operações com polinômios resolução
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Operações com Polinômios – 8º ano
1) Efetue as operações indicadas:
a) (2x3 – 3x2 + x – 1) + (5x3 + 6x2 – 7x + 3)
3 2 3 2
3 3 2 2
3 2
2 3 1 5 6 7 3
2 5 3 6 7 1 3
7 3 6 2
x x x x x x
x x x x x x
x x x
b) (– 8y2 – 12y + 5) + (7y2 – 8) gabarito incorreto
2 2
2 2
2
8 12 5 7 8
8 7 12 5 8
8 12 3
y y y
y y y
y y
c) (2ax3 – 5a2x – 4by) + (5ax3 + 7a2x + 6by)
3 2 3 2
3 3 2 2
3 2
2 5 4 5 7 6
2 5 5 7 4 6
7 2 2
ax a x by ax a x by
ax ax a x a x by by
ax a x by
d) (a2 – b2) + (a2 – 3b2 – c) + (5c – 2b2 – a2)
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
3 5 2
3 2 5
6 4
a b a b c c b a
a a a b b b c c
a b c
e) (3y2 – 2y – 6) – (7y2 + 8y + 5)
2 2
2 2
2
3 – 2 – 6 7 8 5
3 7 – 2 8 – 6 5
4 10 11
y y y y
y y y y
y y
f) (8x3 – 4x2 + 3x – 5) – (6x3 – 7x2 + 5x – 9)
3 2 3 2
3 3 2 2
3 2
8 4 3 5 6 7 5 9
8 6 4 7 3 5 5 9
2 3 2 4
x x x x x x
x x x x x x
x x x
g) (2x3 – 3x + 1) – (– 4x2 + 3)
3 2
3 2
2 3 1 4 3
2 4 3 2
x x x
x x x
h) (2x3 – 5x2 + 8x – 1) – (– 3x3 + 5x2 – 5x + 6)
3 2 3 2
3 3 2 2
3 2
2 5 8 1 3 5 5 6
2 3 5 5 8 5 1 6
5 10 13 7
x x x x x x
x x x x x x
x x x
i) (x2 – 5xy + y2) + (3x2 – 7xy + 3y2) – (4y2 – x2)
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
5 3 7 3 4
3 5 7 3 4
5 12
x xy y x xy y y x
x x x xy xy y y y
x xy
j) 2 2 2 2 214 5 3 5
2ab a ab ab a
2 2 2 2 2
2 2 2 22 2
14 5 3 5
2
2 2 39 2 9 2
2 2
ab ab ab a a
ab ab ab aba a
k)
1
3
2
2
11
2
1
3
2 22 mmmm
2 2
2 2
2 2 2
2 1 1 21 1
3 2 2 3
2 1 1 21 1
3 2 2 3
4 3 3 4
6 6
m m m m
m m m m
m m m m m m
l)
212
3
1
2
1 mmnmnm
1 12 1
2 3 2
1 12 1
2 2 3
3 23 3
3 3
mm mn mn
mm mn mn
mn mn mn
m)
baabbaab 2222
4
3
3
12
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 32
3 4
3 12
4 3
8 3 3 5 2
4 3 4 3
ab a b ab a b
ab ab a b a b
ab ab a b a b ab a b
2) Efetue as multiplicações:
a) y(4x2 – 2x3 – 7)
2 34 2 7x y x y y
b) (x4 – 3x2 – 5x + 1)(– 4x)
5 3 24 12 20 4x x x x
c) 2x(y2 + xy + 1)
2 22 2 2xy x y x
d) 4ab(a2 + b2 – ab)
3 3 2 24 4 4a b ab a b
e) 4xy2(4x + y + 1)
2 2 3 216 4 4x y xy xy
f) 3 2 12 1
2x x x x
4 3 21 1 1
2 2 2x x x x
g) 2 53 6 5
3ab ab a
2 2 2 255 10
3a b a b a
h) (2x + 3)(5x – 1)
2
2
10 2 15 3
10 13 3
x x x
x x
i) (4x3 + 2x – 3)(5x2 + x – 1)
5 4 3 3 2 2
5 4 3 2
20 4 4 10 2 2 15 3 3
20 4 6 13 5 3
x x x x x x x x
x x x x x
j) (x2 – 2x + 5)(x3 – 3x2 + 6) 5 4 2 4 3 3 2
5 4 3 2
3 6 2 6 12 5 15 30
5 9 30
x x x x x x x x
x x x x
3) Calcule os seguintes quocientes:
a) (6ax – 9bx – 15x) : 3x
6 9 152 3 5
3 3 3
ax bx xa b
x x x
b) (8a2 – 4ac + 12a) : 4a
28 4 122 3
4 4 4
a ac aa c
a a a
c) (27ab – 36bx – 36by) : (– 9b)
27 36 363 4 4
9 9 9
ab bx bya x y
b b b
d) (49an – 21n2 – 91np) : 7n
249 21 917 3 13
7 7 7
an n npa n p
n n n
e) (27a2bc – 18acx2 – 15ab2c) : (– 3ac)
2 2 22 227 18 15
9 6 53 3 3
a bc acx ab cab x b
ac ac ac
f) (8x5y + 4x3y2 – 6x2y): (4x2y)
5 3 2 23
2 2 2
8 4 6 32
4 4 4 2
x y x y x yx xy
x y x y x y
g)
3
4:20812 2 a
axyabxxa
2
2
12 3 8 3 20 3
1 4 1 4 1 4
36 24 609 6 15
4 4 4
a x abx axy
a a a
a x abx axyax bx xy
a a a
h) 6
:4
1
3
1
2
1 ababcabyabx
6 6 6
2 3 4
6 6 6 2 32
2 3 4 3 2
abx aby abc
ab ab ab
abx aby abc x cy
ab ab ab
4) Determine o quociente e o resto das seguintes divisões:
a) (4a2 – 7a + 3) : (4a – 3)
2
2
4 7 3 4 3
4 3 1
4 3
4 3
0
a a a
a a a
a
a
b) (11x2 – 2 – x + 10x3) : (5x – 2)
3 2
3 2 2
2
2
10 11 2 5 2
10 4 2 3 1
15
15 6
5 2
5 2
0
x x x x
x x x x
x x
x x
x
x
c) (7x – 2x4 + 3x5 – 2 – 6x2) : (3x – 2)
5 4 2
5 4 4
2
2
3 2 6 7 2 3 2
3 2 2 1
6 7
6 4
3 2
3 2
x x x x x
x x x x
x x
x x
x
x
0
d) (x3 – 2x2 – 6x – 27) : (x2 – 5x + 9)
3 2 2
3 2
2
2
2 6 27 5 9
5 9 3
3 15 27
3 15 27
54
x x x x x
x x x x
x x
x x
e) (x2 + 5x + 10) : (x + 2)
2
2
5 10 2
2 3
3 10
3 6
4
x x x
x x x
x
x
f) (10x – 9x2 + 2x3 – 2) : (x2 + 1 – 3x)
3 2 2
3 2
2
2
2 9 10 2 3 1
2 6 2 2 3
3 8 2
3 9 3
1
x x x x x
x x x x
x x
x x
x
g) (6x3 – 16x2 + 5x – 5) : (2x2 + 1 – 4x)
3 2 2
3 2
2
2
6 16 5 5 2 4 1
6 12 3 3 2
4 2 5
4 8 2
6 3
x x x x x
x x x x
x x
x x
x
h) (x6 + 4x3 + 2x – 8) : (x4 + 2x2 + 4)
6 3 4 2
6 4 2 2
4 3 2
4 2
3
4 2 8 2 4
2 4 2
2 + 4 4 2 8
2 4 8
4 2
x x x x x
x x x x
x x x x
x x
x x
03/08/2016 23:24:05-D:\Escola\Marista\2016\8º ano - Matemática\II Trimestre\AV1\Operações com Polinômios - Resolução.docx 4
2
2
) 3 2 4 5 3 2 5
3 9 2
a x x x x
x x
2
3 2 2 2
3 2 2 2
3 2 2 2
3 2
) 3 2 4 5 3 5 3 2 5
15 9 10 6 20 12 10 25 6 15
15 9 10 6 20 12 10 25 6 15
15 9 10 10 6 20 25 6 12 15
15 9 45 27
b x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x
5) Qual o polinômio que, ao ser dividido por x – 6, tem quociente 2x – 5 e resto – 12?
2
2
6 2 5 12
2 5 12 30 12
2 17 18
x x
x x x
x x
6) Determine o polinômio que, dividido
por x – 1, tem quociente x – 1 e resto 2.
2 2
1 1 2
2 1 2 2 3
x x
x x x x
7) O quociente da divisão de um polinômio A por x2 – 2x + 1 é x2 + 4x + 3. O resto dessa divisão é 12x + 3. Qual é o polinômio A?
2 2
4 3 2 3 2 2
4 3 3 2 2 2
4 3 2
2 1 4 3 12 3
4 3 2 8 6 4 3 12 3
4 2 3 8 6 4 12 3 3
2 4 10 6
x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x
8) A divisão de dois polinômios é
exata. O quociente dessa divisão é x2 – 7x + 12 e o polinômio divisor é x2 – 5. Qual é o polinômio dividendo?
2 2
4 2 3 2
4 3 2 2
4 3 2
7 12 5
5 7 35 12 60
7 5 12 35 60
7 7 35 60
x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x
9) Dados os polinômios A = 3x2 + 2x – 4, B = 5x – 3 e C = 2x + 5, calcule:
a) A + B + C b) AB – BC c) A2 – 2B
2 2
4 3 2 3 2 2
4 3 3 2 2 2
4 3 2
) 3 2 4 3 2 4 2 5 3
9 6 12 6 4 8 12 8 16 10 6
9 6 6 12 4 12 8 8 10 16 6
9 12 20 26 22
c x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x
RESPOSTAS:
1) a) 7x3+3x2-6x+2 b) -y2-12y-3
c) 7ax3+2a2+2by d) a2-6b2+4c e) -4y2-10y-11
f) 2x3+3x2-2x+4 g) 2x3+4x2-3x-2 h) 5x3-10x2+13x-7
i) 5x2-12xy j)3ab2/2+9a2-2 k) m2/6+m/6
l) 2mn/3+3 m)5ab2/4+2a2b/3
2) a) -6x3y+12x2y-21y b) -4x5+12x3+20x2-4x
c) 2xy2+2x2y+2x d) 4a3b+4ab3-4a2b2 e) 16x2y2+4xy+4xy2
f) x4/2+x3/2-x2-x/2 g) -5a2b+10a2b2-25/3a h) 10x2+13x-3
i) 20x5+4x4+6x3-13x2-5x+3 j) x5-5x4+11x3-9x2-12x+30
3) a) 2a-3b-5 b) 2a-c+3
c)-3a+4x+4y d) 7a-3n-13p e)-9ab+6x2+5b2
f) 2x3+xy-3/2 g) 9ax-6bx+15xy h) 3x-2y+3/2 c
4) a) Q=a-1 e R=0
b) Q=2x2+3x+1 e R=0 c) Q=x4-2x+1 e R=0 d) Q=x+3 e R=-54
e) Q=x+3 e R=4 f) Q=2x-3 e R=-x+1 g) Q=3x-2 e R=-6x-3
h) Q=x2-2 e R=4x3+2x 5) 2x2-17x+18
6) x2-2x+3
7) x4+2x3-4x2+10x+6 8) x4-7x3+7x2+35x-60
9) a) 3x2+9x-2
b) 15x3-9x2-45x+27 c)9x4+12x3-20x2-26x+22