Movimiento ondulatorio

Segundo parcial

UNIVERSIDAD DEL NORTE DIVISIÓN DE INGENIERÍAS

DPTO. DE FÍSICA

Andrés Cristancho M. Luis Yepes.

Hans Van Strahlen.

RESOLUCION DE PROBLEMAS

PROBLEMA 1 .

Ondas bidimensionales. Una cuerda está estirada en el eje .Se desplaza en las direcciones

y de modo que el desplazamiento trasversal esta dado por

a) Dibuje una gráfica de z contra y para una partícula de la cuerda que está en x=0. La gráfica

mostrará la trayectoria de la partícula vista por un observador que está en el eje y mira

hacia . Indique la posición de la partícula en . b) Obtenga el

vector de velocidad de una partícula que está en una posición arbitraria en la cuerda.

Demuestre que ese vector representa la velocidad tangencial de una partícula que se mueve

en un círculo de radio A con velocidad angular , y demuestre que la rapidez de la partícula es

constante (es decir la partícula está en movimiento circular uniforme). c) Obtenga el vector de

aceleración de la partícula del inciso b). Demuestre que la aceleración siempre eta dirigida

hacia el centro del circulo y que su magnitud es a= . Explique este resultado en términos

de un movimiento circular uniforme. Suponga ahora que el desplazamiento de la cuerda esta

dado por:

Describa en que diferiría el movimiento de una partícula en x del movimiento descrito del

inciso a).

Solución

a) Cuando . y

Tabla 1. Valores de y para los tiempos dados.

0

A 0

0 -A

-A O

0 A

De acuerdo con los datos mostrados en la tabla 1. Graficamos contra

Gráfica de contra para una partícula de la cuerda que está en para unos determinados.

b) Vector velocidad está dado por la derivada de la ecuación del desplazamiento, es decir

La magnitud de la velocidad es la norma del vector velocidad, esto es

La velocidad es constante

Para saber si el vector velocidad es tangencial a la trayectoria de una partícula que se mueve

en un círculo de radio con velocidad angular . El producto punto entre el vector velocidad

y el vector desplazamiento debe ser cero. Esto es

Como el producto punto es igual a cero entonces tenemos que es tangencial a la trayectoria.

c) la aceleración es la derivada parcial de la velocidad con respecto al tiempo entonces

tenemos que:

y

y

La magnitud de la aceleración es la norma de esto es

Ahora aplicamos producto punto entre el vector posición y el vector aceleración para identificar el ángulo que hay entre ellos y determinar la dirección de la aceleración.

Como el radio es igual a la amplitud , r=A entonces

Eso quiere decir que el ángulo entre el radio y a es o 180°, esto es lo mismo que decir que la aceleración está dirigida hacia el centro del círculo

Para y El desplazamiento irá en sentido contrario al del movimiento descrito por las ecuaciones

PROBLEMA 2. Ondas de forma arbitraria. Explique por qué cualquier onda descrita por una función de la forma se mueve en la dirección con rapidez . Demuestre que

satisface la ecuación de onda, sea cual fuere la onda funcional de . Para hacerlo, escriba , donde . Luego, para derivar parcialmente , use la regla de la cadena:

Una pulsación de onda está descrita por , donde son constantes positivas. Calcule la rapidez de esta onda.

Solución

a) para toda onda descrita por la función el signo de la expresión entre y determina hacia dónde se desplaza la onda, es decir para , donde

la onda se propaga hacia la izquierda, el eje , con velocidad para , tenemos que la onda se propaga en el eje , con velocidad .

b) Demostrar que toda función de la forma satisface la ecuación

Sea ; Utilizando regla de la cadena derivamos la expresión con respecto a la

variable y tenemos

Segunda derivada de con respecto a la variable

Derivada de con respecto a la variable

Segunda derivada de con respecto a la variable

Obtenemos una ecuación característica de una onda

c) Una pulsación de onda descrita por . Es de la forma

Hacemos y

Del inciso b) obtuvimos que:

Y también:

Si dividimos las dos expresiones anteriores obtenemos que

PROBLEMA 3. Energía en un pulso triangular. Un pulso ondulatorio triangular en una cuerda tensada viaja en la dirección con rapidez . La tensión en la cuerda es y la densidad lineal de masa de la cuerda es . En , la forma del pulso está dada por

Dibuje la pulsación en . Determine la función de onda en todos los instantes . Calcule la potencia instantánea de la onda. Demuestre que la potencia es cero excepto

cuando – y que es constante en este intervalo. Determine el valor de esta potencia constante.

Solución.

Función de onda Para ,

Teniendo que :

Podemos decir que:

Sabiendo que está dada por

la potencia instantánea es cero solo cuando , donde es constante

PROBLEMA 4. Demuestre que, para una onda en una cuerda, la energía cinética por unidad de la cuerda

es

Donde μ es la masa por unidad de longitud. Calcule para una onda senoidal dada por la ecuación . También hay energía potencial elástica en la cuerda asociada al trabajo requerido para deformar y estirar la cuerda. Considere un segmento corto de la cuerda en la posición cuya longitud no estirada es .

Si despreciamos la (pequeña) curvatura del segmento, su pendiente es . Suponga que el desplazamiento de la cuerda con respecto al equilibrio es pequeño, así que tiene magnitud mucho menor que . Demuestre que la longitud estirada del segmento es aproximadamente

(Sugerencia: use la relación , válida para .) La energía potencial

almacenada en el segmento es igual al trabajo efectuado por la tensión de la cuerda (que actúa a lo largo de la cuerda) para estirar el segmento de su longitud no estirada a la longitud calculada en el inciso . Calcule el trabajo, y demuestre que la energía potencial por unidad de longitud de la cuerda es

Calcule para una onda senoidal dada por la ecuación .

Demuestre que para todo y . Grafique en

función de para ; use los mismo ejes para las tres curvas. Explique por qué y son

máximos donde es cero y viceversa. Demuestre que la potencia instantánea en la onda, dada por , es igual a la energía total por unidad de longitud multiplicada por la rapidez de onda . Explique por que este resultado es lógico.

Solución

Sabemos que la energía cinética está descrita por

En este caso la velocidad es la primera derivada de con respecto al tiempo entonces,

esto es

está definida por unidad de masa sobre unidad de longitud

Si

Entonces derivando con respecto al tiempo queda:

Reemplazando en

Si despreciamos la curvatura de la cuerda

Pero

Luego por Pitágoras. Tenemos que la longitud de la cuerda estirada es:

Dado que la fuerza es constante

Luego

Dado que :

Reemplazando obtenemos que

Para

Se desarrolla

Dado que por consiguiente:

Pero tenemos que entonces

Multiplicamos en ambos lados por

Teniendo que

Lo cual tenemos que sería entonces:

PROBLEMA 5

Potencia instantánea en una onda estacionaria. La rapidez instantánea con que una onda

transmite energía por una cuerda (potencia instantánea) es

Donde F es la tensión. a) evalúe para una onda estacionaria de la forma dada por

. b) Demuestre que para todos los valores de la potencia

media transportada por la onda estacionaria es cero. c) Para una onda estacionaria dada

por la ecuación dibuje una gráfica que muestre y el

desplazamiento Y(x,t) en función de x para, . (Una

positiva implica que la energía fluye en la dirección ; un valor ne3gativo de implica

que la energía fluye en la dirección – ). d) la Energía cinética por unidad de longitud de la

cuerda es máxima donde la cuerda tiene la rapidez transversal más alta, la energía potencial

por unidad de longitud de la cuerda es máxima donde la cuerda tiene la pendiente más

empinada (porque ahí es donde la cuerda está más empinada). Usando estas ideas analice el

flujo de energía a lo largo de la cuerda.

Solución.

Si

Derivamos con respecto a

Ahora con respecto a

Luego

Dado que los valores máximos y mínimos de la potencia son

El valor de la amplitud de la onda de presión está dada por y el valor de

va desde hasta , entonces para poder graficar la onda se reemplazan los valores

dados para y para en la ecuación

Y para la onda de desplazamiento la amplitud está dada por la cual encontramos

remplazando los valores dados para el tiempo y el desplazamiento en la ecuación

En las graficas se ven para cada instante de tiempo la onda de presión y la de

desplazamiento:

------- Onda de presión

_____ Onda de desplazamiento

Para

Para

Para