ondas electromagnéticas planas - feupmines/oe/teoricas/ondas/oe_ondas.pdf · ondas...

105
Faculdade de Engenharia Ondas electromagnéticas planas http://www.bbemg.ulg.ac.be/Images/UKondeelm.gif OE – MIEEC 2014/2015

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Page 1: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

Ondas electromagneacuteticas planas

httpwwwbbemgulgacbeImagesUKondeelmgif

OE ndash MIEEC 20142015

Faculdade de Engenharia

teor da divergecircncia

teor de Stokes

Relembrando ndash equaccedilotildees de Maxwell

lei de Gauss

lei de Ampeacutere

lei de Faraday

forma diferencial

tBE

vD

tDJH

0 B

sdtBldE

SC

sdtDIldH

SC

int

intQsdDS

0S

sdB

forma integral

notaIint corrente livre no interior de SQint carga livre no interior de S

Ondas

Faculdade de EngenhariaRelembrando ndash condiccedilotildees fronteira

Eacute possiacutevel mostrar-se (ver Cheng) que as condiccedilotildees fronteira obtidas para os casos estacionaacuterios continuam

vaacutelidas para campos electromagneacuteticos variaacuteveis no tempo

tt EE 21

notas

1 campos electromagneacuteticos satildeo nulos no interior de condutores ideais

sn JHHu

21ˆ

sn DDu 21ˆ

nn BB 21

meio 1 11

meio 2 22

nu

2 e satildeo natildeo nulos apenas quando um dos meios eacute um condutor idealsJ

s

Ondas

Faculdade de EngenhariaRelembrando ndash equaccedilotildees de Maxwell em meios LHI sem cargas e sem perdas

ED

tBE

vD

tDJH

0 B

tHE

vE

tEJH

0 H

Notaem meios condutores EJ

HB

tHE

0 E

tEH

0 Hmeios LHI

0v0 J

meios sem cargas e sem perdas

Ondas

Faculdade de EngenhariaRelembrando ndash equaccedilotildees de onda em meios LHI sem cargas e sem perdas

tHE

tEH

0 H

tEH

E

t

2

2

tHH

XXX

22

22

tHH

0 E

0 H

2

22

tHH

2

22

tEE

equaccedilotildees de onda

tHE

Ondas

Faculdade de EngenhariaRelembrando ndash equaccedilatildeo de onda em meios sem cargas e sem perdas

2

22

tHH

2

22

tEE

2

22

tEE

em coordenadas cartesianas

2

2

2

2

2

22

zf

yf

xff

2

2

2

2

2

22

zX

yX

xXX

2

2

2

2

2

2

2

2

tE

zE

yE

xE

2

2

2

2

2

2

2

2

tH

zH

yH

xH

2

22

tHH

Ondas

Faculdade de EngenhariaRelembrando ndash equaccedilatildeo de onda e velocidade de fase

1

fv ms

no vazio

Hm104

Fm1036

1

70

90

ms1031 8

00

cv fvelocidade depende do meio

2

2

2

2

2

2

2

2

tE

zE

yE

xE

2

2

2

2

2

2

2

2

tH

zH

yH

xH

Equaccedilatildeo de onda

2

2

22

2 1t

txuvx

txu

Ondas

Faculdade de EngenhariaRelembrando ndash equaccedilotildees de Maxwell para campos harmoacutenicos em meios LHI sem cargas e sem perdas

tHE

0 E

tEH

0 B

notaccedilatildeo fasorialmeios LHI ( ) sem cargas e sem perdas

HjE

0 E

EjH

0 B

expressotildees temporais fasores

Ondas

Faculdade de EngenhariaEquaccedilotildees de Helmholtz

2

22

tHH

2

22

tEE

022 EE

em notaccedilatildeo fasorial rXjt

trX

022 HH

022 EkE

022 HkH equaccedilotildees de Helmholtz

rXjt

trX 2

2

2

rX 2

equaccedilotildees de onda em meios LHI sem perdas e sem fontes

nota

kvsoluccedilotildees harmoacutenicas

vk

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash campo eleacutectrico

022

2

xx Ek

dzEd

seja zzyyxx uzEuzEuzE ˆˆˆ

0 E

soluccedilatildeo geral

kjrkr 022

zEE

022 EkE

0

zzE

yzE

xzE zyx constzEz 0zEz

zuE ˆ

por exemplo seja

xx uzEE ˆ

xx uzEE ˆ

(lei de Gauss)

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash significado

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

tjIeti Re xx ukztEukztEtzE ˆcosˆcos 00

z

segundo +z segundo -z

ondas planas uniformes amplitude eacute constantenos planos de fase constante

ondas planas fase eacute constante em planosperpendiculares agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

fase e amplitude constantes nos planos z = const

onda plana uniforme que se propaga segundo z

nota

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash campo magneacutetico

xx uzEE ˆ

jkzjkzx eEeEE 00 H

0

H

E

EjJH

HjE

EjH

00

ˆˆˆ

00jkzjkz

zyx

eEeEzyx

uuujH

yjkzjkz ueEeE

zj ˆ00

yjkzjkz ueEkeEk ˆ00

k

yjkzjkz ueEeEH ˆ11

00

z

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash impedacircncia intriacutenseca

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

yjkzjkz ueEeEH ˆ11

00

eacute a impedacircncia intriacutenseca do meio

no vazio

Hm104

Fm1036

1

70

90

3771200

00

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas transversais

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

yjkzjkz ueEeEH ˆ11

00

direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo z

HE

e satildeo perpendiculares entre si e ambos satildeoperpendiculares agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

ondas electromagneacuteticas transversais

ondas TEM

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas transversais

E H de onda EM

httpwwwphyntnuedutwntnujavaindexphptopic=350

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash propagaccedilatildeo numa direcccedilatildeo arbitraacuteria

e

zkykxkj peEE zyx ˆ0

versor que indica direcccedilatildeo do vector campo eleacutectrico (polarizaccedilatildeo)

seja

k

022 EkE

02222 EkEkkk zyx

2222 zyx kkk

zzyyxx ukukukk ˆˆˆ

nak ˆ

componentes de um

vector com valor absolutozyx kkk e

k

erajk peEE n ˆˆ

0

zyx uzuyuxr ˆˆˆ

vector segundo direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

na indica direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash planos de fase constante

planos de fase constante

erajk peEE n ˆˆ

0

constˆ rak n

constˆ ran equaccedilatildeo de planos

perpendiculares a na

y

x

z P

na

r

projecccedilatildeo de na direcccedilatildeo de r na

plano de fase constante e amplitude uniforme

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash direcccedilatildeo do vector campo eleacutectrico

erajk peEE n ˆˆ

0

0 E 0ˆˆ

0 e

rajk peE n 0ˆˆ

0 e

rajk peE n

enrajk paejkE n ˆˆˆ

0

00ˆˆ en paE eacute perpendicular agrave direcccedilatildeode propagaccedilatildeo

fXXfXf

zkykxkjzyx

rajk zyxn euz

uy

ux

e

ˆˆˆˆ

rajkzzyyxx

neukukukj ˆˆˆˆ

rajkn

rajk nn eajkekj ˆˆ ˆ

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas TEM ndash campo magneacutetico

erajk peEE n ˆˆ

0

H

eacute perpendicular agrave direcccedilatildeode propagaccedilatildeo e a

EjH

EaH n

ˆ1

E

XfXfXf

e

rajk pejEH n ˆˆ0

e

rajk pejEH n ˆˆ0

nrajkrajk ajkee nn ˆˆˆ

importante EaH n

ˆ1

HaE n

ˆ

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulario

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas

para ondas TEM que se propagam segundo +z

E

direcccedilatildeo de polarizaccedilatildeo fixa

xeEE zjk ˆ0

se onda polarizada LINEARMENTE segundo x

xzktEtzE ˆcos 0

direcccedilatildeo de indica a POLARIZACcedilAtildeO da onda

zE ˆ

CASO GERAL

ondeyeExeEE zjky

zjkx ˆˆ 00

2

1

20

10

jy

jx

eAE

eAE

satildeo complexos00 yx EE

yeAxeAE zkjzkj ˆˆ 2121

Ondas

Faculdade de Engenharia

p

1A

2A

x

y

1

21tanAA

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo linear

y

zkjx

zkj ueAueAE ˆˆ 2121

tjVetv Re yx uzktAuzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

1 02 A xuzktAtzE ˆcos 11

polarizaccedilatildeo segundo xu

2 01 A polarizaccedilatildeo segundo yu yuzktAtzE ˆcos 22

3 AAA

21

21 segundo p yx uuzktAtzE ˆˆcos

pzktA ˆcos0

AA 20 onde2

ˆˆˆ yx uup

p

1

1

x

ordm45

y

4

21

21

AA yx uAuAzkttzE ˆˆcos 21

pzktA ˆcos0 segundo p

22

210 AAA

22

21

21 ˆˆˆ

AA

uAuAp yx

onde e

e

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular direita

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

5

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo direita polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular direita

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular esquerda

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

6

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

Ax

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo ldquoesquerdardquo polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular esquerda

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

7

21

2

1

2

0

AA

polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos 21

1A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos 21

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 12111

xAE ˆ00 1

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 21

2A

22

22

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash resumo

seja

direcccedilatildeo do versor de polarizaccedilatildeo depende da relaccedilatildeo entreamplitudes das duas ondas

yExEE yx ˆˆ

se ondas em fase onda resultante tem polarizaccedilatildeo linear

se diferenccedila de fase = 90ordm

onda resultante tem polarizaccedilatildeo eliacuteptica

(soma de duas ondas linearmente polarizadas em quadratura no espaccedilo)

circular amplitudes iguaiseliacuteptica amplitudes diferentes

se diferenccedila de fase arbitraacuteria eixos da elipse natildeo coincidem com x e y

onda resultante tem polarizaccedilatildeo circular ou eliacuteptica

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash aplicaccedilotildees

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado perpendicularmente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas AME

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado paralelamente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas TV E

E

E

emitidas em polarizaccedilatildeo circularantena de recepccedilatildeo deve estar num plano normal agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

ondas FM

antenas nos telhados satildeo horizontais

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash permitividade complexa

Equaccedilotildees de Maxwell para campos harmoacutenicos em meios LHI com perdas e sem cargas

HB

ED

tHE

E

tEJH

0 H

EJ

0

0

0

H

E

EjEH

HjE

EjH

Ej c

jc 1

Ejj

1

permitividade complexa

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash tangente de perdas

jc 1tangente de perdas

ctan

bom condutor

bom isolador

comportamento de um dado materialvaria com a frequecircncia

Ex

aacutegua do mar

072Sm4

zf H50

zf GH1

7102 bom condutor

4 condutor

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas planas em meios com perdas ndash constante de propagaccedilatildeo

jc 1

022 EkE

022 HkH

kcck

j

jj 1constante de propagaccedilatildeo

constante de atenuaccedilatildeo

constante de fase

Nota

2

fv

022 EkE c

022 HkH c

zz eEeEE 00

(para propagaccedilatildeo segundo z)

cjk

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash impedacircncia complexa

jc 1

EaH n

ˆ1

EaH nc

ˆ1

c

c

jc

c

1impedacircncia complexa

HE

eem meios com perdas natildeo estatildeo em fase

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulaacuterio

Ondas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Propagaccedilatildeo em meios bons condutores

bom condutor 2

2

fv

o45

EaH n

ˆ1

H

atrasado 45ordm em relaccedilatildeo a E

fv

2 j

j

j

distorccedilatildeo de sinais

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

zeEE 0

factor de atenuaccedilatildeo

zjzeeE 0

para propagaccedilatildeo segundo +z

ze

frequecircncias elevadas elevado onda sofre atenuaccedilatildeo consideraacutevel

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula

profundidade de penetraccedilatildeo

efeito pelicular

)m(11

f

ze

2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

profundidade de penetraccedilatildeo

)m(1

f

material )Hz(60f)mS( )MHz(1f )GHz(1f

prata

cobre

ouro

alumiacutenio

aacutegua do mar

710176

71014

71085

710543

4

mm278

mm538

mm1410

mm9210

m32

mm0660

mm0640

mm0790

mm0840

m250

mm0020

mm00210

mm00250

mm00270

(jaacute natildeo eacute bom condutor a esta frequecircncia)

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

condutor ciliacutendrico a altas frequecircncias a corrente circula numa coroa ciliacutendrica exterior de espessura

satildeo usados tubos ciliacutendricos ocos em condutores para altas frequecircncias (ex antenas)

sdtDIldH

SC

int se e forem nulos tambeacutem eacute nuloH

D

intI

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

circulaccedilatildeo de corrente numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

variaccedilatildeo da resistecircncia com a frequecircncia

resistecircncia DC 2alRDC

resistecircncia AC a

lRAC 2 a

l

2a

RR

DC

AC

a altas frequecircncias a DCAC RR

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo

velocidade de fase velocidade de propagaccedilatildeo da frentede onda

fv

j jj 1

212

112

meios sem perdas eacute constante

meios com perdas natildeo eacute funccedilatildeo linear de depende da frequecircncia

fv

em sinais que consistem numa dada banda de frequecircncias as componentes a diferentes frequecircncias propagam-se a velocidades de fase diferentes distorccedilatildeo do sinal

DISPERSAtildeO

1

fv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash relaccedilatildeo de dispersatildeo meios dispersivos

meios dispersivos meios para os quais a velocidadede fase depende da frequecircncia

meios sem perdas satildeo meios natildeo dispersivos

meios com perdas satildeo meios dispersivos

relaccedilatildeo de dispersatildeo equaccedilatildeo que relacionacom Ex meios sem perdas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

no caso geral

largura de banda centrada numa portadora

ff vv

2 0

01 2

01

02

0

02

01

ztztEtzE 00000 coscos

ztztE 000 coscos2

Considere-se a propagaccedilatildeo de um sinal com

Admitindo que o sinal em causa corresponde agrave soma de duas ondas planas que se propagam segundo +z e de frequecircncia 1 e 2 tem-se

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

ztztEtzE 000 coscos2

z

0zE

envolvente portadora

portadora propaga-se agrave velocidade0

0

envolvente propaga-se agrave velocidade

0lim ms1

ddvg

velocidade de grupo

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo normal e anoacutemala

ddvg

1 velocidade de grupo

fv velocidade de fase

fvdd

dd

2f

ff

vddv

v

ddv

v

vv

f

f

fg

1

casos particulares

1 0d

dv ffg vv

2 0d

dv ffg vv

sem dispersatildeo ( constante)fv

dispersatildeo normal ( diminui com )fv

3 0d

dv ffg vv dispersatildeo anoacutemala fv ( aumenta com )

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Um meio bom condutor apresenta dispersatildeo normal ou anoacutemala

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Energia transportada por uma onda

tHE

tEJH

EJ

HEEHHE

(igualdade vectorial)

tEJE

tHHHE

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

JEEEt

HHt

HE

21

21

AAtt

AA

21

222

22EEH

tHE

dvAsdAVS

Nota expressotildees instantacircneas

2Wm

Faculdade de Engenharia

OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 2: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

teor da divergecircncia

teor de Stokes

Relembrando ndash equaccedilotildees de Maxwell

lei de Gauss

lei de Ampeacutere

lei de Faraday

forma diferencial

tBE

vD

tDJH

0 B

sdtBldE

SC

sdtDIldH

SC

int

intQsdDS

0S

sdB

forma integral

notaIint corrente livre no interior de SQint carga livre no interior de S

Ondas

Faculdade de EngenhariaRelembrando ndash condiccedilotildees fronteira

Eacute possiacutevel mostrar-se (ver Cheng) que as condiccedilotildees fronteira obtidas para os casos estacionaacuterios continuam

vaacutelidas para campos electromagneacuteticos variaacuteveis no tempo

tt EE 21

notas

1 campos electromagneacuteticos satildeo nulos no interior de condutores ideais

sn JHHu

21ˆ

sn DDu 21ˆ

nn BB 21

meio 1 11

meio 2 22

nu

2 e satildeo natildeo nulos apenas quando um dos meios eacute um condutor idealsJ

s

Ondas

Faculdade de EngenhariaRelembrando ndash equaccedilotildees de Maxwell em meios LHI sem cargas e sem perdas

ED

tBE

vD

tDJH

0 B

tHE

vE

tEJH

0 H

Notaem meios condutores EJ

HB

tHE

0 E

tEH

0 Hmeios LHI

0v0 J

meios sem cargas e sem perdas

Ondas

Faculdade de EngenhariaRelembrando ndash equaccedilotildees de onda em meios LHI sem cargas e sem perdas

tHE

tEH

0 H

tEH

E

t

2

2

tHH

XXX

22

22

tHH

0 E

0 H

2

22

tHH

2

22

tEE

equaccedilotildees de onda

tHE

Ondas

Faculdade de EngenhariaRelembrando ndash equaccedilatildeo de onda em meios sem cargas e sem perdas

2

22

tHH

2

22

tEE

2

22

tEE

em coordenadas cartesianas

2

2

2

2

2

22

zf

yf

xff

2

2

2

2

2

22

zX

yX

xXX

2

2

2

2

2

2

2

2

tE

zE

yE

xE

2

2

2

2

2

2

2

2

tH

zH

yH

xH

2

22

tHH

Ondas

Faculdade de EngenhariaRelembrando ndash equaccedilatildeo de onda e velocidade de fase

1

fv ms

no vazio

Hm104

Fm1036

1

70

90

ms1031 8

00

cv fvelocidade depende do meio

2

2

2

2

2

2

2

2

tE

zE

yE

xE

2

2

2

2

2

2

2

2

tH

zH

yH

xH

Equaccedilatildeo de onda

2

2

22

2 1t

txuvx

txu

Ondas

Faculdade de EngenhariaRelembrando ndash equaccedilotildees de Maxwell para campos harmoacutenicos em meios LHI sem cargas e sem perdas

tHE

0 E

tEH

0 B

notaccedilatildeo fasorialmeios LHI ( ) sem cargas e sem perdas

HjE

0 E

EjH

0 B

expressotildees temporais fasores

Ondas

Faculdade de EngenhariaEquaccedilotildees de Helmholtz

2

22

tHH

2

22

tEE

022 EE

em notaccedilatildeo fasorial rXjt

trX

022 HH

022 EkE

022 HkH equaccedilotildees de Helmholtz

rXjt

trX 2

2

2

rX 2

equaccedilotildees de onda em meios LHI sem perdas e sem fontes

nota

kvsoluccedilotildees harmoacutenicas

vk

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash campo eleacutectrico

022

2

xx Ek

dzEd

seja zzyyxx uzEuzEuzE ˆˆˆ

0 E

soluccedilatildeo geral

kjrkr 022

zEE

022 EkE

0

zzE

yzE

xzE zyx constzEz 0zEz

zuE ˆ

por exemplo seja

xx uzEE ˆ

xx uzEE ˆ

(lei de Gauss)

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash significado

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

tjIeti Re xx ukztEukztEtzE ˆcosˆcos 00

z

segundo +z segundo -z

ondas planas uniformes amplitude eacute constantenos planos de fase constante

ondas planas fase eacute constante em planosperpendiculares agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

fase e amplitude constantes nos planos z = const

onda plana uniforme que se propaga segundo z

nota

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash campo magneacutetico

xx uzEE ˆ

jkzjkzx eEeEE 00 H

0

H

E

EjJH

HjE

EjH

00

ˆˆˆ

00jkzjkz

zyx

eEeEzyx

uuujH

yjkzjkz ueEeE

zj ˆ00

yjkzjkz ueEkeEk ˆ00

k

yjkzjkz ueEeEH ˆ11

00

z

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash impedacircncia intriacutenseca

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

yjkzjkz ueEeEH ˆ11

00

eacute a impedacircncia intriacutenseca do meio

no vazio

Hm104

Fm1036

1

70

90

3771200

00

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas transversais

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

yjkzjkz ueEeEH ˆ11

00

direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo z

HE

e satildeo perpendiculares entre si e ambos satildeoperpendiculares agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

ondas electromagneacuteticas transversais

ondas TEM

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas transversais

E H de onda EM

httpwwwphyntnuedutwntnujavaindexphptopic=350

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash propagaccedilatildeo numa direcccedilatildeo arbitraacuteria

e

zkykxkj peEE zyx ˆ0

versor que indica direcccedilatildeo do vector campo eleacutectrico (polarizaccedilatildeo)

seja

k

022 EkE

02222 EkEkkk zyx

2222 zyx kkk

zzyyxx ukukukk ˆˆˆ

nak ˆ

componentes de um

vector com valor absolutozyx kkk e

k

erajk peEE n ˆˆ

0

zyx uzuyuxr ˆˆˆ

vector segundo direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

na indica direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash planos de fase constante

planos de fase constante

erajk peEE n ˆˆ

0

constˆ rak n

constˆ ran equaccedilatildeo de planos

perpendiculares a na

y

x

z P

na

r

projecccedilatildeo de na direcccedilatildeo de r na

plano de fase constante e amplitude uniforme

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash direcccedilatildeo do vector campo eleacutectrico

erajk peEE n ˆˆ

0

0 E 0ˆˆ

0 e

rajk peE n 0ˆˆ

0 e

rajk peE n

enrajk paejkE n ˆˆˆ

0

00ˆˆ en paE eacute perpendicular agrave direcccedilatildeode propagaccedilatildeo

fXXfXf

zkykxkjzyx

rajk zyxn euz

uy

ux

e

ˆˆˆˆ

rajkzzyyxx

neukukukj ˆˆˆˆ

rajkn

rajk nn eajkekj ˆˆ ˆ

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas TEM ndash campo magneacutetico

erajk peEE n ˆˆ

0

H

eacute perpendicular agrave direcccedilatildeode propagaccedilatildeo e a

EjH

EaH n

ˆ1

E

XfXfXf

e

rajk pejEH n ˆˆ0

e

rajk pejEH n ˆˆ0

nrajkrajk ajkee nn ˆˆˆ

importante EaH n

ˆ1

HaE n

ˆ

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulario

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas

para ondas TEM que se propagam segundo +z

E

direcccedilatildeo de polarizaccedilatildeo fixa

xeEE zjk ˆ0

se onda polarizada LINEARMENTE segundo x

xzktEtzE ˆcos 0

direcccedilatildeo de indica a POLARIZACcedilAtildeO da onda

zE ˆ

CASO GERAL

ondeyeExeEE zjky

zjkx ˆˆ 00

2

1

20

10

jy

jx

eAE

eAE

satildeo complexos00 yx EE

yeAxeAE zkjzkj ˆˆ 2121

Ondas

Faculdade de Engenharia

p

1A

2A

x

y

1

21tanAA

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo linear

y

zkjx

zkj ueAueAE ˆˆ 2121

tjVetv Re yx uzktAuzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

1 02 A xuzktAtzE ˆcos 11

polarizaccedilatildeo segundo xu

2 01 A polarizaccedilatildeo segundo yu yuzktAtzE ˆcos 22

3 AAA

21

21 segundo p yx uuzktAtzE ˆˆcos

pzktA ˆcos0

AA 20 onde2

ˆˆˆ yx uup

p

1

1

x

ordm45

y

4

21

21

AA yx uAuAzkttzE ˆˆcos 21

pzktA ˆcos0 segundo p

22

210 AAA

22

21

21 ˆˆˆ

AA

uAuAp yx

onde e

e

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular direita

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

5

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo direita polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular direita

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular esquerda

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

6

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

Ax

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo ldquoesquerdardquo polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular esquerda

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

7

21

2

1

2

0

AA

polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos 21

1A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos 21

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 12111

xAE ˆ00 1

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 21

2A

22

22

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash resumo

seja

direcccedilatildeo do versor de polarizaccedilatildeo depende da relaccedilatildeo entreamplitudes das duas ondas

yExEE yx ˆˆ

se ondas em fase onda resultante tem polarizaccedilatildeo linear

se diferenccedila de fase = 90ordm

onda resultante tem polarizaccedilatildeo eliacuteptica

(soma de duas ondas linearmente polarizadas em quadratura no espaccedilo)

circular amplitudes iguaiseliacuteptica amplitudes diferentes

se diferenccedila de fase arbitraacuteria eixos da elipse natildeo coincidem com x e y

onda resultante tem polarizaccedilatildeo circular ou eliacuteptica

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash aplicaccedilotildees

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado perpendicularmente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas AME

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado paralelamente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas TV E

E

E

emitidas em polarizaccedilatildeo circularantena de recepccedilatildeo deve estar num plano normal agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

ondas FM

antenas nos telhados satildeo horizontais

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash permitividade complexa

Equaccedilotildees de Maxwell para campos harmoacutenicos em meios LHI com perdas e sem cargas

HB

ED

tHE

E

tEJH

0 H

EJ

0

0

0

H

E

EjEH

HjE

EjH

Ej c

jc 1

Ejj

1

permitividade complexa

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash tangente de perdas

jc 1tangente de perdas

ctan

bom condutor

bom isolador

comportamento de um dado materialvaria com a frequecircncia

Ex

aacutegua do mar

072Sm4

zf H50

zf GH1

7102 bom condutor

4 condutor

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas planas em meios com perdas ndash constante de propagaccedilatildeo

jc 1

022 EkE

022 HkH

kcck

j

jj 1constante de propagaccedilatildeo

constante de atenuaccedilatildeo

constante de fase

Nota

2

fv

022 EkE c

022 HkH c

zz eEeEE 00

(para propagaccedilatildeo segundo z)

cjk

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash impedacircncia complexa

jc 1

EaH n

ˆ1

EaH nc

ˆ1

c

c

jc

c

1impedacircncia complexa

HE

eem meios com perdas natildeo estatildeo em fase

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulaacuterio

Ondas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Propagaccedilatildeo em meios bons condutores

bom condutor 2

2

fv

o45

EaH n

ˆ1

H

atrasado 45ordm em relaccedilatildeo a E

fv

2 j

j

j

distorccedilatildeo de sinais

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

zeEE 0

factor de atenuaccedilatildeo

zjzeeE 0

para propagaccedilatildeo segundo +z

ze

frequecircncias elevadas elevado onda sofre atenuaccedilatildeo consideraacutevel

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula

profundidade de penetraccedilatildeo

efeito pelicular

)m(11

f

ze

2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

profundidade de penetraccedilatildeo

)m(1

f

material )Hz(60f)mS( )MHz(1f )GHz(1f

prata

cobre

ouro

alumiacutenio

aacutegua do mar

710176

71014

71085

710543

4

mm278

mm538

mm1410

mm9210

m32

mm0660

mm0640

mm0790

mm0840

m250

mm0020

mm00210

mm00250

mm00270

(jaacute natildeo eacute bom condutor a esta frequecircncia)

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

condutor ciliacutendrico a altas frequecircncias a corrente circula numa coroa ciliacutendrica exterior de espessura

satildeo usados tubos ciliacutendricos ocos em condutores para altas frequecircncias (ex antenas)

sdtDIldH

SC

int se e forem nulos tambeacutem eacute nuloH

D

intI

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

circulaccedilatildeo de corrente numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

variaccedilatildeo da resistecircncia com a frequecircncia

resistecircncia DC 2alRDC

resistecircncia AC a

lRAC 2 a

l

2a

RR

DC

AC

a altas frequecircncias a DCAC RR

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo

velocidade de fase velocidade de propagaccedilatildeo da frentede onda

fv

j jj 1

212

112

meios sem perdas eacute constante

meios com perdas natildeo eacute funccedilatildeo linear de depende da frequecircncia

fv

em sinais que consistem numa dada banda de frequecircncias as componentes a diferentes frequecircncias propagam-se a velocidades de fase diferentes distorccedilatildeo do sinal

DISPERSAtildeO

1

fv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash relaccedilatildeo de dispersatildeo meios dispersivos

meios dispersivos meios para os quais a velocidadede fase depende da frequecircncia

meios sem perdas satildeo meios natildeo dispersivos

meios com perdas satildeo meios dispersivos

relaccedilatildeo de dispersatildeo equaccedilatildeo que relacionacom Ex meios sem perdas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

no caso geral

largura de banda centrada numa portadora

ff vv

2 0

01 2

01

02

0

02

01

ztztEtzE 00000 coscos

ztztE 000 coscos2

Considere-se a propagaccedilatildeo de um sinal com

Admitindo que o sinal em causa corresponde agrave soma de duas ondas planas que se propagam segundo +z e de frequecircncia 1 e 2 tem-se

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

ztztEtzE 000 coscos2

z

0zE

envolvente portadora

portadora propaga-se agrave velocidade0

0

envolvente propaga-se agrave velocidade

0lim ms1

ddvg

velocidade de grupo

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo normal e anoacutemala

ddvg

1 velocidade de grupo

fv velocidade de fase

fvdd

dd

2f

ff

vddv

v

ddv

v

vv

f

f

fg

1

casos particulares

1 0d

dv ffg vv

2 0d

dv ffg vv

sem dispersatildeo ( constante)fv

dispersatildeo normal ( diminui com )fv

3 0d

dv ffg vv dispersatildeo anoacutemala fv ( aumenta com )

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Um meio bom condutor apresenta dispersatildeo normal ou anoacutemala

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Energia transportada por uma onda

tHE

tEJH

EJ

HEEHHE

(igualdade vectorial)

tEJE

tHHHE

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

JEEEt

HHt

HE

21

21

AAtt

AA

21

222

22EEH

tHE

dvAsdAVS

Nota expressotildees instantacircneas

2Wm

Faculdade de Engenharia

OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 3: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de EngenhariaRelembrando ndash condiccedilotildees fronteira

Eacute possiacutevel mostrar-se (ver Cheng) que as condiccedilotildees fronteira obtidas para os casos estacionaacuterios continuam

vaacutelidas para campos electromagneacuteticos variaacuteveis no tempo

tt EE 21

notas

1 campos electromagneacuteticos satildeo nulos no interior de condutores ideais

sn JHHu

21ˆ

sn DDu 21ˆ

nn BB 21

meio 1 11

meio 2 22

nu

2 e satildeo natildeo nulos apenas quando um dos meios eacute um condutor idealsJ

s

Ondas

Faculdade de EngenhariaRelembrando ndash equaccedilotildees de Maxwell em meios LHI sem cargas e sem perdas

ED

tBE

vD

tDJH

0 B

tHE

vE

tEJH

0 H

Notaem meios condutores EJ

HB

tHE

0 E

tEH

0 Hmeios LHI

0v0 J

meios sem cargas e sem perdas

Ondas

Faculdade de EngenhariaRelembrando ndash equaccedilotildees de onda em meios LHI sem cargas e sem perdas

tHE

tEH

0 H

tEH

E

t

2

2

tHH

XXX

22

22

tHH

0 E

0 H

2

22

tHH

2

22

tEE

equaccedilotildees de onda

tHE

Ondas

Faculdade de EngenhariaRelembrando ndash equaccedilatildeo de onda em meios sem cargas e sem perdas

2

22

tHH

2

22

tEE

2

22

tEE

em coordenadas cartesianas

2

2

2

2

2

22

zf

yf

xff

2

2

2

2

2

22

zX

yX

xXX

2

2

2

2

2

2

2

2

tE

zE

yE

xE

2

2

2

2

2

2

2

2

tH

zH

yH

xH

2

22

tHH

Ondas

Faculdade de EngenhariaRelembrando ndash equaccedilatildeo de onda e velocidade de fase

1

fv ms

no vazio

Hm104

Fm1036

1

70

90

ms1031 8

00

cv fvelocidade depende do meio

2

2

2

2

2

2

2

2

tE

zE

yE

xE

2

2

2

2

2

2

2

2

tH

zH

yH

xH

Equaccedilatildeo de onda

2

2

22

2 1t

txuvx

txu

Ondas

Faculdade de EngenhariaRelembrando ndash equaccedilotildees de Maxwell para campos harmoacutenicos em meios LHI sem cargas e sem perdas

tHE

0 E

tEH

0 B

notaccedilatildeo fasorialmeios LHI ( ) sem cargas e sem perdas

HjE

0 E

EjH

0 B

expressotildees temporais fasores

Ondas

Faculdade de EngenhariaEquaccedilotildees de Helmholtz

2

22

tHH

2

22

tEE

022 EE

em notaccedilatildeo fasorial rXjt

trX

022 HH

022 EkE

022 HkH equaccedilotildees de Helmholtz

rXjt

trX 2

2

2

rX 2

equaccedilotildees de onda em meios LHI sem perdas e sem fontes

nota

kvsoluccedilotildees harmoacutenicas

vk

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash campo eleacutectrico

022

2

xx Ek

dzEd

seja zzyyxx uzEuzEuzE ˆˆˆ

0 E

soluccedilatildeo geral

kjrkr 022

zEE

022 EkE

0

zzE

yzE

xzE zyx constzEz 0zEz

zuE ˆ

por exemplo seja

xx uzEE ˆ

xx uzEE ˆ

(lei de Gauss)

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash significado

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

tjIeti Re xx ukztEukztEtzE ˆcosˆcos 00

z

segundo +z segundo -z

ondas planas uniformes amplitude eacute constantenos planos de fase constante

ondas planas fase eacute constante em planosperpendiculares agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

fase e amplitude constantes nos planos z = const

onda plana uniforme que se propaga segundo z

nota

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash campo magneacutetico

xx uzEE ˆ

jkzjkzx eEeEE 00 H

0

H

E

EjJH

HjE

EjH

00

ˆˆˆ

00jkzjkz

zyx

eEeEzyx

uuujH

yjkzjkz ueEeE

zj ˆ00

yjkzjkz ueEkeEk ˆ00

k

yjkzjkz ueEeEH ˆ11

00

z

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash impedacircncia intriacutenseca

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

yjkzjkz ueEeEH ˆ11

00

eacute a impedacircncia intriacutenseca do meio

no vazio

Hm104

Fm1036

1

70

90

3771200

00

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas transversais

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

yjkzjkz ueEeEH ˆ11

00

direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo z

HE

e satildeo perpendiculares entre si e ambos satildeoperpendiculares agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

ondas electromagneacuteticas transversais

ondas TEM

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas transversais

E H de onda EM

httpwwwphyntnuedutwntnujavaindexphptopic=350

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash propagaccedilatildeo numa direcccedilatildeo arbitraacuteria

e

zkykxkj peEE zyx ˆ0

versor que indica direcccedilatildeo do vector campo eleacutectrico (polarizaccedilatildeo)

seja

k

022 EkE

02222 EkEkkk zyx

2222 zyx kkk

zzyyxx ukukukk ˆˆˆ

nak ˆ

componentes de um

vector com valor absolutozyx kkk e

k

erajk peEE n ˆˆ

0

zyx uzuyuxr ˆˆˆ

vector segundo direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

na indica direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash planos de fase constante

planos de fase constante

erajk peEE n ˆˆ

0

constˆ rak n

constˆ ran equaccedilatildeo de planos

perpendiculares a na

y

x

z P

na

r

projecccedilatildeo de na direcccedilatildeo de r na

plano de fase constante e amplitude uniforme

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash direcccedilatildeo do vector campo eleacutectrico

erajk peEE n ˆˆ

0

0 E 0ˆˆ

0 e

rajk peE n 0ˆˆ

0 e

rajk peE n

enrajk paejkE n ˆˆˆ

0

00ˆˆ en paE eacute perpendicular agrave direcccedilatildeode propagaccedilatildeo

fXXfXf

zkykxkjzyx

rajk zyxn euz

uy

ux

e

ˆˆˆˆ

rajkzzyyxx

neukukukj ˆˆˆˆ

rajkn

rajk nn eajkekj ˆˆ ˆ

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas TEM ndash campo magneacutetico

erajk peEE n ˆˆ

0

H

eacute perpendicular agrave direcccedilatildeode propagaccedilatildeo e a

EjH

EaH n

ˆ1

E

XfXfXf

e

rajk pejEH n ˆˆ0

e

rajk pejEH n ˆˆ0

nrajkrajk ajkee nn ˆˆˆ

importante EaH n

ˆ1

HaE n

ˆ

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulario

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas

para ondas TEM que se propagam segundo +z

E

direcccedilatildeo de polarizaccedilatildeo fixa

xeEE zjk ˆ0

se onda polarizada LINEARMENTE segundo x

xzktEtzE ˆcos 0

direcccedilatildeo de indica a POLARIZACcedilAtildeO da onda

zE ˆ

CASO GERAL

ondeyeExeEE zjky

zjkx ˆˆ 00

2

1

20

10

jy

jx

eAE

eAE

satildeo complexos00 yx EE

yeAxeAE zkjzkj ˆˆ 2121

Ondas

Faculdade de Engenharia

p

1A

2A

x

y

1

21tanAA

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo linear

y

zkjx

zkj ueAueAE ˆˆ 2121

tjVetv Re yx uzktAuzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

1 02 A xuzktAtzE ˆcos 11

polarizaccedilatildeo segundo xu

2 01 A polarizaccedilatildeo segundo yu yuzktAtzE ˆcos 22

3 AAA

21

21 segundo p yx uuzktAtzE ˆˆcos

pzktA ˆcos0

AA 20 onde2

ˆˆˆ yx uup

p

1

1

x

ordm45

y

4

21

21

AA yx uAuAzkttzE ˆˆcos 21

pzktA ˆcos0 segundo p

22

210 AAA

22

21

21 ˆˆˆ

AA

uAuAp yx

onde e

e

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular direita

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

5

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo direita polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular direita

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular esquerda

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

6

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

Ax

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo ldquoesquerdardquo polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular esquerda

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

7

21

2

1

2

0

AA

polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos 21

1A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos 21

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 12111

xAE ˆ00 1

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 21

2A

22

22

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash resumo

seja

direcccedilatildeo do versor de polarizaccedilatildeo depende da relaccedilatildeo entreamplitudes das duas ondas

yExEE yx ˆˆ

se ondas em fase onda resultante tem polarizaccedilatildeo linear

se diferenccedila de fase = 90ordm

onda resultante tem polarizaccedilatildeo eliacuteptica

(soma de duas ondas linearmente polarizadas em quadratura no espaccedilo)

circular amplitudes iguaiseliacuteptica amplitudes diferentes

se diferenccedila de fase arbitraacuteria eixos da elipse natildeo coincidem com x e y

onda resultante tem polarizaccedilatildeo circular ou eliacuteptica

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash aplicaccedilotildees

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado perpendicularmente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas AME

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado paralelamente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas TV E

E

E

emitidas em polarizaccedilatildeo circularantena de recepccedilatildeo deve estar num plano normal agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

ondas FM

antenas nos telhados satildeo horizontais

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash permitividade complexa

Equaccedilotildees de Maxwell para campos harmoacutenicos em meios LHI com perdas e sem cargas

HB

ED

tHE

E

tEJH

0 H

EJ

0

0

0

H

E

EjEH

HjE

EjH

Ej c

jc 1

Ejj

1

permitividade complexa

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash tangente de perdas

jc 1tangente de perdas

ctan

bom condutor

bom isolador

comportamento de um dado materialvaria com a frequecircncia

Ex

aacutegua do mar

072Sm4

zf H50

zf GH1

7102 bom condutor

4 condutor

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas planas em meios com perdas ndash constante de propagaccedilatildeo

jc 1

022 EkE

022 HkH

kcck

j

jj 1constante de propagaccedilatildeo

constante de atenuaccedilatildeo

constante de fase

Nota

2

fv

022 EkE c

022 HkH c

zz eEeEE 00

(para propagaccedilatildeo segundo z)

cjk

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash impedacircncia complexa

jc 1

EaH n

ˆ1

EaH nc

ˆ1

c

c

jc

c

1impedacircncia complexa

HE

eem meios com perdas natildeo estatildeo em fase

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulaacuterio

Ondas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Propagaccedilatildeo em meios bons condutores

bom condutor 2

2

fv

o45

EaH n

ˆ1

H

atrasado 45ordm em relaccedilatildeo a E

fv

2 j

j

j

distorccedilatildeo de sinais

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

zeEE 0

factor de atenuaccedilatildeo

zjzeeE 0

para propagaccedilatildeo segundo +z

ze

frequecircncias elevadas elevado onda sofre atenuaccedilatildeo consideraacutevel

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula

profundidade de penetraccedilatildeo

efeito pelicular

)m(11

f

ze

2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

profundidade de penetraccedilatildeo

)m(1

f

material )Hz(60f)mS( )MHz(1f )GHz(1f

prata

cobre

ouro

alumiacutenio

aacutegua do mar

710176

71014

71085

710543

4

mm278

mm538

mm1410

mm9210

m32

mm0660

mm0640

mm0790

mm0840

m250

mm0020

mm00210

mm00250

mm00270

(jaacute natildeo eacute bom condutor a esta frequecircncia)

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

condutor ciliacutendrico a altas frequecircncias a corrente circula numa coroa ciliacutendrica exterior de espessura

satildeo usados tubos ciliacutendricos ocos em condutores para altas frequecircncias (ex antenas)

sdtDIldH

SC

int se e forem nulos tambeacutem eacute nuloH

D

intI

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

circulaccedilatildeo de corrente numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

variaccedilatildeo da resistecircncia com a frequecircncia

resistecircncia DC 2alRDC

resistecircncia AC a

lRAC 2 a

l

2a

RR

DC

AC

a altas frequecircncias a DCAC RR

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo

velocidade de fase velocidade de propagaccedilatildeo da frentede onda

fv

j jj 1

212

112

meios sem perdas eacute constante

meios com perdas natildeo eacute funccedilatildeo linear de depende da frequecircncia

fv

em sinais que consistem numa dada banda de frequecircncias as componentes a diferentes frequecircncias propagam-se a velocidades de fase diferentes distorccedilatildeo do sinal

DISPERSAtildeO

1

fv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash relaccedilatildeo de dispersatildeo meios dispersivos

meios dispersivos meios para os quais a velocidadede fase depende da frequecircncia

meios sem perdas satildeo meios natildeo dispersivos

meios com perdas satildeo meios dispersivos

relaccedilatildeo de dispersatildeo equaccedilatildeo que relacionacom Ex meios sem perdas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

no caso geral

largura de banda centrada numa portadora

ff vv

2 0

01 2

01

02

0

02

01

ztztEtzE 00000 coscos

ztztE 000 coscos2

Considere-se a propagaccedilatildeo de um sinal com

Admitindo que o sinal em causa corresponde agrave soma de duas ondas planas que se propagam segundo +z e de frequecircncia 1 e 2 tem-se

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

ztztEtzE 000 coscos2

z

0zE

envolvente portadora

portadora propaga-se agrave velocidade0

0

envolvente propaga-se agrave velocidade

0lim ms1

ddvg

velocidade de grupo

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo normal e anoacutemala

ddvg

1 velocidade de grupo

fv velocidade de fase

fvdd

dd

2f

ff

vddv

v

ddv

v

vv

f

f

fg

1

casos particulares

1 0d

dv ffg vv

2 0d

dv ffg vv

sem dispersatildeo ( constante)fv

dispersatildeo normal ( diminui com )fv

3 0d

dv ffg vv dispersatildeo anoacutemala fv ( aumenta com )

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Um meio bom condutor apresenta dispersatildeo normal ou anoacutemala

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Energia transportada por uma onda

tHE

tEJH

EJ

HEEHHE

(igualdade vectorial)

tEJE

tHHHE

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

JEEEt

HHt

HE

21

21

AAtt

AA

21

222

22EEH

tHE

dvAsdAVS

Nota expressotildees instantacircneas

2Wm

Faculdade de Engenharia

OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 4: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de EngenhariaRelembrando ndash equaccedilotildees de Maxwell em meios LHI sem cargas e sem perdas

ED

tBE

vD

tDJH

0 B

tHE

vE

tEJH

0 H

Notaem meios condutores EJ

HB

tHE

0 E

tEH

0 Hmeios LHI

0v0 J

meios sem cargas e sem perdas

Ondas

Faculdade de EngenhariaRelembrando ndash equaccedilotildees de onda em meios LHI sem cargas e sem perdas

tHE

tEH

0 H

tEH

E

t

2

2

tHH

XXX

22

22

tHH

0 E

0 H

2

22

tHH

2

22

tEE

equaccedilotildees de onda

tHE

Ondas

Faculdade de EngenhariaRelembrando ndash equaccedilatildeo de onda em meios sem cargas e sem perdas

2

22

tHH

2

22

tEE

2

22

tEE

em coordenadas cartesianas

2

2

2

2

2

22

zf

yf

xff

2

2

2

2

2

22

zX

yX

xXX

2

2

2

2

2

2

2

2

tE

zE

yE

xE

2

2

2

2

2

2

2

2

tH

zH

yH

xH

2

22

tHH

Ondas

Faculdade de EngenhariaRelembrando ndash equaccedilatildeo de onda e velocidade de fase

1

fv ms

no vazio

Hm104

Fm1036

1

70

90

ms1031 8

00

cv fvelocidade depende do meio

2

2

2

2

2

2

2

2

tE

zE

yE

xE

2

2

2

2

2

2

2

2

tH

zH

yH

xH

Equaccedilatildeo de onda

2

2

22

2 1t

txuvx

txu

Ondas

Faculdade de EngenhariaRelembrando ndash equaccedilotildees de Maxwell para campos harmoacutenicos em meios LHI sem cargas e sem perdas

tHE

0 E

tEH

0 B

notaccedilatildeo fasorialmeios LHI ( ) sem cargas e sem perdas

HjE

0 E

EjH

0 B

expressotildees temporais fasores

Ondas

Faculdade de EngenhariaEquaccedilotildees de Helmholtz

2

22

tHH

2

22

tEE

022 EE

em notaccedilatildeo fasorial rXjt

trX

022 HH

022 EkE

022 HkH equaccedilotildees de Helmholtz

rXjt

trX 2

2

2

rX 2

equaccedilotildees de onda em meios LHI sem perdas e sem fontes

nota

kvsoluccedilotildees harmoacutenicas

vk

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash campo eleacutectrico

022

2

xx Ek

dzEd

seja zzyyxx uzEuzEuzE ˆˆˆ

0 E

soluccedilatildeo geral

kjrkr 022

zEE

022 EkE

0

zzE

yzE

xzE zyx constzEz 0zEz

zuE ˆ

por exemplo seja

xx uzEE ˆ

xx uzEE ˆ

(lei de Gauss)

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash significado

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

tjIeti Re xx ukztEukztEtzE ˆcosˆcos 00

z

segundo +z segundo -z

ondas planas uniformes amplitude eacute constantenos planos de fase constante

ondas planas fase eacute constante em planosperpendiculares agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

fase e amplitude constantes nos planos z = const

onda plana uniforme que se propaga segundo z

nota

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash campo magneacutetico

xx uzEE ˆ

jkzjkzx eEeEE 00 H

0

H

E

EjJH

HjE

EjH

00

ˆˆˆ

00jkzjkz

zyx

eEeEzyx

uuujH

yjkzjkz ueEeE

zj ˆ00

yjkzjkz ueEkeEk ˆ00

k

yjkzjkz ueEeEH ˆ11

00

z

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash impedacircncia intriacutenseca

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

yjkzjkz ueEeEH ˆ11

00

eacute a impedacircncia intriacutenseca do meio

no vazio

Hm104

Fm1036

1

70

90

3771200

00

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas transversais

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

yjkzjkz ueEeEH ˆ11

00

direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo z

HE

e satildeo perpendiculares entre si e ambos satildeoperpendiculares agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

ondas electromagneacuteticas transversais

ondas TEM

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas transversais

E H de onda EM

httpwwwphyntnuedutwntnujavaindexphptopic=350

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash propagaccedilatildeo numa direcccedilatildeo arbitraacuteria

e

zkykxkj peEE zyx ˆ0

versor que indica direcccedilatildeo do vector campo eleacutectrico (polarizaccedilatildeo)

seja

k

022 EkE

02222 EkEkkk zyx

2222 zyx kkk

zzyyxx ukukukk ˆˆˆ

nak ˆ

componentes de um

vector com valor absolutozyx kkk e

k

erajk peEE n ˆˆ

0

zyx uzuyuxr ˆˆˆ

vector segundo direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

na indica direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash planos de fase constante

planos de fase constante

erajk peEE n ˆˆ

0

constˆ rak n

constˆ ran equaccedilatildeo de planos

perpendiculares a na

y

x

z P

na

r

projecccedilatildeo de na direcccedilatildeo de r na

plano de fase constante e amplitude uniforme

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash direcccedilatildeo do vector campo eleacutectrico

erajk peEE n ˆˆ

0

0 E 0ˆˆ

0 e

rajk peE n 0ˆˆ

0 e

rajk peE n

enrajk paejkE n ˆˆˆ

0

00ˆˆ en paE eacute perpendicular agrave direcccedilatildeode propagaccedilatildeo

fXXfXf

zkykxkjzyx

rajk zyxn euz

uy

ux

e

ˆˆˆˆ

rajkzzyyxx

neukukukj ˆˆˆˆ

rajkn

rajk nn eajkekj ˆˆ ˆ

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas TEM ndash campo magneacutetico

erajk peEE n ˆˆ

0

H

eacute perpendicular agrave direcccedilatildeode propagaccedilatildeo e a

EjH

EaH n

ˆ1

E

XfXfXf

e

rajk pejEH n ˆˆ0

e

rajk pejEH n ˆˆ0

nrajkrajk ajkee nn ˆˆˆ

importante EaH n

ˆ1

HaE n

ˆ

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulario

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas

para ondas TEM que se propagam segundo +z

E

direcccedilatildeo de polarizaccedilatildeo fixa

xeEE zjk ˆ0

se onda polarizada LINEARMENTE segundo x

xzktEtzE ˆcos 0

direcccedilatildeo de indica a POLARIZACcedilAtildeO da onda

zE ˆ

CASO GERAL

ondeyeExeEE zjky

zjkx ˆˆ 00

2

1

20

10

jy

jx

eAE

eAE

satildeo complexos00 yx EE

yeAxeAE zkjzkj ˆˆ 2121

Ondas

Faculdade de Engenharia

p

1A

2A

x

y

1

21tanAA

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo linear

y

zkjx

zkj ueAueAE ˆˆ 2121

tjVetv Re yx uzktAuzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

1 02 A xuzktAtzE ˆcos 11

polarizaccedilatildeo segundo xu

2 01 A polarizaccedilatildeo segundo yu yuzktAtzE ˆcos 22

3 AAA

21

21 segundo p yx uuzktAtzE ˆˆcos

pzktA ˆcos0

AA 20 onde2

ˆˆˆ yx uup

p

1

1

x

ordm45

y

4

21

21

AA yx uAuAzkttzE ˆˆcos 21

pzktA ˆcos0 segundo p

22

210 AAA

22

21

21 ˆˆˆ

AA

uAuAp yx

onde e

e

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular direita

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

5

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo direita polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular direita

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular esquerda

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

6

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

Ax

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo ldquoesquerdardquo polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular esquerda

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

7

21

2

1

2

0

AA

polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos 21

1A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos 21

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 12111

xAE ˆ00 1

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 21

2A

22

22

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash resumo

seja

direcccedilatildeo do versor de polarizaccedilatildeo depende da relaccedilatildeo entreamplitudes das duas ondas

yExEE yx ˆˆ

se ondas em fase onda resultante tem polarizaccedilatildeo linear

se diferenccedila de fase = 90ordm

onda resultante tem polarizaccedilatildeo eliacuteptica

(soma de duas ondas linearmente polarizadas em quadratura no espaccedilo)

circular amplitudes iguaiseliacuteptica amplitudes diferentes

se diferenccedila de fase arbitraacuteria eixos da elipse natildeo coincidem com x e y

onda resultante tem polarizaccedilatildeo circular ou eliacuteptica

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash aplicaccedilotildees

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado perpendicularmente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas AME

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado paralelamente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas TV E

E

E

emitidas em polarizaccedilatildeo circularantena de recepccedilatildeo deve estar num plano normal agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

ondas FM

antenas nos telhados satildeo horizontais

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash permitividade complexa

Equaccedilotildees de Maxwell para campos harmoacutenicos em meios LHI com perdas e sem cargas

HB

ED

tHE

E

tEJH

0 H

EJ

0

0

0

H

E

EjEH

HjE

EjH

Ej c

jc 1

Ejj

1

permitividade complexa

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash tangente de perdas

jc 1tangente de perdas

ctan

bom condutor

bom isolador

comportamento de um dado materialvaria com a frequecircncia

Ex

aacutegua do mar

072Sm4

zf H50

zf GH1

7102 bom condutor

4 condutor

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas planas em meios com perdas ndash constante de propagaccedilatildeo

jc 1

022 EkE

022 HkH

kcck

j

jj 1constante de propagaccedilatildeo

constante de atenuaccedilatildeo

constante de fase

Nota

2

fv

022 EkE c

022 HkH c

zz eEeEE 00

(para propagaccedilatildeo segundo z)

cjk

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash impedacircncia complexa

jc 1

EaH n

ˆ1

EaH nc

ˆ1

c

c

jc

c

1impedacircncia complexa

HE

eem meios com perdas natildeo estatildeo em fase

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulaacuterio

Ondas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Propagaccedilatildeo em meios bons condutores

bom condutor 2

2

fv

o45

EaH n

ˆ1

H

atrasado 45ordm em relaccedilatildeo a E

fv

2 j

j

j

distorccedilatildeo de sinais

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

zeEE 0

factor de atenuaccedilatildeo

zjzeeE 0

para propagaccedilatildeo segundo +z

ze

frequecircncias elevadas elevado onda sofre atenuaccedilatildeo consideraacutevel

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula

profundidade de penetraccedilatildeo

efeito pelicular

)m(11

f

ze

2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

profundidade de penetraccedilatildeo

)m(1

f

material )Hz(60f)mS( )MHz(1f )GHz(1f

prata

cobre

ouro

alumiacutenio

aacutegua do mar

710176

71014

71085

710543

4

mm278

mm538

mm1410

mm9210

m32

mm0660

mm0640

mm0790

mm0840

m250

mm0020

mm00210

mm00250

mm00270

(jaacute natildeo eacute bom condutor a esta frequecircncia)

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

condutor ciliacutendrico a altas frequecircncias a corrente circula numa coroa ciliacutendrica exterior de espessura

satildeo usados tubos ciliacutendricos ocos em condutores para altas frequecircncias (ex antenas)

sdtDIldH

SC

int se e forem nulos tambeacutem eacute nuloH

D

intI

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

circulaccedilatildeo de corrente numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

variaccedilatildeo da resistecircncia com a frequecircncia

resistecircncia DC 2alRDC

resistecircncia AC a

lRAC 2 a

l

2a

RR

DC

AC

a altas frequecircncias a DCAC RR

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo

velocidade de fase velocidade de propagaccedilatildeo da frentede onda

fv

j jj 1

212

112

meios sem perdas eacute constante

meios com perdas natildeo eacute funccedilatildeo linear de depende da frequecircncia

fv

em sinais que consistem numa dada banda de frequecircncias as componentes a diferentes frequecircncias propagam-se a velocidades de fase diferentes distorccedilatildeo do sinal

DISPERSAtildeO

1

fv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash relaccedilatildeo de dispersatildeo meios dispersivos

meios dispersivos meios para os quais a velocidadede fase depende da frequecircncia

meios sem perdas satildeo meios natildeo dispersivos

meios com perdas satildeo meios dispersivos

relaccedilatildeo de dispersatildeo equaccedilatildeo que relacionacom Ex meios sem perdas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

no caso geral

largura de banda centrada numa portadora

ff vv

2 0

01 2

01

02

0

02

01

ztztEtzE 00000 coscos

ztztE 000 coscos2

Considere-se a propagaccedilatildeo de um sinal com

Admitindo que o sinal em causa corresponde agrave soma de duas ondas planas que se propagam segundo +z e de frequecircncia 1 e 2 tem-se

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

ztztEtzE 000 coscos2

z

0zE

envolvente portadora

portadora propaga-se agrave velocidade0

0

envolvente propaga-se agrave velocidade

0lim ms1

ddvg

velocidade de grupo

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo normal e anoacutemala

ddvg

1 velocidade de grupo

fv velocidade de fase

fvdd

dd

2f

ff

vddv

v

ddv

v

vv

f

f

fg

1

casos particulares

1 0d

dv ffg vv

2 0d

dv ffg vv

sem dispersatildeo ( constante)fv

dispersatildeo normal ( diminui com )fv

3 0d

dv ffg vv dispersatildeo anoacutemala fv ( aumenta com )

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Um meio bom condutor apresenta dispersatildeo normal ou anoacutemala

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Energia transportada por uma onda

tHE

tEJH

EJ

HEEHHE

(igualdade vectorial)

tEJE

tHHHE

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

JEEEt

HHt

HE

21

21

AAtt

AA

21

222

22EEH

tHE

dvAsdAVS

Nota expressotildees instantacircneas

2Wm

Faculdade de Engenharia

OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 5: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de EngenhariaRelembrando ndash equaccedilotildees de onda em meios LHI sem cargas e sem perdas

tHE

tEH

0 H

tEH

E

t

2

2

tHH

XXX

22

22

tHH

0 E

0 H

2

22

tHH

2

22

tEE

equaccedilotildees de onda

tHE

Ondas

Faculdade de EngenhariaRelembrando ndash equaccedilatildeo de onda em meios sem cargas e sem perdas

2

22

tHH

2

22

tEE

2

22

tEE

em coordenadas cartesianas

2

2

2

2

2

22

zf

yf

xff

2

2

2

2

2

22

zX

yX

xXX

2

2

2

2

2

2

2

2

tE

zE

yE

xE

2

2

2

2

2

2

2

2

tH

zH

yH

xH

2

22

tHH

Ondas

Faculdade de EngenhariaRelembrando ndash equaccedilatildeo de onda e velocidade de fase

1

fv ms

no vazio

Hm104

Fm1036

1

70

90

ms1031 8

00

cv fvelocidade depende do meio

2

2

2

2

2

2

2

2

tE

zE

yE

xE

2

2

2

2

2

2

2

2

tH

zH

yH

xH

Equaccedilatildeo de onda

2

2

22

2 1t

txuvx

txu

Ondas

Faculdade de EngenhariaRelembrando ndash equaccedilotildees de Maxwell para campos harmoacutenicos em meios LHI sem cargas e sem perdas

tHE

0 E

tEH

0 B

notaccedilatildeo fasorialmeios LHI ( ) sem cargas e sem perdas

HjE

0 E

EjH

0 B

expressotildees temporais fasores

Ondas

Faculdade de EngenhariaEquaccedilotildees de Helmholtz

2

22

tHH

2

22

tEE

022 EE

em notaccedilatildeo fasorial rXjt

trX

022 HH

022 EkE

022 HkH equaccedilotildees de Helmholtz

rXjt

trX 2

2

2

rX 2

equaccedilotildees de onda em meios LHI sem perdas e sem fontes

nota

kvsoluccedilotildees harmoacutenicas

vk

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash campo eleacutectrico

022

2

xx Ek

dzEd

seja zzyyxx uzEuzEuzE ˆˆˆ

0 E

soluccedilatildeo geral

kjrkr 022

zEE

022 EkE

0

zzE

yzE

xzE zyx constzEz 0zEz

zuE ˆ

por exemplo seja

xx uzEE ˆ

xx uzEE ˆ

(lei de Gauss)

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash significado

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

tjIeti Re xx ukztEukztEtzE ˆcosˆcos 00

z

segundo +z segundo -z

ondas planas uniformes amplitude eacute constantenos planos de fase constante

ondas planas fase eacute constante em planosperpendiculares agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

fase e amplitude constantes nos planos z = const

onda plana uniforme que se propaga segundo z

nota

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash campo magneacutetico

xx uzEE ˆ

jkzjkzx eEeEE 00 H

0

H

E

EjJH

HjE

EjH

00

ˆˆˆ

00jkzjkz

zyx

eEeEzyx

uuujH

yjkzjkz ueEeE

zj ˆ00

yjkzjkz ueEkeEk ˆ00

k

yjkzjkz ueEeEH ˆ11

00

z

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash impedacircncia intriacutenseca

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

yjkzjkz ueEeEH ˆ11

00

eacute a impedacircncia intriacutenseca do meio

no vazio

Hm104

Fm1036

1

70

90

3771200

00

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas transversais

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

yjkzjkz ueEeEH ˆ11

00

direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo z

HE

e satildeo perpendiculares entre si e ambos satildeoperpendiculares agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

ondas electromagneacuteticas transversais

ondas TEM

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas transversais

E H de onda EM

httpwwwphyntnuedutwntnujavaindexphptopic=350

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash propagaccedilatildeo numa direcccedilatildeo arbitraacuteria

e

zkykxkj peEE zyx ˆ0

versor que indica direcccedilatildeo do vector campo eleacutectrico (polarizaccedilatildeo)

seja

k

022 EkE

02222 EkEkkk zyx

2222 zyx kkk

zzyyxx ukukukk ˆˆˆ

nak ˆ

componentes de um

vector com valor absolutozyx kkk e

k

erajk peEE n ˆˆ

0

zyx uzuyuxr ˆˆˆ

vector segundo direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

na indica direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash planos de fase constante

planos de fase constante

erajk peEE n ˆˆ

0

constˆ rak n

constˆ ran equaccedilatildeo de planos

perpendiculares a na

y

x

z P

na

r

projecccedilatildeo de na direcccedilatildeo de r na

plano de fase constante e amplitude uniforme

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash direcccedilatildeo do vector campo eleacutectrico

erajk peEE n ˆˆ

0

0 E 0ˆˆ

0 e

rajk peE n 0ˆˆ

0 e

rajk peE n

enrajk paejkE n ˆˆˆ

0

00ˆˆ en paE eacute perpendicular agrave direcccedilatildeode propagaccedilatildeo

fXXfXf

zkykxkjzyx

rajk zyxn euz

uy

ux

e

ˆˆˆˆ

rajkzzyyxx

neukukukj ˆˆˆˆ

rajkn

rajk nn eajkekj ˆˆ ˆ

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas TEM ndash campo magneacutetico

erajk peEE n ˆˆ

0

H

eacute perpendicular agrave direcccedilatildeode propagaccedilatildeo e a

EjH

EaH n

ˆ1

E

XfXfXf

e

rajk pejEH n ˆˆ0

e

rajk pejEH n ˆˆ0

nrajkrajk ajkee nn ˆˆˆ

importante EaH n

ˆ1

HaE n

ˆ

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulario

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas

para ondas TEM que se propagam segundo +z

E

direcccedilatildeo de polarizaccedilatildeo fixa

xeEE zjk ˆ0

se onda polarizada LINEARMENTE segundo x

xzktEtzE ˆcos 0

direcccedilatildeo de indica a POLARIZACcedilAtildeO da onda

zE ˆ

CASO GERAL

ondeyeExeEE zjky

zjkx ˆˆ 00

2

1

20

10

jy

jx

eAE

eAE

satildeo complexos00 yx EE

yeAxeAE zkjzkj ˆˆ 2121

Ondas

Faculdade de Engenharia

p

1A

2A

x

y

1

21tanAA

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo linear

y

zkjx

zkj ueAueAE ˆˆ 2121

tjVetv Re yx uzktAuzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

1 02 A xuzktAtzE ˆcos 11

polarizaccedilatildeo segundo xu

2 01 A polarizaccedilatildeo segundo yu yuzktAtzE ˆcos 22

3 AAA

21

21 segundo p yx uuzktAtzE ˆˆcos

pzktA ˆcos0

AA 20 onde2

ˆˆˆ yx uup

p

1

1

x

ordm45

y

4

21

21

AA yx uAuAzkttzE ˆˆcos 21

pzktA ˆcos0 segundo p

22

210 AAA

22

21

21 ˆˆˆ

AA

uAuAp yx

onde e

e

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular direita

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

5

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo direita polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular direita

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular esquerda

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

6

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

Ax

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo ldquoesquerdardquo polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular esquerda

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

7

21

2

1

2

0

AA

polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos 21

1A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos 21

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 12111

xAE ˆ00 1

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 21

2A

22

22

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash resumo

seja

direcccedilatildeo do versor de polarizaccedilatildeo depende da relaccedilatildeo entreamplitudes das duas ondas

yExEE yx ˆˆ

se ondas em fase onda resultante tem polarizaccedilatildeo linear

se diferenccedila de fase = 90ordm

onda resultante tem polarizaccedilatildeo eliacuteptica

(soma de duas ondas linearmente polarizadas em quadratura no espaccedilo)

circular amplitudes iguaiseliacuteptica amplitudes diferentes

se diferenccedila de fase arbitraacuteria eixos da elipse natildeo coincidem com x e y

onda resultante tem polarizaccedilatildeo circular ou eliacuteptica

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash aplicaccedilotildees

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado perpendicularmente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas AME

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado paralelamente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas TV E

E

E

emitidas em polarizaccedilatildeo circularantena de recepccedilatildeo deve estar num plano normal agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

ondas FM

antenas nos telhados satildeo horizontais

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash permitividade complexa

Equaccedilotildees de Maxwell para campos harmoacutenicos em meios LHI com perdas e sem cargas

HB

ED

tHE

E

tEJH

0 H

EJ

0

0

0

H

E

EjEH

HjE

EjH

Ej c

jc 1

Ejj

1

permitividade complexa

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash tangente de perdas

jc 1tangente de perdas

ctan

bom condutor

bom isolador

comportamento de um dado materialvaria com a frequecircncia

Ex

aacutegua do mar

072Sm4

zf H50

zf GH1

7102 bom condutor

4 condutor

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas planas em meios com perdas ndash constante de propagaccedilatildeo

jc 1

022 EkE

022 HkH

kcck

j

jj 1constante de propagaccedilatildeo

constante de atenuaccedilatildeo

constante de fase

Nota

2

fv

022 EkE c

022 HkH c

zz eEeEE 00

(para propagaccedilatildeo segundo z)

cjk

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash impedacircncia complexa

jc 1

EaH n

ˆ1

EaH nc

ˆ1

c

c

jc

c

1impedacircncia complexa

HE

eem meios com perdas natildeo estatildeo em fase

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulaacuterio

Ondas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Propagaccedilatildeo em meios bons condutores

bom condutor 2

2

fv

o45

EaH n

ˆ1

H

atrasado 45ordm em relaccedilatildeo a E

fv

2 j

j

j

distorccedilatildeo de sinais

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

zeEE 0

factor de atenuaccedilatildeo

zjzeeE 0

para propagaccedilatildeo segundo +z

ze

frequecircncias elevadas elevado onda sofre atenuaccedilatildeo consideraacutevel

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula

profundidade de penetraccedilatildeo

efeito pelicular

)m(11

f

ze

2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

profundidade de penetraccedilatildeo

)m(1

f

material )Hz(60f)mS( )MHz(1f )GHz(1f

prata

cobre

ouro

alumiacutenio

aacutegua do mar

710176

71014

71085

710543

4

mm278

mm538

mm1410

mm9210

m32

mm0660

mm0640

mm0790

mm0840

m250

mm0020

mm00210

mm00250

mm00270

(jaacute natildeo eacute bom condutor a esta frequecircncia)

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

condutor ciliacutendrico a altas frequecircncias a corrente circula numa coroa ciliacutendrica exterior de espessura

satildeo usados tubos ciliacutendricos ocos em condutores para altas frequecircncias (ex antenas)

sdtDIldH

SC

int se e forem nulos tambeacutem eacute nuloH

D

intI

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

circulaccedilatildeo de corrente numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

variaccedilatildeo da resistecircncia com a frequecircncia

resistecircncia DC 2alRDC

resistecircncia AC a

lRAC 2 a

l

2a

RR

DC

AC

a altas frequecircncias a DCAC RR

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo

velocidade de fase velocidade de propagaccedilatildeo da frentede onda

fv

j jj 1

212

112

meios sem perdas eacute constante

meios com perdas natildeo eacute funccedilatildeo linear de depende da frequecircncia

fv

em sinais que consistem numa dada banda de frequecircncias as componentes a diferentes frequecircncias propagam-se a velocidades de fase diferentes distorccedilatildeo do sinal

DISPERSAtildeO

1

fv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash relaccedilatildeo de dispersatildeo meios dispersivos

meios dispersivos meios para os quais a velocidadede fase depende da frequecircncia

meios sem perdas satildeo meios natildeo dispersivos

meios com perdas satildeo meios dispersivos

relaccedilatildeo de dispersatildeo equaccedilatildeo que relacionacom Ex meios sem perdas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

no caso geral

largura de banda centrada numa portadora

ff vv

2 0

01 2

01

02

0

02

01

ztztEtzE 00000 coscos

ztztE 000 coscos2

Considere-se a propagaccedilatildeo de um sinal com

Admitindo que o sinal em causa corresponde agrave soma de duas ondas planas que se propagam segundo +z e de frequecircncia 1 e 2 tem-se

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

ztztEtzE 000 coscos2

z

0zE

envolvente portadora

portadora propaga-se agrave velocidade0

0

envolvente propaga-se agrave velocidade

0lim ms1

ddvg

velocidade de grupo

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo normal e anoacutemala

ddvg

1 velocidade de grupo

fv velocidade de fase

fvdd

dd

2f

ff

vddv

v

ddv

v

vv

f

f

fg

1

casos particulares

1 0d

dv ffg vv

2 0d

dv ffg vv

sem dispersatildeo ( constante)fv

dispersatildeo normal ( diminui com )fv

3 0d

dv ffg vv dispersatildeo anoacutemala fv ( aumenta com )

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Um meio bom condutor apresenta dispersatildeo normal ou anoacutemala

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Energia transportada por uma onda

tHE

tEJH

EJ

HEEHHE

(igualdade vectorial)

tEJE

tHHHE

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

JEEEt

HHt

HE

21

21

AAtt

AA

21

222

22EEH

tHE

dvAsdAVS

Nota expressotildees instantacircneas

2Wm

Faculdade de Engenharia

OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 6: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de EngenhariaRelembrando ndash equaccedilatildeo de onda em meios sem cargas e sem perdas

2

22

tHH

2

22

tEE

2

22

tEE

em coordenadas cartesianas

2

2

2

2

2

22

zf

yf

xff

2

2

2

2

2

22

zX

yX

xXX

2

2

2

2

2

2

2

2

tE

zE

yE

xE

2

2

2

2

2

2

2

2

tH

zH

yH

xH

2

22

tHH

Ondas

Faculdade de EngenhariaRelembrando ndash equaccedilatildeo de onda e velocidade de fase

1

fv ms

no vazio

Hm104

Fm1036

1

70

90

ms1031 8

00

cv fvelocidade depende do meio

2

2

2

2

2

2

2

2

tE

zE

yE

xE

2

2

2

2

2

2

2

2

tH

zH

yH

xH

Equaccedilatildeo de onda

2

2

22

2 1t

txuvx

txu

Ondas

Faculdade de EngenhariaRelembrando ndash equaccedilotildees de Maxwell para campos harmoacutenicos em meios LHI sem cargas e sem perdas

tHE

0 E

tEH

0 B

notaccedilatildeo fasorialmeios LHI ( ) sem cargas e sem perdas

HjE

0 E

EjH

0 B

expressotildees temporais fasores

Ondas

Faculdade de EngenhariaEquaccedilotildees de Helmholtz

2

22

tHH

2

22

tEE

022 EE

em notaccedilatildeo fasorial rXjt

trX

022 HH

022 EkE

022 HkH equaccedilotildees de Helmholtz

rXjt

trX 2

2

2

rX 2

equaccedilotildees de onda em meios LHI sem perdas e sem fontes

nota

kvsoluccedilotildees harmoacutenicas

vk

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash campo eleacutectrico

022

2

xx Ek

dzEd

seja zzyyxx uzEuzEuzE ˆˆˆ

0 E

soluccedilatildeo geral

kjrkr 022

zEE

022 EkE

0

zzE

yzE

xzE zyx constzEz 0zEz

zuE ˆ

por exemplo seja

xx uzEE ˆ

xx uzEE ˆ

(lei de Gauss)

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash significado

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

tjIeti Re xx ukztEukztEtzE ˆcosˆcos 00

z

segundo +z segundo -z

ondas planas uniformes amplitude eacute constantenos planos de fase constante

ondas planas fase eacute constante em planosperpendiculares agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

fase e amplitude constantes nos planos z = const

onda plana uniforme que se propaga segundo z

nota

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash campo magneacutetico

xx uzEE ˆ

jkzjkzx eEeEE 00 H

0

H

E

EjJH

HjE

EjH

00

ˆˆˆ

00jkzjkz

zyx

eEeEzyx

uuujH

yjkzjkz ueEeE

zj ˆ00

yjkzjkz ueEkeEk ˆ00

k

yjkzjkz ueEeEH ˆ11

00

z

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash impedacircncia intriacutenseca

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

yjkzjkz ueEeEH ˆ11

00

eacute a impedacircncia intriacutenseca do meio

no vazio

Hm104

Fm1036

1

70

90

3771200

00

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas transversais

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

yjkzjkz ueEeEH ˆ11

00

direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo z

HE

e satildeo perpendiculares entre si e ambos satildeoperpendiculares agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

ondas electromagneacuteticas transversais

ondas TEM

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas transversais

E H de onda EM

httpwwwphyntnuedutwntnujavaindexphptopic=350

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash propagaccedilatildeo numa direcccedilatildeo arbitraacuteria

e

zkykxkj peEE zyx ˆ0

versor que indica direcccedilatildeo do vector campo eleacutectrico (polarizaccedilatildeo)

seja

k

022 EkE

02222 EkEkkk zyx

2222 zyx kkk

zzyyxx ukukukk ˆˆˆ

nak ˆ

componentes de um

vector com valor absolutozyx kkk e

k

erajk peEE n ˆˆ

0

zyx uzuyuxr ˆˆˆ

vector segundo direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

na indica direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash planos de fase constante

planos de fase constante

erajk peEE n ˆˆ

0

constˆ rak n

constˆ ran equaccedilatildeo de planos

perpendiculares a na

y

x

z P

na

r

projecccedilatildeo de na direcccedilatildeo de r na

plano de fase constante e amplitude uniforme

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash direcccedilatildeo do vector campo eleacutectrico

erajk peEE n ˆˆ

0

0 E 0ˆˆ

0 e

rajk peE n 0ˆˆ

0 e

rajk peE n

enrajk paejkE n ˆˆˆ

0

00ˆˆ en paE eacute perpendicular agrave direcccedilatildeode propagaccedilatildeo

fXXfXf

zkykxkjzyx

rajk zyxn euz

uy

ux

e

ˆˆˆˆ

rajkzzyyxx

neukukukj ˆˆˆˆ

rajkn

rajk nn eajkekj ˆˆ ˆ

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas TEM ndash campo magneacutetico

erajk peEE n ˆˆ

0

H

eacute perpendicular agrave direcccedilatildeode propagaccedilatildeo e a

EjH

EaH n

ˆ1

E

XfXfXf

e

rajk pejEH n ˆˆ0

e

rajk pejEH n ˆˆ0

nrajkrajk ajkee nn ˆˆˆ

importante EaH n

ˆ1

HaE n

ˆ

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulario

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas

para ondas TEM que se propagam segundo +z

E

direcccedilatildeo de polarizaccedilatildeo fixa

xeEE zjk ˆ0

se onda polarizada LINEARMENTE segundo x

xzktEtzE ˆcos 0

direcccedilatildeo de indica a POLARIZACcedilAtildeO da onda

zE ˆ

CASO GERAL

ondeyeExeEE zjky

zjkx ˆˆ 00

2

1

20

10

jy

jx

eAE

eAE

satildeo complexos00 yx EE

yeAxeAE zkjzkj ˆˆ 2121

Ondas

Faculdade de Engenharia

p

1A

2A

x

y

1

21tanAA

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo linear

y

zkjx

zkj ueAueAE ˆˆ 2121

tjVetv Re yx uzktAuzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

1 02 A xuzktAtzE ˆcos 11

polarizaccedilatildeo segundo xu

2 01 A polarizaccedilatildeo segundo yu yuzktAtzE ˆcos 22

3 AAA

21

21 segundo p yx uuzktAtzE ˆˆcos

pzktA ˆcos0

AA 20 onde2

ˆˆˆ yx uup

p

1

1

x

ordm45

y

4

21

21

AA yx uAuAzkttzE ˆˆcos 21

pzktA ˆcos0 segundo p

22

210 AAA

22

21

21 ˆˆˆ

AA

uAuAp yx

onde e

e

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular direita

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

5

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo direita polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular direita

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular esquerda

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

6

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

Ax

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo ldquoesquerdardquo polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular esquerda

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

7

21

2

1

2

0

AA

polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos 21

1A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos 21

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 12111

xAE ˆ00 1

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 21

2A

22

22

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash resumo

seja

direcccedilatildeo do versor de polarizaccedilatildeo depende da relaccedilatildeo entreamplitudes das duas ondas

yExEE yx ˆˆ

se ondas em fase onda resultante tem polarizaccedilatildeo linear

se diferenccedila de fase = 90ordm

onda resultante tem polarizaccedilatildeo eliacuteptica

(soma de duas ondas linearmente polarizadas em quadratura no espaccedilo)

circular amplitudes iguaiseliacuteptica amplitudes diferentes

se diferenccedila de fase arbitraacuteria eixos da elipse natildeo coincidem com x e y

onda resultante tem polarizaccedilatildeo circular ou eliacuteptica

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash aplicaccedilotildees

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado perpendicularmente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas AME

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado paralelamente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas TV E

E

E

emitidas em polarizaccedilatildeo circularantena de recepccedilatildeo deve estar num plano normal agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

ondas FM

antenas nos telhados satildeo horizontais

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash permitividade complexa

Equaccedilotildees de Maxwell para campos harmoacutenicos em meios LHI com perdas e sem cargas

HB

ED

tHE

E

tEJH

0 H

EJ

0

0

0

H

E

EjEH

HjE

EjH

Ej c

jc 1

Ejj

1

permitividade complexa

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash tangente de perdas

jc 1tangente de perdas

ctan

bom condutor

bom isolador

comportamento de um dado materialvaria com a frequecircncia

Ex

aacutegua do mar

072Sm4

zf H50

zf GH1

7102 bom condutor

4 condutor

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas planas em meios com perdas ndash constante de propagaccedilatildeo

jc 1

022 EkE

022 HkH

kcck

j

jj 1constante de propagaccedilatildeo

constante de atenuaccedilatildeo

constante de fase

Nota

2

fv

022 EkE c

022 HkH c

zz eEeEE 00

(para propagaccedilatildeo segundo z)

cjk

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash impedacircncia complexa

jc 1

EaH n

ˆ1

EaH nc

ˆ1

c

c

jc

c

1impedacircncia complexa

HE

eem meios com perdas natildeo estatildeo em fase

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulaacuterio

Ondas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Propagaccedilatildeo em meios bons condutores

bom condutor 2

2

fv

o45

EaH n

ˆ1

H

atrasado 45ordm em relaccedilatildeo a E

fv

2 j

j

j

distorccedilatildeo de sinais

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

zeEE 0

factor de atenuaccedilatildeo

zjzeeE 0

para propagaccedilatildeo segundo +z

ze

frequecircncias elevadas elevado onda sofre atenuaccedilatildeo consideraacutevel

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula

profundidade de penetraccedilatildeo

efeito pelicular

)m(11

f

ze

2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

profundidade de penetraccedilatildeo

)m(1

f

material )Hz(60f)mS( )MHz(1f )GHz(1f

prata

cobre

ouro

alumiacutenio

aacutegua do mar

710176

71014

71085

710543

4

mm278

mm538

mm1410

mm9210

m32

mm0660

mm0640

mm0790

mm0840

m250

mm0020

mm00210

mm00250

mm00270

(jaacute natildeo eacute bom condutor a esta frequecircncia)

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

condutor ciliacutendrico a altas frequecircncias a corrente circula numa coroa ciliacutendrica exterior de espessura

satildeo usados tubos ciliacutendricos ocos em condutores para altas frequecircncias (ex antenas)

sdtDIldH

SC

int se e forem nulos tambeacutem eacute nuloH

D

intI

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

circulaccedilatildeo de corrente numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

variaccedilatildeo da resistecircncia com a frequecircncia

resistecircncia DC 2alRDC

resistecircncia AC a

lRAC 2 a

l

2a

RR

DC

AC

a altas frequecircncias a DCAC RR

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo

velocidade de fase velocidade de propagaccedilatildeo da frentede onda

fv

j jj 1

212

112

meios sem perdas eacute constante

meios com perdas natildeo eacute funccedilatildeo linear de depende da frequecircncia

fv

em sinais que consistem numa dada banda de frequecircncias as componentes a diferentes frequecircncias propagam-se a velocidades de fase diferentes distorccedilatildeo do sinal

DISPERSAtildeO

1

fv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash relaccedilatildeo de dispersatildeo meios dispersivos

meios dispersivos meios para os quais a velocidadede fase depende da frequecircncia

meios sem perdas satildeo meios natildeo dispersivos

meios com perdas satildeo meios dispersivos

relaccedilatildeo de dispersatildeo equaccedilatildeo que relacionacom Ex meios sem perdas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

no caso geral

largura de banda centrada numa portadora

ff vv

2 0

01 2

01

02

0

02

01

ztztEtzE 00000 coscos

ztztE 000 coscos2

Considere-se a propagaccedilatildeo de um sinal com

Admitindo que o sinal em causa corresponde agrave soma de duas ondas planas que se propagam segundo +z e de frequecircncia 1 e 2 tem-se

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

ztztEtzE 000 coscos2

z

0zE

envolvente portadora

portadora propaga-se agrave velocidade0

0

envolvente propaga-se agrave velocidade

0lim ms1

ddvg

velocidade de grupo

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo normal e anoacutemala

ddvg

1 velocidade de grupo

fv velocidade de fase

fvdd

dd

2f

ff

vddv

v

ddv

v

vv

f

f

fg

1

casos particulares

1 0d

dv ffg vv

2 0d

dv ffg vv

sem dispersatildeo ( constante)fv

dispersatildeo normal ( diminui com )fv

3 0d

dv ffg vv dispersatildeo anoacutemala fv ( aumenta com )

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Um meio bom condutor apresenta dispersatildeo normal ou anoacutemala

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Energia transportada por uma onda

tHE

tEJH

EJ

HEEHHE

(igualdade vectorial)

tEJE

tHHHE

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

JEEEt

HHt

HE

21

21

AAtt

AA

21

222

22EEH

tHE

dvAsdAVS

Nota expressotildees instantacircneas

2Wm

Faculdade de Engenharia

OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 7: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de EngenhariaRelembrando ndash equaccedilatildeo de onda e velocidade de fase

1

fv ms

no vazio

Hm104

Fm1036

1

70

90

ms1031 8

00

cv fvelocidade depende do meio

2

2

2

2

2

2

2

2

tE

zE

yE

xE

2

2

2

2

2

2

2

2

tH

zH

yH

xH

Equaccedilatildeo de onda

2

2

22

2 1t

txuvx

txu

Ondas

Faculdade de EngenhariaRelembrando ndash equaccedilotildees de Maxwell para campos harmoacutenicos em meios LHI sem cargas e sem perdas

tHE

0 E

tEH

0 B

notaccedilatildeo fasorialmeios LHI ( ) sem cargas e sem perdas

HjE

0 E

EjH

0 B

expressotildees temporais fasores

Ondas

Faculdade de EngenhariaEquaccedilotildees de Helmholtz

2

22

tHH

2

22

tEE

022 EE

em notaccedilatildeo fasorial rXjt

trX

022 HH

022 EkE

022 HkH equaccedilotildees de Helmholtz

rXjt

trX 2

2

2

rX 2

equaccedilotildees de onda em meios LHI sem perdas e sem fontes

nota

kvsoluccedilotildees harmoacutenicas

vk

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash campo eleacutectrico

022

2

xx Ek

dzEd

seja zzyyxx uzEuzEuzE ˆˆˆ

0 E

soluccedilatildeo geral

kjrkr 022

zEE

022 EkE

0

zzE

yzE

xzE zyx constzEz 0zEz

zuE ˆ

por exemplo seja

xx uzEE ˆ

xx uzEE ˆ

(lei de Gauss)

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash significado

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

tjIeti Re xx ukztEukztEtzE ˆcosˆcos 00

z

segundo +z segundo -z

ondas planas uniformes amplitude eacute constantenos planos de fase constante

ondas planas fase eacute constante em planosperpendiculares agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

fase e amplitude constantes nos planos z = const

onda plana uniforme que se propaga segundo z

nota

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash campo magneacutetico

xx uzEE ˆ

jkzjkzx eEeEE 00 H

0

H

E

EjJH

HjE

EjH

00

ˆˆˆ

00jkzjkz

zyx

eEeEzyx

uuujH

yjkzjkz ueEeE

zj ˆ00

yjkzjkz ueEkeEk ˆ00

k

yjkzjkz ueEeEH ˆ11

00

z

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash impedacircncia intriacutenseca

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

yjkzjkz ueEeEH ˆ11

00

eacute a impedacircncia intriacutenseca do meio

no vazio

Hm104

Fm1036

1

70

90

3771200

00

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas transversais

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

yjkzjkz ueEeEH ˆ11

00

direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo z

HE

e satildeo perpendiculares entre si e ambos satildeoperpendiculares agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

ondas electromagneacuteticas transversais

ondas TEM

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas transversais

E H de onda EM

httpwwwphyntnuedutwntnujavaindexphptopic=350

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash propagaccedilatildeo numa direcccedilatildeo arbitraacuteria

e

zkykxkj peEE zyx ˆ0

versor que indica direcccedilatildeo do vector campo eleacutectrico (polarizaccedilatildeo)

seja

k

022 EkE

02222 EkEkkk zyx

2222 zyx kkk

zzyyxx ukukukk ˆˆˆ

nak ˆ

componentes de um

vector com valor absolutozyx kkk e

k

erajk peEE n ˆˆ

0

zyx uzuyuxr ˆˆˆ

vector segundo direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

na indica direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash planos de fase constante

planos de fase constante

erajk peEE n ˆˆ

0

constˆ rak n

constˆ ran equaccedilatildeo de planos

perpendiculares a na

y

x

z P

na

r

projecccedilatildeo de na direcccedilatildeo de r na

plano de fase constante e amplitude uniforme

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash direcccedilatildeo do vector campo eleacutectrico

erajk peEE n ˆˆ

0

0 E 0ˆˆ

0 e

rajk peE n 0ˆˆ

0 e

rajk peE n

enrajk paejkE n ˆˆˆ

0

00ˆˆ en paE eacute perpendicular agrave direcccedilatildeode propagaccedilatildeo

fXXfXf

zkykxkjzyx

rajk zyxn euz

uy

ux

e

ˆˆˆˆ

rajkzzyyxx

neukukukj ˆˆˆˆ

rajkn

rajk nn eajkekj ˆˆ ˆ

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas TEM ndash campo magneacutetico

erajk peEE n ˆˆ

0

H

eacute perpendicular agrave direcccedilatildeode propagaccedilatildeo e a

EjH

EaH n

ˆ1

E

XfXfXf

e

rajk pejEH n ˆˆ0

e

rajk pejEH n ˆˆ0

nrajkrajk ajkee nn ˆˆˆ

importante EaH n

ˆ1

HaE n

ˆ

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulario

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas

para ondas TEM que se propagam segundo +z

E

direcccedilatildeo de polarizaccedilatildeo fixa

xeEE zjk ˆ0

se onda polarizada LINEARMENTE segundo x

xzktEtzE ˆcos 0

direcccedilatildeo de indica a POLARIZACcedilAtildeO da onda

zE ˆ

CASO GERAL

ondeyeExeEE zjky

zjkx ˆˆ 00

2

1

20

10

jy

jx

eAE

eAE

satildeo complexos00 yx EE

yeAxeAE zkjzkj ˆˆ 2121

Ondas

Faculdade de Engenharia

p

1A

2A

x

y

1

21tanAA

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo linear

y

zkjx

zkj ueAueAE ˆˆ 2121

tjVetv Re yx uzktAuzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

1 02 A xuzktAtzE ˆcos 11

polarizaccedilatildeo segundo xu

2 01 A polarizaccedilatildeo segundo yu yuzktAtzE ˆcos 22

3 AAA

21

21 segundo p yx uuzktAtzE ˆˆcos

pzktA ˆcos0

AA 20 onde2

ˆˆˆ yx uup

p

1

1

x

ordm45

y

4

21

21

AA yx uAuAzkttzE ˆˆcos 21

pzktA ˆcos0 segundo p

22

210 AAA

22

21

21 ˆˆˆ

AA

uAuAp yx

onde e

e

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular direita

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

5

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo direita polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular direita

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular esquerda

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

6

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

Ax

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo ldquoesquerdardquo polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular esquerda

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

7

21

2

1

2

0

AA

polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos 21

1A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos 21

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 12111

xAE ˆ00 1

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 21

2A

22

22

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash resumo

seja

direcccedilatildeo do versor de polarizaccedilatildeo depende da relaccedilatildeo entreamplitudes das duas ondas

yExEE yx ˆˆ

se ondas em fase onda resultante tem polarizaccedilatildeo linear

se diferenccedila de fase = 90ordm

onda resultante tem polarizaccedilatildeo eliacuteptica

(soma de duas ondas linearmente polarizadas em quadratura no espaccedilo)

circular amplitudes iguaiseliacuteptica amplitudes diferentes

se diferenccedila de fase arbitraacuteria eixos da elipse natildeo coincidem com x e y

onda resultante tem polarizaccedilatildeo circular ou eliacuteptica

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash aplicaccedilotildees

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado perpendicularmente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas AME

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado paralelamente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas TV E

E

E

emitidas em polarizaccedilatildeo circularantena de recepccedilatildeo deve estar num plano normal agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

ondas FM

antenas nos telhados satildeo horizontais

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash permitividade complexa

Equaccedilotildees de Maxwell para campos harmoacutenicos em meios LHI com perdas e sem cargas

HB

ED

tHE

E

tEJH

0 H

EJ

0

0

0

H

E

EjEH

HjE

EjH

Ej c

jc 1

Ejj

1

permitividade complexa

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash tangente de perdas

jc 1tangente de perdas

ctan

bom condutor

bom isolador

comportamento de um dado materialvaria com a frequecircncia

Ex

aacutegua do mar

072Sm4

zf H50

zf GH1

7102 bom condutor

4 condutor

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas planas em meios com perdas ndash constante de propagaccedilatildeo

jc 1

022 EkE

022 HkH

kcck

j

jj 1constante de propagaccedilatildeo

constante de atenuaccedilatildeo

constante de fase

Nota

2

fv

022 EkE c

022 HkH c

zz eEeEE 00

(para propagaccedilatildeo segundo z)

cjk

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash impedacircncia complexa

jc 1

EaH n

ˆ1

EaH nc

ˆ1

c

c

jc

c

1impedacircncia complexa

HE

eem meios com perdas natildeo estatildeo em fase

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulaacuterio

Ondas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Propagaccedilatildeo em meios bons condutores

bom condutor 2

2

fv

o45

EaH n

ˆ1

H

atrasado 45ordm em relaccedilatildeo a E

fv

2 j

j

j

distorccedilatildeo de sinais

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

zeEE 0

factor de atenuaccedilatildeo

zjzeeE 0

para propagaccedilatildeo segundo +z

ze

frequecircncias elevadas elevado onda sofre atenuaccedilatildeo consideraacutevel

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula

profundidade de penetraccedilatildeo

efeito pelicular

)m(11

f

ze

2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

profundidade de penetraccedilatildeo

)m(1

f

material )Hz(60f)mS( )MHz(1f )GHz(1f

prata

cobre

ouro

alumiacutenio

aacutegua do mar

710176

71014

71085

710543

4

mm278

mm538

mm1410

mm9210

m32

mm0660

mm0640

mm0790

mm0840

m250

mm0020

mm00210

mm00250

mm00270

(jaacute natildeo eacute bom condutor a esta frequecircncia)

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

condutor ciliacutendrico a altas frequecircncias a corrente circula numa coroa ciliacutendrica exterior de espessura

satildeo usados tubos ciliacutendricos ocos em condutores para altas frequecircncias (ex antenas)

sdtDIldH

SC

int se e forem nulos tambeacutem eacute nuloH

D

intI

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

circulaccedilatildeo de corrente numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

variaccedilatildeo da resistecircncia com a frequecircncia

resistecircncia DC 2alRDC

resistecircncia AC a

lRAC 2 a

l

2a

RR

DC

AC

a altas frequecircncias a DCAC RR

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo

velocidade de fase velocidade de propagaccedilatildeo da frentede onda

fv

j jj 1

212

112

meios sem perdas eacute constante

meios com perdas natildeo eacute funccedilatildeo linear de depende da frequecircncia

fv

em sinais que consistem numa dada banda de frequecircncias as componentes a diferentes frequecircncias propagam-se a velocidades de fase diferentes distorccedilatildeo do sinal

DISPERSAtildeO

1

fv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash relaccedilatildeo de dispersatildeo meios dispersivos

meios dispersivos meios para os quais a velocidadede fase depende da frequecircncia

meios sem perdas satildeo meios natildeo dispersivos

meios com perdas satildeo meios dispersivos

relaccedilatildeo de dispersatildeo equaccedilatildeo que relacionacom Ex meios sem perdas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

no caso geral

largura de banda centrada numa portadora

ff vv

2 0

01 2

01

02

0

02

01

ztztEtzE 00000 coscos

ztztE 000 coscos2

Considere-se a propagaccedilatildeo de um sinal com

Admitindo que o sinal em causa corresponde agrave soma de duas ondas planas que se propagam segundo +z e de frequecircncia 1 e 2 tem-se

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

ztztEtzE 000 coscos2

z

0zE

envolvente portadora

portadora propaga-se agrave velocidade0

0

envolvente propaga-se agrave velocidade

0lim ms1

ddvg

velocidade de grupo

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo normal e anoacutemala

ddvg

1 velocidade de grupo

fv velocidade de fase

fvdd

dd

2f

ff

vddv

v

ddv

v

vv

f

f

fg

1

casos particulares

1 0d

dv ffg vv

2 0d

dv ffg vv

sem dispersatildeo ( constante)fv

dispersatildeo normal ( diminui com )fv

3 0d

dv ffg vv dispersatildeo anoacutemala fv ( aumenta com )

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Um meio bom condutor apresenta dispersatildeo normal ou anoacutemala

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Energia transportada por uma onda

tHE

tEJH

EJ

HEEHHE

(igualdade vectorial)

tEJE

tHHHE

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

JEEEt

HHt

HE

21

21

AAtt

AA

21

222

22EEH

tHE

dvAsdAVS

Nota expressotildees instantacircneas

2Wm

Faculdade de Engenharia

OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 8: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de EngenhariaRelembrando ndash equaccedilotildees de Maxwell para campos harmoacutenicos em meios LHI sem cargas e sem perdas

tHE

0 E

tEH

0 B

notaccedilatildeo fasorialmeios LHI ( ) sem cargas e sem perdas

HjE

0 E

EjH

0 B

expressotildees temporais fasores

Ondas

Faculdade de EngenhariaEquaccedilotildees de Helmholtz

2

22

tHH

2

22

tEE

022 EE

em notaccedilatildeo fasorial rXjt

trX

022 HH

022 EkE

022 HkH equaccedilotildees de Helmholtz

rXjt

trX 2

2

2

rX 2

equaccedilotildees de onda em meios LHI sem perdas e sem fontes

nota

kvsoluccedilotildees harmoacutenicas

vk

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash campo eleacutectrico

022

2

xx Ek

dzEd

seja zzyyxx uzEuzEuzE ˆˆˆ

0 E

soluccedilatildeo geral

kjrkr 022

zEE

022 EkE

0

zzE

yzE

xzE zyx constzEz 0zEz

zuE ˆ

por exemplo seja

xx uzEE ˆ

xx uzEE ˆ

(lei de Gauss)

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash significado

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

tjIeti Re xx ukztEukztEtzE ˆcosˆcos 00

z

segundo +z segundo -z

ondas planas uniformes amplitude eacute constantenos planos de fase constante

ondas planas fase eacute constante em planosperpendiculares agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

fase e amplitude constantes nos planos z = const

onda plana uniforme que se propaga segundo z

nota

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash campo magneacutetico

xx uzEE ˆ

jkzjkzx eEeEE 00 H

0

H

E

EjJH

HjE

EjH

00

ˆˆˆ

00jkzjkz

zyx

eEeEzyx

uuujH

yjkzjkz ueEeE

zj ˆ00

yjkzjkz ueEkeEk ˆ00

k

yjkzjkz ueEeEH ˆ11

00

z

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash impedacircncia intriacutenseca

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

yjkzjkz ueEeEH ˆ11

00

eacute a impedacircncia intriacutenseca do meio

no vazio

Hm104

Fm1036

1

70

90

3771200

00

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas transversais

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

yjkzjkz ueEeEH ˆ11

00

direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo z

HE

e satildeo perpendiculares entre si e ambos satildeoperpendiculares agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

ondas electromagneacuteticas transversais

ondas TEM

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas transversais

E H de onda EM

httpwwwphyntnuedutwntnujavaindexphptopic=350

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash propagaccedilatildeo numa direcccedilatildeo arbitraacuteria

e

zkykxkj peEE zyx ˆ0

versor que indica direcccedilatildeo do vector campo eleacutectrico (polarizaccedilatildeo)

seja

k

022 EkE

02222 EkEkkk zyx

2222 zyx kkk

zzyyxx ukukukk ˆˆˆ

nak ˆ

componentes de um

vector com valor absolutozyx kkk e

k

erajk peEE n ˆˆ

0

zyx uzuyuxr ˆˆˆ

vector segundo direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

na indica direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash planos de fase constante

planos de fase constante

erajk peEE n ˆˆ

0

constˆ rak n

constˆ ran equaccedilatildeo de planos

perpendiculares a na

y

x

z P

na

r

projecccedilatildeo de na direcccedilatildeo de r na

plano de fase constante e amplitude uniforme

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash direcccedilatildeo do vector campo eleacutectrico

erajk peEE n ˆˆ

0

0 E 0ˆˆ

0 e

rajk peE n 0ˆˆ

0 e

rajk peE n

enrajk paejkE n ˆˆˆ

0

00ˆˆ en paE eacute perpendicular agrave direcccedilatildeode propagaccedilatildeo

fXXfXf

zkykxkjzyx

rajk zyxn euz

uy

ux

e

ˆˆˆˆ

rajkzzyyxx

neukukukj ˆˆˆˆ

rajkn

rajk nn eajkekj ˆˆ ˆ

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas TEM ndash campo magneacutetico

erajk peEE n ˆˆ

0

H

eacute perpendicular agrave direcccedilatildeode propagaccedilatildeo e a

EjH

EaH n

ˆ1

E

XfXfXf

e

rajk pejEH n ˆˆ0

e

rajk pejEH n ˆˆ0

nrajkrajk ajkee nn ˆˆˆ

importante EaH n

ˆ1

HaE n

ˆ

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulario

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas

para ondas TEM que se propagam segundo +z

E

direcccedilatildeo de polarizaccedilatildeo fixa

xeEE zjk ˆ0

se onda polarizada LINEARMENTE segundo x

xzktEtzE ˆcos 0

direcccedilatildeo de indica a POLARIZACcedilAtildeO da onda

zE ˆ

CASO GERAL

ondeyeExeEE zjky

zjkx ˆˆ 00

2

1

20

10

jy

jx

eAE

eAE

satildeo complexos00 yx EE

yeAxeAE zkjzkj ˆˆ 2121

Ondas

Faculdade de Engenharia

p

1A

2A

x

y

1

21tanAA

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo linear

y

zkjx

zkj ueAueAE ˆˆ 2121

tjVetv Re yx uzktAuzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

1 02 A xuzktAtzE ˆcos 11

polarizaccedilatildeo segundo xu

2 01 A polarizaccedilatildeo segundo yu yuzktAtzE ˆcos 22

3 AAA

21

21 segundo p yx uuzktAtzE ˆˆcos

pzktA ˆcos0

AA 20 onde2

ˆˆˆ yx uup

p

1

1

x

ordm45

y

4

21

21

AA yx uAuAzkttzE ˆˆcos 21

pzktA ˆcos0 segundo p

22

210 AAA

22

21

21 ˆˆˆ

AA

uAuAp yx

onde e

e

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular direita

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

5

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo direita polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular direita

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular esquerda

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

6

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

Ax

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo ldquoesquerdardquo polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular esquerda

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

7

21

2

1

2

0

AA

polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos 21

1A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos 21

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 12111

xAE ˆ00 1

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 21

2A

22

22

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash resumo

seja

direcccedilatildeo do versor de polarizaccedilatildeo depende da relaccedilatildeo entreamplitudes das duas ondas

yExEE yx ˆˆ

se ondas em fase onda resultante tem polarizaccedilatildeo linear

se diferenccedila de fase = 90ordm

onda resultante tem polarizaccedilatildeo eliacuteptica

(soma de duas ondas linearmente polarizadas em quadratura no espaccedilo)

circular amplitudes iguaiseliacuteptica amplitudes diferentes

se diferenccedila de fase arbitraacuteria eixos da elipse natildeo coincidem com x e y

onda resultante tem polarizaccedilatildeo circular ou eliacuteptica

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash aplicaccedilotildees

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado perpendicularmente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas AME

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado paralelamente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas TV E

E

E

emitidas em polarizaccedilatildeo circularantena de recepccedilatildeo deve estar num plano normal agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

ondas FM

antenas nos telhados satildeo horizontais

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash permitividade complexa

Equaccedilotildees de Maxwell para campos harmoacutenicos em meios LHI com perdas e sem cargas

HB

ED

tHE

E

tEJH

0 H

EJ

0

0

0

H

E

EjEH

HjE

EjH

Ej c

jc 1

Ejj

1

permitividade complexa

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash tangente de perdas

jc 1tangente de perdas

ctan

bom condutor

bom isolador

comportamento de um dado materialvaria com a frequecircncia

Ex

aacutegua do mar

072Sm4

zf H50

zf GH1

7102 bom condutor

4 condutor

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas planas em meios com perdas ndash constante de propagaccedilatildeo

jc 1

022 EkE

022 HkH

kcck

j

jj 1constante de propagaccedilatildeo

constante de atenuaccedilatildeo

constante de fase

Nota

2

fv

022 EkE c

022 HkH c

zz eEeEE 00

(para propagaccedilatildeo segundo z)

cjk

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash impedacircncia complexa

jc 1

EaH n

ˆ1

EaH nc

ˆ1

c

c

jc

c

1impedacircncia complexa

HE

eem meios com perdas natildeo estatildeo em fase

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulaacuterio

Ondas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Propagaccedilatildeo em meios bons condutores

bom condutor 2

2

fv

o45

EaH n

ˆ1

H

atrasado 45ordm em relaccedilatildeo a E

fv

2 j

j

j

distorccedilatildeo de sinais

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

zeEE 0

factor de atenuaccedilatildeo

zjzeeE 0

para propagaccedilatildeo segundo +z

ze

frequecircncias elevadas elevado onda sofre atenuaccedilatildeo consideraacutevel

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula

profundidade de penetraccedilatildeo

efeito pelicular

)m(11

f

ze

2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

profundidade de penetraccedilatildeo

)m(1

f

material )Hz(60f)mS( )MHz(1f )GHz(1f

prata

cobre

ouro

alumiacutenio

aacutegua do mar

710176

71014

71085

710543

4

mm278

mm538

mm1410

mm9210

m32

mm0660

mm0640

mm0790

mm0840

m250

mm0020

mm00210

mm00250

mm00270

(jaacute natildeo eacute bom condutor a esta frequecircncia)

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

condutor ciliacutendrico a altas frequecircncias a corrente circula numa coroa ciliacutendrica exterior de espessura

satildeo usados tubos ciliacutendricos ocos em condutores para altas frequecircncias (ex antenas)

sdtDIldH

SC

int se e forem nulos tambeacutem eacute nuloH

D

intI

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

circulaccedilatildeo de corrente numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

variaccedilatildeo da resistecircncia com a frequecircncia

resistecircncia DC 2alRDC

resistecircncia AC a

lRAC 2 a

l

2a

RR

DC

AC

a altas frequecircncias a DCAC RR

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo

velocidade de fase velocidade de propagaccedilatildeo da frentede onda

fv

j jj 1

212

112

meios sem perdas eacute constante

meios com perdas natildeo eacute funccedilatildeo linear de depende da frequecircncia

fv

em sinais que consistem numa dada banda de frequecircncias as componentes a diferentes frequecircncias propagam-se a velocidades de fase diferentes distorccedilatildeo do sinal

DISPERSAtildeO

1

fv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash relaccedilatildeo de dispersatildeo meios dispersivos

meios dispersivos meios para os quais a velocidadede fase depende da frequecircncia

meios sem perdas satildeo meios natildeo dispersivos

meios com perdas satildeo meios dispersivos

relaccedilatildeo de dispersatildeo equaccedilatildeo que relacionacom Ex meios sem perdas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

no caso geral

largura de banda centrada numa portadora

ff vv

2 0

01 2

01

02

0

02

01

ztztEtzE 00000 coscos

ztztE 000 coscos2

Considere-se a propagaccedilatildeo de um sinal com

Admitindo que o sinal em causa corresponde agrave soma de duas ondas planas que se propagam segundo +z e de frequecircncia 1 e 2 tem-se

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

ztztEtzE 000 coscos2

z

0zE

envolvente portadora

portadora propaga-se agrave velocidade0

0

envolvente propaga-se agrave velocidade

0lim ms1

ddvg

velocidade de grupo

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo normal e anoacutemala

ddvg

1 velocidade de grupo

fv velocidade de fase

fvdd

dd

2f

ff

vddv

v

ddv

v

vv

f

f

fg

1

casos particulares

1 0d

dv ffg vv

2 0d

dv ffg vv

sem dispersatildeo ( constante)fv

dispersatildeo normal ( diminui com )fv

3 0d

dv ffg vv dispersatildeo anoacutemala fv ( aumenta com )

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Um meio bom condutor apresenta dispersatildeo normal ou anoacutemala

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Energia transportada por uma onda

tHE

tEJH

EJ

HEEHHE

(igualdade vectorial)

tEJE

tHHHE

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

JEEEt

HHt

HE

21

21

AAtt

AA

21

222

22EEH

tHE

dvAsdAVS

Nota expressotildees instantacircneas

2Wm

Faculdade de Engenharia

OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 9: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de EngenhariaEquaccedilotildees de Helmholtz

2

22

tHH

2

22

tEE

022 EE

em notaccedilatildeo fasorial rXjt

trX

022 HH

022 EkE

022 HkH equaccedilotildees de Helmholtz

rXjt

trX 2

2

2

rX 2

equaccedilotildees de onda em meios LHI sem perdas e sem fontes

nota

kvsoluccedilotildees harmoacutenicas

vk

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash campo eleacutectrico

022

2

xx Ek

dzEd

seja zzyyxx uzEuzEuzE ˆˆˆ

0 E

soluccedilatildeo geral

kjrkr 022

zEE

022 EkE

0

zzE

yzE

xzE zyx constzEz 0zEz

zuE ˆ

por exemplo seja

xx uzEE ˆ

xx uzEE ˆ

(lei de Gauss)

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash significado

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

tjIeti Re xx ukztEukztEtzE ˆcosˆcos 00

z

segundo +z segundo -z

ondas planas uniformes amplitude eacute constantenos planos de fase constante

ondas planas fase eacute constante em planosperpendiculares agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

fase e amplitude constantes nos planos z = const

onda plana uniforme que se propaga segundo z

nota

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash campo magneacutetico

xx uzEE ˆ

jkzjkzx eEeEE 00 H

0

H

E

EjJH

HjE

EjH

00

ˆˆˆ

00jkzjkz

zyx

eEeEzyx

uuujH

yjkzjkz ueEeE

zj ˆ00

yjkzjkz ueEkeEk ˆ00

k

yjkzjkz ueEeEH ˆ11

00

z

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash impedacircncia intriacutenseca

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

yjkzjkz ueEeEH ˆ11

00

eacute a impedacircncia intriacutenseca do meio

no vazio

Hm104

Fm1036

1

70

90

3771200

00

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas transversais

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

yjkzjkz ueEeEH ˆ11

00

direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo z

HE

e satildeo perpendiculares entre si e ambos satildeoperpendiculares agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

ondas electromagneacuteticas transversais

ondas TEM

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas transversais

E H de onda EM

httpwwwphyntnuedutwntnujavaindexphptopic=350

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash propagaccedilatildeo numa direcccedilatildeo arbitraacuteria

e

zkykxkj peEE zyx ˆ0

versor que indica direcccedilatildeo do vector campo eleacutectrico (polarizaccedilatildeo)

seja

k

022 EkE

02222 EkEkkk zyx

2222 zyx kkk

zzyyxx ukukukk ˆˆˆ

nak ˆ

componentes de um

vector com valor absolutozyx kkk e

k

erajk peEE n ˆˆ

0

zyx uzuyuxr ˆˆˆ

vector segundo direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

na indica direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash planos de fase constante

planos de fase constante

erajk peEE n ˆˆ

0

constˆ rak n

constˆ ran equaccedilatildeo de planos

perpendiculares a na

y

x

z P

na

r

projecccedilatildeo de na direcccedilatildeo de r na

plano de fase constante e amplitude uniforme

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash direcccedilatildeo do vector campo eleacutectrico

erajk peEE n ˆˆ

0

0 E 0ˆˆ

0 e

rajk peE n 0ˆˆ

0 e

rajk peE n

enrajk paejkE n ˆˆˆ

0

00ˆˆ en paE eacute perpendicular agrave direcccedilatildeode propagaccedilatildeo

fXXfXf

zkykxkjzyx

rajk zyxn euz

uy

ux

e

ˆˆˆˆ

rajkzzyyxx

neukukukj ˆˆˆˆ

rajkn

rajk nn eajkekj ˆˆ ˆ

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas TEM ndash campo magneacutetico

erajk peEE n ˆˆ

0

H

eacute perpendicular agrave direcccedilatildeode propagaccedilatildeo e a

EjH

EaH n

ˆ1

E

XfXfXf

e

rajk pejEH n ˆˆ0

e

rajk pejEH n ˆˆ0

nrajkrajk ajkee nn ˆˆˆ

importante EaH n

ˆ1

HaE n

ˆ

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulario

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas

para ondas TEM que se propagam segundo +z

E

direcccedilatildeo de polarizaccedilatildeo fixa

xeEE zjk ˆ0

se onda polarizada LINEARMENTE segundo x

xzktEtzE ˆcos 0

direcccedilatildeo de indica a POLARIZACcedilAtildeO da onda

zE ˆ

CASO GERAL

ondeyeExeEE zjky

zjkx ˆˆ 00

2

1

20

10

jy

jx

eAE

eAE

satildeo complexos00 yx EE

yeAxeAE zkjzkj ˆˆ 2121

Ondas

Faculdade de Engenharia

p

1A

2A

x

y

1

21tanAA

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo linear

y

zkjx

zkj ueAueAE ˆˆ 2121

tjVetv Re yx uzktAuzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

1 02 A xuzktAtzE ˆcos 11

polarizaccedilatildeo segundo xu

2 01 A polarizaccedilatildeo segundo yu yuzktAtzE ˆcos 22

3 AAA

21

21 segundo p yx uuzktAtzE ˆˆcos

pzktA ˆcos0

AA 20 onde2

ˆˆˆ yx uup

p

1

1

x

ordm45

y

4

21

21

AA yx uAuAzkttzE ˆˆcos 21

pzktA ˆcos0 segundo p

22

210 AAA

22

21

21 ˆˆˆ

AA

uAuAp yx

onde e

e

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular direita

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

5

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo direita polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular direita

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular esquerda

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

6

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

Ax

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo ldquoesquerdardquo polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular esquerda

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

7

21

2

1

2

0

AA

polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos 21

1A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos 21

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 12111

xAE ˆ00 1

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 21

2A

22

22

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash resumo

seja

direcccedilatildeo do versor de polarizaccedilatildeo depende da relaccedilatildeo entreamplitudes das duas ondas

yExEE yx ˆˆ

se ondas em fase onda resultante tem polarizaccedilatildeo linear

se diferenccedila de fase = 90ordm

onda resultante tem polarizaccedilatildeo eliacuteptica

(soma de duas ondas linearmente polarizadas em quadratura no espaccedilo)

circular amplitudes iguaiseliacuteptica amplitudes diferentes

se diferenccedila de fase arbitraacuteria eixos da elipse natildeo coincidem com x e y

onda resultante tem polarizaccedilatildeo circular ou eliacuteptica

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash aplicaccedilotildees

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado perpendicularmente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas AME

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado paralelamente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas TV E

E

E

emitidas em polarizaccedilatildeo circularantena de recepccedilatildeo deve estar num plano normal agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

ondas FM

antenas nos telhados satildeo horizontais

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash permitividade complexa

Equaccedilotildees de Maxwell para campos harmoacutenicos em meios LHI com perdas e sem cargas

HB

ED

tHE

E

tEJH

0 H

EJ

0

0

0

H

E

EjEH

HjE

EjH

Ej c

jc 1

Ejj

1

permitividade complexa

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash tangente de perdas

jc 1tangente de perdas

ctan

bom condutor

bom isolador

comportamento de um dado materialvaria com a frequecircncia

Ex

aacutegua do mar

072Sm4

zf H50

zf GH1

7102 bom condutor

4 condutor

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas planas em meios com perdas ndash constante de propagaccedilatildeo

jc 1

022 EkE

022 HkH

kcck

j

jj 1constante de propagaccedilatildeo

constante de atenuaccedilatildeo

constante de fase

Nota

2

fv

022 EkE c

022 HkH c

zz eEeEE 00

(para propagaccedilatildeo segundo z)

cjk

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash impedacircncia complexa

jc 1

EaH n

ˆ1

EaH nc

ˆ1

c

c

jc

c

1impedacircncia complexa

HE

eem meios com perdas natildeo estatildeo em fase

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulaacuterio

Ondas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Propagaccedilatildeo em meios bons condutores

bom condutor 2

2

fv

o45

EaH n

ˆ1

H

atrasado 45ordm em relaccedilatildeo a E

fv

2 j

j

j

distorccedilatildeo de sinais

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

zeEE 0

factor de atenuaccedilatildeo

zjzeeE 0

para propagaccedilatildeo segundo +z

ze

frequecircncias elevadas elevado onda sofre atenuaccedilatildeo consideraacutevel

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula

profundidade de penetraccedilatildeo

efeito pelicular

)m(11

f

ze

2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

profundidade de penetraccedilatildeo

)m(1

f

material )Hz(60f)mS( )MHz(1f )GHz(1f

prata

cobre

ouro

alumiacutenio

aacutegua do mar

710176

71014

71085

710543

4

mm278

mm538

mm1410

mm9210

m32

mm0660

mm0640

mm0790

mm0840

m250

mm0020

mm00210

mm00250

mm00270

(jaacute natildeo eacute bom condutor a esta frequecircncia)

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

condutor ciliacutendrico a altas frequecircncias a corrente circula numa coroa ciliacutendrica exterior de espessura

satildeo usados tubos ciliacutendricos ocos em condutores para altas frequecircncias (ex antenas)

sdtDIldH

SC

int se e forem nulos tambeacutem eacute nuloH

D

intI

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

circulaccedilatildeo de corrente numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

variaccedilatildeo da resistecircncia com a frequecircncia

resistecircncia DC 2alRDC

resistecircncia AC a

lRAC 2 a

l

2a

RR

DC

AC

a altas frequecircncias a DCAC RR

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo

velocidade de fase velocidade de propagaccedilatildeo da frentede onda

fv

j jj 1

212

112

meios sem perdas eacute constante

meios com perdas natildeo eacute funccedilatildeo linear de depende da frequecircncia

fv

em sinais que consistem numa dada banda de frequecircncias as componentes a diferentes frequecircncias propagam-se a velocidades de fase diferentes distorccedilatildeo do sinal

DISPERSAtildeO

1

fv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash relaccedilatildeo de dispersatildeo meios dispersivos

meios dispersivos meios para os quais a velocidadede fase depende da frequecircncia

meios sem perdas satildeo meios natildeo dispersivos

meios com perdas satildeo meios dispersivos

relaccedilatildeo de dispersatildeo equaccedilatildeo que relacionacom Ex meios sem perdas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

no caso geral

largura de banda centrada numa portadora

ff vv

2 0

01 2

01

02

0

02

01

ztztEtzE 00000 coscos

ztztE 000 coscos2

Considere-se a propagaccedilatildeo de um sinal com

Admitindo que o sinal em causa corresponde agrave soma de duas ondas planas que se propagam segundo +z e de frequecircncia 1 e 2 tem-se

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

ztztEtzE 000 coscos2

z

0zE

envolvente portadora

portadora propaga-se agrave velocidade0

0

envolvente propaga-se agrave velocidade

0lim ms1

ddvg

velocidade de grupo

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo normal e anoacutemala

ddvg

1 velocidade de grupo

fv velocidade de fase

fvdd

dd

2f

ff

vddv

v

ddv

v

vv

f

f

fg

1

casos particulares

1 0d

dv ffg vv

2 0d

dv ffg vv

sem dispersatildeo ( constante)fv

dispersatildeo normal ( diminui com )fv

3 0d

dv ffg vv dispersatildeo anoacutemala fv ( aumenta com )

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Um meio bom condutor apresenta dispersatildeo normal ou anoacutemala

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Energia transportada por uma onda

tHE

tEJH

EJ

HEEHHE

(igualdade vectorial)

tEJE

tHHHE

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

JEEEt

HHt

HE

21

21

AAtt

AA

21

222

22EEH

tHE

dvAsdAVS

Nota expressotildees instantacircneas

2Wm

Faculdade de Engenharia

OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 10: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash campo eleacutectrico

022

2

xx Ek

dzEd

seja zzyyxx uzEuzEuzE ˆˆˆ

0 E

soluccedilatildeo geral

kjrkr 022

zEE

022 EkE

0

zzE

yzE

xzE zyx constzEz 0zEz

zuE ˆ

por exemplo seja

xx uzEE ˆ

xx uzEE ˆ

(lei de Gauss)

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash significado

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

tjIeti Re xx ukztEukztEtzE ˆcosˆcos 00

z

segundo +z segundo -z

ondas planas uniformes amplitude eacute constantenos planos de fase constante

ondas planas fase eacute constante em planosperpendiculares agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

fase e amplitude constantes nos planos z = const

onda plana uniforme que se propaga segundo z

nota

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash campo magneacutetico

xx uzEE ˆ

jkzjkzx eEeEE 00 H

0

H

E

EjJH

HjE

EjH

00

ˆˆˆ

00jkzjkz

zyx

eEeEzyx

uuujH

yjkzjkz ueEeE

zj ˆ00

yjkzjkz ueEkeEk ˆ00

k

yjkzjkz ueEeEH ˆ11

00

z

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash impedacircncia intriacutenseca

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

yjkzjkz ueEeEH ˆ11

00

eacute a impedacircncia intriacutenseca do meio

no vazio

Hm104

Fm1036

1

70

90

3771200

00

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas transversais

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

yjkzjkz ueEeEH ˆ11

00

direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo z

HE

e satildeo perpendiculares entre si e ambos satildeoperpendiculares agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

ondas electromagneacuteticas transversais

ondas TEM

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas transversais

E H de onda EM

httpwwwphyntnuedutwntnujavaindexphptopic=350

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash propagaccedilatildeo numa direcccedilatildeo arbitraacuteria

e

zkykxkj peEE zyx ˆ0

versor que indica direcccedilatildeo do vector campo eleacutectrico (polarizaccedilatildeo)

seja

k

022 EkE

02222 EkEkkk zyx

2222 zyx kkk

zzyyxx ukukukk ˆˆˆ

nak ˆ

componentes de um

vector com valor absolutozyx kkk e

k

erajk peEE n ˆˆ

0

zyx uzuyuxr ˆˆˆ

vector segundo direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

na indica direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash planos de fase constante

planos de fase constante

erajk peEE n ˆˆ

0

constˆ rak n

constˆ ran equaccedilatildeo de planos

perpendiculares a na

y

x

z P

na

r

projecccedilatildeo de na direcccedilatildeo de r na

plano de fase constante e amplitude uniforme

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash direcccedilatildeo do vector campo eleacutectrico

erajk peEE n ˆˆ

0

0 E 0ˆˆ

0 e

rajk peE n 0ˆˆ

0 e

rajk peE n

enrajk paejkE n ˆˆˆ

0

00ˆˆ en paE eacute perpendicular agrave direcccedilatildeode propagaccedilatildeo

fXXfXf

zkykxkjzyx

rajk zyxn euz

uy

ux

e

ˆˆˆˆ

rajkzzyyxx

neukukukj ˆˆˆˆ

rajkn

rajk nn eajkekj ˆˆ ˆ

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas TEM ndash campo magneacutetico

erajk peEE n ˆˆ

0

H

eacute perpendicular agrave direcccedilatildeode propagaccedilatildeo e a

EjH

EaH n

ˆ1

E

XfXfXf

e

rajk pejEH n ˆˆ0

e

rajk pejEH n ˆˆ0

nrajkrajk ajkee nn ˆˆˆ

importante EaH n

ˆ1

HaE n

ˆ

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulario

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas

para ondas TEM que se propagam segundo +z

E

direcccedilatildeo de polarizaccedilatildeo fixa

xeEE zjk ˆ0

se onda polarizada LINEARMENTE segundo x

xzktEtzE ˆcos 0

direcccedilatildeo de indica a POLARIZACcedilAtildeO da onda

zE ˆ

CASO GERAL

ondeyeExeEE zjky

zjkx ˆˆ 00

2

1

20

10

jy

jx

eAE

eAE

satildeo complexos00 yx EE

yeAxeAE zkjzkj ˆˆ 2121

Ondas

Faculdade de Engenharia

p

1A

2A

x

y

1

21tanAA

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo linear

y

zkjx

zkj ueAueAE ˆˆ 2121

tjVetv Re yx uzktAuzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

1 02 A xuzktAtzE ˆcos 11

polarizaccedilatildeo segundo xu

2 01 A polarizaccedilatildeo segundo yu yuzktAtzE ˆcos 22

3 AAA

21

21 segundo p yx uuzktAtzE ˆˆcos

pzktA ˆcos0

AA 20 onde2

ˆˆˆ yx uup

p

1

1

x

ordm45

y

4

21

21

AA yx uAuAzkttzE ˆˆcos 21

pzktA ˆcos0 segundo p

22

210 AAA

22

21

21 ˆˆˆ

AA

uAuAp yx

onde e

e

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular direita

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

5

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo direita polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular direita

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular esquerda

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

6

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

Ax

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo ldquoesquerdardquo polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular esquerda

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

7

21

2

1

2

0

AA

polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos 21

1A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos 21

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 12111

xAE ˆ00 1

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 21

2A

22

22

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash resumo

seja

direcccedilatildeo do versor de polarizaccedilatildeo depende da relaccedilatildeo entreamplitudes das duas ondas

yExEE yx ˆˆ

se ondas em fase onda resultante tem polarizaccedilatildeo linear

se diferenccedila de fase = 90ordm

onda resultante tem polarizaccedilatildeo eliacuteptica

(soma de duas ondas linearmente polarizadas em quadratura no espaccedilo)

circular amplitudes iguaiseliacuteptica amplitudes diferentes

se diferenccedila de fase arbitraacuteria eixos da elipse natildeo coincidem com x e y

onda resultante tem polarizaccedilatildeo circular ou eliacuteptica

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash aplicaccedilotildees

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado perpendicularmente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas AME

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado paralelamente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas TV E

E

E

emitidas em polarizaccedilatildeo circularantena de recepccedilatildeo deve estar num plano normal agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

ondas FM

antenas nos telhados satildeo horizontais

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash permitividade complexa

Equaccedilotildees de Maxwell para campos harmoacutenicos em meios LHI com perdas e sem cargas

HB

ED

tHE

E

tEJH

0 H

EJ

0

0

0

H

E

EjEH

HjE

EjH

Ej c

jc 1

Ejj

1

permitividade complexa

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash tangente de perdas

jc 1tangente de perdas

ctan

bom condutor

bom isolador

comportamento de um dado materialvaria com a frequecircncia

Ex

aacutegua do mar

072Sm4

zf H50

zf GH1

7102 bom condutor

4 condutor

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas planas em meios com perdas ndash constante de propagaccedilatildeo

jc 1

022 EkE

022 HkH

kcck

j

jj 1constante de propagaccedilatildeo

constante de atenuaccedilatildeo

constante de fase

Nota

2

fv

022 EkE c

022 HkH c

zz eEeEE 00

(para propagaccedilatildeo segundo z)

cjk

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash impedacircncia complexa

jc 1

EaH n

ˆ1

EaH nc

ˆ1

c

c

jc

c

1impedacircncia complexa

HE

eem meios com perdas natildeo estatildeo em fase

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulaacuterio

Ondas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Propagaccedilatildeo em meios bons condutores

bom condutor 2

2

fv

o45

EaH n

ˆ1

H

atrasado 45ordm em relaccedilatildeo a E

fv

2 j

j

j

distorccedilatildeo de sinais

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

zeEE 0

factor de atenuaccedilatildeo

zjzeeE 0

para propagaccedilatildeo segundo +z

ze

frequecircncias elevadas elevado onda sofre atenuaccedilatildeo consideraacutevel

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula

profundidade de penetraccedilatildeo

efeito pelicular

)m(11

f

ze

2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

profundidade de penetraccedilatildeo

)m(1

f

material )Hz(60f)mS( )MHz(1f )GHz(1f

prata

cobre

ouro

alumiacutenio

aacutegua do mar

710176

71014

71085

710543

4

mm278

mm538

mm1410

mm9210

m32

mm0660

mm0640

mm0790

mm0840

m250

mm0020

mm00210

mm00250

mm00270

(jaacute natildeo eacute bom condutor a esta frequecircncia)

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

condutor ciliacutendrico a altas frequecircncias a corrente circula numa coroa ciliacutendrica exterior de espessura

satildeo usados tubos ciliacutendricos ocos em condutores para altas frequecircncias (ex antenas)

sdtDIldH

SC

int se e forem nulos tambeacutem eacute nuloH

D

intI

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

circulaccedilatildeo de corrente numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

variaccedilatildeo da resistecircncia com a frequecircncia

resistecircncia DC 2alRDC

resistecircncia AC a

lRAC 2 a

l

2a

RR

DC

AC

a altas frequecircncias a DCAC RR

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo

velocidade de fase velocidade de propagaccedilatildeo da frentede onda

fv

j jj 1

212

112

meios sem perdas eacute constante

meios com perdas natildeo eacute funccedilatildeo linear de depende da frequecircncia

fv

em sinais que consistem numa dada banda de frequecircncias as componentes a diferentes frequecircncias propagam-se a velocidades de fase diferentes distorccedilatildeo do sinal

DISPERSAtildeO

1

fv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash relaccedilatildeo de dispersatildeo meios dispersivos

meios dispersivos meios para os quais a velocidadede fase depende da frequecircncia

meios sem perdas satildeo meios natildeo dispersivos

meios com perdas satildeo meios dispersivos

relaccedilatildeo de dispersatildeo equaccedilatildeo que relacionacom Ex meios sem perdas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

no caso geral

largura de banda centrada numa portadora

ff vv

2 0

01 2

01

02

0

02

01

ztztEtzE 00000 coscos

ztztE 000 coscos2

Considere-se a propagaccedilatildeo de um sinal com

Admitindo que o sinal em causa corresponde agrave soma de duas ondas planas que se propagam segundo +z e de frequecircncia 1 e 2 tem-se

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

ztztEtzE 000 coscos2

z

0zE

envolvente portadora

portadora propaga-se agrave velocidade0

0

envolvente propaga-se agrave velocidade

0lim ms1

ddvg

velocidade de grupo

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo normal e anoacutemala

ddvg

1 velocidade de grupo

fv velocidade de fase

fvdd

dd

2f

ff

vddv

v

ddv

v

vv

f

f

fg

1

casos particulares

1 0d

dv ffg vv

2 0d

dv ffg vv

sem dispersatildeo ( constante)fv

dispersatildeo normal ( diminui com )fv

3 0d

dv ffg vv dispersatildeo anoacutemala fv ( aumenta com )

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Um meio bom condutor apresenta dispersatildeo normal ou anoacutemala

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Energia transportada por uma onda

tHE

tEJH

EJ

HEEHHE

(igualdade vectorial)

tEJE

tHHHE

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

JEEEt

HHt

HE

21

21

AAtt

AA

21

222

22EEH

tHE

dvAsdAVS

Nota expressotildees instantacircneas

2Wm

Faculdade de Engenharia

OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 11: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash significado

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

tjIeti Re xx ukztEukztEtzE ˆcosˆcos 00

z

segundo +z segundo -z

ondas planas uniformes amplitude eacute constantenos planos de fase constante

ondas planas fase eacute constante em planosperpendiculares agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

fase e amplitude constantes nos planos z = const

onda plana uniforme que se propaga segundo z

nota

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash campo magneacutetico

xx uzEE ˆ

jkzjkzx eEeEE 00 H

0

H

E

EjJH

HjE

EjH

00

ˆˆˆ

00jkzjkz

zyx

eEeEzyx

uuujH

yjkzjkz ueEeE

zj ˆ00

yjkzjkz ueEkeEk ˆ00

k

yjkzjkz ueEeEH ˆ11

00

z

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash impedacircncia intriacutenseca

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

yjkzjkz ueEeEH ˆ11

00

eacute a impedacircncia intriacutenseca do meio

no vazio

Hm104

Fm1036

1

70

90

3771200

00

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas transversais

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

yjkzjkz ueEeEH ˆ11

00

direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo z

HE

e satildeo perpendiculares entre si e ambos satildeoperpendiculares agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

ondas electromagneacuteticas transversais

ondas TEM

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas transversais

E H de onda EM

httpwwwphyntnuedutwntnujavaindexphptopic=350

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash propagaccedilatildeo numa direcccedilatildeo arbitraacuteria

e

zkykxkj peEE zyx ˆ0

versor que indica direcccedilatildeo do vector campo eleacutectrico (polarizaccedilatildeo)

seja

k

022 EkE

02222 EkEkkk zyx

2222 zyx kkk

zzyyxx ukukukk ˆˆˆ

nak ˆ

componentes de um

vector com valor absolutozyx kkk e

k

erajk peEE n ˆˆ

0

zyx uzuyuxr ˆˆˆ

vector segundo direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

na indica direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash planos de fase constante

planos de fase constante

erajk peEE n ˆˆ

0

constˆ rak n

constˆ ran equaccedilatildeo de planos

perpendiculares a na

y

x

z P

na

r

projecccedilatildeo de na direcccedilatildeo de r na

plano de fase constante e amplitude uniforme

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash direcccedilatildeo do vector campo eleacutectrico

erajk peEE n ˆˆ

0

0 E 0ˆˆ

0 e

rajk peE n 0ˆˆ

0 e

rajk peE n

enrajk paejkE n ˆˆˆ

0

00ˆˆ en paE eacute perpendicular agrave direcccedilatildeode propagaccedilatildeo

fXXfXf

zkykxkjzyx

rajk zyxn euz

uy

ux

e

ˆˆˆˆ

rajkzzyyxx

neukukukj ˆˆˆˆ

rajkn

rajk nn eajkekj ˆˆ ˆ

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas TEM ndash campo magneacutetico

erajk peEE n ˆˆ

0

H

eacute perpendicular agrave direcccedilatildeode propagaccedilatildeo e a

EjH

EaH n

ˆ1

E

XfXfXf

e

rajk pejEH n ˆˆ0

e

rajk pejEH n ˆˆ0

nrajkrajk ajkee nn ˆˆˆ

importante EaH n

ˆ1

HaE n

ˆ

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulario

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas

para ondas TEM que se propagam segundo +z

E

direcccedilatildeo de polarizaccedilatildeo fixa

xeEE zjk ˆ0

se onda polarizada LINEARMENTE segundo x

xzktEtzE ˆcos 0

direcccedilatildeo de indica a POLARIZACcedilAtildeO da onda

zE ˆ

CASO GERAL

ondeyeExeEE zjky

zjkx ˆˆ 00

2

1

20

10

jy

jx

eAE

eAE

satildeo complexos00 yx EE

yeAxeAE zkjzkj ˆˆ 2121

Ondas

Faculdade de Engenharia

p

1A

2A

x

y

1

21tanAA

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo linear

y

zkjx

zkj ueAueAE ˆˆ 2121

tjVetv Re yx uzktAuzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

1 02 A xuzktAtzE ˆcos 11

polarizaccedilatildeo segundo xu

2 01 A polarizaccedilatildeo segundo yu yuzktAtzE ˆcos 22

3 AAA

21

21 segundo p yx uuzktAtzE ˆˆcos

pzktA ˆcos0

AA 20 onde2

ˆˆˆ yx uup

p

1

1

x

ordm45

y

4

21

21

AA yx uAuAzkttzE ˆˆcos 21

pzktA ˆcos0 segundo p

22

210 AAA

22

21

21 ˆˆˆ

AA

uAuAp yx

onde e

e

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular direita

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

5

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo direita polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular direita

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular esquerda

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

6

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

Ax

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo ldquoesquerdardquo polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular esquerda

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

7

21

2

1

2

0

AA

polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos 21

1A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos 21

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 12111

xAE ˆ00 1

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 21

2A

22

22

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash resumo

seja

direcccedilatildeo do versor de polarizaccedilatildeo depende da relaccedilatildeo entreamplitudes das duas ondas

yExEE yx ˆˆ

se ondas em fase onda resultante tem polarizaccedilatildeo linear

se diferenccedila de fase = 90ordm

onda resultante tem polarizaccedilatildeo eliacuteptica

(soma de duas ondas linearmente polarizadas em quadratura no espaccedilo)

circular amplitudes iguaiseliacuteptica amplitudes diferentes

se diferenccedila de fase arbitraacuteria eixos da elipse natildeo coincidem com x e y

onda resultante tem polarizaccedilatildeo circular ou eliacuteptica

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash aplicaccedilotildees

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado perpendicularmente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas AME

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado paralelamente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas TV E

E

E

emitidas em polarizaccedilatildeo circularantena de recepccedilatildeo deve estar num plano normal agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

ondas FM

antenas nos telhados satildeo horizontais

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash permitividade complexa

Equaccedilotildees de Maxwell para campos harmoacutenicos em meios LHI com perdas e sem cargas

HB

ED

tHE

E

tEJH

0 H

EJ

0

0

0

H

E

EjEH

HjE

EjH

Ej c

jc 1

Ejj

1

permitividade complexa

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash tangente de perdas

jc 1tangente de perdas

ctan

bom condutor

bom isolador

comportamento de um dado materialvaria com a frequecircncia

Ex

aacutegua do mar

072Sm4

zf H50

zf GH1

7102 bom condutor

4 condutor

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas planas em meios com perdas ndash constante de propagaccedilatildeo

jc 1

022 EkE

022 HkH

kcck

j

jj 1constante de propagaccedilatildeo

constante de atenuaccedilatildeo

constante de fase

Nota

2

fv

022 EkE c

022 HkH c

zz eEeEE 00

(para propagaccedilatildeo segundo z)

cjk

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash impedacircncia complexa

jc 1

EaH n

ˆ1

EaH nc

ˆ1

c

c

jc

c

1impedacircncia complexa

HE

eem meios com perdas natildeo estatildeo em fase

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulaacuterio

Ondas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Propagaccedilatildeo em meios bons condutores

bom condutor 2

2

fv

o45

EaH n

ˆ1

H

atrasado 45ordm em relaccedilatildeo a E

fv

2 j

j

j

distorccedilatildeo de sinais

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

zeEE 0

factor de atenuaccedilatildeo

zjzeeE 0

para propagaccedilatildeo segundo +z

ze

frequecircncias elevadas elevado onda sofre atenuaccedilatildeo consideraacutevel

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula

profundidade de penetraccedilatildeo

efeito pelicular

)m(11

f

ze

2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

profundidade de penetraccedilatildeo

)m(1

f

material )Hz(60f)mS( )MHz(1f )GHz(1f

prata

cobre

ouro

alumiacutenio

aacutegua do mar

710176

71014

71085

710543

4

mm278

mm538

mm1410

mm9210

m32

mm0660

mm0640

mm0790

mm0840

m250

mm0020

mm00210

mm00250

mm00270

(jaacute natildeo eacute bom condutor a esta frequecircncia)

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

condutor ciliacutendrico a altas frequecircncias a corrente circula numa coroa ciliacutendrica exterior de espessura

satildeo usados tubos ciliacutendricos ocos em condutores para altas frequecircncias (ex antenas)

sdtDIldH

SC

int se e forem nulos tambeacutem eacute nuloH

D

intI

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

circulaccedilatildeo de corrente numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

variaccedilatildeo da resistecircncia com a frequecircncia

resistecircncia DC 2alRDC

resistecircncia AC a

lRAC 2 a

l

2a

RR

DC

AC

a altas frequecircncias a DCAC RR

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo

velocidade de fase velocidade de propagaccedilatildeo da frentede onda

fv

j jj 1

212

112

meios sem perdas eacute constante

meios com perdas natildeo eacute funccedilatildeo linear de depende da frequecircncia

fv

em sinais que consistem numa dada banda de frequecircncias as componentes a diferentes frequecircncias propagam-se a velocidades de fase diferentes distorccedilatildeo do sinal

DISPERSAtildeO

1

fv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash relaccedilatildeo de dispersatildeo meios dispersivos

meios dispersivos meios para os quais a velocidadede fase depende da frequecircncia

meios sem perdas satildeo meios natildeo dispersivos

meios com perdas satildeo meios dispersivos

relaccedilatildeo de dispersatildeo equaccedilatildeo que relacionacom Ex meios sem perdas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

no caso geral

largura de banda centrada numa portadora

ff vv

2 0

01 2

01

02

0

02

01

ztztEtzE 00000 coscos

ztztE 000 coscos2

Considere-se a propagaccedilatildeo de um sinal com

Admitindo que o sinal em causa corresponde agrave soma de duas ondas planas que se propagam segundo +z e de frequecircncia 1 e 2 tem-se

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

ztztEtzE 000 coscos2

z

0zE

envolvente portadora

portadora propaga-se agrave velocidade0

0

envolvente propaga-se agrave velocidade

0lim ms1

ddvg

velocidade de grupo

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo normal e anoacutemala

ddvg

1 velocidade de grupo

fv velocidade de fase

fvdd

dd

2f

ff

vddv

v

ddv

v

vv

f

f

fg

1

casos particulares

1 0d

dv ffg vv

2 0d

dv ffg vv

sem dispersatildeo ( constante)fv

dispersatildeo normal ( diminui com )fv

3 0d

dv ffg vv dispersatildeo anoacutemala fv ( aumenta com )

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Um meio bom condutor apresenta dispersatildeo normal ou anoacutemala

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Energia transportada por uma onda

tHE

tEJH

EJ

HEEHHE

(igualdade vectorial)

tEJE

tHHHE

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

JEEEt

HHt

HE

21

21

AAtt

AA

21

222

22EEH

tHE

dvAsdAVS

Nota expressotildees instantacircneas

2Wm

Faculdade de Engenharia

OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 12: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash campo magneacutetico

xx uzEE ˆ

jkzjkzx eEeEE 00 H

0

H

E

EjJH

HjE

EjH

00

ˆˆˆ

00jkzjkz

zyx

eEeEzyx

uuujH

yjkzjkz ueEeE

zj ˆ00

yjkzjkz ueEkeEk ˆ00

k

yjkzjkz ueEeEH ˆ11

00

z

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash impedacircncia intriacutenseca

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

yjkzjkz ueEeEH ˆ11

00

eacute a impedacircncia intriacutenseca do meio

no vazio

Hm104

Fm1036

1

70

90

3771200

00

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas transversais

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

yjkzjkz ueEeEH ˆ11

00

direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo z

HE

e satildeo perpendiculares entre si e ambos satildeoperpendiculares agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

ondas electromagneacuteticas transversais

ondas TEM

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas transversais

E H de onda EM

httpwwwphyntnuedutwntnujavaindexphptopic=350

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash propagaccedilatildeo numa direcccedilatildeo arbitraacuteria

e

zkykxkj peEE zyx ˆ0

versor que indica direcccedilatildeo do vector campo eleacutectrico (polarizaccedilatildeo)

seja

k

022 EkE

02222 EkEkkk zyx

2222 zyx kkk

zzyyxx ukukukk ˆˆˆ

nak ˆ

componentes de um

vector com valor absolutozyx kkk e

k

erajk peEE n ˆˆ

0

zyx uzuyuxr ˆˆˆ

vector segundo direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

na indica direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash planos de fase constante

planos de fase constante

erajk peEE n ˆˆ

0

constˆ rak n

constˆ ran equaccedilatildeo de planos

perpendiculares a na

y

x

z P

na

r

projecccedilatildeo de na direcccedilatildeo de r na

plano de fase constante e amplitude uniforme

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash direcccedilatildeo do vector campo eleacutectrico

erajk peEE n ˆˆ

0

0 E 0ˆˆ

0 e

rajk peE n 0ˆˆ

0 e

rajk peE n

enrajk paejkE n ˆˆˆ

0

00ˆˆ en paE eacute perpendicular agrave direcccedilatildeode propagaccedilatildeo

fXXfXf

zkykxkjzyx

rajk zyxn euz

uy

ux

e

ˆˆˆˆ

rajkzzyyxx

neukukukj ˆˆˆˆ

rajkn

rajk nn eajkekj ˆˆ ˆ

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas TEM ndash campo magneacutetico

erajk peEE n ˆˆ

0

H

eacute perpendicular agrave direcccedilatildeode propagaccedilatildeo e a

EjH

EaH n

ˆ1

E

XfXfXf

e

rajk pejEH n ˆˆ0

e

rajk pejEH n ˆˆ0

nrajkrajk ajkee nn ˆˆˆ

importante EaH n

ˆ1

HaE n

ˆ

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulario

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas

para ondas TEM que se propagam segundo +z

E

direcccedilatildeo de polarizaccedilatildeo fixa

xeEE zjk ˆ0

se onda polarizada LINEARMENTE segundo x

xzktEtzE ˆcos 0

direcccedilatildeo de indica a POLARIZACcedilAtildeO da onda

zE ˆ

CASO GERAL

ondeyeExeEE zjky

zjkx ˆˆ 00

2

1

20

10

jy

jx

eAE

eAE

satildeo complexos00 yx EE

yeAxeAE zkjzkj ˆˆ 2121

Ondas

Faculdade de Engenharia

p

1A

2A

x

y

1

21tanAA

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo linear

y

zkjx

zkj ueAueAE ˆˆ 2121

tjVetv Re yx uzktAuzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

1 02 A xuzktAtzE ˆcos 11

polarizaccedilatildeo segundo xu

2 01 A polarizaccedilatildeo segundo yu yuzktAtzE ˆcos 22

3 AAA

21

21 segundo p yx uuzktAtzE ˆˆcos

pzktA ˆcos0

AA 20 onde2

ˆˆˆ yx uup

p

1

1

x

ordm45

y

4

21

21

AA yx uAuAzkttzE ˆˆcos 21

pzktA ˆcos0 segundo p

22

210 AAA

22

21

21 ˆˆˆ

AA

uAuAp yx

onde e

e

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular direita

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

5

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo direita polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular direita

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular esquerda

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

6

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

Ax

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo ldquoesquerdardquo polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular esquerda

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

7

21

2

1

2

0

AA

polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos 21

1A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos 21

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 12111

xAE ˆ00 1

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 21

2A

22

22

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash resumo

seja

direcccedilatildeo do versor de polarizaccedilatildeo depende da relaccedilatildeo entreamplitudes das duas ondas

yExEE yx ˆˆ

se ondas em fase onda resultante tem polarizaccedilatildeo linear

se diferenccedila de fase = 90ordm

onda resultante tem polarizaccedilatildeo eliacuteptica

(soma de duas ondas linearmente polarizadas em quadratura no espaccedilo)

circular amplitudes iguaiseliacuteptica amplitudes diferentes

se diferenccedila de fase arbitraacuteria eixos da elipse natildeo coincidem com x e y

onda resultante tem polarizaccedilatildeo circular ou eliacuteptica

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash aplicaccedilotildees

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado perpendicularmente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas AME

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado paralelamente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas TV E

E

E

emitidas em polarizaccedilatildeo circularantena de recepccedilatildeo deve estar num plano normal agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

ondas FM

antenas nos telhados satildeo horizontais

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash permitividade complexa

Equaccedilotildees de Maxwell para campos harmoacutenicos em meios LHI com perdas e sem cargas

HB

ED

tHE

E

tEJH

0 H

EJ

0

0

0

H

E

EjEH

HjE

EjH

Ej c

jc 1

Ejj

1

permitividade complexa

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash tangente de perdas

jc 1tangente de perdas

ctan

bom condutor

bom isolador

comportamento de um dado materialvaria com a frequecircncia

Ex

aacutegua do mar

072Sm4

zf H50

zf GH1

7102 bom condutor

4 condutor

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas planas em meios com perdas ndash constante de propagaccedilatildeo

jc 1

022 EkE

022 HkH

kcck

j

jj 1constante de propagaccedilatildeo

constante de atenuaccedilatildeo

constante de fase

Nota

2

fv

022 EkE c

022 HkH c

zz eEeEE 00

(para propagaccedilatildeo segundo z)

cjk

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash impedacircncia complexa

jc 1

EaH n

ˆ1

EaH nc

ˆ1

c

c

jc

c

1impedacircncia complexa

HE

eem meios com perdas natildeo estatildeo em fase

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulaacuterio

Ondas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Propagaccedilatildeo em meios bons condutores

bom condutor 2

2

fv

o45

EaH n

ˆ1

H

atrasado 45ordm em relaccedilatildeo a E

fv

2 j

j

j

distorccedilatildeo de sinais

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

zeEE 0

factor de atenuaccedilatildeo

zjzeeE 0

para propagaccedilatildeo segundo +z

ze

frequecircncias elevadas elevado onda sofre atenuaccedilatildeo consideraacutevel

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula

profundidade de penetraccedilatildeo

efeito pelicular

)m(11

f

ze

2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

profundidade de penetraccedilatildeo

)m(1

f

material )Hz(60f)mS( )MHz(1f )GHz(1f

prata

cobre

ouro

alumiacutenio

aacutegua do mar

710176

71014

71085

710543

4

mm278

mm538

mm1410

mm9210

m32

mm0660

mm0640

mm0790

mm0840

m250

mm0020

mm00210

mm00250

mm00270

(jaacute natildeo eacute bom condutor a esta frequecircncia)

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

condutor ciliacutendrico a altas frequecircncias a corrente circula numa coroa ciliacutendrica exterior de espessura

satildeo usados tubos ciliacutendricos ocos em condutores para altas frequecircncias (ex antenas)

sdtDIldH

SC

int se e forem nulos tambeacutem eacute nuloH

D

intI

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

circulaccedilatildeo de corrente numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

variaccedilatildeo da resistecircncia com a frequecircncia

resistecircncia DC 2alRDC

resistecircncia AC a

lRAC 2 a

l

2a

RR

DC

AC

a altas frequecircncias a DCAC RR

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo

velocidade de fase velocidade de propagaccedilatildeo da frentede onda

fv

j jj 1

212

112

meios sem perdas eacute constante

meios com perdas natildeo eacute funccedilatildeo linear de depende da frequecircncia

fv

em sinais que consistem numa dada banda de frequecircncias as componentes a diferentes frequecircncias propagam-se a velocidades de fase diferentes distorccedilatildeo do sinal

DISPERSAtildeO

1

fv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash relaccedilatildeo de dispersatildeo meios dispersivos

meios dispersivos meios para os quais a velocidadede fase depende da frequecircncia

meios sem perdas satildeo meios natildeo dispersivos

meios com perdas satildeo meios dispersivos

relaccedilatildeo de dispersatildeo equaccedilatildeo que relacionacom Ex meios sem perdas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

no caso geral

largura de banda centrada numa portadora

ff vv

2 0

01 2

01

02

0

02

01

ztztEtzE 00000 coscos

ztztE 000 coscos2

Considere-se a propagaccedilatildeo de um sinal com

Admitindo que o sinal em causa corresponde agrave soma de duas ondas planas que se propagam segundo +z e de frequecircncia 1 e 2 tem-se

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

ztztEtzE 000 coscos2

z

0zE

envolvente portadora

portadora propaga-se agrave velocidade0

0

envolvente propaga-se agrave velocidade

0lim ms1

ddvg

velocidade de grupo

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo normal e anoacutemala

ddvg

1 velocidade de grupo

fv velocidade de fase

fvdd

dd

2f

ff

vddv

v

ddv

v

vv

f

f

fg

1

casos particulares

1 0d

dv ffg vv

2 0d

dv ffg vv

sem dispersatildeo ( constante)fv

dispersatildeo normal ( diminui com )fv

3 0d

dv ffg vv dispersatildeo anoacutemala fv ( aumenta com )

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Um meio bom condutor apresenta dispersatildeo normal ou anoacutemala

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Energia transportada por uma onda

tHE

tEJH

EJ

HEEHHE

(igualdade vectorial)

tEJE

tHHHE

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

JEEEt

HHt

HE

21

21

AAtt

AA

21

222

22EEH

tHE

dvAsdAVS

Nota expressotildees instantacircneas

2Wm

Faculdade de Engenharia

OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 13: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas planas ndash impedacircncia intriacutenseca

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

yjkzjkz ueEeEH ˆ11

00

eacute a impedacircncia intriacutenseca do meio

no vazio

Hm104

Fm1036

1

70

90

3771200

00

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas transversais

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

yjkzjkz ueEeEH ˆ11

00

direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo z

HE

e satildeo perpendiculares entre si e ambos satildeoperpendiculares agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

ondas electromagneacuteticas transversais

ondas TEM

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas transversais

E H de onda EM

httpwwwphyntnuedutwntnujavaindexphptopic=350

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash propagaccedilatildeo numa direcccedilatildeo arbitraacuteria

e

zkykxkj peEE zyx ˆ0

versor que indica direcccedilatildeo do vector campo eleacutectrico (polarizaccedilatildeo)

seja

k

022 EkE

02222 EkEkkk zyx

2222 zyx kkk

zzyyxx ukukukk ˆˆˆ

nak ˆ

componentes de um

vector com valor absolutozyx kkk e

k

erajk peEE n ˆˆ

0

zyx uzuyuxr ˆˆˆ

vector segundo direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

na indica direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash planos de fase constante

planos de fase constante

erajk peEE n ˆˆ

0

constˆ rak n

constˆ ran equaccedilatildeo de planos

perpendiculares a na

y

x

z P

na

r

projecccedilatildeo de na direcccedilatildeo de r na

plano de fase constante e amplitude uniforme

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash direcccedilatildeo do vector campo eleacutectrico

erajk peEE n ˆˆ

0

0 E 0ˆˆ

0 e

rajk peE n 0ˆˆ

0 e

rajk peE n

enrajk paejkE n ˆˆˆ

0

00ˆˆ en paE eacute perpendicular agrave direcccedilatildeode propagaccedilatildeo

fXXfXf

zkykxkjzyx

rajk zyxn euz

uy

ux

e

ˆˆˆˆ

rajkzzyyxx

neukukukj ˆˆˆˆ

rajkn

rajk nn eajkekj ˆˆ ˆ

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas TEM ndash campo magneacutetico

erajk peEE n ˆˆ

0

H

eacute perpendicular agrave direcccedilatildeode propagaccedilatildeo e a

EjH

EaH n

ˆ1

E

XfXfXf

e

rajk pejEH n ˆˆ0

e

rajk pejEH n ˆˆ0

nrajkrajk ajkee nn ˆˆˆ

importante EaH n

ˆ1

HaE n

ˆ

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulario

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas

para ondas TEM que se propagam segundo +z

E

direcccedilatildeo de polarizaccedilatildeo fixa

xeEE zjk ˆ0

se onda polarizada LINEARMENTE segundo x

xzktEtzE ˆcos 0

direcccedilatildeo de indica a POLARIZACcedilAtildeO da onda

zE ˆ

CASO GERAL

ondeyeExeEE zjky

zjkx ˆˆ 00

2

1

20

10

jy

jx

eAE

eAE

satildeo complexos00 yx EE

yeAxeAE zkjzkj ˆˆ 2121

Ondas

Faculdade de Engenharia

p

1A

2A

x

y

1

21tanAA

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo linear

y

zkjx

zkj ueAueAE ˆˆ 2121

tjVetv Re yx uzktAuzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

1 02 A xuzktAtzE ˆcos 11

polarizaccedilatildeo segundo xu

2 01 A polarizaccedilatildeo segundo yu yuzktAtzE ˆcos 22

3 AAA

21

21 segundo p yx uuzktAtzE ˆˆcos

pzktA ˆcos0

AA 20 onde2

ˆˆˆ yx uup

p

1

1

x

ordm45

y

4

21

21

AA yx uAuAzkttzE ˆˆcos 21

pzktA ˆcos0 segundo p

22

210 AAA

22

21

21 ˆˆˆ

AA

uAuAp yx

onde e

e

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular direita

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

5

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo direita polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular direita

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular esquerda

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

6

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

Ax

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo ldquoesquerdardquo polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular esquerda

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

7

21

2

1

2

0

AA

polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos 21

1A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos 21

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 12111

xAE ˆ00 1

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 21

2A

22

22

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash resumo

seja

direcccedilatildeo do versor de polarizaccedilatildeo depende da relaccedilatildeo entreamplitudes das duas ondas

yExEE yx ˆˆ

se ondas em fase onda resultante tem polarizaccedilatildeo linear

se diferenccedila de fase = 90ordm

onda resultante tem polarizaccedilatildeo eliacuteptica

(soma de duas ondas linearmente polarizadas em quadratura no espaccedilo)

circular amplitudes iguaiseliacuteptica amplitudes diferentes

se diferenccedila de fase arbitraacuteria eixos da elipse natildeo coincidem com x e y

onda resultante tem polarizaccedilatildeo circular ou eliacuteptica

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash aplicaccedilotildees

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado perpendicularmente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas AME

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado paralelamente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas TV E

E

E

emitidas em polarizaccedilatildeo circularantena de recepccedilatildeo deve estar num plano normal agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

ondas FM

antenas nos telhados satildeo horizontais

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash permitividade complexa

Equaccedilotildees de Maxwell para campos harmoacutenicos em meios LHI com perdas e sem cargas

HB

ED

tHE

E

tEJH

0 H

EJ

0

0

0

H

E

EjEH

HjE

EjH

Ej c

jc 1

Ejj

1

permitividade complexa

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash tangente de perdas

jc 1tangente de perdas

ctan

bom condutor

bom isolador

comportamento de um dado materialvaria com a frequecircncia

Ex

aacutegua do mar

072Sm4

zf H50

zf GH1

7102 bom condutor

4 condutor

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas planas em meios com perdas ndash constante de propagaccedilatildeo

jc 1

022 EkE

022 HkH

kcck

j

jj 1constante de propagaccedilatildeo

constante de atenuaccedilatildeo

constante de fase

Nota

2

fv

022 EkE c

022 HkH c

zz eEeEE 00

(para propagaccedilatildeo segundo z)

cjk

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash impedacircncia complexa

jc 1

EaH n

ˆ1

EaH nc

ˆ1

c

c

jc

c

1impedacircncia complexa

HE

eem meios com perdas natildeo estatildeo em fase

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulaacuterio

Ondas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Propagaccedilatildeo em meios bons condutores

bom condutor 2

2

fv

o45

EaH n

ˆ1

H

atrasado 45ordm em relaccedilatildeo a E

fv

2 j

j

j

distorccedilatildeo de sinais

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

zeEE 0

factor de atenuaccedilatildeo

zjzeeE 0

para propagaccedilatildeo segundo +z

ze

frequecircncias elevadas elevado onda sofre atenuaccedilatildeo consideraacutevel

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula

profundidade de penetraccedilatildeo

efeito pelicular

)m(11

f

ze

2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

profundidade de penetraccedilatildeo

)m(1

f

material )Hz(60f)mS( )MHz(1f )GHz(1f

prata

cobre

ouro

alumiacutenio

aacutegua do mar

710176

71014

71085

710543

4

mm278

mm538

mm1410

mm9210

m32

mm0660

mm0640

mm0790

mm0840

m250

mm0020

mm00210

mm00250

mm00270

(jaacute natildeo eacute bom condutor a esta frequecircncia)

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

condutor ciliacutendrico a altas frequecircncias a corrente circula numa coroa ciliacutendrica exterior de espessura

satildeo usados tubos ciliacutendricos ocos em condutores para altas frequecircncias (ex antenas)

sdtDIldH

SC

int se e forem nulos tambeacutem eacute nuloH

D

intI

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

circulaccedilatildeo de corrente numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

variaccedilatildeo da resistecircncia com a frequecircncia

resistecircncia DC 2alRDC

resistecircncia AC a

lRAC 2 a

l

2a

RR

DC

AC

a altas frequecircncias a DCAC RR

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo

velocidade de fase velocidade de propagaccedilatildeo da frentede onda

fv

j jj 1

212

112

meios sem perdas eacute constante

meios com perdas natildeo eacute funccedilatildeo linear de depende da frequecircncia

fv

em sinais que consistem numa dada banda de frequecircncias as componentes a diferentes frequecircncias propagam-se a velocidades de fase diferentes distorccedilatildeo do sinal

DISPERSAtildeO

1

fv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash relaccedilatildeo de dispersatildeo meios dispersivos

meios dispersivos meios para os quais a velocidadede fase depende da frequecircncia

meios sem perdas satildeo meios natildeo dispersivos

meios com perdas satildeo meios dispersivos

relaccedilatildeo de dispersatildeo equaccedilatildeo que relacionacom Ex meios sem perdas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

no caso geral

largura de banda centrada numa portadora

ff vv

2 0

01 2

01

02

0

02

01

ztztEtzE 00000 coscos

ztztE 000 coscos2

Considere-se a propagaccedilatildeo de um sinal com

Admitindo que o sinal em causa corresponde agrave soma de duas ondas planas que se propagam segundo +z e de frequecircncia 1 e 2 tem-se

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

ztztEtzE 000 coscos2

z

0zE

envolvente portadora

portadora propaga-se agrave velocidade0

0

envolvente propaga-se agrave velocidade

0lim ms1

ddvg

velocidade de grupo

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo normal e anoacutemala

ddvg

1 velocidade de grupo

fv velocidade de fase

fvdd

dd

2f

ff

vddv

v

ddv

v

vv

f

f

fg

1

casos particulares

1 0d

dv ffg vv

2 0d

dv ffg vv

sem dispersatildeo ( constante)fv

dispersatildeo normal ( diminui com )fv

3 0d

dv ffg vv dispersatildeo anoacutemala fv ( aumenta com )

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Um meio bom condutor apresenta dispersatildeo normal ou anoacutemala

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Energia transportada por uma onda

tHE

tEJH

EJ

HEEHHE

(igualdade vectorial)

tEJE

tHHHE

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

JEEEt

HHt

HE

21

21

AAtt

AA

21

222

22EEH

tHE

dvAsdAVS

Nota expressotildees instantacircneas

2Wm

Faculdade de Engenharia

OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 14: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas transversais

xjkzjkz ueEeEE ˆ00

yjkzjkz ueEeEH ˆ11

00

direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo z

HE

e satildeo perpendiculares entre si e ambos satildeoperpendiculares agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

ondas electromagneacuteticas transversais

ondas TEM

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas transversais

E H de onda EM

httpwwwphyntnuedutwntnujavaindexphptopic=350

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash propagaccedilatildeo numa direcccedilatildeo arbitraacuteria

e

zkykxkj peEE zyx ˆ0

versor que indica direcccedilatildeo do vector campo eleacutectrico (polarizaccedilatildeo)

seja

k

022 EkE

02222 EkEkkk zyx

2222 zyx kkk

zzyyxx ukukukk ˆˆˆ

nak ˆ

componentes de um

vector com valor absolutozyx kkk e

k

erajk peEE n ˆˆ

0

zyx uzuyuxr ˆˆˆ

vector segundo direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

na indica direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash planos de fase constante

planos de fase constante

erajk peEE n ˆˆ

0

constˆ rak n

constˆ ran equaccedilatildeo de planos

perpendiculares a na

y

x

z P

na

r

projecccedilatildeo de na direcccedilatildeo de r na

plano de fase constante e amplitude uniforme

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash direcccedilatildeo do vector campo eleacutectrico

erajk peEE n ˆˆ

0

0 E 0ˆˆ

0 e

rajk peE n 0ˆˆ

0 e

rajk peE n

enrajk paejkE n ˆˆˆ

0

00ˆˆ en paE eacute perpendicular agrave direcccedilatildeode propagaccedilatildeo

fXXfXf

zkykxkjzyx

rajk zyxn euz

uy

ux

e

ˆˆˆˆ

rajkzzyyxx

neukukukj ˆˆˆˆ

rajkn

rajk nn eajkekj ˆˆ ˆ

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas TEM ndash campo magneacutetico

erajk peEE n ˆˆ

0

H

eacute perpendicular agrave direcccedilatildeode propagaccedilatildeo e a

EjH

EaH n

ˆ1

E

XfXfXf

e

rajk pejEH n ˆˆ0

e

rajk pejEH n ˆˆ0

nrajkrajk ajkee nn ˆˆˆ

importante EaH n

ˆ1

HaE n

ˆ

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulario

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas

para ondas TEM que se propagam segundo +z

E

direcccedilatildeo de polarizaccedilatildeo fixa

xeEE zjk ˆ0

se onda polarizada LINEARMENTE segundo x

xzktEtzE ˆcos 0

direcccedilatildeo de indica a POLARIZACcedilAtildeO da onda

zE ˆ

CASO GERAL

ondeyeExeEE zjky

zjkx ˆˆ 00

2

1

20

10

jy

jx

eAE

eAE

satildeo complexos00 yx EE

yeAxeAE zkjzkj ˆˆ 2121

Ondas

Faculdade de Engenharia

p

1A

2A

x

y

1

21tanAA

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo linear

y

zkjx

zkj ueAueAE ˆˆ 2121

tjVetv Re yx uzktAuzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

1 02 A xuzktAtzE ˆcos 11

polarizaccedilatildeo segundo xu

2 01 A polarizaccedilatildeo segundo yu yuzktAtzE ˆcos 22

3 AAA

21

21 segundo p yx uuzktAtzE ˆˆcos

pzktA ˆcos0

AA 20 onde2

ˆˆˆ yx uup

p

1

1

x

ordm45

y

4

21

21

AA yx uAuAzkttzE ˆˆcos 21

pzktA ˆcos0 segundo p

22

210 AAA

22

21

21 ˆˆˆ

AA

uAuAp yx

onde e

e

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular direita

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

5

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo direita polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular direita

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular esquerda

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

6

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

Ax

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo ldquoesquerdardquo polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular esquerda

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

7

21

2

1

2

0

AA

polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos 21

1A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos 21

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 12111

xAE ˆ00 1

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 21

2A

22

22

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash resumo

seja

direcccedilatildeo do versor de polarizaccedilatildeo depende da relaccedilatildeo entreamplitudes das duas ondas

yExEE yx ˆˆ

se ondas em fase onda resultante tem polarizaccedilatildeo linear

se diferenccedila de fase = 90ordm

onda resultante tem polarizaccedilatildeo eliacuteptica

(soma de duas ondas linearmente polarizadas em quadratura no espaccedilo)

circular amplitudes iguaiseliacuteptica amplitudes diferentes

se diferenccedila de fase arbitraacuteria eixos da elipse natildeo coincidem com x e y

onda resultante tem polarizaccedilatildeo circular ou eliacuteptica

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash aplicaccedilotildees

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado perpendicularmente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas AME

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado paralelamente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas TV E

E

E

emitidas em polarizaccedilatildeo circularantena de recepccedilatildeo deve estar num plano normal agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

ondas FM

antenas nos telhados satildeo horizontais

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash permitividade complexa

Equaccedilotildees de Maxwell para campos harmoacutenicos em meios LHI com perdas e sem cargas

HB

ED

tHE

E

tEJH

0 H

EJ

0

0

0

H

E

EjEH

HjE

EjH

Ej c

jc 1

Ejj

1

permitividade complexa

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash tangente de perdas

jc 1tangente de perdas

ctan

bom condutor

bom isolador

comportamento de um dado materialvaria com a frequecircncia

Ex

aacutegua do mar

072Sm4

zf H50

zf GH1

7102 bom condutor

4 condutor

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas planas em meios com perdas ndash constante de propagaccedilatildeo

jc 1

022 EkE

022 HkH

kcck

j

jj 1constante de propagaccedilatildeo

constante de atenuaccedilatildeo

constante de fase

Nota

2

fv

022 EkE c

022 HkH c

zz eEeEE 00

(para propagaccedilatildeo segundo z)

cjk

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash impedacircncia complexa

jc 1

EaH n

ˆ1

EaH nc

ˆ1

c

c

jc

c

1impedacircncia complexa

HE

eem meios com perdas natildeo estatildeo em fase

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulaacuterio

Ondas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Propagaccedilatildeo em meios bons condutores

bom condutor 2

2

fv

o45

EaH n

ˆ1

H

atrasado 45ordm em relaccedilatildeo a E

fv

2 j

j

j

distorccedilatildeo de sinais

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

zeEE 0

factor de atenuaccedilatildeo

zjzeeE 0

para propagaccedilatildeo segundo +z

ze

frequecircncias elevadas elevado onda sofre atenuaccedilatildeo consideraacutevel

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula

profundidade de penetraccedilatildeo

efeito pelicular

)m(11

f

ze

2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

profundidade de penetraccedilatildeo

)m(1

f

material )Hz(60f)mS( )MHz(1f )GHz(1f

prata

cobre

ouro

alumiacutenio

aacutegua do mar

710176

71014

71085

710543

4

mm278

mm538

mm1410

mm9210

m32

mm0660

mm0640

mm0790

mm0840

m250

mm0020

mm00210

mm00250

mm00270

(jaacute natildeo eacute bom condutor a esta frequecircncia)

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

condutor ciliacutendrico a altas frequecircncias a corrente circula numa coroa ciliacutendrica exterior de espessura

satildeo usados tubos ciliacutendricos ocos em condutores para altas frequecircncias (ex antenas)

sdtDIldH

SC

int se e forem nulos tambeacutem eacute nuloH

D

intI

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

circulaccedilatildeo de corrente numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

variaccedilatildeo da resistecircncia com a frequecircncia

resistecircncia DC 2alRDC

resistecircncia AC a

lRAC 2 a

l

2a

RR

DC

AC

a altas frequecircncias a DCAC RR

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo

velocidade de fase velocidade de propagaccedilatildeo da frentede onda

fv

j jj 1

212

112

meios sem perdas eacute constante

meios com perdas natildeo eacute funccedilatildeo linear de depende da frequecircncia

fv

em sinais que consistem numa dada banda de frequecircncias as componentes a diferentes frequecircncias propagam-se a velocidades de fase diferentes distorccedilatildeo do sinal

DISPERSAtildeO

1

fv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash relaccedilatildeo de dispersatildeo meios dispersivos

meios dispersivos meios para os quais a velocidadede fase depende da frequecircncia

meios sem perdas satildeo meios natildeo dispersivos

meios com perdas satildeo meios dispersivos

relaccedilatildeo de dispersatildeo equaccedilatildeo que relacionacom Ex meios sem perdas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

no caso geral

largura de banda centrada numa portadora

ff vv

2 0

01 2

01

02

0

02

01

ztztEtzE 00000 coscos

ztztE 000 coscos2

Considere-se a propagaccedilatildeo de um sinal com

Admitindo que o sinal em causa corresponde agrave soma de duas ondas planas que se propagam segundo +z e de frequecircncia 1 e 2 tem-se

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

ztztEtzE 000 coscos2

z

0zE

envolvente portadora

portadora propaga-se agrave velocidade0

0

envolvente propaga-se agrave velocidade

0lim ms1

ddvg

velocidade de grupo

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo normal e anoacutemala

ddvg

1 velocidade de grupo

fv velocidade de fase

fvdd

dd

2f

ff

vddv

v

ddv

v

vv

f

f

fg

1

casos particulares

1 0d

dv ffg vv

2 0d

dv ffg vv

sem dispersatildeo ( constante)fv

dispersatildeo normal ( diminui com )fv

3 0d

dv ffg vv dispersatildeo anoacutemala fv ( aumenta com )

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Um meio bom condutor apresenta dispersatildeo normal ou anoacutemala

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Energia transportada por uma onda

tHE

tEJH

EJ

HEEHHE

(igualdade vectorial)

tEJE

tHHHE

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

JEEEt

HHt

HE

21

21

AAtt

AA

21

222

22EEH

tHE

dvAsdAVS

Nota expressotildees instantacircneas

2Wm

Faculdade de Engenharia

OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 15: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de EngenhariaOndas electromagneacuteticas transversais

E H de onda EM

httpwwwphyntnuedutwntnujavaindexphptopic=350

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash propagaccedilatildeo numa direcccedilatildeo arbitraacuteria

e

zkykxkj peEE zyx ˆ0

versor que indica direcccedilatildeo do vector campo eleacutectrico (polarizaccedilatildeo)

seja

k

022 EkE

02222 EkEkkk zyx

2222 zyx kkk

zzyyxx ukukukk ˆˆˆ

nak ˆ

componentes de um

vector com valor absolutozyx kkk e

k

erajk peEE n ˆˆ

0

zyx uzuyuxr ˆˆˆ

vector segundo direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

na indica direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash planos de fase constante

planos de fase constante

erajk peEE n ˆˆ

0

constˆ rak n

constˆ ran equaccedilatildeo de planos

perpendiculares a na

y

x

z P

na

r

projecccedilatildeo de na direcccedilatildeo de r na

plano de fase constante e amplitude uniforme

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash direcccedilatildeo do vector campo eleacutectrico

erajk peEE n ˆˆ

0

0 E 0ˆˆ

0 e

rajk peE n 0ˆˆ

0 e

rajk peE n

enrajk paejkE n ˆˆˆ

0

00ˆˆ en paE eacute perpendicular agrave direcccedilatildeode propagaccedilatildeo

fXXfXf

zkykxkjzyx

rajk zyxn euz

uy

ux

e

ˆˆˆˆ

rajkzzyyxx

neukukukj ˆˆˆˆ

rajkn

rajk nn eajkekj ˆˆ ˆ

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas TEM ndash campo magneacutetico

erajk peEE n ˆˆ

0

H

eacute perpendicular agrave direcccedilatildeode propagaccedilatildeo e a

EjH

EaH n

ˆ1

E

XfXfXf

e

rajk pejEH n ˆˆ0

e

rajk pejEH n ˆˆ0

nrajkrajk ajkee nn ˆˆˆ

importante EaH n

ˆ1

HaE n

ˆ

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulario

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas

para ondas TEM que se propagam segundo +z

E

direcccedilatildeo de polarizaccedilatildeo fixa

xeEE zjk ˆ0

se onda polarizada LINEARMENTE segundo x

xzktEtzE ˆcos 0

direcccedilatildeo de indica a POLARIZACcedilAtildeO da onda

zE ˆ

CASO GERAL

ondeyeExeEE zjky

zjkx ˆˆ 00

2

1

20

10

jy

jx

eAE

eAE

satildeo complexos00 yx EE

yeAxeAE zkjzkj ˆˆ 2121

Ondas

Faculdade de Engenharia

p

1A

2A

x

y

1

21tanAA

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo linear

y

zkjx

zkj ueAueAE ˆˆ 2121

tjVetv Re yx uzktAuzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

1 02 A xuzktAtzE ˆcos 11

polarizaccedilatildeo segundo xu

2 01 A polarizaccedilatildeo segundo yu yuzktAtzE ˆcos 22

3 AAA

21

21 segundo p yx uuzktAtzE ˆˆcos

pzktA ˆcos0

AA 20 onde2

ˆˆˆ yx uup

p

1

1

x

ordm45

y

4

21

21

AA yx uAuAzkttzE ˆˆcos 21

pzktA ˆcos0 segundo p

22

210 AAA

22

21

21 ˆˆˆ

AA

uAuAp yx

onde e

e

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular direita

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

5

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo direita polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular direita

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular esquerda

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

6

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

Ax

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo ldquoesquerdardquo polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular esquerda

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

7

21

2

1

2

0

AA

polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos 21

1A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos 21

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 12111

xAE ˆ00 1

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 21

2A

22

22

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash resumo

seja

direcccedilatildeo do versor de polarizaccedilatildeo depende da relaccedilatildeo entreamplitudes das duas ondas

yExEE yx ˆˆ

se ondas em fase onda resultante tem polarizaccedilatildeo linear

se diferenccedila de fase = 90ordm

onda resultante tem polarizaccedilatildeo eliacuteptica

(soma de duas ondas linearmente polarizadas em quadratura no espaccedilo)

circular amplitudes iguaiseliacuteptica amplitudes diferentes

se diferenccedila de fase arbitraacuteria eixos da elipse natildeo coincidem com x e y

onda resultante tem polarizaccedilatildeo circular ou eliacuteptica

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash aplicaccedilotildees

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado perpendicularmente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas AME

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado paralelamente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas TV E

E

E

emitidas em polarizaccedilatildeo circularantena de recepccedilatildeo deve estar num plano normal agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

ondas FM

antenas nos telhados satildeo horizontais

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash permitividade complexa

Equaccedilotildees de Maxwell para campos harmoacutenicos em meios LHI com perdas e sem cargas

HB

ED

tHE

E

tEJH

0 H

EJ

0

0

0

H

E

EjEH

HjE

EjH

Ej c

jc 1

Ejj

1

permitividade complexa

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash tangente de perdas

jc 1tangente de perdas

ctan

bom condutor

bom isolador

comportamento de um dado materialvaria com a frequecircncia

Ex

aacutegua do mar

072Sm4

zf H50

zf GH1

7102 bom condutor

4 condutor

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas planas em meios com perdas ndash constante de propagaccedilatildeo

jc 1

022 EkE

022 HkH

kcck

j

jj 1constante de propagaccedilatildeo

constante de atenuaccedilatildeo

constante de fase

Nota

2

fv

022 EkE c

022 HkH c

zz eEeEE 00

(para propagaccedilatildeo segundo z)

cjk

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash impedacircncia complexa

jc 1

EaH n

ˆ1

EaH nc

ˆ1

c

c

jc

c

1impedacircncia complexa

HE

eem meios com perdas natildeo estatildeo em fase

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulaacuterio

Ondas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Propagaccedilatildeo em meios bons condutores

bom condutor 2

2

fv

o45

EaH n

ˆ1

H

atrasado 45ordm em relaccedilatildeo a E

fv

2 j

j

j

distorccedilatildeo de sinais

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

zeEE 0

factor de atenuaccedilatildeo

zjzeeE 0

para propagaccedilatildeo segundo +z

ze

frequecircncias elevadas elevado onda sofre atenuaccedilatildeo consideraacutevel

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula

profundidade de penetraccedilatildeo

efeito pelicular

)m(11

f

ze

2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

profundidade de penetraccedilatildeo

)m(1

f

material )Hz(60f)mS( )MHz(1f )GHz(1f

prata

cobre

ouro

alumiacutenio

aacutegua do mar

710176

71014

71085

710543

4

mm278

mm538

mm1410

mm9210

m32

mm0660

mm0640

mm0790

mm0840

m250

mm0020

mm00210

mm00250

mm00270

(jaacute natildeo eacute bom condutor a esta frequecircncia)

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

condutor ciliacutendrico a altas frequecircncias a corrente circula numa coroa ciliacutendrica exterior de espessura

satildeo usados tubos ciliacutendricos ocos em condutores para altas frequecircncias (ex antenas)

sdtDIldH

SC

int se e forem nulos tambeacutem eacute nuloH

D

intI

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

circulaccedilatildeo de corrente numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

variaccedilatildeo da resistecircncia com a frequecircncia

resistecircncia DC 2alRDC

resistecircncia AC a

lRAC 2 a

l

2a

RR

DC

AC

a altas frequecircncias a DCAC RR

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo

velocidade de fase velocidade de propagaccedilatildeo da frentede onda

fv

j jj 1

212

112

meios sem perdas eacute constante

meios com perdas natildeo eacute funccedilatildeo linear de depende da frequecircncia

fv

em sinais que consistem numa dada banda de frequecircncias as componentes a diferentes frequecircncias propagam-se a velocidades de fase diferentes distorccedilatildeo do sinal

DISPERSAtildeO

1

fv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash relaccedilatildeo de dispersatildeo meios dispersivos

meios dispersivos meios para os quais a velocidadede fase depende da frequecircncia

meios sem perdas satildeo meios natildeo dispersivos

meios com perdas satildeo meios dispersivos

relaccedilatildeo de dispersatildeo equaccedilatildeo que relacionacom Ex meios sem perdas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

no caso geral

largura de banda centrada numa portadora

ff vv

2 0

01 2

01

02

0

02

01

ztztEtzE 00000 coscos

ztztE 000 coscos2

Considere-se a propagaccedilatildeo de um sinal com

Admitindo que o sinal em causa corresponde agrave soma de duas ondas planas que se propagam segundo +z e de frequecircncia 1 e 2 tem-se

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

ztztEtzE 000 coscos2

z

0zE

envolvente portadora

portadora propaga-se agrave velocidade0

0

envolvente propaga-se agrave velocidade

0lim ms1

ddvg

velocidade de grupo

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo normal e anoacutemala

ddvg

1 velocidade de grupo

fv velocidade de fase

fvdd

dd

2f

ff

vddv

v

ddv

v

vv

f

f

fg

1

casos particulares

1 0d

dv ffg vv

2 0d

dv ffg vv

sem dispersatildeo ( constante)fv

dispersatildeo normal ( diminui com )fv

3 0d

dv ffg vv dispersatildeo anoacutemala fv ( aumenta com )

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OE 1415

Exerciacutecio

Um meio bom condutor apresenta dispersatildeo normal ou anoacutemala

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Energia transportada por uma onda

tHE

tEJH

EJ

HEEHHE

(igualdade vectorial)

tEJE

tHHHE

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

JEEEt

HHt

HE

21

21

AAtt

AA

21

222

22EEH

tHE

dvAsdAVS

Nota expressotildees instantacircneas

2Wm

Faculdade de Engenharia

OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 16: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash propagaccedilatildeo numa direcccedilatildeo arbitraacuteria

e

zkykxkj peEE zyx ˆ0

versor que indica direcccedilatildeo do vector campo eleacutectrico (polarizaccedilatildeo)

seja

k

022 EkE

02222 EkEkkk zyx

2222 zyx kkk

zzyyxx ukukukk ˆˆˆ

nak ˆ

componentes de um

vector com valor absolutozyx kkk e

k

erajk peEE n ˆˆ

0

zyx uzuyuxr ˆˆˆ

vector segundo direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

na indica direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash planos de fase constante

planos de fase constante

erajk peEE n ˆˆ

0

constˆ rak n

constˆ ran equaccedilatildeo de planos

perpendiculares a na

y

x

z P

na

r

projecccedilatildeo de na direcccedilatildeo de r na

plano de fase constante e amplitude uniforme

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash direcccedilatildeo do vector campo eleacutectrico

erajk peEE n ˆˆ

0

0 E 0ˆˆ

0 e

rajk peE n 0ˆˆ

0 e

rajk peE n

enrajk paejkE n ˆˆˆ

0

00ˆˆ en paE eacute perpendicular agrave direcccedilatildeode propagaccedilatildeo

fXXfXf

zkykxkjzyx

rajk zyxn euz

uy

ux

e

ˆˆˆˆ

rajkzzyyxx

neukukukj ˆˆˆˆ

rajkn

rajk nn eajkekj ˆˆ ˆ

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas TEM ndash campo magneacutetico

erajk peEE n ˆˆ

0

H

eacute perpendicular agrave direcccedilatildeode propagaccedilatildeo e a

EjH

EaH n

ˆ1

E

XfXfXf

e

rajk pejEH n ˆˆ0

e

rajk pejEH n ˆˆ0

nrajkrajk ajkee nn ˆˆˆ

importante EaH n

ˆ1

HaE n

ˆ

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulario

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas

para ondas TEM que se propagam segundo +z

E

direcccedilatildeo de polarizaccedilatildeo fixa

xeEE zjk ˆ0

se onda polarizada LINEARMENTE segundo x

xzktEtzE ˆcos 0

direcccedilatildeo de indica a POLARIZACcedilAtildeO da onda

zE ˆ

CASO GERAL

ondeyeExeEE zjky

zjkx ˆˆ 00

2

1

20

10

jy

jx

eAE

eAE

satildeo complexos00 yx EE

yeAxeAE zkjzkj ˆˆ 2121

Ondas

Faculdade de Engenharia

p

1A

2A

x

y

1

21tanAA

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo linear

y

zkjx

zkj ueAueAE ˆˆ 2121

tjVetv Re yx uzktAuzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

1 02 A xuzktAtzE ˆcos 11

polarizaccedilatildeo segundo xu

2 01 A polarizaccedilatildeo segundo yu yuzktAtzE ˆcos 22

3 AAA

21

21 segundo p yx uuzktAtzE ˆˆcos

pzktA ˆcos0

AA 20 onde2

ˆˆˆ yx uup

p

1

1

x

ordm45

y

4

21

21

AA yx uAuAzkttzE ˆˆcos 21

pzktA ˆcos0 segundo p

22

210 AAA

22

21

21 ˆˆˆ

AA

uAuAp yx

onde e

e

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular direita

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

5

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo direita polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular direita

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular esquerda

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

6

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

Ax

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo ldquoesquerdardquo polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular esquerda

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

7

21

2

1

2

0

AA

polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos 21

1A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos 21

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 12111

xAE ˆ00 1

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 21

2A

22

22

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash resumo

seja

direcccedilatildeo do versor de polarizaccedilatildeo depende da relaccedilatildeo entreamplitudes das duas ondas

yExEE yx ˆˆ

se ondas em fase onda resultante tem polarizaccedilatildeo linear

se diferenccedila de fase = 90ordm

onda resultante tem polarizaccedilatildeo eliacuteptica

(soma de duas ondas linearmente polarizadas em quadratura no espaccedilo)

circular amplitudes iguaiseliacuteptica amplitudes diferentes

se diferenccedila de fase arbitraacuteria eixos da elipse natildeo coincidem com x e y

onda resultante tem polarizaccedilatildeo circular ou eliacuteptica

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash aplicaccedilotildees

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado perpendicularmente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas AME

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado paralelamente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas TV E

E

E

emitidas em polarizaccedilatildeo circularantena de recepccedilatildeo deve estar num plano normal agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

ondas FM

antenas nos telhados satildeo horizontais

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash permitividade complexa

Equaccedilotildees de Maxwell para campos harmoacutenicos em meios LHI com perdas e sem cargas

HB

ED

tHE

E

tEJH

0 H

EJ

0

0

0

H

E

EjEH

HjE

EjH

Ej c

jc 1

Ejj

1

permitividade complexa

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash tangente de perdas

jc 1tangente de perdas

ctan

bom condutor

bom isolador

comportamento de um dado materialvaria com a frequecircncia

Ex

aacutegua do mar

072Sm4

zf H50

zf GH1

7102 bom condutor

4 condutor

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas planas em meios com perdas ndash constante de propagaccedilatildeo

jc 1

022 EkE

022 HkH

kcck

j

jj 1constante de propagaccedilatildeo

constante de atenuaccedilatildeo

constante de fase

Nota

2

fv

022 EkE c

022 HkH c

zz eEeEE 00

(para propagaccedilatildeo segundo z)

cjk

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash impedacircncia complexa

jc 1

EaH n

ˆ1

EaH nc

ˆ1

c

c

jc

c

1impedacircncia complexa

HE

eem meios com perdas natildeo estatildeo em fase

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulaacuterio

Ondas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Propagaccedilatildeo em meios bons condutores

bom condutor 2

2

fv

o45

EaH n

ˆ1

H

atrasado 45ordm em relaccedilatildeo a E

fv

2 j

j

j

distorccedilatildeo de sinais

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

zeEE 0

factor de atenuaccedilatildeo

zjzeeE 0

para propagaccedilatildeo segundo +z

ze

frequecircncias elevadas elevado onda sofre atenuaccedilatildeo consideraacutevel

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula

profundidade de penetraccedilatildeo

efeito pelicular

)m(11

f

ze

2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

profundidade de penetraccedilatildeo

)m(1

f

material )Hz(60f)mS( )MHz(1f )GHz(1f

prata

cobre

ouro

alumiacutenio

aacutegua do mar

710176

71014

71085

710543

4

mm278

mm538

mm1410

mm9210

m32

mm0660

mm0640

mm0790

mm0840

m250

mm0020

mm00210

mm00250

mm00270

(jaacute natildeo eacute bom condutor a esta frequecircncia)

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

condutor ciliacutendrico a altas frequecircncias a corrente circula numa coroa ciliacutendrica exterior de espessura

satildeo usados tubos ciliacutendricos ocos em condutores para altas frequecircncias (ex antenas)

sdtDIldH

SC

int se e forem nulos tambeacutem eacute nuloH

D

intI

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

circulaccedilatildeo de corrente numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

variaccedilatildeo da resistecircncia com a frequecircncia

resistecircncia DC 2alRDC

resistecircncia AC a

lRAC 2 a

l

2a

RR

DC

AC

a altas frequecircncias a DCAC RR

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo

velocidade de fase velocidade de propagaccedilatildeo da frentede onda

fv

j jj 1

212

112

meios sem perdas eacute constante

meios com perdas natildeo eacute funccedilatildeo linear de depende da frequecircncia

fv

em sinais que consistem numa dada banda de frequecircncias as componentes a diferentes frequecircncias propagam-se a velocidades de fase diferentes distorccedilatildeo do sinal

DISPERSAtildeO

1

fv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash relaccedilatildeo de dispersatildeo meios dispersivos

meios dispersivos meios para os quais a velocidadede fase depende da frequecircncia

meios sem perdas satildeo meios natildeo dispersivos

meios com perdas satildeo meios dispersivos

relaccedilatildeo de dispersatildeo equaccedilatildeo que relacionacom Ex meios sem perdas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

no caso geral

largura de banda centrada numa portadora

ff vv

2 0

01 2

01

02

0

02

01

ztztEtzE 00000 coscos

ztztE 000 coscos2

Considere-se a propagaccedilatildeo de um sinal com

Admitindo que o sinal em causa corresponde agrave soma de duas ondas planas que se propagam segundo +z e de frequecircncia 1 e 2 tem-se

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

ztztEtzE 000 coscos2

z

0zE

envolvente portadora

portadora propaga-se agrave velocidade0

0

envolvente propaga-se agrave velocidade

0lim ms1

ddvg

velocidade de grupo

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo normal e anoacutemala

ddvg

1 velocidade de grupo

fv velocidade de fase

fvdd

dd

2f

ff

vddv

v

ddv

v

vv

f

f

fg

1

casos particulares

1 0d

dv ffg vv

2 0d

dv ffg vv

sem dispersatildeo ( constante)fv

dispersatildeo normal ( diminui com )fv

3 0d

dv ffg vv dispersatildeo anoacutemala fv ( aumenta com )

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Um meio bom condutor apresenta dispersatildeo normal ou anoacutemala

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Energia transportada por uma onda

tHE

tEJH

EJ

HEEHHE

(igualdade vectorial)

tEJE

tHHHE

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

JEEEt

HHt

HE

21

21

AAtt

AA

21

222

22EEH

tHE

dvAsdAVS

Nota expressotildees instantacircneas

2Wm

Faculdade de Engenharia

OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 17: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash planos de fase constante

planos de fase constante

erajk peEE n ˆˆ

0

constˆ rak n

constˆ ran equaccedilatildeo de planos

perpendiculares a na

y

x

z P

na

r

projecccedilatildeo de na direcccedilatildeo de r na

plano de fase constante e amplitude uniforme

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash direcccedilatildeo do vector campo eleacutectrico

erajk peEE n ˆˆ

0

0 E 0ˆˆ

0 e

rajk peE n 0ˆˆ

0 e

rajk peE n

enrajk paejkE n ˆˆˆ

0

00ˆˆ en paE eacute perpendicular agrave direcccedilatildeode propagaccedilatildeo

fXXfXf

zkykxkjzyx

rajk zyxn euz

uy

ux

e

ˆˆˆˆ

rajkzzyyxx

neukukukj ˆˆˆˆ

rajkn

rajk nn eajkekj ˆˆ ˆ

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas TEM ndash campo magneacutetico

erajk peEE n ˆˆ

0

H

eacute perpendicular agrave direcccedilatildeode propagaccedilatildeo e a

EjH

EaH n

ˆ1

E

XfXfXf

e

rajk pejEH n ˆˆ0

e

rajk pejEH n ˆˆ0

nrajkrajk ajkee nn ˆˆˆ

importante EaH n

ˆ1

HaE n

ˆ

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulario

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas

para ondas TEM que se propagam segundo +z

E

direcccedilatildeo de polarizaccedilatildeo fixa

xeEE zjk ˆ0

se onda polarizada LINEARMENTE segundo x

xzktEtzE ˆcos 0

direcccedilatildeo de indica a POLARIZACcedilAtildeO da onda

zE ˆ

CASO GERAL

ondeyeExeEE zjky

zjkx ˆˆ 00

2

1

20

10

jy

jx

eAE

eAE

satildeo complexos00 yx EE

yeAxeAE zkjzkj ˆˆ 2121

Ondas

Faculdade de Engenharia

p

1A

2A

x

y

1

21tanAA

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo linear

y

zkjx

zkj ueAueAE ˆˆ 2121

tjVetv Re yx uzktAuzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

1 02 A xuzktAtzE ˆcos 11

polarizaccedilatildeo segundo xu

2 01 A polarizaccedilatildeo segundo yu yuzktAtzE ˆcos 22

3 AAA

21

21 segundo p yx uuzktAtzE ˆˆcos

pzktA ˆcos0

AA 20 onde2

ˆˆˆ yx uup

p

1

1

x

ordm45

y

4

21

21

AA yx uAuAzkttzE ˆˆcos 21

pzktA ˆcos0 segundo p

22

210 AAA

22

21

21 ˆˆˆ

AA

uAuAp yx

onde e

e

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular direita

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

5

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo direita polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular direita

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular esquerda

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

6

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

Ax

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo ldquoesquerdardquo polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular esquerda

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

7

21

2

1

2

0

AA

polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos 21

1A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos 21

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 12111

xAE ˆ00 1

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 21

2A

22

22

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash resumo

seja

direcccedilatildeo do versor de polarizaccedilatildeo depende da relaccedilatildeo entreamplitudes das duas ondas

yExEE yx ˆˆ

se ondas em fase onda resultante tem polarizaccedilatildeo linear

se diferenccedila de fase = 90ordm

onda resultante tem polarizaccedilatildeo eliacuteptica

(soma de duas ondas linearmente polarizadas em quadratura no espaccedilo)

circular amplitudes iguaiseliacuteptica amplitudes diferentes

se diferenccedila de fase arbitraacuteria eixos da elipse natildeo coincidem com x e y

onda resultante tem polarizaccedilatildeo circular ou eliacuteptica

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash aplicaccedilotildees

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado perpendicularmente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas AME

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado paralelamente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas TV E

E

E

emitidas em polarizaccedilatildeo circularantena de recepccedilatildeo deve estar num plano normal agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

ondas FM

antenas nos telhados satildeo horizontais

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash permitividade complexa

Equaccedilotildees de Maxwell para campos harmoacutenicos em meios LHI com perdas e sem cargas

HB

ED

tHE

E

tEJH

0 H

EJ

0

0

0

H

E

EjEH

HjE

EjH

Ej c

jc 1

Ejj

1

permitividade complexa

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash tangente de perdas

jc 1tangente de perdas

ctan

bom condutor

bom isolador

comportamento de um dado materialvaria com a frequecircncia

Ex

aacutegua do mar

072Sm4

zf H50

zf GH1

7102 bom condutor

4 condutor

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas planas em meios com perdas ndash constante de propagaccedilatildeo

jc 1

022 EkE

022 HkH

kcck

j

jj 1constante de propagaccedilatildeo

constante de atenuaccedilatildeo

constante de fase

Nota

2

fv

022 EkE c

022 HkH c

zz eEeEE 00

(para propagaccedilatildeo segundo z)

cjk

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash impedacircncia complexa

jc 1

EaH n

ˆ1

EaH nc

ˆ1

c

c

jc

c

1impedacircncia complexa

HE

eem meios com perdas natildeo estatildeo em fase

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulaacuterio

Ondas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Propagaccedilatildeo em meios bons condutores

bom condutor 2

2

fv

o45

EaH n

ˆ1

H

atrasado 45ordm em relaccedilatildeo a E

fv

2 j

j

j

distorccedilatildeo de sinais

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

zeEE 0

factor de atenuaccedilatildeo

zjzeeE 0

para propagaccedilatildeo segundo +z

ze

frequecircncias elevadas elevado onda sofre atenuaccedilatildeo consideraacutevel

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula

profundidade de penetraccedilatildeo

efeito pelicular

)m(11

f

ze

2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

profundidade de penetraccedilatildeo

)m(1

f

material )Hz(60f)mS( )MHz(1f )GHz(1f

prata

cobre

ouro

alumiacutenio

aacutegua do mar

710176

71014

71085

710543

4

mm278

mm538

mm1410

mm9210

m32

mm0660

mm0640

mm0790

mm0840

m250

mm0020

mm00210

mm00250

mm00270

(jaacute natildeo eacute bom condutor a esta frequecircncia)

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

condutor ciliacutendrico a altas frequecircncias a corrente circula numa coroa ciliacutendrica exterior de espessura

satildeo usados tubos ciliacutendricos ocos em condutores para altas frequecircncias (ex antenas)

sdtDIldH

SC

int se e forem nulos tambeacutem eacute nuloH

D

intI

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

circulaccedilatildeo de corrente numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

variaccedilatildeo da resistecircncia com a frequecircncia

resistecircncia DC 2alRDC

resistecircncia AC a

lRAC 2 a

l

2a

RR

DC

AC

a altas frequecircncias a DCAC RR

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo

velocidade de fase velocidade de propagaccedilatildeo da frentede onda

fv

j jj 1

212

112

meios sem perdas eacute constante

meios com perdas natildeo eacute funccedilatildeo linear de depende da frequecircncia

fv

em sinais que consistem numa dada banda de frequecircncias as componentes a diferentes frequecircncias propagam-se a velocidades de fase diferentes distorccedilatildeo do sinal

DISPERSAtildeO

1

fv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash relaccedilatildeo de dispersatildeo meios dispersivos

meios dispersivos meios para os quais a velocidadede fase depende da frequecircncia

meios sem perdas satildeo meios natildeo dispersivos

meios com perdas satildeo meios dispersivos

relaccedilatildeo de dispersatildeo equaccedilatildeo que relacionacom Ex meios sem perdas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

no caso geral

largura de banda centrada numa portadora

ff vv

2 0

01 2

01

02

0

02

01

ztztEtzE 00000 coscos

ztztE 000 coscos2

Considere-se a propagaccedilatildeo de um sinal com

Admitindo que o sinal em causa corresponde agrave soma de duas ondas planas que se propagam segundo +z e de frequecircncia 1 e 2 tem-se

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

ztztEtzE 000 coscos2

z

0zE

envolvente portadora

portadora propaga-se agrave velocidade0

0

envolvente propaga-se agrave velocidade

0lim ms1

ddvg

velocidade de grupo

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo normal e anoacutemala

ddvg

1 velocidade de grupo

fv velocidade de fase

fvdd

dd

2f

ff

vddv

v

ddv

v

vv

f

f

fg

1

casos particulares

1 0d

dv ffg vv

2 0d

dv ffg vv

sem dispersatildeo ( constante)fv

dispersatildeo normal ( diminui com )fv

3 0d

dv ffg vv dispersatildeo anoacutemala fv ( aumenta com )

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Um meio bom condutor apresenta dispersatildeo normal ou anoacutemala

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Energia transportada por uma onda

tHE

tEJH

EJ

HEEHHE

(igualdade vectorial)

tEJE

tHHHE

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

JEEEt

HHt

HE

21

21

AAtt

AA

21

222

22EEH

tHE

dvAsdAVS

Nota expressotildees instantacircneas

2Wm

Faculdade de Engenharia

OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 18: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de EngenhariaOndas TEM ndash direcccedilatildeo do vector campo eleacutectrico

erajk peEE n ˆˆ

0

0 E 0ˆˆ

0 e

rajk peE n 0ˆˆ

0 e

rajk peE n

enrajk paejkE n ˆˆˆ

0

00ˆˆ en paE eacute perpendicular agrave direcccedilatildeode propagaccedilatildeo

fXXfXf

zkykxkjzyx

rajk zyxn euz

uy

ux

e

ˆˆˆˆ

rajkzzyyxx

neukukukj ˆˆˆˆ

rajkn

rajk nn eajkekj ˆˆ ˆ

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas TEM ndash campo magneacutetico

erajk peEE n ˆˆ

0

H

eacute perpendicular agrave direcccedilatildeode propagaccedilatildeo e a

EjH

EaH n

ˆ1

E

XfXfXf

e

rajk pejEH n ˆˆ0

e

rajk pejEH n ˆˆ0

nrajkrajk ajkee nn ˆˆˆ

importante EaH n

ˆ1

HaE n

ˆ

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulario

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas

para ondas TEM que se propagam segundo +z

E

direcccedilatildeo de polarizaccedilatildeo fixa

xeEE zjk ˆ0

se onda polarizada LINEARMENTE segundo x

xzktEtzE ˆcos 0

direcccedilatildeo de indica a POLARIZACcedilAtildeO da onda

zE ˆ

CASO GERAL

ondeyeExeEE zjky

zjkx ˆˆ 00

2

1

20

10

jy

jx

eAE

eAE

satildeo complexos00 yx EE

yeAxeAE zkjzkj ˆˆ 2121

Ondas

Faculdade de Engenharia

p

1A

2A

x

y

1

21tanAA

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo linear

y

zkjx

zkj ueAueAE ˆˆ 2121

tjVetv Re yx uzktAuzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

1 02 A xuzktAtzE ˆcos 11

polarizaccedilatildeo segundo xu

2 01 A polarizaccedilatildeo segundo yu yuzktAtzE ˆcos 22

3 AAA

21

21 segundo p yx uuzktAtzE ˆˆcos

pzktA ˆcos0

AA 20 onde2

ˆˆˆ yx uup

p

1

1

x

ordm45

y

4

21

21

AA yx uAuAzkttzE ˆˆcos 21

pzktA ˆcos0 segundo p

22

210 AAA

22

21

21 ˆˆˆ

AA

uAuAp yx

onde e

e

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular direita

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

5

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo direita polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular direita

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular esquerda

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

6

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

Ax

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo ldquoesquerdardquo polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular esquerda

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

7

21

2

1

2

0

AA

polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos 21

1A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos 21

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 12111

xAE ˆ00 1

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 21

2A

22

22

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash resumo

seja

direcccedilatildeo do versor de polarizaccedilatildeo depende da relaccedilatildeo entreamplitudes das duas ondas

yExEE yx ˆˆ

se ondas em fase onda resultante tem polarizaccedilatildeo linear

se diferenccedila de fase = 90ordm

onda resultante tem polarizaccedilatildeo eliacuteptica

(soma de duas ondas linearmente polarizadas em quadratura no espaccedilo)

circular amplitudes iguaiseliacuteptica amplitudes diferentes

se diferenccedila de fase arbitraacuteria eixos da elipse natildeo coincidem com x e y

onda resultante tem polarizaccedilatildeo circular ou eliacuteptica

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash aplicaccedilotildees

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado perpendicularmente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas AME

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado paralelamente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas TV E

E

E

emitidas em polarizaccedilatildeo circularantena de recepccedilatildeo deve estar num plano normal agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

ondas FM

antenas nos telhados satildeo horizontais

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash permitividade complexa

Equaccedilotildees de Maxwell para campos harmoacutenicos em meios LHI com perdas e sem cargas

HB

ED

tHE

E

tEJH

0 H

EJ

0

0

0

H

E

EjEH

HjE

EjH

Ej c

jc 1

Ejj

1

permitividade complexa

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash tangente de perdas

jc 1tangente de perdas

ctan

bom condutor

bom isolador

comportamento de um dado materialvaria com a frequecircncia

Ex

aacutegua do mar

072Sm4

zf H50

zf GH1

7102 bom condutor

4 condutor

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas planas em meios com perdas ndash constante de propagaccedilatildeo

jc 1

022 EkE

022 HkH

kcck

j

jj 1constante de propagaccedilatildeo

constante de atenuaccedilatildeo

constante de fase

Nota

2

fv

022 EkE c

022 HkH c

zz eEeEE 00

(para propagaccedilatildeo segundo z)

cjk

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash impedacircncia complexa

jc 1

EaH n

ˆ1

EaH nc

ˆ1

c

c

jc

c

1impedacircncia complexa

HE

eem meios com perdas natildeo estatildeo em fase

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulaacuterio

Ondas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Propagaccedilatildeo em meios bons condutores

bom condutor 2

2

fv

o45

EaH n

ˆ1

H

atrasado 45ordm em relaccedilatildeo a E

fv

2 j

j

j

distorccedilatildeo de sinais

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

zeEE 0

factor de atenuaccedilatildeo

zjzeeE 0

para propagaccedilatildeo segundo +z

ze

frequecircncias elevadas elevado onda sofre atenuaccedilatildeo consideraacutevel

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula

profundidade de penetraccedilatildeo

efeito pelicular

)m(11

f

ze

2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

profundidade de penetraccedilatildeo

)m(1

f

material )Hz(60f)mS( )MHz(1f )GHz(1f

prata

cobre

ouro

alumiacutenio

aacutegua do mar

710176

71014

71085

710543

4

mm278

mm538

mm1410

mm9210

m32

mm0660

mm0640

mm0790

mm0840

m250

mm0020

mm00210

mm00250

mm00270

(jaacute natildeo eacute bom condutor a esta frequecircncia)

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

condutor ciliacutendrico a altas frequecircncias a corrente circula numa coroa ciliacutendrica exterior de espessura

satildeo usados tubos ciliacutendricos ocos em condutores para altas frequecircncias (ex antenas)

sdtDIldH

SC

int se e forem nulos tambeacutem eacute nuloH

D

intI

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

circulaccedilatildeo de corrente numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

variaccedilatildeo da resistecircncia com a frequecircncia

resistecircncia DC 2alRDC

resistecircncia AC a

lRAC 2 a

l

2a

RR

DC

AC

a altas frequecircncias a DCAC RR

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo

velocidade de fase velocidade de propagaccedilatildeo da frentede onda

fv

j jj 1

212

112

meios sem perdas eacute constante

meios com perdas natildeo eacute funccedilatildeo linear de depende da frequecircncia

fv

em sinais que consistem numa dada banda de frequecircncias as componentes a diferentes frequecircncias propagam-se a velocidades de fase diferentes distorccedilatildeo do sinal

DISPERSAtildeO

1

fv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash relaccedilatildeo de dispersatildeo meios dispersivos

meios dispersivos meios para os quais a velocidadede fase depende da frequecircncia

meios sem perdas satildeo meios natildeo dispersivos

meios com perdas satildeo meios dispersivos

relaccedilatildeo de dispersatildeo equaccedilatildeo que relacionacom Ex meios sem perdas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

no caso geral

largura de banda centrada numa portadora

ff vv

2 0

01 2

01

02

0

02

01

ztztEtzE 00000 coscos

ztztE 000 coscos2

Considere-se a propagaccedilatildeo de um sinal com

Admitindo que o sinal em causa corresponde agrave soma de duas ondas planas que se propagam segundo +z e de frequecircncia 1 e 2 tem-se

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

ztztEtzE 000 coscos2

z

0zE

envolvente portadora

portadora propaga-se agrave velocidade0

0

envolvente propaga-se agrave velocidade

0lim ms1

ddvg

velocidade de grupo

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo normal e anoacutemala

ddvg

1 velocidade de grupo

fv velocidade de fase

fvdd

dd

2f

ff

vddv

v

ddv

v

vv

f

f

fg

1

casos particulares

1 0d

dv ffg vv

2 0d

dv ffg vv

sem dispersatildeo ( constante)fv

dispersatildeo normal ( diminui com )fv

3 0d

dv ffg vv dispersatildeo anoacutemala fv ( aumenta com )

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Um meio bom condutor apresenta dispersatildeo normal ou anoacutemala

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Energia transportada por uma onda

tHE

tEJH

EJ

HEEHHE

(igualdade vectorial)

tEJE

tHHHE

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

JEEEt

HHt

HE

21

21

AAtt

AA

21

222

22EEH

tHE

dvAsdAVS

Nota expressotildees instantacircneas

2Wm

Faculdade de Engenharia

OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 19: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas TEM ndash campo magneacutetico

erajk peEE n ˆˆ

0

H

eacute perpendicular agrave direcccedilatildeode propagaccedilatildeo e a

EjH

EaH n

ˆ1

E

XfXfXf

e

rajk pejEH n ˆˆ0

e

rajk pejEH n ˆˆ0

nrajkrajk ajkee nn ˆˆˆ

importante EaH n

ˆ1

HaE n

ˆ

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulario

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas

para ondas TEM que se propagam segundo +z

E

direcccedilatildeo de polarizaccedilatildeo fixa

xeEE zjk ˆ0

se onda polarizada LINEARMENTE segundo x

xzktEtzE ˆcos 0

direcccedilatildeo de indica a POLARIZACcedilAtildeO da onda

zE ˆ

CASO GERAL

ondeyeExeEE zjky

zjkx ˆˆ 00

2

1

20

10

jy

jx

eAE

eAE

satildeo complexos00 yx EE

yeAxeAE zkjzkj ˆˆ 2121

Ondas

Faculdade de Engenharia

p

1A

2A

x

y

1

21tanAA

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo linear

y

zkjx

zkj ueAueAE ˆˆ 2121

tjVetv Re yx uzktAuzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

1 02 A xuzktAtzE ˆcos 11

polarizaccedilatildeo segundo xu

2 01 A polarizaccedilatildeo segundo yu yuzktAtzE ˆcos 22

3 AAA

21

21 segundo p yx uuzktAtzE ˆˆcos

pzktA ˆcos0

AA 20 onde2

ˆˆˆ yx uup

p

1

1

x

ordm45

y

4

21

21

AA yx uAuAzkttzE ˆˆcos 21

pzktA ˆcos0 segundo p

22

210 AAA

22

21

21 ˆˆˆ

AA

uAuAp yx

onde e

e

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular direita

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

5

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo direita polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular direita

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular esquerda

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

6

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

Ax

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo ldquoesquerdardquo polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular esquerda

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

7

21

2

1

2

0

AA

polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos 21

1A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos 21

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 12111

xAE ˆ00 1

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 21

2A

22

22

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash resumo

seja

direcccedilatildeo do versor de polarizaccedilatildeo depende da relaccedilatildeo entreamplitudes das duas ondas

yExEE yx ˆˆ

se ondas em fase onda resultante tem polarizaccedilatildeo linear

se diferenccedila de fase = 90ordm

onda resultante tem polarizaccedilatildeo eliacuteptica

(soma de duas ondas linearmente polarizadas em quadratura no espaccedilo)

circular amplitudes iguaiseliacuteptica amplitudes diferentes

se diferenccedila de fase arbitraacuteria eixos da elipse natildeo coincidem com x e y

onda resultante tem polarizaccedilatildeo circular ou eliacuteptica

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash aplicaccedilotildees

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado perpendicularmente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas AME

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado paralelamente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas TV E

E

E

emitidas em polarizaccedilatildeo circularantena de recepccedilatildeo deve estar num plano normal agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

ondas FM

antenas nos telhados satildeo horizontais

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash permitividade complexa

Equaccedilotildees de Maxwell para campos harmoacutenicos em meios LHI com perdas e sem cargas

HB

ED

tHE

E

tEJH

0 H

EJ

0

0

0

H

E

EjEH

HjE

EjH

Ej c

jc 1

Ejj

1

permitividade complexa

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash tangente de perdas

jc 1tangente de perdas

ctan

bom condutor

bom isolador

comportamento de um dado materialvaria com a frequecircncia

Ex

aacutegua do mar

072Sm4

zf H50

zf GH1

7102 bom condutor

4 condutor

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas planas em meios com perdas ndash constante de propagaccedilatildeo

jc 1

022 EkE

022 HkH

kcck

j

jj 1constante de propagaccedilatildeo

constante de atenuaccedilatildeo

constante de fase

Nota

2

fv

022 EkE c

022 HkH c

zz eEeEE 00

(para propagaccedilatildeo segundo z)

cjk

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash impedacircncia complexa

jc 1

EaH n

ˆ1

EaH nc

ˆ1

c

c

jc

c

1impedacircncia complexa

HE

eem meios com perdas natildeo estatildeo em fase

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulaacuterio

Ondas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Propagaccedilatildeo em meios bons condutores

bom condutor 2

2

fv

o45

EaH n

ˆ1

H

atrasado 45ordm em relaccedilatildeo a E

fv

2 j

j

j

distorccedilatildeo de sinais

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

zeEE 0

factor de atenuaccedilatildeo

zjzeeE 0

para propagaccedilatildeo segundo +z

ze

frequecircncias elevadas elevado onda sofre atenuaccedilatildeo consideraacutevel

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula

profundidade de penetraccedilatildeo

efeito pelicular

)m(11

f

ze

2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

profundidade de penetraccedilatildeo

)m(1

f

material )Hz(60f)mS( )MHz(1f )GHz(1f

prata

cobre

ouro

alumiacutenio

aacutegua do mar

710176

71014

71085

710543

4

mm278

mm538

mm1410

mm9210

m32

mm0660

mm0640

mm0790

mm0840

m250

mm0020

mm00210

mm00250

mm00270

(jaacute natildeo eacute bom condutor a esta frequecircncia)

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

condutor ciliacutendrico a altas frequecircncias a corrente circula numa coroa ciliacutendrica exterior de espessura

satildeo usados tubos ciliacutendricos ocos em condutores para altas frequecircncias (ex antenas)

sdtDIldH

SC

int se e forem nulos tambeacutem eacute nuloH

D

intI

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

circulaccedilatildeo de corrente numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

variaccedilatildeo da resistecircncia com a frequecircncia

resistecircncia DC 2alRDC

resistecircncia AC a

lRAC 2 a

l

2a

RR

DC

AC

a altas frequecircncias a DCAC RR

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo

velocidade de fase velocidade de propagaccedilatildeo da frentede onda

fv

j jj 1

212

112

meios sem perdas eacute constante

meios com perdas natildeo eacute funccedilatildeo linear de depende da frequecircncia

fv

em sinais que consistem numa dada banda de frequecircncias as componentes a diferentes frequecircncias propagam-se a velocidades de fase diferentes distorccedilatildeo do sinal

DISPERSAtildeO

1

fv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash relaccedilatildeo de dispersatildeo meios dispersivos

meios dispersivos meios para os quais a velocidadede fase depende da frequecircncia

meios sem perdas satildeo meios natildeo dispersivos

meios com perdas satildeo meios dispersivos

relaccedilatildeo de dispersatildeo equaccedilatildeo que relacionacom Ex meios sem perdas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

no caso geral

largura de banda centrada numa portadora

ff vv

2 0

01 2

01

02

0

02

01

ztztEtzE 00000 coscos

ztztE 000 coscos2

Considere-se a propagaccedilatildeo de um sinal com

Admitindo que o sinal em causa corresponde agrave soma de duas ondas planas que se propagam segundo +z e de frequecircncia 1 e 2 tem-se

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

ztztEtzE 000 coscos2

z

0zE

envolvente portadora

portadora propaga-se agrave velocidade0

0

envolvente propaga-se agrave velocidade

0lim ms1

ddvg

velocidade de grupo

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo normal e anoacutemala

ddvg

1 velocidade de grupo

fv velocidade de fase

fvdd

dd

2f

ff

vddv

v

ddv

v

vv

f

f

fg

1

casos particulares

1 0d

dv ffg vv

2 0d

dv ffg vv

sem dispersatildeo ( constante)fv

dispersatildeo normal ( diminui com )fv

3 0d

dv ffg vv dispersatildeo anoacutemala fv ( aumenta com )

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Um meio bom condutor apresenta dispersatildeo normal ou anoacutemala

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Energia transportada por uma onda

tHE

tEJH

EJ

HEEHHE

(igualdade vectorial)

tEJE

tHHHE

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

JEEEt

HHt

HE

21

21

AAtt

AA

21

222

22EEH

tHE

dvAsdAVS

Nota expressotildees instantacircneas

2Wm

Faculdade de Engenharia

OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 20: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulario

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas

para ondas TEM que se propagam segundo +z

E

direcccedilatildeo de polarizaccedilatildeo fixa

xeEE zjk ˆ0

se onda polarizada LINEARMENTE segundo x

xzktEtzE ˆcos 0

direcccedilatildeo de indica a POLARIZACcedilAtildeO da onda

zE ˆ

CASO GERAL

ondeyeExeEE zjky

zjkx ˆˆ 00

2

1

20

10

jy

jx

eAE

eAE

satildeo complexos00 yx EE

yeAxeAE zkjzkj ˆˆ 2121

Ondas

Faculdade de Engenharia

p

1A

2A

x

y

1

21tanAA

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo linear

y

zkjx

zkj ueAueAE ˆˆ 2121

tjVetv Re yx uzktAuzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

1 02 A xuzktAtzE ˆcos 11

polarizaccedilatildeo segundo xu

2 01 A polarizaccedilatildeo segundo yu yuzktAtzE ˆcos 22

3 AAA

21

21 segundo p yx uuzktAtzE ˆˆcos

pzktA ˆcos0

AA 20 onde2

ˆˆˆ yx uup

p

1

1

x

ordm45

y

4

21

21

AA yx uAuAzkttzE ˆˆcos 21

pzktA ˆcos0 segundo p

22

210 AAA

22

21

21 ˆˆˆ

AA

uAuAp yx

onde e

e

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular direita

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

5

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo direita polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular direita

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular esquerda

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

6

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

Ax

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo ldquoesquerdardquo polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular esquerda

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

7

21

2

1

2

0

AA

polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos 21

1A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos 21

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 12111

xAE ˆ00 1

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 21

2A

22

22

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash resumo

seja

direcccedilatildeo do versor de polarizaccedilatildeo depende da relaccedilatildeo entreamplitudes das duas ondas

yExEE yx ˆˆ

se ondas em fase onda resultante tem polarizaccedilatildeo linear

se diferenccedila de fase = 90ordm

onda resultante tem polarizaccedilatildeo eliacuteptica

(soma de duas ondas linearmente polarizadas em quadratura no espaccedilo)

circular amplitudes iguaiseliacuteptica amplitudes diferentes

se diferenccedila de fase arbitraacuteria eixos da elipse natildeo coincidem com x e y

onda resultante tem polarizaccedilatildeo circular ou eliacuteptica

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash aplicaccedilotildees

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado perpendicularmente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas AME

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado paralelamente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas TV E

E

E

emitidas em polarizaccedilatildeo circularantena de recepccedilatildeo deve estar num plano normal agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

ondas FM

antenas nos telhados satildeo horizontais

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash permitividade complexa

Equaccedilotildees de Maxwell para campos harmoacutenicos em meios LHI com perdas e sem cargas

HB

ED

tHE

E

tEJH

0 H

EJ

0

0

0

H

E

EjEH

HjE

EjH

Ej c

jc 1

Ejj

1

permitividade complexa

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash tangente de perdas

jc 1tangente de perdas

ctan

bom condutor

bom isolador

comportamento de um dado materialvaria com a frequecircncia

Ex

aacutegua do mar

072Sm4

zf H50

zf GH1

7102 bom condutor

4 condutor

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas planas em meios com perdas ndash constante de propagaccedilatildeo

jc 1

022 EkE

022 HkH

kcck

j

jj 1constante de propagaccedilatildeo

constante de atenuaccedilatildeo

constante de fase

Nota

2

fv

022 EkE c

022 HkH c

zz eEeEE 00

(para propagaccedilatildeo segundo z)

cjk

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash impedacircncia complexa

jc 1

EaH n

ˆ1

EaH nc

ˆ1

c

c

jc

c

1impedacircncia complexa

HE

eem meios com perdas natildeo estatildeo em fase

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulaacuterio

Ondas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Propagaccedilatildeo em meios bons condutores

bom condutor 2

2

fv

o45

EaH n

ˆ1

H

atrasado 45ordm em relaccedilatildeo a E

fv

2 j

j

j

distorccedilatildeo de sinais

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

zeEE 0

factor de atenuaccedilatildeo

zjzeeE 0

para propagaccedilatildeo segundo +z

ze

frequecircncias elevadas elevado onda sofre atenuaccedilatildeo consideraacutevel

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula

profundidade de penetraccedilatildeo

efeito pelicular

)m(11

f

ze

2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

profundidade de penetraccedilatildeo

)m(1

f

material )Hz(60f)mS( )MHz(1f )GHz(1f

prata

cobre

ouro

alumiacutenio

aacutegua do mar

710176

71014

71085

710543

4

mm278

mm538

mm1410

mm9210

m32

mm0660

mm0640

mm0790

mm0840

m250

mm0020

mm00210

mm00250

mm00270

(jaacute natildeo eacute bom condutor a esta frequecircncia)

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

condutor ciliacutendrico a altas frequecircncias a corrente circula numa coroa ciliacutendrica exterior de espessura

satildeo usados tubos ciliacutendricos ocos em condutores para altas frequecircncias (ex antenas)

sdtDIldH

SC

int se e forem nulos tambeacutem eacute nuloH

D

intI

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

circulaccedilatildeo de corrente numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

variaccedilatildeo da resistecircncia com a frequecircncia

resistecircncia DC 2alRDC

resistecircncia AC a

lRAC 2 a

l

2a

RR

DC

AC

a altas frequecircncias a DCAC RR

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo

velocidade de fase velocidade de propagaccedilatildeo da frentede onda

fv

j jj 1

212

112

meios sem perdas eacute constante

meios com perdas natildeo eacute funccedilatildeo linear de depende da frequecircncia

fv

em sinais que consistem numa dada banda de frequecircncias as componentes a diferentes frequecircncias propagam-se a velocidades de fase diferentes distorccedilatildeo do sinal

DISPERSAtildeO

1

fv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash relaccedilatildeo de dispersatildeo meios dispersivos

meios dispersivos meios para os quais a velocidadede fase depende da frequecircncia

meios sem perdas satildeo meios natildeo dispersivos

meios com perdas satildeo meios dispersivos

relaccedilatildeo de dispersatildeo equaccedilatildeo que relacionacom Ex meios sem perdas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

no caso geral

largura de banda centrada numa portadora

ff vv

2 0

01 2

01

02

0

02

01

ztztEtzE 00000 coscos

ztztE 000 coscos2

Considere-se a propagaccedilatildeo de um sinal com

Admitindo que o sinal em causa corresponde agrave soma de duas ondas planas que se propagam segundo +z e de frequecircncia 1 e 2 tem-se

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

ztztEtzE 000 coscos2

z

0zE

envolvente portadora

portadora propaga-se agrave velocidade0

0

envolvente propaga-se agrave velocidade

0lim ms1

ddvg

velocidade de grupo

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo normal e anoacutemala

ddvg

1 velocidade de grupo

fv velocidade de fase

fvdd

dd

2f

ff

vddv

v

ddv

v

vv

f

f

fg

1

casos particulares

1 0d

dv ffg vv

2 0d

dv ffg vv

sem dispersatildeo ( constante)fv

dispersatildeo normal ( diminui com )fv

3 0d

dv ffg vv dispersatildeo anoacutemala fv ( aumenta com )

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Um meio bom condutor apresenta dispersatildeo normal ou anoacutemala

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Energia transportada por uma onda

tHE

tEJH

EJ

HEEHHE

(igualdade vectorial)

tEJE

tHHHE

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

JEEEt

HHt

HE

21

21

AAtt

AA

21

222

22EEH

tHE

dvAsdAVS

Nota expressotildees instantacircneas

2Wm

Faculdade de Engenharia

OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 21: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas

para ondas TEM que se propagam segundo +z

E

direcccedilatildeo de polarizaccedilatildeo fixa

xeEE zjk ˆ0

se onda polarizada LINEARMENTE segundo x

xzktEtzE ˆcos 0

direcccedilatildeo de indica a POLARIZACcedilAtildeO da onda

zE ˆ

CASO GERAL

ondeyeExeEE zjky

zjkx ˆˆ 00

2

1

20

10

jy

jx

eAE

eAE

satildeo complexos00 yx EE

yeAxeAE zkjzkj ˆˆ 2121

Ondas

Faculdade de Engenharia

p

1A

2A

x

y

1

21tanAA

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo linear

y

zkjx

zkj ueAueAE ˆˆ 2121

tjVetv Re yx uzktAuzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

1 02 A xuzktAtzE ˆcos 11

polarizaccedilatildeo segundo xu

2 01 A polarizaccedilatildeo segundo yu yuzktAtzE ˆcos 22

3 AAA

21

21 segundo p yx uuzktAtzE ˆˆcos

pzktA ˆcos0

AA 20 onde2

ˆˆˆ yx uup

p

1

1

x

ordm45

y

4

21

21

AA yx uAuAzkttzE ˆˆcos 21

pzktA ˆcos0 segundo p

22

210 AAA

22

21

21 ˆˆˆ

AA

uAuAp yx

onde e

e

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular direita

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

5

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo direita polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular direita

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular esquerda

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

6

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

Ax

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo ldquoesquerdardquo polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular esquerda

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

7

21

2

1

2

0

AA

polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos 21

1A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos 21

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 12111

xAE ˆ00 1

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 21

2A

22

22

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash resumo

seja

direcccedilatildeo do versor de polarizaccedilatildeo depende da relaccedilatildeo entreamplitudes das duas ondas

yExEE yx ˆˆ

se ondas em fase onda resultante tem polarizaccedilatildeo linear

se diferenccedila de fase = 90ordm

onda resultante tem polarizaccedilatildeo eliacuteptica

(soma de duas ondas linearmente polarizadas em quadratura no espaccedilo)

circular amplitudes iguaiseliacuteptica amplitudes diferentes

se diferenccedila de fase arbitraacuteria eixos da elipse natildeo coincidem com x e y

onda resultante tem polarizaccedilatildeo circular ou eliacuteptica

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash aplicaccedilotildees

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado perpendicularmente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas AME

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado paralelamente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas TV E

E

E

emitidas em polarizaccedilatildeo circularantena de recepccedilatildeo deve estar num plano normal agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

ondas FM

antenas nos telhados satildeo horizontais

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash permitividade complexa

Equaccedilotildees de Maxwell para campos harmoacutenicos em meios LHI com perdas e sem cargas

HB

ED

tHE

E

tEJH

0 H

EJ

0

0

0

H

E

EjEH

HjE

EjH

Ej c

jc 1

Ejj

1

permitividade complexa

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash tangente de perdas

jc 1tangente de perdas

ctan

bom condutor

bom isolador

comportamento de um dado materialvaria com a frequecircncia

Ex

aacutegua do mar

072Sm4

zf H50

zf GH1

7102 bom condutor

4 condutor

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas planas em meios com perdas ndash constante de propagaccedilatildeo

jc 1

022 EkE

022 HkH

kcck

j

jj 1constante de propagaccedilatildeo

constante de atenuaccedilatildeo

constante de fase

Nota

2

fv

022 EkE c

022 HkH c

zz eEeEE 00

(para propagaccedilatildeo segundo z)

cjk

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash impedacircncia complexa

jc 1

EaH n

ˆ1

EaH nc

ˆ1

c

c

jc

c

1impedacircncia complexa

HE

eem meios com perdas natildeo estatildeo em fase

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulaacuterio

Ondas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Propagaccedilatildeo em meios bons condutores

bom condutor 2

2

fv

o45

EaH n

ˆ1

H

atrasado 45ordm em relaccedilatildeo a E

fv

2 j

j

j

distorccedilatildeo de sinais

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

zeEE 0

factor de atenuaccedilatildeo

zjzeeE 0

para propagaccedilatildeo segundo +z

ze

frequecircncias elevadas elevado onda sofre atenuaccedilatildeo consideraacutevel

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula

profundidade de penetraccedilatildeo

efeito pelicular

)m(11

f

ze

2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

profundidade de penetraccedilatildeo

)m(1

f

material )Hz(60f)mS( )MHz(1f )GHz(1f

prata

cobre

ouro

alumiacutenio

aacutegua do mar

710176

71014

71085

710543

4

mm278

mm538

mm1410

mm9210

m32

mm0660

mm0640

mm0790

mm0840

m250

mm0020

mm00210

mm00250

mm00270

(jaacute natildeo eacute bom condutor a esta frequecircncia)

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

condutor ciliacutendrico a altas frequecircncias a corrente circula numa coroa ciliacutendrica exterior de espessura

satildeo usados tubos ciliacutendricos ocos em condutores para altas frequecircncias (ex antenas)

sdtDIldH

SC

int se e forem nulos tambeacutem eacute nuloH

D

intI

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

circulaccedilatildeo de corrente numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

variaccedilatildeo da resistecircncia com a frequecircncia

resistecircncia DC 2alRDC

resistecircncia AC a

lRAC 2 a

l

2a

RR

DC

AC

a altas frequecircncias a DCAC RR

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo

velocidade de fase velocidade de propagaccedilatildeo da frentede onda

fv

j jj 1

212

112

meios sem perdas eacute constante

meios com perdas natildeo eacute funccedilatildeo linear de depende da frequecircncia

fv

em sinais que consistem numa dada banda de frequecircncias as componentes a diferentes frequecircncias propagam-se a velocidades de fase diferentes distorccedilatildeo do sinal

DISPERSAtildeO

1

fv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash relaccedilatildeo de dispersatildeo meios dispersivos

meios dispersivos meios para os quais a velocidadede fase depende da frequecircncia

meios sem perdas satildeo meios natildeo dispersivos

meios com perdas satildeo meios dispersivos

relaccedilatildeo de dispersatildeo equaccedilatildeo que relacionacom Ex meios sem perdas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

no caso geral

largura de banda centrada numa portadora

ff vv

2 0

01 2

01

02

0

02

01

ztztEtzE 00000 coscos

ztztE 000 coscos2

Considere-se a propagaccedilatildeo de um sinal com

Admitindo que o sinal em causa corresponde agrave soma de duas ondas planas que se propagam segundo +z e de frequecircncia 1 e 2 tem-se

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

ztztEtzE 000 coscos2

z

0zE

envolvente portadora

portadora propaga-se agrave velocidade0

0

envolvente propaga-se agrave velocidade

0lim ms1

ddvg

velocidade de grupo

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo normal e anoacutemala

ddvg

1 velocidade de grupo

fv velocidade de fase

fvdd

dd

2f

ff

vddv

v

ddv

v

vv

f

f

fg

1

casos particulares

1 0d

dv ffg vv

2 0d

dv ffg vv

sem dispersatildeo ( constante)fv

dispersatildeo normal ( diminui com )fv

3 0d

dv ffg vv dispersatildeo anoacutemala fv ( aumenta com )

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Um meio bom condutor apresenta dispersatildeo normal ou anoacutemala

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Energia transportada por uma onda

tHE

tEJH

EJ

HEEHHE

(igualdade vectorial)

tEJE

tHHHE

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

JEEEt

HHt

HE

21

21

AAtt

AA

21

222

22EEH

tHE

dvAsdAVS

Nota expressotildees instantacircneas

2Wm

Faculdade de Engenharia

OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 22: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

p

1A

2A

x

y

1

21tanAA

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo linear

y

zkjx

zkj ueAueAE ˆˆ 2121

tjVetv Re yx uzktAuzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

1 02 A xuzktAtzE ˆcos 11

polarizaccedilatildeo segundo xu

2 01 A polarizaccedilatildeo segundo yu yuzktAtzE ˆcos 22

3 AAA

21

21 segundo p yx uuzktAtzE ˆˆcos

pzktA ˆcos0

AA 20 onde2

ˆˆˆ yx uup

p

1

1

x

ordm45

y

4

21

21

AA yx uAuAzkttzE ˆˆcos 21

pzktA ˆcos0 segundo p

22

210 AAA

22

21

21 ˆˆˆ

AA

uAuAp yx

onde e

e

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular direita

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

5

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo direita polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular direita

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular esquerda

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

6

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

Ax

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo ldquoesquerdardquo polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular esquerda

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

7

21

2

1

2

0

AA

polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos 21

1A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos 21

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 12111

xAE ˆ00 1

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 21

2A

22

22

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash resumo

seja

direcccedilatildeo do versor de polarizaccedilatildeo depende da relaccedilatildeo entreamplitudes das duas ondas

yExEE yx ˆˆ

se ondas em fase onda resultante tem polarizaccedilatildeo linear

se diferenccedila de fase = 90ordm

onda resultante tem polarizaccedilatildeo eliacuteptica

(soma de duas ondas linearmente polarizadas em quadratura no espaccedilo)

circular amplitudes iguaiseliacuteptica amplitudes diferentes

se diferenccedila de fase arbitraacuteria eixos da elipse natildeo coincidem com x e y

onda resultante tem polarizaccedilatildeo circular ou eliacuteptica

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash aplicaccedilotildees

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado perpendicularmente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas AME

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado paralelamente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas TV E

E

E

emitidas em polarizaccedilatildeo circularantena de recepccedilatildeo deve estar num plano normal agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

ondas FM

antenas nos telhados satildeo horizontais

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash permitividade complexa

Equaccedilotildees de Maxwell para campos harmoacutenicos em meios LHI com perdas e sem cargas

HB

ED

tHE

E

tEJH

0 H

EJ

0

0

0

H

E

EjEH

HjE

EjH

Ej c

jc 1

Ejj

1

permitividade complexa

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash tangente de perdas

jc 1tangente de perdas

ctan

bom condutor

bom isolador

comportamento de um dado materialvaria com a frequecircncia

Ex

aacutegua do mar

072Sm4

zf H50

zf GH1

7102 bom condutor

4 condutor

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas planas em meios com perdas ndash constante de propagaccedilatildeo

jc 1

022 EkE

022 HkH

kcck

j

jj 1constante de propagaccedilatildeo

constante de atenuaccedilatildeo

constante de fase

Nota

2

fv

022 EkE c

022 HkH c

zz eEeEE 00

(para propagaccedilatildeo segundo z)

cjk

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash impedacircncia complexa

jc 1

EaH n

ˆ1

EaH nc

ˆ1

c

c

jc

c

1impedacircncia complexa

HE

eem meios com perdas natildeo estatildeo em fase

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulaacuterio

Ondas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Propagaccedilatildeo em meios bons condutores

bom condutor 2

2

fv

o45

EaH n

ˆ1

H

atrasado 45ordm em relaccedilatildeo a E

fv

2 j

j

j

distorccedilatildeo de sinais

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

zeEE 0

factor de atenuaccedilatildeo

zjzeeE 0

para propagaccedilatildeo segundo +z

ze

frequecircncias elevadas elevado onda sofre atenuaccedilatildeo consideraacutevel

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula

profundidade de penetraccedilatildeo

efeito pelicular

)m(11

f

ze

2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

profundidade de penetraccedilatildeo

)m(1

f

material )Hz(60f)mS( )MHz(1f )GHz(1f

prata

cobre

ouro

alumiacutenio

aacutegua do mar

710176

71014

71085

710543

4

mm278

mm538

mm1410

mm9210

m32

mm0660

mm0640

mm0790

mm0840

m250

mm0020

mm00210

mm00250

mm00270

(jaacute natildeo eacute bom condutor a esta frequecircncia)

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

condutor ciliacutendrico a altas frequecircncias a corrente circula numa coroa ciliacutendrica exterior de espessura

satildeo usados tubos ciliacutendricos ocos em condutores para altas frequecircncias (ex antenas)

sdtDIldH

SC

int se e forem nulos tambeacutem eacute nuloH

D

intI

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

circulaccedilatildeo de corrente numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

variaccedilatildeo da resistecircncia com a frequecircncia

resistecircncia DC 2alRDC

resistecircncia AC a

lRAC 2 a

l

2a

RR

DC

AC

a altas frequecircncias a DCAC RR

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo

velocidade de fase velocidade de propagaccedilatildeo da frentede onda

fv

j jj 1

212

112

meios sem perdas eacute constante

meios com perdas natildeo eacute funccedilatildeo linear de depende da frequecircncia

fv

em sinais que consistem numa dada banda de frequecircncias as componentes a diferentes frequecircncias propagam-se a velocidades de fase diferentes distorccedilatildeo do sinal

DISPERSAtildeO

1

fv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash relaccedilatildeo de dispersatildeo meios dispersivos

meios dispersivos meios para os quais a velocidadede fase depende da frequecircncia

meios sem perdas satildeo meios natildeo dispersivos

meios com perdas satildeo meios dispersivos

relaccedilatildeo de dispersatildeo equaccedilatildeo que relacionacom Ex meios sem perdas

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OE 1415

Velocidade de grupo

no caso geral

largura de banda centrada numa portadora

ff vv

2 0

01 2

01

02

0

02

01

ztztEtzE 00000 coscos

ztztE 000 coscos2

Considere-se a propagaccedilatildeo de um sinal com

Admitindo que o sinal em causa corresponde agrave soma de duas ondas planas que se propagam segundo +z e de frequecircncia 1 e 2 tem-se

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OE 1415

Velocidade de grupo

ztztEtzE 000 coscos2

z

0zE

envolvente portadora

portadora propaga-se agrave velocidade0

0

envolvente propaga-se agrave velocidade

0lim ms1

ddvg

velocidade de grupo

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OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo normal e anoacutemala

ddvg

1 velocidade de grupo

fv velocidade de fase

fvdd

dd

2f

ff

vddv

v

ddv

v

vv

f

f

fg

1

casos particulares

1 0d

dv ffg vv

2 0d

dv ffg vv

sem dispersatildeo ( constante)fv

dispersatildeo normal ( diminui com )fv

3 0d

dv ffg vv dispersatildeo anoacutemala fv ( aumenta com )

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Exerciacutecio

Um meio bom condutor apresenta dispersatildeo normal ou anoacutemala

formulaacuterio

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Energia transportada por uma onda

tHE

tEJH

EJ

HEEHHE

(igualdade vectorial)

tEJE

tHHHE

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

JEEEt

HHt

HE

21

21

AAtt

AA

21

222

22EEH

tHE

dvAsdAVS

Nota expressotildees instantacircneas

2Wm

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OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

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Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

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OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

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OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

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OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

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Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

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Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

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OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

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OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

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OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

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OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

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OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

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OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

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OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

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OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 23: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular direita

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

5

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo direita polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular direita

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular esquerda

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

6

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

Ax

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo ldquoesquerdardquo polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular esquerda

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

7

21

2

1

2

0

AA

polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos 21

1A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos 21

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 12111

xAE ˆ00 1

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 21

2A

22

22

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash resumo

seja

direcccedilatildeo do versor de polarizaccedilatildeo depende da relaccedilatildeo entreamplitudes das duas ondas

yExEE yx ˆˆ

se ondas em fase onda resultante tem polarizaccedilatildeo linear

se diferenccedila de fase = 90ordm

onda resultante tem polarizaccedilatildeo eliacuteptica

(soma de duas ondas linearmente polarizadas em quadratura no espaccedilo)

circular amplitudes iguaiseliacuteptica amplitudes diferentes

se diferenccedila de fase arbitraacuteria eixos da elipse natildeo coincidem com x e y

onda resultante tem polarizaccedilatildeo circular ou eliacuteptica

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash aplicaccedilotildees

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado perpendicularmente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas AME

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado paralelamente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas TV E

E

E

emitidas em polarizaccedilatildeo circularantena de recepccedilatildeo deve estar num plano normal agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

ondas FM

antenas nos telhados satildeo horizontais

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash permitividade complexa

Equaccedilotildees de Maxwell para campos harmoacutenicos em meios LHI com perdas e sem cargas

HB

ED

tHE

E

tEJH

0 H

EJ

0

0

0

H

E

EjEH

HjE

EjH

Ej c

jc 1

Ejj

1

permitividade complexa

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash tangente de perdas

jc 1tangente de perdas

ctan

bom condutor

bom isolador

comportamento de um dado materialvaria com a frequecircncia

Ex

aacutegua do mar

072Sm4

zf H50

zf GH1

7102 bom condutor

4 condutor

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas planas em meios com perdas ndash constante de propagaccedilatildeo

jc 1

022 EkE

022 HkH

kcck

j

jj 1constante de propagaccedilatildeo

constante de atenuaccedilatildeo

constante de fase

Nota

2

fv

022 EkE c

022 HkH c

zz eEeEE 00

(para propagaccedilatildeo segundo z)

cjk

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash impedacircncia complexa

jc 1

EaH n

ˆ1

EaH nc

ˆ1

c

c

jc

c

1impedacircncia complexa

HE

eem meios com perdas natildeo estatildeo em fase

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulaacuterio

Ondas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Propagaccedilatildeo em meios bons condutores

bom condutor 2

2

fv

o45

EaH n

ˆ1

H

atrasado 45ordm em relaccedilatildeo a E

fv

2 j

j

j

distorccedilatildeo de sinais

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

zeEE 0

factor de atenuaccedilatildeo

zjzeeE 0

para propagaccedilatildeo segundo +z

ze

frequecircncias elevadas elevado onda sofre atenuaccedilatildeo consideraacutevel

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula

profundidade de penetraccedilatildeo

efeito pelicular

)m(11

f

ze

2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

profundidade de penetraccedilatildeo

)m(1

f

material )Hz(60f)mS( )MHz(1f )GHz(1f

prata

cobre

ouro

alumiacutenio

aacutegua do mar

710176

71014

71085

710543

4

mm278

mm538

mm1410

mm9210

m32

mm0660

mm0640

mm0790

mm0840

m250

mm0020

mm00210

mm00250

mm00270

(jaacute natildeo eacute bom condutor a esta frequecircncia)

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

condutor ciliacutendrico a altas frequecircncias a corrente circula numa coroa ciliacutendrica exterior de espessura

satildeo usados tubos ciliacutendricos ocos em condutores para altas frequecircncias (ex antenas)

sdtDIldH

SC

int se e forem nulos tambeacutem eacute nuloH

D

intI

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

circulaccedilatildeo de corrente numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

variaccedilatildeo da resistecircncia com a frequecircncia

resistecircncia DC 2alRDC

resistecircncia AC a

lRAC 2 a

l

2a

RR

DC

AC

a altas frequecircncias a DCAC RR

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo

velocidade de fase velocidade de propagaccedilatildeo da frentede onda

fv

j jj 1

212

112

meios sem perdas eacute constante

meios com perdas natildeo eacute funccedilatildeo linear de depende da frequecircncia

fv

em sinais que consistem numa dada banda de frequecircncias as componentes a diferentes frequecircncias propagam-se a velocidades de fase diferentes distorccedilatildeo do sinal

DISPERSAtildeO

1

fv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash relaccedilatildeo de dispersatildeo meios dispersivos

meios dispersivos meios para os quais a velocidadede fase depende da frequecircncia

meios sem perdas satildeo meios natildeo dispersivos

meios com perdas satildeo meios dispersivos

relaccedilatildeo de dispersatildeo equaccedilatildeo que relacionacom Ex meios sem perdas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

no caso geral

largura de banda centrada numa portadora

ff vv

2 0

01 2

01

02

0

02

01

ztztEtzE 00000 coscos

ztztE 000 coscos2

Considere-se a propagaccedilatildeo de um sinal com

Admitindo que o sinal em causa corresponde agrave soma de duas ondas planas que se propagam segundo +z e de frequecircncia 1 e 2 tem-se

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

ztztEtzE 000 coscos2

z

0zE

envolvente portadora

portadora propaga-se agrave velocidade0

0

envolvente propaga-se agrave velocidade

0lim ms1

ddvg

velocidade de grupo

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo normal e anoacutemala

ddvg

1 velocidade de grupo

fv velocidade de fase

fvdd

dd

2f

ff

vddv

v

ddv

v

vv

f

f

fg

1

casos particulares

1 0d

dv ffg vv

2 0d

dv ffg vv

sem dispersatildeo ( constante)fv

dispersatildeo normal ( diminui com )fv

3 0d

dv ffg vv dispersatildeo anoacutemala fv ( aumenta com )

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Um meio bom condutor apresenta dispersatildeo normal ou anoacutemala

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Energia transportada por uma onda

tHE

tEJH

EJ

HEEHHE

(igualdade vectorial)

tEJE

tHHHE

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

JEEEt

HHt

HE

21

21

AAtt

AA

21

222

22EEH

tHE

dvAsdAVS

Nota expressotildees instantacircneas

2Wm

Faculdade de Engenharia

OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 24: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo circular esquerda

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

6

AAA

21

2

1

2

0

polarizaccedilatildeo circular

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos

Ax

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 111 xAE ˆ00

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 222

ytAxtAtE ˆsinˆcos0

regra da matildeo ldquoesquerdardquo polegar aponta no sentido de propagaccedilatildeodedos indicam direcccedilatildeo de tE 0

polarizaccedilatildeo circular esquerda

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

7

21

2

1

2

0

AA

polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos 21

1A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos 21

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 12111

xAE ˆ00 1

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 21

2A

22

22

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash resumo

seja

direcccedilatildeo do versor de polarizaccedilatildeo depende da relaccedilatildeo entreamplitudes das duas ondas

yExEE yx ˆˆ

se ondas em fase onda resultante tem polarizaccedilatildeo linear

se diferenccedila de fase = 90ordm

onda resultante tem polarizaccedilatildeo eliacuteptica

(soma de duas ondas linearmente polarizadas em quadratura no espaccedilo)

circular amplitudes iguaiseliacuteptica amplitudes diferentes

se diferenccedila de fase arbitraacuteria eixos da elipse natildeo coincidem com x e y

onda resultante tem polarizaccedilatildeo circular ou eliacuteptica

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash aplicaccedilotildees

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado perpendicularmente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas AME

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado paralelamente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas TV E

E

E

emitidas em polarizaccedilatildeo circularantena de recepccedilatildeo deve estar num plano normal agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

ondas FM

antenas nos telhados satildeo horizontais

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash permitividade complexa

Equaccedilotildees de Maxwell para campos harmoacutenicos em meios LHI com perdas e sem cargas

HB

ED

tHE

E

tEJH

0 H

EJ

0

0

0

H

E

EjEH

HjE

EjH

Ej c

jc 1

Ejj

1

permitividade complexa

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash tangente de perdas

jc 1tangente de perdas

ctan

bom condutor

bom isolador

comportamento de um dado materialvaria com a frequecircncia

Ex

aacutegua do mar

072Sm4

zf H50

zf GH1

7102 bom condutor

4 condutor

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas planas em meios com perdas ndash constante de propagaccedilatildeo

jc 1

022 EkE

022 HkH

kcck

j

jj 1constante de propagaccedilatildeo

constante de atenuaccedilatildeo

constante de fase

Nota

2

fv

022 EkE c

022 HkH c

zz eEeEE 00

(para propagaccedilatildeo segundo z)

cjk

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash impedacircncia complexa

jc 1

EaH n

ˆ1

EaH nc

ˆ1

c

c

jc

c

1impedacircncia complexa

HE

eem meios com perdas natildeo estatildeo em fase

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulaacuterio

Ondas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Propagaccedilatildeo em meios bons condutores

bom condutor 2

2

fv

o45

EaH n

ˆ1

H

atrasado 45ordm em relaccedilatildeo a E

fv

2 j

j

j

distorccedilatildeo de sinais

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

zeEE 0

factor de atenuaccedilatildeo

zjzeeE 0

para propagaccedilatildeo segundo +z

ze

frequecircncias elevadas elevado onda sofre atenuaccedilatildeo consideraacutevel

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula

profundidade de penetraccedilatildeo

efeito pelicular

)m(11

f

ze

2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

profundidade de penetraccedilatildeo

)m(1

f

material )Hz(60f)mS( )MHz(1f )GHz(1f

prata

cobre

ouro

alumiacutenio

aacutegua do mar

710176

71014

71085

710543

4

mm278

mm538

mm1410

mm9210

m32

mm0660

mm0640

mm0790

mm0840

m250

mm0020

mm00210

mm00250

mm00270

(jaacute natildeo eacute bom condutor a esta frequecircncia)

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

condutor ciliacutendrico a altas frequecircncias a corrente circula numa coroa ciliacutendrica exterior de espessura

satildeo usados tubos ciliacutendricos ocos em condutores para altas frequecircncias (ex antenas)

sdtDIldH

SC

int se e forem nulos tambeacutem eacute nuloH

D

intI

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

circulaccedilatildeo de corrente numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

variaccedilatildeo da resistecircncia com a frequecircncia

resistecircncia DC 2alRDC

resistecircncia AC a

lRAC 2 a

l

2a

RR

DC

AC

a altas frequecircncias a DCAC RR

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo

velocidade de fase velocidade de propagaccedilatildeo da frentede onda

fv

j jj 1

212

112

meios sem perdas eacute constante

meios com perdas natildeo eacute funccedilatildeo linear de depende da frequecircncia

fv

em sinais que consistem numa dada banda de frequecircncias as componentes a diferentes frequecircncias propagam-se a velocidades de fase diferentes distorccedilatildeo do sinal

DISPERSAtildeO

1

fv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash relaccedilatildeo de dispersatildeo meios dispersivos

meios dispersivos meios para os quais a velocidadede fase depende da frequecircncia

meios sem perdas satildeo meios natildeo dispersivos

meios com perdas satildeo meios dispersivos

relaccedilatildeo de dispersatildeo equaccedilatildeo que relacionacom Ex meios sem perdas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

no caso geral

largura de banda centrada numa portadora

ff vv

2 0

01 2

01

02

0

02

01

ztztEtzE 00000 coscos

ztztE 000 coscos2

Considere-se a propagaccedilatildeo de um sinal com

Admitindo que o sinal em causa corresponde agrave soma de duas ondas planas que se propagam segundo +z e de frequecircncia 1 e 2 tem-se

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

ztztEtzE 000 coscos2

z

0zE

envolvente portadora

portadora propaga-se agrave velocidade0

0

envolvente propaga-se agrave velocidade

0lim ms1

ddvg

velocidade de grupo

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo normal e anoacutemala

ddvg

1 velocidade de grupo

fv velocidade de fase

fvdd

dd

2f

ff

vddv

v

ddv

v

vv

f

f

fg

1

casos particulares

1 0d

dv ffg vv

2 0d

dv ffg vv

sem dispersatildeo ( constante)fv

dispersatildeo normal ( diminui com )fv

3 0d

dv ffg vv dispersatildeo anoacutemala fv ( aumenta com )

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Um meio bom condutor apresenta dispersatildeo normal ou anoacutemala

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Energia transportada por uma onda

tHE

tEJH

EJ

HEEHHE

(igualdade vectorial)

tEJE

tHHHE

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

JEEEt

HHt

HE

21

21

AAtt

AA

21

222

22EEH

tHE

dvAsdAVS

Nota expressotildees instantacircneas

2Wm

Faculdade de Engenharia

OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 25: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆcosˆcos 2211

casos particulares

7

21

2

1

2

0

AA

polarizaccedilatildeo eliacuteptica

yzktAxzktAtzE ˆ2

cosˆcos 21

1A x

y

yzktAxzktA ˆsinˆcos 21

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 12111

xAE ˆ00 1

ytAxtAtE ˆsinˆcos0 21

2A

22

22

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash resumo

seja

direcccedilatildeo do versor de polarizaccedilatildeo depende da relaccedilatildeo entreamplitudes das duas ondas

yExEE yx ˆˆ

se ondas em fase onda resultante tem polarizaccedilatildeo linear

se diferenccedila de fase = 90ordm

onda resultante tem polarizaccedilatildeo eliacuteptica

(soma de duas ondas linearmente polarizadas em quadratura no espaccedilo)

circular amplitudes iguaiseliacuteptica amplitudes diferentes

se diferenccedila de fase arbitraacuteria eixos da elipse natildeo coincidem com x e y

onda resultante tem polarizaccedilatildeo circular ou eliacuteptica

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash aplicaccedilotildees

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado perpendicularmente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas AME

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado paralelamente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas TV E

E

E

emitidas em polarizaccedilatildeo circularantena de recepccedilatildeo deve estar num plano normal agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

ondas FM

antenas nos telhados satildeo horizontais

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash permitividade complexa

Equaccedilotildees de Maxwell para campos harmoacutenicos em meios LHI com perdas e sem cargas

HB

ED

tHE

E

tEJH

0 H

EJ

0

0

0

H

E

EjEH

HjE

EjH

Ej c

jc 1

Ejj

1

permitividade complexa

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash tangente de perdas

jc 1tangente de perdas

ctan

bom condutor

bom isolador

comportamento de um dado materialvaria com a frequecircncia

Ex

aacutegua do mar

072Sm4

zf H50

zf GH1

7102 bom condutor

4 condutor

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas planas em meios com perdas ndash constante de propagaccedilatildeo

jc 1

022 EkE

022 HkH

kcck

j

jj 1constante de propagaccedilatildeo

constante de atenuaccedilatildeo

constante de fase

Nota

2

fv

022 EkE c

022 HkH c

zz eEeEE 00

(para propagaccedilatildeo segundo z)

cjk

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash impedacircncia complexa

jc 1

EaH n

ˆ1

EaH nc

ˆ1

c

c

jc

c

1impedacircncia complexa

HE

eem meios com perdas natildeo estatildeo em fase

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulaacuterio

Ondas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Propagaccedilatildeo em meios bons condutores

bom condutor 2

2

fv

o45

EaH n

ˆ1

H

atrasado 45ordm em relaccedilatildeo a E

fv

2 j

j

j

distorccedilatildeo de sinais

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

zeEE 0

factor de atenuaccedilatildeo

zjzeeE 0

para propagaccedilatildeo segundo +z

ze

frequecircncias elevadas elevado onda sofre atenuaccedilatildeo consideraacutevel

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula

profundidade de penetraccedilatildeo

efeito pelicular

)m(11

f

ze

2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

profundidade de penetraccedilatildeo

)m(1

f

material )Hz(60f)mS( )MHz(1f )GHz(1f

prata

cobre

ouro

alumiacutenio

aacutegua do mar

710176

71014

71085

710543

4

mm278

mm538

mm1410

mm9210

m32

mm0660

mm0640

mm0790

mm0840

m250

mm0020

mm00210

mm00250

mm00270

(jaacute natildeo eacute bom condutor a esta frequecircncia)

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

condutor ciliacutendrico a altas frequecircncias a corrente circula numa coroa ciliacutendrica exterior de espessura

satildeo usados tubos ciliacutendricos ocos em condutores para altas frequecircncias (ex antenas)

sdtDIldH

SC

int se e forem nulos tambeacutem eacute nuloH

D

intI

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

circulaccedilatildeo de corrente numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

variaccedilatildeo da resistecircncia com a frequecircncia

resistecircncia DC 2alRDC

resistecircncia AC a

lRAC 2 a

l

2a

RR

DC

AC

a altas frequecircncias a DCAC RR

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo

velocidade de fase velocidade de propagaccedilatildeo da frentede onda

fv

j jj 1

212

112

meios sem perdas eacute constante

meios com perdas natildeo eacute funccedilatildeo linear de depende da frequecircncia

fv

em sinais que consistem numa dada banda de frequecircncias as componentes a diferentes frequecircncias propagam-se a velocidades de fase diferentes distorccedilatildeo do sinal

DISPERSAtildeO

1

fv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash relaccedilatildeo de dispersatildeo meios dispersivos

meios dispersivos meios para os quais a velocidadede fase depende da frequecircncia

meios sem perdas satildeo meios natildeo dispersivos

meios com perdas satildeo meios dispersivos

relaccedilatildeo de dispersatildeo equaccedilatildeo que relacionacom Ex meios sem perdas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

no caso geral

largura de banda centrada numa portadora

ff vv

2 0

01 2

01

02

0

02

01

ztztEtzE 00000 coscos

ztztE 000 coscos2

Considere-se a propagaccedilatildeo de um sinal com

Admitindo que o sinal em causa corresponde agrave soma de duas ondas planas que se propagam segundo +z e de frequecircncia 1 e 2 tem-se

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

ztztEtzE 000 coscos2

z

0zE

envolvente portadora

portadora propaga-se agrave velocidade0

0

envolvente propaga-se agrave velocidade

0lim ms1

ddvg

velocidade de grupo

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo normal e anoacutemala

ddvg

1 velocidade de grupo

fv velocidade de fase

fvdd

dd

2f

ff

vddv

v

ddv

v

vv

f

f

fg

1

casos particulares

1 0d

dv ffg vv

2 0d

dv ffg vv

sem dispersatildeo ( constante)fv

dispersatildeo normal ( diminui com )fv

3 0d

dv ffg vv dispersatildeo anoacutemala fv ( aumenta com )

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Um meio bom condutor apresenta dispersatildeo normal ou anoacutemala

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Energia transportada por uma onda

tHE

tEJH

EJ

HEEHHE

(igualdade vectorial)

tEJE

tHHHE

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

JEEEt

HHt

HE

21

21

AAtt

AA

21

222

22EEH

tHE

dvAsdAVS

Nota expressotildees instantacircneas

2Wm

Faculdade de Engenharia

OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 26: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash resumo

seja

direcccedilatildeo do versor de polarizaccedilatildeo depende da relaccedilatildeo entreamplitudes das duas ondas

yExEE yx ˆˆ

se ondas em fase onda resultante tem polarizaccedilatildeo linear

se diferenccedila de fase = 90ordm

onda resultante tem polarizaccedilatildeo eliacuteptica

(soma de duas ondas linearmente polarizadas em quadratura no espaccedilo)

circular amplitudes iguaiseliacuteptica amplitudes diferentes

se diferenccedila de fase arbitraacuteria eixos da elipse natildeo coincidem com x e y

onda resultante tem polarizaccedilatildeo circular ou eliacuteptica

Ondas

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash aplicaccedilotildees

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado perpendicularmente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas AME

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado paralelamente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas TV E

E

E

emitidas em polarizaccedilatildeo circularantena de recepccedilatildeo deve estar num plano normal agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

ondas FM

antenas nos telhados satildeo horizontais

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash permitividade complexa

Equaccedilotildees de Maxwell para campos harmoacutenicos em meios LHI com perdas e sem cargas

HB

ED

tHE

E

tEJH

0 H

EJ

0

0

0

H

E

EjEH

HjE

EjH

Ej c

jc 1

Ejj

1

permitividade complexa

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash tangente de perdas

jc 1tangente de perdas

ctan

bom condutor

bom isolador

comportamento de um dado materialvaria com a frequecircncia

Ex

aacutegua do mar

072Sm4

zf H50

zf GH1

7102 bom condutor

4 condutor

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas planas em meios com perdas ndash constante de propagaccedilatildeo

jc 1

022 EkE

022 HkH

kcck

j

jj 1constante de propagaccedilatildeo

constante de atenuaccedilatildeo

constante de fase

Nota

2

fv

022 EkE c

022 HkH c

zz eEeEE 00

(para propagaccedilatildeo segundo z)

cjk

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash impedacircncia complexa

jc 1

EaH n

ˆ1

EaH nc

ˆ1

c

c

jc

c

1impedacircncia complexa

HE

eem meios com perdas natildeo estatildeo em fase

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulaacuterio

Ondas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Propagaccedilatildeo em meios bons condutores

bom condutor 2

2

fv

o45

EaH n

ˆ1

H

atrasado 45ordm em relaccedilatildeo a E

fv

2 j

j

j

distorccedilatildeo de sinais

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

zeEE 0

factor de atenuaccedilatildeo

zjzeeE 0

para propagaccedilatildeo segundo +z

ze

frequecircncias elevadas elevado onda sofre atenuaccedilatildeo consideraacutevel

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula

profundidade de penetraccedilatildeo

efeito pelicular

)m(11

f

ze

2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

profundidade de penetraccedilatildeo

)m(1

f

material )Hz(60f)mS( )MHz(1f )GHz(1f

prata

cobre

ouro

alumiacutenio

aacutegua do mar

710176

71014

71085

710543

4

mm278

mm538

mm1410

mm9210

m32

mm0660

mm0640

mm0790

mm0840

m250

mm0020

mm00210

mm00250

mm00270

(jaacute natildeo eacute bom condutor a esta frequecircncia)

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

condutor ciliacutendrico a altas frequecircncias a corrente circula numa coroa ciliacutendrica exterior de espessura

satildeo usados tubos ciliacutendricos ocos em condutores para altas frequecircncias (ex antenas)

sdtDIldH

SC

int se e forem nulos tambeacutem eacute nuloH

D

intI

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

circulaccedilatildeo de corrente numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

variaccedilatildeo da resistecircncia com a frequecircncia

resistecircncia DC 2alRDC

resistecircncia AC a

lRAC 2 a

l

2a

RR

DC

AC

a altas frequecircncias a DCAC RR

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo

velocidade de fase velocidade de propagaccedilatildeo da frentede onda

fv

j jj 1

212

112

meios sem perdas eacute constante

meios com perdas natildeo eacute funccedilatildeo linear de depende da frequecircncia

fv

em sinais que consistem numa dada banda de frequecircncias as componentes a diferentes frequecircncias propagam-se a velocidades de fase diferentes distorccedilatildeo do sinal

DISPERSAtildeO

1

fv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash relaccedilatildeo de dispersatildeo meios dispersivos

meios dispersivos meios para os quais a velocidadede fase depende da frequecircncia

meios sem perdas satildeo meios natildeo dispersivos

meios com perdas satildeo meios dispersivos

relaccedilatildeo de dispersatildeo equaccedilatildeo que relacionacom Ex meios sem perdas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

no caso geral

largura de banda centrada numa portadora

ff vv

2 0

01 2

01

02

0

02

01

ztztEtzE 00000 coscos

ztztE 000 coscos2

Considere-se a propagaccedilatildeo de um sinal com

Admitindo que o sinal em causa corresponde agrave soma de duas ondas planas que se propagam segundo +z e de frequecircncia 1 e 2 tem-se

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

ztztEtzE 000 coscos2

z

0zE

envolvente portadora

portadora propaga-se agrave velocidade0

0

envolvente propaga-se agrave velocidade

0lim ms1

ddvg

velocidade de grupo

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo normal e anoacutemala

ddvg

1 velocidade de grupo

fv velocidade de fase

fvdd

dd

2f

ff

vddv

v

ddv

v

vv

f

f

fg

1

casos particulares

1 0d

dv ffg vv

2 0d

dv ffg vv

sem dispersatildeo ( constante)fv

dispersatildeo normal ( diminui com )fv

3 0d

dv ffg vv dispersatildeo anoacutemala fv ( aumenta com )

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Um meio bom condutor apresenta dispersatildeo normal ou anoacutemala

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Energia transportada por uma onda

tHE

tEJH

EJ

HEEHHE

(igualdade vectorial)

tEJE

tHHHE

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

JEEEt

HHt

HE

21

21

AAtt

AA

21

222

22EEH

tHE

dvAsdAVS

Nota expressotildees instantacircneas

2Wm

Faculdade de Engenharia

OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 27: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de EngenhariaPolarizaccedilatildeo de ondas planas ndash aplicaccedilotildees

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado perpendicularmente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas AME

emitidas em polarizaccedilatildeo linear com orientado paralelamente ao soloantena de recepccedilatildeo deve ser paralela a

ondas TV E

E

E

emitidas em polarizaccedilatildeo circularantena de recepccedilatildeo deve estar num plano normal agrave direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo

ondas FM

antenas nos telhados satildeo horizontais

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash permitividade complexa

Equaccedilotildees de Maxwell para campos harmoacutenicos em meios LHI com perdas e sem cargas

HB

ED

tHE

E

tEJH

0 H

EJ

0

0

0

H

E

EjEH

HjE

EjH

Ej c

jc 1

Ejj

1

permitividade complexa

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash tangente de perdas

jc 1tangente de perdas

ctan

bom condutor

bom isolador

comportamento de um dado materialvaria com a frequecircncia

Ex

aacutegua do mar

072Sm4

zf H50

zf GH1

7102 bom condutor

4 condutor

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas planas em meios com perdas ndash constante de propagaccedilatildeo

jc 1

022 EkE

022 HkH

kcck

j

jj 1constante de propagaccedilatildeo

constante de atenuaccedilatildeo

constante de fase

Nota

2

fv

022 EkE c

022 HkH c

zz eEeEE 00

(para propagaccedilatildeo segundo z)

cjk

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash impedacircncia complexa

jc 1

EaH n

ˆ1

EaH nc

ˆ1

c

c

jc

c

1impedacircncia complexa

HE

eem meios com perdas natildeo estatildeo em fase

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulaacuterio

Ondas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Propagaccedilatildeo em meios bons condutores

bom condutor 2

2

fv

o45

EaH n

ˆ1

H

atrasado 45ordm em relaccedilatildeo a E

fv

2 j

j

j

distorccedilatildeo de sinais

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

zeEE 0

factor de atenuaccedilatildeo

zjzeeE 0

para propagaccedilatildeo segundo +z

ze

frequecircncias elevadas elevado onda sofre atenuaccedilatildeo consideraacutevel

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula

profundidade de penetraccedilatildeo

efeito pelicular

)m(11

f

ze

2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

profundidade de penetraccedilatildeo

)m(1

f

material )Hz(60f)mS( )MHz(1f )GHz(1f

prata

cobre

ouro

alumiacutenio

aacutegua do mar

710176

71014

71085

710543

4

mm278

mm538

mm1410

mm9210

m32

mm0660

mm0640

mm0790

mm0840

m250

mm0020

mm00210

mm00250

mm00270

(jaacute natildeo eacute bom condutor a esta frequecircncia)

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

condutor ciliacutendrico a altas frequecircncias a corrente circula numa coroa ciliacutendrica exterior de espessura

satildeo usados tubos ciliacutendricos ocos em condutores para altas frequecircncias (ex antenas)

sdtDIldH

SC

int se e forem nulos tambeacutem eacute nuloH

D

intI

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

circulaccedilatildeo de corrente numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

variaccedilatildeo da resistecircncia com a frequecircncia

resistecircncia DC 2alRDC

resistecircncia AC a

lRAC 2 a

l

2a

RR

DC

AC

a altas frequecircncias a DCAC RR

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo

velocidade de fase velocidade de propagaccedilatildeo da frentede onda

fv

j jj 1

212

112

meios sem perdas eacute constante

meios com perdas natildeo eacute funccedilatildeo linear de depende da frequecircncia

fv

em sinais que consistem numa dada banda de frequecircncias as componentes a diferentes frequecircncias propagam-se a velocidades de fase diferentes distorccedilatildeo do sinal

DISPERSAtildeO

1

fv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash relaccedilatildeo de dispersatildeo meios dispersivos

meios dispersivos meios para os quais a velocidadede fase depende da frequecircncia

meios sem perdas satildeo meios natildeo dispersivos

meios com perdas satildeo meios dispersivos

relaccedilatildeo de dispersatildeo equaccedilatildeo que relacionacom Ex meios sem perdas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

no caso geral

largura de banda centrada numa portadora

ff vv

2 0

01 2

01

02

0

02

01

ztztEtzE 00000 coscos

ztztE 000 coscos2

Considere-se a propagaccedilatildeo de um sinal com

Admitindo que o sinal em causa corresponde agrave soma de duas ondas planas que se propagam segundo +z e de frequecircncia 1 e 2 tem-se

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

ztztEtzE 000 coscos2

z

0zE

envolvente portadora

portadora propaga-se agrave velocidade0

0

envolvente propaga-se agrave velocidade

0lim ms1

ddvg

velocidade de grupo

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo normal e anoacutemala

ddvg

1 velocidade de grupo

fv velocidade de fase

fvdd

dd

2f

ff

vddv

v

ddv

v

vv

f

f

fg

1

casos particulares

1 0d

dv ffg vv

2 0d

dv ffg vv

sem dispersatildeo ( constante)fv

dispersatildeo normal ( diminui com )fv

3 0d

dv ffg vv dispersatildeo anoacutemala fv ( aumenta com )

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Um meio bom condutor apresenta dispersatildeo normal ou anoacutemala

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Energia transportada por uma onda

tHE

tEJH

EJ

HEEHHE

(igualdade vectorial)

tEJE

tHHHE

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

JEEEt

HHt

HE

21

21

AAtt

AA

21

222

22EEH

tHE

dvAsdAVS

Nota expressotildees instantacircneas

2Wm

Faculdade de Engenharia

OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 28: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash permitividade complexa

Equaccedilotildees de Maxwell para campos harmoacutenicos em meios LHI com perdas e sem cargas

HB

ED

tHE

E

tEJH

0 H

EJ

0

0

0

H

E

EjEH

HjE

EjH

Ej c

jc 1

Ejj

1

permitividade complexa

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash tangente de perdas

jc 1tangente de perdas

ctan

bom condutor

bom isolador

comportamento de um dado materialvaria com a frequecircncia

Ex

aacutegua do mar

072Sm4

zf H50

zf GH1

7102 bom condutor

4 condutor

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas planas em meios com perdas ndash constante de propagaccedilatildeo

jc 1

022 EkE

022 HkH

kcck

j

jj 1constante de propagaccedilatildeo

constante de atenuaccedilatildeo

constante de fase

Nota

2

fv

022 EkE c

022 HkH c

zz eEeEE 00

(para propagaccedilatildeo segundo z)

cjk

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash impedacircncia complexa

jc 1

EaH n

ˆ1

EaH nc

ˆ1

c

c

jc

c

1impedacircncia complexa

HE

eem meios com perdas natildeo estatildeo em fase

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulaacuterio

Ondas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Propagaccedilatildeo em meios bons condutores

bom condutor 2

2

fv

o45

EaH n

ˆ1

H

atrasado 45ordm em relaccedilatildeo a E

fv

2 j

j

j

distorccedilatildeo de sinais

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

zeEE 0

factor de atenuaccedilatildeo

zjzeeE 0

para propagaccedilatildeo segundo +z

ze

frequecircncias elevadas elevado onda sofre atenuaccedilatildeo consideraacutevel

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula

profundidade de penetraccedilatildeo

efeito pelicular

)m(11

f

ze

2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

profundidade de penetraccedilatildeo

)m(1

f

material )Hz(60f)mS( )MHz(1f )GHz(1f

prata

cobre

ouro

alumiacutenio

aacutegua do mar

710176

71014

71085

710543

4

mm278

mm538

mm1410

mm9210

m32

mm0660

mm0640

mm0790

mm0840

m250

mm0020

mm00210

mm00250

mm00270

(jaacute natildeo eacute bom condutor a esta frequecircncia)

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

condutor ciliacutendrico a altas frequecircncias a corrente circula numa coroa ciliacutendrica exterior de espessura

satildeo usados tubos ciliacutendricos ocos em condutores para altas frequecircncias (ex antenas)

sdtDIldH

SC

int se e forem nulos tambeacutem eacute nuloH

D

intI

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

circulaccedilatildeo de corrente numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

variaccedilatildeo da resistecircncia com a frequecircncia

resistecircncia DC 2alRDC

resistecircncia AC a

lRAC 2 a

l

2a

RR

DC

AC

a altas frequecircncias a DCAC RR

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo

velocidade de fase velocidade de propagaccedilatildeo da frentede onda

fv

j jj 1

212

112

meios sem perdas eacute constante

meios com perdas natildeo eacute funccedilatildeo linear de depende da frequecircncia

fv

em sinais que consistem numa dada banda de frequecircncias as componentes a diferentes frequecircncias propagam-se a velocidades de fase diferentes distorccedilatildeo do sinal

DISPERSAtildeO

1

fv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash relaccedilatildeo de dispersatildeo meios dispersivos

meios dispersivos meios para os quais a velocidadede fase depende da frequecircncia

meios sem perdas satildeo meios natildeo dispersivos

meios com perdas satildeo meios dispersivos

relaccedilatildeo de dispersatildeo equaccedilatildeo que relacionacom Ex meios sem perdas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

no caso geral

largura de banda centrada numa portadora

ff vv

2 0

01 2

01

02

0

02

01

ztztEtzE 00000 coscos

ztztE 000 coscos2

Considere-se a propagaccedilatildeo de um sinal com

Admitindo que o sinal em causa corresponde agrave soma de duas ondas planas que se propagam segundo +z e de frequecircncia 1 e 2 tem-se

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

ztztEtzE 000 coscos2

z

0zE

envolvente portadora

portadora propaga-se agrave velocidade0

0

envolvente propaga-se agrave velocidade

0lim ms1

ddvg

velocidade de grupo

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo normal e anoacutemala

ddvg

1 velocidade de grupo

fv velocidade de fase

fvdd

dd

2f

ff

vddv

v

ddv

v

vv

f

f

fg

1

casos particulares

1 0d

dv ffg vv

2 0d

dv ffg vv

sem dispersatildeo ( constante)fv

dispersatildeo normal ( diminui com )fv

3 0d

dv ffg vv dispersatildeo anoacutemala fv ( aumenta com )

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Um meio bom condutor apresenta dispersatildeo normal ou anoacutemala

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Energia transportada por uma onda

tHE

tEJH

EJ

HEEHHE

(igualdade vectorial)

tEJE

tHHHE

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

JEEEt

HHt

HE

21

21

AAtt

AA

21

222

22EEH

tHE

dvAsdAVS

Nota expressotildees instantacircneas

2Wm

Faculdade de Engenharia

OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 29: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash permitividade complexa

Equaccedilotildees de Maxwell para campos harmoacutenicos em meios LHI com perdas e sem cargas

HB

ED

tHE

E

tEJH

0 H

EJ

0

0

0

H

E

EjEH

HjE

EjH

Ej c

jc 1

Ejj

1

permitividade complexa

Ondas

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash tangente de perdas

jc 1tangente de perdas

ctan

bom condutor

bom isolador

comportamento de um dado materialvaria com a frequecircncia

Ex

aacutegua do mar

072Sm4

zf H50

zf GH1

7102 bom condutor

4 condutor

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas planas em meios com perdas ndash constante de propagaccedilatildeo

jc 1

022 EkE

022 HkH

kcck

j

jj 1constante de propagaccedilatildeo

constante de atenuaccedilatildeo

constante de fase

Nota

2

fv

022 EkE c

022 HkH c

zz eEeEE 00

(para propagaccedilatildeo segundo z)

cjk

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash impedacircncia complexa

jc 1

EaH n

ˆ1

EaH nc

ˆ1

c

c

jc

c

1impedacircncia complexa

HE

eem meios com perdas natildeo estatildeo em fase

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulaacuterio

Ondas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Propagaccedilatildeo em meios bons condutores

bom condutor 2

2

fv

o45

EaH n

ˆ1

H

atrasado 45ordm em relaccedilatildeo a E

fv

2 j

j

j

distorccedilatildeo de sinais

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

zeEE 0

factor de atenuaccedilatildeo

zjzeeE 0

para propagaccedilatildeo segundo +z

ze

frequecircncias elevadas elevado onda sofre atenuaccedilatildeo consideraacutevel

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula

profundidade de penetraccedilatildeo

efeito pelicular

)m(11

f

ze

2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

profundidade de penetraccedilatildeo

)m(1

f

material )Hz(60f)mS( )MHz(1f )GHz(1f

prata

cobre

ouro

alumiacutenio

aacutegua do mar

710176

71014

71085

710543

4

mm278

mm538

mm1410

mm9210

m32

mm0660

mm0640

mm0790

mm0840

m250

mm0020

mm00210

mm00250

mm00270

(jaacute natildeo eacute bom condutor a esta frequecircncia)

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

condutor ciliacutendrico a altas frequecircncias a corrente circula numa coroa ciliacutendrica exterior de espessura

satildeo usados tubos ciliacutendricos ocos em condutores para altas frequecircncias (ex antenas)

sdtDIldH

SC

int se e forem nulos tambeacutem eacute nuloH

D

intI

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

circulaccedilatildeo de corrente numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

variaccedilatildeo da resistecircncia com a frequecircncia

resistecircncia DC 2alRDC

resistecircncia AC a

lRAC 2 a

l

2a

RR

DC

AC

a altas frequecircncias a DCAC RR

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo

velocidade de fase velocidade de propagaccedilatildeo da frentede onda

fv

j jj 1

212

112

meios sem perdas eacute constante

meios com perdas natildeo eacute funccedilatildeo linear de depende da frequecircncia

fv

em sinais que consistem numa dada banda de frequecircncias as componentes a diferentes frequecircncias propagam-se a velocidades de fase diferentes distorccedilatildeo do sinal

DISPERSAtildeO

1

fv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash relaccedilatildeo de dispersatildeo meios dispersivos

meios dispersivos meios para os quais a velocidadede fase depende da frequecircncia

meios sem perdas satildeo meios natildeo dispersivos

meios com perdas satildeo meios dispersivos

relaccedilatildeo de dispersatildeo equaccedilatildeo que relacionacom Ex meios sem perdas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

no caso geral

largura de banda centrada numa portadora

ff vv

2 0

01 2

01

02

0

02

01

ztztEtzE 00000 coscos

ztztE 000 coscos2

Considere-se a propagaccedilatildeo de um sinal com

Admitindo que o sinal em causa corresponde agrave soma de duas ondas planas que se propagam segundo +z e de frequecircncia 1 e 2 tem-se

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

ztztEtzE 000 coscos2

z

0zE

envolvente portadora

portadora propaga-se agrave velocidade0

0

envolvente propaga-se agrave velocidade

0lim ms1

ddvg

velocidade de grupo

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo normal e anoacutemala

ddvg

1 velocidade de grupo

fv velocidade de fase

fvdd

dd

2f

ff

vddv

v

ddv

v

vv

f

f

fg

1

casos particulares

1 0d

dv ffg vv

2 0d

dv ffg vv

sem dispersatildeo ( constante)fv

dispersatildeo normal ( diminui com )fv

3 0d

dv ffg vv dispersatildeo anoacutemala fv ( aumenta com )

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Um meio bom condutor apresenta dispersatildeo normal ou anoacutemala

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Energia transportada por uma onda

tHE

tEJH

EJ

HEEHHE

(igualdade vectorial)

tEJE

tHHHE

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

JEEEt

HHt

HE

21

21

AAtt

AA

21

222

22EEH

tHE

dvAsdAVS

Nota expressotildees instantacircneas

2Wm

Faculdade de Engenharia

OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 30: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash tangente de perdas

jc 1tangente de perdas

ctan

bom condutor

bom isolador

comportamento de um dado materialvaria com a frequecircncia

Ex

aacutegua do mar

072Sm4

zf H50

zf GH1

7102 bom condutor

4 condutor

Ondas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas planas em meios com perdas ndash constante de propagaccedilatildeo

jc 1

022 EkE

022 HkH

kcck

j

jj 1constante de propagaccedilatildeo

constante de atenuaccedilatildeo

constante de fase

Nota

2

fv

022 EkE c

022 HkH c

zz eEeEE 00

(para propagaccedilatildeo segundo z)

cjk

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash impedacircncia complexa

jc 1

EaH n

ˆ1

EaH nc

ˆ1

c

c

jc

c

1impedacircncia complexa

HE

eem meios com perdas natildeo estatildeo em fase

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulaacuterio

Ondas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Propagaccedilatildeo em meios bons condutores

bom condutor 2

2

fv

o45

EaH n

ˆ1

H

atrasado 45ordm em relaccedilatildeo a E

fv

2 j

j

j

distorccedilatildeo de sinais

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

zeEE 0

factor de atenuaccedilatildeo

zjzeeE 0

para propagaccedilatildeo segundo +z

ze

frequecircncias elevadas elevado onda sofre atenuaccedilatildeo consideraacutevel

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula

profundidade de penetraccedilatildeo

efeito pelicular

)m(11

f

ze

2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

profundidade de penetraccedilatildeo

)m(1

f

material )Hz(60f)mS( )MHz(1f )GHz(1f

prata

cobre

ouro

alumiacutenio

aacutegua do mar

710176

71014

71085

710543

4

mm278

mm538

mm1410

mm9210

m32

mm0660

mm0640

mm0790

mm0840

m250

mm0020

mm00210

mm00250

mm00270

(jaacute natildeo eacute bom condutor a esta frequecircncia)

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

condutor ciliacutendrico a altas frequecircncias a corrente circula numa coroa ciliacutendrica exterior de espessura

satildeo usados tubos ciliacutendricos ocos em condutores para altas frequecircncias (ex antenas)

sdtDIldH

SC

int se e forem nulos tambeacutem eacute nuloH

D

intI

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

circulaccedilatildeo de corrente numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

variaccedilatildeo da resistecircncia com a frequecircncia

resistecircncia DC 2alRDC

resistecircncia AC a

lRAC 2 a

l

2a

RR

DC

AC

a altas frequecircncias a DCAC RR

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo

velocidade de fase velocidade de propagaccedilatildeo da frentede onda

fv

j jj 1

212

112

meios sem perdas eacute constante

meios com perdas natildeo eacute funccedilatildeo linear de depende da frequecircncia

fv

em sinais que consistem numa dada banda de frequecircncias as componentes a diferentes frequecircncias propagam-se a velocidades de fase diferentes distorccedilatildeo do sinal

DISPERSAtildeO

1

fv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash relaccedilatildeo de dispersatildeo meios dispersivos

meios dispersivos meios para os quais a velocidadede fase depende da frequecircncia

meios sem perdas satildeo meios natildeo dispersivos

meios com perdas satildeo meios dispersivos

relaccedilatildeo de dispersatildeo equaccedilatildeo que relacionacom Ex meios sem perdas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

no caso geral

largura de banda centrada numa portadora

ff vv

2 0

01 2

01

02

0

02

01

ztztEtzE 00000 coscos

ztztE 000 coscos2

Considere-se a propagaccedilatildeo de um sinal com

Admitindo que o sinal em causa corresponde agrave soma de duas ondas planas que se propagam segundo +z e de frequecircncia 1 e 2 tem-se

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

ztztEtzE 000 coscos2

z

0zE

envolvente portadora

portadora propaga-se agrave velocidade0

0

envolvente propaga-se agrave velocidade

0lim ms1

ddvg

velocidade de grupo

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo normal e anoacutemala

ddvg

1 velocidade de grupo

fv velocidade de fase

fvdd

dd

2f

ff

vddv

v

ddv

v

vv

f

f

fg

1

casos particulares

1 0d

dv ffg vv

2 0d

dv ffg vv

sem dispersatildeo ( constante)fv

dispersatildeo normal ( diminui com )fv

3 0d

dv ffg vv dispersatildeo anoacutemala fv ( aumenta com )

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Um meio bom condutor apresenta dispersatildeo normal ou anoacutemala

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Energia transportada por uma onda

tHE

tEJH

EJ

HEEHHE

(igualdade vectorial)

tEJE

tHHHE

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

JEEEt

HHt

HE

21

21

AAtt

AA

21

222

22EEH

tHE

dvAsdAVS

Nota expressotildees instantacircneas

2Wm

Faculdade de Engenharia

OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 31: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

Ondas

Ondas planas em meios com perdas ndash constante de propagaccedilatildeo

jc 1

022 EkE

022 HkH

kcck

j

jj 1constante de propagaccedilatildeo

constante de atenuaccedilatildeo

constante de fase

Nota

2

fv

022 EkE c

022 HkH c

zz eEeEE 00

(para propagaccedilatildeo segundo z)

cjk

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash impedacircncia complexa

jc 1

EaH n

ˆ1

EaH nc

ˆ1

c

c

jc

c

1impedacircncia complexa

HE

eem meios com perdas natildeo estatildeo em fase

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulaacuterio

Ondas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Propagaccedilatildeo em meios bons condutores

bom condutor 2

2

fv

o45

EaH n

ˆ1

H

atrasado 45ordm em relaccedilatildeo a E

fv

2 j

j

j

distorccedilatildeo de sinais

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

zeEE 0

factor de atenuaccedilatildeo

zjzeeE 0

para propagaccedilatildeo segundo +z

ze

frequecircncias elevadas elevado onda sofre atenuaccedilatildeo consideraacutevel

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula

profundidade de penetraccedilatildeo

efeito pelicular

)m(11

f

ze

2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

profundidade de penetraccedilatildeo

)m(1

f

material )Hz(60f)mS( )MHz(1f )GHz(1f

prata

cobre

ouro

alumiacutenio

aacutegua do mar

710176

71014

71085

710543

4

mm278

mm538

mm1410

mm9210

m32

mm0660

mm0640

mm0790

mm0840

m250

mm0020

mm00210

mm00250

mm00270

(jaacute natildeo eacute bom condutor a esta frequecircncia)

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

condutor ciliacutendrico a altas frequecircncias a corrente circula numa coroa ciliacutendrica exterior de espessura

satildeo usados tubos ciliacutendricos ocos em condutores para altas frequecircncias (ex antenas)

sdtDIldH

SC

int se e forem nulos tambeacutem eacute nuloH

D

intI

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

circulaccedilatildeo de corrente numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

variaccedilatildeo da resistecircncia com a frequecircncia

resistecircncia DC 2alRDC

resistecircncia AC a

lRAC 2 a

l

2a

RR

DC

AC

a altas frequecircncias a DCAC RR

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo

velocidade de fase velocidade de propagaccedilatildeo da frentede onda

fv

j jj 1

212

112

meios sem perdas eacute constante

meios com perdas natildeo eacute funccedilatildeo linear de depende da frequecircncia

fv

em sinais que consistem numa dada banda de frequecircncias as componentes a diferentes frequecircncias propagam-se a velocidades de fase diferentes distorccedilatildeo do sinal

DISPERSAtildeO

1

fv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash relaccedilatildeo de dispersatildeo meios dispersivos

meios dispersivos meios para os quais a velocidadede fase depende da frequecircncia

meios sem perdas satildeo meios natildeo dispersivos

meios com perdas satildeo meios dispersivos

relaccedilatildeo de dispersatildeo equaccedilatildeo que relacionacom Ex meios sem perdas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

no caso geral

largura de banda centrada numa portadora

ff vv

2 0

01 2

01

02

0

02

01

ztztEtzE 00000 coscos

ztztE 000 coscos2

Considere-se a propagaccedilatildeo de um sinal com

Admitindo que o sinal em causa corresponde agrave soma de duas ondas planas que se propagam segundo +z e de frequecircncia 1 e 2 tem-se

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

ztztEtzE 000 coscos2

z

0zE

envolvente portadora

portadora propaga-se agrave velocidade0

0

envolvente propaga-se agrave velocidade

0lim ms1

ddvg

velocidade de grupo

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo normal e anoacutemala

ddvg

1 velocidade de grupo

fv velocidade de fase

fvdd

dd

2f

ff

vddv

v

ddv

v

vv

f

f

fg

1

casos particulares

1 0d

dv ffg vv

2 0d

dv ffg vv

sem dispersatildeo ( constante)fv

dispersatildeo normal ( diminui com )fv

3 0d

dv ffg vv dispersatildeo anoacutemala fv ( aumenta com )

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Um meio bom condutor apresenta dispersatildeo normal ou anoacutemala

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Energia transportada por uma onda

tHE

tEJH

EJ

HEEHHE

(igualdade vectorial)

tEJE

tHHHE

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

JEEEt

HHt

HE

21

21

AAtt

AA

21

222

22EEH

tHE

dvAsdAVS

Nota expressotildees instantacircneas

2Wm

Faculdade de Engenharia

OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 32: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de EngenhariaOndas planas em meios com perdas ndash impedacircncia complexa

jc 1

EaH n

ˆ1

EaH nc

ˆ1

c

c

jc

c

1impedacircncia complexa

HE

eem meios com perdas natildeo estatildeo em fase

Ondas

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulaacuterio

Ondas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Propagaccedilatildeo em meios bons condutores

bom condutor 2

2

fv

o45

EaH n

ˆ1

H

atrasado 45ordm em relaccedilatildeo a E

fv

2 j

j

j

distorccedilatildeo de sinais

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

zeEE 0

factor de atenuaccedilatildeo

zjzeeE 0

para propagaccedilatildeo segundo +z

ze

frequecircncias elevadas elevado onda sofre atenuaccedilatildeo consideraacutevel

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula

profundidade de penetraccedilatildeo

efeito pelicular

)m(11

f

ze

2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

profundidade de penetraccedilatildeo

)m(1

f

material )Hz(60f)mS( )MHz(1f )GHz(1f

prata

cobre

ouro

alumiacutenio

aacutegua do mar

710176

71014

71085

710543

4

mm278

mm538

mm1410

mm9210

m32

mm0660

mm0640

mm0790

mm0840

m250

mm0020

mm00210

mm00250

mm00270

(jaacute natildeo eacute bom condutor a esta frequecircncia)

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

condutor ciliacutendrico a altas frequecircncias a corrente circula numa coroa ciliacutendrica exterior de espessura

satildeo usados tubos ciliacutendricos ocos em condutores para altas frequecircncias (ex antenas)

sdtDIldH

SC

int se e forem nulos tambeacutem eacute nuloH

D

intI

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

circulaccedilatildeo de corrente numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

variaccedilatildeo da resistecircncia com a frequecircncia

resistecircncia DC 2alRDC

resistecircncia AC a

lRAC 2 a

l

2a

RR

DC

AC

a altas frequecircncias a DCAC RR

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo

velocidade de fase velocidade de propagaccedilatildeo da frentede onda

fv

j jj 1

212

112

meios sem perdas eacute constante

meios com perdas natildeo eacute funccedilatildeo linear de depende da frequecircncia

fv

em sinais que consistem numa dada banda de frequecircncias as componentes a diferentes frequecircncias propagam-se a velocidades de fase diferentes distorccedilatildeo do sinal

DISPERSAtildeO

1

fv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash relaccedilatildeo de dispersatildeo meios dispersivos

meios dispersivos meios para os quais a velocidadede fase depende da frequecircncia

meios sem perdas satildeo meios natildeo dispersivos

meios com perdas satildeo meios dispersivos

relaccedilatildeo de dispersatildeo equaccedilatildeo que relacionacom Ex meios sem perdas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

no caso geral

largura de banda centrada numa portadora

ff vv

2 0

01 2

01

02

0

02

01

ztztEtzE 00000 coscos

ztztE 000 coscos2

Considere-se a propagaccedilatildeo de um sinal com

Admitindo que o sinal em causa corresponde agrave soma de duas ondas planas que se propagam segundo +z e de frequecircncia 1 e 2 tem-se

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

ztztEtzE 000 coscos2

z

0zE

envolvente portadora

portadora propaga-se agrave velocidade0

0

envolvente propaga-se agrave velocidade

0lim ms1

ddvg

velocidade de grupo

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo normal e anoacutemala

ddvg

1 velocidade de grupo

fv velocidade de fase

fvdd

dd

2f

ff

vddv

v

ddv

v

vv

f

f

fg

1

casos particulares

1 0d

dv ffg vv

2 0d

dv ffg vv

sem dispersatildeo ( constante)fv

dispersatildeo normal ( diminui com )fv

3 0d

dv ffg vv dispersatildeo anoacutemala fv ( aumenta com )

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Um meio bom condutor apresenta dispersatildeo normal ou anoacutemala

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Energia transportada por uma onda

tHE

tEJH

EJ

HEEHHE

(igualdade vectorial)

tEJE

tHHHE

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

JEEEt

HHt

HE

21

21

AAtt

AA

21

222

22EEH

tHE

dvAsdAVS

Nota expressotildees instantacircneas

2Wm

Faculdade de Engenharia

OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 33: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de EngenhariaExerciacutecio

formulaacuterio

Ondas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Propagaccedilatildeo em meios bons condutores

bom condutor 2

2

fv

o45

EaH n

ˆ1

H

atrasado 45ordm em relaccedilatildeo a E

fv

2 j

j

j

distorccedilatildeo de sinais

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

zeEE 0

factor de atenuaccedilatildeo

zjzeeE 0

para propagaccedilatildeo segundo +z

ze

frequecircncias elevadas elevado onda sofre atenuaccedilatildeo consideraacutevel

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula

profundidade de penetraccedilatildeo

efeito pelicular

)m(11

f

ze

2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

profundidade de penetraccedilatildeo

)m(1

f

material )Hz(60f)mS( )MHz(1f )GHz(1f

prata

cobre

ouro

alumiacutenio

aacutegua do mar

710176

71014

71085

710543

4

mm278

mm538

mm1410

mm9210

m32

mm0660

mm0640

mm0790

mm0840

m250

mm0020

mm00210

mm00250

mm00270

(jaacute natildeo eacute bom condutor a esta frequecircncia)

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

condutor ciliacutendrico a altas frequecircncias a corrente circula numa coroa ciliacutendrica exterior de espessura

satildeo usados tubos ciliacutendricos ocos em condutores para altas frequecircncias (ex antenas)

sdtDIldH

SC

int se e forem nulos tambeacutem eacute nuloH

D

intI

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

circulaccedilatildeo de corrente numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

variaccedilatildeo da resistecircncia com a frequecircncia

resistecircncia DC 2alRDC

resistecircncia AC a

lRAC 2 a

l

2a

RR

DC

AC

a altas frequecircncias a DCAC RR

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo

velocidade de fase velocidade de propagaccedilatildeo da frentede onda

fv

j jj 1

212

112

meios sem perdas eacute constante

meios com perdas natildeo eacute funccedilatildeo linear de depende da frequecircncia

fv

em sinais que consistem numa dada banda de frequecircncias as componentes a diferentes frequecircncias propagam-se a velocidades de fase diferentes distorccedilatildeo do sinal

DISPERSAtildeO

1

fv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash relaccedilatildeo de dispersatildeo meios dispersivos

meios dispersivos meios para os quais a velocidadede fase depende da frequecircncia

meios sem perdas satildeo meios natildeo dispersivos

meios com perdas satildeo meios dispersivos

relaccedilatildeo de dispersatildeo equaccedilatildeo que relacionacom Ex meios sem perdas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

no caso geral

largura de banda centrada numa portadora

ff vv

2 0

01 2

01

02

0

02

01

ztztEtzE 00000 coscos

ztztE 000 coscos2

Considere-se a propagaccedilatildeo de um sinal com

Admitindo que o sinal em causa corresponde agrave soma de duas ondas planas que se propagam segundo +z e de frequecircncia 1 e 2 tem-se

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

ztztEtzE 000 coscos2

z

0zE

envolvente portadora

portadora propaga-se agrave velocidade0

0

envolvente propaga-se agrave velocidade

0lim ms1

ddvg

velocidade de grupo

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo normal e anoacutemala

ddvg

1 velocidade de grupo

fv velocidade de fase

fvdd

dd

2f

ff

vddv

v

ddv

v

vv

f

f

fg

1

casos particulares

1 0d

dv ffg vv

2 0d

dv ffg vv

sem dispersatildeo ( constante)fv

dispersatildeo normal ( diminui com )fv

3 0d

dv ffg vv dispersatildeo anoacutemala fv ( aumenta com )

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Um meio bom condutor apresenta dispersatildeo normal ou anoacutemala

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Energia transportada por uma onda

tHE

tEJH

EJ

HEEHHE

(igualdade vectorial)

tEJE

tHHHE

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

JEEEt

HHt

HE

21

21

AAtt

AA

21

222

22EEH

tHE

dvAsdAVS

Nota expressotildees instantacircneas

2Wm

Faculdade de Engenharia

OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 34: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Propagaccedilatildeo em meios bons condutores

bom condutor 2

2

fv

o45

EaH n

ˆ1

H

atrasado 45ordm em relaccedilatildeo a E

fv

2 j

j

j

distorccedilatildeo de sinais

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

zeEE 0

factor de atenuaccedilatildeo

zjzeeE 0

para propagaccedilatildeo segundo +z

ze

frequecircncias elevadas elevado onda sofre atenuaccedilatildeo consideraacutevel

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula

profundidade de penetraccedilatildeo

efeito pelicular

)m(11

f

ze

2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

profundidade de penetraccedilatildeo

)m(1

f

material )Hz(60f)mS( )MHz(1f )GHz(1f

prata

cobre

ouro

alumiacutenio

aacutegua do mar

710176

71014

71085

710543

4

mm278

mm538

mm1410

mm9210

m32

mm0660

mm0640

mm0790

mm0840

m250

mm0020

mm00210

mm00250

mm00270

(jaacute natildeo eacute bom condutor a esta frequecircncia)

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

condutor ciliacutendrico a altas frequecircncias a corrente circula numa coroa ciliacutendrica exterior de espessura

satildeo usados tubos ciliacutendricos ocos em condutores para altas frequecircncias (ex antenas)

sdtDIldH

SC

int se e forem nulos tambeacutem eacute nuloH

D

intI

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

circulaccedilatildeo de corrente numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

variaccedilatildeo da resistecircncia com a frequecircncia

resistecircncia DC 2alRDC

resistecircncia AC a

lRAC 2 a

l

2a

RR

DC

AC

a altas frequecircncias a DCAC RR

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo

velocidade de fase velocidade de propagaccedilatildeo da frentede onda

fv

j jj 1

212

112

meios sem perdas eacute constante

meios com perdas natildeo eacute funccedilatildeo linear de depende da frequecircncia

fv

em sinais que consistem numa dada banda de frequecircncias as componentes a diferentes frequecircncias propagam-se a velocidades de fase diferentes distorccedilatildeo do sinal

DISPERSAtildeO

1

fv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash relaccedilatildeo de dispersatildeo meios dispersivos

meios dispersivos meios para os quais a velocidadede fase depende da frequecircncia

meios sem perdas satildeo meios natildeo dispersivos

meios com perdas satildeo meios dispersivos

relaccedilatildeo de dispersatildeo equaccedilatildeo que relacionacom Ex meios sem perdas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

no caso geral

largura de banda centrada numa portadora

ff vv

2 0

01 2

01

02

0

02

01

ztztEtzE 00000 coscos

ztztE 000 coscos2

Considere-se a propagaccedilatildeo de um sinal com

Admitindo que o sinal em causa corresponde agrave soma de duas ondas planas que se propagam segundo +z e de frequecircncia 1 e 2 tem-se

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

ztztEtzE 000 coscos2

z

0zE

envolvente portadora

portadora propaga-se agrave velocidade0

0

envolvente propaga-se agrave velocidade

0lim ms1

ddvg

velocidade de grupo

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo normal e anoacutemala

ddvg

1 velocidade de grupo

fv velocidade de fase

fvdd

dd

2f

ff

vddv

v

ddv

v

vv

f

f

fg

1

casos particulares

1 0d

dv ffg vv

2 0d

dv ffg vv

sem dispersatildeo ( constante)fv

dispersatildeo normal ( diminui com )fv

3 0d

dv ffg vv dispersatildeo anoacutemala fv ( aumenta com )

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Um meio bom condutor apresenta dispersatildeo normal ou anoacutemala

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Energia transportada por uma onda

tHE

tEJH

EJ

HEEHHE

(igualdade vectorial)

tEJE

tHHHE

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

JEEEt

HHt

HE

21

21

AAtt

AA

21

222

22EEH

tHE

dvAsdAVS

Nota expressotildees instantacircneas

2Wm

Faculdade de Engenharia

OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 35: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

zeEE 0

factor de atenuaccedilatildeo

zjzeeE 0

para propagaccedilatildeo segundo +z

ze

frequecircncias elevadas elevado onda sofre atenuaccedilatildeo consideraacutevel

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula

profundidade de penetraccedilatildeo

efeito pelicular

)m(11

f

ze

2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

profundidade de penetraccedilatildeo

)m(1

f

material )Hz(60f)mS( )MHz(1f )GHz(1f

prata

cobre

ouro

alumiacutenio

aacutegua do mar

710176

71014

71085

710543

4

mm278

mm538

mm1410

mm9210

m32

mm0660

mm0640

mm0790

mm0840

m250

mm0020

mm00210

mm00250

mm00270

(jaacute natildeo eacute bom condutor a esta frequecircncia)

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

condutor ciliacutendrico a altas frequecircncias a corrente circula numa coroa ciliacutendrica exterior de espessura

satildeo usados tubos ciliacutendricos ocos em condutores para altas frequecircncias (ex antenas)

sdtDIldH

SC

int se e forem nulos tambeacutem eacute nuloH

D

intI

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

circulaccedilatildeo de corrente numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

variaccedilatildeo da resistecircncia com a frequecircncia

resistecircncia DC 2alRDC

resistecircncia AC a

lRAC 2 a

l

2a

RR

DC

AC

a altas frequecircncias a DCAC RR

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo

velocidade de fase velocidade de propagaccedilatildeo da frentede onda

fv

j jj 1

212

112

meios sem perdas eacute constante

meios com perdas natildeo eacute funccedilatildeo linear de depende da frequecircncia

fv

em sinais que consistem numa dada banda de frequecircncias as componentes a diferentes frequecircncias propagam-se a velocidades de fase diferentes distorccedilatildeo do sinal

DISPERSAtildeO

1

fv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash relaccedilatildeo de dispersatildeo meios dispersivos

meios dispersivos meios para os quais a velocidadede fase depende da frequecircncia

meios sem perdas satildeo meios natildeo dispersivos

meios com perdas satildeo meios dispersivos

relaccedilatildeo de dispersatildeo equaccedilatildeo que relacionacom Ex meios sem perdas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

no caso geral

largura de banda centrada numa portadora

ff vv

2 0

01 2

01

02

0

02

01

ztztEtzE 00000 coscos

ztztE 000 coscos2

Considere-se a propagaccedilatildeo de um sinal com

Admitindo que o sinal em causa corresponde agrave soma de duas ondas planas que se propagam segundo +z e de frequecircncia 1 e 2 tem-se

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

ztztEtzE 000 coscos2

z

0zE

envolvente portadora

portadora propaga-se agrave velocidade0

0

envolvente propaga-se agrave velocidade

0lim ms1

ddvg

velocidade de grupo

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo normal e anoacutemala

ddvg

1 velocidade de grupo

fv velocidade de fase

fvdd

dd

2f

ff

vddv

v

ddv

v

vv

f

f

fg

1

casos particulares

1 0d

dv ffg vv

2 0d

dv ffg vv

sem dispersatildeo ( constante)fv

dispersatildeo normal ( diminui com )fv

3 0d

dv ffg vv dispersatildeo anoacutemala fv ( aumenta com )

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Um meio bom condutor apresenta dispersatildeo normal ou anoacutemala

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Energia transportada por uma onda

tHE

tEJH

EJ

HEEHHE

(igualdade vectorial)

tEJE

tHHHE

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

JEEEt

HHt

HE

21

21

AAtt

AA

21

222

22EEH

tHE

dvAsdAVS

Nota expressotildees instantacircneas

2Wm

Faculdade de Engenharia

OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 36: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

profundidade de penetraccedilatildeo

)m(1

f

material )Hz(60f)mS( )MHz(1f )GHz(1f

prata

cobre

ouro

alumiacutenio

aacutegua do mar

710176

71014

71085

710543

4

mm278

mm538

mm1410

mm9210

m32

mm0660

mm0640

mm0790

mm0840

m250

mm0020

mm00210

mm00250

mm00270

(jaacute natildeo eacute bom condutor a esta frequecircncia)

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

condutor ciliacutendrico a altas frequecircncias a corrente circula numa coroa ciliacutendrica exterior de espessura

satildeo usados tubos ciliacutendricos ocos em condutores para altas frequecircncias (ex antenas)

sdtDIldH

SC

int se e forem nulos tambeacutem eacute nuloH

D

intI

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

circulaccedilatildeo de corrente numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

variaccedilatildeo da resistecircncia com a frequecircncia

resistecircncia DC 2alRDC

resistecircncia AC a

lRAC 2 a

l

2a

RR

DC

AC

a altas frequecircncias a DCAC RR

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo

velocidade de fase velocidade de propagaccedilatildeo da frentede onda

fv

j jj 1

212

112

meios sem perdas eacute constante

meios com perdas natildeo eacute funccedilatildeo linear de depende da frequecircncia

fv

em sinais que consistem numa dada banda de frequecircncias as componentes a diferentes frequecircncias propagam-se a velocidades de fase diferentes distorccedilatildeo do sinal

DISPERSAtildeO

1

fv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash relaccedilatildeo de dispersatildeo meios dispersivos

meios dispersivos meios para os quais a velocidadede fase depende da frequecircncia

meios sem perdas satildeo meios natildeo dispersivos

meios com perdas satildeo meios dispersivos

relaccedilatildeo de dispersatildeo equaccedilatildeo que relacionacom Ex meios sem perdas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

no caso geral

largura de banda centrada numa portadora

ff vv

2 0

01 2

01

02

0

02

01

ztztEtzE 00000 coscos

ztztE 000 coscos2

Considere-se a propagaccedilatildeo de um sinal com

Admitindo que o sinal em causa corresponde agrave soma de duas ondas planas que se propagam segundo +z e de frequecircncia 1 e 2 tem-se

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

ztztEtzE 000 coscos2

z

0zE

envolvente portadora

portadora propaga-se agrave velocidade0

0

envolvente propaga-se agrave velocidade

0lim ms1

ddvg

velocidade de grupo

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo normal e anoacutemala

ddvg

1 velocidade de grupo

fv velocidade de fase

fvdd

dd

2f

ff

vddv

v

ddv

v

vv

f

f

fg

1

casos particulares

1 0d

dv ffg vv

2 0d

dv ffg vv

sem dispersatildeo ( constante)fv

dispersatildeo normal ( diminui com )fv

3 0d

dv ffg vv dispersatildeo anoacutemala fv ( aumenta com )

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Um meio bom condutor apresenta dispersatildeo normal ou anoacutemala

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Energia transportada por uma onda

tHE

tEJH

EJ

HEEHHE

(igualdade vectorial)

tEJE

tHHHE

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

JEEEt

HHt

HE

21

21

AAtt

AA

21

222

22EEH

tHE

dvAsdAVS

Nota expressotildees instantacircneas

2Wm

Faculdade de Engenharia

OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 37: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

propagaccedilatildeo apenas numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

condutor ciliacutendrico a altas frequecircncias a corrente circula numa coroa ciliacutendrica exterior de espessura

satildeo usados tubos ciliacutendricos ocos em condutores para altas frequecircncias (ex antenas)

sdtDIldH

SC

int se e forem nulos tambeacutem eacute nuloH

D

intI

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

circulaccedilatildeo de corrente numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

variaccedilatildeo da resistecircncia com a frequecircncia

resistecircncia DC 2alRDC

resistecircncia AC a

lRAC 2 a

l

2a

RR

DC

AC

a altas frequecircncias a DCAC RR

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo

velocidade de fase velocidade de propagaccedilatildeo da frentede onda

fv

j jj 1

212

112

meios sem perdas eacute constante

meios com perdas natildeo eacute funccedilatildeo linear de depende da frequecircncia

fv

em sinais que consistem numa dada banda de frequecircncias as componentes a diferentes frequecircncias propagam-se a velocidades de fase diferentes distorccedilatildeo do sinal

DISPERSAtildeO

1

fv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash relaccedilatildeo de dispersatildeo meios dispersivos

meios dispersivos meios para os quais a velocidadede fase depende da frequecircncia

meios sem perdas satildeo meios natildeo dispersivos

meios com perdas satildeo meios dispersivos

relaccedilatildeo de dispersatildeo equaccedilatildeo que relacionacom Ex meios sem perdas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

no caso geral

largura de banda centrada numa portadora

ff vv

2 0

01 2

01

02

0

02

01

ztztEtzE 00000 coscos

ztztE 000 coscos2

Considere-se a propagaccedilatildeo de um sinal com

Admitindo que o sinal em causa corresponde agrave soma de duas ondas planas que se propagam segundo +z e de frequecircncia 1 e 2 tem-se

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

ztztEtzE 000 coscos2

z

0zE

envolvente portadora

portadora propaga-se agrave velocidade0

0

envolvente propaga-se agrave velocidade

0lim ms1

ddvg

velocidade de grupo

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo normal e anoacutemala

ddvg

1 velocidade de grupo

fv velocidade de fase

fvdd

dd

2f

ff

vddv

v

ddv

v

vv

f

f

fg

1

casos particulares

1 0d

dv ffg vv

2 0d

dv ffg vv

sem dispersatildeo ( constante)fv

dispersatildeo normal ( diminui com )fv

3 0d

dv ffg vv dispersatildeo anoacutemala fv ( aumenta com )

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Um meio bom condutor apresenta dispersatildeo normal ou anoacutemala

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Energia transportada por uma onda

tHE

tEJH

EJ

HEEHHE

(igualdade vectorial)

tEJE

tHHHE

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

JEEEt

HHt

HE

21

21

AAtt

AA

21

222

22EEH

tHE

dvAsdAVS

Nota expressotildees instantacircneas

2Wm

Faculdade de Engenharia

OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 38: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Bons condutores ndash efeito pelicular

circulaccedilatildeo de corrente numa pequena peliacutecula para altas frequecircnciasefeito pelicular

)m(11

f

variaccedilatildeo da resistecircncia com a frequecircncia

resistecircncia DC 2alRDC

resistecircncia AC a

lRAC 2 a

l

2a

RR

DC

AC

a altas frequecircncias a DCAC RR

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo

velocidade de fase velocidade de propagaccedilatildeo da frentede onda

fv

j jj 1

212

112

meios sem perdas eacute constante

meios com perdas natildeo eacute funccedilatildeo linear de depende da frequecircncia

fv

em sinais que consistem numa dada banda de frequecircncias as componentes a diferentes frequecircncias propagam-se a velocidades de fase diferentes distorccedilatildeo do sinal

DISPERSAtildeO

1

fv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash relaccedilatildeo de dispersatildeo meios dispersivos

meios dispersivos meios para os quais a velocidadede fase depende da frequecircncia

meios sem perdas satildeo meios natildeo dispersivos

meios com perdas satildeo meios dispersivos

relaccedilatildeo de dispersatildeo equaccedilatildeo que relacionacom Ex meios sem perdas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

no caso geral

largura de banda centrada numa portadora

ff vv

2 0

01 2

01

02

0

02

01

ztztEtzE 00000 coscos

ztztE 000 coscos2

Considere-se a propagaccedilatildeo de um sinal com

Admitindo que o sinal em causa corresponde agrave soma de duas ondas planas que se propagam segundo +z e de frequecircncia 1 e 2 tem-se

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

ztztEtzE 000 coscos2

z

0zE

envolvente portadora

portadora propaga-se agrave velocidade0

0

envolvente propaga-se agrave velocidade

0lim ms1

ddvg

velocidade de grupo

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo normal e anoacutemala

ddvg

1 velocidade de grupo

fv velocidade de fase

fvdd

dd

2f

ff

vddv

v

ddv

v

vv

f

f

fg

1

casos particulares

1 0d

dv ffg vv

2 0d

dv ffg vv

sem dispersatildeo ( constante)fv

dispersatildeo normal ( diminui com )fv

3 0d

dv ffg vv dispersatildeo anoacutemala fv ( aumenta com )

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Um meio bom condutor apresenta dispersatildeo normal ou anoacutemala

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Energia transportada por uma onda

tHE

tEJH

EJ

HEEHHE

(igualdade vectorial)

tEJE

tHHHE

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

JEEEt

HHt

HE

21

21

AAtt

AA

21

222

22EEH

tHE

dvAsdAVS

Nota expressotildees instantacircneas

2Wm

Faculdade de Engenharia

OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 39: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo

velocidade de fase velocidade de propagaccedilatildeo da frentede onda

fv

j jj 1

212

112

meios sem perdas eacute constante

meios com perdas natildeo eacute funccedilatildeo linear de depende da frequecircncia

fv

em sinais que consistem numa dada banda de frequecircncias as componentes a diferentes frequecircncias propagam-se a velocidades de fase diferentes distorccedilatildeo do sinal

DISPERSAtildeO

1

fv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash relaccedilatildeo de dispersatildeo meios dispersivos

meios dispersivos meios para os quais a velocidadede fase depende da frequecircncia

meios sem perdas satildeo meios natildeo dispersivos

meios com perdas satildeo meios dispersivos

relaccedilatildeo de dispersatildeo equaccedilatildeo que relacionacom Ex meios sem perdas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

no caso geral

largura de banda centrada numa portadora

ff vv

2 0

01 2

01

02

0

02

01

ztztEtzE 00000 coscos

ztztE 000 coscos2

Considere-se a propagaccedilatildeo de um sinal com

Admitindo que o sinal em causa corresponde agrave soma de duas ondas planas que se propagam segundo +z e de frequecircncia 1 e 2 tem-se

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

ztztEtzE 000 coscos2

z

0zE

envolvente portadora

portadora propaga-se agrave velocidade0

0

envolvente propaga-se agrave velocidade

0lim ms1

ddvg

velocidade de grupo

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo normal e anoacutemala

ddvg

1 velocidade de grupo

fv velocidade de fase

fvdd

dd

2f

ff

vddv

v

ddv

v

vv

f

f

fg

1

casos particulares

1 0d

dv ffg vv

2 0d

dv ffg vv

sem dispersatildeo ( constante)fv

dispersatildeo normal ( diminui com )fv

3 0d

dv ffg vv dispersatildeo anoacutemala fv ( aumenta com )

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Um meio bom condutor apresenta dispersatildeo normal ou anoacutemala

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Energia transportada por uma onda

tHE

tEJH

EJ

HEEHHE

(igualdade vectorial)

tEJE

tHHHE

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

JEEEt

HHt

HE

21

21

AAtt

AA

21

222

22EEH

tHE

dvAsdAVS

Nota expressotildees instantacircneas

2Wm

Faculdade de Engenharia

OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 40: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash relaccedilatildeo de dispersatildeo meios dispersivos

meios dispersivos meios para os quais a velocidadede fase depende da frequecircncia

meios sem perdas satildeo meios natildeo dispersivos

meios com perdas satildeo meios dispersivos

relaccedilatildeo de dispersatildeo equaccedilatildeo que relacionacom Ex meios sem perdas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

no caso geral

largura de banda centrada numa portadora

ff vv

2 0

01 2

01

02

0

02

01

ztztEtzE 00000 coscos

ztztE 000 coscos2

Considere-se a propagaccedilatildeo de um sinal com

Admitindo que o sinal em causa corresponde agrave soma de duas ondas planas que se propagam segundo +z e de frequecircncia 1 e 2 tem-se

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

ztztEtzE 000 coscos2

z

0zE

envolvente portadora

portadora propaga-se agrave velocidade0

0

envolvente propaga-se agrave velocidade

0lim ms1

ddvg

velocidade de grupo

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo normal e anoacutemala

ddvg

1 velocidade de grupo

fv velocidade de fase

fvdd

dd

2f

ff

vddv

v

ddv

v

vv

f

f

fg

1

casos particulares

1 0d

dv ffg vv

2 0d

dv ffg vv

sem dispersatildeo ( constante)fv

dispersatildeo normal ( diminui com )fv

3 0d

dv ffg vv dispersatildeo anoacutemala fv ( aumenta com )

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Um meio bom condutor apresenta dispersatildeo normal ou anoacutemala

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Energia transportada por uma onda

tHE

tEJH

EJ

HEEHHE

(igualdade vectorial)

tEJE

tHHHE

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

JEEEt

HHt

HE

21

21

AAtt

AA

21

222

22EEH

tHE

dvAsdAVS

Nota expressotildees instantacircneas

2Wm

Faculdade de Engenharia

OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 41: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

no caso geral

largura de banda centrada numa portadora

ff vv

2 0

01 2

01

02

0

02

01

ztztEtzE 00000 coscos

ztztE 000 coscos2

Considere-se a propagaccedilatildeo de um sinal com

Admitindo que o sinal em causa corresponde agrave soma de duas ondas planas que se propagam segundo +z e de frequecircncia 1 e 2 tem-se

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

ztztEtzE 000 coscos2

z

0zE

envolvente portadora

portadora propaga-se agrave velocidade0

0

envolvente propaga-se agrave velocidade

0lim ms1

ddvg

velocidade de grupo

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo normal e anoacutemala

ddvg

1 velocidade de grupo

fv velocidade de fase

fvdd

dd

2f

ff

vddv

v

ddv

v

vv

f

f

fg

1

casos particulares

1 0d

dv ffg vv

2 0d

dv ffg vv

sem dispersatildeo ( constante)fv

dispersatildeo normal ( diminui com )fv

3 0d

dv ffg vv dispersatildeo anoacutemala fv ( aumenta com )

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Um meio bom condutor apresenta dispersatildeo normal ou anoacutemala

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Energia transportada por uma onda

tHE

tEJH

EJ

HEEHHE

(igualdade vectorial)

tEJE

tHHHE

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

JEEEt

HHt

HE

21

21

AAtt

AA

21

222

22EEH

tHE

dvAsdAVS

Nota expressotildees instantacircneas

2Wm

Faculdade de Engenharia

OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 42: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo

ztztEtzE 000 coscos2

z

0zE

envolvente portadora

portadora propaga-se agrave velocidade0

0

envolvente propaga-se agrave velocidade

0lim ms1

ddvg

velocidade de grupo

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo normal e anoacutemala

ddvg

1 velocidade de grupo

fv velocidade de fase

fvdd

dd

2f

ff

vddv

v

ddv

v

vv

f

f

fg

1

casos particulares

1 0d

dv ffg vv

2 0d

dv ffg vv

sem dispersatildeo ( constante)fv

dispersatildeo normal ( diminui com )fv

3 0d

dv ffg vv dispersatildeo anoacutemala fv ( aumenta com )

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Um meio bom condutor apresenta dispersatildeo normal ou anoacutemala

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Energia transportada por uma onda

tHE

tEJH

EJ

HEEHHE

(igualdade vectorial)

tEJE

tHHHE

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

JEEEt

HHt

HE

21

21

AAtt

AA

21

222

22EEH

tHE

dvAsdAVS

Nota expressotildees instantacircneas

2Wm

Faculdade de Engenharia

OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 43: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Velocidade de grupo ndash dispersatildeo normal e anoacutemala

ddvg

1 velocidade de grupo

fv velocidade de fase

fvdd

dd

2f

ff

vddv

v

ddv

v

vv

f

f

fg

1

casos particulares

1 0d

dv ffg vv

2 0d

dv ffg vv

sem dispersatildeo ( constante)fv

dispersatildeo normal ( diminui com )fv

3 0d

dv ffg vv dispersatildeo anoacutemala fv ( aumenta com )

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Um meio bom condutor apresenta dispersatildeo normal ou anoacutemala

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Energia transportada por uma onda

tHE

tEJH

EJ

HEEHHE

(igualdade vectorial)

tEJE

tHHHE

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

JEEEt

HHt

HE

21

21

AAtt

AA

21

222

22EEH

tHE

dvAsdAVS

Nota expressotildees instantacircneas

2Wm

Faculdade de Engenharia

OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 44: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Um meio bom condutor apresenta dispersatildeo normal ou anoacutemala

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Energia transportada por uma onda

tHE

tEJH

EJ

HEEHHE

(igualdade vectorial)

tEJE

tHHHE

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

JEEEt

HHt

HE

21

21

AAtt

AA

21

222

22EEH

tHE

dvAsdAVS

Nota expressotildees instantacircneas

2Wm

Faculdade de Engenharia

OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 45: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Energia transportada por uma onda

tHE

tEJH

EJ

HEEHHE

(igualdade vectorial)

tEJE

tHHHE

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

JEEEt

HHt

HE

21

21

AAtt

AA

21

222

22EEH

tHE

dvAsdAVS

Nota expressotildees instantacircneas

2Wm

Faculdade de Engenharia

OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 46: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

OE 1415

conservaccedilatildeo de energia

Teorema de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

potecircncia queatravessa S

diminuiccedilatildeo da energiaarmazenada no campo EMpor unidade de tempo

potecircncia dissipadapor conduccedilatildeo

Nota expressotildees instantacircneas

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 47: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting

VVS

dvEdvEHt

sdHE222

22

vector de Poynting 2WmHES

representa a densidade de potecircncia instantacircnea transportada pela onda electromagneacutetica

VV

emS

dvpdvwwt

sdS

2Ep

2

21 Hwm

2

21 Ewe

Nota expressotildees instantacircneas

densidade de energia magneacutetica

densidade de energia eleacutectrica

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 48: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting ndash campos harmoacutenicos

tjerEtrE )(Re)(

tjerHtrH )(Re)(

tjtj erHerEtrHtrEtrS )(Re)(Re)()()(

21Re XXX

21

21ReRe BBAABA

41 BABABABA

BABA

Re21

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

valor instantacircneo fasores

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 49: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio

tjerHrErHrEtrS 2 )()()()(Re21)(

T

dttrST

rS )(1)(med

densidade de potecircncia meacutedia

2med Wm)()(Re

21)( rHrErS

vector de Poynting meacutedio

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 50: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Vector de Poynting meacutedio ndash ondas TEM

ondas TEM

vector de Poynting meacutedio aponta na direcccedilatildeo e sentido de propagaccedilatildeo da onda

med Re

21 HES

naHE ˆ

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

EaH n

ˆ1

EaEHE n

ˆ1

nn aEEaEEHE ˆˆ1

naE ˆ1 2

BACBCACBA

meios sem perdas eacute real naES ˆ21 2

med

Nota

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 51: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Mostre que para ondas TEM com polarizaccedilatildeo linear ou circular a propagarem-se segundo +z em meios comperdas o vector meacutedio de Poynting eacute dado por

a) polarizaccedilatildeo linear

b) polarizaccedilatildeo circular

onde e

Exerciacutecio

zeES z ˆcos21 22

0med

zeES z ˆcos1 220med

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

j je

Nota

Ondas TEM

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 52: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

naEHES ˆ1Re21Re

21

2med

Nota

- Admitir propagaccedilatildeo no ar

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 53: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia de uma onda TEM numa interface plana

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

plano de incidecircncia plano xz

acircngulo de incidecircncia i

plano formado pela normal agrave interfacee pela direcccedilatildeo de propagaccedilatildeo daonda incidente

nta

transmitida

zxa iini ˆcosˆsinˆ

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxa rrnr ˆcosˆsinˆ

direcccedilotildees de propagaccedilatildeonia

incidente

nrareflectida

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 54: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da reflexatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

frente de onda mesma fase

O

O

B

A

A

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

ri OOOO sinsin

1

1 OAkAOk

pontos e tecircm mesma fase O AO A

fase = distk

ri

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 55: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

OE 1415

pontos e tecircm mesma fase

Leis de Snell ndash lei da refracccedilatildeo

meio 1 111

z

x

meio 2 222

nia

nra

nta

i

tr

O

O

B

A

A fase = distk

ti OOkOOk sinsin 2

1

2

1

sinsin

kk

i

t

1

2

f

f

vv

naondas planas frentes de onda satildeo planos normais a

pontos e tecircm mesma fase O ABO

OBkAOk 2

1

fvk

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 56: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Iacutendice de refracccedilatildeo

iacutendice de refracccedilatildeo quociente entre velocidades depropagaccedilatildeo no vazio e no meio

fvcn

2

1

sinsin

nn

i

t

lei de Snell da refracccedilatildeo

Ex meio sem perdas

1fv

00

n rr

1n

n elevado velocidade baixa

1

2

sinsin

f

f

i

t

vv

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 57: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira

meio 1 111

na

meio 2 222

seja agora o versor normal agrave interfaceque aponta do meio 2 para o meio 1

na 0ˆ 21 EEan

Sn JHHa

21ˆ

Sn DDa 21ˆ

0ˆ 21 BBan

tan2tan1 EE

norm2norm1 BB

contiacutenuonormB

contiacutenuotanE

0secontiacutenuotan SJH

0secontiacutenuonorm SD Nota

0e0 SSJ

apenas em condutores perfeitos

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 58: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Condiccedilotildees de fronteira ndash condutores perfeitos

00

00

condcond

condcond

BD

HE

condutores perfeitos

0e0 SSJ

f11

0

Exemplo

2

21ˆ HHaJ nS

21ˆ DDanS

1ˆ Han

taH ˆtan1

1ˆ Dan

norm1D

meio 1 111

na

meio 2 222

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 59: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal

incidecircncia normal 0i

2

1

sinsin

nn

i

t

ri 0 tr

meio 1

z

xmeio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

incidente xeEE zii ˆ10

yeEH zii ˆ1

1

0

reflectida xeEE zrr ˆ1

0

yeEH zrr ˆ1

1

0

transmitida xeEE ztt ˆ20

yeEH ztr ˆ2

2

0

xeEeE zr

zi ˆ11

00

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

ri EEE

1

ri HHH

1

meio 1

meio 2

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 60: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

yiE

nta

tE

tH

iH

nia

nra

rE

rH

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH 0se SJ

1E xeEeE z

rz

i ˆ1100

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

2

0

1

0

1

0

000

tri

tri

EEEEEE

em z=0 21

21

HH

EE

12

2

0

0

12

12

0

0

2

i

t

i

r

EEEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 61: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

1H

yeEeE zrzi ˆ11

1

0

1

0

meio 1

meio 2

xeEE zt ˆ202

yeEH zt ˆ2

2

02

12

12

0

0

i

r

EE

12

12

12

22

12

2

0

0 2

i

t

EE

coeficiente de transmissatildeo

coeficiente de reflexatildeo

1

Notas

1

2 1

3 0

4

xeEE zi ˆ202

xeEeEE zr

zi ˆ11

001

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 62: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash onda estacionaacuteria

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zi

zi ˆ11

001

12

12

12

22

xeeEE zzi ˆ1101

1

xeeExeEE zzi

zi ˆˆ 111

001

xzExeEE iz

i ˆsinh2ˆ 10011

2

sinhxx eex

(se meio 1 sem perdas)11 j

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

onda em propagaccedilatildeo onda estacionaacuteria

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 63: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash maacuteximos e miacutenimos

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

212

101 2sin2cos1 zzEE i

se meio 1 sem perdas

xzEjxeEE izj

i ˆsin2ˆ 10011

maacuteximos

xeeE zjzji ˆ1 11 20

zEi 12

0 2cos21

je

miacutenimos 12cos 1 z 12cos 1 z

nzMAX 221

1

12

21

1min nz

101 iMAXEE

10min1 iEE

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 64: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Incidecircncia normal ndash incidecircncia num condutor ideal

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

xeEeEE zji

zji ˆ11

001

12

12

12

22

meio 1 sem perdas

maacuteximos

miacutenimos

1221

1

nzMAX

1min

nz

01 2 iMAXEE

0min1 E

meio 2 condutor ideal

01

jj

02 20

1

02 E

xeeEE zjzji ˆ1101

xzjEi ˆsin2 10 natildeo haacute onda moacutevel apenas onda estacionaacuteria

e

e

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 65: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Relaccedilatildeo entre potecircncias

meio 1

z

x

meio 2

nra

yiE

iH

nta

tE

tH

nia

rE

rH

ondas TEM

A

medmed adSP

nmed aES ˆ

1Re21 2

medS

eacute constante

A

med daS

adSmed

se

ASmed

imed

rmed

inc

ref

S

S

PP

22

2

i

r

E

E

imed

tmed

inc

trans

S

S

PP

2

2

1

2

2

1Re

1Re

i

t

E

E

transrefinc PPP inc

trans

inc

ref

PP

PP

1

21 inc

trans

PP2

inc

ref

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 66: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

OE 1415

Exerciacutecio

Uma onda electromagneacutetica plana caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico propaga-se no ar e incide perpendicularmente num meio natildeo magneacutetico com iacutendice de refracccedilatildeo que ocupa a regiatildeo

Vmˆ10 4 xeE zji

22 n0z

Determinea) os coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeob) os fasores do campo eleacutectrico das ondas reflectida e transmitidac) os vectores meacutedios de Poynting das ondas incidente reflectida e transmitidad) a percentagem de potecircncia da onda incidente que eacute transmitida para o meio 2

formulaacuterio

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 67: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

xeEE zjki ˆ1

0

interface 1 2 12

1212

12

212

2

interface 2 1 21

2121

21

121

2

12

interface 2 3 23

2323

32

323

2

todas as ondas estatildeo linearmente polarizadas segundo x

e

e

e

1 meios 1 e 3 infinitos

coeficientes de reflexatildeo e de transmissatildeo

2

notas

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 68: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

z0z dz

zjkeE 10

meio 1 meio 2 meio 3

zjkdkj eeE 1220122321

0E

012E

012E zjkeE 2012

djkeE 2012

dzjkdjk eeE 32

01223

dzjkdjk eeE 2201223 dkjeE 22

01223

zjkeE 1012

zjkdkj eeE 2220122321

dzjkdkj eeE 323012232123

dzjkdkj eeE 223012

22321

zjkdkj eeE 124012

2232121

zjkdkj eeE 224012

223

221

dzjkdkj eeE 325012

223

22123

dzjkdkj eeE 225012

323

221

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 69: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

01 EE

dkjdkjdkj eEeEeEEE 222 6012

323

22121

4012

2232121

201223210121

dkjdkjdkj eeeEE 222 4223

221

22321

20231221012 1

0

22321

20231221012

22

n

ndkjdkj eeEE 02

2312

22312

2

2

1E

ee

dkj

dkj

022321

2231221

12 2

2

1E

ee

dkj

dkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 70: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal ndash muacuteltiplas interfaces

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

meio 1

z

meio 2 meio3

0z dz

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

djkdkjdjkdkjdjkdkjdjkdjk eeEeeEeeEeeEE 32323232 7012

323

32123

5012

223

22123

3012232123012233

dkjdkjdkjdkkj eeeeE 22223 6323

321

4223

221

2232101223 1

0

2232101223

223

n

ndkjdkkj eeE

022312

12232

23

1E

ee

dkj

dkkj

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 71: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia normal em muacuteltiplas interfaces ndash meacutetodo alternativo

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

z

xmeio 2

y

meio3

0z dz

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

meio 1

zjkeE 11

zjkeE 11

zjkeE 22

zjkeE 22

zjkeE 33

yzjkzjk

xzjkzjk

ueEeEH

ueEeEE

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

meio 2

yzjk

xzjk

ueEH

ueEE

ˆ

ˆ

3

3

3

33

33

meio 3

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 72: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meios dieleacutectricos 0SJ

contiacutenuotanE

contiacutenuotanH

0z

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

dz

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

4 equaccedilotildees4 incoacutegnitas

3221 EEEE

considerando 01 EE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 73: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash condiccedilotildees fronteira

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

2

22

1

11

2211

EEEE

EEEE

3

3

2

22

322

322

322

djkdjkdjk

djkdjkdjk

eEeEeE

eEeEeE

01 EE

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

expressotildees anteriores como seria de esperar

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 74: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash aplicaccedilatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

Eliminaccedilatildeo de reflexotildees na interface 1 3 atraveacutes da inserccedilatildeo do meio 2

Aplicaccedilotildees praacuteticas

bulleliminaccedilatildeo de reflexos em lentes

bullatenuaccedilatildeo de ecos de radar (aviotildees invisiacuteveis)

bullhellip

meio 2 eacute visto como adaptador

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 75: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash adaptador de 4

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

eliminar reflexotildees 01 E 12

223

2 dkje

0111 222 222

2312

231 dkjdkjdkj eee

adaptador de 4

122 dkje iacutempareinteiro2 2 mmdk

312

iacutempareinteiro42 mmd

comprimento de onda no meio 2

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 76: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

Ondas

pp f

v22

2

2

cos1cosF

F

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

022312

22312

1 2

2

1E

eeE dkj

dkj

022312

12233 2

23

1E

eeE dkj

dkkj

pf

vd4

2

velocidade no meio 2

12

1212

13

13

312

23

2323

13

13

2312

pf frequecircncia para a qual foi projectado o adaptador

agrave frequecircncia f dkj

dkj

ee

EE

2

2

22

2

0

1

11

onde

2 zzz

dk

dkE

E

II

224

22

20

21

inc

ref

2cos212cos12

2

212

F

dk2pf

f2

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 77: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

Ondas

2

2

inc

ref

cos1cosF

FII

Adaptador de 4 ndash comprimentos de onda diferentes

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

onde2

212

Fpff

2

e

0 0F

1 F

0f 0

f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

01

02

03

04

05

06

07

08

09

1

inc

ref

II

100F

10F

1F

10F

2

23

25

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 78: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

meio 1

meio 2

meio 3yeEH

xeEE

z

z

ˆ

ˆ

2

2

2

23

23

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

22

22

2

2

2

22

222

yeEeEH

xeEeEE

zz

zz

ˆ

ˆ

11

11

1

1

1

11

111

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

11

11

1

1

1

11

111

linha 1

linha 2

linha 3

zz

zz

eZVe

ZVI

eVeVV

22

22

2

2

2

22

222

z

z

eZVI

eVV

3

3

3

33

33

2Z1Z 3Z

0z dz z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 79: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

3)( ZdzZ linha 3 infinita

zdZZ

zdZZZdzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(ZzZZzZ

2

2eff23 )(

)(ZdzZZdzZ

23

23

ZZZZ

2Z1Z 3Z

0z dz z

)()()(

zIzVzZ Impedacircncia ao longo da linha

linha 2 finita

Coeficientes de reflexatildeo

dd

dd

eVeV

eVeV23

22

2eff233

2eff232

1

1eff122

1eff121

1 VV

VV

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 80: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

Ondas

Muacuteltiplas interfaces ndash analogia com linhas de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

y

meio3

0z dz

)()()(

zHzEzZ

y

x

dd

dd

eEeE

eEeE23

22

2eff233

2eff232

1

3)( dzZ

zd

zddzZ

232

2232 tanh

tanh)0(

1

1eff12 )0(

)0(

zZzZ

2

2eff23 )(

)(

dzZdzZ

23

23

1eff122

1eff121

1 EE

EE

4 equaccedilotildees

4 incoacutegnitas

3221 EEEE

se conhecido1E

meio 3 infinito

Impedacircncia de onda

meio 2 finito

Coeficientes de reflexatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 81: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia obliacutequa de uma onda TEM numa interface plana

onda TEMnaHE ˆ

ii HE

e estatildeo no plano nia

meio 1 111

z

x

meio 2 222

i

tr

ntatransmitida

nia

incidente

nra

reflectida

2 paralelo ao plano de incidecircncia

iE

iE

yeEE rajkii

ni ˆˆ0

1

zxeEE iirajk

iini ˆsinˆcosˆ

01

polarizaccedilatildeo perpendicular

polarizaccedilatildeo paralela

yeEzxeEE rajkiii

rajkii

nini ˆˆsinˆcos ˆ20

ˆ10

11

polarizaccedilatildeo perpendicularpolarizaccedilatildeo paralela

1 perpendicular ao plano de incidecircncia

Caso geral

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 82: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilotildees perpendicular e paralela ndash convenccedilatildeo

polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

polarizaccedilatildeo paralela

componentes de tangentesagrave interface mantecircm o sentido

tri EEE

e

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

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meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

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ttiri EEE coscos 000

2

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1

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tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

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izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

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ˆsin

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coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

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i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

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ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

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sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

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iE

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rraj

iiraj

rraj

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01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 83: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

yeEE raii

ni ˆˆ0

1

inii EaH

ˆ1

1 xzeE

iirai ni ˆcosˆsinˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEE rarr

nr ˆˆ0

1

rnrr EaH

ˆ1

1 xzeE

iirar nr ˆcosˆsinˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

yeEE ratt

nt ˆˆ0

2

tntt EaH

ˆ1

2 xzeE

ttrat nt ˆcosˆsinˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 84: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z tri EEE

txrxix HHH

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211

2

sin0

1

sin0

sin0

211 coscoscos

xj

ttxj

irxj

iitii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 85: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

000 tri EEE

tt

iriEEE

coscos1

2

000

1

ti

ti

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

ti

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 86: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo perpendicular ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

ti

ti

coscoscoscos

12

12

ti

i

coscos

cos2

12

2

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

notas

1 1 (tal como para incidecircncia normal)

2 eacute possiacutevel que 0 ti coscos 12

Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

12212

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

21 soacute possiacutevel quando

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 87: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

ri EEE

1

1

yeeeEE xjzjzji

iii ˆsincoscos01

111

11 j

onda em propagaccedilatildeosegundo

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

meio 1 sem perdas

yeEyeE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ0

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeeEyeE xjzjzji

raji

iiini ˆˆ sincoscos0

ˆ0

1111

yezEjyeE xjii

raji

ini ˆcossin2ˆ sin10

ˆ0

11

nia

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 88: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

yeEyeEE rajr

raji

nrni ˆˆ ˆ0

ˆ01

11

zxrazxra

iinr

iini

cossinˆcossinˆ

yeeEE zjzxji

iii ˆ1 cos2cossin01

111

212

101 cos2sincos2cos1 zzEE iii

zE ii cos2cos21 12

0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12cos21

1min nz

i

101 iMAXEE

10min1 iEE

je

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2||

1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 89: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

Ondas

Incidecircncia num condutor ideal ndash polarizaccedilatildeo perpendicular

meio 1

z

x

condutor ideal

i

r

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

yeeeEE zjzjxji

iii ˆcoscossin01

111

maacuteximos miacutenimos

iMAX

nz

cos212

1

i

nz

cos1

min

01 2 iMAXEE

0

min1 E

02 20

1

02 E

yzeEj ixj

ii ˆcossin2 1

sin0

1

meio 2 condutor ideal

onda em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitude dependente de z

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

0 2

relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iira

rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

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tE

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ii

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0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

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ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

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rraj

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01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

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1

zzeE

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i

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i

i

i

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1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

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2212

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||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 90: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

incidentezxa iini ˆcosˆsinˆ

zxeEE iira

iini ˆsinˆcosˆ

01

yeEH raii

ni ˆˆ

1

0 1

reflectidazxa rrnr ˆcosˆsinˆ

yeEH rarr

nr ˆˆ

1

0 1

zx ii ˆcosˆsin

transmitida

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

zxeEE ttra

ttnt ˆsinˆcosˆ

02

yeEH ratt

nt ˆˆ

2

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relaccedilotildees entre obtidasa partir das condiccedilotildees fronteira

000 e tri EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

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y

rE

rH

nta

tE

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rrnr ˆsinˆcosˆ

01

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

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y

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tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

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meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

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1

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EEE

meio 1

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meio 2

i

tr

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nia

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rE

rH

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tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

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12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

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2

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tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

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nia

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y

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011

i

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zxeEzxeE

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iixj

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0||

1sin

0||

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1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

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1

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1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

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01111

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ixini eeEE cos1 cos2

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0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

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1

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em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

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Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

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cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

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nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

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12

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Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

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n0

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coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

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1sincos

1sincos

2221

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i

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2

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1

inn

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1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

ttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

2

0 22

2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

2

0 22

2

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

xeE

HES tzt

ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 91: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash campos eleacutectrico e magneacutetico

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE rH

ntatE

tH

condiccedilotildees fronteira contiacutenuotanEcontiacutenuotanH 0se SJ

em 0z txrxix EEE

tri HHH

xjtt

xjir

xjii

tii eEeEeE sin0

sin0

sin0

211 coscoscos

2

sin0

1

sin0

sin0

211

xjt

xjr

xji

tii eEeEeE

meios sem perdas 021 22

11

jj

ti sinsin 21

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ttiri EEE coscos 000

2

000

1

1

tri

EEE

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

coscos

cos2

12

2||

21|| 1

1sin

B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEzxeE iiraj

riiraj

inrni ˆsinˆcosˆsinˆcos ˆ

011

i

t

coscos1 ||||

zxeEzxeE

zxeE

iiraj

iiiraj

i

iiraj

ii

t

nrni

ni

ˆsinˆcosˆsinˆcos

ˆsinˆcoscoscos

ˆ0||

ˆ0||

ˆ0||

11

1

zeeeE

xeeeE

zxeEE

izjzjxj

i

izjzjxj

i

iiraj

ii

t

iii

iii

ni

ˆsin

ˆcos

ˆsinˆcoscoscos

coscossin0||

coscossin0||

ˆ0||1

111

111

1

zzeE

xzeEj

zxeE

iixj

i

iixj

i

iiraj

ii

t

i

i

ni

ˆsincoscos2

ˆcoscossin2

ˆsinˆcoscoscos

1sin

0||

1sin

0||

ˆ0||

1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

zxeEE iiraj

ii

t ni ˆsinˆcoscoscos ˆ

0||11

xzeEj iixj

ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

zzeE iixj

ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

je||||

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

nra

y

rE

rH

nta

tE

tH

ri EEE

1 zxeEzxeE iiraj

riiraj

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011

zeEeExeEeE iraj

rraj

iiraj

rraj

inrninrni ˆsinˆcos ˆ

01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

zzeE

xzeEjE

iixj

i

iixj

i

i

i

ˆsincoscos2

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1sin

0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

12

12||

1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1sincos

1sincos

2212

2212

||

2

1

2

1

inn

i

inn

i

jnn

jnn

1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

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02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

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2

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2

yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

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2

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2Re

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2

20

22

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HES tzt

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2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 92: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

it

it

i

r

EE

coscoscoscos

12

12

0

0

it

i

i

t

EE

coscos

cos2

12

2

0

0

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

meio 1

z

x

meio 2

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y

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EEE

it

it

coscoscoscos

12

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it

i

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2||

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

i

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12

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21|| 1

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B

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

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y

rE

rH

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tE

tH

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

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tE

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i

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zxeEzxeE

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1sin

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1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

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1

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1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

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maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

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meio 1

z

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0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

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0

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01

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1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

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it

it

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Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

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coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

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01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

02

22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

22

2

xjzeeEH ttxjzt

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yeeEH tt xjztt ˆsin1sin

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20

22

xeE

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20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 93: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

Ondas

Polarizaccedilatildeo paralela ndash coeficientes de reflexatildeo e transmissatildeo

notas

1

i

t

coscos1 ||||

2 eacute possiacutevel que 0|| it coscos 12

||Bi (acircngulo de Brewster)

ti nn sinsin 21

221

2112||

2

11sin

B

3 se meio 2 for condutor perfeito 02 0

1

||

||

21 quando

coeficiente de reflexatildeo

coeficiente de transmissatildeo

it

it

coscoscoscos

12

12||

it

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meio 1

z

x

meio 2

i

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Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ri EEE

1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

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11

1

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1sin

0||

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1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

iE

iH

nia

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y

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ii ˆcoscossin2 1

sin0||

1

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ii ˆsincoscos2 1

sin0||

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

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maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

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||01 1cos iiMAX EE ||0min1 1cos iix EE

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meio 1

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meio 2

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01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

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0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

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0

1sin

01

1

1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

coscoscoscos

12

12

it

it

coscoscoscos

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1sin t

1sincos 2 tt j

Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

rn

n0

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21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

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inn

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1||

01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

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Polarizaccedilatildeo paralela

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2

20

22

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ttttmed ˆsin

2Re

21 1sin

2

20

22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 94: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

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1

11 jmeio 1 sem perdas

meio 1

z

x

meio 2

i

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1

1

1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

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1

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ii ˆsincoscos2 1

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1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

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maacuteximos miacutenimos

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1

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01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

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0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

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1

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polarizaccedilatildeo paralelai

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01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

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01 2 inc

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PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

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nia

incidente

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1sincos 2 tt j

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raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

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dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

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energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 95: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

Ondas

Campo eleacutectrico no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

ondas em propagaccedilatildeo segundo xcom amplitudes dependente de z

onda em propagaccedilatildeosegundo nia

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

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1

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1

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

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maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

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meio 1

z

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01111

izjraj

ixini eeEE cos1 cos2

||ˆ

0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

cos1

01 E

yzeEjE ixj

ii ˆcossin2 1

sin01

1

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iixj

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0

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1

em

polarizaccedilatildeo paralelai

nz

cos1

01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

nz

cos1

i

nz

cos1

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

i

r

y

i

nz

cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

ordm90quetal tic 1

2arcsinnn

c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaReflexatildeo interna total

ti

ti

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12

12

it

it

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Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

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21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

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1

inn

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01 2 inc

trans

PP

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectida

1sincos 2 tt j

zxa ttnt ˆcosˆsinˆ

raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

xjzeeEE ttxjz

tttt ˆ1sinˆsin 2sin1sin

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22

Polarizaccedilatildeo paralela

yeeEE tt xjztt ˆsin1sin0

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ttttmed ˆsin

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2

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22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 96: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

Ondas

Maacuteximos e miacutenimos no meio 1 ndash polarizaccedilatildeo paralela

iraajraj

ixnrnini eeEE cos1 ˆˆ

||ˆ

0111

21||

21||01 cos2sincos2cos1cos zzEE iiiix

zE iii cos2cos21cos 1||2

||0

maacuteximos miacutenimos

nzi

MAX 2cos21

1

12

cos21

1min nz

i

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0111

Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

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polarizaccedilatildeo perpendiculari

nz

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01 xE em

para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

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i

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Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

z

x

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y

i

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cos1

onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

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incidente

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reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

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Acircngulo criacutetico

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c

Reflexatildeo interna total

cit nn

nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

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meio 2

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Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

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onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

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2

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dependecircncia espacial dos campos no meio 2

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Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

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Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

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Faculdade de Engenharia

Ondas

Exerciacutecio

formulaacuterio

Uma onda electromagneacutetica propaga-se num meio natildeo magneacutetico sem perdas e de constante dieleacutectrica 9 o qual ocupa a regiatildeo xlt0 e eacute caracterizada pelo seguinte fasor do campo eleacutectrico

Sabendo que a regiatildeo xgt0 eacute ocupada por um material natildeo magneacutetico sem perdas com iacutendice de refracccedilatildeo 2 determine

a) a frequecircncia da ondab) as direcccedilotildees de propagaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidac) os versores de polarizaccedilatildeo das ondas incidente reflectida e transmitidad) os fasores dos campos eleacutectrico das ondas reflectida e transmitida

Vmˆ80ˆ6010 34 yxeyxE yxji

Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

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poderia ser colocado em sem alterar o campo no meio 1i

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Ondas

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Guias de onda metaacutelicos

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onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

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caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

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no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

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seraacute isto possiacutevel

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Reflexatildeo interna total

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Faculdade de Engenharia

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Exerciacutecio

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Faculdade de Engenharia

Ondas

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Guias de onda metaacutelicos

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para ambas polarizaccedilotildees um plano condutor paralelo ao plano xy

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Guias de onda metaacutelicos

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princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

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em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

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no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

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seraacute isto possiacutevel

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Reflexatildeo interna total

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energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

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Faculdade de Engenharia

Ondas

condutorideal

Guias de onda metaacutelicos

meio 1

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onda electromagneacutetica eacute guiada

pelas duas superfiacutecies condutoras

princiacutepio de funcionamento dos guias de onda metaacutelicos

seraacute possiacutevel guiar uma onda electromagneacuteticacom meios dieleacutectricos

Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

i

r

caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

interior se atenuou consideravelmente

a soluccedilatildeo seria garantir que natildeo haacuteenergia transmitida para o meio 2

dieleacutectrico 2dieleacutectrico 2

no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

ondas electromagneacuteticas de forma eficiente

seraacute isto possiacutevel

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

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Lei de Snell da refracccedilatildeo

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Acircngulo criacutetico

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Faculdade de Engenharia

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Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

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Faculdade de Engenharia

Ondas

Guias de onda dieleacutectricos

dieleacutectrico 1

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caso geral

em cada incidecircncia parte da onda eacute transmitida para o dieleacutectrico 2

ao fim de alguma distacircncia jaacute a onda no dieleacutectrico

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no caso geral materiais dieleacutectricos natildeo permitem conduzir

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seraacute isto possiacutevel

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Reflexatildeo interna total

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22

energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

Page 101: Ondas electromagnéticas planas - FEUPmines/OE/Teoricas/Ondas/OE_ondas.pdf · Ondas electromagnéticas planas – significado Faculdade de Engenharia E E e jkz E ejkz uˆ x 0 0 i

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidati nn sinsin 21

21 nn

Lei de Snell da refracccedilatildeo

it

Acircngulo criacutetico

ci

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c

Reflexatildeo interna total

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nn sinsinsin

2

1

2

1 1sin t 1sinsin1cos 22 ttt j

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

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x

meio 2

i

tr

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incidente

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ti

ti

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12

12

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it

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Meios sem perdas e natildeo magneacuteticos

0

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n0

ti

ti

nnnn

coscoscoscos

21

21

Coeficientes de reflexatildeo

it

it

nnnn

coscoscoscos

21

21||

1sincos

1sincos

2221

2221

2

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1

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i

inn

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2

1

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1

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i

inn

i

jnn

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Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

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nia

incidente

nra

reflectida

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raj nte ˆ2

onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

tt xjz ee sin1sin 22

2

zxj tte cossin2

dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

z

x

meio 2

i

tr

nta transmitida

nia

incidente

nra

reflectidaPolarizaccedilatildeo perpendicular

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22

Polarizaccedilatildeo paralela

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2

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2

0 22

2

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2

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energia propaga-se ao longo do guia natildeo havendo perdas para o dieleacutectrico 2

Faculdade de Engenharia

OE 1314

Exerciacutecio

formulaacuterio

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Faculdade de Engenharia

OE 1314

Reflexatildeo interna total

meio 1

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Reflexatildeo interna total ndash campos evanescentes

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onda que se propaga segundo +xamplitude decresce exponencialmente com z

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Faculdade de Engenharia

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meio 1

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meio 2

i

tr

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nia

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nra

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dependecircncia espacial dos campos no meio 2

campos evanescentes

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Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

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Reflexatildeo interna total ndash campos no meio 2

meio 1

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