BAB I

PENDAHULUAN

Metode yang berkaitan dengan geostatistika ditemukan oleh para ilmuwan

yang membuat peta tentang sifat-sifat tanah dari Suatu lokasi menggunakan

sejumlah data dari lokasi yang diketahui. Sifat -sifat tersebut antara lain keasaman

tanah dalam air, konduktivitas listrik, perubahan potassium dalam tanah dan

perembesan air tanah. Matheron menggunakan istilah geostatistika dalam konteks

geologi untuk menunjukkan teori dan metode-metode menduga persediaan bijih

besi dari data spasial yang menyebar sepanjang area. Penggunaan lain dari

geostatistika diantaranya penyerapan air hujan dan pendugaan konsentrasi bahan-

bahan yang mencemari air tanah.

Data spasial adalah data yang dikumpulkan dari lokasi-lokasi yang

berkorelasi satu sama lain. Lokasi yang saling berdekatan memiliki sifat-sifat

yang mirip dibandingkan dengan lokasi yang saling berjauhan. Ini dikenal dengan

kekontinuan spasial (spatial continuity).

Penempatan data spasial merupakan langkah awal yang penting. Hal ini

dikarenakan penempatan nilai tertinggi dan terendah akan menciptakan beberapa

kecenderungan (trend) dalam data. Semua trend yang ada dalam data dapat

digambarkan dengan peta kontur.

Salah satu masalah penting dalam geostatistika adalah menduga data suatu

lokasi yang tidak bisa diamati secara langsung menggunakan data dari lokasi

spasial yang diketahui. Matheron menyebut proses ini sebagai pendugaan kriging.

Kriging merupakan metode yang mempertimbangkan kondisi tak bias dan ragam

minimum.

BAB II

ORDINARY KRIGING

Kriging adalah metode geostatistik yang digunakan untuk mengestimasi

nilai dari sebuah titik atau blok sebagai kombinasi linier dari nilai conto yang

terdapat disekitar titik yang akan diestimasi. Bobot kriging diperoleh dari hasil

variansi estimasi minimum dengan memperluas penggunaan semi-variogram.

Estimator kriging dapat diartikan sebagai variabel tidak bias dan penjumlahan dari

keseluruhan bobot adalah satu. Bobot inilah yang dipakai untuk mengestimasi

nilai dari ketebalan, ketinggian, kadar atau variabel lain.

   Istilah kriging diambil dari nama seorang ahli, yaitu D.G. Krige, yang

pertama kali menggunakan korelasi spasial dan estimator yang tidak bias. Istilah

kriging diperkenalkan oleh G. Matheron untuk menonjolkan metode khusus dalam

moving average terbobot (weighted moving average) yang meminimalkan varians

dari hasil estimasi.

Kriging memberikan lebih banyak bobot pada conto dengan jarak terdekat

dibandingkan dengan conto dengan jarak lebih jauh, kemenerusan dan anisotropi

merupakan pertimbangan yang penting dalam kriging, bentuk geometri dari data

dan karakter variabel yang diestimasi serta besar dari blok juga ditaksir.

Sifat-sifat Kriging :

1. Struktur dan korelasi variabel melalui fungsi γ(h)

2. Hubungan geometri relatif antar data yang mencakup hal penaksiran dan

penaksiran volume melalui (Si,Sj) (hubungan antar data) dan sebagai (Si,V)

(hubungan antara data dan volume)

3. Jika variogram isotrop dan pola data teratur, maka sistem kriging akan

memberikan data yang simetri

4. Dalam banyak hal hanya conto-conto di dalam blok dan di sekitar blok

memberikan estimasi dan mempunyai suatu faktor bobot masing-masing nol

5. Dalam hal ini jangkauan radius conto yang pertama atau kedua pertama tidak

memengaruhi (tersaring).

6. Efek screen ini akan terjadi, jika tidak ada nugget effect atau kecil sekali ε =

C0/C

7. Efek nugget ini menurunkan efek screen

8. Untuk efek nugget yang besar, semuai conto mempunyai bobot yang sama.

9. Conto-conto yang terletak jauh dari blok dapat diikutsertakan dalam estimasi

ini melalui harga rata-ratanya

Jenis -jenisnya antara lain :

1. Ordinary Kriging

Yaitu pendugaan suatu nilai peubah pada suatu titik tertentu yang dilakukan

dengan mengamati data sejenis pada daerah lain.

2. Blok Kriging ,

Yaitu pendugaan nilai suatu peubah pada area dan area tersebut dipecah-

pecah menjadi area-area yang lebih kecil dimana suatu nilai menggambarkan

nilai potongan area yang kecil tersebut.

3. Cokriging,

Yaitu pendugaan nilai su atu peubah pada suatu titik tertentu menggunakan

data lebih dari satu peubah dengan mengamati data yang sejenis pada lokasi

lain. Ordinary kriging biasanya hanya memiliki satu fungsi variogram yang

berlaku untuk semua lokasi.

Variogram, Semivariogram, Kovariogram dan Korelogram

Pada pemodelan variogram dan kriging, data spasial diasumsikan sebagai

proses stokastik {Z(S):S E D} dengan D adalah himpunan bagian dalam ruang

berdimensi Rd, d > 0. Kovarian nilai antara dua titik sembarang si dan sj

didefinisikan sebagai,

                             

dengan nilai korelasi adalah

Suatu proses dikatakan stasioner pada ratarata dan varians jika dan hanya jika

μ(Si) = μ dan μ2(Si)=μ2, akibatnya:

C(Si,Sj) = C(Si –Sj) = C(h)

ρ(Si,Sj) = ρ(Si –Sj) = ρ(h)

di mana h adalah vektor jarak antara titik i dan j, C(h) disebut kovariogram dan

ρ(h) disebut korelogram.

Varians nilai antara dua lokasi dengan jarak tertentu ditentukan sebagai

Var [Z(S + h) -Z(S)] = 2ϒ(h),  2ϒ(h)disebut variogram dan ϒ (h) disebut

semivariogram.

Hubungan antara kovariogram, korelogram dan semivariogram

berdasarkan kestasioneran dinyatakan dengan [2]

Semivariogram Empirik

Semivariogram empirik dihitung dari data sampel yang kemudian

diplotkan sebagai fungsi dari jarak. MisalZ(Si) adalah nilai hasil pengukuran pada

lokasi i, sedangkan Si = (Xi,yi) adalah vektor yang mengandung koordinat spasial

x, y, semivariogram cloud didefinisikan sebagai 

ϒij=0,5[Z(Si)-Z(Sj)]2            

                                                                                                                         

                                              

untuk semua pasangan jarak yang mungkin {(Si,Sj); i,j = 1,2,3,…,n} dan

diplotkan sebagai fungsi jarak, yang dihitung dengan: 

|h| = lSi -Sjl = [(Xi –Xj)2

+ (yi –yj)2]1/2  Perhitungan ini melibatkan ribuan

titik pada plot semivariogram sehingga mengakibatkan sulitnya melihat pola

tertentu. 

Untuk mengatasi hal tersebut maka yij dikelompokkan (binning)

berdasarkan kesamaan jarak. Berikut rumusan semivariogram yang

dikelompokkan (semivariogram empirik):

ϒ(h) =

di mana

N(h) : himpunan pasangan data pada Si dan Sj yang mempunyai selisih jarak yang

sama, h E T(h), sedangkan T(h) merupakan daerah toleransi di sekitar h. |N(h)| :

banyak pasangan jarak di dalam himpunan N(h).

Spatial Outlier

Spatial Outlier (pencilan spasial) didefinisikan sebagai nilai lokasi observasi

yang tidak konsisten (ekstrim) terhadap nilai lokasi observasi yang lainnya.

Munculnya pencilan dapat disebabkan oleh mekanisme pengambilan nilai

observasi yang berbeda dengan yang lainnya, Ada banyak metode yang digunakan

untuk mendeteksi adanya pencilan salah satunya adalah dengan spatial statistics Z

test. Untuk spatial statistics Z test, didefinisikan sebagai:

Jika Zs(x) > θ, maka dideteksi sebagai pencilan (outlier), untuk tingkat

signifikansi 5%, nilai θ = 2.

Robust Kriging

Model yang mendasari robust kriging adalah

Dengan W(·) stasioner intrinsik dan gaussian dan ɳ(·)+ϵ(·) =

ε(·) . Berbeda dengan kriging klasik (simple, ordinary), untuk mengakomodir

adanya outlier, variogram empirik untuk robust kriging dirumuskan sebagai :

Robust kriging mengakomodir adanya outlier sehingga semivariogram yang

digunakan adalah semivariogram empirik terboboti. Adapun paket program

ArcGIS 9.2 yang digunakan untuk membuat peta kontur prediksi pada ordinary

kriging masih belum menyediakan fasilitas penghitungan nilai dan pembuatan

peta kontur prediksi untuk robust kriging, demikian pula untuk semua paket

program geostatistika. Oleh karena itu, diperlukan pembuatan program yang

sesuai untuk algoritma robust kriging.

Penelitian tentang aplikasi robust kriging masih terbatas. Pada umumnya, para

peneliti hanya sampai pada ilustrasi statistika matematika dari modelmodel yang

menunjang penggunaan robust kriging. Pada penelitian ini, untuk mengestimasi

nilai pada suatu daerah tertentu adalah dengan menggunakan macro Minitab v.14 .

Namun, kelemahan pada macro tersebut adalah ketidakmampuan untuk

mengestimasi nilai pada daerah lain, sehingga pada penelitian ini hanya dicari

nilai estimasi pada daerah yang sudah diketahui nilai asalnya yang kemudian

dihitung tingkat ketepatan dalam mengestimasi.

Langkah awal dari macro adalah menghitung jarak masingmasing titik,

menghitung interval masingmasing lag dimana besar lag didapatkan dari proses

perhitungan via ArcGIS 9.2, kemudian mengelompokkan jarakjarak tersebut pada

lag yang bersesuaian. Langkah kedua adalah menghitung variogram dan

semivariogram untuk robust kriging. 

Selanjutnya menghitung matrik C yang terbentuk dari semivariogram robust,

matrik C0 yang terbentuk dari semivariogram dari titik yang diestimasi dengan

semua titik yang diketahui. Langkah terakhir adalah menghitung matrik lambda

yang digunakan untuk menentukan nilai estimasi.

Berdasarkan hasil analisis dari macro didapat nilai estimasi yang relatif sama

dengan nilai asalnya atau dengan kata lain tingkat presisif dari robust kriging

untuk data yang mengandung pencilan sangat tinggi.

Ordinary Kriging

Teori Kriging sering dihubungkan dengan akronim BLUE, yang

merupakan akronim dari Best Linear Unbiased Estimator. Ordinary Kriging

disebut Linear karena estimasinya merupakan kombinasi linear berbobot dari

data yang tersedia. Unbiased sejak Ordinary Kriging mencoba mempunyai mR

, yaitu mean residual error, sama dengan nol. Best karena tujuannya

adalah meminimasi σ 2 R , variansi error. Kebanyakan metode estimasi

yang ada sekarang ini juga mempunyai sifat linear dan secara teori

mempunyai sifat unbiased juga, tetapi hal yang membedakan Ordinary

Kriging dengan metode lainnya adalah Ordinary Kriging bertujuan

meminimasi variansi error.

Ketepatan dugaan kriging sangat bergantung pada model semivariogram

yang dipilih yang digunakan untuk menentukan bobot kriging. Pertimbangan

terpenting dalam kriging adalah metode ini memberikan bobot yang lebih besar

pada titik contoh dengan jarak yang lebih dekat dibandingkan dengan titik contoh

dengan jarak lebih jauh. Penjumlahan dari keseluruhan bobot sama dengan satu.

Pendugaan data yang tidak diketahui menggunakan persamaan berikut.

Pada titik yang akan diduga nilainya, model merupakan fungsi acak

stasioner yang terdiri dari beberapa peubah acak yaitu V(x1), V(x), ditambah

dengan satu nilai peubah V(x) yang diinterpolasi nilainya. Masing-masing peubah

acak mempunyai peluang yang sama pada semua lokasi dengan nilai tengah E(Z).

Sisaan yang diperoleh sebesar R(x0)

Telah diasumsikan sebelumnya bahwa fungsi acak stasioner dan nilai

harapan sisaannya nol sehingga dapat dituliskan sebagai berikut.

Agar nilai dugaan yang dihasilkan tidak bias, maka jumlah pembobot

masing-masing nilai peubah pada lokasi lainnya adalah sama dengan satu (Isaaks

& Srivastava 1989). Semua prosedur pendugaan dalam kasus ini menggunakan

kondisi ketidakbiasan. menerangkan bahwa ragam duga adalah sebagai berikut.

dimana merupakan semivarian antara data pada titik atau lokasi

pengamatan dan , x0 sedangkan adalah semivarian antara data pada titik ke-i dan

data pada titik ke-j.

Metode interpolasi ordinary kriging adalah metode pendugaan yang

menghasilkan ragam minimum dengan menggunakan parameter lagrange µ

Dengan menghitung turunan parsial persamaan G terhadap µ dan wi

sebagai berikut:

Maka dalam notasi matriks akan diperoleh:

dengan :

C : matriks kovarian antar pasangan lokasi/titik ke-i dan ke-j

w : vektor pembobot-i

D : vektor kovarian antara lokasi/titik yang diduga dengan lokasi pengamatan

yang telah ada

Selanjutnya, besarnya bobot masing-masing nilai peubah V(x1), ..., V(xn)

diperoleh sebesar:

Untuk mengetahui apakah metode Ordinary Kriging dapat digunakan

untuk menduga data hilang, data harus memenuhi asumsi stasioner intrinsik.

Pemeriksaan kestasioneran data secara formal dilakukan dengan menggunakan

Uji Dickey Fuller. Hipotesis yang diuji adalah:

H0 : γ = 0 (data tidak stasioner) H

H1: γ < 0 (data stasioner)

Jika nilai p < a, atau t hitung < nilai kritisnya maka keputusan yang

diambil adalah menolak H0 yang berarti data bersifat stasioner.

Contoh perhitungan ordinary kriging

BAB III

PENUTUP

Kesimpulan

Kriging adalah metode geostatistik yang digunakan untuk mengestimasi

nilai dari sebuah titik atau blok sebagai kombinasi linier dari nilai conto yang

terdapat disekitar titik yang akan diestimasi. Bobot kriging diperoleh dari hasil

variansi estimasi minimum dengan memperluas penggunaan semi-variogram.

Jenis -jenisnya antara lain :

1. Ordinary Kriging

Yaitu pendugaan suatu nilai peubah pada suatu titik tertentu yang dilakukan

dengan mengamati data sejenis pada daerah lain.

2. Blok Kriging ,

Yaitu pendugaan nilai suatu peubah pada area dan area tersebut dipecah-

pecah menjadi area-area yang lebih kecil dimana suatu nilai menggambarkan

nilai potongan area yang kecil tersebut.

3. Cokriging,

Yaitu pendugaan nilai su atu peubah pada suatu titik tertentu menggunakan

data lebih dari satu peubah dengan mengamati data yang sejenis pada lokasi

lain. Ordinary kriging biasanya hanya memiliki satu fungsi variogram yang

berlaku untuk semua lokasi.

Pengembangan ordinary kriging adalah robust kriging yang

mentransformasi bobot variogram pada variogram klasik sehingga menjadi

variogram yang robust terhadap outlier.

DAFTAR PUSTAKA

Angen Laksana, Endra. 2010. Analisis Data Geostatistik Dengan Pendekatan

Kriging Universal. Yogyakarta.

Darmanto dan Soepraptini. 2007. Robust Kriging Untuk Interpolasi Spasial Pada Data Spasial Berpencilan (Outlier). Malang

Rokhma, Wenny. S. 2006. System Ordinary Kriging Untuk Matriks Data yang

Dibagi Menjadi 4 Bagian. Bandung.

Suharjo, Bambang. 2005. Pendekatan Fuzzy Kriging Pada Analisis Data Spasial.

Jakarta.

Mata Kuliah : Rekayasa Perhitungan Cadangan

Metode Ordinary Kriging

OLEH:

IRIANTO RANTE PASANG

YASER

ADHITYA ACHMAD

PABIANUS RAMPEAN

PANGKI TRI SADLY D62109281

CHRISTIANUS SANDY D62109282

DADANG ARYANDA D62109284

KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

UNIVERSITAS HASANUDDIN

FAKULTAS TEKNIK

PROGRAM STUDI TEKNIK PERTAMBANGAN

MAKASSAR

2012