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Optimisation de la macro et microgéométries des

dentures pour minimiser les fluctuations de l’erreur

de transmission et de la raideur d'engrènement

Pierre Garambois, Emmanuel Rigaud, Joël Perret-Liaudet

JTM 2016 • Pierre Garambois, Emmanuel Rigaud, Joël Perret-Liaudet • Juillet 2016

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Introduction / Contexte industriel

Sources du bruit solidien:

• Fluctuation de couple moteur et fluctuation de couple fluidique sur les lobas

• Excitations liées à la transmission par engrenage

« Optimisation des caractéristiques géométriques de l’engrenage de façon à minimiser les

excitations qui sont générées, en prenant en compte leur robustesse à la présence de défauts »

-> Optimisation multi-objectifs et multi-paramètres par algorithme génétique


Dispersion dans les tolérances de fabrication des engrenages: quelques microns -> écarts de plusieurs dB

JTM 2016 • Pierre Garambois, Emmanuel Rigaud, Joël Perret-Liaudet • Juillet 2016 3

Plan

1. Caractérisation des excitations générées par les engrenages

2. Objectifs et paramètres de l’optimisation

3. Modèle analytique de flexion de dentures

4. Algorithme d’optimisation

5. Résultats

4

1- Caractérisation des excitations générés par la

transmission par engrenage


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1- Caractérisation des excitations générées par l’engrenage: EST

𝐻.𝑃 = . 1 − 𝑒

𝑡1.𝑃 = 𝐹

Erreur Statique de Transmission (EST) périodique δ(t)

𝐻.𝑃 + . 1 ≤ 𝑒

𝑃𝑖 ≥ 0

• Écarts de micro-géométrie (défauts ou corrections)

• Déformations élastiques de la denture

0

5

10

15

20

25

EST (µm)

Te

1500 N

2Te0 f1, f2 fe 2fe

Excentricités,erreurs de division

Déformations des dentures,défaults de profil et de distorsion

erreurs de parallélisme

Erreurs dent à dent aléatoires

avec les contraintes


EST(): erreur statique de transmission

k(): raideur d’engrènement

EST non-linéaire par rapport à la charge

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𝑘() = 𝐹

()

Raideur périodique d’engrènement:

Système paramétrique

-> couplage avec les excitations extérieures à l’engrènement

-> enrichissement spectral

1- Caractérisation des excitations générées par l’engrenage: raideur d’engrènement


EST(): erreur statique de transmission

k(): raideur d’engrènement

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2- Objectifs et paramètres de l’optimisation


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2- Objectifs de l’optimisation

Pour chaque engrenage, simulation de

Monte-Carlo pour modéliser les défauts (dans

la classe de qualité définie) et étude de la

densité de probabilité (1000 tirages aléatoires)


Objectifs de l’optimisation:

• Minimiser la valeur efficace de la fluctuation de raideur (moyenne sur les tirages)

• Minimiser la valeur efficace de la fluctuation d’EST (moyenne sur les tirages)

Défauts:

• Profil (linéaire et parabolique)

• Hélice (linéaire et parabolique)

• Parallélisme

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2- Paramètres de l’optimisation

Paramètres macrogéométriques:

• Outil : couple module m / angle de pression α

• Angle d’hélice β

• Nombre de dents Z

• Hauteur de saillie ha

Paramètres microgéométriques

• Bombé d’hélice

• Une dépouille linéaire en tête, 2 paramètres:

- la dépouille

- profondeur de dépouille)

Chaque solution testée et proposée par l’algorithme:

• est une combinaison d’une macro et microgéométries

• ses objectifs sont une moyenne, sur une simulation de Monte-Carlo, des fluctuations de

raideur et d’erreur de transmission


Contraintes:

• Entraxe imposé

• Engrenage inverseur: Z1=Z2

• Jeu fonctionnel imposé (fixe le déport)

• Continuité du mouvement, pas d’interférences

Bombé d’hélice Dépouille en tête

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3- Modèle analytique associé de flexion de dent


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3- Modèle analytique associé de flexion de dent

𝐻.𝑃 = . 1 − 𝑒

𝑡1.𝑃 = 𝐹 Système à résoudre: avec H la matrice de souplesse des dents en prise

dans l’engrènement (différente pour chaque engrenage)

Modèle analytique de flexion de dent pour reconstruire la

matrice de souplesse H:

• Modèle de plaque épaisse de Reissner-Mindlin

(flexion, torsion et cisaillement) dont l’épaisseur

variable correspond à celle de la dent

• Modèle de Ritz cinématiquement admissible pour

approximer la flèche w(x,y) et les rotations de

section x(x,y) et y(x,y)

Modèle efficace (~1s~) par rapport aux méthodes existantes (éléments-finis, ~plusieurs dizaines de minutes~)

Gain de temps important (facteur 1000)


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4- Algorithme génétique d’optimisation


13

4- Algorithme génétique d’optimisation

• Fonction « objectifs » d’ordre 0

• Problème multi-objectifs, compromis

• Nombre de paramètres élevé

Algorithmes de type

génétique: NSGA-II

Principe:

• « Un individu » = un engrenage (combinaison d’une macro et d’une microgéométries)

• « Une population » = ensemble de plusieurs engrenages

• « Evaluation d’un individu » = construction de la matrice de souplesse d’un engrenage et simulation

de Monte-Carlo avec des défauts


• Populations de 100 engrenages

• 200 générationsPlusieurs milliers d’engrenages

testés, plusieurs jours de calcul

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4- Représentation sous forme de front de Pareto

Représentation des résultats sous forme de front de Pareto: chaque point est un

engrenage, compromis vis-à-vis des 2 objectifs de fluctuation d’EST et de raideur


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5- Résultats de l’optimisation


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5- Résultats de l’optimisation: pour un outil m=2


17

5- Résultats de l’optimisation: pour un outil m=2

0.000

0.500

1.000

1.500

2.000

2.500

3.000

0.000 0.025 0.050 0.075 0.100 0.125 0.150 0.175

Val

eur

effi

cace

de

la f

luct

uat

ion

d’E

ST (

en µ

m)

Valeur efficace de la fluctuation de raideur (en %)


Données Macro-géométriques Données micro-géométriques Objectifs (moyenne sur 1000 tirages)

Module Angle Pres. Nb dentsCoeff Déport Angle Hélice Coeff Saillie Bombé hél Dép. Prof Dép. RMS Fluct Raideur RMS Fluct EST

(mm) (°) (°) (μm) (μm) (mm) (ramenée à la moy) NUM CAS

2 20 19 -0.036 5 0.590 0 0 0.000 0.083 1.741 15

2 20 18 0.408 10 0.688 5 0 0.000 0.086 1.670 7

2 20 17 0.521 20 0.795 0 5 0.409 0.093 1.439 9

2 20 16 0.804 25 0.903 0 5 0.431 0.105 0.997 8

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5- Résultats de l’optimisation: tous les outils


0.000

0.500

1.000

1.500

2.000

0.000 0.020 0.040 0.060 0.080 0.100 0.120 0.140 0.160

Val

eur

effi

cace

de

la f

luct

uat

ion

d’E

ST (

en µ

m)

Valeur efficace de la fluctuation de raideur (en %)

Outil m=1

Outil m=1.25

Outil m=1.5

Outil m=1.75

Outil m=2

Outil m=2.25

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Conclusions et perspectives


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Conclusions et perspectives

Modèle analytique de flexion de dent:

• Modèle de plaque épaisses couplé à un modèle de Ritz

• Gain de temps de calcul d’EST (facteur 1000)

Procédure d’optimisation robuste:

• Génération aléatoire d’un engrenage

• Paramètres à la fois macro et microgéométriques

• Objectifs de fluctuation de raideur et d’EST avec prise en compte de la robustesse

aux défauts

• Résultats variés: outil d’aide à la décision pour l’utilisateur


Perspectives

Fabrication de prototypes dans le cadre du FUI ARPE pour la Pfeiffer Vacuum

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