ondas planas en medios reales reflexión y transmisión • ambas incidente y reflejada, son ondas...

CAMPOS Y ONDAS

Ondas Planas en medios reales

Reflexión y Transmisión

Campos y Ondas

FACULTAD DE INGENIERÍAUNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA ARGENTINA

CAMPOS Y ONDAS

ONDAS ELECTROMAGNETICAS

• * PROPAGACIÓN DE ONDAS PLANAS.• Propagación de ondas planas en distintos medios• homogéneos, isotrópicos y lineales, y no acotados

espacialmente• Las ondas planas son una buena aproximación a las ondas

reales en la mayoría de las situaciones prácticas.

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Dieléctricos y conductores.

DIELÉCTRICOS Y CONDUCTORES.• Clasificación de materiales: dieléctricos y

conductores• La separación NO está muy bien definida, la tierra

por ejemplo, se considera conductora hasta ciertas frecuencias, y dieléctrico con pérdidas para frecuencias superiores.

∇ × = +H E Eσ ω εj

La relación entre los módulos de las densidades de corriente de conducción y de desplazamiento, resulta ser:

JJ

c

d= σ

ωε0,01σ

ωε<

σωε > 100

Dieléctricos:

0,01 100σωε

< <Cuasiconductores:

Conductores:

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• Buenos conductores, tales como los metales, la relación σ/(ω ε) es muy superior a la unidad en todo el espectro de las radiofrecuencias. El Cobre a 30.000 MHz, σ / (ω ε)= 3,5·109.

– Conductores, tanto ε como σson independientes de la frecuencia.

• Dieléctricos o aislantes, la relación σ / (ωε) es mucho menor que la unidad – Tanto ε como σ son funciones

de la frecuencia. σ / (ω ε )puede ser aproximadamente constante dentro de un rango de frecuencias de interés

17

= 10

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

56

1 32 4 5 6 7 98 1210 11 13 14 15 16

σ/ωε M

Terreno urbanoAgua dulce

e

Terreno ruralAgua de mar

cuasiconductoraRegión

conductoraRegión

Rayos XVisible

Microondas Infrarrojo Ultravioleta

Región

bajas, medias y altasFrecuencias de radio

dieléctrica

NFrecuencia = 10

ba dc

Cobre Hz

M=

N=

(a)(b)

(c)(d)

(e)

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• La mayoría de los materiales usados, o bien dejan pasar fácilmente las corrientes de conducción o evitan su circulación, es decir se comportan como – conductores – o como dieléctricos o aislantes, excepto algunas

excepciones entre las que cabe mencionar por su importancia práctica, sobre todo en radioenlaces, a la tierra y al agua dulce o salada.

• En radioenlaces, a la tierra y al agua dulce o salada, que a bajas frecuencias son buenos conductores a altas frecuencias son buenos dieléctricos.

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CAMPOS Y ONDAS

DESARROLLO GENERAL DE LA ECUACIÓN DE PROPAGACIÓN.

• Se supone una onda electromagnética plana, el campo eléctrico E está linealmente polarizado en la dirección del eje y, y se propaga en el sentido del eje x positivo, H polarizado en z.

t∂∂ DJH +=×∇ ∇ × = −E B∂

∂ tJ E= σ B H=µ

y

z

Ey x

Hz

Ex = 0Ey ≠ 0 0zE =

∂∂Ex

y ≠ 0∂∂Ey

y = 0 0yEz

∂=

∂

Hx = 0Hz ≠ 0 0yH =

0≠x

H z

∂∂0=

yH z

∂∂

0zHz

∂∂

=

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆ ˆ ˆ0 0

0 0 ( )

yy

z

i j kEHzi j k E j jx y z x t

H x

∂σ ε

∂∂∂ ∂ ∂ = − + = +∂ ∂ ∂ ∂

ˆˆ ˆ( ) ˆ ˆˆ ˆ0 0

0 ( ) 0

y z

y

i j kE x Hi j k kx y z x t

E x

∂µ∂

∂∂ ∂ ∂ = + + = −∂ ∂ ∂ ∂

CAMPOS Y ONDAS


t∂σ ε∂

∇× = +EH E t

∂µ∂

∇× = −HE

y

z

Ey x

Hz

− = +∂∂ σ ε

∂∂

Hx E

Et

zy

y

∂∂ µ ∂

∂Ex

Ht

y z= −

∂∂

∂∂ σ

∂∂ ε

∂∂t

Hx

Et

Et

z y y= − −2

2

− =12

2µ∂∂

∂∂

∂∂

Ex x

Ht

y z

t∂∂

x∂

∂

1 02

2

2

2µ∂∂

σ∂∂ ε

∂∂

Ex

Et

Et

y y y− − =

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆ ˆ ˆ0 0

0 0 ( )

yzy

z

i j kEHi j k E j jx y z x t

H x

∂σ ε

∂∂∂ ∂ ∂ = − + = +∂ ∂ ∂ ∂

ˆˆ ˆ( ) ˆ ˆˆ ˆ0 0

0 ( ) 0

y z

y

i j kE x Hi j k kx y z x t

E x

∂µ∂

∂∂ ∂ ∂ = + + = −∂ ∂ ∂ ∂

CAMPOS Y ONDAS


• Ecuación de propagación de campo eléctrico de una onda electromagnética plana, dentro de un material dieléctrico o conductor.

• Si imaginamos una variación sinusoidal, usamos fasores

1 02

2

2

2µ∂∂

σ∂∂ ε

∂∂

Ex

Et

Et

y y y− − =

0j t

yE E e ω=

1 02

22

µ∂∂

ωσ ω εEx

j E Eyy y− + = ( ) 02

2

2

=−− yy Ej

x

Eεµωσµω

∂

∂

γ ωµσ ω µε= −j 2 ∂∂

γ2

22 0

Ex

Eyy− =

( )j jγ ωµ σ ωε= + Constante de Propagación

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• Forma simplificada de la ecuación de propagación, el tiempo no está en forma explícita, variación temporal del tipo armónica.

• UNA SOLUCIÓN PARA LA ONDA INCIDENTE DE CAMPO ELÉCTRICO RESULTA SER ENTONCES:

∂∂

γ2

22 0

Ex

Eyy− =

0j t x

yE E e eω γ−=

∂∂ µ

∂∂

Ex

Ht

y z= − z yH Ejγωµ

=

0 0.j t x j t xEy dt E e e dt E e ex j

ω γ ω γγγω

− −∂= − = −

∂∫ ∫t∂µ∂

∇× = −HE

( )z y

j jH E

jωµ σ ωε

ωµ+

=

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• IMPEDANCIA INTRINSECA DEL MEDIO

ωεσωµ

jj

HzEyZi

+==

Relación entre las ondas incidentes de campos eléctrico y magnético.

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PROPAGACIÓN EN MEDIOS DIELÉCTRICOS REALES.

• Un material dieléctrico real, con pérdidas.

E E e eyj t x= −

0ω γ

γ α β= + j( )xtjx

y eeEE βωα −−= 0

( )j jγ ωµ σ ωε= +

constante de atenuación

constante de fase.

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−+=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −= 11

2 22

22

εωσµε

ωµεωωµσα jRe

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡++=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −= 11

2 22

22

εωσµε

ωµεωωµσβ jIm

CAMPOS Y ONDAS


• Para buenos dieléctricos (bajas pérdidas), se cumple que:

σω ε << 1

y en tales casos es posible realizar la siguiente aproximación binómica:

1 12

2

2 2

2

2 2+ ≅ +σω ε

σω ε

donde se han usado los dos primeros términos del desarrollo binómico de la raíz cuadrada.

2

2 21 12 2 2

µ ε σ σ µα ωω ε ε

⎛ ⎞≅ + − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Como se puede apreciar, la constante de atenuación es pequeña, al serlo la conductividad, tendiendo a cero cuando ésta lo hace.

11 12

1

x x

x

+ ≈ +

<<

CAMPOS Y ONDAS


⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡++=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −= 11

2 22

22

εωσµε

ωµεωωµσβ jIm

2 2

2 2 2 21 1 12 2 8

µ ε σ σβ ω ω µ εω ε ω ε

⎛ ⎞ ⎛ ⎞≅ + + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 12

2

2 2

2

2 2+ ≅ +σω ε

σω ε

11 12

1

x x

x

+ = +

<<

Impedancia característica o impedancia intrínseca del medio.

( )ωεσ

ωµµεωωµσ

ωµ

µεωωµσ

ωµγωµ

jj

jj

j

jjH

EZ

z

yi +

=−

=−

===2

2

2

Z

ji =

+

µε σ

ωε

1

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+≅

ωεσ

εµ

21

jZ i

Ecuación que puede ser aproximada por expansión binómica en:

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• Dieléctrico ideal Zi es resistiva pura (campos eléctrico y magnético en fase temporalmente),

• Dieléctrico real con bajas pérdidas, Zi es compleja (el campo magnético atrasa ligeramente en el tiempo con respecto al campo eléctrico).

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+≅

22

2

41

εωσ

εµ

iZ

Este módulo resulta ser igual a la impedancia intrínseca de un medio dieléctrico perfecto (sin pérdidas), multiplicada por el factor, mayor a la unidad pero muy próximo a ella.

La relación entre campo eléctrico y magnético es menor en un medio

dieléctrico que en el vacío εr>1.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+≅

ωεσ

εµ

21

jZ i

1i o

r

Z Zε

=

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IMPEDANCIA CARÁCTERÍSTICA DE UN MEDIO CONDUCTOR

( )z y

j jH E

jωµ σ ωε

ωµ+ / //= 1j

j j Ziωµσ σωµ ωµ

= =

0

0

1y ji

z

E E j jZ eH H

ξ ωµσ σ δ

+= = = =

2δωσµ

=

σµω

==z

yi H

EZ

El ángulo de fase de la impedancia característica resulta de 45 grados

45=ξ

•Dieléctrico perfecto la Zi es resistiva pura (campos eléctrico y magnético en fase temporalmente)

•La Zi para un medio conductor es una cantidad compleja (el campo magnético atrasa 45° respecto al campo eléctrico).

Z R j X ji = + = +ω µσ

ω µσ

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REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE ONDAS PLANAS.

• Onda incidente: campo magnético y campo eléctrico, en fase temporal

• Onda reflejada aparece por discontinuidad en el medio de propagación.

• Ambas incidente y reflejada, son ondas progresivas, – cada una transporta energía en forma progresiva– en sentidos opuestos.

• Las ondas incidente y reflejada se propagan en el mismo medio.• Existe otra onda, denominada transmitida o refractada, que

ingresa al nuevo medio, transportando así energía en este medio.

CAMPOS Y ONDAS

REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE ONDAS PLANAS.

En la superficie de discontinuidad se plantea:• Balance energético

– onda incidente= energía suministrada por el generador de la onda, parte es devuelta al mismo medio, onda reflejada, y el resto será la onda transmitida en el nuevo medio.

• Condiciones de contorno de los campos eléctrico y magnético, en la superficie límite de separación entre ambos medios.

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Condiciones de contorno sobre una superficie límite.

Componentes tangenciales de E.

Para el análisis de la componente tangencial de E se supone tener una superficie de separación entre dos medios distintos, ubicada en el plano x=0

x∆

x4

y2y1

2

2

2

µ

Medio

22

EE

x2Ex1E

x3 EE

y

y

x

εσ

1

1

1

µ

Medio

1

εσ x∆

2

∆

∇ × = −E B∂∂ t ∫∫∫ ⋅−=⋅ sBlE d

td

∂∂

( )yxBt

xExEyExExEyE zxxyxxy ∆∆∂∂∆∆∆∆∆∆ −=++−−−

2222 431122

E y E yy y2 1 0∆ ∆− =

E Ey y2 1=

Es decir que:la componente tangencial de campo eléctrico es siempre continua

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• Componentes tangenciales de H.• Aplicada la anterior ecuación a un rectángulo elemental similar al de la figura anterior

∇ × = +H J D∂∂ t

∫∫∫∫∫ ⋅−⋅=⋅ sDsJlH dt

dd∂∂

H y H y lim J x yy y x z2 1 0∆ ∆ ∆ ∆

∆− =

→

x∆

2

2

2

µ

Medio

22

Hy2Hy1

x2Hx1H

x3 Hx4H

y

y

εσ

1

1

1

µ

Medio

1

εσ x∆

2

∆

0limx∆ →

( )2 2 1 1 3 42 2 2 2y x x y x x z zx x x xH y H H H y H H J x y D x y

t∂∂

∆ ∆ ∆ ∆∆ − − − ∆ + + = ∆ ∆ + ∆ ∆

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• Componentes tangenciales de H.

H y H y lim J x yy y x z2 1 0∆ ∆ ∆ ∆

∆− =

→

J

De la anterior ecuación se desprenden dos casos,

1) Densidad de corriente de conducción finita

H Hy y2 1=

2) Densidad de corriente de conducción Infinita

y

x

z

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2) densidad de corriente de conducción Infinita • Un conductor perfecto o ideal, es decir un conductor con

conductibidad infinita (caso teórico). • densidad de corriente laminar o superficial. Cuando se tiene

una densidad de corriente superficial o laminar Infinita, circula una corriente Finita

iS z por unidad de ancho (amperes por metro) es finita

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∆=

→∆ mA

0xJlimi zxzS

σaire

1f

δσµ

=

x∆

Corriente por unidad de largo en dirección y

JzJz

y

x

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• Volviendo ahora a la expresión hallada para determinar las condiciones de contorno del campo magnético tangencial, aplicada ahora a un conductor ideal, cuando x tiende a cero se obtiene:

H y H y i yy y S z2 1∆ ∆ ∆− =

H y H y lim J x yy y x z2 1 0∆ ∆ ∆ ∆

∆− =

→

Por lo tanto si x tiende a cero resulta

H H iy y S z1 2= −

Ahora bien, si el campo eléctrico es cero dentro de un conductor ideal, lo propio debe acontecer con el campo magnético (para campos variables en el tiempo), por lo que resulta:

H y2 0= H iy S z1 = −

El campo magnético tangencial, inmediatamente afuera de una superficie conductora ideal, es igual a la densidad de corrientesuperficial, corriente por unidad de ancho en sentido transversal al campo magnético.

CAMPOS Y ONDAS


El campo magnético tangencial, inmediatamente afuera de una superficie conductora ideal, es igual a la densidad de corriente superficial, corriente por unidad de ancho en sentido transversal al campomagnético.

JzJz

y

x

H iy S z1 = −

zEn notación vectorial es:

Η×= ni S n

Donde rn

es el vector unitario sobre la normal a la superficie.

Hy

x∆

CAMPOS Y ONDAS


• En un conductor ideal, el campo eléctrico (variable en el tiempo) es cero para cualquier densidad de corriente de conducción,

• Para satisfacer la condición de contorno del campo eléctrico tangencial, debe ser nulo a ambos lados de la superficie límite.

• El campo magnético dentro del conductor es cero, y la componente tangencial fuera del conductor queda determinada por la corriente de conducción superficial del conductor

Η×= ni S

CAMPOS Y ONDAS

Condiciones de contorno sobre una superficie límite

• Componentes normales de D.

n1 n2DD

ds

1

1

1

µ

Medio

1

εσ

2

2

2

µ

Medio

2

εσ

x∆2

∫∫∫∫∫ =⋅ dvd libreρsD

D ds D ds x dsn n lateral libre1 2− + =ψ ρ ∆

Cuando ∆x tiende a cero, el flujo saliente por los laterales tiende también a cero

dsxdsDdsD librenn ∆ρ=− 21

xlim librex∆=

→∆ρσ

0

D Dn n1 2− = σLa componente normal del vector desplazamiento eléctrico es continua, si no existe carga superficial, y discontinua si existe tal carga.

En un medio conductor, la carga reside en la superficie, y por lo tanto:

Dn2 0= Dn1 = σ

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Condiciones de contorno sobre una superficie límite

• Componentes normales de B.

B Bn n1 2=

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Reflexión y Refracción de Ondas Planas con Incidencia Normal.

• Onda propagándose en un dado medio, incide sobre otro medio que tiene distinta permitividad, permeabilidad o conductibidad, – Onda reflejada y otra refractada o transmitida,

• Una nueva repartición de la energía electromagnética.

Onda Reflejada

2

Medio z

y

Onda Incidente

2

x

1Medio

1H1E 2 HE

Onda Transmitida

3E H3

CAMPOS Y ONDAS

Reflexión sobre superficie conductora perfecta.

• No pueden existir campos eléctricos ni magnéticos variables en el tiempo en el interior de dicho medio.

• Onda incidente no puede transmitir energía hacia el interior del conductor perfecto, si lo hiciera sería infinita (E.J)

• Toda la energía que transporta la onda incidente en el vacío, es devuelta a dicho medio ahora transportada por la onda reflejada.

CAMPOS Y ONDAS

Reflexión sobre superficie conductora perfecta

• La Onda incidente de E se propaga sentido eje z positivo, y está polarizada linealmente en la dirección del eje x

Onda Reflejada

2

Medio z

Hy

Onda Incidente

2

Ex

1Medio

1H1E 2 HE

Onda Transmitida

E H

La superficie límite está ubicada en z=0.

Onda Incidente

( )[ ]zvtcosEE mx −= β

( )[ ] [ ]zvtfzvtcosEE mx ++−= 2β

Onda Completa

f2 dependerá de la onda incidente, y de las condiciones de contorno impuestas por la superficie límite.

CAMPOS Y ONDAS


• El campo eléctrico sobre la superficie conductora debe ser nulo (para todo valor del tiempo).

f vt E vtm2 = − ( )cos β( ) [ ]2cos 0 0 0x mE E vt f vtβ= − + + =⎡ ⎤⎣ ⎦

2 1

2 0( )x x

x

E EE conductor

==

Para todo otro z, la onda reflejada resulta ser:

f vt z E vt zm2 + = − +( )cos β

• La onda reflejada sobre la superficie conductora (para z=0), coincide en amplitud con la incidente, y está en oposición de fase con la misma

• No existe onda transmitida, la onda reflejada transportará la misma cantidad de energía que la onda incidente, pero en sentido contrario, dando un flujo neto nulo de energía en el medio (vacío).

• La ONDA TOTAL:

E E vt z E vt zx m m= −( ) − +( )cos cosβ β

CAMPOS Y ONDAS


E E t z E t zx m m= −( ) − +( )cos cosω β ω β

expresada en términos de la pulsación angular:

otación exponencial para facilitar las ope-raciones a realizar, la onda completa resulta ser:

E al E e E ex mj t z

mj t z= −−( ) +( )Re ω β ω β

( )[ ]zjzjtjmx eeeEalReE ββω −= −

( )[ ]zsenejEalReE tjmx βω2−=

E E z t E Ex m y z= ( ) ( ) = =2 0sen sen ;β ω

CAMPOS Y ONDAS


• La onda compuesta de campo eléctrico, onda incidente más reflejada. no se propaga en ninguna dirección, siendo denominada:– onda estacionaria.

( ) ( )2 sen senx mE E z tβ ω=

Envolvente E zm= ( )2 sen β

0 100 200 300 400 500 600-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Construcción de la onda reflejada

Incidente

Reflejada

- Incidente (cambiada de signo)

( ) ( )cos cosx m mE E t z E t zω β ω β= − − +

CAMPOS Y ONDAS


0 100 200 300 400 500 600-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 100 200 300 400 500 600-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 100 200 300 400 500 600-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 100 200 300 400 500 600-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 100 200 300 400 500 600-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t=0 t=T/8 t=T/4

t=3T/8 t=T/2 ENVOLVENTE

0 100 200 300 400 500 600-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

λ/4=75 m, f0=1MHz

CAMPOS Y ONDAS


– Vientres (máximos) y Nodos (mínimos), en ubicaciones espaciales fijas, distantes entre sí λ/4.

– Vientres a múltiplos impares de λ /4 desde la superficie conductora perfecta

– Nodos a múltiplos de λ/ 2, desde la superficie conductora perfecta.

– En cada punto del espacio, la variación temporal de la onda estacionaria de campo eléctrico es senoidal, alcanzando el valor máximo correspondiente al punto en cuestión.

– En todos los puntos espaciales dentro de un ojo, los fasores de campo eléctrico están en fase temporal entre sí, y en contrafase con respecto a aquellos pertenecientes a ojos adyacentes.

CAMPOS Y ONDAS

Reflexión del Campo magnético

• El campo magnético se refleje sin inversión de fase. Esto ocurre necesariamente pues de no ser así, no habría inversión del sentido de propagación de la onda electromagnética reflejada.

• La corriente superficial duplica el campo H, (Hi=Hr) y anula E (Ei=-Er)

• Ondas incidentes de Ei/Hi=Zi• Er/Hr=-Zi cambia el sentido de propagación

EiEr

isHiHr

OIOR

CAMPOS Y ONDAS

• Los nodos de la onda estacionaria de campo magnético coinciden con los vientres de la onda de campo eléctrico, y viceversa.

• El fasor campo magnético está en cuadratura temporal con el fasor campo eléctrico, dando por consiguiente una potencia transportada nula,

H Ez t z E

z t zym

i

m

i= −( ) + +( )cos cosω β ω β

( ) ( )2 cos cos 0my x z

i

EH z t H Hz

β ω= = =

Envolvente Ez zm

i= ( )2 cos β

CAMPOS Y ONDAS

t=T/2

(Incidente y Reflejada)(Incidente y Reflejada)

1

t = 0

t=0

λ

t=3T/8

t=T/4

Onda de Campo Magnético Onda de Campo Eléctrico

37

t=0 y T/2

t=T/4

t=T/8 y 3T/8

t=3T/8

t=T/4

5 λ32

λ

t=T/2

λ

t=T/8

21222

λλ λ5

Onda Estacionaria

t=T/8

λλ2

λ 2λ 9 3 λ 1λ44 24

λ3 λ4

CAMPOS Y ONDAS

0 50 100 150-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

CAMPOS Y ONDAS

Reflexion sobre superficie dieléctrica perfecta.

• Si una onda plana, propagándose en un medio dieléctrico ideal o perfecto, incide normalmente sobre una superficie límite de separación con un medio dieléctrico perfecto, se generarán una – Onda reflejada que vuelve al medio original, – Onda Transmitida que ingresa y se propaga en el nuevo medio

dieléc-trico, estableciendose un nuevo balance energético.

La onda total en el vacío será la suma de las ondas incidente y reflejada, y tendrá la siguiente expresión genérica:

( ) ( )ztjm

ztjmvacíox eEeEE 21

21βωβω +− +=

Mientras que la onda de campo eléctrico en el dieléctrico será:

( )ztjmodieléctricx eEE 3

3βω −=

CAMPOS Y ONDAS

• La componente tangencial de campo eléctrico debe ser continua en z=0,

E E Em m m1 2 3+ =

Por otra parte, el campo magnético en el vacío tiene la siguiente expresión:

( ) ( )ztjm

ztjmvacíoy eHeHH 21

21βωβω +− +=

( )ztjmodieléctricy eHH 3

3βω −=

( )ztjmodieléctricx eEE 3

3βω −=

Por otra parte, y dada la no existencia de una densidad de corriente de conducción superficial finita, la componente tangencial de campo magnético es continua a ambos lados de la superficie límite, o sea que:

H H Hm m m1 2 3+ =

CAMPOS Y ONDAS

COEFICIENTE DE REFLEXIÓN Y TRANSMISIÓN

E Z Hm i m1 1 1=

E Z Hm i m2 1 2= −

E Z Hm i m3 3 3=

EZ ZZ Z E Em

i i

i im RE m2

3 1

3 11 1=

−+

= ρ

HZ ZZ Z H Hm

i i

i im RH m2

3 1

3 11 1= −

−+

= ρ,

,

H H Hm m m1 2 3+ =

E E Em m m1 2 3+ =

EZ

Z Z E Emi

i im TE m3

3

3 11 1

2=

+= ρ

HZ

Z Z H Hmi

i im TH m3

1

3 11 1

2=

+= ρ

•Ambos coeficientes, reflexión y transmisión, son en general un número complejo, siendo en este caso particular de la reflexión dieléctrico perfecto-dieléctrico perfecto un número real.

•Los coeficientes de reflexión de los campos eléctrico y magnético difieren entre sí por su signo•El módulo de estos coeficiente varía entre 0 y 1.

CAMPOS Y ONDAS

COEFICIENTE DE REFLEXIÓN Y TRANSMISIÓN

• La onda total (incidente más reflejada) puede ser descompuesta en la suma de una onda estacionaria más otra progresiva (propagándose en el mismo sentido que la incidente).

• Si el coeficiente de reflexión tiende a la unidad (reflexión total), la onda total (incidente más reflejada) tiende a una onda estacionaria pura.

• Si el coeficiente de reflexión tiende a cero (transmisión total), la onda total (incidente más reflejada) tiende a una onda progresiva pura (no hay discontinuidad entre los medios).

• Cuantificar el contenido estacionario de una onda. Este factor se denomina relación de onda estacionaria (ROE), siendo este coeficiente igual a la relación entre las intensidades de campo (eléctrico o magnético) en los vientres y nodos. O sea:

1 2

1 2

11

m m RE

REm m

E EVientreROE

Nodo E Eσσ

+ += = =

−−

CAMPOS Y ONDAS

Onda estacionaria

0 50 100 150-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

m

wt=0; wt=π/8; ; wt=π/4

ROE VientreNodo

E EE E

m m

m m

RE

RE= =

+

−=

+−

1 2

1 2

11

σσ

ROE es un número real, varía entre :

1, cuando el coeficiente de reflexión es nulo (medios completamente adaptados)

Infinito, cuando el coeficiente de reflexión es unitario (medios completamente desadaptados).

0 100 200 300 400 500 600-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

CAMPOS Y ONDAS

0 100 200 300 400 500 600-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 100 200 300 400 500 600-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

.cos( ) cos( )2

EoEy Eo t x t xω β ω β= − + +cos( ) cos( )2

EoEy Eo t x t xω β ω β= − − +

3 1

3 1

0.5i i

i i

Z ZZ Z

−= −

+

3 1

3 1

0.5i i

i i

Z ZZ Z

−=

+

11

1iZ µ

ε= 3

33

iZ µε

=cos( ) cos( ) cos( )2 2 2

Eo Eo EoEy t x t x t xω β ω β ω β⎡ ⎤= − + − − +⎢ ⎥⎣ ⎦estacionariaprogresiva

Onda estacionaria

CAMPOS Y ONDAS

Onda estacionaria

cos( ) cos( )Ey Ei t x Er t xω β ω β= − − +

cos( )cos( ) . ( ) ( ) cos( ) cos( ) . ( ) ( )Ey Ei t x Ei sen t sen x Er t x Er sen t sen xω β ω β ω β ω β= + − +

( ) cos( ) cos( ) ( ). ( ) ( )Ey Ei Er x t Ei Er sen x sen tβ ω β ω= − + +

cos( ) ( )Ey A t Bsen tω ω= +

[ ] [ ]2 22 2 ( ) cos( ) ( ) ( )A B Ei Er x Ei Er sen xβ β+ = − + +

2 2 .cos( )Ey A B tω γ= + −

( ) BtagA

γ =

Envolvente

CAMPOS Y ONDAS

Onda estacionaria

4λ1

2λ1

4λ

414

λλ

t=3T/8

(Incidente y Reflejada)

t = 0

11 λ

t=T/2

54

λλ 3

Onda de Campo Magnético

t=T/4

t=T/8

Estacionaria

(Transmitida)

74

3

Progresiva

λ4

Envolventes

94

Progresiva

12

λ

(Transmitida)(Incidente y Reflejada)

λ2

Onda de Campo Eléctrico

Estacionaria

5

Progresiva

λ λ2 λ 32

3 λ

Progresiva

14

λ 12

λ 34

λ

CAMPOS Y ONDAS

REFLEXIÓN SOBRE SUPERFICIE DIELÉCTRICA REAL O CONDUCTOR REAL.

• Medio con conductividad real o equivalente por efecto de la histéresis dieléctrica, puede existir una densidad de corriente de conduccción apreciable

• Análisis de este = reflexión sobre una superficie dieléctrica perfecta, a condición de: – Reemplazar la constante de fase por la constante de

propagación, es ahora un número complejo α+jβ

– La impedancia intrínseca del medio es ahora compleja (en lugar de real).

– Las ondas reflejadas de campo eléctrico o magnético no estarán necesariamente en fase o contrafase con las incidentes,

– No estarán necesariamente en fase entre sí las ondas incidentes de ambos campos, o las reflejadas.

jZij

ωµσ ωε

=+

ondas planas en medios reales reflexión y transmisión • ambas incidente y reflejada, son ondas...

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