or320 chapter 02 linear programing (ppt)

Operation Research (IE 255320)©Copyright

Original work by K.Yaibuathet May, 2008

LINEAR PROGRAMMING การโปรแกรมเชิงเส้ นตรง

C H A P T E R 3



LINEAR PROGRAMMING

เป็�นเทคน�คในการแก ป็�ญหาทางการจั�ดสรรป็�จัจั�ยและทร�พยากรท��มี�ล�กษณะความีส�มีพ�นธ์!ของตั�วแป็รตั%าง ๆ ท��เก��ยวข องเป็�นเชิ�งเส นตัรง (all linear function) โดยมี�จั*ดหมีายเพ+�อแก ป็�ญหาและตั�ดส�นใจัให เก�ดผลตัามีแนวทางการด-าเน�นงานท��ด�ท��ส*ด (Optimal) เชิ%น ก-าไรส/งส*ด ค%าใชิ จั%ายน อยส*ด

มี�กจัะมี�เง+�อนไขเข ามีาก-าหนดเสมีอ ในท*ก ๆ ป็�ญหาท��เราตั องการแก ไข ยกตั�วอย%างเชิ%น ข�ดความีสามีารถในการผล�ตั จั-านวนว�ตัถ*ด�บ เง�นลงท*น

2



โครงส้ร างของ LINEAR PROGRAMMING MODEL

1. ม�ส้มการก�าหนดเป�าหมาย (Objective Function) ค+อสมีการแสดงความีส�มีพ�นธ์!ระหว%างตั�วแป็รตั%าง ๆ เพ+�อก-าหนดเป็2าหมีายท��ตั องการ (ส/งส*ด , ตั-�าส*ด)

2. มี�สมีการ หร+ออสมีการแสดงขอบข%าย (constraints) ซึ่4�งแสดงความีจั-าก�ดของป็�จัจั�ยหร+อทร�พยากร

3. ความีส�มีพ�นธ์!ของตั�วแป็รในสมีการตั%าง ๆ ของร/ป็แบบแทนระบบตั องล�กษณะเชิ�งเส นตัรง (linear form) ก-าล�งเด�ยว

4. ตั�วแป็รท*กตั�วตั องมี�ค%ามีากกว%า หร+อเท%าก�บศู/นย! (all positive value)

3



MODEL SOLUTIONS

เมี+�อท-าการจั�ดป็�ญหาเข าร/ป็แบบโป็รแกรมีเชิ�งเส นตัรง (สมีการ /อสมีการ ) แล ว จัะสามีารถหาผลล�พธ์! ได ด วยว�ธ์�การด�งน�6 คณ�ตัศูาสตัร! (Mathematical Techniques)

a) ในกรณ�ท��เป็�นป็�ญหาท��มี�ตั�วแป็รเป็�น 2 ตั�ว เราอาจัใชิ 1. ว�ธ์�ก-าจั�ดขอบข%ายของค-าตัอบ (direct elimination method) 2. ว�ธ์�กราฟ (graphical method)

b) ในกรณ�ท��เป็�นป็�ญหามี�ตั�วแป็รมีากกว%า 2 ตั�ว เราอาจัใชิ 1. ว�ธ์�ทางพ�ชิคณ�ตัท��วไป็ (general algebraic method) 2. ว�ธ์� simplex method

4



PROTOTYPE EXAMPLE

ผลิตภั�ณฑ์ ใหม" ส้�าหร�บ Wyndor Glass ค$อProduct 1 : An 8-foot glass door with aluminum framing

Product 2 : A 4x6 foot double-hung wood-framed window

โดย product 1 จัะตั องท-าการผล�ตัในโรงงานท�� 1 และ 3 ส%วน product 2 จัะตั องใชิ เคร+�องจั�กรในโรงงานท�� 2 และ 3 ทางบร�ษ�ทควรจัะท-าการผล�ตัส�นค าแตั%ละชิน�ดเป็�นจั-านวนเท%าไหร% เพ+�อให เก�ดก-าไรส/งส*ด

5

ข อม%ลิที่�'ต องที่ราบ เพื่$'อที่�าการวิเคราะห ประกอบด วิย 1 จั-านวน production time ในแตั%ละ plant ท��สามีารถใชิ ในการผล�ตัส�นค าใหมี%

2. จั-านวน production time ท��ใชิ ในการผล�ตัส�นค าใหมี%ในแตั% batch

3. Profit per batch ของท�6งสองผล�ตัภั�ณฑ์!



PROTOTYPE EXAMPLE

Data for Wyndor Glass problem

6

Plant

Production time per batch, hours Production

time available PW,hours1 2

1 1 0 4

2 0 2 12

3 3 2 18

Profit per batch

$3,000 $5,000x1 = จั-านวน batch ของ product 1 ท��ผล�ตัตั%อส�ป็ดาห! x2 = จั-านวน batch ของ product 2 ท��ผล�ตัตั%อส�ป็ดาห!Z = total profit per week ($1,000)

ผลิลิ�พื่ธ์ ที่�'ต องการที่ราบMaximize Z = 3x1 +

5x2

เง$'อนไข x1 ≤ 4

2x2 ≤ 12

3x1 + 2x2 ≤ 18

x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0



GRAPHICAL SOLUTION

72 4 86 10

2

4

8

6

10

x1

x2

x1 = 4

x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0



GRAPHICAL SOLUTION

8

x1 = 4

2 4 86 10

2

4

8

6

10

x1

x2

Feasible

region

3x1 + 2x2 = 18

2x2 = 12



GRAPHICAL SOLUTION

92 4 86 10

2

4

8

6

10

x1

x2

Z = 36 = 3x1 + 5x2

Z = 20 = 3x1 + 5x2

Z = 10 = 3x1 + 5x2

(2,6)

The value of x1 x2 that maximize 3x1 + 5x2



LINEAR PROGRAMMING MODEL

10

Prototype Example General Problem

Production capacity of plants3 plants

Resourcesm activities

Production of products2 products

Activitiesn activities

Production rate of product j, xj

Level of activity j, xj

Profit Z Overall measure of performance Z

จากต�วิอย"าง Wyndor Glass co. ส้ามารถเปร�ยบเที่�ยบตาม Terminology ของ Linear Programming ได ด�งตาราง



ข อม%ลิที่�'จ�าเป/นในการส้ร างร%ปแบบแที่นระบบของป0ญหา(MODEL FORMULATION)

Data needed for a linear programming model ที่�'เก�'ยวิข องก�บการจ�ดส้รรที่ร�พื่ยากร ให ก�บกจกรรมต"าง ๆ ในองค กร

11

Resource

Production time per batch, hours

Amount of Resource Available

Activity

1 2 3 … … n

1 a11 a12 a13 … … a2n b1

2 a21 a22 a23 … … a2n b2

. . . . … … . .

. . . . … … . .

m a12 a12 a12 … … amn bm

Contribution to Z per unit of

activity

c1 c2 c3 … … cnMaximize Z = c1x1 + c2x2 + …… cnx n



TERMINOLOGY FOR SOLUTIONS OF THE MODEL

12

x1 = 4

2 4 86 10

2

4

8

6

10

x1

x2

Feasible

region

3x1 + 2x2 = 18

2x2 = 12

Feasible solution - ค�าตอบที่�'เป/นไปได

ในกรณ�น�6 ค+อ พ�ก�ด (2,3) , (4,1)

Infeasible solution – ค�าตอบที่�'เป/นไปไม"ได

ในกรณ�น�6 ค+อ พ�ก�ด (-1,3) , (4,4)

Feasible region – บรเวิณของค�าตอบที่�'เป/นไปได



SOLUTIONS FOR THE MODEL

13

ในกรณ�ของ Wyndor glass ถ าก�าหนด วิ"าจะต องได ร�บ net profit เป/นจ�านวินอย"างต�'า $ 50,000 ต"อส้�ปดาห เง$'อนไขที่�'ก�าหนดวิ"า 3x1 + 5x2 ≥ 50 จะที่�าให ไม"ม�ค�าตอบที่�'เป/นไปได

ส้�าหร�บกรณ�น�3 เราจะเร�ยกวิ"าเป/น no feasible solution (ไม"ม�ค�าตอบที่�'ส้ามารถแก ป0ญหาได )

2 4 86 10

2

4

8

6

10

x1

x2

3x1 + 5x2 ≥ 50

2x2 ≤ 12

x1 ≤ 4

3x1 + 2x2 = 18

x1 ≥ 0

x2 ≥ 0



SOLUTIONS OF THE MODEL

142 4 86 10

2

4

8

6

10

x1

x2

Feasible

region

ถ าเราเป็ล��ยนเง+�อนไขว%า profit per batch produced ส-าหร�บ ส�นค าชิน�ดท�� 2 เป็�น $2,000 ด�งน�6น สมีการเป็2าหมีาย จัะเป็ล��ยนเป็�น Max Z = 3x1 + 2x2

ท*กจั*ดบนเส นส�แดง ค+อค-าตัอบท��ด�ท��ส*ด ซึ่4�งจัะส�งเกตัได ว%า มี�อย/%หลายค-าตัอบ เราจัะเร�ยกกรณ�น�6ว%า multiple optimal solution (มี�ค-าตัอบท��ด�ท��ส*ด หลายค-าตัอบ )

Z = 18 = 3x1 + 2x2




152 4 86 10

2

4

8

6

10

x1

x2

Max Z = 3x1 + 5x2

เง$'อนไขค$อ x1 ≤ 4

x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0

ในกรณ�น�6 จัะเห:นว%า เราตั�ดเง+�อนไขออกไป็สองข อ เหล+อไว เพ�ยงแค% x1 ≤ 4 ซึ่4�งท-าให x

2 เป็�นจั-านวนเท%าใดก:ได อย%างไมี%มี�

ข�ดจั-าก�ด

ในกรณ�น�6 เราจัะเร�ยกว%า no optimal solution (ไมี%มี�ค-าตัอบท��ด�ท��ส*ด ) มี�กจัะเก�ดข46นในกรณ� 1.no feasible solution

2. ไมี%มี�เง+�อนไขท��เข ามีาจั-าก�ดค%าส/งส*ด ในท�ศูทางท��ควรจัะเป็�น

Feasible

region

(4,8), Z = 62

(4,6), Z = 42

(4,4), Z = 32

(4,2), Z = 22




162 4 86 10

2

4

8

6

10

x1

x2

Feasible

region

A corner-point feasible (CPF) ค+อค-าตัอบท��เป็�นไป็ได ท��อย/%ตัรงบร�เวณ มี*มี ของ feasible region

CPF solution ท��ด�ท��ส*ด มี�กจัะเป็�น ค-าตัอบท��ด�ท��ส*ด

ถ าป็�ญหามี�เพ�ยงค-าตัอบเด�ยวท��เหมีาะสมี (one optimal solution) ค-าตัอบน�6นตั องเป็�นหน4�งใน CPF solution

ถ าป็�ญหามี�ค-าตัอบท��เหมีาะสมีหลายค-าตัอบ อย%างน อยสองค-าตัอบตั องเป็�น optimal solution



ASSUMPTIONS OF LINEAR PROGRAMMING

17

1. Proportional ตั�วแป็รตั น และผลล�พธ์!จัากสมีการท��ตั องการทราบค%า เป็�นส�ดส%วนก�นอย%างชิ�ดเจัน ยกตั�วอย%างเชิ%น Z = 3x1 ส%วนใหญ%ผลล�พธ์!เก�ดจัากตั�วแป็รตั นตั�วเด�ยว

2. Additive มี�ตั�วแป็รตั น อย%างน อย 2 ตั�วแป็ร (cross-product term) ตั�วแป็รหน4�ง อาจัมี�ผลกระทบก�บอ�กตั�วแป็รหน4�ง หร+อไมี%มี�ก:ได 3 . Divisibility ตั�วแป็รท��น-ามีาแทนค%าในสมีการผลล�พธ์! อาจัเป็�นตั�วแป็รท��ไมี%ใชิ%จั-านวนเตั:มี (noninteger) ก:ได 4 . Certainty สมีมีตั�ฐานน�6ค-าน4งถ4งส�มีป็ระส�ทธ์�<ของตั�วแป็ร ท��จัะน-ามีาสร างเป็�น model

x1

Profit from product 1 ($ 000 per week)

Proportionality Satisfied

Proportionality Violated

Case 1 Case 2 Case 3

0 0 0 0 0

1 3 2 3 3

2 6 5 7 5

3 9 8 12 6

4 12 11 18 6



PROPORTIONALITY + CASE 1

181 2 43 10

2

4

8

6

10

x1

Contribution of x1 to Z

Violates

proportionality

assumption

Satisfies

proportional

assumption

start-up cost



PROPORTIONAL + CASE 2

191 2 43 10

2

4

8

6

10

x1


Satisfies

proportional

assumption

Violates

proportionality

assumption



PROPORTIONAL + CASE 3

201 2 43 10

2

4

8

6

10

x1


Satisfies

proportional

assumption

Violates

proportionality

assumption



ตั�วอย%างของ MODEL FORMULATION

21

ชินดของเคร$'องจ�กรที่�'ใชิ

เวิลิาที่�'ใชิ ในการผลิตส้นค า (ชิ�'วิโมง)เวิลิาเคร$'องจ�กร (ชิ�'วิโมง / อาที่ตย )1 2 3

เคร+�องตั�ด 8 2 3 200

เคร+�องกล4ง 4 3 - 100

เคร+�องข�ด 2 - 1 50

ผลิก�าไรต"อหน"วิยของส้นค า

20 6 8

ผลิลิ�พื่ธ์ ที่�'ต องการที่ราบMaximize Z = 20x1 + 6x2

+ 8x3

เง$'อนไข เคร$'องต�ด 8x1 + 2x2 + 3x

3 ≤ 200

เคร$'องกลิ4ง 4x1 + 3x2 ≤ 100

เคร$'องข�ด 2x1 + x3 ≤ 50

x3 ≤ 20

ส�นค าชิน�ดท�� 1 และ 2 สามีารถขายได ไมี%จั-าก�ด แตั%ส-าหร�บส�นค าชิน�ดท�� 3 ความีตั องการมี�ไมี%เก�น 20 หน%วยตั%อส�ป็ดาห! ฝ่?ายผล�ตัควรด-าเน�นการอย%างไรจั4งจัะได ผลก-าไรส/งส*ด

ต�วิอย"างที่�' 1

21



DESIGN OF RADIATION THERAPY

22

Area

Fraction of entry dose absorbed by

area (ave.) Restriction on total average

dosage, kiloradsBeam 1 Beam 2

Healthy anatomy

0.4 0.5 Mimimize

Critical tissues 0.3 0.1 ≤ 2.7

Tumor region 0.5 0.5 = 6

Center of tumor

0.6 0.4 ≥ 6ตั องท-าการฉายร�งส�ชิน�ดท�� 1 และชิน�ดท�� 2 อย%างละเท%าใด จั4งจัะให ผลการร�กษา

ท��ด�ท��ส*ดในโจัทย!ป็�ญหาน�6 ตั องการทราบค%าตั-�าส*ด (Minimize Z)

ต�วิอย"างที่�' 2

22

1

23

3

Beam 1

Beam 2



DESIGN OF RADIATION THERAPY

23

แก ป0ญหาโดยวิธ์�กราฟ

232 4 86 10

5

10

15

x1


0.3x1 + 0.1x2 ≤ 27

0.5x1 + 0.5x2 = 6

0.6x1 + 0.4x2 ≥ 6

Z = 5.25 = 0.4x1 + 0.5x2

(6,6)

(7.5,4.5)



REGIONAL PLANNING

24

KibbutzUsable Land (Acres) Water Allocation

(Acre feet)

1 400 600

2 600 800

3 300 375

24

ต�วิอย"างที่�' 3 Southern Confederation of Kibbutzim ข อจ�าก�ดด านพื่$3นที่�' แลิะแหลิ"งน�3า

cropAllocation (Acres) in Kibbutz area

1 2 3

Sugar beets

x1 x2 x3

Cotton x4 x5 x6

Sorghum x7 x8 x9

ข อม%ลิส้�าหร�บการเพื่าะปลิ%กพื่$ชิแต"ลิะชินด

การก�าหนดต�วิแปร



REGIONAL PLANNING

25

25

ต�วิอย"างที่�' 3 Southern Confederation of Kibbutzim

cropAllocation (Acres) in Kibbutz area

1 2 3

Sugar beets

133.33 100 25

Cotton 100 250 150

Sorghum 0 0 0

RESULTS



CONTROLLING AIR POLLUTION

26

Pollutantต องการลิดการปลิ"อยของเส้�ยให ได อย"างน อย

(ลิ านปอนด )Particulates 60

Sulfur oxides 150

Hydrocarbons 125

26

ต�วิอย"างที่�' 4 Nori and Leets Co. ข อจ�าก�ดด านพื่$3นที่�' แลิะแหลิ"งน�3า

ควิามส้ามารถในการลิดมลิพื่ษโดยวิธ์�การต"าง ๆ

วิธ์�การลิดมลิพื่ษ Blast Furnaces

Open-Heart Furnace

Taller Smokestacks

8 10

Filters 7 6

Better-fuels 11 9

ต นที่7นในการก�าจ�ดมลิพื่ษโดยวิธ์�การต"าง

ๆ



RECLAIMING SOLID WASTES

27

Grade

SpecificationAmalgamationCost per pound

($)

Selling price per pound ($)

A Material 1: ไมี%มีากกว%า 30% ของท�6งหมีดMaterial 2: ไมี%น อยกว%า 40% ของท�6งหมีดMaterial 3: ไมี%มีากกว%า 50% ของท�6งหมีดMaterial 4: เท%าก�บ 20% ของท�6งหมีด

3.00 8.50

B Material 1: ไมี%มีากกว%า 50% ของท�6งหมีดMaterial 2: ไมี%น อยกว%า 10% ของท�6งหมีดMaterial 4: เท%าก�บ 10% ของท�6งหมีด

2.50 7.00

C Material 1: ไมี%มีากกว%า 70% ของท�6งหมีด 2.00 5.50

27

ต�วิอย"างที่�' 5 Save-It Co. ข อม%ลิพื่$3นฐานชิองการผลิตส้นค าของบรษ�ที่ save-it

MaterialPound per

week available

ค"าใชิ จ"ายในการบ�าบ�ดต"อปอนด

($)ข อก�าหนด

1 3,000 3.00 1 . ในขยะแตั%ละชิน�ด อย%างน อย คร4�งหน4�งของ pound per week available ควรถ/กเก:บและบ-าบ�ด

2. ควรใชิ เง�น $ 30,000 ตั%อส�ป็ดาห!ในการบ-าบ�ดขยะเหล%าน�6

2 2,000 6.00

3 4,000 4.00

4 1,000 5.00

Solid waste materials data for Save-It Co.



RECLAIMING SOLID WASTES

28

28

RESULTS ต�วิอย"างที่�' 5 Save-It Co.



PERSONNEL SCHEDULING

29

29

ต�วิอย"างที่�' 6 Union Airwaysข อม%ลิของการจ�ดตารางพื่น�กงานของส้ายการบน Union

Airways



PERSONNEL SCHEDULING

30

30

ต�วิอย"างที่�' 7 Distribution Unlimited Co.The distribution network for Distribution

Unlimited Co.

F1

F2

DC

W1

W2

$ 900/ unit

$ 200/ unit

50 units produc

ed

40 units produc

ed

$ 400/ unit

$ 300/ unit

$ 100/ unit

80 units max

$ 200/ unit $ 300/ unit

30 units needed

60 units needed

10 units max

or320 chapter 02 linear programing (ppt)

Documents