2-3_ONDEONDA Il concetto di onda, assieme a quello di particella, è fondamentale
nella descrizione classica del mondo fisico. Una qualsiasi perturbazione (originata da una
sorgente), impulsiva o periodica, che si propaga con velocità v, trasportando energia
senza che vi sia trasporto effettivo di materia.
Le onde meccaniche (per es. onde del mare, in una corda, suono) hanno bisogno di un mezzo materiale per
propagarsi, le onde elettromagnetiche (oscillazioni di campi elettrici
e magnetici) no.
• Fenomeni molto diversi tra loro, quali le onde del mare, il suono, la luce, i segnali radio, i terremoti, la “ola” allo stadio … hanno in comune la caratteristica di essere onde.
• Le proprietà che si possono dedurre a partire dall’esempio concreto di un’onda meccanica che si propaga in una corda sono generali, riguardano cioè le onde di ogni genere, e possono essere descritte matematicamente in modo analogo
x
y
x
y
Funzione y = f(x) che ne descrive graficamente la forma: x
y
per esempio f (x) = 1 1+ x2
Come descrivere matematicamente il fatto che la perturbazione si sposta verso destra lungo la corda?
v
y
x
d
x
2d
f(x) descrive la forma dell’onda fotografata all’istante t = 0
f(x’), x’ = x - d descrive la stessa forma fotografata all’istante t = 1 spostata di una distanza d verso destra
Posto d = v, f(x-vt) descrive la stessa forma in moto verso destra con velocità v f(x+vt) descrive la stessa forma in moto verso sinistra con velocità -v
Funzione d’onda Una espressione matematica del tipo
y(x,t) = f(x – vt)
descrivere una “forma” f - uno stato fisico - che si muove - “si propaga” - senza deformazione lungo l’asse x nel verso positivo
Può rappresentare una grande varietà di grandezze fisiche (deformazione in un solido, pressione in un gas, campo elettrico o magnetico …)
Onde periodiche Gli esempi più rilevanti di onde non sono costituiti da brevi impulsi, ma consistono di onde periodiche (il disegno dell’onda si ripete molte volte senza cambiare):
λ
Periodo T = tempo necessario perchè una lunghezza d’onda passi per un dato punto ma anche: tempo necessario perchè un punto x compia un’oscillazione completa
Se l’onda viaggia con velocità v: λ = vT
Frequenza f = 1 / T è f λ = v
Lunghezza d’onda λ = distanza tra due creste successive punti “in fase”
x
y
λ
Relazione fra lunghezza d’onda λ e frequenza f: per misurare la frequenza dell’onda, conto quante creste d’onda passano in 1 s per un determinato punto:
In 1 secondo passano v metri di onda. Se li dividiamo per la lunghezza d’onda λ otteniamo il numero di creste che passano in un secondo, cioè la frequenza. Quindi la relazione tra frequenza e lunghezza d’onda è :
f = v λ
Onde armoniche Caso particolarmente importante: se il moto oscillatorio in un
punto x (ad es. l’estremo della corda) è armonico semplice, la funzione d’onda diretta verso destra è:
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f (x, t) = ymsenk x − vt( ) Forma dell’onda a t = 0: lo spostamento trasversale si ripete in x, x+λ, x+2λ,…
f (x, t) = ymsen kx −ωt( )
k = 2π λ
kv=ω
ym x2
ym = ampiezza: massimo spostamento di ciascun punto dalla posizione di equilibrio
kx – ωt = fase
φ = costante di fase
Perchè sono importanti le onde armoniche
Teorema di Fourier: Qualsiasi onda periodica può essere espressa come risultante di onde armoniche di determinate frequenze.
Equazione differenziale del moto di un’onda
• In generale un’onda che si muove lungo la direzione x sarà rappresentata da una funzione d’onda f(u) con u = x ± vt. Calcolo le derivate prime rispetto a x e t:
• Derivando un’altra volta: u fv
t u
u f
t f
u f
x u
u f
x f
∂Equazione di d’Alembert
Tutte le funzioni d’onda f(x±vt) sono soluzione dell’equazione di d’Alembert
Esercizio 1
soddisfa l’equazione d’onda.
Esempio 2
• Un diapason vibra con una frequenza di 440 Hz. Se la velocità del suono nell’aria è 340 m/s, trovare la lunghezza d’onda del suono.
• La luce si propaga nel vuoto con una velocità di 3.108 m/s. Trovare la lunghezza d’onda che corrisponde a una frequenza di 5.1014 Hz (luce rossa).
λ = 600 nm
λ = 0.773 m
Esercizio 3 Data la funzione d’onda armonica
y(x,t) = 10 sen 2π(2x – 100t) m (dove x è espresso in metri e t in secondi), trovare: a) l’ampiezza; b) la lunghezza d’onda; c) la frequenza; d) la velocità di propagazione.
Esercizio 4 Data la funzione di un’onda in una corda y = 0.03 sen (3x – 2t) dove le lunghezze sono
espresse in metri e t in secondi, trovare: a) all’istante t = 0, lo spostamento in x = 0.3 m; b) nel punto x = 0.1 m, lo spostamento per t = 0.2 s; c) la velocità di oscillazione delle particelle
costituenti la corda; d) la velocità di propagazione dell’onda. e) la massima velocità trasversale di una particella
sulla corda.
esercizio
Scrivere la funzione d’onda per un’onda armonica che viaggia nella direzione negativa dell’asse x con: ampiezza A = 0.10 m, frequenza f = 550 Hz e velocità v = 330 m/s.
ONDA • Perturbazione che si propaga con velocità v, trasportando
energia senza che vi sia trasporto effettivo di materia • Le onde meccaniche hanno bisogno di un mezzo materiale per
propagarsi, le onde elettromagnetiche no. • Descrizione matematica della propagazione lungo x:
Funzione d’onda
• Equazione d’onda:
2
2
22
f (x, t) = ymsen kx −ωt( ) kv=ω ym x2
Classificazione: onde longitudinali e trasversali
• Longitudinali: se le particelle del mezzo oscillano lungo una direzione parallela alla direzione di propagazione dell’onda (ad es. le onde sonore)
• Trasversali: se le particelle del mezzo oscillano lungo una direzione perpendicolare alla direzione di propagazione dell’onda (ad es. le onde in una corda tesa, onde elettromagnetiche)
Esempio di onda meccanica trasversale: perturbazione che si propaga lungo una corda tesa
Considerazioni generali:
Se in un qualche punto si comunica alla corda una perturbazione | alla corda stessa, si osserva che la deformazione prodotta si
propaga lungo la corda con v ∝ T (tensione), e inversamente ∝ µ (massa per unità di lunghezza).
Ricaviamo l’espressione della velocità di propagazione v:
• Per oscillazioni sufficientemente piccole: T = costante, α1 e α2 piccoli
• Componenti della forza risultante sull’elemento di corda dx:
( ) 0coscos 12 ≅−= ααTFx
α2 α1
N.B. la velocità di propagazione dell’onda dipende dalle caratteristiche del mezzo
Velocità trasversale N.B. Non si confonda la velocità di propagazione di un’onda con la velocità di oscillazione intorno alla posizione di equilibrio di ciascun elemento del mezzo (ad esempio, ciascun elemento di una corda)
Energia trasportata da un’onda • Un’onda si propaga perchè ogni parte del mezzo comunica
il moto alle parti adiacenti. • Si dice intensità I l’energia trasmessa per unità di superficie
e di tempo perpendicolarmente alla direzione di propagazione:
I = !" !#!$
[W/m2]
• In un’onda meccanica armonica ogni punto compie un’oscillazione armonica; si può dimostrare che I ∝ω 2A2v
L’energia di un’onda è proporzionale al quadrato dell’ampiezza e della frequenza (risultato valido in generale)
Principio di sovrapposizione (già incontrato in Fisica)
• Se due o più onde attraversano contemporaneamente la stessa regione, l’onda risultante è la loro somma
Matematicamente: y’(x,t) = y1(x,t) + y2(x,t) se y1 e y2 sono soluzioni dell’equazione d’onda, anche y1 + y2 lo è
Le onde sovrapposte non si disturbano vicendevolmente
Interferenza • La perturbazione risultante può produrre sulla corda un
rafforzamento o una soppressione dello spostamento di ogni punto sulla corda (la propagazione dell’onda non viene alterata)
• Per due onde sinusoidali che si propagano lungo la stessa direzione la “costruttività” dell’interferenza dipende dalla differenza di fase Δφ
Due onde si dicono “in fase” quando le creste e le valli sono allineate come in figura (a)
onde stazionarie Consideriamo due onde che si propagano lungo un corda tesa in versi opposti (ottenibile fissando un estremo, che genera un’onda riflessa): y1(x,t) = ymsen(kx+ωt) y2(x,t) = ymsen(kx-ωt)
Non compare più l’argomento (kx±ωt) tipico di un’onda che si propaga, ma un’oscillazione armonica semplice di pulsazione ω uguale in ogni punto della corda e ampiezza funzione della posizione.
Se entrambi gli estremi della corda sono fissi, quali sono le onde stazionarie che si possono formare?
senα + senβ = 2sen 1 2 α +β( )cos 1
2 α −β( )
y(x, t) = y1(x, t)+ y2 (x, t) = 2ymsenkxcosωt
onde stazionarie Esiste una serie discreta di lunghezze d’onda λn e di frequenze fn: tali frequenze sono dette frequenze proprie del sistema oscillante.
L = n λ/2, n = 1, 2, … ovvero λn = 2L/n, n = 1, 2, … fn = v/λn = n v/2L, n = 1, 2, …
risonanza
Se la corda viene sollecitata con una delle frequenze proprie, si ha un fenomeno di risonanza.
Spettacolari effetti meccanici: https://www.youtube.com/watch?v=XggxeuFDaDU
Onde stazionarie: richiami
esercizio Una corda di chitarra in nylon ha una massa lineica di 7.20 g/m ed è sottoposta a una tensione di 150 N. I supporti fissi distano 90.0 cm. La corda oscilla secondo lo schema di onda stazionaria in figura:
Calcolare: a)La velocità, b) la lunghezza d’onda, c) la frequenza delle onde la cui sovrapposizione dà quest’onda stazionaria
esercizio Una fune, sottoposta a una tensione di 200 N e fissata ad entrambe le estremità, oscilla con un’onda stazionaria di 2a armonica secondo la:
Trovare: 1) La lunghezza L della fune [L = 4 m]
2) La velocità v dell’onda [v = 24 m/s]
3) La massa M della fune [M = 1.39 kg]
4) Il periodo di oscillazione della 3a armonica [T3 = 0.11s].
y(x, t) = 010sen π 2 x
!
" #
$
% &cos 12π t( )
[x in m, t in s, x = 0 ad un'estremita' della fune]
generalizzazione In generale un’onda si può propagare nello spazio in
tutte le direzioni; viene descritta da una funzione d’onda f(x,y,z,t).
Casi particolari:
onde piane
∂
∂ =
∂
∂
i fronti d’onda (i punti dello spazio in cui l’onda è in fase) sono piani perpendicolari alla direzione di propagazione
x
y
z
onde sferiche
i fronti d’onda sono sfere che si allontanano radialmente dalla sorgente
•r
Fronte d’onda: luogo dei punti che hanno la stessa fase
Fronte d’onda piano
Fronte d’onda piano
Fronte d’onda sferico
Fronte d’onda sferico
Effetto Doppler
La frequenza di un’onda percepita da un osservatore può essere diversa da quella prodotta dalla sorgente
Si verifica quando sorgente e osservatore sono in moto relativo.
Il fenomeno fu evidenziato per la prima volta con le onde sonore, ma si osserva in tutti i tipi di onde.
Physics Nobel prize 2019 https://www.nobelprize.org/
Schema dello spettrografo
velocità
ondoscopio
x
zy
esercizio
Analizzando il comportamento meccanico di un fondale basso (profondità << λ) d’acqua si ottiene l’equazione:
dove h è la profondità all’equilibrio e y è lo spostamento dall’equilibrio. Trovare la velocità di propagazione dell’onda.
∂2y ∂x2
− 1 gh
∂2y ∂t2
Dimostrazione: nel caso di onda armonica in una corda tesa
x
y