oscar fabian caviedes barrios´ leidy geovana lozano …
TRANSCRIPT
GENERALIZACIONES DE UNA DEFINICION ITERATIVA
DE ALGEBRA BOOLEANA
OSCAR FABIAN CAVIEDES BARRIOS
LEIDY GEOVANA LOZANO RENDON
UNIVERSIDAD DEL TOLIMA
FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS
PROGRAMA DE MATEMATICAS CON ENFASIS EN ESTADISTICA
IBAGUE
2014
GENERALIZACIONES DE UNA DEFINICION ITERATIVA
DE ALGEBRA BOOLEANA
OSCAR FABIAN CAVIEDES BARRIOS
Codigo 0702-00242008
LEIDY GEOVANA LOZANO RENDON
Codigo 0702-00262008
Trabajo de grado para optar al tıtulo de Profesional en Matematicas con enfasis en Estadıstica
Director
ARNOLD OOSTRA
Profesor del Departamento de Matematicas y Estadıstica
UNIVERSIDAD DEL TOLIMA
FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS
PROGRAMA DE MATEMATICAS CON ENFASIS EN ESTADISTICA
IBAGUE
2014
U N I V E R S I D A D D E L T O L I M A
F A C U L T A D D E C I E N C I A S
P R O G R A M A D E M A T E M Á T I C A S C O N É N F A S I S EN E S T A D Í S T I C A
A C T A D E S U S T E N T A C I Ó N T R A B A J O D E G R A D O
TTTULO: G E N E R A L I Z A C I O N E S D E U N A D E F I N I C I O N I T E R A T I V A D E Á L G E B R A B O O L E A N A
AUTORES: OSCAR F A B I Á N C A V I E D E S , C Ó D I G O 070200242008 L E I D Y G E O V A N A L O Z A N O , C Ó D I G O 070200262008
DIRECTOR: A R N O L D OOSTRA
JURADOS: C A R L O S J U L I O L U Q U E A R I A S L E O N A R D O S O L A N I L L A C H A V A R R O
C A L I F I C A C I O N : 5.0 ( C I N C O PUNTO CERO)
X A P R O B O
O B S E R V A C I O N E S : T R A B A J O L A U R E A D O
REPROBO
FIRMAS
C A R L O S JULie-rnut'JE A R I A S Jurado I
LEONARDO SOLANILLA jurado 2 /
ARNOLD OOSTRA Director del Trabajo
HORACIO MOLANO Director del Programa
Ciudad y fecha: Ibagué. 19 de septiembre de 2014
Tabla de Contenido
Introduccion 4
1 Las estructuras 6
1.1 Semirretıculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Retıculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Algebras booleanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 Algebras de Heyting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5 Algebras de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6 Semirretıculos de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2 Definiciones iterativas 40
2.1 Retıculos distributivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2 Algebras booleanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3 Semirretıculos de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4 Algebras de Heyting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Conclusiones 55
Bibliografıa 56
3
Introduccion
Las algebras booleanas son el resultado de los aportes a la Logica de George Boole,
matematico y logico ingles (1815-1864). Estas estructuras tienen mucha utilidad tanto
en la parte teorica de la Matematica como en sus aplicaciones. De manera mas sencilla,
un algebra booleana se define como un conjunto ordenado, con mas exactitud como un
retıculo distributivo complementado. Esta vision de lugar a las operaciones de maxima
cota inferior, mınima cota superior y complemento, que de manera natural corresponden
a la conjuncion, la disyuncion y la negacion de la Logica. Por esta y otras razones, existe
un vınculo muy estrecho entre las algebras booleanas y la logica proposicional clasica.
Una de las muchas maneras de estudiar la logica proposicional es mediante los graficos
existenciales Alfa introducidos por Charles S. Peirce, cientıfico, filosofo, matematico
e importante pionero de la Logica matematica (1839-1914). En un trabajo anterior,
realizado en la Universidad del Tolima [13], se demostro la equivalencia de la logica
proposicional tradicional con los graficos Alfa empleando las algebras booleanas. En
esa investigacion surgio una definicion nueva de la estructura de algebra booleana, en
la cual la regla de iteracion de los graficos se traduce en una identidad que se puede
llamar iterativa.
Las algebras booleanas tienen muchas generalizaciones. Desde el punto de vista de
la Logica, el calculo proposicional clasico se generaliza a la logica proposicional intui-
cionista y esta a su vez a la logica implicativa. Por esta vıa, las generalizaciones
naturales de las algebras booleanas son las algebras de Heyting y las algebras de Hilbert.
Estas estructuras tambien se han estudiado en la Universidad del Tolima, vease el
trabajo [5] que a su vez dio lugar al artıculo [6]. De manera reciente, investigaciones
realizadas en esta misma Universidad han permitido introducir sistemas de graficos
existenciales Alfa al estilo de Peirce para estas logicas, vease el trabajo [7] y el artıculo
[11].
4
Todo este panorama sugiere la posibilidad de generalizar la definicion iterativa de las
algebras booleanas a otras estructuras, en especial a las algebras de Heyting y a los
semirretıculos de Hilbert. Ese es el objetivo central del trabajo presente, y para lo-
grar tal meta en primer lugar es necesario conocer a fondo las estructuras involucradas:
algebras booleanas, algebras de Heyting, semirretıculos de Hilbert y algebras de Hilbert.
Luego se precisa estudiar con mucho detalle la equivalencia de las definiciones tradi-
cionales de algebra booleana con la definicion iterativa. Por fin, sera posible proponer
definiciones nuevas, basadas en la iteracion, para las algebras de Heyting y los semi-
rretıculos de Hilbert y demostrar su equivalencia con las definiciones usuales.
El informe final de esta investigacion consta de dos capıtulos. En el primero se hace el re-
cuento jerarquico de todas las algebras involucradas, partiendo de sus definiciones tradi-
cionales. Estas estructuras son los semirretıculos, los retıculos, las algebras booleanas,
las algebras de Heyting, las algebras de Hilbert y los semirretıculos de Hilbert. En cada
caso se estudia una gran cantidad de propiedades, que luego seran muy utiles en las
generalizaciones. En el segundo capıtulo se presentan todas las definiciones alternativas,
cada una expresada en un teorema que establece su equivalencia con la correspondiente
definicion usual estudiada en el primer capıtulo.
El material contenido en el primer capıtulo se encuentra en la literatura matematica,
salvo quizas el orden, la presentacion y algunas propiedades muy particulares que se
demuestran allı. En cambio el capıtulo 2 es muy novedoso, pues casi todas las nociones
y los enunciados son originales, excepto algunas pocos resultados que se tomaron de
trabajos anteriores indicando el credito respectivo. Sin embargo, se puede asegurar que
todas las demostraciones de ese capıtulo fueron pensadas y elaboradas en el proceso de
investigacion conjunto de los autores y el director de este trabajo de grado.
5
Capıtulo 1
Las estructuras
En este capıtulo se realiza un recuento detallado de las estructuras cuyas definiciones
novedosas se introducen en este trabajo: las algebras booleanas, los semirretıculos de
Hilbert y las algebras de Heyting. Dado que entre ellas existe una jerarquıa natural, se
seguira ese orden y se complementara el espectro con otras estructuras afines.
1.1 Semirretıculos
Las algebras que se estudian en este trabajo se pueden ver todas como clases especiales
de semirretıculos. Por esta razon, en esta primera seccion se repasan las nociones
basicas de esa estructura y se fija la nomenclatura que se empleara a lo largo de todo
el documento.
Un conjunto ordenado es una pareja (X,≤) donde ≤ es una relacion reflexiva, an-
tisimetrica y transitiva. La nocion siguiente es fundamental en el desarrollo de este
trabajo.
Definicion 1.1. En un conjunto ordenado, la maxima cota inferior de dos elementos
a, b es un elemento c tal que:
i) c ≤ a;
ii) c ≤ b;
iii) Si x ≤ a y x ≤ b entonces x ≤ c.
6
Si existe, este elemento es unico para a y b (esto se sigue de inmediato de la definicion)
y por lo tanto se denota a∧ b. Las tres condiciones anteriores se pueden resumir en una
sola:
x ≤ a ∧ b si y solo si x ≤ a y x ≤ b.
Graficamente, la situacion se representa ası:
•a • b
•a ∧ b
Ejemplos 1.2.
• En P(X) con la contenencia, siempre existe A ∧ B = A ∩B.
• En Z+ con la divisibilidad, siempre existe m ∧ n = MCD(m,n).
• En un conjunto ordenado lineal (o total), siempre existe x ∧ y = min{x, y}.
• La maxima cota inferior no siempre existe: en el siguiente ejemplo, a y b no
tienen cota inferior.
•
•a • b
• •
Definicion 1.3. Un semirretıculo (inferior) es un conjunto ordenado en el cual cada
par de elementos tiene maxima cota inferior.
Ejemplos 1.4. (P(X),⊆), (Z+, |), (lineal,≤) son semirretıculos inferiores.
Esta estructura se puede definir de manera algebraica. La operacion es ∧, que a cada
par a, b asigna a ∧ b = maxima cota inferior de a y b.
7
Afirmacion 1.5. En un semirretıculo, la operacion ∧ tiene las propiedades siguientes.
1. Asociativa: a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c
2. Conmutativa: a ∧ b = b ∧ a
3. Idempotente: a ∧ a = a
Demostracion.
1 ) Para cualquier x se tiene:
x ≤ a ∧ (b ∧ c) ssi x ≤ a y x ≤ b ∧ c
ssi x ≤ a y x ≤ b y x ≤ c
ssi x ≤ (a ∧ b) y x ≤ c
ssi x ≤ (a ∧ b) ∧ c
En particular, al tomar x = a ∧ (b ∧ c), como a ∧ (b ∧ c) ≤ a ∧ (b ∧ c) se tiene
a∧ (b∧ c) ≤ (a∧ b)∧ c; y tomando x = (a∧ b)∧ c, como (a∧ b)∧ c ≤ (a∧ b)∧ c resulta
(a ∧ b) ∧ c ≤ a ∧ (b ∧ c). Por lo tanto
a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c.
2 ) Para cualquier x se tiene:
x ≤ a ∧ b ssi x ≤ a y x ≤ b
ssi x ≤ b y x ≤ a
ssi x ≤ (b ∧ a)
Como arriba, de aquı se sigue a ∧ b = b ∧ a.
3 ) Para cualquier x se tiene:
x ≤ a ∧ a ssi x ≤ a y x ≤ a
ssi x ≤ a
Luego a ∧ a = a.
Teorema 1.6. Un semirretıculo puede definirse como una estructura algebraica (S,∧)
donde ∧ es una operacion binaria que satisface las condiciones de la afirmacion 1.5.
8
Demostracion. Sea ≪ la relacion definida como sigue.
a ≪ b si a ∧ b = a
En primer lugar, se verifica que esta es una relacion de orden.
• Reflexiva: a ≪ a
Esto se tiene si y solo si a ∧ a = a, que es la propiedad (3 ).
• Antisimetrica: Si a ≪ b y b ≪ a entonces a = b
Si a ≪ b y b ≪ a entonces a∧b = a y b∧a = b, pero a∧b = b∧a por la propiedad
(2 ) luego a = b.
• Transitiva: Si a ≪ b y b ≪ c entonces a ≪ c
Si a ≪ b y b ≪ c entonces a ∧ b = a y b ∧ c = b. Sustituyendo, se tiene
a ∧ c = (a ∧ b) ∧ c pero (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c) por la propiedad (1 ). Ademas
a ∧ (b ∧ c) = a ∧ b y a ∧ b = a. Luego finalmente a ∧ c = a, es decir, a ≪ c.
En segundo lugar, a ∧ b es la maxima cota inferior de a y b para este orden, es decir,
x ≪ a ∧ b si y solo si x ≪ a y x ≪ b para cualquier x.
Pues supongase que x ≪ a ∧ b. Ahora (a ∧ b) ∧ a = a ∧ (b ∧ a) = a ∧ (a ∧ b) =
(a∧ a)∧ b = a∧ b, es decir, a∧ b ≪ a y por la transitividad x ≪ a. De la misma
manera a ∧ b ≪ b, ası que x ≪ b.
Ahora supongase que x ≪ a y x ≪ b, es decir, x ∧ a = x, x ∧ b = x. Entonces
x ∧ (a ∧ b) = (x ∧ a) ∧ b = x ∧ b = x, de manera que x ≪ a ∧ b.
En resumen, con la relacion ≪ definida se obtiene un semirretıculo.
No es difıcil verificar que esta correspondencia entre semirretıculos y estructuras alge-
braicas es biyectiva.
La propiedad siguiente se utilizara con frecuencia en este trabajo.
Afirmacion 1.7. En un semirretıculo se tiene:
1. Si a ≤ b entonces a ∧ c ≤ b ∧ c;
9
2. Si a ≤ b y c ≤ d entonces a ∧ c ≤ b ∧ d.
Se nota que (1 ) es un caso particular de (2 ), tomando c = d.
Demostracion.
1 ) Si a ≤ b entonces de a ∧ c ≤ a se sigue a ∧ c ≤ b por transitividad; por otro lado,
a ∧ c ≤ c. En consecuencia, a ∧ c ≤ b ∧ c.
2 ) Si a ≤ b y c ≤ d, por (i) se tiene a ∧ c ≤ b ∧ c y c ∧ b ≤ d ∧ b; por la propiedad
conmutativa la segunda desigualdad es b∧ c ≤ b∧d. Por transitividad a∧ c ≤ b∧d.
1.2 Retıculos
Definicion 1.8. En un conjunto ordenado, la mınima cota superior de dos elementos
a, b es un elemento d tal que:
i) a ≤ d;
ii) b ≤ d;
iii) Si a ≤ y y b ≤ y entonces d ≤ y.
Si tal elemento existe, es unico para a y b y por lo tanto se denota a ∨ b. En estos
terminos se tiene
a ∨ b ≤ y si y solo si a ≤ y y b ≤ y.
Graficamente:
•a ∨ b
•a • b
Definicion 1.9. Un retıculo es un conjunto ordenado en el cual cada par de elementos
tiene maxima cota inferior y mınima cota superior.
10
De esta manera, en un retıculo para cada par de elementos a, b se tiene el cuadrado
siguiente.
•a • b
•a ∧ b
•a ∨ b
Ejemplos 1.10.
• P(X) con la contenencia es un retıculo, pues
A ∧ B = A ∩ B,
A ∨ B = A ∪ B.
• Z+ con la divisibilidad es un retıculo, donde
m ∧ n = MCD(m,n),
m ∨ n = MCM(m,n).
• Todo conjunto ordenado lineal es un retıculo, con
x ∧ y = min{x, y},
x ∨ y = max{x, y}.
• El conjunto {1} ∪ {primos} ordenado por la divisibilidad es un semirretıculo (in-
ferior) que no es un retıculo. Sigue un diagrama:
•
1
•2
•3
•5
•7
•11
•13
•
. . .
11
• El conjunto de los divisores positivos de 12 con la divisiblidad es un retıculo.
•4 • 6
•2
•12
•1
• 3
• Los subgrupos del grupo producto Z2 × Z2,ordenados por la contenencia, consti-
tuyen un retıculo.
•{
(0, 0), (1, 0)}
•{
(0, 0), (1, 1)}
•{
(0, 0)}
•Z2 × Z2
•{
(0, 0), (0, 1)}
Como la de semirretıculo, la estructura de retıculo tambien se puede definir de manera
algebraica. En este caso, las operaciones son ∧ y ∨.
Afirmacion 1.11. En un retıculo, las operaciones ∧ y ∨ tienen las propiedades si-
guientes.
Asociativas: i) a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c ii) a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c
Conmutativas: iii) a ∧ b = b ∧ a iv) a ∨ b = b ∨ a
Idempotentes: v) a ∧ a = a vi) a ∨ a = a
Absorbentes: vii) a ∧ (a ∨ b) = a viii) a ∨ (a ∧ b) = a
12
Cabe anotar que las propiedades absorbentes (vii) y (viii), que relacionan las dos ope-
raciones, no equivalen a alguna propiedad distributiva. Esto se vera en detalle en el
apartado siguiente.
Demostracion.
i), iii) y v) Ya se probaron en la afirmacion 1.5.
ii), iv) y vi) Se prueban de la misma manera.
vii) Por un lado, a ∧ (a ∨ b) ≤ a pues siempre a ∧ c ≤ a; por el otro a ≤ a y a ≤ a ∨ b
luego, por definicion, a ≤ a ∧ (a ∨ b). De esta manera a ∧ (a ∨ b) = a.
viii) Por un lado a ≤ a ∨ (a ∧ b) pues siempre a ≤ a ∨ c; por el otro a ≤ a y a ∧ b ≤ a
luego a ∨ (a ∧ b) ≤ a. Ası que a ∨ (a ∧ b) = a.
Teorema 1.12. Un retıculo puede definirse como una estructura algebraica (R,∧,∨)
donde ∧, ∨ son operaciones binarias que satisfacen las condiciones de la afirmacion
1.11.
Demostracion. Por el teorema correspondiente para semirretıculos (teorema 1.6), la
relacion a ≪ b definida como a ∧ b = a es un orden y a ∧ b es la maxima cota inferior
de a y b para este orden. Por simetrıa, la relacion a ≪ b definida como a∨ b = b es un
orden y a ∨ b es la mınima cota superior de a y b para el mismo.
Ahora se verifica que estas dos relaciones son iguales. Si a ≪ b, por definicion se tiene
a ∧ b = a y entonces por la propiedad (viii) se tiene:
b = b ∨ (b ∧ a) = b ∨ (a ∧ b) = b ∨ a = a ∨ b.
Es decir, a ≪ b. Al reves, si a ≪ b entonces se tiene a ∨ b = b de donde por la
propiedad (vii) es:
a = a ∧ (a ∨ b) = a ∧ b.
De manera que a ≪ b.
Por lo tanto se tiene una sola relacion de orden, y para ella la operacion ∧ es la
maxima cota inferior y la operacion ∨ es la mınima cota superior. Es decir, se tiene un
retıculo.
La prueba del hecho siguiente es igual a la de la correspondiente afirmacion 1.7 y se
omite.
13
Afirmacion 1.13. En un retıculo se tiene:
1. Si a ≤ b entonces a ∧ c ≤ b ∧ c;
2. Si a ≤ b entonces a ∨ c ≤ b ∨ c;
3. Si a ≤ b y c ≤ d entonces a ∧ c ≤ b ∧ d;
4. Si a ≤ b y c ≤ d entonces a ∨ c ≤ b ∨ d.
Retıculos distributivos
Segun el teorema 1.12, un retıculo puede verse como una estructura algebraica con dos
operaciones binarias. En algunas estructuras como los anillos, una operacion binaria es
distributiva respecto a la otra. En los retıculos, sin embargo, en general no se cumple
ninguna de las propiedades distributivas. Sigue un ejemplo que ilustra la situacion.
Ejemplo 1.14. Se considera el retıculo dado por el diagrama siguiente.
•a • c
•0
•1
• b
Para sus elementos se observa lo siguiente:
{
a ∧ (b ∨ c) = a ∧ 1 = a
(a ∧ b) ∨ (a ∧ c) = 0 ∨ 0 = 0
Luego a ∧ (b ∨ c) 6= (a ∧ b) ∨ (a ∧ c). Por otro lado:
{
a ∨ (b ∧ c) = a ∨ 0 = a
(a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = 1 ∧ 1 = 1
Ası que tambien a ∨ (b ∧ c) 6= (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
14
Ejemplo 1.15. Ahora se considera el siguiente retıculo.
•1
•c
•
0
•b
•a
En este caso se tiene:{
a ∧ (b ∨ c) = a ∧ 1 = a
(a ∧ b) ∨ (a ∧ c) = b ∨ 0 = b
De nuevo a ∧ (b ∨ c) 6= (a ∧ b) ∨ (a ∧ c). Por otro lado:{
b ∨ (a ∧ c) = b ∨ 0 = b
(b ∨ a) ∧ (b ∨ c) = a ∧ 1 = a
De manera que b ∨ (a ∧ c) 6= (b ∨ a) ∧ (b ∨ c).
Afirmacion 1.16. En cualquier retıculo se tienen siempre las desigualdades siguientes.
a ∧ (b ∨ c) ≥ (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
a ∨ (b ∧ c) ≤ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
Demostracion. Por un lado se tiene b ≤ b ∨ c luego a ∧ b ≤ a ∧ (b ∨ c) y de la misma
manera c ≤ b∨ c luego a∧ c ≤ a∧ (b∨ c). En consecuencia (a∧ b)∨ (a∧ c) ≤ a∧ (b∨ c).
Por otra parte a ≤ a ∨ b y a ≤ a ∨ c de donde a ≤ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c), ademas b ≤ a ∨ b y
c ≤ a∨ c luego b∧ c ≤ (a∨ b)∧ (a∨ c). En conclusion a∨ (b∧ c) ≤ (a∨ b)∧ (a∨ c).
Afirmacion 1.17. En un retıculo se tiene
a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
para cada a, b, c si y solo si se cumple
a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
para cada a, b, c.
15
Demostracion.
⇒) Suponiendo la primera identidad se tiene:
(a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = ((a ∨ b) ∧ a) ∨ ((a ∨ b) ∧ c) por hipotesis;
= (a ∧ (a ∨ b)) ∨ (c ∧ (a ∨ b)) conmutativa;
= a ∨ (c ∧ (a ∨ b)) absorbente;
= a ∨ ((c ∧ a) ∨ (c ∧ b)) por hipotesis;
= (a ∨ (c ∧ a)) ∨ (c ∧ b) asociativa;
= (a ∨ (a ∧ c)) ∨ (b ∧ c) conmutativa;
= a ∨ (b ∧ c). absorbente.
⇐) Esta direccion se demuestra de la misma manera.
Definicion 1.18. Un retıculo distributivo es aquel en el cual para cada a, b, c se tiene:{
a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
En realidad, por la afirmacion 1.17 basta verificar que se cumpla una de las dos identi-
dades, pues la validez de cualquiera de ellas implica la de la otra.
Combinando esta definicion con el teorema 1.12, de inmediato se obtiene una caracte-
rizacion de los retıculos distributivos como estructuras algebraicas.
Ejemplos 1.19.
• P(X) con la contenencia es un retıculo distributivo. Esta es una propiedad ele-
mental de Teorıa de Conjuntos.
• Z+ con la divisibilidad es un retıculo distributivo. Esta es una propiedad elemental
de Teorıa de Numeros.
• Todo conjunto ordenado lineal es un retıculo distributivo. Esto se verifica con
facilidad considerando los diferentes casos posibles.
Retıculos complementados
Definicion 1.20. Un conjunto ordenado acotado es aquel que posee elemento mınimo,
denotado en general 0, y tambien elemento maximo, denotado en general 1.
16
Se nota que en un retıculo (o en un semirretıculo inferior), el maximo corresponde al
elemento neutro de la operacion ∧, ya que
a ∧ 1 = a
para cada elemento a; de la misma manera, el mınimo corresponde al elemento neutro
de la operacion ∨ pues para cada elemento a satisface
a ∨ 0 = a.
Si se combina esta caracterizacion del mınimo y el maximo con el teorema 1.12 resulta
una descripcion de los retıculos acotados como estructuras algebraicas.
Ejemplos 1.21.
• El retıculo P(X) es acotado, con mınimo ∅ y maximo X.
• Z+ con la divisibilidad tiene minimo 1 pero no tiene maximo, luego no es acotado.
• Hay conjuntos ordenados lineales no acotados como N, Q, R con el orden usual
y tambien hay acotados como el segmento real [0, 1] con el orden usual.
• Todo retıculo finito es acotado. En efecto, en cualquier retıculo todo subconjunto
finito tiene maxima cota inferior y mınima cota superior (por ejemplo, la maxima
cota inferior de {a, b, c} es el elemento a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c). Ası, en un
retıculo finito la maxima cota inferior de todo el conjunto existe y es su mınimo,
y la mınima cota superior de todo el conjunto existe y es su maximo.
Afirmacion 1.22. En un semirretıculo inferior con maximo 1 se tiene:
a ∧ b = 1 si y solo si a = 1 y b = 1.
Demostracion. Si a ∧ b = 1, como a ∧ b ≤ a se tiene 1 ≤ a pero, al ser 1 el maximo,
esto es a = 1. De la misma manera b = 1.
En el otro sentido, si a = b = 1 entonces por 1.5 se tiene a ∧ b = 1 ∧ 1 = 1.
Definicion 1.23. En un retıculo acotado, un complemento de un elemento a es un
elemento c que cumple las dos condiciones:{
a ∧ c = 0
a ∨ c = 1
17
Ejemplos 1.24.
• En el retıculo P(X), un complemento de A ⊆ X es su complemento conjuntista
Ac = X − A porque:
A ∧ Ac = A ∩ Ac = ∅ = mınimo,
A ∨ Ac = A ∪ Ac = X = maximo.
• En cualquier retıculo acotado, 1 es complemento de 0 y viceversa, pues:
0 ∧ 1 = 0
0 ∨ 1 = 1
• En el segmento real [0, 1] con el orden usual, los unicos elementos que tienen
complemento son 0 y 1. Pues sea a ∈ (0, 1) y sea c ∈ [0, 1] cualquiera. Si a ≤ c
entonces a ∧ c = a 6= 0; en cambio si a ≥ c entonces a ∨ c = a 6= 1. En ningun
caso se pueden cumplir las dos condiciones, luego a no tiene complemento.
• En el retıculo siguiente todos los elementos tienen complemento.
•a • c
•0
•1
• b
En efecto:
– b, c son complementos de a;
– a, c son complementos de b;
– a, b son complementos de c;
– 1 es complemento de 0;
– 0 es complemento de 1.
18
• En el retıculo siguiente no todos los elementos tienen complemento.
•a • b
•c
•1
•0
• d
En efecto:
– d es complemento de a;
– a es complemento de d;
– 1 es complemento de 0;
– 0 es complemento de 1.
Sin embargo los elementos b y c no tienen complemento. Por ejemplo, los unicos
elementos x con b ∨ x = 1 son x = a y x = 1, pero b ∧ a = c 6= 0 y b ∧ 1 = b 6= 0.
Afirmacion 1.25. En un retıculo distributivo, si algun elemento tiene complemento
entonces este complemento es unico para ese elemento.
Demostracion. Supongase que c, d son complementos de un elemento a en un retıculo
distributivo. Entonces a ∧ c = 0 y a ∨ d = 1, de donde
c = c ∧ 1 = c ∧ (a ∨ d) = (c ∧ a) ∨ (c ∧ d) = 0 ∨ (c ∧ d) = c ∧ d ≤ d
ası que c ≤ d. Por otro lado a ∧ d = 0 y a ∨ c = 1, luego
d = d ∧ 1 = d ∧ (a ∨ c) = (d ∧ a) ∨ (d ∧ c) = 0 ∨ (d ∧ c) = d ∧ c ≤ c
por lo cual d ≤ c. En consecuencia, c = d y el complemento de a es unico.
Definicion 1.26. Un retıculo complementado es un retıculo acotado en el cual cada
elemento tiene algun complemento.
19
Ejemplos 1.27.
• P(X) es un retıculo complementado.
• El siguiente retıculo finito es complementado:
•a • c
•0
•1
• b
1.3 Algebras booleanas
Como todas las estructuras matematicas, las algebras booleanas se pueden definir de
diversas maneras. De hecho, en el proximo capıtulo de este trabajo se proponen al-
gunas definiciones novedosas. Para comenzar, se toma como referencia una definicion
geometrica en la cual el algebra booleana es un retıculo especial.
Definicion 1.28. Un algebra booleana es un retıculo distributivo complementado.
La afirmacion 1.25 tiene la consecuencia siguiente en el caso de estas estructuras.
Corolario 1.29. En un algebra booleana, cada elemento tiene un unico complemento.
Este caracter unico permite una nomenclatura especial.
Notacion 1.30. En general, el complemento de un elemento a de un algebra booleana
se denota a′.
Ası, dado un elemento a, por definicion a′ es el unico elemento tal que:{
a ∧ a′ = 0
a ∨ a′ = 1
Ejemplo 1.31. P(X) con la relacion de contenencia es un algebra booleana. El
complemento algebraico de un subconjunto A ⊆ X es su complemento conjuntista
A′ = Ac = X − A.
20
Teorema 1.32. Un algebra booleana puede definirse como una estructura algebraica
(B,∧,∨,′ , 0, 1) que satisface las condiciones siguientes.
Asociativas: i) a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c ii) a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c
Conmutativas: iii) a ∧ b = b ∧ a iv) a ∨ b = b ∨ a
Idempotentes: v) a ∧ a = a vi) a ∨ a = a
Absorbentes: vii) a ∧ (a ∨ b) = a viii) a ∨ (a ∧ b) = a
Distributivas: ix) a ∧ (b ∨ c)=(a ∧ b) ∨ (a ∧ c) x) a ∨ (b ∧ c)=(a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
Neutros: xi) a ∧ 1 = a xii) a ∨ 0 = a
Complementos: xiii) a ∧ a′ = 0 xiv) a ∨ a′ = 1
Demostracion. Por el teorema 1.11, las propiedades (i) hasta (viii) corresponden a un
retıculo; las propiedades anadidas (ix ) y (x ) determinan un retıculo distributivo; las
propiedades (xi) y (xii) describen el mınimo y el maximo; por fin, la conjuncion con las
propiedades (xiii) y (xiv) corresponden a un retıculo distributivo complementado.
Siguen algunas propiedades algebraicas en esta estructura, que seran significativas mas
adelante.
Afirmacion 1.33. En un algebra booleana se cumple:
1. a′′ = a;
2. a = 0 si y solo si a′ = 1;
3. a = 1 si y solo si a′ = 0;
4. a ≤ b′ si y solo si a ∧ b = 0;
5. Si a ≤ b entonces b′ ≤ a′;
6. a ≤ b si y solo si b′ ≤ a′;
7. a ≤ b′ si y solo si b ≤ a′;
8. a′ ≤ b si y solo si b′ ≤ a;
9. (a ∧ b)′ = a′ ∨ b′;
21
10. (a ∨ b)′ = a′ ∧ b′;
11. a ≤ b si y solo si a′ ∨ b = 1;
12. a ∧ b′ = a ∧ (a ∧ b)′.
Las propiedades (9) y (10) reciben el nombre de leyes de De Morgan, en honor al logico
y matematico britanico Augustus De Morgan (1806–1871). Por otra parte, la propiedad
(12) es iterativa en la medida en que el elemento a se itera o repite dentro del alcance
de la operacion ′ de complemento.
Demostracion.
1 ) Por definicion, a′′ es el complemento de a. Por otro lado, las identidades que definen
el complemento de a se pueden escribir como sigue.
a′ ∧ a = 0 a′ ∨ a = 1
Esto significa que a es un complemento de a′. Puesto que el complemento de a′ es unico
(afirmacion 1.25), se obtiene a′′ = a.
2 ) Si a = 0 entonces a′ = 0′ = 1; si a′ = 1 entonces por (1) se tiene a = a′′ = 1′ = 0.
3 ) Si a = 1 entonces a′ = 1′ = 0; si a′ = 0 entonces por (1) se tiene a = a′′ = 0′ = 1.
4 ) Si a ≤ b′ entonces a∧ b ≤ b′∧ b = 0 luego a∧ b = 0. En sentido contrario, si a∧ b = 0
entonces
a = a ∧ 1 = a ∧ (b ∨ b′) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ b′) = 0 ∨ (a ∧ b′) = a ∧ b′
de donde a = a ∧ b′ ≤ b′.
5 ) Si a ≤ b entonces b′ ∧ a ≤ b′ ∧ b = 0, luego b′ ∧ a = 0 y por (4) se sigue b′ ≤ a′.
6 ) Una direccion es (5). En el otro sentido, si b′ ≤ a′ entonces por (5) se tiene a′′ ≤ b′′
lo cual por (1) equivale a a ≤ b.
7 ) Por (6) se tiene a ≤ b′ si y solo si b′′ ≤ a′, lo cual por (1) equivale a b ≤ a′.
8 ) Por (6) se tiene a′ ≤ b si y solo si b′ ≤ a′′, lo cual por (1) equivale a b′ ≤ a.
9 ) Esta identidad y la siguiente se pueden demostrar utilizando la unicidad del comple-
mento (vease [13]). Otro camino es utilizar las propiedades (7) y (8) y las definiciones
de maxima cota inferior y mınima cota superior, como se muestra a continuacion.
22
Para cualquier elemento y se tiene
(a ∧ b)′ ≤ y si y solo si y′ ≤ a ∧ b
si y solo si y′ ≤ a y y′ ≤ b
si y solo si a′ ≤ y y b′ ≤ y
si y solo si a′ ∨ b′ ≤ y
luego, como en la prueba de la afirmacion 1.5, esto implica (a ∧ b)′ = a′ ∨ b′.
10 ) Para cualquier elemento x se tiene
x ≤ (a ∨ b)′ si y solo si a ∨ b ≤ x′
si y solo si a ≤ x′ y b ≤ x′
si y solo si x ≤ a′ y x ≤ b′
si y solo si x ≤ a′ ∧ b′
de donde (a ∨ b)′ = a′ ∧ b′.
11 ) Aplicando las propiedades probadas se tiene:
a ≤ b si y solo si a ≤ b′′ por (1);
si y solo si a ∧ b′ = 0 por (4);
si y solo si (a ∧ b′)′ = 1 por (2);
si y solo si a′ ∨ b′′ = 1 por (9);
si y solo si a′ ∨ b = 1 por (1).
12 ) Basta observar que
a ∧ (a ∧ b)′ = a ∧ (a′ ∨ b′) = (a ∧ a′) ∨ (a ∧ b′) = 0 ∨ (a ∧ b′) = a ∧ b′
donde se aplica la ley de De Morgan (9) en la primera igualdad.
1.4 Algebras de Heyting
La estructura que se estudia en seguida es una generalizacion de las algebras booleanas.
Ası como aquellas corresponden de cierta manera a la logica proposicional clasica o
bivalente, las algebras de Heyting constituyen un modelo para la logica proposicional
intuicionista. Para mas detalles, vease la monografıa [10].
23
Definicion 1.34. Un algebra de Heyting es un retıculo con mınimo 0 y una operacion
binaria → que satisface:
a ≤ b → c si y solo si a ∧ b ≤ c
para cada a, b, c del conjunto.
Nota 1.35. Por la propiedad conmutativa de la operacion ∧, es evidente que en un
algebra de Heyting tambien se tiene
a ≤ b → c si y solo si b ∧ a ≤ c.
Ejemplos 1.36.
• Sea T cualquier conjunto ordenado lineal (o total) con mınimo 0 y maximo 1.
como se observo en los ejemplos 1.10, esto determina un retıculo con a ∧ b =
min{a, b} y a ∨ b = max{a, b}. En T se define la operacion → como sigue:
a → b =
1 si a ≤ b
b si a > b
Con esto se tiene un algebra de Heyting.
Pues cuando a ≤ b, como x∧ a ≤ a se tiene x∧ a ≤ b para cualquier x ∈ T , y ası
es necesario definir a → b = 1 para que x ≤ a → b para cada x ∈ T ; y cuando
a > b, para x > b se tiene x ∧ a > b luego en este caso x ∧ a ≤ b si y solo si x ≤ b
de donde es necesario definir a → b = b.
• Como un caso particular del anterior se tiene el algebra de Heyting con tres ele-
mentos, la operacion → esta dada por la tabla adjunta.
•1
•a
•0
→ 0 a 1
0 1 1 1
a 0 1 1
1 0 a 1
Se nota que este retıculo no es un algebra booleana pues, como se indico en el
ejemplo 1.24, no es complementado.
24
• Toda algebra booleana es un algebra de Heyting. Basta definir la operacion como
a → b = a′ ∨ b.
En efecto, si x ≤ a′ ∨ b entonces
x ∧ a ≤ (a′ ∨ b) ∧ a = (a′ ∧ a) ∨ (b ∧ a) = 0 ∨ (b ∧ a) = b ∧ a ≤ b;
al reves, si x ∧ a ≤ b entonces
x = x ∧ 1 = x ∧ (a′ ∨ a) = (x ∧ a′) ∨ (x ∧ a) ≤ a′ ∨ b.
• Si X es un espacio topologico entonces el conjunto Ab(X) de todos los subcon-
juntos abiertos de X, ordenados por la contenencia, constituyen un algebra de
Heyting. Pues evidentemente este es un retıculo con la interseccion y la union, el
mınimo es ∅ y la operacion → se define como sigue.
A → B = (Ac ∪ B)◦ = Ext(A− B)
Pues para un abierto arbitrario U de X se tiene U ⊆ A → B si y solo si U ⊆
(Ac ∪B)◦, si y solo si U ⊆ Ac ∪B pues U es abierto, si y solo si U ∩A ⊆ B como
en el ejemplo anterior pues P(X) es un algebra booleana.
Segun estos ejemplos, la relacion entre las algebras booleanas y las algebras de Heyting
se puede ilustrar mediante el siguiente diagrama de Venn.
algebras booleanas•
•••
algebras de Heyting
•••
Afirmacion 1.37. Toda algebra de Heyting es un retıculo distributivo.
25
Demostracion. Se tiene a∧b ≤ (a∧b)∨(a∧c) y de igual manera a∧c ≤ (a∧b)∨(a∧c).
Por las propiedades de algebra de Heyting (ver nota 1.35), estas desigualdades equivalen
a las siguientes:
b ≤ a → ((a ∧ b) ∨ (a ∧ c))
c ≤ a → ((a ∧ b) ∨ (a ∧ c))
Pero entonces b∨ c ≤ a → ((a∧ b)∨ (a∧ c)) y de nuevo por la definicion de algebra de
Heyting resulta
a ∧ (b ∨ c) ≤ (a ∧ b) ∨ (a ∧ c).
Por 1.16 y 1.17, esta desigualdad garantiza que el retıculo es distributivo.
Afirmacion 1.38. En un algebra de Heyting se tiene:
1. a ≤ b → a;
2. a ∧ (a → b) ≤ b;
3. a ∧ (a → b) = a ∧ b;
4. a → (b → c) ≤ (a → b) → (a → c);
5. Si a ≤ b entonces b → c ≤ a → c;
6. Si a ≤ b entonces c → a ≤ c → b;
7. a → b = a → (a ∧ b);
8. a ∧ (b → c) = a ∧ ((a ∧ b) → c);
9. (a ∨ b) → c = (a → c) ∧ (b → c).
Demostracion.
1 ) Como a ∧ b ≤ a, por la definicion se sigue a ≤ b → a.
2 ) Como a → b ≤ a → b, por la nota 1.35 se tiene a ∧ (a → b) ≤ b.
3 ) Por un lado, como a ∧ (a → b) ≤ a y ademas a ∧ (a → b) ≤ b por (2), se tiene
a ∧ (a → b) ≤ a ∧ b; por otra parte, a ∧ b ≤ a y ademas a ∧ b ≤ b y por (1) se tiene
b ≤ a → b de donde a ∧ b ≤ a → b, y en consecuencia a ∧ b ≤ a ∧ (a → b).
26
4 ) Aplicando algunas propiedades de semirretıculos y luego la propiedad (2) se tiene:
a ∧ (a → b) ∧ (a → (b → c)) =[
a ∧ (a → b)]
∧[
a ∧ (a → (b → c))]
≤ b ∧ (b → c)
≤ c
Luego por la nota 1.35 se sigue (a → b) ∧ (a → (b → c)) ≤ a → c y, por lo tanto,
tambien a → (b → c) ≤ (a → b) → (a → c).
5 ) Si a ≤ b entonces a ∧ (b → c) ≤ b ∧ (b → c); por (2) se tiene b ∧ (b → c) ≤ c y ası
a ∧ (b → c) ≤ c, de donde por la definicion b → c ≤ a → c.
6 ) Por (2) se tiene c ∧ (c → a) ≤ a. Si a ≤ b entonces c ∧ (c → a) ≤ b de donde, por la
definicion, c → a ≤ c → b.
7 ) Como a ∧ (a → b) ≤ a ∧ b por (3), se tiene a → b ≤ a → (a ∧ b) por la definicion;
por otro lado, como a ∧ b ≤ b, por (6) resulta a → (a ∧ b) ≤ a → b.
8 ) Puesto que a ∧ b ≤ b, por (5) es b → c ≤ (a ∧ b) → c de donde a ∧ (b → c) ≤
a∧ ((a∧ b) → c). En el otro sentido, claramente a∧ ((a∧ b) → c) ≤ a y ademas por (2)
se tiene (a∧ ((a∧ b) → c))∧ b = (a∧ b)∧ ((a∧ b) → c) ≤ c de donde, por la definicion,
a ∧ ((a ∧ b) → c) ≤ b → c. Ası que a ∧ ((a ∧ b) → c) ≤ a ∧ (b → c).
9 ) Como a ≤ a ∨ b, por (5) se tiene (a ∨ b) → c ≤ a → c; de la misma manera
(a ∨ b) → c ≤ b → c y por lo tanto (a ∨ b) → c ≤ (a → c) ∧ (b → c). En el otro
sentido, por (2) se tiene a∧ (a → c)∧ (b → c) ≤ a∧ (a → c) ≤ c y de la misma manera
b ∧ (a → c) ∧ (b → c) ≤ b ∧ (b → c) ≤ c, ası que
(a ∨ b) ∧ (a → c) ∧ (b → c) =(
a ∧ (a → c) ∧ (b → c))
∨(
b ∧ (a → c) ∧ (b → c))
≤ c
de donde, por la definicion, (a → c) ∧ (b → c) ≤ (a ∨ b) → c.
Afirmacion 1.39. Toda algebra de Heyting posee elemento maximo.
Demostracion. Sea a un elemento dado del algebra de Heyting (por ejemplo, el mınimo)
y se considera el elemento a → a. Para cualquier elemento x se tiene x ∧ a ≤ a luego,
por definicion, x ≤ a → a. Como x es arbitrario, a → a es el maximo.
Como en el capıtulo anterior, en adelante el elemento maximo se denota 1. En estos
terminos, la siguiente propiedad (2) generaliza el numeral (11) de la afirmacion 1.33,
de algebras booleanas a algebras de Heyting.
27
Afirmacion 1.40. En un algebra de Heyting se tiene:
1. 1 → a = a;
2. a ≤ b si y solo si a → b = 1.
Demostracion.
1 ) Por (3) de la afirmacion 1.38 se tiene 1 → a = 1 ∧ (1 → a) = 1 ∧ a = a.
2 ) Si a ≤ b entonces para cualquier elemento x se tiene x ∧ a ≤ a ≤ b de donde, por
definicion, x ≤ a → b. Como x es arbitrario, a → b es el elemento maximo, es decir,
a → b = 1.
En el otro sentido, si a → b = 1 entonces por (2) de la afirmacion 1.38 resulta a =
a ∧ 1 = a ∧ (a → b) ≤ b, ası que a ≤ b.
Como se observo en los ejemplos, un algebra de Heyting en general no es un retıculo
complementado. Sin embargo, en esta estructura se define una operacion similar al
complemento y que comparte algunas propiedades con ella.
Definicion 1.41. En un algebra de Heyting, el seudocomplemento de un elemento a,
denotado ¬a, se define como sigue.
¬a = a → 0
A continuacion se establecen algunas propiedades del seudocomplemento, que con-
trastan con los de la afirmacion 1.33.
Afirmacion 1.42. En un algebra de Heyting se cumple:
1. a ∧ ¬a = 0;
2. a ∨ ¬a ≤ 1, pero no siempre se tiene la igualdad;
3. a ≤ ¬¬a, pero no siempre se tiene la igualdad;
4. a ≤ ¬b si y solo si a ∧ b = 0;
5. Si a ≤ b entonces ¬b ≤ ¬a, pero no siempre vale la recıproca;
6. a ≤ ¬b si y solo si b ≤ ¬a;
28
7. ¬a ≤ b no siempre implica ¬b ≤ a;
8. ¬(a ∧ b) ≥ ¬a ∨ ¬b, pero no siempre se tiene la igualdad.
9. ¬(a ∨ b) = ¬a ∧ ¬b;
10. a ∧ ¬b = a ∧ ¬(a ∧ b).
Demostracion.
1 ) Por (3) de la afirmacion 1.38 se tiene a ∧ (a → 0) = a ∧ 0 = 0. Por definicion esto
significa a ∧ ¬a = 0.
2 ) Como 1 es el elemento maximo se tiene a∨ ¬a ≤ 1. En el algebra de Heyting lineal
con tres elementos 0 < a < 1 (veanse los ejemplos 1.36) se tiene ¬a = a → 0 = 0, luego
allı a ∨ ¬a = a ∨ 0 = a y como a 6= 1, en general es a ∨ ¬a 6= 1.
3 ) Por la propiedad (1) se tiene a ∧ ¬a ≤ 0, luego a ≤ ¬a → 0 es decir, a ≤ ¬¬a. Por
otra parte, de nuevo en el algebra de Heyting lineal con tres elementos 0 < a < 1 se
tiene ¬¬a = (a → 0) → 0 = 0 → 0 = 1 y a 6= 1 = ¬¬a. Ası, en general, ¬¬a 6= a.
4 ) Por definicion a ≤ ¬b si y solo si a ≤ b → 0, si y solo si a ∧ b ≤ 0. Pero como 0 es
el elemento mınimo, a ∧ b ≤ 0 si y solo si a ∧ b = 0.
5 ) Por (5) de 1.38, a ≤ b implica b → 0 ≤ a → 0, es decir, ¬b ≤ ¬a. En el algebra
de Heyting lineal con tres elementos 0 < a < 1 se tiene ¬a ≤ ¬1 (pues ¬a = ¬1 = 0),
pero 1 � a. Ası que no siempre se tiene la recıproca.
6 ) Por (4) se tiene a ≤ ¬b si y solo si a∧ b = 0, si y solo si b∧ a = 0, si y solo si b ≤ ¬a
de nuevo por la misma propiedad (4).
7 ) Una vez mas, en el algebra de Heyting lineal con tres elementos 0 < a < 1 se tiene
¬a ≤ 0 (pues ¬a = 0) pero ¬0 � a (pues ¬0 = 1).
8 ) Por (3) se tiene a∧ b ≤ a ≤ ¬¬a luego por (6) se tiene ¬a ≤ ¬(a∧ b). De la misma
manera se obtiene ¬b ≤ ¬(a ∧ b), y ası ¬a ∨ ¬b ≤ ¬(a ∧ b).
Para mostrar que no siempre se tiene la igualdad se considera la siguiente algebra de
29
Heyting, a la derecha se muestra la tabla del seudocomplemento.
•a • b
•0
• c
•1
x ¬x
a b
b a
c 0
0 1
1 0
Este retıculo es un algebra de Heyting porque corresponde a los abiertos de un espacio
topologico, por ejemplo la recta real R con la topologıa τ = {∅, [0, 1], (1, 2], [0, 2],R}.
Ahora
¬a ∨ ¬b = b ∨ a = c 6= 1
¬(a ∧ b) = ¬0 = 1
luego ¬a ∨ ¬b 6= ¬(a ∧ b).
9 ) Esto es consecuencia directa de (9) de la afirmacion 1.38, pues
¬(a ∨ b) = (a ∨ b) → 0 = (a → 0) ∧ (b → 0) = ¬a ∧ ¬b.
10 ) De igual manera, esto es consecuencia de (8) de la afirmacion 1.38 ya que
a ∧ ¬b = a ∧ (b → 0) = a ∧ ((a ∧ b) → 0) = a ∧ ¬(a ∧ b).
1.5 Algebras de Hilbert
Siguiendo la escala de generalizacion, las algebras de Hilbert son estructuras que corres-
ponden a la logica implicativa [5].
Definicion 1.43. Un algebra de Hilbert es una estructura algebraica que consiste en
un conjunto no vacıo I junto con una operacion binaria → y un elemento constante 1
que satisface:
i) a → (b → a) = 1;
30
ii) (a → (b → c)) → ((a → b) → (a → c)) = 1;
iii) a → 1 = 1;
iv) Si a → b = 1 y b → a = 1 entonces a = b.
Si la igualdad con el maximo 1 se interpreta como “lo verdadero”, entonces la propiedad
siguiente corresponde a la regla Modus Ponens.
Afirmacion 1.44. En un algebra de Hilbert, si a → b = 1 y a = 1 entonces tambien
b = 1.
Demostracion. Reemplazando a = 1 en a → b = 1 resulta 1 → b = 1; por otro lado,
b → 1 = 1 por (iii) de la definicion. Luego por (iv) de la misma definicion, de b → 1 = 1
y 1 → b = 1 se tiene b = 1.
Aunque las algebras de Hilbert en principio no se definen como estructuras ordenadas,
en cualquiera de ellas se tiene una relacion de orden natural.
Definicion 1.45. En un algebra de Hilbert, se define la relacion ≤ como sigue.
a ≤ b si a → b = 1
Afirmacion 1.46. La relacion ≤ definida arriba es de orden en el algebra de Hilbert,
y ademas 1 es el maximo para este orden.
Demostracion.
Reflexiva. Por (ii) de la definicion se tiene
(a → (1 → a)) → ((a → 1) → (a → a)) = 1
y por (i) es a → (1 → a) = 1, luego por la afirmacion 1.44 resulta
(a → 1) → (a → a) = 1.
Ahora por (iii) de la definicion se tiene a → 1 = 1, luego de nuevo por la afirmacion
1.44 resulta a → a = 1, es decir, a ≤ a.
Antisimetrica. Dados elementos a, b tales que a ≤ b y b ≤ a, esto significa a → b = 1 y
b → a = 1. Entonces por (iv) de la definicion resulta a = b.
31
Transitiva. Sean a, b, c tales que a ≤ b y b ≤ c, esto es, a → b = 1 y b → c = 1. Por
(ii) de la definicion se tiene
(a → (b → c)) → ((a → b) → (a → c)) = 1
y por (iii) es a → (b → c) = a → 1 = 1, luego por la afirmacion 1.44 resulta
(a → b) → (a → c).
De nuevo por la misma afirmacion, esta igualdad junto con a → b = 1 implica a → c =
1, es decir, a ≤ c.
Maximo. Por (iii) de la definicion se tiene a → 1 = 1, es decir, a ≤ 1 para cualquier a.
Por lo tanto, 1 es el elemento maximo.
La consecuencia que sigue es inmediata y resulta util mas adelante.
Corolario 1.47. En terminos de la relacion de orden ≤, los axiomas de algebra de
Hilbert se pueden expresar como sigue
i’) a ≤ b → a;
ii’) a → (b → c) ≤ (a → b) → (a → c);
iii’) a ≤ 1;
iv’) Si a ≤ b y b ≤ a entonces a = b.
Ejemplos 1.48.
• Todo conjunto ordenado con maximo 1 es un algebra de Hilbert, definiendo la
operacion → como sigue.
a → b =
1 si a ≤ b
b en caso contrario
Se nota que en esta definicion se cumple a ≤ b si y solo si a → b = 1. Luego el
orden inducido por la operacion es el mismo que posee originalmente el conjunto
ordenado.
Basta verificar las cuatro propiedades del corolario 1.47.
32
i’ ) Pues b → a = 1 o b → a = a, y en ambos casos a ≤ b → a.
ii’ ) Se nota que a → (b → c) = c o bien a → (b → c) = 1, y de la misma manera
(a → b) → (a → c) = c o bien (a → b) → (a → c) = 1. Por lo tanto, el
unico caso en el cual podrıa fallar esta propiedad (ii’ ) es si a → (b → c) = 1
y (a → b) → (a → c) = c. Por ello, a continuacion se demuestra que
a → (b → c) = 1 implica (a → b) → (a → c) = 1, con lo cual se garantiza la
condicion.
Si a → (b → c) = 1 entonces a ≤ b → c y se consideran dos posibilidades,
dadas por el elemento b → c.
– Si b → c = 1 entonces b ≤ c de donde a → b ≤ a → c. En efecto:
si a → b = b entonces como b ≤ c y c ≤ a → c por (i’ ), luego por
transitividad a → b ≤ a → c; y si a → b = 1 entonces a ≤ b y de b ≤ c
se sigue a ≤ c, es decir, a → c = 1 que es el maximo, luego tambien
a → b ≤ a → c. En consecuencia (a → b) → (a → c) = 1.
– Si b → c = c entonces a ≤ c, de donde a → c = 1 que es el maximo
luego de nuevo a → b ≤ a → c, es decir, (a → b) → (a → c) = 1.
iii’ ) Evidente pues 1 es el elemento maximo.
iv’ ) Evidente pues la relacion de orden ≤ es antisimetrica.
• Como caso particular, cualquier conjunto ordenado lineal con maximo 1 es un
algebra de Hilbert, definiendo la operacion → como sigue.
a → b =
1 si a ≤ b
b si a > b
• Toda algebra de Heyting es un algebra de Hilbert.
De nuevo, se verifican las condiciones del corolario 1.47. Las primeras dos son
(1) y (4) de la afirmacion 1.38. Las otras dos son evidentes pues el algebra de
Heyting es un conjunto ordenado con maximo 1.
Los ejemplos anteriores tambien ilustran el hecho de que no toda algebra de Hilbert es un
algebra de Heyting. Como un contraejemplo, basta tomar un conjunto ordenado lineal
con maximo y sin mınimo. Pero otro contraejemplo para esta situacion es cualquier
retıculo con maximo que no es distributivo. En efecto, segun la afirmacion 1.37 toda
33
algebra de Heyting es un retıculo distributivo, y se acaba de mostrar que todo retıculo
con maximo es, en particular, un algebra de Hilbert. Ası, por ejemplo, el retıculo del
ejemplo 1.14 es otra algebra de Hilbert que no es de Heyting.
La relacion entre las algebras booleanas, las de Heyting y las de Hilbert se puede ilustrar
mediante el siguiente diagrama de Venn.
algebras booleanas•
•••
algebras de Heyting
•••
algebras de Hilbert
•
•
•
••
La afirmacion 1.44 se puede generalizar como sigue.
Afirmacion 1.49. En un algebra de Hilbert, si x ≤ a → b y x ≤ a entonces x ≤ b.
Demostracion. Por (ii) de la definicion se tiene
(x → (a → b)) → ((x → a) → (x → b)) = 1.
Ahora la hipotesis x ≤ a → b significa x → (a → b) = 1 luego por la afirmacion 1.44
resulta
(x → a) → (x → b) = 1.
De nuevo, la hipotesis x ≤ a significa x → a = 1 luego por 1.44 se obtiene x → b = 1,
es decir, x ≤ b.
Siguen algunas propiedades adicionales
Afirmacion 1.50. En un algebra de Hilbert se cumple:
1. 1 → a = a;
2. Si a ≤ b entonces b → c ≤ a → c;
34
3. Si a ≤ b entonces c → a ≤ c → b;
4. a → (b → c) = b → (a → c);
5. a → b = a → (a → b)
Demostracion.
1 ) Por (ii) de la definicion se tiene
((1 → a) → (1 → a)) → (((1 → a) → 1) → ((1 → a) → a)) = 1
y por la propiedad reflexiva es (1 → a) → (1 → a) = 1, luego por la afirmacion 1.44 se
obtiene
((1 → a) → 1) → ((1 → a) → a) = 1.
Ahora (1 → a) → 1 = 1 por (iii) de la definicion, luego aplicando de nuevo la afirmacion
resulta (1 → a) → a = 1, es decir, 1 → a ≤ a. Como tambien a ≤ 1 → a por (i’ ) del
corolario 1.47, al final queda 1 → a = a.
2 ) Por (i’ ) es b → c ≤ a → (b → c) y por (ii’ ) es a → (b → c) ≤ (a → b) → (a → c)
luego, por transitividad, b → c ≤ (a → b) → (a → c). Pero si a ≤ b, se tiene a → b = 1
luego por (1) de esta afirmacion se recibe
(a → b) → (a → c) = 1 → (a → c) = a → c.
Ası que b → c ≤ a → c.
3 ) Por (ii) de la definicion se tiene
(c → (a → b)) → ((c → a) → (c → b)) = 1.
Pero a ≤ b luego a → b = 1 de donde c ≤ a → b, es decir, c → (a → b) = 1. Luego por
la afirmacion 1.44 resulta
(c → a) → (c → b) = 1,
es decir, c → a ≤ c → b.
4 ) Por (i’ ) se tiene b ≤ a → b luego aplicando (2) de esta afirmacion resulta
(a → b) → (a → c) ≤ b → (a → c).
35
Pero por (ii’ ) es a → (b → c) ≤ (a → b) → (a → c) luego por transitividad se obtiene
a → (b → c) ≤ b → (a → c). Por simetrıa tambien b → (a → c) ≤ a → (b → c) de
donde resulta la igualdad.
5 ) Por (ii’ ) se tiene a → (a → b) ≤ (a → a) → (a → b), pero por la propiedad reflexiva
a → a = 1 y por (1 ) de esta afirmacion se tiene
(a → a) → (a → b) = 1 → (a → b) = a → b,
ası que a → (a → b) ≤ a → b. Por otro lado, por (i’ ) es a → b ≤ a → (a → b), y de
esta manera resulta la igualdad.
1.6 Semirretıculos de Hilbert
Toda algebra de Hilbert es un conjunto ordenado, y cualquier conjunto ordenado puede
ser o no un semirretıculo. Si cierta algebra de Hilbert es un semirretıculo para el orden
inducido, se cumplen las propiedades siguientes.
Afirmacion 1.51. Sea H un algebra de Hilbert en la cual, respecto al orden inducido,
cada par de elementos a, b posee maxima cota inferior a ∧ b. En tales condiciones:
1. Si a ≤ b → c entonces a ∧ b ≤ c;
2. a ∧ (a → b) = a ∧ b.
Demostracion.
1 ) Como a∧b ≤ a, la hipotesis a ≤ b → c implica a∧b ≤ b → c; por otro lado a∧b ≤ b.
Luego por la afirmacion 1.49 se tiene a ∧ b ≤ c.
2 ) Se tiene a∧(a → b) ≤ a y a∧(a → b) ≤ a → b, luego de nuevo por la afirmacion 1.49
es a ∧ (a → b) ≤ b. Esto junto con la primera desigualdad implica a ∧ (a → b) ≤ a ∧ b.
En el otro sentido, por (i’ ) de 1.47 se tiene b ≤ a → b, luego a ∧ b ≤ a ∧ (a → b).
Cabe resaltar que la implicacion recıproca del numeral (1 ) de esta afirmacion no se
cumple en todas las algebras de Hilbert que son semirretıculos.
36
Ejemplo 1.52. En el retıculo siguiente, considerado como algebra de Hilbert segun se
explico en 1.48, se tiene a ∧ b ≤ c pero b → c = c porque b � c. De donde a � b → c.
•a • c
•0
•1
• b
Definicion 1.53. Un semirretıculo de Hilbert es un algebra de Hilbert en la cual, para
el orden inducido, cada par de elementos posee maxima cota inferior y que ademas
satisface las condiciones siguientes.
i) a ≤ b → c si y solo si a ∧ b ≤ c;
ii) (a ∧ b) → c = a → (b → c);
iii) a → (b ∧ c) = (a → b) ∧ (a → c);
iv) a → b = a → (a ∧ b).
En realidad, estas cuatro condiciones son equivalentes entre sı, tal como sucede, por
ejemplo, con la definicion de retıculo distributivo (1.18). Para una demostracion deta-
llada de este hecho puede consultarse el trabajo de grado [5] o el artıculo [6]. En
estos escritos tambien se muestra, con toda claridad, que los semirretıculos de Hilbert
corresponden al segmento de la logica intuicionista determinado por la conjuncion y la
implicacion, segmento llamado allı logica implicativa con conjuncion.
Ejemplos 1.54.
• Toda algebra de Heyting es un semirretıculo de Hilbert.
En efecto, segun 1.48 se trata de un algebra de Hilbert. Como el orden inducido
corresponde al orden original, tambien es un semirretıculo y ademas satisface (i)
de 1.53 por la definicion de algebra de Heyting.
37
• Todo conjunto ordenado lineal con maximo es un semirrretıculo de Hilbert.
Pues es un algebra de Hilbert cuyo orden inducido coincide con el original (1.48).
Para este orden es un semirretıculo (1.4), y ademas satisface la condicion (i) de
1.53. En efecto, si a ∧ b ≤ c se consideran dos casos: cuando b ≤ c entonces
b → c = 1 y evidentemente a ≤ b → c; cuando b > c entonces b → c = c y si fuera
a > c entonces (por ser un orden lineal) tambien a ∧ b > c, lo cual es absurdo ası
que de nuevo a ≤ b → c.
Afirmacion 1.55. En un semirretıculo de Hilbert se cumple la igualdad siguiente.
a ∧ (b → c) = a ∧ ((a ∧ b) → c)
Demostracion. Por (ii) de la definicion 1.53 se tiene (a ∧ b) → c = a → (b → c), luego
tambien a ∧ ((a ∧ b) → c) = a ∧ (a → (b → c)). Ahora por el numeral (ii) de la
afirmacion 1.51 es a ∧ (a → (b → c)) = a ∧ (b → c).
Ahora bien, puede demostrarse que en la definicion 1.53 las condiciones que definen el
algebra de Hilbert (o las condiciones (i’ ) hasta (iv’ ) de la definicion 1.47) son conse-
cuencias de la equivalencia exigida. Es decir, basta pedir que el semirretıculo tenga una
operacion → que satisfaga la equivalencia (i).
Teorema 1.56. Un semirretıculo de Hilbert puede definirse como un semirretıculo
(S,∧) con una operacion binaria → que satisface:
a ≤ b → c si y solo si a ∧ b ≤ c.
La demostracion es similar a la prueba de que toda algebra de Heyting es un algebra
de Hilbert. Para mayores detalles, se puede consultar el trabajo [5] o el artıculo [6].
El hecho siguiente, aunque obvio, parece no haber sido senalado antes en la literatura
matematica.
Corolario 1.57. Un algebra de Heyting puede definirse como un semirretıculo de
Hilbert que, respecto al orden, tambien es un retıculo y ademas posee mınimo.
38
En el siguiente diagrama de Venn se ilustran las relaciones de contenencia que existen
entre las principales estructuras estudiadas en este capıtulo.
algebras booleanas•
•••
algebras de Heyting
•••
semirretıculos de Hilbert
•
algebras de Hilbert
•
•
•
••
39
Capıtulo 2
Definiciones iterativas
Las reglas de transformacion de los graficos existenciales Alfa, propuestas por C. S.
Peirce, determinan un sistema del todo grafico para el calculo proposicional clasico. En
esa presentacion las reglas de iteracion y desiteracion, que permiten copiar o borrar
informacion a traves de lımites de la negacion, juegan un papel muy importante. En
el trabajo [13] se propuso una traduccion de los graficos Alfa al calculo proposicional
mediante algebras booleanas, y allı surgio una definicion alternativa de estas estructuras
en la cual la propiedad iterativa (la propiedad (12) de la afirmacion 1.33 arriba) ocupa
un lugar central. En este capıtulo se revisa y perfecciona esa definicion, pero ademas
se proponen definiciones similares para otras estructuras mas generales.
2.1 Retıculos distributivos
Si se aplica la propiedad iterativa (la propiedad (12) de 1.33) a la disyuncion se obtiene
una identidad que, de manera sorprendente, caracteriza el caracter distributivo de un
retıculo.
Teorema 2.1. Un retıculo es distributivo si y solo si se cumple la condicion siguiente.
a ∧ (b ∨ c) = a ∧ ((a ∧ b) ∨ c)
40
Demostracion.
⇒) En un retıculo distributivo se tiene:
a ∧ ((a ∧ b) ∨ c) = (a ∧ (a ∧ b)) ∨ (a ∧ c) distributiva;
= ((a ∧ a) ∧ b) ∨ (a ∧ c) asociativa;
= (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) idempotente;
= a ∧ (b ∨ c) distributiva.
⇐) Si en un retıculo se cumple la propiedad indicada entonces
a ∧ (b ∨ c) = a ∧ ((a ∧ b) ∨ c) por hipotesis;
= a ∧ (c ∨ (a ∧ b)) conmutativa;
= a ∧ ((a ∧ c) ∨ (a ∧ b)) por hipotesis;
= a ∧ ((a ∧ b) ∨ (a ∧ c)) conmutativa.
Luego a ∧ (b ∨ c) ≤ (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) lo cual, por las afirmaciones 1.16 y 1.17, implica
que el retıculo es distributivo.
2.2 Algebras booleanas
En esta seccion se estudia a definicion alternativa presentada en [13] y ella se enriquece
con otras dos muy similares. En un principio, las reglas de transformacion conducen
de manera natural a la estructura siguiente.
Convencion 2.2. En un semirretıculo inferior con maximo (S,∧, 1) se considera una
operacion S −→ S : a 7→ a′ que satisface las siguientes condiciones.
B11. a ∧ b′ = a ∧ (a ∧ b)′;
B12. a′′ = a;
B13. Si a ≤ b entonces b′ ≤ a′.
Siguen algunas consecuencias de esta combinacion de propiedades.
Afirmacion 2.3. En un semirretıculo con maximo (S,∧, 1) con una operacion ′ que
satisface B12 y B13 se cumplen las propiedades siguientes.
41
1. a ≤ b si y solo si b′ ≤ a′;
2. a ≤ b′ si y solo si b ≤ a′;
3. a′ ≤ b si y solo si b′ ≤ a;
4. 1′ es el elemento mınimo de S.
Por supuesto, las demostraciones son iguales a las de la afirmacion 1.33.
Demostracion.
1 ) Una direccion es B13. En el otro sentido, si b′ ≤ a′ entonces por B13 se tiene a′′ ≤ b′′
lo cual por B12 equivale a a ≤ b.
2 ) Por (1) se tiene a ≤ b′ si y solo si b′′ ≤ a′, lo cual por B12 equivale a b ≤ a′.
3 ) Por (1) se tiene a′ ≤ b si y solo si b′ ≤ a′′, lo cual por B12 equivale a b′ ≤ a.
4 ) Para cada a ∈ S se tiene a′ ≤ 1 luego por (3) es 1′ ≤ a. Ası que 1′ es el mınimo.
Definicion 2.4. En un semirretıculo con maximo (S,∧, 1) con una operacion ′ que
satisface las condiciones de la convencion 2.2 se define la operacion binaria ∨ como
sigue.
a ∨ b = (a′ ∧ b′)′
Afirmacion 2.5. En un semirretıculo con maximo (S,∧, 1) con una operacion ′ que
satisface B12 y B13, para cada elemento y ∈ S se tiene:
a ∨ b ≤ y si y solo si a ≤ y y b ≤ y.
Demostracion. En efecto,
a ∨ b ≤ y si y solo si (a′ ∧ b′)′ ≤ y por definicion;
si y solo si y′ ≤ a′ ∧ b′ por (3 ) de 2.3;
si y solo si y′ ≤ a′ y y′ ≤ b′ por definicion;
si y solo si a ≤ y y b ≤ y por (2 ) de 2.3.
Corolario 2.6. Un semirretıculo con maximo (S,∧, 1) con una operacion ′ que satisface
B12 y B13 es un retıculo acotado.
42
Demostracion. La afirmacion 2.5 establece que a ∨ b es la mınima cota superior de a y
b, de manera que S es un retıculo; el numeral (4 ) de la afirmacion 2.3 muestra que S
es un retıculo acotado porque tambien posee elemento mınimo.
Los ejemplos siguientes muestran que las condiciones B12 y B13 no son suficientes para
garantizar que se trata de un retıculo distributivo ni de un retıculo complementado.
Ejemplos 2.7.
• El semirretıculo siguiente con la operacion indicada en la tabla adjunta, satisface
las condiciones B12 y B13.
•1
•a •b • c • d
•0
x x′
a b
b a
c d
d c
0 1
1 0
De manera similar al ejemplo 1.14 se verifica que este retıculo no es distributivo.
• El semirretıculo siguiente tambien verifica B12 y B13.
•1
• a
•0
x x′
a a
0 1
1 0
Como el segmento real [0, 1] en el ejemplo 1.24, este retıculo no es complementado.
Ası pues, para las demas condiciones de algebra booleana se requiere la propiedad
iterativa B11.
43
Afirmacion 2.8. En un semirretıculo con maximo (S,∧, 1) con una operacion ′ que
satisface B11, B12 y B13 se tiene:
1. a ∧ a′ = 1′;
2. a ∨ a′ = 1;
3. a ∧ (b ∨ c) ≤ (a ∧ b) ∨ (a ∧ c).
Demostracion.
1 ) En efecto:
a ∧ a′ = a ∧ (a ∧ 1)′ pues a ∧ 1 = a;
= a ∧ 1′ por B11;
= 1′ ya que 1′ es el mınimo.
2 ) Ahora
a ∨ a′ = (a′ ∧ a′′)′ por definicion;
= 1′′ por (1 ) aplicado a a′;
= 1 por B12.
3 ) Pues
a ∧ (b ∨ c) = a ∧ (b′ ∧ c′)′ por definicion;
= a ∧ (a ∧ (b′ ∧ c′))′ por B11;
= a ∧ ((a ∧ b′) ∧ (a ∧ c′))′ propiedades de semirretıculo;
= a ∧ ((a ∧ (a ∧ b)′) ∧ (a ∧ (a ∧ c)′))′ por B11;
= a ∧ (a ∧ ((a ∧ b)′ ∧ (a ∧ c)′))′ propiedades de semirretıculo;
= a ∧ ((a ∧ b)′ ∧ (a ∧ c)′)′ por B11;
≤ ((a ∧ b)′ ∧ (a ∧ c)′)′ evidente;
= (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) por definicion.
Con estos elementos se llega a la siguiente definicion iterativa de las algebras booleanas.
44
Teorema 2.9. Un algebra booleana puede definirse como un semirretıculo inferior con
maximo (S,∧, 1) con una operacion S −→ S : a 7→ a′ que satisface las siguientes
condiciones.
B11. a ∧ b′ = a ∧ (a ∧ b)′;
B12. a′′ = a;
B13. Si a ≤ b entonces b′ ≤ a′.
Demostracion. En toda algebra booleana se cumplen las propiedades B11, B12 y B13,
que corresponden en ese orden a los numerales (12), (1) y (5) de la afirmacion 1.33.
En el otro sentido, un semirretıculo con una operacion ′ que satisface las condiciones
B11, B12 y B13 es un retıculo acotado por el corolario 2.6. Puesto que en cualquier
retıculo se tiene siempre la desigualdad a∧ (b∨ c) ≥ (a∧ b)∨ (a∧ c) (afirmacion 1.16),
el numeral (3 ) de 2.8 significa la identidad a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) y con ello se
garantiza que la estructura es un retıculo distributivo (afirmacion 1.17). Por fin, en la
afirmacion 2.3 se establecio que 1′ es el elemento mınimo de S, ası que las igualdades
(1 ) y (2 ) de 2.8 aseguran que el retıculo es complementado. En resumen, S es un
algebra booleana.
Como se trata del mismo conjunto y las mismas operaciones, es claro que la correspon-
dencia entre las dos presentaciones de la estructura es biyectiva.
La siguiente presentacion alternativa es la que aparece, aparentemente por primera vez,
en el trabajo de grado [13]. Se nota que la unica diferencia con la precedente es la tercera
propiedad. A partir del teorema 2.9, es facil establecer la equivalencia requerida.
Teorema 2.10. Un algebra booleana puede definirse como un semirretıculo inferior
con maximo (S,∧, 1) con una operacion S −→ S : a 7→ a′ que satisface las siguientes
identidades.
B21. a ∧ b′ = a ∧ (a ∧ b)′;
B22. a′′ = a;
B23. a ∧ a′ = 1′.
45
Demostracion. Basta probar la equivalencia de las condiciones B1 con las B2 y, puesto
que las primeras dos coinciden, es suficiente mirar las condiciones B13 y B23.
En una direccion, en un semirretıculo con una operacion ′ que satisface las condiciones
B1 se cumple la propiedad B23, a saber a ∧ a′ = 1′, como se demostro en (1 ) de la
afirmacion 2.8.
En el otro sentido, considerese un semirretıculo con maximo (S,∧, 1) dotado de una
operacion ′ que valida las propiedades B21, B22 y B23. Si a ≤ b entonces, emulando la
propiedad (4) de la afirmacion 1.33, se tiene
a ∧ b′ = a ∧ (a ∧ b)′ por B21;
= a ∧ a′ pues a ∧ b = a ya que a ≤ b;
= 1′ por B23.
En consecuencia
b′ = b′ ∧ 1 pues 1 es el elemento maximo;
= b′ ∧ 1′′ por B22;
= b′ ∧ (a ∧ b′)′ por la igualdad obtenida arriba;
= b′ ∧ (b′ ∧ a)′ propiedad conmutativa;
= b′ ∧ a′ por B21.
Pero b′∧a′ ≤ a′ y ası se obtiene b′ ≤ a′, con lo cual se ha probado la condicion B13.
La siguiente definicion iterativa de las algebras booleanas fue sugerida al Director de
este trabajo por el Profesor Xavier Caicedo, a partir de la anterior. Lo interesante es
que en esta nueva presentacion no se exige, en principio, que haya elemento maximo.
Teorema 2.11. Un algebra booleana puede definirse como un semirretıculo inferior
(S,∧) con una operacion S −→ S : a 7→ a′ que satisface las siguientes identidades.
B31. a ∧ b′ = a ∧ (a ∧ b)′;
B32. a′′ = a;
B33. a ∧ a′ = b ∧ b′.
46
Demostracion. De nuevo, basta probar la equivalencia de las condiciones B2 con las B3.
Como las primeras dos coinciden, es suficiente mirar las propiedades B23 y B33.
En los terminos del teorema 2.10 se tiene a ∧ a′ = 1′ y tambien b ∧ b′ = 1′ para todos
los elementos a, b luego, en particular, a ∧ a′ = b ∧ b′. Ası se cumple B33.
En el otro sentido, se considera un semirretıculo (S,∧) dotado de una operacion ′ que
valida las propiedades B31, B32 y B33. La condicion B33 significa que para cualquier
elemento x ∈ S la combinacion x ∧ x′ es el mismo elemento constante, que en adelante
se denota 0.
Se observa de inmediato que 0 es el elemento mınimo, dado que para cualquier elemento
a se tiene 0 = a ∧ a′ ≤ a. Por otro lado, 0′ es el elemento maximo:
a ∧ 0′ = a ∧ (a ∧ a′)′ definicion de 0;
= a ∧ a′′ por B31;
= a ∧ a por B32;
= a propiedad idempotente.
Es decir, a = a∧0′ ≤ 0′ para cualquier elemento a y ası 0′ es el maximo. Esto es, (S,∧)
es un semirretıculo con maximo.
Denotando 1 el elemento maximo de S, se tiene 1 = 0′ por definicion y en consecuencia
1′ = 0′′ = 0 por B32. De esta manera, a ∧ a′ = 1′ y se demuestra la propiedad B23.
2.3 Semirretıculos de Hilbert
En el trabajo de grado [7] se introduce un sistema de graficos existenciales para la
logica implicativa con conjuncion. Como se observo en el capıtulo anterior, las estruc-
turas algebraicas correspondientes a esa logica son los semirretıculos de Hilbert. Puede
esperarse que ası como las reglas Alfa de Peirce inducen una definicion, alternativa e
iterativa, de las algebras booleanas, de la misma manera las reglas para este novedoso
sistema grafico conducen a una expresion para los semirretıculos de Hilbert.
Las reglas de transformacion empleadas en [7], que son una generalizacion natural de
las reglas originales de Peirce, llevan a proponer la estructura siguiente.
47
Convencion 2.12. En un semirretıculo inferior con maximo (S,∧, 1) se considera una
operacion binaria → que satisface las siguientes condiciones.
S1. a → b = a → (a ∧ b);
S2. a ∧ (b → c) = a ∧ ((a ∧ b) → c);
S3. 1 → a = a;
S4. Si a ≤ b entonces b → c ≤ a → c;
S5. Si a ≤ b entonces c → a ≤ c → b.
Cabe anotar que estas propiedades, en especial S2 y S4, generalizan las condiciones
B11 y B13 empleadas en la definicion alternativa de algebra booleana (2.9). En efecto,
si se supone que el semirretıculo posee mınimo 0, tomando c = 0 en las condiciones
mencionadas resulta:
• a ∧ (b → 0) = a ∧ ((a ∧ b) → 0);
• Si a ≤ b entonces b → 0 ≤ a → 0.
Recordando la convencion ¬a = a → 0 (definicion 1.41), estas dos propiedades se
expresan como sigue. Con toda exactitud, se trata de las condiciones B11 y B13.
• a ∧ ¬b = a ∧ ¬(a ∧ b);
• Si a ≤ b entonces ¬b ≤ ¬a.
Siguen algunas consecuencias de la convencion 2.12.
Afirmacion 2.13. En un semirretıculo con maximo (S,∧, 1) con una operacion → que
satisface S1 hasta S5 se tiene:
1. a ∧ (a → b) = a ∧ b;
2. a → 1 = a → a;
3. a → a = 1;
48
4. a ≤ b si y solo si a → b = 1.
Demostracion.
1 ) En efecto,
a ∧ (a → b) = a ∧ ((a ∧ 1) → b) porque a = a ∧ 1;
= a ∧ (1 → b) por S2;
= a ∧ b por S3.
2 ) Pues por S1 se tiene a → 1 = a → (a ∧ 1) = a → a, la segunda igualdad porque
a ∧ 1 = a.
3 ) En toda algebra de Hilbert se tiene 1 ≤ a → 1 (corolario 1.47) y por (2 ) es a → 1 =
a → a, luego 1 ≤ a → a. Siendo 1 el elemento maximo, esto implica a → a = 1.
4 ) Si a ≤ b entonces por S5 resulta a → a ≤ a → b, luego por (3 ) es 1 ≤ a → b. Siendo
1 el maximo, esto implica a → b = 1.
En el otro sentido, si a → b = 1 entonces a = a ∧ 1 = a ∧ (a → b) = a ∧ b, la ultima
igualdad por (1 ), de donde a ≤ b.
Teorema 2.14. Un semirretıculo de Hilbert puede definirse como un semirretıculo
inferior con maximo (S,∧, 1) con una operacion binaria → que satisface las siguientes
condiciones.
S1. a → b = a → (a ∧ b);
S2. a ∧ (b → c) = a ∧ ((a ∧ b) → c);
S3. 1 → a = a;
S4. Si a ≤ b entonces b → c ≤ a → c;
S5. Si a ≤ b entonces c → a ≤ c → b.
Demostracion. En cualquier semirretıculo de Hilbert se cumplen las condiciones S1
hasta S5. En efecto, S1 es (iv) de la definicion 1.53; S2 se demostro de manera explıcita
en la afirmacion 1.55; y las propiedades S3, S4 y S5 se cumplen en cualquier algebra de
Hilbert, como se verifico en la afirmacion 1.50.
49
Para probar que un semirretıculo que satisface las propiedades S1 hasta S5 es un
semirretıculo de Hilbert basta demostrar la equivalencia indicada en el teorema 1.56.
En una direccion, si a ≤ b → c entonces
a ∧ b = b ∧ a ≤ b ∧ (b → c) = b ∧ c ≤ c,
la segunda igualdad por (1 ) de la afirmacion 2.13. De esta manera a ∧ b ≤ c.
En el otro sentido, si a ∧ b ≤ c entonces por (4 ) de 2.13 se tiene (a ∧ b) → c = 1 y ası
a = a ∧ 1 = a ∧ ((a ∧ b) → c) = a ∧ (b → c) ≤ b → c,
la tercera igualdad es valida por S2. De esta manera a ≤ b → c.
Es decir, a ≤ b → c si y solo si a∧ b ≤ c, y ası se tiene un semirretıculo de Hilbert.
2.4 Algebras de Heyting
Para concluir este trabajo, se proponen varias caracterizaciones iterativas para las
algebras de Heyting.
En primer lugar, se nota que segun el corolario 1.57 un algebra de Heyting es un
semirretıculo de Hilbert que tambien es retıculo. Luego el resultado de la seccion
anterior tiene la siguiente consecuencia inmediata.
Teorema 2.15. Un algebra de Heyting puede definirse como un retıculo acotado
(R,∧,∨, 0, 1) con una operacion binaria → que satisface las siguientes condiciones.
S1. a → b = a → (a ∧ b);
S2. a ∧ (b → c) = a ∧ ((a ∧ b) → c);
S3. 1 → a = a;
S4. Si a ≤ b entonces b → c ≤ a → c;
S5. Si a ≤ b entonces c → a ≤ c → b.
Demostracion. Como toda algebra de Heyting es un semirretıculo de Hilbert (ejemplos
1.54), en esta estructura se cumplen las propiedades S1 hasta S5. Cabe anotar, sin
50
embargo, que ellas se verificaron de manera explıcita en el capıtulo anterior: S1, S2, S4
y S5 son, en ese orden, los numerales (7), (8), (5) y (6) de la afirmacion 1.38, mientras
S3 es (1) de 1.40.
En el sentido contrario, segun la prueba del teorema 2.14, en un semirretıculo con una
operacion → que satisface S1 hasta S5 se cumple
a ≤ b → c si y solo si a ∧ b ≤ c.
Siendo un retıculo con mınimo, se obtiene un algebra de Heyting.
Como ya se anoto antes en este trabajo, las algebras de Heyting constituyen la con-
traparte algebraica de la logica proposicional intuicionista [5, 10]. Esta logica tambien
posee un sistema de graficos existenciales al estilo de Charles S. Peirce [11], cuyas re-
glas de transformacion sugieren el siguiente sistema de axiomas. En esencia, en esta
presentacion la operacion ∨ se define mediante igualdades a partir de ∧ y →.
Teorema 2.16. Un algebra de Heyting puede definirse como un semirretıculo acotado
(S,∧, 0, 1) con dos operaciones binarias → y ∨ que satisfacen las siguientes condiciones.
H11. a → b = a → (a ∧ b);
H12. a ∧ (b → c) = a ∧ ((a ∧ b) → c);
H13. 1 → a = a;
H14. a ∨ b = b ∨ a;
H15. a ∨ a = a;
H16. a ≤ a ∨ b;
H17. Si a ≤ b entonces b → c ≤ a → c;
H18. Si a ≤ b entonces c → a ≤ c → b;
H19. Si a ≤ b entonces a ∨ c ≤ b ∨ c.
Se nota que la desigualdad H16 se puede escribir como la identidad
a ∧ (a ∨ b) = a,
que es la propiedad absorbente (vii) de 1.11.
51
Demostracion. En toda algebra de Heyting se cumplen estas propiedades: H11 hasta
H13 junto con H17 y H18 se tienen por el teorema anterior (teorema 2.15); las demas,
H14 hasta H16 y H19, se cumplen en cualquier retıculo (afirmaciones 1.11 y 1.13).
En la otra direccion, segun el teorema anterior basta demostrar que con estas condi-
ciones H1 se obtiene un retıculo. Dados elementos arbitrarios a y b, por H16 se tiene
a ≤ a ∨ b. Por H16 y H14 resulta b ≤ b ∨ a = a ∨ b. Ahora bien, si a ≤ y y b ≤ y para
algun elemento y, entonces por H19 se tiene
a ∨ b ≤ y ∨ b y b ∨ y ≤ y ∨ y.
Pero por H14 es b ∨ y = y ∨ b y por H15 es y ∨ y = y. Ası que y ∨ b ≤ y, y por
transitividad a ∨ b ≤ y.
De esta manera a ∨ b es, en efecto, la mınima cota superior de a, b y ası se tiene un
retıculo.
Buscando propiedades mas “iterativas” se propone la siguiente caracterizacion.
Teorema 2.17. Un algebra de Heyting puede definirse como un semirretıculo acotado
(S,∧, 0, 1) con dos operaciones binarias → y ∨ que satisfacen las siguientes condiciones.
H21. a → b = a → (a ∧ b);
H22. a ∧ (b → c) = a ∧ ((a ∧ b) → c);
H23. 1 → a = a;
H24. a ∨ b = b ∨ a;
H25. a ∨ a = a;
H26. a ∧ (b ∨ c) = a ∧ ((a ∧ b) ∨ c);
H27. 1 ∨ a = 1;
H28. Si a ≤ b entonces b → c ≤ a → c;
H29. Si a ≤ b entonces c → a ≤ c → b;
H210. Si a ≤ b entonces a ∨ c ≤ b ∨ c.
52
Demostracion. En una direccion, toda algebra de Heyting valida las propiedades H2.
En efecto, las propiedades H21 hasta H25 y H28 hasta H210 son las condiciones H1
verificadas en la demostracion del teorema 2.16. Respecto a H26, por el teorema 2.1
esta identidad se cumple en los retıculos distributivos y por la afirmacion 1.37 toda
algebra de Heyting es distributiva. Por fin, la propiedad H27 se cumple en cualquier
retıculo con maximo 1.
En la otra direccion, de nuevo segun el teorema 2.16 basta demostrar que en estas
condiciones se cumple la propiedad H16. En efecto,
a ∧ (a ∨ b) = a ∧ ((a ∧ 1) ∨ b) porque a = a ∧ 1;
= a ∧ (1 ∨ b) por H26;
= a ∧ 1 por H27;
= a pues 1 es el elemento maximo.
Entonces a = a ∧ (a ∨ b) ≤ a ∨ b, como se querıa demostrar.
En la siguiente descripcion, que es a la vez el ultimo resultado de este trabajo, se
sintetizan todas las propiedades de la operacion ∨ en una sola identidad. Aunque no
es una propiedad iterativa, sı es muy interesante.
Teorema 2.18. Un algebra de Heyting puede definirse como un semirretıculo acotado
(S,∧, 0, 1) con dos operaciones binarias → y ∨ que satisfacen las siguientes condiciones.
H31. a → b = a → (a ∧ b);
H32. a ∧ (b → c) = a ∧ ((a ∧ b) → c);
H33. 1 → a = a;
H34. (a ∨ b) → c = (a → c) ∧ (b → c);
H35. Si a ≤ b entonces b → c ≤ a → c;
H36. Si a ≤ b entonces c → a ≤ c → b.
Demostracion. En cualquier algebra de Heyting se cumplen las condiciones H3. Res-
pecto a H31 hasta H33, H35 y H36, basta ver las pruebas de los teoremas anteriores en
esta seccion. La propiedad H34 es (9) de la afirmacion 1.38.
53
En el otro sentido, se nota que las condiciones H3 distintas a H34 son las mismas
condiciones S de los teoremas 2.14 y 2.15. En consecuencia, al igual que en la prueba
del teorema 2.16, basta demostrar que con la operacion ∨ esta estructura es un retıculo.
En primer lugar, por (4 ) la afirmacion 2.13 y teniendo en cuenta de nuevo que las
propiedades H3 incluyen las propiedades S, en estas condiciones se cumple la siguiente
equivalencia.
x ≤ y si y solo si x → y = 1 (∗)
Ahora se tiene:
a ∨ b ≤ c si y solo si (a ∨ b) → c = 1 por (∗);
si y solo si (a → c) ∧ (b → c) = 1 por H34;
si y solo si a → c = 1 y b → c = 1 por 1.22;
si y solo si a ≤ c y b ≤ c por (∗).
Luego a ∨ b es la mınima cota superior de a y b, y se obtiene un retıculo.
54
Conclusiones
En la primera parte de este trabajo se estudio una amplia gama de estructuras orde-
nadas, desde los semirretıculos hasta las algebras booleanas. Aunque el esquema sigue
bastante de cerca el desarrollo del trabajo [5] en su parte algebraica, en esta nueva
presentacion se logran algunas mejoras en detalles de pruebas y ejemplos.
El aporte significativo de este trabajo consiste en las novedosas definiciones iterativas
de cuatro estructuras, presentadas en la segunda parte del documento. Se obtuvo una
caracterizacion novedosa de los retıculos distributivos y una definicion de semirretıculo
de Hilbert ligeramente mas sencilla que la original, contenida en el trabajo [7]. Se pre-
sentaron tres definiciones iterativas de las algebras booleanas, una de ellas aparece en
el trabajo [13] y aquı se simplifico la prueba en algunos aspectos. Para terminar, se ob-
tuvieron no menos de cuatro definiciones alternativas de las algebras de Heyting. Estas
caracterizaciones son del todo originales y no se encuentran en la literatura matematica
disponible.
El caracter iterativo de las definiciones reside en la presencia de las siguientes identi-
dades.
a ∧ b′ = a ∧ (a ∧ b)′
a ∧ (b → c) = a ∧ ((a ∧ b) → c)
a → b = a → (a ∧ b)
a ∧ (b ∨ c) = a ∧ ((a ∧ b) ∨ c)
En todas ellas, el elemento a se repite o itera dentro del alcance de alguna operacion.
Con estos resultados se demuestra una vez mas la utilidad de los cruces entre diferentes
areas de la ciencia. En este caso la Logica, y en especial los graficos existenciales
de Peirce y sus generalizaciones, aportan definiciones y caracterizaciones novedosas al
Algebra.
55
Bibliografıa
[1] G. Birkhoff, Lattice Theory. Providence (Rhode Island): American Mathematical
Society, 1940.
[2] W. J. Blok and D. Pigozzi, Abstract Algebraic Logic. Preprint. 1995.
[3] S. Burris and H. P. Sankappanavar, A Course in Universal Algebra. Graduate Texts
in Mathematics 78. New York: Springer-Verlag, 1981. Disponible en Internet:
http://www.math.uwaterloo.ca/∼snburris/htdocs/ualg.html
http://www.math.sc.edu/∼mcnulty/alglatvar/burrissanka.pdf
[4] X. Caicedo, Elementos de Logica y Calculabilidad. Bogota: Universidad de los
Andes, 1990.
[5] M. Castillo, Logicas Implicativas y sus Algebras. Trabajo de Grado (carrera de
Matematicas). Ibague: Universidad del Tolima, 2009.
[6] M. Castillo y A. Oostra, “Algebras para la logica implicativa con conjuncion”. En:
Matematicas: Ensenanza Universitaria XVIII No. 2 (Diciembre 2010) 31–50.
[7] A. Gomez, Graficos Alfa para la logica implicativa con conjuncion. Trabajo de
Grado (carrera de Matematicas). Ibague: Universidad del Tolima, 2013.
[8] S. Mac Lane and G. Birkhoff, Algebra. London: MacMillan, 1967.
[9] A. Oostra, Temas de Conjuntos Ordenados. Decimo Coloquio Distrital de Mate-
maticas y Estadıstica. Bogota: Universidad Nacional de Colombia, 1993.
[10] A. Oostra, Algebras de Heyting. Decimocuarto Coloquio Distrital de Matematicas
y Estadıstica. Bogota: Universidad Pedagogica Nacional, 1997.
56
[11] A. Oostra, “Los graficos Alfa de Peirce aplicados a la logica intuicionista”. En:
A. Oostra y F. Zalamea (Eds.), Cuadernos de Sistematica Peirceana 2. Bogota:
Centro de Sistematica Peirceana, 2010.
[12] H. Rasiowa, An Algebraic Approach to Non-classical Logics. Amsterdam: North-
Holland, 1974.
[13] J. E. Taboada y E. D. Rodrıguez, Una demostracion de la equivalencia entre los
graficos Alfa y la logica proposicional. Trabajo de Grado (carrera de Matematicas).
Ibague: Universidad del Tolima, 2010.
[14] F. Zalamea, Calculos proposicionales. Notas de clase ineditas. 1993.
57