2013

HAN Pabo Groenewoud Gerard Boersma

[ONTWERP ‘TALSTELSELS’] [Type the abstract of the document here. The abstract is typically a short summary of the contents of the document. Type the abstract of the document here. The abstract is typically a short summary of the contents of the document.]

2

Inhoudsopgave

Inhoud ............................................................................................................................................... 2

Verschillende talstelsels .................................................................................................................... 4

Verantwoording ............................................................................................................................ 4

Inhoudsverkenning ........................................................................................................................ 6

Doelen uit de toetsgids ................................................................................................................. 9

Doelen (didactisch) ........................................................................................................................ 9

Lessuggesties ............................................................................................................................... 11

Werkmateriaal ‘Verschillende talstelsels’ ................................................................................... 15

Bewerkingen in het binair en achttallig talstelsel ........................................................................... 19

Verantwoording .......................................................................................................................... 19

Inhoudsverkenning ...................................................................................................................... 21

Doelen uit de toetsgids ............................................................................................................... 22

Doelen (didactisch) ...................................................................................................................... 22

Lessuggesties ............................................................................................................................... 23

Werkmateriaal ‘Bewerkingen in het binair en achttallig stelsel’ ................................................ 26

Bronnen .......................................................................................................................................... 29

3

Dit document bevat twee lesontwerpen: • Verschillende talstelsels. • Bewerkingen in het binair- en achttallig stelsel.

In de basisschool gaat het grip krijgen op getallen en op de bewerkingen optellen en aftrekken hand in hand. Omdat het er hier om gaat dat studenten talstelsels op een hoger niveau begrijpen en ontdekken wat de diverse positionele talstelsels gemeenschappelijk hebben wordt eerst aandacht besteed aan de structuur en kenmerken van de talstelsels en daarna pas aan bewerkingen.

De beschrijving van elk ontwerp heeft de volgende opbouw:

• Verantwoording • Inhoudsverkenning • Doelen uit de toetsgids • Doelen (didactisch) • Lessuggesties • Werkmateriaal

4

Verschillende talstelsels

Verantwoording

In dit ontwerp zijn de volgende ontwerpprincipes gehanteerd: 1. de wiskunde die aan de orde is verheldert en verdiept inhouden die wel direct zichtbaar

zijn in de basisschool en de daarbij behorende didactiek (dit sluit aan bij de werkvorm ‘Wiskundig-didactisch practicum);

2. het ontwerp geeft zicht op de wiskunde die aan de horizon ligt, waarbij de horizon over de grens po-vo kan liggen (dit sluit aan op het idee van ‘horizon content knowledge’, goed uitgewerkt voor inhouden die zichtbaar zijn in de basisschool, minder uitgewerkt voor inhouden die dat niveau overstijgen);

3. er worden werkvormen gebruikt die een beroep doen op kennis en vaardigheden die van een leerkracht gevraagd worden, vergelijk Marcinek (Marcinek, 2012);

4. het ontwerp bevat extra handvatten voor docenten zonder of met beperkte wiskundige achtergrond.

Principe 1

De wiskunde van de basisschool die aan de orde is betreft het grip krijgen op het 10-tallig stelsel. De bijbehorende kerninzichten (Oonk, Keijzer, Lit, Engelsen, Lek, & Waveren-Hoogervorst,

Kerninzichten, 2011) zijn: • Tientallige bundeling: het is efficiënt om aantallen te bundelen in bundels van 10, 100,

1000 enzovoort. • Plaatswaarde: de waarde van een cijfer in een getal hangt af van de plaats waar het cijfer

staat. De inhouden sluiten aan bij kerndoel 26 (SLO, 2009): de leerlingen leren structuur en samenhang

van aantallen, gehele getallen, kommagetallen, breuken, procenten en verhoudingen op hoofdlijnen te doorzien en er in praktische situaties mee te rekenen.

Groep 1/2: aantallen en hoeveelheden structureren in tweetallen, vijftallen en tientallen en naar analogie van de vingers van twee handen de vijf- en tienstructuur: 0, 5, 10, 15, 20.

Groep 3/4: • tellen in sprongen van 2, 5 en 10; • positioneren van getallen in de telrij (bijvoorbeeld tussen twee tientallen) en op de (lege) ge-

tallenlijn; • ankergetallen in de telrij verkennen:

• 5, 10, 15, 20, ... • 10, 20, 30, ... • 20, 40, 60, 80, 100, ... • 25, 50, 75, 100

Deze ankergetallen spelen een belangrijke rol bij het handig uitvoeren van de basisbewerkin-gen tot 100;

• hoeveelheden en getallen tot 100 structureren in tientallen, vijftallen en eenheden (Struc-tuur van geld, rekenrek, kralenketting, honderdveld) en andere praktisch belangrijke structu-reringen zoals zestallen en twaalftallen;

• aantallen en getallen structureren zoals: getalsplitsingen, verdubbelen/halveren, verschil tus-sen getallen kunnen bepalen.

5

De student doorloopt (delen van) deze leerlijn in een ander talstelsel en legt de koppeling tussen het geleerde en het 10-tallig stelsel, zowel met betrekking tot de wiskundige- als de didactische in-houd.

Principe 2

Omdat verschillende talstelsels slechts incidenteel in de bovenbouw van de basisschool of in het voortgezet onderwijs aan de orde komen speelt dit principe in het ontwerp een ondergeschikte rol.

In TULE (SLO, 2009) worden ten aanzien van niet 10-tallige stelsels de volgende doelen genoemd: Groep 5/6:

• klokgetallen leren gebruiken, die cyclisch zijn: ná 24 (of 12), en ná 60 begin je met een nieuw(e) dag(deel), uur of minuut;

• romeinse getallen (afgeleid van de vijfstructuur: 5, 10, 50, 100, etc.) verkennen. Groep 7/8:

• tweetallig talstelsel (computer).

Principe 3

Studenten bespreken hun bevindingen met elkaar en leggen uit. Daardoor worden ze geconfron-teerd met de essentiële momenten in de leerlijn en worden ze aangezet tot het begrijpen van wis-kundig denken van andere studenten.

Studenten zijn zelf actief onderzoeksmatig aan de slag.

Principe 4

Er is een inhoudsverkenning en er zijn lessuggesties. Daarnaast zijn er uitwerkingen bij het practi-cum.

6

Inhoudsverkenning

Inleiding

Aristoteles (in Boyer, 1989) heeft al geconstateerd dat het gebruik van het tientallig talstelsel slechts het resultaat is van een anatomische toevalligheid: de meeste mensen worden geboren met 10 vingers, ook in zijn tijd al. Boyer constateert fijntjes dat het vanuit wiskundig oogpunt beter was geweest als de oermens 4 of 6 vingers aan één hand had gehad.

Een studie naar indianenstammen in de Amazone toont aan dat ongeveer eenderde van de stammen een tientallig, eenderde deel een vijftallig en ongeveer eentiende deel een twintigtallig talstelsel hanteerde (Menninger, 1979).

Hoewel de telwoorden al wel 10-tallig waren heeft het tot de dertiende eeuw geduurd voordat ze in Europa geschreven werden zoals ze werden uitgesproken, met de introductie van de Indisch-Arabische cijfers, die in Indie al vanaf 600 na Christus de basis vormden voor een 10-tallig stelsel.

Vergelijk ons getal driehonderdvierentwintig. Wij schrijven 324, waarbij alleen de volgorde van

de 2 en de 4 de uitspraak niet volgt. Voor invoering van de Indische cijfers werd dit geschreven als CCCXXIIII of CCCXXIV, maar al wel als driehonderdvierentwintig uitgesproken.

In het basisonderwijs is er korte tijd een stroming geweest die poogde de leerlingen te leren

rekenen door aan het begin van de leerlijn te starten met allerlei niet 10-tallige talstelsels, de zogenaamde structuralistische stroming. Door de opkomst van het realistische rekenen is deze trend niet doorgezet (Treffers, De stille rekenrevolutie, 2010i).

Het rekenen in andere talstelsels wordt soms in het basisonderwijs gebruikt als reflectie op het geleerde. In sommige methodes werd bijvoorbeeld 8-tallig gerekend in groep 8. Uit het opleidingsonderwijs is het Land van Okt (Goffree, Het Land van Okt, 1995) bekend.

In de opleiding voor leraren basisonderwijs is het onderwerp talstelsels niet nieuw. Getuige

bijvoorbeeld dit boek: http://schoolmuseum.uba.uva.nl/view?docId=LCSM_202423/ocr.xml;query=;brand=default#page/1/mode/2up

Wel is het zo dat het niveau destijds een stukje hoger lag. Hieronder wordt een aantal talstelsels meer in detail uitgewerkt.

Babylonisch talstelsel

Het Babylonisch talstelsel is een sexagesimaal (60-tallig) stelsel. Het is een halfpositioneel stelsel, binnen een positie is het namelijk additief. Het heeft symbolen voor 1 en 10. Het kende geen nul, maar wel een symbool om een lege positie in een getal aan te geven (dus niet aan het einde).

7

http://nl.wikipedia.org/wiki/Sexagesimaal , download mei 2012 De context bepaalde om welke orde van grootte het gaat: <II kan 12 voorstellen, maar ook 12 x

60 en zelfs 12 x 160

.

Om verwarring te voorkomen kun je afspreken om een lege positie met twee punten(één punt staat voor de scheiding tussen twee opeenvolgende posities) aan te geven: <II..<<IIII : 12 x 60 x 60 +

24 of 12 x 60 + 24 x 160

. Om het niet onnodig gecompliceerd te maken kun je ervoor kiezen de eerste

positie die van de eenheden te laten zijn. Overblijfselen van het Babylonisch stelsel vinden we in de tijd- en hoekmeting en bij coördinaten:

• 1 uur = 60 minuten = 60 x 60 seconden • 1 graad = 60 minuten = 60 x 60 seconden • Nijmegen ligt op 51 graden 50 minuten en 30 seconden Noorderbreedte en 5 graden en

51 minuten en 20 seconden Oosterlengte Om de getallen te noteren op een analoge wijze als bij het 16-tallig stelsel, waar de symbolen

worden uitgebreid met A, B, C, D, E en F komen we symbolen tekort. Een alternatief is onze cijfer-symbolen te gebruiken, met een gewone punt om de positiescheiding aan te geven als dit nodig is om verwarring te voorkomen:

• II <<<IIIII wordt 2 .35 • <II<<IIII wordt 12. 24 • <II.II wordt 12.2 (= 12 x 60 + 2 = 722)10 Omdat deze notatiewijze interfereert met die voor de andere talstelsel wordt het 60-tallig stelsel in het practicum niet uitgewerkt.

Egyptisch talstelsel

http://wn.com/Egyptian_numeral_system

Het Egyptisch talstelsel is additief, het maakt niet uit op welke plaats een symbool staat. Zo is IIIΩCC evenveel als ICΩICI

8

Romeins talstelsel

Het Romeins talstelsel is additief. Welk maakt het soms uit op welke plaats in het getal een sym-bool staat, bijvoorbeeld: IV = 4 en VI = 6.

In de oudheid waren de conventies met betrekking tot het gebruik van de cijfers vrij los. In schoolboeken worden echter de volgende conventies gehanteerd:

• Je schrijft hooguit drie keer hetzelfde cijfer achter elkaar, dus niet VIIII maar IX. • Hooguit één cijfer mag worden afgetrokken, dus niet IIX maar VIII. • Je trekt een cijfer af van een cijfer waarvan de waarde vijf of tien keer zo hoog is, dus niet

IL maar XLIX. • De cijfers V, L en D worden niet gebruikt om afgetrokken te worden, dus niet VC maar

XCV. Hoewel er meer symbolen zijn, bijvoorbeeld voor grote getallen, blijft het gebruik in schoolboe-

ken beperkt tot de volgende cijfers: Cijfer I V X L C D M Betekenis 1 5 10 50 100 500 1000

Hier vind je meer achtergronden: http://nl.wikipedia.org/wiki/Romeinse_cijfers

12-tallig stelsel

In het 12-tallig stelsel worden de vingerkootjes ge-bruikt om te tellen. De volgende cijfersymbolen wor- den gehanteerd: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B

2-tallig of binair talstelsel

Er zijn 2 cijfersymbolen: 0 en 1. Het binair stelsel wordt gebruikt in de informatica, waarbij 0 en 1 de twee toetstanden van een bit aangeven.

Enige binaire getallen met hun decimale equivalent:

Binair 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 Decimaal 0 1 2 3 4 5 6 7 8

16 tallig of hexadecimaal talstelsel

Het 16-tallig stelsel wordt gebruikt in de informatica om een rij nullen en enen overzichtelijker weer te geven. Als extra cijfersymbolen worden de A, B, C, D, E en F gebruikt.

110001010110001001011101011100102 wordt in groepjes van 4 bits gegroepeerd: 1100-0101-0110-0010-0101-1101-0111-00102. Ieder viertal wordt vervolgens hexadecimaal ge-

noteerd: C5625D72. Dit is veel overzichtelijker.

9

Doelen uit de toetsgids

Hieronder staat een aantal specifieke doelen uit de toetsgids. Daarnaast werkt de student aan een veelheid van andere doelen uit het domein getallen en hele getallen.

Domein getallen

De student weet: • wat het verschil is tussen een getal en een cijfer; • wat bedoeld wordt met: positioneel getallenstelsel, plaatswaarde of positiewaarde, decimaal

(positioneel) getallensysteem of talstelsel, binair getallensysteem of talstelsel, octaal getal-lensysteem of talstelsel, hexadecimaal getallensysteem of talstelsel, sexagesimaal getallen-systeem of talstelsel.

De student kent: • de betekenis van: eenheid, tiental, honderdtal, tiende, honderdste; • plaatswaarde, positieschema; • kenmerken van positionele en additieve getallenstelsels of talstelsels. De student kan: • Romeinse cijfers tot duizenden gebruiken; • eenvoudige berekeningen maken in het binaire en achttallige stelsel; • (andere) positionele getallenstelsels of talstelsels herkennen en in eenvoudige gevallen de

betreffende getallen omrekenen naar het decimale stelsel, en vice versa.

Doelen (didactisch)

De student kent de volgende kerninzichten (Oonk, Keijzer, Lit, Engelsen, Lek, & Waveren-Hoogervorst, Kerninzichten, 2011), kan de kernzichten herkennen in een methode, weet globaal langs welke lijnen leerlingen deze inzichten verwerven en welke kerndoelen erbij horen:

• Tientallige bundeling: het is efficiënt om aantallen te bundelen in bundels van 10, 100, 1000 enzovoort.

• Plaatswaarde: de waarde van een cijfer in een getal hangt af van de plaats waar het cijfer staat.

De student is zich bewust van conceptuele problemen die hijzelf en/of medestudenten hebben bij het leren van een nieuw talstelsel en kan de transfer maken van deze ervaringen naar het leren van kinderen op de basisschool.

De student ervaart hoe het handelingsmodel uit het protocol erwd (Groenestijn, Dijken, & Janson, 2012) helpt bij het verwerven van kennis, inzicht en vaardigheden in het werken met diverse talstelsels, waardoor hij zijn begrip van dit didactische model verdiept.

Verfijning

Thanheiser (Thanheiser, 2012) onderscheidt 4 hoofdinzichten met betrekking tot begrip van hele getallen, in volgorde van mate van geavanceerdheid: • Plaatswaarde. Studenten hebben inzicht in de plaatswaarde ieder cijfer in een getal, ze zien bij-

voorbeeld de 3 in 389 als 3 100-tallen of 30 10-tallen of 300 eenheden. Ze kunnen 1 100-tal zien als 10 10-tallen.

• Groepen eenheden. Studenten zien elk cijfer als een groep eenheden, ze zien bijvoorbeeld de 3 in 389 als 300 eenheden. Ze relateren eea niet aan plaatswaarde.

10

• Aaneengeschakelde cijfers plus. Studenten kennen tenminste 1 cijfer een onjuiste plaatswaarde toe.

• Aaneengeschakelde cijfers. Studenten zien alle cijfers als eenheden, ze zien bijvoorbeeld de 3 in 389 als 3 eenheden.

11

Lessuggesties

Vantevoren

Een deel van de studenten heeft een laptop of tablet bij zich zodat ze informatie op kunnen zoe-ken over het talstelsel waar ze zich in gaan verdiepen. Opstelling van tafels in groepjes van 4.

Materialen

Telbare materialen: aantal groepjes x ruim 100. Voldoende kopieën van werkmateriaal: ‘Verschillende talstelsels’.

Introductie

De doelen voor deze bijeenkomst (en de volgende over bewerkingen) met studenten doorne-men.

Ontwikkeling van ons 10-tallig talstelsel met aandacht voor talstelsels uit het verleden (Babylo-nisch, Egyptisch en Romeins). Afhankelijk van de tijd die je hebt kun je hier langer of korter bij stil-staan. Het is zeker niet de bedoeling om alle informatie zoals die in de inhoudsverkenning staat met studenten te delen. Doel van deze introductie is om studenten te laten zien dat er verschillende tal-stelsel bestaan.

Bij de dia over het 16-tallig stelsel benadrukken dat hier extra symbolen zijn gebruikt. Dit idee hebben studenten nodig als ze een talstelsel met een grondtal boven de 10 gaan onderzoeken.

Bundeling

Studenten werken in verschillende groepen. Elke groep wordt expert in een talstelsel. Hoe tel je een grote ongeordende hoeveelheid, bijvoorbeeld 107? Eerst gewoon tientallig. Studenten ontdekken dat het handig is te bundelen. Bij een telfout hoef je niet opnieuw te be-

ginnen en je ziet achteraf, als je de hoeveelheid handig hebt gebundeld, meteen hoeveel het totaal is. Benadruk in de nabespreking van dit onderdeel deze strategie.

We hebben een 10-tallig talstelsel. Hoe gaat dit bundelen als we een 2-, 4-, 8-, 12- of 16-tallig

stelsel zouden hebben? Per groep studenten eenzelfde hoeveelheid blokjes, meer dan 100, zodat (behalve in het 16-tallig

stelsel) uiteindelijk 3 posities nodig zijn om de hoeveelheid met cijfers weer te geven. Je kunt de mate van sturing en openheid variëren door bijvoorbeeld eerst een niet 10-tallig stel-

sel klassikaal, of door elke groep, uit te werken. Als je hierbij een stelsel kiest met een grondtal boven de 10 dan zijn studenten meteen bekend met het gegeven dat ze extra symbolen moeten gebruiken.

Plaatswaarde

Studenten ontwerpen een manier om de gebundelde hoeveelheid vast te leggen op papier.

Uitwisseling

Elke groep bereidt een korte presentatie aan de klas voor over hun bevindingen en houdt de pre-sentatie, of elk lid van de groep bespreekt de bevindingen in een andere groep.

12

In de nabespreking van deze activiteit wordt de relatie tussen de diverse werkwijzen onderzocht. Het idee van bundelen en plaatswaarde komt in alle talstelsels naar voren, de grootte en de waarde van een cijfers op een bepaalde plaats in een getal van de bundels verschilt. Tevens worden expliciet de handelingsniveaus die gebruikt zijn benoemd. De start was op niveau 1. Daarna hebben studenten een notatiewijze ontwikkeld die op een of meerdere van de hogere niveaus ligt.

Gemeenschappelijke kenmerken van de talstelsels worden geïnventariseerd: • je hebt evenveel symbolen nodig als het grondtal van het talstelsel; • als er te weinig symbolen zijn hanteer je letters: A, B etc.; • elke volgende positie wordt de waarde van het cijfer de waarde van de vorige positie x

het grondtal.

Notatie

Varianten op het HTE schema. Gebruik van machten van het grondtal daarbij:

102 of 10 x 10 101 of 10 100 of 1

1 0 7

Introductie van een notatiewijze met subscript om de diverse talstelsels uit elkaar te houden (ge-

kozen getallen stellen dezelfde hoeveelheid voor): 10710 of 107dec

11010112 of 1101011bin

12234

1538 of 153okt

8B12 6B16 of 6Bhex

Omrekenen

Studenten ontdekken hoe ze getallen kunnen omrekenen vanuit een niet 10-tallig talstelsel naar het 10-tallig talstelsel en andersom. Hulpmiddel hierbij is mogelijk een tabel, waarbij in de bovenste en onderste rij de getallen 10-tallig zijn genoteerd. Spreek af dat als er geen subscript staat het getal 10-tallig is genoteerd. Bijvoorbeeld 32014:

Positiewaarde 10-tallig genoteerd: 4 x 4 x 4 = 64 4 x 4 = 16 4 1 4-tallig genoteerd: 34 24 04 14

10-tallig genoteerd: 3 x 64 2 x 16 0 x 4 1 32014 = 3 x 64 + 2 x 16 + 1 = 225 Van bijvoorbeeld 10-tallig naar 4-tallig haal je telkens de grootst mogelijke macht van 4 van het

getal af. Ook hier is een getal 10-tallig genoteerd als er geen subscript bij staat. Bijvoorbeeld: 22510:

13

44 = 256, te groot 43 = 64 ; 225 – 3 x 64 = 33 42 = 16 ; 33 – 2 x 16 = 1 41 = 4, te groot, gaat 0 keer Dus nog 1 eenheid: 22510 = 32014

Materialen en modellen in de leerlijn

In de leerlijn in groep 3 en met name 4 waarbij vanuit het tellen van hoeveelheden, via bunde-ling, gekomen wordt tot inzicht in de tientallige schrijfwijze van getallen worden diverse contexten, materialen en modellen gehanteerd(eierdozen, geld, kralenketting, MAB-materiaal, HTE-schema, getallenlijn). Deze passeren de revue. Hierbij wordt de vijfstructuur als mogelijke tussenstap gehan-teerd.

Studenten passen deze contexten materialen en modellen aan voor hun talstelsel en beschrijven een leerlijntje in hun talstelsel. Mogelijk bedenken ze nieuwe model of materiaal.

Nabespreking

Korte uitwisseling van bevindingen. Als studenten hun reflectie hebben gemaakt zou je zelf hier een dubbele bodem aan toe kunnen

voegen. Het gaat in de bijeenkomst onder andere om wiskundekennis die verder gaat dan de basis-schoolstof die bedoeld is om kennis over die basisschoolleerstof te verdiepen. Die vraagt van de opleidingsdocent flexibel kunnen inspelen op vragen en reacties van studenten, kunnen bedenken waar moeilijkheden zitten en daar op inspelen. Precies dat wat studenten ook moeten kunnen ten aanzien van leerlingen op de basisschool. Wat vonden studenten van de wijze waarop je dit type kennis en vaardigheden tentoon hebt gespreid? Waar voelden ze zich gesteund, waar zat je er moge-lijk naast? Mogelijk draagt dit gesprek bij aan hun inzicht in welke kennis en vaardigheden ook voor hun relevant zijn.

Uitbreiding

Het Romeins talstelsel bestuderen, een hoofdzakelijk additief stelsel. Hiervoor is voldoende ma-teriaal op internet te vinden.

Verwerking

Maak een keuze uit de volgende suggesties ter verwerking: Getallen omrekenen vanuit een niet 10-tallig talstelsel naar het 10-tallig talstelsel en andersom.

Hierbij ook andere talstelsels gebruiken als in de bijeenkomst, bijvoorbeeld 3- en 6-tallig. Op internet zijn omrekenaars te vinden die studenten kunnen gebruiken ter controle, bv.: http://www.convertworld.com/nl/talstelsel/Binair.html Oefeningen met het omzetten van Romeinse getallen vind je HIER. Zoeken op internet op de diverse talstelsels levert bruikbare informatie, bijvoorbeeld op Wikipe-

dia. Bestuderen uit ‘Kerninzichten’ hoofdstuk 2. Rekengesprek voorbereiden en houden met leerlingen uit de eigen stagegroep met als doel te

onderzoeken hoe het begrip van het 10-tallig stelsel van de leerling is. Te gebruiken is hier de inde-ling van Thanheiser (Thanheiser, 2012):

14

• Plaatswaarde. Leerlingen hebben inzicht in de plaatswaarde ieder cijfer in een getal, ze zien bij-voorbeeld de 3 in 389 als 3 100-tallen of 30 10-tallen of 300 eenheden. Ze kunnen 1 100-tal zien als 10 10-tallen.

• Groepen eenheden. Leerlingen zien elk cijfer als een groep eenheden, ze zien bijvoorbeeld de 3 in 389 als 300 eenheden. Ze relateren eea niet aan plaatswaarde.

• Aaneengeschakelde cijfers plus. Leerlingen kennen tenminste 1 cijfer een onjuiste plaatswaarde toe.

• Aaneengeschakelde cijfers. Leerlingen zien alle cijfers als eenheden, ze zien bijvoorbeeld de 3 in 389 als 3 eenheden.

15

Werkmateriaal ‘Verschillende talstelsels’

Expert worden in een talstelsel

1. Tel de blokjes. Hoeveel zijn het er? Je wordt expert in één van de talstelsels: …. -talligstelsel 2. Beschrijf en/of teken hoe de bundeling er in jouw talstelsels uitziet. In het 10-tallig stelsel schrijf je honderdzeven als 107. 3. Bedenk een notatiewijze voor het aantal blokjes dat je geteld hebt in jouw talstelsel. 4. Kies een 10-tallig getal en noteer dit in jouw talstelsel. Laat zien hoe je te werk gaat.

5. Kies een getal in jouw talstelsel en noteer het 10-tallig. Laat zien hoe je te werk gaat.

6. Bereid in je groep een korte presentatie aan de klas voor over je bevindingen.

Hoe gaat dit op de basisschool?

Hieronder zie een gedeelte van de leerlijn ‘Getallen en bewerkingen’. 7. Hoe zou deze er uitzien voor jouw talstelsel? Pas de formuleringen aan en geeft een toelich-

ting. 8. Teken de materialen en modellen die worden genoemd, maar nu voor jouw talstelsel. Mis-

schien is dan niet altijd mogelijk. Zijn er aanvullende materialen en modellen mogelijk? Zo ja, teken deze.

Leerlijn (TULE): Groep 1/2: aantallen en hoeveelheden structureren in tweetallen, vijftallen en tientallen en naar

analogie van de vingers van twee handen de vijf- en tienstructuur: 0, 5, 10, 15, 20. Groep 3/4: • tellen in sprongen van 2, 5 en 10; • positioneren van getallen in de telrij (bijvoorbeeld tussen twee tientallen) en op de (lege) ge-

tallenlijn; • ankergetallen in de telrij verkennen:

• 5, 10, 15, 20, ... • 10, 20, 30, ... • 20, 40, 60, 80, 100, ... • 25, 50, 75, 100

Deze ankergetallen spelen een belangrijke rol bij het handig uitvoeren van de basisbewerkin-gen tot 100;

16

• hoeveelheden en getallen tot 100 structureren in tientallen, vijftallen en eenheden (Structuur van geld, rekenrek, kralenketting, honderdveld) en andere praktisch belangrijke structurerin-gen zoals zestallen en twaalftallen;

• aantallen en getallen structureren zoals: getalsplitsingen, verdubbelen/halveren, verschil tus-sen getallen kunnen bepalen.

Groep 5/6 • tellen in honderdvouden, duizendvouden etc • meer ankergetallen leren in de telrij: zoals

• 10, 100, 1000, ... • 200, 400, 600, 800, 1000, ... • 250, 500, 750, 1000 • en evenzo in het gebied van de duizendtallen en groter;

• grote getallen structureren; • grote getallen positiegewijs onderling vergelijken.

Reflectie

1. Wat heeft je geholpen om de diverse talstelsels beter te begrijpen?

2. Wat heb je geleerd over de didactiek van rekenen-wiskunde?

3. In de les heb je veel zelf onderzocht en aan anderen uitgelegd. Wat heb je daarvan ge-

leerd voor het werken met leerlingen op de basisschool?

4. Wat ga je inzetten in je stagegroep van hetgeen je bij 2 en 3 hebt opgeschreven?

17

Verwerking

1. Noteer de volgende getallen 10-tallig:

1011012

32104

2258

3A712

B916

* DEAD16

2. Noteer in een ander talstel: 23510 2-tallig (binair) 4-tallig 8-tallig (octaal) 12-tallig 16-tallig (hexadecimaal) Kun je het ook in nog een ander talstelsel? 3. Bestuderen uit ‘Kerninzichten’ hoofdstuk 2. 4. Rekengesprek voorbereiden en houden met leerlingen uit de eigen stagegroep met als doel

te onderzoeken hoe het begrip van het 10-tallig stelsel van de leerling is. Te gebruiken is hier de indeling van Thanheiser: • Plaatswaarde. Leerlingen hebben inzicht in de plaatswaarde ieder cijfer in een getal, ze

zien bijvoorbeeld de 3 in 389 als 3 100-tallen of 30 10-tallen of 300 eenheden. Ze kunnen 1 100-tal zien als 10 10-tallen.

• Groepen eenheden. Leerlingen zien elk cijfer als een groep eenheden, ze zien bijvoor-beeld de 3 in 389 als 300 eenheden. Ze relateren eea niet aan plaatswaarde.

• Aaneengeschakelde cijfers plus. Leerlingen kennen tenminste 1 cijfer een onjuiste plaatswaarde toe.

• Aaneengeschakelde cijfers. Leerlingen zien alle cijfers als eenheden, ze zien bijvoorbeeld de 3 in 389 als 3 eenheden.

18

Uitwerkingen bij de verwerking

1. Noteer de volgende getallen 10-tallig: 1011012 : 1 x 25 + 1 x 23 + 1 x 22 + 1 x 20 = 32 + 8 + 4 + 1 = 45

32104 : 3 x 43 + 2 x 42 + 1 x 41 = 3 x 64 + 2 x 16 + 4 = 192 + 32 + 4 = 228 2258 : 2 x 82 + 2 x 81 + 5 x 80 = 2 x 64 + 2 x 8 + 5 x 1 = 128 + 16 + 5 = 149

3A712 : 3 x 122 + 10 x 121 + 7 x 120 = 3 x 144 + 10 x 12 + 7 = 432 + 120 + 7 = 559

B916: 11 x 161 + 9 x 160 = 11 x 16 + 9 = 176 + 9 = 185 *DEAD16 = 13 x 163 + 14 x 162 + 10 x 161 + 13 x 160 = 13 x 4096 + 14 x 256 + 160 + 13 = 53.248 + 3.584 + 173 = 57.005 2. Noteer in een ander talstel: 23510

2-tallig (binair) 27 = 128 235 – 1 x 128 = 107 26 = 64 107 – 1 x 64 = 43 25 = 32 43 – 1 x 32 = 11 24 = 16, dus een 0 op deze positie 23 = 8 11 – 1 x 8 = 3 22 = 4, dus een 0 op deze positie 3 – 1 x 2 = 1 1 over : 11101011

4-tallig 43 = 64 235 – 3 x 64 = 43 42 = 16 43 – 2 x 16 = 11 11 – 2 x 4 = 3 Dus: 3223

8-tallig (octaal) 82 = 64 235 – 3 x 64 = 43 43 – 5 x 8 = 3 Dus: 353

12-tallig 122 = 144 235 – 1 x 144 = 91 91 – 7 x 12 = 7 Dus: 177

16-tallig (hexadecimaal) 235 – 1410 x 16 = 11 1410 = E16 1110 = B16 Dus: EB

19

Bewerkingen in het binair en achttallig talstelsel

Verantwoording

In dit ontwerp zijn de volgende ontwerpprincipes gehanteerd: 1. de wiskunde die aan de orde is verheldert en verdiept inhouden die wel direct zichtbaar

zijn in de basisschool en de daarbij behorende didactiek (dit sluit aan bij de werkvorm ‘Wiskundig-didactisch practicum);

2. het ontwerp geeft zicht op de wiskunde die aan de horizon ligt, waarbij de horizon over de grens po-vo kan liggen (dit sluit aan op het idee van ‘horizon content knowledge’, goed uitgewerkt voor inhouden die zichtbaar zijn in de basisschool, minder uitgewerkt voor inhouden die dat niveau overstijgen);

3. er worden werkvormen gebruikt die een beroep doen op kennis en vaardigheden die van een leerkracht gevraagd worden, vergelijk Marcinek (Marcinek, 2012);

4. het ontwerp bevat extra handvatten voor docenten zonder of met beperkte wiskundige achtergrond.

De nadruk ligt hierbij op principe 3.

Principe 1

De wiskunde van de basisschool die aan de orde is betreft bewerkingen tot 100 in het tientallig stelsel.

De bijbehorende kerninzichten (Oonk, Keijzer, Lit, Engelsen, Lek, & Waveren-Hoogervorst, Kerninzichten, 2011) zijn:

• Handig rekenen: kinderen verwerven het inzicht dat je berekeningen in bepaalde geval-len efficiënt kunt uitvoeren door gebruik te maken van getalrelaties en eigenschappen van bewerkingen.

• Standaardprocedures: kinderen verwerven het inzicht dat je getallen kunt bewerken via standaardprocedures, die ontstaan door maximale, schematische verkorting van reken-aanpakken.

De inhouden sluiten aan bij de volgende kerndoelen (SLO, 2009): • 27: De leerlingen leren de basisbewerkingen met gehele getallen in elk geval tot 100 snel

uit het hoofd uitvoeren, waarbij optellen en aftrekken tot 20 en de tafels van buiten ge-kend zijn.

• 29: De leerlingen leren handig optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. • 30: De leerlingen leren schriftelijk optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen vol-

gens meer of minder verkorte standaardprocedures. De nadruk ligt hierbij op het inzicht, meer dan op het van buiten kennen of de meest ver-

korte standaardprocedure.

Principe 2

Speelt hier geen rol.

Principe 3

In de lessuggesties is een aantal werkvormen opgenomen waar de docent uit kan kiezen. Daar-naast kan hij eigen werkvormen kiezen. Van belang is dat de dubbele bodem intact blijft: studenten

20

leren wiskunde aan de hand van een werkvorm die zij ook in het basisonderwijs kunnen hanteren, de werkvorm vraagt kennis en vaardigheden die van een leerkracht worden gevraagd of een combinatie van beiden.

Principe 4

Er is een inhoudsverkenning en een handleiding. De vele keuzemogelijkheden bij de te kiezen werkvorm wordt tegemoetgekomen aan verschillende lesstijlen van docenten en aan verschillen in randvoorwaarden zoals de duur van lessen.

21

Inhoudsverkenning

Zie ook de inhoudsverkenning bij ‘Verschillende talstelsels’. Bewerkingen in het binair- en achttalig stelsel kunnen gedaan worden door de getallen eerst om

te rekenen naar het 10-tallig stelsel, de bewerking uit te voeren en de uitkomst terug te rekenen naar het binair- of achttallig stelsel:

10012 + 1102 = 910 + 610 = 1510 = 11112 578 + 348 = 4710 + 2810 = 7510 = 1138 Om te werken aan de doelen uit deze les is een werkwijze waarbij de student in het binair- of

achttallig stelsel blijft noodzakelijk. Dit dwingt hem de eigenschappen en strategieën opnieuw te overdenken.

In het achttallig stelsel is de analogie van eigenschappen van en strategieën bij bewerkingen met die in het 10-tallig stelsel sterker dan bij het 2-tallig stelsel.

De in het practicum gebruikte eigenschappen en strategieën zijn: • Commutatieve eigenschap (omkeereigenschap of verwisseleigenschap) • Distributieve eigenschap (splitsen) • Associatieve eigenschap (schakelen) • Rijgmethode bij optellen en aftrekken • Splitsmethode optellen en aftrekken • Splitsmethode bij vermenigvuldigen (eventueel delen) • Varia bij alle bewerkingen • Nullenregel bij vermenigvuldigen (eventueel delen)

22

Doelen uit de toetsgids

Hieronder staat een aantal specifieke doelen uit de toetsgids. Daarnaast werkt de student aan een veelheid van andere doelen uit het domein getallen en hele getallen.

Domein getallen

De student kan eenvoudige berekeningen maken in het binaire en achttallige stelsel; Daarnaast verdiept de student zijn inzicht in de doelen uit het ontwerp ‘Verschillende talstelsels’.

Doelen (didactisch)

De student is zich bewust van conceptuele problemen die hijzelf en/of medestudenten hebben bij het leren van bewerkingen in een nieuw talstelsel en kan de transfer maken van deze ervaringen naar het leren van kinderen op de basisschool, waarbij het de volgende kerninzichten (Oonk, Keijzer, Lit, Engelsen, Lek, & Waveren-Hoogervorst, Kerninzichten, 2011),betreft:

• Handig rekenen: kinderen verwerven het inzicht dat je berekeningen in bepaalde geval-len efficiënt kunt uitvoeren door gebruik te maken van getalrelaties en eigenschappen van bewerkingen.

• Standaardprocedures: kinderen verwerven het inzicht dat je getallen kunt bewerken via standaardprocedures, die ontstaan door maximale, schematische verkorting van reken-aanpakken.

De student ervaart hoe het handelingsmodel uit het protocol erwd (Groenestijn, Dijken, & Janson, 2012) helpt bij het verwerven van kennis, inzicht en vaardigheden in het werken met diverse talstelsels, waardoor hij zijn begrip van dit didactische model verdiept.

23

Lessuggesties

Uitgangssituatie

Studenten hebben inzicht in de opbouw van het binair en het achttallig stelsel. Zij kunnen getal-len van het tientallig stelsel naar het binair en achttallig stelsel omzetten, en andersom. Zij kunnen de strategieën bij en de eigenschappen van de vier hoofdbewerkingen herkennen en zelf toepassen (in het 10-tallig stelsel).

Studenten werken aan de volgende opdracht: Je hebt een talstelsel (binair of achttallig) toegewezen gekregen en een strategie. Onderzoek of

de strategie werkt in jouw talstelsel en waarom dat zo is. Gebruik in je uitleg materialen en modellen ter ondersteuning. Denk hierbij aan materialen en modellen die op de basisschool worden gebruikt als leerlingen de strategie leren in het 10-tallig stelsel.

Je kunt ervoor kiezen studenten eerst een bewerking te laten onderzoeken zonder daarbij al een

strategie voor te schrijven. Benoem de handelingsniveaus die aan de orde zijn in je uitleg. Klaar? Kies een andere strategie en ga na of die werkt in jouw talstelsel. Afhankelijk van de gekozen werkvorm wordt de opdracht nader gespecificeerd.

Mogelijke werkvormen

Op kaartjes staan diverse strategieën bij bewerkingen. Op ander kaartjes staat ‘Binair talstelsel’ of ‘Achttallig stelsel’. Studenten werken in groepjes. Elke groep krijgt een talstelsel en een strategie-kaart.

Afhankelijk van de werkvorm die je kiest geeft je een aanvullende instructie bij de opdracht.

Presenteren

Werkwijze: verdeel de bewerkingen onder de groepjes. Eerst in het 10-tallig stelsel: Welke strategieën spelen een rol? Welke contexten en modellen

worden bij het leren van die strategieën gebruikt? Dan zowel 2- als 8-tallig: zijn de strategieën hier ook bruikbaar? Hoe kun je dat uitleggen? Welke

modellen zijn bruikbaar? Groepen bereiden een korte presentatie van hun bevindingen voor. Nabespreking: elke bewerking komt aan bod. De groepjes presenteren hun bevindingen. De volgende drie werkvormen staan beschreven in het Capacity Building Series nummer 13 van

het Ontario Ministry of Education (2010). Andere afleveringen van dit tijdschrift zijn interessant ter ondersteuning bij en verdieping van deze werkvervormen.

Bijbehorend didactisch doel voor de studenten: de student heeft kennis van een werkvorm die bedoeld is om de wiskundige communicatie tussen leerlingen te bevorderen. Mogelijk wordt hij geinspireerd om er in zijn praktijk mee aan de slag te gaan.

24

Wiskunde conferentie

Informatie over deze werkvorm vind je hier: http://www.contextsforlearning.com/samples/46OverviewTeachLearn.pdf

Hieronder een invulling van de 5 componenten van een wiskundeconferentie voor de inhoud van

deze les. 1. Ontwikkelen van de context: in het geval van een kale opgave zoals in deze les vervalt deze

component. 2. Ondersteunen van het ‘onderzoek’: studenten werken in groepen van 2 tot 4 aan de op-

dracht. 3. Voorbereiden congres: studenten bereiden een uitleg aan de groep voor. Je bepaalt welke

groepen hun bevindingen kunnen delen en verdedigen in de hele groep. 4. Ondersteunen congres: studenten leggen uit wat ze gevonden hebben en verdedigen hun

denkwijzen. 5. Integreren van minilessen, spelletjes en klassenmanagement: als verwerking kunnen studen-

ten hun inzicht verbreden naar beide talstelsels en naar meerdere eigenschappen en bewer-kingen. Daarnaast oefenen ze met het geleerde.

Posterwandeling

Studenten werken de opdracht uit op een flap. Die flap blijft op tafel liggen (of wordt opgehan-gen). De groepen lopen rond en schrijven vragen en opmerkingen op post-its en plakken die op de flaps.

Vervolgens bespreekt de groep die de flap heeft gemaakt de opmerkingen en vragen en rappor-teert aan de klas.

Bansho

De uitwerkingen van studenten worden geordend op mate waarin ze wiskundig rijk zijn. Dit or-denen kunnen studenten zelf doen, waarbij argumenten voor bepaalde keuzes onderdeel van het leren zijn.

Puzzel

Na het onderzoek naar de strategie en het voorbereiden van de uitleg worden nieuwe groepjes gemaakt, waarin vanuit elke onderzochte strategie 1 expert zit. Iedere expert informeert de leden van de nieuwe groep.

Nabespreking

Voorzover het nog niet is gebeurd worden conclusies getrokken met betrekking tot de wiskundi-ge inhoud van de les. Daarna wordt stilgestaan bij de gekozen werkvorm: wat vond je ervan, wat heb je ervan geleerd, wat zou jij anders doen als je hem bij je leerlingen zou inzetten?

Verwerking

Studenten maken de verwerkingsopgaven. Hiervoor kun je de opgaven uit het ontwerp of door studenten gemaakte opgaven gebruiken.

25

Afhankelijk van de gekozen werkvorm lezen de studenten achtergrondliteratuur. Mogelijk passen ze de werkvorm toe in hun stage.

26

Werkmateriaal ‘Bewerkingen in het binair en achttallig stelsel’

Opdracht

Je hebt een talstelsel (binair of achttallig) toegewezen gekregen en een strategie of eigenschap. • Commutatieve eigenschap (omkeereigenschap of verwisseleigenschap) • Distributieve eigenschap (splitsen) • Associatieve eigenschap (schakelen) • Rijgmethode bij optellen en aftrekken • Splitsmethode bij optellen en aftrekken • Splitsmethode bij vermenigvuldigen (eventueel delen) • Varia bij alle bewerkingen • Nullenregel bij vermenigvuldigen (eventueel delen)

1. Onderzoek of de strategie werkt in jouw talstelsel en waarom dat zo is. 2. Bereid een uitleg voor waarbij je materialen en modellen ter ondersteuning. Denk hierbij aan

materialen en modellen die op de basisschool worden gebruikt als leerlingen de strategie le-ren in het 10-tallig stelsel.

3. Maak een rijtje opgaven waarmee jij en je medestudenten de strategie in ‘jouw’ talstelsel

kunnen oefenen. Maak er uitwerkingen bij. Benoem de handelingsniveaus die aan de orde zijn in je uitleg. Klaar? Kies een andere strategie en ga na of die werkt in jouw talstelsel.

Reflectie

1. Wat heeft je geholpen om te begrijpen hoe je bewerkingen maakt binnen het 2- of 8-

tallig stelsel?

2. Wat heb je geleerd over de didactiek van rekenen-wiskunde?

3. In de les heb je veel zelf onderzocht en aan anderen uitgelegd. Je docent heeft hierbij een specifieke werkvorm gebruikt. Wat heb je daarvan geleerd voor het werken met leerlingen op de basisschool?

4. Wat ga je inzetten in je stagegroep van hetgeen je bij 2 en 3 hebt opgeschreven?

27

Verwerking

1. Maak de opgaven die je medestudenten hebben ontworpen.

2. Reken uit en benoem de strategieën en eigenschappen van bewerkingen die je gebruikt:

358 + 428 = … 8 278 + 658 = … 8

1348 – 218 = … 8 2538 – 1628 = … 8

11012 + 1012 = … 2 10112 + 11012 = … 2 11002 – 1002 = … 2 110112 – 1012 = … 2

68 x 78 = … 8

128 x 58 = … 8 1008 : 48 = … 8 748 : 58 = … 8

102 x 1002 = … 2 112 x 1002 = … 2 1002 : 102 = … 2 101002 : 1002 = … 2

3. Lees:

http://www.edu.gov.on.ca/eng/literacynumeracy/inspire/research/CBS_Communication_Mathematics.pdf

28

Uitwerkingen

Er wordt telkens 1 strategie gehanteerd. Andere strategieën zijn ook mogelijk. Je kunt de opga-ven ook uitrekenen door de getallen eerst 10-tallig te maken, de bewerking uit te voeren en dan de uitkomst weer 8- of 2-tallig te maken.

Alle getallen zijn 8-tallig genoteerd. 35 + 42 = 35 + 40 + 2 = 75 + 2 = 77 ; rijgen 27 + 65 = 20 + 7 + 60 + 5 = 20 + 60 + 7 + 5 = 100 + 14 = 114 ; splitsen en associatieve eigenschap

134 – 21 = 134 – 20 – 1 = 114 – 1 = 113 ; rijgen 253 – 162 : 162 + 16 = 200 ; 200 + 53 = 253 ; 53 + 16 = 71 ;verschil bepalen door aanvullen

Alle getallen zijn 2-tallig genoteerd. 1101 + 101 = 1101 + 100 + 1 = 10001 + 1 = 10010 ; rijgen 1011 + 1101 = 1000 + 10 + 1 + 1000 + 100 + 1 = 1000 + 1000 + 100 + 10 + 1 + 1 = 10000 + 110 + 10

= 10000 + 1000 = 11000 ; splitsen en associatieve eigenschap 1100 – 100 = 1000 + 100 – 100 = 1000 ; splitsen 11011 – 101 = 11011 – 100 – 1 = 11011 – 1 – 100 = 11010 -100 = 10110 ; rijgen en associatieve

eigenschap

Alle getallen zijn 8-tallig genoteerd. 6 x 7 = 6 x 10 – 6 x 1 = 60 – 6 = 52 ; een keer meer - een keer minder ; distributieve eigenschap

12 x 5 = 10 x 5 + 2 x 5 = 50 + 12 = 62 ; splitsen ; distributieve eigenschap 100 : 4 ; 40 : 4 = 10, dus 100 : 4 = 20 ; halveren en verdubbelen 74 : 5 = 50 : 5 + 24 : 5 = 10 + 4 = 14 ; distributieve eigenschap Alle getallen zijn 2-tallig genoteerd. 10 x 100 = 1000 ; nullenregel 11 x 100 = 100 x 11 = 1100 ; commutatieve eigenschap en nullenregel 100 : 10 = 10 ; nullenregel 10100 : 100 = 101 ; nullenregel

29

Bronnen

Boersma, G. (2013, Mei 27). Wiskunde geintegreerd met didactiek of als aparte lijn? Retrieved from

https://sites.google.com/site/kennisbasisrekwis/masteronderzoek Education, O. M. (2010, September). Communication in the Mathematics Clasroom. Capacity Building

Series . Goffree, F. (1995). Het Land van Okt. Groningen: Noordhoff. Groenestijn, M. v., Dijken, G. v., & Janson, D. (2012). Protocol Ernstige RekenWiskundeproblemen en

Dyscalculie MBO. Assen: van Gorcum. Menninger, K. (1979). Zahlwort und Ziffer. Gottingen: Vandenhoeck und Ruprecht. Oonk, W., Keijzer, R., Lit, S., Engelsen, M. d., Lek, A., & Waveren-Hoogervorst, C. v. (2011).

Kerninzichten. Groningen/Houten: Noordhoff Uitgevers. SLO. (2009). Tule inhouden & activiteiten kerndoelen. Retrieved September 02, 2013, from

http://tule.slo.nl/RekenenWiskunde/F-KDRekenenWiskunde.html Thanheiser, E. (2012). Preserve elementary school teachers'(psts') conceptions of multidigit whole

numbers: the development of those conceptions and the psts' motivation to learn elementairy mathematics. 12th international congress on mathematical education. Seoel.

Vakcommissie. (2013). Toetsgids pabo rekenen-wiskunde. Zanten, M. v., Barth, F., Gool, A. v., & Keijzer, R. (2009). Kennisbasis Rekenen-Wiskunde voor de

lerarenopleiding basisonderwijs. Den Haag: HBO-raad.

30

Kaartjes

Commutatieve eigen-schap (omkeereigen-schap of verwissel-

eigenschap)

32

Distributieve eigen-schap (splitsen)

33

Associatieve eigen-schap (schakelen)

34

Rijgmethode bij optellen en aftrekken

35

Splitsmethode bij op-tellen en aftrekken

36

Splitsmethode bij ver-menigvuldigen (even-

tueel delen)

37

Varia bij alle bewerkin-gen

38

Nullenregel bij verme-nigvuldigen (eventueel

delen)

39

Binair talstelsel

40

Achttallig stelsel