Ôn thi thpt quốc gia môn toán bài tập về phương trình lượng giác

-Tài liệu ôn tập phương trình lượng giác-KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I.CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC1.CÔNG THỨC CỘNG 2.CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI

cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb cos2a = cos2a – sin2acos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb = 2cos2a –1

sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb = 1 – 2sin2a sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb sin2a = 2.sina.cosa tan(a + b) = tan2a = tan(a - b) =

3.CÔNG THỨC HẠ BẬC cos2a =

sin2a =

4.CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCHcosa + cosb = 2.cos .cos

cosa - cosb = -2.sin .sin sina + sinb = 2.sin .cos

sina - sinb = 2.cos .sin

5.CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNGcosa.cosb = [cos(a – b) + cos(a + b)]sina.sinb = [cos(a – b) - cos(a + b)]

6.BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT

x

rad

- - - - - - - - 0

độ

-180o

-150

o

-135

o

-120o

-90o

-60o

-45o

-30o 0 30

o45

o60

o90

o120o

135o

150o

180o

sin 0 - - - -1 - - - 0 1 0

cos -1 - - - 0 1 0 - - - -1

1

-Tài liệu ôn tập phương trình lượng giác-tan 0 1 || - -1 - 0 1 || - -1 - 0

cot || 1 0 - -1 - || 1 0 - -1 - ||

II.CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 1.Phương trình sinx=a.( -1 a 1)

sinx = a ; k Z +sinx = sin ; k Z ( a = sin)

sinx = 0 x = k; k Z sinx = 1 x = + k2; k Z sinx = -1 x = -+ k2; k Z2.Phương trình cosx=a.( -1 a 1)

cosx = a ; k Z +cosx = cos ; k Z ( a = cos)

cosx = 0 x = + k; k Z cosx = 1 x = k2; k Z cosx = -1 x = + k2; k Z3.Phương trình tanx=a.

TXĐ:

+ +

4.Phương trình cotx=a. TXĐ: + +

III.CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP.1.Phương trình a.sinx+bcosx=c ( )

đặt:

2

-Tài liệu ôn tập phương trình lượng giác-

phương trình trở thành:

*Chú ý +Phương trình có nghiệm khi

+Nếu thì:

2.Phương trình : (1) +Nếu a = 0:

+Nếu c = 0:

+Nếu :

BÀI TẬP.

Bài 1.Giải các phương trình:

a) b)

c) d) Giải.

a)

b)

c)

sin = 1

d)

sinx ( 2 cosx – sinx ) = 0

Bài 2.Giải các phương trình:

a)

3


b)

c)

sin = - 1

d)

e.

f.

g.

4

-Tài liệu ôn tập phương trình lượng giác- h.

i.

Bài 3.Giải các phương trình: a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. Bài 4.Giải các phương trình: a. b. c. d. e. f. Bài 5. Giaûi caùc phöông trình sau :a) b)

c) d) Baøi giaûi :a)

b)

c)

Sin = 1

d)

sinx ( 2 cosx – sinx ) = 0

5


Bài 6. giaûi phöông trìnhlöôïng giaùc :a)

b)

c) Sin = - 1

d)

Bài 7. Giải các phương trình sau: a. b. c. d.

a)

b)

c)

d)


a)

b)

c)

6


d)


a)

b)

c)

d)

Bài 10. Giải Phương trình a. b. c. cos2x + sinx +1=0

a/

b

c.

Bài 11. Giải các pt. a. b.sin2x +3sinx cosx -5 cos2x= 0 c.2 cos2x -3cosx +1 =0 Đáp án

7


a

b =>

=> =>

c.

Bài 12. a. Giải các Phương trình sau:

b.sin2x +3sinx cosx -5 cos2x= 0

a/

b/

=>

Bài 13. Giải các phương trình sau

a. b. c.

Đs a. b. x=k3600 c.

Bài 13. Giải Phương trình

a. tan(x +200) = b. sinx + sin2x = cosx + cos3x

c.4sin2x -5sinx cosx -6 cos2x= 0 ĐS.a. x=100 +k1800

b. c.

8

-Tài liệu ôn tập phương trình lượng giác-Bài 14. Giải Phương trình a. b.

1a)

1b)

Bài 15. Giải pt: a. b.sin(2x + ) = -

Đáp án : a.

b.

Bài 16. Giải pt: a. b.cos(2x + ) = - c. 2

Đáp án : a.

b.

c.

h.

Phương trình asinx + bcosx = c9


Bài 1.

Bài 2.

,

Bài 3.

Bài 4. (1)

Điều kiện:

Bài 5. (*)

Điều kiện:

10


C2

Bài 6.

Bài 7.

Bài 8.

Bài 9.

11


Bài 10.

Ta có:

Đặt:

Phương trình trở thành:

loại

Bài 11.

12


Bài 12. (*) Điều kiện:

Vậy,phương trình có nghiệm:

Bài 13.

Bài 14.

Bài 15. (*) Điều kiện:

13


Vậy,phương trình có nghiệm là:

Bài 16.

Vậy,phương trình có nghiệm là:

Bài 17.

Bài 18.

14


Bài 19.Cho phương trình: (*)a.Tìm m sao cho phương trình có nghiệm.b.Giải phương trình khi m = -1.Giải.

a. (*)có nghiệm khi:

b.Khi m = -1 phương trình trở thành:

Bài 20. Cho phương trình: (*)

a.Giải phương trình khi

b.Tìm để phương trình (*) có nghiệmGiải.

Ta có:

(**)

a. khi phương trình trở thành:

15


b.Phương trình có nghiệm khi:

Bài 21.Giải các phương trình:a. b.

c. d.

e. f.

g. h.

i. j.

k. l.

m. n.

p. q.


a.Giải phương trình khi m = 1 b.Tìm để phương trình (*) có nghiệmBài 23. Cho phương trình: (*) a.Giải phương trình khi b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm


a.Giải phương trình khi

b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm.

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Bài 1. (1)

Điều kiện:

16


Ta có:

Bài 2.

(*)Cách 1:

Cách 2:

Cách 3:

Cách 4:

Bài 3.

Bài 4. (1)

Điều kiện:

17


Bài 5. (*)

Điều kiện:

Bài 6. (*)

Điều kiện:

18


Đối chiếu điều kiện phương trình có nghiệm:

Bài 7.

Bài 8.

Bài 9.

19


Bài 10. (1)Điều kiện:

Đặt: phương trình trở thành:


Bài 11. (*)

Điều kiện:


Bài 12.

20


Bài 13. (*)

Bài 14. (*)

Ta thấy:

Thay vào phương trình (*) ta được:

không thỏa mãn với mọi k

Do đó không là nghiệm của phương trình nên:

21


Vậy,phương trình có nghiệm: ,

Bài 15. (1)

Điều kiện:

Ta có:


Bài 16.

Đặt: phương trình trở thành:


Bài 17. (1)

22


Điều kiện:

C2: Đặt:

Bài 18. (1)

Điều kiện:


Bài 19. (*)

Điều kiện:

Ta có:

23



Bài 20.

MỘT SỐ KĨ NĂNG KẾT HỢP NGHIỆM VÀ ĐIỀU KIỆN TRONG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN

I. CÁC PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP NGHIỆM VỚI ĐIỀU KIỆN PHỔ BIẾN:1. Biểu diễn nghiệm (của phương trình hệ quả) và điều kiện (của phương trình ban đầu) qua cùng một hàm số lượng giác: 1.1 Kiến thức cơ sở:

24

-Tài liệu ôn tập phương trình lượng giác-Trong phần này cần sử dụng tốt các công thức sau:

Công thức nhân đôi

Công thức hạ bậc

Các hằng đẳng thức cơ bản của lượng giác

Từ đó ta có các kết quả cần chú ý sau

;

;

;

1.2 Một số ví dụ minh hoạ:Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2010, khối A)

Giải phương trình

Lời giải:

Điều kiện:

Khi đó

(do )

25


Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2006, khối B)


Lời giải: Điều kiện

Ta có

Ví dụ 3: Giải phương trình

Lời giải:

26


Điều kiện

Khi đó

Đối chiếu với điều kiện ta được

Vậy phương trình có nghiệm là


Lời giải:

Điều kiện

Nhận thấy , do đó phương trình đã cho trở thành

27


Đối chiếu điều kiện ta được


Lời giải: Điều kiện . Khi đó phương trình đã cho trở thành

Đối chiếu điều kiện ta được

Các bài tập tương tự

1/ ;2/ (2003_A);

3/ (2003_B); 4/ (2003_D);

5/ (2004_B).

2. Thử trực tiếp và xét mệnh đề đối lập 2.1 Kiến thức cơ sở

+ Các nhận xét về tính chu kì của hàm số lượng giác.

; ;

;

+ Các công thức về giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt.

2.2 Một số ví dụ minh hoạVí dụ 1: Giải phương trình


Khi đó phương trình đã cho trở thành

28


Với thì

Với thì

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ, 2011, khối A)




Giả sử , khi đó (vô lí)

Do đó phương trình tương đương với

Vậy phương trình có nghiệm là



Khi đó

29


thoả mãn điều kiện, do đó ta được

Tiếp theo giả sử , thay vào (2) ta được (vô lí)

Tức là các nghiệm của (2) đều thoả mãn điều kiện.

Giải (2) ta được ,

(với )

Vậy phương trình có nghiệm



Khi đó

Giả sử , thay vào (*) ta được (vô lí)

Tức là các nghiệm của (*) đều thoả mãn điều kiện.

Giải (*) ta được


30



phương trình tương đương với

+ Đối chiếu điều kiện (1)

Giả sử

Do nên

Lại do nên

Từ đó . Suy ra với thoả mãn phương trình

+ Đối chiếu điều kiện (2)

Giả sử

Ta thấy vế trái của (3) chẵn, vế phải của (3) lẻ nên không tồn tại thoả mãn (3).

Từ đó suy ra điều kiên (2) luôn được thoả mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là


1/ ; 2/ ;

3/ 4/

5/

3. Biểu diễn trên đường tròn lượng giác (ĐTLG) 3.1 Kiến thức cơ sở

+ Mỗi cung (hoặc góc) lượng giác được biểu diễn bởi một điểm trên ĐTLG

được biểu diễn bởi một điểm trên ĐTLG;

được biểu diễn trên ĐTLG bởi 2 điểm đối xứng nhau qua O;31


được biểu diễn trên ĐTLG bởi 3 điểm cách đều nhau, tạo thành 3 đỉnh một

tam giác đều nội tiếp ĐTLG;

được biểu diễn trên ĐTLG bởi n điểm cách đều nhau, tạo thành n đỉnh một đa

giác đều nội tiếp ĐTLG.

+ Ta biểu diễn trên ĐTLG những điểm không thoả mãn điều kiện (đánh dấu “x”) và những điểm nghiệm tìm được (đánh dấu “o”). Những điểm đánh dấu “o” mà không trùng với những điểm đánh dấu “x” chính là những điểm thoả mãn điều kiện.

3.2 Một số ví dụ minh hoạVí dụ 1: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2011, khối D)



Khi đó phươngtrình đã cho trở thành

Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2006, khối A)




32

Kết hợp với điều kiện trên đường tròn lượng giác (như

hình bên) ta được nghiệm của phương trình là

3

2

22

3

3

O

y

x




Khi đó

Kết hợp với điều kiện trên đường tròn lượng giác .Ta được nghiệm của phương trình là .


1/ ; 2/ ;

3/ ;

4/ ;

5/ (Tuyển sinh ĐH – CĐ 2009, khối A).

33

o

y

x

43

4

54

Kết hợp với điều kiện trên đường tròn lượng giác ta được nghiệm của phương trình là

O x

2

y

2

3

3

23

43


PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC 2002 - 2011

Baøi 1: [ĐH A02] Tìm :

Baøi 2: [ĐH B02] Baøi 3: [ĐH D02] Tìm :

Baøi 4: [Dự bị 1 ĐH02] Xác định m để phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm thuộc

Baøi 5: [Dự bị 2 ĐH02]



Baøi 8: [Dự bị 5 ĐH02] Cho phương trình :

a) Giải phương trình với b) Tìm a để phương trình trên có nghiệm.


Baøi 10: [ĐH A03]

Baøi 11: [ĐH B03]

Baøi 12: [ĐH D03]

Baøi 13: [Dự bị 1 ĐH A03]

Baøi 14: [Dự bị 2 ĐH A03] Baøi 15: [Dự bị 1 ĐH B03]

Baøi 16: [Dự bị 2 ĐH B03]

Baøi 17: [Dự bị 1 ĐH D03]


Baøi 19: [ĐH B04] Baøi 20: [ĐH D04] Baøi 21: [Dự bị 1 ĐH A04] Baøi 22: [Dự bị 2 ĐH A04] Baøi 23: [Dự bị 1 ĐH B04]

34





Baøi 27: [ĐH A05] Baøi 28: [ĐH B05]

Baøi 29: [ĐH D05]

Baøi 30: [Dự bị 1 ĐH A05] Tìm






Baøi 36: [ĐH A06]

Baøi 37: [ĐH B06]

Baøi 38: [ĐH D06]




Baøi 42: [Dự bị 2 ĐH B06] Baøi 43: [Dự bị 1 ĐH D06] Baøi 44: [Dự bị 2 ĐH D06] Baøi 45: [ĐH A07] Baøi 46: [ĐH B07]

Baøi 47: [ĐH D07]



35






Baøi 54: [ĐH A08]

Baøi 55: [ĐH B08] Baøi 56: [ĐH D08] Baøi 57: [CĐ 08] Baøi 58: [Dự bị 1 ĐH A08]






Baøi 64: [ĐH A09] (1 2sin x)cos x 3

(1 2sin x)(1 sin x)

Baøi 65: [ĐH B09] Baøi 66: [ĐH D09] Baøi 67: [CĐ 09]

Baøi 68: [ĐH A10]

Baøi 69: [ĐH B10] Baøi 70: [ĐH D10]

Baøi 71: [ĐH A11]

Baøi 72: [DB A11] Baøi 73: [ĐH B11]

Baøi 74: [ĐH D11]

Baøi 75: [DB D11] --------------------------------------------------------------------------------

36

-Tài liệu ôn tập phương trình lượng giác-HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2009

Bài Hướng dẫn giải Kết qủa1

A.2002 Tìm : (1)

Điều kiện :

(1)

Vì Nên nghiệm của phương trình :

2B.2002

3D.2002

Tìm : (1)Ta có : (1) Vì

4DB 12002

Xác định m để phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm thuộc

: (1)

(1)

(2) với

Ta có :

Bài toán thành : Xác định m để phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm thuộc đoạn (2)

37

1

o1


Đặt

Số nghiệm của (2) là số giao điểm của d và (P)

Khảo sát hàm số :

BBT

Phương trình (2) có ít nhất một nghiện trên đoạn

5DB 22002

(1)

Điều kiện :

(1)

6DB 32002

(1)

Điều kiện : (1)

7

DB 42002

(1)

Điều kiện :

38


Ta có :

(1)

8DB 52002

Cho phương trình :

a) Giải phương trình với

b) Tìm a để phương trình trên có nghiệm.Giải.

a)Với , phương trình thành : (1)

vì :

(1)

b)

(2)Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm :

9DB 62002

(1)

Điều kiện :

(1)

Vì :

;

10A2003 (1)

Điều kiện :

39


(1)

*

*

( vô nghiệm ) 11

B2003 (1)

Điều kiện :

(1)

12D2003 (1)

Điều kiện :

(1)So với điều kiện :

Nghiệm của (1) :

40

-Tài liệu ôn tập phương trình lượng giác-13

DB 1A2003

Điều kiện :

14DB 2

A2003 Điều kiện :

15DB 1

B2003

* ;

*

16DB 2

B2003

(1)

Vì :

Nên nghiệm của phương trình :

41


Điều kiện :

(1)

17DB 1

D2003 (1)

Điều kiện :

(1)

18DB 2

D2003

(1)

Điều kiện :

(1)

19B2004

Điều kiện :

42


D2004

21DB 1

A2004

22DB 2

A2004

(1) TXĐ : Chú ý : ; (1)

(2)

Đặt : ; ,khi đó :

(3) ( nhận xét và suy ra : )

(3)

23DB 1

B2004

43


24DB 2

B2004 Điều kiện :

(1)

25DB 1

D2004

26DB 2

D2004

(1)Đặt với

(1)

Với

44


A2005

28B2005

29D2005

30DB 1

A2005Tìm của :

(chia 2 vế cho 2)

Vì

45


Vì

31DB 2

A2005

32DB1

B2005

33DB 2

B2005 (1)

Điều kiện :

(1)

34DB 1

D2005 (1) Điều kiện :

(1)

35DB 2

D2005

Chú ý : (1) là phương trình bậc 2 với biến Ta có :

Nghiệm của (1) :

46


36A2006 (1) điều kiện :

(1)

vì :

Nghiệm của (1)

37B2006 (1)

Điều kiện : Ta có :

(1)

38D2006

39DB 1

A2006 (1)

Ta có

(1)

47


40DB 2

A2006

41DB 1

B2006

(1) điều kiện :

(1)

42DB 2

B2006

;

48


DB 1D2006

44DB 2

D2006

45A2007

46B2007

47D2007

49


48DB 1

A2007


(1)

49DB 2

A2007

50DB 1

B2007

50


51DB 2

B2007


(1)

52DB1

D2007

53DB1

D2007


(1)

51


A2008 (1)

Điều kiện : và

(1)

Chú ý :

(1)

55B2008

56D2008

57CĐ

2008

52


DB 1A2008


(1)

59DB 2

A2008

60DB 1

B2008

61DB 2

B2008

53


62DB 1

D2008

63DB 2

D2008 (1) điều kiện :

(1)

64A2009

(1 2sin x)cos x 3(1 2sin x)(1 sin x)


(1)

;

54


65B2009

66D2009

67CĐ

2009

55

Ôn thi thpt quốc gia môn toán bài tập về phương trình lượng giác

Education