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Optimierungs-Algorithmen
Petra Mutzel Technische Universität Wien
Institut für Computergraphik und Algorithmen
Algorithmen und Datenstrukturen 2
Überblick• Lineare Programmierung
• Dualität• Simplex Algorithmus
• Grundlagen der Polyedertheorie
• Exakte Lösungsmethoden für ILPs• Branch-and-Bound• Schnittebenenverfahren • Branch-and-Cut
• Kombinatorische vs. Ganzzahlige Optimierung
Lineare ProgrammierungFür den Zulässigkeitsbereich P eines Linearen Programms gibt es drei verschiedene Möglichkeiten:
P= es existiert keine einzige zulässige Lösung LP ist unlösbar
P≠ und inf{cTx | xP} existiert nicht (z.B. 0x≥-1) LP ist lösbar, aber es gibt keine optimale Lösung
P≠ und min{cTx | xP} existiert LP ist lösbar und hat eine endliche Lösung x* mit cTx*=min{cTx | xP}, x* ist die optimale Lösung
Dualität der Linearen ProgrammierungEs ist vorteilhaft, Schranken für Lineare Programme angeben zu können
Ein Punkt, der (2)-(4) erfüllt, erfüllt auch die Ungleichung: 2(2)+(3) sowie (2)+(4)
Wir suchen die besten Schranken: Dualität
Dualität der Linearen Programmierung
Primales Programm:
Duales Programm:
Dualität der Linearen Programmierung
Primales Programm (P):
Duales Programm (D):
Schwacher Dualitätssatz:
Sei x´ein zulässiger Punkt für (P) und y´ zulässig für (D).
Dann gilt: y´T b ≤ cT x´
Dualität der Linearen Programmierung
Primales Programm (P):
Duales Programm (D):
Korollar: Ist (P) unbeschränkt, dann ist (D) unlösbar.
Sei x´ein zulässiger Punkt für (P) und y´ zulässig für (D).
Dann gilt: y´T b ≤ cT x´
Dualität der Linearen Programmierung
Primales Programm (P):
Duales Programm (D):
Starker Dualitätssatz:
Sei x* ein zulässiger Punkt für (P) und y* zulässig für (D). Dann gilt:
y*Tb=cTx* beide Lösungen x* und y* sind optimal
max 5x1 + 4x2 + 3x3
subject to 2x1 + 3x2 + x3 5
4x1 + x2 + 2x3 11
3x1 + 4x2 + 2x3 8
x1, x2, x3 0.
Einblick in den Simplex-Algorithmus
Einführung von Schlupf-Variablen umGleichungen zu erhalten
max 5x1 + 4x2 + 3x3
subject to 2x1 + 3x2 + x3 + x4 = 5
4x1 + x2 + 2x3 + x5 = 11
3x1 + 4x2 + 2x3 + x6 = 8
x1, x2, x3, x4, x5, x6 0.
Simplex-Algorithmus
StartZunächst setzen wir x1=x2=x3=0, und schreiben das System um, so dass die Nicht-Null Elemente links stehen; nun können wir direkt die Werte der anderen Variablen ablesen: x4=5, x5=11, x6=8, z=0.
z = 5x1 + 4x2 + 3x3
x4 = 5 - 2x1 - 3x2 - x3
x5 = 11 - 4x1 - x2 - 2x3
x6 = 8 - 3x1 - 4x2 - 2x3
Simplex-Algorithmus
Erste IterationWir wollen den Wert z erhöhen, mometan ist er 0. Erhöhe z.B. den Wert von x1. Wie weit können wir erhöhen?
z = 5x1 + 4x2 + 3x3
x4 = 5 - 2x1 - 3x2 - x3
x5 = 11 - 4x1 - x2 - 2x3
x6 = 8 - 3x1 - 4x2 - 2x3x4 0 5 – 2x1 0 5 2x1 x1 5/2
x5 0 11 – 4x1 0 11 4x1 x1 11/4
x6 0 8 – 3x1 0 8 3x1 x1 8/3
Simplex-Algorithmus
Wir setzen:x1=5/2x4=0
Zweite IterationWir wollen den Zielfunktionswert weiter erhöhen. Dies geht momentan nur durch Erhöhung von x3.
z = 25/2 - 7/2x2 + 1/2x3 - 1/2x4
x1 = 5/2 - 3/2x2 - 1/2x3 - 1/2x4
x5 = 1 + 5x2 + 2x4
x6 = 1/2 + 1/2x2 - 1/2x3 + 3/2x4
x1 0 5/2 – 1/2x3 0 5/2 1/2x3 x3 5
x5 0 x3 unbeschränkt
x6 0 1/2 – 1/2x3 0 1/2 1/2x3 x3 1
Simplex-Algorithmus
z = 13 - 3x2 - x4 - x6
x1 = 2 - 2x2 - 2x4 + x6
x5 = 1 + 5x2 + 2x4
x3 = 1 + x2 + 3x4 - 2x6
Optimal!!!
Simplex-Algorithmus
Denn: die Koeffizienten des z-Vektors sind alle kleiner gleich 0.Es kann also zu keiner Verbesserung der Zielfunktion kommen.
Graphische Interpretation
Max 3x1 + 2x2 + 2x3
Subject to x1 + x3 8
x1 + x2 7
x1 + 2x2 12
x1, x2, x3 0
Simplex-Algorithmus
x1
x2
x3
(0,0,8) (0,6,8)
(2,5,6)
(0,6,0)
(2,5,0)(7,0,1)
(7,0,0)
Max z = 3x1 + 2x2 + 2x3
z = 0
z = 21
z = 23
Optimal!
z = 28
Simplex-Algorithmus
Log started (V8.2.0a1) Tue Apr 8 21:59:46 2003
Problem name: supply_chain.lp.gzConstraints : 10810259 Variables : 19916187
Reduced LP has 3140439 rows, and 7314332 variables.Presolve time = 339.43 sec.
Iteration log . . .Iteration: 0 Infeasibility = 1534390803.049594Iteration: 1247301 Infeasibility = 437397607.938387
...
Iteration: 2348954 Infeasibility = 10965.599999Elapsed time = 3776.48 sec. (2349000 iterations)Iteration: 2349222 Objective = 1775629743606097400.000000
...
Elapsed time = 5396.65 sec. (2687000 iterations)Iteration: 2687616 Objective = 1403833763253068800.000000Removing shift (10).
Primal simplex - Optimal: Objective = 1.4038337633e+18Solution time = 5410.00 sec. Iterations = 2687616 (2348954)
Typischer Beispiellauf (CPLEX)
Überblick• Lineare Programmierung
• Dualität• Simplex Algorithmus
• Grundlagen der Polyedertheorie
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