OPTIMALNI OBLIK CENTRICNO PRITISNUTOG STAPA

U vezi sa dosad iznetim rezultatima analize stabilnosti I odredjivanja kriticnog opterecenja, moze

se postaviti pitanje odredjivanje oblika stuba, tj. odredjivanje zavisnosti takve da stub

date tezine (zapremine) ima najvecu vrednost kriticne sile. Time bi se dobio stub idealnog oblika sto se stabilnosti odnosno otpornosti na izvijanje tice.

Posmatrajmo stub zglobno vezan na oba kraja I opterecen silom . Neka su glavni moment

inercije poprecnog preseka dati sledecim izrazima:

i (1)

, gde je povrsina poprecnog preseka , a α i α’ konstante. Iz jednacina za glavne moment mozemo da

zakljucimo das u svi poprecni preseci stapa slicni i slicno orjentisani. Neka je , tada imamo sledecu

diferencijalnu jednacinu elasticne linije stapa uz odgovarajuce granicne uslove:

(2)

(3)

Zajedno sa jednacinama (2) i (3) posmatracemo i sledeca ograicenja na povrsinu poprecnog preseka:

(4)

Jednacina (4) nalaze da stub mora imati unapred zadatu zapreminu. Nas je cilj da odredimo najvecu

vrednost koje moze imati za system (2),(3),(4). Ako uvedemo bezdimenzionalnu promenljivu i

parameter λ izrazima:

i (5)

Zamenom jednacina (5) u jednacine (2),(3),(4)dobijamo:

(6)

(7)

gde je . Cilj je sada odrediti najvecu sopstvenu vrednost λ u jednacini (6) kao i odgovarajuci

oblik stuba .

Problemi ovog tipa spadaju u nestandardne problem variacionog racuna i mogu biti resavani metodama teorije optimalnog upravljanja. Mi cemo izneti ovde jedan drugi pristup.

Zadatak odradjivanja λ jednacinama (6), (7) mozemo posmatrati kao specijalan slucaj, sledeceg opsteg problema: odrediti najvecu vrednost prave (najnize) sopstvene vrednosti spektralnog problema

; (8)

gde je nepoznata pozitivna funkcija koja zadovoljava uslov:

(9)

gde su i konstante.

Predpostavimo da postoji funkcija koja daje maksimalnu vrednost prvoj sopstvenoj

vrednosti . Neka bude familija funkcija koja zavise od , tako da je neprekidna ii ma

neprekidne izvode po za svako i svako . Neka je nadalje

(10)

Tada i , najmanja sopstvena vrednost i odgovarajuca sopstvena funkcija takodje predstavljaju

neprekidne funkcije neprekidnim prvim izvodom po . Ako diferenciramo (8) i (9) po , dobijamo:

(11)

; (12)

(13)

Jednacine (11) i (12) odredjuju jedan nehomogeni spektralni problem za odredjivanje . Odgovarajuci

homogeni sistem jednacina je bas nas pocetni sistem (8) koji ima resenje . Prema tome , ako postoji

i ograniceno je na intervalu , tada desna strana jednacine (11) mora biti ortogonalna na . Za

(minimum je po pretpostavci) i . Prema tome, je ortogonalno

na desnu stranu jednacine (11) ako vazi:

(14)

Ako je , tada iz jednacine (14) zakljucujemo da je ortogonalnu na svaku funkciju

koja je preko (13) ortogonalna na .

Prema tome, mora biti proporcionalno sa . Posto je resenje homogenog problema, mozemo

ga pomnoziti sa konstantom, tako da konstanta proporcionalnosti izmedju i postaje jednaka

jedinici. Prema tome, imamo

(15)

U nasem slucaju jednacinama (6) i (7) imamo odatle sledi:

(16)

Prema tome, , tako da jednacina (15) postaje

(17)

Sada cemo da metodama teorije optimalnog upravljanja potvrdimo tacnost prdhodnog racuna. Krenucemo sa jednacinom izvijanja koja glasi:

(1*)

(2*)

Izvescemo jednacine za glavne moment inercije za pravougaoni i kruzni presek:

Pravougaoni presek:

(3*)

(4*)

Iz jednacina (3*), (4*) dobijamo :

(5*)

gde je

Kruzni presek:

(6*)

(7*)

Iz jednacina (6*), (7*) dobijamo:

(8*)

gde je

Za dalju nastavak posmatracemo kruzni poprecni presek i koristicemo jednacinu (8*). Kombinovanje jednacina (1*), (8*) dobija se:

(9*)

Uvescemo bezdimenzionalni luk , uz konstataciju da je :

(10*)

(11*)

Uzecemo jednacinu (7) i odakle sledi funkcional koji treba da u minimunu:

(12*)

(13*)

(14*)

Granicni uslovi su tako da Hamiltonian glasi:

(15*)

gde su kanonske jednacine date u sledecim jednacinama:

(16*)

(17*)

(18*)

Uslov optimalnosti:

(19*)

Koristeci jednacine (16*),(17*),(18*),(19*) dobija se upravljacka funkcija seldeceg oblika:

(20*)

iskoristicemo i jednacinu (20*) da bi dobili istu jednacinu kao sto smo dobili u racunu pre ovoga

koja je indeticna sa jednacinom (17) sto nam je i bio prvobitni cilj:

(21*)

Diferencijalna jednacina (6) uz vrednosti (17) odnosno (21*) ima oblik

(18)

Odnosno

(19)

Problem resavanja granicnog problema (19) koji je nelinearan mozemo resiti ako uvedemo identitet:

(20)

tada (19) postaje:

(21)

ovaj izraz (21) nakon integracije izgleda:

(22)

Neka je . Tada zbog simetrije imamo , i ove uslove iskoristimo u (22)

dobijamo integracionu konstantu . Tako da sledi:

(23)

Razdvoimo promenljive u jednacini (23) tako da dobijamo:

(24)

Uvodimo novu promenljivu kao:

(25)

i daljom zamenom (25) u (24) dobijamo

(26)

daljim sredjivanjem dobijamo

(27)

Resicemo integral posebno:

(28)

i njegovim ubacivanjem u jednacinu (27) i vracajuci (25)dobijamo sledece

(29)

Za odredjivanje konstante koristicemo sledece granicne uslove:

(30)

ubacivanjem (30) u jednacinu (29) dobijamo

(31)

ako iskoristimo (31) u (29) dobijamo

(32)

iz jednacine (32) ubacivanje granicnih uslova (30) sledi:

(33)

smenom (33) u (32) dobija se

(34)

odnosno daljim sredjivanje se konacno dobija:

(35)

Ako iskoristimo (5) i (17) i uvedemo oznake

(36)

jednacina (35) postaje

(37)

Predjimo sada na odredjivanje konstante tj. velicine poprecnog preseka u sredini stapa. Ako

iskorisitmo simetriju, imacemo:

(38)

Medjutim iz jednacina (17) i (25) imamo:

(39)

odnosno

(40)

Ako iskoristimo (39) u (37) dobicemo :

(41)

odnosno,

(42)

Konacno, koriscenjem (4) i (42) u (38) i cinjenica da za ,

(43)

Ovako smo odredili preko poznatih velicina i :

(44)

Ovim jednacina (37) i (44) optimalni oblik stuba je u potpunosti odredjen. Primetimo da, ako je stub

kruznog preseka , tada jednacina (37) postaje:

(45)

gde je na osnovu (44)

(46)

Sada cemo da odredimo vrednost kriticne sile za stub ciji je oblik definisan jednacinama (37) i (44).

Koriscenjem jednacine (17) u malo izmenjenom obliku i nalazenjem prvg i drugog izvoda imamo:

(47)

(48)

(49)

Zamenom jednacina (47) (48) i (49) u (6) dobijamo

(50)

odnosno

(50)

Ako sada jednacinu (37) diferenciramo dobijemo ovaj simpaticni izraz:

(51)

to sledi:

(52)

resavanje jednacine (52)po dobijamo:

(53)

sada cemo da diferenciramo jednacinu (53)

(54)

Ako se iskoristi (53) u (54) dobijamo:

(55)

Za imamo , tako da je (55) i (56) daju

(56)

Ako sada (56) koristimo u (50), dobijamo:

(57)

Medjutim, je odredjeno izrazom (44), tako da (57) postaje:

(58)

Ovim je optimalna vrednost kriticne sile praktcno odredjena. Naime, ako iskoristimo (5), imacemo:

(59)

Iskoristicemo asda dobijene rezultate za analizu specijalnog slucaja kada je poprecni presek stapa krug. Tada imamo:

(60)

tako da sedi:

(61)

U daljem, mogu se pojaviti dva tipa zadataka i to:

1) Data je ukupna zapremina (tezina) stuba. Odrediti oblik stuba koji ima najvecu kriticnu silu izvijanja kao i vrednost te sile:

U ovom zadatku prvo se iz izraza (44) odredi , tj.

(62)

odatle sledi

(63)

Oblik stuba je odredjen izrazom (45)

(64)

Konacno, kriticna sila izvijanja odredjena je kao kombinnacija(59) i (8*)

(65)

Da bismo uocili prednosti stuba optimalnog oblika, pretpostavimo da je od iste zapremine materijala

nacinjen stub konstantnog poprecnog preseka precnika . Tada bi vazilo

(66)

odnosno

(67)

Dalje imamo jednacinu za kriticnu silu:

(68)

Poredjenjem (65) sa (68) vazi sledece:

(69)

2) Predpostavimo da je data vrednosti sile , koji stub mora da izdrzi id a se trazi

zapremina i oblik optimalnog stuba. Tada na osnovu (65) imamo :

(70)

Iz izraza (63) sledi

(71)

Sa jednacinama (71) i (64) oblik stuba je u potpunosti odredjen.