RF-Formules micro-ondes - systmes 1 portConsidrons une source de tension dimpdance caractristique Z0 alimentant une boite noirecomportant un ou des composants (que nous appellerons DUT - Device Under Test).

La tension dans le DUT est compose de 2 lments, une onde directe Ei1 et une onde rfl-chie Er1 caractrises par une tension et un courant :

(1)

Notons que le DUT est connect la source par une certaine longueur de ligne de transmis-sion, dimpdance Z0 (ventuellement infiniment courte comme dans la figure ci-dessus), levoltage le long de la ligne est alors la somme de 2 ondes (V1) alors que le courant, puisque lesondes se dplacent en directions opposes est la diffrence des 2 ondes, divise par Z0. Ceciest dcrit plus en dtails la fin de ce document.

Si nous dfinissons la notation normalise suivante :

(2)

a1 et b1 deviennent la racine carre des puissances directes et rflchies. Notons ainsi que lescarrs de a1 et b1 ont une dimension de puissance. crivons une fonction s11 telle que :

(3)

relative ces deux ondes de tension, et s11 est alors :

(4)

Impdance dentre :

Limpdance dentre peut sexprimer comme un valeur rectangulaire (ZL = R + jX avec Rreprsentant la partie relle de ZL et X la partie imaginaire de ZL) ou comme une valeur polaire(ZL = M o ici M est lamplitude de ZL et P son angle de dphasage) :

(5)

Z0

DUT

Ei1

Er1

V1 Ei1 Er1+= I1Ei1 Er1

Z0---------------------=

a1Ei1Z0

----------= b1Er1

Z0----------=

b1 s11a1=

s11b1a1-----=

P

ZL1 s11+1 s11---------------- Z0=

Coefficient de rflexion:

(6)

Le coefficient de rflexion gamma est une mesure de la qualit de ladaptation de la charge limpdance de la source. Cest une valeur complexe avec une amplitude de rho et un angletheta.

Le coefficient de rflexion est petit pour une bonne adaptation. Le coefficient de rflexionprend une valeur de 1 dans le cas dun court-circuit, reste ngatif pour des charges infrieures < Z0, vaut zro pour une adaptation parfaite, est positif pour des charges > Z0, et atteint +1quand il ny a pas de charge.

Si nous utilisons des impdances normalises :

et (7)

De lequ.(5), on peut crire que s11 vaut :(8)

Nous voyons que s11 et (le coefficient de rflexion) ne sont quune seule et mme chose.

Return Loss :

Littralement pertes de retour, ce terme est gnralement traduit par pertes par rflexion.

Considrons le coefficient de rflexion :(9)

le Return Loss (exprim en dB) fait usage de et vaut :(10)

Le Return Loss est une mesure de la puissance qui nest pas absorbe par la charge et qui seretrouve rflchie vers la source. Donc une valeur absolue importante du Return Loss (i.e.:> |20| dB) implique une bonne adaptation.

ROS :

Comme pour le Return Loss, le ROS (grandeur sans dimension) est calcule en partant de :

(11)

Le ROS (SWR ou VSWR en anglais) est utile pour estimer (calculer) la tension de pointe quelon peut trouver sur une ligne non idalement termine. Cest une mesure communment uti-lise de la valeur qualitative de ladaptation de la charge. Une adaptation parfaite est caractri-se par un ROS de 1, alors quun court-circuit ou un circuit ouvert donnent un ROS .

ZL Z0ZL Z0+------------------

Y0 YLY0 YL+------------------= = =

Z 1Z 1+------------1 Y1 Y+------------= = = Z 1 +1

-------------=

s11Z 1Z 1+------------ = =

=

Lr 201--- log 20 ( )log= =

ROS 1 +1 ------------

1 s11+1 s11-------------------= =

Graphes et abaque de Smith :

Il y a trois sortes de graphes communment utiliss pour reprsenter des valeurs complexes enhaute frquence. Le graphe rectangulaire est utilis pour des valeurs rectangulaires (R + jXaussi appeles cartsiennes), le graphe polaire pour des valeurs en format polaire (M ) etlabaque de Smith pour ces deux dernires et aussi les paramtres S (et plusieurs autres genresde valeurs).

Une observation intressante est que si lon utilise des paramtres normaliss, les trois graphespeuvent tre superposs, comme reprsent sur les 3 figures ci-dessus, et le mme vecteur peuty tre lu de diffrentes manire sur leurs axes respectifs.

Sur une Abaque de Smith, on graphe des impdances normalises si lon se rfre aux axescourbs, il est aussi possible avec une rgle et un rapporteur de tracer les paramtres S enmagnitude et angle, comme pour un graphe polaire. Labaque de Smith complte est entouredune chelle gradue en degrs, et au bas de labaque, il y a en gnral une chelle du mmediamtre que labaque, sur laquelle on peut reporter et lire lamplitude polaire des vecteurs.

Exemple :

Pour le circuit srie compos de L = 26,5 nH et R = 116,5 1 GHz.

Nous obtenons : Z = 116,5 + j166,5, normalis 50 : Zn = 2,33 + j3,33Calculons S11 qui est quivalent :

(12)

P

Rectangulaire Polaire Smith

(0.7, 0.3) 0.761 23.2 2.33 + j3.330.761 23.2

S11 Zn 1Zn 1+--------------- 0 7, j0 3,+ 0 761 23 2,,= = = =

Autres valeurs intressantes:

(13)

(14)

Ces valeurs ont t reportes sur les graphes ci-dessus.

Appendice :

Considrons 3 cas triviaux de ligne de transmission, soit convenablement adapte, soit ouvertesoit court-circuite, et appliquons lequ.(1) au point A, la fin de la ligne de transmission, ennotant que cette ligne peut avoir une longueur quelconque, y compris nulle.

Ligne convenablement adapte :

Notons que nous pouvons utiliser lun ou lautre des schmas ci-dessus.

Le diviseur de tension impose en A une tension de : V

La loi dOhm nous dit que IA vaut : mA

Nous savons que dans un systme convenablement adapt il y a une onde directe mais pasdonde rflchie. Donc selon lequ.(1) au point A :

(15)

Ligne court-circuite :

On observe que la tension en A est de zero et que le courant y est de : mA.

Nous savons que dans une ligne court-circuite, il y aura une onde directe et une onde rfl-chie et que cette dernire sera de polarit inverse. Donc selon lequ.(1) au point A :

(16)

VSWR 1 +1 ------------1 0 761,+1 0 761,----------------------- 7 38,= = =

ReturnLoss 20 1--- log 2 37 dB,= =

1 0 1 050 50 50 50 50 A A

0 5 0,1 0100---------- 10 0=

V 0 5 0, 0+ 0 5 0 V,= = I 0 5 0, 050------------------------ 10 0 mA= =

1 0 1 050 50 50

A A

1 050

---------- 20 0=

V 0 5 0, 0 5 0, 0 V= = I 0 5 0, 0 5 0,( )50--------------------------------------------- 20 mA= =

Ligne ouverte :

On observe que la tension en A est de V et que le courant y est de 0.

Nous savons que dans une ligne ouverte, il y aura une onde directe et une onde rflchie et quecette dernire sera de mme polarit que londe directe. Donc selon lequ.(1) au point A :

(17)

Note : On pourrait se demander pourquoi nous avons choisi une valeur de 0,5 V pour londedirecte et pour londe rflchie ? Tout simplement parce que cest la seule valeur qui marchedans tous les cas, mais il y a une autre rponse meilleure et plus simple ; dans le cas de la lignecorrectement termine, cest la valeur donne pour londe directe par la loi dOhm et le tho-rme de transfert de la puissance maximale.

Note : An English version of this article article is available at :http://www/pilloud/net/op_web/tek.html#05

1 0 1 050 50 50

A A

1 0

V 0 5 0, 0 5 0,+ 1 0 V= = I 0 5 0, 0 5 0,50------------------------------------- 0= =