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Otimizao Aplicada a Engenharia
Profa. Dra. Mara Martins da SilvaProgramao Linear I: o Mtodo Simplex
Setembro, 2010
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Outline Introduo Definies e Teoremas Sistema linear Motivao Algoritmo Simplex Mtodo Simplex Matlab
1 IntroduoIntroduo programao linear
2 Definies e TeoremasDefinies e Teoremas
3 Sistema linearSoluo de um sistema linear
4 MotivaoMotivao Mtodo Simplex
5 Algoritmo SimplexAlgoritmo Simplex
6 Mtodo SimplexMtodo Simplex
7 MatlabResolvendo LP no Matlab
Otimizao Aplicada a Engenharia
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Outline Introduo Definies e Teoremas Sistema linear Motivao Algoritmo Simplex Mtodo Simplex Matlab
Introduo programao linear
Introduo
Programao Linear (LP) um mtodo de otimizao aplicvelpara a soluo de problemas cuja a funo objetivo e as
restries aparecem como funes lineares nas variveis dedeciso.
Esse mtodo foi desenvolvido em 1930 por economistaspara a alocao de recursos durante a guerra.
Vrios mtodos foram desenvolvidos para resolver LP, maso mtodo SIMPLEX o mais popular e eficiente mtodo.
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Outline Introduo Definies e Teoremas Sistema linear Motivao Algoritmo Simplex Mtodo Simplex Matlab
Introduo programao linear
Introduo
Programao Linear (LP) um mtodo de otimizao aplicvelpara a soluo de problemas cuja a funo objetivo e as
restries aparecem como funes lineares nas variveis dedeciso.
Esse mtodo foi desenvolvido em 1930 por economistaspara a alocao de recursos durante a guerra.Vrios mtodos foram desenvolvidos para resolver LP, maso mtodo SIMPLEX o mais popular e eficiente mtodo.
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Outline Introduo Definies e Teoremas Sistema linear Motivao Algoritmo Simplex Mtodo Simplex Matlab
Introduo programao linear
Introduo
Entre as aplicaes de LP podemos destacar:
Na indstria de alimentos, LP usado para determinar oplano timo de distribuio de produtos para diferentesetapas do processo.
Roteamento timo de mensagens numa rede decomunicao.Organizao da rota de avies e barcos.
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Outline Introduo Definies e Teoremas Sistema linear Motivao Algoritmo Simplex Mtodo Simplex Matlab
Introduo programao linear
Introduo
Entre as aplicaes de LP podemos destacar:
Na indstria de alimentos, LP usado para determinar oplano timo de distribuio de produtos para diferentesetapas do processo.Roteamento timo de mensagens numa rede decomunicao.
Organizao da rota de avies e barcos.
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Outline Introduo Definies e Teoremas Sistema linear Motivao Algoritmo Simplex Mtodo Simplex Matlab
Introduo programao linear
Introduo
Entre as aplicaes de LP podemos destacar:
Na indstria de alimentos, LP usado para determinar oplano timo de distribuio de produtos para diferentesetapas do processo.Roteamento timo de mensagens numa rede decomunicao.Organizao da rota de avies e barcos.
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Outline Introduo Definies e Teoremas Sistema linear Motivao Algoritmo Simplex Mtodo Simplex Matlab
Introduo programao linear
Formulao do programa linear
Minimizar f (x1, x2, . . . , xn) = c1x1 + c2x2 + . . .+ cnxn
sujeito as restries
a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2
...am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm
x1 0x2 0
...xn 0
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Introduo programao linear
Formulao do programa linear
Forma matricial.
min f (X ) = cTX
s.a.aX = bX 0
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Introduo programao linear
Formulao do programa linear
A forma padro de expressar um LP:
1 A funo objetivo do tipo minimizao2 Todas as restries so do tipo equaes3 Todas as variveis so no-negativas
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Outline Introduo Definies e Teoremas Sistema linear Motivao Algoritmo Simplex Mtodo Simplex Matlab
Introduo programao linear
Formulao do programa linear
Transformao para expressar na forma padro.
1 max f equivalente a min f2 Uma varivel que pode ter qualquer sinal pode ser descrita
pela diferena de duas variveis no-negativasxj = x j x j , onde x j 0 e x j 0
3 Uma desiqualdade (inequao) pode ser escrita comouma igualdade atravs da varivel de folga xn+1,a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn + xn+1 = b
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Introduo programao linear
Exemplo
Uma firma produz dois componentes usando tornos,fresadoras e retificadoras. Os tempos de produo para cadacomponentes, a disponibilidade das mquinas-ferramentas eos lucros obtidos com cada componentes esto ilustrados na
tabela.
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Introduo programao linear
Exemplo
Determine qual ser a produo de cada componente (x e y)para maximizar os lucros de uma semana.
Resp. As restries so:10x + 5y 25004x + 10y 2000x + 1.5y 450
x 0y 0
O lucro f (x , y) = 50x + 100y .
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Introduo programao linear
Exemplo
Regio possvel (feasible region)
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Introduo programao linear
Exemplo
Linhas de contorno: 50x + 100y = k
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Introduo programao linear
Formulao do programa linear
Um programa linear pode ter:
1 uma soluo nica (ou finita)2 um nmero infinitos de solues3 uma soluo sem restries4 no ter soluo5 ter um nico ponto possvel (devido s restries)
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Introduo programao linear
Formulao do programa linear
Um programa linear tem as seguintes caractersticasgeomtricas:
1 A regio possvel (espao das variveis) um polgonoconvexo
2 O valor timo ocorre em um ponto extremo ou um vrticedo polgono
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Definies e Teoremas
Definies
Ponto no espao n Um ponto X caracterizado pelascomponentes (coordenadas) (x1, x2, . . . , xn)
Segmento de linha no espao n (L) A linha ligando dois pontosA (X (1)) e B (X (2)) a coleo de pontos X (), osquais as coordenadas so xj = x
(1)j + (1 )x (2)j ,
j = 1,2, . . . ,n, com 0 1.
L = {XX = X (1) + (1 )X (2) }
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Definies e Teoremas
Definies
Hiperplano Um espao n-dimensional, cujo o conjunto depontos satisfaz aTX = b denominadohiperplano.H(a,b) = {X aTX = b}H+ = {X aTX b}H = {X aTX b}
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Definies e Teoremas
Definies
Conjunto convexo Um conjunto convexo uma coleo depontos cuja a linha conectando quaisquer pontosda coleo X (1) e X (2) tambm pertence acoleo. Se X (1) S e X (2) S entoX = X (1) + (1 )X (2), 0 1, tambmpertence.
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Definies e Teoremas
Definies
Polihedro convexo e politopo convexo Um polihedro convexo(c,d) um conjunto de pontos comum para um oumais semi-espaos. Um polihedro convexo que restringindo chamado de politopo convexo (a,b).
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Definies e Teoremas
Definies
Vrtice ou ponto extremo Esse o ponto que no est entreoutros dois pontos (em uma linha) do conjuntoconvexo. Exemplo: todo ponto de umacircunferncia.
Soluo possvel qualquer soluo que satisfaz asrestries.
Soluo bsica a soluo que n-m variveis (n variveis e mrestries) so igualadas a zero. Ela pode serencontrada zerando n-m variveis e resolvendo asrestries aTX = b.
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Definies e Teoremas
Definies
Base A coleo de variveis que no foram zeradas naobteno da soluo bsica.
Soluo bsica possvel a soluo bsica que satisfaz ascondies de no-negatividade.
Soluo tima a soluo possvel que minimiza a funoobjetivo.
Soluo tima bsica a soluo bsica para qual a funoobjetivo tima.
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Definies e Teoremas
Teoremas
Teorema 1 A interseco de qualquer nmero de conjuntosconvexos tambm convexo.
Teorema 2 A regio possvel de um programa linear convexo.
Teorema 3 Qualquer soluo mnima local GLOBAL em umprograma linear (convexo).
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Definies e Teoremas
Teoremas
Teorema 4 Toda soluo possvel bsica um ponto extremodo conjunto convexo de solues possveis.
Teorema 5 Sendo S um polihedro fechado, restrito com X ei ,i=1 at p, ser o conjunto de pontos extremos.Ento qualquer vetor X S pode ser descritocomo X =
pi=1 iX
ei , i 0 e
pi=1 i = 1.
Teorema 6 Sendo S um polihedro convexo fechado, ento omnimo de uma funo linear dentro de S umponto extremo de S.
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Soluo de um sistema linear
Reviso: soluo de um sistema linear
Supondo que a soluo seja nica, o mtodo resolver essasequaes consiste em reescrev-las na forma cannica
(atravs de operaes elementares da lgebra).
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Soluo de um sistema linear
Reviso: soluo de um sistema linear
Esse sistema no ser alterado se1 multiplicarmos uma equao por k2 substituirmos a Eq. Er por Er + kEs.
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Soluo de um sistema linear
Reviso: soluo de um sistema linear
Operao pivoteamento: Vamos selecionar uma varivel xi etentar elimin-la de todas as equaes menos uma (aij 6= 0).
Isso pode ser realizado:1 dividindo a equao j por aji2 subtraindo aki vezes o resultado da operao anterior da
equao k
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Soluo de um sistema linear
Reviso: soluo de um sistema linear
Exemplo:2x y = 0x + 3y = 7
1 Multiplicando a segunda equao por 1/3, temos:x/3 + y = 7/3
2 aki = 1 x/3 + y = 7/3 igual a x/3 y = 7/33 subtrai da primeira equao: 7x/3 = 7/3
O exemplo fica:7x/3 + 0y = 7/3x/3 + y = 7/3
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Soluo de um sistema linear
Reviso: soluo de um sistema linear
Exemplo:2x y = 0x + 3y = 7
1 Multiplicando a segunda equao por 1/3, temos:x/3 + y = 7/3
2 aki = 1 x/3 + y = 7/3 igual a x/3 y = 7/33 subtrai da primeira equao: 7x/3 = 7/3
O exemplo fica:7x/3 + 0y = 7/3x/3 + y = 7/3
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Soluo de um sistema linear
Reviso: soluo de um sistema linear
Exemplo:2x y = 0x + 3y = 7
1 Multiplicando a segunda equao por 1/3, temos:x/3 + y = 7/3
2 aki = 1 x/3 + y = 7/3 igual a x/3 y = 7/33 subtrai da primeira equao: 7x/3 = 7/3
O exemplo fica:7x/3 + 0y = 7/3x/3 + y = 7/3
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Soluo de um sistema linear
Reviso: soluo de um sistema linear
Operao pivoteamento:
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Soluo de um sistema linear
Reviso: soluo de um sistema linear
O pivoteamento pode ser repetido at que os sistema possaser descrito da seguinte forma cannica:
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Soluo de um sistema linear
Reviso: soluo de um sistema linear
Considerando um sistema com n variveis e m equaes(n )m:
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Soluo de um sistema linear
Reviso: soluo de um sistema linear
As operaes de pivoteamento resultam em:
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Soluo de um sistema linear
Reviso: soluo de um sistema linear
Uma soluo especial dada por:
Essa soluo chamada de soluo bsica. As variveispivotadas (pivotal variables) so chamadas de variveis
bsicas e as outras de no-bsicas.
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Soluo de um sistema linear
Reviso: soluo de um sistema linear
claro que essa no a nica soluo bsica do sistema.podemos encontrar outras solues fazendo outrasoperaes de pivoteamento.
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Soluo de um sistema linear
Reviso: soluo de um sistema linear/Exemplo
Encontrar as solues bsicas para o seguinte sistemas deequao:
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Soluo de um sistema linear
Reviso: soluo de um sistema linear/Exemplo
Soluo bsica 1:
Soluo bsica 2:
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Soluo de um sistema linear
Reviso: soluo de um sistema linear/Exemplo
Soluo bsica 3:
Soluo bsica 4:
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Motivao Mtodo Simplex
Motivao para mtodo Simplex
Ns sabemos como encontrar vrias solues bsicas atravsdo pivoteamento. Ento uma maneira de encontrar a soluotima de um programa linear gerar todas as solues bsicase escolher a que satisfaz as restries e que corresponde aovalor timo.
Isso pode ser feito porque a soluo tima sempre ocorre emum ponto extremo ou em um vrtice do espao possvel.
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Motivao Mtodo Simplex
Motivao para mtodo Simplex
O mtodo Simplex de Dantzig um esquema poderoso paraencontrarmos a soluo bsica possvel, e se essa soluono for a tima, o mtodo tenta encontrar uma soluo bsicapossvel vizinha que tem um valor menor ou igual de f .
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Motivao Mtodo Simplex
Motivao para mtodo Simplex
O primeiro passo do algoritmo Simplex construir umproblema auxiliar introduzindo variveis artificiais no problemalinear, com o objetivo de transformar o problema na formacannica.
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Outline Introduo Definies e Teoremas Sistema linear Motivao Algoritmo Simplex Mtodo Simplex Matlab
Motivao Mtodo Simplex
Motivao para mtodo Simplex
Comeando da forma cannica, o segundo passo a soluotima do problema original que realizada em duas fases:
1 A fase 1 consiste em encontrar uma soluo bsicapossvel do problema original. realizada atravs de umasequncia de pivoteamentos do problema auxiliar.
2 A fase 2 consiste em encontrar a soluo tima doproblema linear original. realizada atravs de operaesde pivoteamento passando de uma soluo bsica paraoutra.
A sequncia de formas cannicas necessrias nas duas fases realizada pelo algoritmo simplex (a principal subrotina domtodo simplex).
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Motivao Mtodo Simplex
Motivao para mtodo Simplex
Comeando da forma cannica, o segundo passo a soluotima do problema original que realizada em duas fases:
1 A fase 1 consiste em encontrar uma soluo bsicapossvel do problema original. realizada atravs de umasequncia de pivoteamentos do problema auxiliar.
2 A fase 2 consiste em encontrar a soluo tima doproblema linear original. realizada atravs de operaesde pivoteamento passando de uma soluo bsica paraoutra.
A sequncia de formas cannicas necessrias nas duas fases realizada pelo algoritmo simplex (a principal subrotina domtodo simplex).
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Motivao Mtodo Simplex
Motivao para mtodo Simplex
Comeando da forma cannica, o segundo passo a soluotima do problema original que realizada em duas fases:
1 A fase 1 consiste em encontrar uma soluo bsicapossvel do problema original. realizada atravs de umasequncia de pivoteamentos do problema auxiliar.
2 A fase 2 consiste em encontrar a soluo tima doproblema linear original. realizada atravs de operaesde pivoteamento passando de uma soluo bsica paraoutra.
A sequncia de formas cannicas necessrias nas duas fases realizada pelo algoritmo simplex (a principal subrotina domtodo simplex).
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Motivao Mtodo Simplex
Motivao para mtodo Simplex
Comeando da forma cannica, o segundo passo a soluotima do problema original que realizada em duas fases:
1 A fase 1 consiste em encontrar uma soluo bsicapossvel do problema original. realizada atravs de umasequncia de pivoteamentos do problema auxiliar.
2 A fase 2 consiste em encontrar a soluo tima doproblema linear original. realizada atravs de operaesde pivoteamento passando de uma soluo bsica paraoutra.
A sequncia de formas cannicas necessrias nas duas fases realizada pelo algoritmo simplex (a principal subrotina domtodo simplex).
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Algoritmo Simplex
Algoritmo Simplex
O ponto de partida sempre o conjunto de equaes, queincluem a funo obejtivo e as igualdades. O objetivo
encontrar X 0 que minimiza f (X ) e satisfaa:
onde aij , bi , c
j e f
0 so constantes.
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Algoritmo Simplex
Algoritmo Simplex
O ponto de partida sempre o conjunto de equaes, queincluem a funo obejtivo e as igualdades. O objetivo
encontrar X 0 que minimiza f (X ) e satisfaa:
onde aij , bi , c
j e f
0 so constantes.
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Algoritmo Simplex
Algoritmo Simplex
O ponto de partida sempre o conjunto de equaes, queincluem a funo obejtivo e as igualdades. O objetivo
encontrar X 0 que minimiza f (X ) e satisfaa:
onde aij , bi , c
j e f
0 so constantes.
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Algoritmo Simplex
Algoritmo Simplex
f tratada como uma varivel bsica! A soluo bsica ento:
xi = bi , i = 1,2, . . . ,mf = f 0
xi = 0, i = m + 1,m + 2, . . . ,n
Se a soluo bsica tambm possvel,bi 0 para i = 1,2, . . . ,m.
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Algoritmo Simplex
Algoritmo Simplex
f tratada como uma varivel bsica! A soluo bsica ento:
xi = bi , i = 1,2, . . . ,mf = f 0
xi = 0, i = m + 1,m + 2, . . . ,n
Se a soluo bsica tambm possvel,bi 0 para i = 1,2, . . . ,m.
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Algoritmo Simplex
Algoritmo Simplex
f tratada como uma varivel bsica! A soluo bsica ento:
xi = bi , i = 1,2, . . . ,mf = f 0
xi = 0, i = m + 1,m + 2, . . . ,n
Se a soluo bsica tambm possvel,bi 0 para i = 1,2, . . . ,m.
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Algoritmo Simplex
Identificando um ponto timo
Teorema 7 Uma soluo bsica possvel a soluo timacom a funo objetivo mnima de f 0 se todos oscoeficientes cj de i = m + 1,m + 2, . . . ,n foremno negativos.
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Algoritmo Simplex
Identificando um ponto timo
Resumindo:
Para a soluo bsica possvel,bi 0 para i = 1,2, . . . ,m.
Para uma soluo bsica possvel ser a soluo timacom a funo objetivo mnima de f 0 , todos os coeficientescj de i = m + 1,m + 2, . . . ,n devem ser no negativos.
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Algoritmo Simplex
Identificando um ponto timo
Resumindo:
Para a soluo bsica possvel,bi 0 para i = 1,2, . . . ,m.
Para uma soluo bsica possvel ser a soluo timacom a funo objetivo mnima de f 0 , todos os coeficientescj de i = m + 1,m + 2, . . . ,n devem ser no negativos.
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Algoritmo Simplex
Identificando um ponto timo
Resumindo:
Para a soluo bsica possvel,bi 0 para i = 1,2, . . . ,m.
Para uma soluo bsica possvel ser a soluo timacom a funo objetivo mnima de f 0 , todos os coeficientescj de i = m + 1,m + 2, . . . ,n devem ser no negativos.
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Algoritmo Simplex
Melhorando uma soluo bsica no-tima
Melhorando uma soluo bsica no-tima:Da ltima coluna do sistema de equaes temos:
f = f 0 +m
i=1 ci xi +
nj=m+1 c
j xj
Se pelo menos um cj negativo, o valor de f pode serreduzido fazendo o correspondente xj > 0. Em outras palavras,a varivel no bsica xj tem que ser transformada em bsica
para reduzir o valor de f .
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Algoritmo Simplex
Melhorando uma soluo bsica no-tima
Melhorando uma soluo bsica no-tima:Da ltima coluna do sistema de equaes temos:
f = f 0 +m
i=1 ci xi +
nj=m+1 c
j xj
Se pelo menos um cj negativo, o valor de f pode serreduzido fazendo o correspondente xj > 0. Em outras palavras,a varivel no bsica xj tem que ser transformada em bsica
para reduzir o valor de f .
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Algoritmo Simplex
Melhorando uma soluo bsica no-tima
Melhorando uma soluo bsica no-tima:Da ltima coluna do sistema de equaes temos:
f = f 0 +m
i=1 ci xi +
nj=m+1 c
j xj
Se pelo menos um cj negativo, o valor de f pode serreduzido fazendo o correspondente xj > 0.
Em outras palavras,a varivel no bsica xj tem que ser transformada em bsica
para reduzir o valor de f .
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Algoritmo Simplex
Melhorando uma soluo bsica no-tima
Melhorando uma soluo bsica no-tima:Da ltima coluna do sistema de equaes temos:
f = f 0 +m
i=1 ci xi +
nj=m+1 c
j xj
Se pelo menos um cj negativo, o valor de f pode serreduzido fazendo o correspondente xj > 0. Em outras palavras,a varivel no bsica xj tem que ser transformada em bsica
para reduzir o valor de f .
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Algoritmo Simplex
Melhorando uma soluo bsica no-tima
Se houver mais de um cj < 0, devemos escolher o
cs = min cj < 0
Dessa maneira escolhemos que xs deve ser tornar umavarivel bsica.
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Algoritmo Simplex
Melhorando uma soluo bsica no-tima
Se houver mais de um cj < 0, devemos escolher o
cs = min cj < 0
Dessa maneira escolhemos que xs deve ser tornar umavarivel bsica.
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Algoritmo Simplex
Melhorando uma soluo bsica no-tima
Se houver mais de um cj < 0, devemos escolher o
cs = min cj < 0
Dessa maneira escolhemos que xs deve ser tornar umavarivel bsica.
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Algoritmo Simplex
Melhorando uma soluo bsica no-tima
Se houver mais de um cj < 0, devemos escolher o
cs = min cj < 0
Dessa maneira escolhemos que xs deve ser tornar umavarivel bsica.
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Algoritmo Simplex
Melhorando uma soluo bsica no-tima
Transformando xs em uma varivel bsica:
Aumentando-a a partir do zero e segurando as outrasno-bsicas em zero.Dessa maneira, as solues bsicas se modificam:x1 = b1 a1sxs, b1 0x2 = b2 a2sxs, b2 0...xm = bm amsxs, bm 0f = f 0 + c
s xs, cs < 0
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Algoritmo Simplex
Melhorando uma soluo bsica no-tima
Transformando xs em uma varivel bsica:
Aumentando-a a partir do zero e segurando as outrasno-bsicas em zero.
Dessa maneira, as solues bsicas se modificam:x1 = b1 a1sxs, b1 0x2 = b2 a2sxs, b2 0...xm = bm amsxs, bm 0f = f 0 + c
s xs, cs < 0
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Algoritmo Simplex
Melhorando uma soluo bsica no-tima
Transformando xs em uma varivel bsica:
Aumentando-a a partir do zero e segurando as outrasno-bsicas em zero.Dessa maneira, as solues bsicas se modificam:x1 = b1 a1sxs, b1 0x2 = b2 a2sxs, b2 0...xm = bm amsxs, bm 0f = f 0 + c
s xs, cs < 0
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Algoritmo Simplex
Melhorando uma soluo bsica no-tima
Durante o processo, algumas das variveis xi (parai = 1,2, . . . ,m) podem se tornar negativas.
Se todos ais 0, xs pode ser feito infinitamente grande semque nenhum xi < 0 (obedecendo as restries em qualquersituao). Assim, o valor minmo de f menos infinito e a
otimizao tem uma soluo sem frontreiras.
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Algoritmo Simplex
Melhorando uma soluo bsica no-tima
Durante o processo, algumas das variveis xi (parai = 1,2, . . . ,m) podem se tornar negativas.
Se todos ais 0, xs pode ser feito infinitamente grande semque nenhum xi < 0 (obedecendo as restries em qualquersituao). Assim, o valor minmo de f menos infinito e a
otimizao tem uma soluo sem frontreiras.
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Algoritmo Simplex
Melhorando uma soluo bsica no-tima
Durante o processo, se houver pelo menos um ais positivo, omximo valor de xs pode ter sem se tornar negativo bis/a
is.
Se houver vrios ais > 0, o valor mximo de xs
xs =brars
= minais>0biais
Se qualquer bi = 0 (quando ais > 0), xs no pode ser
aumentado de nenhuma maneira. Nesse ponto temos umasoluo degenerada.
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Algoritmo Simplex
Melhorando uma soluo bsica no-tima
Durante o processo, se houver pelo menos um ais positivo, omximo valor de xs pode ter sem se tornar negativo bis/a
is.
Se houver vrios ais > 0, o valor mximo de xs
xs =brars
= minais>0biais
Se qualquer bi = 0 (quando ais > 0), xs no pode ser
aumentado de nenhuma maneira. Nesse ponto temos umasoluo degenerada.
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Melhorando uma soluo bsica no-tima
Durante o processo, se houver pelo menos um ais positivo, omximo valor de xs pode ter sem se tornar negativo bis/a
is.
Se houver vrios ais > 0, o valor mximo de xs
xs =brars
= minais>0biais
Se qualquer bi = 0 (quando ais > 0), xs no pode ser
aumentado de nenhuma maneira. Nesse ponto temos umasoluo degenerada.
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Melhorando uma soluo bsica no-tima
Durante o processo, se houver pelo menos um ais positivo, omximo valor de xs pode ter sem se tornar negativo bis/a
is.
Se houver vrios ais > 0, o valor mximo de xs
xs =brars
= minais>0biais
Se qualquer bi = 0 (quando ais > 0), xs no pode ser
aumentado de nenhuma maneira. Nesse ponto temos umasoluo degenerada.
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Algoritmo Simplex
Melhorando uma soluo bsica no-tima
Quando no temos uma soluo degenerada, a nova soluobsica possvel pode ser contruda utilizando o maior valor de
xs:
xs = xsxi = bi aisxs , i = 1, . . . ,m e i 6= rxr = 0xj = 0, j = m + 1, . . . ,n e j 6= sf = f 0 + c
s xs f 0
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Algoritmo Simplex
Melhorando uma soluo bsica no-tima
Essa nova soluo bsica possvel pode ser testada paraotimalidade (ci > 0).Se a soluo no tima, o processo recomeacomo o nmero de solues bsicas possveis limitado,o termina em um nmero limitado de iteraes.
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Algoritmo Simplex
Melhorando uma soluo bsica no-tima
Essa nova soluo bsica possvel pode ser testada paraotimalidade (ci > 0).
Se a soluo no tima, o processo recomeacomo o nmero de solues bsicas possveis limitado,o termina em um nmero limitado de iteraes.
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Melhorando uma soluo bsica no-tima
Essa nova soluo bsica possvel pode ser testada paraotimalidade (ci > 0).Se a soluo no tima, o processo recomea
como o nmero de solues bsicas possveis limitado,o termina em um nmero limitado de iteraes.
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Algoritmo Simplex
Melhorando uma soluo bsica no-tima
Essa nova soluo bsica possvel pode ser testada paraotimalidade (ci > 0).Se a soluo no tima, o processo recomeacomo o nmero de solues bsicas possveis limitado,o termina em um nmero limitado de iteraes.
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Algoritmo Simplex
Melhorando uma soluo bsica no-tima
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Algoritmo Simplex
Melhorando uma soluo bsica no-tima
Exemplo.
min f = x1 2x2 x3s.a.
2x1 + x2 x3 22x1 x2 + 5x3 64x1 + x2 + x3 6xi 0, i = 1,2,3
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Algoritmo Simplex
Melhorando uma soluo bsica no-tima
Introduzindo as variveis de folga x4 0, x5 0 e x6 0, osistema de equaes para ser transformada em forma
cannica fica como:
2x1 + x2 x3 + x4 = 22x1 x2 + 5x3 + x5 = 64x1 + x2 + x3 + x6 = 6x1 2x2 x3 f = 0
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Algoritmo Simplex
Melhorando uma soluo bsica no-tima
Tratando x4, x5, x6 e f como variveis bsicas temos aseguinte soluo possvel (bi > 0):
x4 = 2, x5 = 6, x6 = 6x1 = x2 = x3 = 0
f = 0
Como c1 = 1, c2 = 2, c1 = 1 (< 0), essa soluo no tima.
Escolher cs = min(ci < 0) = c2 = 2. Ento x2 entrar para o
conjunto bsico.
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Melhorando uma soluo bsica no-tima
Tratando x4, x5, x6 e f como variveis bsicas temos aseguinte soluo possvel (bi > 0):
x4 = 2, x5 = 6, x6 = 6x1 = x2 = x3 = 0
f = 0
Como c1 = 1, c2 = 2, c1 = 1 (< 0), essa soluo no tima.
Escolher cs = min(ci < 0) = c2 = 2. Ento x2 entrar para o
conjunto bsico.
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Algoritmo Simplex
Melhorando uma soluo bsica no-tima
Tratando x4, x5, x6 e f como variveis bsicas temos aseguinte soluo possvel (bi > 0):
x4 = 2, x5 = 6, x6 = 6x1 = x2 = x3 = 0
f = 0
Como c1 = 1, c2 = 2, c1 = 1 (< 0), essa soluo no tima.
Escolher cs = min(ci < 0) = c2 = 2. Ento x2 entrar para o
conjunto bsico.
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Algoritmo Simplex
Melhorando uma soluo bsica no-tima
Para obter a nova forma cannica, temos que pivotar noelemento ars, tal que:
brars
= minais>0biais
No caso s = 2, temosb1a12
= 2/1, b3
a32= 6/1
Ento vamos pivotar em a12
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Melhorando uma soluo bsica no-tima
Para obter a nova forma cannica, temos que pivotar noelemento ars, tal que:
brars
= minais>0biais
No caso s = 2, temosb1a12
= 2/1, b3
a32= 6/1
Ento vamos pivotar em a12
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Algoritmo Simplex
Melhorando uma soluo bsica no-tima
O novo sistemas de equao fica:
2x1 + 1x2 x3 + x4 = 24x1 + 0x2 + 4x3 + x4 + x5 = 82x1 + 0x2 + 2x3 x4 + x6 = 43x1 + 0x2 3x3 + 2x4 f = 4
A soluo bsica possvel x2 = 2, x5 = 8, x6 = 4x1 = x3 = x4 = 0
f = 4Como c3 = 3, essa soluo no tima. Escolher
cs = min(ci < 0) = c3 . Ento x3 entrar para o conjunto
bsico.
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Melhorando uma soluo bsica no-tima
O novo sistemas de equao fica:
2x1 + 1x2 x3 + x4 = 24x1 + 0x2 + 4x3 + x4 + x5 = 82x1 + 0x2 + 2x3 x4 + x6 = 43x1 + 0x2 3x3 + 2x4 f = 4
A soluo bsica possvel x2 = 2, x5 = 8, x6 = 4x1 = x3 = x4 = 0
f = 4
Como c3 = 3, essa soluo no tima. Escolhercs = min(ci < 0) = c
3 . Ento x3 entrar para o conjunto
bsico.
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Algoritmo Simplex
Melhorando uma soluo bsica no-tima
O novo sistemas de equao fica:
2x1 + 1x2 x3 + x4 = 24x1 + 0x2 + 4x3 + x4 + x5 = 82x1 + 0x2 + 2x3 x4 + x6 = 43x1 + 0x2 3x3 + 2x4 f = 4
A soluo bsica possvel x2 = 2, x5 = 8, x6 = 4x1 = x3 = x4 = 0
f = 4Como c3 = 3, essa soluo no tima. Escolher
cs = min(ci < 0) = c3 . Ento x3 entrar para o conjunto
bsico.
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Melhorando uma soluo bsica no-tima
Para obter a nova forma cannica, temos que pivotar noelemento ars, tal que:
brars
= minais>0biais
No caso s = 3, temosb2a23
= 8/4, b3
a33= 4/2
Ento vamos pivotar em a23 (escolha arbitrria).
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Melhorando uma soluo bsica no-tima
Para obter a nova forma cannica, temos que pivotar noelemento ars, tal que:
brars
= minais>0biais
No caso s = 3, temosb2a23
= 8/4, b3
a33= 4/2
Ento vamos pivotar em a23 (escolha arbitrria).
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Algoritmo Simplex
Melhorando uma soluo bsica no-tima
O novo sistemas de equao fica:
3x1 + 1x2 + 0x3 + (5/4)x4 + (1/4)x5 = 41x1 + 0x2 + 1x3 + (1/4)x4 + (1/4)x5 = 2
0x1 + 0x2 + 0x3 (3/2)x4 (1/5)x5 + x6 = 06x1 + 0x2 + 0x3 + (11/4)x4 + (3/4)x5 f = 10
A soluo bsica possvel x2 = 4, x3 = 2, x6 = 0x1 = x4 = x5 = 0
f = 10Como ci 0, essa soluo tima.
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Melhorando uma soluo bsica no-tima
O novo sistemas de equao fica:
3x1 + 1x2 + 0x3 + (5/4)x4 + (1/4)x5 = 41x1 + 0x2 + 1x3 + (1/4)x4 + (1/4)x5 = 2
0x1 + 0x2 + 0x3 (3/2)x4 (1/5)x5 + x6 = 06x1 + 0x2 + 0x3 + (11/4)x4 + (3/4)x5 f = 10
A soluo bsica possvel x2 = 4, x3 = 2, x6 = 0x1 = x4 = x5 = 0
f = 10
Como ci 0, essa soluo tima.
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Melhorando uma soluo bsica no-tima
O novo sistemas de equao fica:
3x1 + 1x2 + 0x3 + (5/4)x4 + (1/4)x5 = 41x1 + 0x2 + 1x3 + (1/4)x4 + (1/4)x5 = 2
0x1 + 0x2 + 0x3 (3/2)x4 (1/5)x5 + x6 = 06x1 + 0x2 + 0x3 + (11/4)x4 + (3/4)x5 f = 10
A soluo bsica possvel x2 = 4, x3 = 2, x6 = 0x1 = x4 = x5 = 0
f = 10Como ci 0, essa soluo tima.
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Melhorando uma soluo bsica no-tima
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Melhorando uma soluo bsica no-tima
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Algoritmo Simplex
Melhorando uma soluo bsica no-tima
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Mtodo Simplex
Introduzindo o Mtodo Simplex
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Mtodo Simplex
Introduzindo o Mtodo Simplex
O mtodo simplex envolve duas fases:
Fase I usa o algoritmo simplex para saber se o problematem uma soluo possvel. Se a soluo possvelexiste, o mtodo resulta na soluo bsicapossvel na forma cannica que ser utilizada nafase II.
Fase II usa o algoritmo simplex para encontrar se oproblema tem uma soluo restrita (bounded). Seela existir, ele encontra a soluo bsica possvlque timo.
Podemos descrever o mtodo nos prximos passos ...
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Mtodo Simplex
Introduzindo o Mtodo Simplex
O mtodo simplex envolve duas fases:
Fase I usa o algoritmo simplex para saber se o problematem uma soluo possvel. Se a soluo possvelexiste, o mtodo resulta na soluo bsicapossvel na forma cannica que ser utilizada nafase II.
Fase II usa o algoritmo simplex para encontrar se oproblema tem uma soluo restrita (bounded). Seela existir, ele encontra a soluo bsica possvlque timo.
Podemos descrever o mtodo nos prximos passos ...
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Mtodo Simplex
Introduzindo o Mtodo Simplex
O mtodo simplex envolve duas fases:
Fase I usa o algoritmo simplex para saber se o problematem uma soluo possvel. Se a soluo possvelexiste, o mtodo resulta na soluo bsicapossvel na forma cannica que ser utilizada nafase II.
Fase II usa o algoritmo simplex para encontrar se oproblema tem uma soluo restrita (bounded). Seela existir, ele encontra a soluo bsica possvlque timo.
Podemos descrever o mtodo nos prximos passos ...
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Mtodo Simplex
Introduzindo o Mtodo Simplex
O mtodo simplex envolve duas fases:
Fase I usa o algoritmo simplex para saber se o problematem uma soluo possvel. Se a soluo possvelexiste, o mtodo resulta na soluo bsicapossvel na forma cannica que ser utilizada nafase II.
Fase II usa o algoritmo simplex para encontrar se oproblema tem uma soluo restrita (bounded). Seela existir, ele encontra a soluo bsica possvlque timo.
Podemos descrever o mtodo nos prximos passos ...
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Mtodo Simplex
Introduzindo o Mtodo Simplex
1. Rearranjar o sistema original para que todos ostermos bi sejam positivos ou zero (trocando osinal de ambos os lados da igualdade quandonecessrio).
2. Introduzir as variveis artificiais (yi 0)
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Mtodo Simplex
Introduzindo o Mtodo Simplex
3. Defina a quantidade w que a soma das variveisartificiais (w = y1 + y2 + . . .+ ym) e use oalgoritmo Simplex para encontrar xi 0(i = 1 . . . n) e yi 0 (i = 1 . . .m) que minimiza w
Essa equao no cannica e deve serreescrita (subtraindo a soma das m primeirasequaes da ltima) .
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Mtodo Simplex
Introduzindo o Mtodo Simplex
3. (Fase I) Essas equaes fornecem a soluo inicial bsicapossvel que necessria para comear a fase I
onde
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Mtodo Simplex
Introduzindo o Mtodo Simplex
4. Analizando o resultado da fase I, podemos inferirsobre a existncia de uma soluo:
min w > 0 o problema original no tem soluoe o procedimento pode ser finalizado
min w =0 a matrix resultante cannica e afase II pode ser iniciada eliminando aequao w e as variveis artificiais yida matrix.
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Mtodo Simplex
Introduzindo o Mtodo Simplex
5. (Fase II) Utilizar o algoritmo Simplex para ajustar o sistemaconnico e obter uma soluo.
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Mtodo Simplex
Mtodo Simplex: exemplo
min f = 2x1 + 3x2 + 2x3 x4 + x5s.a.
3x1 3x2 + 4x3 + 2x4 x5 = 0x1 + x2 + x3 + 3x4 + x5 = 2
xi 0, i = 1,2,3,4,5
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Mtodo Simplex
Mtodo Simplex: exemplo
SoluoPasso 1 bi so positivos, ento as equaes esto ok.Passo 2 Introduzir as variveis artificiais y1 e y2Passo 3 Definir w = y1 + y2
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Mtodo Simplex
Mtodo Simplex: exemplo
SoluoPasso 3 Reescrever na forma cannica subtraindo a soma
das duas primeira equaes da ltima:
Essas equaes forneceram a soluo inicialbsica possvel. Utilizando o algoritmo Simplex(fase I).
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Mtodo Simplex
Mtodo Simplex: exemplo
SoluoPasso 3 Utilizando o algoritmo Simplex.
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Mtodo Simplex
Mtodo Simplex: exemplo
SoluoPasso 3 Utilizando o algoritmo Simplex.
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Mtodo Simplex
Mtodo Simplex: exemplo
SoluoPasso 4 A soluo bsica possvel no contm y1 e y2 e
w = 0. Isso significa que podemos seguir para afase II.
Passo 5 Na fase II, os clculos continuam sem aconsiderao de w .
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Mtodo Simplex
Mtodo Simplex: exemplo
SoluoPasso 5 Fase II ...
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Mtodo Simplex
Mtodo Simplex: exemplo
SoluoPasso 5 Fase II ...
x1 = x2 = x3 = 0 (variveis no-bsicas)x4 = 2/5 e x5 = 4/5 (variveis bsicas)
fmin = 2/5
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Resolvendo LP no Matlab
Resolvendo LP no Matlab
min f = x1 2x2 x3s.a.
2x1 + x2 x3 22x1 x2 + 5x3 64x1 + x2 + x3 6xi 0, i = 1,2,3
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Resolvendo LP no Matlab
Resolvendo LP no Matlab
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Resolvendo LP no Matlab
Resolvendo LP no Matlab
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OutlineIntroduoIntroduo programao linear
Definies e TeoremasDefinies e Teoremas
Sistema linearSoluo de um sistema linear
MotivaoMotivao Mtodo Simplex
Algoritmo SimplexAlgoritmo Simplex
Mtodo SimplexMtodo Simplex
MatlabResolvendo LP no Matlab