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Onde piane locali Onde piane locali Il campo è descrivibile in termini di onde piane TEM locali quando le sue componenti e i parametri costitutivi del mezzo variano “abbastanza lentamentein funzione delle coordinate spaziali nel senso che subiscono lentamente in funzione delle coordinate spaziali, nel senso che subiscono variazioni trascurabili su lunghezze dell’ordine di λ. Si ha: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ( * ) j Sr j Sr E r E r e H r H r e β β ω ω = = G G G G G G G G G G ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 , , () E r E r e H r H r e ω ω = = Funzione Iconale ( ) Sr G L (*) t d l i i d ll i i di M ll h Le (*) rappresentano dunque soluzioni delle equazioni di Maxwell che godono (localmente) delle stesse proprietà delle onde piane TEM uniformi. Si parla pertanto di Onde Piane TEM Locali .L’espressione del vettore di Poynting è f identica a quella valida per onde piane uniformi: 2 0 * ˆ ˆ con 2 2 E E H S s s S × = = = G G G G S L’Energia si propaga lungo i raggi ottici 2 2 S η Come per le onde piane, anche per le onde piane locali si ha che la densità di potenza (modulo del vettore di Poynting) vale: ( ) ( ) 2 0 1 2 Ir E r η = G G Intensità del raggio

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Page 1: Onde piane locali - Consorzio Elettra 2000 - Home Propagazione e... · Onde piane locali Il campo è descrivibile in termini di onde piane TEM locali quando le sue componenti e i

Onde piane localiOnde piane localiIl campo è descrivibile in termini di onde piane TEM locali quando le suecomponenti e i parametri costitutivi del mezzo variano “abbastanzalentamente” in funzione delle coordinate spaziali nel senso che subisconolentamente in funzione delle coordinate spaziali, nel senso che subisconovariazioni trascurabili su lunghezze dell’ordine di λ. Si ha:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 (*)j S r j S rE r E r e H r H r eβ βω ω− −= ⋅ = ⋅( ) ( ) ( ) ( )0 0, , ( )E r E r e H r H r eω ω= ⋅ = ⋅

Funzione Iconale( )S rL (*) t d l i i d ll i i di M ll hLe (*) rappresentano dunque soluzioni delle equazioni di Maxwell chegodono (localmente) delle stesse proprietà delle onde piane TEM uniformi. Siparla pertanto di Onde Piane TEM Locali. L’espressione del vettore di Poynting è

fidentica a quella valida per onde piane uniformi:2

0* ˆ ˆ con 2 2

EE H Ss sS

× ∇= = =

∇S ⇒ L’Energia si propaga lungo i raggi ottici

2 2 Sη ∇Come per le onde piane, anche per le onde piane locali si ha che la densitàdi potenza (modulo del vettore di Poynting) vale:p ( y g)

( ) ( ) 2

01

2I r E r

η= Intensità del raggio

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Ottica geometrica e disomogeneità concentrateOttica geometrica e disomogeneità concentrate

-Le ipotesi su cui si basa l’ottica geometrica cadono in difetto inprossimità di superfici attraverso le quali i parametri costitutivi del

i di h l d ll ti d l bimezzo, e quindi anche alcune delle componenti del campo, subiscanodiscontinuità di prima specie (disomogeneità concentrate).

-Per aggirare il problema si ricorre ancora al concetto di onda piana locale. Si ammetteche ciascun raggio incidente sulla superficie di discontinuità abbia punto per punto uncomportamento analogo a quello di un’onda piana TEM uniforme avente in tutto lo

i l d i di i i di i id h l l l t il i Si hspazio le medesime condizioni di incidenza che valgono localmente per il raggio. Si haquindi:

( ) ( ) ( )0 01 ˆ=i is r s r

i i i i i iE r E e H r H e s E r− ⋅ − ⋅= ⋅ = ⋅ ×( ) ( ) ( )0 0 i i i i i iE r E e H r H e s E rη

×

( ) ˆdove i i i is a jb j sα β= + = + is direzione di incidenza

Allora ogni raggio incidente sulla superficie di discontinuità dà luogo ad un raggioriflesso e ad un raggio trasmesso, le cui direzioni iniziali (sulla superficie didiscontinuità) sono definite dalle leggi di Snell della riflessione e della rifrazione.) gg

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Ottica geometrica e disomogeneità concentrateOttica geometrica e disomogeneità concentrateIl mezzo in cui si propaga l’onda incidente è caratterizzato dai parametrielettromagnetici μ, ε, σ. Inoltre, si possono introdurre

σ μεc jε ε

ω= +

0 0

cn μεμ ε

=La permittività complessa: L’indice di rifrazione:

L’impedenza intrinseca del mezzo:μη =L impedenza intrinseca del mezzo:

c

ηε

Nel caso di mezzo privo di perdite e con μ = μ0, si ha:

ε η μ0

rn ε εε

= = 0 00

0

con nη μη η

ε= = η0 impedenza di

spazio liberoIn questo caso, si ha: 0 ˆ 0⎧ ⎧

q ,

0 0

0 ˆ 00

ˆi i i i

i i i i

a sb n jb jn s

α ασ

β ω με β β

=⎧ = =⎧⎪ ⎪= ⇒ ⇒⎨ ⎨= = = =⎪⎩⎪⎩

( ) 0 ˆ0 0

i ijb r jn s ri i iE r E e E e β− ⋅ − ⋅⎧ = ⋅ = ⋅

⎪⎨

il campo incidente associato all’onda TEM uniforme si può riscrivere come:

( ) 0 ˆ0 0

0

ˆi ijb r jn s ri i i i i

nH r H e H e s Eβ

η− ⋅ − ⋅

⎪⎨

= ⋅ = ⋅ = ×⎪⎩

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Esempio 1: riflessione sul terrenoEsempio 1: riflessione sul terrenoI di ll t i di t li ( t li ) d iIn un radiocollegamento, in assenza di ostacoli (naturali e non) ed in

assenza di particolari fenomeni che si generano nell’atmosfera (effettocondotto, inversione termica, ecc…) si hanno due contributi principali: ilraggio diretto e quello riflesso dal terrenoraggio diretto e quello riflesso dal terreno.

1

d 2

Nel caso di un radiocollegamento siamo sempre in condizioni di campol t d ddi f tt l iù t i t d lllontano, essendo soddisfatta la più stringente delle:

d>>λ d>>D d>>2D2/ λIn queste condizioni ciascun cammino corrisponde ad un’onda piana eq p p

uniforme (in realtà un’antenna emette un’onda sferica, che si può peròsupporre localmente piana) I raggi seguono delle traiettorie rettilinee.

Supponendo che anche la superficie del suolo sia localmente piana, ilpp p p ,raggio riflesso sul terreno soddisfa la legge della riflessione speculare.

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Esempio 2: propagazione in presenza di ostacoliEsempio 2: propagazione in presenza di ostacoliIn ambienti complessi come quello urbano, l’onda elettromagneticasubisce diverse interazioni con l’ambiente reale di propagazioneprima di giungere al ricevitore I meccanismi di propagazione piùprima di giungere al ricevitore. I meccanismi di propagazione piùimportanti sono:

1) Riflessione;2) T i i (Rif i )2) Trasmissione (Rifrazione);3) Diffrazione;4) [ Diffusione (Diffuse Scattering) ]4) [ Diffusione (Diffuse Scattering) ]

V Diff iVertex DiffractionEdge

DiffractionTransmission

ReflectionScattering

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Riflessione e trasmissione (caso ideale)Riflessione e trasmissione (caso ideale)Si consideri un’onda (localmente) piana uniforme che incide sullasuperficie di separazione fra 2 mezzi omogenei. Si supponga di che talesuperficie sia approssimabile come un piano illimitatosuperficie sia approssimabile come un piano illimitato.

Nei casi pratici in cui la superficie di separazione non sia assimilabile ad un pianosi tratterà di considerare di volta in volta una porzione abbastanza piccola dellasuperficie da poter essere considerata piana (principio del campo locale)superficie da poter essere considerata piana (principio del campo locale).

Si vogliono determinare i coefficienti di riflessione e trasmissione nelcaso in cui i 2 mezzi siano caratterizzati da proprietà elettromagnetichegeneriche.

Si impone la continuità delle componenti tangenti dei campi (elettrico emagnetico) incidente, riflesso e trasmesso sulla superficie di separazione,g ) , p p ,supponendo che su questa non vi siano correnti superficiali né impresse néindotte (o siano talmente piccole da poter essere trascurate).[ Si i di h l 1 i il i id t il ifl t l[ Si ricordi che nel mezzo 1 vi sono il campo incidente e il campo riflesso, mentre nelmezzo 2 vi è solo campo trasmesso ]

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Riflessione/TrasmissioneRiflessione/Trasmissione

: i angolo di incidenzal di ifl i

θθ

X

rsis

θθMezzo 1 : :

ˆ :

r

t

s versore onda incident

angolo di riflessi

e

oneangolo di trasmissione

θθ

(μ0 , ε1) rθiθMezzo 1

: ˆ : ˆ :

i

t

s versore onda incidentes versore onda trasmessas versore onda riflessas

(μ0 , ε2)tθ

Mezzo 2

: rs versore onda riflessa

Ipotesi:

ts

- Mezzi 1 e 2 omogenei [e privi di perdite] - Interfaccia di separazione piana e infinitamente estesa

Onda incidente piana TEM uniforme (nel mezzo 1):- Onda incidente piana TEM uniforme (nel mezzo 1):

1 0 ˆ 10

1 ˆ ˆ ; ijn s ri i i i i i i

nE E e H s E s Eβ− ⋅= ⋅ = × = ×01 0

;i i i i i i iη η

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Nel mezzo 2, si generano due onde piane (riflessa e rifratta)

s E× s E×0

1

, rs r r rr r r

s EE E e Hjωμ

− ⋅ ×= ⋅ = 0

2

, ts r t tt t t

s EE E e Hjωμ

− ⋅ ×= ⋅ =

S d h h l d ifl if tt i i TEM if iSupponendo che anche le onde riflessa e rifratta siano piane TEM uniformi, avremo:

1 0 ˆ 1 ˆrjn s rE E e H s Eβ− ⋅= = × 2 0 ˆ 1 ˆtjn s rE E e H s Eβ− ⋅= ⋅ = ×

A questo punto, imponiamo la continuità delle componenti tangenti (τ) del

1 00 r , r

r r r rE E e H s Eη

= ⋅ = × 0 t , t t t tE E e H s Eη

= ⋅ = ×

q p p p g ( )campo elettrico e magnetico totale attraverso la superficie di discontinuità.A tal fine, è comodo adottare un sistema di riferimento ortogonale Oxyzcon l’asse x ortogonale all’interfaccia di separazione fra i 2 mezzi (figura).con l asse x ortogonale all interfaccia di separazione fra i 2 mezzi (figura).Si ha:

t i rE E Eτ τ τ= +

( ) ( ) ( )2 0 1 0 1 0 (1)ty tz iy iz ry rzjn s y s z jn s y s z jn s y s zE e E e E e y zβ β βτ τ τ− + − + − += + ∀( ) ( ) ( )0 0 0 , (1)t i rE e E e E e y z⋅ = ⋅ + ⋅ ∀

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Una espressione analoga vale per il campo magnetico se si trascurano lecorrenti superficiali:correnti superficiali:

t i rH H Hτ τ τ≅ +

( ) ( ) ( )j j jβ β β

[ In generale, sarebbe ]ˆ i r t S nH H H J iτ τ τ+ − = ×

( ) ( ) ( )2 0 1 0 1 0

0 0 0 ,ty tz iy iz ry rzjn s y s z jn s y s z jn s y s zt i rH e H e H e y zβ β βτ τ τ− + − + − +⋅ ≅ ⋅ + ⋅ ∀

[ Nota: a rigore, la teoria che si svilupperà nel seguito sarebbe valida solo permezzi puramente dielettrici. Tuttavia, la si può estendere anche a mezzi“debolmente conduttori” (supponendo che le correnti superficiali siano abbastanzapiccole da poter essere trascurate), e in tal caso si può tener conto delle perdite

i i tt l itti ità l l’i di di if i l ]nei mezzi attraverso la permittività complessa o l’indice di rifrazione complesso. ]

1) Leggi della riflessione e della rifrazioneAffinché l’espressione (1) sia soddisfatta per ogni y,z deve essere:

1 1 2 (2)n s n s n s= =1 1 2

1 1 2

(2)

(3)iy ry ty

iz rz tz

n s n s n s

n s n s n s= =

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Dividendo membro a membro si ottiene:

(4)iz tzrzs ss k ˆ ˆ ˆ l i t ti l i di (4)iz tzrz

iy ry ty

ks s s

= = = ˆ ˆ ˆ , ,i r ts s s⇒ complanari e appartenenti al piano di equazione (passante per x e alla superficie di separazione)

z ky= ⊥

piano di incidenza

A questo punto, è conveniente adottare un riferimento cartesiano ortogonale taleq p , gche il piano di incidenza coincida con il piano xz (figura). Scomponendo i 3 versoridi propagazione delle onde incidente, riflessa e trasmessa rispetto agli assi x e zdi tale riferimento, si ottiene:

Allora: ˆ ˆˆ cos sini i is i iθ θ⎧ = − ⋅ + ⋅⎪

X

rsis

θθMezzo 1cos sinˆ ˆˆ cos sin

ˆ ˆˆ cos sin

i i x i z

r r x r z

s i i

s i i

s i i

θ θ

θ θ

θ θ

⎧ +⎪⎪ = ⋅ + ⋅⎨⎪ = − ⋅ + ⋅⎪⎩

Z

(μ0 , ε1) rθiθMezzo 1

Mezzo 2cos sint t x t zs i iθ θ= +⎪⎩

ts(μ0 , ε2)

Mezzo 2

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Sostituendo le espressioni dei versori nella (3) si ottiene:sin sin (5)LEGGE DELLA RIFLESSIONEn nθ θ θ θ= ⇒ =1 1sin s in (5)i r i r LEGGE DELLA RIFLESSIONEn nθ θ θ θ= ⇒ =

1 2sin sin (6 ) i t LEGGE DI SNn ELLnθ θ=

Supponiamo che n1,n2 ∈ℜ (mezzi privi di perdite) e n1>n2, dalla legge diSnell della rifrazione si ha: θi < θt. Se si aumenta θi si arriva ad un angolo ditrasmissione θt = π/2 per cui si ha riflessione totale (θi = θc angolo critico).t p ( i c g )

21 2

1

sin arcsinC Cnn nn

θ θ⎛ ⎞

= ⇒ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

1sinsin1cos1sin 22 −±=−=⇒> tttt j θθθθ

Dalla (6), aumentando θi fino a superare θc, si avrebbe:

In realtà, anche se per angoli di incidenza maggiori di θc l’onda trasmessa si propagalungo l’asse z, nel mezzo 2 c’è comunque campo. Infatti:

( )( )2 02 0 cos sinˆ0 0 = t tt jn x zjn s r

t t tE E e E e β θ θβ − − +− ⋅= ⋅ ⋅e infine:

2iβ θ22 0 2 0sin 1 sin

0 t tn x jn zt tE E e eβ θ β θ− − −= ⋅ ⋅

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Quindi:Quindi, quando si verifica la riflessione totale, nel mezzo 2 si ha un’ondatrasmessa che si propaga (con andamento sinusoidale) lungo la superficiedi separazione (asse z), mentre essa si attenua in modo esponenziale nelladirezione normale alla superficie stessa (asse x).Tale onda è detta onda evanescente.

2) Calcolo dei coefficienti di riflessione e di trasmissioneOltre alla (2) e alla (3) bisogna imporre:

x

rsrξiξ

0 0 0

0 0 0

(7)i r t

i

E E EH H H

τ τ τ

τ τ τ

⎧ + =⎪⎨

+ =⎪⎩

θΙ θRyi yir

is

0 0 0i r tH H H+⎪⎩

Per risolvere questo sistema scomponiamo i campi

zθΤ

itξ

rispetto ai riferimenti locali rappresentati in figura:

( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆi s i s i s terne ortogonali destrorseξ ξ ξ

yits

( ) ( ) ( ), , , , , , , , i y i r y r t y ti s i s i s terne ortogonali destrorseξ ξ ξ

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Allora:ˆ ˆE E E iξ⎧ = +

Per un’onda piana incidente con polarizzazione generica, si avrà:

0 0 0

0 0 0ˆ ˆ (8)ˆ ˆ

i i i i y y

r r r r y y

E E E i

E E E i

E E E i

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

⎧ = +⎪⎪

= +⎨⎪

+⎪⎩

x

srξiξ0 0 0

0 ˆ :

t t t t y yE E E i

e ricordando H s En

ξξ

η

= +⎪⎩

= ×θΙ θRyi yi

rsis

10 0 0

0

ˆˆi i y i y i

nnH E i Eξ ξη

⎧ ⎡ ⎤= −⎪ ⎣ ⎦⎪

zθΤ

ˆtξ0 (9)

...

...

η⎪⎨⎪⎪⎩

yits

Esplicitando in funzione di x e z si ha:tri ξξξ ˆ,ˆ,ˆ

ˆ ˆ ˆsin cosi i ii iξ θ θ⎧ = +⎪

sin cosˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (10)sin cos sin cosˆ ˆ ˆsin cos

i i x i z

r r x r z i x i z

i i

i i i i

i i

ξ θ θ

ξ θ θ θ θ

ξ θ θ

+⎪⎪

= − = −⎨⎪

= +⎪⎩ sin cost t x t zi iξ θ θ= +⎪⎩

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I campi e si possono sempre scomporre nelle due componenti lungo ,descrivendo due soluzioni indipendenti tra loro e mutuamente esclusive ma

E yie ˆξHdescrivendo due soluzioni indipendenti tra loro e mutuamente esclusive, masufficienti, una volta composte, a rappresentare un campo qualsiasi!Si tratta, in pratica, di una scomposizione del campo in 2 polarizzazioni (lineari)ortogonali.ortogonali.

Per si parla di Polarizzazione perpendicolare (TE)yiE ˆ//ˆ ˆ⎡ ⎤

( )ˆe quindi / /H ξ⎡ ⎤−⎣ ⎦ [ rispetto al pianoPer si parla di Polarizzazione parallela (TM)ξ//E ˆe / / yH i⎡ ⎤⎣ ⎦

[ TE e TM stanno per “Trasversale Elettrica e “Trasversale Magnetica”, rispettivamente]

di incidenza ]

0 ˆ ˆijn s rTEE E e iβ− ⋅⎧ = ⋅ ⋅

Nel caso TE e nel caso TM, rispettivamente, il campo incidente viene espresso dalle:

0

0

ˆ1 10 0

0 0

ˆ ˆˆ i

i y y

jn s rTE TEi i y i i i

E E e i

n nH s E E e Hβξξ ξ

η η− ⋅

⎧ =⎪⎨

= − × = − ⋅ ⋅ =⎪⎩

Polarizzazione TE:

0 0η η⎩

Polarizzazione TM:

0 ˆ0

ˆijn s rTMi y yH H e iβ− ⋅⎧ = ⋅ ⋅

⎪⎨Polarizzazione TM:

0 ˆ0 00 0

1 1

ˆ ˆˆ ijn s rTM TEi i y i i iE H s H e E

n nβ

ξη η ξ ξ− ⋅⎨

= × = ⋅ ⋅ =⎪⎩

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D’altra parte, le componenti dei campi tangenti alla superficie di interfaccia sonorispettivamente, nel caso di polarizzazione TE e TM:p p

( ) ˆ ˆ ˆTE TE TEx x y yE i E i E i

τ⎧ = × × = ⋅⎪⎨

( ) ˆ ˆ ˆTM TM TMx x z zE i E i E i

τ⎧ = × × = ⋅⎪⎨

( ) ˆ ˆ ˆTE TE TEx x z zH i H i H i

τ⎨⎪ = × × = ⋅⎩ ( ) ˆ ˆ ˆTM TM TM

x x y yH i H i H iτ⎨

⎪ = × × = ⋅⎩

I d l’ li d ll ti t i li d i i l tt i iImponendo l’uguaglianza delle componenti tangenziali dei campi elettrici emagnetici che si propagano nei 2 mezzi e sfruttando le (10), si ottienequindi:

0 0 0i y r y t yE E E⎧ + =⎨

0 0 0i y r y t yE E E⎧ + =⎪⎨

1) Polarizzazione TE:

0 0 0

0 0 0

i y r y t y

i z r z t zH H H⎨+ =⎩

1 1 20 0 0

0 0 0

cos cos cosi y i r y i t y tn n nE E Eθ θ θη η η

⎨− + = −⎪⎩

0 0 0

0 0 0cos cos cos

i y r y t yH H H

H H Hη η ηθ θ θ

⎧ + =⎪⎨

=⎪

2) Polarizzazione TM:

0 0 0i y r y t yH H H⎧ + =⎪⎨

0 0 01 1 2

cos cos cosi y i r y i t y tH H Hn n n

θ θ θ− =⎪⎩0 0 0i z r z t zE E E

⎨+ =⎪⎩

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1) POLARIZZAZIONE TE:

( ) ( ) ( )1 0 1 0 2 0cos cos cosi y i r y r t y tn E n E n Eθ θ θ− + = −

Sostituendo allora la prima eq del sistema nella secondaSostituendo allora la prima eq. del sistema nella seconda…

( )( ) ( )

1 0 1 0 2 0 0cos cos cosi y i r y r i y r y tn E n E n E Eθ θ θ− + = − + ⇒

( ) ( )0 1 2 0 1 2cos cos cos cosi y i t r y i tE n n E n nθ θ θ θ− = +

Analogamente:

( )( ) ( )( )( )

0 1 2 0 0 1 2

0 1 0 1 2

cos cos cos cos

2 cos cos cosi y i t t y i y i t

i i t i t

E n n E E n n

E n E n n

θ θ θ θ

θ θ θ

− = − + ⇒

= +

I coefficienti di riflessione e trasmissione per la polarizzazione TE valgono quindi:

( )0 1 0 1 22 cos cos cosi y i t y i tE n E n nθ θ θ+

0 1 2

0 1 2

cos coscos cos

r y i tTE

i y i t

E n nE n n

θ θθ θ−

Γ = =+

0 1

0 1 2

2 coscos cos

t y iTE

i y i t

E nE n n

θτθ θ

= =+

1TE TEτ = + ΓSi noti che risulta: Coefficienti di Fresnel

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I coeff. di Fresnel si possono esprimere in funzione del solo angolo θi applicando lalegge di Snell…

2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 21 1 1 2

2 2 2 1

sin sin cos 1 sin sint i t i in n n nn n n n

θ θ θ θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⇒ = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

AlloraAllora…2 2

2 22 21 1cos sin cos sini i i i

n nn nn n

θ θ θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− − − −/ / ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠1 1

2 22 22 2

1 1cos sin cos sinTE

i i i i

n n

n nn nn n

θ θ θ θ

⎝ ⎠ ⎝ ⎠Γ = =⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ − + −/ / ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1TE TEτ = + Γ

1 1n n⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Utilizzando l’angolo di elevazione o di radenza iθπθ −=2

(usato spesso in radiotecnica)2

222sin cosn

nθ θ

⎛ ⎞− −⎜ ⎟

⎝ ⎠ 2sinθ1

222sin cos

TE

n

nn

θ θ

⎝ ⎠Γ =⎛ ⎞

+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

Analogamente: 222

2sin

sin cosTE

nn

θτ

θ θ

=⎛ ⎞

+ −⎜ ⎟⎝ ⎠1n⎝ ⎠ 1n⎝ ⎠

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2) POLARIZZAZIONE TM:

0 0 0

0 0 0cos cos cos

i y r y t yH H H

H H Hη η ηθ θ θ

⎧ + =⎪⎨

− =⎪ 0 0 01 1 2

cos cos cosi y i r y i t y tH H Hn n n

θ θ θ− =⎪⎩

0 0 0t y i y r yH H H= +⎧

( )0 0 0

0 0 00 0 0 0

1 1 2

cos cos cos

t y i y r y

i y i r y i t i y r yH H H Hn n nη η ηθ θ θ

⎧⎪⎨ − = +⎪⎩

Dalla seconda, riordinando …

1 1 2⎩

0 0 0 00 0

1 2 1 2

cos cos cos cosi y i t r y i tH Hn n n nη η η ηθ θ θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 10 0

2 2

cos cos cos cosi y i t r y i tn nH Hn n

θ θ θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠2 2⎝ ⎠ ⎝ ⎠

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quindi … 2 221 1 2 21 cos sincos cos i ii

n n n nn θ θθ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ −− ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

2 2 10 0 122210 0 221 1 2

2

cos cos

cos cos cos sin

i ii tr y r

TMi y i

i ti i

n n nH E nnnH E nn n nn

ξ

ξ

θ θ

θ θ θ θ

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠Γ = = = = ⋅ =

⎛ ⎞⎛ ⎞++ ⋅ − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠2

12 2 1

2 222 2cos sin

i in nn n n

n nθ θ

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

1 1

2

2 2

cos sin

cos

i in n

n n

θ θ

θ

− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠=⎛ ⎞

+⎜ ⎟

22sin θ

⎛ ⎞⎜ ⎟

0 0

0 0

1t y rTM TM

i y i

H EH E

ξ

ξ

τ = = = +Γ

1 1

cos in nθ +⎜ ⎟

⎝ ⎠sin iθ−⎜ ⎟

⎝ ⎠

2⎛ ⎞

Infine, considerando l’angolo di radenza:

2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2

1

2 2

2 sin

TM

nn

n n

θτ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

22 2

1 1

2 2

sin cos

TM

n nn n

θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠Γ =⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 22 2

1 1

sin cosn nn n

θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

22 2

1 1

sin cosn nn n

θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

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Ponendo si possono riscrivere i coefficienti di riflessione come:2 1n n n=

2 2 2cos sini in nθ θ− −2 2cos sinnθ θ− −2 2 2

cos sin

cos sini i

TM

i i

n n

n n

θ θ

θ θΓ =

+ −2 2

cos sin

cos sini i

TE

i i

n

n

θ θ

θ θΓ =

+ −

S il 1 è l’ i i lt i diSe il mezzo 1 è l’aria, risulta e quindi:2 rn n ε= =

2cos sini r iθ ε θ− −Γ =

2cos sinr i r iTM

ε θ ε θ− −Γ =

1

Γ ΤΕ

|

2cos sinTE

i r iθ ε θΓ =

+ − 2cos sinTM

r i r iε θ ε θΓ

+ −

1

Γ ΤΜ

|

0 60.70.80.9

ficie

nt |Γ εr=81

εr=25εr=16

0 60.70.80.9 εr=81

εr=25εr=16fic

ient

0.30.40.50.6

tion

coef

f εr=9

εr=4εr=2.56 0.3

0.40.50.6

εr=9

εr=4ε =2.56tio

n co

eff

0 15 30 45 60 75 9000.10.2

Ref

lect r

0 15 30 45 60 75 9000.10.2

εr 2.56

Ref

lect

Brewster’s Angle

TE PolarizationIncidence angle θi (°)

TM PolarizationIncidence angle θi (°)

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Angolo di BrewsterAngolo di Brewster• Il coefficiente di riflessione per la polarizzazione TM si annulla quando èp p q

soddisfatta la seguente condizione:

D’ l d d ifi h l (6) i è l l di S ll2 10 cos cosTM i tn nθ θΓ = ⇒ =

• D’altra parte, dovendo essere verificata anche la (6), cioè la legge di Snelldella rifrazione, si ha che:

2 cos sin (11)t in θ θ= =

• L’ultima uguaglianza è verificata se e solo se risulta:1

(11)cos sini tn θ θ

= =

π (12)2i tπθ θ+ =

cos cos =sin2t i iπθ θ θ⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠Dalla (12) si ricava immediatamente:

Angolo di Brewster (rifrazione totale)

2⎝ ⎠E infine, sostituendo l’ultima uguaglianza nella (11) si ottiene:

2tan inθ =

• Per incidenza pari all’angolo di Brewster non si ha riflessione e tutta lapotenza dell’onda incidente passa quindi dal mezzo 1 al mezzo 2 Questa

Angolo di Brewster (rifrazione totale)1

tan i nθ

potenza dell onda incidente passa quindi dal mezzo 1 al mezzo 2. Questaproprietà trova qualche applicazione quando si voglia limitare l’effetto delleriflessioni.

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RiepilogoRiepilogoImponendo le condizioni di continuità delle componenti tangenzialiall’interfaccia (Ei

τ + Erτ = Et

τ e Hiτ + Hr

τ = Htτ ) si ottengono i noti risultati:

⇒ complanari (piano di incidenza)ˆ ˆ ˆ, ,i r ts s s

⇒ Onda riflessa piana uniforme e θi = θr (legge della Riflessione)

⇒ Onda rifratta: - piana evanescente (dissociata) se 1 2 sin 1in n θ⋅ ≤⇒ Onda rifratta: piana evanescente (dissociata) se - piana uniforme se(n1sinθi = n2sinθt - legge di Snell della Rifrazione )

1 2 sin 1in n θ⋅ >1 2 sin 1in n θ ≤

⇒ Er= Γ Ei ; Et =τ Ei

(Γ ffi i t di ifl i ffi i t di t i i )(Γ : coefficiente di riflessione - τ : coefficiente di trasmissione)

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Coefficienti di riflessione: riepilogoCoefficienti di riflessione: riepilogoyE Ey y

θΙ θRH

E E

H

y

θΙ θR

E EΙ R

zx

θ

H H

x

Ι RzH

θ

H

θΤθΤ

Polarizzazione TE = campo Polarizzazione TM = campo magneticoPolarizzazione TE = campoelettrico polarizzato linearmentein direzione perpendicolare alpiano di incidenza

Polarizzazione TM = campo magneticopolarizzato linearmente in direzioneperpendicolare al piano di incidenza ⇒campo elettrico a polarizzazione linearepiano di incidenza

222cos sini i

nn

θ θ⎛ ⎞

− −⎜ ⎟⎝ ⎠

campo elettrico a polarizzazione linearenel piano di incidenza

2 222 2cos sini i

n nθ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠1

222

1

cos sinTE

i i

n

nn

θ θ

⎝ ⎠Γ =⎛ ⎞

+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1

2 222 2

1 1

cos sin

i i

TM

i i

n n

n nn n

θ θ

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠Γ =⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠1n⎝ ⎠ 1 1n n⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 TMTM Γ+=τ1 TETE Γ+=τ

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Campo Elettrico Riflesso/TrasmessoCampo Elettrico Riflesso/TrasmessoOnde incidente, riflessa e rifratta piane uniformi ⇒ i raggi seguono delle traiettorie rettilinee. Le onde riflessa e trasmessa hanno le seguenti caratteristiche:

Raggio Riflesso ⇒ Direzione di propagazione: legge della riflessionespeculare (o principio di Fermat)z ( )rE s

⇒ Rappresentazione vettoriale (informazioni su intensità, polarizzazione e fase dell’onda riflessa):

⎡ ⎤

θΙ θR

xQ

s’ s

( ) ( ) ( ) ( )( )

TETE i RTE TM -jβs

r r r TMTM i R

0 E sE s =E s +E s = e0 s +sE

QQ

⎡ ⎤Γ ′⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥ ′Γ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

QR

QR: Punto di riflessione

Raggio Rifratto (Trasmesso)⇒ Direzione di propagazione: legge di Snell

⇒ Rappresentazione vettoriale (informazioni su intensitàθ

z

⇒ Rappresentazione vettoriale (informazioni su intensità, polarizzazione e fase dell’onda trasmessa):

( ) ( ) ( ) ( )TETE i RTE TM jβτ 0 E sQ⎡ ⎤ ′⎡ ⎤

θΙ

x

θ

s’

s

QR

( ) ( ) ( ) ( )( )

TE i RTE TM -jβst t t TM

TM i R

τ 0 E sE s =E s +E s = e0 τ s +sE

QQ

⎡ ⎤⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥ ′⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

θΤ

( )tE s