Optimalizační úlohy i pro nadané žáky základních škol

Ing. Jakub Fischer

Fakulta informatiky a statistiky

VŠE v Praze

fischerj@vse.cz

Cíl přednášky

• ukázat na různě náročné způsoby řešení konkrétní úlohy (odhad penetrace trhu a deterministický model zásob)

• podělit se o zkušenosti z vedení kroužku „Aplikovaná matematika“ v 9. ročníku třídy se zaměřením na matematiku

Odhady podílů na trhuPříklad: Předpokládejme, že určitý trh ovládají pouze dvě značky

reprezentované dvěma pivovary, např. Radegastem a Prazdrojem. Spotřebitelé se přitom chovají podle známých pravidel, zjištěných marketingovým průzkumem na vzorku 1000 spotřebitelů:

(i) Spotřebitel si na počátku týdne vybere jednu značku, které je „věrný“ celý týden.

(ii) Na konci týdne 80 % konzumentů Radegastu u značky zůstává pro týden příští, 20 % přechází k Prazdroji. Stejně tak 90 % konzumentů Prazdroje u něj zůstává a zbylých 10 % přechází k Radegastu.

(iii) Rozdělení trhu v prvním týdnu je 60:40 ve prospěch Radegastu.

Úkol: Zjistěte, jak se bude rozdělení trhu těmito značkami vyvíjet v budoucnosti. Diskutujte, jaký vliv na řešení úlohy má volba parametrů vedených v bodech (ii) a (iii) zadání.

Reformulace úlohy

Příklad: Předpokládejme, že určitý trh ovládají pouze dvě značky reprezentované dvěma pivovary, např. Radegastem a Prazdrojem. Spotřebitel (jeden) se přitom chová podle následujících pravidel:

(i) Na počátku týdne si vybere jednu značku, které je „věrný“ celý týden.

(ii) Na konci týdne, ve kterém pil Radegast, s pravděpodobností 0,8 u značky zůstává i pro týden příští, s pravděpodobností 0,2 přechází k Prazdroji. Stejně tak, pil-li Prazdroj, s pravděpodobností 0,9 u něj zůstává a s pravděpodobností 0,1 přechází k Radegastu.

(iii) V prvním týdnu s pravděpodobností 0,6 pije Radegast a s pravděpodobností 0,4 pije Prazdroj.

Úkol: Zjistěte, jak se bude v jednotlivých týdnech vyvíjet rozdělení pravděpodobnosti konzumace uvedených nápojů. Diskutujte, jaký vliv na řešení úlohy má volba parametrů vedených v bodech (ii) a (iii) zadání.

Trocha teorie nikoho nezabije

• Stochastický proces {X(t), t T}– T obvykle čas;

• procesy s diskrétním časem (T je spočetná)

• procesy se spojitým časem (T je interval)

– možné obměny X(t) nazýváme stavy s(n)• množina stavů spočetná – diskrétní stavy

• množina stavů nespočetná

– stochastický charakter procesu: v určitém okamžiku n se vyskytuje stav s(n) s určitou pravděpodobností

Trocha teorie nikoho nezabije (2)

• v ekonomii nás zajímají procesy, v nichž výskyt stavu s v okamžiku n závisí na výskytu stavu s v okamžiku n-1– T diskrétní: Markovovy řetězce– T spojitá: Markovovy procesy

• aplikace: modely obsluhy, modely zásob, modely obnovy ad.

Markovovy řetězce

• diskrétnost časů i stavů• popis systému, který se může nacházet v jednom

z konečného nebo alespoň spočetného počtu stavů

• P {s(n) = j s(n-1)=i, s(n-2)=k,…,s(0)=m} =

= P {s(n) = j s(n-1)=i}• tyto pravděpodobnosti nazveme podmíněné

pravděpodobnosti přechodu

Markovovy řetězce (2)

• systém je popsán:– vektorem absolutních (nepodmíněných)

pravděpodobností v okamžiku n

p(n) = [p1(n), p2(n),…,pN(n) ]

– maticí (podmíněných) pravděpodobností přechodu P(n) = [pij(n)]

je-li pij(n) = pij, hovoříme o homogenních MP

Terminologie

• pravděpodobnost přechodu z i do j

po n okamžicích Pn = [pij(n)]

• lim pii(n) je různá od nuly nebo neexistuje –>

rekurentní stav– jestliže návrat do téhož stavu může nastat :

• kdykoli, jde o stav ergodický

• po konečném počtu kroků, jde o stav periodický,

• po nekonečném počtu kroků, je stav rekurentní nulový

• v opačném případě tranzientní stav

Terminologie (2)

• stavy rozlišujeme dosažitelné z určitého stavu (pijn > 0) a

nedosažitelné z určitého stavu• stavy vzájemně dosažitelné jsou nazýváme sousledné,

skupinu vzájemně sousledných stavů nazveme uzavřenou třídou

• tvoří-li všechny stavy řetězce jednu uzavřenou třídu a jsou ergodické, nazveme řetězec regulárním

• jestliže pro jeden či více stavů platí pii = 1 a do těchto stavů existuje vstup, nazveme je absorpčními (ostatní stavy jsou pak nutně tranzientní); takové řetězce pak nazveme absorpční řetězce

Matice pravděpodobnosti přechodu

• matici nazveme regulární, jestliže Pn pro určité konečné n nemá nulové prvky

• lze dokázat, že regulární matice Pn

konverguje k limitní matici A, jejíž řádky tvoří shodné řádkové vektory

a = (a1, a2, …,aN)

• ty nazveme limitní (stacionární) vektory

Vlastnosti regulární matice

• Je-li P regulární, A je limitní matice a a je limitní vektor, pak s rostoucím n p.Pn konverguje k a, ať je výchozí vektor p jakýkoliv

• Vektor a je jediný, pro nějž aP = a

• PA = AP = A

Stanovení limitního vektoru

Za předpokladu regulárních řetězců 0<pij<1 existuje limitní rozdělení absolutních pravděpodobností p(n). Potom platí

lim p(n) = lim p(n-1) = a.Protože p(n) = p(n-1)P, lze po limitním přechodu psát

a = aPRovnice jsou lineárně závislé, proto přidáme ještě omezující podmínku ai = 1.

Diskuse parametrů

• na počátečním vektoru p výsledek nezáleží

• rozhodující jsou prvky matice P

• systém konverguje poměrně rychle

Alternativní řešení

• východiskem je výpočet vektorů p(n) pro postupně narůstající n podle vztahů

p(1) = p(0) P, p(2) = p(1) P atd.

• to lze rozložit

p1(1) = p1(0) p11 + p2(0)p21

p2(1) = p1(0) p12 + p2(0)p22

atd.; viz simulace v MS Excel

Model zásob

• Příklad. Prodejce v obchodě prodává určité zboží, například minerálky. Na základě zkušeností má zjištěno, že prodej minerálek probíhá rovnoměrně a kontinuálně po celý rok. Roční náklady na skladování jednoho litru jsou 50 Kč, přivezení jedné dodávky stojí 100 Kč. Celková roční spotřeba činí 10 000 litrů. Zásoba nesmí klesnout pod nulu, tj. neuvažujeme náklady z nerealizované poptávky.

• Úkol. Určete velikost jedné dodávky (resp. alternativně: kolikrát za rok má nechat prodejce minerálky přivézt), jestliže má minimalizovat skladovací a přepravní náklady.

Deterministický model zásob (bez možnosti přerušení zásobovacího procesu)

Parametry modelu

Q… celková poptávka během roku (známe)q…výše dodávky (hledáme)Q/q… počet dodávek za rok

c1… náklady skladování jednotky za rok (známe)

c2… pořizovací náklady na 1 dodávku (známe)N… celkové roční náklady

N (q) = q/2 * c1 + Q/q * c2

Cíl: N minmodel lze dále rozšiřovat (možnost přerušení, stochastický

charakter apod.)

Možnosti řešení

a) derivace

b) graficky

c) simulace a využití „řešitele“ (např. v MS Excel)

Rozšíření úlohy

• náklady z nerealizované poptávky (přerušení zásobovacího procesu)

• objednávka s předstihem před vyčerpáním zásoby (při poklesu na signální úroveň)

• stochastický charakter poptávky (využití matic pravděpodobnosti přechodu)

Děkuji za pozornost.

Ing. Jakub FischerFIS VŠE

fischerj@vse.cz

tel. 224 095 453

Kořenář, V.: Stochastické procesy. VŠE Praha 1998.