ONDE ELETTROMAGNETICHE

•Le onde;•Dalle equazioni di Maxwell all’equazione delle onde per il campo e.m.;•La propagazione del campo e.m.;•Onde e.m. piane•Polarizzazione delle onde e.m.;•Onde e.m. sferiche;•Flusso di energia (vettore di Poynting).

Le onde e la loro equazione

Se prendiamo una funzione y=f(x) e ne consideriamo la sua traslazione verso ladirezione positiva dell’asse x di una quantità aotteniamo la funzione y=f(x-a) .

Se a=vt, dove v è la velocità e t è il tempo

la funzione y=f(x-vt) rappresenta la curva yche si muove verso destra con una velocitàv detta velocità di fase.

Analogamente y=f(x+vt) rappresenta la curva yche si muove verso sinistra con una velocità v.

Quindi l’espressione matematica

)(),( vtxftxy

è in grado di descrivere uno stato fisico che sipropaga senza deformazione lungo l’asse x,

questo tipo di propagazione viene detta onda.

L’equazione differenziale che descrive il motodi un’onda che si propaga in direzione x a velocità v è

2

22

2

2

x

yv

t

y

La soluzione generale è del tipo:

)()(),( 21 vtxfvtxftxy

DALLE EQUAZIONI DI MAXWELLALLE EQUAZIONI DELLE ONDE

Prendiamo una zona di spazio in cui c’è uncampo elettrico con linee di forza giacenti sulpiano XY e un campo magnetico con linee diforza giacenti sul piano XZ (cioè i due campisono perpendicolari, situazione che ha unanotevole generalità se ci ricordiamo le leggidi Maxwell che legano E a B e viceversa).

Prendiamo il rettangolo di vertici RSPQ nelpiano XY e applichiamo la legge di Faraday-Henry con percorrenza in senso antiorario:

EdydyEldE

dxdyBSdB

RSPQL

RSPQS

B

'

dx

dE

dt

dB

dEdydyEEBdxdydt

d

'

L

B ldEdt

d

Da cui otteniamo:

Prendiamo adesso il rettangolo di vertici RSPQ nel piano XZ e applichiamo la legge di Ampere-Maxwell con percorrenza in senso antiorario:(senza correnti) E

L dt

dldB 00

dzBBdzldB

dxdzESdE

RSPQL

RSPQS

E

'

dx

dB

dt

dE

dBdzdzBBEdxdzdt

d

'

00

00

Vediamo di utilizzare i due risultati ottenuti dalle leggi di Faraday-Henry e Ampere-Maxwell:

dx

dB

dt

dE 00

dx

dE

dt

dB

Derivando la prima rispetto al tempo e la secondarispetto la coordinata x, sostituendo otteniamo:

2

2

002

2

dt

Bd

dx

Bd

Derivando la prima rispetto a x e la seconda rispettoal tempo, sostituendo otteniamo:

2

2

002

2

dt

Ed

dx

Ed

Cioè sia campo magnetico che campo elettricosoddisfano all’equazione delle onde

2

22

2

2

x

yv

t

y

Ricordando che la costante che appare nelleequazioni è il quadrato dell’inverso della velocità di propagazione dell’onda

200

1

c

Otteniamo che la velocità di propagazionedelle onde e.m. nel vuoto è una costante chevale:

smc /1031 8

00

Una soluzione valida per i campi E e B che si propagano nel vuoto con direzionelungo l’asse x diventa:

)(),(

)(),(

ctxBtxB

ctxEtxE

In conclusione abbiamo trovato che:

• il campo elettromagnetico soddisfa all’equazionedelle onde;• il campo E e il campo B sono perpendicolaril’uno all’altro;• la velocità di propagazione dell’onda e.m. nelvuoto vale ed è una costante.

Inoltre, la direzione di propagazione è data dal prodotto vettoriale BE

00

1

c

N.B. un fronte d’onda è una superficie sulla quale, ad un certo istante di tempo, campi elettrici e magnetici risultano costanti

Onde elettromagnetiche pianeUn caso particolare per la soluzione E e B per l’equazione delle onde e.m. è dato dalle funzioniarmoniche. Prendiamo come al solito la direzionedi propagazione parallela all’asse X, il campo E parallelo a Y, quello B parallelo a Z.

ctxksinBctxBtxB

ctxksinEctxEtxE

0

0

)(),(

)(),(

Dove:T

kck

2

2 ; 2

lunghezza d’onda (parametro di periodicità spaziale)K=2 vettore d’ondaT periodo di oscillazione (par. di periodicità temporale) frequenza oscillazione

Tkc

dx

dE

dt

dB

)(),(

)(),(

ctxBtxB

ctxEtxE

dx

dB

dt

dE 00

Inserendo le soluzioni ammesse per i campiE e B nelle equazioni ottenute dalle leggi diFaraday-Henry e Ampere-Maxwell:

Si ottiene una relazione generale tra i modulidei campi:

),(),( tPcBtPE

Da questa relazione vediamo che i campi E e B sono in fase, cioè raggiungono gli zeri e i valori massimi allo stesso istante.

ctxksinBctxBtxB

ctxksinEctxEtxE

0

0

)(),(

)(),(

Rappresentando E e B come funzioni armoniche

Il caso appena riportato corrisponde ad una onda elettromagnetica piana detta polarizzata linearmente. Polarizzazione lineare di un onda e.m. vuol dire che i vettori campo E e B vibrano sempre sullo stesso piano.

Possiamo immaginarci il caso in cui i vettori E e B ruotano intorno alla direzione di propagazione.In questo caso l’onda si dice polarizzata circolarmente.

Piano di polarizzazione

In conclusione:

•Le soluzioni delle equazioni di Maxwell deltipo onde piane armoniche sono completamentegenerali. Questo è una conseguenza della serie odell’integrale di Fourier (qualsiasi altra soluzione la posso sviluppare in serie).

•I vettori campo E e B in genere possono variarela loro orientazione, fermo restando che fissatala direzione di uno dei vettori resta fissata quelladell’altro e la direzione di propagazione(onde trasversali con E e B ortogonali).

•Componendo vettori E e B in casi particolari oper particolari tipi di propagazioni nasconole onde e.m. polarizzate.

Spettro delle onde elettromagnetiche

Se consideriamo le onde e.m. sinusoidale pianedi forma tkxsinAA 0

abbiamo un’onda monocromatica con A=E o B ex la direzione di propagazione.

Tali tipi di onde possono coprire un grande campodi frequenze

c

2

Onde elettromagnetiche sferiche

Le equazioni di Maxwell (sotto forma delleequazioni delle onde) ammettono soluzionianche del tipo onde sferiche e onde cilindriche.

Ad esempio per le onde sferiche il campoE e B è tangente alla superficie di una sferae la direzione di propagazione è quella radiale.

Il vettore di Poynting

Come tutte le onde, anche quelle e.m. trasportanoenergia propagandosi.

Tale energia può essere visualizzata come un flussodi energia per unità di tempo e di superficie.

Si descrive il modulo e la direzione del flusso di energia, trasportata dal campo E e B che sipropaga, attraverso un vettore detto vettore di Poynting, e definito come:

BES

0

1

In conclusione il vettore di Poynting definisce:

•come direzione e verso la direzione e verso delflusso di energia;•come modulo l’energia per unità di tempo esuperficie attraverso una area posta ortogonalealla direzione di propagazione.

Vediamo una rapida giustificazione alla forma algebrica del vettore di Poynting.

Il campo e.m. nel vuoto immagazzina energia nello spazio con una densità (energia per unità di volume) w

0

22

0 2

1

2

1

BEw

Tra i moduli dei campi E e B c’è la relazione:

cBE

La velocità di propagazione del campo e.m. è

00

1

c

La direzione di propagazione del campo, e quindi quella del flusso di energia, è: BE

Combinando il tutto, la densità di energiadel campo e.m. diventa:

0

2

2

0

2

0

22

0 2

1

2

1

c

EBBcBw

Tale energia si propaga con il campo e.m. a velocità c in direzione perpendicolare a E e B,quindi:

200

2

m

WEB

c

Ewc

Vettorialmente:

0BE

S

00

2 1

c