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ÓPTIMOS BIOLÓGICO Y ECONÓMICO DE LA RESPUESTA DELCAFÉ A LA FERTILIZACIÓN EN DOS LOCALIDADES DE

COLOMBIA

Hernando Duque-Orrego*; Alfonso Mestre-Mestre**

RESUMEN

DUQUE O., H.; MESTRE M., A. Óptimos biológico y económico de la respuesta del café a la fertilización, endos localidades de Colombia. Cenicafé 52(1):74-89. 2001

Como un acercamiento económico a la fertilización, se analizó la respuesta del café haciendo uso de los conceptosde la economía de la producción. Para ello se tomaron funciones de respuesta del café a la fertilización,provenientes de un experimento de Cenicafé. Se analizó concretamente la respuesta al nitrógeno en Paraguaicito(Quindío) y la respuesta al nitrógeno y potasio en la Hacienda Mesitas (Cundinamarca). En ambos casos huborendimientos marginales decrecientes, lo cual concuerda con los procesos biológicos conocidos y los supuestosdel modelo. El modelo de respuesta al nitrógeno permitió establecer que los óptimos biológico y económicocoincidieron para este caso. Se comprobó también que la elasticidad de la producción de café a aplicaciones denitrógeno fue negativa por encima de 231kg de N por hectárea año. En el modelo de respuesta al nitrógeno y alpotasio, se encontró de igual forma que los óptimos biológico y el económico fueron coincidentes, deduciéndosede ambas funciones que el agricultor debe aplicar fertilizante buscando el máximo rendimiento biológico, puespara esa misma dosis se alcanzará el óptimo económico. Finalmente, se muestra cómo utilizando la técnica de lasisocuantas el agricultor puede ser eficiente produciendo café, asignando adecuadamente sus recursos en el casodel capital disponible limitado.

Palabras claves: Café, funciones de respuesta, fertilización, óptimos biológicos, óptimos económicos.

ABSTRACT

As an economic approach to fertilization, the response on coffee productivity due fertilization was analyzed byusing the production economics concepts. The response functions from experiments carried out in Cenicafé wereconsidered. The response functions to nitrogen in Paraguaicito (Quindío) as well as the response function tonitrogen and potassium in Mesitas farm (Cundinamarca) were specifically analyzed. In both cases, thesefunctions described diminishing marginal returns, which correspond to the biological processes known and themodel assumptions. The model of nitrogen response allowed establishing that the biological and economicoptimums were coincident. The elasticity of coffee production to nitrogen application was negative above 231kilograms of N per hectare per year. In the response model to nitrogen and potassium, it was found also that thebiological and economic optimums were coincident. Therefore can be concluded that coffee farmers in theselocations should apply fertilizers looking for obtaining the maximum of the biological yield, since for the sameamount of fertilizer will be reached the economic optimum. Finally it is demonstrated how using the isoquantstechnique, farmers can be efficient producing coffee, allocating adequately their resources, if there is a lack ofcapital.

Keywords: Coffee, response functions, fertilization, biological optimum, economic optimum.

* Investigador Científico I. Economía. Centro Nacional de Investigaciones de Café, Cenicafé. Chinchiná, Caldas,Colombia.

**Investigador Científico III. Fitotecnia, hasta Junio de 2000. Centro Nacional de Investigaciones de Café,Cenicafé. Chinchiná, Caldas, Colombia.

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De las decisiones que se llevan a cabo en elmanejo de cultivos una de las que tiene mayorimportancia es la relacionada con la fertiliza-ción. Además, durante los últimos años el usoracional y económico de los fertilizantes haadquirido especial trascendencia dentro de latecnología para la producción de cosechas. Eneste sentido, Tisdale y Nelson (31), opinan quedebe reconocerse la importancia de un adecua-do suministro de elementos nutritivos a lasplantas para mantener una producción eficien-te de las mismas.

De acuerdo con Guerrero (19), la raciona-lidad en el uso de fertilizantes se sustenta endos aspectos: primero, la incorporación devariedades altamente productivas que suponenun incremento de las necesidades de nutricióndel cultivo y por tanto, mayores requerimien-tos en la fertilización; y segundo, por el incre-mento relativo en costos que han tenido lasfuentes fertilizantes.

Para el caso del café, la fertilización es unade las actividades más importantes que debenllevarse a cabo si se desean obtener buenosrendimientos en el cultivo. De hecho, al ferti-lizar se suministran los nutrimentos que laplanta requiere para producir mejores cose-chas (15). De esta forma, con buenasfertilizaciones se obtienen plantas vigorosas ysanas cuya producción se aumenta considera-blemente, pues en ausencia de fertilizantes loscafetos producen poco, se �palotean� más rápi-do y son más sensibles a plagas y enfermedades(16). Es considerable entonces la importanciade la adecuada fertilización de los cultivos decafé, en el propósito de obtener buenas produc-ciones dentro de una racionalidad económicapara el productor.

Los estudios llevados a cabo por Cenicaféy relacionados con la respuesta del café a lafertilización en Colombia son extensos y com-pletos. De hecho, es posible encontrar abun-dante literatura en este campo, la cual discurre

a través de: la nutrición mineral del café (37),las relaciones entre la presencia de enfermeda-des del cafeto y la fertilización (7), la fertiliza-ción foliar en almácigos de café (20, 36), épo-cas de aplicación de fertilizantes en cafetalesrenovados por zoca (33), encalamiento de cafe-tales (34), comparación de formas de aplica-ción del fertilizante (28), uso de fuentes sim-ples (39), fertilización de cafetales (35), res-puesta del café bajo sombrío a la fertilización(25), interacciones entre manejo de cafetales yfertilización (29), y otros tópicos más.

Pero también y paralelo a esta información,Cenicafé ha desarrollado conocimientos cla-ves en lo relacionado con los análisis de sueloscomo ayuda para la recomendación de fertiliza-ción de los cafetales. Debido a la complejidaden la interpretación de estos análisis y para unamejor aplicación de los criterios de los técni-cos, Cenicafé ha publicado información en laserie Avances Técnicos (3, 4, 38).

Adicionalmente, se han llevado a cabo vali-daciones de las recomendaciones generadaspor dichos análisis en las cuales se encontróque los agricultores estaban aplicando dosis defertilizante superiores a las recomendadas porlos análisis de suelos, para obtener produccio-nes similares a las logradas con base en larecomendación (14); estas validaciones demos-traron cómo por encima de ciertos niveles defertilizante no hay respuesta en producción y sepuede presentar una etapa irracional como pro-ductor, desde el punto de vista económico, puespara mayores costos se obtienen menores ga-nancias. En este sentido deben hacerse doscomentarios: primero, a pesar de los benefi-cios derivados de la utilización del análisis desuelos, esta práctica no ha sido aún adoptadamasivamente por los caficultores colombia-nos; y segundo, al analizar la estructura decostos en la producción de café, se observa quelos fertilizantes no constituyen más del 10 o12% de los costos totales de producción (17),pero en cambio son responsables en gran medi-

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da por los volúmenes de producción obtenidos.Situación que se torna compleja bajo el actualescenario de la caficultura, el cual impone laproducción de café bajo condiciones de efi-ciencia y competitividad, lo que implica porsupuesto racionalidad económica. Y la únicamanera para que un agricultor pueda mantener-se en el negocio a través del tiempo es generan-do ganancias suficientes (30).

De otro lado, la producción de cultivos es elresultado de una serie de actividades que trans-forman los insumos en rendimiento. Por ello,una función de producción representa la canti-dad de producto que podría obtenerse emplean-do diferentes dosis o cantidades de insumos, eneste caso fertilizante. Las funciones de res-puesta más frecuentemente utilizadas para ex-plicar la respuesta de las plantas a los fertilizan-tes son diversas: cuadráticas, cúbicas, Cobb-Douglas, etc. Debe mencionarse también elenfoque de los modelos discontinuosrectilíneos que permiten también interpreta-ciones económicas (10, 13). Sin embargo, lasmás utilizadas son las funciones cuadráticas ode segundo grado, que describen una relacióncurvilinear entre la producción esperada y lacantidad de fertilizante aplicado (23). En estafunción se espera normalmente un signo posi-tivo para el término lineal (B1) y negativo parael segundo o término cuadrático (B2); estossignos implican que la producción del cultivoaumenta a una tasa marginal decreciente a me-dida que las dosis de fertilizante también au-mentan hasta llegar a un punto máximo, luegodel cual la producción decrece.

El presente estudio tuvo como objetivo es-timar los óptimos técnico y económico o lasmejores combinaciones económicas denutrimentos para las funciones seleccionadas,contribuir a la comprensión económica de laproducción de café, proponer y difundir unametodología de análisis que puede ser emplea-da en otras funciones de respuesta del café,utilizando los principios de la economía de la

producción en funciones de respuesta del caféa la fertilización.

MATERIALES Y MÉTODOS

Para realizar los análisis correspondientes,se trabajó sobre los resultados del Proyecto C-6 de Cenicafé (6). Este proyecto evaluó endiferentes localidades, distintas dosis de nitró-geno, fósforo y potasio para observar la res-puesta del café, variedad Caturra, a las dosis delos nutrimentos y a su interacción. Se efectuóun ensayo en el cual los tratamientos estuvieronconstituidos por las combinaciones factorialesde tres niveles de cada uno de los elementosnitrógeno, fósforo y potasio. Los niveles que seemplearon fueron 0, 120 y 240kg/ha/año de N,P2O5 y K2O, respectivamente. Como fuentes delos elementos se usaron el sulfato de amoniodel 21% de N, el superfosfato triple de 46% deP2O5 y el sulfato de potasio del 48% de K2O. Enla distribución de los tratamientos en el campo,los 27 tratamientos se dividieron en bloques ental forma que la componente W de la interacciónde los tres factores, quedara totalmente con-fundida con los bloques. Se emplearon dosrepeticiones de este diseño básico. La variedadCaturra se sembró a una distancia de 1,5m por1,5m, al cuadro, que equivale a una densidad de4.444 árboles de café por hectárea (32).

El Experimento se instaló en diferenteslocalidades del país: Cenicafé (Chinchiná),Estación Central Naranjal (Chinchiná),Paraguaicito (Quindío), Líbano (Tolima), Fres-no (Tolima), Subestación El Rosario(Antioquia), Piamonte (Antioquia), Granjas(Cundinamarca), Mesitas (Cundinamarca), Gi-gante (Huila) y Albán (Valle). Los rendimien-tos estudiados corresponden a kilogramos decafé pergamino seco, promedio de cuatro co-sechas y para año civil (enero a diciembre). Lautilización del promedio de las cuatro cosechaspara la construcción del modelo se apoya en laestimación de una función de producción pro-

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Tabla 1. Resultados de la regresión

Estadísticas de la Regresión Valores

R-cuadrado 0,730464R-cuadrado Ajustado 0,708003Error estándar 514,0801Observaciones 27

Término Coeficientes P-Valor

Intercepto (B0) 4119,0594 2,65811E-18Nitrógeno (B1) 16,1352 0,000126096Nitrógeno*Nitrógeno (B2) -0,03424 0,024232861

Tabla 2. Coeficientes de la regresión

medio para un ciclo normal del cultivo, siguien-do la tecnología propuesta por Cenicafé. Deacuerdo con las funciones de respuesta origi-nales obtenidas, se seleccionaron dos de ellaspara llevar a cabo los análisis. Las funcionescorrespondieron a las localidades deParaguaicito (26), donde se encontró respuestaa un nutrimento y para la Hacienda Mesitas(27), donde se encontró respuesta del café ados nutrimentos y a su interacción. Las funcio-nes se estimaron sobre los años civiles y comounidad de la variable de respuesta se trabajó conkilogramos de café pergamino seco por hectá-rea; para ello se recurrió a los datos originales,los cuales reposan en la Disciplina de Fitotecniade Cenicafé.

Para estimar los óptimos económicos setrabajó con el precio oficial del café al momen-to de los análisis y el costo de los nutrimentosen su forma como N o K2O. No se incluyeronlos costos de transporte del fertilizante y suaplicación, puesto que varían entre fincas y son,por tanto, de difícil estimación. En julio del año2000 se actualizaron los óptimos de acuerdo alos precios vigentes y no hubo variación, encomparación con los cálculos anteriores basa-dos en precios de 1999.

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Las funciones de respuesta utilizadas eneste análisis correspondieron a las localidadesde Paraguaicito y Mesitas.

Localidad Paraguaicito: Función de Res-puesta. En esta localidad la respuesta del caféfue significativa a nitrógeno, lo cual tipifica larelación factor : producto, la cual se analizódesde el punto de vista de economía de laproducción.

Los resultados de la regresión aparecen en laTabla 1.

El R2 estimado muestra que el modelo tienebuen ajuste y que el 73% de la variación en laproducción está explicado por las variacionesen la fertilización. De otro lado, al realizar elanálisis de varianza se encontró que el modelofue significativo con valores de F, inferiores al1%. Los coeficientes calculados para la regre-sión, su valor y significancia aparecen en laTabla 2.

De esta forma la función obtenida es deltipo cuadrático, resultado coincidente con lamayoría de experimentos que estudian la res-puesta en producción de las plantas a las aplica-ciones de fertilizante (2, 23). En concordancia,la ecuación es la siguiente:

Donde:Y = Producción promedia de cuatro co

sechas (kg de cps/ha).N = Dosis de nitrógeno, expresada en kg

de N por hectárea.N2 = Dosis de nitrógeno, elevada al cua

drado y expresada en kg de N porhectárea.

De acuerdo con la función obtenida, la re-presentación gráfica aparece en la Figura 1.

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Figura 1. Respuesta del café alas aplicaciones denitrógeno. Paraguaicito(Quindío)

La gráfica muestra el comportamiento deuna función de segundo grado cuando el coefi-ciente del término cuadrático es negativo,tipificándose un rendimiento marginal decre-ciente.

Óptimo Biológico. Para estimarlo es necesa-rio calcular la dosis de nitrógeno que generarála máxima producción física o biológica. Eneste caso se toma la función obtenida y se hallala derivada de primer orden que es equivalentetambién al producto marginal de la función.

Esta derivada de primer orden se iguala a cero(0) y se obtiene entonces la dosis de nitrógenoque optimiza la producción física de café. Eneste caso la dosis es de 235,61 kg.

Para comprobar si esta cantidad estimada denitrógeno corresponde a un máximo, se obtienela derivada de segundo orden, la cual debe sermenor que cero para que el punto encontradosea verdaderamente un máximo lo cual ocurrió

en este caso. Luego se procede a estimar lamáxima producción promedio, reemplazandoen la ecuación original la dosis de N obtenida:

Óptimo Económico. La tasa óptima de aplica-ción de fertilizante a un cultivo es aquella queproduce el máximo retorno económico (8).Para obtener el óptimo económico se iguala laecuación de producto marginal a la relacióninversa entre el precio del insumo y el preciodel producto.

Donde:P N = Precio de kg de NP Y = Precio de kg de café pergamino seco

(cps)

Asumiendo el precio del kilogramo de N en $704 (9), y el precio de venta del café en $ 2640/kg (precio oficial a la fecha de los análisis), seobtendría un óptimo económico de 231,32 kg

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Para esta dosis la producción esperada sería:

Esta producción es prácticamente igual a ladel óptimo físico. Esto se explica porque larazón entre el precio del nitrógeno y el del cafées una cifra de muy bajo valor (0,266) la cualocurre porque la diferencia en precios entreambos productos es muy amplia. Dicho de otraforma, el precio del café es tan alto con rela-ción al nitrógeno que los óptimos físicos yeconómicos prácticamente coinciden. Sin em-bargo, si los precios del café o de losnutrimentos presentaran cambios importantes,tales como decrecimiento en el primero o au-mentos severos en el de los fertilizantes, elóptimo económico también presentaría varia-ciones.

Producto total y producto marginal. El in-cremento en la producción causada por la últi-ma (marginal) unidad de nitrógeno a cada nivelde uso es llamado Producto Marginal. De estaforma el producto marginal del nitrógeno eneste caso, es el incremento en el producto total(kilogramos de café pergamino seco) produci-

do por la última unidad de ese insumo, mientrastodos los otros insumos permanecen constan-tes (22). Sin embargo, por encima de ciertonivel de producto (kilogramos de café pergami-no seco) unidades adicionales de N harán decli-nar la producción total. En el caso bajo estudio,unidades adicionales de N por encima del ópti-mo producirán disminución en la producción.De acuerdo con los conceptos de economía dela producción, el producto marginal es igual acero cuando la producción total alcanza su máxi-mo (Figura 2).

Se observa cómo la curva de produccióntotal PT (eje Y1) decae por encima de lospuntos óptimos técnico y económico (que eneste caso coinciden), lo que significa que apli-caciones de N mayores a 231,6/ha/año, origi-narán mermas en la producción total. En estascircunstancias el productor estaríaincursionando en la etapa 3 o etapa irracional dela producción. La gráfica también muestra lacurva de producto marginal (Pmg) sobre el ejeY2, la cual va descendiendo a medida que lacurva de producto total llega a la más alta pro-ducción (6019,94kg de cps/ha o 481,59 @ decps/ha). Nótese que cuando el producto margi-nal es igual a cero (no hay mayor producción de

Figura 2.Curvas de productototal (PT), Producto

marginal (Pmg),dosis óptima de N ymáxima producción

esperada.

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café por efecto de la aplicación de unidadesadicionales de N), coincide con los óptimostécnico y físico. La adición de más unidades deN sólo generaría un costo adicional que no severá retribuido por una producción adicional decafé y se estaría produciendo a pérdida. Me-diante este método se comprueban los resulta-dos obtenidos por otros métodos como el cál-culo diferencial.

Análisis Marginal. Se refiere al análisis eco-nómico de los aumentos en valor de la produc-ción y su relación con los aumentos en el costodel fertilizante utilizado (24). El análisis mar-ginal de la función de respuesta del café alfertilizante en Paraguaicito se lleva a cabo grá-ficamente en la Figura 3. Para elaborarlo secalculan los incrementos en producción porefecto de la aplicación de unidades adicionalesde nitrógeno. Multiplicando las diferencias enaumentos en producción por el precio del cafése determina el valor de los incrementos enproducción. Como se observa en la Figura,estos valores son más altos a niveles bajos de Ny disminuyen a medida que la dosis de N aumen-ta. De otro lado, estos valores deben relacio-narse con el costo marginal (costo de las unida-des adicionales de insumo. En este caso setomaron 15kg de N a $ 704 c/u) del uso del N elcual es constante, de donde se deduce en cualpunto se encuentra la dosis óptima de fertili-

zante. Al graficar la curva de ingreso marginal yla de costo marginal se observa claramente elpunto en el cual se logra el óptimo económico.

Es claro, por la gráfica, que aplicacionesadicionales de nitrógeno por encima de 231,6kgoriginarán ingresos marginales negativos lo cualimplica pérdidas para el productor.

Elasticidad de la Producción (Ep). La elas-ticidad de la producción en agricultura se defi-ne como: �el porcentaje de cambio en el pro-ducto dividido por el porcentaje de cambio enel insumo, cuando el nivel del insumo usadocambia� (12). Para estimar la elasticidad de laproducción de café de acuerdo a los niveles deN utilizados se aplica la fórmula:

Donde:

Y = Producción de caféN = kg de N/ha/año

De acuerdo con esta expresión, las elastici-dades de la producción de café con respecto acambios en las dosis de N, aparecen en la Figura4. La curva de producto total (eje Y1), decae

Figura 3.Curvas de IngresoMarginal y CostoMarginal de laf e r t i l i z a c i ó nnitrogenada

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por encima del óptimo técnico (que coincidecon el económico).

La gráfica también describe la curva de elas-ticidad de la producción cuya escala se ubicasobre el eje Y2. La elasticidad de la producciónpresenta dos tipos de valores; en un tramo de lacurva los valores de Ep oscilan entre 1 < Ep > 0,mientras que en otra son Ep < 0. De esta formaes claro que la función de respuesta analizada seubica sobre dos etapas de la función de produc-ción (etapa 2), cuando la elasticidad toma valo-res entre 1 < Ep > 0, lo cual indica que elproducto marginal es positivo aunque decre-ciente. Por esta razón, los recursos productivosson usados racionalmente cuando el procesoproductivo se encuentra en la etapa dos deproducción. Esta fase es llamada Etapa Racio-nal de la Producción. Cuando la Ep es < 0,entonces se entra en la Etapa 3, donde el pro-ducto marginal toma valores negativos con unaproducción decreciente, indicando que a ma-yores cantidades de N la cantidad de cafépergamino seco será menor que en el máximo.Por esto se denomina a esta Etapa Irracionalpues el caficultor estaría produciendo a pérdi-da. Es importante señalar que cuando en unafunción cuadrática como la que se ha venidoestudiando, el coeficiente B2 toma valores ne-gativos permite retornos marginales decre-

cientes y un punto máximo, enmarcándose en laley de los rendimientos decrecientes (2). Enestas funciones la elasticidad de la producciónno es constante y declina conforme seincremente el uso del factor variable, nitrógenoen este caso.

Abranches (2), opina que una de las limita-ciones de las funciones cuadráticas es que nopermiten tener en la misma curva las tres etapasde la función de producción. Estas funcionespueden representar la etapa 1 o las etapas 2 y 3,como ha ocurrido en la función analizada. Poresta razón no se ha estudiado el comportamien-to del Producto Medio, que es otra variableclave es este tipo de análisis. Además, al anali-zar la curva de producto marginal (Figura 2),esta se observa rectilínea cuando no lo es; peroal faltar la Etapa 1 de producción se impideobservar el comportamiento del producto mar-ginal a lo largo de la función de producción.

Localidad Hacienda Mesitas. Función derespuesta. En esta localidad la respuesta delcafé fue significativa a nitrógeno y potasio, locual tipifica la relación factor : factor, que seanalizó desde el punto de vista de economía dela producción. Los resultados de la regresiónaparecen en la Tabla 3.

Figura 4.Curvas de Producto

Total (PT) yElasticidad de la

Producción (Ep).

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El R2 estimado indica que el modelo tienebuen ajuste, pues el 86% de la variación en laproducción está explicado por las variacionesen la fertilización. De otro lado, al realizar elanálisis de varianza, se encontró que el modelofue significativo con valores de F, inferiores al1%.

Los coeficientes calculados, su valor y lasignificancia aparecen en la Tabla 4.

De acuerdo con estos resultados, se obtieneuna función de tipo cuadrática. Esto coincidecon la opinión de varios autores que mencionanque la respuesta en producción de las plantas alas aplicaciones de fertilizantes, puede ser es-tudiada bajo este tipo de funciones, que son enrealidad polinomios de segundo grado (2, 5, 18,23). En concordancia, la ecuación es la siguien-te:

Donde:Y = Producción promedia de cuatro co

sechas, expresadas en kg de cps/ha/año.

N = Dosis de nitrógeno, expresada en kgde N/ha

N2 = Dosis de nitrógeno, elevada al cuadrado y expresada en kg de N/ha

K = Dosis de potasio, expresada en kg deK2O/ha

K2 = Dosis de potasio, elevada al cuadrado y expresada en kg de K2O/ha

N*K = Dosis de nitrógeno multiplicada porla dosis de potasio, expresadas en kg/ha

De acuerdo con la función obtenida, la re-presentación gráfica aparece en la Figura 5.

Óptimo Biológico. Para conocer el óptimobiológico de producción se deben estimar lasdosis de nitrógeno y potasio que permitiránobtener la más alta producción. Para ello sehace uso de las herramientas de la economía dela producción.

En esta caso se toma la función obtenida yhallan las derivadas parciales de primer orden,que son equivalentes al producto marginal decada uno de los nutrientes.

Tabla 3. Resultados de la Regresión

Estadísticas de la Regresión Valores

R-Cuadrado 0,862020R-Cuadrado Ajustado 0,82752Error Estándar 262,79Observaciones 27

Términos Coeficientes P-Valor

Intercepto (B0) 818,914 4,34E-05Nitrógeno (B1) 5,5706 0,012493Nitrógeno * Nitrógeno (B

3) -0,0204 0,012566

Potasio (B4) 7,6642 0,001233Potasio * Potasio (B

5) -0,0268 0,001973

Nitrógeno * Potasio (B6) 0,0223 0,001078

Tabla 4. Coeficientes de la Regresión

Figura 5. Respuesta del café al nitrógeno, potasio e interacciónN*K, en Mesitas.

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Estas derivadas de primer orden se igualan acero (0) y se obtienen la dosis de nitrógeno ypotasio que maximizan la producción física decafé. En este caso las dosis equivalen a 277,45kg. y 258,02 kg.

Para corroborar si estas cantidades de nitró-geno y potasio corresponden realmente a unmáximo, se calcula la derivada parcial de segun-do orden de la función con respecto al nitróge-no (f11), la cual debe ser menor que cero, paracumplir la condición necesaria para el máximode una función.

Posteriormente se obtienen las derivadasparciales de segundo orden del potasio (f22) ylas segundas derivadas parciales cruzadas de Ny K (f12 y f21), Donde de acuerdo al teorema deYoung f12 = f21; de esta forma se verifica elcumplimiento de la condición suficiente paradeterminar el máximo de la función de produc-ción (12). Para la función bajo estudio, las doscondiciones se cumplen. De esta manera:

Así, el punto encontrado es verdaderamenteun máximo. Luego se procede a estimar lamáxima producción promedio, reemplazando

en la ecuación original las dosis de N y Kobtenidas:

Óptimo Económico. Para determinar el ópti-mo económico de la función o la maximizaciónde la ganancia cuando se produce con dosinsumos, asumiendo los demás fijos y dadosdebe averiguarse cuánto de los dos fertilizanteso factores de producción debe aplicarse parahacer máxima la ganancia. Si la ecuación deganancia es igual a:

Donde:II = GananciaTVP = Valor total de la producciónTFC = Costo total de los factores

Sin embargo esta ecuación puede tambiénser expresada así:

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Donde los términos equivalen a:II = Gananciap = Precio del café, por kilogramoY = Función de producciónv1 = Precio del nitrógeno, por kilogramov2 = Precio del potasio, por kilogramoN = Cantidad utilizada de nitrógeno, en

kilogramosP = Cantidad utilizada de potasio, en

kilogramos

Las derivadas de primer orden o condiciónnecesaria para la máxima ganancia son:

Que en este caso equivaldría a:

Donde:II1 = Máxima ganancia para el nitrógenoII2 = Máxima ganancia para el potasiop = Precio del café, por kilogramof1 = Primera derivada de la función de

producción, con respecto a Nf2 = Primera derivada de la función de

producción, con respecto a Kv1 = Precio del nitrógeno, por kilogramov2 = Precio del potasio, por kilogramo

En las ecuaciones anteriores, (1) y (2), serequiere que la pendiente de la función de valortotal de la producción, TVP, con respecto a cadanutriente sea igual a la pendiente de la funciónde costo total de los factores, TFC, de cadainsumo, lo cual conlleva a:

Este acercamiento, empleando las funcio-nes de respuesta del café, en Mesitas se repre-senta así:

Para la ecuación <<12>>:

Para la ecuación <<13>>:

Se resuelven como dos ecuaciones de pri-mer grado con dos incógnitas, para encontrarlas dosis de nitrógeno y potasio que maximizanlas ganancias. Estas son iguales a N: 278,7 kg yK: 260,08 kg, respectivamente.

Como puede observarse, las dosis quemaximizan las ganancias son prácticamente lasmismas que maximizan la producción biológi-ca. De esta forma al igual que en el caso deParaguaicito, el óptimo físico y económicocoinciden. Sin embargo, para esta situación seconsidera que el agricultor dispone de los re-cursos suficientes para adquirir las cantidadesnecesarias de ambos nutrimentos, paramaximizar el ingreso neto.

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Estimación de las Isocuantas. Pero de otrolado, es frecuente que el productor tenga res-tricciones de presupuesto para adquirir las can-tidades de N y K que maximizan el ingreso netopara una función de producción dada (1). Si estees el caso el caficultor puede decidir que volu-men de producción alcanzaría con las cantida-des de N y K que puede comprar a precios demercado, disponiendo de un capital fijo. Deesta forma las cantidades de N y K multiplica-das por su precio no deben superar el capitaldisponible convirtiéndose entonces en una lí-nea de isocosto. Por ejemplo, si el agricultortuviera $ 91.954 para comprar fertilizante, cual-quier combinación de N y K que él decida hacerno podrá superar ese costo. Esta línea deisocosto se calcula dividiendo el capital dispo-nible por el precio de cada elemento para asídeterminar el intercepto sobre los ejes corres-pondientes, tal como se observa en la Figura 6.

Para solucionar este problema del capitaldisponible, se hace uso de la técnica de lasIsocuantas, con el propósito alcanzar la canti-dad de café con una nueva combinación óptimade N y K donde el costo sea mínimo,

maximizando así su ingreso neto para esa nuevasituación. En realidad, muchas combinacionesde nitrógeno y potasio pueden resultar en exac-tamente el mismo nivel de producción de café.

La línea que conecta las diferentes combi-naciones de N y K, para producir una cantidaddada es una curva llamada Isocuanta (oIsoproducto), la cual identifica todos los pun-tos en el espacio que generan la misma cantidadde producto (11). De esta forma cada punto enla línea tiene en mismo rendimiento, en kg decps, pero cada punto en la línea representadiferentes combinaciones de los dos insumos.

Las ecuaciones de isocuantas se derivan dela función de producción respectiva. En estasecuaciones un elemento es expresado comouna función del otro y de un rendimiento prefi-jado (21). Para la función en estudio (HaciendaMesitas), las isocuantas se calculan tomando lafunción y fijando el rendimiento y las dosis deun nutrimento, se estima el otro. La gráfica queuna los puntos de la combinación de los dospara obtener la producción establecida, corres-ponde a la isocuanta para esa producción.

Figura 6.Línea de isocosto

para un capitaldisponible de

$ 91.954

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do señala el camino o ruta de expansión, por elcual se puede transcurrir cuando se dan cam-bios técnicos y se accede a isocuantas de mayorproducción. Se sabe que el óptimo físico yeconómico para la función de Mesitas es iguala 206 arrobas por hectárea año, ese sería elpunto final que alcanzaría la ruta de expansión,pues producciones superiores a ella llevarían alagricultor a producir en una etapa irracionaleconómicamente.

La Figura 8 muestra diferentes isocuantasque pueden calcularse a partir de la ecuación dela función de respuesta del café en Mesitas, laisoclina y la ruta de expansión.

El concepto de isocuantas es muy útil paraoptimizar económicamente la producción deaquellos agricultores que no accedan, por di-versas razones, a la máxima producción sinoque se ubiquen en producciones intermedias.

En conclusión, se encontró que las res-puestas en producción en los dos casos estudia-dos, presentaron rendimientos decrecientes talcomo lo muestra el signo negativo de los coefi-cientes de las variables cuadráticas. Esto con-cuerda con los procesos biológicos conocidosy los supuestos del modelo. El modelo derespuesta al nitrógeno permitió establecer quelos óptimos físicos y económicos coincidie-ron para este caso. Situación no común en losanálisis de óptimos económicos pero que encafé, debido a que la razón entre el precio delinsumo y el precio del café es tan pequeña ymucho menor que la unidad, los óptimos coin-ciden. Caso contrario ocurriría si el precio delinsumo fuera mayor que el del producto (casodel maíz por ejemplo).

Se comprobó que la elasticidad de la pro-ducción del café a las aplicaciones de nitróge-no se torna negativa por encima de 231kg de N/ha/año. Dosis mayores conducirían al agricul-tor a entrar en una etapa de producción irracio-nal desde el punto de vista económico.

Donde:Y = producción prefijada de café, por

ejemplo 130 @ (1625kg de cps)K = dosis de K definidasN = dosis de N, que se encontrarán en

función de K y Y

Re-arreglando términos:

De donde se expresa N en función de Y y Kpara, como se mencionó anteriormente, calcu-lar la isocuanta. La Figura 7 ilustra la isocuantapara producir 130 @ por hectárea o 1625 kilo-gramos de café pergamino seco por hectárea.

Pueden presentarse entonces dos situacio-nes: primero, hallar una óptima combinación deinsumos que minimice los costos para unaisocuanta determinada o segundo, para unoscostos dados encontrar la isocuanta quemaximiza la producción para esos costos limi-tados con antelación. En cada caso se logra unóptimo económico. El óptimo en cada isocuantase alcanza cuando la pendiente de la línea deisocosto es tangente con la curva de isocuanta,allí se obtienen los mínimos costos. Para esteejemplo los mínimos costos para obtener 130arrobas se logran combinando 91,53kg y58,98kg de nitrógeno. Así mismo, en un mapade isocuantas pueden encontrarse varios ópti-mos, uno por isocuanta. La línea que une losóptimos de cada isocuanta, se llama Isoclina,pues tiene pendiente constante y en su recorri-

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Figura 7.Isocuanta para una

producción de 1625kg de cps.

Se demostró también que el óptimo econó-mico se alcanza cuando el costo marginal delfactor es igual al valor del producto marginal.Situación que se logra a los 231kg de N/ha/año.

El modelo de respuesta al nitrógeno y alpotasio, permitió conocer que los óptimos físi-cos y económicos también coincidieron paraeste caso; debido a que la razón entre el preciodel insumo y el precio del café es tan pequeñay mucho menor que la unidad, los óptimoscoinciden.

Utilizando la técnica de las Isocuantas sedemostró cómo el agricultor puede ser eficien-

Figura 8.Isocuantas para

producción de café,óptimos, isoclina yruta de expansión.

te produciendo café, asignando adecuadamentesus recursos en el caso del capital disponiblelimitado. En ambos casos se demuestra la efec-tiva respuesta económica del café a la fertiliza-ción, razón que justifica plenamente que elagricultor al fertilizar busque alcanzar el ópti-mo biológico, pues para esa misma dosis alcan-zará el óptimo económico.

Finalmente, el uso de las herramientas queofrece la economía de la producción permiteconocer y analizar con más profundidad resul-tados obtenidos en la experimentación agríco-la. Estos análisis adicionan valor agregado a lainvestigación pues ofrecen una mayor com-

Nitrógeno (kg./ha/año)

Potasio (kg./ha/año)

Nitrógeno (kg./ha/año)

Potasio (kg./ha/año)

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prensión de los resultados mismos y sirven debase para llevar a cabo recomendaciones a losproductores.

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