optimizacion redes

7/30/2019 Optimizacion Redes

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OPTIMIZACION DE REDES ING. Jos Luis Albornoz Salazar - 6 -

MMOODDEELLOOSSDDEEOOPPTTIIMMIIZZAACCIINNDDEE

RREEDDEESS

Nota : Los fundamentos tericos fueron tomados del textoINVESTIGACION DE OPERACIONES HILLIER LIEBERMAN. Sptima

edicin

Modelos de Optimizacin de Redes. Pg. 1

Terminologa de Redes. 2Problema de la Ruta Ms Corta. 5Problema del rbol de Expansin Mnima. 13

Problema de Flujo Mximo. 17Problema del Flujo de Costo Mnimo. 26


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MODELOS DEOPTIMIZACIN DE REDES

Los problemas de redes surgen en una gran variedad desituaciones. Las redes de transporte, elctricas y de comunicaciones

predominan en la vida diaria. La representacin de redes se utilizaampliamente en reas tan diversas como produccin, distribucin,

planeacin de proyectos, localizacin de instalaciones, administracinde recursos y planeacin financiera, para nombrar slo unos ejemplos.De hecho, una representacin de redes proporciona un panoramageneral tan poderoso y una ayuda conceptual para visualizar lasrelaciones entre los componentes de los sistemas, que se usa casi entodas las reas cientficas, sociales y econmicas.

Uno de los mayores desarrollos recientes en investigacin deoperaciones (IO) ha sido el rpido avance tanto en la metodologacomo en la aplicacin de los modelos de optimizacin de redes. La

aparicin de algunos algoritmos ha tenido un impacto importante, aligual que las ideas de ciencias de la computacin acerca de estructurasde datos y la manipulacin eficiente de los mismos. En consecuencia,ahora se dispone de algoritmos y paquetes de computadora y se usanen forma rutinaria para resolver problemas muy grandes que no sehabran podido manejar hace dos o tres dcadas.

Muchos modelos de optimizacin de redes son en realidad tiposespeciales de problemas de programacin lineal. Por ejemplo, tanto el

problema de transpone como el de asignacin pertenecen a esta

categora debido a su representacin mediante una red.

Uno de los ejemplos de programacin lineal presentado en laseccin 3.4 tambin es un problema de optimizacin de redes. ste esel ejemplo de la Distribution Unlimited Co. que desea saber cmodistribuir sus bienes en la red de distribucin mostrada en la figura 3.13(pgina 3 de esta gua). Este tipo especial de problema de

programacin lineal, llamado problema de flujo de costo mnimo, sepresenta mas adelante.

El tercer caso estudiado en la seccin 3.5 tambin se refiere auna aplicacin del problema del flujo de costo mnimo. Este caso incluy

la planeacin del abastecimiento, la distribucin y la comercializacin debienes de Citgo Petroleum Corp. El equipo de IO de Citgo desarroll unsistema para apoyar las decisiones basado en la optimizacin,utilizando la metodologa del modelo del flujo de costo mnimo paracada producto y lo uni a la base de datos corporativa. Cada modelo de

producto tiene alrededor de 3000 ecuaciones (nodos) y 15000 variables(arcos), que es un tamao modesto para los estndares actuales en laaplicacin de modelos de redes de optimizacin. El modelo toma en

cuenta todos los aspectos del negocio, ayuda a la administracin entodas las decisiones, desde el nivel de produccin en las distintasrefineras, hasta los precios que debe pagar o cobrar. La representacinde redes es esencial debido al flujo de bienes a travs de las distintasetapas: la compra de petrleo crudo de los proveedores, el envo a lasrefineras, el refinamiento de los diferentes productos y el embarque deestos productos a los centros de distribucin y terminales dealmacenamiento para su venta posterior. Como se dijo en la seccin3.5, el sistema de modelado ha permitido a la compaa reducir suinventario en ms de $116 millones de dlares sin disminuir los niveles

de servicio. Esto ha significado un ahorro en los intereses anuales de$14 millones de dlares y mejoras en las decisiones de coordinacin,costeo y compra, equivalentes a otros $2.5 millones de dlares anuales,

junto con muchos beneficios indirectos.

En este captulo slo se podrn plantear las bases de lametodologa de redes actual. Sin embargo, se dar una introduccin acuatro tipos importantes de problemas de redes y algunas ideas bsicassobre cmo resolverlos (sin profundizar en los aspectos de estructurasde bases de datos, tan vitales para la aplicacin exitosa en los

problemas de gran escala). Los tres primeros tipos de problemas: elproblema de la ruta ms corta, el problema delrbol de mnimaexpansiny el problema del flujo mximo, tienen una estructuraespecfica que surge con frecuencia en la prctica.

El cuarto tipo -el problema del flujo de costo mnimo-proporciona un enfoque unificador de muchas otras aplicaciones por suestructura mucho ms general. De hecho, esta estructura es tangeneral que incluye como casos especiales el problema de la ruta mscorta y el de flujo mximo, al igual que los problemas de transporte y de

asignacin.


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TERMINOLOGA DE REDES

Se ha desarrollado una terminologa relativamente extensa paradescribir los tipos de redes y sus componentes. Aunque se ha evitadoen lo posible el uso del vocabulario especfico, es necesario introducirun nmero considerable de trminos que se usarn en este captulo. Sesugiere al lector que lea la seccin completa una vez para entender lasdefiniciones y planee despus regresar a refrescar la memoria conformese usen los trminos en las secciones subsecuentes. Como ayuda, seresalta el nombre de cada trmino en negritas en el punto en que sedefine.

Figura 9.1

Una red consiste en un conjunto de puntos y un conjunto delneas que unen ciertos pares de puntos. Los puntos se llaman nodos(o vrtices); por ejemplo, la red de la figura 9.1 tiene siete nodos

representados por siete crculos. Las lneas se llaman arcos (oligaduras, aristas o ramas); por ejemplo, la red de la figura 9.1 tiene 12arcos. Los arcos se etiquetan para dar nombre a los nodos en sus

puntos terminales; por ejemplo, AB es el arco entre los nodos A y B enla figura 9.1.

Los arcos de una red pueden tener un flujo de algn tipo quepasa por ellos. La tabla 9.1 proporciona varios ejemplos de flujo enredes. Si el flujo a travs de un arco se permite slo en una direccin(como en una calle de un sentido), se dice que el arco es un arco

dirigido. La direccin se indica agregando una cabeza de flecha alfinal de la lnea que representa el arco. Al etiquetar un arco dirigido con

el nombre de los nodos que une, siempre se pone primero el nodo dedonde viene y despus el nodo a donde va, esto es, un arco dirigidodel nodo A al nodo B debe etiquetarse como AB y no como BA. Otramanera de etiquetado es A B.

Si el flujo a travs de un arco se permite en ambas direcciones(como una tubera que se puede usar para bombear fluido en ambasdirecciones), se dice que el arco es un arco no dirigido. Para

ayudar a distinguir entre los dos tipos de arcos, con frecuencia se harreferencia a los arcos no dirigidos con el sugestivo nombre deligadura.

Aunque se permita que el flujo a travs de un arco no dirigidoocurra en cualquier direccin, se supone que ese flujo ser en unadireccin, en la seleccionada, y no se tendrn flujos simultneos endirecciones opuestas. (Este ltimo caso requiere usar un par dearcosdirigidos en direcciones opuestas). Sin embargo, en el proceso detoma decisiones sobre el flujo en un arco no dirigido, se permite hacer

una secuencia de asignaciones de flujos en direcciones opuestas, peroen el entendimiento de que el flujo real ser flujo neto (la diferencia delos flujos asignados en las dos direcciones). Por ejemplo, si se asignaun flujo de 10 en una direccin y despus un flujo de 4 en la direccinopuesta, el efecto real es la cancelacin de 4 unidades de laasignacin original, lo que reduce el flujo en la direccin original de 10a 6. Aun para un arco dirigido, en ocasiones se usa la misma tcnicacomo una manera conveniente de reducir un flujo previamenteasignado. En particular, se puede hacer una asignacin ficticia de flujoen la direccin "equivocada" a travs de un arco dirigido para registrar

una reduccin en esa cantidad en el flujo que va en la direccin"correcta".


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Una red que tiene slo arcos dirigidos se llama red dirigida(Figura 9.2). De igual manera, si todos sus arcos son no dirigidos, sedice que se trata de una red no dirigida (Figura 9.1).Una red conuna mezcla de arcos dirigidos y no dirigidos (o incluso una con todossus arcos no dirigidos) se puede convertir en una red dirigida, si sedesea, sustituyendo cada arco no dirigido por un par de arcos dirigidosen direcciones opuestas. (Despus se puede optar por interpretar losflujos a travs de cada par de arcos dirigidos como flujos simultneos

en direcciones opuestas o de proporcionar un flujo neto en unadireccin, segn se ajuste al caso.)

Cuando dos nodos no estn unidos por un arco surge lapregunta natural de si estn conectados por una serie de arcos. Unatrayectoria entre dos nodos es una sucesin de arcos distintos queconectan estos nodos. Por ejemplo, una de las trayectorias queconectan a los nodos O y T en la figura 9.1 es la sucesin de arcosOB-BD-DT (OBDT), y viceversa.

Cuando algunos o todos los arcos de una red son arcos dirigidos,se hace la distincin entre trayectorias dirigidas y trayectorias nodirigidas. Una trayectoria dirigida del nodo i al nodo j, es unasucesin de arcos cuya direccin (si la tienen) es hacia el nodo j, demanera que el flujo del nodo i al nodo j, a travs de esta trayectoria esfactible. Una trayectoria no dirigida del nodo i al nodo j es unasucesin de arcos cuya direccin (si la tienen) puede ser hacia o desdeel nodo j. (Observe que una trayectoria dirigida tambin satisface ladefinicin de trayectoria no dirigida, pero el inverso no se cumple.) Confrecuencia una trayectoria no dirigida tendr algunos arcos dirigidos

hacia el nodo j y otros desde l (es decir, hacia el nodo i).Para ilustrar estas definiciones, la figura 9.2 muestra una red

dirigida comn. (Sus nodos y arcos son los mismos que los de la figura3.13, donde los nodos A y B representan dos fbricas y los nodos D y Erepresentan dos almacenes, el nodo C es un centro de distribucin y losarcos representan las rutas de embarque.) La sucesin de arcos AB-BC-CE es una trayectoria dirigida (AB CE) del nodo A al nodoE, ya que el flujo hacia el nodo E en toda esta trayectoria es factible.Por otro lado, BC- AC- AD (BCA D) no es una trayectoria

dirigida del nodo B al nodo D, porque la direccin del arco AC es desdeel nodo D (sobre esta trayectoria). No obstante, BCAD es una

trayectoria no dirigida del nodo B al nodo D, debido a que la secuenciade arcos BC-AC-AD conecta a estos dos nodos (aun cuando ladireccin del arco AC evita el flujo a travs de esta trayectoria).


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Como ejemplo de la relevancia de las trayectorias no dirigidas,suponga que se haban asignado 2 unidades de flujo del nodo A alnodo C al arco AC. Dada esta asignacin previa, ahora es factibleasignar un flujo ms pequeo, digamos 1 unidad, a la trayectoria nodirigida BCAD, aunque la direccin de AC evite un flujo positivoa travs de CA. La razn es que esta asignacin de flujo en ladireccin "equivocada" para el arco AC de hecho slo reduce el flujo enla direccin "correcta" en 1 unidad.

Unciclo es una trayectoria que comienza y termina en el mismonodo. En una red dirigida, un ciclo puede ser dirigido o no dirigido,segn si la trayectoria en cuestin es dirigida o no dirigida. (Como unatrayectoria dirigida tambin es no dirigida, un ciclo dirigido es un ciclono dirigido, pero en general el inverso no es cierto.) Por ejemplo, en lafigura 9.2, DE-ED es un ciclo dirigido. Por el contrario. AB- BC-CA no esun ciclo dirigido puesto que la direccin del arco AC es opuesta a la delos arcos AB y BC. Por otro lado, AB- BC- AC no es un ciclo dirigido

porque ABCA es una trayectoria no dirigida. En la red nodirigida que se muestra en la figura 9.1 existen muchos ciclos, porejemplo, OA-AB-BC-CO. De cualquier forma, note que la definicin detrayectoria (una sucesin de arcos distintos) elimina la posibilidad deretroceder al formar un ciclo. Por ejemplo, OB- BO en la figura 9.1 nocalifica como ciclo, porque OB y BO son dos etiquetas para el mismoarco (ligadura). Por otra parte, en la figura 9.2, DE-ED es un ciclo(dirigido) porque DE y ED son arcos distintos.

Se dice que dos nodos estn conectados si la red contiene almenos una trayectoria no dirigida entre ellos. (Observe que no esnecesario que la trayectoria sea dirigida aun cuando la red es dirigida).

Una red conexa es una red en la que cada par de nodos estconectado. Entonces, las redes de las figuras 9.1 y 9.2 son ambasconexas. La ltima red no sera conexa si se eliminaran los arcos AD yCE.

Considere una red conexa con n nodos (por ejemplo, los n = 5nodos en la figura 9.2) en la que se han eliminado todos los arcos. Se

puede "'hacer crecer" un "'rbol" si se agrega un arco (o "'rama") a lavez a partir de la red original de cierta manera. El primer arco puede iren cualquier lugar de modo que conecte algn par de nodos. De ah en

adelante, cada arco nuevo debe agregarse entre un nodo que ya hasido conectado a otros nodos y a un nuevo nodo no conectado. Si se

agregan arcos de esta manera, se evita que se forme un ciclo y ademsse asegura que el nmero de nodos conexos es uno ms que el nmerode arcos. Cada nuevo arco crea un rbol ms grande, que es una redconexa (para algn subconjunto de n nodos) que no contiene ciclos nodirigidos. Una vez agregado el (n - 1)-simo arco, el proceso se detiene

porque el rbol resultante se expande (conecta) a todos los n nodos.Este rbol se llama rbol de expansin, y es una red conexa paralos n nodos que contiene ciclos no dirigidos. Todo rbol de expansin

tiene justo n -1 arcos, ya que ste es el nmero mnimo de arcosnecesario para tener una red conexa y el mximo nmero posible paraque no haya ciclos no dirigidos.


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La figura 9.3 muestra los cinco nodos y algunos de los arcos de lafigura 9.2 para ilustrar este proceso de hacer crecer un rbol colocandoun arco (rama) a la vez, hasta que se obtiene un rbol de expansin. Encada etapa del proceso se tienen varias alternativas para el nuevo arco,

por lo que la figura 9.3 muestra slo una de las muchas formas deconstruir un rbol de expansin en este caso. Ahora bien, observe cmocada nuevo arco que se agrega satisface las condiciones especificadasen el prrafo anterior.

Los rboles de expansin tienen un papel clave en el anlisis demuchas redes. Por ejemplo, forman la base del problema del rbol demnima expansin que se presenta en la prxima seccin.

Por ltimo, ser necesario introducir terminologa adicional sobrelos flujos en redes. La cantidad mxima de flujo (quiz infinito) que

puede circular en un arco dirigido se conoce como capacidad delarco. Entre los nodos, se pueden distinguir aquellos que son generado-res de flujo, absorbedores netos o ninguno de los dos. Un nodo

fuente(o nodo origen) tiene la propiedad de que el flujo que

saledel

nodo excede el flujo que entra a l. El caso inverso es un nododemanda (o nodo destino), donde el flujo que llega excede al que salede l. Un nodo de trasbordo (o intermedio) satisface laconservacin del flujo, es decir, el flujo que entra es igual al que sale.

PROBLEMA DELA RUTA MS CORTA

Aunque al final de la seccin se mencionan otras versiones delproblema de la ruta ms corta (incluyendo algunas para redes dirigidas),la atencin se centrar en la siguiente versin sencilla. Considere unaredconexa yno dirigida con dos nodos especiales llamados origen ydestino. A cada ligadura (arco no dirigido) se asocia una distancia nonegativa. El objetivo es encontrar la ruta ms corta (la trayectoria con lamnima distancia total) del origen al destino.

EJEMPLO PROTOTIPO: Se ha decidido construir un colector deAguas residuales desde la ciudadOhasta la planta de tratamientoT. Dicho colector tiene que construirse por debajo del pavimento delas carreteras que conectan a las ciudades entre si.

La figura muestra el sistema de carreteras o vas, donde O es laciudad de donde se iniciar el colector; las otras letras (A,B,C,D y E)representan las ciudades vecinas con las vas que las conectan; Trepresenta la ubicacin de la planta de tratamiento y los nmeros sonlas distancias en kilmetros de estas carreteras. Las condiciones dealtitud son similares en todas las ciudades (terreno plano).


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Lgicamente se pretende determinar la ruta ms corta desde Ohasta T bajo la obligacin de colocar la tubera del colector por debajodel pavimento de las carreteras existentes que conectan las ciudades.

SOLUCIN:

A continuacin pretendemos orientar paso a paso la utilizacinde la hoja de clculo EXCEL para la solucin de este tipo de problemas.

Vaya a EXCEL y en las columnas B y C identifique las rutasposibles de trasladarse de un sitio al prximo que est conectado(DESDEHASTA).

En la columna E coloque la distancia de las rutas que se indicaron enlas columnas B-C :

Por ejemplo en la celda E4 colocaremos 2 que es la distancia desde

O hasta A (Ruta OA); en la celda E5 colocaremos 5 que es la distanciadesde O hasta B (Ruta OB) yas sucesivamente

Ahora coloque en la columna D ceros, estas celdas reflejarn los

resultados una vez que se aplique SOLVER.

Cuando se aplique SOLVER en las celdas sealadas anteriormente(Desde D4 hasta D17) se reflejar 1 indicando que esta ruta debe serutilizada y se reflejar 0 en las que no deben utilizarse.


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Identifique en la columna G los nodos que conforman el problema:

Un viaje del origen al destino se interpreta como un flujo de 1por la trayectoria elegida a travs de la red. Los RESULTADOS se refierena qu vas deben incluirse en la trayectoria que se recorre. Se asigna unflujo de 1 a una va si est incluida, el flujo es 0 si no lo est.

Elflujo neto generado en un nodo es elflujo que sale menoselflujo que entra, de manera que el flujo neto es 1 en el origen, -1en el destino y cero en el resto de los nodos.

En atencin a lo indicado anteriormente en la columna H y allado de cada nodo se colocan los siguientes valores : 1 al lado delOrigen, cero al lado de las ciudades intermedias y -1 en el destino T.

Las ecuaciones para los flujos netos de cada nodo o ciudad seincluirn en la columna J, en donde cada celda de esta columna (J)calcula el flujo neto real en ese nodo sumando el flujo que sale yrestando el que entra.

Estudiando la ecuacin que debemos incluir en las celdas J4hasta J10 nos permitimos hacer las siguientes consideraciones:

a) Como las celdas de la columna D reflejarn los resultados(uno o cero segn sea el caso), sern stas las que setomen en cuenta para la elaboracin de las ecuaciones.

b) Como elflujo neto generado en un nodo es el flujo quesalemenos elflujo que entra, las ecuaciones se reducena la suma y resta de los valores que debe reflejar SOLVERen las celdas de la columna D

c) Las celdas de la columna D que se colocarn en lasecuaciones sern aquellas que se encuentren en la misma

Fila donde est ubicado el nodo estudiado. Si la letra queidentifica al nodo se encuentra en la columna B (DESDE) sesumar; cuando se encuentre en la columna C (HASTA) serestar.

En la celda J4 se incluir la ecuacin relacionada con elOrigen (O).

Notamos que la letra O se encuentra ubicada en las filas 4, 5 y6, porlo tanto debo utilizar en la ecuacin las celdas D4, D5 y D6.

En las filas 4, 5 y 6, podemos ver que existen tres rutas queincluyen a O, a saber:

OA (Fila 4)OB (Fila 5)OC (Fila 6)

Como en los tres casos el flujo sale de O (La flecha empiezadespus de O y termina en A,B C), en la ecuacin se sumarnlos tres valores:

Celda J4 =D4+D5+D6


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En la celda J5 se incluir la ecuacin relacionada con laciudad A).

Notamos que la letra A se encuentra ubicada en las filas 4, 7 y8, por lo tanto debo utilizar en la ecuacin las celdas D4, D7 y D8.

En las filas 4, 7 y 8, podemos ver que existen tres rutas queincluyen a A, a saber:

OA (Fila 4)AB (Fila 7)AD (Fila 8)

Como en el primer caso (OA) el flujo entra a A, en laecuacin se restar D4.

Como en los otros dos casos (AB) y (AD) el flujo sale deA, en la ecuacin se sumarn los dos valores correspondientes aestas filas :

Celda J5 =D4+D7+D8

En la celda J6 se incluir la ecuacin relacionada con laciudad B).

Notamos que la letra B se encuentra ubicada en las filas 5, 7, 9,10, 11 y 12, por lo tanto debo utilizar en la ecuacin las celdas D5,D7, D9, D10, D11 y D12.

En las filas 5, 7, 9, 10, 11 y 12, podemos ver que existen seisrutas que incluyen a B, a saber:

OB (Fila 5)AB (Fila 7)BC (Fila 9)BD (Fila 10)BE (Fila 11)CB (Fila 12)

Como en el primero, segundo y sexto caso (OB) , (AB) y

(CB) el flujo entra a B, en la ecuacin se restarn D5, D7 yD12.

Como en los otros tres casos (BC), (BD) y (BE) el flujosale de B, en la ecuacin se sumarn los tres valorescorrespondientes a estas filas :

Celda J6 =D5D7+D9+D10+D11D12

Respetando el criterio aplicado en las tres celdas anteriores lasecuaciones restantes se expresarn:

Celda J7 =D6D9+D12+D13

Celda J8 =D8D10+D14+D15D16

Celda J9 =D11D13D14+D16+D17

Celda J10 =D15D17

En estas celdas se reflejarn inicialmente ceros hasta que apliquemosSOLVER.


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Solo nos falta escoger la celda donde queremos que se refleje ladistancia total en kilmetros de la trayectoria escogida. En este caso podemosescoger D19 y en ella debemos incluir la siguiente ecuacin:

Celda D19 =SUMAPRODUCTO(D4:D17;E4:E17)

La hoja de clculo con toda la informacin se presentar en su pantallade la manera siguiente :

Para calcular la distancia mnima total y la ruta a seguir, se utilizauna herramienta que incluye Excel llamada SOLVER.

Para correr el Solver se elige SOLVERen el men Herramientas.

En caso de que su computador no muestre en el menHerramientas el comando Solver, busque en dicho men el comandoComplementose instale Solver.

Una vez instalado haga clic en Solvery se mostrar un cuadro dedilogo Parmetros de Solver.

Antes de que Solver pueda resolver el problema, necesitaconocer con exactitud, donde se localizan los componentes del modeloen la hoja de clculo. Es posible escribir las direcciones de lasceldas o hacer clic en ellas.

En el espacio superior izquierdo del cuadro de dilogo mostrado,donde se solicita la Celda objetivo coloque la celda donde se decidique apareciera la distancia total en kilmetros de la trayectoria escogida:

$D$19

En los crculos blancos donde se solicita el Valor de la celdaobjetivo indique Mnimo. Se busca la ruta ms corta o distanciamnima (haga clic sobre la palabra mnimo).

En el espacio central izquierdo, donde se solicita Cambiandolas celdasindique las celdas donde se propuso anteriormente que se


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mostraran los resultados. En este caso son las celdas D4 hasta D17,coloque:

$D$4:$D$17

En el espacio en blanco, en la parte inferior izquierda, Sujetasa las siguientes Restricciones indique las restricciones ocondiciones del problema, para lo cual haga clic en Agregar.

En este momento aparecer en la pantalla el cuadro de dilogoAgregar Restriccin.

En este tipo de problema las restricciones se reducen a que losvalores de las celdas del flujo neto (Columna J) sean iguales a losvalores de la columna H. Por lo tanto coloque:

$H$4:$H$10 = $J$4:$J$10

Haga clic en Aceptar.

Ahora el cuadro de dilogo resume el modelo completo.

Antes de pedir a Solver que resuelva el modelo, se elige el

botn Opcionesy aparecer el cuadro de dilogo Opciones deSolver.


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Este cuadro permite especificar las opciones para resolver el modelo.Lo ms importante son las opciones Adoptar Modelo Lineal yAsumir no negativos(asegrese de hacer clic sobre ellos).

Con un clic en Aceptar se regresa al cuadro de dilogoParmetros de Solver.

Ahora todo est listo para hacer clic en Resolvery despusde unos segundos Solver indicar los resultados en las celdas D4 hastaD17, en la celda objetivo (D19) aparecer la distancia total enkilmetros de la RUTA MAS CORTAdesde O hasta T. En el cuadrofinalResultados de Solver,haga clic en Aceptar.

Y aparecer la hoja de resultados:

Este resultado nos indica que la RUTA MAS CORTA es:

O A B D T y que la longitud total del colectorser de 13 kilmetros.

Este problema presenta otra solucin ptima que podemos


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observar a continuacin:

Este resultado nos indica que la RUTA MAS CORTA es:

O A B ED Ty que la longitud total delcolector ser de 13 kilmetros.

Otras aplicaciones :

No todas las aplicaciones del problema de la ruta ms cortainvolucran minimizar la distancia recorrida de un origen a un destino. Dehecho, es posible que ni siquiera se refieran a un viaje. Las ligaduras (oarcos) pueden representar actividades de otro tipo, por lo que escogeruna trayectoria a travs de la red corresponde a seleccionar la mejorsecuencia de actividades. As, los nmeros que indican las "'longitudes"

de las ligaduras quiz sean, por ejemplo, los costos de las actividades,en cuyo caso el objetivo sera determinar qu secuencia de actividadesminimiza el costo total.

Las siguientes son tres categoras de aplicaciones:

1) Minimizar la distancia total recorrida, como en el ejemploanterior.

2) Minimizar el costo total de una secuencia de actividades.3) Minimizar el tiempo total de una secuencia de actividades.

Incluso, es posible que las tres categoras surjan en el mismoproblema. Por ejemplo, suponga que se desea encontrar la mejor rutade un lugar a otro a travs de cierto nmero de lugares intermedios.Entonces, se tiene la opcin de definir la mejor ruta como la queminimiza la distancia total recorrida, la que minimiza el costo total en elque se incurre o la que minimiza el tiempo total requerido.

Muchas aplicaciones requieren encontrar la trayectoria dirigida delorigen al destino a travs de una red dirigida. El algoritmo que acaba de

presentarse se puede modificar con facilidad para que manejetrayectorias dirigidas en cada iteracin. En particular, cuando se identi-fican candidatos para el n-simo nodo ms cercano, slo seconsiderarn los arcos dirigidos desde un nodo resuelto hacia un nodono resuelto.

Otra versin del problema de la ruta ms corta es encontrar lasrutas ms cortas del origen a todos los dems nodos de la red. Observeque el algoritmo obtiene las rutas ms cortas a cada nodo que est mscerca del origen que del destino. Entonces, si todos los nodos son des-

tinos potenciales, la nica modificacin que se necesita es que elalgoritmo no se detenga, hasta que todos los nodos se hayan resuelto.


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Otra versin an ms general del problema de la ruta ms corta esencontrar la ruta ms corta desde cada nodo a todos los dems nodos.Otra opcin es eliminar la restriccin de que las "distancias" (valores delos arcos) sean no negativas. Se pueden poner tambin restriccionessobre las trayectorias posibles. Todas estas variaciones surgen enocasiones en la prctica y por esto han sido estudiadas por losinvestigadores.

Los algoritmos para una gran variedad de problemas deoptimizacin de anlisis combinatorio, como los problemas de diseo derutas de vehculos, con frecuencia utilizan como parte de sus subrutinasla solucin de un gran nmero de problemas de la ruta ms corta.

Aunque no se dispone de espacio suficiente para profundizar en estetema, tal vez esta aplicacin sea una de las ms importantes de este

problema.

Para algunas de estas aplicaciones, la trayectoria a travs de la redpuede terminar en ms de un nodo, aunque el problema de la ruta mscorta puede tener slo un origen y un destino. Por ejemplo, una red decloacas que deba trasladar las aguas negras desde una ciudad a unade varias plantas de tratamiento existentes. Se usa una reformulaciningeniosa para ajustar esta situacin al problema de la ruta ms corta.Se trata de aumentar la red original para que incluya un destino ficticio yalgunos arcos o flechas nuevos. Por lo tanto, se coloca un nuevo arcodesde cada uno de los otros nodos al destino ficticio con distancia,duracin y/o costos igual a cero (segn sea el caso).

PROBLEMA DEL RBOL DEEXPANSIN MNIMA

EJEMPLO PROTOTIPO : En fecha reciente se reserv el rea deSEERVADA PARK para paseos y campamentos. No se permite laentrada de automviles pero existe un sistema de caminos angostoscon curvas para tranvas y "jeeps" conducidos por los guardabosques.

La figura 9.1 muestra este sistema de caminos (sin las curvas), endonde O es la entrada al parque; las otras letras representan lalocalizacin de las casetas de los guardabosques (y otras instalacionesde servicio). Los nmeros son las distancias en millas de estos caminossinuosos. El parque contiene un mirador a un hermoso paisaje en laestacin T.

Figura 9.1

En este momento el administrador del parque se enfrenta a unproblema. El problema reside en que deben instalarse lneastelefnicas subterrneas para establecer comunicacin entre todas lasestaciones (incluso la entrada). Como la instalacin es cara y perturbala ecologa, se instalarn lneas que siguen slo los caminosnecesarios para obtener comunicacin entre cualquier par deestaciones. La pregunta es por dnde deben tenderse las lineas paralograr esto con elmnimo nmero total de millas de cable instalado.

El problema del rbol de expansin mnima tiene algunas

similitudes con la versin principal del problema de la ruta ms cortaque se present en la seccin anterior. En ambos casos se considera


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una red no dirigida y conexa, en la que la informacin dada incluyealguna medida de longitud positiva (distancia, costo, tiempo, etc.)asociada con cada ligadura. Los dos problemas involucran tambin elhecho de seleccionar un conjunto de ligaduras con la longitud total mscorta entre todos los conjuntos de ligaduras que satisfacen cierra

propiedad. Para el problema de la ruta ms corta esta propiedad es quela ligadura seleccionada debe proporcionar una trayectoria entre elorigen y el destino. Para el rbol de expansin mnima la propiedad

requerida es que las ligaduras seleccionadas deben proporcionar unatrayectoria entre cada par de nodos.

El problema del rbol de expansin mnima se puede resumir comosigue.

1) Se tienen los nodos de una red pero no las ligaduras. En sulugar se proporcionan las ligaduras potenciales y la longitud

positiva para cada una si se inserta en la red. (Las medidasalternativas para la longitud de una ligadura incluyen distancia,costo y tiempo.)

2) Se desea disear la red con suficientes ligaduras para satisfacerel requisito de que haya un camino entre cada par de nodos.

3) El objetivo es satisfacer este requisito de manera que seminimice la longitud total de las ligaduras insertadas en la red.

Una red con n nodos requiere slo (n -1) ligaduras paraproporcionar una trayectoria entre cada par de nodos. No deben usarsems ligaduras ya que esto aumentara, sin necesidad, la longitud totalde las ligaduras seleccionadas. Las (n -1) ligaduras deben elegirse detal manera que la red resultante (con slo las ligaduras seleccionadas)forme un rbol de expansin. Por lo tanto, el problema es encontrar elrbol de expansin con la longitud total mnima de sus ligaduras.

La figura 9.5 ilustra el concepto de rbol de expansin para elproblema de Seervada Park. La figura 9.5a no es un rbol deexpansin, pues los nodos O, A, B y C no estn conectados con losnodos D, E y T. Se necesita una ligadura ms para hacer estaconexin. En realidad esta red consiste en dos rboles, uno para cadauno de estos dos conjunto de nodos. Las ligaduras de la figura 9.5b sse expanden por toda la red (es decir, es una grfica conexa segn la

definicin de la seccin Terminologa de Redes), pero no es un rbol

porque tiene dos ciclos (0-A-B-C-O y D-T-E-D). Tiene demasiadasligaduras. Como el problema de Seervada Park tiene n = 7 nodos, en laseccin anterior se indic que una red debe tener justo n -1 = 6ligaduras y ningn ciclo para calificar como rbol de expansin. Estacondicin se logra en la figura 9.5c, por lo que esta red es una solucinfactible (con una longitud total de 24 millas en las ramas o ligaduras)

para el problema del rbol de expansin mnima. (Se ver que estasolucin no es ptima, ya que es posible construir un rbol de

expansin con slo 14 millas en sus ramas.)


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Algunas aplicaciones .

Se proporciona una lista de algunos tipos importantes deaplicaciones de este problema.

1) Diseo de redes de telecomunicacin (redes de fibra ptica, decomputadores, telefnicas, de televisin por cable, etctera).

2) Diseo de redes de transporte para minimizar el costo total deproporcionar las ligaduras (vas ferroviarias, carreteras, etc.).3) Diseo de una red de lneas de transmisin de energa elctrica

de alto voltaje.4) Diseo de una red de cableado en equipo elctrico (como

sistemas de cmputo) para minimizar la longitud total de cable5) Diseo de una red de tuberas para conectar varias localidades.

En esta era de supercarreteras de informacin, las aplicacionesdel primer tipo han cobrado una importancia especial, en una red de

telecomunicaciones, slo es necesario insertar suficientes ligaduraspara que proporcionen una trayectoria entre cada par de nodos, demodo que el diseo de tales redes es una aplicacin clsica del

problema del rbol de expansin mnima. Debido a que algunas redesde comunicacin ahora cuestan muchos millones de dlares, es muyimportante optimizar su diseo encontrando el rbol de expansinmnima.

Un algoritmo

El problema del rbol de expansin mnima se puede resolver deuna forma bastante directa, pues ocurre que se trata de uno de los

pocos problemas de IO en el que ser codicioso en cada etapa delprocedimiento de solucin conduce al final a una solucin ptima. As,con el inicio en cualquier nodo, la primera etapa consiste en elegir larama ms corta posible a otro nodo, sin preocuparse del efecto que estaeleccin pueda tener en las decisiones posteriores. En la segunda etapase trata de identificar el nodo no-conectado que est ms cerca de cual-quiera de los dos que se acaban de conectar y despus agregar la

ligadura correspondiente a la red. Este proceso se repite (segn elresumen que se da a continuacin) hasta haber conectado todos los

nodos. (Note que ste es el proceso que se ilustr en la figura 9.3 paraconstruir un rbol de expansin) pero ahora con la regla especfica paraseleccionar cada ligadura nueva. Se garantiza que la red resultante esun rbol de mnima expansin.

Algoritmo para el problema del rbol deexpansin mlnima.

1) Se selecciona, de manera arbitraria, cualquier nodo y seconecta (es decir, se agrega una ligadura) al nodo distinto mscercano.

2) Se identifica el nodo no-conectado ms cercano a un nodoconectado y se conectan estos dos nodos (es decir, se agregauna ligadura entre ellos). Este paso se repite hasta que todoslos nodos estn conectados.

3) Empates: los empates para el nodo ms cercano distinto (paso1) o para el nodo no conectado ms cercano (paso 2), se

pueden romper en forma arbitraria y el algoritmo debe llegar auna solucin ptima. No obstante, estos empates son seal deque pueden existir (pero no necesariamente) solucionesptimas mltiples. Todas esas soluciones se pueden identificarsi se trabaja con las dems formas de romper los empateshasta el final.

La manera ms rpida de ejecutar este algoritmo en forma manuales el enfoque grfico que se ilustra en seguida.

Aplicacin de este algoritmo al problema del rbol deexpansin mnima de Seervada Park:

La administracin de Seervada Park (pgina 13 de esta gua)necesita determinar los caminos bajo los cuales se deben tender laslneas telefnicas para conectar todas las estaciones con una longitudtotal mnima de cable. Se describir paso a paso la solucin de este

problema con base en los datos que se dan en la figura 9.1.

Los nodos y distancias para el problema se resumen en seguida,en donde las lneas delgadas ahora representan ligaduras potenciales.


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En forma arbitraria, se selecciona al nodo O como inicio. El nodono-conectado ms cercanoa O es A. Se conecta el nodo A a O.

El nodo no-conectado ms cercano a cualesquiera de los nodosO o A es el nodo B (ms cercano a A). Se conecta el nodo B al

nodo A.

El nodo no-conectado ms cercanoa O, A o B es el nodo C(ms cercano a B). Se conecta el nodo C al nodo B.

El nodo no-conectado ms cercano a O, A, B o C es elnodo E (ms cercano a B). Se conecta el nodo E al nodo B.

El nodo no-conectado ms cercanoa O, A, B,C o E es elnodo D (ms cercano a E). Se conecta el nodo D al nodoE.


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El nodo no-conectado es el nodo T. Est ms cerca del nodoD. Se conecta el nodo T al nodo D.

Todos los nodos han quedado conectados, por lo que sta es lasolucin (ptima) que se buscaba. La longitud total de las ramas es 14

millas.Observe el Ejemplo Prototipo de la pgina 5 de esta gua e

imagine que se pide conectar todas las ciudades (O, A, B, C, D, y E) a laplanta de tratamiento T con la red de tuberas de aguas negras conlongitud mnima. La solucin sera la misma que se presenta en elgrfico anterior.

Aunque con este procedimiento a primera vista puede parecerque la eleccin del nodo inicial afectara la solucin final (y la longitudtotal de las ligaduras), en realidad no es as. Se sugiere que se verifiqueeste hecho para el ejemplo, aplicando de nuevo el algoritmo, pero conun nodo inicial distinto de O.

Se considera que dentro de este captulo el problema del rbol deexpansin mnima es el que cae dentro de la amplia categora de diseode redes. En esta categora, el objetivo es disear la red ms apropiada

para el problema dado (con frecuencia se trata de sistemas de trans-porte) y no de analizar una red ya diseada.

PROBLEMA DEFLUJO MXIMO

En trminos generales, el problema de flujo mximo se puededescribir como sigue:

1) Todo flujo a travs de una red conexa dirigida se origina en unnodo, llamado fuente, y termina en otro nodo llamado destino.2) Los nodos restantes son nodos de trasbordo.

3) Se permite el flujo a travs de un arco slo en la direccinindicada por la flecha, donde la cantidad mxima de flujo estdada por la capacidad del arco (flecha). En la fuente, todos losarcos (flechas) sealan hacia afuera. En el destino, todossealan hacia el nodo.

4) El objetivo es maximizar la cantidad total de flujo de la fuenteal destino. Esta cantidad se mide en cualquiera de las dosmaneras equivalentes, esto es, la cantidad que sale de la

fuente o la cantidad que entra al destino.

Algunas aplicaciones

Ahora se mencionan algunos tipos de aplicaciones comunes delproblema del flujo mximo.

1) Maximizar el flujo a travs de la red de distribucin de lacompaa de sus fbricas a sus clientes.

2) Maximizar el flujo a travs de la red de suministros de lacompaa de los proveedores a las fbricas.

3) Maximizar el flujo de petrleo por un sistema de tuberas.4) Maximizar el flujo de agua a travs de un sistema de

acueductos.5) Maximizar el flujo de vehculos por una red de transporte.

Para algunas de estas aplicaciones, el flujo a travs de la red sepuede originar en ms de un nodo y tambin puede terminar en ms deun nodo, aunque el problema de flujo mximo puede tener slo unorigen y un destino. Por ejemplo, una red de distribucin de una

compaa tiene varias fbricas y mltiples clientes. Se usa una


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reformulacin ingeniosa para ajustar esta situacin al problema de flujomximo. Se trata de aumentar la red original para que incluya unafuente ficticia, un destino ficticio y algunos arcos o flechas nuevos. Lafuente ficticia se maneja como el nodo que da origen a todo el flujo queen realidad se origina en algunos otros nodos. Para cada uno de estosotros nodos, se inserta un nuevo arco que va de la fuente ficticia a estenodo, donde la capacidad del arco es igual al flujo mximo que se

puede originar en este nodo. De manera similar, el destino ficticio setrata como el nodo que absorbe todo el flujo que, en realidad, terminaen algn otro nodo. Por lo tanto, se coloca un nuevo arco desde cadauno de los otros nodos al destino ficticio con capacidad igual al flujomximo que en realidad termina en este nodo. Debido a estos cambios,todos los nodos de la red original ahora son nodos de trasbordo paraque la red aumentada tenga un solo origen (la fuente ficticia) y un solodestino (el destino ficticio) y se ajuste al problema del flujo mximo.

EJEMPLO PROTOTIPO: La figura siguiente muestra el sistema de

bombeo de aguas blancas desde el Origen O hasta el Destino T; losotros nodos representan las ciudades intermedias que poseenestaciones de bombeo; las flechas representan las tuberas queconducen el agua desde una ciudad hasta otra (en un solo sentido); ylos nmeros representan el flujo o caudal mximo (en litros / seg) quese puede trasladar por cada tubera.

Se desea determinar la cantidad mxima de agua (en litros / seg )que puede recibir el nodo T utilizando las tuberas y bombas

existentes.

Solucin:


Vaya a EXCEL y en las columnas B y C identifique las rutas ydirecciones de cada tubera (DESDEHASTA).

En la columna F coloque la capacidad de flujo que tiene cadauna de las tuberas :

Por ejemplo en la celda F4 colocaremos 5 que es el flujo ocaudal mximo que puede trasladarse por la tubera que sale desde Oy llega hasta A (Ruta OA); en la celda F5 colocaremos 7 que esque el flujo o caudal mximo que puede trasladarse por la tubera que

sale desde O y llega hasta B (Ruta OB) y asi sucesivamente


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Ahora coloque en la columna D ceros, estas celdas reflejaranlos resultados una vez que se aplique SOLVER.

Cuando se aplique SOLVER en las celdas sealadasanteriormente (Desde D4 hasta D15) se reflejar la cantidad de flujoo caudal (en litros / seg) que se deben trasladar por cada una de lastuberas desde una a la otra ciudad (Desde donde empieza a dondetermina cada flecha).

Identifique en la columna H los nodos que conforman elproblema:

En la columna I coloque ceros al lado de las ciudadesintermedias (condicin de las estaciones de trasbordo). No se colocaningn valor al lado del Origen O ni del Destino T porque esosvalores son justamente los buscados (el mximo positivo que sale delorigen y el mximo negativo que entra al destino final).

Cuando decimos que colocamos cero en las estaciones detrasbordo nos referimos al hecho de que en dichas ciudades no se

puede almacenar agua, es decir, se tiene que enviar la misma cantidadque se reciba, y como el flujo neto es igual al flujo que sale menos elflujo que entra el resultado ser cero.


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Las ecuaciones para los flujos netos de cada nodo o ciudad seincluirn en la columna K, en donde cada celda de esta columna (K)calcula el flujo neto real en ese nodo sumando el flujo que sale yrestando el que entra.

Estudiando la ecuacin que debemos incluir en las celdas K4hasta K10 nos permitimos hacer las siguientes consideraciones:

d) Como las celdas de la columna D reflejarn los resultados(Flujo que debe enviarse por esa ruta), sern stas las quese tomen en cuenta para la elaboracin de las ecuaciones.

e) Como elflujo neto generado en un nodo es el flujo quesale menos elflujo que entra, las ecuaciones se reducena la suma y resta de los valores que debe reflejar SOLVERen las celdas de la columna D

f) Las celdas de la columna D que se colocarn en lasecuaciones sern aquellas que se encuentren en la misma

Fila donde est ubicado el nodo estudiado. Si la letra queidentifica al nodo se encuentra en la columna B (DESDE) sesumar; cuando se encuentre en la columna C (HASTA) serestar.

En la celda K4se incluir la ecuacin relacionada con elOrigen (O).

Notamos que la letra O se encuentra ubicada en las filas 4, 5 y6, porlo tanto debo utilizar en la ecuacin las celdas D4, D5 y D6.

En las filas 4, 5 y 6, podemos ver que existen tres rutas queincluyen a O, a saber:

OA (Fila 4)OB (Fila 5)OC (Fila 6)

Como en los tres casos el flujo sale de O (La flecha empiezadespus de O y termina en A,B C), en la ecuacin se sumarnlos tres valores:

Celda K4 =D4+D5+D6

En la celda K5se incluir la ecuacin relacionada con laciudad A).

Notamos que la letra A se encuentra ubicada en las filas 4, 7 y8, por lo tanto debo utilizar en la ecuacin las celdas D4, D7 y D8.

En las filas 4, 7 y 8, podemos ver que existen tres rutas queincluyen a A, a saber:

OA (Fila 4)AB (Fila 7)AD (Fila 8)

Como en el primer caso (OA) el flujo entra a A, en laecuacin se restar D4.

Como en los otros dos casos (AB) y (AD) el flujo sale deA, en la ecuacin se sumarn los dos valores correspondientes aestas filas :

Celda K5 =D4+D7+D8

En la celda K6se incluir la ecuacin relacionada con laciudad B).

Notamos que la letra B se encuentra ubicada en las filas 5, 7, 9,10, y 11, por lo tanto debo utilizar en la ecuacin las celdas D5, D7,D9, D10, y D11.

En las filas 5, 7, 9, 10, y 11, podemos ver que existen cinco rutasque incluyen a B, a saber:

OB (Fila 5)AB (Fila 7)BC (Fila 9)BD (Fila 10)BE (Fila 11)

Como en el primero y segundo o caso (OB) , (AB) el flujo

entra a B, en la ecuacin se restarn D5yD7.


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Como en los otros tres casos (BC), (BD) y (BE) el flujosale de B, en la ecuacin se sumarn los tres valorescorrespondientes a estas filas :

Celda K6 =D5D7+D9+D10+D11

Respetando el criterio aplicado en las tres celdas anteriores las

ecuaciones restantes se expresarn:

Celda K7 =D6D9+D12

Celda K8 =D8D10+D13D14

Celda K9 =D11D12+D14+D15

Celda K10 =D13D15En estas celdas se reflejarn inicialmente ceros hasta que

apliquemos SOLVER.

Solo nos falta escoger la celda donde queremos que se refleje elflujo mximo que debe llegar hasta el destino T, o lo que es lo mismoel flujo mximo que debe salir del origen O. Como la celda K4 debereflejar el flujo que sale de O , ese mismo valor ser el flujo mximoque representar la funcin objetivo.

En este caso podemos escoger D17 como la celda objetivo yen ella debemos incluir :

Celda D17 =K4La hoja de clculo con toda la informacin se presentar en su

pantalla de la manera siguiente :

Para resolver el problema, se utiliza una herramienta que incluyeExcel llamada SOLVER.



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En el espacio superior izquierdo del cuadro de dilogo mostrado,donde se solicita la Celda objetivo coloque la celda donde se decidique apareciera el flujo mximo de la trayectoria escogida:

$D$17En los crculos blancos donde se solicita el Valor de la celda

objetivoindique Mximo. Se busca el flujo mximo (haga clic sobrela palabra mximo).

En el espacio central izquierdo, donde se solicita cambiandolas celdasindique las celdas donde se propuso anteriormente que semostraran los resultados. En este caso son las celdas D4 hasta D15,coloque:

$D$4:$D$15



En este tipo de problema existen dos restricciones:

La primera:$D$4:$D$15 $F$4:$F$15

La segunda:$I$5:$I$9 = $K$5:$K$9

Haga clic en Agregar.


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Haga clic en Aceptar.Ahora el cuadro de dilogo resume el modelocompleto.

Antes de pedir a Solver que resuelva el modelo, se elige el botn

Opciones y aparecer el cuadro de dilogo Opciones deSolver.

Este cuadro permite especificar las opciones para resolver el modelo.Lo ms importante son las opciones Adoptar Modelo Lineal y

Asumir no negativos(asegrese de hacer clic sobre ellos).


Ahora todo est listo para hacer cl ic en Resolvery despusde unos segundos Solver indicar los resultados en las celdas D4 hastaD15, en la celda objetivo (D17) aparecer elFLUJO MAXIMO que sale


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del origen y llega al destino. En el cuadro final Resultados deSolver,haga clic en Aceptar.


La Siguiente figura muestra el flujo que entra y sale de cada nodo

para garantizar el FLUJO MXIMO de 14 litros / segdesde O hastaT.

Note que desde O salen 14 litros / seg (3+7+4); a T entran ollegan 14 litros / seg (8+6) y en todos los nodos intermedios o detrasbordo (A,B,C,D y E) el flujo que entra es igual al flujo que sale.

EJEMPLO COMPLEMENTARIO : La figura siguiente muestra lared de distribucin de petrleo extrado de los pozos A, B y C, queson trasladados por tuberas a las estaciones de bombeo D, E y F

para posteriormente ser conducidas (tambin por tuberas) hasta lasrefineras G y H, las flechas representan elsentido o direccin delfluido y los nmeros indican el flujo o caudal mximo de petrleo (enbarriles / minuto) que se pueden trasladar por cada tubera.

Se desea determinar la cantidad mxima de petrleo que puedanrecibir las dos refineras (G y H) utilizando las tuberas y bombas


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existentes.

Solucin:

El problema de flujo mximo debe tener solo un origen y undestino. En este caso tiene tres orgenes (pozos) y dos destinos(refineras). Para adaptar esta situacin se usa una reformulaciningeniosa para ajustar esta situacin al problema de flujo mximo. Setrata de aumentar la red original para que incluya una fuente ficticia, un

destino ficticio y algunos arcos o flechas nuevos. La fuente ficticia semaneja como el nodo que da origen a todo el flujo que en realidad seorigina en algunos otros nodos. Para cada uno de estos otros nodos, seinserta un nuevo arco que va de la fuente ficticia a este nodo, donde lacapacidad del arco es igual al flujo mximo que se puede originar eneste nodo. De manera similar, el destino ficticio se trata como el nodoque absorbe todo el flujo que, en realidad, termina en algn otro nodo.Por lo tanto, se coloca un nuevo arco desde cada uno de los otrosnodos al destino ficticio con capacidad igual al flujo mximo que enrealidad termina en este nodo. Debido a estos cambios, todos los nodos

de la red original ahora son nodos de trasbordo para que la redaumentada tenga un solo origen (la fuente ficticia) y un solo destino (eldestino ficticio) y se ajuste al problema del flujo mximo.

La nueva red quedar expresada de la siguiente manera:

El origen ficticio es O y el destino ficticio es T.

La flecha que va desde O hasta A (OA) tiene una capacidad

de 8 porque es la capacidad de salida que tiene A (4+4); la flecha queva desde O hasta B (OB) tiene una capacidad de 2 porque es lacapacidad de salida que tiene B (2); la flecha que va desde O hastaC (OC) tiene una capacidad de 9 porque es la capacidad de salidaque tiene C (4+5).

La flecha que llega a T desde G (GT) tiene una capacidadde 10 porque es la capacidad de entrada que tiene G (6+4); la flechaque llega a T desde H (HT) tiene una capacidad de 8 porque es lacapacidad de entrada que tiene H (3+5).

Bajo estas nuevas condiciones podemos aplicar el mismo mtodode solucin del ejemplo prototipo anterior.

PROBLEMA DEL FLUJO


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La solucin con origen y destino ficticio est representada por lafigura siguiente, con un flujo mximo de 15 ( barriles / minuto).

La solucin real (eliminamos el origen ficticio y las flechas quesalen de l; eliminamos tambin el destino ficticio y las flechas quellegan a l). Con flujo mximo de 15 ( barriles / minuto).

PROBLEMA DEL FLUJODE COSTO MNIMO

(*) El problema del flujo de costo mnimo tiene una posicin medularentre los modelos de optimizacin de redes; primero, abarca una claseamplia de aplicaciones y segundo, su solucin es muy eficiente. Igualque el problema del flujo mximo, toma en cuenta un flujo en una redcon capacidades limitadas en sus arcos. Igual que el problema de la

ruta ms corta, considera un costo (o distancia) para el flujo a travs deun arco. Igual que el problema de transporte o el de asignacin, puedemanejar varios orgenes (nodos fuente) y varios destinos (nodosdemanda) para el flujo, de nuevo con costos asociados. De hecho,estos cuatro problemas son casos especiales del problema del flujo decosto mnimo, como se ver.

La razn por la que el problema del flujo de costo mnimo sepuede resolver de modo tan eficiente es que se puede formular comoun problema de programacin lineal.

A continuacin se describe el problema del flujo de costo mnimo.

1) La red es una reddirigida yconexa.2) Almenos uno de los nodos es un nodo fuente.3) Almenos uno de los nodos es un nodo demanda.4) El resto de los nodos son nodos de trasbordo.5) Se permite el flujo a travs de un arco slo en la direccin

indicada por la flecha, donde la cantidad mxima de flujo estdada por la capacidad del arco. (Si el flujo puede ocurrir en

ambas direcciones, debe representarse por un par de arcoscon direcciones opuestas.)

6) La red tiene suficientes arcos con suficiente capacidad parapermitir que todos los flujos generados por los nodos fuentelleguen a los nodos demanda.

7) El costo del flujo a travs del arco es proporcional a lacantidad de ese flujo, donde se conoce el costo por unidad.

8) El objetivo es minimizar el costo total de enviar el suministrodisponible a travs de la red para satisfacer la demanda dada.(Un objetivo alternativo es maximizar la ganancia total del

envo.)


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Algunas aplicaciones :

Tal vez el tipo ms importante de aplicacin del problema del flujo decosto mnimo es en la operacin de la red de distribucin de unacompaa. Como se resume en el primer rengln de la tabla 9.3, estetipo de aplicacin siempre incluye determinar un plan para enviar bienesdesde las fuentes (fbricas, etc.) a las instalaciones dealmacenamiento intermedias (segn se necesite) y despus a los

consumidores.TABLA 9.3 Aplicaciones comunes del problema del flujo de costo mlnlmo

Tipo de aplicacin Nodos fuente Nodos de trasbordo Nodos demanda

Operacin de una red de

distribucinFuentes de bienes Almacenes intermedios Consumidores

Administracin de

desechos slidos

Fuentes de desechos

slidos

Instalaciones de

procesamiento

Rellenos

Operacin de una red

de suministrosAgentes de ventas Almacenes intermedios

Instalaciones de

procesamiento

Coordinacin de

mezclas de productos

en plantas

PlantasProduccin de un

artculo especfico

Mercado del

producto

especfico

Administracin de flujo de

efectivo

Fuentes de efectivo en

tiempos especficos

Opciones de inversin

a corto plazo

Necesidad de

efectivo en tiempos

especficos

Para algunas aplicaciones de los problemas del flujo de costomnimo, todos los nodos de trasbordo son instalaciones de

procesamiento y no almacenes. Este es el caso de la administracin dedesechos slidos, indicado en el segundo rengln de la tabla 9.3. Enese problema, el flujo de materiales a travs de la red comienza en lasfuentes de desechos slidos, luego va a las instalaciones para procesar

estos materiales de desecho y convertirlos en una forma adecuada parael relleno y despus va a los diferentes rellenos. Sin embargo, el

objetivo todava es determinar el plan de flujo que minimice el costototal, donde el costo ahora se refiere al embarque y el procesamiento.

En algunas aplicaciones, los nodos demanda pueden serinstalaciones de procesamiento. Por ejemplo, en el tercer rengln de latabla 9.3, el objetivo es encontrar el plan de costo mnimo para obtenersuministros de varios proveedores posibles, almacenar los bienes(segn se requiera), y luego enviar los suministros a las instalacionesde procesamiento de la compaa (fbricas, etc.). Como la cantidadtotal que pueden suministrar los proveedores es mayor que lasnecesidades de la compaa, la red incluye un nodo de demanda ficticioque recibe (sin costo) toda la capacidad no usada de los proveedores.

En otro tipo de aplicacin en la tabla 9.3 (coordinacin de mezclasde productos en las plantas) ilustra que los arcos pueden representaralgo distinto a un canal de envo de un flujo fsico de materiales. Estaaplicacin se refiere a una compaa con varias plantas (nodos fuente)que pueden producir los mismos productos pero con diferentes costos.Cada arco que sale de un nodo fuente representa la produccin de unode los productos posibles en esa planta, donde el arco lleva a un nodode trasbordo que corresponde al producto. As, este nodo de trasbordo

tiene un arco que llega desde cada planta capaz de producir esteproducto, y luego, los arcos que salen de este nodo van a losrespectivos clientes (nodos de demanda). El objetivo es determinarcmo dividir la capacidad de produccin de cada planta entre los

productos para minimizar el costo total de satisfacer las demandas delos distintos productos.

Otra aplicacin de la tabla 9.3 (administracin de flujo de efectivo)ilustra que diferentes nodos pueden representar un evento que ocurreen distintos momentos. En este caso, cada nodo fuente representa untiempo especfico (periodo) en que la compaa dispone de dinero (pormadurez de inversiones, cuentas por cobrar, venta de acciones,

prstamos, etctera). El suministro en cada nodo es la cantidad de

efectivo que estar disponible. De manera similar, cada nodo destinorepresenta un tiempo especfico (periodo) en que la compaa deberusar su reserva de efectivo. La demanda en cada uno de estos nodoses la cantidad de efectivo que necesitar. El objetivo es maximizar elingreso de la compaa debido a estas inversiones entre los tiempos enque se dispone del efectivo y se usa. Entonces, los nodos de trasbordorepresentan la opcin de una inversin a corto plazo (es decir, lacompra de certificados de depsito en un banco) por periodo especfico.La red resultante tendr una serie de flujos que representan un

programa de efectivo disponible, invertido y utilizado cuando la inversinmadura.

*(Tomado de INVESTIGACIN DE OPERACIONES. HILLER . LIEBERMAN. Sptima edicin)


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EJEMPLO PROTOTIPO: Fagersta Steelworks explota dosminas para obtener mineral de hierro. Este mineral de hierro se enva auna de dos instalaciones de almacenamiento. Cuando se necesita semanda a la planta de acero de la compaa. El siguiente diagramadescribe la red de distribucin, donde M1 yM2 son las dos minas, S1yS2, los dos almacenes y P es la planta de acero. Tambin muestralas cantidades producidas en las minas y las necesarias en la planta, aligual que el costo de envo y la cantidad mxima que se puede enviar al

mes por cada va. (Vaya a la columna inferior izquierda)

La administracin desea determinar el plan ms econmico deenvo del mineral de las minas a la planta.

SOLUCIN:


Vaya a EXCEL y en las columnas B y C identifique las rutasposibles de trasladarse de un sitio al prximo que est conectado

(DESDEHASTA).

En la columna G coloque el costo unitario de las rutas que seindicaron en las columnas B-C :

Por ejemplo en la celda G4 colocaremos 2.000 que es el costounitario ($/tonelada) de trasladar el material desde M1 hasta S1(Ruta M1S1); en la celda G5 colocaremos 1.700 que es el costounitario ($/tonelada) de trasladar el material desde M1 hasta S2(Ruta M1S2); y asi sucesivamente.

E l l F id tifi l id d d d t


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Ahora coloque en la columna D ceros, estas celdas reflejarnlos resultados una vez que se aplique SOLVER.

Cuando se aplique SOLVER en las celdas sealadasanteriormente (Desde D4 hasta D9) se reflejar la cantidad dematerial que se enviar por cada una de las rutas sealadas en larespectiva fila.

En la columna F identifique la capacidad de cada ruta.

Identifique en la columna I los nodos que conforman elproblema:

E l l L l l tid d l i d l h) C l fl j t d d l fl j


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En la columna L coloque las cantidades relacionadas con laoferta o demanda de cada nodo, atendiendo a la siguienteconsideracin:

1) En los nodos fuente se colocar (con signo positivo) lascantidades que ofrecen (Toneladas producidas en este caso).

2) En losnodos demanda se colocar (con signo negativo)las cantidades requeridas (Toneladas requeridas en estecaso).

3) En los nodos de trasbordo se colocar cero.

Las ecuaciones para los flujos netos de cada nodo se incluirnen la columna J, en donde cada celda de esta columna (J) calcula elflujo neto real en ese nodo sumando el flujo que sale y restando el queentra.


g) Como las celdas de la columna D reflejarn los resultados,sern stas las que se tomen en cuenta para la elaboracinde las ecuaciones.

h) Como elflujo neto generado en un nodo es el flujo quesalemenos elflujo que entra, las ecuaciones se reducena la suma y resta de los valores que debe reflejar SOLVERen las celdas de la columna D

i) Las celdas de la columna D que se colocarn en lasecuaciones sern aquellas que se encuentren en la mismaFila donde est ubicado el nodo estudiado. Si la letra queidentifica al nodo se encuentra en la columna B (DESDE) sesumar; cuando se encuentre en la columna C (HASTA) serestar.

En la celda J4se incluir la ecuacin relacionada con unode los orgenes (M1).

Notamos que el nodo M1 se encuentra ubicada en las filas 4 y5, por lo tanto debo utilizar en la ecuacin las celdas D4 y D5.

En las filas 4 y 5, podemos ver que existen dos rutas que incluyen

a M1, a saber:M1S1 (Fila 4)M1S2 (Fila 5)

Como en los dos casos el flujo sale de M1 (La flecha empiezadespus de M1 y termina en S1 S2), en la ecuacin se sumarnlos dos valores:

Celda J4 =D4+D5

En la celda J5se incluir la ecuacin relacionada con elotro origen (M2).

Notamos que el nodo M2 se encuentra ubicada en las filas 6 y7, por lo tanto debo utilizar en la ecuacin las celdas D6 y D7.

En las filas 6 y 7, podemos ver que existen dos rutas que incluyena M2, a saber:

M2S1 (Fila 6)M2S2 (Fila 7)

Como en los dos casos el flujo sale de M2 (La flecha empieza


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Como en los dos casos el flujo sale de M2 (La flecha empiezadespus de M2 y termina en S1 S2), en la ecuacin se sumarnlos dos valores:

Celda J5 =D6+D7

En la celda J6se incluir la ecuacin relacionada con elnodo S1.

Notamos que el nodo S1 se encuentra ubicada en las filas 4, 6y 8, por lo tanto debo utilizar en la ecuacin las celdas D4, D6 y D8.

En las filas 4, 6 y 8, podemos ver que existen tres rutas queincluyen a S1, a saber:

M1S1 (Fila 4)M2S1 (Fila 6)

S1P (Fila 8)Como en los dos primeros casos el flujo llega a S1(La flecha

empieza despus de M1o M2y termina en S1), en la ecuacin serestarn los dos valores:

Como en el tercero de los casos el flujo sale de S1 (La flechaempieza despus de S1 y termina en P), en la ecuacin se sumarese valor.

Celda J6 =D4D6+D8Respetando el criterio aplicado en las tres celdas anteriores las

ecuaciones restantes se expresarn:

Celda J7 =D5D7+D9

Celda J8 =D8D9


Solo nos falta escoger la celda donde queremos que se refleje elcosto mnimo total de trasladar las cantidades resultantes. En este caso

podemos escoger D11 y en ella debemos incluir la siguiente ecuacin:

Celda D11 =SUMAPRODUCTO(D4:D9;G4:G9)

Observe que se est multiplicando cada uno de los valores de lacolumna RESULTADO con su respectivo COSTO UNITARIO.

La hoja de clculo con toda la informacin se presentar en supantalla de la manera siguiente :

Para calcular el costo minimo total y la ruta a seguir se utiliza una mostraran los resultados En este caso son las celdas D4 hasta D9


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Para calcular el costo minimo total y la ruta a seguir, se utiliza unaherramienta que incluye Excel llamada SOLVER.





En el espacio superior izquierdo del cuadro de dilogo mostrado,donde se solicita la Celda objetivo coloque la celda donde se decidique apareciera el costo mnimo total :

$D$11

En los crculos blancos donde se solicita el Valor de la celdaobjetivo indique Mnimo. Se busca el costo mnimo (haga clicsobre la palabra mnimo).

En el espacio central izquierdo, donde se solicita Cambiandolas celdasindique las celdas donde se propuso anteriormente que se

mostraran los resultados. En este caso son las celdas D4 hasta D9,coloque:

$D$4:$D$9



En este tipo de problema una restriccin es la que obliga a quelos resultados que aparezcan en la columna D (Desde D4 hasta

D9) sean menores a la capacidad que posea cada ruta o arco y que seindicaron en la columna F (Desde F4 hasta F9) . Por lo tantocoloque:

$D$4:$D$9 $F$4:$F$9

Antes de pedir a Solver que resuelva el modelo se elige el botn


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La otra restriccin es la que obliga a que los flujos netoscalculados en la columna J (Desde J4 hasta J8) sean iguales a lasconsideraciones de oferta y demanda que se indicaron en la columnaL (Desde L4 hasta L8) . Por lo tanto coloque:

$J$4:$J$8 = $L$4:$L$8





Este cuadro permite especificar las opciones para resolver elmodelo. Lo ms importante son las opciones Adoptar ModeloLinealyAsumir no negativos(asegrese de hacer clic sobreellos).


Ahora todo est listo para hacer clic en Resolver y despus Los resultados se leen de la manera siguiente:


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Ahora todo est listo para hacer clic en Resolver y despusde unos segundos Solver indicar los resultados en las celdas D4 hastaD9 y en la celda objetivo (D11) aparecer el COSTO TOTAL MNIMOde trasladar las cantidades indicadas en la columna de resultados.

En el cuadro final Resultados de Solver, haga clic enAceptar.


Los resultados se leen de la manera siguiente:

Se enviarn 30 toneladas desde M1 hasta S1.Se enviarn 10 toneladas desde M1 hasta S2.Se enviarn 10 toneladas desde M2 hasta S1.Se enviarn 50 toneladas desde M2 hasta S2.Se enviarn 40 toneladas desde S1 hasta P.Se enviarn 60 toneladas desde S2 hasta P.El costo total de envo desde las dos minas hasta

la planta ser de $ 212.000,oo.

EJEMPLO COMPLEMENTARIO :

En la columna G coloque el costo unitario de las rutas que se


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FIGURA 3.13

SOLUCIN:Vaya a EXCEL y en las columnas B y C identifique las rutas posibles de

trasladarse de un sitio al prximo que est conectado (DESDEHASTA).

En la columna G coloque el costo unitario de las rutas que seindicaron en las columnas B-C :

Ahora coloque en la columna D ceros, estas celdas reflejarnlos resultados una vez que se aplique SOLVER.

Cuando se aplique SOLVER en las celdas sealadasanteriormente (Desde D4 hasta D10) se reflejar la cantidad deunidades que se enviarn por cada una de las rutas sealadas en larespectiva fila.

En la columna F identifique la capacidad de cada ruta.

En este problema en particular notamos que existen solamente En la columna L coloque las cantidades relacionadas con la


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En este problema en particular notamos que existen solamentedos rutas que indican la cantidad mxima de unidades que se puedentrasladar a travs de ellas:

Ruta F1F2 (Mximo 10 unidades)Ruta CDA2 (Mximo 80 unidades)

Se supone que las dems rutas tienen suficiente capacidad paratransportar cantidades infinitas.

Identifique en la columna I los nodos que conforman elproblema:

En la columna L coloque las cantidades relacionadas con laoferta o demanda de cada nodo, atendiendo a la siguienteconsideracin:

4) En los nodos fuente se colocar (con signo positivo) lascantidades que ofrecen (Unidades producidas en este caso).

5) En los nodos demanda se colocar (con signo negativo)las cantidades requeridas (Unidades requeridas en estecaso).

6) En los nodos de trasbordo se colocar cero.

Las ecuaciones para los flujos netos de cada nodo se incluirnen la columna J, en donde cada celda de esta columna (J) calcula elflujo neto real en ese nodo sumando el flujo que sale y restando el queentra.


Como las celdas de la columna D reflejarn los resultados,sern stas las que se tomen en cuenta para la elaboracinde las ecuaciones.

Como el flujo neto generado en un nodo es el flujo quesalemenos elflujo que entra, las ecuaciones se reducena la suma y resta de los valores que debe reflejar SOLVERen las celdas de la columna D

Las celdas de la columna D que se colocarn en las debemos incluir la siguiente ecuacin:


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Las celdas de la columna D que se colocarn en lasecuaciones sern aquellas que se encuentren en la mismaFila donde est ubicado el nodo estudiado. Si la letra queidentifica al nodo se encuentra en la columna B (DESDE) sesumar; cuando se encuentre en la columna C (HASTA) serestar.

Celda J4 =+D4+D5+D6Celda J5 =D4+D7

Celda J6 =D6D7+D8

Celda J7 =D5+D9D10

Celda J8 =D8D9+D10


Solo nos falta escoger la celda donde queremos que se refleje elcosto mnimo total. En este caso podemos escoger D12 y en ella

debemos incluir la siguiente ecuacin:

Celda D12 =SUMAPRODUCTO(D4:D10;G4:G10)

Observe que se est multiplicando cada uno de los valores de lacolumna RESULTADO con su respectivo COSTO UNITARIO.

La hoja de clculo con toda la informacin se presentar en supantalla de la manera siguiente :

Para calcular el costo minimo total y la ruta a seguir, se utiliza unaherramienta que incluye Excel llamada SOLVER.




Antes de que Solver pueda resolver el problema, necesita


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En el espacio superior izquierdo del cuadro de dilogo mostrado,donde se solicita la Celda objetivo coloque la celda donde se decidique apareciera el costo total mnimo de trasladar las unidades

producidas por la trayectoria escogida:$D$12

En los crculos blancos donde se solicita el Valor de la celdaobjetivo indique Mnimo. Se busca el costo mnimo (haga clicsobre la palabra mnimo).

En el espacio central izquierdo, donde se solicita Cambiandolas celdasindique las celdas donde se propuso anteriormente que semostraran los resultados. En este caso son las celdas D4 hasta D10,coloque:

$D$4:$D$10



En este tipo de problema una restriccin es la que obliga a quelos resultados que aparezcan en la columna D sean menores a lacapacidad que posea cada ruta o arco y que se indicaron en la columnaF.

En esta caso solamente se indicaron restricciones de capacidadel la ruta F1F2 y en la ruta CDA2.

$D$4 $F$4

$D$8 $F$8


Haga clic en Agregar.La otra restriccin es la que obliga a que los flujos netos

calculados en la columna J (Desde J4 hasta J8) sean iguales a lasconsideraciones de oferta y demanda que se indicaron en la columnaL (Desde L4 hasta L8) . Por lo tanto coloque:

$J$4:$J$8 = $L$4:$L$8



Ahora todo est listo para hacer cl ic en Resolver y despus


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Este cuadro permite especificar las opciones para resolver elmodelo. Lo ms importante son las opciones Adoptar ModeloLinealyAsumir no negativos(asegrese de hacer clic sobreellos).

Con un clic en Aceptar se regresa al cuadro de dilogo

Parmetros de Solver.

Ahora todo est listo para hacer cl ic en Resolver y despusde unos segundos Solver indicar los resultados en las celdas D4 hastaD10 y en la celda objetivo (D12) aparecer el COSTO TOTAL MNIMOde trasladar las cantidades indicadas en la columna de resultados.

En el cuadro final Resultados de Solver, haga clic enAceptar.


Los resultados se leen de la manera siguiente:

Se enviarn 10 unidades desde F1 hasta A1.Se enviarn 40 unidades desde F1 hasta CD.Se enviarn 40 unidades desde F2 hasta CD.Se enviarn 80 unidades desde CD hasta A2.Se enviarn 20 unidades desde A2 hasta A1.El costo total de envo ser de $ 49.000,oo.


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CASOS ESPECIALES

EJERCICIO COMPLEMENTARIO 1 : trasladar los productos de una parte a otra. En este caso en particular


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EJERCICIO COMPLEMENTARIO 1 :La compaa AUDIOFILE produce bafles. Sin embargo, la

administracin ha decidido subcontratar la produccin de las bocinasnecesarias para los bafles. Existen tres proveedores. Sus precios porcada embarque de 1000 bocinas entregado en cada almacn (incluye

precio y costo de envo) se muestran en la siguiente tabla.

Almacn 1 Almacn 2

Proveedor 1 23.440.oo 22.960,oo

Proveedor 2 23.150,oo 23.200,oo

Proveedor 3 23.200,oo 23.000,oo

Cuando una de las fbricas requiere un embarque de bocinaspara ensamblar los bafles, contrata un camin para traerlo de losalmacenes. El costo por embarque est dado en la siguiente tabla, juntocon el nmero de embarques por mes que requiere cada fbrica.

Costo unitario de envo

Fbrica 1 Fbrica 2

Almacn 1 200,oo 700,oo

Almacn 2 400,oo 500,oo

Demanda mensual 10 6

Cada proveedor puede surtir hasta 10 embarques por mes; perodebido a las limitaciones de transporte, cada uno puede enviar unmximo de slo 6 embarques por mes a cada almacn. De manerasimilar, cada almacn puede enviar hasta 6 embarques por mes a cada

fbrica.La administracin desea desarrollar un plan mensual de cuntosembarques (si los hay) ordenar a cada proveedor, cuntos de ellosdeben ir a cada almacn y cuntos embarques debe enviar cadaalmacn a cada fbrica. El objetivo es minimizar la suma de los costosde compra (que incluyen los de envo) y los costos de envo desde losalmacenes a las fbricas.

Solucin:

En este tipo de problemas es recomendable graficar una reddonde se pueda visualizar con facilidad las rutas que son utilizadas para

p p pdebemos indicar las rutas posibles desde cada proveedor a los dosalmacenes y desde cada almacn a las dos fbricas.

Esto nos permite visualizar e identificar los nodos fuentes o desuministros, los nodos de trasbordo y los nodos demandas;igualmente los costos y capacidades de cada ruta o arco.

Una vez graficada la red nos permite visualizar mas cmodamenteque tipo de algoritmo podemos utilizar para su solucin.

Bajo la premisa anterior podemos notar que encuadra como unproblema de flujo de costo mnimo que fue estudiado en el captuloanterior.

Sin embargo, hay una consideracin especial que debemos tomaren cuenta para que la solucin sea la ptima.

Note que los proveedores pueden abastecernos de hasta 30embarques (hasta 10 cada uno) y nuestras fbricas necesitan 16 (lafbrica 1 requiere 10 y la fbrica 2 requiere 6).

Si se incluyen las restricciones como se hizo normalmente en elproblema de flujo de costo mnimo que fue estudiado en el captuloanterior, el cuadro de resultados que muestra SOLVER nos indicar queNO HA ENCONTRADO UNA SOLUCIN VALIDA.


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Esto se debe al hecho de que la oferta (30 unidades) es mayorque la demanda (10+6=16 unidades).

Este inconveniente se resuelve fcilmente.

Como se dice que los tres proveedores pueden suministrarHASTA 10 bocinas, el FLUJO NETO de cada uno de ellos ser 10.

La solucin se lee:

Desde el proveedor 1 deben enviarse 6embarques al almacn 2 Desde el proveedor 2 deben enviarse 6embarques al almacn 1 Desde el proveedor 3 deben enviarse 4 embarques al almacn 2 Desde el almacn 1 deben enviarse 6embarques a la fbrica 1 Desde el almacn 2 deben enviarse 4 embarques a la fbrica 1 Desde el almacn 2 deben enviarse 6embarques a la fbrica 2

El costo total de adquisicin y envo es de 374.460,oo

EJERCICIO COMPLEMENTARIO 2 : Utilice cualquier modelo matemtico que usted considere el indicado


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EJERCICIO COMPLEMENTARIO 2 :para determinar cul nivel de cada uno de las cuatro etapas se debeutilizar para minimizar el tiempo total hasta la comercializacin sin gastarms de los $ 30 millones de que se disponen.

Solucin:

Al leer con detenimiento observamos que se nos pide encontrar

un camino que simultneamente resulte econmico y consuma elmnimo tiempo.

Bajo la consideracin anterior podemos inferir que el problemapuede ser del tipo deflujo de costo mnimo o de la ruta ms corta.

Sin embargo, al ser mas detallistas notaremos que lo que sequiere es partir de una situacin actual y llegar a un destinoventajoso. Si tambin tomamos en cuenta que se tiene que escoger unode los tres niveles de cada una de las cuatro etapas, concluiremos que

se trata de un problema de la ruta ms corta con la restriccin de nogastar ms de $ 30 millones.

Al dibujar la red correspondiente notaremos que la mismapresenta 2 nodos destino.

Al inicio del captulo del Problema de la Ruta ms Corta se hizo Se enfoca como un problema de RUTA CORTA y en vez de


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mencin que el mismo contempla dos nodos especiales (un origen y undestino) y el objetivo es encontrar la trayectoria con la mnima distanciatotal del origen al destino.

Al final del mismo captulo (pg. 13) podemos leer :

Para algunas de estas aplicaciones, la trayectoria a travs de la redpuede terminar en ms de un nodo, aunque el problema de la ruta mscorta puede tener slo un origen y un destino. Por ejemplo, una red de

cloacas que deba trasladar las aguas negras desde una ciudad a una devarias plantas de tratamiento existentes. Se usa una reformulaciningeniosa para ajustar esta situacin al problema de la ruta ms corta. Setrata de aumentar la red original para que incluya un destino ficticio yalgunos arcos o flechas nuevos. Por lo tanto, se coloca un nuevo arcodesde cada uno de los otros nodos al destino ficticio con distancia, duraciny/o costos igual a cero (segn sea el caso).

En este caso en particular agregaremos un Destino ficticio dondellegarn dos arcos o flechas con tiempo cero de duracin y costocero.

En la parte de arriba de cada flecha se ha indicado el costo de cadanivel (en millones) y en la parte de abajo su duracin (en meses).

La hoja de clculo EXCEL se llenar atendiendo las indicacionesdadas en los captulos anteriores y tomado en cuenta los aspectos

siguientes:

distancia se coloca tiempo de duracin.

Se agrega una columna donde se indique el costo de cada uno delos niveles.

En una celda (G24 en este caso) se incluye una formula paraindicar el costo total de la solucin. Dicha formula contempla laSUMAPRODUCTO de la columna D con la columna donde seindicaron los costos de cada nivel.

La aplicacin de SOLVER se realizar bajo las mismas condicionesque se explicaron en los captulos anteriores pero DEBEMOS incluir unarestriccin de costos. En este sentido incluiremos que el costo total de lasolucin debe ser menor o igual (


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El cuadro de dilogo de PARAMETROS DE SOLVER mostrar:

La solucin en EXCEL se muestra al lado derecho:

La solucin grfica se muestra a continuacin:

Los resultados se leen:

De la etapa Investigacin restante se debe utilizar elnivel quiebre (2 meses y $9 millones)

De la etapa Desarrollo se debe utilizar elnivel prioridad(3 meses y $6 millones)

De la etapa Diseo del sistema de manufactura sedebe utilizar elnivel quiebre (3 meses y $12 millones)

De la etapa Inicio de produccin y distribucin se debeutilizar elnivel prioridad (2 meses y $3 millones)

Es bueno aclarar que este ejercicio tambin puede resolverse comoi l d l t d d t t l t d d i i


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un caso especial del mtodo de transporteo el metodo de asignacinespecficamente.

Introduzco en la hoja de clculo EXCEL los datos del problema:

En las condiciones de oferta y demanda debo tomar en cuenta losiguiente:

Como en cada etapa se va a asignar un solo nivel de los tresexistentes, la demanda ser de 1 en cada etapa.

Como cada tipo de nivel se puede aplicar en las 4 etapas, la oferta

ser del tipo 4

Ahora escojo las celdas donde quiero que se indiquen los resultadosuna vez aplicado SOLVER.

A continuacin incluyo las frmulas de sumatorias de los resultados(etapas y niveles)

Celda F17 =SUMA(B17:E17) Celda F18 =SUMA(B18:E18)

Celda F19 =SUMA(B19:E19)

L d t i i l d t i


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Celda B20 =SUMA(B17:B19) Celda C20 =SUMA(C17:C19) Celda D20 =SUMA(D17:D19) Celda E20 =SUMA(E17:E19)

A continuacin escogemos la celda de la funcin objetivo (C23 eneste caso); donde se trabajar con la matriz de tiempo porqu eso es lo

que se quiere minimizar.

Posteriormente escogemos otra celda donde queremos que serefleje el costo total de los resultados que arroje SOLVER, estaconsideracin la hacemos por la condicin del problema que nos limitalos gastos hasta $30 millones.

Una

optimizacion redes

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