opi_predavanje_2012.pdf

7/25/2019 OPI_PREDAVANJE_2012.pdf

1/49

dr. sc Ljupko imunovi, dipl. ing.Fakultet prometnih znanosti, Zagreb

Zavod za inteligentne transportne sustave

TEORIJA REPOVA/REDOVA(queueing theory)


2/49

OPERACIJSKA ISTRAIVANJA

Operacijska istraivanja (OI)- bave se matematikim modeliranjemrealnih procesa u svrhu donoenja optimalnih odluka u okviru danihrestrikcija i ogranienih kapaciteta.

Metode i alati OI

Cijelobrojno programiranje Markovljevi lanci

Teorija repova/ekanja Mreno programiranje Viekriterijsko programiranje (AHP)

Metode prognoziranja Teorija igara

Senzitivna analiza

Heuristiko odluivanje


3/49

TEORIJA REDOVA/REPOVA

Teorija redova poznata je i kao teorija masovnog usluivanja (iliposluivanja).

Teorija redova (masovnog usluivanja)jedna je od metoda operacijskihistraivanja koja prouava procese usluivanja sluajno pristiglih jedinica

ili zahtjeva za nekom uslugom koristei se pritom matematikimmodelima pomou kojih se ustanovljava meuzavisnostizmeu dolazakajedinica, njihovog ekanja na uslugu, usluivanja, te na kraju izlaskajedinica iz sustava, sa svrhom da se postigne optimalno funkcioniranje

promatranog sustava

Teorija redova je podruje matematike koje modelira ponaanje redova.


4/49

TEORIJA REDOVA/REPOVA

Cilj teorije redova je postizanje maksimalnih ekonomskih uinaka tj.donoenje optimalnih odluka

PR:U luku pristiu brodovi iz razliitih dijelova svijeta. Pitanje kolikopristanita u luci treba izgraditi da bi ekonomski uinci bili najvei

Mali broj pristanita i ukrcajno - iskrcajnih postrojenja, maksimalnoiskoritenje, ali e se pojaviti gubici ekanja brodova u luci.

Prevelik broj pristanita i postrojenja, brodovi ne bi ekali, ali bipostrojenja bila neiskoritena, pa ponovo imamo gubitke.

Ovakvi problemi rjeavaju se analizom redova ekanja (waiting lineanalysis)

Rijeiti problem znai odrediti optimalan broj uslunih mjesta za koji evrijeme ekanja u redu ili trokovi (gubici) prouzrokovani ekanjem bitiminimalni.


5/49

TEORIJA REDOVA/REPOVASIMULACIJSKO MODELIRANJE MONTE KARLO

Teoriju redova karakterizira izuzetno velika matematika sloenost

Gdje je klasinateorijamasovnog usluivanja iscrpljena, pomaemetoda simulacijskog modeliranja sluajnih procesa, poznatija kaosimulacijsko modeliranje Monte Karlo.

Ova metoda osiguravapriblina rjeenja za niz matematikih problema

primjenom statistikog uzorkovanja na raunalskim modelima

Rulet je jednostavni generator sluajnih brojeva, a grad Monte Karlo,prestolnica ruleta i kocke

Na temelju

informacija u

kutiji

zakljuujemoto je u ruci.

Na temelju

informacija u

ruci

zakljuujemoto je u kutiji

Statistika Vjerojatnost


6/49

STRUKTURA MODELA EKANJA

(spremnik ili buffer) (server)


7/49

OSNOVNE STRUKTURE SUSTAVA

Kanali/serveriparalelni posluitelji koji istovremeno posluujukorisnike.

Fazeslijedno postavljeni posluitelji, tako da korisnici moraju proi sveposluitelje da bi bili poslueni.


8/49

OSNOVNE STRUKTURE SUSTAVA


9/49

DISCIPLINA POSLUIVANJA (SCHEDULING)

Mogue su razne discipline posluivanja:

FIFO (First In First Out) ili FCFS (First Come First Served)prvikoji je doao u red, bit e prvi i posluen

LIFO (Last In First Out) ili LCFS (Last Come First Served)zadnji

koji je doao u red bit e prvi posluen

Prema odreenim prioritetima (Priority service PRIORalgoritam)

Sluajno (Service in Random OrderSIRO algoritam) svakojjedinici daje istu vjerojatnost usluivanja bez obzira na vrijemedolaska


10/49

VREMENA DOLASKA I POSLUIVANJA

Vremena dolaska (meudolazna vremena/headway) iposluivanja (servisa)mogu biti:

1. konstantna (uvijek jednako vrijeme izmeu dolazaka iposluivanja),

2. varijabilna, ali unaprijed poznata (odreena) i

3. sluajna, kad vrijeme trajanja usluge nije poznato, ali jemogue odrediti njegovu razdiobu vjerojatnosti


11/49

DOLASCI I POSLUIVANJA U REDU EKANJA

U deterministikom sustavu vrijeme dolaska jedinica ta i vrijeme posluivanja(servisa) tsje unaprijed poznato i konstantno.

Poznato todreujemoi l i = 1 ta= const = 1/ts= const Pr.ukoliko je prosjeno vrijeme izmeu dva dolaska korisnika jednako 2h, tada

je intenzitet dolaska jednak = 1/(2h) = 0.5 korisnika/h (svaki sat dolazi korisnika)

Vrijeme usluivanja na naplatnoj postaji za jedan automobil je 2 min, tada jeintenzitet posluivanja = 60/ (2 min) = 30 vozila/h.

Poznatoi l iodreujemo t

Pr. ako je intenzitet dolaska vozila = 6 voz/h onda je vrijeme izmeu dvadolaska 60/6 =10 min

Pr.ukoliko je intenzitet servisiranja= 2 dijela/h (svaki sat se obrade dva dijelana stroju)onda je prosjeno vrijeme servisiranjajednogdijela jednako = 0.5hza jedan dio.

Pr.ako je intenzitet dolaska vozila = 180 voz/h onda je vrijeme izmeudva dolaska 3600/180 =20 sekundi

Deterministiki sustavi(vremena dolazaka i usluivanja konstantna)


12/49

DOLASCI I POSLUIVANJA U REDU EKANJA

Kod stohastikih sustavadolasci klijenata/jedinica i vremena posluivanjasu sluajne varijable pa se iz razdiobe vjerojatnosti moe odrediti srednjavrijednost vremena dolaska i posluivanja

E(x) = x = 1/ ili 1/.

Najee razdiobe koje se koriste za modeliranje dolazaka vozila usustav i procesa pranjenja/posluivanja su:

uniformna (deterministika) sluajna (Poissonova) i Erlangova

Koje e se razdiobe primjenjivati ovisi o konkretnom sustavu (nesemaforizirano raskrije, semaforizirano raskrije, ulazna rampa,parking..) i odreuje se na temelju mjerenja ili ranije provedenihistraivanja


13/49


14/49

POISSONOVA RASPODJELA

Obiljeja Poissonove diskretne razdiobe

- zakrenuta u desno kada je vrijednost aritmetike sredine x mala;

(velik broj dolazaka u kraem vremenu od prosjenog)- kako raste aritmetika sredina, asimetrija se smanjuje i na kraju

aproksimira normalnu raspodjelu.

= np ;

e - baza prirodnog logaritma

(e 2.72)

X

Broj klijenatakoji doe u toku intervala vremena t0, opisuje sePoissonovom raspodjelom

x = E(x) = vjerojatnost da

e x vozila doiu vremenu t

(izmeu vremena a i b)

gdje je: t - trajanje intervala brojanja,

- dolazna rata


15/49

PRIMJERI

Stohastiki sustavi; vremena dolazaka sluajna i trajanje usluge nije poznato, odreivanjebroja dolazaka(Poissonova raspodjela)

PR. Informacije su pozvane u prosjeku 20 puta u toku jednog sata. Kolika

je vjerojatnost da e u periodu od 15 minuta biti

a) barem jedan poziv

b) najvie jedan poziv

20 poziva na sat je isto to i 5 poziva u 15 minuta

Poissonova raspodjela = 5 poz./15 min

a)

b)

0! = 1


16/49

PRIMJERI

Stohastiki sustavi; vremena dolazaka sluajna i trajanje usluge nije poznato, odreivanje

broja dolazaka(Poissonova raspodjela)

PR:Servis HAK-a, za popravak vozila, pozvan je u prosjeku 7 puta u toku 1sata. Kolika je vjerojatnost da e u toku odreenog sata servis bitipozvan

a) tono 4 putab) bar jedanput

a)

b)

=7


17/49

EKSPONENCIJALNA RAZDIOBA

Eksponencijalna razdioba je kontinuirana, slui za opisivanje vremenskihrazmaka izmeu dva dogaaja; (dolazakklijenata, vozila, posjete nekoj adresi,

pozivi na telefonu, kvarovi na nekom ureaju ili stroju,..)

Npr. duljine poziva/dolazak vozila i sl. distribuirani su eksponencijalno.Veina poziva je kraa od prosjeka, a samo ih je malo duih od prosjeka

vrijeme dolaska nemoe biti negativno

y

x


18/49

FUNKCIJA DISTRIBUCIJE EKSPONENCIJALNE RAZDIOBE(KUMULATIVNA RAZDIOBA)

xexF 1

Vjerojatnost da x poprimi vrijednost iz intervala je integral funkcije gustoevjerojatnosti od a do b (povrina ispod krivuljeod a do b).(za Poissonovu je raunanjeistog napravljeno sumom)Dolasci nisu egzaktni ve sluajni to znai da je vjerojatnost da sluajna varijablapoprimi neku (diskretnu) vrijednost nula! Zato se uzima

interval, a ne jedna toka.

Vjerojatnost da je meudolazno vrijeme vee od t1a manje od t2je:


19/49

PRIMJER

1. Prosjeno vrijeme izmeu dva telefonska poziva jeeksponencijalno distribuirano i iznosi 80 sekundi. Odredite

vjerojatnost

a) da to vrijeme bude najmanje 80 s

b) da poruka doe za manje od 60 s

c) da poruka stigne izmeu 50-te i 100-te s

= 1/80jer je prosjeno vrijeme izmeu dva dolaska 80 s. a) p(X 80) = p(80 < X < ) = 1- F(80) = 1-(1-e-80/80) = 0.3679

b) p(X


20/49

OZNAKE VRSTE I TIPA REDA EKANJA

U tu svrhu prihvaena je Kendall-ova notacija oblika

v / w / x / y / z

v - razdiobu vremena dolazaka jedinica u sustav

w - razdiobu vremena posluivanja (servisiranja) x - broj kanala posluivanja (paralelnih posluitelja ili

servisa)

y - kapacitet sustava, max broj korisnika u sustavu (u

redu ekanja ili na posluivanju/servisu); ne pie sekad je veliina spremnika neograniena

z - disciplinu reda ekanja/redoslijed posluivanja(servisa).


21/49

OZNAKE VRSTE I TIPA REDA EKANJA

Za v i w(dolazni proces i vrijeme posluivanja)koriste se standardizirane oznake za razdiobe:

Ddeterministika raspodjela (meudolaznavremena su fiksna)

M- eksponencijalna razdioba (M dolazi odMarkovljevog lanca kojim se moe opisati tok jedinicas eksponencijalno raspodjeljenim meudolaznimvremenima)

Ek -Erlangova razdioba reda k (k = 1,2,...) G- bilo koja razdioba (ukljuujui M, Ek i D),

nepoznata raspodjela s poznatom sredinom ivarijancom


22/49

OPIS POSLUITELJSKOG SUSTAVA: PRIMJERI

M/M/1: Poissonovi dolasci, eksponencijalna razdioba vremenaposluivanja, jedan posluitelj, beskonani spremnik

M/M/m: sustav jednak prethodnom samo sa m posluitelja/servera

M/M/5/40: Poissonovi dolasci, eksponencijalna razdioba vremenaposluivanja, 5 posluitelja, max broj korisnika u sustavu 40 (u reduekanja 35 i na posluivanju/servisu 5);

M/G/1: Poissonovi dolasci, vremena posluivanja raspodjeljenasukladno opoj razdiobi, jedan posluitelj, beskonani spremnik

M/D/1Poissonovi dolasci ili eksponencijalna raspodjela meudolaznih vremena, deterministiko vrijeme posluivanja, 1 server

G/G/3/20/FCFS opa raspodjela dolazaka i servisa, 3 servera, 17klijenata u repu, first come first servis


23/49

REDOVI EKANJA - OSNOVNI POJMOVI

[korisnika,jedinica/vrijeme]srednja brzina ili intenzitetdolazaka

1/srednje (oekivano) meudolazno vrijeme ta

- [korisnika/jedinica vremena], srednja brzina iliintenzitet posluivanja

1/[vrijeme/klijentu]- srednje (oekivano) vrijeme posluivanja ts

(vrijeme koje je potrebno da bi se posluio jedan korisnik).


24/49

POKAZATELJ/FAKTOR ISKORITENJA ODNOSNOOPTEREENJA SUSTAVA

Za ocjenu rada sustava uvodi se pokazatelj optereenja sustava

Pokazatelj iskoritenja odnosno optereenja sustava(engl.: thetraffic intensity) ili stupanj zasienja (saturiranosti) je odnosintenziteta toka dolazaka i intenziteta posluivanja i

oznaava se s grkim slovom :

= ts ta

Ako je < 1, sustav je stabilan ( > )Jo se koriste pojmovi: stacionarni, nestacionarni

(nestabilni)uvjeti, nezasieno i zasieno stanjeErlang


25/49

PARAMETRI SUSTAVA USLUIVANJA

L ili N - prosjean broj korisnika u sustavu (u reduekanja i na posluivanju)

Lw- prosjean broj korisnika u redu ekanja Lsprosjean broj korisnika koji se servisira

T ili W - prosjeno vrijeme koje korisnik provede usustavu (ekanje i posluivanje) Twili Wq- prosjeno vrijeme koje korisnik provede u

redu ekanja Tsili Wsvrijeme koje korisnik provede u servisiranju

P0- vjerojatnost da nema korisnika u sustavu Pn- vjerojatnost da je n korisnika u sustavu

Pq(n)vjerojatnost broja korisnika u redu za ekanje - iskoristivost, tj. dio vremena u kojem je sustav u

uporabi


26/49


27/49

LITTLE-ove FORMULE

Vrijede samo za stabilne sustave

L = T - prosjean broj jedinica/paketa u sustavu

(Lq= Tw, Ls= Ts)

Tprosjeni ekanje u sustavu


28/49

FORMULEJEDNOKANALNI SUSTAV S EKANJEM I NEOGRANIENOMDULJINOM REDA EKANJA (M / M / 1/ )

1) = 1P0 vjerojatnost da je sustav pun,

2) P0 = 1= 1/ vjerojatnost da je sustav prazan

3) P1= /P0 = P0 vjerojatnost da je u sustavu jednaosoba

4) P2 = /P1 = (P0)= 2 P0 =2 (1)vjerojatnost da su u sustavu dvije osobe

.

.

5) Pn= (/)nP0 = (/)n(1/)= n(1-)vjerojatnostda u sustavu ima tono n korisnika

6) Pn= Pn-1, n=1,2,..

O


29/49

JEDNOKANALNI SUSTAV S EKANJEM I NEOGRANIENOM DULJINOMREDA EKANJA (M / M / 1/ )1 posluitelj, eksponencijalna razdioba dolazaka i posluivanja,

1

22

ww TL

11

2

LLw

wLE

1

1TL

11

2

sW LLL

1ss

TL

11

2

ws LLL

wLE

w

LE

Oekivani/srednji broj korisnika u repu

Oekivani/srednji broj korisnika u sustavu

Oekivani/srednji broj korisnika na servisu/usluivanju

Prosjean broj korisnika u reduekanja

Prosjean broj korisnika u sustavu

Prosjean broj korisnika naservisu/posluivanju

FORMULE


30/49

JEDNOKANALNI SUSTAV S EKANJEM I NEOGRANIENOM DULJINOMREDA EKANJA (M / M / 1/ )

TL

T w

w

)()(

1 2

1)1()1(

)(

11s

sw

TTTT

11

s

s

s

sw

TT

TTTT

11ss

LT

1

)(

1ws

TTT

E[Tw]

E[Ts]

Prosjeno vrijeme koje korisnikprovede u redu ekanja

Prosjeno vrijeme koje korisnikprovede na usluivanju

oekivano/srednje vrijeme ekanja u repu po klijentu

Oekivano/srednje vrijeme posluivanja/servisiranja po korisniku

FORMULE


31/49

JEDNOKANALNI SUSTAV S EKANJEM I NEOGRANIENOM DULJINOMREDA EKANJA (M / M / 1/ )

11LT

11

)(sw TTT

1sw

TTT

11

s

s

s

sw

TT

TTTT

E[T]

Prosjeno vrijeme koje korisnikprovede u sustavu

oekivano vrijeme zadravanja u sustavu po korisniku

FORMULE

11LT


32/49

EKANJE vs ISKORITENJE/OPTEREENJE SUSTAVA

1T

T


33/49

1. ZADATAK(PRIMJER ZA M/M/1 SUSTAV)

Na potanski alter po Poissonovoj raspodjeli stie 10 korisnikatijekom 1 sata. Srednje vrijeme posluivanja koje se ravna poeksponencijalnoj raspodjeli iznosi prosjeno 4 minute po klijentu.

Odredite

a) Vjerojatnost da u sustavu nema korisnika, da ima samo jedan, dva,

dva ili manje, tri ili vie

b) Prosjean broj korisnika u sustavu (koji ekaju u repu ili su na

servisu)

c) Prosjean broj korisnika koji ekaju u repu

d) Prosjeno vrijeme koje korisnik provede u sustavu

e) Prosjeno vrijeme koje korisnik provede na ekanju u repu


34/49

RJEENJE

= 60/4 = 15 korisnika/h intenzitet posluivanja = 10/15 = 0.6667 faktor iskoritenja

a) P(0 u sustavu) = 1 - = 0.3333P(1 u sustavu) = (1 - ) = 0.2222P(2 u sustavu) = (1 - )2= 0.1481

P(2 ili manje u sustavu) = P(0) + P(1) + P(2) = 0.7037P(3 or vie u sustavu) = 1 - P(2 ili manje u sustavu) = 1 - 0.7037 =0.2963

b) L = /(1-) = 2 osobe .........

c) Lw = L- = 1.333 osobe ...... Prosjean broj korisnika u repu ekanja

d) T = 1/(-) = 0.2 osobe/h

e) TW= T = 0.1333 osobe/h .. Srednje vrijeme ekanja u repu

Prosjean broj korisnika u sustavu(u repu i na posluivanju)

... Srednje vrijeme ekanja u sustavu


35/49

EKONOMSKA ANALIZA (ZA 1. ZADATAK)

Metoda 1: T rata = troak kn/h

=10, T = 0.2 sata Deset korisnika izgubi 2 sata u sustavu na ekanju (100.2 =

2.0)

Ako je cijena 1 sata 20 kn to znai da grupa od 10 ljudi svaki satgubi 40 kn (2x20) Metoda 2

Svi pomisle da oni ne plaaju L rata= troak kn/h

2 osobe 20 kn/osoba-sat = 40 kntroak Ako sustav moderniziramo vrijeme posluivanja moemo

smanjiti na pola. Trokovi otplate opreme iznose 15 kn na sat


36/49

EKONOMSKA ANALIZA

Ako proces duplo ubrzamo, s novom opremom, e iznositi= 1/Ts/2 = 2 60/4 = 30 korisnika/h ( = 15)

Metoda 1:

T = 1/(-) = 1/(30-10)=1/20=0.05 - vrijeme boravka u

sustavu T20= 0.051020 =10 knnovi troak za 10 osoba na

sat

Metoda 2.

L = /(-) = 10/(30-10)=10/20 =0.5

L20= 0.520 = 10 knnovi troak za 10 osoba na sat Modernijom uslugom satni troak je pao sa 40 kn na 10 kn.Utedjeli smo 30 kn po satu. Ako plaamo 15 kn po satu zaotplatu opremu onda ista zarada iznosi 15 kn po satu


37/49

2. ZADATAK (PRIMJER ZA M/M/1 SUSTAV)

Automobili dolaze na naplatnu postaju po Poissonovoj razdiobi sprosjenim intenzitetom dolaska = 24 automobila na sat (24 h-1).Usluga na naplatnoj postaji traje u prosjeku 2 minute. Odredioperativne znaajke sustava posluivanja: vjerojatnost da nemaautomobila na naplatnoj postaji, prosjean broj automobila u sustavu(repu i posluivanju), prosjean broj automobila na ekanju, prosjeno

vrijeme koje automobil provodi u sustavu, prosjeno vrijeme kojeautomobil provede u redu ekanja, vjerojatnost da je naplatnapostaja zauzeta (faktor iskoritenja), vjerojatnost da je naplatnapostaja slobodna i moe odmah prihvatiti automobil.

Dolazi li sustav u stacionarno stanje?

Rjeenje: Kako je vrijeme usluivanja jednako 2 min, tada je intenzitet

posluivanja = 1/ (2 min) = 30 h-1.

Kako je


38/49

Rjeenje:

Vjerojatnost da nema automobila na naplatnoj postaji

Prosjean broj automobila u sustavu (repu i posluivanju)

Prosjean broj automobila na ekanju

Prosjeno vrijeme koje automobil provodi usustavu

Prosjeno vrijeme koje automobil provede u reduekanja

Vjerojatnost da je naplatna postaja zauzeta (faktor iskoritenja)

Vjerojatnost da je naplatna postaja slobodna i moe odmahprihvatiti automobil.

T

Tw

Lw


39/49

3. ZADATAK (PRIMJER ZA M/M/1 SUSTAV)

Na naplatnu kuicu dolazi 180 vozila/sat po Poissonovoj razdiobi.Vremena dolazaka i posluivanja se ravnaju po eksponencijalnojrazdiobi. Srednje vrijeme posluivanja iznosi 15 s/vozilu. Odredite

a) prosjenu duljinu repa

b) vrijeme ekanja u repu (u minutama po vozilu) te

c) prosjeno vrijeme zadravanja u sustavu (u minutama po vozilu).

=180 voz/h = 3 voz/min

= 15 s/voz =4 voz/min

=/= = 0.75

][25.21

2

vozLw

][min/75.0)(

vozTw

][min/11

vozT

a)

b)

c)

FORMULE


40/49

JEDNOKANALNI SUSTAV S EKANJEM I NEOGRANIENOM DULJINOMREDA EKANJA (M / D / 1/ ) 22

sT

)1(212)(2

s

w

TT

12

2

ww TL

2

1

1)1(2

s

s

s

sw

TT

TTTT

2

1

1

TL

Model s jednim posluiteljem, s eksponencijalnim vremenom

meudolazaka i konstantnim vremenom posluivanja

srednje vrijeme ekanjau redu

srednji broj jedinica/klijenata u repu

srednje vrijeme zadravanjau

sustavu ili

srednji broj jedinica u sustavu

)1(2

21

)1(2sw

TTT

FORMULE


41/49

1. ZADATAK (PRIMJER ZA M/D/1 SUSTAV)

Na naplatnu kuicu dolazi 180 vozila/sat po Poissonovoj razdiobi.Vrijeme posluivanja je konstantno i iznosi 15 s/vozilu. Odrediteprosjenu duljinu repa i vrijeme ekanja u repu (u minutama po vozilu)te prosjeno vrijeme zadravanja u sustavu (u minutama po vozilu).

=180 voz/h = 3 voz/min = 15 s/voz =4 voz/min

=/= = 0.75

vozLw

125.1

)75.01(2

75.0

)1(2

22

vozTw

min/375.0)75.01(42

752.0

)1(2

vozT min/625.0

)1(2

2

a)

b)

c)


42/49

VRIJEME EKANJA vs PROMET


43/49

3. PRIMJER TK PROMET


44/49

VIEKANALNI SUSTAV S EKANJEM I NEOGRANIENOM DULJINOM REDAEKANJA (M / M / S / )

vrijeme izmeu dva uzastopna dolaska jedinica i vrijeme

opsluivanja jedinica ponaaju prema eksponencijanoj razdiobi.

ili prema rekurzivnim formulama:


45/49

VIEKANALNI SUSTAV S EKANJEM I NEOGRANIENOM DULJINOMREDA EKANJA (M / M / S / )

9) Ts= T - Tw


46/49

OVISNOST DULJINE REPA O PROMETU ZA RAZLIITI BROJPOSLUITELJA (M/D/m)


47/49

MODEL TROKOVA EKANJA

Da bi se eliminiralo ekanje, koje se javlja u sustavu opsluivanja, bilo bipotrebno ili postaviti vrlo velik broj kanala (da jedinice uope ne ekaju) ili samoonoliki broj kanala koji e stalno biti zaposlen (da kanali ne budu neiskoriteni).

Prema tome, optimalna varijanta bit e ona koja e gubitke koji nastaju zbogekanja svesti na minimum.

Ukupni trokovi ekanja jednog sustava opsluivanja (C) sadre:

1) trokove nastale zbog ekanja jedinica (Cw) i 2) trokove zbog neiskoritenosti uslunih mjesta (Cp). Koristei teoriju redova ekanja trokovi ekanja izraunaju se na sljedei nain: Trokovi ekanja jedinica (korisnika)

trokovi nezauzetih uslunih mjesta

ukupni trokovi ekanja


48/49

MODEL TROKOVA EKANJA

gdje je: C - iznos ukupnih trokova (u novanim jedinicama LQ - prosjean broj jedinica (korisnika) u redu ekanja (S - r) - broj slobodnih (nezauzetih) uslunih mjesta (kanala) t - duljina vremenskog perioda za koji se izraunavaju trokovi

(primjerice godina dana)

cw - iznos (u novanim jedinicama) troka u jedinici vremena nastalog zbogekanja jedinice u redu

cp - iznos (u novanim jedinicama) troka u jedinici vremena nastalog zbog ekanja", odnosno nezauzetosti kanala.

Dakle, pomou teorije redova ekanja mogue je izraunati trokove

koji nastaju zbog ekanja i ukupne trokove sustava opsluivanja kojise mogu koristiti u analizi meusobno konkurentnih uslunih mjesta.

Drugim rijeima, programiranjem procesa opsluivanja moe seodrediti broj uslunih mjesta za koji je iznos ukupnih trokova ekanjaminimalan, tj. optimalan broj uslunih mjesta (kanala).


49/49

HVALA NA POZORNOSTI!

KRAJ

opi_predavanje_2012.pdf

Documents