operaciones vectoriales
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Departamento De Ciencias โ Cajamarca Facultad De Ingenierรญa
OPERACIONES DIFERENCIALES
GRADIENTE๐๐ ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง
El gradiente implica la direcciรณn de
mรกximo crecimiento de una funciรณn o
campo escalar.Ejm:Si se toma como
campo escalar y se le asigna a cada punto
del espacio una temperatura T, entonces
el vector gradiente en cualquier punto del
espacio indicarรก la direcciรณn en la cual la
temperatura cambiarรก mรกs rรกpidamente.
La definiciรณn operacional serรก:
Coordenadas cartesianas:
๐๐ = ๐
๐๐ฅ๐ +
๐
๐๐ฆ๐ +
๐
๐๐ง๐ ๐
=๐๐
๐๐ฅ๐ +
๐๐
๐๐ฆ๐ +
๐๐
๐๐ง๐
Coordenadas cilรญndricas:
โ๐ = ๐
๐๐๐๐ +
1
๐
๐
๐โ ๐โ +
๐
๐๐ง๐ ๐ง ๐
Coordenadas esfรฉricas:
โ๐ = ๐
๐๐๐๐ +
1
๐
๐
๐๐๐๐ +
1
๐๐ ๐๐๐
๐
๐โ ๐โ ๐
Obs:
La componente de ๐๐en la direcciรณn de
un vector unitario ๐ es igual a ๐๐. ๐ y
se llama derivada de ๐ en la direcciรณn
de ๐ , o bien, derivada de ๐ segรบn ๐ .
Si queremos movernos en la direcciรณn
en que ๐ crece mรกs rรกpidamente
debemos movernos en la direcciรณn de
๐๐.
Si queremos movernos en la direcciรณn
en que ๐ decrece mรกs rรกpidamente
debemos movernos en la direcciรณn de
โ๐๐.
El campo vectorial gradiente muestra
la direcciรณn que es ortogonal a todas
las superficies de nivel de ๐
RELACIรN ENTRE LA DIRECCIรN DEL
GRADIENTE Y UNA SUPERFICIE DE
NIVEL
Para ilustrar que el gradiente de un
campo escalar es perpendicular en todo
punto a las superficies de nivel de ese
campo. Sea P1 cualquier punto sobre la
superficie de nivel ๐ ๐ = ๐ถ y sea P2 un
segundo punto situado a una distancia
vectorial infinitesimal ๐๐ del punto P1.
Ademรกs, supรณngase que P2 se localiza en la
misma superficie de nivel. Por lo tanto.
๐๐ ๐ = ๐ ๐2 โ ๐ ๐1 = 0 = ๐ป๐ ๐ . ๐๐
En este caso particular.
Siempre y cuando la magnitud de ๐ป๐ ๐
sea distinta de cero en el punto P1 el lado
derecho de la ecuaciรณn anterior sugiere
que ๐๐ debe ser perpendicular a โ๐(๐ )en
el punto P1 puesto que el vector ๐๐ , entre
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dos puntos que estรฉn sobre la misma
superficie debe ser tangencial a la
superficie, se concluye que โ๐ ๐
evaluando en el punto en el punto P1 debe
ser perpendicular a la superficie de nivel
de g ๐ que pasa por el punto P1
Para medir la rapidez de cambio de un
campo vectorial se utilizarรก la divergencia
y el rotacional. Fundamentalmente, estas
son las dos formas en que un campo
vectorial puede โcambiarโ: una es
(escalar) midiendo el grado en que el
campo โdivergeโ (o โexplotaโ, por asรญ
decirlo) en cada punto. Y la otra
(vectorial) es midiendo la tendencia a
โgirarโ (o formar remolinos internos).
DIVERGENCIA๐. ๐ (๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง)
Si imaginamos que ๐ es el campo de
velocidades de un fluido, entonces ๐๐๐ฃ๐
representa la razรณn de expansiรณn por
unidad de volumen bajo el flujo del fluido.
Si ๐๐๐ฃ๐ < 0 , el fluido se estรก
comprimiendo. Para un campo vectorial en
el campo ๐ , la divergencia se define como:
En coordenadas cartesianas
๐. ๐ = ๐
๐๐ฅ๐ +
๐
๐๐ฆ๐ +
๐
๐๐ง๐ . ๐ฃ1๐ + ๐ฃ2๐ + ๐ฃ3๐
๐๐ฃ1
๐๐ฅ+
๐๐ฃ2
๐๐ฆ+
๐๐ฃ3
๐๐ง
En coordenadascilรญndricas
๐. ๐ =1
๐
๐
๐๐ ๐๐๐ +
1
๐
๐
๐โ ๐โ +
๐๐๐ง
๐๐ง
En coordenadasesfรฉricas
โ. ๐ =1
๐2
๐
๐๐ ๐2๐๐ +
1
๐๐ ๐๐๐
๐
๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐
+1
๐๐ ๐๐๐
๐๐โ
๐โ
Mide la razรณn de expansiรณn del volumen.
1. Sea el campo vectorial F (x, y, z) =
(exsen(y),excos (y), z) determine su
divergencia.
Soluciรณn:
๐. ๐น = ๐ ๐๐ฅ๐ ๐๐ ๐ฆ
๐๐ฅ+
๐ ๐๐ฅ cos ๐ฆ
๐๐ฆ
+๐ ๐ง
๐๐ง
๐๐ฅ๐ ๐๐ ๐ฆ โ ๐๐ฅ๐ ๐๐ ๐ฆ + 1
= 1
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ROTACIONAL๐ ร ๐
๐ ร ๐ = ๐
๐๐ฅ๐ +
๐
๐๐ฆ๐ +
๐
๐๐ง๐
ร ๐ฃ1๐ + ๐ฃ2๐ + ๐ฃ3๐
=
๐ ๐ ๐
๐
๐๐ฅ
๐
๐๐ฆ
๐
๐๐ง๐ฃ1 ๐ฃ2 ๐ฃ3
=
๐
๐๐ฆ
๐
๐๐ง๐ฃ2 ๐ฃ3
๐ โ ๐
๐๐ฅ
๐
๐๐ง๐ฃ1 ๐ฃ3
๐ +
๐
๐๐ฅ
๐
๐๐ฆ๐ฃ1 ๐ฃ2
๐
= ๐๐ฃ3
๐๐ฆโ
๐๐ฃ2
๐๐ง ๐ โ
๐๐ฃ3
๐๐ฅโ
๐๐ฃ1
๐๐ง ๐
+ ๐๐ฃ2
๐๐ฅโ
๐๐ฃ1
๐๐ฆ ๐
En coodenadascilรญndricas
๐ ร ๐ =
๐ ๐ ๐๐ โ ๐ ๐ง๐
๐๐
๐
๐โ
๐
๐๐ง๐๐ ๐๐โ ๐๐ง
En coordenadasesfรฉricas
๐ ร ๐ =1
๐2๐ ๐๐๐
๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐
๐๐
๐
๐๐
๐
๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐ด๐
1. Sea el campo vectorial F (x, y, z) = (0,
cos (xz), โsen (xy)) determine
surotacional.
Soluciรณn:
๐ ร ๐ = ๐(โ๐ ๐๐ ๐ฅ๐ฆ )
๐๐ฆโ
๐(cos(๐ฅ๐ง)
๐๐ง ๐
โ ๐(0)
๐๐ฅโ
๐(โ๐ ๐๐ ๐ฅ๐ฆ )
๐๐ง ๐
+ ๐(cos ๐ฅ๐ง )
๐๐ฅโ
๐(0)
๐๐ฆ ๐
= โ๐ฅ๐๐๐ ๐ฅ๐ฆ + ๐ฅ๐ ๐๐ ๐ฅ๐ง ๐ + ๐ฆ๐๐๐ ๐ฅ๐ฆ ๐
+ (โ๐ง๐ ๐๐ ๐ฅ๐ง )๐
๐ฅ โ๐๐๐ ๐ฅ๐ฆ + ๐ ๐๐ ๐ฅ๐ง ๐ + ๐ฆ๐๐๐ ๐ฅ๐ฆ ๐
+ (โ๐ง๐ ๐๐ ๐ฅ๐ง )๐
2. Determine si el campo vectorial
definido por F (x, y, z) = (2xy, x2 + 2yz,
y2) es un campo conservativo.
Soluciรณn:
Un campo vectorial es conservativo si
๐ ร ๐ = 0 , para verificar aplicamos el
rotacional a la funciรณn.
๐ ร ๐น = ๐(๐ฆ2)
๐๐ฆโ
๐(๐ฅ2 + 2๐ฆ๐ง)
๐๐ง ๐
+ ๐(2๐ฅ๐ฆ)
๐๐ฅโ
๐(๐ฆ2)
๐๐ง ๐
+ ๐(๐ฅ2 + 2๐ฆ๐ง)
๐๐ฅโ
๐(2๐ฅ๐ฆ)
๐๐ฆ ๐
= 2๐ฆ โ 2๐ฆ ๐ + 0 โ 0 ๐ + (2๐ฅ โ 2๐ฅ)๐
= 0๐ + 0๐ + 0๐
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En donde queda demostrado que F (x, y,
z) = (2xy, x2 + 2yz, y2) es un campo
conservativo
FรRMULAS EN LAS QUE INTERVIENE
EL OPERADOR๐
1.๐ ฯ + ฯ = ๐ฯ + ๐ฯ
2. ๐. ๐ + ๐ = ๐. ๐ + ๐. ๐
3. ๐ ร ๐ + ๐ = ๐ ร ๐ + ๐ ร ๐
4. ๐. ฯ๐ = ๐ฯ . ๐ + ฯ ๐. ๐
5. ๐ ร ฯ๐ = ๐ฯ ร ๐ + ฯ(๐ ร ๐)
6. ๐. ๐ ร ๐ = ๐. ๐ ร ๐ โ ๐. (๐ ร ๐)
7. ๐ ร ๐ ร ๐ = ๐. ๐ ๐ โ ๐ ๐. ๐ โ
๐. ๐ ๐ + ๐(๐. ๐)
8.๐. ๐ฯ = ๐๐ฯ =โ2ฯ
โx2 +โ2ฯ
โy2 +โ2ฯ
โz2
Donde: ๐๐ =โ2
โx2 +โ2
โy2 +โ2
โz2 se denomina
operador laplaciano.
1. Siendo ๐ = 2๐ฅ3๐ฆ2๐ง4, hallar ๐. ๐ฯ
Soluciรณn:
Como ๐. ๐ฯ es ๐๐entonces tenemos:๐๐ =โ2
โx2 +โ2
โy2 +โ2
โz2
๐๐๐ =โ2(2๐ฅ3๐ฆ2๐ง4)
โx2+
โ2(2๐ฅ3๐ฆ2๐ง4)
โy2
+โ2(2๐ฅ3๐ฆ2๐ง4)
โz2
= 12๐ฅ๐ฆ2๐ง4 + 4๐ฅ3๐ง4 + 24๐ฅ3๐ฆ2๐ง2
2.Hallarโ. A ร r sabiendo que โ ร A = 0
Soluciรณn:
Sabiendo que โ. A ร B = B. โ ร A โ
A. (โ ร B)
Entonces โ. A ร r = r. โ ร A โ A. (โ ร r)
โ. A ร r = r. โ ร A โ A. (โ ร r)
โ. A ร r = โA. (โ ร r)y por simple
inspecciรณn โ ร r = 0
Por lo tanto โ. A ร r = 0