os modelos matemÁticos e a sua importÂncia para o
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A INTERFACE ENTRE A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E A MODELAGEM MATEMÁTICA: UM ESTUDO DE CASO COM ALUNOS DA 3ª SÉRIE DO
ENSINO MÉDIO
Cláudia de Oliveira LozadaCentro de Educação Tecnológica Paula Souza (CEETEPS) - ETE Lauro Gomes,
Fatec São Bernardo do [email protected]
IntroduçãoA preocupação com a formação cidadã do educando deveria ser prioridade em
nossas escolas, constituindo-se objetivo de cada disciplina, tornando-se uma questão
interdisciplinar, inter-relacionando os conteúdos das disciplinas em torno desta
temática, trabalhando os conteúdos de maneira indagadora e não linear, como se vê
hodiernamente em nossas escolas. A Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional
( 1996), em seu art. 2º, estabelece que a educação escolar deve vincular-se ao mundo do
trabalho e à prática social, bem como “tem por finalidade o pleno desenvolvimento do
educando, seu preparo para o exercício da cidadania e sua qualificação para o
trabalho”. Os Parâmetros Curriculares Nacionais (1999:27) seguindo esta diretriz,
pontuam que.: (...)“ a Matemática pode dar sua contribuição à formação do cidadão ao
desenvolver metodologias que enfatizem a construção de estratégias, a comprovação de
justificativa de resultados, a criatividade, a iniciativa pessoal, o trabalho coletivo e a
autonomia advinda da confiança na própria capacidade para enfrentar desafios.” Este
é o âmbito da Educação Matemática de cunho crítico sugerida por Skovsmose (2001) e
corroborada por Barbosa (2003: 6).: “Mais do que informar matematicamente, é preciso
educar criticamente através da matemática.”
No entanto, como afirma Muzzi (2004), a educação matemática tradicional segue
o “paradigma do exercício”. O que se observa, é que não há um trabalho efetivo que
enfoque uma perspectiva sócio-crítica de modelagem agregada à resolução de
problemas, o que encontra dissonância com os documentos oficiais, que apontam a
formação de um aluno crítico.
A prática da resolução de problemas em Matemática no contexto escolar muitas
vezes restringe-se à “problemas – tipo” cujo objetivo é a fixação de determinado
conteúdo, bem como instrumentalizar os mecanismos de resolução por meio da
repetição desses problemas. Os problemas são vistos como exercícios de aplicação de
teoria, centrando-se no domínio de operações e algoritmos, uma tendência fortemente
0
disseminada nas décadas de 1960 e 1970. Este processo descaracteriza o caráter de
investigação e de exploração que a resolução de problemas sugere, certamente limitando
o desenvolvimento de heurísticas pelos próprios alunos. Pozo (1998) assevera que a
resolução de problemas contribui para o aprender a aprender, levando o aluno a
autonomia de pensamento, autonomia na tomada de decisões, desenvolvendo
competências e habilidades.
Embora, os livros didáticos tragam problemas contextualizados relacionados ao
cotidiano dos alunos, há a necessidade de os professores reverem sua prática pedagógica
com o objetivo de tornar a resolução de problemas uma atividade desafiadora que
mobilize o processo cognitivo dos alunos, levando-os a desenvolver sua capacidade
crítica, voltando-se para problemas com referência na realidade, possibilitando a
formação social do conhecimento, aumentando a percepção de que o aluno atua como
sujeito da produção do conhecimento, uma vez que desenvolvimento do indivíduo
constitui-se como resultado de um processo sócio-histórico, como preconiza Vygotsky
(1987, 1991). É o que nos coloca Freire (2004:41): “Assumir-se como ser social e
histórico, como ser pensante, comunicante, transformador, criador...” Essas idéias já
eram defendidas por Freinet (1985), pedagogo francês, que enfatizava que a sociedade
com suas contradições refletia-se também na escola. Sendo assim, a educação mostra-se
como processo dinâmico, determinada pelas condições sociais, estando voltada para a
preparação para a vida social, daí a importância de se formar para a cidadania.
Dessa maneira, fundamentando-se na perspectiva sócio-crítica da modelagem
matemática, propõe-se reflexões sobre a interface entre a modelagem matemática e a
resolução de problemas, por meio de um estudo de caso com alunos da 3ª série do
Ensino Médio.
1. A relevância da Modelagem Matemática e apontamentos sobre a
perspectiva sócio-crítica
Diferentemente de outros documentos oficiais, a recente publicada Orientações
Curriculares para o Ensino Médio (2006:84) cita expressamente a Modelagem
Matemática, ou seja, a destaca no bojo de seu texto, demonstrando a sua relevância nas
pesquisas em Educação Matemática. As Orientações Curriculares colocam a
Modelagem Matemática “como um caminho para se trabalhar a Matemática na
escola” e prosseguem afirmando que a modelagem matemática “pode ser entendida
1
como a habilidade de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e
resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo real.”
Para Bassanezi (2002:16) “a modelagem matemática consiste na arte de
transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los
interpretando suas soluções na linguagem do mundo real”.
Almeida e Dias (2004) pontuam que a Modelagem pode “proporcionar aos alunos
oportunidades de identificar e estudar situações-problema de sua realidade, despertando
maior interesse e desenvolvendo um conhecimento mais crítico e reflexivo em relação
aos conteúdos matemáticos” (Almeida & Dias, 2004:25).
Barbosa (2001:3) corrobora esta idéia afirmando que a modelagem “é um
ambiente de aprendizagem no qual os alunos são convidados a indagar e/ou investigar,
por meio da Matemática, situações com referência na realidade. ”Este ambiente de
aprendizagem, que contém um “cenário de investigação”(Skovsmose (2000:69).
Araújo (2002:39) por sua vez, entende que a modelagem consiste (...) “na
abordagem por meio da Matemática, de um problema não matemático da realidade,
escolhida pelos alunos reunidos em grupo, de tal forma que as questões da Educação
matemática Crítica embasem o desenvolvimento do trabalho.” Essa escolha de que trata
Araújo, é defendida por Borba, Meneghetti e Hermini (1999:76) com o auxílio do
professor como adiante se vê, ao descreverem a Modelagem: (...) pode ser vista como
um esforço de descrever matematicamente um fenômeno que é escolhido pelos alunos
com o auxílio do professor.” Essa é uma tendência encontrada nos trabalhos
desenvolvidos em Modelagem Matemática, nos quais o professor figura como
mediador.(Bassanezi, 1990, 1994; Biembengut, 1990, 1999).
No entanto, dependendo do objetivo que se pretende alcançar com as atividades de
Modelagem Matemática, esta pode apresentar-se segundo uma das três perspectivas,
como aponta Barbosa (2006:1): “a pragmática, com ênfase no desenvolvimento de
habilidades de resolução de problemas, a científica, com ênfase na aprendizagem dos
conceitos matemáticos e a sócio-crítica, que sublinha a análise do papel dos modelos
matemáticos na sociedade.”
As perspectivas pragmática e científica, são usuais em nossas escolas, seja no
Ensino Fundamental ou Médio, agregada à resolução de problemas e à aprendizagem de
conceitos matemáticos. As atividades de Modelagem Matemática constituem um
“veículo” para o domínio de ferramentas matemáticas, como se pôde constatar no
estudo de caso que adiante será exposto. Kaiser e Messmer (1991:85) afirma que a
2
perspectiva científica “considera a ciência matemática e sua estrutura como um guia
indispensável para ensinar matemática, a qual não pode ser abandonada.”
Essas perspectivas povoam nossa cultura escolar, enfatizando a herança de um
ensino tecnicista. Embora não possam ser abandonadas, pois contribuem também para o
desenvolvimento cognitivo dos alunos, não devem constituir práticas arraigadas e
rotineiras em nossas escolas, sendo razoável que os professores, possibilitem a
introdução da perspectiva sócio-crítica, oferecendo uma outra opção aos alunos e que os
fará, sobretudo a compreender o papel da Matemática na sociedade. Assim, a
Matemática cumprirá seu papel na formação social do conhecimento, como preconizam
muitos documentos oficiais em educação. Por conseguinte, a Modelagem Matemática
sob a perspectiva sócio-crítica torna-se uma alternativa de ensino que poderá conduzir à
formação do cidadão, desenvolvendo a criticidade, o respeito aos saberes dos
educandos, a curiosidade, a criatividade, a autonomia... (Freire, op . cit).
Muitos autores como Barbosa (2001); Malheiros (2004); Bassanezi (2002),
Araújo (2002) discutem a modelagem como estratégia de ensino de matemática, sendo
que a mesma é apontada também como ambiente de aprendizagem, apresentando em
suma, os seguintes argumentos para incluí-la no currículo (Barbosa, 2003:2):
Motivação, facilitação da aprendizagem, preparação para utilizar a matemática em
diferentes áreas, desenvolvimento de habilidades gerais de exploração e compreensão
do papel sócio - cultural da Matemática.
A perspectiva sócio-crítica como bem coloca Barbosa (2003), dá ênfase ao
conhecimento reflexivo (Skovsmose, 1990 apud Barbosa 2003: 3-4), uma vez que
oportuniza aos alunos a discussão das implicações dos resultados matemáticos,
decorrentes da resolução da situação-problema, na sociedade. Além do mais,
possibilita o educar pela pesquisa ( Demo, 2003 )
Há uma proximidade da perspectiva sócio-crítica com a teoria das representações
sociais de Moscovici (1961,1976 apud Sousa & Moreira, 2001: 70): “A inserção social
do sujeito incide sobre a formação de representações. O campo social orienta, a partir
de uma realidade material e objetiva, a construção do objeto.” Isto é perceptível
quando se adota a perspectiva sócio-crítica da modelagem, ao analisar-se as rotas de
modelagem e o gênero discursivo utilizado pelos alunos. As crenças ou ideologias
coletivas podem produzir soluções específicas para as questões, configurando o que
Moscovici (1981 apud Sousa & Moreira, 2001: 71) denominou de universos
consensuais: “Nos universos consensuais (...) cada indivíduo é livre para se comportar
3
como um amador ou um observador curioso, manifestando suas opiniões, apresentando
suas teorias e tendo uma resposta para todos os problemas. A conversação cria
gradualmente núcleos de estabilidade e maneirais habituais de fazer coisas, um
conjunto de significados entre aqueles que participam dela.”
2. A interface entre a resolução de problemas e modelagem matemática
No final dos anos 70, desponta o interesse pela resolução de problemas, em
virtude da falha dos programas para o ensino de matemática que haviam sido
elaborados. Nos anos 80, o National Council of Teachers of Mathematics, elabora um
documento chamado “Agenda for Action”, que prioriza e recomenda que a resolução de
problemas seja o principal escopo do ensino de matemático (Huete & Bravo, 2006).
Em diversas passagens dos PCNs do Ensino Médio, a resolução de problemas é
citada, como uma prática a ser desenvolvida em nossas escolas, inclusive, esta postura é
reforçada, na seção de competências e habilidades. Outro aspecto a ser considerado em
relação à resolução de problemas são alguns conceitos que o envolvem. Diversos
teóricos discutem acerca do conceito de problema e da resolução de problemas, sendo
que várias correntes apontavam os requisitos para se considerar um problema e sua
resolução (Kilpatrick, 1985; Schoenfeld, 1985). Outros autores (Rabelo, 2004)
explicitam que o conceito de problema é relativo ao sujeito a que se destina.
Schoenfeld (op. cit), destacado autor nesta área, aponta quatro categorias de
habilidades necessárias para se resolver problemas: recursos, heurísticas, controle e
convicções. Polya (1995), coloca quatro fases para a resolução de problemas:
compreensão do problema, concepção de um plano, execução do plano e visão
retrospectiva. Acredita-se, portanto, que independente da área de ensino, estas quatro
fases deveriam ser ensinadas aos alunos visando facilitar o processo de resolução de
problemas. Por sua vez, Krulik & Reys (1997), enfocam a resolução de problemas
como meta, processo e habilidade básica.
Diante do exposto, percebe-se que a modelagem matemática está diretamente
ligada à resolução de problemas e em geral, envolve as seguintes etapas: (1ª) definição
do problema, (2ª) simplificação e formulação de hipóteses, (3ª) dedução do modelo
matemático, (4ª) resolução do problema matemático, (5ª) validação e (6ª) aplicação do
modelo. É o que observa Gustineli (1990), em sua dissertação de mestrado,
esclarecendo que tem por objetivo "(...) encarar a Modelagem Matemática e a
Resolução de Problemas globalmente relacionadas e ressaltar como a criatividade
4
emerge ao se trabalhar com essas duas linhas de pesquisa, como metodologias do
ensino da Matemática, tendo em vista o processo de ensino e aprendizagem." (p. XIII –
apresentação).
Esta relação entre a resolução de problemas é enfatizada pelas Orientações
Curriculares (2006: 84-85):
“(...) A Modelagem Matemática percebida como estratégia de ensino, apresenta
fortes conexões com a idéia de resolução de problemas (...) Ante uma situação
problema ligada ao mundo real, com sua inerente complexidade, o aluno precisa
mobilizar um leque de competências: selecionar variáveis que serão relevantes para o
modelo a construir; problematizar, ou seja, formular o problema teórico na linguagem
do campo matemático envolvido; formular hipóteses explicativas do fenômeno em
causa; recorrer ao conhecimento matemático acumulado para a resolução do problema
formulado, o que, muitas vezes, requer um trabalho de simplificação quando o modelo
originalmente pensado é matematicamente muito complexo; validar, isto é, confrontar
as conclusões teóricas com os dados empíricos existentes; e eventualmente ainda,
quando surge a necessidade, modificar o modelo para que esse melhor corresponda à
situação real, aqui se revelando o aspecto dinâmico da construção co conhecimento.”
Barbosa (2004:3), ao referir-se ao contato inicial do professor com a modelagem
lembra que:”Em geral, eles podem não ter tido oportunidades de desenvolver atividades
de Modelagem anteriormente ou de resolução de problemas com referência na
realidade.” E observa que “por problema com referência na realidade, estou
entendendo aqueles, de natureza aberta1, que nascem em outras áreas que não a
Matemática ou no dia-a-dia.”
Em relação aos tipos de problemas, as Orientações curriculares para o Ensino
Médio alertam sobre a questão da contextualização que está presente em muitos deles e
sua influência direta no processo ensino - aprendizagem. A respeito colocam que
( 2006: 83-84): “ A contextualização pode ser feita por meio de resolução de
problemas, mas aqui é preciso estar atento aos problemas fechados, porque esses
pouco incentivam o desenvolvimento de habilidades. Nesse tipo de problemas, já de
antemão o aluno identifica o conteúdo a ser utilizado, sem que haja maiores
provocações quanto à construção de conhecimento e quanto à utilização de raciocínio
1 Esses problemas de natureza aberta que não estão restritos à Matemática, dão margem à interdisciplinaridade (Fazenda,
2001), outro aspecto importante a ser trabalhado pelos professores.
5
matemático” Os alunos, dessa forma, como o documento referido coloca, operam com
os números que estão presentes no problema e não refletem sobre o resultado a que
chegam, seja qual for. E o escopo de formar um aluno reflexivo torna-se insipiente.
Cabe ressaltar, inclusive, que, as Orientações Curriculares para o Ensino Médio
( 2006: 81) referem-se à corrente sócio – construtivista na resolução de problemas, o
que de certo modo, relaciona-se com a perspectiva sócio- crítica da modelagem
matemática, esclarecendo que a mesma ainda é pouco explorada em nossos sistemas de
ensino. Prossegue, afirmando que o professor tem o papel de mediador, ou seja,
“gerador de situações que propiciem o confronto de concepções, cabendo ao aluno o
papel de construtor de seu próprio conhecimento matemático.” Aqui, o contrato
didático assume um importante papel no processo ensino- aprendizagem.
3. A pesquisa qualitativa: um estudo de caso com alunos da 3ª serie do
Ensino Médio
No mês de outubro de 2006, realizou-se uma pesquisa qualitativa com 57 alunos
da 3ª série do Ensino Médio, do período noturno, de uma escola da rede pública
estadual de SP. Os procedimentos utilizados constituíram-se em aplicação de quatro
problemas contextualizados que deveriam ser resolvidos pelos alunos em grupos
formados por 3 ou 4 componentes. A opção por realizar a atividade em grupo foi
oportunizar a discussão coletiva e a reflexão acerca da resolução de problemas
propiciando analisar como os alunos desenvolvem os modelos matemáticos, além de
desenvolver valores e atitudes, tais como a socialização e o respeito pela opinião do
próximo. Formaram-se 7 grupos com 3 alunos cada e 9 grupos com 4 alunos. Após a
resolução dos problemas, os grupos responderam um questionário, cujo objetivo era
levantar dados acerca do ensino de Matemática. Além do mais, a observação dos
grupos, possibilitou uma visão geral não só da integração de seus componentes, mas
também das rotas de resolução dos problemas.
Ressalte-se que 3 problemas baseavam-se em conteúdos já vistos pelos alunos em
séries anteriores (2 problemas sobre função polinomial do 1º grau e um sobre Teorema
de Pitágoras) e apenas um deles, que versava sobre análise combinatória, não fora
estudado pelos alunos, uma vez que havia uma pequena defasagem no desenvolvimento
do conteúdo programático. No entanto, não haveria, em princípio, maior dificuldade
para resolução deste problema de análise combinatória, uma vez que os alunos
poderiam utilizar o princípio fundamental da contagem, que costumeiramente, chamam
6
de “ método das tentativas” ou “procedimento longo” ou “ resolver do meu jeito”. A
escolha por problemas sobre função polinomial do 1º grau foi a possibilidade de se
elaborar o modelo matemático utilizando - se a linguagem simbólica.
3.1. A atividade e o questionário
Os problemas propostos pelos alunos retirados de livros didáticos da 8ª série do
Ensino Fundamental e da 1ª série do Ensino Médio, os quais o professor costuma
utilizar para preparar suas aulas:
1) Márcia ligou seu computador à Internet. Para fazer uso dessa rede, ela
paga uma mensalidade fixa de R$ 30,00, mais 15 centavos a cada minuto de uso. Se ela
gasta 20 minutos acessando a Internet, quanto pagará?
2) Uma torre vertical é presa por cabos de aço fixos no chão, em um
terreno plano horizontal, conforme a figura. Se o ponto A está a 15 m da base B da torre
e o ponto C está a 20 m de altura, qual será o comprimento do cabo AC?
C
B A
3) Num hospital existem 3 portas de entrada que dão para um saguão onde
há 4 elevadores. Um visitante deve se dirigir ao 5º andar utilizando-se de um dos
elevadores. De quantas maneiras diferentes poderá fazê-lo?
4) Uma corrida de táxi têm um custo fixo de R$ 2,40 e outro variável de R$
0,80 por km rodado. A) Qual é a fórmula matemática dessa função? B) Quanto custará
uma corrida de 8 km?
Pela análise dos protocolos de pesquisa, constatou-se que dos 16 grupos apenas 4
utilizaram a linguagem simbólica para resolver o problema 4, que propiciava a
elaboração do modelo matemática, como se pode ver:
1: f(x) = 2,40 + 0,8. x
2: y = 2,40 + 0,80 .x
3: 2,40 + (x. 0,80)
4: 2,40 + 0,80 por km
As demais resoluções do problema 4 foram efetuadas em forma de operações de
multiplicação e adição: 0,80 x 8 = 6,40 6,40 + 2,40 = 8,80
7
Para o problema 1, todos os grupos não utilizaram a linguagem simbólica,
resolvendo este problema também em forma de operações: 0,15 x 2 = 3,00 30,00 + 3,00
= 33,00.
Para o problema 2, todos os grupos resolveram conseguiram resolver a questão,
inclusive escrevendo corretamente o modelo matemático do Teorema de Pitágoras: a² =
b² + c².
No entanto, em relação ao problema 3, afirmaram encontrar dificuldades para
resolve-lo, alegando que: “Não vimos essa matéria!”, “Tem uma fórmula para
resolver?”. Apenas 3 grupos resolveram a questão, sendo que um deles desenhou as
portas de entrada e os elevadores, associando-os com setas e por fim chegando à
resposta (12 maneiras). Os outros dois grupos utilizaram o princípio fundamental da
contagem: 3 x 4 = 12 maneiras. Os demais grupos deixaram a questão em branco.
Em seguida, os grupos responderam ao seguinte questionário:
1) Nos problemas que tiveram dificuldade em resolver apontam que:
a) os dados não estavam evidentes
b) havia necessidade de uma leitura mais aprofundada
c) havia necessidade de se elaborar um modelo matemático para resolver
o problema e há dificuldade com a linguagem simbólica
d) outros
2) Nos problemas que tiveram facilidade em resolver, apontam que:
a) os dados do problema estavam evidentes e não houve necessidade de
uma leitura mais aprofundada do enunciado
b) os problemas estão relacionados ao seu cotidiano
c) não havia necessidade de se elaborar um modelo matemático
d) outros
3) Em relação à resolução de problemas o grupo apresenta dificuldade em
relação:
a) leitura e interpretação do enunciado
b) operações matemáticas
c) elaboração do modelo matemático
d) outras
4) Durante as aulas de Matemática nas séries anteriores, a quantidade de
problemas para se resolver foi:
a) Pouca b) média c)muita d) raramente e) nunca
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5) O grupo acha a resolução de problemas importante? a) sim b ) não
6) Se sim, aponte os motivos:
a) desenvolvimento do raciocínio lógico e abstrato
b) permitem o contato com situações cotidianas
c) contribuem para o desenvolvimento da cidadania, colaborando para o
crescimento ao lidar com determinadas situações nas quais se tenha
que apontar uma solução
d) desenvolver o senso crítico
e) outras
7) Durante a resolução de um problema, o grupo costuma imaginar a situação
que está relacionada ao problema, para tentar soluciona-lo?a) sim b) não
8) Os problemas contextualizados relacionados ao cotidiano podem contribuir
para assimilação de conteúdos de Matemática? a) sim b) não
9) Os trabalhos realizados em grupo podem contribuir para melhorar sua
compreensão de conteúdos em Matemática? a) sim b ) não
As respostas dadas ao questionário foram as seguintes:
a) Para a pergunta 1, dois grupos deixaram de respondê-la, alegando não ter
encontrado dificuldades em resolver os problemas; 2 grupos apontaram que os dados
não estavam evidentes; 6 grupos apontaram que havia necessidade de uma leitura mais
aprofundada; 2 grupos assinalaram a alternativa c, relativa a elaboração do modelo
matemático e da linguagem simbólica e 4 grupos assinalaram a alternativa d, mas no
entanto, não apontaram quais seriam essas outras dificuldades.
b) Para a pergunta 2, 8 grupos assinalaram a alternativa a, 5 grupos assinalaram a
alternativa b, 2 grupos assinalaram a alternativa c e apenas um grupo assinalou a
alternativa d.
c) Para a pergunta 3, 4 grupos afirmaram que apresentam dificuldades em
relação à leitura e interpretação do enunciado; 6 grupos apontaram que possuem
dificuldades em operações matemáticas e 6 grupos assinalaram que sua dificuldade está
relacionada à elaboração do modelo matemático.
d) Para a pergunta 4, 2 grupos assinalaram que pouco resolveram problemas nas
séries anteriores; 10 grupos afirmaram que a resolução de problemas foi de intensidade
média; 2 grupos afirmaram que resolveram muitos problemas e 2 grupos assinalaram
que raramente resolviam problemas.
9
e) Para a pergunta 5, todos os grupos foram unânimes em afirmar que a
resolução de problemas é importante. E apontaram os motivos dessa importância foram
apontados na pergunta 6: 11 grupos assinalaram que a resolução de problemas permite o
desenvolvimento do raciocínio lógico e abstrato; 5 grupos assinalaram que a resolução
de problemas permite o contato com situações cotidianas; 2 grupos assinalaram que a
resolução de problemas contribui para o desenvolvimento da cidadania; 3 grupos
assinalaram que a resolução de problemas permite o desenvolvimento do senso crítico e
2 grupos assinalaram a alternativa e, mas não a especificaram.
f) Para a pergunta 7, 12 grupos afirmaram que durante a resolução de problemas
costumam imaginar a situação que está relacionada ao problema e apenas 4 grupos
assinalaram que não imaginam a situação- problema.
g) Para a pergunta 8, 15 grupos afirmaram que os problemas contextualizados
contribuem para a assimilação de conteúdos de Matemática e apenas 1 grupos assinalou
que não há contribuição para a assimilação de conteúdos de Matemática.
h) Para a pergunta 9, 15 grupos assinalaram que os trabalhos em grupo
contribuem para uma melhor assimilação dos conteúdos de Matemática e somente um
grupo afirmou que não.
3.2. Análise dos resultados
Pela análise dos protocolos de pesquisa pode-se concluir que os alunos não
possuem o domínio da linguagem simbólica, constituinte do formalismo matemático e
portanto, este fato pode ser um obstáculo à elaboração dos modelos matemáticos, como
se pode verificar pelos problemas 1 e 4. Percebeu-se também que a “cultura das
fórmulas” e o “paradoxo do exercício” ainda é prática dominante em nossas escolas,
como visto pela memorização e mecanização do procedimento de resolução do
problema 2, que envolvia o Teorema de Pitágoras. Outro aspecto evidente, é o hábito do
aluno relacionar a resolução de problemas com conteúdos dados, o que enfatiza a
cultura dos “problemas-tipo”, como constatado pelo problema 3. Em relação à análise
do questionário, as dificuldades ou facilidades apontadas para a resolução de problemas
estão ligadas a evidência de dados no enunciado, à leitura e interpretação de
enunciados , à elaboração do modelo matemático (como constatado relaciona-se ao
domínio da linguagem simbólica) e à operações matemáticas presentes na resolução do
modelo matemático. Infere-se que embora a intensidade de resolução tenha sido média,
como apontada pela maioria dos grupos, não constituiu-se em atividade desafiadora e
investigativa, mas apenas como atividade de fixação de conteúdos e mecanismos
10
matemáticos. Ao responderem sobre a importância da resolução de problemas, a
maioria dos grupos assinalou que esta é relevante para o desenvolvimento do raciocínio
lógico, aspecto ligado preponderantemente ao desenvolvimento bio-psicológico, sendo
que poucos grupos assinalaram o desenvolvimento da cidadania e do senso crítico, o
que demonstra que não há a percepção por parte dos alunos do papel da Matemática na
sociedade e que a mesma possibilita desenvolver a criticidade, não estando restrita
apenas a conteúdos de História.
Embora, em sua maioria, apontem que costumam imaginar a situação- problema,
é necessário um trabalho efetivo com modelagem mental para que saibam como a
imaginação destas situações seguida de discussões podem ser extremamente positivas
na resolução de problemas. Os grupos apontaram a relevância dos problemas
contextualizados, o que demonstra que o cotidiano é um fator a ser considerado no
processo ensino – aprendizagem de Matemática, bem como apontaram em sua maioria
que o trabalho realizado em grupo contribui para a aprendizagem. Neste ponto, salienta-
se que é preciso estimular que os componentes do grupo participem ativamente,
discutam, desenvolvam a argumentação e o confronto de idéias.
Haja vista que o objetivofosse desenvolver a modelagem matemática por meio da
elaboração dos modelos matemáticos relacionados aos problemas, esta não mostrou-se
tão efetiva em virtude do perfil dos alunos, habituados a uma outra concepção de
resolução de problemas, ligada ao mecanicismo.
4. Conclusão
Em que pese, as discussões sobre a relação da resolução de problemas e a
modelagem matemática, é evidente a existência de uma relação. As Orientações
Curriculares para o Ensino Médio (op. cit) demonstram esse fato, além de destacarem a
importância da Modelagem Matemática como estratégia de ensino, o que não se vê em
outros documentos oficiais anteriormente publicados.
No entanto, há a preponderância das perspectivas pragmática e científica, como se
pode ver neste estudo de caso, em detrimento de uma abordagem sócio-crítica, que
possibilitaria a formação cidadã e a percepção do papel da Matemática na sociedade,
desenvolvendo valores e atitudes.
Observar as rotas de resolução de problemas que conduzem à elaboração do
modelo matemático permite constatar não só conhecimentos anteriormente assimilados
pelos alunos, mas também a influência sócio-cultural que trazem para a escola,
11
evidenciada em suas argumentações, em suas discussões acerca da solução viável para o
problema.
Além do mais, o desenvolvimento desta atividade com os alunos do 3ª série do
Ensino Médio, permitiu ao professor investigar sobre sua própria prática (Ponte, 2002;
Serrazina & Oliveira, 2002), levando-o refletir com vistas a buscar outras alternativas
para a construção do conhecimento matemático, desapegando-se da “cultura dos
problemas – tipos” e do “paradoxo do exercício”. Possibilitou ao professor compreender
o que de fato é a modelagem matemática, uma atividade dinâmica que não se reduz a
mera aplicação de problemas contextualizados. Sobre contextualização, Barbosa ( 2004,
b) expõe que o termo é usado indevidamente, que o ensino de matemática já está
contextualizado e cabe apenas escolher o contexto (Skovsmose,apud Barbosa, 2004, b).
No entanto, outras discussões serão colocadas a respeito da contextualização em um
outro trabalho. Por fim, salienta-se que as pesquisas sobre a modelagem matemática e a
resolução de problemas prosseguirá visando apontar os aspectos que não estão presentes
neste trabalho.
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