ordnung und chaos im sonnensystem
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Ordnung und Chaos im Sonnensystem. Peter H. Richter. Vortrag im Deutschen Zentrum für Luft- und Raumfahrt Bremen. 22. Februar 2010. Johannes Kepler 1571-1630. Astronomia Nova 1609. Mysterium Cosmographicum 1597. Harmonices Mundi 1619. Keplers Ordnung. Ellipsen. 1990-2005. Geschichte - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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Peter H. Richter
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Ordnung und Chaos im Sonnensystem
Peter H. Richter
22. Februar 2010
Vortrag im Deutschen Zentrum für Luft- und Raumfahrt Bremen
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Keplers Ordnung
Ellipsen
Mysterium Cosmographicum 1597
Johannes Kepler 1571-1630
1990-2005
Astronomia Nova 1609
Harmonices Mundi 1619
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3
• Geschichte
• Deterministisches Chaos
• Das eingeschränkte Dreikörperproblem
• Ist das Sonnensystem mechanisch stabil?
• Zusammenfassung
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Meister aus 300 Jahren
Strömgren Chirikov
I. Newton C.G.J. JacobiP.S. de LaplaceJ. de LagrangeL. Euler
H. Poincaré G.D. Birkhoff E. Strömgren A.N. Kolmogorov V.I. Arnold J. Moser
Oskar II
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Preisfrage von König Oskar II. 1888
Für ein gegebenes System von n sich untereinander anziehenden Teilchen, die den Newtonschen Bewegungsgesetzen folgen, soll unter der Annahme, dass es zu keinem Zweierstoß kommt, eine allgemeine Lösung gefunden werden in Form einer Potenzreihe in den Zeit und Raumkoordinaten, die für alle Werte der Zeit und Raum Koordinaten gleichförmig konvergiert.
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Strömgrens periodische Bahnen 1925
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Deterministisches Chaos
• Kolmogorov-Arnold-Moser: hinreichend irrationale Tori überleben
sin,2,, Krrrr
Standard-Abbildung
• Standard-Abbildung
• Poincaré-Birkhoff: rationale Tori → Paare von Resonanzen, stabile elliptische Orbits und instabile hyperbolische
20 q
c
q
pW
rW 0
B. V. Chirikov
rrrr ,2,,
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Die zahlentheoretische Bedingung
...,,,:
...1
11
210
32
1
0 www
ww
wwW
n
nnn q
pwwwW ...,,, 10
Kettenbruchentwicklung gibt die besten rationalen Näherungen
21 nnn
n
qw
c
q
pW
Beste Approximation bis zu Nennern qn
J. Liouville
Geht es auch umgekehrt?
qpq
c
q
pW ,
C.L.Siegel
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Die irrationalsten Zahlen
...,8
5,5
3,3
2,2
1,1
1,1
0
1n
nn F
Fg
Goldener Schnitt g = 1/(1+g):
Alle noblen Zahlen w = [w0,…,wn,1,1,1,…] haben dieselben , c'.
...,1,1,0g
Quadratische Irrationalzahlen: periodische Kettenbrüche, = 2.
Algebraische Zahlen vom Grad k haben = k.
21
5/1
n
n Fggkleinstes , größtes c'
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Das eingeschränkte Dreikörperproblem
• Zwei Hauptkörper (Sonne und Jupiter) auf Kreisbahnen• Ein „infinitesimal kleiner“ dritter Körper in derselben Ebene• Zwei Bezugssysteme: ein ruhendes und ein mitrotierendes
Bezugssysteme
• „Energie“ im mitrotierenden System E = E0 – · L0 (Jacobi-Konstante)
• Windungszahl im Kepler-Grenzfall W = 1 – T/Tj = 1 – a3/2
• „Störung“: Jacobi-Potential
Poincaré-Schnitte
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Jacobi-Potential
0.000 03 0.000 003
0.5 0.1 0.01
0.000 03
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Stabile und instabile Bahnen
E = -1.5195
= 0.001
3:1 3:25:32:15:2
Demo-Programm
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Trojanerstabilität bei zunehmendem E = -1.5 + (1 - ) / 2
= 0.001
= 0.02429
= 0.00827
= 0.03 = 0.03852 = 0.04
= 0.02 = 0.01352 = 0.010913
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Verteilung der Asteroiden
Hilda-Gruppe 3:2
Kirkwood-Lücken 4:1,3:1,5:2,7:3,2:1
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Gemeinsame Entfaltung von Ordnung und Chaos
• Wachsendes E (und wachsendes verstärken Chaos und Ordnung
• Chaos bedeutet: Stoß mit Jupiter oder Ejektion, jedenfalls Putzen• Ordnung bedeutet: Nähe zu einer stabilen Resonanz oder kontrolliert
„irrationales“ Verhalten• Keplers harmonische Welt erscheint nun als Resultat einer Evolution
E = -1.5195 E = -1.4995
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Poincaré-Schnitte in Polarkoordinaten
• zeigen schön die Abhängigkeit von Jupiters Masse und der Energie• zeigen, welches Schicksal chaotische Bahnen früher oder später
erleiden: Absturz oder Auswurf
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Chaos schafft Ordnung: Keplers Harmonien?
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Das ganze Sonnensystem incl. Dissipation
J. Wisdom J. Laskar
alle 10 Körper
Gezeitenkräfte und –reibung
Eigenrotation der Planeten
Monde
Stabile Resonanzen
Resonanz-Katastrophen
Fehler verzehnfachen sich etwa alle 10 Millionen Jahre
Gezeitenreibung führte Merkur und die meisten Monde in stabile Resonanzen
Viel kleinskaliges Chaos im Verhalten von Exzentrizitäten und Bahnneigungen
Letzter Hit: parametrische Resonanz zwischen Jupiter und Merkur
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Laskar & Gastineau: mögliche Katastrophen
201 Merkur-Orbits 5 Mrd. Jahre lang
(ohne Mond und relativistische Effekte):
34 Kollisionen mit Sonne, 86 mit Venus
2501 Merkur-Orbits 5 Mrd. Jahre lang
(mit Mond und relativistischen Effekten):
3 Kollisionen mit Sonne, 1 mit Venus
1 Orbit mit 201 Variationen induziert nach 3.3 Mrd Jahren 33 Kollisionen Sonne-Merkur, 48 Sonne-Mars, 43 Merkur-Venus, je 1 Merkur-Erde/Mars, 18 Venus-Erde, 23 Venus-Mars, 29 Erde-Mars
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Zusammenfassung
• Die mechanische Stabilität des Sonnensystems bleibt ungeklärt• Die Blätterung des hochdimensionalen Phasenraums in invariante
Mengen, die unter dem Einfluss von Dissipation langsam evolvieren, ist ein hochkomplexes Gewebe regulärer und chaotischer Teile
• Das Studium des eingeschränkten Dreikörperproblems mit nur 2 Freiheitsgraden gibt allenfalls eine Ahnung von dieser Komplexität
• Es erlaubt immerhin das Studium interessanter Teilprobleme (Asteroidenverteilung, gebundene Rotation von Monden, parametrische Resonanz)
• Extrasolare Planeten sind das nächste Anwendungsfeld
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Stabile und instabile Orbits
Demo-Programm
E = -1.5195 E = -1.4995