operacijske raziskave / nacela odlocanja'vlado.fmf.uni-lj.si/vlado/or/orodloci.pdf · cena ene...

'

&

$

%WiseGorilla

Univerza v LjubljaniFMF, matematika

OperacijskeraziskaveNacela odlocanja

Vladimir Batagelj

Prosojnice

version: 19. Apr 2006 / 13 : 54

V. Batagelj: Operacijske raziskave / Nacela odlocanja 1'

&

$

%

Kazalo1 Odlocitvene tabele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

4 Kriterijska funkcija v primeru nedolocenosti . . . . . . . . . . . 4

17 Bayesov izrek in odlocitvena drevesa . . . . . . . . . . . . . . . 17

24 Popravljene verjetnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

33 Nagnjenost k tveganju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

36 Saatyev postopek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

45 Primer: Izbira prve zaposlitve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

53 Dolocanje prednosti resitev iz vrednosti . . . . . . . . . . . . . 53

57 Hierarhija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

60 Osnove teorije iger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

s s y s l s y ss * 6


&

$

%

Odlocitvene tabeleKriterijska funkcija v primeru tveganja

Vsaki resitvi X ∈ Φ ustreza mnozica rezultatov R z znanimi pogojnimiverjetnostmi p(R/X), R ∈ R. Naj bo znana se koristnost posameznega iz-ida q(X, R). Potem obicajno vzamemo za kriterijsko funkcijo pricakovanovrednost koristnosti pri resitvi X

P (X) =∑R∈R

q(X, R) · p(R/X)

in resujemo optimizacijsko nalogo (Φ, P, min) ali (Φ, P, max).



&

$

%

Primer

Za primer si poglejmo naslednje vprasanje:

V trgovini prodajamo recke, ki so naslednji dan neuporabne. Nabavnacena ene recke je 5 denot, prodajna cena pa 6 denot. Iz enomesecnegazasledovanja povprasevanja vemo:

st. prodanih reck st. dni verjetnost

≤ 10 0

11 3 0.1

12 12 0.4

13 9 0.3

14 6 0.2

≥ 15 0

Koliko reck naj narocimo vsak dan, da bomo imeli cim vecji zasluzek ?s s y s l s y ss * 6


&

$

%

. . . PrimerMnozico resitev sestavljajo odlocitve o stevilu nabavljenih reck

Φ = {X11, X12, X13, X14}

mnozico rezultatov pa (povprecno) stevilo prodanih reck

R = {R11, R12, R13, R14}

Iz danih podatkov ni tezko sestaviti tabele koristnosti in nato izracunati pricakovanekoristnosti posameznih resitev

R11 R12 R13 R14 P (X)

X11 11 11 11 11 11

X12 6 12 12 12 11.4

X13 1 7 13 13 9.4

X14 -4 2 8 14 5.6

Torej je najboljsa odlocitev, da vsak dan nabavimo 12 reck, kar nam prinasa povrecni

dnevni zasluzek 11.4 denot.s s y s l s y ss * 6


&

$

%

Kriterijska funkcija v primeru nedolocenostiRecimo, da na sistem vpliva se okolje, ki se lahko nahaja v nekem od stanjiz mnozice S. Glede na stanje okolja S ∈ S dosezemo pri resitvi X rezultatR z znano verjetnostjo p(R/X, S). Verjetnost, da je okolje v stanju S

oznacimo s p(S). Obicajno verjetnosti p(S) ne poznamo; ce bi jih poznali,bi imeli opravka s prejsnjim primerom (tveganje). Tedaj bi bila ustreznakriterijska funkcija

P (X) =∑R∈R

q(X, R)∑S∈S

p(R/X, S) · p(S)

Ker pa jih ne poznamo, jih moramo nadomestiti z ustreznimi priblizki. Tiso lahko (subjektivne) ocene ali pa izhajajo iz hevristicnih nacel – pravil. Vliteraturi so najbolj znana naslednja stiri:



&

$

%

Waldovo pravilo – pravilo previdneza

Izhaja iz predpostavke, da se okolje nahaja v najneugodnejsem stanju. Najbo to stanje S∗. Tedaj je p(S∗) = 1. Za ostala stanja pa je p(S) = 0.Oznacimo

Q(X, S) =∑R∈R

q(X, R) · p(R/X, S)

potem je za nalogo (Φ, P, min)

PW (X) = maxS∈S

Q(X, S)

za nalogo (Φ, P, max) pa

PW (X) = minS∈S

Q(X, S)



&

$

%

Hurwiczovo pravilo

Izhaja iz predpostavke, da se okolje nahaja v najugodnejsem stanju zverjetnostjo α in v najneugodnejsem z nasprotno verjetnostjo 1 − α.Podobno kot pri Waldovem pravilu dobimo za nalogo (Φ, P, min)

PH(X) = α minS∈S

Q(X, S) + (1− α) maxS∈S

Q(X, S)

in za nalogo (Φ, P, max)

PH(X) = α maxS∈S

Q(X, S) + (1− α) minS∈S

Q(X, S)

V primeru, ko je α = 0, preide Hurwiczovo pravilo v Waldovo pravilo; zaα = 1 pa dobimo pravilo optimista. Koeficient α meri naso ’nagnjenost ktveganju’.



&

$

%

Laplaceovo pravilo

Izhaja iz predpostavke: ce so verjetnosti stanj okolja nepoznane, jih moramoobravnavati enakovredno. Zato imajo vsa stanja isto verjetnost

p(S) =1|S|

Tako dobimo kriterijsko funkcijo:

PL(X) =1|S|

∑R∈R

q(X, R)∑S∈S

p(R/X, S)



&

$

%

Savageovo pravilo – pravilo najmanjsega obzalovanja

Ker nimamo vpliva nad stanji v okolju, moramo primerjati dano resitevglede na druge resitve pri istem stanju okolja. Izid q(X, R) je lahko slabglede na celotno tabelo, vendar je vseeno lahko najboljsi pri vseh resitvah vdejanskem stanju S.

Za mero obzalovanja vpeljemo, pri nalogi minimizacije kolicino

Q∗(X, S) = Q(X, S)− minY ∈Φ

Q(Y, S)

in za nalogo maksimizacije kolicino

Q∗(X, S) = maxY ∈Φ

Q(Y, S)−Q(X, S)

Nalogo sedaj zastavimo kot nalogo (Φ, P, min), kjer je:

PS(X) = maxS∈S

Q∗(X, S)



&

$

%

. . . Savageovo pravilo

Model lahko vcasih nekoliko poenostavimo. Recimo, da vsakemu stanjuokolja ustreza natanko en rezultat: Si ↔ Ri. Tedaj je

p(Ri/X, Sk) = δik

Ker je S ≈ R, ju lahko izenacimo in je

Q(X, S) = q(X, S)



&

$

%

Primer

Poglejmo si to na primeru. Recimo, da zelimo zgraditi penzion. Odlociti semoramo, koliko lezisc naj ima. Izbirali bomo med naslednjimi moznostmi

Φ = {20, 30, 40, 50}

Uspesnost nalozbe bo odvisna od zasedenosti penziona, ki pa jo vnaprej nepoznamo. Zato si bomo ogledali naslednje mozne povprecne zasedenostipenziona

S = {0, 10, 20, 30, 40, 50}



&

$

%

. . . Primer

Glede na stroske izgradnje in zasluzek smo sestavili naslednjo tabelodobicka q(X, S)

0 10 20 30 40 50

20 −121 62 245 245 245 245

30 −168 14 198 380 380 380

40 −216 −33 150 332 515 515

50 −264 −81 101 284 468 650

max −121 62 245 380 515 650



&

$

%

. . . Primer

Iz nje dolocimo optimalne resitve po posameznih pravilih

min max 0.1 0.2 0.5 0.9 Lapl

20 −121 245 −84 −47 62 206 153

30 −168 380 −194 −59 108 325 198

40 −216 515 −143 −70 150 443 210

50 −264 650 −172 −81 193 560 193

X∗ 20 20 20 50 50 40

P ∗ −121 −84 −47 193 560 210



&

$

%

. . . Primer

Za izbiro resitve po Savegeovem pravilu najprej sestavimo tabelo obzalovanjaq∗(X, S)

0 10 20 30 40 50 min

20 0 0 0 135 270 405 405

30 47 48 47 0 135 270 270

40 95 95 95 48 0 135 135

50 143 143 144 96 47 0 144

iz katere preberemoX∗ = 40, P ∗ = 135



&

$

%

. . . Primer / opombe

Iz primerov se hitro vidi, da opisana pravila ponujajo razlicne odgovore.Tako koncna odlocitev se vedno ostane odlocevalcu. Precej je odvisna odznacilnosti odlocevalca in naloge.

BOLJE VRABEC V ROKI KOT GOLOB NA STREHI.KDOR NE RISKIRA, NE PROFITIRA.



&

$

%

Zazelene lastnosti

1. omogoca primerjavo za vsak par resitev.

XPY ⇔ P (X) ≥ P (Y )

2. neodvisnost od oznak.

3. neodvisnost od izbire lestvice (merske enote).

q′ = αq + β, α > 0 ⇒ (P (X) > P (Y ) ⇔ P ′(X) ≥ P ′(Y ))

4. krepka dominacija

∀R ∈ R : q(X, R) > q(Y, R) ⇒ P (X) > P (Y )

5. neodvisnost od dodajanja resitev: Φ′ = Φ ∪ {Z}

∀X, Y ∈ Φ : (P (X) > P (Y ) ⇔ P ′(X) > P ′(Y ))



&

$

%

. . . Zazelene lastnosti6. neodvisnost na pristetje konstante stolpcu.

∀X ∈ Φ : q′(X, R) = q(X, R)+c ⇒ (P (X) > P (Y ) ⇔ P ′(X) ≥ P ′(Y ))

7. neodvisnost od ’permutacije vrstice’; ce eni resitvi pripada permutacijavrednosti druge resitve, morata biti enakovredni.

8. neodvisnost od podvojitve stanj; ce dodamo stanje, ki ima enakevrednosti kot ze neko obstojece, to ne vpliva.

Izkaze se, da noben kriterij ne zadosca vsem nastetim lastnostim. Takoodpovejo: Wald, Hurwicz: 6; Laplace: 8; Savage: 5,7.

Ce kriterij zadosca lastnostim 1,4,5,6,7, je to Laplaceov kriterij.



&

$

%

Bayesov izrek in odlocitvena drevesaIz verjetnostnega racuna poznamo Bayesov izrek

IZREK 1 Naj bo A1, A2, . . . , An razbitje nekega dogodka A = ∪Ai,Ai ∩Aj = ∅, i 6= j in naj bo B ⊆ A dogodek s p(B) > 0. Tedaj je

p(Ak/B) =p(B/Ak)

p(B)p(Ak)

pri cemer je p(B) =∑

i p(B/Ai)p(Ai).



&

$

%

PrimerTabela koristnosti (dobicka) q za tri mozne odlocitve A, B, C in tri mozne rezultateRazcvet, Stalnost, Padanje je takale

R S P

A 400 200 −100

B 350 150 0

C 200 150 100

Katero odlocitev izbrati?

Ce nimamo druge informacije, uporabimo recimo Laplaceovo pravilo in dobimop(R) = p(S) = p(P ) = 1

3ter dalje

X A B C

P (X) 5003

5003

4503



&

$

%

PrimerNo, recimo, da imamo skupino svetovalcev, katerih ucinkovitost opisuje naslednjatabela verjetnosti p(V ′/U), kjer je U dejanski rezultat, V ′ pa napovedani rezultat.

p(V ′/U) R S P

R′ 0.4 0.3 0.2

S′ 0.5 0.4 0.5

P ′ 0.1 0.3 0.3

Recimo se, da so svetovalci napovedali, da bo to leto rezultat Stalen – torej S′. Tedaj

lahko to upostevamo v pricakovani koristnosti

P (X;S′) =∑U∈R

q(X, U)p(U/S′)

Za to moramo izracunati ‘popravljene’ verjetnosti p(U/S′), U ∈ R.



&

$

%

PrimerNajprej dolocimo p(S′)

p(S′) = p(S′/R)p(R) + p(S′/S)p(S) + p(S′/P )p(P ) =

= 0.5 · 1

3+ 0.4 · 1

3+ 0.5 · 1

3=

1.4

3=

7

15

in nato po Bayesovem obrazcu se

p(R/S′) =p(S′/R)p(R)

p(S′)=

5

14p(S/S′) =

p(S′/S)p(S)

p(S′)=

2

7

p(P/S′) =p(S′/P )p(P )

p(S′)=

5

14

Sedaj lahko izracunamo popravljene ocene za pricakovane koristnosti

X A B C

P (X; S′) 11507

11757

10507

Torej je najustreznejsa odlocitev B.s s y s l s y ss * 6


&

$

%

Odlocitvena drevesa

V prejsnjem razdelku smo spoznali odlocitvene tabele. Odlocitveno tabelolahko prikazemo tudi v obliki drevesa

Rj

Xi q(Xi, Rj)

48 Vladimir Batagelj: Uvod v operacijske raziskave

5.2.3 Odlocitvena drevesa

V prejsnjem razdelku smo spoznali odlocitvene tabele. Odlocitveno tabelo

Rj

Xi q(Xi, Rj)

lahko prikazemo tudi takole

j

j

j

X1

Xi Rj

p(Rj/Xi)q(Xi, Rj)

pri cemer s kvadratkom oznacimo odlocitveno tocko, s krozcem pa dogod-

kovno (nakljucnostno) tocko.

No, koristnosti q(Xi, Rj) so lahko rezultat drugih odlocitev – tako do-bimo odlocitveno drevo.

5.2.4 Primer: preprodajalec slik

Kupec je pripravljen placati za sliko ‘Tihozitje’ 50 denot. Preprodajaleclahko danes kupi sliko za 40 denot. Ce pocaka, jo jutri, ce bo se naprodaj,dobi za 30 denot; in pojutrisnjem za 26 denot. Kasneje slika ne bo vecnaprodaj. Vsak dan je 60 % verjetno, da bo slika prodana. Kaj naj storipreprodajalec?

Vprasanju ustreza naslednje odlocitveno drevo

A

kB

u

u

C

kD

u

u

E

u

ukupi

ne kupi

naprodaj

prodana

0.4

0.6

kupi

ne kupi

10 20 24

0

00

naprodaj

prodana

0.4

0.6

kupi

ne kupi

Vrednost drevesa dolocamo od listov proti vrhu. V tocki:

pri cemer s kvadratkom oznacimo odlocitveno tocko, s krozcem pa dogod-kovno (nakljucnostno) tocko.

No, koristnosti q(Xi, Rj) so lahko rezultat drugih odlocitev – tako dobimoodlocitveno drevo.



&

$

%

Primer: preprodajalec slik




5.2.3 Odlocitvena drevesa

V prejsnjem razdelku smo spoznali odlocitvene tabele. Odlocitveno tabelo

Rj

Xi q(Xi, Rj)

lahko prikazemo tudi takole

j

j

j

X1

Xi Rj

p(Rj/Xi)q(Xi, Rj)

pri cemer s kvadratkom oznacimo odlocitveno tocko, s krozcem pa dogod-

kovno (nakljucnostno) tocko.

No, koristnosti q(Xi, Rj) so lahko rezultat drugih odlocitev – tako do-bimo odlocitveno drevo.

5.2.4 Primer: preprodajalec slik



A

kB

u

u

C

kD

u

u

E

u

ukupi

ne kupi

naprodaj

prodana

0.4

0.6

kupi

ne kupi

10 20 24

0

00

naprodaj

prodana

0.4

0.6

kupi

ne kupi

Vrednost drevesa dolocamo od listov proti vrhu. V tocki:s s y s l s y ss * 6


&

$

%

. . . Primer: preprodajalec slik

Vrednost drevesa dolocamo od listov proti vrhu. V tocki:

E – se odlocimo za nakup, kar prinese 24 denot;

D – pricakovani dobicek v tocki je 0.4 · 24 + 0.6 · 0 = 9.6 denot;

C – ker je pricakovani dobicek v tocki D manjsi, se odlocimo za nakup,kar prinese 20 denot;

B – pricakovani dobicek v tocki je 0.4 · 20 + 0.6 · 0 = 8 denot;

A – ker je pricakovani dobicek v tocki B manjsi, se odlocimo za takojsnjinakup slike, kar prinese 10 denot;

Torej naj preprodajalec takoj kupi sliko.



&

$

%

Popravljene verjetnostiTudi v odlocitvena drevesa lahko vgradimo popravljene verjetnosti. Posto-pek izracuna drevesa je v tem primeru nekoliko zapletenejsi:

1. Doloci zgradbo (tocke in povezave) odlocitvenega drevesa;

2. Doloci koristnosti koncnih izidov (listov drevesa)

Nacela odlocanja 49







5.2.5 Popravljene verjetnosti

Tudi v odlocitvena drevesa lahko vgradimo popravljene verjetnosti. Postopekizracuna drevesa je v tem primeru nekoliko zapletenejsi:



k

q(i, n)

q(i, k)

q(i, 1)

i

R1

Rk

Rn

3. Doloci zacetne ocene verjetnosti koncnih izidov p(Rk);

4. Doloci ocene pogojnih verjetnosti predhodnih dogodkov p(T/R)

l

l

T

XR

3. Doloci zacetne ocene verjetnosti koncnih izidov p(Rk);s s y s l s y ss * 6


&

$

%

. . . Popravljene verjetnosti


Nacela odlocanja 49







5.2.5 Popravljene verjetnosti

Tudi v odlocitvena drevesa lahko vgradimo popravljene verjetnosti. Postopekizracuna drevesa je v tem primeru nekoliko zapletenejsi:



k

q(i, n)

q(i, k)

q(i, 1)

i

R1

Rk

Rn

3. Doloci zacetne ocene verjetnosti koncnih izidov p(Rk);


l

l

T

XR

5. Izracunaj popravljene ocene verjetnosti

p(R/T ) =p(T/R)p(T )

p(R) p(T ) =∑R∈R

p(T/R)p(R)



&

$

%

. . . Popravljene verjetnosti

6. V dogodkovni tocki izracunaj pricakovane koristnosti odlocitev

p(X;T ) =∑R∈R

p(R/T )q(X, R)

7. V odlocitveni tocki izberi najugodnejso odlocitev.



&

$

%

Primer: Letalska druzba

Letalska druzba namerava nabaviti ze rabljeno letalo, ki stane 170 de-not. Ocenjujejo, da bodo z njim imeli, ce je odlicno ohranjeno 1000denot dobicka, ce je zadovoljivo 340 denot dobicka in ce je slabo le 10denot dobicka. Verjetnosti, da je letalo odlicno, zadovoljivo ali slabo sozaporedoma 0.2, 0.3 in 0.5.

Druzba lahko naroci oceno letala pri izvedenski firmi, ki zahteva za svojeporocilo 10 denot. Vodstvo druzbe takole ocenjuje pogojne verjetnostip(porocilo/kakovost letala)

O(dlicno) Z(adovoljivo) S(labo)

U(godno) 0.9 0.6 0.1

N(eugodno) 0.1 0.4 0.9

Kako naj se vodstvo druzbe odloci? Sestavimo odlocitveno drevo.s s y s l s y ss * 6


&

$

%

. . . Primer: Letalska druzba

Nacela odlocanja 51

V

W

kD

kC

Y

X

kB

kA

990

330

0

160

990

330

0

160

1000

340

10

170

porocilo

brez

porocila

ugodno

neugodno

kupi

ne kupi

kupi

ne kupi

kupi

ne kupi

O

Z

S

O

Z

S

O

Z

S

Slika 5.1: Odlocitveno drevo



&

$

%


Vecina potrebnih podatkov je dana ze v opisu vprasanja, tako da lahkozacnemo kar z izracunom popravljenih verjetnosti.

Najprej izracunamo p(U) in p(N):

p(U) = p(U/O)p(O) + p(U/Z)p(Z) + p(U/S)p(S) =

= 0.9 · 0.2 + 0.6 · 0.3 + 0.1 · 0.5 = 0.41

p(N) = 1− p(U) = 0.59

nato pa se posamicne popravljene verjetnosti

p(O/U) =p(U/O)p(O)

p(U)=

0.9 · 0.20.41

= 0.439



&

$

%

. . . Primer: Letalska druzbain podobno

p(O/N) = 0.034

p(Z/U) = 0.439 p(Z/N) = 0.203

p(S/U) = 0.122 p(S/N) = 0.763

Te uporabimo pri izracunu pricakovanih koristnosti v tockah A, B, C in D.V tocki A imamo

P (A; U) = p(O/U)q(A, O) + p(Z/U)q(A, Z) + p(S/U)q(A, S) =

= 0.439 · 990 + 0.439 · 330 + 0.122 · 0 = 579

podobno dobimo tudi

P (B; N) = p(O/N)q(B, O) + p(Z/N)q(B, Z) + p(S/N)q(B, S) = 101

P (C) = p(O)q(C, O) + p(Z)q(C, Z) + p(S)q(C, S) = 307



&

$

%


Nacela odlocanja 53

V

W

kD

kC

Y

X

kB

kA

990

330

0

160

990

330

0

160

1000

340

10

170

porocilo

brez

porocila

ugodno

neugodno

kupi

ne kupi

kupi

ne kupi

kupi

ne kupi

O

Z

S

O

Z

S

O

Z

S 0.5

0.3

0.2

0.763

0.203

0.034

0.122

0.439

0.439

579

101

307

307

332

332

160

0.59

0.41

579

Slika 5.2: Odlocitveno drevo



&

$

%


V tocki X se odlocimo za nakup, ker prinasa vecjo pricakovano korist(579 > 160). Torej je P (X) = 579.

V tocki Y se ne odlocimo za nakup, ker je 160 > 101. Zato je P (Y ) = 160.

Sedaj pa ze lahko izracunamo P (D)

P (D) = p(U)P (X) + p(N)P (Y ) = 0.41 · 579 + 0.59 · 160 = 332

V tocki W se odlocimo za nakup (307 > 170); kar da P (W ) = 307.

Preostane nam se odlocitev v vrhu drevesa V . Ker je P (D) = 332 > 307 =P (W ), je ustreznejsa odlocitev za narocilo mnenja.

Povzemimo:

Druzba naj naroci porocilo. Ce bo porocilo ugodno, naj letalokupi, sicer pa ne.



&

$

%

Nagnjenost k tveganjuPoglejmo si odlocitveno drevo


in podobno

p(O/N) = 0.034p(Z/U) = 0.439 p(Z/N) = 0.203p(S/U) = 0.122 p(S/N) = 0.763

Te uporabimo pri izracunu pricakovanih koristnosti v tockah A, B, C in D.V tocki A imamo

P (A;U) = p(O/U)q(A,O) + p(Z/U)q(A,Z) + p(S/U)q(A,S) =

= 0.439 · 990 + 0.439 · 330 + 0.122 · 0 = 579

podobno dobimo tudi

P (B;N) = p(O/N)q(B,O) + p(Z/N)q(B,Z) + p(S/N)q(B,S) = 101

P (C) = p(O)q(C,O) + p(Z)q(C,Z) + p(S)q(C,S) = 307

V tocki X se odlocimo za nakup, ker prinasa vecjo pricakovano korist(579 > 160). Torej je P (X) = 579.

V tocki Y se ne odlocimo za nakup, ker je 160 > 101. Zato je P (Y ) =160.

Sedaj pa ze lahko izracunamo P (D)

P (D) = p(U)P (X) + p(N)P (Y ) = 0.41 · 579 + 0.59 · 160 = 332

V tocki W se odlocimo za nakup (307 > 170); kar da P (W ) = 307.Preostane nam se odlocitev v vrhu drevesa V . Ker je P (D) = 332 >

307 = P (W ), je ustreznejsa odlocitev za narocilo mnenja.Povzemimo:

Druzba naj naroci porocilo. Ce bo porocilo ugodno, naj letalokupi, sicer pa ne.

5.2.7 Nagnjenost k tveganju

Poglejmo si odlocitveno drevo

lA

B

1− p

p

max

min

G

Vzemimo na primer max = 10000 denot, min = 0 denot in p = 0.5. Tedajje pricakovana vrednost moznosti A

P (A) = 10000 · 0.5 + 0 · 0.5 = 5000

Torej bi se odlocili za B, ce je G ≥ 5000 denot, sicer pa za A. Dejanskopa bi se marsikdo raje odlocil za gotovi dobitek B, tudi ce je, recimo,G = 3000 denot. Po drugi strani veliko ljudi igra igre na sreco.



&

$

%

. . . Nagnjenost k tveganju


Vzemimo na primer max = 10000 denot, min = 0 denot in p = 0.5.Tedaj je pricakovana vrednost moznosti A

P (A) = 10000 · 0.5 + 0 · 0.5 = 5000

Torej bi se odlocili za B, ce je G ≥ 5000 denot, sicer pa za A. Dejansko pabi se marsikdo raje odlocil za gotovi dobitek B, tudi ce je, recimo, G = 3000denot. Po drugi strani veliko ljudi igra igre na sreco.

-

6v

G

min max

t

t

t

G

p

v(G)

(G, p)

1

0

Slika 5.3: Krivulja previdnosti

Ljudje smo razlicno nagnjeni k tveganju. Pri danih min in max

posamezni vrednosti p ustreza vrednost G(p), pri kateri sta za uporab-nika moznosti A in B enakovredni. Vrednosti (p,G(p)) lahko povzamemos krivuljo previdnosti (nagnjenosti k tveganju, pomembnosti) p = v(G).Krivulja previdnosti je strogo narascajoca.

V primeru konstantne previdnosti ima krivulja obliko

v(G) = a− be−λG

oziroma

v(G) = a1− e−λG

λ+ b

Z uporabo krivulje previdnosti lahko upostevamo uporabnikovo nag-njenost k tveganju tako, da za vrednosti listov v odlocitvenem drevesunamesto vrednosti q vzamemo v(q). Nato opravimo obicajni izracun drevesa,ki nam da vrednost v∗. To pretvorimo nazaj v obicajne vrednosti q∗ =G(v∗).

Ljudje smo razlicno nagnjeni k tveganju. Pri danih min in max posameznivrednosti p ustreza vrednost G(p), pri kateri sta za uporabnika moznostiA in B enakovredni. Vrednosti (p, G(p)) lahko povzamemo s krivuljoprevidnosti (nagnjenosti k tveganju, pomembnosti) p = v(G). Krivuljaprevidnosti je strogo narascajoca.



&

$

%

. . . Nagnjenost k tveganju

V primeru konstantne previdnosti ima krivulja obliko

v(G) = a− be−λG

oziroma

v(G) = a1− e−λG

λ+ b

Z uporabo krivulje previdnosti lahko upostevamo uporabnikovo nagnjenostk tveganju tako, da za vrednosti listov v odlocitvenem drevesu namestovrednosti q vzamemo v(q). Nato opravimo obicajni izracun drevesa, ki namda vrednost v∗. To pretvorimo nazaj v obicajne vrednosti q∗ = G(v∗).



&

$

%

Saatyev postopekNajpogostejsi nacin dolocitve kriterijske funkcije P (Xi) resitve Xi ∈ Φv primeru vecih rezultatov ali ciljev R = {Rj} je nenegativna linearnakombinacija

P (Xi) =∑

Rj∈Rwjq(Xi, Rj),

∑j

wj = 1, wj ≥ 0

kjer je q(Xi, Rj) koristnost resitve Xi pri rezultatu Rj in wj utez.

Rj

Xi q(Xi, Rj)

Dosedaj smo spoznali ze nekaj nacinov dolocitve potrebnih podatkov.s s y s l s y ss * 6


&

$

%

. . . Saatyev postopekThomas L. Saaty je razvil postopek, ki omogoca postopno dolocitev utezi wj inmatrike Q = [q(Xi, Rj)], in temelji na parnih primerjavah moznosti. Postopekomogoca tudi preverjanje usklajenosti uporabnikovih ocen.

Ocenjevanje poteka v razmernostni lestvici. Ocene zdruzimo v kvadratno matrikoA = [aij ]. Na voljo imamo ocene: moznost

1 i je enakovredna j

3 i je malce pomembnejsa kot j

5 i je opazno pomembnejsa kot j

7 i je bistveno pomembnejsa kot j

9 i je neprimerno pomembnejsa kot j

ali pa obratno vrednost, ce med moznostima i in j velja obratni odnos – torej

aij =1

aji

V primeru dvoma lahko uporabimo tudi vmesne vrednosti 2, 4, 6, 8.s s y s l s y ss * 6


&

$

%

. . . Saatyev postopek

Vselej je aii = 1. Poleg tega pricakujemo, da ocene v dovoljsni merizadoscajo pogoju usklajenosti

ais · asj = aij

za vse trojice i, j in s. Ce v pogoju usklajenosti postavimo j → i in s → j,dobimo ze znano zvezo aij · aji = aii = 1 oziroma aij = 1

aji.

Ce bi bile ocene usklajene, bi veljalo

aij = ai∗ · a∗j =ai∗

aj∗

oziroma, ce oznacimo ai∗ = twi

aij =wi

wj



&

$

%

. . . Saatyev postopekTorej lahko matriko ocen zapisemo v obliki

A =

w1w1

· · · w1wj

· · · w1wm

......

...wi

w1· · · wi

wj· · · wi

wm

......

...wm

w1· · · wm

wj· · · wm

wm

Sestejmo enakost

aij ·wj

wi= 1

po j. Dobimom∑

j=1

aij ·wj

wi=

m∑j=1

1 = m



&

$

%

. . . Saatyev postopek

oziromam∑

j=1

aij · wj = mwi

za i = 1, . . . ,m. Vpeljimo w = [w1, w2, . . . , wm]T pa lahko gornjo zvezozapisemo v matricni obliki

Aw = mw

Torej je m lastna vrednost, w pa lastni vektor matrike A.

Kvadratna matrika A je pozitivna reciprocna, ce njeni cleni zadoscajopogojema

aij > 0 in aij = a−1ji



&

$

%

. . . Saatyev postopek – reciprocne matrike

Naj bo A pozitivna reciprocna matrika reda m. Pokazati je mogoce:

• ker A zadosca pogojem Perron-Frobeniusovega izreka za pozitivnematrike, ima pozitivno lastno vrednost λmax, ki je po absolutnivrednosti najvecja med njenimi lastnimi vrednostmi in velja λmax ≥m. Tudi pripadajoci lastni vektor je pozitiven. Matrika nima drugihpozitivnih lastnih vrednosti.

• lastne vrednosti matrike A zadoscajo enakostima∑i

λi = m in∑

i

λ2i = m2

• matrika A je usklajena natanko takrat, ko je λmax = m.

• majhne spremembe vrednosti clenov matrike A malo vplivajo navrednost λmax in vrednosti pripadajocega lastnega vektorja.



&

$

%

. . . Saatyev postopek – usklajenostUporabnikove ocene v matriki A niso nujno usklajene. Zato dolocimooceno utezi w kot lastni vektor, ki ustreza njeni najvecji lastni vrednostiλmax.

Aw = λmaxw

Ker je λmax ≥ m in je za usklajeno matriko λmax = m, nam razlikaλmax −m meri neusklajenost matrike A. Seveda je napaka se odvisna odm. Zato je Saaty vpeljal usklajenostni indeks

CI =λmax −m

m− 1S poskusi so za nakljucne pozitivne reciprocne matrike dobili naslednjepovprecne vrednosti RI za indeks CI .

m 2 3 4 5 6 7 8 9 10

RI 0.00 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.51s s y s l s y ss * 6


&

$

%

. . . Saatyev postopek – usklajenostMatrika A je dovolj usklajena, ce je zanjo razmerje K = CI

RI ≤ 0.1.

Vrednosti v tabeli za RI lahko razmeroma dobro povzamemo z obrazcem

RI ≈ 1.93758(m− 2)m + 0.281467

≈ 62(m− 2)32m + 9

Ce matrika ocen ni dovolj usklajena, jo moramo popraviti. Pri tem sipomagamo s podatki o odstopanjih posameznih clenov

δ(i, j) = |aij −wi

wj|

Programi za Saatyev postopek nas najpogosteje opozorijo na par (u, v), kinajbolj odstopa

δ(u, v) = maxi,j

δ(i, j)

ali pa na vrstico, ki ima najvecje skupno odstopanje maxi

∑j

δ(i, j).



&

$

%

. . . Saatyev postopekPoglejmo sedaj, kako povedano uporabimo pri pripravi odlocitvene tabele.

Rj P (X)

......

...

Xi · · · wRj (Xi) · · ·∑

jwRj (Xi)wR(Rj)

......

...

wR · · · wR(Rj) · · ·

Najprej opravimo medsebojne primerjave ciljev – sestavimo matriko ocen

A(R × R). Ce je dovolj usklajena, nam pripadajoci lastni vektor wR doloca

utezi posameznih ciljev. Nato za vsak cilj C ∈ R posebej opravimo primerjave

resitev glede na ta cilj – sestavimo matriko A(Φ × Φ/C). Ce je dovolj usklajena,

nam pripadajoci lastni vektor wC doloca stolpec cilja C v matriki koristnosti Q.

Torej q(X, C) = wC(X). Sedaj imamo odlocitveno tabelo izpolnjeno in lahko

izracunamo ocene koristnosti P (X) posameznih resitev.s s y s l s y ss * 6


&

$

%

Primer: Izbira prve zaposlitveStudent racunalnistva bo kmalu diplomiral. Je med najboljsimi studentiv letniku. Doma je iz Kranja, dekle in vecino prijateljev ima v Ljubljani.Odlociti se mora: Kam v sluzbo?

Na voljo ima naslednje moznosti (resitve):

MS – Murska Sobota, Mura, vodja racunskega centraLJ – Ljubljana, IJS, mladi raziskovalecKR – Kranj, Gimnazija, ucitelj racunalnistva

Pri svoji izbiri se je odlocil upostevati naslednje cilje:

OD – visina osebnega dohodkaKA – kakovost zivljenja v kraju sluzbeZA – zanimivost sluzbeSO – blizina doma, sorodnikov in znancev



&

$

%

. . . Primer: Izbira prve zaposlitveMatrika primerjav pomembnosti ciljev:

OD KA ZA SO

OD 1 5 2 4

KA 15 1 1

212

ZA 12 2 1 2

SO 14 2 1

2 1

wR 0.5122 0.0976 0.2440 0.1461

Zanjo dobimo λmax = 4.0473, CI = 0.0158, K = 0.0175 inlastni vektor wR. Ker je K < 0.1, je matrika primerjav dovolj usklajena.Najvecjo neusklajenost povzroca (SO, KA) = 2.0. Njegova vrednost bi

morala biti wR(SO)

wR(KA)= 0.1461

0.0976 = 1.4967. Odstopanje od prave vrednosti je

torej δ(SO,KA) = 0.5033.s s y s l s y ss * 6


&

$

%

. . . Primer: Izbira prve zaposlitve

Matrika primerjav resitev glede na visino osebnega dohodka:

OD MS LJ KR

MS 1 2 4

LJ 12 1 2

KR 14

12 1

wOD 0.5714 0.2857 0.1429

λmax = 3.0000 CI = 0.0000 K = 0.0000

Matrika je usklajena.



&

$

%


Matrika primerjav resitev glede na kakovost zivljenja

KA MS LJ KR

MS 1 12

13

LJ 2 1 13

KR 3 3 1

wKA 0.1571 0.2493 0.5936

λmax = 3.0536 CI = 0.0268 K = 0.0462

δ(KR, MS) = |3.0000− 3.7785| = 0.7785



&

$

%


Matrika primerjav resitev glede na zanimivost sluzbe

ZA MS LJ KR

MS 1 17

13

LJ 7 1 3

KR 3 13 1

wZA 0.0879 0.6695 0.2426

λmax = 3.0070 CI = 0.0035 K = 0.0061

δ(LJ, MS) = |7.0000− 7.6120| = 0.6120



&

$

%


Matrika primerjav resitev glede na blizino doma in znancev

SO MS LJ KR

MS 1 14

17

LJ 4 1 2

KR 7 12 1

wSO 0.0855 0.5196 0.3949

λmax = 3.1769 CI = 0.0885 K = 0.1525

δ(KR, MS) = |7.0000− 4.6168| = 2.3832

Ker je K > 0.1, je potrebno matriko popraviti. Recimo, da se je student obponovnem premisleku odlocil, da postavi a(KR, LJ) = 2.



&

$

%


Analiza popravljene matrike nam da

SO MS LJ KR

MS 1 14

17

LJ 4 1 12

KR 7 2 1

wSO 0.0823 0.3150 0.6026

λmax = 3.0020 CI = 0.0010 K = 0.0017

δ(KR, MS) = |7.0000− 7.3187| = 0.3187

Popravljena matrika je dovolj usklajena.



&

$

%


Povzemimo:

X wOD wKA wZA wSO P (X)

MS 0.5714 0.1571 0.0879 0.0823 0.3415

LJ 0.2857 0.2493 0.6695 0.3150 0.3801

KR 0.1429 0.5936 0.2426 0.6026 0.2784

wR 0.5122 0.0976 0.2440 0.1461

Najvecjo vrednost kriterijske funkcije P (X) ima resitev LJ –

Student naj se odloci za zaposlitev na IJS.



&

$

%

Dolocanje prednosti resitev iz vrednostiVcasih imamo, glede na cilj C, za resitve X1, . . . , Xn znane vrednosti (vrazmernostni lestvici) vi = v(Xi). Tedaj lahko prednosti resitev wC(Xi)izracunamo iz teh vrednosti. Zapisimo Xi C Xj ≡ resitev Xi je glede nacilj C boljsa od resitve Xj . Locimo dva primera:

a) ce je Xi C Xj ⇔ v(Xi) > v(Xj), postavimo

wC(Xi) =v(Xi)∑n

j=1 v(Xj)

b) ce je Xi C Xj ⇔ v(Xi) < v(Xj), postavimo

wC(Xi) =v(Xi)−1∑n

j=1 v(Xj)−1



&

$

%

Zgled 1. Dolocanje prednosti resitev iz vrednosti

Naj v(X) predstavlja ponujeno placo v ustanovi X , tedaj dobimo za danezneske naslednje prednosti

X v(X) wC(X)

A 110 0.208

B 145 0.274

C 150 0.283

D 125 0.236



&

$

%


Naj v(X) predstavlja porabo goriva na 100 km vozila X , tedaj dobimo zaprednosti avtomobilov glede na porabo

X v(X) wC(X)

AX 3.5 0.419

Tipo 9.0 0.163

XM 16.0 0.092

R5 4.5 0.326

Da ustrezno izrazimo svoj odnos do resitev, je vcasih pred izracunomprednosti potrebno vrednosti ‘popraviti’ – dolocimo vrednosti v′(X) =f(v(x)) in nato pri izracunu prednost wC uporabimo vrednosti v′.



&

$

%


Recimo, da je za nas ponujena placa v ustanovi C opazno boljsa kot placav ustanovi A. Tedaj, ce privzamemo f(v) = v − a, mora veljati zveza

5 =v′(C)v′(A)

=v(C)− a

v(A)− a=

150− a

110− a, kar da a = 100

Izracunajmo se prednosti

X v(X) v′(X) wC(X)

A 110 10 0.077

B 145 45 0.346

C 150 50 0.385

D 125 25 0.192



&

$

%

HierarhijaSaatyev postopek lahko razsirimo tudi na drevesa.


wR

(h)k

(Φ)

wR

(h−1)j

(Φ)

R(h−1)1

· · · · · ·

· · · · · ·

R(h−1)j

h− 1 :

h :

w(R(h))

R(h)1 R

(h)k R

(h)m

Slika 5.4: Hierarhija

5.3.5 Hierarhija

Saatyev postopek lahko razsirimo tudi na drevesa, kakor prikazuje slika.Opisimo potek izracuna. Naj bo h tekoca raven v drevesu. Recimo, da

poznamo za rezultate/cilje R(h) na tej ravni ocene vrednosti resitev

wR

(h)k

(Φ) =

wR

(h)k

(X1)

...w

R(h)k

(Xn)

, k = 1, . . . ,m

Te vrednosti

• ali izracunamo iz pripadajocega poddrevesa;

• ali izracunamo iz vrednosti resitev;

• ali pa ocenimo s primerjanjem parov.

S primerjanjem parov ocenimo se prednosti posameznih ciljev w(R(h)).Tako imamo vse potrebne podatke za izracun vrednosti resitev glede na

cilj R(h−1)j na ravni h− 1

wR

(h−1)j

(Xi) =m

∑

k=1

w(R(h)k w

R(h)k

(Xi)



&

$

%

. . . Hierarhija

Opisimo potek izracuna. Naj bo h tekoca raven v drevesu. Recimo, dapoznamo za rezultate/cilje R(h) na tej ravni ocene vrednosti resitev

wR

(h)k

(Φ) =

w

R(h)k

(X1)...

wR

(h)k

(Xn)

, k = 1, . . . ,m

Te vrednosti

• ali izracunamo iz pripadajocega poddrevesa;

• ali izracunamo iz vrednosti resitev;

• ali pa ocenimo s primerjanjem parov.

S primerjanjem parov ocenimo se prednosti posameznih ciljev w(R(h)).s s y s l s y ss * 6


&

$

%

. . . Hierarhija

Tako imamo vse potrebne podatke za izracun vrednosti resitev glede na ciljR

(h−1)j na ravni h− 1

wR

(h−1)j

(Xi) =m∑

k=1

w(R(h)k )w

R(h)k

(Xi)



&

$

%

Osnove teorije igerO igri govorimo, ko odlocitev izbira/doloca vec oseb ali dejavnikov –igralcev interesi katerih ne sovpadajo. Naloge teorije iger sodijo medprobleme nedolocenosti (nepolnega poznavanja pojava, delovanje drugihoseb).

Igra je dolocena z naborom pravil. Realizaciji teh pravil pravimo partija.Partijo lahko sestavlja vec korakov – odlocitev posameznega igralca. Pravilatudi dolocajo, kako si na koncu partije igralci placajo.

Igre se locijo po:

• stevilo igralcev, N ≥ 2; pri igrah vecih igralcev lahko pride dozaveznistev – zdruzevanja igralcev zaradi skupnih delnih interesov;



&

$

%

. . . Teorija iger

• naj bo Pi placilo i-tega igralca. Nastopita moznosti:

– partija z nicelno vsoto∑

Pi = 0;

–∑

Pi 6= 0 partija z nenicelno vsoto∑

Pi 6= 0;

Igra je z nicelno vsoto, ce so take vse mozne partije.

• stevilo korakov in moznosti v posameznem koraku: koncna, vsa stevilaso koncna; neskoncna, sicer;

• informacija: polna / nepolna;

Naloga teorije iger je dolociti strategije – navodila, kako naj igralec igra, dabo njegov izkupicek cim vecji.

Predpostavke: racionalnost igralcev; sebicnost igralcev – ni usmiljenja.



&

$

%

Matricne igre

Matricna igra je koncna igra dveh igralcev z nicelno vsoto.

Teorijo matricnih iger sta razdelala John von Neumann in Oskar Morgen-stern (1944). Matricna igra je dolocena s svojo placilno matriko:

A = [aij ]n×m

Potek igre: prvi igralec izbere svojo vrstico i; drugi igralec neodvisno (neda bi poznal izbiro prvega) svoj stolpec j. Nato prvi igralec placa drugemuznesek aij (ce je aij < 0, od njega dobi).

P1 = −aij , P2 = aij ,∑

Pi = P1 + P2 = 0

Oba igralca poznata placilno matriko.



&

$

%

. . . Matricne igreCe drugi igralec izbere stolpec j, potem bo dobil vsaj mini aij . Ker lahkostolpec poljubno izbira, ga bo izbral tako, da bo zagotovljeni dobiceknajvecji.

v = maxj

mini

aij

Podobno, ce prvi igralec izbere vrstico i, lahko izgubi najvec maxj aij .Ker lahko vrstico poljubno izbira, jo bo izbral tako, da bo mogoca izgubanajmanjsa.

v = mini

maxj

aij

Ce obstaja vrednost v, tako da velja

v = maxj

mini

aij = mini

maxj

aij = ai∗j∗

predstavlja izbira i∗, j∗ optimalni odlocitvi za oba igralca – (i∗, j∗) je sedloplacilne matrike.



&

$

%

Primer matricne igre s sedlom

4 −3 2 4

−2 −1 0 0

−1 0 3 3

−3 2 1 2

−3 −3 0



&

$

%

Matricne igre brez sedlaKaj pa, ce placilna matrika nima sedla? Tedaj je v < v in razlika v − v

pripade srecnejsemu od igralcev.

Mesana strategija igralca 1 je podana s porazdelitvijo p = [pi]m1 , pi ≥0,

∑pi = 1, pri cemer je pi = verjetnost, da se igralec 1 odloci za i-to

vrstico. Mesana strategija p = [pi]m1 je cista, ce ima obliko pi = 1 inpj = 0, i 6= j. Mnozico vseh mesanih strategij prvega igralca oznacimo sS1.

Podobno porazdelitev q = [qj ]n1 , qj ≥ 0,∑

qj = 1 doloca mesanostrategijo drugega igralca. Mnozico vseh mesanih strategij drugega igralcaoznacimo s S2.

Pricakovana vrednost placila prvega igralca drugemu (oziroma dobicekdrugega) je enaka

E(p, q) =∑

i

∑j

aijpiqj



&

$

%

. . . Matricne igre brez sedla

Tedaj lahko prvi igralec zagotovi, da ne bo v povprecju izgubil vec kot

minp∈S1

P (p) = minp∈S1

maxq∈S2

E(p, q)

drugi pa, da bo dobil vsaj

maxq∈S2

Q(q) = maxq∈S2

minp∈S1

E(p, q)

oba cilja dolocata optimizacijski nalogi Π1 = (S1, P, min) inΠ2 = (S2, Q,max).



&

$

%

Matricne igre brez sedla – izrek

Pokazati je mogoce, da velja

IZREK 2 Optimizacijski nalogi (S1, P, min) in (S2, Q,max) sta enako-vredni nalogama linearnega programiranja LP1 = (Φ, P ′,min)

Φ = {(p, pm+1) : p ∈ S1,

m∑i=1

aijpi ≤ pm+1, j = 1, . . . , n}

P ′((p, pm+1)) = pm+1

in LP2 = (Ψ, Q′,max)

Ψ = {(q, qn+1) : q ∈ S2,n∑

j=1

aijqj ≥ qn+1, i = 1, . . . ,m}

Q′((q, qn+1)) = qn+1

Nalogi sta dualni.s s y s l s y ss * 6


&

$

%

Matricne igre brez sedla – dokaz izrekaPokazali bomo le prvo enakovrednost – drugo uzenemo podobno.

Naloga Π1 = (S1, P, min) je enakovredna nalogi (Γ, P ′,min)

Γ = {(p, pm+1) : E(p, q) ≤ pm+1, p ∈ S1, q ∈ S2}P ′((p, pm+1)) = pm+1

Pokazimo, da je Φ = Γ. Za q(j) = (0, . . . , 1, . . . , 0) velja

E(p, q(j)) =m∑

i=1

aijpi ≤ pm+1

za vsak j = 1, . . . , n. Torej je Γ ⊆ Φ.

Pokazimo se Φ ⊆ Γ. Naj bo (p, pm+1) ∈ Φ. Pogoj

m∑i=1

aijpi ≤ pm+1, j = 1, . . . , n



&

$

%

pomnozimo s qj ≥ 0 in dobljeno neenakost sestejemo po j. Dobimo

E(p, q) ≤ pm+1

n∑j=1

qj = pm+1

Torej je tudi (p, pm+1) ∈ Γ in zato Φ ⊆ Γ.

Pokazimo se dualnost obeh nalog. Lagrangeova funkcija za prvo nalogo je

L(p, q) = pm+1 +n∑

j=1

qj(m∑

i=1

aijpi − pm+1) + qn+1(1−m∑

i=1

pi) =

= qn+1 +m∑

i=1

(n∑

j=1

aijqj − qn+1)pi + (1−n∑

j=1

qj)pm+1

qj ≥ 0; qn+1 ∈ R. Dolocimo kriterijsko funkcijo Q′′ prirejene naloge



&

$

%

((R+0 )n × R, Q′′,max)

Q′′(q) = infp≥0

pm+1∈R

L(p, q) =

qn+1

∑j aijqj ≥ qn+1, i = 1, . . . ,m;

∑qi = 1

−∞ sicer

Kakor vidimo je prirejena naloga enakovredna nalogi (Ψ, Q′,max).

Vzemimo poljubno strategijo p ∈ S1. Tedaj (p, α), α = maxij aij pripadamnozici Γ – torej Γ 6= ∅. Ker je vselej minij aij ≤ P ′((p, pm+1)), je nalogaLP1 resljiva. Iz splosne teorije nalog linearnega programiranja izhaja, da jetedaj resljiva tudi naloga LP2, ki je dualna nalogi LP1.

Torej vselej obstajata mesani strategiji p in q (stratesko sedlo), tako da velja

minp∈S1

maxq∈S2

E(p, q) = maxq∈S2

minp∈S1

E(p, q)



&

$

%

Matricne igre brez sedla – Kamen, papir in skarjeIgralca socasno povesta (napiseta) eno od treh besed Kamen, Papir ali Skarje. Ceizbereta isto besedo, se ne zgodi nic; sicer pa upostevamo, da

• skarje prestrizejo papir;

• papir ovije kamen;

• kamen skrha skarje.

Zmagovalec partije dobi 1 denoto.

Sestavimo placilno matriko:

K P S

K 0 1 −1 1

P −1 0 1 1

S 1 −1 0 1

−1 −1 −1

Matrika nima sedla.s s y s l s y ss * 6


&

$

%

Zapisimo pripadajoci par dualnih nalog linearnega programiranja:

P ((p1, p2, p3, v)) = v

Φ = {(p1, p2, p3, v) :

p3 − p2 ≤ v, p1 − p3 ≤ v, p2 − p1 ≤ v,

p1 + p2 + p3 = 1, p1, p2, p3 ≥ 0}

Q((q1, q2, q3, v)) = v

Ψ = {(q1, q2, q3, v) :

q2 − q3 ≥ v, q3 − q1 ≥ v, q1 − q2 ≥ v,

q1 + q2 + q3 = 1, q1, q2, q3 ≥ 0}

Ce sestejemo prve tri neenakosti in upostevamo pripadajoco enakost, dobimo 0 ≤ v.Podobno izhaja iz druge naloge 0 ≥ v. Torej je v = 0 in zato iz prvih trehneenakosti p3 ≤ p2 ≤ p1 ≤ p3, kar da koncno p1 = p2 = p3 = 1

3. Podobno

dobimo se q1 = q2 = q3 = 13

.s s y s l s y ss * 6

operacijske raziskave / nacela odlocanja'vlado.fmf.uni-lj.si/vlado/or/orodloci.pdf · cena ene...

Documents