optimisation aérothermique d'un alternateur à pôles saillants pour la

Optimisation aerothermique d’un alternateur a poles

saillants pour la production d’energie electrique

decentralisee

Augusto Bronschlegell

To cite this version:

Augusto Bronschlegell. Optimisation aerothermique d’un alternateur a poles saillants pour laproduction d’energie electrique decentralisee. Autre. Universite de Valenciennes et du Hainaut-Cambresis, 2012. Francais. <NNT : 2012VALE0023>. <tel-00768249>

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Thèse de doctorat

Pour obtenir le grade de Docteur de l’Université de

VALENCIENNES ET DU HAINAUT-CAMBRESIS

Discipline, spécialité selon la liste des spécialités pour lesquelles l’Ecole Doctorale est accréditée : Mécanique

Présentée et soutenue par Augusto Salomao, BORNSCHLEGELL.

Le 18/09/2012, à Valenciennes

Ecole doctorale : Sciences Pour l’Ingénieur (SPI)

Equipe de recherche, Laboratoire : Laboratoire de Thermique, Ecoulement, Mécanique, Mise en Production (TEMPO)

Optimisation aérothermique d’un alternateur à pôles saillants pour la production d’énergie électrique décentralisée

JURY

Président du jury - Fudym, Olivier. Professeur. Ecole des Mines d’Albi.

Rapporteurs- Ben Jabrallah, Sadok. Professeur. Faculté des sciences de Tunis, Tunisie. - Corriou, Jean-Pierre. Professeur. Laboratoire Réactions et Génie des Procédés, ENSIC, Nancy. - El Ganaoui, Mohamed. Professeur. Université Point Carré, Nancy 1.

Examinateurs- Fudym, Olivier. Professeur. Ecole des Mines d’Albi. - Pelle, Julien. Maître de Conférences. Laboratoire TEMPO, Université de Valenciennes.

Directeur de thèse- Harmand, Souad. Professeur. Laboratoire TEMPO, Université de Valenciennes.

Membres invités - Laloy, Daniel. Ingénieur. R&D Innovation et laboratoire, Jeumont Electric. - Fasquelle, Aurélie. Ingénieur. R&D Innovation et laboratoire, Jeumont Electric.

® C

i

Remerciements

Il me semblait impossible, mais on a finalisé cette thèse. Je voudrais dédier ce space à ceux

qui m’ont aidé arriver à cette soutenance. Un grand merci à :

Mme. Harmand, pour m’avoir invité au laboratoire TEMPO pour cette thèse, pour m’avoir

guidé le long de ce travail et pour m’avoir re-motivé à finaliser ce travail;

Julien, pour son aide inconditionnelle, ses discussions et pour son l’aide avec la langue française;

Le Juri et les Rapporteurs de cette thèse, pour avoir accepté l’analyse de ce travail;

Sabine, pour le support administratif;

L’équipe technique, pour la construction de la maquette et l’installation des instruments de

mesure;

Les collègues du laboratoire, de l’UVHC et de l’Ecole Centrale de Lille, pour les discussions

et leur compagnie;

Yoshi et Emeline, pour leur amitié;

AKER SOLUTIONS, pour m’avoir motivé à finir la rédaction de ce mémoire;

L’UVHC/TEMPO, pour son infrastructure;

Le partenariat entre JEMONT ELECTRIC et la Région Nord Pas-de-Calais, pour le support

financier.

Merci beaucoup à tous.

ii

Résumé

La présente étude concerne l’étude d’optimisation thermique d’une machine électrique. Un

modèle nodal est utilisé pour la simulation du champ de température. Ce modèle résoud

l’équation de la chaleur en trois dimensions, en coordonnées cylindriques et en régime transi-

toire ou permanent. On prend en compte les deux mécanismes de transport les plus importants :

la conduction et la convection. L’évaluation de ce modèle est effectuée par l’intermediaire de

13 valeurs de débits de référence. C’est en faisant varier ces variables qu’on évalue la perfor-

mance du refroidissement dans la machine. Avant de partir sur l’étude d’optimisation de cette

géométrie, on a lancé une étude d’optimisation d’un cas plus simple afin de mieux comprendre

les différents outils d’optimisation disponibles. L’expérience acquise avec les cas simples est util-

isée dans l’optimisation thermique de la machine. La machine est thermiquement évaluée sur la

combinaison de deux critères : la température maximale et la température moyenne. Des con-

traintes ont été additionnées afin d’obtenir des résultats physiquement acceptables. Le problème

est résolu à l’aide des méthodes de gradient (Active-set et Point-Intérieur) et des Algorithmes

Génétiques.

iii

Abstract

This work relates the thermal optimization of an electrical machine. The lumped method is

used to simulate the temperature field. This model solves the heat equation in three dimen-

sions, in cylindrical coordinates and in transient or steady state. We consider two transport

mechanisms: conduction and convection. The evaluation of this model is performed by means

of 13 design variables that correspond to the main flow rates of the equipment. We analyse

the machine cooling performance by varying these 13 flow rates. Before starting the study of

such a complicated geometry, we picked a simpler case in order to better understand the variety

of the available optimization tools. The experience obtained in the simpler case is applyed in

the resolution of the thermal optimization problem of the electrical machine. This machine is

evaluated from the thermal point of view by combining two criteria: the maximum and the mean

temperature. Constraints are used to keep the problem consistent. We solved the problem using

the gradient based methods (Active-set and Interior-Point) and the Genetic Algorithms.

iv

List of Figures

1.1. Marché des alternateurs synchrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Schéma présentant le fonctionnement d’un alternateur synchrone [Wildi et Sybille

(2005)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. Transfert de puissance dans un alternateur synchrone . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4. Vue d’un pôle saillant : différence de conception . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5. Circulation de l’air au rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6. Vision 3D du rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.7. Coupe d’une machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.8. Machine JEGSY 811 (accouplé au diesel / 4 alternateurs installés sur site) . . . . 8

1.9. Etude d’optimisation, un processus itératif [Brisset (2007)]. . . . . . . . . . . . . 9

2.1. Configurations usuelles d’une bifurcation avec une entrée . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2. Structures secondaires liés à la force centrifuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3. Canaux de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4. Section d’un canal rectangulaire en rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5. Couches limites hydrodynamiques développées avec la rotation . . . . . . . . . . 20

2.6. Convection naturelle dans une plaque verticale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.7. Convection naturelle autour d’un cylindre horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.8. Convection naturelle dans une cavité fermée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.9. Convection forcée dans une plaque plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.10. Section rectangulaire, dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.11. Rotor de la machine électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.12. Disque en rotation parallèle à l’écoulement [aus der Wiesche (2007)] . . . . . . . 27

2.13. Entrefer modélisé par [Bouafia et al. (1998)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.14. Discrétisation de la machine électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.15. Analogie électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.16. Bilan des flux pour le transfert d’énergie par l’écoulement . . . . . . . . . . . . . 34

2.17. Influence du point de départ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.18. Fonction objectif et contraintes de l’exemple 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.19. Sélection par la méthode de la roulette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.20. Déplacement d’une particule dans l’espace de recherche . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.21. Echangeur à tubes étudiés par [Selbas et al. (2006)] . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.22. Schéma d’un système HVAC par [Lu et al. (2005a,b)] . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.23. Empilement de couches de matériaux poreux, [Wildi-Tremblay et Gosselin (2007a)] 61

2.24. Empilement de couches de matériaux poreux, [Villemure et al. (2008)] . . . . . . 61

2.25. Echangeur étudié par [Hilbert et al. (2006)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

v

List of Figures

2.26. Front de Pareto, étude de [Hilbert et al. (2006)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.27. Formes de tubes de solutions de Pareto, étude de [Hilbert et al. (2006)] . . . . . . 63

3.1. Modèle de la machine électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.2. Découpage du modèle de la machine électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.3. Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.4. Réseau équivalent dû à la condition de symétrie du modèle . . . . . . . . . . . . . 67

3.5. Calcul de la conductance équivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.6. Répartition des débits pour la machine à 8 pôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.7. Carte de pertes - cas A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.8. Cartes de température de sections le long de l’axe (entrée) . . . . . . . . . . . . . 72

3.9. Cartes de température de sections le long de l’axe (partie active coté entrée) . . . 74

3.10. Cartes de température de sections le long de l’axe (partie active coté sortie) . . . 78

3.11. Cartes de température de sections le long de l’axe (sortie) . . . . . . . . . . . . . 79

3.12. Comportement thermique du modèle pour différents répartitions de pertes . . . . 80

3.13. Discrétisation au tour des évents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.14. Température de l’air dans les évents, simulations et mesures . . . . . . . . . . . . 81

3.15. Ecarts de température entre les mesures et les simulations des développantes à

l’entrée de la machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.16. Variation de la différence de température de l’aire à l’entrée et à la sortie de la

machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.17. Différences des températures des développantes du coté entrée d’air pour les cas

E, F et G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.1. Géométrie du cas “pédagogique” de la bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.2. Réseau fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.3. Configuration initiale pour x0 = [0,5 0,5 0,2]Tutilisée pour toutes les valeurs de α. 91

4.4. Résolution pour x0 = [0,5 0,5 0,2]T et α = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.5. Les multiplicateurs de Lagrange, le gradient et Hessienne au point optimal pour

le cas α = 0 et x0 = [0,5 0,5 0,2]T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.6. Evolution de la solution pour x0 = [0,5 0,5 0,2]T et α = 1 . . . . . . . . . . . . . . 95

4.7. Configuration finale pour x0 = [0,5 0,5 0,2]T et α = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.8. Multiplicateurs de Lagrange, gradient et Hessienne pour le point optimal avec α = 1 97

4.9. Configurations optimisée pour x0 = [0,5 0,5 0,2]T et différents valeurs de α . . . . 97

4.10. Variation de la température maximale, moyenne et de la FOA pour les α =

0; 0, 25; 0, 50; 0, 75 et 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.11. Configurations thermiques initiales pour x0,3 et x0,4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.12. Configuration thermique initial pour x0,6 = [0,35 0,2 0,05]T . . . . . . . . . . . . . 102

4.13. Champs de température optimisés par méthode de gradients . . . . . . . . . . . . 102

4.14. Les scores des individus le long des générations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.15. Population optimale pour α = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.16. Diversité des populations au cours du calcul, α = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.17. Les scores des individus le long des générations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.18. Population optimale pour α = 0, 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

vi

List of Figures

4.19. Distance entre individus au cours du calcul, α = 0, 25 . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.20. Les scores à la dernière sous-génération, α = 0, 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.21. Débits de référence du modèle thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.22. Itérations réalisées à l’aide de l’algorithme Active-set . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.23. Champs optimaux de température - Active-set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.24. Liste d’individus optimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.25. Champs optimaux (AG) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

A.1. Séquence de 5 bifurcations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

A.2. La maquette : principales dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

A.3. Convergent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

A.4. La maquette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

vii

List of Tables

1.1. Machines étudiées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1. Corrélations pour le cylindre horizontal en convection naturelle . . . . . . . . . . 22

2.3. Corrélations et leurs domaines respectifs de validité . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2. Corrélations et exemples d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4. Méthodes de gradient pour des problèmes non linéaires sans contraintes . . . . . 38

2.5. Population initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.6. Evaluation et classement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.7. Codage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.8. Formation des paires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.9. Site de croissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.10. Echange matériau génétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.1. Pertes en W dissipées dans la machine électrique à 8 pôles . . . . . . . . . . . . . 71

3.2. Différentes distributions des pertes, en W , pour le machine à 12 pôles . . . . . . 76

4.1. Nombres caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.2. Températures, en K, des configurations optimisées selon le point de départ et la

valeur de α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.3. Statistiques des calculs d’optimisation sur la bifurcation . . . . . . . . . . . . . . 105

4.4. Scores et violation de contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.5. Les statistiques de l’Algorithme Génétique pour différentes valeurs de α . . . . . 116

viii

Liste des algorithmes

2.1. Active-Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2. Point Intérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3. AG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.4. PSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.1. Modèle aéraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

ix

Nomenclature

(x, y, z), système de coordonnée Cartésien, (m, m, m)

(r, θ, z), système de coordonnée cylindrique, (m, rad, m)

ci, vecteur des contraintes, n.a. 1

cp, capacité thermique spécifique, J.kg−1.K−1

cl, cmax, poids (PSO), n.a.

f , fréquence, Hz

f (xk), fonction objectif, n.a.

g (xk), gradient de la fonction objectif, n.a.

gd, meilleure particule voisine (PSO), n.a.

h, coefficient de transfert thermique par convection, W.m−2.K−1

k, conductivité thermique, W.m−1.K−1

l1, l2, fonctions de pénalité, n.a.

m, débit massique, kg.s−1

p, pertes, W.m−3

p, pas, n.a.

pd, meilleure position obtenue (PSO), n.a.

q(r, θ, z), terme source qui représente les pertes, W.m−3

s, variable d’écart, n.a.

t, temps, s

vd, vitesse de la particule (PSO), n.a.

x = [x1, x2, x3]T , variables d’optimisation thermique de la bifurcation, m

A (xk), Active-set, n.a.

B, estimation de l’Hessienne, n.a.

D, dimension de référence, m

Dh, diamètre hydraulique, m

Gij , conductance thermique entre la cellule i et sa jth voisine, W.K−1

H,

hauteur de référence, m

Hessienne de la fonction objectif, n.a.

J ,

Jacobien, n.a

radiosité thermique, W.m−2

L, longueur de référence, m

L (xk, λk), Lagrangien, n.a.

N , vitesse de rotation, tours/minute

1. non applicable

x

Nomenclature

P ,

Pressure, N.m2

Pertes, W

QE, i, débit volumique entrant dans le ith volume de contrôle, m3.s−1

Qin, entrée / sortie du débit volumique, m3.s−1

S, surface d’échange de chaleur, m2

T , température, K

Tm, Tc, taux de mutation et croissement (AG), n.a.

Vi, volume de la ith cellule, m3

U , vitesse de référence, m.s−1

W , largeur de référence, m

X = [X1, X2, ..., X13]T , débits volumiques de référence - variables d’optimisation thermique

de la machine, m3.s−1

Nombres adimensionés

α, paramètre de pondération

α, ε, ρ, τ , coefficients de absorption, émissivité, réflexion et transmition

fRe, facteur de friction

F , facteur de forme

Gr = gβρ2(Ts − T∞)D3/µ2, Nombre de Grashof

GrΩ = Ω2rβρ2(Ts − T∞)D3/µ2, Nombre de Grashof Rotationel

N , nombre de régions répétées dans le sense ortho-radial

Nu = hD/k, Nombre de Nusselt

P , population (Algorithme Génétique)

Pr = cpµ/k, Nombre de Prandtl

Ra = GrDPr, Nombre de Rayleigh

Re = ρDU/µ, Nombre de Reynolds

Reω = D2rotorΩ/ν, Nombre de Reynolds Rotationel

Ri = Gr/Re2, nombre de Richardson

Ro = Re/Reω, Nombre de Rossby

Symboles grecques

α, paramètre géométrique, n.a.

β ≃ 1/T , coefficient de dilatation thermique, K−1

β, paramètre géométrique, n.a.

ϕ ou φ, flux de chaleur, W.m−2

λ, multiplicateur de Lagrange, n.a.

µ, viscosité dynamique, in kg.m−1.s−1

ρ, masse volumique, kg.m−3

Ω, vitesse de rotation, rad.s−1

xi

Nomenclature

σ = 1.3806503×10−23, constante de Boltzman, m2.kg.s−2.K−1

χ, taille du pas p, n.a.

Indices et exposants

0, initiale

∞, à l’infini

∗, optimal

amb, ambiente

b, sur la limite

cas i, ieme cas d’étude

eq, équivalent

g, global

h, hidraulique

l, local

m, nombre total de contraintes

meq, nombre de contraintes d’égalité

max , maximum

ms, moyenne pondérée par le volume solide

p, pôle, paroi

r, rotor

ref , référence

s, stator

D, diamètre de référence

E, entrée

L, longueur de référence

S, sortie

Acronymes

AG, Agorithme Génétique

CFD, mécanique des fluides numérique, de l’anglais, Computer Fluid Dynamics

FOA, Fonction Objectif Agrégée

ND, Niveau de Diversité

PSO, Optimisation par essaims particulaires, de l’anglais Particle Swarm Optimization

xii

Table des matières

Remerciements ii

Résumé iii

Abstract iv

Nomenclature x

1. Introduction générale 1

1.1. Fonctionnement d’un alternateur synchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Principe de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2. Pertes existantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Particularité des machines étudiées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1. Particularité du rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.2. Schéma global de ventilation de la machine . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Objectif du travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4. Organisation du mémoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2. Analyse bibliographique C 11

2.1. Transferts de chaleur dans les machines électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1. Description des modes de transfert dans les machines électriques . . . . . 11

2.1.2. Phénoménologie de l’écoulement et des transferts thermiques dans les ma-

chines tournantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.2.1. Bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.2.2. Canaux en rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.2.3. Lois de transfert thermique dans une machine électrique . . . . . 21

2.2. Modélisation thermique des machines électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.1. Méthode nodale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3. Optimisation thermique C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3.1. Les méthodes de gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.2. Méthodes Evolutionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3.2.1. Les algorithmes génétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3.2.2. L’optimisation par essaims particulaires (Particle swarm optimi-

zation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.3.2.3. Fonctionnement de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.3.2.4. Le processus du PSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.3.3. Applications des outils d’optimisation dans le domaine de la thermique . . 55

xiii

Table des matières

3. Modélisation thermique de la machine électrique 64

3.1. Modèle de la machine et conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.1.1. Maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.1.2. Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.1.3. Calcul des conductances équivalentes du modèle de base . . . . . . . . . . 67

3.2. Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.2.1. Machine à 8 pôles saillants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.2.1.1. Machine en charge (Cas A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.2.1.2. Fonctionnement dégradé (Cas B, C et D) . . . . . . . . . . . . . 73

3.2.2. Machine à 12 pôles saillants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.3. Bilan des résultats issus de la méthode nodale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4. Optimisation thermique C 84

4.1. Optimisation thermique d’une géométrie simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.1.1. Description du problème thermique de la bifurcation . . . . . . . . . . . . 84

4.1.1.1. Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.1.2. Description du problème d’optimisation thermique de la bifurcation . . . . 88

4.1.3. Résultats de l’optimisation pour différentes valeurs de α . . . . . . . . . . 91

4.1.3.1. Cas α = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.1.3.2. Cas α = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.1.3.3. Valeurs intermédiaires de α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.1.4. Vérification des résultats d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.1.4.1. Influence du point de départ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.1.4.2. Influence de l’algorithme choisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.1.4.3. Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.2. Optimisation thermique de la machine électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.2.1. Définition du problème d’optimisation thermique . . . . . . . . . . . . . . 112

4.2.1.1. La fonction objectif et les contraintes . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.2.2. Outils et paramétrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.2.3. Résultats et discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.2.4. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5. Conclusions et perspectives 120

5.1. Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.2. Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

A. Maquette : Séquence de bifurcations 123

Bibliographie 128

xiv

1. Introduction générale

Ce travail de thèse s’inscrit dans le cadre du Pôle de Recherche Technologique MEDEE (Maî-

trise Energétique Des Entraînements Electriques), avec pour partenaires, La Région Nord Pas-

de-Calais, l’entreprise JEUMONT Electric et le laboratoire TEMPO-DF2T. JEUMONT Electric

conçoit et construit des machines synchrones et asynchrones destinées essentiellement à la pro-

duction d’électricité, la propulsion marine, ainsi que diverses industries. Ces équipements sont le

fruit de recherches intensives et sont aujourd’hui à la pointe des technologies innovantes, faisant

de JEUMONT Electric un pionnier mondial dans le domaine de la fabrication des machines

pour la production et la conversion d’énergie électrique. De plus, le refroidissement des machines

électriques est l’un des principaux domaines de compétence du laboratoire TEMPO-DF2T de

l’Université de Valenciennes et un nombre significatif de thèses ont été dédiées à ce thème [Fas-

quelle (2007); Pelle (2006); Latour (2010); Sonan (2009); Seghir-Ouali (2006); Boutarfa (2001)].

Les compétences réunies de ces deux partenaires et le support financier de la Région Nord

Pas-de-Calais ont permis la réalisation du présent travail qui concerne l’étude et l’optimisation

aéro-thermique d’une machine synchrone lente.

Présentation des machines synchrones lentes à pôles saillants

Les machines électriques étudiées dans cette thèse sont des alternateurs synchrones. Ils ont

pour but de convertir l’énergie mécanique en énergie électrique. Ce type de machine se rencontre

dans de nombreuses applications et secteurs industriels.

On étudie ici le cas particulier des générateurs accouplés aux moteurs diesel. Ce type de

machine est généralement utilisé lorsqu’une production d’électricité décentralisée est nécessaire :

centrales électriques sur des îles, au milieu du désert ou encore sur des bateaux. Cette application

ne représente qu’une partie des alternateurs synchrones existants (voir Figure 1.1). Les puissances

sont comprises entre 4 et 32MW et les vitesses de rotation entre 400 et 1000 tr/min.

1.1. Fonctionnement d’un alternateur synchrone

1.1.1. Principe de fonctionnement

Les éléments principaux de la machine sont les suivants : le stator, le rotor et l’excitatrice.

Le stator est l’induit de la machine, autrement dit il va recevoir l’induction et va la transformer

en électricité. Il se présente sous la forme d’un noyau de tôles magnétiques feuilletées ayant la

forme d’un cylindre creux. Il comporte des encoches sur sa périphérie interne dans lesquels se

trouvent les conducteurs d’un enroulement triphasé.

A l’intérieur de ce cylindre se trouve le rotor. Il est l’inducteur, autrement dit, l’élément de

machine qui va créer l’induction. Il est également constitué d’un noyau de tôles magnétiques

1


Figure 1.1.: Marché des alternateurs synchrones

feuilletées avec des pôles saillants autour desquels un bobinage est placé. Sa constitution sera

présentée en détail dans le paragraphe suivant (section 1.2). En tournant, les lignes de flux

électromagnétiques produites par les pôles inducteurs balaient les trois enroulements du stator

et induisent dans ceux-ci des tensions triphasées. On dit alors que le champ tournant au stator

accroche le champ inducteur au rotor : le rotor tourne alors à la vitesse de synchronisme.

L’excitatrice a pour but de fournir le courant d’excitation aux inducteurs du rotor principal.

Le champ créé par le rotor principal induit la tension souhaitée mais il doit être capable de varier

rapidement lorsque la charge varie brusquement, autrement dit le courant d’excitation doit être

ajusté rapidement. Pour cela, on distingue en réalité deux excitatrices sur la machine :

– L’excitatrice principale : elle fournit le courant d’excitation de l’inducteur. Il s’agit de l’Al-

ternateur d’Excitation (AE).

– L’excitatrice pilote : elle fournit le courant d’excitation à l’excitatrice principale. Cette exci-

tatrice est directement reliée à un régulateur capable de détecter de très faibles changements

de vitesses et d’ajuster rapidement le courant d’excitation.

Le schéma de fonctionnement global est présenté sur la Figure 1.2 (adapté de [Wildi et Sybille

(2005)]). Ces différents éléments seront rappelés pour les machines d’étude sur la Figure 1.7.

Le nombre de pôles du rotor dépend intrinsèquement de la charge qui entraîne l’alternateur.

En effet, la charge va imposer la vitesse de rotation pour un réseau électrique donné, i.e. pour

une fréquence donnée. La vitesse de rotation est liée au nombre de pôles par la relation suivante :

N = 60f/p (1.1)

avec

N la vitesse de rotation en tr/min

f la fréquence en Hz

p le nombre de paires de pôles

2


Figure 1.2.: Schéma présentant le fonctionnement d’un alternateur synchrone [Wildi et Sybille(2005)]

Figure 1.3.: Transfert de puissance dans un alternateur synchrone

1.1.2. Pertes existantes

Les alternateurs synchrones à pôles saillants sont comme toutes machines électriques le siège de

nombreuses pertes. On s’intéresse en particulier à ces pertes car elles sont les sources de chaleur

à considérer dans cette étude.

Bien que les pertes aient de nombreuses origines, on peut les regrouper en trois catégories :

– Les pertes mécaniques,

– Les pertes dans les conducteurs (les pertes par effet Joule),

– Les pertes dans le circuit magnétique (les pertes fer). La Figure 1.3 représente schématique-

ment le transfert de puissance dans ces machines.

Les pertes mécaniques sont liées à l’ensemble des frottements dus à la rotation de la partie

tournante de la machine. Elles apparaissent sous forme d’échauffement ou d’énergie cinétique

fournie au fluide. Elles sont d’origine diverses : pertes par frottement dans les paliers, pertes

aérodynamiques dues au frottement de l’air (en particulier au niveau de l’entrefer), pertes par

ventilation nécessaire à la circulation de l’air (par exemple ventilateur).

Les pertes par effet Joule se situent dans les conducteurs. Les pertes les plus communes sont

3


directement proportionnelles à la résistance du bobinage et au carré de l’intensité traversant ce

bobinage. A ces pertes classiques, viennent s’ajouter des pertes supplémentaires. On peut citer

par exemple les pertes par effet Field. Ces pertes supplémentaires sont liées à l’apparition d’un

flux de fuite d’encoches (entre le bas et le haut de l’encoche) dû à la variation de l’intensité

du champ électromagnétique à proximité. Cette variation modifie en effet la distribution de la

densité de courant.

Les pertes fer se situent dans les parties magnétiques de l’alternateur. On distingue les pertes

dites par hystérésis et les pertes dites par courant de Foucault. Les pertes par hystérésis repré-

sentent la puissance nécessaire à l’aimantation cyclique alternative du fer. Elles sont directement

liées à l’évolution irréversible de la structure cristalline du matériau constituant les tôles magné-

tiques. Les pertes par courant de Foucault sont dues à la création de forces électromagnétiques

induites dans le fer due à l’aimantation cyclique alternative. Ces forces donnent naissance à des

courants qui se forment dans la masse du fer dans des plans normaux à la direction du flux. Afin

de minimiser ces pertes dans les tôles, on choisit des tôles minces isolées les unes des autres. A

ces deux types de pertes viennent s’ajouter des pertes supplémentaires d’origines diverses. On

peut citer par exemple des pertes par pulsation sur la surface du rotor. Ces pertes sont générées

par les variations de perméance liées à la géométrie du rotor induisant des variations locales

d’induction à la surface du rotor. Ces pertes se développent dans une très fine épaisseur de fer.

1.2. Particularité des machines étudiées

Les machines étudiées ici font partie d’un nouveau développement de JEUMONT Electric.

Une des particularités de ces machines est la constitution du rotor et en particulier son schéma

de ventilation.

1.2.1. Particularité du rotor

La conception traditionnelle des rotors de machines électriques à pôles saillants veut que les

bobines de cuivres soient accolées aux pôles (cf. Figure 1.4). Cette conception présente de forts

inconvénients d’un point de vue thermique. En effet, les bobines sont mal refroidies : une seule

face est exposée aux échanges par convection dans l’entrefer. Les échanges sur les autres faces

se font par conduction vers le pôle au travers d’isolant épais (isolant nécessaire du point de vue

électrique).

On constate alors en fonctionnement, c’est-à-dire en présence de pertes Joule dans les cuivres,

de forts gradients de températures. Ces gradients ont tendance à fragiliser les isolants des cuivres

et ainsi réduire la durée de vie du rotor.

Pour éviter cela, JEUMONT Electric a imaginé un rotor à pôles saillants pour lesquels les

bobines sont écartées des pôles et écartées les unes des autres (cf. Figure 1.4). Elles sont complè-

tement aérées et les transferts se font alors principalement par convection sur l’ensemble des faces.

Le fait de séparer les différentes bobines a également permis d’augmenter de manière significative

les surfaces d’échanges.

Cette nouvelle conception nécessite donc de pouvoir amener de l’air jusqu’aux bobines. Pour

ce faire, un canal d’alimentation en air entre les deux pôles a été créé. Le schéma de ventilation

du rotor est détaillé sur les Figures 1.5 et 1.6. On y voit un canal d’alimentation en air entre deux

4


Figure 1.4.: Vue d’un pôle saillant : différence de conception

pôles. Ce canal est bouché en sortie afin de forcer l’air à traverser des échancrures dans la tôle

délimitant ce canal. L’air passe alors à l’arrière des bobines. Ces échancrures sont régulièrement

réparties le long de l’axe du rotor formant ainsi des canaux radiaux (cf. Figure 1.6). Ces canaux

sont séparés par des cales isolantes : des cales à l’arrière des bobines mais aussi entre les différentes

bobines elles-mêmes. L’air à l’arrière des bobines n’a donc pas d’autres choix que de passer à

travers celles-ci. A noter également la présence de coins de calage dans l’espace interpolaire de

l’entrefer qui délimitent également les canaux radiaux.

1.2.2. Schéma global de ventilation de la machine

Le schéma de ventilation particulier au rotor vient s’intégrer dans le schéma suivant de venti-

lation global de la machine. La ventilation de la machine est dite axialo-radiale car elle est d’une

part axiale (l’air rentre d’un côté de la machine et ressort à l’opposé) et radiale dans la partie

active (rotor/stator). La Figure 1.7 présente une coupe de la machine avec les différents éléments

la constituant et indications sur la circulation d’air.

L’air dans la machine est mis en mouvement par un ventilateur centrifuge monté sur l’arbre. Le

ventilateur aspire l’air chaud dans la machine et le rejette dans le caisson supérieur (caisson non

représenté sur la Figure 1.7). L’air froid rentre dans la machine à l’opposé du ventilateur, dans

un compartiment comportant l’alternateur d’excitation. L’air dans ce compartiment se sépare en

2 flux parallèles : l’air rentrant dans le canal d’alimentation au rotor (présenté ci-dessus) et l’air

rentrant dans l’entrefer. L’air au rotor est contraint à traverser les bobines et rejoindre ainsi l’air

dans l’entrefer. Une partie de l’air dans l’entrefer peut traverser le stator par des évents, c’est-à-

dire des canaux de ventilation circulaires créés dans l’empilage de tôles magnétiques du stator.

L’air se retrouve alors dans un compartiment entourant le stator dont il ne peut sortir que du côté

opposé à l’entrée d’air par des orifices oblongs percés dans la joue (la pièce métallique maintenant

l’empilage du stator). Le ventilateur aspire donc l’air à travers deux principaux passages : les

orifices oblongs sur la périphérie externe du stator et par l’entrefer.

Le caisson supérieur est différent selon le type de refroidissement de l’air. Nous verrons par la

5


(a) Canal d’alimentation et échancrures (b) Distribution entre les bobines

Figure 1.5.: Circulation de l’air au rotor

Figure 1.6.: Vision 3D du rotor

6


Figure 1.7.: Coupe d’une machine

suite que deux types de refroidissement sont envisagés ici :

– un circuit ouvert : l’air en entrée est de l’air externe à la machine et l’air chaud provenant

de la machine est rejeté à l’extérieur de celle-ci.

– par un hydro-réfrigérant placé dans le caisson supérieur. Le circuit est alors fermé et l’air

interne est non renouvelé.

Nous verrons par la suite que la ventilation globale de la machine est très légèrement modifiée

en entrée dans la modélisation (voir Chapitre 3). La différence réside dans le fait que des trous

oblongs dans la joue en entrée sont créés dans le modèle alors qu’ils n’existent pas dans les

productions industrielles actuelles.

On illustrera cette étude avec deux machines en particulier. Ces deux machines font l’objet

de production industrielle et sont actuellement en service. Elles diffèrent principalement par leur

taille, leur puissance et leur nombre de pôles (donc leur vitesse de rotation). Les caractéristiques

de ces deux machines sont comparées dans le Tableau 1.1.

La Figure 1.8 montre l’alternateur JEGSY 811 accouplé au diesel lors de son arrivée sur site

(Soudan) et dans l’usine de production.

1.3. Objectif du travail

Les différents travaux de thèse réalisés au sein du laboratoire TEMPO-DF2T ont permis la

construction, le développement, la validation et l’extension d’un code de calcul écrit sous lan-

guage Matlab® et destiné à la simulation thermique des machines électriques. Ce code, nommé

SAME (Simulation Aéro-thermique des Machines Electriques), a été réadapté à la géométrie des

machines étudiées ici, dans le cadre du stage de Philippe Amorim [Amorim (2010)].

7


Table 1.1.: Machines étudiéesJEGSY 811 JEGSY 1224

Puissance [MW ] 8.8 18.8Nombre de pôles 8 12

Vitesse de rotation [tr/min] 750 500Diamètre externe du rotor [mm] 1330 1970

Longueur de fer [mm] 1092 1392Refroidissement de l’air Circuit ouvert Par hydro-réfrigérant

Longueur 4.0 5.4Encombrement général Largeur 2.3 3.2

Hauteur 3.1 4.7

Figure 1.8.: Machine JEGSY 811 (accouplé au diesel / 4 alternateurs installés sur site)

Ces machines sont déjà disponibles sur le marché et présentent un comportement thermique

satisfaisant, leur échauffement étant un sujet maîtrisé par JEUMONT Electric. Néamoins, dans

le but de concevoir des machines plus compactes et d’augmenter encore la durée de vie des

machines existantes, l’utilisation de méthodes d’optimisation thermique s’avère nécessaire.

Le développement des algorithmes d’optimisation est une tâche très spécialisée [Corriou (2010)].

D’ailleurs, une grande variété d’outils d’optimisation est déjà disponible dans la littérature. Par

exemple, parmi les différents algorithmes basés sur les méthodes de gradient, il y a les outils

IPOPT et KNITRO implémentés avec l’algorithme Point Intérieur ; SOCS et NPSOL avec l’al-

gorithme Active-Set ; MINOS et LANCELOT avec la Méthode de Pénalité. D’autres algorithmes

n’utilisent pas le calcul du gradient pour trouver une solution au problème, par exemple, le JGAP

(Algorithme Génétique), le HOPSPACK (Pattern Search) et le PSOt (Particle Swarm Optimiza-

tion). Dans ce travail nous avons utilisé les toolboxes d’optimisation de Matlab®, puisqu’ils sont

munis de divers algorithmes d’optimisation et sont compatibles avec le code SAME, également

développé sous Matlab®.

Indépendamment de l’outil, l’optimisation d’un problème thermique est une tâche complexe

pour plusieurs raisons. La bonne formulation du problème d’optimisation ne peut être vérifiée

que par des simulations préliminaires sur lesquelles on peut observer la pertinence de la fonction

objectif et identifier des éventuelles contraintes manquantes. En résolvant le problème, on peut

identifier des zones de l’espace de recherche dans lesquelles le modèle thermique n’est pas assez

précis ou même valide, amenant à des solutions très coûteuses ou aberrantes. Pendant l’exploita-

tion des résultats, la solution obtenue peut être une solution locale et selon le cas, il est judicieux

de changer l’outil d’optimisation. Ainsi, la formulation, résolution et exploitation des résultats

8


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Figure 1.9.: Etude d’optimisation, un processus itératif [Brisset (2007)].

d’un problème d’optimisation est un processus itératif, comme l’illustre la Figure 1.9 (adapté

de [Brisset (2007)]). Au cours de ces itérations, une série de prises de décision est nécessaire

pour l’obtention de la configuration optimale et des connaissances en thermique et en méthodes

numériques sont indispensables.

Dans ce contexte, on concentre nos efforts sur la représentativité du modèle thermique, sur le

couplage des outils nécessaires pour l’étude d’optimisation thermique d’une machine électrique

et sur le problème d’optimisation lui-même. Le travail est divisé en trois étapes : l’évaluation du

modèle thermique utilisé, la compréhension des différents outils d’optimisation et l’optimisation

thermique de la machine électrique. L’organisation du mémoire est dans son ensemble présentée

dans la suite.

1.4. Organisation du mémoire

Une analyse bibliographique concernant les différentes approches numériques pour la modé-

lisation thermique des systèmes physiques est présentée dans le Chapitre 2. Elle contient les

corrélations pour les coefficients d’échange convectifs les plus couramment utilisées dans la si-

mulation des machines électrique. On y trouve également la synthèse bibliographique sur les

machines électriques et sur deux configurations géométriques souvent répétées dans le système

de refroisissement, les bifurcations et les canaux en rotation.

Le Chapitre 3 est divisé en deux parties. D’abord, le modèle thermique de la machine, les

conditions aux limites et les hypothèses prises sont détaillés. Dans la deuxième partie, on présente

les résultats préliminaires et leur confrontation avec des mesures sur machine réelle effectués à

JEUMONT Electric.

La présentation des différentes méthodes d’optimisation utilisées pendant ce travail exposée

9


dans la première partie du Chapitre 4. Afin de mieux les comprendre, un benchmark sur l’op-

timisation d’une bifurcation est réalisé. A partir de l’expérience acquise lors de l’étude d’une

bifurcation, nous avons construit la troisième partie de ce chapitre qui expose les configurations

optimales de la machine électrique.

Une conclusion rassemblant les principaux résultats de ce travail et les perspectives envisagées

dans la suite des travaux clôture ce mémoire.

10

2. Analyse bibliographique® C

Trois aspects également importants et complémentaires dans le contexte de ce travail ont

motivé la répartition de ce chapitre : les outils de simulation thermique, les outils d’optimisation

et les questions relatives au problème d’échauffement dans les machines électriques.

Le système de refroisissement d’une machine électrique a beaucoup d’éléments géométriques

différents. Malgré le fait d’avoir un composant bien défini en rotation et un autre en statique,

ils interagissent entre eux du point de vue aéro-thermique et la compréhension de cette inter-

action est difficile. Dans la littérature, nous trouvons très peu d’informations concernant cette

interaction, le plus courant est l’étude d’une région spécifique indépendante du système de refroi-

dissement de la machine. Ceci se justifie par le fait que la compréhension d’un problème complexe

se fait plus facilement quand il est divisé en sous-problèmes plus simples et plus faciles à gérer.

Dans ce sens, la première partie de ce chapitre est une bibliographie sur les machines tournantes,

une discussion sur deux configurations géométriques et une brève description des lois de transfert

dans différentes configurations géométriques trouvées dans la machine.

La présente étude utilise des outils numériques. Aujourd’hui il existe une grande variété de

méthodes numériques utilisées dans la solution des problèmes thermiques. Une description de la

méthode utilisée dans ce travail est présentée dans la deuxième partie de ce chapitre.

La troisième partie concerne les méthodes d’optimisation. Il existe diverses méthodes, la per-

tinence de chacune dépend du problème résolu. Quelques exemples de résultats dans le domaine

de la thermique sont présentés.

2.1. Transferts de chaleur dans les machines électriques

2.1.1. Description des modes de transfert dans les machines électriques

Les machines électriques sont le siège de sources de chaleur d’origine mécanique et électrique.

Les sources d’origine mécanique sont dû au frottement de l’air dans la région de l’entrefer et

au frottement des paliers. Les sources d’origine électrique ont lieu dans les pièces métalliques

du rotor et du stator, surtout dans les cuivres. La dissipation de cette production de chaleur

est réalisée par deux mécanismes de transport : le transfert de chaleur par conduction et par

convection.

Transfert par conduction

Ce mode de transfert a lieu entre molécules voisines en présence d’un gradient de température

(grad(T )). Il opère aussi bien dans les parties solides du moteur que dans l’air environnant.

Ces transferts de chaleur obéissent à la loi de Fourier qui stipule que le vecteur densité de flux

thermique φ est proportionnel au gradient local de la temperature T. Pour un milieu isotrope :

11

2. Analyse bibliographique C

φ = −k grad(T )

où k est la conductivité thermique (W.m−1K−1). Cette grandeur positive dépend du matériau

et de la température. Plus la valeur de la conductivité est élévée, plus le matériau conduit de

la chaleur. La conductivité thermique des solides est généralement plus importante que celle des

liquides. En ce qui concerne les gaz, elle est souvent très faible.

Dans le cas des machines électriques, la conductivité des matériaux est relativement bien

connue, à l’exception peut-être de celle des tôles magnétiques. La conductivité thermique selon

la direction ortho-radiale est connue et correspond à celle de l’acier constituant les tôles. La

situation est différente pour la direction axiale car un empilement de tôles constitue le stator et

le rotor. Les tôles sont relativement minces pour éviter la création de courants de Foucault. La

conductivité thermique axiale du paquet de tôles sera alors plus faible que celle ortho-radiale.

Le bilan d’énergie et l’expression de la loi de Fourier conduit à l’équation de conduction de la

chaleur.

ρcp∂T

∂t= div(k grad(T )) + p

avec

ρ la masse volumique (J.kg−1.K−1),

cp la capacité thermique massique (kg.m−3),

p la production volumique de chaleur (W.m−3).

Transfert par convection

Les transferts de chaleur par convection sont des phénomènes que l’on trouve très fréquemment

dans la vie courante. Ce sont des transferts de chaleur dans les interfaces solide-fluide en raison

d’un gradient de température et du mouvement relatif entre le solide et le fluide. On classe les

types de convection selon l’origine de ce mouvement relatif : la convection naturelle, la convection

forcée ou la convection mixte.

La convection naturelle, ou convection libre, correspond au mécanisme de transfert de cha-

leur dans lequel le déplacement d’un fluide soumis à un champ d’accélération (la pesanteur, par

exemple) est uniquement dû à l’existence d’un gradient de température. Ce gradient engendre

une différence de masse volumique. La portion du fluide le plus léger se met en mouvement dans

le sens inverse du champ d’accélération. Comme le mouvement du fluide vient d’une différence de

température, les problèmes thermique et aéraulique sont dit “couplés”, c. à d. qu’il n’est pas pos-

sible de les résoudre séparement. Ceci est la caractéristique principale des problèmes de transfert

de chaleur avec convection naturelle.

En regardant uniquement l’aspect aéraulique, les forces visqueuses s’opposent à la poussée

d’Archimède. Il est ainsi important de quantifier le rapport entre ces deux forces, généralement

réalisé par le Nombre de Grashof, tel que plus la viscosité est faible devant la poussée d’Archimède,

plus le Nombre de Grashof est grand :

Gr = gβ(TSolide − T∞)D3/ν2

12


Le rapport entre la poussée d’Archimède et la diffusivité thermique est quantifié par le Nombre

de Rayleigh (Ra = GrPr). Jusqu’à une valeur critique du Nombre de Rayleigh, le transfert

thermique par conduction est prédominant puisque les effets diffusifs s’imposent devant la poussée

d’Archimède. De plus, généralement le coefficient d’échange thermique par convection, dans le

cas de convection naturelle, est estimé par le Nombre de Rayleigh dans deux plages distinctes :

pour le régime laminaire et pour le régime turbulent.

Au contraire de la convection naturelle, la convection forcée a une source externe du type

pompe ou ventilateur qui force le fluide à s’écouler. Ceci nous permet d’étudier les problèmes

aéraulique et thermique séparement. Généralement, plus la vitesse relative entre le fluide et le

solide est élevée, plus le transfert thermique est important. Il est ainsi important de quantifier

l’énergie cinétique apportée au fluide de travail.

Selon le fluide, l’énergie à lui fournit peut se dissiper très facilement en raison de l’action des

forces visqueuses. Le rapport entre les forces inertielles et visqueuses est fait par l’intermédiaire

du Nombre de Reynolds Re = ρUD/µ. La vitesse de référence U et la dimension caractéristique

du problème D sont précisées dans chaque cas. Lorsque l’objet est en rotation, le Nombre de

Reynolds Rotationnel (ReΩ = ρΩD2/µ) ou le Nombre de Rossby (Ro = Re/ReΩ) est aussi

considéré.

Parfois les phénomènes de convection naturelle et de convection forcée sont présents et sont

également importants l’un vis-à-vis de l’autre. Dans ce cas, on parle de convection mixte.

Pour chaque type de convection, on peut définir les deux termes suivants. La convection est

dite externe si l’objet solide est placé dans le fluide, de façon que le fluide s’écoule à l’extérieur

de l’objet. A l’opposé, la convection est dite interne si le fluide est guidé par les parois de l’objet

ou s’il est totalement confiné dans un espace clos.

Les transferts de chaleur par convection sont généralement modélisés par une relation linéaire

entre flux et température qui s’écrit :

φ = h (Tp − Tref )

Tref est la température de référence. Celle-ci est généralement destinée à moyenner l’ensemble

du champ de température dans le fluide. Le choix de cette température de référence est à définir

avec précaution.

h est le coefficient d’échange convectif. Sa valeur peut dépendre des nombres sans dimension

Re, ReΩ ou Ro, cités précédemment. Le calcul de h se fait à l’aide d’un nombre caractéristique

adimensionné nommé Nombre de Nusselt. Il est défini par :

Nu = hD/k

avec D, une dimension caractéristique.

Le Nombre de Nusselt représente le rapport entre les effets convectifs au niveau de la surface

d’échange et la conduction dans le fluide. Ceci permet la caractérisation du transfert de chaleur

dans l’interface fluide-solide, et ainsi, sa réutilisation dans des configurations similaires.

L’expression du Nombre de Nusselt est généralement determinée de manière empirique. Des

exemples intéressants pour notre étude sont présentés dans la section 2.1.2.3.

13


2.1.2. Phénoménologie de l’écoulement et des transferts thermiques dans les

machines tournantes

Les études aérothermiques publiées sur les machines à pôles saillants sont rares. Vrancik [Vran-

cik (1968)], chercheur à la NASA, a vérifié la puissance absorbée par le fluide en fonction du

mouvement relatif rotor-stator pour différents fluides à différentes pressions. Sa motivation a été

la reproduction du fonctionnement d’une machine à rotation élévée dans l’espace, où le fluide et

les conditions de travail ne sont pas les mêmes que dans l’atmosphère. Cet auteur a développé

une formulation basée sur un modèle simplifié, en considérant le rotor comme un cylindre simple,

sans pôles saillants. Pour corriger ses résultats analytiques, il a suggéré des coefficients ad hoc,

en se basant sur ses résultats expérimentaux.

Vingt-quatre ans plus tard, Carew [Carew (1992)] a conduit un travail expérimental avec une

machine à six pôles. Il a fait varier la rotation (500, 750 et 1000 trs/min) et le débit d’air (0, 0,5 et

1,0m3.s−1) dans la machine. Dans sa maquette, conçue à partir d’une machine réelle des années

1940, [Carew (1992)] a remplacé le rotor originel par un modèle similaire en contreplaqués et en

polystyrène. Il n’a pas représenté les blocs en «V», utilisés pour attacher des pôles au cylindre.

Cette machine avait un stator de diamètre interne de 533,4mm et un rotor de 524,3mm, ce

qui fait un entrefer de 4,5mm. Le circuit de ventilation a été également changé, il a permis le

passage axial d’air jusqu’au quatrième canal radial du stator (chaque canal étant de 9,35mm de

largeur) de façon que la sortie d’air se trouve vers le haut de la machine. Il a également retiré le

ventilateur originel situé sur l’arbre du rotor et rajouté un système d’alimentation indépendant

dans l’entrée de la machine pour contrôler le flux massique. L’auteur a obtenu le coefficient local

de transfert de chaleur par convection dans les rainures axiales, ainsi que sa valeur moyenne le

long de l’axe du rotor. Il a enregistré la chute du coefficient de transfert thermique par convection

le long de la direction axiale et une forte dépendance de ce coefficient par rapport à la rotation.

A cause du développement de la CFD comme outil de travail, des travaux numériques ont

également été publiés plus récémment. Pickering et al. [Pickering et al. (2001)] ont confronté

leurs simulations numériques avec leurs résultats expérimentaux pour une machine à quatre pôles,

afin de vérifier la capacité de prédiction d’une méthode numérique. Le rotor est de 464mm de

diamètre avec un entrefer de 6mm. Le débit d’air a été varié entre 0 et 1,3m3.s−1, pour une

vitesse de rotation de 900 trs/min. Pour leurs simulations, ils ont utilisé le logiciel FLUENT 5.

Des simplifications géométriques ont été nécessaires, parmi elles on a : les développantes sont

représentées par des lignes droites, les blocs «V» sont ignorés et, pour des raisons de symétrie

géométrique, ils n’ont représenté que le quart de la machine. Ils ont adopté un modèle en régime

permanent appelé «moving reference frame model » pour prendre en compte l’effet de la rotation.

Les auteurs ont employé environ 1,3 millions de volumes élémentaires pour pouvoir représenter

cette géométrie. Selon eux, la simulation en régime transitoire exige des maillages encore plus

raffinées et généralement, cela coûte dix fois plus cher en termes de temps de calcul. Ils ont

employé le modèle de turbulence k − ε, à cause de son bon niveau de convergence. [Pickering

et al. (2001)] ont varié la rotation, le débit de l’air et l’angle d’entrée. Les résultats numériques

sont en général 30% plus faibles que les résultats expérimentaux, justifiés par les auteurs pour

l’emploi du modèle en régime permanent.

L’année suivante, [Pickering (2002)] ont amélioré leur maquette en considérant la présence des

14


blocs «V». Ils ont maintenu les mêmes conditions que dans leur travail précédent. Un modèle

numérique correspondant a été créé, en utilisant, environ, 2 millions de cellules. Cette fois, ils ont

analysé l’influence de différentes géométries de blocs «V» et de la rugosité superficielle du rotor

et du stator avec l’outil numérique. Les différentes géométries de blocs «V» n’ont pas augmenté

la perte de charge, mais l’échange thermique local est devenu plus faible. L’augmentation de

la rugosité, par contre, a amélioré le transfert de chaleur, mais a également augmenté la perte

de charge. Comme [Carew (1992)], [Pickering (2002)] ont constaté la chute du coefficient de

transfert thermique par convection le long de l’axe. La sensibilité de ce coefficient par rapport à

la rotation a été plus élevée au centre de la machine que dans la région d’entrée d’air. Le long de

la surface du pôle qui est face à l’entrefer, ils ont observé que le coefficient de transfert est plus

élevé dans au bord d’attaque et qu’il chute brusquement dans la direction ortho-radiale. L’écart

entre les résultats numériques et expérimentaux (entre 20 et 30%) est justifié par la même raison

de l’article précédent. Cet écart est plus important dans la région d’entrée d’air, où l’écoulement

est le plus perturbé.

La compréhesion des mécanismes de transport dans une machine électrique avec pôles saillants

est assez difficile, notamment en raison de sa géométrie et de la rotation. Pour cette raison, l’uti-

lisation de la CFD pour représenter entièrement la machine est encore limitée à cause de la

capacité des ordinateurs actuellement disponibles. On n’arrive pas à bien détailler la géométrie

de la machine et le mouvement relatif entre le rotor et le stator requiert le remaillage du do-

maine de calcul, ce qui augmente considérablement le temps de calcul. D’ailleurs, l’écoulement

complètement tridimensionnel imposé par l’effet de la rotation et qui dépend du champ de tem-

pérature exige des adaptations des modèles de turbulence standard [Belhoucine et al. (2004);

Dutta et al. (1996)]. En raison de la complexité du problème d’origine, il est judicieux de le

diviser en problèmes plus simples. Deux cas ont été choisis pour une configuration en statique et

une en rotation. Dans ce qui suit, le cas d’une bifurcation en statique et d’un canal de rotation

sont abordés.

2.1.2.1. Bifurcation

Les bifurcations ont fait l’objet d’études de plusieurs chercheurs dans différents contextes.

Parmi eux, il y a l’analyse des problèmes du système circulatoire [Hayes et al. (1989); Bramley et

Sloan (1987); van de Vosse et al. (1990)], de la sédimentation en fleuves [Neary et Sotiropoulos

(1996); Neary et al. (1999)], d’échangeurs de chaleur [Boizumault et al. (1999); El-Shaboury

et al. (2003)] et des applications industrielles avec écoulement biphasé [Azzopardi et Whalley

(1982); Mak et al. (2006)]. Il y a de même une intéressante étude numérique sur la circulation de

personnes dans cette géométrie en considérant l’écoulement comme un fluide granulaire [Tajima

et Nagatani (2002)].

Les configurations souvent explorées sont présentées dans la Figure 2.1. D’une façon générale,

la portion de fluide dans l’entrée qui est proche de la paroi droite, par exemple, passera par la

rame du même coté. Ainsi, on remarque qu’il y a une surface virtuelle qui dévie l’écoulement

avant que celui-ci n’atteigne la bifurcation [Neary et al. (1999)]. À cause du changement soudain

de la direction de l’écoulement au centre de la bifurcation [Hayes et al. (1989)], il se forme des

bulles de recirculation, régions où le module de la vitesse est faible. La formation de ces bulles

n’est supprimée que dans des cas particuliers, comme par exemple, pour la géométrie de la

15


(a) Ramification « T » 90 ° (b) Ramification « Y » 90 ° (c) Ramification « T » 180 °

Figure 2.1.: Configurations usuelles d’une bifurcation avec une entrée

(a) Bifurcation « T » 90 ° (b) Canal courbé – problème de Dean

Figure 2.2.: Structures secondaires liés à la force centrifuge

Figure 2.1b et à nombre de Reynolds inférieur à 50 [Bramley et Sloan (1987)]. La taille de ces

bulles dépend du nombre de Reynolds et de l’importance du flux massique dans chaque sortie.

Le cas de la Figure 2.1a représente la configuration géométrique souvent répétée dans la ma-

chine. On restreindra la discussion autour de ce cas, en considérant des sections carrées et éven-

tuellement rectangulaires. Dans cette configuration, perpendiculairement au canal principal, il y

a une dérivation. Cette dérivation peut induire dans le canal principal la formation d’une bulle

de recirculation et par conséquence la formation de vitesses secondaires, c’est-à-dire, de compo-

santes de vitesses transversales. Les vitesses secondaires sont aussi observées dans la dérivation,

mais dans ce cas, leur mécanisme de formation est similaire au problème de Dean [Dean (1928)],

où il y a la présence de forces centrifuges (Figure 2.2). Comme conséquence, dans la région proche

de la bifurcation, il y a la formation d’un écoulement complètement tridimensionnel qui tend à

se rétablir au cours du canal et de la dérivation.

Les effets tridimensionnels et l’écoulement secondaire dans la dérivation sont explorés expé-

rimentalement et numériquement dans [Mathioulakis et al. (1997)]. Ils ont utilisé une section

carrée, avec un nombre de Reynolds égal à 1200 et mS1/mS2 = 1 (± 3 % pour le cas expérimen-

tal). Ils ont présenté divers profils de vitesse le long du canal et de la dérivation, en identifiant

16


les positions de séparation et de recollement de la couche limite et l’intensité des flux inverses.

À cause de ces reflux, il y a la formation d’un profil de vitesse axial caractéristique en forme de

«M» dans le canal principal sur le plan dont la direction normale est parallèle à la dérivation. Le

profil de vitesse secondaire dans la dérivation a deux valeurs maximales dans le sens de l’écou-

lement principal, et deux minimales, dans le sens inverse. Les valeurs des maximum se trouvent

dans la région centrale, resultants de la force de Coriolis. Chaque valeur des minimum est près

d’une paroi latérale, en faisant de la structure secondaire résultante, un tourbillon de Görtler

(Figure 2.2a). Les auteurs ont trouvé d’une façon générale un bon accord entre les résultats

numériques et expérimentaux.

Dans les résultats de ses simulations numériques bidimensionnelles, [Hayes et al. (1989)] ont

observé qu’en augmentant le nombre de Reynolds, le flux de masse est moins important vers la

dérivation, en créant une grande bulle de recirculation. Cette configuration dans l’entrée de la

dérivation ressemble aux écoulements en cavité. Ils ont également noté que la force et la taille de

la zone de recirculation est fortement influencée par le rapport entre le diamètre de la dérivation

et du canal principal. L’absence de séparation est constatée par les auteurs avec le nombre de

Reynolds égal à 10. À partir du nombre de Reynolds égale à 800, [Hayes et al. (1989)] ont vérifié

la présence d’une nouvelle bulle dans chaque branche, en raison de l’écoulement considérablement

inertiel.

El-Shaboury et al. [El-Shaboury et al. (2003)] ont réalisé l’étude numérique bidimensionnelle

de l’influence du débit entrant et du transfert de chaleur pour les géométries de la Figure 2.1a et

2.1c, en comparant leurs différences, toutefois, on ne considère que la première géométrie pour la

présente discussion. Son étude a compris l’intervalle 0, 1 ≤ mS2/mE ≤ 0, 9 pour les nombres de

Reynolds de 1000 et 2000. Les valeurs du débit entrant sont négatives pour mS2/mE ≤ 0, 2. Cette

contradiction est également remarquée par [McNown (1953)], qui la justifie par la méthode de

calcul de ce débit qui prend en compte les valeurs moyennes de pression et vitesse. [El-Shaboury

et al. (2003)] ont enregistré une croissance linéaire du débit entrant avec l’augmentation de

mS2/mE . Pour les valeurs mS2/mE > 0, 4, le débit entrant demandé est relativement faible.

En revanche, le transfert thermique est plus efficace pour mS2/mE ≤ 0, 4. Ils ont constaté que

le transfert thermique réalisé par unité de débit entrant a des valeurs optimisées autour de

mS2/mE ≈ 0, 4.

Le thème de transfert de chaleur est abordé expérimentalement par [Boizumault et al. (1999)],

avec une bifurcation de section rectangulaire, de rapport de forme entre l’épaisseur et la largeur

de 1 sur 10. Les auteurs ont remarqué trois régions distinctes dans la dérivation, la première a

été la bulle de recirculation, la deuxième, une région de mélange et la dernière, où l’écoulement

est développé. La faible recirculation dans ces bulles promeut un transfert thermique également

faible. Ils ont observé une considérable augmentation du transfert thermique dans la région de

recollement de la couche limite. Vers l’entrée de la dérivation, à côté de la bulle de recirculation,

il y a un fort gradient de température, mais les valeurs maximum de transfert de chaleur sont

observées dans la région de l’écoulement développée. Les effets tridimensionnels ne sont pas

observés avec le rapport de forme mentionné. L’influence du nombre de Reynolds et du rapport

de flux de masse mS2/mE a été évalué sur le nombre de Nusselt. Pour un nombre de Reynolds

donné, la diminution de mS2/mE entraine la baisse du nombre de Nusselt. Le maintient du

rapport mS2/mE constant, entraine la variation du nombre de Nusselt dans le même sens que le

17


(a) Canal avec passage simple (b) Canal avec double passage

Figure 2.3.: Canaux de rotation

nombre de Reynolds.

2.1.2.2. Canaux en rotation

La grande partie des travaux qui traitent l’écoulement dans un canal de rotation a comme

motivation des applications en turbines. Les deux géométries souvent explorées, présentées dans

la Figure 2.3, sont le canal à simple passage et à passage double en forme de «U». La discussion

se fera autour de la première géométrie qui a comme paramètres d’influence, la distance entre le

canal et l’axe de rotation (Z0), le rapport de forme de la section du canal (a/b) et les nombres

adimensionnel de Reynolds (Re), de Grashof rotationnel (Gr), de Prantdl (Pr) et de Rossby

(Ro).

Le transfert de chaleur des parois vers l’écoulement a pour résultat un champ de masse volu-

mique non-homogène. Ce champ est sous l’action de l’accélération centrifuge et des forces gra-

vitationnelles. Ces dernières sont souvent négligeables vis-à-vis des effets de la rotation. Comme

conséquence, la force d’Archimède créée par le chauffage de l’écoulement aura un sens inverse à

celui de la force centrifuge, orientée vers la sortie du canal, comme illustré dans la Figure 2.4a. La

force d’Archimède associée aux forces visqueuses est opposée aux forces inertielles de l’écoulement

principal et peut, dans certaines conditions, les surpasser, en formant une bulle de recirculation.

[Dutta et al. (1996)] ont constaté la séparation de la couche limite pour un canal de section carrée

au bord d’attaque (Figure 2.4a) seulement à partir de GrΩ = 0.4× 109, avec Re = 2, 5× 104 et

Ro = 4, 16. Les auteurs indiquent que cet événement a promu la turbulence dans l’extension du

canal en contribuant à l’augmentation du transfert de chaleur.

L’autre force liée à la rotation est la force de Coriolis, qui a le même sens de la rotation

pour les régions de refllux et de sens opposé à ce de la rotation pour les zones sans reflux,

comme illustré dans la Figure 2.4a. L’effet de Coriolis produit des composantes transversales,

à l’origine de l’écoulement secondaire. Cette composante est responsable de déplacement de la

18


(a) Forces dû la rotation (b) Schéma de l’écoulement (c) Repères

Figure 2.4.: Section d’un canal rectangulaire en rotation

vitesse maximale du centre vers le bord de fuite (Figure 2.4b).

Le déplacement du profil de vitesse (Figure 2.5a) augmente l’épaisseur de la couche limite dans

le bord d’attaque, et ainsi, on y a une réduction du transfert thermique. Dans la paroi en face,

l’effet contraire est observé. De plus, on observe la couche limite d’Ekman (Figure 2.5b), dévelop-

pée dans les parois latérales. Elle est la combinaison des composantes axiales, dû à l’écoulement

principal, et de l’écoulement secondaire, résultat de la rotation.

On constate qu’il s’agit d’un problème complexe où il y a l’interaction entre plusieurs para-

mètres. Ensuite, on décrit les études expérimentales et numériques autour de ce sujet.

Willett et al. [Willett et Bergles (2002)] ont conduit un travail expérimental en utilisant un

fluide de densité élevée (R134), dans les conditions atmosphériques, pour avoir les mêmes pa-

ramètres adimensionnels que dans une turbine à gaz réelle. Dans le canal, ils ont mis des tiges

de section circulaire de rapport de forme 1 sur 10, fixées sur leurs deux extrémités et disposées

dans une configuration en quinconce. L’augmentation de l’échange thermique est vérifiée avec

l’incrément du nombre de Richardson (Ri). Ils ont constaté que la présence de ces tiges atténue

l’effet de la force de Coriolis. La suppression de cette force n’est pas vérifiée ni même dans un

tube avec rainures radiales [Morris et Rahmat-Abadi (1996)], sources des grandes perturbations

dans l’écoulement, qui provoquent un profil axial en forme de scie du Nombre de Nusselt.

L’évaluation de l’influence du rapport de forme a/b sur la formation de structures secondaires

est étudiée par [Macfarlane et Joubert (1998)]. Pour les cas a/b égaux à 0,5 et 0,25 ; ils n’ont

pas remarqué une forte influence de l’écoulement secondaire sur l’écoulement principal. Une

appréciable influence de la rotation sur l’épaisseur de la couche limite et sur le coefficient de

frottement n’a été enregistrée que pour le rapport de forme a/b = 1 et Ro = 2, 8.

L’étude numérique, sans modèle de turbulence, de plusieurs paramètres d’un canal rectangu-

laire en rotation avec Re = 1500 est réalisée par [Yan et Soong (1995)]. Ils ont constaté que

l’augmentation de la rotation entraîne le décalage de la position des bulles de recirculation de

l’écoulement secondaire vers les parois latérales, en augmentant le cisaillement dans cette région.

Le déplacement des recirculations vers le bord d’attaque est observé avec l’augmentation de GrΩ

19


(a) L’influence de la force de Coriolis (b) Couche limite d’Ekman

Figure 2.5.: Couches limites hydrodynamiques développées avec la rotation

pour les rapports de forme de 0,5 ; 1,0 et 2,0. L’apparition d’autres paires de tourbillons dans

l’écoulement secondaire de manière à permettre la perte de symétrie est enregistré pour Ro = 10

et a/b = 0, 5.

Les échanges thermiques et de quantité de mouvement sont plus intenses dans la paroi qui

supporte la force de Coriolis, suivi par les deux parois latérales et en dernier par le bord d’attaque.

[Yan et Soong (1995)] ont également remarqué une grande sensibilité par rapport au nombre de

Rossby. Pour Ro = 13 et , pour a/b = 1, le facteur de friction (fRe) et le nombre de Nusselt (Nu)

commencent à osciller à partir d’une distance de 20a dans la direction axiale. Cette oscillation

est liée à la génération et la dissipation de structures tourbillonnaires et leurs interactions.

L’influence de la force d’Archimède est aussi évaluée par [Yan et Soong (1995)]. Pour les

distances axiales par rapport à l’axe de rotation inférieures à 15a et pour a/b ≥ 1, plus GrΩ es

élevé, plus le facteur de friction est faible. À partir de 15a, on commence à observer l’inversion de

ce comportement. Quand on diminue le rapport de forme à a/b = 0, 5 on a un faible écoulement

secondaire que ne promeut plus cette inversion. Comme conséquence, le coefficient de frottement

et le transfert thermique sont faibles.

Le modèle de fermeture standard de turbulence avec deux équations qui utilise l’hypothèse

de viscosité turbulente n’est pas capable de bien représenter des écoulements tridimensionnels,

généralement observés en systèmes en rotation et en tubes courbés [Belhoucine et al. (2004)]. Dans

ce sens, ces auteurs ont conduit une analyse numérique du modèle EARSM « explicit algebraic

Reynolds stress model » pour la prévision de l’écoulement dans un canal en rotation de section

carrée. Ils ont obtenu un bon accord avec d’autres résultats numériques en DNS et en LES.

Dutta et al. [Dutta et al. (1996)] ont également exploré numériquement le problème du canal

carré en rotation. Ils ont employé un modèle de turbulence k − ε adapté pour prédire l’effet de

rotation et la différence de densité qui provient de l’écart de température entre le fluide et la

paroi chauffée du canal. Afin de valider ses résultats, les auteurs ont simulé deux cas déjà étudiés

expérimentalement, un pour [Wagner et al. (1991)] et l’autre pour [Han et Zhang (1992)]. Dans

20


(a) Machine électrique

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(b) Schéma des profils caracteristiques de vitesseet température

Figure 2.6.: Convection naturelle dans une plaque verticale

le premier cas, la discussion a été autour de l’influence du nombre de Grashof, et le deuxième,

autour des conditions d’échauffement des parois. Un bon accord a été trouvé pour les deux

situations.

2.1.2.3. Lois de transfert thermique dans une machine électrique

Il existe une vaste gamme de corrélations d’échange convectifs dont la géométrie correspond à

une partie spécifique d’une machine électrique [Amorim (2010)]. Dans cette section, ces corréla-

tions sont présentées selon le type de convection (naturelle ou forcée) et leur géométrie.

Convection Naturelle

Trois exemples typiques trouvés dans la machine électrique illustreront le problème de convec-

tion naturelle : la plaque plane verticale, le cylindre horizontal et une cavité fermée.

Plaque plane verticale

A l’extérieur de la machine ou à l’intérieur dans les régions sans circulation d’air, on peut consi-

dérer le transfert par convection naturelle. Dans la Figure 2.6a, une vue externe de la machine

électrique est présentée. Typiquement les parois verticales de la carcasse sont à la température

Tparoi et l’air à l’extérieur est en repos et à la température ambiante T∞, avec Tparoi > T∞.

Comme dit précédemment, cette différence de température est responsable pour mettre en mou-

vement l’air autour de la machine. Les particules chaudes de fluide qui montent sont remplacées

par des particules froides des environs. Leur trajectoire type ainsi que les profils de température

et de vitesse caractéristiques en régime laminaire sont illustrés dans la Figure 2.6b.

Les corrélations pour ce problème, d’après [Padet (2005)], sont exprimées par :

Nu = 0, 59Ra1/4L , pour le régime laminaire 104 < RaL < 106

21


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(a) Schéma de principe (b) Comparaison entre les isothermesexpérimentales et numériques pourRa = 105 [Kuehn et Goldstein(1980)]

(c) Cylindre confiné pourRa = 104 [Harsini et Ashjaee(2009)]

Figure 2.7.: Convection naturelle autour d’un cylindre horizontal

Nu = 0, 13Ra1/3L , pour le régime turbulent 109 < RaL < 1012

Cylindre horizontal

Le coefficient d’échange convectif local d’un cylindre horizontal n’est pas homogène. A partir

du point le plus bas du cylindre (angle = 0°), la couche limite augmente au fur et à mesure

que l’air chaud contourne le cylindre. En le contournant, l’air en ascension gagne en vitesse et

se sépare du cylindre en créant un panache de chaque coté. A partir de ce point de séparation,

les expressions analytiques pour le Nombre de Nusselt ne sont plus valides et les corrélations

empiriques sont plus fiables. Dans la Figure 2.7b, nous avons une très bonne concordance entre

les résultats expérimentaux et numériques de [Kuehn et Goldstein (1980)]. Une autre illustration

est présentée dans la Figure 2.7c, on a un cylindre à température constante confiné entre deux

parois adiabatiques [Harsini et Ashjaee (2009)].

Les corrélations pour un cylindre horizontal dans l’air en repos, selon [Padet (2005)], sont

présentées dans la Table 2.1.

Table 2.1.: Corrélations pour le cylindre horizontal en convection naturelle

Corrélation Gamme de validité

Nu = 0, 675Ra0,058D 10−10 < RaD < 10−2

Nu = 1, 020Ra0,148D 10−2 < RaD < 102

Nu = 0, 850Ra0,188D 102 < RaD < 104

Nu = 0, 480Ra0,250D 104 < RaD < 107

Nu = 0, 125Ra0,333D 107 < RaD < 1012

Cavité fermée

Une cavité bidimensionnelle avec les deux parois latérales à des températures différentes et

avec les parois inférieure et supérieure thermiquement isolées permet la formation d’une cellule

convective, selon l’illustration de la Figure 2.8. Plus le rapport de forme Al = H/L est élévé, plus

22


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Figure 2.8.: Convection naturelle dans une cavité fermée

l’interation entre les parois est importante. Ainsi, en plus du Nombre de Rayleigh, le rapport

de forme doit être pris en compte. Les corrélations pour ce cas, dont le fluide est un gaz, sont

exprimées par :

Nu = 0, 197Ra1/4Al−1/9, pour 6× 103 < Ra < 2× 105

Nu = 0, 073Ra1/3Al−1/9, pour 2× 105 < Ra < 1, 1× 107

Convection forcée

Dans ce cas nous avons un agent responsable pour mettre le fluide en mouvement. Trois cas

typiques sont couramment trouvés, un objet dans un débit de fluide, un objet en rotation et

la combinaison des deux cas précédents. Les exemples ensuite abordés sont regroupés pour des

objets statique et des objets en rotation.

Objets statique

Plaque plane

Une plaque plane parallèle à l’écoulement a sa longueur L comme dimension caractéristique,

selon l’illustration de la Figure 2.9. Le Nombre de Reynolds est ainsi défini par ReL = ρUL/µ.

La vitesse moyenne du profil de l’écoulement entrant sert comme vitesse de référence U = U∞.

Les corrélations pour le régime laminaire et turbulent avec une plaque à température constante,

selon [Padet (2005)], sont exprimées par :

Nu = 0, 664ReL0,5Pr1/3, pour ReL < 3× 105 et 0, 5 < Pr < 10

Nu = 0, 035ReL0,8Pr1/3, pour ReL > 5× 105 et Pr > 0, 5

Deux plaques planes parallèles

Deux plaques planes parallèles, soumises à un écoulement parallèle, ont une dimension ca-

ractéristique différente du cas précédent. On considère plutôt l’écart δ entre les plaques pour

définir le diamètre hydraulique Dh = 4 aire/périmètre. Le Nombre de Reynolds est ainsi défini

par ReDh= ρUDh/µ et les corrélations pour les plaques avec flux constant sont exprimées par :

23


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Figure 2.9.: Convection forcée dans une plaque plane

Nu = 8, 24, pour ReDh< 2000

Nu = 0, 023Re0,8DhPr1/3, pour ReDh

> 2000

Cylindre statique

Un cylindre de section circulaire en repos avec un écoulement perpendiculaire à son axe a son

diamètre D comme dimension caractéristique. Les corrélations pour un cylindre à température

constante et pour différentes gammes de ReD sont disponibles [Padet (2005)] :

Nu = 0, 891ReD0,330, pour 1 < ReD < 4

Nu = 0, 821ReD0,385, pour 4 < ReD < 40

Nu = 0, 615ReD0,466, pour 40 < ReD < 4× 103

Nu = 0, 174ReD0,618, pour 4× 103 < ReD < 4× 104

Nu = 0, 024ReD0,805, pour 4× 104 < ReD < 2, 5× 105

Tube circulaire

On considère un tube de section circulaire, de diamètre interne D, soumis à flux de chaleur

constant et avec un écoulement interne. Les corrélations présentées dans [Padet (2005)] prennent

en compte les profils de vitesse et température établis et apporte des corrections pour la région

d’entrée. Deux dimensions sont ainsi considérées, le diamètre D et la longueur du tube, L.

Nu = 4, 36, pour Re < 2, 5× 103

Nul = 0, 022Re0,8D Pr0,6, pour Re > 2, 5× 103 et L/D > 60

Nu = Nul(1 + 6D/L), pour Re > 2, 5× 103 et 20 > L/D > 60

Nu = Nul(1 + (D/L)0,7), pour Re > 2, 5× 103 et 2 > L/D > 20

24


!

Figure 2.10.: Section rectangulaire, dimensions

Figure 2.11.: Rotor de la machine électrique

Canal rectangulaire

Un canal de section rectangulaire avec un écoulement interne et avec la condition de flux

constant est considéré. Trois dimensions de référence sont utilisées, la longueur L du canal, son

diamètre hydraulique Dh = 2ab/(a+b) et un diamètre hydraulique corrigé Di = Dh[2/3+11b(2−

b/a)/24a] avec a et b respectivement la hauteur et la largeur du canal, selon l’illustration de la

Figure 2.10. Les corrélations disponibles dans [Bertin (1999)] sont :

Nu = 3, 78, pour ReDh< 2000 et b/a = 1, 4

Nu = 4, 11, pour ReDh< 2000 et b/a = 2

Nu = 5, 35, pour ReDh< 2000 et b/a = 4

Nu = 6, 60, pour ReDh< 2000 et b/a = 8

Nu = 0, 023Re0,8DhPr0,4, pour ReDh

> 2000 et L/Dh > 60

Nu = 0, 036Re0,8DhPr0,4(Dh/L)

1/18, pour ReDh> 2000 et L/Dh < 60

Objets en rotation

La rotation est à l’origine d’un écoulement perturbé, tridimensionnel et assymétrique dans la

machine. Le rotor (Figure 2.11) à pôle saillants est bien évidemment l’endroit le plus affecté par

l’effet de la rotation et son influence peut être perçue dans tout le système de refroidissement.

Différentes géométries en rotation sont présentées ensuite.

25


Cylindre en rotation sur son propre axe

On considère un cylindre en rotation sur son axe. La rotation du cylindre est la seule source

externe pour mettre le fluide en mouvement. Si la rotation est faible, on revient au cas de

convection naturelle. Ainsi, on n’utilise que le Reynolds rotationnel (ReΩ = ρΩD2/µ) et le

Nombre de Grashof. La dimension caractéristique est le diamètre du cylindre D et la vitesse de

référence est la vitesse angulaire Ω, en rad/s. Les corrélations pour ce cas, selon [Dropkin et

Carmi (1957)], sont :

Nu = 0, 095(0, 5Re2Ω +Gr)0,35, pour 0 < ReΩ < 2, 5× 103

Nu = 0, 073Re0,7Ω , pour 1, 5× 104 < ReΩ < 4, 33× 105

Tube circulaire excentrique en rotation

Un tube de section circulaire avec son axe décalé d’une distance H de l’axe de rotation est

considéré. Ce tube a une dimension de référence D et un écoulement interne dont la vitesse

moyenne est de U . Deux nombres adimensionnaux sont considérés par [Baudoin (1987)], le ReD,

pour prendre en compte l’écoulement dans le tube et le nombre de Rossby Ro = U/(ΩD), pour

ne pas négliger l’effet de la rotation.

Nu0 = 0, 0215Re0,774, pour 3× 103 < Re < 2, 5× 104 et ReΩ = 0 (convection naturelle)

Nu = Nu0(1 + 0, 46Ro−1,24), pour 3× 103 < Re < 2, 5× 104 et 0, 59 < Ro < 5, 9

Disque en rotation sur son propre axe

Dans cette configuration, on considère un écoulement parallèle à un disque tounant, selon

l’illustration de la Figure 2.12 (extrait de [aus der Wiesche (2007)]). Un profil de vitesse développé

atteint un disque en rotation en formant la couche limite d’Ekman (2.5b) au-dessus du disque.

En aval, la structure formée est asymétrique à cause de la rotation du disque. Son diamètre D,

la vitesse angulaire Ω et la vitesse du courant entrant U sont les grandeurs caractéristiques. Les

corrélations proposées par [aus der Wiesche (2007)] sont :

Nu = 0, 417Re1/2D , pour 103 < ReD < 5× 104 et ReΩ/ReD ≤ 1, 4

Nu = 0, 330Re1/2Ω , pour 103 < ReD < 5× 104 et ReΩ/ReD > 1, 4

Nu = ( (0, 0127Re0,8D )2 + (0, 330Re1/2Ω )2 )1/2, pour ReD > 5× 104 et ReΩ < 2× 105

Nu = ( (0, 0127Re0,8D )2 + (0, 015Re0,8Ω )2 )1/2, pour ReD > 5× 104 et ReΩ > 2× 105

Espace annulaire étroit avec le cylindre interne en rotation

Les corrélations proposées par [Bouafia et al. (1998)] sont pour le rotor et pour le stator avec

un entrefer étroit et prennent en compte deux vitesses et deux dimensions de référence. Pour les

vitesses, il est impératif d’avoir la connaissance de la rotation Ω et de la vitesse entrant dans

l’entrefer U . Pour les dimensions, on considère le rayon du rotor (R1 = D1/2) et le diamètre

hydraulique de l’entrefer (Dh = D2 −D1), illustrés dans la Figure 2.13. Deux nombres adimen-

sionnels sont définis avec ces informations, le Nombre de Reynolds axial (ReDh= ρUDh/µ) et

le Nombre de Reynolds rotationnel (ReΩ = ρΩR1Dh/µ).

Nustator = 0, 046(Re2Dh+ 0, 25Re2Ω)

0,35 et Nurotor = 0, 025(Re2Dh+ 0, 5Re2Ω)

0,4

26


Figure 2.12.: Disque en rotation parallèle à l’écoulement [aus der Wiesche (2007)]

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Figure 2.13.: Entrefer modélisé par [Bouafia et al. (1998)]

27


tous les deux pour les domaines de validité 5× 102 < ReΩ < 3, 1× 104 et 1, 1× 104 < ReDh <

3, 1× 104 en utilisant les rapports de forme D1/Dh = 10, 8 et L/Dh = 49, 2.

Un récapitulatif des corrélations est présenté dans les Tables 2.2 et 2.3.

Table 2.3.: Corrélations et leurs domaines respectifs de validité

Corrélation Domaine de validité

1 Nu = 0.59Ra1/4L 104 < RaL < 106

Nu = 0.13Ra1/3L 109 < RaL < 1012

2 Nu = 0.675Ra0.058D 10−10 < RaD < 10−2

Nu = 1.020Ra0.148D 10−2 < RaD < 102

Nu = 0.850Ra0.188D 102 < RaD < 104

Nu = 0.480Ra0.250D 104 < RaD < 107

Nu = 0.125Ra0.333D 107 < RaD < 1012

3 Nu = 0.24Ra0.25L (L/H)0.11 6 103 < RaL < 2 105

Nu = 0.06Ra0.33L (L/H)0.11 2 105 < RaL < 108

4 Nu = 0.040Re0.8 2.5 104 < Re < 1.25 105

5 Nu = 0.664Re0.5Pr1/3 Re < 3 105, 0.5 < Pr < 10

Nu = 0.035Re0.8Pr1/3 Re > 5 105, Pr > 0.56 Nu = 8.24 Re < 2000

Nu = 0.023Re0.8Pr1/3 Re > 20007 Nu = 0.891Re0.330 1 < Re < 4

Nu = 0.821Re0.385 4 < Re < 40Nu = 0.615Re0.466 40 < Re < 4 103

Nu = 0.174Re0.618 4 103 < Re < 4 104

Nu = 0.024Re0.805 4 104 < Re < 2.5 105

8 Nu = 0.095(0.5Re2ω +Gr)0.35 0 < Reω < 2.5 103

Nu = 0.073Re0.7ω 1.5 104 < Reω < 4.33 105

9 Nu = 4.36 Re < 2.5 103

Nul = 0.022Re0.8Pr0.6 Re < 2.5 103, L/D > 60Nu = Nul(1 + 6D/L) Re < 2.5 103, 20 > L/D > 60Nu = Nul(1 + (D/L)0.7) Re < 2.5 103, 2 > L/D > 20

10 Nu = 0.417Re1/2 103 < Re < 5 104, Reω/Re ≤ 1.4

Nu = 0.330Re1/2ω 103 < Re < 5 104, Reω/Re > 1.4

Nu = ( (0.0127Re0.8)2 + (0.330Re1/2ω )2 )1/2 Re > 5 104, Reω < 2 105

Nu = ( (0.0127Re0.8)2 + (0.015Re0.8ω )2 )1/2 Re > 5 104, Reω > 2 105

11 Nu = 0.330Re1/2ω 103 < Reω < 2 105

Nu = 0.015Re0.8ω Reω > 5 105

12 Nu0 = 0.0215Re0.774 3 103 < Re < 2.5 104, Reω = 0Nu = Nu0(1 + 0.46Ro−1.24) 3 103 < Re < 2.5 104, 0.59 < Ro < 5.9

13 Nu = 3.78 Re < 2000, L/H = 1.4Nu = 4.11 Re < 2000, L/H = 2Nu = 5.35 Re < 2000, L/H = 4Nu = 6.60 Re < 2000, L/H = 8

Nu = 0.023Re0.8Pr0.4 Re > 2000, L/Dh > 60

Nu = 0.036Re0.8Pr0.4(Dh/L)1/18 Re > 2000, L/Dh < 60

14 Nustator = 0.046(Re2 + 0.25Re2ω)0.35 1.1 104 < Re < 3.1 104 and

Nurotor = 0.025(Re2 + 0.5Re2ω)0.4 5 102 < Reω < 3.1 104

28

2.Analyse

biblio

gra

phiqueC

Table 2.2.: Corrélations et exemples d’application

Référence Geometrie Configuration de l’écoulement Exemples d’application

1 [Padet (2005)] Plaque plane verticale Convection naturelle Regions de recirculation2 [Padet (2005)] Cylindre horizontal Convection naturelle L’axe en sortie3 [Padet (2005)] Cavitée fermée Convection naturelle A l’intérieur des développantes4 [Oslejsek (1972)] Développantes Ecoulement croisé A l’extérieur des développantes5 [Padet (2005)] Plaque plane simple Ecoulement parallèle Canal axial du stator6 [Padet (2005)] Deux plaques planes parallèles Ecoulement parallèle Canal radial du stator7 [Padet (2005)] Cylindre stationaire Ecoulement croisé Surface radiale du AE8 [Dropkin et Carmi (1957)] Cylindre rotatif Pas de source externe L’axe en entrée9 [Padet (2005)] Tube circulaire Ecoulement interne Canal rotorique10 [aus der Wiesche (2007)] Disque rotatif Ecoulement parallèle La face du rotor à l’entrée11 [aus der Wiesche (2007)] Disque rotatif Pas de source externe La face du rotor à la sortie12 [Baudoin (1987)] Tube circulaire excentrique en rotation Ecoulement interne Canal axial rotorique13 [Bertin (1999)] Canal rectangulaire Ecoulement interne Canal radial rotorique

14 [Bouafia et al. (1998)]Annulaire, cylindre externe en statique

Ecoulement interne Entreferet cylindre interne en rotation

29


2.2. Modélisation thermique des machines électriques

Grâce au développement des méthodes mathématiques et des ordinateurs, aujourd’hui on a une

grande variété d’outils numériques à la disposition de l’ingénieur. Dans le domaine de la thermique

et de la mécanique de fluides, les outils les plus courants se servent de la méthode des volumes

finis ou des éléments finis. Malheureusement ces méthodes sont coûteuses dans notre travail parce

qu’on a une géométrie très complexe qui est couplée avec un problème d’optimisation. Ceci exige

des resources de calcul considérables en imposant l’utilisation de modèles moins coûteux. En

raison de cette contrainte, on a choisi la méthode nodale, une méthode numérique qui utilise les

résistances thermiques pour l’obtention du champ de température de manière moins coûteuse et

avec une précision satisfaisante. Une description de cette méthode est présentée par la suite.

2.2.1. Méthode nodale

La méthode nodale est, à la fois, un outil numérique simple et efficace qui permet l’obtention de

résultats corrects rapidement. Basée sur l’analogie électrique, elle peut nous donner le champ de

température d’un domaine au préalable discrétisé en prenant en compte les différents mécanismes

de transfert de chaleur : la conduction, la convection, le transport d’énergie par l’écoulement et le

rayonnement. Pour cela, il faut connaître les débits de fluide au sein du système étudié ainsi que

les productions internes de chaleur. Du fait de sa facilité de mise en œuvre, elle est couramment

utilisée pour calculer les champs de température dans les machines électriques. Des exemples

d’application de cette méthode peuvent être trouvés dans les travaux de [Fasquelle et al. (2010,

2006); Besnerais et al. (2010); Seghir-Oualil et al. (2010); Seghir-Ouali et al. (2009, 2007); Amorim

(2010)]. La dernière référence, en particulier, montre la mise en œuvre de la méthode pour une

géométrie similaire à l’alternateur étudié dans cette thèse. La discrétisation du domaine et la

méthode de résolution y sont grandement détaillés. Nous exposons par la suite succinctement la

méthode appliquée à notre problème.

L’alternateur présenté dans notre étude est modélisé par un domaine discret découpé dans

un système de coordonnés cylindriques en volumes, comme illustré sur la Figure 2.14. A chaque

volume V , on attribue une valeur de température T homogène et calculée au centre du volume.

On considère de plus que les propriétés thermophysiques sont homogènes pour intégrer l’équation

de la chaleur décrite par l’Equation (2.1).

ρcp∂T

∂t= −div (φ) + p (2.1)

avec ρ, la masse volumique en kg.m−3 ; cp, la capacité calorifique massique en J.kg−1.K−1 ; φ,

le flux de chaleur par unité de surface en W.m−2 ; p, le terme source qui représente les pertes

volumiques en W.m−3.

L’opérateur divergent de l’Equation (2.1) réalise le bilan énergétique entre les flux de chaleur

entrant et sortant d’un volume discret Vi. La discrétisation spatiale, selon la méthode nodale,

est basée sur une approximation de première ordre :

−

ˆ

Vi

div (φ) dV = −

ˆ

Si

φ · dS ≈∑

j voisins de i

Gij (Tj − Ti) (2.2)

30


Vue ortho-radiale de l’alternateur réel Discrétisation nodale

Figure 2.14.: Discrétisation de la machine électrique

avec Gij , en W.K−1, qui représente la conductance thermique entre le nœud i et son j eme voisin.

L’Equation (2.1) donne, après l’intégration sur un volume i :

ρiVi (cp)idTidt

=∑

j voisins de i

Gij (Tj − Ti) + Pi (2.3)

avec Vi, le volume en m3 et Pi, le terme source en W .

La valeur de la conductance Gij rend compte du mode de transfert d’énergie entre deux nœuds

voisins. Lorsque deux volumes sont en contact, indépendamment de la direction, le transfert

d’énergie ne porte que sur la surface effective de contact Sij entre le nœud i et son j eme voisin,

comme illustré, en coordonnées cylindriques, dans les Figures 2.15a, 2.15b et 2.15c. Ainsi, pour

quantifier le transfert d’énergie d’un nœud à l’autre, un paramètre (dont l’expression dépend de

la géométrie plane ou cylindrique) lié à la taille de la surface Sij par où passe le flux de chaleur

est pris en compte. La conductance Gij se décompose en général en 2 conductances Gi et Gj ,

selon l’illustration de la Figure 2.15d. A partir de Gi et Gj , on peut établir un réseau thermique

équivalent (Figure 2.15e) qui lie les différents nœuds représentatifs du domaine. Le calcul de Gi

et Gj dépend du type de nœud (représentant un solide ou un fluide) et également de la nature de

l’échange thermique entre les nœuds. Pour deux nœuds solides, le phénomène est conductif, pour

un nœud solide en contact avec un nœud fluide on a, respectivement, conduction puis convection

et si les deux nœuds sont fluides, le transport d’énergie est assuré par le débit de fluide entre les

nœuds. Dans les machines électriques, l’effet du rayonnement est souvent négligeable, aussi bien

31


(a) Sij selon r, αij =(∆θ∆Z)contact,βi = ln (RSij/Ri)pour RSij > Ri et

βi = ln(

Ri/RSij

)

pour Ri > RSij

(b) Sij selon θ, αij =(∆R∆Z)contact, βi = Ri

∆θi/2(c) Sij selon z, αij =

((

R2sup −R2

inf

)

∆θ/2)

contact

,βi = ∆Zi/2

(d) Réseau thermique (e) Réseau équivalent

Figure 2.15.: Analogie électrique

à l’intérieur qu’à l’extérieur. A l’intérieur, les surfaces solides qui se font face n’ont pas d’écart de

température important et en conséquence, l’échange radiatif est souvent négligeable devant les

autres mécanismes d’échange de chaleur. L’écart de température le plus important (∼120 °C) se

situe entre l’air et le solide, mais du fait de la faible émission et réflexion de l’air, l’échange par

rayonnement entre la masse solide et l’air est également négligeable. A l’extérieur, la température

de carcasse n’est généralement pas assez élevée pour qu’on prenne en compte le flux radiatif.

La conductance thermique de conduction est fonction de la distance entre le centre du nœud et

la surface de contact Sij , la surface Sij elle-même et bien évidement, la conductivité thermique

du matériau. On définit ainsi la Gi de conduction par :

G(cond)i =

λiαij

βi(2.4)

avec λi, la conductivité thermique du solide enW.m−1K−1 qui peut varier selon la direction pour

des matériaux anisotropes ; αij un paramètre (dont l’expression dépend de la géométrie plane

ou cylindrique) lié à la taille de la surface par où passe le flux de chaleur ; βi un paramètre qui

quantifie la distance du centre du nœud jusqu’à la surface de contact.

32


Dans une configuration avec un nœud i fluide et un voisin j solide, le calcul de la conductance

de convection, relatif au nœud fluide i, est donné par :

G(conv)i = hijSij (2.5)

avec hij , le coefficient d’échange thermique par convection enW.m−2.

Que ce soit pour un contact solide-solide ou pour un contact solide-fluide, la conductance équi-

valente Gij , illustrée dans la Figure 2.15e, est obtenue par l’association en série des conductances

Gi et Gj :

Gij =1

1

Gi+

1

Gj

(2.6)

Dans le cas de deux volumes fluides, l’échange d’énergie est représenté par le transport de

masse. Si le débit entre le volume j et le volume i, noté qij , est positif, alors par convention, il

rentre dans le volume i. Intuitivement, la conductance correspondante au bilan d’énergie sur le

volume i, Gij , doit prendre en compte la quantité d’énergie emportée par l’écoulement. Inverse-

ment, pour le bilan fait sur le volume j, la conductance Gji est nulle, puisque le fluide s’écoule

dans l’autre sens. La conductance entre deux nœuds fluides rend la matrice des conductances

non symétrique. Mathématiquement, en faisant le bilan énergétique sur le volume i, illustré dans

la Figure 2.16, en contact avec deux voisins fluides, j et k, avec un écoulement sortant de j vers

k, et avec i isolé d’ailleurs, on a :

−

ˆ

Vi

div (φ) dVi = φij − φki = qijρjcpTj − qkiρicpTi

Pour les propriétés thermo-physiques fixées et en prenant en compte la conservation de la

masse, on a :

ρj = ρi et qij = qki

Ainsi,

∑

j voisins de i

Gij (Tj − Ti) = qijρicp (Tj − Ti)

et donc,

G(flu)ij = qijρicp, si qij > 0 (2.7a)

G(flu)ij = 0, sinon. (2.7b)

33


Figure 2.16.: Bilan des flux pour le transfert d’énergie par l’écoulement

2.3. Optimisation thermique® C

L’optimisation est un outil de décision utilisé dans le développement et l’amélioration de

systèmes physiques. Pour se servir de cet outil, il faut d’abord identifier un objectif qui soit

mesurable par une valeur. Cet objectif est l’évaluation du système selon un certain critère. Ce

critère dépend de certains paramètres du système dites variables. Ces variables, à leur tour,

sont souvent limitées ou soumises à des contraintes. Le but de l’optimisation est de trouver

la meilleure combinaison de paramètres du système, tout en respectant ses limitations, pour

améliorer un critère donné. Dans ce travail, nous considérons le problème d’optimisation comme

un problème de minimisation non linéaire avec contraintes non linéaires, décrit par :

minx

f (x) : x ∈ ℜn → ℜ, soumis à (2.8a)

ci (x) = 0, i = 1, . . . , meq (2.8b)

ci (x) ≤ 0, i = meq + 1, . . . , m (2.8c)

avec,

x, les n variables du problème,

f (x), une fonction objectif à minimiser,

ci (x), les contraintes d’égalité pour les indices entre 1 et meq et d’inégalité pour les indices

entre meq+1 et m.

Les optimiseurs, de façon générale, trouvent un état optimal de manière itérative, c. à d., à

partir d’un état initial ils déduisent une séquence d’états, ou itérations, qui convergent d’après

un critère d’arrêt vers un état final, ou optimal. La différence basique entre les différentes mé-

thodes est la façon par laquelle est faite cette déduction. Trois outils distincts ont été utilisés

dans la présente étude d’optimisation thermique, ils comprennent les méthodes de gradient, les

algorithmes génétiques et l’optimisation par essaims particulaires.

34


2.3.1. Les méthodes de gradient

Le principe général des méthodes de gradient est, à une itération k, de se servir de la pente de

la fonction objectif, dans un point xk donné, pour déduire la position du prochain point xk+1 du

processus itératif. C’est à partir de l’information du gradient de la fonction objectif qu’on déduit

la séquence qui convergera vers un point optimal x∗, d’où le nom “méthodes de gradient”. Dans

ce contexte, un état initial est caractérise par un point de départ x0.

La conséquence directe est que ce type de méthode nécessite des fonctions objectif continues.

Compte tenu que les modèles utilisés pour représenter des problèmes en mécanique sont rarement

analytiques, le calcul des dérivées est inévitablement fait par des méthodes numériques (diffé-

rences finies, par exemple). Ainsi, pour des raisons numériques, même la fonction étant continue,

l’estimation des dérivées reste difficile en présence de fortes variations de la fonction objectif.

Le problème d’optimisation non linéaire sans contraintes

La présentation mathématique des méthodes de gradient se fait plus efficacement à l’aide d’une

nomenclature destiné à cet effet. Les variables scalaires sont notées dans ce travail en italique

et en minuscule, les vecteurs sont en italique, en gras et en minuscule et les matrices sont en

italique et en majuscule. Les fonctions suivront la même notation que les variables. Considérons

les 4 éléments suivants à l’itération k :

1. x k est un point qui appartient à ℜn, représenté par le vecteur :

xk =

x1

x2

x3...

xn

et sa transposée par xTk =

[

x1 x2 x3 . . . xn

]

2. f (xk) est la valeur de la fonction objectif. Elle associe un vecteur pris dans ℜn à une valeur

dans ℜ. Une notation plus compacte pour la valeur de la fonction à la k − ieme itération

est présentée par :

fk = f (xk)

3. g (xk) est le gradient de la fonction objectif. Il s’agit d’un vecteur qui appartient à ℜn :

∇f (xk) = g (xk) = gk =

∂f(xk)∂x1

∂f(xk)∂x2

∂f(xk)∂x3

...

∂f(xk)∂xn

4. H (xk) est la matrice Hessienne de la fonction objectif. C’est une matrice symétrique de

dimension n par n.

35


∇2f (xk) = H (xk) = Hk =

∂2f(xk)∂x2

1

∂2f(xk)∂x1∂x2

∂2f(xk)∂x1∂x3

. . . ∂2f(xk)∂x1∂xn

∂2f(xk)∂x2∂x1

∂2f(xk)∂x2

2

∂2f(xk)∂x2∂x3

. . . ∂2f(xk)∂x2∂xn

∂2f(xk)∂x3∂x1

∂2f(xk)∂x3∂x2

∂2f(xk)∂x2

3

. . . ∂2f(xk)∂x3∂xn

......

.... . .

...

∂2f(xk)∂xn∂x1

∂2f(xk)∂xn∂x2

∂2f(xk)∂xn∂x3

. . . ∂2f(xk)∂x2

n

En utilisant ces 4 éléments, connus à l’itération k, et en faisant varier xk d’un pas p pour

passer à l’itération suivante, tel que

xk+1 = xk + p (2.9)

on écrit l’approximation de seconde ordre de la série de Taylor pour la fonction objectif au point

xk + p. Cette approximation est utilisé comme modèle (mk (p)) pour simuler le comportement

de la fonction objectif au voisinage de xk, tel que :

f (xk + p) ≈ fk + pTgk + 1/2pTHk pdef= mk (p) (2.10)

En minimisant le modèle mk (p),

∂ (mk (p))

∂p= 0

nous obtenons une estimation du pas pk à prendre pour minimiser la fonction objectif à partir

du point xk :

pk = −H−1k gk (2.11)

La direction du pas pk définie par l’Equation (2.11) est dite direction de Newton. Le pas est

l’élément le plus important dans les méthodes de gradient, et pour cela, la façon dont on estime

p définit une méthode de gradient en particulier. Pour le cas de l’Equation (2.11), nous avons

la méthode de Newton. Vu qu’elle est issue d’une approximation de second ordre de la série de

Taylor, elle possède typiquement une convergence quadratique, la élevée en optimisation non

linéaire.

La méthode de Newton est rarement utilisée à couse du coût de calcul de la matrice Hessienne.

De plus, si Hk n’est pas définie positive, la direction de Newton ne peut pas être obtenue puisque

H−1k n’existe pas. La dérivée seconde, et en conséquence, la méthode de Newton, sont mieux

exploitées avec des fonctions objectif analytiques dont on peut déduire les expressions des dérivées

à l’aide des règles du calcul élémentaire et les fournir directement à l’optimiseur.

En revanche, si on sacrifie la précision gagné avec l’Hessienne en la définissant comme la

matrice identité I, la direction du pas devient pk = −gk. Nous amenons la solution à la direction

opposée du gradient. Cette méthode est dite la méthode de La Plus Grande Pente (Steepest

Descent Method). Elle est connue pour un taux de convergence très lent (linéaire), et pour cela,

elle n’est pas habituellement utilisée pour résoudre des problèmes d’optimisation non linéaires.

36


Les deux méthodes présentées sont des cas extrêmes. Généralement, au lieu de calculer l’Hes-

sienne, on réutilise les informations qui ont été acquises au cours des itérations précédentes pour

faire une estimation de l’Hessienne. Ceci offre une exploitation remarquable des données trai-

tées. Ce groupe de méthodes est connu par méthodes de quasi-Newton et elles présentent une

convergence super-linéaire. Parmi les équations les plus populaires pour l’estimation de l’Hes-

sienne (Hk ≈ Bk), nous avons la formule de BFGS (en référence aux auteurs Broyden-Fletcher-

Goldfarb-Shanno) :

Bk+1 = Bk +Bksks

TkBk

sTkBksk+

ykyTk

yTk sk

(2.12)

où

sk = xk+1 − xk, yk = gk+1 − gk

L’inconvénient de l’Equation (2.12) est que l’obtention du pas pk (Equation (2.11)) se fait

par la résolution d’un système linéaire. Des implémentations plus pratiques des méthodes de

Quasi-Newton déduisent directement l’inverse de l’Hessienne en diminuant le coût le calcul de

pk. L’équivalente de son inverse est exprimée par :

B−1k+1 =(I − ρksky

Tk

)B−1k

(I − ρkyks

Tk

)+ ρksky

Tk , ρk =

1

yTk sk

(2.13)

Il y a une grande quantité de méthodes de gradient et de variantes, des ouvrages dédiées au

thème sont disponibles dans les références [Corriou (2010); Nocedal et Wright (2006); Scales

(1987)]. Une quatrième classe de méthodes de gradient est cependant citée dû à son importance

dans la résolution des problèmes de dimension très grande, dont la manipulation de l’Hessienne

impose une grande quantité de mémoire disponible. Elle se situe entre la méthode de La Plus

Grande Pente et la méthode de Quasi-Newton. Il s’agit de la méthode des Gradients Conjugués,

elle est beaucoup plus efficace et aussi simple à calculer que la méthode de La Plus Grande Pente.

Elle utilise uniquement le gradient calculé à l’itération actuelle, gk et celui qui a été calculé à

l’itération précédente gk−1. Le calcul du pas pk est fait par :

pk = −gk +Υkgk−1 (2.14)

dont Υk est un scalaire qui assure que les gradients gk et gk−1 soient conjugués, d’où le nom de

la méthode. A titre illustratif, nous avons la formule de Polack et Ribière pour l’obtention de

Υ(PR)k :

Υ(PR)k =

gTk

(gk − gk−1

)

gTk−1gk−1

Un récapitulatif des méthodes de gradients abordées est présenté dans la Table 2.4.

Indépendemment de la méthode utilisé, le pas pk obtenu n’a pas forcement un module adéquat.

Plus la fonction objectif est non linéaire, plus le modèle mk(pk) s’éloigne de f(xk + pk) (cf.

Equation 2.10). En fait, il existe deux questions distinctes par rapport au pas :

1. Quelle est la direction du pas entre un point et celui de la prochaine itération

2. Quelle est la longueur adéquate de ce pas, c. à d., le module de pk.

37


Table 2.4.: Méthodes de gradient pour des problèmes non linéaires sans contraintes

Méthode Exploitation Hk Aspects

Plus Grand Pente gk(a) I (c) Simple, convergence linéaire

Quasi-Newton gk et gk−1(b) (2.13) Hk ≈ Bk, convergence super-linéaire

Newton gk(a) DF(d) Convergence quadratique

Gradient Conjugué gk et gk−1(b) I(c) Peu exigeant en mémoire

(a)Itération actuelle,

(b)Reutilisation des informations précédentes,

(c)Matrice identité,

(d)Différences finies

Cette dernière est connue par le nom de Recherche Linéaire (Linear Search) puisque on cherche,

dans la direction obtenue, le pas le plus important en maîtenant la recherche dans une direction

de descente. L’ordre des deux questions est important. Si on les change, nous parlons d’une classe

de méthodes connue sous le nom de Régions de Confiance (Trust Regions), puisque d’abord on

établit la taille du pas (la région de confiance) où le modèle mk(pk) soit une représentation

fiable de f(xk + pk) et puis, on calcule la direction du pas. Dans la présente étude, nous consi-

dérons plutôt la stratégie de la Recherche Linéaire. Compte tenu de la nécessité d’une étape

supplémentaire pour définir le module du pas, on doit réécrire l’Equation (2.9) par :

xk+1 = xk + χp (2.15)

dont χ est un scalaire non nul qui ajuste la taille du pas dans la direction de p.

La façon la plus simple d’estimer χ est par itérations : dans un premier temps il est souhaitable

que la taille du pas soit la plus grande possible avec, par exemple, χ = 1, et on vérifie si le nouveau

point a pris une direction de descente (fk+1 < fk). Si ce n’est pas le cas, on réduit la valeur de

χ, comme par exemple, en faisant χ = χ/2 et on vérifie à nouveau la condition de descente. Le

processus est répété jusqu’à satisfaire la condition de descente ou jusqu’à avoir une taille de pas

inférieure à une tolérance préétablie. Dans ce cas, l’algorithme ne peut plus avancer et xk est la

solution du problème (x∗ = xk). L’avancement des itérations peut être également bloqué par la

présence de contraintes. Cette question est abordé par la suite.

Gestion des contraintes

L’imposition de contraintes facilite la recherche d’un point optimal puisque l’espace de re-

cherche devient restreint. En contrepartie, il faut les prendre en compte pendant le calcul du pas

p. C’est là que se trouvent les sources de difficulté pendant la résolution des problèmes non li-

néaires avec contraintes, surtout si les contraintes sont non linéaires et d’inégalité. Les contraintes

d’égalité sont moins gênantes parce que on peut projeter l’Hessienne perpendiculairement à leur

gradient (Méthodes de Projection) en restant, selon une certaine tolérance, dans la région définie

par les contraintes d’égalité. La discussion de la gestion de contraintes nécessite la présentation

des trois nouvelles entités mathématiques :

5. Le Jacobien J est la dérivée de première ordre d’une fonction scalaire ou vectorielle par

rapport à un vecteur. Nous nous intéressons au Jacobien des contraintes, J (c (xk)), avec

38


xk ∈ ℜn et c (xk) ∈ ℜ

m.

J (c (xk)) =

∂c1(xk)∂x1

∂c1(xk)∂x2

∂c1(xk)∂x3

. . . ∂c1(xk)∂xn

∂c2(xk)∂x1

∂c2(xk)∂x2

∂c2(xk)∂x3

. . . ∂c2(xk)∂xn

∂c3(xk)∂x1

∂c3(xk)∂x2

∂c3(xk)∂x3

. . . ∂c3(xk)∂xn

......

.... . .

...

∂cm(xk)∂x1

∂cm(xk)∂x2

∂cm(xk)∂x3

. . . ∂cm(xk)∂xn

(2.16)

par convenance il est souhaitable de séparer le Jacobien des contraintes d’égalité (Jeq) des

contraintes d’inégalité (Jin), tel que :

J (c (xk)) =

Jeq

Jin

6. L’active-set A (xk) est défini par l’ensemble des contraintes actives dans le point xk. Une

contrainte ci est dite active dans xk quand ci (xk) = 0. De cette façon, toutes les contraintes

d’égalité sont actives pour un point qui appartient à l’espace de recherche et une contrainte

d’inégalité est active seulement quand le point en question est au bord du domaine de

recherche. Ainsi, nous avons :

A (xk) = i | ci (xk) = 0 (2.17)

7. Le Lagrangien est la réécriture de la fonction objectif en prenant en compte les contraintes.

Chaque contrainte ci est pondérée par un scalaire λi appelé le multiplicateur de Lagrange.

L’association de la fonction objectif aux contraintes est de la forme suivante :

L (xk, λk) = f (xk) + λTk c (xk) (2.18)

En minimisant le Lagrangien (∇xL (xk, λk) = 0) en un point xk, on minimise la fonction

objectif plus la violation des contraintes dans ce point. L’insertion des multiplicateurs de Lagrange

devient nécessaire pour imposer les contraintes vis-à-vis de la fonction objectif quand celle-ci

aurait tendance à amener la solution hors l’espace de recherche. Si les contraintes sont satisfaites

en un point xk, le produit λTk c (xk) est nul et le Lagrangien suit la fonction objectif. De cette

façon, un multiplicateur de Lagrange est vu comme paramètre de sensibilité de la fonction objectif

par rapport à la contrainte associée. Quand il est nul, cela signifie que les contraintes ne posent

pas de problèmes. Lorsqu’il a une valeur non nulle, cette valeur indique la force avec laquelle la

fonction objectif “pousse” la solution contre la contrainte associée.

Comme la discussion précédente l’a suggérée, la manipulation du Lagrangien impose nécessai-

rement une série de conditions à être satisfaite. Ces conditions sont souvent dites conditions de

39


Karush-Kuhn-Tucker 1 (conditions de KKT), ou conditions de première ordre, présentées dans

les Equations (2.19). Il s’agit de l’ensemble d’équations de base pour les problèmes d’optimisa-

tion avec contraintes. A partir de cet ensemble, plusieurs stratégies peuvent être utilisées pour

résoudre le problème général (2.8).

∇xL (x∗, λ∗) = 0, (2.19a)

ci (x∗) = 0, i = 1, . . . , meq (2.19b)

ci (x∗) ≤ 0, i = meq + 1, . . . , m (2.19c)

λ∗i ≥ 0, i = meq + 1, . . . , m (2.19d)

λT c (x∗) = 0. (2.19e)

L’idée centrale des différentes stratégies est de créer un problème plus simple en s’appuyant sur

les conditions de première ordre. Parmi les différentes options, il y a trois branches principales :

1. Les méthodes de Pénalité/Mérite ou de Lagrangien augmenté. Dans ce groupe de méthodes,

on redéfinit la fonction objectif en la pénalisant avec les contraintes, de façon à décourager

leur violation. Comme résultat, nous avons un problème sans contraintes, ce qui le rend

plus pratique, mais avec une fonction objectif moins lisse à résoudre. Cette pénalisation

peut se faire de différentes façons, à titre illustratif nous avons dans l’Equation (2.20) la

fonction de pénalité ℓ1 :

ℓ1 (x, µ) = f (x) + µ

meq∑

i=1

|ci (x) |+ µ

m∑

i=meq+1

[ci (x)]+ (2.20)

où µ est le paramètre de pénalité et l’opérateur [z]+ = max 0, z . Le choix du paramètre

de pénalité est crucial pour le bon fonctionnement de l’algorithme. S’il est trop élevé, la

fonction ℓ1 devient très sensible près des limites du domaine, en posant des difficultés

pour l’optimiseur. En revanche, s’il est trop petit, les contraintes ne seront pas satisfaites.

Généralement le paramètre de pénalité est obtenu de manière itérative, en utilisant comme

estimation initiale, par exemple, le multiplicateur de Lagrange maximal. On lui donne plus

de poids si les contraintes ne sont pas satisfaites.

2. La Programmation Quadratique Séquentielle (SQP, selon l’abréviation anglaise). Elle consiste

en trois étapes : d’abord, on a l’estimation de l’Hessienne par une méthode de Quasi-Newton

en se servant du Lagrangien, suivi par l’estimation de la direction du pas par la solution

du sous-problème de programmation quadratique (QP) suivant

minp

1/2pT∇2xxL (xk, λk)p+∇f (xk)

Tp

, soumis à (2.21a)

∇ci (xk)Tp+ ci (xk) = 0, i = 1, . . . , meq (2.21b)

∇ci (xk)Tp+ ci (xk) ≤ 0, i = meq + 1, . . . , m (2.21c)

où la fonction objectif originale est modélisée par une fonction d’ordre deux et les contraintes

1. Karush [Karush (1939)] parfois n’est pas cité puisque il ne les a publié que dans son mémoire de master(1939), autant que Kuhn et Tucker [Kuhn et Tucker (1951)] les ont publié en 1951

40


par un modèle d’ordre un et finit par l’estimation de la taille du pas par la Recherche Li-

néaire. Ces trois étapes se répètent à chaque itération, de façon à ce que la solution optimale

soit obtenue par la résolution d’une séquence de solutions de sous-problèmes de program-

mation quadratique. Dans cette étude, la stratégie de la SQP est vue comme une méthode

du type Active-Set dont on néglige intentionnellement les contraintes qui ne sont pas ac-

tives. En manipulant uniquement le working-set W (xk) (une estimation de l’active-set),

la solution du sous-problème devient plus simple puisque les contraintes d’inégalité de-

viennent des contraintes d’égalité. Si l’estimation du working-set est fausse, par exemple,

si une contrainte active n’est pas prise en compte, les conditions de première ordre permet-

tront de détecter ce problème puisqu’elles ne seront pas satisfaites. Un nouveau W (xk) est

alors déduit pour respecter les éventuelles contraintes manquantes.

3. Les méthodes de Point Intérieur. Dans ce groupe, les contraintes sont toujours satisfaites

au cours des itérations, donc, la séquence de points obtenue reste toujours à l’intérieur de

l’espace de recherche. Le problème général est reformulé de la manière suivante :

minx, s

f (x)− µ

m∑

i=meq+1

ln (si)

, soumis à (2.22a)

ci (xk) = 0, i = 1, . . . , meq (2.22b)

ci (xk) + si = 0, i = meq + 1, . . . , m (2.22c)

si ≥ 0 (2.22d)

avec si une variable dite variable d’écart. Elle est dans l’Equation 2.22c pour transformer les

contraintes d’inégalité inactives en contraintes d’égalité. Les variables d’écart deviennent

une mesure relative de la distance entre un point à l’itération k et les limites de l’espace de

recherche. Les points obtenus au cours des itérations sont toujours à l’intérieur de l’espace

de recherche et ainsi, les variables d’écart sont toujours strictement positives. De plus,

pour éviter la violation des contraintes, cette mesure relative est utilisée avec une fonction

logarithmique pour pénaliser la fonction objectif. Le nouveau problème 2.22 peut devenir

instable et généralement considère deux possibilités de solution. D’abord, on applique une

méthode de Quasi-Newton suivie par la Recherche Linéaire. Le pas x, la variation des

variables d’écart ∆s et les multiplicateurs de Lagrange sont obtenus par la résolution des

équations de KKT avec la linéarisation des contraintes, de façon que :

H 0 JTeq JT

in

0 SΛ 0 −S

JTeq 0 I 0

JTin −S 0 I

x

s

−λeq

−λin

=

gk − JTeqλeq − J

Tinλin

Sλin − µe

ceq

cin + s

(2.23)

avec H, l’Hessienne du Lagrangien, S et Λ respectivement les matrices diagonales corres-

pondantes à s et à λ, cin et ceq respectivement les contraintes d’inégalité et égalité et e

un vecteur formé par des valeurs unitaires de la même taille de cin. Des difficultés pour

41


l’estimation du pas peuvent avoir lieu si le modèle créé par le méthode de Quasi-Newton

n’est pas valide dans les environs de xk. Dans ce cas, on considère une deuxième possibilité,

on définit une Région de Confiance et on se sert de la méthode des Gradients Conjugués

pour déterminer la direction du pas.

Critères d’arrêt

On arrête volontairement l’algorithme pour deux raisons, soit l’état optimal est identifié, soit

le coût de la solution optimale globale devient important. L’arrêt est fait selon un critère qui,

généralement, prend en compte une tolérance relative ou une valeur limite. Parmi ces critères,

nous avons :

– Pour identifier la solution, les tolérances relatives sont associées à(aux) :

– La norme de la distance entre le point actuel et le suivant ;

– La variation de la fonction objectif entre deux itérations ;

– Conditions de premier ordre (un point stationnaire).

– Pour forcer l’arrêt, on définit une valeur limite du :

– Nombre d’itérations ;

– Nombre d’évaluations de la fonction objectif ;

– Temps de calcul.

Si les tolérances sont très faibles, c. à d., elles ont une grande valeur, l’algorithme s’arrête préma-

turement. Si les tolérances sont très sévères (une marge stricte), on risque de faire des itérations

qui ne sont pas nécessaires. La seule façon de découvrir si les tolérances utilisées sont suffisantes

est l’observation de la variation des points et de la fonction objectif au cours des itérations. En

plus des tolérances, nous avons d’autres paramètres à initialiser qui déterminent la réussite de la

résolution.

Initialisation et algorithmes

Les méthodes de gradients se servent efficacement des informations des itérations précédentes.

Cependant, ces informations ne sont pas disponibles dès la première itération et il n’y a pas

moyen de les déduire. La méthode la plus simple qui ne dépend pas des itérations précédentes

est la méthode de La Plus Grande Pente. Elle est généralement utilisée pour la réalisation de la

première itération des autres méthodes.

Un état initial du processus itératif des méthodes de gradient est caractérisé par un point de

départ x0. Tout ce que nous avons discuté jusqu’à présent par rapport aux méthodes de gradient

dépend du point initial, il a une importance capitale pour la réussite des résultats. La Figure 2.17

est un exemple classique de l’influence du point de départ. Nous avons la représentation d’une

fonction f (x) pour un domaine mono-dimensionnel compris entre xa ≤ x ≤ xb. Cette fonction

possède dans cet intervalle deux points de minimum, x∗l et x∗g, dont f (x∗l ) > f(x∗g

). Si on

part du principe que cette fonction n’est définie que dans l’intervalle [xa, xb], et de plus que

le problème d’optimisation est borné sur cet intervalle, x∗g est dit point de minimum global du

problème et x∗l , un point de minimum local. Pour n’importe quel point de départ qui appartienne

à Ω1 = xa ≤ x < xc, le gradient amènera la solution vers le point x∗l . De manière analogue, si

on définit un point de départ dans Ω2 = xc < x ≤ xb, le gradient guidera la solution vers le

42


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Figure 2.17.: Influence du point de départ

point x∗g. Cette caractéristique confie aux régions Ω1 et Ω2 le nom de bassins d’attraction. Le

résultat a donc une forte dépendance par rapport au point de départ et pour cela les méthodes

de gradient sont appelées des méthodes d’optimisation locales.

Dans le présent travail nous avons utilisé deux algorithmes basés sur les méthodes de gradient,

l’Active-Set et le Point Intérieur, qui sont décrits respectivement par les Algorithmes 2.1 et 2.2.

Pour illustrer les méthodes de gradients, nous présentons un exemple simple retiré de [Nocedal

et Wright (2006)].

Exemple 2.1. Dans cet exemple, on montre la gestion des contraintes faite par l’algorithme 2.1.

Le problème est défini par :

minxq (x) = (x1 − 1)2 + (x2 − 2, 5)2 soumis à

−x1 + 2x2 − 2 ≤ 0 (c1)

x1 + 2x2 − 6 ≤ 0 (c2)

x1 − 2x2 − 2 ≤ 0 (c3)

−x1 ≤ 0 (c4)

−x2 ≤ 0 (c5)

La fonction objectif q (x) et les constraintes sont illustrés dans la Figure 2.18.

Les contraintes sont repérées par leurs indices, par exemple, i = 1 fait référence à la première

43


Algorithme 2.1 Active-Set

1. Paramétrage de l’algorithme

a) Tolérances pour la variation de la fonction objectif, la distance entre deux pointsconsécutifs

b) Limites : le nombre maximal d’itérations, le nombre maximal d’évaluations de lafonction objectif

2. Etat initial

a) Choix du point initial : x0

b) Estimation du Active-Set : W0 = Ø

c) Estimation de l’Hessienne : B0 = I

3. Itérations : pour les itérations k = 0, 1, ..., kmax

a) Calcul de fk, gk, Bk

i. Vérification de la variation de la valeur de la fonction objectif (fk − fk−1). Si lavariation est inférieure à sa tolérance, condition d’arrêt = 4(b)iii, passer à l’étape 4

b) Calcul de la direction du pas pk par la solution du sous problème QP (2.21)

c) Si la taille du pas est nul

i. Calcul des multiplicateurs de Lagrange

A. Si λi ≥ 0, condition d’arrêt = 4(b)i, passer à l’étape 4

B. Sinon, λi < 0, donc inclure la contrainte i concernée au Wk et recommencerl’itération

d) Sinon, calcul de la taille approprié du pas (χ) par la Recherche Linéaire

e) Mis à jour du point : xk+1 = xk + χpk

f) Mis à jour du working-set : j = i : ci (xk+1) > 0, Wk+1 =Wk + j

g) Vérification de la distance entre xk+1 et xk (||χp||), si inférieure à sa tolérance, condi-tion d’arrêt = 4(b)ii, passer à l’étape 4

h) Vérification nombre d’évaluations de la fonction objectif. Si nombre limite est dépassé,condition d’arrêt = 4(b)v, passer à l’étape 4

i) Passage à l’itération suivante : si k = kmax, condition d’arrêt = 4(b)iv et passer àl’étape 4, sinon, continuer les itérations (3a).

4. Etat final

a) x∗ = xk, f∗ = fk, g

∗ = gk, H∗ = Hk, λ

∗ = λk

b) Stop, raison = condition d’arrêt

i. Conditions de première ordre satisfaites.

ii. Déplacement inférieur à la tolérance

iii. Variation de la fonction objectif inférieure à la tolérance

iv. Nombre limite d’itérations atteint

v. Nombre limite d’évaluations de la fonction objectif atteint

44


Algorithme 2.2 Point Intérieur

1. Paramétrage de l’algorithme

a) Tolérances pour la variation de la fonction objectif, la distance entre deux pointsconsécutifs, la taille minimale de la région de confiance

b) Limites : le nombre maximal d’itérations, le nombre maximal d’évaluations de lafonction objectif

2. Etat initial

a) Choix du point initial : x0, avec s0 > 0, puis calcul des λ0

b) Estimation de l’Hessienne : B0 = I

c) Paramètre de pénalité initial : µ0 > 0

3. Itérations : pour les itérations k = 0, 1, ..., kmax

a) Calcul de fk, gk, Jeq, Jin, Hk

i. Si (fk − fk−1), critère d’arrêt = 4(b)iii, passer à l’étape 4

b) Essayer d’obtenir le pas pk par Quasi-Newton (Equation 2.23). Si les conditions depremière ordre ne sont pas satisfaites, passer à la solution par les Gradients Conjugués.Si région de confiance inférieure à sa tolérance, condition d’arrêt = 4(b)i, passer àl’étape 4

c) Passer au point suivant xk+1 = xk + χpk

d) Vérification de convergence. Si distance entre points consécutifs est inférieure à satolérance, critère d’arrêt = 4(b)ii, passer à l’étape 4

e) Vérification du nombre d’évaluations de la fonction objectif. Si limite a été atteinte,condition d’arrêt = 4(b)v, passer à l’étape 4

f) Vérification du nombre maximal d’itérations, s’il est atteint, condition d’arrêt= 4(b)iv, passer à l’étape 4

4. Etat final

a) x∗ = xk, f∗ = fk, g

∗ = gk, H∗ = Hk, λ

∗ = λk

b) Stop, raison = condition d’arrêt

i. Rayon de la région de confiance est inférieure à sa tolérance

ii. Déplacement inférieur à la tolérance

iii. Variation de la fonction objectif inférieure à la tolérance

iv. Nombre limite d’itérations atteint

v. Nombre limite d’évaluations de la fonction objectif atteint

45


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Figure 2.18.: Fonction objectif et contraintes de l’exemple 2.1

contrainte. Considérons l’état initial suivant :

x0 =

[

2 0

]T

W0 = 3, 5

La solution du sous-problème QP nous donne un pas nul puisque x0 est dans le sommet des

contraintes du working-set. On calcule les multiplicateurs de Lagrange à partir de (2.19a), tel

que :

−1

2

λ3 +

0

1

λ5 =

2

−5

dont la solution est (λ3, λ5) = (−2, −1).

On enlève la contrainte 3 du worling-set puisqu’elle a le multiplicateur le plus négatif. Pour

le nouveau working-set W1 = 5, la solution du sous-problème QP est p1 = [−1 0]T . On

peut utiliser la taille maximale du pas avec χ1 = 1 et donc x2 = [1 0]T . Nous n’avons pas de

contraintes en empêchant l’évolution de la solution, et ainsi, on maintient le même working-set

W2 =W1 = 5. La solution du sous-problème QP nous donne un pas nul pour W2. En vérifiant

le multiplicateur de Lagrange, λ5 = −5, donc, on enlève la cinquième contrainte du working-set,

tel que W3 = Ø. La troisième itération débute par la solution du sous-problème sans contraintes

46


et le pas obtenu est p = [0 2, 5]T . Le pas le plus grand réalisable sans dépasser les contraintes

est avec χ3 = 0, 6 et donc x4 = [1 1, 5]T . Il n’y a qu’une seule contrainte qui bloque l’évolution

de la solution, c’est la première, ainsi, nous avons que W4 = 1. La solution du sous-problème

QP nous donne le pas p4 = [0, 4 0, 2]T avec χ4 = 1. Le nouveau point est le x5 = [1, 4 1, 7]T

et le working-set continue W5 = 1. La solution du sous-problème donne un pas nul et le

multiplicateur de Lagrange obtenu est de λ5 = 0, 8, donc, x∗ = x5.

Afin d’éviter un minimum local, il est suggéré d’essayer différents points initiaux. Des infor-

mations supplémentaires par rapport au comportement du système physique et la découverte

de la présence de bassins d’attraction à partir de tests préliminaires peuvent orienter le choix

d’un nombre raisonnable de points de départ pour explorer au mieux l’espace de recherche. Si le

problème a beaucoup de variables et peu d’informations qui peuvent orienter la choix des points

de départ, l’utilisation des méthodes de gradient n’est pas judicieuse pour la recherche d’un point

optimal global, puisque, malgré la grande exploitation des données, elles ont une faible explora-

tion du domaine. Dans ce cas, l’emploi d’outils destinés à l’exploration du domaine de recherche

se fait nécessaire, comme par exemple, les algorithmes génétiques.

2.3.2. Méthodes Evolutionnaires

2.3.2.1. Les algorithmes génétiques

Généralités

Les algorithmes génétiques (AG), nom trouvé par Bagley [Bagley (1967)] pour ce type d’al-

gorithme évolutifs, ont été développés principalement dans les années 1970 grâce aux travaux

de Holland [Holland (1975)] et De Jong [Jong (1975)]. Ils sont en partie basés sur la théorie de

l’évolution de Darwin [Darwin (1859)] et font appel à des notions de biologie. Holland [Holland

(1975)] poursuivait alors un double objectif : améliorer la compréhension des processus natu-

rels d’adaptation, et concevoir des systèmes artificiels possédant des propriétés similaires aux

systèmes naturels.

L’idée fondamentale des AG est alors la suivante : l’ensemble des génomes (groupement de

gènes dont résultent les caractéristiques d’un individu) d’une population donnée contient po-

tentiellement les gènes qui, lorsqu’ils sont regroupés, feront qu’un individu deviendra meilleur

que les autres pour un critère donné. Ce regroupement de gènes optimal, appelé solution, n’est

pas obligatoirement présent chez un individu de la population car la combinaison génétique sur

laquelle la solution repose est probablement dispersée chez plusieurs individus. Ce n’est que par

la recombinaison génétique de la population que la solution pourra s’exprimer. La reproduction

fait des AG une méthode itérative avec des populations évolutives.

La reproduction aboutit à une nouvelle population qui peut présenter des meilleures caracté-

ristiques pour le critère recherché. Le passage d’une population à la population suivante s’effectue

donc en trois principales étapes : la sélection, la mutation et le croisement. Par ce procédé, la

population sélectionnée évolue et est à chaque fois évaluée pour le critère imposé. La recherche

est stoppée, par exemple, quand le meilleur individu de la population n’évolue plus au cours des

générations.

Gosselin [Gosselin et al. (2009)] a récemment publié une recherche bibliographique sur l’uti-

47


lisation des AG. Il ressort de sa synthèse les avantages et les inconvénients majeurs des AG.

Tout d’abord, de par leur approche statistique et non analytique ou numérique (à la différence

des méthodes de gradients), les AG sont connus pour être des algorithmes robustes. En effet,

ils peuvent être utilisés pour des recherches d’optimum sur des domaines discontinus et/ou des

fonctions non dérivables. Ils sont également peu sensibles au choix de la population de départ

et beaucoup moins susceptibles de fournir un optimum local. Cependant, la répétabilité d’une

recherche d’optimum n’est pas assurée. En effet, avec des conditions de départ identiques, on

peut converger vers une population finale différente, compte tenu de la nature statistique de la

recherche. Les temps de calcul sont également plus longs qu’avec des méthodes classiques, cela

étant dû au fait que l’on évalue la qualité de chaque individu de la population sélecionnée qui

peut comporter beaucoup d’éléments. Chaque étape du processus est décrite dans les paragraphes

suivants avec un exemple illustratif extrait de [Goldberg (1989)], p. 15-18.

Population initiale

La population initiale P0 est constituée d’individus choisis aléatoirement parmi les individus

autorisés, c. à d. ceux respectant les éventuelles contraintes du problème. Le choix du nombre Npop

d’individus à placer dans cette population est très important puisque si Npop est trop faible, cela

augmenterait la probabilité de trouver un optimum local. Au contraire, un nombre d’individus

Npop trop grand entraînerait des temps de calcul relativement élevés. Il existe ainsi un compromis

à trouver.

Exemple ([Goldberg (1989)]) : une population initiale, qui appartient à N, de 4 individus (x1,

x2, x3, x4) choisie de manière arbitraire.

Table 2.5.: Population initiale

P0 Valeur de x

x1 13

x2 24

x3 8

x4 19

Evaluation et classement

La phase de reproduction des AG est basée sur la théorie de Darwin [Darwin (1859)] dans la

mesure où les individus les plus adaptés tendent à survivre plus longtemps et à se reproduire

plus aisément que les autres. Chaque individu de la population est alors évalué en fonction de sa

compétence à satisfaire au critère demandé. On attribue ensuite un pourcentage (dit pourcentage

d’adaptation) à chaque individu, relatant cette compétence. Les individus sont ensuite triés par

rapport à leur compétence respective, de manière à former le classement Sk.

Exemple ([Goldberg (1989)]) : considérons la fonction f(x) = x2 à maximiser avec la population

initiale de la Table 2.5. Les évaluations de la fonction f(x), ainsi que le pourcentage d’adaptation

sont présentés dans la Table 2.6. Ces informations ont permit le classement selon l’aptitude de

chaque individu.

48


Table 2.6.: Evaluation et classement

Valeur de x f(x) fi/∑f Sk

x1 (13)10 169 0,14 3

x2 (24)10 576 0,49 1

x3 (8)10 64 0,06 4

x4 (19)10 361 0,31 2

Somme 1170 1

Moyenne 293

Maximale 576

Sélection

La phase de sélection est censée reproduire l’adaptation de la population à son environnement

comme dans la théorie Darwinienne. Cette phase de sélection qui pour Darwin [Darwin (1859)]

se fait naturellement est ici gérée artificiellement selon une des méthodes ci-après :

– Sélection par rang : cette technique de sélection choisit toujours les individus possédant les

meilleurs compétences, le hasard n’entre donc pas en compte dans ce mode de sélection. En

fait, si Npop individus constituent la population, la sélection appliquée consiste à conserver

les M (Npop) meilleurs individus suivant une probabilité qui dépend du rang.

– Probabilité de sélection proportionnelle à l’adaptation (appelé aussi roulette ou roue de la

fortune) : pour chaque individu, la probabilité d’être sélectionné est proportionnelle à son

pourcentage d’adaptation au problème. Afin de sélectionner un individu, on utilise le principe

de la roue de la fortune biaisée. Cette roue est une roue de la fortune classique sur laquelle

chaque individu est représenté par une portion donnée par le pourcentage d’adaptation. On

effectue ensuite un tirage au sort homogène sur cette roue.

– Sélection par tournoi : cette technique utilise la sélection proportionnelle sur des paires d’in-

dividus, puis choisit parmi ces paires l’individu qui a le meilleur pourcentage d’adaptation.

– Sélection uniforme : la sélection se fait aléatoirement, uniformément et sans intervention du

pourcentage d’adaptation. Chaque individu a donc une probabilité 1/Npop d’être sélectionné,

où Npop est le nombre total d’individus dans la population.

Exemple : Afin d’illustrer la méthode de la roulette, on sélectionne trois individus de la population

initiale de la Table 2.5 en faisant tourner la roulette 3 fois (Figure 2.19). Considérons les résultats

suivants : au premier tour, l’individu x2 a été choisi. Au deuxième, l’individu x1 a été sélectionné

par hasard au lieu du candidat le mieux côté qui était l’individu x4. Au troisième et dernier

tour, l’individu x4 a été le choisi. Par coïncidence, les trois individus sélectionnés (x1, x2 et x4)

correspondraient aux mêmes individus si la sélection par rangs a été utilisée. Cependant, comme

on a pu constater au deuxième tour, il existe une composante aléatoire dans le choix par la

méthode de roulette qui peut sélectionner un individu moins adapté.

49


!"#$# !"#$#

Figure 2.19.: Sélection par la méthode de la roulette

Codage

Les algorithmes génétiques opérent sur les “gènes” des individus présents dans une population

Pk. Afin de manipuler les gènes d’un individu, il est nécessaire de décrypter son matériau gé-

nétique dans un codage. Le codage binaire (0 pour absence de caractère et 1 pour expression

du caractère, comme en biologie) est le codage le plus couramment utilisé dans les Algorithmes

Génétiques. On convertit les individus de la population, par exemple des nombres, en leur ex-

pression en langage binaire. De cette manière, les étapes suivantes sont plus aisées, notamment

les étapes de croisement et de mutation.

Exemple : le codage de la population de la Table 2.5 est présenté dans la Table 2.7.

Table 2.7.: Codage

Valeur de x Représentation en binaire

x1 (13)10 (0 1 1 0 1)2

x2 (24)10 (1 1 0 0 0)2

x3 (8)10 (0 1 0 0 0)2

x4 (19)10 (1 0 0 1 1)2

Croisement

Les individus sélectionnés dans l’étape précédente sont regroupés en couples de manière aléa-

toire pour le croisement. Le croissement consiste en trois étapes :

1. Formation des paires

D’après le taux de croisement, les individus sélecionnés pour la reproduction sont regroupés

deux à deux (couples).

50


Exemple : la population de la Table 2.7 est regroupé de manière aléatoire :

Table 2.8.: Formation des paires

Paire x Représentation en binaire

Ix1 (0 1 1 0 1)2

x4 (1 0 0 1 1)2

IIx3 (0 1 0 0 0)2

x2 (1 1 0 0 0)2

2. Choix du site de croisement

Ensuite, on choisit également de manière arbitraire l’endroit de la représentation binaire qui

divisera le code génétique en deux parties. Si la représentation binaire a n chiffres, on a n − 1

sites possibles de coupure.

Exemple : Prenons l’individu x1 = (0 1 1 0 1)2. On a 5 chiffres dans ce binaire et 4 positions

possibles pour le diviser en deux. Considérons que le site choisi soit le premier. Pour la paire I

de la Table 2.8, on a :

Table 2.9.: Site de croissement

Paire Représentation en binaire

I(0 | 1 1 0 1)2

(1 | 0 0 1 1)2

3. Echange de matériau génétique

Une fois défini le site de croissement, on échange le matériau génétique de la deuxième moitié

des paires formés.

Exemple : A partir de la Table 2.9, on échange les informations de la deuxième moitié du code

binaire (en bleu). Le résultat est présenté dans la Table .2.10

Table 2.10.: Echange matériau génétique

Paire Représentation en binaire

I(0 | 0 0 1 1)2

(1 | 1 1 0 1)2

Mutation

De manière à ne pas se focaliser trop sur les meilleurs individus en oubliant d’en tester d’autres

caractéristiques qui n’étaient pas forcément présentes dans la population de départ, un faible

nombre de gènes peut être modifié de manière aléatoire au sein d’un génome. Cela résulte en des

individus avec des caractéristiques différentes des individus d’origine pour former la génération

51


Algorithme 2.3 AG

1. Etat initial

a) Popupation initiale

b) Paramètres

i. Taux de mutation

ii. Taux de croisement

iii. Nombre d’individus d’élite

iv. Nombre de générations maximum

2. Itérations (générations)

a) Evaluation des individus - fonction objectif

b) Tester critères d’arrêt

c) Sélection (roulette, rang, tournoi, uniforme)

d) Reproduction (croisée)

e) Mutation

f) Nouvelle population

3. Population (état) finale

suivante. Des valeurs inférieures à 10% sont généralement utilisées dans les publications étudiées

ici.

Elitisme

Au passage d’une génération à l’autre, l’utilisation des opérateurs croisement et mutation peut

corrompre les informations gardées dans les meilleurs individus. Afin d’éviter cet inconvénient,

nous pouvons perpétuer les meilleurs individus au cours des générations par le mechanisme dit

élitisme, introduit par De Jong [Jong (1975)]. Vu que les meilleurs individus peuvent changer

d’une population à l’autre, les individus d’élite doivent être mis à jour à chaque génération.

Population finale

La population finale P ∗ est l’état final du processus itératif d’optimisation par l’algorithme

génétique. On peut arrêter les générations, ou itérations, selon plusieurs critères, comme par

exemple, en observant la variation moyenne de la fonction fitness, en surveillant le temps de

calcul, en imposant un nombre limite d’évaluations de la fonction fitness ou de générations.

Couplage à un algorithme de recherche locale

Lorsque les algorithmes génétiques ont convergé, ils fournissent une solution sous la forme

d’une population optimisée qui donne un bon aperçu de la zone où se situe l’optimum global du

problème. Cependant, l’algorithme ne fournit pas forcément le point optimum parmi la popu-

lation finale. Il peut alors être intéressant de faire une recherche classique par gradient dans la

zone ainsi définie pour raffiner le résultat.

52


2.3.2.2. L’optimisation par essaims particulaires (Particle swarm optimization)

L’optimisation par essaim particulaires est une méta heuristique assez récente, introduite en

1995 par Eberhart et J. Kennedy sous le nom de Particle Swarm Optimization (PSO) ([Kennedy

et Eberhart (1995)]). Elle fait partie du groupe des méthodes d’optimisation stochastiques basées

sur des stratégies (quasi) globales afin d’éviter les optimum locaux. Dans cette méthode, on part

d’une population initiale de particules qui se déplacera dans l’espace du problème en cherchant

le point optimal. A chaque itération, les particules ont une nouvelle position. Donc, il n’y a

pas création de nouvelles particules au cours des itérations. Le groupe de particules travaillent

ensemble dans un sens de coopération. La recherche du point optimal est ainsi un travail d’équipe,

contrairement aux Algorithmes Génétiques, dont l’esprit est la compétition. Une présentation

assez informelle et succinte de la méthode est présentée par la suite.

2.3.2.3. Fonctionnement de la méthode

Etat initial

L’état initial d’un essaim de particules est défini par une population de particules, leur posi-

tionement dans l’espace de recherche et leur vitesse initiale. Le nombre de particules qui iront

balayer l’espace du problème est un choix de l’utilisateur. Leur position initiale peut être imposée

ou définie arbitrairement. Ensuite, afin de déplacer ces particules dans l’espace du problème au

cours des itérations, chacune doit avoir une vitesse. Pour l’état initial, on a la vitesse initiale qui

peut être nulle ou arbitrairement choisie.

Itérations

Une itération (k) de l’optimisation par essaims particulaires consiste à recalculer la vitesse

vd(i, k) de chaque particule i et à la déplacer selon sa nouvelle valeur de vitesse vd(i, k + 1).

La nouvelle position xd(i, k + 1) est ensuite évaluée par l’intermédiaire de la fonction objectif.

Si le résultat de cette évaluation est positif, vis-à-vis du critère sur la fonction objectif, la po-

sition correspondante pourra influencer la solution dans les itérations suivantes. Les itérations

poursuivront jusqu’à satisfaire, au moins, un critère d’arrêt de l’algorithme. Le point critique de

la méthode est donc la manière par laquelle on déduit la vitesse de chaque particule. Ce calcul

prend en compte trois informations :

– Sa vitesse actuelle (vd(i , k)) ;

– La réussite des particules voisines ;

– Son historique.

Chaque information a son importance. En donnant plus de poids à la vitesse actuelle (vd(i, k)), on

augmente l’inertie de la particule i et elle aura tendance à ignorer pas seulement ce qui se passe au-

tour d’elle, mais aussi, à oublier son propre historique. Cette particule est dite <‌<aventureuse>‌>.

A l’opposé, la particule est dite <‌<conservatrice>‌> si elle priorise son expérience, c.-à-d., l’infor-

mation acquise au cours des itérations précedentes. Elle sera influencée par sa meilleure position

pd(i) depuis l’itération zero. Enfin, la <‌<suiviste>‌> est celle qui considère plutôt le succès

actuel des particules dans son voisinage et suivra la position de la meilleure voisine gd de la

dernière itération. L’illustration de la Figure 2.20 synthétise les trois composantes de la vitesse

53


Figure 2.20.: Déplacement d’une particule dans l’espace de recherche

des particules.

La stratégie de l’optimisation par essaims particulaires est d’utiliser ces trois informations

en changeant aléatoirement leur poids relatif au cours des itérations. On attribue à l’informa-

tion inertielle un poids d’une valeur constante (coefficient de confiance). A chaque itération, des

chiffres aléatoires sont générés pour pondérer les deux autres informations par rapport à la pre-

mière. Ces nombres arbitraires sont bornés entre 0 (zero) et cmax, valeur définie par l’utilisateur.

Ainsi, le déplacement est calculé par :

vd(i, k + 1) = cl ∗ vd (i, k)︸︷︷︸

déplacement actuel

+ rand (cmax) ∗ (pd (i)− xd (i, t))︸︷︷︸

déplacement vers sa meilleure position

+

+ rand (cmax) ∗ (gd − xd (i, k))︸︷︷︸

déplacement vers la meilleure voisine

(2.24)

xd (i, k + 1) = xd (i, k) + vd (i, k + 1) (2.25)

Paramétrage

Il y a quatre paramètres à régler pour le bon fonctionnement de l’algorithme : la quantité de

particules, la taille du voisinage d’influence de chaque particule et les paramètres cl et cmax. Le

premier concerne la dimension du problème d’optimisation ; plus de variables, plus de particules

sont nécessaires pour mieux explorer le domaine de recherche. Le deuxième limite la région

d’influence des particules les mieux évaluées par le critère de la fonction objectif. Les deux derniers

ajustent le poids des différentes informations utilisées dans le calcul de la vitesse. Il n’existe pas

de règles à suivre pour nous aider à choisir ces paramètres parce que chaque problème posera une

difficulté différente. C’est par des tests qu’on arrive à trouve la bonne combinaison de paramètres.

Critères d’arrêt

Les critères d’arrêts sont multiples et variés :

– Un nombre maximum d’itérations.

– Un nombre important d’itérations sans amélioration (sans que la valeur de la fonction ob-

jective soit améliorée).

54


Algorithme 2.4 PSO

1. Initialiser aléatoirement la population (n solutions)

2. Définition des régions d’influence

3. Pour chaque particule i = 1. . . n

a) Evaluer la fonction objectif de la particule,

b) Si la valeur trouvée est meilleure que pd(i), mettre à jour pd(i),

4. Mettre à jour gd

5. Mise à jour des vitesses et des positions

a) Pour chaque particule i = 1. . . n, pour chaque dimension d = 1. . . n

b) Calcul de la vitesse vd(i, k + 1) = cl ∗ vd (i, k) + rand (cmax) ∗ (pd (i)− xd (i, t)) +rand (cmax) ∗ (gd − xd (i, k))

c) Calcul du déplacement xd (i, k + 1) = xd (i, k) + vd (i, k + 1)

6. Répéter étapes 2, 3, 4 et 5 jusqu’à atteindre un critère d’arrêt

– Temps de calcul fixe.

2.3.2.4. Le processus du PSO

Pour un problème donné, soit un espace de recherche de dimension n (n c’est le nombre

d’inconnues du problème).

On note les variables suivantes :

– x(i) : un vecteur à n dimensions représentant une solution i,

– xd(i, k) : la position courante d’une particule i dans cet espace à l’instant k,

– vd(i, k) : Sa vitesse courante à l’instant k,

– pd(i) : La meilleure position trouvée jusqu’ici pour cette particule,

– gd : La meilleure position trouvée par les voisines de la particule.

Les détails de la méthode sont donnés dans le pseudo-code suivant.

avec :

– rand(x) : une fonction qui renvoie une valeur aléatoire tirée uniformément dans l’intervalle

[0, x],

– cl et cmax sont des paramètres appelés des facteurs d’apprentissage (poids). En pratique cl

doit être proche de 1 et le cmax peut être calculé par la formule ([Clerc et Kennedy (2002);

Trelea (2003)]) : cmax = 2/0, 97725 ∗ cl

2.3.3. Applications des outils d’optimisation dans le domaine de la thermique

L’optimisation est de plus en plus utilisée dans le domaine de la thermique, les statistiques de

l’évolution du nombre d’articles sur l’optimisation thermique sont trouvées dans [Gosselin et al.

(2009); Baños et al. (2011)]. Cet outil n’est pas seulement utilisé pour trouver une manière plus

raisonnable d’utiliser les resources énergétiques, mais aussi, pour résoudre les équations liées au

thème. En raison de questions économiques et environnementales, le management de l’énergie

concerne des domaines très différents. Quelques exemples sont le domaine de l’énergie renouvable

55


[Baños et al. (2011)], les matériaux poreux [Du et al. (2009); Leblond et Gosselin (2008)], les

échangeurs de chaleur [Hilbert et al. (2006); Foli et al. (2006)], les réfrigérateurs [Geem (2011)],

l’industrie agro-alimentaire [Balsa-Canto et al. (2002)], les turbo-machines [Zervogiannis et al.

(2010)], la thermo-économie [Selbas et al. (2006)] et ainsi de suite. Dans le contexte de résolution

d’équations, les méthodes d’optimisation sont consacrées à la solution de problèmes inverses

[Dorai et Tortorelli (1997); Telejko et Malinowski (2004); Liu et al. (2005)]. Sans nulle doute,

l’optimisation a donné des nouvelles perspectives dans différents domaines et est devenu un outil

populaire parmi les thermiciens.

En ce qui concerne les transferts thermiques, les AG sont en grande majorité utilisés afin

de trouver un design optimal [Gosselin et al. (2009)]. Les résultats concernent alors les formes,

tailles, placement et arrangements des systèmes thermiques qui produisent ou dissipent de la

chaleur. Les modèles utilisés pour évaluer la pertinence des individus de la population peuvent

être de différents type, soit analytique pour des problèmes relativement simples ou alors faire

appel à des outils numériques de type CFD. Les champs d’application des AG sur les problèmes

thermiques sont très divers et sont présentés dans les paragraphes suivants.

Systèmes de production, de conversion ou de transfert d’énergie

Echangeurs de chaleur

Les problèmes d’optimisation traités par AG pour l’optimisation des échangeurs de chaleur ont

en général pour but la minimisation des coûts comme pour Selbas [Selbas et al. (2006)], Wildi-

Tremblay [Wildi-Tremblay et Gosselin (2007b)] et Allen [Allen et Gosselin (2008)]. Il s’agit donc

d’optimisation mono-objectif dans lesquels ils s’intéressent plus précisément à la minimisation

des volumes et des masses ainsi que des coûts de maintenance. Ces problèmes reposent sur

des évaluations analytiques des individus présents dans les populations ainsi que sur des lois

empiriques.

Dans la synthèse proposée par Gosselin [Gosselin et al. (2009)], on peut identifier que pour

ces problèmes, les variables d’optimisation sont à chaque fois des variables géométriques pour un

nombre compris entre 3 et 11. Les populations sont constituées de 20 à 100 individus. Les taux

de croisement varient entre 40 et 70% et les taux de mutation entre 4% et 5%.

A titre d’exemple, Selbas [Selbas et al. (2006)] étudie un échangeur à tubes en forme de U

(Figure 2.21) dans le but de minimiser le coût total (achat + utilisation + exploitation). Le

circuit secondaire est délimité par des plaques internes.

L’échangeur est modélisé analytiquement et grâce à des corrélations empiriques. L’optimisation

s’effectue sous la contrainte de ne pas pénaliser la perte de charge du circuit. Pour cela, l’auteur

a 6 variables parmi lesquelles : 14 choix de diamètre de tubes, 2 choix d’arrangement (triangle

ou carré), 5 choix de types de plaques, 14 choix de taille de plaques, 6 choix d’espacement

entre plaques. Cela fait environ 47000 configurations possibles, qui engendreraient un temps

d’investigation très long. C’est pourquoi une recherche par AG a été choisie par l’auteur. L’auteur

identifie au final 2 avantages indéniables à l’utilisation des AG : une rapidité de calcul appréciable

et un ensemble de solutions quasiment équivalentes, permettant à l’ingénieur d’effectuer le choix

final en fonction d’autres contraintes qui n’ont pas forcément été incluses au départ dans la

recherche d’optimum.

56


Figure 2.21.: Echangeur à tubes étudiés par [Selbas et al. (2006)]

57


Figure 2.22.: Schéma d’un système HVAC par [Lu et al. (2005a,b)]

Systèmes HVAC (Chauffage, ventilation et conditionnement d’air)

Dans cette partie, on s’intéresse au dimensionnement global du système et pas aux perfor-

mances de chaque sous-système composant le HVAC. Ainsi, l’objectif de l’optimisation est dans

la plupart des cas de minimiser la puissance ou l’énergie consommée (Lu [Lu et al. (2005a,b)],

Jin [Jin et al. (2005)], Chang [Chang (2005)]), améliorer le COP de l’installation (West [West

et Sherif (2001a,b)]), ou améliorer le confort (Wright [Wright et al. (2002)]). Ainsi, Lu [Lu et al.

(2005a,b)] (Figure [2.22]) a considéré un système alimentant plus de 60 pièces et comportant 15

boucles frigorifiques avec des variables très nombreuses parmi lesquels on trouve le nombre de

pièces climatisées, les débits dans chaque pièce, les températures et les débits des fluides aux

condenseurs, le nombre de ventilateurs sur l’installation et le nombre de pompes. L’utilisation

des AG couplés à un modèle analytique sur un fonctionnement d’une journée a permis de réaliser

800 kWh d’économie. Pour minimiser les risques (déjà faibles) de tomber sur un optimum local

au cours de ces calculs, l’auteur fait varier les taux de croisement et de mutation pour mainte-

nir la diversité de la population, en calculant un niveau de diversité ND, juste après la phase

d’évaluation de la population, tel que :

ND =Compétence du meilleur individu

Compétence moyenne de la population

A partir de ce niveau de diversité, il va calculer le taux de croisement Tc et le taux de mutation

Tm tel que :

Tc =1

1 + exp (1−ND)

Tm =exp (1−ND)

1 + exp (1−ND)

Cette technique lui évite de définir au préalable et de laisser fixes ces paramètres de la résolution

par AG.

Wright [Wright et al. (2002)] s’est quant à lui intéressé à une optimisation multi-objectif d’un

immeuble sur une simulation représentant trois jours, heure par heure. Les objectifs étaient de

minimiser la sensation d’inconfort ainsi que les coûts de fonctionnement. L’optimisation a porté

sur plus de 200 variables parmi lesquelles on trouve les débits d’air, les températures heure par

heure, les tailles des échangeurs, les diamètres de ventilateurs. Globalement, dans cette partie,

58


on s’intéresse à des problèmes qui comportent des nombres de variables pouvant être très élevés

(jusqu’à 200), comme synthétisés par Gosselin [Gosselin et al. (2009)]. La plupart des études

sont mono-objectif. Le nombre d’individus placés dans les populations peut atteindre 1000 pour

Znouda [Znouda et al. (2007)].

Production d’énergie

L’utilisation des AG pour la production d’énergie sert généralement à améliorer les rende-

ments énergétiques et/ou minimiser les coûts d’exploitation. Par exemple, Atashkari [Atashkari

et al. (2005)] effectue plusieurs optimisations à 2 objectifs sur un turboréacteur modélisé analy-

tiquement et dont les évolutions thermodynamiques sont considérées isentropiques. Les variables

d’optimisations sont le nombre de Mach, le taux de compression et la température à l’entrée de

la turbine tandis que l’on cherche à optimiser tous les couples possibles formés avec : le rende-

ment thermique, le rendement propulsif, la puissance spécifique ou la consommation spécifique.

L’auteur identifie au final les fronts de Pareto pour ce problème. Shi [Shi et al. (2007)] a quant

à lui utilisé les AG pour l’optimisation d’un système de production hybride (photovoltaique +

éolien). Les 3 objectifs étaient l’amélioration de l’autonomie, du rendement global et du coût du

système. Les simulations ont été effectuées à partir de modèles analytiques couplés à des données

externes, notamment les vents présents dans la région d’implantation du système. Dans cette

catégorie, la minimisation des coûts prend une place importante [Gosselin et al. (2009)].

Résolution de problème inverse en conduction de la chaleur

Les AG ne sont pas seulement utilisés pour l’optimisation des systèmes thermiques mais

peuvent être utilisés plus fondamentalement pour la résolution de l’équation de la chaleur. En

effet, lorsque l’on cherche à retrouver les conditions thermiques inconnues sur une frontière d’un

domaine à partir de la mesure de températures ou de flux sur les autres frontières, on est amené

à résoudre un problème inverse de conduction de la chaleur et à procéder à une optimisation.

Il s’agit alors de trouver la condition optimale qui va nous donner sur les autres frontières des

flux de températures proches des mesures effectuées (Osizik [Ozisik et Orlande (2000)]). On op-

timise alors la condition inconnue pour minimiser l’écart entre conditions calculées et mesurées.

Il s’agit donc là d’optimisation mono-objectif. Ces méthodes inverses sont connues pour être

relativement délicates à résoudre étant donné qu’elles constituent par principe des problèmes

mal posés et très sensibles à de faibles variations. Avec les AG, des temps de calcul longs leur

sont souvent associés. Liu [Liu et al. (2005)] s’est ainsi intéressé à l’estimation du coefficient

d’échange convectif sur toutes les faces d’un composant électronique à l’aide de l’équation de la

chaleur en 3D. Afin de réduire les temps de calcul, l’AG utilisé a été couplé à une méthode de

recherche locale afin de réduire le nombre d’individus dans la population au fur et à mesure de

l’avancement de la recherche. La détermination d’un coefficient d’échange transitoire h(t) pour

un problème de conduction 1D a été résolue par Raudensky [Raudenský et al. (1995)]. 50 pas de

temps ont été calculés. L’auteur utilise une méthode de régularisation par pénalisation lorsque

les variations de h entre 2 pas de temps sont trop grandes. La majorité des auteurs s’intéressent

toutefois à la recherche de conditions aux limites inconnues dans le cas de problème thermique

permanent et 2D.

59


Optimisation couplée fluide/thermique

Les algorithmes génétiques sont depuis quelques années très utilisés pour l’étude des problèmes

de transferts de chaleur par convection où il y a nécessairement un couplage entre les phénomènes

fluides et les phénomènes thermiques. Ce couplage est réalisé grâce à un code CFD, générale-

ment 2D de manière à diminuer les temps de calcul qui peuvent être très importants, ou bien

grâce à des corrélations empiriques. Il est important de noter que la plupart des résolutions

des équations fluides sont réalisées pour un régime laminaire, ce qui diminue considérablement

les temps de calcul. Les auteurs ont généralement les objectifs principaux suivants : en mono-

objectif, ils cherchent à minimiser la température [Wildi-Tremblay et Gosselin (2007a); Villemure

et al. (2008); Leblond et Gosselin (2008); Tye-Gingras et Gosselin (2008)] ; en multi-objectifs, ils

cherchent à augmenter les flux de chaleur tout en ayant un minimum de pertes de charges [Hil-

bert et al. (2006); Foli et al. (2006)]. A titre d’exemple, l’optimisation du design d’une cheminée

avec un côté strié, isotherme et une autre face lisse et adiabatique a été réalisée par Cavazzuti

[Cavazzuti et Corticelli (2007)]. Les objectifs étaient d’augmenter le coefficient d’échange convec-

tif moyen et le débit dans la cheminée en optimisant le choix des 6 variables qui définissent la

géométrie. Le calcul des performances de la cheminée a été effectué par une simulation CFD en 2

dimensions. Avec 15 individus par population, un résultat a été obtenu après seulement 30 itéra-

tions. Un algorithme de recherche locale a été ensuite appliqué pour parfaire la solution finale et

en obtenir une unique. Wildi-Tremblay [Wildi-Tremblay et Gosselin (2007a)] étudie l’évacuation

de la chaleur par un système de refroidissement fait de différentes couches de milieux poreux,

dans lesquelles passe un fluide (Figure 2.23). Le problème est de trouver les porosités et les

matériaux de chaque couche pour minimiser la température maximale de l’objet à refroidir. La

modélisation de ce système est effectuée en résolvant l’équation de la chaleur couplée à la loi de

Darcy, le tout discrétisé en volumes finis. Il construit une fonction objectif agrégée F en prenant

en compte non seulement la température maximale Tmax de l’objet à refroidir mais aussi le coût

C du dispositif et sa masse M .

Ainsi :

F ∼ Tmax + αmax (M −M0, 0) + βmax (C − C0, 0)

Ces deux derniers points apparaissent explicitement dans la fonction objectif sous la forme de

pénalisation (α et β sont positifs et sont fixés par l’utilisateur) de manière à exclure les solutions

dont le design final aurait une masse et un coût plus important que le design initial. Villemure

[Villemure et al. (2008)] étudie un échangeur constitué d’un nombre N de couches poreuses dans

lequel un fluide circule grâce à la convection naturelle. Cet échangeur est considéré isolé sur une

face et reçoit un flux sur la face opposée. L’optimisation va déterminer le meilleur arrangement

permettant d’avoir une température maximale la plus faible possible sur la face chauffée. Le

nombre de couches N, l’épaisseur de chaque couche, le matériau ainsi que la porosité sont ainsi

déterminés. L’optimisation est effectuée en deux étapes : une première fois sans contrainte par-

ticulière, le résultat obtenu est ainsi le meilleur possible ; une deuxième fois avec des contraintes

sur le coût et la masse par comparaison avec les coûts et masses obtenus sur l’optimisation sans

contrainte.

Hilbert [Hilbert et al. (2006)] utilise un code CFD (gambit + Fluent) afin de simuler l’écoule-

60


Figure 2.23.: Empilement de couches de matériaux poreux, [Wildi-Tremblay et Gosselin(2007a)]

Figure 2.24.: Empilement de couches de matériaux poreux, [Villemure et al. (2008)]

61


Figure 2.25.: Echangeur étudié par [Hilbert et al. (2006)]

Figure 2.26.: Front de Pareto, étude de [Hilbert et al. (2006)]

ment et les échanges de chaleur dans une portion d’un échangeur muni de tubes (Figure 2.25).

L’auteur impose la vitesse et la température du fluide à l’entrée de l’échangeur et la température

des tubes. Le but est d’optimiser la forme des tubes de manière à trouver le meilleur compro-

mis entre maximiser les échanges de chaleur et minimiser les pertes de charges. Il s’agit donc

d’une optimisation multi-objectif dans laquelle le front de Pareto est déterminé (Figure 2.26).

La Figure 2.27 présente quelques formes géométriques pour les tubes fournissant des solutions

de Pareto.

Malgré le fait que les Méthodes de Gradient soient des méthodes locales, elles demandent

moins d’effort de calcul et sont encore utilisées. Lataoui et al. [Lataoui et al. (2010)] ont utilisé

la Programmation Quadratic Sequentielle (SQP) pour résoudre le problème inverse d’un tube

évaporateur avec des parois rainurées. La formule de BFGS (d’après Broyden, Fletcher, Goldfarb

et Shanno) a été employée pour l’estimation de la matrice Hessienne. Le coefficient d’échange de

chaleur par convection est obtenu en minimisant la différence entre les mesures et un modèle en

régime permanent. La SQP est également utilisée dans les travaux de Haseli et al. [Haseli et al.

62


Figure 2.27.: Formes de tubes de solutions de Pareto, étude de [Hilbert et al. (2006)]

(2008)]. Ils ont étudié le refroidissement d’un condenseur en regardant la destruction d’exergie à

l’aide d’un modèle basé sur la deuxième loi de la thermodynamique. Des résultats optimaux sont

obtenus pour différents flux massiques de vapeur entrant dans le condenseur. Song et al. [Song

et al. (2004)] ont utilisé la BFGS pour minimiser la tension résiduelle dans la soudure. Différents

phénomènes thermo-élasto-plastiques sont présents dans le procédé de soudure. Des formulations

en éléments finis ont été utilisés pour représenter ces phénomènes. La tension résiduelle minimale

est obtenue par le réglage de la puissance de la source de chaleur responsable pour un pré-

échauffement, la position transversale de cette source et la distance entre la source de chaleur

et la position de soudure. BFGS a été également utilisé par Du et al. [Du et al. (2009)]. Ils ont

obtenu la porosité optimale en maximisant l’isolation thermique du milieu poreux. Les auteurs ont

traité deux cas, en considérant ou pas une porosité moyenne fixe comme contrainte. Différentes

distributions de porosité sont confrontées, selon le rayon des fibres, leur émissivité, la différence

de température et la valeur moyenne de porosité.

L’Optimisation par Essaim de Particules (PSO) a été employée avec succès dans les problèmes

d’optimisation thermique. Pateo et Rao [Patel et Rao (2010)] ont résolu le problème d’optimisa-

tion d’un échangeur de chaleur à tubes du point de vue économique avec PSO. Ils ont considéré

trois variables d’optimisation : le diamètre interne de la carcasse, le diamètre externe des tubes et

l’espacement entre les plaques séparatrices qui guident l’écoulement et servent de support pour

les tubes. Quatre benchmarks ont été testés pour comparaison avec les résultats obtenus avec

GA déjà disponibles dans la littérature. Un bon accord a été trouvé entre les résultats provenus

de GA et PSO. Les auteurs soulignent le fait que le nombre d’itérations nécessaires avec PSO

a été relativement petit, ce qui fait de PSO un outil important pour l’optimisation des échan-

geurs de chaleur à tubes. Wang et al. [Wang et al. (2011)] ont optimisé le cycle thermique de

refroidissement et échauffement d’un moule d’injection de plastique dans le but d’augmenter la

productivité. Les variables du problème d’optimisation ont été la position relative des passages

de refroidissement ainsi que leur ouverture. Ils ont également pris en compte le comportement

structural puisque le moule d’injection travaille sous pression. Des contraintes géométriques par

rapport à l’écart type de la température de surface et les tensions de von Mises ont été imposées.

Les auteurs ont trouvé un compromis entre résistance mécanique et efficacité thermique.

63

3. Modélisation thermique de la machine

électrique

La machine électrique décrite au Chapitre 1 est modélisée par un domaine discret. Dans ce

chapitre nous présentons la discrétisation du modèle selon la méthode nodale (section ) et les

résultats obtenus à l’aide de cet outil. Les données expérimentales disponibles fournis par JEU-

MONT Electric seront confrontées aux prédictions du modèle.

3.1. Modèle de la machine et conditions aux limites

3.1.1. Maillage

Le modèle proposé représente la totalité de la machine sur 2π, comme l’illustre la Figure 3.1a.

Cependant, afin de diminuer les temps de calcul et le nombre de mailles du modèle, on identifie

des symétries dans une coupe ortho-radiale de la machine. Trois motifs géométriques différents

sont ainsi choisis. Ceux-ci se répètent symétriquement dans la direction tangentielle. La première

zone s’étend du centre du rotor jusqu’à l’entrefer, la deuxième correspond à la région des encoches

au stator et la dernière, au reste du stator. Au total, le domaine comporte 952 nœuds et selon

l’axe, le domaine de calcul est divisé en 31 sections, illustrées dans les Figures 3.1b et 3.2.

3.1.2. Conditions aux limites

La machine interagit thermiquement avec l’air ambiant par l’intermédiaire de sa carcasse et de

deux ouvertures, une pour l’entrée et l’autre pour la sortie de l’air (Figure 3.3). A l’extérieur de

la carcasse, on considère des échanges par convection naturelle. On suppose alors un coefficient

d’échange thermique par convection naturelle. A l’entrée et à la sortie d’air, le flux imposé est

le flux relatif au transport de masse. Pour les nœuds au niveau de paliers, une température de

313K est imposée. Pour toute la région comprise entre les flasques, les conditions aux limites

sont définies par des conductances équivalentes, vu que la carcasse n’est pas modélisée dans le

but de diminuer le nombre de nœuds. La conductance équivalente est obtenue par l’association

en série des conductances de convection interne, la conductance de conduction de la carcasse

et la conductance de convection externe (Figure 3.3). Il y a cependant deux cas particuliers le

long de la carcasse. Le premier se situe dans les sections des joues (sections 6 et 26) où il y a

conduction au lieu de convection interne, puisque les joues sont en acier. Le deuxième se situe

au niveau des entrées et sorties d’air, justement en raison des ouvertures. Dans ce cas, on a une

association, en parallèle, d’une conductance par transport de matière avec trois conductances

équivalentes correspondantes à la carcasse.

64

3. Modélisation thermique de la machine électrique

(a) Représentation complète et configuration de base

(b) Composantes de la machine dans le modèle discrétisé

Figure 3.1.: Modèle de la machine électrique

65


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Figure 3.2.: Découpage du modèle de la machine électrique

66


Carcasse, flasques et ouvertures Section d’entrée d’air Réseau électrique

Figure 3.3.: Conditions aux limites

(a) Représentation en série

(b) Conductance équivalente

Figure 3.4.: Réseau équivalent dû à la condition de symétrie du modèle

3.1.3. Calcul des conductances équivalentes du modèle de base

On a vu précédemment que l’on se sert des symétries pour ne modéliser qu’une portion de la

machine. Cependant, le modèle doit représenter la totalité de la machine (sur 360 °). Ainsi, on

doit procéder à des corrections sur les conductances utilisées pour le calcul des températures.

Sur la Figure 3.4a, on représente une association en série de plusieurs conductances constituée

de N répétitions symétriques d’un motif élémentaire de 3 nœuds. On peut ainsi modéliser ce

réseau par une association en parallèle de N conductances. Cette association en parallèle peut

encore être représentée par des conductances équivalentes selon l’illustration de la Figure 3.4b.

Cette technique est utilisée pour faire le lien entre la portion modélisée et la représentation

sur 2π (Figure 3.1a). Dans cette dernière, le motif élémentaire lié au rotor est présent 16 fois,

celui lié aux encoches 120 fois, et celui du stator 24 fois. Ainsi, le nombre de liaisons en parallèle

des nœuds du rotor est 16, des nœuds des encoches avec leur voisinage est 120 et des nœuds du

stator, 24. Le calcul de la conductance équivalente des conductances en parallèle s’effectue par

la somme de ces conductances. Vu que les conductances sont identiques, on peut exprimer cette

somme par le produit entre une conductance Gij et le nombre de répétitions N :

Geqij = NGij (3.1)

avec Gij la conductance de conduction (Equation (2.4)), ou de convection (Equation (2.5)) ou

sinon par le transport de masse (Equation (2.7a)).

L’Equation (3.1) représente le passage du modèle de base au modèle complet de la machine sur

67


2π. En raison de ce passage, l’équation de la chaleur ne s’applique pas à un seul volume Vi, mais

à la somme de tous les volumes Vi qui se reproduisent ortho-radialement. Le système différentiel

transitoire résultant s’exprime par :

ρiNiVi (cp)idTidt

=∑

j voisins de i

Geqij (Tj − Ti) +NiPi (3.2)

avec Vi et Pi le volume et les pertes d’un nœud i de la configuration de base.

Le système défini par l’Equation (3.2) est résolu, par convenance, à l’aide du solver ODE15s

du Matlab (solver multipas destiné à la résolution de systèmes d’équations différentielles raides),

avec une tolérance de 10−6, l’ordre maximal de discrétisation de 5 et à partir d’un champ de

température initial. La difficulté de résolution de l’Equation (3.2) tient essentiellement à la diffi-

culté de construction des conductances , puisqu’elles dépendent de paramètres comme le type et

la direction du transfert d’énergie. La Figure 3.5 montre un schéma synthétique de la démarche

nécessaire au calcul des conductances.

3.2. Résultats

Nous avons réalisé des simulations thermiques de la machine électrique développée par JEU-

MONT Electric à l’aide de la méthode nodale présentée précédemment. Des simulations sur 2

machines différentes, mais topologiquement identiques, ont été effectuées. La première est une

machine synchrone à 8 pôles saillants de 8,8MW de puissance et la deuxième, une machine à 12

pôles de 18,8MW . Chaque configuration possède ses propres répartitions de pertes et de débits.

Ces données sont fournies par JEUMONT Electric et constituent les données d’entrée du modèle

nodal. Les simulations permettent d’avoir accès aussi bien aux champs de température en régime

permanent qu’à l’évolution des températures dans la machine au cours du temps à partir d’un

champ initial. Une simulation en régime permanent dure une trentaine de secondes et pour le

régime transitoire, 3 minutes environ, à l’aide d’un ADM Turion(tm) ML-32 à 800MHz et avec

1Go de RAM. Les champs de température obtenus sont présentés dans cette partie et confrontés

avec les résultats expérimentaux disponibles sur machine réelle.

3.2.1. Machine à 8 pôles saillants

Description des essais sur machine

Les calculs sont lancés pour simuler 10 heures de fonctionnement de la machine, la machine

étant initialement supposée à la température ambiante. On doit fournir au programme la répar-

tition de débits et des pertes. La carte de débits fournie par JEUMONT Electric est présentée

dans la Figure 3.6. Le débit à l’entrée de la machine est de 7 m3.s−1, 0,04% rentrent par la

joue (débit 1), 41,67% par l’entrefer (débit 15) et les 58,29% manquants passant par le rotor

(débit 16). Les débits qui passent par les canaux rotoriques (de 2 à 7) diminuent progressivement

le long de l’axe alors que les débits du premier évent jusqu’au quatrième augmentent (de 8 à 11).

On observe dans la Figure 3.6b que les deux derniers évents ont des débits dans le sens opposé

aux précédents.

Les pertes mécaniques et électriques varient selon le régime de fonctionnement. On a effectué

68


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Figure 3.5.: Calcul de la conductance équivalente

69


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(a) Positionnement des débits de référence

(b) Les débits de référence du système

Figure 3.6.: Répartition des débits pour la machine à 8 pôles

70


Table 3.1.: Pertes en W dissipées dans la machine électrique à 8 pôles

Source Cas A* Cas B** Cas C** Cas D**

Joule rotor 47920 14500 0 25500

Joule stator 56460 58200 0 95700

Field 3130 0 0 0

Circulation 1390 0 0 0

Armature 22380 0 25917 0

Dents 9940 0 11511 0

Intercalaires 3260 0 3775 0

Surface rotor 12260 0 14197 0

Surface stator 10060 10359 0 18048

Plateau et joues 15190 15641 0 27252

Aérodynamiques 22940 22988 22988 22988

AE 5360 1000 0 2000* Valeurs calculées

** Mesures chez JEUMONT Electric

Figure 3.7.: Carte de pertes - cas A

des calculs pour quatre type de fonctionnement, détaillés dans le Tableau 3.1. L’essai en charge

correspondant au cas A est le régime de fonctionnement nominal de la machine et comprend

toutes les pertes. Les cas B et D ne contiennent pas les pertes fer (dans l’armature, dents,

intercalaires et surfaces) et les pertes de circulation et de field dans le stator. Ils correspondent aux

essais en court-circuit, respectivement à courant nominal de la machine et à 1,3 fois l’intensité du

courant nominal. L’essai à vide correspond au cas C. Dans cet essai, les sollicitations thermiques

sont uniquement dues aux pertes fer et aux pertes aérodynamiques. A titre illustratif, on présente

la carte de pertes correspondant au cas A dans la Figure 3.7.

3.2.1.1. Machine en charge (Cas A)

Dans les Figures 3.8, 3.9, 3.10 et 3.11, on présente les cartes de température en régime perma-

nent pour le cas A, pour chaque section du découpage de la machine présenté dans la Figure 3.2.

La première section concerne le flasque du coté entrée d’air de la machine. Il s’agit d’une pièce

métallique à coté de l’entrée d’air sans pertes. De manière cohérente, les simulations indiquent

71


une faible température dans cette section, sauf pour une couronne chaude à 90 C. Ce niveau

de température se justifie par la présence de l’alternateur excitateur (AE) à la deuxième sec-

tion. L’alternateur excitateur lui-même est à 100 C et ses 5,36 kW de pertes (cf. Tableau 3.1)

sont dissipés par conduction avec la carcasse (34%) et avec l’arbre (20%) et par convection via

sa surface supérieure (21%) et via ses deux voisins de la section 3 (25%). Les sections 2 et 3

contiennent l’ouverture pour l’entrée d’air et en conséquence, les nœuds d’air de ces sections sont

les mieux refroidis, leurs températures restent entre 20 (température extérieure) et 21 C. La sec-

tion suivante est composée majoritairement par des mailles d’air, par l’arbre et par l’extrémité

des développantes. C’est à cet endroit qu’on a les mailles les plus chaudes du domaine (155 C).

Entre les développantes, on considère un débit d’air nul.

(a) Flasque coté entrée (b) AE et entrée d’air (c) Arbre et entrée d’air

(d) Bout des développantes coté en-trée

(e) Développantes et bout du bobi-nage du rotor coté entrée

(f) Joue coté entrée

Figure 3.8.: Cartes de température de sections le long de l’axe (entrée)

La prochaine section, représentée par la Figure 3.8e, montre l’extrémité du bobinage du rotor.

Dans son centre, les températures les plus élevées sont de 125 C, alors qu’aux extrémités, nous

avons 85 C pour le bobinage le plus proche de l’arbre et 105 C pour le bobinage près de

l’entrefer. Toutes les mailles d’air comprises entre les sections 5 et 6 restent entre 21 et 23 C.

A la section 6, on remarque la présence des joues au niveau du stator, la présence des pôles

et des cuivres statoriques et rotoriques. En raison du faible débit passant par la joue (débit 1

de la Figure 3.6a), la température de l’air y est d’une trentaine de degrés. C’est la première

augmentation importante de la température de l’écoulement depuis l’entrée. Les températures

les plus élevées de la sixième section sont aux cuivres, on a 130 C au stator et il reste entre 80 et

125 C au rotor. Ces niveaux de températures des cuivres sont plus faibles que dans les sections

72


précédentes. En continuant la progression dans la machine, on rencontre la région située entre

les joues appelée la partie active de la machine. La température des cuivres, ainsi que celle de

toute la masse solide de la machine, suit cette tendance de diminution jusqu’à la section centrale

du domaine, la section 15, comme on peut l’observer sur la Figure 3.9.

Le nœud d’air le plus chaud de la section 15 est celui de l’évent, il est à 40 C, alors que le

plus froid est au canal axial rotorique à 22 C. Ce résultat est cohérent puisque il n’y a pas de

pertes autour du canal axial rotorique, l’air qui y passe n’est donc pas chauffé. L’air qui arrive

à un évent, par contre, est passé soit par le bobinage du rotor, soit directement par l’entrefer,

régions où il y a une forte dissipation d’énergie.

A partir de la section 15, au fur et à mesure qu’on avance vers l’autre extrémité de la machine,

on observe que la température de la masse solide remonte graduellement. En arrivant à la section

26, la section de la joue coté sortie d’air, les températures des cuivres rotoriques restent entre

105 et 128 C et celles des cuivres statoriques sont de 118 C. Au bout du bobinage du rotor,

à la section 27, on a des températures entre 110 et 132 C. Dans la section 28, le bout des

développantes atteint 150 C. Enfin, les mailles d’air des sections 29 et 30 sont entre 40 et 42 C

et le flasque coté sortie, la section 31, est autour des 38 C.

Ces cartes représentent qualitativement le comportement thermique de la machine. Malgré

le manque des données expérimentales, la température au bout des développantes est a priori

surestimée puisque la machine ne fonctionne pas correctement au-delà 140 C. Il s’agit d’une

région sensible du modèle où on ne connaît pas précisément la répartition des débits. Globalement,

en faisant le bilan énergétique de la machine à partir des résultats de simulation, la quasi-totalité

des 210 kW de pertes injectées est évacuée par le débit (98%) et les 2% restant sont perdus par

la carcasse. D’après le fabricant, généralement 5% des pertes sont évacuées par la carcasse en

conditions normales de fonctionnement. Cette différence peut s’expliquer par la modélisation de

la carcasse qui n’est pas représentée par des nœuds.

3.2.1.2. Fonctionnement dégradé (Cas B, C et D)

Le comportement thermique global de la machine est exposé succintement pour la répartition

des pertes électriques des cas B, C et D à l’aide des cartes de température de la Figure 3.12,

cette fois-ci, dans la vue axiale. Les pertes pour les cas B et D ont lieu aux mêmes régions, seule

leur intensité change. Les températures maximales pour ces deux cas sont respectivement de 140

et 220 C aux développantes. Le matériau le plus sollicité thermiquement dans les cas B et D est

le cuivre statorique. Dans les différents cas, l’échauffement le plus important est observé au bout

des bobinages statoriques et rotoriques. Enfin, pour le cas C, on n’a que les pertes aérauliques,

pertes surfaciques et des pertes à l’armature et aux dents, pertes qui sont insérées à la masse

du stator. Le point le plus chaud obtenu par les simulations est de 44 C et se trouve au stator,

selon l’illustration de la Figure 3.12c.

Ensuite, on compare les mesures de la température de l’air passant par les évents des cas B, C

et D réalisées par JEUMONT Electric avec les résultats des simulations. L’évolution de la tem-

pérature au cours du temps est asymptotique. Le régime permanent est alors quasiment atteint

à partir de la quatrième heure de fonctionnement. Cependant, l’augmentation de température à

partir de la deuxième heure est déjà très faible. La Figure 3.14 présente les températures calculées

pour les mailles d’air situées au niveau du stator. L’air qui passe par les évents est représenté

73


(a) Bobines rotoriques calées (b) Bobines rotoriques aérées (c) Events et bobines rotoriques aé-rées

(d) Bobines rotoriques calées (e) Bobines rotoriques aérées (f) Events et bobines rotoriques aé-rées

(g) Bobines rotoriques calées (h) Bobines rotoriques aérées (i) Events et bobines rotoriques aé-rées

Figure 3.9.: Cartes de température de sections le long de l’axe (partie active coté entrée)

74


par une maille, situé entre les paquets de tôles magnétiques du stator. Un autre nœud d’air est

utilisé, entre les cuivres du stator, pour faire la liaison entrefer-évent (Figure 3.13). Le long de

l’axe, 6 évents sont utilisés pour modéliser les 21 évents de la machine. Dans les quatre premiers

évents modélisés, le débit d’air va de l’entrefer vers l’extérieur du stator alors que dans les deux

derniers, l’écoulement est dans le sens opposé. La température des nœuds d’air placés entre les

cuivres du stator est donc plus faible que celle des nœuds placés entre les tôles pour les quatre

premiers évents. Pour les deux derniers, il se passe la chose inverse, en raison du sens inverse

du débit. Ce comportement a été supposé pour les 4 fonctionnements testés. Une illustration de

cette inversion se trouve dans le graphique de la Figure 3.14a et devient plus évidente à l’aide

du diagramme illustré dans le Figure 3.14b, l’évolution spatiale de la température, en régime

permanent. Ces résultats démontrent la dépendance du champ de température par rapport à

la carte de débits. La température de l’air à la sortie des évents 1, 2, 7, 11, 15, 20 et 21 a été

obtenue pendant les essais réalisés à JEUMONT Electric. Les résultats dans tous les cas testés

montrent le même comportement (Figure 3.14b) : une diminution de la température dans les

premiers évents, suivie par une augmentation jusqu’à la moitié de la machine, où la température

croit de manière plus importante jusqu’à l’avant-dernier évent. Dans le dernier évent (évent 21),

on observe une chute de la température. Le résultat de température de l’air dans les évents ob-

tenue dans les simulations est, en moyenne, sous-estimée par rapport aux résultats des essais à

JEUMONT Electric. Il y a un écart de 15 C, 18 C et 35 C, respectivement pour les cas C, B et

D. Malgré l’écart de température entre les résultats des simulations et les essais, ils démontrent

les mêmes tendances.

Les résultats les plus divergents entre les simulations et les essais sont les températures au bout

des développantes à l’entrée de la machine. Pour le cas C, en particulier, la simulation donne une

température de 40 C, et les essais, 52 C. Cependant, pour le cas B, les essais ont donnés une

température de 80 C, contre 155 C dans les simulations. On peut également noter une différence

considérable pour le cas D, 106 C dans les essais et 240 C dans les simulations. La confrontation

de ces résultats est disponible dans la Figure 3.15. Quelques simplifications géométriques peuvent

avoir généré ces écarts, telles que la non modélisation de la carcasse et le regroupement des évents.

De plus, l’estimation des vitesses et l’estimation du coefficient d’échange convectif autour des

développantes n’est pas aisé à obtenir et peut constituer une source d’erreurs importante. Malgré

les différences significatives des valeurs de températures, les scénarios thermiques sont similaires

entre les simulations et les mesures. En faisant le bilan énergétique global, 99% des pertes sont

évacuées par l’écoulement pour les cas B et D. Pour le cas C, l’essai à vide, toutes les pertes sont

emportées par l’écoulement.

3.2.2. Machine à 12 pôles saillants

Comparaison essais modèle

La même démarche a été mise en place pour la machine à 12 pôles, pour 3 distributions des

pertes. Le fonctionnement à vide est représenté par le cas E, le fonctionnement en court-circuit à

courant nominal par le cas F et celui à 1,5 fois l’intensité nominale par le cas G. L’essai en charge

n’a pas été réalisé à cause de limitations techniques, plus précisément, la non-disponibilité d’une

puissance suffisante pour alimenter la machine. Les valeurs des pertes sont disponibles dans le

75


Table 3.2.: Différentes distributions des pertes, en W , pour le machine à 12 pôles

Source Cas E Cas F Cas G

Pertes mécaniques 61930 61930 61930

Pertes fer 140620 0 0

Pertes joule stator 0 80163 204528

Pertes joule rotor 14994 26221 59528

Pertes supplémentaires 31360 53000 116370

Pertes par excitation 8969 11660 17278

Tableau 3.2.

Dans la Figure 3.16 on représente la différence de température entre l’air sortant de la machine

et l’air entrant, obtenue par simulation et expérimentation, pour les trois cas. Pour le cas E,

les essais ont été réalisés avec une machine froide au démarrage. On observe une très bonne

correspondance entre les simulations et les expérimentations. Par contre, pour les deux derniers

cas, la différence est plus importante. Cela s’explique par l’état initial de la machine lors des essais,

la machine n’était pas complètement froide en raison de l’exécution de sa forte inertie thermique

et des délais trop courts entre la réalisation des essais du cas E et les suivants (15 heures).

Toutefois, nous avons, comme dans la machine à 8 pôles, des écarts importants pour la région

des développantes. Les différences sont plus élevées pour le cas G dans lequel les pertes sont plus

importantes. Du côté de l’entrée d’air, les mesures indiquent 100 C alors que la simulation donne

300 C. Pour le cas F, nous avons 140 C dans les simulations contre 50 C pour des mesures.

Le cas E présente les écarts les moins importants, nous avons 60 C dans les simulations contre

40 C dans les essais. Les différences de température des développantes pour les cas E, F et G sont

présentées dans la Figure 3.17. Encore une fois, dans cette région, des difficultés sont rencontrées

pour l’estimation du débit et en conséquence la précision des températures est affectée.

3.3. Bilan des résultats issus de la méthode nodale

Deux machines électriques ont été simulées par le code de calcul nodal et les résultats sont

comparés avec des mesures réalisés sur machine réelle par JEUMONT Electric. Les tendances

d’évolution sont plutôt bien représentées par le modèle. Les régions les plus chaudes sont situées

au niveau des développantes (~155 C), à l’entrée et à la sortie de la machine. La région centrale

de chaque machine est la mieux refroidie. La limitation de la machine est alors liée à la tempé-

rature à l’extrémité des développantes et l’amélioration de ses performances est fortement liée

à l’amélioration du refroidissement de ses développantes. Le principal obstacle pour augmenter

la précision du calcul est la méconnaissance de l’écoulement autour, et surtout, entre les déve-

loppantes. A cause du manque de données supplémentaires, on considère un débit nul dans les

mailles d’air entre les développantes, ce qui explique, en partie, les surestimations des résultats.

76


Malgré les inconvénients liés à la précision des résultats, le modèle nodal a comme principal atout

sa rapidité de calcul permettant d’obtenir les tendances globales de l’échauffement de la machine

en une trentaine de secondes. Nous avons aussi un compromis entre précision et temps de calcul,

ce qui est un atout majeur dans l’optique d’effectuer une étude d’optimisation.

77




(g) Bobines rotoriques calées (h) Bobines rotoriques aérées (i) Events et bobines rotoriques aé-rées

Figure 3.10.: Cartes de température de sections le long de l’axe (partie active coté sortie)

78




(g) Bobines rotoriques calées

Figure 3.11.: Cartes de température de sections le long de l’axe (sortie)

79


(a) Champ de température du modèle de la machine, cas B

(b) Vue axiale du comportement thermique du modèle, cas D

(c) Températures issues du modèle de la machine, cas C

Figure 3.12.: Comportement thermique du modèle pour différents répartitions de pertes

80


Figure 3.13.: Discrétisation au tour des évents

(a) Evolution temporelle du cas C des noeuds d’air dans les évents. E1C tient pour le nœud d’airentre-cuivres du premier évent et E1T pour le nœud d’air entre-tôles relatif au premier évent.

(b) Comparatif entre mesures et simulations. CSE-B, CEE-B et MSE-B tiennent respectivementpour calcul en sortie de l’évent du cas B, calcul en entrée de l’évent du cas B et mesure ensortie de l’évent du cas B.

Figure 3.14.: Température de l’air dans les évents, simulations et mesures

81


Figure 3.15.: Ecarts de température entre les mesures et les simulations des développantes àl’entrée de la machine

(a) Cas E (b) Cas F (c) Cas G

Figure 3.16.: Variation de la différence de température de l’aire à l’entrée et à la sortie de lamachine

82


Figure 3.17.: Différences des températures des développantes du coté entrée d’air pour les casE, F et G

83

4. Optimisation thermique® C

Ce chapitre contient les études d’optimisation thermique réalisées sur un modèle de géometrie

simple et sur le modèle d’une machine électrique. D’abord, on présente la géometrie simple

qui consiste en une bifurcation à 90° avec une entrée d’air. Sa modèlisation est exposée, suivie

par la résolution de son problème d’optimisation aérothermique. Ensuite, on abordera l’étude

d’optimisation du modèle de la machine électrique, modèle présenté dans le Chapitre 3. Ces

deux cas ont été traités à l’aide des outils d’optimisation présentés dans la section 2.3. Nous

conclurons ce chapitre avec un bilan des méthodes d’optimisation utilisées.

4.1. Optimisation thermique d’une géométrie simple

Afin de mieux comprendre les différentes méthodes d’optimisation et les difficultés liées à leur

application sur un problème thermique traité par un modèle nodal comme l’est la machine élec-

trique abordée dans cette thèse, nous choisissons d’étudier un cas dit “pédagogique”. Le choix du

modèle pour ce cas “pédagogique” a été effectué de manière à avoir à traiter un problème relati-

vement simple tout en étant représentatif des phénomènes présents dans l’alternateur électrique

étudiés par ailleurs.

4.1.1. Description du problème thermique de la bifurcation

Données géométriques

Nous choisissons d’étudier le refroidissement d’un domaine 2D rectangulaire avec un écou-

lement de fluide qui représente une bifurcation comme le montre la Figure 4.1. Il s’agit d’une

configuration géométrique qui se répète souvent dans le système de refroidissement de la machine

électrique.

Les dimensions ont été choisis arbitrairement. La longueur du domaine est de L = 1m et la

hauteur H = 1m . Comme le domaine est 2D, implicitement, la troisième dimension a la valeur

de l’unité (1m). La géométrie de la bifurcation est repérée par la position de son centre avec x1

en abscisse et x2 en ordonnée, et par la largeur des canaux : x3 pour le canal horizontal (appelé

par ailleurs canal principal) et x4 pour le canal vertical (appelé également canal latéral). De plus,

on appelle A l’aire totale représentée, telle que : A = H L = 1m2. On définit également Asolide

la surface occupée par les solides et Afluide, la surface de fluide. Ainsi :

Afluide = x3L+ x4 (H − x2 − 0, 5x3) (4.1)

Dans ce problème, on impose de plus que la quantité de matière dans le système reste la même

au cours des évaluations effectuées lors de la procédure d’optimisation. Pour cela, on choisit

84

4. Optimisation thermique C

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Figure 4.1.: Géométrie du cas “pédagogique” de la bifurcation

Afluide = 0, 28m2. Cela ajoute une équation au problème, ce qui permet d’exprimer x4 comme

une fonction des autres données géométriques :

x4 = (Afluide − x3L) / (H − x2 − 0, 5x3) (4.2)

Ainsi, seules 3 variables géométriques sont indépendantes et constitueront les variables d’op-

timisation, à savoir : x = [ x1 x2 x3 ]T .

Données thermiques et fluidiques

L’étude de la bifurcation s’effectue en régime thermique stationnaire. On choisit de plus de

considérer un système dont les frontières solides sont thermiquement isolées de l’extérieur. On

ajoute des dissipations thermiques totales fixes P = 5000W dans les solides de conductivité

thermiqueλ = 40W.m−1.K−1 (acier).

Un débit d’air Qin entre par la gauche du canal principal. Ce débit se sépare en un débit

principal et un débit par la branche latérale. La répartition de débit est effectuée en égalisant les

pertes de charges dans les deux branches ∆Pp et ∆Pl, qui sont situées en parallèle d’un point

de vue de l’écoulement. On appelle ∆Pin la perte de charge liée à l’entrée de la bifurcation. On

calcule également la perte de charge totale du circuit aéraulique, appelée ∆P .

85


Figure 4.2.: Réseau fluide

4.1.1.1. Modélisation

L’idée de la modélisation du problème de la bifurcation est de coupler un calcul aéraulique

à un calcul thermique. Le calcul aéraulique permet de calculer la répartition de débit dans les

branches de la bifurcation, ainsi que le débit entrant Qin. Dans le calcul thermique, ces données

sont utilisées pour le calcul des coefficients d’échanges par convection. On détaille dans cette

partie les deux modèles précédents.

Modèle aéraulique

Le modèle aéraulique doit permettre de rendre compte des lois de conservation au niveau de

l’écoulement du fluide dans la bifurcation.

L’équation locale de continuité amène, après intégration sur un volume de contrôle, l’équation

de conservation de la masse, qui en régime permanent s’exprime par :

∑

Qentrant =∑

Qsortant (4.3)

En appliquant cette loi sur le volume de contrôle identifié par le cadre rouge de la Figure 4.2,

on aboutit à :

Qin = Qp +Ql (4.4)

Soit en remplaçant par les vitesses débitantes respectives et les dimensions adéquates :

Vin = Vp + x4Vl/x3 (4.5)

Pertes de charges

La Figure 4.2 montre que pour rejoindre le centre de la bifurcation, où la pression est appelée p,

au point placé à l’extérieur du système, où la pression est pext, on peut soit passer par la branche

principale de la bifurcation, soit passer par sa branche latérale. Dans les 2 cas, les pressions de

départ et d’arrivée sont identiques. Cela signifie alors que les pertes de charge totales (singulières

+ régulières) dans chaque branche de la bifurcation ont les mêmes valeurs. On a ainsi :

86


∆Pp = ∆Pl (4.6)

∆Pp,s +∆Pp,r = ∆P l,s +∆P l,r (4.7)

On définit également la perte de charge totale dans la bifurcation par :

∆P = ∆Pin +∆Pp = ∆P in +∆P l (4.8)

∆Pin étant les pertes de charges régulières par frottement dans l’entrée de la bifurcation (avant

la séparation).

Singularités

Le calcul des pertes de charges dans les singularités se base sur les expressions analytiques

fournies par Idel’Cik [Idel’Cik (1986)]. Ainsi, pour la branche principale, on a :

ξp = 0, 4 (1− Vl/Vin)2 et donc ∆Pp,s = 0, 2ρV 2

p (1− Vp/Vin)2 (4.9)

En ce qui concerne la branche latérale, nous avons :

ξl = A(

B + (Vl/Vin)2)

et donc ∆Pl,s = 0, 5AρV 2l

(

B + (Vl/Vin)2)

(4.10)

avec :

A = 1 si (Vl/Vin) < 0, 8

A = 0, 9 sinon

et

B = 1 si (H − x2 − 0, 5x4) / (L− x1 − 0, 5x3) < 0, 8

B = 0, 34 sinon

Pertes régulières

On calcule également les pertes de charges régulières dans chaque branche avec :

∆Pi,s = 0, 5ρψlV 2i /D (4.11)

On détermine l et D à partir de la configuration géométrique et ψ à l’aide des formulations de

Poiseuille ou de Blasius pour des conduites lisses, en fonction du nombre de Reynolds basé sur

la vitesse débitante et le diamètre hydraulique comme calculés dans le Tableau 4.1 :

Enfin :

87


Table 4.1.: Nombres caractéristiques

Longueur Diamètre hydraulique Nombre de Reynolds

Entrée l = x1 − 0, 5x4 D = 2x3/ (1 + x3) Re = Vin2x3/ (ν (1 + x3))

Branche principale l = L− x1 − 0, 5x4 D = 2x3/ (1 + x3) Re = Vp2x3/ (ν (1 + x3))

Branche latérale l = H − x2 − 0, 5x3 D = 2x4/ (1 + x4) Re = Vl2x4/ (ν (1 + x4))

ψ = 64/Re si Re < 2500

ψ = 0, 316/Re0,25 si Re ≥ 2500

Ainsi, de manière générale, on peut écrire que pour une maille i :

ψi = ai/Rebi (4.12)

Puissance aéraulique

On choisit de ne pas imposer un débit ou des pertes de charges constantes mais plutôt une

puissance aéraulique constante (disponible) telle que :

Paero = Qin∆P = 4, 6W (4.13)

Algorithme de résolution du modèle aéraulique

A partir d’une géométrie et d’une puissance aéraulique donnée, l’estimation des débits se fait

de manière itérative due aux non-linéaritées présentées précédemment. Dans un premier temps,

on choisit des valeurs arbitraires de débit. Ces débits provoquent une perte de charge dans

la branche latérale ∆Pl et dans la branche principale ∆Pp. Comme l’a suggéré la discussion

précédente, ces pertes de charge doivent être égales. Donc, il faut corriger les choix initiaux de

façon à respecter cette égalité. La méthode de correction employée dans cette thèse est dite de

Hardy-Cross, décrite dans [Houghtalen et al. (2009)]. Une fois les valeurs des pertes de charge

et des débits obtenus, on vérifie si leur produit correspond à la puissance aéraulique imposée.

La correction du débit entrant a été faite par la méthode de Newton-Raphson. La démarche de

résolution est décrite dans l’algorithme 4.1.

4.1.2. Description du problème d’optimisation thermique de la bifurcation

Le but de l’optimisation thermique de notre bifurcation est de mieux refroidir la masse solide,

en recherchant une configuration géométrique appropriée. Ce but peut être atteint sur la base

d’un ou plusieurs critères combinés. En effet, la minimisation de la température moyenne du

solide pondérée par le volume n’est pas un critère satisfaisant à elle seule puisqu’elle ne permet

pas d’éviter les températures très élevées dans des petites mailles, qui n’ont quasiment aucune

influence sur la température moyenne. A l’inverse, si on se focalise uniquement sur la baisse de la

88


Algorithme 4.1 Modèle aéraulique

1. Paramétrage

a) Choix de Q(0, 0)in , Q

(0, 0)p , Q

(0, 0)l , tels que : Q

(0, 0)in = Q

(0, 0)p +Q

(0, 0)l

b) Choix des tolérances pour l’obtention de la répartition de débits (tolQ) et pour l’ob-tention d’une puissance aéraulique constante (tolP)

c) Définition de la puissance aéraulique disponible : Paero = 4, 6W

2. Calcul de la différence de perte de charge entre la rame latérale et le canal principal :

ǫ = ∆P(i, j)l −∆P

(i, j)p

a) Si ǫ > tolQ, corriger la répartition de débits via Hardy-Cross

b) Sinon, calculer l’écart entre la puissance obtenue avec Q(i, j)in par δ = Q

(i, j)in ∆P −Paero

i. Si δ > tolP , corriger Q(i, j)in via Newton-Raphson. En modifiant Q

(i, j)in , mis à jour

de la répartition de débits par l’étape 2

ii. Sinon, fin

température maximale, on n’améliore pas forcément la thermique de la machine dans sa globalité.

Pour pallier à ces 2 difficultés, nous sommes amenés à combiner les deux critères précédents. La

solution utilisée consiste en la définition d’une fonction objectif agrégée (FOA) qui prend en

compte les deux critères, avec une pondération réalisée par une constante α tel que :

FOA = αTmax (x) + (1− α)Tms (x) |x ∈ ℜ3 (4.14a)

avec,

Tms = T TVsol/ΣVsol

dont,

T , le vecteur des températures de tous les volumes, en K ;

Vsol, le vecteur des volumes des solides, en m3. Pour les volumes fluides, une valeur nulle est

attribuée ;

Tmax = max (T ), la température maximale du domaine, en K ;

0 ≤ α ≤ 1, coefficient sans dimension.

Cinq valeurs de α sont testées par la suite, 0 ; 0,25 ; 0,50 ; 0,75 et 1 avec l’algorithme active-set.

On cherche à minimiser l’Equation (4.14a), qui est soumise aux contraintes suivantes :

[

0, 1L 0, 1H 0, 02H

]T

≤ x ≤

[

0, 9L 0, 7H (Afluide − 0, 01H) /L

]T

(4.14b)

x2 + 0, 5x3 − 0, 9H ≤ 0 (4.14c)

−x2 + 0, 5x3 + 0, 1H ≤ 0 (4.14d)

x1 + 0, 5 (Afluide − x3) / (H − x2 − 0, 5x3)− 0, 9L ≤ 0 (4.14e)

−x1 + 0, 5 (Afluide − x3L) / (H − x2 − 0, 5x3) + 0, 1L ≤ 0 (4.14f)

avec,

89


x0 =

[

0, 5 0, 5 0, 2

]T

, le point initial, en m ;

Afluide, l’aire de la bifurcation occupée par le fluide, en m2 ;

L, la longueur de la bifurcation, en m ;

H, la hauteur de la bifurcation, en m.

L’Equation (4.14b) délimite les bornes de l’espace de recherche. Les Equations (4.14c) et

(4.14d) ont pour but de contrôler la variable x2 en prenant en compte la largeur de la branche

latérale. De manière analogue, les Equations (4.14e) et (4.14f) contrôlent la variable x1, en

considérant le largeur du canal principal. Les non-linéarités de ces deux dernières contraintes

viennent de la contrainte d’un volume de fluide constant. Globalement, l’ensemble des contraintes

assurent que la bifurcation optimale soit obligatoirement dans le domaine rectangulaire défini par

les dimensions H xL. Ce domaine a été fixé pour les différents cas présentés dans ce document

avec les dimensions globales L = 1m par H = 1m.

Le point de départ x0 a été choisi de manière arbitraire, mais en respectant une localisation

à mi-chemin de chaque borne et en imposant une même largeur pour les canaux principal et

latéral. Cette configuration géométrique engendre le scénario thermique décrit par la suite.

Configuration initiale

La configuration initiale de la bifurcation est présentée dans la Figure 4.3. Le domaine est isolé

thermiquement aux limites. Le canal principal et le canal latéral ont une largeur de 0,2m et le

centre de la bifurcation est au centre du domaine. Le débit entrant imposé est de 2m3.s−1. Cette

configuration géométrique et ce débit provoquent une perte de charge totale de 2,3Pa et exigent

donc une puissance aéraulique de 4,6W qui sera maintenue fixe dans toutes les simulations

qui suivent. Le résultat du modèle fourni par le calcul aéraulique indique que 80% du débit

entrant passe par la branche principale et les 20% restant sont déviés vers la branche latérale.

Par conséquent, le coefficient d’échange par convection h dans le canal principal est d’environ

30W.m−2.K−1, alors que dans la branche latérale, il n’est que de 8W.m−2.K−1.

En injectant P = 1 kW de pertes calorifiques dans chaque maille solide, on obtient une tem-

pérature moyenne des nœuds solides, pondérée par leur volume, de 402K et une maximale de

424K. Les différences de températures entre nœuds voisins et les conductances thermiques entre

eux nous permettent d’établir la dernière carte qui représente les flux de chaleur. L’origine de

chaque flèche est mise au centre du volume d’où sort le flux. Vu que la majorité du débit se

trouve dans le canal principal, les flux les plus importants sont situés entre les nœuds solides et

l’air du canal principal. Prenons, par exemple, le flux le plus important, celui en bas à gauche du

domaine ; on n’injecte que 1000W dans ce nœud alors qu’il en sort 1300W par convection, via

la surface supérieure. La différence provient du flux conductif de 300W provenant de la maille

voisine située à droite, qui est plus chaude. Le bilan entre les flux et les pertes est également nul

pour les autres huit volumes du domaine.

90


Figure 4.3.: Configuration initiale pour x0 = [0,5 0,5 0,2]Tutilisée pour toutes les valeurs de α.

4.1.3. Résultats de l’optimisation pour différentes valeurs de α

4.1.3.1. Cas α = 0

A partir de la configuration initiale décrite précédemment, l’algorithme active-set a été utilisé

comme outil d’optimisation pour minimiser l’Equation (4.14a) soumise aux contraintes 4.14b,

4.14c, 4.14d, 4.14e et4.14f. Différentes valeurs de α ont été évaluées. Pour α = 0, la fonction

objectif est égale à la température moyenne des nœuds solides pondérée par leur volume (Tms).

Neuf itérations ont été nécessaires pour atteindre le critère de convergence. Les changements les

plus significatifs ont lieu pendant les 4 premières itérations (Figure 4.4a). La configuration finale

optimisée est montrée dans la Figure 4.4b. Malgré une baisse de 50 C de la température moyenne,

ce résultat n’est pas acceptable, puisque, localement, la température maximale a augmenté de

80 C par rapport au cas initial. Cependant, ce calcul nous permet de conclure que la température

moyenne du domaine ne sera jamais inférieure à 351K.

En comparant cette configuration optimisée avec la configuration initiale de la Figure 4.3, on

comprend que la stratégie nécessaire pour faire baisser la température moyenne des matériaux

solides suggère deux actions couplées. Tout d’abord, le centre de la bifurcation est déplacé en

bas à gauche du domaine, de façon à faire correspondre ses coordonnées aux bornes inférieures

définies par les Equations 4.14d et 4.14f. Cela maximise le volume en haut à droite qui couvre

alors 50% du domaine. De plus, ce volume est le mieux refroidi en raison de sa plus grande surface

d’échange. Un grand volume et une faible température ont un impact positif sur la valeur de la

FOA. En contrepartie, on constate que le volume solide en bas à gauche est très chaud, du fait

de sa petite taille pour des pertes fixes et de ses faibles surfaces d’échanges. Une deuxième action

est alors nécessaire pour ne pas pénaliser la température moyenne. Elle consiste à favoriser le

passage d’un plus grand débit d’air par le canal principal (de 80% à 96%) en élargissant celui-ci

de 0,05m. On passe alors de 0,20 à 0,25m en largeur. Cette augmentation de 0,05m permet le

passage de 1m3.s−1 d’air en plus pour maintenir la puissance aéraulique de ventilation constante

à 4,6W . Le flux convectif est alors plus important le long du canal principal et le nœud placé

91


(a) Convergence des variables x et de la fonction objectif agrégée FOA

(b) Configuration finale

Figure 4.4.: Résolution pour x0 = [0,5 0,5 0,2]T et α = 0

92


en bas à droite le montre bien. Il évacue par convection 2 kW , ce qui correspond aux pertes

dans ce nœud, auxquelles s’ajoutent les pertes du nœud à sa gauche, transmises par conduction.

L’augmentation du débit permet également un meilleur refroidissement de la maille solide en

haut à droite, comme déjà dit précédemment.

Il reste encore d’autres paramètres à analyser qui sont liés plutôt au problème d’optimisation

qu’au problème thermique. On peut vérifier, par l’intermédiaire des multiplicateurs de Lagrange

λ, si les contraintes sont ou pas actives (par exemple dans notre cas, si une variable est en butée

sur une borne). La Figure 4.5 contient tous les multiplicateurs, ainsi que le gradient et l’Hessienne

estimés au point optimal. Les contraintes linéaires (4.5a) définissent des limites pour la variable

x2, dont la première barre fait référence à la limite supérieure, et la deuxième, l’inférieure. A partir

de la Figure 4.5a on déduit que la limite supérieure n’est pas active puisque son multiplicateur est

nul. Dans notre cas, on n’aura jamais les deux limites actives parce qu’elles sont, géométriquement

parlant, parallèles et non-coïncidentes. Un raisonnement équivalent est valide pour les contraintes

non-linéaires (4.5b), applicables cette fois à la variable x1. Les bornes ne sont pas actives (4.5c et

4.5d), ses multiplicateurs de Lagrange sont tous nuls. Par conséquence, on n’a que les variables

x1 et x2 qui sont en butées par leurs respectives limites inférieures.

Le fait d’avoir ces deux variables en butées explique le gradient encore important (Figure 4.5e)

au point optimal, l’algorithme ne peut plus diminuer x1 et x2. Les gradients de la FOA par

rapport à chacune de ces deux variables sont quasiment les mêmes (Figure 4.5e, la première et la

deuxième barre), ce qui signifie que l’information de première ordre ne donne pas de préférence à

la direction x1 ou x2. Il semble aussi que la troisième variable pourrait encore diminuer, puisqu’elle

est loin de sa limite inférieure et le gradient dans sa direction est positif (4.5e, la troisième

barre). Ces deux dernières suppositions seraient vraies si notre modèle thermique était linéaire.

En regardant l’information de second ordre, l’Hessienne (4.5f), les variations dans la direction de

x2 sont beaucoup plus importantes que dans la direction de x1, et ainsi, x2 est plus sensible que

x1. La différence la plus marquante est la variation du gradient de la fonction objectif agrégée

(FOA) dans la direction de x3, soit ∂2FOA/∂x23. Cela vaut dire que la moindre variation de x3

implique une grande variation de la FOA, au voisinage du point optimal. D’après la Figure 4.4a, la

variable x3 ne change pas trop au cours des itérations, sa valeur monte rapidement aux premières

itérations et se stabilise, sans donner aucune indication de descente aux dernières itérations. Ceci

montre qu’une approche linéaire s’éloigne beaucoup de notre modèle thermique.

Relier l’analyse des paramètres de l’optimisation à la physique du problème thermique nous

permet de voir ces paramètres sous une autre perspective. Pour cela, on se focalise sur la confi-

guration géométrique optimale, celle de la Figure 4.4b, et on s’appuie sur les informations du

gradient et de l’Hessienne. En positionnant le centre de la bifurcation légèrement plus à gauche,

d’une distance ∆x1, et en laissant les autres variables fixes, on diminue le volume du point le plus

chaud. Ceci va avoir pour effet de diminuer la surface effective de contact entre le milieu fluide

et le nœud le plus chaud, ainsi que la distance de son centre à la surface effective de contact avec

son voisin solide à droite. Deux conséquences en découlent : la réduction du volume fait monter

sa température et sa contraction dans la direction de x1 fait que les deux conductances dans

l’interface solide-fluide au nord diminuent proportionnellement à ∆x1, alors que sa conductance

de conduction dans la direction de x1 augmente proportionnellement à la moitié de ∆x1. Le chan-

93


(a) Inégalités lineaires (b) Inégalités non-lineaires (c) Bornes inférieures (d) Bornes supérieures

(e) Gradient (f) Hessienne

Figure 4.5.: Les multiplicateurs de Lagrange, le gradient et Hessienne au point optimal pour lecas α = 0 et x0 = [0,5 0,5 0,2]T

gement des valeurs des conductances facilite le flux conductif à droite du nœud et affaiblit le flux

convectif. D’après les valeurs du gradient et de l’Hessienne, la FOA aura tendance à diminuer,

si ∆x1 est relativement petit.

Autrement, si on soumet ce volume au même taux de contraction, mais dans l’autre direction,

en baissant légèrement le centre de la bifurcation, de ∆x2, l’impact sur les conductances est

l’opposé. On augmente la conductance de conduction dans l’interface fluide-solide proportion-

nellement à la moitié de ∆x2 et les deux conductances reliant les nœuds solides vont diminuer

proportionnellement à ∆x2. Autrement dit, on ne baissera plus la valeur de la conductance entre

le nœud solide et le fluide. L’avantage de se servir de la voie convective au lieu de la conductive

n’est pas vraiment lié au mécanisme de transport lui-même car, pour le scénario thermique opti-

mal, la conductance équivalente entre les nœuds solides est 15 fois plus grande que celle entre les

noeuds solide-fluide. D’ailleurs, le coefficient d’échange par convection n’a pas beaucoup changé

en comparant les Figures 4.3 et 4.4b. C’est plutôt la différence de température entre les nœuds

qui rend la voie convective plus intéressante. Le premier nœud fluide à l’entrée de la bifurcation

sera toujours le nœud le plus froid. Par conséquent, la FOA est, dans le point optimisé, plus

sensible pour les variations dans la direction de x2 que dans la direction de x1.

La variation importante du dernier paramètre, ∂2FOA/∂x23, est facilement compréhensible

d’un point de vue physique. Les équations non-linéaires du module de perte de charges, les cor-

rélations non-linéaires du coefficient d’échange convectif, deux procédures numériques itératives

et la solution d’un système linéaire avec des équations fortement couplées entre elles donnent

94


Figure 4.6.: Evolution de la solution pour x0 = [0,5 0,5 0,2]T et α = 1

une relation fortement non-linéaire entre la largeur du canal principal et la température. Pour

ces raisons, la variable x3 est, en général, la plus sensible.

4.1.3.2. Cas α = 1

Jusqu’à présent, on a vu uniquement l’effet du changement de la valeur des variables sur la

température moyenne de la masse solide, pondéré par le volume (α = 0). Prenons maintenant

l’autre cas extrême, avec α = 1, en partant du même point initial. On ne considère alors que la

température maximale dans la FOA. Cette température maximale peut changer de position au

cours des itérations, en entraînant des discontinuités de la fonction objectif et donc des difficultés

pour la recherche du point optimal. Cette difficulté est vérifiée dans la Figure 4.6 qui montre

l’évolution des variables et de la FOA au cours des itérations. Tout en bas de la Figure 4.6

nous avons les positions des températures maximales, dont la position 3 correspond au nœud en

bas à gauche, la 6 en bas au centre et la 9, en bas à droite. On remarque des oscillations qui

témoignent de la difficulté de la convergence. C’est à partir de la 15ème itération seulement que

les oscillations sont atténuées.

La configuration optimale obtenue est représentée par la Figure 4.7. Cette configuration quasi-

symétrique par rapport à la branche latérale nous donne une carte de température et une carte

de flux quasi-symétrique également. La branche principale est placée légèrement plus bas en

maintenant son diamètre constant. On constate alors que le diamètre de la branche latérale a

diminué de manière à maintenir le volume de fluide constant. En regardant les nœuds solides

placés en bas, la diminution de la surface du volume central et l’augmentation des surfaces de ses

voisins ont favorisé l’évacuation de la chaleur par ces deux derniers. Leur flux par convection est

d’environ 1300W chacun et on n’a que 400W dissipé par convection au niveau du nœud solide

central.

Regardant la température moyenne des nœuds solides, la bifurcation dans son ensemble est

globalement moins bien refroidie pour α = 1 que pour α = 0. L’écart est en effet de 25 C

avec le cas précédent. Néanmoins, les gradients de température sont moins importants et la

température maximale chute de 503K à 416K. Malgré le fait d’avoir une température moyenne

plus élevée, le cas avec α = 1 qui ne prend en compte que le critère local, nous donne aussi

95


Figure 4.7.: Configuration finale pour x0 = [0,5 0,5 0,2]T et α = 1

une meilleure configuration thermique globale. De manière analogue au cas précédent, ici, la

température maximale du domaine ne pourra pas être inférieure à 416K.

Concernant les paramètres liés à l’optimisation, on a également une meilleure configuration

finale. Il n’y a pas aucune variable en butée, comme l’illustre la Figure 4.8, et tous les multi-

plicateurs de Lagrange sont nuls. Le gradient est de l’ordre du centième, nous avons un point

stationnaire correspondant, a priori, à un point de minimum local. C’est dans la comparaison

avec d’autres points de départ et d’autres méthodes de calcul qu’on va pouvoir examiner si le

point final trouvé correspond à un point de minimum global.

4.1.3.3. Valeurs intermédiaires de α

Les configurations présentés dans la Figure 4.4b et 4.7 sont deux configurations extrêmes.

La Figure 4.9 présente des configurations intermédiaires. Au fur et à mesure qu’on augmente

la valeur de α, on rapproche le centre de la bifurcation du centre du domaine et on diminue

légèrement le diamètre du canal principal.

D’après la Figure 4.10a, la variation de la température maximale est plus importante que celle

de la température moyenne avec une variation de α. Comme l’a suggérée la comparaison entre

les deux cas extrêmes, il est plus avantageux d’avoir la configuration avec α = 1 que celle avec

α = 0, vu la faible sensibilité de la température moyenne par rapport à α. La sensibilité de

la température moyenne en fonction de la température maximale est mise en évidence dans la

Figure 4.10b. Pour α > 0, 50, pour diminuer d’un degré la température moyenne, on augmente

de plus d’un degré la température maximale.

96


Figure 4.8.: Multiplicateurs de Lagrange, gradient et Hessienne pour le point optimal avec α = 1

(a) α = 0, 25 (b) α = 0, 50

(c) α = 0, 75 (d) α = 1

Figure 4.9.: Configurations optimisée pour x0 = [0,5 0,5 0,2]T et différents valeurs de α

97


(a) Variation de la FOA en fonction de α

(b) Variation de la température moyenne en fonction de la température maximale

Figure 4.10.: Variation de la température maximale, moyenne et de la FOA pour les α =0; 0, 25; 0, 50; 0, 75 et 1

98


4.1.4. Vérification des résultats d’optimisation

Afin de s’assurer de la qualité des résultats obtenus après l’optimisation, deux tests ont été

effectués. Tout d’abord, on teste différents points de départ avec l’algorithme active-set, l’objectif

étant d’identifier la présence de minimums locaux. Ensuite, d’autres algorithmes d’optimisation

sont testés, l’interior-point et l’algorithme génétique.

4.1.4.1. Influence du point de départ

L’active-set, tout comme l’interior-point, est un algorithme qui nous donne, a priori, un point

de minimum local qui dépend du point initial choisi. Dans la section précédente, nous avons

utilisé un point initial qui positionnait la bifurcation au centre du domaine et qui imposait les

mêmes largeurs pour le canal principal et la branche latérale, x0,1 = [0,5 0,5 0,2]T . Dans cette

section, pour les valeurs de α = 0; 0, 25; 0, 50; 0, 75 et 1, on présente les résultats obtenus avec

d’autres points de départ.

Le résultat optimal pour α = 0, présenté dans la Figure 4.4b, nous a guidé dans le choix des

différents points initiaux. Si on positionne le centre de la bifurcation dans l’un des quatre coins

du domaine au lieu de placer au centre, en utilisant un canal principal très large ou très étroit,

on a les points suivants :

x0,2 =

[

0, 2 0, 2 0, 25

]T

x0,5 =

[

0, 8 0, 2 0, 25

]T

x0,8 =

[

0, 45 0, 6 0, 05

]T

x0,3 =

[

0, 8 0, 6 0, 25

]T

x0,6 =

[

0, 35 0, 2 0, 05

]T

x0,9 =

[

0, 65 0, 2 0, 05

]T

x0,4 =

[

0, 2 0, 6 0, 25

]T

x0,7 =

[

0, 55 0, 6 0, 05

]T

Ces points présentent des configurations thermiques intéressantes. Par la simple observation

de ces configurations, on peut déduire un positionnement initial qui soit plus proche du point

optimal. Les trois points les plus pertinents sont sélectionnés pour la discussion qui vient par la

suite.

Configurations thermiques initiales pour différents points initiaux

On discute dans cette partie le comportement thermique de la bifurcation avec les points x0,3,

x0,4 et x0,6. Pour les deux premiers points, le centre de la bifurcation est positionné dans la partie

haute du domaine et le canal principal est relativement large, alors que pour le dernier, nous

avons un canal principal étroit et le centre de la bifurcation est placé dans la partie basse du

domaine. Ces configurations ne sont observées dans aucun des résultats précédents.

Les données pour les points où le canal principal est large et positionné en haut du domaine

sont représentées dans la Figure 4.11. Les trois nœuds solides, en bas, ont des dimensions et

températures importantes. Vu que la seule voie d’évacuation est par convection avec le canal

99


principal, des valeurs importantes de x2 ne font qu’augmenter la résistance de conduction de ces

trois nœuds. Pour cette raison, la valeur optimale de x2 ne sera jamais élevée.

En considérant que la perte de charge entre la sortie du canal principal et l’entrée est la même

que celle entre la sortie de la branche latérale et l’entrée (4.6), plus x1 est grand, moins on a de

débit à l’entrée de la bifurcation. A la sortie de la branche latérale, on voit que la température

de l’air est quasiment la même qu’à l’entrée pour les deux cas précédents. Cette différence de

température entre l’entrée et la sortie devient plus importante quand le débit dans une des sorties

est très faible, et ceci est lié à la variable x3. La variable x1 joue quant à elle sur la valeur du

débit à l’entrée et il est préférable d’avoir une faible valeur de x1. Cependant, la valeur de x1 ne

peut pas être trop diminuée au risque de voir le volume du nœud solide en bas, ou en haut, à

gauche, trop diminué et sa température trop augmentée (Figure 4.11). Il y a ainsi un compromis

à trouver pour la variable x1, compris entre sa borne inférieure et le centre du domaine.

Le troisième point de départ choisi positionne le centre de la bifurcation en bas du domaine,

dans la partie gauche, ce qui, d’après la discussion précédente, va dans le sens d’un meilleur

refroidissement. On a également mis une faible largeur pour le canal principal, tel que x0,6 =

[0,5 0,2 0,05]T (Figure 4.12). La contrainte d’un canal étroit a réduit considérablement le débit

entrant dans la bifurcation, ce qui a un impact négatif sur le refroidissement global.

On conclut de tout ceci que pour avoir un refroidissement optimal, il faut que :

x1 soit compris entre sa borne inférieure et le centre du domaine. C’est-à-dire un centre de

bifurcation placé plutôt dans la partie gauche du domaine

x2 ne soit pas trop élevé, c’est-à-dire un centre de bifurcation placé pas trop haut dans le

domaine

x3 soit grand de manière à favoriser un débit d’air important.

Résultats optimaux pour les différents points initiaux

Ces 3 exemples nous ont donné des pistes pour la configuration thermique optimale. En testant

les 8 points initiaux pour chaque valeur de α, on a constaté l’existence de différents résultats

d’optimisation pour α = 0; 0, 25; 0, 50; 0, 75 et 1. Les chiffres en gras dans le Tableau 4.2 repré-

sentent les configurations les moins bonnes pour un α fixé. Ces configurations moins efficaces

sont des points de minimum locaux. Elles violent les pistes d’amélioration de la FOA citées pré-

cédemment, puisqu’elles correspondent à un canal principal plus étroit que la branche latérale

et la valeur de x1 en butée par sa borne supérieure pour les α = 0 et α = 0, 25. Les champs de

température correspondants à ces cas défavorables sont présentés dans la Figure 4.13.

La configuration de la Figure 4.13c est obtenue avec le point xf,5 = [0,35 0,15 0,09]T et

s’éloigne du point de minimum global xf,1 = [0,47 0,30 0,20]T , dont le scénario thermique est

illustré dans la Figure 4.7. Les températures des deux résultats ne sont pas très différentes

comparées à la différence des débits entrants, on a 2,15 contre 1,01 m3.s−1. Ceci montre que

des configurations géométriques assez différentes peuvent résulter en des scénarios thermiques

finalement très comparables.

Les différents points testés n’ont pas permis d’aboutir à des point de minimum locaux pour

α = 0, 50 et α = 0, 75. Cela suggère que la FOA pour ces valeurs de α est plus régulière, ce qui

rend alors le travail de recherche du point optimal plus facile. De plus, dans cet intervalle, on

trouve les configurations thermiques les plus intéressantes.

100


(a) x0,3 = [0,8 0,6 0,25]T

(b) X0,4 = [0,2 0,6 0,25]T

Figure 4.11.: Configurations thermiques initiales pour x0,3 et x0,4

101


Figure 4.12.: Configuration thermique initial pour x0,6 = [0,35 0,2 0,05]T

(a) α = 0 (b) α = 0, 25 (c) α = 1

Figure 4.13.: Champs de température optimisés par méthode de gradients

102


Table 4.2.: Températures, en K, des configurations optimisées selon le point de départ et lavaleur de α

Point initial \ α 0 0,25 0,50 0,75 1

x0,1424 402

504 351

424 402

430 362

424 402

419 368

424 402

416 372

424 402

416 376

x0,2476 354

504 351

476 354

430 362

476 354

419 368

476 354

416 372

476 354

416 376

x0,3499 405

504 351

499 405

430 362

499 405

419 368

499 405

416 372

499 405

416 376

x0,4464 395

504 351

464 395

430 362

464 395

419 368

464 395

416 372

464 395

416 376

x0,5494 369

486 362

494 369

467 367

494 369

419 368

494 369

416 372

494 369

419 375

x0,6438 408

504 351

438 408

430 362

438 408

419 368

438 408

416 372

438 408

416 376

x0,7803 440

486 362

803 440

430 362

803 440

419 368

803 440

416 372

803 440

416 376

x0,8688 456

486 362

688 456

430 362

688 456

419 368

688 456

416 372

688 456

416 376

x0,9467 393

486 362

467 393

430 362

467 393

419 368

467 393

416 372

467 393

416 376

Tmax point initial Tms point initial

Tmax point final Tms point final

103


Dans cette partie, on a montré qu’en fonction du point de départ choisi, on pouvait, même

si cela arrive peu au cours de nos calculs sur cet exemple simple, aboutir à une géométrie de

bifurcation qui n’est pas la meilleure même si elle reste plus acceptable que la configuration avant

l’optimisation. Cependant, en raison des non-linéarités du problème, on ne peut pas conclure avec

certitude quant au fait que les points trouvés soient des minimums globaux.

4.1.4.2. Influence de l’algorithme choisi

Afin de vérifier la pertinence de l’algorithme choisi, on a également testé 2 autres algorithmes

qui sont l’interior-point (IP) et l’algorithme génétique (AG). Le premier est un algorithme qui

nous donne, à priori, un point optimal local, comme l’active-set (AS). Le deuxième est une

méthode quasi-globale.

Les tests ont été réalisés pour les valeurs de α = 0 ; 0, 25 ; 0, 50 ; 0, 75 et 1. Les points optimaux

obtenus ont été les mêmes pour les trois algorithmes et pour les différents cas, en utilisant,

pour les méthodes de gradient, le point initial x0,1 = [0,5 0,5 0,2]T . La seule différence entre les

résultats est le temps de calcul.

L’algorithme génétique est un outil robuste et bien adapté pour résoudre le problème de la

bifurcation étudié ici. Néanmoins, en comparaison avec les autres méthodes, il requiert un temps

de calcul supérieur. En général, il faut entre 40 et 80 heures pour l’algorithme génétique contre

1 minute, pour l’active-set ou l’interior-point. On discute dans ce qui suit les résultats obtenus

par l’algorithme génétique, en ce qui concerne la méthode et l’évolution de ses paramètres.

Résultats avec l’algorithme génétique

Nous avons utilisé le module d’optimisation de Matlab(R) relatif aux algorithmes génétiques

pour résoudre le problème défini par l’Equation 4.14 avec les mêmes valeurs de α utilisées précé-

demment. Cet outil offre une vaste gamme de paramètres, 33 1 options au total. Il n’y a pas un

protocole à suivre pour régler ces options, la seule manière de découvrir le meilleur paramétrage

est la réalisation de tests.

Compte tenu du coût de la fonction objectif, par convenance, nous avons laissé les valeurs par

défaut, sauf la taille de la population et le nombre de générations. Vu que notre problème se

situe dans ℜ3 et que chaque axe est délimité par des bornes, si on divise chaque axe du domaine

de recherche en, disons, 10 segments, nous aurions facilement une population de 1000 (103)

individus. En suivant ce raisonnement, nous avons donc utilisé ce chiffre de 1000 individus pour

explorer l’espace de recherche. En ce qui concerne le nombre de générations, d’après quelques

tests préliminaires, les calculs généralement s’arrêtaient autour de la cinquième génération parce

que la variation du score moyen de la population d’une génération à l’autre ne changeait plus.

D’après cette observation, et en prenant en compte également du temps de calcul, nous avons

imposé un nombre de générations maximal de 10 pour les différents résolutions.

On présente dans le Tableau 4.3 le temps de calcul 2 et le nombre de générations. Le nombre de

générations que nous avons dans les données de sortie ne correspond pas précisément au nombre

réel de générations calculées. Pour chaque génération donnée, nous avons un certain nombre de

1. http ://www.mathworks.com/help/toolbox/gads/gaoptimset.html2. Processeur Intel(R) Core(TM) i5 M560 2,67Ghz et 8 Go de RAM

104


Table 4.3.: Statistiques des calculs d’optimisation sur la bifurcation

α Temps de calcul [heures] Générations

0 40 3 (41)

0,25 57 3 (41)

0,50 61 3 (41)

0,75 73 5 (67)

1 65 5 (67)

sous-générations qui sont exécutées pour la gestion des contraintes non-linéaires. Ces dernières,

ne sont pas revérifiées par l’algorithme à la dernière génération, pourtant, une vérification de la

part de l’utilisateur est nécessaire.

Cas α = 0

Pour chaque sous-génération, le nombre de fois que la fonction fitness est sollicitée correspond

au nombre d’individus dans la population. Pour le présent cas, nous avons 41000 points de

l’espace de recherche qui ont été explorés, leurs scores sont représentés graphiquement dans la

Figure 4.14a en suivant l’ordre des sous-générations. Au total, nous avons 2662/41000 (6,5%)

des individus qui ne respectent pas les contraintes, dont la majorité se trouve aux 14 premières

sous-générations, ce qui est naturel puisque l’algorithme est en train de reconnaître les bons et les

mauvais points. On remarque qu’à partir de la cinquième sous-génération (à partir de l’individu

5000), la diminution du score minimum est relativement faible.

La dernière sous-génération est représentée dans la Figure 4.14b. La fraction de crossover est

bien visible dans la population finale, nous avons 0,8 par défaut. L’algorithme ne trouve pas un

score qui soit inférieur à 350,8 ; la moyenne de la population finale est de 351,4 et le pire individu

a 370,5.

Les individus de la dernière sous-génération qui respectent les contraintes non-linéaires sont

présentés dans la Figure 4.18. On voit que la dispersion entre les points est faible, de façon à ce

que les valeurs moyennes de chaque variable sont facilement identifiées dans le graphique. Ces

valeurs moyennes sont en correspondance avec le meilleur individu, celui qui a le score le plus

faible. Cela justifie la proximité entre le meilleur score et le score moyen de la sous-génération

finale.

Une bonne dispersion des individus de la sous-population de départ et une taille raisonnable de

cette population sont importantes pour que l’exploration du domaine soit efficace. La distance

moyenne entre les individus au cours de sous-générations est présentée dans la Figure 4.19.

Au fur et à mesure que l’opérateur crossover amène à la recombinaison et à la création de

schemata de plus en plus performantes, on perçoit qu’au bout de la quinzième sous-génération

la distance moyenne entre les individus est environ trois fois plus petite que celle au départ.

L’algorithme est en train de converger vers un point optimal. Un deuxième effort est fait pour

augmenter la probabilité que le résultat final soit un minimum global par l’intermédiaire de

l’opérateur mutation. C’est grâce à la génération des enfants mutants que la distance entre les

105


(a) Evolution des scores le long des générations, α = 0

(b) Evolution des scores à la dernière sous-génération, α = 0

Figure 4.14.: Les scores des individus le long des générations

106


Figure 4.15.: Population optimale pour α = 0

individus remonte vers la vingtième et la trentième sous-génération, en maintenant la diversité

de la population au cours des générations. La mutation réalisée sur les individus au cours des

itérations engendre les variations de score observées dans la Figure 4.14a. Le long des sous-

générations d’une génération donné, la distance moyenne diminue, souvent, selon une gaussienne.

D’après le guide de l’utilisateur, le taux moyen de mutation décroit linéairement au cours de

générations.

Cas α = 0, 25

Le nombre de contraintes violées pour le présent cas est sensiblement inférieur, nous avons

680/41000 (1,7%). Dû à la nature stochastique de la méthode, il est difficile de dire que la

raison soit uniquement lié au paramètre α. En observant la Figure 4.17a, on perçoit une rapide

convergence des scores dans la première moitié des générations et la valeur minimale baisse très

peu. Nous avions déjà dans la population de départ une bonne estimation du meilleur individu.

Dans la deuxième moitié, on y observe hormis le score le plus bas, d’autres niveaux bien définis.

Il y a un ensemble de points en grande concentration vers le score 400, un nombre raisonnable

de points au tour du score 420 et quelques points au dessus du score 450. On observe dans

Figure 4.17b l’effet des opérateurs, les 800 premiers sont soumis au crossover, il y a 2 individus

d’élite qui sont préservés et donc, les 198 individus manquants sont soumis à la mutation. Dans

cette population assez diverse, la valeur minimale est de 379,2, la moyenne est de 383,3 et la

maximale de 454,4.

La population optimale ne contient pas une valeur moyenne bien définie, selon l’illustration

de la Figure 4.18. Le meilleur suit la tendance de la majorité des individus, néanmoins, il existe

d’autres points en évidence. En prenant, par exemple, la variable x1, nous avons la moyenne vers

0,3m, un deuxième groupe à la fin de la population au tour de 0,44m, un troisième vers 0,56m

107


Figure 4.16.: Diversité des populations au cours du calcul, α = 0

Table 4.4.: Scores et violation de contraintes

αScores

[min moy max]Violations

0,50 [393,3 393,5 416,7] 197/41000

0,75 [405,1 405,4 424,6] 16/67000

1 [415,5 416,5 472,4] 178/67000

et un dernier groupe près de 0,81m.

Les graphiques précédents démontrent que la population finale n’est pas concentrée autour

d’un point. On le constate également sur la Figure 4.19, la 41eme sous-génération présente une

distance moyenne entre les individus de 0,1m. D’ailleurs, on observe une bonne correspondance

entre les Figures 4.17a et 4.19, en mettant en évidence le rôle de l’opérateur mutation.

Cas α = 0, 50 ; 0, 75 ; et 1

Qualitativement, le comportement de l’algorithme génétique pour les cas α = 0, 50 ; 0, 75 et 1

est similaire aux cas précédents, la seule chose que les deux derniers ont en plus est le nombre de

générations. Dans le Tableau 4.4, on présente les scores de la dernière population et la quantité

d’individus qui ont été générés pendant tout le calcul sans respecter les contraintes. Les valeurs

des scores moyens sont toujours assez proches du meilleur individu, ce qui justifie la convergence

par une faible variation de la valeur moyenne d’une génération à l’autre. Le nombre de contraintes

violées au cours du calcul reste faible, surtout que le nombre total d’individus augmente de 41000

à 67000 pour les α = 0, 75 et 1.

108


(a) Evolution des scores le long des générations, α = 0, 25

(b) Evolution des scores à la dernière sous-génération, α = 0, 25

Figure 4.17.: Les scores des individus le long des générations

109


Figure 4.18.: Population optimale pour α = 0, 25

Figure 4.19.: Distance entre individus au cours du calcul, α = 0, 25

110


Figure 4.20.: Les scores à la dernière sous-génération, α = 0, 50

Nous avons constaté dans ces trois cas que la population finale n’a pas de dispersion plus

importante parmi les derniers individus. Ceci est une indication que le taux de mutation pour

ces cas était nul à la dernière génération. On présente dans la Figure 4.20 ce résultat, en prenant

comme exemple, le cas α = 0, 50.

4.1.4.3. Conclusions

On a étudié l’optimisation du refroidissement d’un domaine représentant une bifurcation. Cela

nous a permis de mieux appréhender les algorithmes locaux et globaux d’optimisation et de voir

leur comportement par rapport à un cas simple. Pour cela nous avons défini une fonction objectif

agrégée pour prendre en compte la température moyenne et la température maximale, pondérées

par un coefficient α. Une série de calculs a été réalisée pour comprendre l’effet du paramètre α sur

les résultats de l’optimisation de la fonction objectif agrégée (FOA), définie par l’Equation 4.14.

D’après le Tableau 4.2, on note qu’il est possible de maintenir la même valeur de la température

maximale et de faire baisser la moyenne de 4K quand on passe de α = 1 à α = 0, 75. Ce résultat,

observé également dans la Figure 4.10a, n’est plus possible quand on diminue encore la valeur de

α, puisque l’augmentation de la température maximale est plus rapide que la diminution de la

température moyenne. Un bon compromis reste entre 0, 50 ≤ α ≤ 0, 75. L’étude de ce cas nous

a également permis de vérifier simplement la validité des résultats obtenus. A partir d’une étude

sur la thermique de quelques cas types, nous avons identifié des pistes pour l’identification du

point optimal, indépendamment de la valeur de α. Les valeurs optimales des variables x1 et x2

doivent être entre leurs bornes inférieures et le centre de la bifurcation. La largeur optimale du

canal principal doit être supérieure à la dimension de la branche latérale. Il faut souligner qu’il

existe des points qui ne correspondent pas à ces critères et qui ont une configuration thermique

assez proche, mais pas meilleure, de la configuration optimale.

111


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Figure 4.21.: Débits de référence du modèle thermique

4.2. Optimisation thermique de la machine électrique

La description du modèle thermique de la machine électrique et sa résolution ont été abordés

au Chapitre 3. Ce modèle est utilisé dans nos études d’optimisation. Dans la présente section,

on décrit la formulation du problème d’optimisation, les méthodes de résolutions utilisées et

l’exploitation des résultats.

4.2.1. Définition du problème d’optimisation thermique

Le problème d’optimisation est défini par les variables d’optimisation, le critère à minimiser

et les contraintes qui délimiteront le problème. Ces informations sont discutées par la suite.

4.2.1.1. La fonction objectif et les contraintes

Le but de cet étude d’optimisation est trouver une configuration thermique plus intéressante

que celle présentée dans les Figures 3.8, 3.9, 3.10 et 3.11. En se servant de l’expérience aquise avec

le problème d’optimisation d’une bifurcation, on utilise dans le cas de la machine deux critères :

la température maximale et la moyenne du solide pondérée par le volume.

La recherche d’une configuration thermiquement optimisée est faite par la variation des débits

de référence de la machine. Ils sont 13, dénotées par X = [X1, X2, ..., X13]T . Leur position et

leur valeurs sont présentées respectivement dans la Figure 4.21.

Les variables de design ne peuvent pas varier librement ; autrement des valeurs très importantes

en vitesse seraient atteints (écoulement supersonique, par exemple) ou on pourrait avoir des

débits entrants dans le rotor. Afin d’éviter ces incohérences, on a imposé les bornes de [0 3,5]

m3.s−1 pour les variables X1, X2, ..., X7 et les bornes de [−2 2] m3.s−3pour les variables X8,

X9, ..., X13. Une contrainte non-linéaire s’avère également nécessaire pour éviter un effet de

recirculation généré par l’arrangement des voies d’évacuation du système de refroidissement de

112


la machine. Par exemple, si tous les débits sortant du rotor (6 canaux) sont en butées à leur

limite supérieure (2m3.s−1), on aura un débit sortant du rotor de 12m3.s−1. En sachant qu’on

n’a que 7m3.s−1 entrant dans la machine, on voit que les bornes ne sont pas suffisantes pour

assurer des configurations physiquement plausibles. En suivant ce raisonnement, on a défini 6

volumes de contrôle (Figure 4.21, Volumes I, II, ..., VI) dans le domaine. La somme des débits

entrant (QE) est faite pour chaque volume et confrontée au débit entrant de la machine (Qin).

Compte tenu des paragraphes précédentes, on définit mathématiquement le problème par :

min FOA = αTmax(X) + (1− α)Tms(X) (4.15a)

0 ≤ α ≤ 1 (4.15b)

0 ≤ X1 ≤ 3, 5 (4.15c)

0 ≤ Xi ≤ 2, pour i=2, 3, ..., 7 (4.15d)

−2 ≤ Xi ≤ 2, pour i=8, 9, ..., 13 (4.15e)

QE,i −Qin ≤ 0, pour i=I, II, ..., VI (4.15f)

4.2.2. Outils et paramétrage

Les outils

Les toolboxes de Matlab® ont été utilisées pour résoudre ce problème d’optimisation, plus

précisement, le solver des Algorithme Génétique (AG) et le solver FMINCON (type SQP, Active-

set). Ces méthodes sont décrites dans les Sections 2.3.1 et 2.3.2.1.

Parametrage

Pour l’Algorithme Génétique, une population de 1000 individus a été choisie. Cinc valeurs de

α ont été testées, pour vérifier la pertinence de la fonction objectif aggregée (FOA). Comme dans

le cas de la bifurcation, on a utilisé les valeurs 0 ; 0,25 ; 0,5 ; 0,75 et 1. Les autres paramètres sont

laissés aux valeurs par défaut, comme par exemple, la fraction de crossover (0,8) et le nombre

d’invidus d’élite (2). Le nombre de générations est laissé suffisamment large pour favoriser le

critère d’arrêt <‌<variation moyenne de la fonction objectif moyenne est inférieure à la tolérance

specifiée>‌>.

En ce qui concerne l’Active-set, on n’a testé que le critère température moyenne du solide

pondéré par le volume (α = 0), en utilisant les tolérances (relatives) par défaut de 10−6. Cette

valeur s’est montré suffisante pour favoriser le critère <‌<variation moyenne de la température

moyenne est inférieure à la tolérance>‌>, comme indique la Figure 4.22. Deux points de départ

ont été testés, ils sont :

Cas 1 :

X0, cas 1 = [0, 0030 0, 7626 0, 7267 0, 6772 0, 6145 0, 5482

0, 9437 1, 1174 1, 3269 1, 4021 1, 2951 − 0, 5181 − 1, 3305]T

113


Cas 2 :

X0, cas 2 = [3, 5000 0, 0611 0, 0611 0, 0611 0, 0611 0, 0611

0, 0611 0, 0611 0, 0611 0, 0611 0, 0611 0, 0611 0, 0611]T

Le premier cas représente une répartition des débits réelle dans la machine. Il s’agit de notre cas

de référence. Le deuxième n’est qu’un point arbitraire qui représente une ventilation dégradée.

4.2.3. Résultats et discussion

Les résultats avec l’Algorithme Active-set.

L’évolution des 13 variables d’optimisation et de la FOA pour α = 0 est présentée dans la

Figure 4.22 pour les deux point initiaux testés (X0, cas 1 et X0, cas 2). Pour le cas 1 (Figure 4.22a),

45 itérations ont été exécutées. Des variations très importantes sont observées dans les 6 pre-

mières itérations. La FOA prend une direction montée à la troisième itération lorsque la variable

X1 s’approche de sa borne supérieure. Un comportement moins turbulent est observé entre les

itérations 6 et 24, malgré le fait que la FOA a pris la direction de montée une deuxième fois à la

15eme itération. Les 20 dernières itérations sont plus stables et permettent la convergence selon

le critère <‌<le changement estimé de la fonction objectif est inférieure à la tolérance relative

pré-établie (10−6)>‌>. La valeur de la FOA est de 333,5K.

Le deuxième point initial testé a eu besoin de 77 itérations (Figure 4.22b) pour atteindre l’état

optimal. Sa convergence a été obtenue par le même critère que le cas précédent. Les 20 premières

itérations sont très instables et la direction montante est prise à deux occasions. Les itérations

suivantes deviennent de plus en plus stables et la valeur optimale de la FOA est de 331,5K.

Bien que l’état initial soit dégradé (cas 2), la valeur de la FOA obtenue est meilleure que celle

du cas 1. Le champ de température dans son ensemble est lui aussi meilleur dans le deuxième

cas (Figure 4.23), notamment dans la région des développantes, côté sortie. La température la

plus importante au bobinage du rotor dans le cas 1 est de 433K, contre 407K dans le deuxième.

Dans les deux cas, la température aux développantes est de 432K.

Pour α = 0, on ne considère que la température moyenne dans la FOA. C’est le critère qui offre

la fonction objectif la plus lisse, une fois que l’on parle de valeurs moyennes. Malheureusement,

dans les deux cas étudiés on observe des fortes perturbations le long des itérations et la prise de

direction de montée. Ces perturbations peuvent ramener la solution vers un minimun local. Afin

d’augmenter la chance de trouver un minimum global et d’essayer des fonctions objectif encore

plus difficiles à résoudre en augmentant la valeur de α, on a utilisé les Algorithmes Génétiques.

Les résultats avec l’Algorithme Génétique.

Toutes les simulations se sont arrétées selon le critère <‌<la variation moyenne de la fonction

objectif moyenne est inférieure à la tolérance relative pré-établie (10−6)>‌>, à la quatrième géné-

ration (54000 évaluations de la fonction objectif). Les statistiques de la dernière génération pour

les différentes valeurs de α sont présentées dans la Table 4.5. La valeur moyenne de la FOA est

généralement proche de la minimale parce que la population finale est concentrée près du score

114


0 6 12 18 24 30 36 42−2.000

−1.250

−0.500

0.250

1.000

1.750

2.500

3.250

4.000

Iterations

X [m

3.s

−1]

330.0

334.4

338.8

343.1

347.5

351.9

356.3

360.6

365.0

AOF

[K

]

X1

X2

X3

X4

X5

X6

X7

X8

X9

X10

X11

X12

X13

AOF

(a) Cas 1

0 10 20 30 40 50 60 70 80−1.000

−0.438

0.125

0.688

1.250

1.813

2.375

2.938

3.500

Iterations

X [m

3.s

−1]

330.0

336.3

342.5

348.8

355.0

361.3

367.5

373.8

380.0

AOF

[K

]

X1

X2

X3

X4

X5

X6

X7

X8

X9

X10

X11

X12

X13

AOF

(b) Cas 2

Figure 4.22.: Itérations réalisées à l’aide de l’algorithme Active-set

115


(a) Cas 1

(b) Cas 2

Figure 4.23.: Champs optimaux de température - Active-set

minimal. Le nombre de contraintes violées tend à diminuer avec l’augmentation du paramètre α.

Les valeurs minimales de la FOA augmentent, en moyenne, de 23K d’une valeur de α à l’autre.

En comparant les algorithmes Active-set et Génétique (AG), la valeur de la FOA fournie par les

AG est légèrement inférieure.

Table 4.5.: Les statistiques de l’Algorithme Génétique pour différentes valeurs de α

α Scores de la dernière génération Violations

[min moyenne max]

0 [331.2 331.8 341.7] 2071/54000

0.25 [355.8 356.7 454.9] 1818/54000

0.50 [379.2 383.2 638.3] 1369/54000

0.75 [401.7 405.4 501.7] 1093/54000

1 [423.5 428.7 799.0] 974/54000

La liste créée avec les critères température maximale et température moyenne du solide pondé-

rée par le volume pour les différentes valeurs de α est illustrée dans la Figure 4.24. Les estimations

de Tmax et Tms obtenues avec l’Active-set (cas 1, α = 0) sont également présentées. Ils se trouvent

proches du point optimal pour α = 0, 25. Tous les points optimaux sont dispersés dans un rec-

tangle de 7x5K. Les points correspondants à α = 0, 75 et 1 sont assez proches. Ceci s’explique

par le fait que le critère de température maximale est plus difficile à minimiser que la moyenne.

Le gain en Tmax observé en changeant α de 1 à 0 est légèrement supérieur à la décroissance du

critère Tms, mais cela ne veut pas dire que le scénario thermique pour α = 1 soit plus intéressant.

116


422 423 424 425 426 427 428 429 430 431

332

333

334

335

336

337

Tmax

[K]

Tms [K

]

α = 0

α = 0.25

α = 0.50

α = 0.75

α = 1Optimal results

Ref.Case

Figure 4.24.: Liste d’individus optimaux

La comparaison entre les critères α = 0 et α = 1 (Figure 4.25) montre que le critère tempéra-

ture moyenne du solide (α = 0) permet un meilleur refroidissement. Les valeurs intermédiaires

de α ne sont qu’une transition entre les deux cas extrêmes. Le bobinage du rotor et la deuxième

moitié du stator (en relation à l’entrée) sont pénalisés lorsque plus d’importance est donnée au

critère de température maximale. Dans toutes les situations, la température la plus importante

se situe aux développantes. Autrement dit, la région des développantes n’est pas la plus sensible

à la répartition de débits dans l’alternateur. Les bobinages sont mieux refroidis dans la région

centrale du modèle puisque le matériau solide au voisinage (les tôles magnétiques du stator) et

les évents augmentent la surface d’échange. Voici la raison pour laquelle le critère température

maximale a échoué, une fois qu’elle se trouve toujours dans les développantes.

Les répartitions optimales obtenues ne suivent pas les tendances du cas de référence (Cas 1),

sauf la variable X1 qui est toujours près de sa borne inférieure. Bien que la fonction objectif

soit différente pour chaque valeur de α, on a des caractéristiques semblabes entre les différentes

répartitions optimales. Par exemple, tous les débits au stator sont dans le sens de l’entrefer vers

la carcasse. Ils correspondent à 90% du débit entrant, donc la majorité du débit passe par le

canal axial statorique, entre le stator et la carcasse. On perçoit également que le débit au premier

évent est près de sa borne supérieure en même temps que X1 est près de sa borne inférieure. Ceci

suggère que le passage X1 pourrait être fermé afin de favoriser le flux conductif de chaleur dans

la direction radiale. Ainsi, le premier évent est la voie la plus efficace pour refroidir la première

portion solide du stator (développantes comprises).

Pour α = 0, la répartition de débits a une particularité qui la rend plus efficace que les autres.

Quasiment tout le débit entrant passe par le rotor avant de monter dans les évents. Dans le

rotor, la majorité du débit entrant sort par les trois derniers canaux radiaux. Le rotor sert de

voie stratégique d’injection d’air frais dans la deuxième moitié de la machine. Les deux autres

options, l’entrefer et le canal axial statorique, ne peuvent pas donner le même effet parce que ce

sont le régions où il y a une grande dissipation d’énergie (pertes, Figure 3.7).

117


(a) α = 0

(b) α = 0, 25

(c) α = 0, 50

(d) α = 0, 75

(e) α = 1

Figure 4.25.: Champs optimaux (AG)

118


4.2.4. Conclusion

On a étudié l’optimisation thermique d’une machine électrique de forte puissance. Cet al-

ternateur est modélisé par la méthode nodale et le champ de température résultant est utilisé

pour définir une fonction objectif agrégée. Cette fonction combine deux critères, la température

maximale et la moyenne du solide pondérée par son volume. Treize variables d’optimisation sont

utilisées, elles correspondent aux débits de référence du modèle thermique. Deux outils d’op-

timisation ont été utilisés, les Algorithmes Génétiques et l’Active-set du solver FMINCON du

Matlab®. La méthode de gradient a démontré de fortes tendances de minima locaux, et ainsi, les

algorithmes génétiques se sont montrés plus appropriés pour le recherche de l’optimum global.

Le critère de température moyenne s’est montré plus pertinent que le critère de température

maximale. A partir du résultat, on conclut que le rotor est une voie stratégique pour l’injection

d’air frais à la deuxième partie de la machine. Les autres solutions lui fournissent de l’air déjà

chaud.

119

5. Conclusions et perspectives

5.1. Conclusions

Dans ce travail de thèse, on a étudié le comportement thermique d’une machine synchrone

de forte puissance. Il s’agit d’un groupe de machines qui fournissent entre 5 et 20 MW , dédiées

à la production décentralisée d’énergie. Malgré leur excellent rendement, on risque d’avoir des

niveaux thermiques importants dans les isolants électriques. Il est ainsi souhaitable de gérer

ces niveaux thermiques afin d’augmenter la vie utile de l’équipement, sans compromettre leur

rendement. L’optimisation sur le point de vue thermique s’avère ainsi nécessaire.

On a une grande variété d’outils d’optimisation. Dans ce travail on a cité deux groupes :

les méthodes locales et (quasi) globales. Le premier comprend les méthodes qui n’ont pas de

mécanismes destinés à éviter les points de minimum locaux. Plus précisément, on a abordé les

méthodes de gradient comme l’Active-set et le Point Intérieur. Le deuxième groupe correspond

aux Algorithmes Génétiques. Le succès dans l’obtention du point optimal global dépend d’un

bon paramétrage de l’algorithme vis-à-vis de la taille du problème et de la fonction objectif. Les

deux groupes ont été utilisés pour l’étude de l’optimisation de la machine électrique.

Afin de mieux comprendre ces deux groupes de méthodes, on s’est servi d’un cas pédagogique.

On a considéré une géométrie simple qui se répète très souvent dans le système de refroidissement

de la machine. Cette géométrie est une bifurcation à 90° avec une seule entrée. Son modèle aéro-

thermique est composé d’un sous-modèle de pertes de charge (fluide) et nodale (thermique). Ce

modèle permet l’obtention du champ de température en fonction de paramètres géométriques. Le

problème d’optimisation a été modélisé en utilisant des variables géométriques et la pondération

entre les critères <‌<température maximale>‌> et <‌<température moyenne>‌>. S’ils sont bien

utilisés, les deux outils d’optimisation se montrent capables d’atteindre l’optimum global pour

ce cas.

Une fois maîtrisé les outils d’optimisation, on a travaillé sur le problème d’optimisation de

la machine électrique. Treize valeurs de référence de débits ont été utilisées comme variables

d’optimisation. La pondération entre les deux critères testés dans le cas de la bifurcation a été

également utilisée. On a toutefois deux grands changements : la taille du modèle thermique, on

passe de 9 à 950 nœuds et la taille du problème d’optimisaton, on passe de 3 à 13 variables.

Compte tenu de l’augmentation de la complexité du problème, l’Algorithme Génétique s’est

montré plus adapté.

La présente étude a identifié le chemin par lequel le fluide pourrait mieux refroidir la machine.

Compte tenu que le modèle thermique représente les tendances thermiques, le résultat optimal

est plutôt qualitatif. Selon notre modèle, on a perçu qu’il est plus viable de faire entrer l’air

entièrement par le rotor, en sortant dans l’entrefer et en montant par les évents. Le rotor est une

voie stratégique pour injecter de l’air froid du coté sortie d’air de la machine, où généralement il

120

5. Conclusions et perspectives

arrive déjà réchauffé.

5.2. Perspectives

On a deux voies de travaux possibles qui peuvent être continuées. On a la voie expérimentale

et la voie numérique.

Ce travail de thèse était à l’origine expérimental. On a construit une maquette transparente

pour l’étude aérothermique d’un enchaînement de bifurcations. Malheureusement cette maquette

est devenue opérationnelle un peu trop tard pour le cadre de la présente étude. Un schéma et le

principe de fonctionnement sont présentés dans l’Annexe A. Dans cette maquette, on pourra dans

le futur étudier non seulement l’aspect aéraulique par l’intermédiaire de la PIV (Vélocimétrie

par Images de Particules), mais aussi, les échanges convectifs aux parois par la thermographie

infrarouge.

La séquence de ce travail d’optimisation pourrait aborder deux aspects : explorer encore

d’autres outils d’optimisation et utiliser des modèles thermiques plus fins. On a des méthodes

d’optimisation récentes qui se montrent assez robustes pour différentes applications, comme par

exemple, la PSO (optimisation par essaims particulaires). En ce qui concerne le modèle ther-

mique, il est souhaitable d’utiliser des outils plus fins de calcul afin de mieux prendre en compte

les différents mécanismes de transport. Par exemple, il y a des outils basés sur l’analyse par

éléments finis (FEA). L’utilisation de méthodes numériques plus robustes devient nécessaire

lorsqu’on envisage l’optimisation géométrique et l’optimisation multiphysique.

121

Annexe

122

A. Maquette : Séquence de bifurcations

On présente une maquette transparente conçue dans le but d’étudier une séquence de 5 bifur-

cations à 90°. Cette région représente une partie de la machine électrique étudiée dans ce travail.

On représente la région du stator comprise entre l’entrefer et le canal axial statorique. Dans la

Figure A.1 on a les cinq bifurcations en mettant en évidence l’entrefer, les évents et le canal axial

rotorique.

A cause de la technique de mesure, il était souhaitable d’avoir la maquette en circuit fermé

(Figure A.2). Le retour est construit de façon à générer la plus petite perte de charge possible.

Il y a ainsi la nécessité d’un convergent et des divergents pour faire varier l’aire des sections.

Il est important d’avoir un écoulement contrôlé à l’entrée de la maquette. A cet effet, trois

mesures ont été prises :

– Positionner les ventilateurs à la sortie ;

– Conception d’une section de stabilisation :

– Conception d’un convergent 2D.

En mettant les ventilateurs à la sortie, toute perturbation générée par les pales ne sera pas

injectée dans l’écoulement étudié. De plus, en ajoutant une section de stabilisation, on casse les

structures tourbillonaires qui peuvent arriver à l’entrée et on oriente l’écoulement parallèlement

aux parois. Pour atteindre ce but, un nid d’abeille a été mis avant le convergent, une fois que les

vitesses y sont moins élevées et cela provoque une perte de charge moins importante.

Le convergent est la pièce la plus importante de la maquette. Tout ce qui va après le convergent

influencera directement les résultats. Il est donc important d’avoir une transition douce entre

les sections d’aires différentes. On n’a qu’un changement en hauteur, la largeur est toujours

la même. Ainsi, on a un convergent 2D. Il n’existe pas de règle pour projeter le profil d’un

convergent. Toutefois, on a suivi une méthodologie. On a choisi un profil d’un polynôme d’ordre

3, en considérant des dérivées nulles en entrée et en sortie et en mettant son point d’inflexion au

milieu du convergent (à 200mm de son origine). Le profil obtenu, illustrée dans la Figure A.3,

est :

f (x) = 5, 9375x3 + 3, 5625x2 (A.1)

0 ≤ x ≤ 400 (A.2)

Enfin, on présente un schéma 3D de la maquette (Figure A.4a) et la maquette achevée dans la

Figure A.4b. En ce moment, la maquette est opérationelle, prête pour les études aérothermiques,

en sachant qu’on a un module spécial pour l’étude thermique.

123


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Figure A.1.: Séquence de 5 bifurcations

124


Figure A.2.: La maquette : principales dimensions

125


Figure A.3.: Convergent

126


(a) Schéma 3D

(b) Maquette achevée et instrumentée avec un système PIV 2C2D

Figure A.4.: La maquette

127

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Résumé

La présente étude concerne l’étude d’optimisation thermique d’une machine électrique. Un

modèle nodal est utilisé pour la simulation du champ de température. Ce modèle résoud

l’équation de la chaleur en trois dimensions, en coordonnées cylindriques et en régime transi-

toire ou permanent. On prend en compte les deux mécanismes de transport les plus importants :

la conduction et la convection. L’évaluation de ce modèle est effectuée par l’intermediaire de

13 valeurs de débits de référence. C’est en faisant varier ces variables qu’on évalue la perfor-

mance du refroidissement dans la machine. Avant de partir sur l’étude d’optimisation de cette

géométrie, on a lancé une étude d’optimisation d’un cas plus simple afin de mieux comprendre

les différents outils d’optimisation disponibles. L’expérience acquise avec les cas simples est util-

isée dans l’optimisation thermique de la machine. La machine est thermiquement évaluée sur la

combinaison de deux critères : la température maximale et la température moyenne. Des con-

traintes ont été additionnées afin d’obtenir des résultats physiquement acceptables. Le problème

est résolu à l’aide des méthodes de gradient (Active-set et Point-Intérieur) et des Algorithmes

Génétiques.

iii

Abstract

This work relates the thermal optimization of an electrical machine. The lumped method is

used to simulate the temperature field. This model solves the heat equation in three dimen-

sions, in cylindrical coordinates and in transient or steady state. We consider two transport

mechanisms: conduction and convection. The evaluation of this model is performed by means

of 13 design variables that correspond to the main flow rates of the equipment. We analyse

the machine cooling performance by varying these 13 flow rates. Before starting the study of

such a complicated geometry, we picked a simpler case in order to better understand the variety

of the available optimization tools. The experience obtained in the simpler case is applyed in

the resolution of the thermal optimization problem of the electrical machine. This machine is

evaluated from the thermal point of view by combining two criteria: the maximum and the mean

temperature. Constraints are used to keep the problem consistent. We solved the problem using

the gradient based methods (Active-set and Interior-Point) and the Genetic Algorithms.

iv

optimisation aérothermique d'un alternateur à pôles saillants pour la

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