h e r c o n c l u s i o n s

r e m a i n e d s a m e . T h i s a p p r o a c h o f c o u n t i n g c i r c u i t c o m p l e x i t y b y c o n s i d e r i n g c o m p l e x i t y o f T o o l i a s 5 i s c o n s i s t e n t

w i t h t h e e a r l i e r w o r k s [ 7 ] .

5 C o n c l u s i o n s

I n s e c t i o n 2 o f t h e p r e s e n t w o r k , w e h a v e a d d r e s s e d t h e c o n c e p t u a l i s s u e s r e l a t e d t o t h e d e s i g n i n g a n d o p t i m i z a t i o n

o f r e v e r s i b l e c i r c u i t s i n g e n e r a l w i t h a s p e c i a l a t t e n t i o n t o w a r d s t h e i s s u e s r e l a t e d t o t h e d e s i g n i n g o f r e v e r s i b l e

s e q u e n t i a l c i r c u i t s . I n t h i s s e c t i o n w e h a v e s h o w n t h a t i t i s r e q u i r e d t o d e n e a n a c c e p t a b l e g a t e l i b r a r y a n d a g o o d

c h o i c e f o r t h a t c a n b e N C T g a t e l i b r a r y . F u r t h e r , i t h a s b e e n s h o w n t h a t t h e a d v a n t a g e i n g a t e c o u n t o b t a i n e d i n

s o m e o f t h e e a r l i e r p r o p o s a l s b y i n t r o d u c t i o n o f N e w g a t e s o r u n c o n v e n t i o n a l g a t e s ( s u c h a s T S G a n d T K S g a t e s )

i s a n a r t i f a c t a n d i f i t i s a l l o w e d t h e n e v e r y c i r c u i t b l o c k ( u n l e s s t h e r e i s a m e a s u r e m e n t ) c a n b e r e d u c e d t o a

s i n g l e g a t e . T h e i m p o r t a n t c o n c l u s i o n s o f s e c t i o n 2 h a v e b e e n u s e d i n t h e n e x t s e c t i o n t o d e s i g n l o c a l l y o p t i m i z e d

r e v e r s i b l e c i r c u i t s f o r S R i p o p , J K i p o p , D i p o p , T i p o p , M a s t e r S l a v e D i p o p a n d M a s t e r S l a v e J K

i p o p . I n s e c t i o n 4 w e h a v e s e e n t h a t o u r d e s i g n s n o t o n l y o v e r c o m e t h e u n s t a b l e c o n d i t i o n i . e . i t a l w a y s h o l d s

t h e l a s t s t a t e w h e n i n p u t s a r e s i m i l a r b u t a l s o u s e s l e s s e r n u m b e r f e e d b a c k l o o p s ( i . e . o n l y 2 f e e d b a c k l o o p s a g a i n s t

4 i n c o n v e n t i o n a l J K i p o p ) . I n t h e t h i r d d e s i g n f e e d b a c k l o o p s a r e r e p l a c e d b y a p p l i c a t i o n o f r e f r e s h m e c h a n i s m

o n s o m e q u b i t l i n e s w h i c h c a n a l s o b e r e d u c e d ( i n S R i p o p i t c a n b e m i n i m i z e d t o 1 r e f r e s h o p e r a t i o n o n q u b i t

l i n e ) b u t i t l e a d s t o i n c r e a s e o f g a t e c o u n t a n d c o n s e q u e n t l y i t h a s b e e n a v o i d e d i n t h e p r e s e n t w o r k . F r o m t h e

c o m p a r i s o n t a b l e s ( T a b l e I a n d T a b l e I I ) , i t i s c l e a r t h a t t h e n o n e o f t h e e a r l i e r p r o p o s a l s h a v e l e s s e r g a t e c o m p l e x i t y

a n d l e s s e r n u m b e r o f g a r b a g e b i t s c o m p a r e d t o t h e p r e s e n t p r o p o s a l s .

T h e s e q u e n t i a l c i r c u i t s d e s c r i b e d h e r e u s e s o n l y N C T g a t e s a n d t h e r e e x i s t s e v e r a l p r o p o s a l s f o r r e a l i z a t i o n o f

C N O T a n d C C N O T g a t e s u s i n g C M O S b a s e d t e c h n o l o g y [ 9 - 1 0 ] . T h u s i t i s t e c h n i c a l l y p o s s i b l e t o c o n s t r u c t t h e

p r o p o s e d r e v e r s i b l e s e q u e n t i a l c i r c u i t s w i t h t h e h e l p o f c o n v e n t i o n a l C M O S b a s e d t e c h n o l o g y . C o n s e q u e n t l y , w e

c a n e a s i l y b u i l d c l a s s i c a l r e v e r s i b l e m e m o r y e l e m e n t . B u t t h e i m p l e m e n t a t i o n o f t h e p r e s e n t w o r k i s n o t l i m i t e d t o

c l a s s i c a l d o m a i n , t h i s i s b e c a u s e o f t h e f a c t t h a t w e c a n a l s o i m p l e m e n t t h e p r o p o s e d c i r c u i t s i n q u a n t u m d o m a i n

w i t h t h e h e l p o f N M R o r q u a n t u m d o t o r o p t i c a l i m p l e m e n t a t i o n [ 6 ] . I f o n e a i m s t o p r o v i d e o p t i m i z e d r e v e r s i b l e

c i r c u i t s f o r a l l t h e u s e f u l c o m p o n e n t o f a c l a s s i c a l c o m p u t e r a n d t h e n t h i s w o r k a l o n g w i t h t h e p r o p o s a l o f [ 1 0 ] w i l l

h e l p h i m t o p r o v i d e a c o m p l e t e a r c h i t e c t u r e f o r a c l a s s i c a l r e v e r s i b l e c o m p u t e r . S i n c e i t w i l l b e f r e e f r o m t h e p r o b l e m

o f d e c o h e r e n c e a n d s c a l a b i l i t y i t s e e m s m o r e p r a c t i c a l a n d e a s y t o b u i l t t h a n a r e a l s c a l a b l e q u a n t u m c o m p u t e r .

A c k n o w l e d g e m e n t : A . P . t h a n k s , D e p a r t m e n t o f S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y , I n d i a , f o r t h e p a r t i a l n a n c i a l

s u p p o r t p r o v i d e d t h r o u g h t h e p r o j e c t n o . S R \ F T P \ P S - 1 3 \ 2 0 0 4 .

3

R e m e m b e r t h a t n o w t h e n u m b e r o f e l e m e n t i n t h e s e t i s i n n i t e a n d c o n s e q u e n t l y i t i s i m p o s s i b l e t o d e s i g n a p o l y n o m i a l t i m e

a l g o r i t h m w h i c h c a n d e t e r m i n i s t i c a l l y o p t i m i z e a q u a n t u m c i r c u i t . W h a t e v e r b e o u r c h o i c e o f g a t e l i b r a r y , u n l e s s t h e c h o i c e o f g a t e

i s r e s t r i c t e d t o a s u b s e t o f t h e u n i v e r s a l s e t w e c a n n o t c i r c u m v e n t t h e p r o b l e m a s s o c i a t e d . I n t h a t s e n s e n i t e l i b r a r i e s l i k e ( N C T ) o r

( N C T a n d H a d a m a r d ) a r e g o o d c h o i c e s .

8

on the synthesis of sequential reversible circuit

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