oscilações e ondas mecânicas. exemplos sempre que um sistema sofre uma perturbação da sua...
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Oscilações e
Ondas Mecânicas
exemplos
Sempre que um sistema sofre uma perturbação da sua posição de equilíbrio estável, ocorre um movimento de oscilação.
Movimento Oscilatório
Movimento Harmónico Simples
Quando um movimento se repete a si mesmo em intervalos de tempo regulares é chamado Movimento Harmónico Simples (MHS)
Frequência , f – número de oscilações completadas por unidade de tempo (Hz, s-1)
Período, T – tempo necessário para completar uma oscilação (s)
Amplitude – deslocamento máximo em relação à posição de equilíbrio produzido pela oscilação
fT
1
Movimento Harmónico Simples Um caso particular de MHS
Onde ω corresponde à frequência angular,
txtx m cos
Tf
22
Movimento Harmónico Simples Velocidade de uma partícula a oscilar será dada por:
txdt
tdxtv m sin
txtx m cos
Movimento Harmónico Simples A sua aceleração será dada por:
txdt
xd
dt
tdvta m cos2
2
2
txta 2
Sempre que a aceleração de um objecto é proporcional ao seu deslocamento e é oposta à sua direcção, o objecto move-se com um MHS
txdt
tdxtv m sin
txta m cos2
txtv m sin
txtx m cos
Movimento Harmónico Simples
Exemplo: A função
dá-nos o MHS de uma partícula. Determine para t = 2.0 s:
1. o deslocamento;2. a velocidade;3. a aceleração;4. a fase;5. a frequência;6. e o período.
33cos0.6 ttx
Movimento de um corpo preso a uma mola
Movimento Harmónico Simples
eFF
kxma
kxdt
xdm
2
2
02
2
xm
k
dt
xd
2
002
2
xm
k
dt
xd
Movimento Harmónico Simples
Se a oscilação fosse na vertical
ge FFF
mgkxma
mgkxdt
xdm
2
2
gxm
k
dt
xd
2
2
Dependência de ω: com a massa - depende com a amplitude – não depende
Movimento Harmónico Simples
Energia Energia cinética
Energia Potencial
Energia Mecânica
Movimento Harmónico Simples
2
212
21 sin tAmmvEC
tkAEC22
21 sin
2
212
21 cos tAkkxEP
tkAEP22
21 cos
221 kAEEE PCM
Movimento de um Pêndulo Simples
mas e
Movimento Harmónico Simples
TFF g
sinmgmat
sin2
2
gdt
sd
2
2
2
2
dt
dL
dt
sd sin
02
2
L
g
dt
d2
Movimento de um Pêndulo Composto
mas
Movimento Harmónico Simples
FgMM
sin..mghI
sin..
2
2
mghdt
dI
15 sin
0.
2
2
I
mgh
dt
d2
mgh
IT 2
Sobreposição de MHSIgual direcção e período
Movimento Harmónico Simples
11 cos tas 22 cos tbs
0cos tRs
10
22
cos
sinarctan
cos2
ba
b
abbaR
Interf. Construtiva
Interf. Parc. Destrutiva
Movimento Harmónico SimplesSobreposição de MHS
Igual direção e período diferente – mov. resultante não é MHS
a) T1/T2 = p/q (p,q, inteiros, primos) - o período do movimento resultante é o m.m.c. (mínimo múltiplo comum) dos períodos componentes.
b) T1/T2 = p/q (p é múltiplo inteiro de q) - o período do movimento resultante é igual ao maior dos períodos componentes.
c) T1/T2 = p/q (p próximo de q) - batimento - o período de batimento associado ao movimento resultante é Tb = (T1 x T2)/|T1 - T2|; a frequência de batimento é fb = |f2 - f1|, o período do movimento resultante é o m.m.c. dos períodos componentes.
Movimento Harmónico SimplesSobreposição de MHS
Direções perpendiculares (ortogonais) e mesmo período
a1) Δφ = 0 rad - a = b – a ≠ b –
a2) Δφ = π/2 rad - a = b – a ≠ b –
a3) Δφ = π rad - a = b – a ≠ b –
a4) Δφ = 3 π/2 rad - a = b – a ≠ b –
Movimento Harmónico SimplesSobreposição de MHS
Direcções perpendiculares (ortogonais) e períodos diferentes
se os períodos componentes são comensuráveis, o movimento resultante é periódico e seu período é o m.m.c. dos períodos componentes. As trajetórias são figuras particulares e denominam-se figuras de Lissajous.
Movimento Harmónico SimplesOsciladores ligados
k1 ka k2m1 m2
x1x2
-k1x1
ka(x2-x1) -ka(x2-x1)
-k2x2
121121
2
1 xxkxkdt
xdm a 12222
22
2 xxkxkdt
xdm a 2
11
1
121
2
xm
kx
m
kk
dt
xd aa
12
22
22
22
xm
kx
m
kk
dt
xd aa
2121
2
xm
kx
m
kk
dt
xd aa
1222
2
xm
kx
m
kk
dt
xd aa
kkkmmm 2121 e se
tAx cos1 tAx cos2
Movimento Harmónico SimplesOsciladores ligados
k1 ka k2m1 m2
x1 x2
tAx cos1
mk
Modos normais de oscilação
tAx cos2
em fase:
k1 ka k2m1 m2
x1x2
em oposição de fase:
m
kk a
Movimento Harmónico SimplesOsciladores ligados – exemplos
moleculares
Movimento Oscilatório Amortecidosuporte rígido
const. mola, k
massa, m
disco
amortecimento, λ
kxFe
vFa
vkxmaF
02
2
xm
k
dt
dx
mdt
xd
textx tm cos
2
2
4mm
k m2
Movimento Oscilatório Forçadosuporte rígido
const. mola, k
massa, m
disco
amortecimento, λ
kxFe
vFa tFF fcos0
tFkxdt
dx
dt
xdm f cos02
2
tm
Fx
m
k
dt
dx
mdt
xdf
cos02
2
tm
Fx
dt
dx
dt
xdf cos2 02
02
2
fAx cos 22220
2
0
4 ff
mFA
f
f
2
tan20
2
Movimento Oscilatório Forçado
fAx cos 22220
2
0
4 ff
mFA
f
f
2
tan20
2
quando
0 fmáximoARESSONÂNCIA
Tacoma Bridge
Num MHS
Movimento Não Harmónico
202
1xxkEP
FxxkdxdEP 0 kdxEd P 22
m
dxEd
m
k P22
Para um mov. não harmónico
Movimento Não Harmónico
...6
1
2
1 30
200 xxkxxkxExE PP
Teorema de Taylor
...6
1
2
1 30
0
3
32
0
0
2
2
00
0
xx
dx
fdxx
dx
fdxx
dx
dfxfxf
...6
1
2
1 30
0
3
32
0
0
2
2
00
0
xx
dx
Edxx
dx
Edxx
dx
dExExE PPP
PP
0 k k
Movimento Não Harmónico
Para um mov. não harmónico Potencial de Lennard-Jones
12
0
6
00, 2
r
r
r
rEE PP
121 r
61 r
V
0r
0r
Movimento nunca se repete a si mesmo
movimento caótico ≠ movimento desordenado
Movimento caótico pode apresentar uma estrutura bem definida e caracteriza-se por
ser extremamente sensível às suas condições iniciais
Oscilações Caóticas