orden y caos
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ORDEN Y CAOS. REFERENCIAS. “The Chaos Hypertextbook”, Glenn Elert http://hypertextbook.com/chaos/ “Writing the History of Dynamical Systems and Chaos…”, D. Aubin y A. Dalmedico Historia Mathematica 29 (2002), 273-339. ¿QUE ES EL CAOS?. 1. Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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REFERENCIAS
• “The Chaos Hypertextbook”, Glenn Elert http://hypertextbook.com/chaos/
• “Writing the History of Dynamical Systems and Chaos…”, D. Aubin y A. Dalmedico Historia Mathematica 29 (2002), 273-339
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¿QUE ES EL CAOS?1. Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos.
- Modelo de Lorenz. (dimensión 3)- Modelo de Hénon (dimensión 2). Fractales.- La ecuación logística de May (dimensión 1)
2. Recapitulando. ¿Que es el caos?
- Propiedades de un sistema caótico.- Regularidades en un sistema caótico.
3. Un poco de historia. - Las matemáticas de Poincaré y Smale. - Interdisciplinaridad: Lorenz, Ruelle, May, Yorke...
4. Teoría del Caos, ¿revolución científica?.
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Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz.
Problema real (física, biología, meteorología...)
Modelo Matemático (Ecuaciones diferenciales)
Solución Matemática
¿Explica la realidad?
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Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz.
Frío
Atmósfera
Calor
Lámina rectangular
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Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz.
x´(t)= 10(y-x)
y´(t)=28x-y-xz
z´(t)=xy-8x/3
Modelo matemáticoEcuaciones diferenciales
(no lineales).
Frío
Atmósfera
Calor
Lámina rectangular
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Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz.
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Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz
(x0, y0, z0)Condición Inicial
Regla
(x1, y1, z1)
Regla
(x2, y2, z2)...
ITERACION
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Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz
segundo temperatura
1 -14.052872
2 2.757209
3 -7.552990
4 6.621076
5 -8.084304
6 -9.952578
7 -5.981163
8 -13.023813
9 0.041168
10 9.314363
11 4.558919
12 7.375924
13 -14.856846
14 -0.246566
segundo temperatura
1 -
2 -
3 -
4 -
5 -
6 -9.952000
7 -6.120309
8 -12.646284
9 -0.724073
10 11.848833
11 -1.204758
12 6.826824
13 13.773982
14 1.474239
(x0, y0, z0)Condición Inicial
Regla
(x1, y1, z1)
Regla
(x2, y2, z2)...
ITERACION
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Segundo Ejemplo. El Atractor de Hénon.
(x0, y0)Condición Inicial
Regla
(x1, y1)
Regla
(x2, y2)...
ITERACION
Problema real (biología, mecánica celeste...)
Modelo Matemático (Iteración)
Solución Matemática
¿Explica la realidad?
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Segundo Ejemplo. El Atractor de Hénon.
(x0, y0)
Regla
(x1, y1)
Regla
(x2, y2)...
(1/3y, 1+x-7y/5)
(x,y)
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Otros ejemplos.
Atractor de Ikeda (Optica)
a + b z exp i[k - p/(1 + |z|2)]
z=(x,y)
a,b,k,p parámetros
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Otros ejemplos. Fractales
Conjunto de Juliá
z2+c
z
c=-0,2-0,7i
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Otros ejemplos. Fractales
Conjunto de Juliá
(z3+c)/(dz)
z
c=0,001
d=0,95-0,31225i
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Otros ejemplos. Fractales
Conjunto de Juliá
(z5+c)/z3
z
c=0,001
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Otros ejemplos. Fractales del sistema IFS
Método creado por M.F. Barnsley en 1985 basado en la iteración de varias funciones de la forma
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Otros ejemplos. Fractales del sistema IFS
Brocoli IFS
F
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Otros ejemplos. Fractales del sistema IFS
Helecho de Barnsley
Función 1 Función 2 Función 3 Función 4
a 0 0,2 -0,15 0,75
b 0 -0,26 0,28 0,04
c 0 0,23 0,26 -0,04
d 0,16 0,22 0,24 0,85
e 0 0 0 0
f 0 1,6 0,44 1,6
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Tercer Ejemplo. La ecuación logística de May.
Problema real (física, química,biología...)
Modelo Matemático (Iteración)
Solución Matemática
¿Explica la realidad?
x0
Condición Inicial
Regla
x1
Regla
x2
...
ITERACION
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Tercer Ejemplo. La ecuación logística de May.
An = número de animales en el año n
An+1= c An c=tasa de crecimiento
An+1= c An (M-An)
M= población máxima admitida
se normaliza y...
xn+1= c xn (1-xn) Ecuación logística
x c x (1-x) ITERACION
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Tercer Ejemplo. La ecuación logística. Bifurcaciones.
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Tercer Ejemplo. La ecuación logística. Regularidades
Mitchell J. Feigenbaum
1944-
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Tercer Ejemplo. La ecuación logística. Regularidades
Mitchell J. Feigenbaum
1944-
cn = valor crítico en que se produce la bifurcación n
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Tercer Ejemplo. La ecuación logística. Regularidades
Mitchell J. Feigenbaum
1944-
cn = valor crítico en que se produce la bifurcación n
cn-cn-1
cn+1-cn4,669201...
¡La constante es la misma para muchos más tipos de iteraciones!
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Recapitulando...
Propiedades de un sistema caótico
- La solución es muy sensible a las condiciones iniciales (efecto mariposa). No hay predicción.
- Modelo matemático: ecuaciones diferenciales (no lineales) o iteración
- El atractor es un fractal.
- Reglas dinámicas simples pueden dar lugar a resultados complejos.
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Recapitulando...Regularidades (orden) de un sistema caótico
- Autosemejanza en atractores. Dimensión.
- La solución al modelo acaba convergiendo al atractor.
- Constante de Feigenbaum,exponente de Lyapunov...
- Teoría de los sistemas dinámicos (geometría, topología…)
![Page 29: ORDEN Y CAOS](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062801/5681433c550346895dafb10e/html5/thumbnails/29.jpg)
Un poco de historia
Henri Poincaré1854-1912
- Estudió el problema de los tres cuerpos.
- Noción de bifurcación.
- Métodos de geometría y topología.
- Creador de la Teoría de los Sistemas Dinámicos.
![Page 30: ORDEN Y CAOS](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062801/5681433c550346895dafb10e/html5/thumbnails/30.jpg)
Un poco de historia
Henri Poincaré1854-1912
“Puede ocurrir que pequeñas diferencias en las condiciones iniciales produzcan grandes
diferencias al final… la predicción resulta imposible”.
![Page 31: ORDEN Y CAOS](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062801/5681433c550346895dafb10e/html5/thumbnails/31.jpg)
Un poco de historia
Stephen Smale1940-
Medalla Fields, 1966
- En los años 60, “introduce los métodos, herramientas, objetivos y
visión global de la Teoría de los Sistemas Dinámicos”.
Pero los resultados, ¡se quedan dentro de las
matemáticas!
- Demuestra (teóricamente) la existencia de sistemas estables con
dinámica muy compleja.
![Page 32: ORDEN Y CAOS](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062801/5681433c550346895dafb10e/html5/thumbnails/32.jpg)
Un poco de historia
Atractor de E. Lorenz
(metereólogo)
- 1963. Modelo atmosférico y atractor.
- 1967. Can the flap of a butterfly’s wings in Brazil stir up a tornado inTexas?
- Uso de ordenadores para resolver ecuaciones y “ver” soluciones.
- Modelos de fenómenos impredecibles.
- Modelos simples de fenómenos complejos.
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Un poco de historia
Los años 70: Creciente uso de los ordenadores.
- 1971. Artículo de Ruelle “On the nature of turbulence”.
- Introduce concepto de “atractor extraño”.
- Presenta las ecuaciones de Navier-Stokes en forma 1-dimensional:
v´(t)=fr(v), r>0
- Primer acercamiento entre disciplinas: matemáticas e hidrodinámica
![Page 34: ORDEN Y CAOS](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062801/5681433c550346895dafb10e/html5/thumbnails/34.jpg)
Un poco de historia
- 1973. Robert May, biólogo. La ecuación logística.
- 1975. Li y Yorke, “Period three implies chaos”. Primer uso de la palabra “caos”.
- 1975. B. Mandelbrot. Manifiesto teórico sobre los fractales.
- 1977. El símbolo: El congreso “Bifurcation theory and Applications in Scientific Disciplines”
- 1978. La constante de M. Feigenbaum.
![Page 35: ORDEN Y CAOS](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062801/5681433c550346895dafb10e/html5/thumbnails/35.jpg)
Teoría del Caos, ¿revolución científica?
2 - Sustitución de modelos
1 - Novedad y profundidad de los conceptos
4 - ¿Existe la “ciencia del caos”?
3 - El papel de los ordenadores