optimal construction of edge-disjoint paths in random regular

23

Upload: duongnhu

Post on 11-Feb-2017

245 views

Category:

Documents


3 download

TRANSCRIPT

Page 1: Optimal Construction of Edge-Disjoint Paths in Random Regular

������� ��� ������������������� ��������� ��!�"�#�$%� � &'��� �(��)*�+��,���� �.-%���������-�"/!��� ���%0�������,��

1�2 3'465�7�8�9 : ; < ; = >+; :+?/@�3�A'B

C�D�E F G H I FJ+K L M N O�P Q O R SUTWVYX Z�[ \�]�O N'^UO�_ M `�a bdceR'O K Q _�a b/L M Q ` K f M _+K NUZ�g�h/M�O Q M(K N ` M Q M _ ` M ^iK N

j N'^ K N Pib a Q�M O f SeR'O K Q�X k l [ m l ] g�O�R'O ` SUf a N N M f ` K N Pek l/` aem l g�_ n'f Se` S'O `�` S M�_ M `�a bdcUR'O ` S'_�_ ab a n N'^�K _dM ^ P M o ^ K _ p a K N ` q(X r a Q�O Q s K ` Q O Q t�P Q O R S'_d` S M(R Q a s u M vWK _dw x�o f a v(R u M ` M g�O u ` S a n P SiK `�K _K N�xyK b�c�K _dj z M ^�q ]{ M�R Q M _ M N `�O�R'a u t N a v(K O u�` K v�M�Q O N'^ a v�K | M ^eO u P a Q K ` S vYb a Q�j N'^ K N P�` S M�a R ` K v�O u�N n v(s'M Q

a b�M ^ P Me^ K _ p a K N `�R'O ` S'_eX n R6` a*f a N'_ ` O N `�b O f ` a Q _ ](K N ` S MeQ O N'^ a v}Q M P n u O Q�P Q O R S T�~ � � gdb a Q� _ n ��f K M N ` u t u O Q P M q6X �/S M�P Q O R S K _�f S a _ M N*j Q _ ` g�` S M N O N*O ^ L M Q _ O Q t f S a a _ M _(` S M�R'O K Q _(a bM N'^ R'a K N ` _ q ]

�������������e���/��� �(��(� � � ����� � � ���i�%�Y� �d� ���� (� ¡ ��¢e� � � ¡ � £ � ¤ ¥ � ��¦��(¤ � ¡/§ ¨�©���� � � ¤�§ ¨�� � � ¡ � £ � ¤d� ���i¥  +��� � ��� � ¡ � � � ¤ ¡ � ¦� ��ª���¦�� ���(¨ § �+� � £ �i��� � �(� « ¬ � ­ ¬ � ¥'�(��� ¡ �i£ § ���'� £ ¡ � �'��« ¬�¡ §�­ ¬ ¥'¤ ®�£ ��¡ ��� ¡d¡ �'�(¤ � ¡+§ ¨�©i��� ¡ ��¤+¤ §�¨ § ®���¦� ¤�� ¦'� � ¯ ¦�� ¤ ° §'� � ¡ ±² § �(� � ³�� ¡ � � � ´i� � � ����¤+¡ ���(� � µ � ¡ � ¦U¦'� £ � ¤ � §'�i��� § ³�µ � ¶·� ¤d¸�¹�¯ £ § ¶���µ � ¡ � ¥�� µ ¡ �'§'®'�'�e� ¡�� ¤�� �i¹Y� ¨/©

� ¤dª�º'� ¦i»�¼�§ ³�� � ¡ ¤ § �U� ��¦U½ � ´�¶�§'®'��¾ ¿ À Á ±+Â�� � � � ¡ �'� µ � ¤ ¤ ¥'¡ ��� ¤��'� �'� ¡ � � ��� � ¤ ®�µ ¡�£ � �e³���£ � � £ ®�¶�� � � ¡ � ¦¨ § ��£ � � ¡ � � �*£ µ � ¤ ¤ � ¤�§ ¨d� � � ����¤ ±�Ã/� µ � �U� ��¦ Ä���¨ � µ+¾ ¿ ¿ Á/��� � ¤ � � ¡ � ¦ �i��§'µ ´��'§'¶i� � µ�¡ � ¶���� µ � § � � ¡ ��¶Å¨ § �¡ ���U£ � ¤ �e (��� � �U�Å� ¤��6� ¤ ®'Æe£ � � � ¡ µ ´ ¤ ¡ � §'�'���(³�§'®���¦'� ¦ ¦�� � � � �e� º'��� ��¦'� ��� � � ����¥d� ��¦6©yÇ�¢�È(¨ § �� ¤ ¶i� µ µ+£ § ��¤ ¡ � � ¡iÉ�¡ ��� ¡i¦'� ��� ��¦�¤�§'� ¡ ���e� º'��� ��¤ � §'�*��� § ��� � ¡ ´ § ¨�¡ ���e� � � ����±6� Ê·��� � £ � ¤ �e®������ �³�§ ®���¦e¨ § �(É� �� ¤���§ ¡(£ § ¶���®'¡ � ¦�¥�³�®�¡�� ¡�� ¤�£ µ � � � µ ´Uµ � ¤ ¤�¡ ��� ¡�Ë Ì À'� ±�Í���� ¤+� � ¤ ®�µ ¡���� ¤�³�� � �U� ¶���� § � � ¦� ��¦ � º'¡ � ��¦'� ¦ ³'´6Î+� §�¦'� � ¥ ² � � � Ï � ¥d� ��¦6Ä���¨ � µ(¾ Ë Ð�¥�Ë Ë Á ¥ ² � � � Ï � ¾ Ë À Á ¥dÑ�� � � � ¡ § �6� ��¦6¼(� §y¾ Ë Ò Á�� ��¦Ñ�� � �'� ¡ §'��¥�¼(� §i� ��¦ ½ � � ��� � � ¤ � �*¾ Ë Ó�¥'¿ Ð Á Ô��W¤ ¡ � µ µ���� ¤+¡ §�³��(�U� ¤ ®'Æe£ � � � ¡ µ ´i¤ ¡ � § ���'�d³�§'®���¦'� ¦e¦'� � � � �� º'��� ��¦�� ��³�®'¡�©�£ � �6��§  ·� � §  Å� ¤�¨ � ¤ ¡i� ¤�¢dÕ'� µ �+¢d� Ö ¥/ (��� � �e×*¦'� ��� ��¦�¤�§'��µ ´ § � ¡ �'�e� º'��� ��¤ � § ���� § ��� � ¡ � � ¤�§ ¨d¡ ����� �'��®'¡�� � � ����¥�³�®�¡�� ¤�� ¡(µ � � ¤ ¡(¿'±Ø �e� � ��¦'§'¶�� � � ����¤�½'��� ¶i� ��� ��¦eÄ���¨ � µ���� � ��¤ ��§  (�e� �*¾ ¿ Ù'Á�¡ ��� ¡�� � ´e¤ � ¡�§ ¨/®��e¡ §eÚi� Û ¢/�d��� � � ¤

£ � �U³���£ § ���'� £ ¡ � ¦U��� ��� � � ¡ � º'¯ ¦�� ¤ ° § � � ¡���� ¡ ��¤ Ü�¤ � ¶i� µ � ��� � ¤ ®�µ ¡ ¤�®�¤ � ����� Æe£ � � � ¡�Ý�§  %¡ � £ ����� Þ'®�� ¤� +� � �� µ ¤ §*§ ³�¡ � � �'� ¦ ³'´6ß�§�£ � ³�� ®�¶.¾ Ë à Á ±*Í���� ¤ �i� � ¤ ®�µ ¡ ¤� +� � �e��� § � � ¦6¨ § ��� � � ����¤� (� ¡ �*áãâ·ä ¢�µ § �d¢� � ��¦'§'¶%� ¦'� � ¤ ¥  (�'� � ��äÅ� ¤/�(¤ ®�Æe£ � � � ¡ µ ´�µ � � � ��£ §'��¤ ¡ � � ¡ ± Ø ��¡ ��� ¤ �+¡  �§(��� ��� � ¤�¡ �'�+��� � � ¤/� � ��£ ��§ ¤ � �ådæ ç èd� ��¦*¡ ��� � ¡ �'��� � � ���*� ¤(� � ��¦'§'¶iµ ´U� � �'� � � ¡ � ¦�±�Í��'®�¤�¡ �'� ´*¦�§U��§ ¡�¦�� � µ/ (� ¡ � ¡ ������� § ³�µ � ¶}§ ¨¤ � ¡ � ¤ ¨ ´�� �'� é ê ê�¤ � ¡ ¤�§ ¨d©U��� � � ¤ ±Ñ�� ¡(ë}³���¡ ����¶�� ¦�� � � ¦�� ¤ ¡ � ��£ ��³�� ¡  �� � �U��� � � ¤�§ ¨d� � � ¡ � £ � ¤(� � ��±�ì�µ � � � µ ´U� ¡�� ¤(�'§ ¡���§ ¤ ¤ � ³�µ �(¡ §

£ § ���'� £ ¡�¶�§ � �i¡ ��� �6Úi� á*Õ ëU�(��� � � ¤(§ ¨�� � � ¡ � £ � ¤�³'´*� ¦�� � ¯ ¦�� ¤ ° § � � ¡���� ¡ ��¤ ¥�¨ § ��� µ µ+£ ��§ � £ � ¤�§ ¨���� � � ¤ ¥í îdï ð ñ ò ó ô�ï õ ódö ÷�ø�ñ ó ù ï ô(ñ ó ú û ñ ü�ý û ú ï õ û ï þ ÿ���ñ ò õ ï � ú ï � ø(ï ü ü ö õ��/õ ú � ï ò þ ú ó � ÿ���ú ó ó þ ò � ù'ÿ�� �� � � � ��ý ð ð ö ò ó ï ��ú õð ñ ò ó� ���dý ��� ò ñ õ ó�������� � � � � � � �� �� ô�ñ ú ü ! " # " $ % & " $ ' ( )�* ) " + ,�* - ) .�* / ' . �0 îdï ð ñ ò ó ô�ï õ ódö ÷�ø�ñ ó ù ï ô(ñ ó ú û ñ ü�ý û ú ï õ û ï þ ÿ���ñ ò õ ï � ú ï � ø(ï ü ü ö õ��/õ ú � ï ò þ ú ó � ÿ���ú ó ó þ ò � ù'ÿ�� �� � � � ��ý ð ð ö ò ó ï ��ú õð ñ ò ó� ���dý ��� ò ñ õ ó�������� � � � � � � �� �� ô�ñ ú ü ! # 1 , " ( % " $ ' & / 2�* - ) .�* / ' .

Ë

Page 2: Optimal Construction of Edge-Disjoint Paths in Random Regular

3 4 5�6 7�3 8 9�7�6 :;8;4 6 7=<>8;?�@ ACB 7 D;?�4 B 7=9�8 B 7=7 A;E 7 3�F :�G 5�G @ @ F :�7>7 A�E 7 3HG I G 4 @ G J�@ 7 K�L 5CF :;7�6 G 3 7�8 M�J�8 ?�5�A�7 AA;7 E B 7 7�7 N;O�G 5�A;7 B 3 P�F :�4 3CG J�3 8 @ ?�F 7Q?;O�O�7 BRJ�8 ?�5�AS8 5UTU4 3�V�W XHY�@ 8 E>XHZ KQ[�:�7�B 7 3 ?�@ F 3C9�7 5 F 4 8;5;7 AU3 8M G BC?�3 7�8 5�@ \SG�I G 5�4 3 :�4 5�E�M B G 6 F 4 8;5]8 M>F :;7�3 7 FR8 M>7 A;E 7 3^8 M>F :�7�E B G O�:�P�F :;?�3RG B 7�M G BRM B 8;9_B 7 G 6 :�4 5�EF :�4 3Q?;O�O�7 B�J�8;?�5�A�Ka`>B 8�A�7 B P�b�B 4 7 c 7 PRd;?�7 5eG 5�Agf�O�M G @�h i jC:�G I 7SO�B 8 I 7 AeF :�G FkM 8 BkF :�7S9�8�A�7 @�8 MB G 5�A;8;9lE B G O�:�3 P�m^n;o pCP F :;7RG J�3 8;@ ?;F 7^?�O�O�7 B>J�8 ?�5�A�4 3=G 6 :�4 7 I G J�@ 7�F 8C<^4 F :�4 5�G�6 8 5�3 F G 5 F=M G 6 F 8 B P;J�?;F8 5�@ \]4 MHF :;7�G I 7 B G E 7QA;7 E B 7 7�4 3^G FR@ 7 G 3 FR@ 5=XHKRL 5]F :�4 3�<=8 B q�P�<=7�3 :;8 <lF :�G FRF :�4 3�B 7 3 ?�@ F^:�8 @ A�3�<^:;7 5F :�7]9�4 5�4 9�?�9rA;7 E B 7 7]4 3�Gs@ G B E 7k7 5;8;?;E;:�6 8;5�3 F G 5 F KUtu4 F :�8 ?�F�3 4 E 5�4 v�6 G 5 F�@ 8 3 3�8 M^E 7 5;7 B G @ 4 F \ P><>76 8 5�3 4 A;7 B^B G 5�A;8;9wB 7 E ?�@ G B^E B G O�:�3^G 5�AkO�B 7 3 7 5 FRG 5SG @ E 8 B 4 F :�9wF :�G F^6 8;5�3 F B ?�6 F 3�F :;7CB 7 D;?�4 B 7 AQO�G F :�34 5QO�8 @ \�5�8 9�4 G @�F 4 9�7 Kx 3�?�3 ?�G @ P�@ 7 F�m^n;o yRA�7 5;8 F 7CGCB G 5�A;8;9zE B G O�:Q<^4 F :�I 7 B F 7 Nk3 7 F^{;| } ~�} � � � } XH�R�lh X�j�4 5�<^:�4 6 :�7 G 6 :

O�8 3 3 4 J�@ 7�7 A�E 7=4 3�4 5�6 @ ?�A�7 AR4 5�A�7 O�7 5�A�7 5 F @ \�<^4 F :^O�B 8 J�G J�4 @ 4 F \>��P G 5�AC@ 7 FHm^n;o pUA�7 5;8 F 7=G=B G 5�A�8 9uE B G O�:G @ 3 8�<^4 F :�I 7 B F 7 Nk3 7 F�h X�j�G 5�AQ7 N�G 6 F @ \Q�_7 A;E 7 3 P�G @ @�3 7 F 3>8 M���7 A;E 7 3�:�G I�4 5�E�7 D;?�G @�O�B 8 J�G J�4 @ 4 F \ KH��7 Fm^n o ��A�7 5;8 F 7QGkB G 5�A;8;9_E B G O�:sG E G 4 5S<^4 F :SI 7 B F 7 Ns3 7 FQh X�j><^:�4 6 :S4 3R6 :;8;3 7 5s?�5�4 M 8 B 9�@ \]G FCB G 5�A;8;9M B 8 9wG @ @�O�8;3 3 4 J�@ 7^� � B 7 E;?�@ G B�E B G O�:�3 K� ?;B^9�G 4 5QB 7 3 ?�@ F�4 3=M 8 B 9C?�@ G F 7 Ak4 5QF :�7RM 8;@ @ 8 <^4 5;E�F :;7 8 B 7 9kK

�C���;��� �;���u��� � �S� ����� � �e� � � ��� � ��� � �  ;��� ¡ �;� � � ��� ¢Q£�¤�� ��¥=� � Xs¦�§©¨ ¥>� ¤��^  � � ª�¤ m^n o � ¤�� �C� ¤��« ¡ � � ¡ ¬H� �; kª�� ¡ ª�� � � �Q­Q��®=¯Q� ¤�� � �k� ° � � �>ª�¡ � � � � ± �]� � � ¡ � �;� �]� ¡ ��� � � ��� ��² } ³ � ��� ¤s� ¤�� � « ¡ �Q� � �H� � � �k¡ «ª;� � � ��¡ « ± � � � � � � � {;W ´ µ } ¶ µ Z=· ¸H�a| } � � � } T�� � � � � � « � � �; ;¯¹ � º TQ�w» ² � XHY�@ 8 E � X�¼ ¥¹ � � º « ¡ �C� � � ¤k± � � � � °�½�¥ · { ¸>¾ ´ µ�� ½ �;· ¿u· { ¸>¾;¶ µ�� ½ ��·;À�³�� ¥� ¤�� � �S� ° � � �C� Á  ;�  Á � � à ¡ � ���=ª�� � ¤ �k� � m ¥>à ¡ � ��� �;  ´ µ � ¡ ¶ µ ¥ « ¡ �k� � � ¤ ¸C�Ä| } ~�} � � � } T ¢UÅ���� � ¤�� � Æ�¡ � � ¥� ¤�� � ��� ��� � V�W X�Ç Z � � Æ��C� � ��Á ¡ Æ�� È � Á]� �  ;¡ � � � ¤;Æ « ¡ �C� ¡ �;� � � ��� � � �; k� ¤�� � �^ª;� � ¤ � ¢

[�:�4 3HB 7 3 ?�@ F=4 3>F :;7RJ�7 3 F>O�8;3 3 4 J�@ 7^?�OQF 8�6 8;5�3 F G 5 F�M G 6 F 8 B 3 K>[�:�7R9�7 A�4 G 5QA�4 3 F G 5�6 7^J�7 F <=7 7 5QO�G 4 B 38 MHI 7 B F 4 6 7 3�4 5]ml4 3�ÉCW @ 8 E � X�Z KH[�:�7C5;7 7 AkM 8 B�³UÊu|C4 3�A�4 3 6 ?�3 3 7 AQ4 5Uh i j K[�:�7�G 5�G @ 8 E 8;?�3�O�B 8 J�@ 7 9Ë8 MHv�5�A�4 5;E�I 7 B F 7 NSA�4 3 Ì 8;4 5 F=O�G F :�3^4 5kB G 5�A;8;9ËE B G O�:�3^4 3�A;7 G @ F�<^4 F :k4 5

h Í j K

ÎÐÏeÑ�Ò=Ó Ô ÕÄÔ Ö�×=Ñ�Ô Ò>Ø

[�:;7CO�G O�7 BR6 8 5 F G 4 5�3^G�M 7 <a?�5�3 O�7 6 4 v�7 AkG J�3 8;@ ?;F 7�6 8 5�3 F G 5 F 3^8 MH<^:�4 6 : ² G J�8 I 7�4 3�F :�7Cv�B 3 F K�ÙHN�G 6 FI G @ ?;7 3�6 8 ?�@ ARJ�7HE;4 I 7 5RJ�?;F�4 F�4 3�7 G 3 4 7 B�M 8 BH?�3 � ��ÁR� ¤��=� � � Á � � 4 M;<=7=3 4 9�O�@ \^E 4 I 7>F :�7>B 7 @ G F 4 8 5�3�J�7 F <>7 7 5F :�7 9kK]Ú�7 <Ë6 8;5�3 F G 5 F 3C<^4 @ @�J�7Q4 5 F B 8�A�?�6 7 AsG 3�Û=Ü } � � ��<^4 F :;8;?;FCM ?;B F :;7 B�6 8;9�9�7 5 F K]b�?;B F :;7 B 9�8 B 7 P3 O�7 6 4 v�6C6 8 5�3 F G 5 F 3R:�G I 7CJ�7 7 5]6 :;8;3 7 5]M 8 BR6 8 5 I 7 5�4 7 5�6 7 K=ts7�9�G A;7�5�8QG F F 7 9�O�F^F 8Q8 O�F 4 9�4 c 7CF :�7 9kPG 5�A�P�4 5�E 7 5�7 B G @ P;<>7^8;5�@ \�6 @ G 4 9lF :�G F=4 5�7 D;?�G @ 4 F 4 7 3>A;7 O�7 5�A;7 5 F>8 5�X]8 B=�C:;8;@ A�M 8 B>X]8 B=�C3 ?;ÝQ6 4 7 5 F @ \@ G B E 7 Kb�8 BRGCE B G O�:]mu�lW ÞH} ß�Z=G 5�A ½Qà Þl<>7�@ 7 F�á â�W ½ Z=A�7 5;8 F 7RF :;7CA�7 E B 7 7C8 M ½ 4 5]m�K�tS7�?�3 7Rã�W mCZ

G 5�AUä]W mCZ^F 8sA;7 5�8 F 7QF :;7k3 9�G @ @ 7 3 F�G 5�AU@ G B E 7 3 F�A�7 E B 7 7 3CB 7 3 O�7 6 F 4 I 7 @ \ Ksb;8 B�GS3 7 FQåzæwÞ_<>7]@ 7 Fçås�uÞgè�åUG 5�A]A;7 v�5;7C4 F 3�5�7 4 E : J�8 B�3 7 F P�éCâ�W å>Z P�G 3é�â=W åHZ>�u{ ½kà çåU¾=ê ë à å�3 ?�6 :QF :�G FR{ ½ } ëR� à ß��;�

b;8 B�å�} ìzælÞz<=7�@ 7 FRí â�W å�} ìRZ^A�7 5;8 F 7�F :;7�5;?�9RJ�7 B^8 M>7 A;E 7 3^<^4 F :]8 5�7�7 5�AS4 5såeG 5�A]8;5;7�7 5�AS4 5ìCK>b;8 BRåUægÞ�P�<>7�?�3 7�m�h å�j�F 8QA�7 5;8 F 7CF :�7C3 ?�J�E B G O�:�8 M>ml4 5�A�?�6 7 A�J;\]å=K

~

Page 3: Optimal Construction of Edge-Disjoint Paths in Random Regular

î�ï�ð]ñ�ò�ó ô õ�ö ÷zø ö ù�õ�ú û=ü;ýkþ ï�ðRþ ÿ � � �=ü ��þ ï;ð���� ý;ü��� ÿ ���� ý�� �� ���Hþ ï�ÿ þ��>ð���� ðCÿ � ð����� ��� ý�� �� ������� ���! � ������#" $�% & ' ( ) * � � � ������ ��� ý�� �� ����+�� ��,- � ������#" $�% & ' ( ) . � � / �

0 ÿ � � 12� ü �43�5 ��6� 78:96;4<�=�;�> <�?A@�BDC�E�<GF4H I4@�=�> C�EJK �L��ÿ � M ü � � þ ï��G1L� 0 � 1�ð �=ý�ÿ þ �L� ÿ � � NO� ý þ ü�þ ï�ðP� ü �L��Q�ï�ÿ � ð ��� R ð þ S ï;ð 1UT�ð � ü ��7�PV�W�X Y#Z�[D\Hÿ � þ � þ � ü;ý5]^� ý þ ü!� � _sð 1�M ð ` 1L� � a ü�� ý þ�M � ÿ Q�ï��]4b�cd� eLb � f�b � g4�P�ih��5jL7-\>ï�ÿ � ð!�O�4� � ��L� ðCü ý�� NQþ ï�ðPM � ÿ Q�ïU]�k l�\>ï�ÿ � ð�/��4� � ���� ðRü ý�� NQþ ï�ðPM � ÿ Q�ïL�4] * � ] . � ]4mCÿ ýL1D]Pn l�ÿ ý�1O\>ï�ÿ � ð�o��4� � ��L� ðkü;ýL� NUþ ï;ðOM � ÿ Q�ï5]Pp 7eî�ï;ðOQ�ÿ � þ � þ � ü;ýi� ��� ��S ï�þ ï�ÿ þOekOcqerT���þ2e * cqs s s�cqeLp!trer�4� þ ïu e * u +i O�- �g��^ï�ð � ð� �c# � v���� �=ÿ� ��ÿ � �S ü;ýL� þ ÿ ý þ 7�PV�W�X Yiw�[Px=ï�ü;ü � ð�ÿ� ÿ ý�1;ü��G� ð þ�y6c�z { k � | | | � { * }�~ ü ��/ �DQ�ü � ý þ ��� ýDe * 74x>ü;ý�ý�ð S þ�þ ï;ðCð ý�1�Q�ü�� ý þ �z�� � b � � b � u hc�� � | | | � � ~ þ üSþ ï;ð]ý;ð �4� NiS ï�ü � ð ýiQ�ü � ý þ ��� ýUÿ ý�ÿ � T�� þ � ÿ � N-��ÿ ý�ý�ð � 0 � ÿ]ð 1LM ð ` 1�� � a ü � ý þQ�ÿ þ ï��4� ýU]�kP�L� � ýLM�ÿ��ü �lÿ � M ü � � þ ï��O7���ð þ�� b4� � ð � Q�7 �� b ��T�ðCþ ï�ð 0 ð � þ ð _US ü;ý�ý�ð S þ ð 1]þ üO� b4� � ð � Q�7�� b � 7î�ï;ð�ü � � M � ý�ÿ ��QL� ü T�� ð ��� �Rý�ü ��� ð 1��LS ð 1Sþ üU��ý�1L� ýLMkð 1�M ð ` 1L� � a ü�� ý þPQ�ÿ þ ï��P� � ü ���� b�þ ü �� b�� ü �Cð ÿ S ï!h 7� î�ï�� ��� ÿ ýL1�ü �� � ÿ þ � ü;ý2��ÿ ����� ð 1O� ý!� � 3 ��ÿ ýL1kï�ÿ ��� þ ��� ü;ü þ ��� ý2�>ÿ � � ÿ ý þ � ��� ü ��þ � ýLM�ÿ � M ü � � þ ïL��� / j � 7 ��PV�W�X Y!�[��Sð�� Q� � þ>þ ïL� ��� ý þ ü�Q�ÿ � þ ��� ÿ�� g � T�� 7� W�4��ü �^ð ÿ S ïU{ b ����h �2/ ��g��>ð�1;üQÿ�� ÿ ý�1;ü����=ÿ � RQü ��� ð ý�M þ ï

� � cG� � 3�� ü M��� �� | � o �� þ ÿ � þ � ýLMkÿ þ�{ b�� ý!] * 7�î�ï;ð�þ ð � �� ý�ÿ þ � ý�MQð ý�1�Q�ü�� ý þ�ü �>þ ïL� �4�=ÿ � RO�4� � ��T�ð1;ð ý�ü þ ð 1UT�N5�� �� ��{ b�cG�� �ÿ ý�1DT�N �� ��� ��{ b�c �� � 7�>þ ð ���>ð2S ü���Q�� ð þ ðQÿ2�=ÿ � RU�=ð� ð ��ü 0 ð�þ ï;ð�ð 1�M ð �P� � ü ��þ ï�ðS ü � � ð � Q�ü ý�1L� ýLMM � ÿ Q�ï�7� � �P��ü �Rð ÿ S ïOh�� ýkþ �L� ýgL�=ð��L� � þ41�üQÿ�� ÿ ýL1�ü �G�=ÿ � RO� þ ÿ � þ � ý�Mkÿ þ �� b>ÿ ýL1kþ ð � �� ý�ÿ þ � ýLM�ÿ þP� �b � ýU]4m 7î�ï;ð ý�>ð4� ð Q�ð ÿ þ ð 1�� N1;ü�ÿ�S ð � þ ÿ � ý�þ N�Q�ð^ü ��� ÿ ý�1;ü����=ÿ � R� ýO] . � þ ÿ � þ � ýLMP� � ü��r�� b���ý þ � �;ü;ý;ð^ü ��þ ï;ð � ð�=ÿ � RL��ð ýL1��^ÿ þP� �b 7��sð�R ð ð QSþ ï�ð�� ÿ � þ���ÿ � R]ÿ ��ü �L�4Q�ÿ þ ïU� � ü �d�� b>þ üO� �b ÿ ýL1U� ð ��ü 0 ð�ÿ � ��ð 1LM ð �P� ð ð ý� ýQþ ï�ð � ðP��ÿ � RL��� � ü��^] . ÿ ýL1D]4m4� ð � Q�ð S þ � 0 ð � N 7�]ü � þ�Q�ÿ � � ��� �� b � �� b ���4� � ��T�ð� �LS S ð � � � ��� � NUS ü;ý�ý�ð S þ ð 1!� ý]þ ïL� �4Q�ï�ÿ � ð 7��;ü ��� ��S ïsÿ2Q�ÿ � � g�þ ï;ð���ý�ÿ �Q�ÿ þ ïO� � ü �G� b�þ ü2� b�� �=þ ï�ð�S ü ý�S ÿ þ ð ý�ÿ þ � ü;ýkü ��þ ï;ðPQ�ÿ þ ïL��� ÿ � þ ð ��� ð ��ü 0 � ý�M2S NLS � ð ��� ��ý�ð S ð � � ÿ � N 7 ��� � ü��� bHþ üD�� bHÿ ýL1O� � ü��G� bHþ ü �� b�� ü���ý�1O� ýU\>ï�ÿ � ð� g�þ ï;ð�Q�ÿ þ ï���� � ü����� bHþ ü!�� b gL� � ü��q�� bHþ üO� �b gL� � ü��G� �b þ ü�� b�ÿ ýL1D� � ü � �� b=þ ü �� b��^ï�� S ïSÿ � ð� ü ��ýL1!� ý]þ ïL� �P� þ ÿ M ð 7  þ�� �P� ��Q�ü � þ ÿ ý þ�� ý]ü �L�Cÿ ý�ÿ � NL� � �^þ ü]ð ýL� �L� ðþ ï�ÿ þP� ÿ ýL1�ü �^�=ÿ � RL�^ÿ � ð1�ü ý�ðCü;ýUM � ÿ Q�ïL�^ü �=ï�� M ïD�� ý�� �����G1�ð M � ð ð 7��Sð2�L� ð2]Pn�ÿ �Rÿsø ¡ ¢ £ ù ¤O� ü �ð ýL� �L� � ý�M�þ ï�ÿ þ�þ ï�� ��� ��1;ü;ý;ð 7�PV�W�X Y-¥�[��=þRþ ï�ð�ð ýL1Sü ��\>ï�ÿ � ð/Lg¦2V�§�g�þ ï;ð � ð�4� � �T�ð�ÿ þ���ü � þP �¨L� � ý� �� ©Lª�Q�ÿ � � ��� �� b � �� b ���^ï�� S ïï�ÿ 0 ðký�ü þ�T�ð ð ý2a ü�� ý;ð 1!T�N!Q�ÿ þ ï�� 7O�SðU�L� ðQþ ï�ðkÿ � M ü � � þ ïL��ü ��� � 3 �>þ ü2a ü�� ýSþ ï;ð ��T�Nsð 1�M ðO1L� � a ü�� ý þQ�ÿ þ ï�� g��L� � ýLMCü;ýL� NQþ ï;ðRð 1LM ð ��ü ��]Pp g�ÿ ý�1Qþ ï;ð ýUS ü ý�� þ � ��S þ�þ ï�ðP��ý�ÿ ��Q�ÿ þ ïL��� � ü���� bHþ ü2� bHÿ ��ÿ T�ü 0 ð 7î�üQL� ü 0 ðCî�ï�ð ü � ð �r��� þ4� ��«2S ð �=þ ü2� ï;ü �aþ ï�ÿ þ�� ü �^ÿ � ��ü�� þ=ð 0 ð � NU] '�¬ � ­® \>ï�ÿ � ð �O3eÿ ý�1��!�4� � �4� ��S S ð ð 1#� ü �i¡ ¯ ¯�S ï;ü�� S ð �kü ��Lk � | | | � � } ÿ ý�1�¡ ¯ °�ö û ±kó ² ó ô ³!S ï;ü�� S ðsü �{ k � | | | � { * } 7® \>ï�ÿ � ð ��/Sÿ ýL1ioSÿ � ðO� ��S S ð � � � �L��� ü �U¡ ¯ °�ö û ±�ó ² ó ô ³OS ï�ü � S ðkü �4{ k � | | | � { * } ÿ ý�16¡ õL³2T�� a ð S þ � ü ýz���Lk � | | | � �� } � �� k � | | | � �� ´ ~ �µdz { k � | | | � { * }�~

o

Page 4: Optimal Construction of Edge-Disjoint Paths in Random Regular

¶�· ¸ ¹�¸ ºL» ¸4¸ ·O¼L½ · ¾ ¹�¸ ºL¹ ¿ ¹�À » Á ¸ ¿4Â�¹�º�» ¾ ¹�¸ ·OÁ ·�ÃL¿ Ä ÅL¹ ½4· Ã�Æ ÇO· ÃL¹�¹ È�¼¹ ½ Ä É�¹ à ¸ ÊÃL» É�¹ Æ ÇUÁ ºL·�· ¿ ¹2Ë4Ì�Í Î» ¸�½ » Ã�Å�·�ÉOÊ�Á º�·�·�¿ ¹OÏLÐ Ñ Ò Ò Ò Ñ Ó ÔU» ½ ÕÄ ¸ ½ » ½ Ä Æ ÇD» ÃLÅ!¸ ºL¹ Ã-Ö Ð Ñ Ò Ò Ò Ñ�Ö × ÔU» ¸�½ » Ã�Å�·�ÉOØOÙL½ · É�¸ º�Ä ¿PÂ�¹OÁ » ÃÅ�¹ Å�ÚLÁ ¹4¸ º�» ¸�» Æ É�·�¿ ¸�¹ ¾ ¹ ½ ÇOË4Ì�Í Î�Ä ¿�¿ ÚLÁ º¸ º�» ¸�À · ½�Û Ü Ü Á º�·�Ä Á ¹ ¿�· À�ÏLÐ Ñ Ò Ò Ò Ñ Ó Ô�» Ã�Å2» Æ É�·�¿ ¸�¹ ¾ ¹ ½ Ç2Á º�·�Ä Á ¹· À�Ö Ð Ñ Ò Ò Ò Ñ Ö × ÔLÊLÂ�¹�Á » ÃOÝ�Ã�Å2¹ Å�Þ ¹ ß ÅLÄ ¿ à ·�Ä Ã ¸�¼» ¸ ºL¿�Ï áâ5ãÏ áâ#äÏ á�â!Ó åá â äÓ á�â ãÓ áâ!Ó á�À · ½�æ�çiè�ç5é�Øêìë�í�îï�ð ñ í�òóò�í�ô�õ�ö�ð ÷�î�ð øPù�ø�úDî�û�íGï4ñ ü4ø�ö�ð î�ûýþ�º�¹�Ä Ã�¼Ú�¸�¸ ·�· ÚL½�» Æ Þ · ½ Ä ¸ º�É�Ä ¿�»�½ » Ã�Å�·�É�Þ ½ » ¼�ºUË4Ì Í Î4» ÃLÅO»�¿ ¹ ¸�· À�¼» Ä ½ ¿�· À�¾ ¹ ½ ¸ Ä Á ¹ ¿4ÿ�� Ï á Ñ Ó á ��� è��æ Ñ Ò Ò Ò Ñ é��U¿ » ¸ Ä ¿ À ÇLÄ Ã�ÞO¸ º�¹¼�½ ¹ ÉÄ ¿ ¹ ¿4· À�þ�ºL¹ · ½ ¹ Édæ Ø2þ�ºL¹�·�Ú�¸ ¼�ÚL¸�Ä ¿�»O¿ ¹ ¸�· À4é!¹ Å�Þ ¹ ß ÅLÄ ¿ à ·�Ä Ã ¸P¼�» ¸ º�¿ Ê�Ð Ñ Ò Ò Ò Ñ �Ô¿ ÚLÁ º2¸ ºL» ¸�á�Á · Ã�Ã�¹ Á ¸ ¿4Ï á�¸ ·2Ó á Ø��� �������� ������D¹2¿ ¸ » ½ ¸PÕ�ÇU¼�» ½ ¸ Ä ¸ Ä · Ã�Ä Ã�ÞUË�Ä Ã ¸ ·U¿ Ä ÈO¹ ÅLÞ ¹ ß Å�Ä ¿ à · Ä Ã ¸4Þ ½ » ¼ºL¿�Ë4á���� �Lá Ñ ��á � Ê�À · ½æ2ç6è4ç��LØ���º�» ¿ ¹æ�Â4Ä Æ Æ�Ú�¿ ¹�· Ã�Æ ÇDË�Ð !��º�» ¿ ¹�"2Â4Ä Æ Æ�ÚL¿ ¹�·�ÃLÆ Ç!ËP× Ñ Ë$# Ñ Ë%» Ã�Å!Ë$& '��ºL» ¿ ¹�(2Â4Ä Æ Æ�Ú�¿ ¹�· Ã�Æ ÇDË$) Ø�þ�ºL¹¼�» ½ ¸ Ä ¸ Ä · ÃUÄ ¿4¿ Ú�Á ºU¸ º�» ¸��Ð�*��Õ�ÚL¸$�L×��*+ + +����,)�-���Â4Ä ¸ º.� �L× �,/10Uâ.2 0�Ê�Â4º�¹ ½ ¹32��2 � 4���Ä ¿4»¿ É» Æ Æ�Á · Ã�¿ ¸ » à ¸ Ø5 ÃD¸ ºLÄ ¿�Á · Ã�¿ ¸ ½ Ú�Á ¸ Ä ·�ÃÊ�Â�¹2ÚL¿ ¹¸ º�¹2ÃL· ¸ Ä · Ã!· À�»76�ß Á · ½ ¹ ØOþ�ºL¹86�ß Á · ½ ¹2· À�»UÁ ·�Æ Æ ¹ Á ¸ Ä ·�ÃD· À�Þ ½ » ¼�º�¿

92Ð Ñ 9× Ñ Ò Ò Ò Ñ 9�:�· ÃU¸ ºL¹�¿ » É�¹�¾ ¹ ½ ¸ ¹ ÈU¿ ¹ ¸���Ä ¿�¸ ºL¹�Æ » ½ Þ ¹ ¿ ¸4¿ ÚLÕ�¿ ¹ ¸�· À���Â4º�Ä Á ºUÄ Ã�ÅLÚ�Á ¹ ¿�»¿ ÚLÕLÞ ½ » ¼º· ÀPÉÄ ÃLÄ É�ÚLÉ�ÅL¹ Þ ½ ¹ ¹U» ¸Æ ¹ » ¿ ¸�6-Ä Ã!¹ » Á º-· À92Ð Ñ 9× Ñ Ò Ò Ò Ñ 9 : Ø;5 ¸�Ä ¿�Ú�ÃLÄ <�ÚL¹2» Ã�Å-Á » Ã-Õ¹2À · Ú�ÃLÅ!Õ�ǽ ¹ ¼¹ » ¸ ¹ ÅLÆ Ç!½ ¹ É�· ¾LÄ Ã�ÞD¾ ¹ ½ ¸ Ä Á ¹ ¿�Â4ºLÄ Á º!º�» ¾ ¹UÅ�¹ Þ ½ ¹ ¹OÆ ¹ ¿ ¿P¸ ºL» Ã.6-Ä Ã!· ÃL¹2· À�¸ º�¹>=�Ä Ã�ÅLÚ�Á ¹ ÅDÞ ½ » ¼�º�¿ Øþ�ºLÄ ¿�Á · à ¸ Ä Ã�Ú�¹ ¿�Ú�à ¸ Ä Æ¸ ºL¹ ½ ¹�» ½ ¹�Ã�·¾ ¹ ½ ¸ Ä Á ¹ ¿4Æ ¹ À ¸�· ½4ÉÄ ÃLÄ É�ÚLÉ�ÅL¹ Þ ½ ¹ ¹36OÄ ¿�» Á ºLÄ ¹ ¾ ¹ ÅØþ�ºL¹�» Æ Þ · ½ Ä ¸ º�É�Õ¹ Æ · Â�¿ ¸ » ½ ¸ ¿�Õ�ÇOÁ ·�ÃL¿ ¸ ½ ÚLÁ ¸ Ä Ã�Þ¼�½ ¹ Æ Ä ÉÄ ÃL» ½ Ç�¾ ¹ ½ ¿ Ä · Ã�¿�· À�¸ º�¹ ¿ ¹�Þ ½ » ¼�º�¿ Ê�Å�¹ ÃL· ¸ ¹ Å

Ë?á À · ½2æUç�è�ç@��ØUþ�º�¹ Ã!¹ Å�Þ ¹ ¿�» Ã�ÅD¾ ¹ ½ ¸ Ä Á ¹ ¿�» ½ ¹2ÅL¹ Æ ¹ ¸ ¹ Å!À ½ ·�ÉqË? × Ñ Ò Ò Ò Ñ Ë?) Ä Ã!· ½ ÅL¹ ½�¸ ·!» Á ºLÄ ¹ ¾ ¹Á ¹ ½ ¸ » Ä ÃUÉÄ ÃLÄ É�ÚLÉ�Å�¹ Þ ½ ¹ ¹P¼�½ · ¼¹ ½ ¸ Ä ¹ ¿ Øæ ØBA>C D,E,F G H I'JLK�M,N O P"�ØBQ�R�D,G S(�Ø T4Ä ¾LÄ ÅL¹���Ä Ã ¸ ·8� ?á Ê�æPçiè�çU��Õ�Ç2¼Æ » Á Ä ÃLÞ�¹ » Á ºO¹ ÅLÞ ¹�· À���Ä ÃLÅL¹ ¼¹ ÃLÅL¹ à ¸ Æ ÇÂ4Ä ¸ º2¼L½ · Õ�» Õ�Ä Æ Ä ¸ ÇUæ V �2Ä Ã ¸ ·¹ » Á ºO· À��$?á À · ½�æ�çiè�çU��ØWLØ X E,FUæPçiè�çU�¿ ¹ ¸4Ë?á'Y � ��Ñ �$?á �Z�Ø [ Y]\ 4�V ^ _ â4Á · ½ ¹�· À�Ë? Ð��Ø X E,F8"�çiè�çU�¿ ¹ ¸4Ë4á Y Ë?á ` [7a^ Ø [ Y]\ 4�V ^ _ â4Á · ½ ¹�· À�ËP× Ñ Ò Ò Ò Ñ Ë$) Øb�Ø X E,F8"�çiè�çU�2Ë4á!�*� �Lá Ñ ��á � Y Ë4á ` [7a Øc�ØBR�S'deK�MfN�O P

�!¹OÂ4Ä Æ Æ�¿ º�· Â^Æ » ¸ ¹ ½7� g¹ ÉÉ»;W���¸ º�» ¸�h8I'i#¸ ºLÄ ¿» Æ Þ · ½ Ä ¸ ºLÉ�¸ ¹ ½ ÉÄ ÃL» ¸ ¹ ¿�Â4Ä ¸ ºe� [���/�0!â12 0Â4º�¹ ½ ¹�24Ä ¿�¿ É» Æ Æ Ø�¶�· ¸ ¹�¸ ºL» ¸$K�MfN�O PU¹ ÃL¿ ÚL½ ¹ ¿�¸ º�» ¸j þ�º�¹PÝ�Ã�» ÆÞ ½ » ¼�º�¿4Ë4á Ê�è��1"�Ñ Ò Ò Ò Ñ �º�» ¾ ¹�¸ º�¹�¿ » É�¹P¾ ¹ ½ ¸ ¹ ÈU¿ ¹ ¸[-Øj�k ¾ ¹ ½ Ç8l>m7[qºL» ¿�Å�¹ Þ ½ ¹ ¹�» ¸4Æ ¹ » ¿ ¸ \ 4�V ^ _�Ä Ã2¹ » Á ºDË4á Ê�æPçiè�çU�LØj�k ¾ ¹ ½ Ç8l>m7[qºL» ¿�Å�¹ Þ ½ ¹ ¹�» ¸4É�· ¿ ¸" 4�V ^�Ä Ã2¹ » Á º!Ë4á Ê,"�çiè�çU��Øj 5 À'l8m;�1n�[�¸ ºL¹ Ã>o�p!q � l,���1o�pr� l,���U4LØ

W

Page 5: Optimal Construction of Edge-Disjoint Paths in Random Regular

s�t uwv�x�y�z {e|�t}�~������ �8� � � � � � � � � � � � �;�1�,�3�,�f� � � � ��� �7� �f��� � �,������� �.��� � �f� ����� � ��� � � � �3� � � �8�!� �� ¡��� �f� � ��� ~��� � ��¢ � � � � � � � � � � � � ��£��>¤;�>� � �8¥ ��� ��¥7� �7� � ��� � � �8� ~f���,� � ¦�� � �§� �r¨,�,�f� �f¥>�,� � ~,�$� � � �ª© «�� �;¬ «�¦��� ~,� �r� �'¨��f�,� ��¥���� � ~f��� � ���§­© «'� � ­¬ « ®f¯~�� � �3¢�­©f� � ­¬ � � ­©�� � ­¬ � � � � � � ­©��f� ­¬ ��£$°e ����!� �±���� �f� � �$� ~���� � �¢ ©f� � ¬ � � ©�� � ¬ � � � � � � ©��f� ¬ ��£ �¤���� � �,��� � �r±1� �8 U²f� �$� �f¥ � ³ �,� � ´ � � � ���,� � ~,��� ��� ~f�¥ � � �,~>µ��r�f� � �f¥3��� � ¯�� � ¶8·f� ¯1� � � ~,�f� ¸��f� � �

¤;�3� ���f� � � �f� ������ � ¯�� � ¶7� ��� � � � � ¯�

¹�º � � ~7�f�,�f� � � � � � ��� �f¥ ��� ��µ���¥ � � �� � �,� � � � �;» �¹�º � � ~8¼8�;�*¦�� � � �3� �r�3� ����� � �$� ��� � ��� � � � ��½ ¢ ¾�¿�© «'°U¼�� �¬ «!°U¼,£�½f� �f�8� � � ~7�3� �$¦�� �r� �� ¦�� � � �3� �r��� � �f¶�� ��� � ��� � � � ��» �

À ~�� �.¯��>¨,�,�.�7·f� ¯@� � ���ª±@� �. ¡� ~f� ��� � � � � ¨f� �3� � ����� ��� �f�,� ��Áf� �f� �8� ~��>��� Âf� ���,�÷f� ¯�~,� �� � � � ¥ � ��² � � �f� � ®�� �8��� � ���3��� � � ���,� � ��� � � � �.� � � �U½ ±3½'� ��¥ � ³ �f� � ´ ��� � �3��� � ~f�7Ä � � ¥ � � ~�� �8��� � ~,� ����¯� � ~� � �3�8� �f� � � � Å �$Æ ������� � ~�´ ��� �f�© «�� �7�7�. �®�� ~f� �7¯��8� � ��­© «�°*�f�3Á�� ��� � � � � � ®,� ������� � ~�´ ��� �f�¬ «�� ����; $®f� ~f� �8¯���� � � ­¬ «'°1�f�À ~��,�3Ç�~f� � �;»8¨,�,�f��� ��¥ � ³ �f� � ´ ��� � ���,� � ~,��È�É � Ê« � � ���ª© «r� ��­© «� �,��È*É Ë Ê« � � � � ­¬ «r� ��¬ « ®r»;Ì

¾�ÌUÍ!®�¯~f� � �� ~��$² � � � � � � �$­©f� � ­¬ � � ­©�� � ­¬ � � � � � � ­©���� ­¬ �3�;�f�� � ��� ~f� � � �>�,�f� � � � ��� ��� ��� � �f�f� �¡¯� � ~������� � �,� � � � �3� � � ��Î$��� ~f�7� � ~�� �>~,� �,��� ~f� � �;��� ��¦��7� ���3�;�f� Ï8� �,� ��� ���f�,� � � ���f� �f¥�� � ² ��� ² � �U� ��� ~���,� � � � ��¥3� ��­© «'¯� � ~ ­¬ « ®!»$Ì�¾�ÌUÍ!��¤;�3��� � ��¯� � ~8� ~f� �r� �>Ç�~,� � ��Ð,Ä ��Å �

s�t Ñwv�x�y�z {Uu'tÒ!Ó Ô!Ó Õ×Ö8Ø Ù,Ú,Û Ü Ý Þ'ßLà�áfâ'ã'äfå�æ'ç Ó¤;�7� � �,� � � �,� ��� �f¥ � ³ �,� � ´ � � � ����� � ~f�3� � �,��� � � � ��¥�­© « � ­¬ «r� � �>»Ì�¾3Ì�Í.� ��� ~,� �$��~f� � �8�,� � ��¥7� � �,�����¯�� � ¶f� �¡èêé ë ì,í � îï��ë ð ñ7���1� �1�,�f�,� � � � � � �U¥ � � ��~*Ä � �7�3�f� � � ¥ � � �,~�Å�µò°LÄ ��� ó3Å>� �8��ô7� � ¶ � ²� ~,� � �7¢ õ3ö £�� �7�*� � � �f� � � � � �8¯� � ~>���,� � � � � � �� ~f� �r�3� ² � ��� � � �¡² � � � � Â8� �3² � � � � Â>� � � � � �,� ��¥3� �3� ~��� � � � � ¯� �f¥7� �f� � ¿ À ~f�8�f� � ¦,� ¦,� � � � �;� �$�>� � � �,� � � � ����� � � �ò � � � � Â.¼,®�� �$��� ¥ � � �>÷ ø>� ���>² � � � � Â.ùú� �» û ÷ ø�� ��¢ ¼�� ù$£��7ó¡� �f�7ü3� � ~f� � ¯� � � �Ä ýf� �$�3�f� � � ¥ � � �,~,� ®�� � � ~>� �f¥ ��� �f�r� ���3² � � � � Â7� �r� �>� ¸��f� � � �� � ¶ � � �8� Âf� � þ,� ��� ����� � ��� ���f� � � �7� ��� ¯���� Âf� � � � Å�Æ � �r� � � � � � �,� � �>�,� � � � � ¦���� � � �!® �f� ��� � � �>¦��8ÿ;� �ÿ�Ä µ�Å ®� ��¥ � ² � �8¦��

ÿfø$° ÷ øÐ,½ ó8½ �

è1� � � ´ � � � � � �7ÈL� ��� � �f¥ � ~��>� ���3� � ¸��f� �f� �$� �'² � � � � � � ��� ù�� � ù� � � � � � ù�� �!� �,� ~8� ~f� �¢ ù�ö � ùrö '� £��7ó� � �»$Ì��� ��� À ~f�rô;� � ¶ � ²8� ~,� � ��� �,�f�,� � ����,� � ¦�� ¦�� � � � ���,� � � � � ¦���� � � ��� �3� � � ´ � � � � � � � ��� �3� ~f��f� �,� �¯�� � ��¤���f� ��� Û É � Ê� Ä ©,� ¬ Å'� ���f� ��� � �r� ~��r�,� � ¦�� ¦�� � � � �$� ~f� ���� � �f�f� �*¯�� � ¶3� �8µU� �!� � ��¥ � ~���� � � � � � �f¥� �©8� � � ��� �,� � � �r� �¬ �À ~f� � �8� ��� ���3�8��� � � � ¦�� ��� ���f�,� � � ���f� �f¥7� � ² ��� ² � �.� �;� ~��8��� � � � �f¥>� ��­© «�¯� � ~ ­¬ « � À �7¦,� � � ¶�� ~,� �

¯���¨,� � �$�f�>� � �f�f� �ú¯r� � ¶f�3È�É � Ê« � È*É � Ê« � � � � � � ��¥>� � ���ê­© « � ­¬ « � »>Ì�¾$Ì*Í.� �7¥ � � ��~��!� ���r� � ������°Ä ��� � ó�� Å � �>°¡Ð�� � � � � �>�f� ��� � � ��µ���� � � � �$� ~f���f� � � � � ���7� ��� ���3�3² � � � � � � ��� �,�7� ��¥ � � ��¤;�8���>� ~�� � �� �U� ~f�;� � ��� �7� � � � � � � � � � � � �f� À ~f�;¯�� � ¶f�>� � �.� ��Ï8� � � � � � �U� ����¥�� ~,� �>� ~�� � �>� �,������� � � ���© « � �¬ «�� � �� � � � � � � � � � ��� �f�f� ��� �f�f� � �'� ��­© «'� �,� ­¬ « � À ~f�r� ��¥ � ��� ��� � � ~>� �f� ~��$¯r� � ¶�� � ��f� � � � � ��¦�� � � � �r� ~f��f� Â��¯�� � ¶>� � � � � � � À ~f� ��¶ � � �,�r� ~f�$¯r� � ¶f��� �f¥ � ³ �,� � ´ � � � � � À ~,� ��� � �,� � � � ��� � �rÇ�~,� � ��Ð,Ä ��Å �À ~f� �7� � �$¾�°�» � � � � � Í�¯����f�>� ~f�3� ��� � � ¯� ��¥,¿r¤��8� � �,� � � �,� ���8� � �,�����ú¯�� � ¶�È*É � Ê« � � � � � � ��¥7� �

�¬ «� ��� � � �r� � �f¥ � ~�� � ®!� ~���� �,������� � ��� �$�f� ��� � � ��¦���¬ �« ��Ä À ~,� �$��� ¥�~ ��� � � �Ã�,�f�f� � � � � � � ��� �f��¯��� Â��,� � � �8¯~ �8¯��3���8� �� � � � � � Å À ~f� �>� �7Á�� � �;Ð üf®f¯��$� Â�� � �f� ��� ~���� �f¦f� ����� � ����� ä! " � �8¥ � �f� � � � �3�

Page 6: Optimal Construction of Edge-Disjoint Paths in Random Regular

# $ %�& ')( * +�,-&-.0/�* 1 23#546�7 8 9 9 9 8 46;: # % * ( % < +3=>* % 4? @ < +BADC E�F�G3$�1 * # %�/�* 1 2H46;: /�< 1 1I$ +3,B* %KJ L@ * +3,BMI$* N N $ O�% $ ,;* # 6QP C R@ E)SD< +�* 1 1 T U-/�$�,3$ 1 $ % $V46�7 8 9 9 9 8 46;: ' ( &-.XWKC�* +3,B,-$ 1 $ % $ 6YP Z R@ ' ( & .XWK[ E\ %)< #D< .�OI& ( % * + %D' & (]% G-$�* MI& ^ $�* +�* 1 T3# < #D% &K$ +�# _-( $�% G�* %]&-_-(]( * +�,-&-.`/�* 1 23#D% * 2 $�O�1 * N $�& +�= ( * O�G�#

/�< % GB# _-a�N < $ + % 1 T�G�< = G>.�< +�< .�_�.0,-$ = ( $ $ E�F�G-$K& M-^3< & _�#�( $ * # &-+>' & (�% G3< #�< #�% G3* %�/)$�,-&�+-& %�/�< # G�% &< # & 1 * % $K* + T�^ $ ( % $ b�% G3* %�+3$ $ ,3#)% &�MI$K* +�$ +�,-OI&-< + %)& 'D*K/�* 1 2IE]c;$�* 1 # &�( $ d-_3< ( $�% G3* %)% G-$�/�* 1 23#)% * 2 $O�1 * N $�& +�= ( * OIG3#�/�G3< N G�* ( $># % ( &-+-=;$ b-O�* +3,3$ ( # EBS-& (�_�# UD% G�< #K( $ d-_3< ( $ #�*;G3< =-G�.�< +�< .�_�.e,3$ = ( $ $ E\ +�= $ +-$ ( * 1�/�$K$ +3# _3( $�% G�* %�= ( * O�G�#�# _3O3OI& ( % < +3=�% G3$�( * +3,3& .0/�* 1 23#�G�* ^ $�.�< +�< .�_�.5,3$ = ( $ $�* %�1 $ * # %f-g h i E]c;$K.�* +3* = $�% G�< #DM-T�% G3$�# < .�O�1 $�* ( % < ' * N %)& 'I( $ .�& ^3< +3=K^ $ ( % < N $ #)& '!1 & /j,-$ = ( $ $�_�+ % < 1-% G-$�= ( * O�GG3* #�+-&-+-$�1 $ ' % E�k c�$�N &-_31 ,>$ .�O�% TB*�= ( * O�G>% G3< #�/�* T UIM�_3%�/)$�# G-& /Y1 * % $ (�% G�* %�% G3< #�,-&-$ #�+-& %�& ' % $ +G3* O3OI$ +!E l\ ']% G3$�O3( & OI& # $ ,B# % * ( %�^ $ ( % $ b>m>& ')*�/�* 1 2B< #�& ')1 & /Y,-$ = ( $ $�% G-$ +>/�$�% ( T>% &�n o p�p�q n r�s r�t u n vK% &

^ $ ( % < N $ #�& ')1 * ( = $�,-$ = ( $ $>k % G3& # $�< +>w�x l�M-TB*�OI* % GB< +;WKy E�F�G-$�% $ ( .�< +�* 1!$ +3,3OI& < + %�& ']% G3< #�/�* 1 2B< #,-$ +3& % $ ,�M-T�m-z E�k {�& % $K% G�* %�% G3< #)O�* % G�#)< #�+-& %�& 'D1 $ +3= % G�| } U /�$�$ b-OI$ N %�< %)% &�MI$K.�_�N G># G-& ( % $ ( l EDc�$_3# $�*�# _3M3( &-_-% < +-$�~K�!�!�!�I���!���!����' & (K% G�< #�OI_-( OI&-# $ E�c;$�,3&�+3& %�$ b-OI$ N %�% &># _3N N $ $ ,;* 1 1!% G3$�% < .�$* +�,�&-_-(�' * < 1 _-( $ #�* ( $K2 $ O3%�< +>*�# $ %���' & (�1 * % $ (�N &-+3# < ,3$ ( * % < & +!EF�G3$K/�* 1 2�' ( &-. ? @ % &�J @ < #)% G3$ +�% G-$�N * % $ +�* % < & +>& 'D/�* 1 23# 6QP � R@ 83�-� h 8 9 9 9 8 � E)F�G3$ # $�/�* 1 23#�.�* T

$ * N GB< +�N 1 _3,3$K*�# G-& ( %�/�* 1 2 6;�!� * %�% G3$KMI$ = < +�+3< +3=�O�( & ^3< ,-$ ,�M-TB~��!�!�!�����!���!���)ES3& (K���;�j/�$�_�# $K% G3$�+-& % * % < &-+B�]k �-l � � % &�< +�,3< N * % $����;�-�? @ 8 �J @ � E

Page 7: Optimal Construction of Edge-Disjoint Paths in Random Regular

� ���>� ����� � �  D¡£¢�¤3¥D¦D§3¨I©Dª«-��¬)­-��� ®¯-� ° ����±]²Q�K� ��« ³B´D�µ3� ¶�·�¸º¹ »-¼ � ½ ¾ ¿ À Á  Ã�Á Ä)ÅK· Æ�ÇD·�¸ÈÅK· É ¶�· Ê �Ë-� � °�Ì Í�ÎÏ ¶�·��  D­-®Ð-� Ñ�ÒD­-Ó Ô!� ­>Õ�Ö!¥!¥!¤�×�¨!Ø�§!×�Ù�Ú ¶�· Û Ì Í Û Ì ÜÍ Û Ý]Ú Ì Í Þ Û ß;àIá�Þ)âã � � °)ä�²jÝ]Ú Ì Í Þ�ÎÏBå �  D­-®æ-� ç!à è�é�²j«�ê ÄDÌ ÍD²Yëì í�î ï�ð é�²jË�ê Ä]Ì Í!² ëñ í ��ò)Á ï3ó è  ô3À è

 î ï3ð Á õ0ö î ÷ ø ßYù ú ûí ó è î  è ê ï3ü�î è�Ì ÜÍ ê ï ÇD· �)ý�þ3Ã�è à  õ�ê ï3î ÷à ï�ð-ÿ Á-ê ï è�ê ó��ì í ê Ä]Ì Í!²Yëì í�î ï�ð �ñ í Á è þ3à  ö�ê ó à �

�-� ßYù ú ûí ¸ Ú ß;à!á�Û ßYù ú ûí Þ Û ÅK·�¸ÈÅK·�����Ú ßQù ú ûí Þ� ½3� â� � � �I´� «3� ° ����±]²Q�K� ��³B´D�� ¯3� ¶���²j¶��¸ ¹ »-¼-� ½ ¾ ¿ À Á  Ã�Á Ä)Å� Û Å� Æ�Ç í ¸ÈÅ í É ¶ í Ê Û�ä�² ¯3Û µ3�� µ�� � ° �ì Í�ÎÏ ¶����  D­-®� Ë3� Ñ�ÒD­-Ó Ô!� ­>Õ�Ö!¥!¥!¤�×�¨!Ø�§!×�Ù Ú ¶�� Û �ì Í Û �ì ÜÍ Û ± Û ßQù � ûàIá Þ)â� Ð3� � ° �ñ Í�ÎÏ ¶ K�  D­-®� ã-� Ñ�ÒD­-Ó Ô!� ­>Õ�Ö!¥!¥!¤�×�¨!Ø�§!×�Ù Ú ¶ Û �ñ Í Û �ñ ÜÍ Û ± Û ßYù ûà!á Þ)â� æ3� � °�±�ÎÏBå �  D­-®� �3� ò)Á ï3ó è  ô3À è� î ï�ð Á-õ5ö î ÷ ø ßYù ûÍ ó è î  è ê ï3ü�î è �ñ ÜÍ ê ï Ç� Æ3è þ3Ã

à ï�ð-ÿ Á-ê ï è�ê ó�ð à ï Á è à ð���� ñ �Í �« ½3� Ñ�Ò!­-Ó Ô!� ­���§�� Ù�Ú �ì ÜÍ Û �ñ ÜÍ Û ñ �Í Û Ç�� Û Ç� Þ ÆIßQù � ûÍ ¸ �ß�� �«-� � Å��¸ÈÅ������Ú��ß í Þ Û ä�²Q� Û � � � Û � �KÅ��¸ÈÅ������Ú ßYù ûÍ Þ« «3� ßYù � ûÍ ¸ Ú ßQù � ûàIá Û ßQù � ûÍ Þ Û�ßYù ûÍ ¸ Ú ßQù ûàIá Û ßQù ûÍ Þ �« ¯3� â« µ�� �I´« Ë3� ­-®D´`¢�¤�¥D¦!§3¨I©Dª

��� ��� "! ÔD¬D� ��Ô!� � ®D­�ÕKÖ!¥!¥!¤I×�¨!Ø�§!×�Ù �ý�þ-à ÿ ô- ÿ Á ó Ã�Á Ä)Õ�Ö!¥!¥!¤�×�¨!Ø�§!×�Ù�ê ó è Á�À Á ï�ï à À è î # à  è à $�%Bè Á # à  è ê À à ó Á Ä ÷ î  ü à ð à ü  à à ��& ÷ ÷ ö î ÷ ø3óî  à ð Á ï Ã�Á ï�# à  è ê À à ó Á Ä ÷ î  ü à ð à ü  à à î ï�ð ê ï�' è à ÿIó ¯ (-Ð�ö)Ã�À þ3à À ø è þ î è�è þ3à ó è î  è ÿ Á ê ï è�%Bþ î ó�÷ î  ü Ãð à ü  à Ã�ê ï Ç�) ��Ú Ç*)�ê ó ê ï ê è ê î ÷ ÷ � Å) � ô3è ÷ Á ó à ó�# à  è ê À à ó)î ï3ð à ð3ü à ó)î ó è þ3à î ÷ ü Á  ê è þ3õ ÿ  Á3À à à ð3ó Þ �*+ Ä ï Á è Æö)à ÿ ô-è�ê è�ê ï è Á å Ä Á  ÷ î è à  �*,�à ð Á î ï�- . /�- 0 1 2 3 . 3 4 /  î ï�ð Á-õ5ö î ÷ ø ß;à!á�Ä Â Á-õ5%Bô ï è ê ÷Iî�# à  è à $�%�ÜÁ Ä]¶ ê ó  à î À þ3à ð �)ç î è à Â�ö)ÃK à ÿ�÷ î À Ã�% ��� % Ü ��6 � à ð3ü à î # Á-ê ð ê ï3ü Æ3ö)Ã�õ�à î ï è þ î è�Á ï Ã�ê ó�ï Á è î ÷ ÷ Á ö�à ðè Á>ô ó ÃKè þ-à ó î õ�Ã�à ð-ü Ã�õ�Á  Ã�è þ î ï Á ï À à ��,;à ð Á�è þ�ê ó Ä Á Â�è à À þ ï ê À î ÷  à î ó Á ï�ó Æ � ô-è�ê è ð Á-à ó�ï Á è ó à à õô ï  à î ó Á ï3î ��÷ à î ï � ö î � ��ý�þ3ê ó ê ó�ð Á ï Ã�ê ï7' è à ÿ�ó ã (3� ½-�

ã

Page 8: Optimal Construction of Edge-Disjoint Paths in Random Regular

8 9;: <*=*> ?@<�A B C*DFE�G�H�H�I@J@K�L�M�J@N�O P7Q R*Q R@S Q T Q U�V�W�XY�9;=�D�Z@B C[�9 \�]�^`_ a�b 8 c d e f g h ig j�k]lm9 B noRFpq \*]�A r*D�Cs�9 tu^vt�w7x T yz�9 D {�B A| 9 }~�9 ��g �@� � h �@f �o� ��i ��� i�� � g�� �m� �m� h � �m�mg ����� � ��U�V�W�� � � h � � �m��� �oR�� ��\*]��@� � � �

U�V�Wu�m� � � � ��� g�� i� i h � i ��R@S�� �7P��9 O �o�@� ��� �o� � h � �m� � �@�o� � ��� j*R q PFX 98 cm9 k]o^�k]��oU�V�W8 8 9�D�C*��EG�H�H�I�J@K�L�M�J@N

��� ��� ��� <*=*> ?@<�A B C*D���M�� N ���g�f g �@��i f ���  ¡ � �m� �¢ ¡ � j � i h£��@� � i Y@O ��X���i�¤@h � ��f g��m�mi f ��� �mi �¥O � j���i f i � � � h ¦@X�� g�� �miF_ a�b 8 c d e f g h ig j�k§ Q k�¨ 9*©Fi�� ��i ���mg ��h � �m�mg �5��� � ��U«ª ¨ ¬¡ � ��\�¨� � � h � � �m� � � �¢ S¡ � �@��i �@�m� �m��� � ¢ ­¡ 9*©Fi� �mi ��� h ¦� g® g�� �u�  S¡ � g ¢ ­¡ 9��g�® g � �¯�  S¡ � �@� ¢ ­¡ ° � �mi�h i � �mi h���� ��� �i ��±�i f ���@��� g7f ��g�g�� i���h � �@��g��²��� � �7j h g��²� ��g�� i���� � �i �m�m±�g � � � ���  S¡ Q ¢ ­¡ 9��o�mi���� � � ±mh g ³@� i �´��� � ��� �m� ��� �*� �m� ��� ��i��@� � � h � ³���� � g ��g j ¢ ­¡ ��� ¦ ³�i�� � � �@� ¤@f � � � � ¦�m� µ�i h i � �j h g��¶� �mi�� � i � ��¦u� � � � i��m� � � h � ³@�m� � g��7g jo���o� � ��j h g��·�  S¡ � �F\�§ 9�¸ j���i�f �mg�g � i����o� � �F� �� �@� ���� �@��i h� ��i �F��i � i � � ���7� ���� � �*f g �@�m� � � g �7� ��i�� h � ±@�F� �����o� ¦����m� f ��� �f g � ±�� i �7� g7� �@� � ¦�¹ i °i � ±�i f � � � � ¦�� �o��i��@� � i�� g�h i ±�i � �o� ��i±@h gmf i �m�mh iº7� � � i � 9©Fi g � i h f g�� i � �m� �o³�¦7f ��g�g�� � ������� i ��g j�h � �m�mg �»�o� � �m��� �m���m� i�h i ® i f � � g ��� � � ±�� � ����� g���� � i

� �miu¤@�@� ����� � �´�m� � iu� ��i�f g h h i f �F�m� � � h � ³@�m� � g���9¥�o��i h i�� ��� � � � �� ��i�f g�� ±@� � f � � � g���� �@� ��� �mi ¢ ­¡� h i�f �mg � i ��³�i j g h iF��i���g¼� ��iF�o� � �m� 9¶�o�@� ��� i � �m��� g¯� �miu� ��³@h g �m� � �miF��M���N5�mi � f h � ³�i ����i ��� 9��M�� N�O �  S¡ Q �¢ S¡ Q ¢ ­¡ Q \�§ Q \�¨ X� i ��i h � � i ���F� i h � i � g j�h � �@��g��v��� � �m� g j� i �m� � ��½ ¾�� ��\*§�� � � h � � ���Fj h g���  S¡ 9��o��i�� � � ���o� � ��� i ��i h � � i �7i �m�@��� � ¢ ­¡ ���@� f ���@� ��� ��i �m� � � h � ³@�m� � g��

�¿mÀÁ¯Â ª Ã Ä ¬Å Æ O �¢ S¡ Q ÇmX È

É �o��i h i�� ��� ��i�Ê��mi � � � g���� ��� g���� ¦���i���g��mg �o� h ¦�� g�f g��m� � h �mf �o� ��� � ��j h g��¥�  ¡ � g �¢ ¡ 9�©�i��mi i �� �7��M���NF� g�� i ��i h � � i�� �7i �m�m±�g � � �oj h g��»� �mi � � � i �@� � � h � ³���� � g ��� �o� ��i � � h � i � 9�o�m� �o��� � ����g ��³�i� g�i � � ¦7� j �¢ ¡ �@� �o�mh g ±@±�i ��g����og j*� �mi�_ a�b�8 c d e f g h i 9 Ë�o�mi�� g�� i ���m� ��� � h � ��� i�� i � �mgm���@� i �7� g�� i ��i h � � i�� ��i � i��o� � �m����� � ��³�i�j ��h � ��i hi ��±@� � � ��i ��� �

Ì i f � � g �7~�9

~

Page 9: Optimal Construction of Edge-Disjoint Paths in Random Regular

Í Î;Ï Ð*Ñ*Ò Ó@Ð�Ô Õ Ö*×�Ø�Ù�Ú�Û�Ü ÝÞ ßà á Ýâ ßà á â ãà á ä*å á ä�æ çè�Î;Ñ�×�é@Õ Öê�Î ëmìívî�ï ð ñ òó ô Ü ÝÞ ßà á õmç�ö ÷ øoõ�ù7ú�åûmÎ Ýëmìívî�ï ð ñ òó ü Ü Ýâ ßà á õ@ç�ö ÷ ø�õ�ù7ú æ Ü ý þmÿ���� � ý ø � ����ý � ÷ ��÷ ö â ãà Î ç�Î ë� � �í���� ��� ëmì�� õ�ù7ú�å ���Î Ýë��� �í���� � � Ýëmì�� õ�ù7ú�æ �� Î ��þ ÷�÷ � ÿ�� ö ø ÷ ��ý þ�ÿ � ÿ ÷ � ÿ ý ø � !���� � ý ø � ���mý � ÷"��# � ý þ%$ ø ÷ ��� ��� & � ý ' ÷ ö � ��! ! ÿ � �

( ) ë� � � *�Ýë��� �+�Î , Ó@Ò%-., Ò Ó�/`ÍÔ Ó0��1¼Í�2*Ó3�Î ��þ ÷�÷ � ÿ54�6�� ! ! ÷ ø ��� � ��ý ÷%7 ÒmÜ 4�6 )¼õmç�) Ü ëmì81«Ýëmì ë� � � **Ýë��� � ç *�Ü Í81 ( çÍ 9mÎ Ó�2Í Í Î 4�:�í â ãàÍ èmÎ , Ó@Ò%-., Ò Ó�/`ÍÔ Ó0�;2*ÓÍ êmÎ <�� ! =.� # � & = Ý> 6 ÷ ö & ÿ � � ý þ.? @ � ��ä�å � ! ! ÷ ø ��� � ��ý ÷ ý þ�ÿ���� � ý ø � ���mý � ÷"�

÷ � ý ø � A ÿ ! ý ÷ ø � ÿ � B�! ÷ � ��� ý � ÷ � ÿ � ÷ � � ý � ø ý8$ ÷ � � ý ) ÝÞ ßà � � �ÿ � �.$ ÷ � � ý ) 4 6

Í û@Î Ó�2Í mÎ Ó@Ð�Ô C*Ð�Ô Ý>ED á Ý>GF á H H H á Ý> :Í �mÎ�×�Ö;2¯Ø�Ù�Ú ÛIoþ�ÿ���� � ý ø � ����ý � ÷ � ��ëmì%� � �´Ýëmì%! � � ��ÿ�! ÷ ��$���ý ÿ �G� �EJ Ü K�LM? @ ç ý � � ÿ��"'E! ÷ ��$���ý � � �.$ ÷ # ÿ ø � ÷ ö ý þ�ÿý ø � � � � ý � ÷ � ��� ý ø � ��B;� ö ý ÿ ø # þ�� ! þG� ø � � � ÷ � # � & =G! � � ��ÿ ö ÷ � � �G� �EJ Ü KN? @ ç ý � � ÿ Î�Ü O ÷ ø ��ÿ ý � � & � � ÿ ÿP Í 9 Q Î ç Ioþmÿ � � � & '�� � � # � & &�� þ ÷ # ý þ�� ý5� � ý þmÿ ø � � � ÿ ÷ ö � � ý ÿ ø ÿ � ý B�R%S;C�B ( � �T� ÷ � � �mÿ �%� # � ' ö ø ÷ �VU ÿ ø ÷�"'.��! ÷ � � ý � � ý B�þ�ÿ � ! ÿý þ�ÿÿ �"$�ÿ ! ý ÿ ��ý ÷ ý � & ø � ��� � � � ý � � ÿ ÷ ö Ø�Ù�Ú�ÛE� � J Ü KNLM? @ ç Î

W X WZY�[�\�] ^`_;XIoþ�ÿ ø ÿ�� �5� ý � & &�ý þ�ÿ�� ÿ ý�a ÷ ö $�� � ø � # þ�� ! þ7þ�� b ÿ �m÷ ý5��ÿ ÿ � ! ÷ ��� ÿ ! ý ÿ �M�"'.$�� ý þ�� Î8cFÿ # � & &N� þ ÷ # & � ý ÿ øý þ�� ý8R%S;Ced a5d"� �8� ý5� ÷ � ý8K;*mÜ & ÷ ��K ç f ñ Î�g5�8� ��! þNB�ý þ�ÿ � ÿ�$�� � ø �T! � � ��ÿ��mÿ � & ý # � ý þ%�"'�ý þ�ÿ�� & � ÷ ø � ý þ��÷ ö P Í 9 Q B���� � � ��� ø � $�þMh i Î

jlk`m n�o�p5q�r�sTtNu m nwvxm�y�zT{|;X }�~��;��^�� Xc�ÿ5� ø � ý�� þ ÷ # Ü ��ÿ �����è ��ÿ & ÷ #ç ý þ�� ý�ý þmÿ8� ø � $@þ���h à á � ) è á H H H á ��� ø ÿ ø � � � ÷ ��� � b ÿ � ý þmÿ � ø ��ÿ � ø ÿ ÿ� ÿ �"��ÿ � ! ÿ � ÎIoþmÿM� � ��$�& ÿ � ý�� ÷ �mÿ & ö ÷ ø � ø � $@þ�� # � ý þ`�G����ÿ ���mÿ � ø ÿ ÿG� ÿ �"�mÿ � ! ÿG� � ý þ�ÿ�� � � �;� �"� � � � � �e��� � � �÷ ö8��÷ & & ÷ �8�� � P û Q # þ�� ! þG� � �%$ ø ÷ ��� ��� & � � ý � ! � � ý ÿ ø $ ø ÿ ý � ý � ÷ ��÷ ö ý þ�ÿ%! ÷ � � ý � � � ö ÷ ø ����& � ÷ öT� ÿ � �mÿ ø � � ��T� � �mÿ & � P è Q Î���ÿ ý�2 )V� � D á � F á H H H á �"� � �mÿ ��÷ ý ÿ%�.��ÿ � ø ÿ ÿ�� ÿ �"��ÿ � ! ÿ B�� � � � ��� à )V� Í á H H H á � à ���E� � �ö ÷ ø Í%  �  �¡E� � �E� )£¢ �à ¤ D � à ��ÿ ý þmÿ%� ÿ ý ÷ ö�¥ � � ��� ¦ Î%��ÿ ý�§ ) §�Ü � ç ��ÿ�ý þmÿ�� ÿ ý ÷ ö $�� ø ý � ý � ÷"� �÷ ö �w� � ý ÷ $�� � ø � Îe¨���! þ�$�� ø ý � ý � ÷ � ��� ø ÿG! � & & ÿ �©� � � �N� ��� � � � � ��¦ Ϋª ö�¬·ù §»ý þmÿ � ý þmÿG����& ý � � ø � $�þ­�Ü ¬ ç � �5��ÿ � � ÿ �M� � ö ÷ & & ÷ # � �8®�Ü ­ ç�) P ¡�Q;� � ��ý þmÿ ø ÿ�� �8� � ÿ ��� ÿ � � á ¯"��ö ÷ ø ÿ b ÿ ø '.$�� � ø � �M¬«÷ ö ý þ�ÿö ÷ ø � � Ü 4 á � ç á Ü ° á ¯�ç � Ü ö ÷ ø � ÷ � ÿ�4�� � �G° ç Î%g5� � ��� ÿ ¬ � ��! þ ÷ � ÿ �Fø � � � ÷ ��& ' ö ø ÷ �±§Î%Ioþmÿ%� � & � ÿ � ý$ ø ÷ $�ÿ ø ý � ÿ � ÷ ö ­ ) ­�Ü ¬�ç Ü � ÿ ÿ P û Q ç � ø ÿ �

3

Page 10: Optimal Construction of Edge-Disjoint Paths in Random Regular

²�³"´0´0µ0¶�· µ�¸E¹ º�»½¼ ¾%¾ ¼ ¿5À�Á  Ã�Ä Å� Æ`¼ Ä�¼ ¾GÂ Ç È�É Á Á ÊEÁ ¼ Ë Â Á ÊEÄ Ì0Í ÂGÉ Æ�ÊG¾ ¼ ¿5À�Á Â.Î Ï É À�Å`Ð ¼ Ä Å`Ñ Â Î Ï Â Â¾ Â Ç È� Æ�Ò Â5ÓTÔ

· Õ ¸GÖ�×�Ø »Ù¼ ¾5¾ ¼ ¿5À�Á  Ú�Û�Ü Ý"ÞNß à á�Ø â;ã ä å�ã Ú æ0Ð;Å�Â Ï Â�â©Ûèç éGç ä ê`¼ ¾.Ä Å�Â.Æ�È"¿�Í Â Ï.Ì ºMÂ Ñ Î" ¾.¼ Æ0»ìëÅ� Æ�Ò Â5ê â ä å0¼ ¾�Ä Å�Â�É í Â Ï É Î"Â�Ñ Â Î Ï Â Â�Ì º5»£Ô

î ï ï ð�Ü ñ Ü ò ó ñ Ü�ô õ�ö%÷ Ü ô8ï ó%ñ Ü Þ�ø ù ÷ Ü%ú5û"ü ý þ"ÿGù�ñ ù ����ó � ÷ ó������ õ�ñ ù ï � ó ���õ�ø ï � � ñ ù Þ�ðEúVÛ©»£Ø �Ú��5ð�Ü ñ ÜÓeÛ Ø � � � � � � "Ú ���8ð"Ü�÷ ó ñ ñ Ü ô Þ�ó ����� ���%ñ ù ����ó � Þ�ù ñ ï � ï � ó��� ô���Ü �"ó ï Ü �Gþ"ÿ��� ����� ÿGÞ�ñ ó Þ�Ü ñ ï ÿMï ð�ù ïð"ó"ø ��ô�������� ��ï ð�� ô���ó���Ü ø �"ð�ó ø ��ô�������� �%ú5û"ü ý8ô � ��÷ Ü8Ü Ý"Þ�ß"à5á�Ø âNã ä å�ã Ú æ�Û! "�#�$ % & � î ���5ð�ù ï�ò ó"ø ø ó �5ôï ð�Ü�� ñ ù Þ�ð�ô5ú ã � � � � � ú�' ù ñ Ü(��õ�ø ï � � ñ ù Þ�ð�ô8ù ô ô ó�÷ � ù ï Ü �)��� ï ð.÷ ó �����"õ"ñ ù ï � ó���ô� ã � � � � � �' �*�+ ,.-/10�2�35476)/18 9�:)350<;�350�=?>5@�A /�B C 350�:�+�Nó.ù ��ù ø ÿ�ô Ü�ñ ù ���"ó��D�Tù ø E�ô5ó �Mï ð"ÜF� ñ ù Þ�ð�ô�ú�G �1�TÜ��"Ü Ü �Mï ó%þ�Ü�ô õ"ñ Ü�ï ð�Ü ÿGð�ù H Ü�ï ð"Ü�÷ ó ñ ñ Ü ÷ ï(��� ô ï ñ � Iþ�õ�ï � ó��1�²�³"´0´0µ�JLKNÌ Ï�Â É Ò Å�M�Û«ê�� � � � � NMÄ Å�Â�Ò Ì Æ O;Î È"Ï É Ä ¼ Ì ÆP5G�À�Ï Ì Ñ È�Ò Â ÑMÍ Ê.É Á Î"Ì Ï ¼ Ä Å"¿RQ1S�T�U V`¼ ¾�Ï É Æ�Ñ Ì ¿Î ¼ í  ÆE¼ Ä ¾%Ñ Â Î Ï Â Â�¾ Â Ç È� Æ�Ò Â�¼ Ô Â Ô.Ò Ì Æ�Ñ ¼ Ä ¼ Ì Æ�É ÁTÌ ÆEÅ�É í ¼ Æ ÎEÑ Â Î Ï Â Â�¾ Â Ç È� Æ�Ò Â�Ó Ã?5G ¼ ¾%Â Ç È�É Á Á ÊMÁ ¼ Ë Â Á Ê.Ä ÌÍ Â�É Æ�Ê�À"É ¼ Ï ¼ Æ"ÎMÌ º Ä Å�Â�Ò Ì Ï Ï Â ¾ À�Ì Æ�Ñ ¼ Æ"Î)W<X G�À"Ì ¼ Æ�Ä ¾ ÔÖ × Y1Y�Z [(\NÜ ï��]�þ�Ü5ó þ�ï ù � ��Ü ��ò ñ ó��^©þ"ÿ�� ��÷ ø õ���� ��� Ü ù ÷ ð.Þ�ù � ñ�ó ò�L��� ï ð�Þ�ñ ó þ�ù þ�� ø � ï ÿ)_ ä N���`EÜ���ñ ô ïô ð"ó �©ï ð�ù ï� ] � ô8ù�ñ ù ���"ó���÷ ó �����"õ"ñ ù ï � ó������ H Ü �P� ï ô���Ü � ñ Ü Ü�ô Ü a"õ"Ü ��÷ Ü ��b8ó ï � ÷ Ü ï ð�ù ï

Ö�×�Ø ] ç Ó Ú�Û Ö ×�Ø ] ÚÖ ×�Ø Ó Ú ÛW�c�Ö ×�Ø ] ç �Úç d�ç Ö ×�Ø Ó Ú

ù ���EÖ ×�Ø ] ç1�Ú Û Ø _ ä N"Ú $ WLe f & g ã Ø h"ä N"Ú $ ý û " W<e f & g ã � ò? ]�i ù ���j.ó ï ð"Ü ñ ��� ô Ü ��k"õ�Þ�Þ�ó"ô Ü� % ù ��� ã ù ñ ÜMï ��ó�÷ ó������ õ�ñ ù ï � ó ��ôF��� ï ð�ï ð�ÜGô ù ��Ü��Ü � ñ Ü ÜGô Ü a"õ�Ü ��÷ ÜGÓ��8ù ����ø Ü ï�l % Û�ß ç� % i �æù ����l ã Ûxß ç� ã i �æ��Gî ï�ô õ"ö%÷ Ü ô�ï óEô ð"ó ��ï ð�ù ïMç l % ç Û�ç l ã ç ��\�Ü ï�m���þ�Ü%ï ð�Ü.ô Ü ï�ó ò8Þ�ù � ñ ô %�n ã Û£Ø %�o ã Ú5p0Ø ã?o % Ú ��q5Ü ����Ü���ù Þ�Þ�� ����rts�l %�u l ã ù ô5ò ó ø ø ó �5ô s�v�� H Ü ��^w�l % �Nø Ü ïr Ø �Ú Ûyx o Ø m���zP % Ú {1p0Ø m���zP ã Ú ��î ï | ô Ü ù ô ÿGï óGô Ü Ü�ï ð�ù ï(r�Ø �Ú(wtl ã ù ���tr "5% s1l ã�u l % � ô��Ü ø ø I ��Ü ����Ü �.ù ô�r "1% Ø �Ú Û<x o Ø m���z) ã Ú {�pEØ m���z� % Ú ��}8Ü ��÷ ÜFr� ô8ù�þ1� ~ Ü ÷ ï � ó��.ù ���Eç l % ç"Û�ç l ã ç ��8ð"õ�ô.Ø � ��ù �0ó þ�H�� ó õ�ôF��ó ï ù ï � ó ��ÚF�]% � � � � � �]' ù ñ ÜMù ø øTñ ù ���"ó���÷ ó������ õ�ñ ù ï � ó ��ô �tq5Ü ø Ü ï � ���EùGô Ü ïé��Eù ���eù ø ø��%Þ�ù � ñ ô%÷ ó � ï ù � ��� ���`ù���Ü � þ�Ü ñ.ó ò�é��Mò ñ ó��� ]G Þ�ñ Ü ô Ü ñ H Ü ô%ñ ù ����ó ����Ü ô ô%ô � ��÷ ÜMÜ H Ü ñ ÿ�"Ü ñ � H Ü �M÷ ó �����"õ"ñ ù ï � ó��.ù ñ � ô Ü ôTò ñ ó��£ï ð"Ü�ô ù ��ÜF�"õ�� þ�Ü ñ8ó ò Þ�ó ô ô � þ�ø Ü ÷ ó �����"õ"ñ ù ï � ó���ô��]G ��k"ó�ï ð�Ü��1��ù ø÷ ó �����"õ"ñ ù ï � ó���ô� ã � � � � � �' ù ñ Ü ñ ù ����ó �)��� � H Ü �%ï ð"Ü � ñ��"Ü � ñ Ü Ü�ô Ü a"õ"Ü ��÷ Ü ô ���`EÜ��"Ü Ü ��ï ó�ô ð�ó ��ï ð�ù ï�ñ Ü ��ó H�� ��� ï ð�ÜTÜ ��� Ü ô ó ò�ù5ñ ù ����ó �L�8ù ø EF��ó"Ü ô���ó ï�÷ ó������ ï � ó���ï ð�ÜTÞ�ù � ñ � ��� ô

ó ò;ï ð�Ü5ñ Ü ��ù � ��� ����Þ�ó � � ï ô ��`GÜ(��ó �«÷ ó���ô � ��Ü ñ�ï ð"Ü�÷ ó ��ô ï ñ õ�÷ ï � ó��%ó ò ù�ñ ù ���"ó��£÷ ó �����"õ"ñ ù ï � ó�����;î ï�� ôõ�ô Ü ò õ�ø�ï ó�ï ð�� ��E%ó ò�Vù ôTþ�Ü � ����÷ ó���ô ï ñ õ�÷ ï Ü �Mô Ü a"õ"Ü � ï � ù ø ø ÿ �_ ���)� ��Y�× � � �;´��(�5��� V1������Vê�� Õ�³���� ���� ������������������� Z Y�×���ÛL_�� Yeç �£ç ä ê�Ó�Yh�� �Tð"ó"ó"ô Ü�����wP��� "1% É Ï Í ¼ Ä Ï É Ï ¼ Á ÊN�� �Tð"ó"ó"ô Ü�  �8Ï É Æ�Ñ Ì ¿�Á Ê�ò ñ ó �D��� "5%�o ß ��� æ¡ � 5����5� "1% pMß ß ��� �   � æ æ ����������� "1%�o ß ��� �   � æ¢�� Y�Ó£���Y�¤5� ��¤5��_ j�� ³��;Ó¥���5��� V1�1����V

_ j

Page 11: Optimal Construction of Edge-Disjoint Paths in Random Regular

¦ §�¨ ©�¨ ªF«1¬ ­ § ® ¯ §�§ ¬�¬ °�© ± ­ ² ±�§ ³�® §�´ ¬ ­�® ¯ µ�¶?·¹¸�º�»¹¼?»5½�¨ ©�®F­ ® ¯�¾�¬�ªDªF± ª�°1± ­�¬ ´�¿(À Á�½  ÃÄ ¯�¨ ªF«1¬ ­ § ® ¯ §�Å ¬�¯�© ± Æ�Ç�± ¯�Å ±�¬ ´�§ ³�±�® °1¬ ² ±F¬ °�© ± ­ ² ® § ¨ ¬ ¯�¨ ©�§ ³�® §�¨ ´�È�±�© § ® ­ §�È�¨ § ³ÉËÊ<É^À »F º

§ ³�± ¯§ ³�±�ª(Ç�Ì § ¨ Í ­ ® «1³P¬ °�§ ® ¨ ¯�± ¾°�µP­ ± ªF¬ ²�¨ ¯�Í)´ ­ ¬�ªyÉ˧ ³�±�± ¾�Í ± ©�¬ ´�®)­ ® ¯�¾�¬�ªRÈ�® Ì ÎtÏЭ ± ª�® ¨ ¯�©Ç�¯�Å ¬ ¯�¾�¨ § ¨ ¬ ¯�± ¾1Ã�¦ ¯�¾�± ± ¾1º�È?±�ª�® µP¨ ª�® Í ¨ ¯�±�Ñ�Ò5Ó�Ô Õ1Ö1×�Ø�Õ�® ©�«1± ­ ´ ¬ ­ ªF± ¾¨ ¯)«1® ­ ® Ì Ì ± Ì1È�¨ § ³)¬�Ç�­�È�® Ì ÎÏ<Ã¥Ù�Ç�«�«1¬ © ±)¬�Ç�­�È?® Ì Î�ª�® Î ± ©�®�§ ­ ® ¯�© ¨ § ¨ ¬ ¯�´ ­ ¬ ªÚ®² ± ­ § ± Û�Ü¥® ¯�¾�§ ³�±Å Ç�­ ­ ± ¯ §�² ® Ì Ç�±)¬ ´�Á�½(¨ ¯Ñ�Ò5Ó�Ô Õ1Ö1×�Ø�Õ�¨ ©�ÁFÃ�Ý�³�±�§ ­ ® ¯�© ¨ § ¨ ¬ ¯F´ ­ ¬ ª<Ü)¨ ©�± Æ�Ç�¨ ² ® Ì ± ¯ §�§ ¬FÅ ³�¬�¬ © ¨ ¯�Í(®�­ ® ¯�¾�¬�ª<ªF± ª(°1± ­�ÞPʹÞ�½5¬ ´ß(à�Ã�¦ ´�ÞPáPÁFº § ³�± ¯(È?±?«1± ­ ´ ¬ ­ ª¥¬�¯�±�© § ± «�¬ ´�Ñ�Ò5Ó�Ô Õ1Ö1×�Ø�Õ�® ¯�¾F«�® ¨ ­�Þ�È�¨ § ³F®�«1¬�¨ ¯ §�â�ʹ⠽ á�Á�¼ ã Þ5ä�æ ´1â?á�ßFå�´ ¬ ­?© ¬�ªF±�æ1º § ³�± ¯�§ ³�±�È?® Ì Î�ª�® Î ± ©�®�§ ­ ® ¯�© ¨ § ¨ ¬�¯F´ ­ ¬ ª<Ü�§ ¬(æ1Ã�¦ ´1ÞtçáPÁ!§ ³�± ¯Fâ�¨ ©�§ ³�±�«1¬ ¨ ¯ §® Ì ­ ± ® ¾�µ�«1® ¨ ­ ± ¾�È�¨ § ³�Þ�Ã�Ý�³�Ç�© º�© ¨ ¯�Å ±�»!¼?»5½�¨ ©�­ ® ¯�¾�¬ ª)º�È�±F© ± ±�§ ³�® §�­ ± ªF¬ ²�¨ ¯�ÍF´ ­ ¬�ªDÉè§ ³�±�± ¾�Í ± ©¬ ´?®�­ ® ¯�¾�¬�ªDÈ?® Ì Î)­ ± © Ç�Ì § ©�¨ ¯P®)ª(Ç�Ì § ¨ Í ­ ® «1³)´ ­ ¬ ªy®Pé ê ë�ì í îDÅ ¬�¯�ï�Í Ç�­ ® § ¨ ¬ ¯5Ã�Ý�³�±�© ® ªF±�® ­ Í Ç�ªF± ¯ §Å ® ¯�°1±�® «�«1Ì ¨ ± ¾(§ ¬(§ ³�±�± ¾�Í ±�® ² ¬�¨ ¾�¨ ¯�Í�È�® Ì ÎF¬ ´�Ñ(Ò5Ó5Ó5ð�Ø�Õ5ñ�ò5Ø�ó�Ã5¦ ¯F§ ³�±�Ì ® § § ± ­?Å ® © ±�È�±�¾�¬F¯�¬ §�¯�± ± ¾§ ¬�Å ¬�¯�© ¨ ¾�± ­�§ ³�±(Å ® © ±(Þ¹ôáPÁ�½ æ ¯)© Ç�ª�ª�® ­ µ º�È?±(Å ® ¯PÅ ¬ ¯�¾�Ç�Å §?¬�Ç�­�® ¯�® Ì µ�© ¨ ©�¬ ´�õ�³�® © ±Fö�® Ì È�® µ�©�® © © Ç�ª�¨ ¯�ÍF§ ³�® §�§ ³�±(Í ­ ® «�³�©�÷�ø

ù ÷�ú�® ­ ±�­ ® ¯�¾�¬ ªDÅ ¬�¯�ï�Í Ç�­ ® § ¨ ¬ ¯)ªFÇ�Ì § ¨ Í ­ ® «�³�© º�Í ¨ ² ± ¯�§ ³�± ¨ ­�¾�± Í ­ ± ±F© ± Æ�Ç�± ¯�Å ± © Ã

ûýüÿþ���� ����� ��� ������������±(°1± Í�¨ ¯�È�¨ § ³)© ¬�ªF±(¾�¨ © Å Ç�© © ¨ ¬�¯�¬ ´?÷������� � ��� �"!$#&% ' % é (*) +�, - é ê .0/21�í 3(÷54$/�6 7 /�6 )�6 ë�ì +�7 % ì8, ()ê9) % :�í 3�' % é : 6 7 % )�;=<�> ;�>�?�@$A�ÊB C @�ô�À D E F G H  <=/�ê )Fê :?î�í ) :�ö�> ;�> ô B�% ì -�% ) IJLK M�M�N O�P5± §�ß�Q�Ê R�S T Q ß S Ê¥ã ULV W U�ø W X X X W UZY [ Q [ ä X0P5± §�Ç�©�­ ® ¯�¾�¬ ª�Ì µ�«�® ¨ ­?Ç�«9ULV W U�ø W X X X1Ã Ä §�® ¯ µ© § ® Í ± º5¨ ´$U S ³�® ©�¯�¬ §�°1± ± ¯)«�® ¨ ­ ± ¾�È�¨ § ³P® ¯ µ)¬ ´=ULV W U�ø W X X X W0U S \ V º�® ¯�¾)Í�¨ ² ± ¯)§ ³�±(«1® ¨ ­ ¨ ¯�Í ©?¬ ´�§ ³�± © ±«1¬ ¨ ¯ § © º�§ ³�±�«�­ ¬ °1® °1¨ Ì ¨ § µ�§ ³�® §�U S ¨ ©?«�® ¨ ­ ± ¾�È�¨ § ³)© ¬�ªF± § ³�¨ ¯�Í�¨ ¯)ß�QP¨ ©�® §�ªF¬�© §�> ;�> ô @�Ã�]�± ¯�Å ±J�K�À ^�;_�9> ;�> Ê�`�?_@aA WZ;tÅ ¬�¯ § ® ¨ ¯�©�ö ` ô BF± ¾�Í ± © Â�?�b cde f�g h @ ` i h G `ö ` ô B ij `@�k H e l ø? b cde f�g j @aE` k e j B E G `ö @ k H e l ø

Ê b cde f�g h D E ú G H `B C @ i e l øÊ m�À @ \ ø  Xn

Ý�³�±(¯�± Û�§�Ì ± ª�ª�®�Å ¬ ¯�Å ± ­ ¯�©?§ ³�±F© ¨ o ±�¬ ´�p�® §�§ ³�±�± ¯�¾�¬ ´�q�r�s t Õ�Ã����� � ��u&v 3�pw6 )Fê )Fì % x�ë�% ì96 ë�ê y -�í é 6 : /�î5q�r0s�t Õ_: /0% ë9z9!$#> p_>�{LÀ |�}~E \ Y l � A A  @=XJLK M�M�N O���¨ Û |2?&��?&�P® ¯�¾�Å ¬�¯�© ¨ ¾�± ­F÷��S�¨ ª�ªF± ¾�¨ ® § ± Ì µ® ´ § ± ­�Ù § ± «~��Ã�¦ ´?âtá��D§ ³�± ¯~������ À â�Â�³�® ©¾�¨ © § ­ ¨ °�Ç�§ ¨ ¬�¯9�?¨ ¯5À G W | ô ��Â�® ¯�¾)³�± ¯�Å ±F® §�§ ³�¨ ©?«1¬ ¨ ¯ §(À | Â�¨ ªF«�Ì ¨ ± ©JLK�À � ���� À â�ÂZ?�� G�ô C � ÂZ?�� V�Ê�E \ Y l F A A XÙ ¬)¨ ´Z� S ÊLã âPá ���9� � � � À â�Â�·�� G�ô C � äF§ ³�± ¯8��À > � S > Â�{ÿÀ |�} � V  @�Ã���¬ È<§ ³�±(­ ® ¯�¾�¬ ªD² ® ­ ¨ ® °1Ì ±9> � S >¨ ©?¾�± § ± ­ ª�¨ ¯�± ¾�°�µ�§ ³�±�¬�Ç�§ Å ¬ ªF±(¬ ´$G @�ô B(­ ® ¯�¾�¬�ª^Å ³�¬�¨ Å ± © Ã Ä Ì © ¬�º�Å ³�® ¯�Í�¨ ¯�Í�¬ ¯�±�© Ç�Å ³)Å ³�¬�¨ Å ±�­ ± © Ç�Ì § ©| |

Page 12: Optimal Construction of Edge-Disjoint Paths in Random Regular

� �8� ��� �0� � �0��� �0� �0���8� �L��  ¡ �L¢�£�¤�¥�¥�¦ �0� �0��� ��§�¤�¨ ©��*� ª «� �§ ¬a­0� �0�9�*� ® � � ����� ¦ §�� � � ¦a� �0§ ¯�©0� ¦ � � �~° ± ² ³ ´± ¢0µ ³ ¶�·Z§L  �0� � � � ¸�¹ ° � �0� �0º�»�° � �0� � ¶$¼~½ ¶�º�¾ ¿�À Á Â Ã Ä Å Æ ÇÈ�©�� � � �0��½�É�Ê Ë Ì~·�§�¡ § §L� �0� ��Í9Î$Ï� ��� ��а µ�¼ ¢ Ê Ë ¶ Ì�Ñ µLº_Ò�º�Ó0Ç ° Ô�¶Õ�  ·��   ��¡ � ­�§ ®�Ö5� �=� �0§Z§ �0­�  ×aØ�� § ¥9²�£=Ùa§ �ZÚ�Û�É �8Ü���Ë�� ��­�­0§ Ý��0§���¡ § ¯�©0§ �0� §�Þ�Ë Ñ Þ�ß Ñ Ç Ç Ç Ñ Þ�à� ¡L×  �¦ ¦   ·�¡ á�Ø�©0¥0¥� �¡ §*Ú2â9É�Ú�Û�ã�ä ÞLË Ñ Þ�ß Ñ Ç Ç Ç Ñ ÞZâ å2� ��­�Þ�â æaË�� ¡�� �~� ® ��� � ® � ® ��ç § ® � § è~��  ��� � Ú2â��©0�Z·���� � �8�0� ¡�� ��¦ § � ¡ ��¢9��§ � ��� ��  ©0® ¡Z� �8Ú2â £�é��0§�¡ § ¯�©�§ ��� §�¡ �   ¥�¡�� ��� ��­�§ è2ê9·��0§ �9§ ç § ® �2ç § ® � § è��  ��� �8Ú à �0� ¡�� ���� �¡ �Z ���§���§ � ��� ��  ©0®�� �8Ú à £�Õ�  · § ç § ® �9ç § ® � § è8��  ��� �8Ú à �0� ¡�ë ì�íî ° ï0¶Zð�ñ ò�ó ô õ� ��­9�0§ �0� §L��� ¡Z­0§ � ® § §�� ��¦ § � ¡ �9ñ ò�ó ô õ�� �2� Ü=Ú�à�£=é���©�¡�� Ö_��Ð_Ì*¼ � Ú�à�� £=ö~§L�0  · ¡ ��  ·�� �0� ��Í9Î$Ïê2÷�Ó Ê Ë Ì=£=ø ×=�0  ��� �0§ �ù Ú�ú û ü Å ��� ¡�� ����  ¡ ��ý Ê Ë Ì~ç § ® � � � § ¡ £ù Ú�ú û ü Å �  �� � � � �0¡�� ��¦ § � ¡ �Lµ ¢ Ê Ë Ì~§ ­�� § ¡ £þ�  ®�¡ ©0ÿ9� � § � � ¦ �2¦ � ® � §Lò0´0� ��� ¡Z�  �� � ® � ­0� � � ¡Z� ��§��  ��0� ¦ ©�¡ �   �9  ×=Ù�§ �*�*���0£�é���©0¡ZÍ9Î$Ï�´0� ��� �0§L§ �0­2  ×Ø � § ¥8²0´ � Ö_��а µ�¼ ý Ê Ë ¶ Ì�Ç ° ² ¶Õ�  ·��   ��¡ � ­�§ ®L� �0§�§ è�§ � ©0� �  ���  ×�Ø � § ¥_ô £����0§*� � �~¡ § §*� ��� ��� �0§�ç � ¦ ©0§�×   ®�Öw� �L� ��§*� § ® �*� ��� � �   �  ×=� ��� ¡�¡ � § ¥�� ¡�� �0­0§ ¥�§ �0­0§ � �Z  ×=� �0§L  ® ­�§ ®�� �2·��0� � �9ç § ® � � � § ¡�� ® §�­�§ ¦ § � § ­9���2� �0§�ê�ª �   ® §�� ¦ �   ® � � �0�2£Ø   � ¡ ¡ ©���§2� ��� �*·Z§8¡ � � ® �*���_­0§ ¦ § � � �0��� ú� �aß ° �&Ü��0� ¶ £° Ô�¶�� �0­° ²�¶�� ��¥�¦ �~� �0� �*Í9Î$Ï � × � § ®9� ��� ¡� Ö_�0а µ�¼_µ ý Ê Ë ¶ Ì�£$ö~§L� ��§ �8� ® ��©�§ ´�¡ � �*� ¦ � ® ¦ ���  9� ��  ç § ´�� ��� ���� 9��  ® §�� ��� �8ô ¢ Ê Ë Ì~��  ® §Lç § ® � � � § ¡·�� ¦ ¦���§�­�§ ¦ § � § ­9���9� ��§�ê�ª �   ® §�� ¦ �   ® � � �0�2£�é���§�¦ § �*�*��×   ¦ ¦   ·�¡Z×   ®L¡ ©�ÿ9� � § � � ¦ �9¦ � ® � §Lò0£��� ����� ����� ��������������� �ø �~� ��� ¡L¡ § � � �  ��~·�§9¡ �0  · � ��� ��� ×� �©�®�� �0¥�©0��� ® � ¥���!�É"° �=Ñ "�¶L� ¡#! Å $ Ä � �0§ ��Í9Î$Ï�´$� × � § ®�·Z§*® ©0�%�&('*) + ´0·�§�� � �9Ý��0­2� �,!�ËZ§ ­0� § ª ­�� ¡ -   � � �Z¥�� � �0¡Z× ®  ��/. �$�  ,0. � ´0� �0­21 �$�   01 � ´�×   ®�µLº_Ò�º43a´0×   ®�5 6�7� �0  � � §L  ×8.0Ë Ñ Ç Ç Ç Ñ 1 9��  ��0¡ � ¡ � § � ��·�� � �*� �0§�¥�® § �*� ¡ § ¡=  ×aé��0§   ® § �5µ ´�� �0­*§ ç § ® �9� �� �� � §�×   ®�0.0Ë Ñ Ç Ç Ç Ñ 01 90£Ùa§ ��:� �0­<;���§�� ¡�­�§ Ý���§ ­2� �8Ø�§ � � �  ��9Ô�£ ¢0£�þ0  ®�=�>��*´0¦ § �? ° =�¶�É&� ä Ò�á�. �$  ®�1 �8@<=�å��0� �0­2A�° =�¶=É&� =2B,;�� Çþ�  ®�¡ § � ¡�=$Ñ C�>���´�¦ § ��¾ ì ü ° =$Ñ CL¶Z­0§ ��  � §�� �0§���©0����§ ®Z  ×$§ ­0� § ¡Z  ×D!�Ë�·�� � �2� �9§ ��­�¥� �� � ��� �2=_� �0­� �0§L  � �0§ ®�§ ��­�¥� �� � �Z� ��C�£=ø ��¡ ©0ÿ9� § ¡Z�  *¥�®   ç §�� �0� �¾ ì ü ° =$Ñ�E=�¶�ÐFA�°*E==¶$¼ ? ° E=�¶ Ñ G�=�>��=Ç ° Ó ¶ö�§L� � �*� �0§ �*� ¥0¥�¦ ���L� ��§   ® § �&  ×8HL� ¦ §*± µ Ô ³=° ¡ § §JI�  ��­��*� �0­�K8©0® � �8± ô ³ ´�é��0§   ® § �5µ µ £ ý�¶$�  �­�§ ­�©0� §� �0§L§ è0� ¡ � § �0� §�  ×$� ��§�® § ¯�©0� ® § ­�L0  ·&� �,!�ËZ×   ®�� �0§�¡ ©�� � § ¡ ¡ × ©0¦�® ©0�9  ×=È��0� ¡ §�¢0£MDN*O�O�PRQ�S"Î$Ï�¾ ì ü ° =$Ñ E=�¶�Ð_ò�� =Z� ó ¢ ý ý#T U V�5 W W�=F>��=Ña� =Z�0º_Ì$ó ¢(X

µ ¢

Page 13: Optimal Construction of Edge-Disjoint Paths in Random Regular

YJZ [�[�\ ]�^�_ _ `�a#bJc(d _ efe g(h e#i j�i*kFl8m nDo(d p arqsb a�a�h�t*u(vfbJp w(e h x yz {�| j8}s~jD�f� | �(| ��� �8��t � i j�i*� | � �*� � � �Rt*� i jfi �� p,y(p v h _ _ `(a#b<i j�is��lsm#h y(�<c�d _ eJ� p*y(_ x �(b d z {�| j8}�~jD� n#�<b�� � h x a�e g(h e�x y,e g*b�� p*y*c�� `(d h e x p ya#p(�*b �8e g(x _J_ e p(� g�h _ e x � h � � �R�*p*a�x y(h e b _��fx y | � i jfi � � }s� � t*� n�^��(��� �<h � � p d x e g(a����s�8� �����8 ��8ush � v�h �(_� g(p*p _ x y(�R¡�¢2£¥¤�¦*}*§�£ j�v�g(b y*b ¨ b d���p*_ _ x w�� b n4©�g�x _#x _��*b c�y(x e b � �R��p*_ _ x w�� b,x y�e g*b,c�d _ e � i jfi � �� g(p x � b _ nªo*p d�b h � g4_ `�� g4� g*p*x � b ufe g(b2��d p w�h w�x � x e �Re g(h e�§ ¢2£¥¤�«f}*¬­£ ~j¥x _�h e2� b h _ e,� ® t(u�_ x y�� bi ¯�¢ ° �²± j�i*k � i jfi*k � l � ³ h y��Ri ¯�¢ ° �²± ~jfi(� � l � � nD�f`*e�w*� | � �fv�x e g2´fµ�� � ³ uY�Z�¶*�fx y�¶ � i j�i� } �t�· k � i jfi³ � · k z °(¸ ¹ º�¹ » ¼ ½ �©�g*`(_Y�Z�¶f¾�j�¿Jl8m�k�i j�i*kFl � ³ h y(� z {�| j8}�~jD�Dk � i j�i³ � · kÁÀ » ÂÃÄ Å À Æ

Ç l È É z °(¸ Ä » ¼ ½kÁÀ » ÂÃÄ Å À Æ ¶

l zÈ z °(¸ » ¼ ½ · ĵ�Ê | � �Ë p d � _ `(Ì�� x b y e � �2� h d � b n^�_ _ `�a#bJe g*b y2e g(h e z {�| j8} ~jD�f� � i j�i � ³ � Ë p d�lsmJk¥i j�i(kFl � ³ n�ÍJx ¨ b y2e g(x _ u z {sÎ | j8} ~jD�f_ e p(� g�h _ e x Ï� h � � �2�(p a�x y�h e b _��fx y | � i jfi � ³ � } � � Ð � n�^��(��� �(x y*� | � �fh � h x y�v�x e g2´fµ�� � ³ uYJZ#¶f¾�j�¿Jlsm�k�i jfi(kFl � ³ h y(� z {�| j8}�~jD�Dk � i jfi³ Ñ Ñ · kÁÀ » ÂÃÄ Å À Æ

Ç l È É z °�¸ Ä » � � Ò Âk À » ÂÃÄ Å À Æ ¶

l zÈ z °�¸ » � � Ò Â · ĵ�Ê | � �Ë p d � _ `(Ì�� x b y e � �2� h d � b n�ÓÔ�p v Õ | ~jD�²µ ³ Ö � Õ | j²�f� ³ Ö �<× � i jfih y��2_ p Ø | ~j²�8� Õ | ~jD�Dk�i Ù ± ~jfi � ³ Ö#Ú × � i j�i*kF× � i j�i �©�g*`(_fqsb a�a�h#Û�¨ b d x c(b _ | Ð � Ë p d#i j�i*kFl � ³ ��d p ¨(x �*b ��vDb�� g(p*p _ bJ×�ܪ� � ³ Ñ Ñ nDo(p d#i jfi(��l � ³ vDb�`(_ bz { Î | j8}�~jD�²µ z { Î | ~jf} j²�f� � i ~jfi � ³ Ñ Ñ ��i Ù ± ~j�i*��i Ù ± ~j�i � ³ Ö�Ú Õ | j²�Dµ Ø | ~jD�8� Õ | ~jD�h y��2_ p�ÝDg�h _ b ³ _ `�� � b b �(_fÞ�ß8àDn

� t

Page 14: Optimal Construction of Edge-Disjoint Paths in Random Regular

áãâ ä�å�æ ç�è�é è�ê�ë�ì�í�å�è�î�ïð8ñ òôó�õsöD÷ ø ù úDû*ø ü õsö�õsý#þrÿ � ���� þrÿ � ����� � ������� � ��� � � ����� ��� � ��� � !��� " � ��� �$#%� & ')(�*�& +�& ,$- ���.� � ��/�� � �0(�� � � � 132�465 78� � � 4 9 �� :��; � � - ��<� � - � �;��� � � 9>= � � ���!� ?@-; - �>����ACBD- � E8� ��#%� FHGD:�� �JI - � = � �K :�- ��" �;- D� :��;- � " � � � :>AL � " � � � 9%= ��� A;AJ� ��� - � � � < L � � D� �!- � <! - ����� AMB@- � E�� ��-;#>�HBN�O� �� = ��� :�- �PQ R�S � � � � S * PT!U V T WXD� ��K �O!�8��� A L � � � Q+�Y �0YZS /�� � � S +Y �0Y U V [ W\%� �O# ÿ � � ��� ��� � �;# � � A;AJ� �>� - � � � < L � � �� �8K ���� � = K � � ��"!� :��; - �>����ACBD- � E� � - � � ��"�- �O] � - �>��� � �� ÿ � � 9 �D� � ZI � � � ^; � � � � :��DK = � � �3I - � = �@� ?%��F3\%� �@_ ÿ � � ��� ��� � �D� :��@� - �> � � � ��� L � 9 - 9 � � � � <JA;- � � ^� ?@-! - �>����ACB@- � E�����# ÿ � � FH\6� �O` ÿ � � 9 �O� :��; � K ������� - " � �H� � " � � I - � = �O� ?@_ ÿ � � F�a �O� DBN� � �ZE���� B��� :>- �D� :��H � K � �>�!� � " � � I - � = �H��� � � A;� ��� 3� :��H - � ��� ?ZK ��� I � " � ��K �O� ?3-Jb8- E � I�K :�- � �;� �;� � @ � � - ��< � - � � FJc��8� ^ L � � K � �D? � AC� ?N� :>� D � = � ��BD- �� 9 � - � ��� � 9 <�d � = Ae- ����f�� �>K � - � ;g * h i j�� ?@_ ÿ k �l�m n o V p & �W��� ��� � � @� :�� L � 9 - 9 � � � � <;� :>- ��-O - ����� AMB@- � E;� ?3� � ��" � :!qD� �!# ÿ � � B�:�� K :! � - � D- � p B�� � ��� �>��- �D%�� :�� � Y _ ÿ k �l m n o V p & �W3r�/ ÿ � �� Y SMs ` ÿ � � t k uvvw / ÿ � ��/ ÿ � �x U V y Wz��OB�� � �%- " = �O� - � � D� :�- �D{!|Z}�� :� � = " :�� = �@� :��O- � " � � � :>AY �0Y�~ V QDr�� 7 W �3& V Q R�WB�:�� � � 7 ( [ � �>� � � � � � � � Uz��JB�� � �6- " = �O� :�- �H- �� ����"�- ���� D� :>� �� - " � �>I � � � K � H- � 9 � � ��"; � AJ� I � ��- �O-! =�� K � � � � � < � � B) - � �O �;� :>- �D� :��H� I � - � �6� � @? ��AM��� @� � @� :�- ��� 7 ��{!|Z}NF3GD: = N� :��O L � K � �%K�- = A L � � ���- ��� - K :8 � - " �J� N� :�- � V Q R�W@:�� � �> @- �D� :�� L � � � �D� � AJ� FNz��J���!��� ��� �!� :�� @BD- <8� K �����>� � � ���!� ��� :��? = � = � ��Fz��8- " = � �0� �$f � K � � � �$h�F *�� :>- �!# ÿ � � � O - ����� A��3"�� I � �$� � ;��� " � �8 � � = � ��K � F0c�K K � ��� ��"�� �GD:�� � � A�*0� ?8g [ i � V B�:>� K :)� �- �>- L � � �.? ��A�g Q � i W;� :��� � K � �>�)� - " � ��� � " � � I - � = ��` ÿ � � � !B�� � :L � 9 - 9 � � � � <�QDr0� V Y �0Y �%� WN( QDr0� V � �>� W 9 � = �>��� � 9 <!�61 � P ��B�:�� �H����� L � �>�� @����� <!���8��- �>�8-9 � = �������8� :��J - � � �!� ?N� :��;A;- ^�� A = Ae- ���8� :��JA;� �>� A = AC��� " � � �� ?@# ÿ � � �%B�:�� K :�B@�JK - �8� - E �J� �9 �H+ 9 < V T W FNGZ- E�� ��";�;(0,;BN�O:>- I �H� :�- �@��� @-;K � �> � - � �D� �>��� L � �>��� � �N� ? P F3�� � ��"O� :�� @� � V y WNBN�� 9 � - � �!� :�- ��K � �>��� � � � �>- �%� �8- ��� I � � ��� ? L � 9 - 9 � � � � <8QDr�� V � �>� WY _#ÿ k �l�m n o V p & >WZr�/ ÿ � �� Y S + � kP k � � U V Q Q Wf �;? ��A V + W@BN�J � �H� :�- �D? � �� - " � P B@�O:>- I �Y _ ÿ � � �l�m n o V p & �W3r�/ ÿ � �� Y S � ��� U V Q *�W\%� �@� ÿ � � 9 �D� :��H� � � � � K � � � �;� ?%� :��H:�� "�: L � 9 - 9 � � � � <O� I � � � @��� K � 9 � �;� �;\6� A;A;- @+���,J- ���!h L � = V Q R W � V Q *�WN? � �# ÿ � � & U U U & # ÿ � � FZz�� L � I � 9 <�� �>� = K � � ���;�����3� :�- ��O� V � ÿ � � � � Y � ÿ � � WN~)QDr0� V � �>� W U V Q +�WQ ,

Page 15: Optimal Construction of Edge-Disjoint Paths in Random Regular

�D��  ¡;  ¡;¢ £ ¤ ¥ ¦ £ §�¨ ¦ ©�¤�ª « ¦;¬!­¯®�¥ °�±$¥ £ £@²@¤8°�¤ ¤ ±0¨ «�¡ ��« ²e  ¡J¨ �>¥ ¨�³ ´ ®�µ;��«�£ ±�¡J²�  ¨ ��¨ ��¤�¢ « ¦ ¦ ¤ ¢ ¨¶ ¦ « ·>¥ ·>  £   ¨ § ¸¹3  º�´O»$¬@»$¼6½%£ ¤ ¨�¾H­ ´ ® ®3£ °@¿�¥ °>±�ÀÁ�Â�·%¤O¨ ��¤O¡ ¤ ¨�« ª3à ¤ ¦ ¨   ¢ ¤ ¡�  °8ÄHÂ�²���  ¢ ��¥ ¦ ¤J  °�¢   ±�¤ ° ¨@²�  ¨ �¥ ¨O£ ¤ ¥ ¡ ¨HÅ�Æ Ç ®!¤ ±�È ¤ ¡�« ªDÉ�Ê Ë Ì Ì Ì Ë É8Í ¸J¹�« ¦JÎ)ÏÑÐ�Ò Ó Ô@« ª@¡   Õ ¤;¾�½6£ ¤ ¨OÖ3×8·%¤J¨ ��¤J¤ à ¤ ° ¨H¨ ��¥ ¨JÎ.Ï ÀÁ> ¸Ø�¤OÙ>¦ ¡ ¨D¡ ��« ²)¨ �>¥ ¨Dª « ¦�¥ £ £6¡ ©�¢ �8Î@½ÚHÛ�³ Ö3×8Ü Ý Ò Í Ô µ@»$Þ ß à>á â ã  ä Ó Ó Ó Ó Ì ³ ´ å�µæ6¤ ¨;Î.­Cç è�Ê Ë Ì Ì Ì Ë è â é8ê Ð Ò Ó Ô ¸!æ6¤ ¨H믭 ë!³ Î3µ�·%¤;¨ ��¤;¤ à ¤ ° ¨O¨ ��¥ ¨O¨ ��¤ ¦ ¤;¤ º�  ¡ ¨Hìeí0Ð Ò Ê ÔZî Î¥ °>±�ï;­CÅ�Æ Þ ® ® ®�±�  ¡ ¨   °�¢ ¨ ¶ ¥ ¨ ��¡;ð3Ê Ë ðZÂ Ë Ì Ì Ì Ë ð6ñHª ¦ « ò�ìC¨ «�Î)« ª�£ ¤ °�È ¨ �.»Có Ó ­�³ £ « È á ¿Zµ Æ ´ ®�¸�ô ª¡ ©�¢ � ¶ ¥ ¨ ��¡J¤ º�  ¡ ¨J¨ ��¤ °�¨ ��¤�È ¦ ¥ ¶ �0  °>±�©>¢ ¤ ±�·�§�ìOË ÎZË ð3Ê Ë ðZÂ Ë Ì Ì Ì Ë ð6ñO¢ « ° ¨ ¥   °>¡;¾Hõ.ö$à ¤ ¦ ¨   ¢ ¤ ¡;¥ °�±÷ ¾3õ�öOõ�ï6ø�´�¤ ±�È ¤ ¡@ª « ¦D¡ «�òJ¤J´O»0ö8»Ñ³ ó Ó ø�´ µ ï%õ0´ ¸N�D�>  ¡N  ¡N·%¤ ¢ ¥ ©>¡ ¤�¨ ��¤H¥ ±�±>  ¨   «�°;« ªZ¤ ¥ ¢ ��°�¤ ²¶ ¥ ¨ ��¨ «8ÎZË ì ¥ ±>±�¡D¥ ¨�£ ¤ ¥ ¡ ¨D« °�¤OòJ« ¦ ¤O°�¤ ²)¤ ±�È ¤O¨ �>¥ °�à ¤ ¦ ¨ ¤ º%¸N�D��©>¡ ½ÚHÛ�³ ëJµ@» Ò ù ú à Ê Ô ñ û6Êüý þ Ê ÿ ¿¾@õ�ö � ÿ Þ Å>³ ¾Dõ�ö6µ Æ �¾@õ�ö;õ�ï3ø0´ ��� Ç�³ ¾Dõ�ö6µ¿�� â û ý û>ñ à Ê ³ ´ ��µ

» Ò ù ú à Ê Ô ñ û6Êüý þ Ê � ¿6ß¾@õ�ö � â û ý � Å>³ ¾@õ�ö6µ ß¿ � â û ý û>ñ à Ê» Ò ù ú à Ê Ô ñ û6Êüý þ Ê ³ Å ß Â µ â û ý û>ñ ³ ¾Dõ�ö6µ ñ à Ê¿ ñ à Ê» Þ�³ Å ß Â µ â û ù ú ñ ûZÊ ³ ¾Dõ�ó Ó ï µ ñ à Ê¿ ñ à Ê»0¿Zà>á ã  ä Ó Ó­.ß à�á â ã  ä Ó Ó Ó Ó ³ ´ ��µ� � � ��� ��� � ��������� ����� �@²@« ¦ ��  °�È;²�  ¨ ��  °�¨ ��¤J¢ «�°�Ù>È ©�¦ ¥ ¨   « °�òJ«�±�¤ £6²@¤J¢ ��«�«�¡ ¤J¨ ��¤J¾Dõ0ö�à ¤ ¦ ¨   ¢ ¤ ¡  °8¥ ¨HòJ« ¡ ¨ �"!â û ý # ²@¥ §�¡ ¸H�D��¤J¢ « ¦ ¦ ¤ ¡ ¶ « °>±�  °�È;·>£ «�¢ ��¡�¢ « ° ¨ ¥   °�¥ ¨HòJ« ¡ ¨HÞ Å>³ ¾Dõ0ö6µ Æ � ¶ «�  ° ¨ ¡�$�¸DØ�¤¨ ��¤ °�¢ ��«�« ¡ ¤;¨ ��¤J¡ ¤ ¨H« ª@£ « ²N¤ ¡ ¨O  °�±>  ¢ ¤ ¡&%!« ªN¨ ��¤;¾Dõ0ö!õ�ïNø$´ ¶ ¥   ¦ ¡�  °�¥ ¨OòJ« ¡ ¨ �  á Ò â û ý Ô ã 'â û ý û%ñ à Ê # ²@¥ §�¡ ¸�D��¤H£ ¥ ¡ ¨Nª ¥ ¢ ¨ « ¦D  ¡@¥ °!© ¶�¶ ¤ ¦N·%«�©�°>±J«�°;¨ ��¤ ¶ ¦ « ·>¥ ·>  £   ¨ §J¨ �>¥ ¨@¤ ¥ ¢ � ¶ «   ° ¨@  °(%;¢ ��«�« ¡ ¤ ¡D¥ ¶ ¥ ¦ ¨ °�¤ ¦@  °$�¸) ¡ ¡ ©�òJ¤�ë ±�«�¤ ¡@°�« ¨N«�¢ ¢ ©�¦ ¸Næ%¤ ¨DÉ8ÍZ±�¤ °�« ¨ ¤�¨ ��¤�²@¥ £ �!É Ò Â ÔÍ ¸Næ%¤ ¨&*ZÍ + ×;±�¤ °�« ¨ ¤�¨ ��¤H°�©�òO·%¤ ¦N« ª6¤ ±�È ¤ ¡  °�¢   ±�¤ ° ¨D²�  ¨ ��à ¤ ¦ ¨   ¢ ¤ ¡H  °�Î0¨ �>¥ ¨H¥ ¦ ¤J©>¡ ¤ ±�·�§�É8ÍN¥ °>±�£ ¤ ¨&,OÍ + ×�·%¤O¨ ��¤;°�©�òO·%¤ ¦�« ªNÃ�  ¡   ¨ ¡D¨ «8Î0·�§É8Í ¸.-N«�°�¡   ±�¤ ¦&/�×6½%¨ ��¤ ¶ ¦ « ·%¥ ·%  £   ¨ §!¨ ��¥ ¨O¥;¦ ¥ °�±�« òe²@¥ £ ��É ª ¦ «�òCö0í0Î$¦ ¤ ¨ ©�¦ °�¡�¨ «�Î0²�  ¨ ��  °10 Ó¡ ¨ ¤ ¶ ¡ ¸243�5656�1798 :@ë<; = > ?A@B= C�= D D E�FAC G�> @(/�×�»)´ Æ Þ ®�HÚHÛ �B��� IOæ6¤ ¨"J ¬ ¾ ï ³ è>Ë ÎNµ�±�¤ °�« ¨ ¤;¨ ��¤;£ ¤ °�È ¨ �8« ª@¥�¡ ��« ¦ ¨ ¤ ¡ ¨ ¶ ¥ ¨ ��  °1KZÒ Í Ô@ª ¦ « òeè8¨ «�Î@¸AL�¤ Ù>°�¤!Î�MJ­ç è�í8Ð Ò Í Ô�î Î6�AJ ¬ ¾ ï ³ è>Ë ÎNµN­ON é ª « ¦4NO­Ñ´ Ë Ì Ì Ì Ë ó Ó ø�´H¥ °>±�Î ù ú ­)ç è�í8Ð Ò Í Ô�î Î6�AJ ¬ ¾ ï ³ è>Ë ÎNµ ÷ ó Ó é ¸Ø�¤H±�¤ Ù>°�¤�¥H¦ ¥ °�±�« ò ²D¥ £ ��$ Ó Ë $!Ê Ë Ì Ì Ì Ë�²���¤ ¦ ¤�$ Ó ­.®J¥ °>±.$;ñZ­ONJ  P�É   ¡N¥ ¨D¥Hà ¤ ¦ ¨ ¤ º;è!í�Î�M¥ ª ¨ ¤ ¦;ïJ¡ ¨ ¤ ¶ ¡8³ Î Ó ­ Î3µ ¸��D��¤ °�È   à ¤ °RQë ¥ °>±�¨ �>¥ ¨;¨ ��¤8ò;  °�  òJ©�ò ±�¤ È ¦ ¤ ¤�  °6K Ò Í Ô   ¡OÅ�Æ�´ ®�½3ª « ¦!¥¦ ¥ °>±�«�òM²@¥ £ �8É ½ ÚHÛ�³ $Jñ3­ON�õ.´OÜ $;ñZ­ON�µ ÷ ´ S S�Æ Þ ® ®�Ë NJ­Ñ´ Ë Ì Ì Ì Ë ó Ó ø$´ ³ ´ � µÚHÛ�³ $Jñ û6ÊD­.ó Ó Ü $;ñZ­.ó Ó µ ÷ ´ S S�Æ Þ ® ®�Ì ³ ´ T�µ

´ �

Page 16: Optimal Construction of Edge-Disjoint Paths in Random Regular

U�V WYX�Z [�\�ZA] \�V ^ _�Z `&` ] \�X�V�abW�] c d<ef(g�hji�k�ef(l k m m m k�W&_�Z ` ZnAo�p ef�q r lshtef�qBu6v w4hyxzzz{ zzz|

} ~ ~� i i v"hY}}� i i vAhY�"} ef.q4��i�k�V `vAhji�ef.q�hjiU�V W�� V `��1��i.W4ZA_�] � Zn"o�p�ef.��hji ws��� �� ��� � � �Y� }� i iB� � ��� � � ��� i�� � ��� � �

� � \�� Z � � ef.��hji�] ^&c Z ] � ^ � ��� � �AV � ^ _�ZA[�` � ^s��a.V � Z � aA� � ^��BZ&^ V�^ _�ZAc Z � ^ � � Z � v.��i �s� V��n"o�p �4�1��i.� f.�.hji�w4�y ¡� ¢�l � i � � ��� � � ���O ¡� ¢�l � i � � h �£�~ m¤ ^�� V�c c V W � � ` V�a¥p } ¦ w�] \�X p } § w ^ _�] ^ ef.¨"�OfA¨ � \.X � � ^ ` � ����^ � V�\A��©.^ V"^ _�Zs[�` � ^�^ � a.Zs�Bg4^ _�] ^�f.�.hjª�g �� V nAo�p �si.«O�1�O�Bg&�"f.��hji ws� �£ ~ m p } ~�wU�Z ¬�^�V � � Z ` � Z"^ _�] ^s� V `&] \ ­(�1��inAo � f � rs® ¯° ¯ « ª g��± f.�(² ª g�.� ��� ³ ¯ ´ l g � i i � ³ ¯ ´ µ g hj� i � ³ ¯ ´ µ g� � \�� Z � \(V ` X�Z `�^ _�] ^�f � rs® ¯° ¯ « ª g� ^ _�Z ` ZAa.� � ^��BZA] ^&c Z ] � ^ ª g� i a.V � Z � ^ V�^ _�Z.c Z � ^ �¶4��^ ^ � \�·���¸ hO�Bg4u6¹ ³ ¯l g WsZ � Z ZA^ _�] ^n"o � �4¹ kB}A�O¹4��} i��"f.� º�« ª g�.� ��} i�» � i � ³ ¯ ´ µ g m

¼�_�Z \6V � � Z ` � Z ^ _�] ^ � ��f��6h�i½� V ` � V�a.Z �Bg½«¾�Y�¥¿ g�^ _�Z \6WsZ½aA� � ^�_�] � Z ��¸.« ª g� � V ` � V a.Z}"�O¹s��} i � ¼�_ � � ^ V · Z ^ _�Z `&W � ^ _6p } ~ ws� V�a.©�c Z ^ Z � ^ _�ZA©�` V�V ��V � ^ _�ZAc Z a�a�] �ÁÀÂ�Z ^&à ³ hjnAo�p Ä"¸ Å Æ(hjª ± Ç�È ¸ É w4� V `&ª ²�} ��Ê Z.� c ] � a¾^ _�] ^�· � � Z \½Ë�l k Ë µ k m m m k ˽¸ � l �à ³ « � } i i i Ì c V ·�ÍBÎÎ � � i � È ³ � l É p � i�w¼�V�©�` V � Z(p � i w4� V `&ª(hY} ��[�¬(Ï È ¸ É ] \�X(c Z ^�Ð�Ñ�p Ò w��BZ"^ _�Z&©�` V �B] � � c � ^ ­.^ _�] ^s^ _�Z&W�] c d � � ] ^�Ó(] � ^ Z `Ò � ^ Z © � �4Ô V `&Ò4hji���WsZA_�] � ZA^ WsV(� ] � Z � �Õ.Ö�× Ø6Ù�Ú � ����` V ��^ � \�ZAÛAÜ�Ý�Ý�Þ�ß�à�á&â�ß�ã � � \�V ^&Z ¬�Z � ��^ Z X � ¤ \ ^ _ � � � ] � Z�˽¸ � ^ ] ` ^ � � ` V a�ä ¸�W&_ � � _ � �]A� Z ` ^ Z ¬ � _�V � Z \ ��\ � � V ` a�c ­�] ^s` ] \�X�V ab� ` V�a¥å µ æ4ç ä l k ä µ k m m m k ä ¸ � l è � U�V ^ � � Z&^ _�] ^s^ _�Z&Z ¬�Z � ��^ � V�\(V �¶4_�] � Z(� X�V�Z � \�V ^AX�Z ©BZ \�X½V�\1^ _�Z�©�] ^ _ � � ` Z ] ^ Z X � \1¶4_�] � Z½} � ¼�_�Z ` Z � V ` Z.WsZ�� ] \�] \�] c ­ � Z�¶4_�] � Z��W � ^ _�V���^&` Z � Z ` Z \�� Z.^ V ¶4_�] � Z }.] \�X � ^ � � c Z · � ^ � a�] ^ Z.^ V½� V \ � � X�Z `"ä ¸s] � � _�V � Z \½` ] \�X�V a�c ­ � \½^ _ � �Ws] ­ � � \�X�Z ©BZ \�X�Z \ ^4V � ^ _�Z � ^ ] ^ ZAV �4Ï È ¸ É �4� VÐ�Ñ�p i ws� �± å µ ± ��} i é È ¸ ÉÑ m p ��} w

} ê

Page 17: Optimal Construction of Edge-Disjoint Paths in Random Regular

ë.ì�í î�ïBð&ñ�ò�ó�ô õ ò�ö ÷ ø�ùAúAû�ü�ü�ý�þ�ÿ�����þ��6÷ �sù ��ù � ò�ö ù ��� ø ö �÷ ��� � � ù������ ö � ô ö ��� ô õ ��� ���� �÷ � ½÷ �sö �ùù ø���Bõ�÷ ø ö&õ ���(ô � ø��õ�� � � � 1÷ ø"!�# %$� �ù.ô � ø��õ�� � � � ��"÷ ø�!&#"õ�ø�� '1ò�� ù�ò�ø�ù ���Bõ � ù ½ù �( ù � )$� �ùù ø���Bõ ÷ ø ö�÷ ��� �õ�� ù ø(ô � ø��õ ��� '*� ô õ �,+.- � / � ÷ ö *��ô õ ó0� óB÷ � ÷ ö '*� ö��.õ�� ö�1 2 - � /354 � ù ù�ñ ù � ö ÷ õ ø�6� 7�ñ�õ ÷ ø ù ÷ ö �ù ô%� � � ù�8 3�9 :�;�<>= : 2 - � /3 �?�ù�� � ø1ø�õ � ÷ ø��ò�� ö ÷ @ ù � 'A� �õ � ö �� ö%8 3�9 B ;�<>= : 2 - � /3 � õ ô%� � �B�CD: FE�� ÷ ø�(.ö �ùG� ö � ö ÷ õ�ø�� ô ÷ ö '(ù H�ò�� ö ÷ õ�ø�� 4 � ù) �� @ ù8 3�9 B�I5= ;FJLKM�N O�P Q R S - 3 / 8 M�9 B ;T - � /M <U= :VKM�N O�P Q R S - 3 / 2 -� /MT - � /M JW= : 2 - � /3 < = : :XZY 9 1 1 ;$� �ù�� � � ö ÷ ø�ù H�ò�� � ÷ ö '�� õ � � õ � ��� ô õ � 9 6 ; � ø� 9 = :�; F[�ù ø�� ù 4 ÷ ��\] ^ �ù ø�õ ö ù � ö �ùF��ô õ ó�� ó�÷ � ÷ ö '&ö �� ö&_ � ` a CU=ö �ù ø ] ^ < \] ^ <WK3 N a b cKd e0f 8 3�9 B ;F< = : : : g � õ (�h XXiYj õ ô�k C 1 4 9 1 : ; � õ � � õ � ��� ô õ � ] l <nm l o ^a \] ^ Y?�ù)��ô õ @ ùAø�ù ��ö�ö �� ö�p*q&r�ö �ù)� ÷ s ù"õ � \t�u ÷ ��� ��� � � j ÷ ô � ö 9 1 : ; ÷ �G��� ÷ ù �4ö �� öv 9 w O R x yAz { - � / |�}~ ;F<U=�I Kl � ^ w lG� = : : : g � õ (�h XX�� m l o ^a 9 1 7 ;

<U=�I�� u g � õ ( h XX 9 1 � ;��� ù � ô � '��&� ` a < 1 _)� ` a F$� �ò���� õ ô�� ø ' B��D: 4�%� � �K� e ^ � � ` a CDg B����� { - � / |&}~ � 9 1 � ;<Dw o0� d � u v��� ù ���&� �K� e ^ _ � ` a�� ���� { - � / | }~%��<Dw o0� d � u � =�I>� u g � õ ( h XX � v � ù ����� � o ^K� e ^ _ � ` a�� ���� { - � / | }~ �<Dw o0� d � u ù ����� � u g � õ ( h XX�� v � ù ����� � o ^K� e ^ _ � ` a�� ���� { - � o ^ / | }~ � �%� 9

{ - � o ^ / | }~ ;�)� 9 { - � / |&}~ ;< ù ��� �&� g B1 I�� � u g � õ ( h XX � =�%� 9 { - � / |�}~ ;< 1 ù ��� �&� g B1 I 1 � � u g � õ (�h XX �< 1 ù ����� g�9 � B � 1 I 1  �¡ � u ; ¢ 9 1 £ ;$&� ù BFJ ¡ � 7 : � ø��  <W9 1 � : � u ; o ^ � õ�ö �� ö � B�I 1   � u ¡G¤ � ¡ ��= 1 : �$� �ù ô ù � õ ô ù�)� 9 ¥�¦ \t�u z { - � / | }~ ;F< 1 w o h � � ^ u f Y$� �ò�� 4 �%� 9 ¥�¦ \t�u z { - � / ;�< �%� 9 ~ z { - � / ;0I �%� 9 ¥�¦ \t�u z { - � / |�}~ ;F< 1 w o h � � u § f f f f= ¨

Page 18: Optimal Construction of Edge-Disjoint Paths in Random Regular

©�ª « ¬�­ ®�¯�° ± ²�³ ´µ «*­ ¶&· ¸�¹5º »�¼ ½ ¸ ¾ ¿ ¿ ¿ ¿�À Á� ®�­ À ¶ «�à à « Ä�Å Â Æ Å ­ Ã Ç À Á�Æ À�È*É&Ê5Ë ÌÍ ¸ Ë�ÎDÏ · ¸ ÐF´&Ñ ®�Ò Â Â ÒÓ)Ô ° Ë ÌÍ ¸ Ë�ÕDÏ · ¸ Ð Ë Ö�× Ø Ù ³�¹ Ó)ÔGÚ�Ú Ë ÌÍ ¸ ËÛnÜ Õ Ú Ï · ¸ ÐÛ�Ü Ö�× Ø Ù ÜÎ�Ý Ú�Ú Ë ÌÍ ¸ ËÛnÜ Ö × Ø Ù ÜÚ Ï · ¸ ÐÛ,Ü Î Ú Ð Û Ü�Þ · ¸ ßÚ Ï · ¸ ÐÛ�ÜÎ Þ ° º à Ï ³ ß ¹Uá�° Ð »0â ³ ã ° Þ ä ³µ�å ©�©0« Å Â�À Á�Æ À�æ0 Š­ Ò Â Å ÌÍ ¸ ç�Ä Â)Æ Ã Å «�Ò Â Ã Â À Â�è�é ê è ¸ ê ã ã ã ê è ë ¶ ª «�ì�í�¸�­ ® µ À  ©*²G« ¶FîGï�ð&ñ�ò�ó0ô&õ ´&ö Â÷ Ã Æ ­ ì À Á�Æ À�ø)Î · ¸ Ð�´�ù�«AÅ Â ÂGÀ Á ­ Å�®�« À ÂGÀ Á�Æ À�è Ø ì å Å À%Á�Æ ¬ Â�Æ À Ã Â Æ Å À�ú û à ä ü�ý û à Ï þ ý û à ± þ*Õ5û à Þ þ þ®  ­ ¯ Á æ « å ª Å)­ ® ÌÍ ¸�ÿ�� è�é ê ã ã ã ê è Ø » é � ´�ù Á å Å ÌÍ ¸�ÿ�� è�é ê ã ã ã ê è Ø » é �AÁ�Æ Å Æ À Ã Â Æ Å ÀGø û à Þ þ þ� Ò�¯  Š´"ù Á ­ Å÷ « ® À ª Æ Ò�­ ÷ À Å��  ì�ì Æ*Ï ¶ « ª ø�� · ¸ Ð Æ ®�Ò û Å å�� ÷ ­  ® À à ÇAÃ Æ ª ¯  ç�Ä Á ­ ÷ Á ©�ª « ¬  ŠÀ Á�Æ ÀGË í Ë�Õ Ð�° ± ý ² · ¸ ³È*É&Ê ¶ « ª À Á�Â Ò å ª Æ À ­ « ®*« ¶ Á�Æ Å Â Þ ° Æ ³ ´

� � ��������� � � ����� � ��������� × ÙØ"! ��#%$�� !'& ( � � �)���+*�,�-/.ù Á�Â�Æ ª ¯ å ì  ® À ÅFÄ Â ¯ Æ ¬ Â%Æ æ « ¬ Â%Æ ©�©0Ã Ç À « ÷ «�®�Å À ª å ÷ À ­ ®�¯ Æ ®�Ò�Ò Â Ã Â À ­ ®�¯�0 × ÙØ ­ ®21 Æ ®�Ò�Ä Â Ä�­ à Ã�¶ « ÷ å Å« ®�Ò�­ Å ÷ å Å Å ­ ®�¯ À Á� Šå æ ª « å À ­ ® Â�3 ò�4�5F´�6F«�®�Å ­ Ò Â ª Æ ìG«�Ò�­ 7 ÷ Æ À ­ « ®*« ¶ 3 ò�4 5�Ò Â 7�® Â Ò Æ Å�¶ « à à « Ä�Å 8± ´:9 ; < Ô = ;�> ? @ A 3 ò�4�5CB�° ÌD EØ ê ÌF EØ ê F GØ ê 1 H ê 1 ³Þ ´:<�A�I/? @Ï ´ JLK�MON × P Q ÙR S ° ÌD EØ ê è ³F¶ « ª è�T í�H²�´ ÌJLK�MON × P Q ÙR U ° ÌF EØ ê è ³F¶ « ª è�T í ° À Á� Ò�­ Å À ª ­ æ å À ­ « ®�« ¶ F GØ ´ ³V ´ JLWX Y�M ì�­ ®/� JLK+8 è�T í�H �Z ´ ÌJLW�[ \�M ì Æ ] � ÌJLK�8 è�T í �ä ´ Ìø M þ^ ´ _ =�Ô A `'A Ô)a =b ´ Ìø M Ìø�c ±± þ ´ F­ ÷ d Æ Ä Æ Ã dfe0hgë « ¶�à  ®�¯ À Á)i ¿%­ ®Aí�H Æ ÷ ÷ « ª Ò�­ ®�¯ À « À Á� Ò�­ Å À ª ­ æ å À ­ « ®« ® À ª Æ j  ÷ À « ª ­  Šç ÷ « ®�Ò�­ À ­ « ®  Ò*« ®�Å À Æ ª À ©0« ­ ® À ¹ ÌD Eر ± ´ �  À Ìk gë æ0Â�À Á�Â)À  ª ì�­ ® Æ Ã0¬  ª À  ] « ¶le0 gë± Þ ´ ö5­ À Á ©�ª « æ�Æ æ ­ à ­ À Ç ÌJ gmLno JLWX Y à�° J gmLno ÌJLW�[ \ ³ Æ ÷ ÷  © À e0 gë Æ ®�Ò)A p�? > q ='= ʱ Ï ´ ='a± ²�´ = ;�> Ê ;�>fe0 é ê e0"¸ ê ã ã ã ê e0 gë± V ´rA�@ a 3 ò�4 5CBs A�tltlu�v�w x 3 ò�4�5CB y Ìk�gë+z {+| }L~ { � x�� | | ~ � � z x �)� ~ � }L�2� z { � � z � � � z ~ x ÌJ �Ó%Ô ='= _ �)ù Á� ©�ª « æ�Æ æ ­ à ­ À Ç*Û À Á�Æ À�Æ Ä Æ Ã d ­ Å Æ ÷ ÷  © À Â Ò Æ À�À Á�Â Ã Æ Å À Å À  ©"­ ® À Á� à «�« ©"­ ÅF¯�­ ¬  ® æ ÇÛ%¹��K � � S JLK ÌJLK JLWX YJLK ÌJLW�[ \ ¹ JLWX YÌJLW�[ \ ã ° Þ ^ ³± ^

Page 19: Optimal Construction of Edge-Disjoint Paths in Random Regular

� ���/� � � � ��� �L� ����L��� �+� � ¡L¢ £2¤�¢�¥�� ¡L¢ £�¦ ¢����L�§ ¨�© ª�« ��¬/�­�® � �¯�°± ¥³²Lª�¥µ´¶· ¸�¹

� �»º�¼ ª · �L½ ��L½ �L�§ ¨�L½ ��L��� � ¥ ��L½�¾ � ¿ À ªÁ � Ã/Ä �ÆÅÇlÈÉ�Ê �C��� � ÃLËLÌ ÍÏλ� Ð Ñ�� Ì���� � � � � Ò)Ä ��Ì�� � Ã)Î Ê � �)Ë Ê � � � Ê �'¬�� Ê Ì Ã³���©�Ó ¬L� � �L� � Í�Ì � � ÔL��Õ�� Ö ª Ô

¼+�³×�¥ �À � Ø Ù ª� Ã/Ë�� ��� � � Ú Ì � ��� ����� Ò�Û'� Ä � � Ë�Ã�¬LÍ+�'� �CÌ Ú Î»� Ð ÑL�CÜ � Ã�� � � � � Ë Ê �»Ä Ì�ÃL� � � à � ©« �L� � � Ê ����Í Ê Ã�Ì ��Û/� Ì �'Ð � Í Ê Ã2� �/� �CÎ���ÎC� à ��� Ì2Ä �LÌ�Ì � ��� �L��� ÃLËLÛ'Ì Ê Ã � ��'� Ú Ì � ��ÎC��Ë�Ì�� �L��ÎC� Ð ÑL� ©« � Ê �»Ð � � Ë/�C� Ì2� ���+� Ð Ü Ì � Ê � �/ÍÞÝàß�á âlË�� � Ä � Ê �'� Ë��'� Ú Ì � � ©ã �+ÃLÌ Î � ¬�� Ã�� Ì Ê � �»� ÃL� Ð ÕL� Ê � ©ä�å�ælælç�è%é'ê ë ëLì í î+ï ðLñ ï�ò óô�õ í�ö ðLì í î ÷+ø ù ì ú £2¦�û õ ï ð)ü õ í ï ù õ ý êLï õ ì ÷ �� þ�ÿ ðLî ÷�ï ðLî û ñ � � í ÅÇ�� � ¾ ¾ ¾ � ÅÇ °±õ ÷ Ýàß�á â��L� �� �ô � �ò �ô � ò óô � ¦ � ¤ ª ñ ÷/ü+ï ðLî û ñ � � í �Ç�� � ¾ ¾ ¾ � �Ç ± õ ÷ Ýàß�á âC� �� �ô � �ò �ô � ò óô � ¦ � ¤ ª ðLñ � î�ï ðLîCí ñ ú2îü õ í ï ù õ ý êLï õ ì ÷ þ­�® � ��� ��� Ì � ���L� � ��Ú � Ì�Í%� ����Û/� Ì�Ì Ú�Ì Ú���� Í2Í2����� �/� � �� � Ã/Ë � �/� � ��� �L��� � Í���� � ¬LÃ/Ä � � � Ë2Ü � Ì Í�� � � Ê ÄË Ê � � � Ê �/¬L� Ê Ì�à ©�� Ð � Ì/Ô'ÎC���L� � �2Ú � Ì�Í���� Í2Í2����� �/� ���¯�°± � Ã/Ë ¯ ± ¥ ò óô �/� � ��� �L��� � Í���Ë Ê � � � Ê �/¬L� Ê Ì�à ©� Ì Ã/� Ê Ë�� ��Ã�� Ò��»� �/� �»Ú Ì � ² � � ² � � ¾ ¾ ¾ � ² ô�� £�¦ Ô

­+® � �¯ � ¥³² � � ¾ ¾ ¾ � �¯ ô ¥³² ô � ÃLË ��! #" ª¥ô$% ¸ � &'& �»º ��L½ ( �L�§ ¨�L½ ( ��L��� �*) �L½ ( ) ¥ ô$% ¸ �,+ �L½ (»º ��L½ ( �L�§ ¨��L��� �.-

¥ � �»ºl¼ ª ôô$% ¸ � & �L½ (»º ��L½ ( �L�§ ¨ ¡ ��L��� ��»º�¼ )

¥ ­�® � ¯ � ¥³² � � ¾ ¾ ¾ � ¯ ô ¥³² ô � Ã/Ë �� #" ª ¾« ��¬/���¯ � � �¯ � � ¾ ¾ ¾ � �¯ °± � Ã/Ë ¯ � � ¯ � � ¾ ¾ ¾ � ¯ ± �L� � ��� ���C� � Í��CË Ê � � � Ê �'¬�� Ê Ì Ã ©'Ó Ê ÃL� Ð Ð Õ Ô � ���CÐ � Í2Í2�CÚ Ì�Ð Ð Ì Î��Ú � Ì ÍÞ� �L��Ú � Ä �»� �L� �»� ����Ë Ê � � � Ê �/¬L� Ê Ì�Ã2Ì Ú ÅÇ % Ä Ì Ã/Ë Ê � Ê Ì Ã/� Ð'Ì Ãh�¯ % ¥³² Ê �»Ä Ð � � � Ð Õ�� /�¬/� Ð'� Ì2� �L� �»Ì Ú �Ç %Ä Ì Ã/Ë Ê � Ê Ì Ã/� Ð'Ì Ã ¯ % ¥³²/© Á� Ì Î Î���ÃL� � Ë2� Ì�� �LÌ Îh� �/� �C� �L� � ��� � ��ÃLÌ �»Í2� à Õ2� � � � Ê Ä � � Ê Ã10 ¦ �/� � Ê Ã�Ü2Ë�� Ü � � � �CÐ � � �� �L� �,2 ¡�� Ù� Ú � � �+� ��� � ÎC� Ð ÑL��� � ��Ë�� Ð � � � Ë ©2ã ��� �/� Ð Ð � � Ú � �+� Ì�� ��� � �2λ� Ð ÑL�+� ��� ��� " � � ý ê�÷'ü3� î Ô�4 ô ©2ã ��� �/� Ð ÐÄ Ð Ì � � Ð ÕlÚ Ì Ð Ð Ì ÎÞ� �L�)Ð Ê ÃL��Ì Ú�ÛL� Ì�Ì Ú�¬/� � Ë Ê Ãl� �L�)� ÃL� Ð ÕL� Ê � Ê Ã#5�� Ä � Ê Ì�ÃàÖ © � Ô�Î Ê � �l� Ð Ð�� �L��� � � à � ��Ã�Ì Î� � Ú � � � Ê Ã�Ü2� Ì ¦ � � � �L� �»� �L� à � ©'� �»�'� Ú Ì � � Ô/� �L��Û/� Ì�Ì Ú� � ËL¬/Ä � �»� Ì)� ��Ì Î Ê ÃLÜ2� �/� ��Ü Ê � � Ã1687 9 : Ô'� Ú � � �� �L�2� � Í�Ì � � ÐÌ ÚC� �L�2�/¬/ÃLË/Ð � ��4 � � ¾ ¾ ¾ � 4 ô Ú � Ì�Í;0 ¦ Ô�� ����� Ê < �2Ì Ú �= ¦ � � �L��� � �+Ì ÚC� � � � Ê Ä � �+Î�� Ê Ä ��� � �

Ê ÃLÄ Ê ËL� à �CÎ Ê � �)� ��Ð � � � �'2 ¡ Ø Ù�� ËLÜ � �»Ì Ú,4 � � ¾ ¾ ¾ � 4 ô ª Ê �»� Í2� Ð Ð ©� Ü�� Ê Ã�Ô�Ð � �'>��'�����LÒ�� Ë2� � � � � Ò�� � �CÌ Ú � Ê < � � Ù ÙÐ Ã'?�� ÃLËA@ · �'��� �L�»Û/� Ì �'� � Ê Ð Ê � Õ+� �L� �'> Ê �� Ê � Ê � � Ë��Õ��/¬/ÃLË/Ð � �'4 � � ¾ ¾ ¾ � 4 ô � ÒL� Ä � Ð ÕCB�� Ê Í�� � ©�ã ��Ã�Ì Î%� � � Ð ¬/� � ��� �L�2Ã�¬LÍ+�'� ��Ì Ú�� Ê � Ê � �»� ÌC> ©�� � � ¬/Í���L� � ��� �/� �)�� ô'� > ©�D Ã�� � Ê ��Ä � � �2� � Ê ��ÎC��Î Ê Ð Ð Ë Ê � � Ê ÃLÜ ¬ Ê � �)�'� � Î�� � à ø ù î î � Ê � Ê � ��� ÃLË í ï ñ ù ï � Ê � Ê � � © >¬LÃ/Ë�� � Ü Ì�� � � � Ê � Ê � � Ô/� �»� ���2� � � � ��Û'Ì Ê Ã ��Ì ÚC� Ð Ð�� ����ÎC� Ð ÑL� Ê Ã)� �����/¬/ÃLË/Ð � ©'� Ð Ð�Ì � ��� ��� Ê � Ê � �»� ÌC>³� � �Ú � � �2� Ê � Ê � � ©�Ó Ì ��B � ¿LÔ�� �L�EB º � Ú � � ��� Ê � Ê � ��� Ì�>hÄ � Ã��'�2Ë Ê � � � Ê �/¬L� � Ë�� Í�Ì�Ã�Ü�� �L� � λ� Ð ÑL� Ê Ã�� �Í�Ì � �AF · G �± G � H ÎC� ÕL� ©�ã ���L� � �­�® � B)� Ê � Ê � �»� Ã/Ël�� ô8� > ª�I � Ù Ù ¼? ´¶± ¸ � & B º³�� º³� )'J · G ±K × � �»ºl×�ª ± G � IML ¤ ¼? � �»º�×AN J K ª · G �

� À

Page 20: Optimal Construction of Edge-Disjoint Paths in Random Regular

O'P3Q�R Q S TVU W WXZY ['\ S S Y ] Q ^ \ R \ ['Y _�` a a3b cd'e fhg e _*[ Y ^*Q S!R P*QEg \ [ QCij U1klnm c�o Q S Q�f�Q�^ Y [ R Y _*p q�Y [ PAr Q R f�Q Q _As8t u v�]*Y [ Y R [!\ _ ^�w S Q Q ]*Y [ Y R [ c!xy S [ R ]*Y [ Y R Y [ R P3Q y S [ R ]*Y [ Y R'R e m Y _�\ f \ z { c d'e f|f�Q \ S p q Q�R P \ R!R P3Q S Q�f Y z z r Q \ R z Q \ [ R!}E~���w S Q Q]*Y [ Y R ['\ _ ^AR P*Q���S e r \ r Y z Y R ��e w \ g R q*\ z z � ]*Y [ Y R Y _*p m \ R z Q \ [ R�e _ g Q Y _ �!f \ z {*[�Y R \ R!T�e [ R U W W W � � � � � � XX c�CQ�e r*R \ Y _��� ` } ]*Y [ Y R [�\ _ ^nij � kl!m b��Z��� ��U,� � � � � � z e p3���� � }E~ ���~ ��'�3� � ���� ` � ~ � b � � U �M�,� � z e p ���� ` � ~ ��� � � b � � U  ¡ eE� q R R Y _*p�¢�£.` � ~ � � b k aE¤ � k a � f,Q [ Q Q�R P \ R¥ ` ` � � ¢3b ¦¨§ © ªA� � � �� « U ��¬ � z e p ���� ` � ~ ¢3b

� � U� � � ��¬ � z e p � ��  

x S p q�Y _3pA\ [ w S e3T ` a ­ b R e ` a ®3b f�Q�R P3Q _ e r�R \ Y _ R P \ R���A¯°²±�³ �¨U*´ ³ µ �A¶ � ·'¸ ¹8º » ¼ ½8¾¿�ÀÁ �Âa*` � � ¢3b � º �*Ã Ä Å Æ Å Ç � È*É ¼  �CQ�R P3Q _ R \ { Q · £ÂÊ k Ë � \ [ r Q w e S Q \ _ ^Ae r*R \ Y _��� ` mnÌ iÍ�Î ¸ ¹8º � ¼ ½ ¾¿ b,�Âa�` � � ¢3b� � � Ä U Å W!Ï a Ð Å  �CQ�R P*Q _n\ S p q Q Ñ \ [ r Q w e S Q Ñ8R P \ REÒAÓ�Ô ¸ iÍ*Î ¸ � Ë Ð Å �²\ _ ^nR P*Q _#q*[ Q�Õ Q TET \ Ë R e [ P*e fMR P \ R�R P3QÖ Ê k � � × Ø g e S Q�e w,Ù�Î ½ Ù!Ú Y [ e w [ Y Û Q \ R z Q \ [ R � ~ Ð Ü'�,cÝ�Þ ßáàCâ,ã ä å,æ ç æ1è¨éEêEë,ì,ì8í¨î�ï8ðEñ8î8ò�CQ q�[ QAR P3Q [ q r*S e q R Y _ Q�ó�ô¨õ¨õ¨ö ÷�ø¨ù!ú¨÷�ûÂR e�g e _�_ Q g R ] Q S R Y g Q [ f!P Y g P \ S Q _ e R Y _nü r \ g { R e üncý _ R P Y [�[ q r*S e q R Y _ QEf�Q1g e _�[ R S q g R�S \ _ ^3e3T�f \ z {*[�q�[ Y _3p e _�z � q*_ g e ] Q S Q ^nQ ^ p Q [ c O'P Y [ Q þ Q g R Y ] Q z �S Q T�e ] Q [ R P3Q�� e [ [ Y r Y z Y R ��e w z e _*p f \ z {*[ f!P Y g P p eEr \ g {�\ _ ^Aw e S f \ S ^Ae ] Q S!R P*Q [ \ T�Q�Q ^ p Q [ cÿ'Q g \ z z R P3Q�g e _ y p3q S \ R Y e _ T�e*^*Q z e w ¡ Q g R Y e _1­*c � c,x![ [ q T Y _3p�` � � b'\ _ ^¸ Í ` � � b ¸ ¶ � ~ ��� � � Ä � W W ~�� ` �8b ` Ë � b\ REQ \ g P [ R Q �#e w!e _ Q1e w!R P3Q1S \ _ ^*e T;f \ z {*[�Y _ ó�ô¨õ¨õ¨ö�÷�ø¨ù!ú¨÷�û,Ñ8R P*Q1�*S e r \ r Y z Y R ��R P \ RER P3Q _ Q �3R] Q S R Q ��e w,R P*Q�f \ z {CY ['_ e R Y _CüZY [!\ R�T�e [ R Ë Ð Ü�c O'P3QE^3Q p S Q Q [ e w � � [ \ R Y [ w � ` � b'\ _ ^�R P*Q [ Q�f \ z {*[T�e*^3Q z ó�ô¨õ� ø����÷�ø c|` Ë � bEY [� q�[ R Y y Q ^nr3�ÂÕ Q TET \��n\ _ ^#R P3Q�w \ g RER P \ REÒAÓ�Ô|R P*Q Ö Ê k � � × Ø g e S Qe w � � g e _ R \ Y _*[A\ z z r q R�� ` ��b�] Q S R Y g Q [ e w�Ù ��� [ Q QCR P*Q \ S p q T�Q _ RA�*S Q g Q ^ Y _3p²` Ë Ë b r Q z e f c O'P*QT \ Y _1\ z p e S Y R P*T���ö�õ�¨ú*ø���'f Y z z g \ z z R P3Q [ q r*S e q R Y _ Q�ó�ô¨õ¨õ¨ö ÷�ø¨ù!ú¨÷�û \ R'T�e [ R � � R Y T�Q [ Ñ [ e�R P \ RR P*Q1R e R \ z'_3q T�r Q SEe w!S \ _ ^*e T;f \ z {*[ Q �3Q g q R Q ^nr3�Âó�ô¨õ¨õ¨ö�÷�ø¨ù!ú¨÷�û Y [E\ RAT�e [ R ���¨c Õ¨Q R�� � r QR P*Q�� R Pnf \ z { Q �3Q g q R Q ^#r3�Âó�ô¨õ¨õ¨ö ÷�ø¨ù!ú¨÷�û cnx![ r Q w e S Q Ñ y ��� \ _ ^ z Q R�� � µ � r Q1R P*Q _3q T�r Q SEe w]*Y [ Y R [ R e � l Ù � r3�#R P3Q�f \ z { � � Ñ ´ � µ � r Q�R P3Q _3q T�r Q SEe w�Q ^ p Q [1Y _ g Y ^*Q _ REf Y R P!�nf!P Y g P \ S QR S \ ] Q S [ Q ^Cr3�"� � \ _ ^ z Q R!� � r Q�R P*Q z Q _*p R P�e w#� � c ý R Y [ g z Q \ S�w S e3T R P*Q��*S Q ]*Y e q*[ � \ S \ p S \ ��P�R P \ R��� ` � � ¶ ` z _,�8b Å b�£%$E` � �'& b w e S \ _ �ng e _*[ R \ _ R�( ¤ � c ��Q1g \ _ R P*Q S Q w e S Q1g e _*[ Y ^*Q S \ T�e*^ Y y Q ^\ z p e S Y R P*TMf!P Y g PAR Q S T Y _*\ R Q ['Y _ w \ Y z q S Q Y w¨Q ] Q S'f�Q y _ ^A� � ¶ ` z _���b Å c

a �

Page 21: Optimal Construction of Edge-Disjoint Paths in Random Regular

)#* + ,.-/* 01+ 2'3 +#+ 2�,54/6 * 7'3 7'8 9 8 + :�+ 2/3 +<;>=@? + 3 6 + ?�3 +#A�8 ?#3 +�B.*�? +5C D�E F�? 8 -'G ,<, 8 + 2/, 6HA�8 ?#G 2/* ? , -I -'8 J * 6 B�9 :5J 6 *�BLK�M N OHP Q + , 4�R58 -�S.T'UV�W/X�YZ [* 6H8 +H8 ?+ 2�,�, -/\/4�* 8 - +@* J�359 *�-�]56 3 -/\/* B^0#3 9 _>P Q + , 4'?C `/a�C b [ ced#2/, -f<g/P h<= i j<kml'[ek M n o'p O qrs t�u f<g/P h<= i j<kml�v w =k!w [x M n o'p O qrs t�u P y z {<[ s |�} P C#~�y z {5[�� wl���� C DF>� u P y ��[

x P y z {<[ u |�}P C#~�y z {<[ u � C DF"� ux C DF u� -�P y � [H0e,.2/3 � ,�P y z {<[ s |�} P C#~�y z {<[H3 ?#3.7�* I -'\�J * 6#+ 2�,<4'6 * 7�3 7�8 9 8 + :�+ 2'3 +#w =k!w ced#2�, -�+ 2�, 6 ,.3 6 ,� su � 4�*�? 8 + 8 *�-/?e*�-�+ 2/,<0H3 9 _�J * 6#+ 2�,5�/8 ? 8 + ?H+ *�A�ced#2�, -"C D E F�7�* I -/\'?e+ 2/,<4'6 * 7�3 7�8 9 8 + :�+ 2'3 +#+ 2�,<0#3 9 _B�3 _ , ?#+ 2/,5B.* � ,5+ *�A�3 +#+ 2/8 ?H4�* 8 - + c)#* + ,>+ 2'3 +�8 J#A!�1K�+ 2�, - h5= i j x C c���9 ? */a@+ 2/, I 4/4�, 6.7�* I -/\�0H,�2'3 � ,>G 3 9 G I 9 3 + , \ 8 ?5� 3 9 8 \�aG * -'\/8 + 8 * -'3 9�* -�+ 2/,<4'6 , �/8 * I ?H2'8 ? + * 6 :�* J+ 2�,53 9 ] * 6 8 + 2'B�cQ I 4'4�* ? ,#+ 2/3 +e+ 2�, 6 ,<3 6 ,<� } x � ��0#3 9 _/?e] , -/, 6 3 + , \�7�:��5��U�U�T'�'X���W��'�>* � , 6 3 9 9 c@d#2/, -�a�J * 6#3 - :�H� D f<g����� �r� t} h � i j�k � ���x rs � �� � � � s � � t'  � �¡� t�} �C DF>� s ¢x � �.£ � ~ C� �1� C DF>�  x � � ��£ � ~ C� �1� C DF>�  x � � D ¤ ¥�¦9 * ] §�F<�  ¨�, +�©ª'«�7�,<+ 2/,5? , +#* J@� , 6 + 8 G , ?H* Je¬<«�0�2/8 G 2�3 6 ,58 -'G 8 \�, - +H0�8 + 2�3 +<9 , 3 ? +#¦�E y D., \�] , ?H* Je; } v ­ ­ ­ v ;>= cd#2/, - f5g�P A�� ©ª'« [ x f<g��� �r� t} h � i j<® ¦�E y D ��x°¯ § ± ²r  t § ± ³ N f5g ��m�r� t�} h � i j<k � �� x � � � D ¤ ¥�¦9 * ] §�F � § ± ³ NQ�*�8 J�´�k!F � � D ¤ ¥�¦9 * ] §�F�� § ± µ N + 2�, -�a�7�:�+ 2�,.¶>3 6 _ * �>8 -/, · I 3 9 8 + : af<g/P ¸ ©ª/« ¸/® ´/[ x � � D ¤ ¥�¦9 * ] §�F � § ± } ¯ N#¹ D/­� J>©ª'«58 ?#+ 2'8 ?�? B�3 9 9�+ 2/, ->¨�, B�B�3�y�8 B.4'9 8 , ?H+ 2/3 +�+ 2/,�º ¦�E�C D » ¼ G * 6 ,�½�«5G *�- + 3 8 -/?<3 9 9�7 I +�� ´�� , 6 + 8 G , ?* JH¬<«.P ? , ,<+ 2�,.3 6 ] I B., - +#J *�9 9 * 0�8 -�]>P � b [ [ c �/C

Page 22: Optimal Construction of Edge-Disjoint Paths in Random Regular

¾#¿�À'Á  Ã�Â�Ä!Å Æ�Ç�ÈÉ Ê Ë Ë�ÌÍ Á à ÎmÏ<ÐeÑHÒ�Ð ÓÔÖÕL×5Ø�Ù Ú5Û�Ü Û�Ý#Þ�ßmà5Ø#Û'á�âã"ä>å æ ç èmé ¿�ä�ê Í ç ë Á�ç è à À/Á ç è/ì�é ¿�ä Í í ì æ ë ç é ¿'îïæ ð>ñ ò ó ô Ó ¾#¿�ä Í í ì æ ë ç é ¿'î�ç Á>õ Í ê Í ö�í ä�æ ð�å æ�ç è/ç è/ì÷ Ê ø@ù�Ê í è øÌ ú Ì5û ç Á é ç è/õ é5ê Í ç ë Á5ð æ ë�Á æ î.ä>õ æ è'Á é Í è é�ü"ý�ó�þ@ê'ë æ ÿ/ç û ä û é ¿/ä�ì ë Í ê'¿ ¿ Í Á.Á À���õ ä è é.ä û ì ä �ä ��ê Í è/Á ç æ�è Ó �#æ é ç õ ä�é ¿ Í é��� � � � Í ë ä�õ ¿/æ Á ä è Í Á û ç Á é ç è'õ é<ÿ ä ë é ç õ ä Á Ó �/æ ë í Í ë ì ä �/þ Ï ��� ç í í Ç�ÈÉ ¿ Í ÿ äÍ î.ê í ä<ä ��ê Í è/Á ç æ�è Í è û�Å Æ � ç í í/ö ä5Á î Í í í ä è/æ À/ì ¿�ð æ ë#é ¿�ä Í í ì æ ë ç é ¿/î Ó� á@Þ á���áe×��@á@Ûñ ò ô�� Ó � í æ�è�þ�� Ó � ê�ä è'õ ä ë Í è û � Ó �@ë û �æ�Á þ����� �!#" $ % & % ' ( ' ) * ' +-, * ��$ . þ/� æ ¿'è�ãmç í ä 0 Í è û � æ�è/Á þò 1 1 Å/Óñ Å ô�� Ó � Ó 2eä è û ä ë Í è û � Ó 3 Ó 4 Í è65'ä í û þ��7�� �& ) 8 ,9!#* $ * ' +;:#<6, % ";$ =9( & % ( ( .;> " & !�� );?�' * ��> ' @ :

. > " �) A <� :7+ ) þ#� æ�À�ë è Í í æ ð 4 æ�î ö ç è Í é æ ë ç Í í ¾#¿�ä æ ë 0 Ê � ÌHÅ B/þ Ê ò 16C D Ì#Å 1 E � Ë ó C Óñ Ë ô�2 Ó 2eæ í í æ ö9FÍ Á þ7GH& :#. $ ,I> " & !�� ) þ � õ Í û ä î�ç õ<ê/ë ä Á Á þ�ò 1 D J Óñ B ô�2 Ó 2eæ í í æ ö9FÍ Á þ7KL!#" $ % & % ' ( ' ) * ' +9!#" $ $ = $ =�& :M& ) 8 ,9!#* $ * ' +/= $ " ,�<�( &9= $ "�* �� �:#<6, % "�$ =�( & % ( ( ." > <6( & "9> " & !�� ) þ#�eÀ/ë æ ê�ä Í è�� æ�À�ë è Í í æ è 4 æ î ö ç è Í é æ ë ç õ Á<ò þ Ê ò 1 D ó Ì#Ë ò ò � Ë ò E Óñ J ô�2 Ó 2eæ í í æ ö9FÍ Á þHNM& " * ' : >6& ( O�' ) $ !� " ' , * " ' +-' :7 A <#& ( ' * ' )P& :#.M" & :#. $ ,Q> " & !�� ) þ 4 æ í í Ó R Í é ¿ Ó� æ/õ Ó � Ó 2eæ í 0 Í ç�S#T�þ�ò ò Ë � ò Ë 1 Ê ò 1 D C Ì Óñ E ô�2 Ó 2eæ í í æ ö9FÍ Á þ�¾ Ó U Ó �/ä è/è/ä ë þ Í è û � Ó R Ó �/ë ç ä V ä þXW�& ,�' ( * $ :Y+ 8 + ( ) ' :M" & :#. $ ,Z> " & !�� )[?�' * �,�' :�' , & (�. > " [& *H( & ) *H\ þ�ç è^] � é ë ç ö À�é ä<é æ�� Í À í �@ë û �æ Á þ _�ä û ç é ä û ö 0 � Ó 2 Í ` ä ë þ�2 Ó 2eæ í �í æ ö9FÍ Á þ Í è û � Ó a Í å è Í í Ê ò 1 1 ó Ì J 1 � 1 E Óñ C ô�� Ó � Ó 2eæ è û 0 Í è û b Ó � Ó 3 Ó R>À/ë é 0 þ c/" & !��d���� $ " 8e?�' * �YK/! !#( ' + & * ' $ :�) þ9�#æ ë é ¿�� a#æ í í Í è ûò 16C E Óñ D ô � Ó f Ó 2eë æ û ä ë þ � Ó R Ó �/ë ç ä V ä þ � Ó � À�ä è�þ Í è û � Ó b#ê'ð Í í þ�gX!#* ' , & (;h�$ :�) * " <#+ * ' $ :i$ = jH. >6 kl;' ) m $ ' :�*�nH& * � )�' :�GH& :#. $ ,oc/" & !�� ) þ'é æ Í ê'ê�ä Í ë Óñ 1 ô � Ó f Ó 2eë æ û ä ë þ � Ó R Ó ��ë ç ä V ä þ � Ó � À�ä è�þ Í è û � Ó b#ê'ð Í í þ;gX!#* ' , & (H+ $ :�) * " <#+ * ' $ :^$ =[@ " * p k. ' ) m $ ' :#*�!�& * � )�' :-" & :#. $ ,I> " & !�� ) þ�ç è�ê/ë ä ê Í ë Í é ç æ�è Óñ ò ó ô � Ó f Ó 2eë æ û ä ë þ � Ó R Ó �/ë ç ä V ä þ Í è û � Ó b#ê'ð Í í þ7j�p ' ) * :7+ �& :7.�+ $ :�) * " <#+ * ' $ :M$ =� . >6 . ' ) m $ ' :#*!6& * � ) $ :M p !6& :7. "9> " & !�� ) þ � U � RQ� æ�À�ë è Í í æ�è 4 æ î.ê�À�é ç è�ì Å Ë"Ê ò 1 1 B Ì 1 C E � 1 D 1 Óñ ò ò ô � Ó f Ó 2eë æ û ä ë þ � Ó R Ó �/ë ç ä V ä þ Í è û � Ó b#ê'ð Í í þ�q7* & * ' +�& :#.M. 8 :#& ,�' +�!6& * �M) ( + * ' $ :Y$ :^ p k!6& :7. "9> " & !�� ) r�& " & :#. $ ,Z?�& ( \�& ! !#" $ & + ��þ�é æ Í ê/ê�ä Í ë Óñ ò Å ô�� Ó �@ë û �æ Á Í è û s Ó s�æ ÿ FÍ Á V þ7�@ë æ ö'í ä î�Á Í è û ë ä Á À í é ÁHæ è Ë � õ ¿�ë æ�î Í é ç õ5¿ 0�ê�ä ë ì ë Í ê�¿/Á Í è û Á æ î.äë ä í Í é ä û t À�ä Á é ç æ è'Á Ó U è � Ó a Í å è Í í ä é Í í Ó þ�ä û ç é æ ë Á þXu : v�:#' * [& :#.�w�' :#' * �q7 * ) þ�ÿ æ í À/î.ä�ò ò.æ ðh�$ ( ( $ A xXNM& * ��x�q�$ + x�y�x�z9$ ( 8 & ' þ/ê Í ì ä Á9E ó 1 {6E Å C Ó �#æ ë é ¿�a#æ í í Í è û þ�ò 16C J Ó

Å Å

Page 23: Optimal Construction of Edge-Disjoint Paths in Random Regular
beatrice
beatrice
This research was sponsored in part by National Science Foundation (NSF) grant no. CCR-0122581.
beatrice
beatrice