Computación cuántica y geometría

*Investigador del Departamento de Física del Centro de Investigación y de Estudios Avanzados (Cinvestav) del Instituto Politécnico Nacional (ipn). Editor de la presente columna.

D.e: orosas@fis.cinvestav.mx

Oscar Rosas-Ortiz*

Cinvestav en su tinta

Oscar Rosas-Ortiz*

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Una computadora cuántica es un dispositivo que procesa información usando las re-glas de la física cuántica. Se usa la energía de cierta clase de átomos, el espín de los electrones o el momento angular de la luz para representar los bits convencionales de la información (ceros y unos) en términos de lo que llamamos vectores de estado

en mecánica cuántica. El equivalente cuántico de un bit es un qubit y éste último, a diferencia del primero, tiene permitido ser cero y uno al mismo tiempo. Esto se debe a que un qubit es el vector de estado asociado con, por ejemplo, el espín de un electrón. El fenómeno recibe el nombre de paralelismo cuántico y es la base del funcionamiento de una computadora cuánti-ca. La búsqueda de los mecanismos que permitan manipular y controlar el comportamiento de los qubits es el primer paso para conseguir que el cómputo cuántico sea robusto. En parti-cular, los qubits deben rejuvenecerse de tiempo en tiempo a fin de evitar errores en los cálculos. Sorpresivamente, la geometría del espacio donde habitan los qubits es importante para con-seguirlo.Es invierno, quizás el más frío de la última década. En el bar Quantum hay más alboroto del habitual. Un hombre de edad avanzada observa al cantinero a través de los gruesos cristales de sus gafas y con un gesto mal disimulado de enfado le indica que se acerque. Con fuerte acento polaco, su voz como graznido se deja escuchar. “Un quantum-loop sin hielo —dice al tiempo que intenta cubrir su rostro— y tenga la amabilidad de prepararlo en mi presencia”. El cantinero no puede evitar su sorpresa, el rostro del anciano le resulta bastante familiar. Además, esa voz polaca y nasal solo puede pertenecer a una persona:—¡Dr. Fausto, que gusto me da saludarlo, hace ya mucho tiempo que no nos visita!—Calla muchacho, no seas inoportuno, trae pronto mi bebida que he de marcharme en-seguida.

Unos instantes después el anciano contempla ante sí la imagen borrosa de un vaso de cristal. Cualquiera diría que el vaso está en varios puntos de la mesa al mismo tiempo. In-cluso, algunas veces parece levitar sobre la mesa y otras más hundirse en ella. Sin dudarlo, el Dr. Fausto extiende su mano hacia el centro de la mesa y la cierra para asir un vaso que, justo un instante antes, no estaba allí. Con celeridad lleva el vaso a sus labios y consume la bebida sin respirar. Ahora es el anciano quien se torna borroso, su imagen parece estar de camino hacia la puerta y de vuelta otra vez, sentándose una y otra vez frente a la mesa que ocupaba mientras le servían su bebida. Finalmente, la imagen del Dr. Fausto se estabiliza y se le observa sentado, dando la espalda a la mesa. Cuando gira para volver a colocarse en su antigua posición ya es diferente, su otrora encanecido y ralo cabello se ha tornado castaño y abundante, no hay arrugas en su rostro, y los dientes, antes chuecos e incom-pletos, lucen completos y perfectamente alineados. El Dr. Fausto ha rejuvenecido como consecuencia del quantum-loop que ingirió. Se levanta, busca entre sus bolsillos y deja algunos billetes sobre la mesa. Toma su abrigo y se dirige a la salida. “La noche es larga”, piensa el joven Fausto mientras una sonrisa ilumina su rostro al momento de quitarse las gruesas y toscas gafas.

El pasaje anterior, fantástico con respecto a nuestra experiencia cotidiana, no sería extraordinario si el Dr. Fausto tuviese las dimensiones de un átomo. De esta forma su vector de estado obedecería las leyes de la mecánica cuántica y la “bebida” evolution-loop correspondería al conjunto de operaciones que deben aplicársele con el fin de rejuvene-cerlo. Aquí rejuvenecer un sistema cuántico significa regresarlo al estado que tenía en un determinado instante de tiempo.

Para saber cuál es el estado de un sistema necesitamos interactuar con él de alguna for-ma, es decir, necesitamos medir alguna de las variables físicas que lo definen (la energía, el momento angular, la posición y el momento lineal son ejemplos de este tipo de varia-bles). En muchos de los casos de interés, como resultado de una medición, se encuentra que estas variables toman valores de entre un cierto conjunto discreto de números reales (finito o infinito). Decimos entonces que la variable en cuestión está cuantizada y que el número obtenido en la medición es el eigenvalor correspondiente. La polarización de la luz,

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por ejemplo, tiene dos posibles eigenvalores. Si la polarización es lineal, el experimento nos muestra que la mitad de las veces encontramos a la luz con polarización horizontal y la mitad de las veces con polarización vertical. Antes de la medición, de acuerdo con la teoría cuántica, la polarización de la luz es horizontal y vertical al mismo tiempo, cada uno de estos valores con una misma probabilidad (cincuenta por ciento) de ser la polari-zación resultante en el experimento. Lo mismo ocurre con los átomos que permiten una descripción de su comportamiento en términos de sólo dos posibles valores de la energía. Si al nivel de más baja energía le llamamos base y al de más alta energía le llamamos exci-tado tendremos que, antes de medir la energía de dichos átomos, su estado energético se describe como una superposición de los estados base y excitado, cada uno de ellos con la misma probabilidad de ser el resultado del experimento. En general, cuando la variable que nos interesa toma solo uno de dos posibles valores como resultado de su medición, decimos que tenemos un sistema de dos niveles o un qubit.

Como podemos notar, un qubit está caracterizado por la superposición lineal y por dos números reales (que corresponden a los dos posibles valores de una medición). Matemá-ticamente, la superposición lineal de los qubits requiere de dos números complejos cuyos módulos al cuadrado suman uno (ver glosario al final). Así, los qubits pueden ponerse en correspondencia con los puntos sobre una híper esfera de radio uno que vive en un espacio de cuatro dimensiones (el espacio de Hilbert bidimensional). A su vez, una colección apro-piada de estos puntos puede identificarse con uno y solo uno de los puntos localizados en la superficie de una esfera de radio uno que vive en un espacio de tres dimensiones (el es-pacio de las predicciones, o espacio proyectivo). Para ponerlo en términos familiares, esta última esfera no es más que un balón perfecto, de aquellos con los que juegan los niños en el parque. El tamaño del balón no importa, debido a que el balón siempre puede normali-zarse a fin de que su radio sea igual a uno. De esta forma, incluso la Tierra podría pensarse como modelo del espacio de predicciones en una primera aproximación. El Polo Norte de dicho espacio identifica al estado que tenga al mayor de los dos posibles eigenvalores. El polo sur identifica al estado restante. Si al tiempo t = 0 el qubit está en el Polo Norte, en un instante posterior se encontrará en cualquier otro punto (incluyendo al mismo Polo Norte) sin que se sepa cuál es antes de cualquier medición. Dependiendo de las interacciones que se le apliquen, el qubit describirá una curva sobre el espacio de predicciones a través del tiempo. Si después de un intervalo de tiempo T el qubit regresa al Polo Norte entonces la curva se cierra sobre sí misma en ese punto al tiempo t = T. En principio esto sería sufi-ciente para rejuvenecer al qubit. Sin embargo, la geometría nos reserva algunas sorpresas y hace que la empresa no sea tan sencilla.

Para dar una idea general de la situación consideremos la esfera mostrada en la figura. Supongamos que estamos en el punto A sobre el ecuador y queremos movernos desde A hasta N, luego desde N hasta B y finalmente desde B hasta A, describiendo una trayectoria cerrada sobre la esfera durante nuestro recorrido. Se nos ha encargado llevar una bande-ra, representada por una flecha en la figura, que apunta inicialmente en la dirección que debemos tomar. La única regla es que nuestra bandera debe apuntar lo más paralelamente posible a la dirección que tenía en el paso anterior. Para conseguir nuestro objetivo dare-mos los pasos más pequeños que podamos durante nuestra travesía. En el primer trayecto cubrimos el arco AN y nuestra bandera ya cambió drásticamente de dirección con respec-to a su orientación en A pero ha cambiado muy poco con respecto a la posición inmediata anterior. Ahora giramos en dirección de B para recorrer el arco NB pero cuidamos de no modificar la orientación de la bandera, ya que esta debe mantenerse paralela a la dirección que tiene en el punto N al dar nuestro siguiente paso. De esta forma llegamos a B y la ban-dera casi no ha cambiado su orientación con respecto a N. Nuevamente giramos, esta vez en dirección de A, sin modificar la orientación de la bandera. Cuando llegamos al punto A la orientación de nuestra bandera ha cambiado drásticamente con respecto a su orien-tación en B y, lo más importante, no coincide con la orientación que tenía en A cuando iniciamos el recorrido. Resulta que el ángulo alfa que subtiende la orientación de nuestra bandera entre el principio y el final del recorrido es igual (medido en radianes) al área con-finada por el circuito (loop) definido por los arcos AN, NB y BA. La forma en la que hemos transportado a la bandera (vector) recibe el nombre de transporte paralelo y la discrepancia

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entre sus orientaciones inicial y final es una manifestación de la holonomía asociada con la geometría (curvatura) del espacio de predicciones.

Un ejemplo adicional de los efectos de la geometría en el comportamiento de los es-tados cuánticos está dado por la obra de Escher titulada La cinta de Möbius II (ver figura). Las hormigas (el sistema cuántico) siempre avanzan en un circuito cerrado (evolution loop). Inevitablemente, el camino las “obliga” a pasar por el mismo punto (estado inicial) cada cierto tiempo, sin que tengan la opción de evitarlo. Como la cinta es una superficie de una sola cara, si las hormigas tardan un tiempo T en regresar al punto de partida, entonces al tiempo t = T/2 se encontrarán en un punto equivalente pero “de cabeza” con respecto a su orientación inicial.

La holonomía es bien conocida en mecánica cuántica, el ejemplo más famoso es el de la fase de Berry (también conocida como fase geométrica). Esta es una fase que adquiere el vector de estado como consecuencia de aplicar procesos adiabáticos cíclicos al siste-ma cuántico correspondiente. El fenómeno fue descrito por primera vez en un artículo firmado por S. Pancharatnam (1956) pero fue hasta 1984, con el trabajo de M. Berry, que cobró importancia como tema de investigación. Una aplicación mensurable de las fases geométricas se puede encontrar en los libros de texto contemporáneos que incluyen el efecto Aharonov-Bohm como ejemplo de las propiedades cuánticas de los campos electro-magnéticos. En el caso de las fases geométricas asociadas con el espín del electrón sujeto a la presencia de campos magnéticos se pueden consultar los artículos indicados en la referencia1. Los evolution-loops pensados como un mecanismo para cancelar la evolución natural de un sistema cuántico fueron reportados por B. Mielnik en 1986. Un recuento de los orígenes y los usos de esta clase de operaciones para manipular qubits puede encon-trarse en la referencia2.

Geometría = lóGicaQueda claro entonces que para rejuvenecer al qubit se tiene que pagar el precio de las fases geométricas originadas por la holonomía del espacio de estados. Es decir, a pesar de que el qubit evoluciona hasta un estado que se parece mucho a su estado inicial, éste siempre ad-quiere una fase que lo hace distinguible con respecto a su forma anterior desde el punto de vista geométrico. ¿Cómo se puede sacar provecho de la holonomía para efectuar operacio-nes lógicas? Pensemos en un qubit asociado con los niveles de energía de un átomo. Para inducir un circuito cerrado en la esfera de estados podríamos bañar al átomo con láseres de las frecuencias apropiadas que oportunamente se prenderían y apagarían hasta conse-guir nuestro objetivo. Al final, el qubit regresará a su estado energético inicial pero, igual que el Dr. Fausto, estará mirando en la dirección opuesta a la de partida. Lo que se consigue es voltear al sistema, es decir, se obtiene la operación lógica negación (not, como es usual denotarla en inglés). Las operaciones AND y OR se consiguen en forma equivalente pero requieren de dos qubits. En la referencia3 se reporta la aplicación de láseres sobre iones en trampas para conseguir operaciones lógicas cuántico-holonómicas de hasta dos qubits en las líneas generales que hemos descrito. Finalmente, esta clase de cómputo cuántico es más segura con respecto a los errores de cálculo que muchas de las propuestas basadas en, por ejemplo, la resonancia magnética.

Glosario

Un número complejo a está compuesto por la suma de dos números reales a = x+iy, donde i es el número imaginario que se obtiene de la raíz cuadrada de -1. El módulo de a se denota por |a| y es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de x y de y. De esta forma |a|2 significa calcular la suma x2+y2.

Referencias.1 Fernández D, Nieto LM, Santander M J Phys A: Math Gen 25 (1992) 5151Fernández D, Rosas-Ortiz O Phys Lett A 236 (1997) 2752 Rosas-Ortiz O, “Manipulando el mundo atómico: Ingeniería cuántica”, Avance y Perspectiva 23 (Oc-tubre-Diciembre 2004) 19-273 Duan L-M et al, Science 292 (2001) 1695