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Oscilações Não-Lineares
Prof. Dr. Hildebrando Munhoz Rodrigues
Prof. Dr. Marcio F. Gameiro
Guilherme Afonso Mazanti
Jaqueline Godoy Mesquita
Luis Henrique Moraes da Silva
Matheus Cheque Bortolan
USP - São CarlosMarço de 2013
Sumário
1 Sistemas lineares 71.1 Perturbação de sistemas lineares não-críticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Sistemas lineares não homogêneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Funções quase-periódicas 29
3 Séries de Fourier 513.1 Notações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2 Famílias uniformemente quase-periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2.2 Famílias uniformemente quase-periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.2.3 Famílias a um parâmetro em Ed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.3.2 Transformada de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.3.3 Convergência em média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.3.4 Desigualdade de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.3.5 Equação de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.3.6 Teorema de aproximação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4 Método da média 105
5 Equações fracamente não-lineares - caso não-crítico 1135.1 Equações fracamente não-Lineares - caso não-crítico . . . . . . . . . . . . . . . 1135.2 Propriedade geral do ponto de sela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6 O método alternativo 1256.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.2 O método alternativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.3 Soluções periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.4 Soluções limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1366.5 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.5.1 O caso periódico (sub-harmônico) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.5.2 O caso limitado (homoclínico) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Introdução
O objetivo deste livro é apresentar uma série de tópicos que podem servir
de texto para um curso de Oscilações não Lineares. Assim sendo, procura-
se apresentar resultados clássicos dessa teoria. Procura-se estudar teoria de
perturbações de sistemas lineares hiperbólicos dentro de certas classes de
perturbações específicas, como a classe de funções limitadas na reta real ou
das funções periódicas ou das funções quase-periódicas.
No Capítulo 1 estuda-se perturbação de sistemas lineares não críticos, isto
é, sistemas não homogêneos com termos forçantes nas classes de funções
limitadas, periódicas e quase-periódicas.
No Capítulo 2 e no Capítulo 3 apresentam-se resultados básicos da teoria
de funções quase-periódicas, inclusive da teoria de séries de Fourier.
No Capítulo 4 discute-se o Método da Média para os casos periódico e
quase-periódico, com aplicalções. Discute-se a Equação de van Der Pol com
termo forçante quase-periódico.
No Capítulo 5 estuda-se Equações Fracamente não Lineares dando espe-
cial ênfase à Propriedade Geral do Ponto de Sela.
No Capítulo 6 apresenta-se um método diferente dos apresentados acima,
6 SUMÁRIO
mas que pode em geral dar respostas a problemas semelhantes. Trata-se do
Método Alternativo ou de Liapunov-Schimidt com versões que podem ser
utilizadas para estudo de perturbação em torno de órbitas homoclínicas e
heteroclínicas.
O material apresentado aqui foi desenvolvido nas inúmeras vezes que min-
istrei o curso de Oscilações não Lineares, baseado em parte nos livros de Jack
K. Hale, Ordinary Differential Equations e também Nonlinear Oscillations.
Entretanto fomos também incluindo material de outras referências, que con-
stam na lista apresentada na Bibliografia.
Na última apresentação desse curso contei com a valiosa colaboração do
colega e ex-orientado Prof. Marcio F. Gameiro e dos alunos Guilherme Afonso
Mazanti, Jaqueline Godoy Mesquita, Luis Henrique Moraes da Silva e Matheus
Cheque Bortolan, que além de apresentarem seminários colaboraram na dig-
itação de partes deste texto.
São Carlos, 11 de março de 2013.
Hildebrando Munhoz Rodrigues
Capítulo
1
Sistemas lineares
1.1 Perturbação de sistemas lineares não-críticos
Definição 1.1.1. Se R ∋ t 7→ A(t ) ∈ Mn(K), onde K = R ou C, é uma aplicação
contínua e D é uma coleção de funções contínuas em R que contém a função
nula, o sistema homogêneo
x = A(t )x, t ∈R (H)
é dito não-crítico com relação a D se a única solução de (H) em D é a solução
nula.
Seja Y (t ) matriz fundamental de (H) e T (t , s) = Y (t )Y −1(s). Dizemos que
(H) admite uma dicotomia exponencial em R se existe uma família de pro-
jeções P (t ) : Kn →Kn, t ∈R e constantes K ,α> 0 tais que
|T (t , s)P (s)| ≤ K e−α(t−s), t ≥ s,
8 Sistemas lineares
|T (t , s)(I −P (s))| ≤K eα(t−s), t ≤ s.
Lema 1.1.2. (a) Se (H) admite dicotomia exponencial, então ele é não-crítico
com relação a
B(R) = f :R→Cn, contínua, ‖ f ‖∞ = supt∈R
| f (t )| <∞.
(b) Se A ∈ PT = A : A(t +T ) = A(t ),∀t ∈ R então (H) é não crítico com re-
lação a A P se e só se os expoentes característicos tiverem parte real difer-
ente de 0.
(c) Se A ∈PT então (H) é não crítico com relação a PT se e somente se X (T )−
I é não singular.
Demonstração:
(a) Trivial.
(b) Do Teorema de Floquet, segue que existe operador P (t ) tal que P (t +
T ) = P (t ),∀t ∈ R, P (0) = I de modo que com a mudança de variáveis
x = P (t )y o sistema (H) fica reduzido ao sistema constante y = B y , onde
X (T ) = eBT e X (0) = I . Portanto, x(t ) será solução em A P se e somente
se y(t ) é solução de A P .
(c) x(t ) = X (t )x0 é solução T -periódica de (H) se e só se X (t+T )x0 = X (t )x0,∀t ∈
R o que é equivalente a X (T )x0 = x0 ou (X (T )−I )x0 = 0. X (t )x0 é solução
não nula de (H) se e só se X (T )− I é singular.
1.1 Perturbação de sistemas lineares não-críticos 9
Observação 1.1.3. O Teorema de Floquet também é válido em dimensão in-
finita com a restrição que seja possível encontrar uma curva fechada de Jordan
que contorna o espectro de X (T ) que não contorne a origem.
Define-se
ln X (T ) =− 1
2πi
∮
lnλ(X (T )−λ)−1dλ.
Observação 1.1.4. Se A(t ) é constante então (H) é não crítico com relação a
B(R) ou A P se e só se vale a dicotomia exponencial, se e só se os autovalores
de A tem parte real diferente de zero. No caso de dimensão infinita com A
limitado, é preciso que exista α> 0 tal que σ(A)∩ λ ∈C,−α< Reλ<α=;.
No caso T -periódico, (H) é não crítico se e somente se os autovalores de A
satisfazem λT 6= 0 mod (2πi ).
Exemplo 1.1.5. Consideremos o sistema
x =
0 α
−α 0
x
com α 6= 0. A matriz principal é dada por:
X (t )=
cosαt1
αsinαt
−αsinαt cosαt
X (T )− I =
cos(αT )−11
αsinαT
−αsinαT cos(αT )−1
Portanto, det(X (T )− I ) = 2(1− cosαT ) = 0 ⇔ αT = 2nπ,n ∈ Z. Ou seja, o
sistema é não crítico se e somente se α 6= 2nπT ,n ∈Z.
10 Sistemas lineares
Considere a seguinte equação:
x = A(t )x (1.1.1)
e a equação perturbada:
x = A(t )x + f (t ) (1.1.2)
Lema 1.1.6. Se A(t ) é uma matriz contínua n ×n, |A(t )| < M, 0 ≤ t < ∞ e
X (t ,τ), X (τ,τ)= I é a matriz principal de (1.1.1), então existe um δ> 0 tal que
|X (t , s)−X (t ,τ)| ≤ 1
2|X (t ,τ)|
para todo t , s,τ≥ 0 e |s −τ| ≤ δ.
Demonstração: Como X (t , s) = X (t ,τ)X (τ, s) para todo t ,τ, s ∈ [0,∞), então
é suficiente mostrar que existe um δ> 0 tal que |X (τ, s)− I | ≤ 1/2 para τ, s ≥ 0
e |τ− s| ≤ δ.
De fato, pois suponha que ∃δ> 0 tal que
|X (τ, s)− I | ≤ 1/2 para τ, s ≥ 0, |τ− s| ≤ δ. (1.1.3)
Então,
|X (t , s)−X (t ,τ)| = |X (t ,τ)X (τ, s)−X (t ,τ)| = |X (t ,τ)[X (τ, s)− I ]|
Portanto, se a equação (1.1.3) está satisfeita, obtemos:
|X (t , s)−X (t ,τ)| ≤ |X (t ,τ)||X (τ, s)− I | ≤ 1
2|X (t ,τ)|,
1.1 Perturbação de sistemas lineares não-críticos 11
para todo τ, s ≥ 0 e |s −τ| ≤ δ, o que implica o resultado desejado.
Lembremos que como X (t ,τ) é a matriz principal de (1.1.1), então X (t ,τ) =
A(t )X (t ,τ) e, portanto,
X (τ, s)− I =∫τ
sA(u)X (u, s)d u =
∫τ
sA(u)[X (u, s)− I ]d u +
∫τ
sA(u)d u,
o que implica que
|X (τ, s)− I | ≤∣∣∣∣
∫τ
sA(u)d u
∣∣∣∣+
∣∣∣∣
∫τ
sA(u)[X (u, s)− I ]d u
∣∣∣∣
≤∫τ
sMd u +
∫τ
sM |X (u, s)− I |d u ≤ M (τ− s)+
∫τ
sM |X (u, s)− I |d u.
Pela Desigualdade de Gronwall, obtemos:
|X (τ, s)− I | ≤ M (τ− s)e∫τ
s Mdu ≤ M |τ− s|eM |τ−s|
para τ, s ≥ 0 e τ ≥ s. Tomemos |τ− s| ≤ δ, onde δ é escolhido de modo que
MδeMδ ≤ 1/2, então, pela desigualdade acima, obtemos
|X (τ, s)− I | ≤ M |τ− s|eM |τ−s| ≤ MδeMδ ≤ 1/2,
concluindo a demonstração.
Antes de seguirmos, enunciaremos um Teorema que será fundamental
para provarmos o próximo resultado.
Teorem 1.1.7. Seja X (t ) uma matriz fundamental do sistema (1.1.1) e seja β
qualquer número em (−∞,∞). O sistema (1.1.1) é:
(i) estável para todo t0 ∈ (−∞,∞) se e somente existe um K = K (t0) > 0 tal
12 Sistemas lineares
que
|X (t )| ≤K , t0 ≤ t <∞;
(ii) uniformemente estável para t0 ≥β se e somente se existe um K = K (β) > 0
tal que
|X (t )X −1(s)| ≤K , t0 ≤ s ≤ t <∞;
(iii) assintóticamente esável para todo t0 ∈ (−∞,∞) se e somente se
|X (t )|→ 0 quando t →∞;
(iv) uniformemente assintóticamente estável para t0 ≥ β se e somente se ele é
exponencialmente assintóticamente estável; ou seja, existem K = K (β) >
0, α=α(β) > 0 tal que
|X (t )X −1(s)| ≤ K e−α(t−s), β≤ s ≤ t <∞.
Lembremos que a equação adjunta de (1.1.1) é a equação dada por y =
−y A(t ). E também que se X (t ) é a matriz fundamental de (1.1.1), então X −1(t )
é a matriz fundamental da equação adjunta.
Agora prosseguiremos com o nosso próximo resultado.
Lema 1.1.8. Com A e X (t ,τ) como descritos no Lema 1.1.6, a condição∫t
0 |X (t , s)|d s <
c para todo t ≥ 0 implica que |X (t , s)| é uniformemente limitado para 0 ≤ s ≤
t <∞; ou seja, a equação (1.1.1) é uniformemente estável para t0 ≥ 0.
Demonstração: Como X (t , s)X (s, t )= I para todo s, t , segue que X (t , s) como
uma função de s é uma matriz fundamental da equação adjunta de (1.1.1).
1.1 Perturbação de sistemas lineares não-críticos 13
Portanto, lembrando que a adjunta de (1.1.1) é dada por y = −y A(t ) e que a
matriz fundamental satisfaz a seguinte equação
X (t , s) =−X (t , s)A(t ),
obtemos
X (t , s)− I =∫s
t(−X (t ,ξ)A(ξ))dξ=
∫t
sX (t ,ξ)A(ξ)dξ.
Portanto,
X (t , s) = I +∫t
sX (t ,ξ)A(ξ)dξ,
para todo 0 ≤ s ≤ t < ∞. Portanto, das hipóteses do Lema e da igualdade
obtida acima, temos
|X (t , s)| =∣∣∣∣I +
∫t
sX (t ,ξ)A(ξ)dξ
∣∣∣∣≤ 1+M
∫t
s|X (t ,ξ)|dξ
Como∫t
s|X (t ,ξ)|dξ≤
∫t
0|X (t ,ξ)|dξ< c
então
|X (t , s)| ≤ 1+Mc.
Daí, pelo Teorema 1.1.7, a estabilidade uniforme segue diretamente lembrando
que X (t , s)= X (t )X −1(s).
Para o próximo Teorema, precisaremos de um resultado bem conhecido
da Análise Funcional I, o Princípio da Limitação Uniforme, conforme enun-
ciado abaixo.
14 Sistemas lineares
Teorem 1.1.9 (Princípio da Limitação Uniforme). Sejam X e Y espaços veto-
riais normados e A ⊂ L(X ,Y ).
(a) Se supT∈A ‖T x‖ < ∞ para x em um subconjunto de segunda categoria,
então supT∈A ‖T ‖ <∞.
(b) Se X é um espaço de Banach e supT∈A ‖T x‖ <∞ para todo x ∈ X , então
supT∈A ‖T ‖ <∞.
Teorem 1.1.10. Se A(t ) é uma matriz n ×n contínua, |A(t )| < M, 0 ≤ t <∞,
então toda solução de (1.1.2) é limitada em [0,∞) para toda função contínua
e limitada f em [0,∞) se e somente se o sistema (1.1.1) é uniformemente ass-
intoticamente estável.
Demonstração: Vamos começar provando a segunda parte. Suponha que o
sistema (1.1.1) é uniformemente assintoticamente estável para t0 ≥ 0, então
pelo Teorema 1.1.7, existem constantes positivas K ,α tais que
|X (t ,τ)| ≤K e−α(t−τ), 0≤ τ≤ t <∞.
Neste caso, note que |X (t ,0)| ≤ K e−αt ≤ K , desde que α é positivo e t ≥ 0.
Usando a fórmula da variação das constantes, obtemos que a solução geral
de (1.1.2) é dada por
x(t ) = X (t ,0)x(0)+∫t
0X (t , s) f (s)d s, t ≥ 0.
Se f ∈B[0,∞), então obtemos
|x(t )| ≤ |X (t ,0)||x(0)|+∣∣∣∣
∫t
0X (t , s) f (s)d s
∣∣∣∣≤ K |x(0)|+ | f |
∫t
0K e−α(t−s)d s
1.1 Perturbação de sistemas lineares não-críticos 15
Daí, obtemos
|x(t )| ≤ K |x(0)|+ | f |K(
e−α(t−t) −e−αt
α
)
= K |x(0)|+ | f |K (1/α−e−αt /α)≤ K |x(0)|+ | f |K (1/α),
desde que e−αt /α≥ 0 pois α é positivo. Deste fato, obtemos que toda solução
de (1.1.2) está em B[0,∞). Isto prova a segunda parte do Teorema.
Agora vejamos a primeira parte. Vamos provar primeiramente que se toda
solução de (1.1.2) é limitada em [0,∞) para toda função contínua e limitada
em [0,∞), então∫t
0 |X (t , s)|d s < c para t ≥ 0.
Se x(0) = 0, então pela fórmula da variação das constantes, podemos es-
crever a solução de (1.1.2) como
x(t ) =∫t
0X (t , s) f (s)d s. (1.1.4)
Seja B[0,∞) a classe de funções f : [0,∞) → C n , f contínua e limitada e
seja | f | = sup0≤t<∞ | f (t )|. Para todo t ∈ [0,∞) fixo, considere a aplicação
Tt : B[0,∞) →B[0,∞) dada por
(Tt f )(α) =
∫α
0X (α, s) f (s)d s, 0 ≤α≤ t ,
∫t
0X (t , s) f (s)d s, t ≤α>∞.
(1.1.5)
Afirmação: Para cada t fixado, Tt é uma aplicação linear contínua.
De fato, vamos mostrar primeiro que Tt é linear para cada t fixo.
1. (Tt ( f + g )) = Tt f +Tt g
16 Sistemas lineares
Seja t fixo. Consideremos primeiro que α≤ t , então
(Tt ( f +g ))(α) =∫α
0X (α, s)( f +g )(s)d s =
∫α
0X (α, s) f (s)d s+
∫α
0X (α, s)g (s)d s
= (Tt f )(α)+ (Tt g )(α).
Se t ≤α, então
(Tt ( f +g ))(α) =∫t
0X (t , s)( f +g )(s)d s =
∫t
0X (t , s) f (s)d s+
∫t
0X (t , s)g (s)d s
= (Tt f )(α)+ (Tt g )(α).
Logo, temos Tt ( f + g ) = Tt f +Tt g .
2. (Tt (γ f )) = γTt f ;
Segue analogamente ao anterior, basta aplicar a definição de Tt .
Para cada t fixo, obtemos, pela definição de Tt , que ele é contínuo. Logo,
Tt é uma aplicação linear contínua. Como, por hipótese, para cada f ∈B[0,∞),
a solução x de (1.1.2) é limitada, então existe uma constante tal que |Tt f | ≤
N ,0 ≤ t <∞. Isto segue diretamente da definição de Tt dada em (1.1.5) e da
equação (1.1.4). Consequentemente, pelo Princípio da Limitação Uniforme,
existe uma constante K tal que ‖Tt‖ ≤ K para todo t ∈ [0,∞) e, portanto,
|Tt f | ≤ K | f | para toda f ∈B[0,∞). Em particular,
∣∣∣∣
∫t
0X (t , s) f (s)d s
∣∣∣∣≤K | f |, 0 ≤ t <∞. (1.1.6)
Se X = (x j k), onde x j k , j ,k = 1,2. . . ,n são as componentes de X e f j ,kt (s)
a função que descreve o sinal de x j k(t , s), j ,k = 1,2, . . . ,n para um t fixo. Es-
1.1 Perturbação de sistemas lineares não-críticos 17
colha uma sequência de funções contínuas uniformemente limitadas f j ,kt ,r (s)
que converge pontualmente para f j ,kt (s) q. s. quando r → ∞ em [0, t ]. Es-
colha a norma de um vetor x = (x1, . . . , xn) como sendo |x| = maxj |x j |. Para
um dado j ,k , sejam f t(s), f t ,r (s) funções de n-coordenadas cuja todas as com-
ponentes são nulas, exceto a k-ésima, que é f j ,kt (s), f j ,k
t ,r (s) respectivamente.
Desta forma, não é díficil ver que f t ,r (s) converge pontualmente para f t (s) q.
s. em [0, t ]. Então,
limr→∞
∫t
0X (t , s) f t ,r (s)d s =
∫t
0X (t , s) f t (s)d s.
Pela definição da função f t ,r , segue que f t ,r é contínua e uniformemente lim-
itada e portanto, a equação (1.1.6) implica que
∣∣∣∣
∫t
0X (t , s) f t ,r (s)d s
∣∣∣∣≤K | f t ,r |, 0 ≤ t <∞.
Disto e da definição da norma de um vetor dada acima, temos
∣∣∣∣
∫t
0X (t , s) f t ,r (s)d s
∣∣∣∣≤K | f t ,r | ≤ K1, 0 ≤ t <∞,
desde que f t ,r é uniformemente limitada. Portanto, dado ε > 0, existe r0 > 0
tal que para r > r0, temos
∣∣∣∣
∫t
0X (t , s) f t (s)d s
∣∣∣∣≤
∣∣∣∣
∫t
0X (t , s)[ f t (s)− f t ,r (s)]d s
∣∣∣∣+
∣∣∣∣
∫t
0X (t , s) f t ,r (s)d s
∣∣∣∣
< ε
∫t
0|X (t , s)|d s +K1.
18 Sistemas lineares
Como ε é arbitrário, obtemos que
∣∣∣∣
∫t
0X (t , s) f t (s)d s
∣∣∣∣≤ K1, 0 ≤ t <∞.
Daí, temos que
∫t
0|x j k(t , s)|d s ≤
∣∣∣∣
∫t
0X (t , s) f t (s)d s
∣∣∣∣≤K1,
para todo t ≥ 0 e j ,k = 1,2, . . . ,n. Portanto,
n∑
k=1
∫t
0|x j k(t , s)|d s ≤ nK1,
para todo t ≥ 0. Daí, segue que
∫t
0|X (t , s)|d s =
∫t
0max1≤ j≤n
n∑
k=1
|x j k(t , s)|d s ≤nK1.
Como todas as normas em C n são equivalentes, então existe uma constante
c tal que∫t
0|X (t , s)|d s < c , 0≤ t <∞.
Do Lema 1.1.8, esta relação implica que X (s,τ) é uniformemente limitada
por uma constante N para 0 ≤ τ ≤ s < ∞ e, portanto, a equação (1.1.1) é
uniformemente estável para t0 ≥ 0. Portanto,
∣∣∣∣
∫t
τX (t , s)X (s,τ)d s
∣∣∣∣≤
∫t
τ|X (t , s)||X (s,τ)|d s ≤ Nc
para todo t ≥ τ. Mas a primeira expressão nesta desigualdade é igual a (t −
1.2 Sistemas lineares não homogêneos 19
τ)|X (t ,τ)|, desde que X (t , s)X (s,τ) = X (t ,τ). Portanto,
(t −τ)|X (t ,τ)| ≤ Nc ⇒|X (t ,τ)| ≤ Nc
t −τ,
o que implica que |X (t ,τ)| → 0 uniformemente quando t → ∞ e a equação
(1.1.1) é uniformemente assintoticamente estável. E terminamos a prova do
teorema.
1.2 Sistemas lineares não homogêneos
Começamos com o seguinte sistema não homogêneo:
x = A(t )x + f (t ). (1.2.1)
Lembremos que a equação adjunta de (H) é a equação y = −y A(t ). Assim
suas soluções serão as linhas (y1(t ), y2(t ), . . . , yn(t )).
Se X (t ) é matriz fundamental de (H), então X −1(t ) é matriz fundamental
de
y =−y A(t ). (1.2.2)
Como A ∈ PT , segue que a equação adjunta tem uma solução não trivial
y(t ) = y0X −1(t ) se e só se y0[X −1(T )− I ] = 0 isto é, se e somente se X −1(T )− I
é não singular o que é equivalente a X (T )− I ser não singular.
Lema 1.2.1 (Alternativa de Fredholm). Se A ∈ PT e f é um elemento de PT ,
então a equação (1.2.1) tem uma solução em PT se e somente se
∫T
0y(t ) f (t )dt = 0 (1.2.3)
20 Sistemas lineares
para toda solução T -periódica y(t ) da equação (1.2.2). Se (1.2.2) está satisfeita
então (1.2.1) tem uma família a r -parâmetros, onde r é o número de soluções
l.i. T -periódicas de (H).
Demonstração: A e f em PT . Então x(t ) é solução T -periódica se e só se
x(0) = x(T ). Da fórmula da variação das constantes, com x(0) = I , x(T ) = eBT ,
temos:
x(t ) = X (t )x(0)+X (t )∫t
0X −1(s) f (s)ds (1.2.4)
Portanto, temos
x(t +T ) = X (t +T )x(0)+X (t +T )∫t+T
0X −1(s) f (s)ds
= X (t )eBT x(0)+X (t )eBT∫T
0X −1(s) f (s)ds +X (t )eBT
∫t+T
TX −1(s) f (s)ds
Daí, temos:
x(t +T ) = X (t )eBT x(0)+X (t )eBT∫T
0X −1(s) f (s)ds
+X (t )eBT∫t
0X −1(τ+T ) f (τ+T )dτ
=X (t )
[
eBT x(0)+eBT∫T
0X −1(s) f (s)ds
]
+X (t )eBT∫t
0X −1(τ)e−BT f (τ)dτ
=X (t )
[
eBT x(0)+eBT∫T
0X −1(s) f (s)ds
]
+X (t )∫t
0X −1(τ) f (τ)dτ
=X (t )x(0)+X (t )∫t
0X −1(τ) f (τ)dτ
Daí, segue que x(t ) é T -periódica de (1.2.1) se e só se x(0) = x(T ). Defini-
1.2 Sistemas lineares não homogêneos 21
mos X (t , s) = X (t )X −1(s), então
x(t ) = X (t ,0)x0 +∫t
0X (t , s) f (s)ds.
Temos que X (t ,τ)X (τ, s) = X (t , s). Assim, a condição x(T ) = x0 é equivalente
a
x0 =x(T,0)x0 +∫T
0X (T, s) f (s)ds
=X (T,0)x0 +∫T
0X (T,0)X (0, s) f (s)ds
=X (T,0)x0 +X (T,0)∫T
0X −1(s,0) f (s)ds.
Portanto,
X −1(T,0)x0 = x0 +∫T
0X −1(s,0) f (s)ds
(X −1(T,0)− I )x0 =∫T
0X −1(s,0) f (s)ds.
Obtemos então
B x0 = b.
Da Álgebra Linear, sabemos que a equação B x0 = b tem solução se e so-
mente se ab = 0 para qualquer vetor linha a tal que aB = 0.
Como X −1(t ,0) é a matriz principal da equação (1.2.2). Para que a seja a
condição inicial de uma solução T -periódica da equação (1.2.2), devemos ter
aX −1(T,0) = a ou seja a(X −1(T,0)− I ) = aB = 0. Logo,
0 = aB x0 = a(Y −1(T,0)− I )x0 =∫T
0aX −1(s,0) f (s)ds =
∫T
0y(s) f (s)ds.
Assim sendo se (1.2.1) tem solução T -periódica, então x0 = x(T ) e x0 é
22 Sistemas lineares
solução de B x0 = b. Isto é a equação B x0 = b tem solução x0. Isto é equiva-
lente a ab = 0 para qualquer a tal que aB = 0. Isto é equivalente a∫T
0 y(s) f (s)ds =
0 para qualquer solução T -periódica da equação (1.2.2).
Mas se temos duas soluções T -periódicasφ(t ),ψ(t ) de (1.2.1), entãoφ(t )−
ψ(t ) é solução T -periódica de (H). Assim tomando uma solução particular T -
periódica de (1.2.1) e somarmos uma solução T -periódica de (H), obtemos
uma solução T -periódica de (1.2.1).
Exemplo 1.2.2. Consideremos a equação escalar de segunda ordem:
u +u = cos w t .
Passando para sistemas, temos
x1
x2
=
0 1
−1 0
x1
x2
+
0
cos w t
(1.2.5)
X (t )=
cos t sin t
−sin t cos t
é a matriz principal de (H). Consideremos o problema
de existência de soluções 2π/w-periódicas, i.e., com período T = 2π/w. Temos
X −1(t ) =
cos t −sin t
sin t cos t
.
Se w 6= 1, a única solução T -periódica da (1.2.2) é a solução nula e assim a
condição de ortogonalidade está satisfeita e assim existe solução T -periódica.
Se w = 1, toda solução da (1.2.2) é T -periódica e são dadas por (a cos t +
1.2 Sistemas lineares não homogêneos 23
b sin t ,−a sin t +b cos t ) e assim
∫2π
0(a cos t +b sin t ,−a sin t +b cos t )
0
cos t
=πb (1.2.6)
Se b 6= 0, a condição de ortogonalidade não está satisfeita e assim (1.2.1)
não tem solução 2π-periódica. Na verdade, todas soluções de (1.2.1) são não
limitadas pois u(t ) = a sin t +b cos t + t2 sin t é a solução geral de u +u = cos t .
Exemplo 1.2.3. Tomemos
A = 1
2
−1 2 1
−1 0 −1
−1 2 1
, f (t ) = sin t
−1
−1
1
(1.2.7)
Pode-se mostrar que
e At = 1
2
1+cos t − sin t 2sin t −1+cos t + sin t
1−cos t − sin t 2cos t −1+cos t − sin t
−1+cos t − sin t 2sin t 1+cos t + sin t
Como e−At é solução da (1.2.2), segue que todas as soluções de (1.2.2) são
2π-periódicas. Temos que e−At f (t ) = z sin t , onde z = (−1,−1,1). Assim, a
condição de ortogonalidade∫2π
0 e−At f (t )dt = 0 está satisfeita. Assim (1.2.1)
tem solução 2π-periódica. Na verdade, todas as soluções de (1.2.1) são 2π-
periódicas. Observar que a frequência de f é a mesma de e At e e−At .
Teorem 1.2.4. Supomos que A ∈PT e D é uma das classes B(R), A P ou PT .
A equação (1.2.1) tem uma solução em D se e somente se o sistema (H) é não
24 Sistemas lineares
crítico com relação a D. Além disso, se (H) é não crítico em relação a D, então
K f é a única solução em D e é linear e contínua em f . Isto é, linear e existe
constante K tal que
(K f ) ≤ K | f | para toda f ∈D.
Demonstração: D =PT . Suponhamos que (H) seja não crítico, isto é, a única
solução de (H) em PT seja a nula. Assim, a única solução de (1.2.2) também
é a nula. Então dada f ∈PT , a Alternativa de Fredholm está satisfeita e assim
(1.2.1) tem uma solução em PT . Suponhamos que para toda f ∈ PT exista
solução em PT e que (H) seja crítico com relação a PT . Logo, (1.2.2) também
será crítico com relação a PT e assim existirá uma solução y(t ) não nula.
Tomemos f (t ) = y(t )T . Teremos assim
∫T
0y(t ) f (t )dt =
∫T
0|y(t )|2dt 6= 0
o que é uma contradição.
Por outro lado, se (H) é não-crítico com relação a PT , então dado f ∈PT ,
(1.2.1) tem uma única solução em PT , pois se tivesse duas distintas a difer-
ença seria uma solução não nula de (H), o que seria uma contradição.
Essa solução K f é dada explicitamente
(K f )(t ) =∫T
0[X −1(t +T, t )− I ]−1X (t , t + s) f (s)ds.
Vamos mostrar este último fato. Seja x(t ) = X (t ,0)x0 +∫t
0 X (t , s) f (s)ds T -
1.2 Sistemas lineares não homogêneos 25
periódica. Então
X (t +T, t )+∫t+T
0X (t +T, s) f (s)ds = X (t ,0)x0 +
∫t
0X (t , s) f (s)ds
Portanto,
X (t +T, t )X (t ,0)x0 +∫t+T
0X (t +T, s) f (s)ds = X (t ,0)x0 +
∫t
0X (t , s) f (s)ds
∫t+T
0X (t +T, s) f (s)ds −
∫t
0X (t , s) f (s)ds
= [I −X (t +T, t )] X (t ,0)x0X (t +T, t )∫t+T
0X (t , s) f (s)ds −
∫t
0X (t , s) f (s)ds
= [I −X (t +T, t )] X (t ,0)x0X (t +T, t )
[∫t
0X (t , s) f (s)ds +
∫t+T
tX (t , s) f (s)ds
]
−∫t
0X (t , s) f (s)ds
= [I −X (t +T, t )] X (t ,0)x0 − [I −X (t +T, t )]∫t
0X (t , s) f (s)ds
+X (t +T, t )∫t+T
tX (t , s) f (s)ds
= [I −X (t +T, t )] X (t ,0)x0
Multiplicamos por [I −X (t +T, t )]−1 e fazendo s = τ+ t , temos
−∫t
0X (t , s) f (s)ds+[I −X (t +T, t )]−1 X (t+T, t )
∫T
0X (t , t+τ) f (t+τ)dτ= X (t ,0)x0.
Logo,
[X (t +T, t )−1 − I ]−1∫T
0X (t , t +τ) f (t +τ)dτ
= X (t ,0)x0 +∫t
0X (t , s) f (s)ds = x(t )
= (K f )(t )
26 Sistemas lineares
Para encontrar K tal que |K f | ≤K | f |, basta tomar
T −1K = sup0≤s,t≤T
∥∥∥
[
X −1(t +T, t )− I]−1
X (t , t + s)∥∥∥
Caso 2: B(R)
Seja X (t ) a matriz fundamental de (H). Então, do Teorema de Floquet,
temos X (t ) =P (t )eB t onde P (t +T ) = P (t ),∀t ∈R. A transformação x = P (t )y
em (1.2.1) reduz ao sistema
y = B y +P−1(t ) f (t ) =B y + g (t ) (1.2.8)
onde g ∈B(R) ou (A P ).
Assim como P (t ) é não singular, basta mostrar que se (1.2.8) tem solução
em B(R) para toda g ∈ B(R) então y = B y é não crítico com relação a B(R)
ou que B não tem autovalor com parte real zero.
Podemos supor que B está na forma canônica de Jordan com
B =
B+ 0
B0
0 B−
e o sistema acima é equivalente a
(a) u = B+u + g+
(b) v = B0v + g0
(c) w =B−w + g−
Se o novo sistema homogêneo for não crítico com relação a B(R) então a
1.2 Sistemas lineares não homogêneos 27
equação (b) não existe e assim vale a dicotomia exponencial e a equação não
homogênea tem uma única solução em B(R) e é dada por
K+g++K−g− =∫0
∞e−B+sg (t + s)ds +
∫0
−∞e−B−sg−(t + s)ds.
Se∣∣eB+t
∣∣≤K eαt , para t ≤ 0 e
∣∣eB−t
∣∣≤K e−αt , para t ≥ 0, então
∣∣K+g+
∣∣≤ K
α|g+| e
∣∣K−g−
∣∣≤ K
α|g−|.
Supomos agora que (1.2.1) tem solução em B(R) para cada f ∈ B(R) e que
a matriz B tenha algum autovalor com parte real zero. Podemos trabalhar
comente com um bloco
i w · · · ?
. . .
0 i w
Fazendo a transformação v = e i w t v1, ficamos com
v1 =
0 ?
. . .
0 0
v1 + g1(t ) =Rv1 + g1(t ),
where g1(t ) = e−i w t g (t ), g1 ∈B(R). Tomando a = (0, . . . ,0,1), aR = 0.
av1 = aRv1 +ag1(t ) = ag1(t ).
28 Sistemas lineares
Tomando g1(t ) =
0
0
. . .
0
1
, chegamos que av1 = 1> 0 o que implica que av1(t ) →
∞ para toda solução v1(t ). Isto completa a prova do caso 2.
Voltando construímos uma função f (t ), f ∈ B(R), f ∈ A P com f+ = 0,
f− = 0, f0 6= 0, f0 ∈ A P tal que todas as soluções de x = A(t )x + f (t ) são não
limitadas. Falta mostrar que se f ∈ A P é única e (H) é não crítico com re-
lação a A P , então K+g+ e K−g− ∈A P .
Supomos que g+, g− ∈ A P e que (αn) é uma sequência. Então existe
subsequência (α′n) tal que g+(t +α′
n) converge uniformemente para G+(t )
quando n →∞.
Então (K+g+)(t +αk) =∫0∞ e−B s g+(t +αn + s)ds converge uniformemente
para∫0∞ e−B sG(t + s)ds. Então K+g+ ∈A P e m(K+g+) ⊂ m(g+).
Como as mudanças de variáveis foram periódicas, concluimos que a única
solução K f de (1.2.1) em A P pertence a A P e m(K f ) ⊂m[A, f ].
Capítulo
2
Funções quase-periódicas
Considere uma função f dos reais nos complexos definida por:
f = e iλ1t +e iλ2t (2.0.1)
Existem duas possibilidades. Se λ1λ2
∈Q ,∃p ∈ N tal que:
p =n1λ1 =n2λ2 (2.0.2)
Logo, f é periódica.
No entanto, se λ1λ2
6∈Q , 6 ∃n1, n2 ∈ Z tal que:
n1λ1 = n2λ2 (2.0.3)
Logo, f não é periódica. Se δ é um real positivo, e n1, n2 ∈ N são tais que
|λ1n1 −λ2n2 |< δ (2.0.4)
30 Funções quase-periódicas
podemos tomar τ entre λ1n1 e λ2n2. τ não é um período de f, mas é
"quase". Isto motiva a seguinte definição:
Definição 2.0.5. Uma função f : R → E (com E = R ou C) contínua é dita
uniformemente quase-periódica (a.p) se ∀ǫ > 0, ∃l = l ( f ,ǫ) > 0 tal que em
qualquer intervalo de tamanho l existe τ tal que:
| f (t +τ)− f (t ) |< ǫ, t ∈R (2.0.5)
(ou | f (t )− f (t −τ) |< ǫ, t ∈R) (2.0.6)
τ é chamado de quase período de f relativo a ǫ.
Exemplo 2.0.6. Seja f : R→ C, T periódica e contínua. Seja ǫ > 0 e tome l=T.
Dado o intervalo Iγ = [γ,γ+T ], γ ∈ R, ∃τ ∈ Iγ tal que τT ∈Z e assim, f (t +τ) =
f (t ) para todo t ∈R. Logo, toda função periódica é quase-periódica.
Exemplo 2.0.7. Seja f (t ) = e i t +e ip
2t , t ∈ R. Existem α> 0, M > 0 e sequências
de inteiros positivos (p j )(q j ), 0 < p j < q j , q j monótona crescente com q j∞−→
+∞, q j+1 −q j < M, j = 1, 2,..., tais que:
|p
2−1−p j
q j|≤ α
q2j
(2.0.7)
Dado ǫ> 0, suponha que os q j foram escolhidos de tal maneira que:
2(1−cos(2πβ
q j)) < ǫ (2.0.8)
para todo j e todo |β |<α
31
Observação 2.0.8. ∀ǫ> 0, ∃ j0 tal que 2(1−cos 2παq j
) < ǫpara j ≥ j0. Basta assim
excluir o início da sequência e tornar j0 suficientemente grande para que:
1−cos2πβ
q j< 1−cos(
2πα
q j) (2.0.9)
Seja l = 2πmax(M ,2q1) e considere o intervalo Iγ = [γ,γ+ l ], γ ∈ R. No
conjunto ±2πq j , j = 1,2, ..., existe um único elemento, digamos 2πqγ−1, que
é o membro maximal desse conjunto menor ou igual a γ. Da nossa escolha
de l:
2πqγ ∈ Iγ, (2.0.10)
com 2πqγ o próximo membro desse conjunto maior 2πqγ−1. Como
qγ(p
2−1) = pγ+βγ
qγ
, |βγ <α, (2.0.11)
temos:
| f (t +τ)− f (t ) |=| e i (p
2−1)τ−1 |=| e i 2πβγ −1 |= 2[1−cos 2πβγ
qγ
] < ǫ (2.0.12)
Logo, f é quase-periódica.
Definição 2.0.9. (Bohr) S ⊂ R é relativamente denso se ∃L > 0 tal que [a, a +
L]∩S 6=φ, ∀a ∈R.
Definição 2.0.10. (Bohr) Seja f contínua definida emR. O número τ é chamado
de número de translação de f correspondente a ǫ> 0 se | f (t+τ)− f (t ) |< ǫ,∀t ∈
32 Funções quase-periódicas
R, e o conjunto τ( f ,ǫ)= τ f (ǫ) = τ :| f (t +τ)− f (t ) |< ǫ,∀t ∈R dos números de
translação é chamado conjunto ǫ-translação.
Definição 2.0.11. (Bohr) Uma função f contínua emR é (Bohr) quase-periódica
se, dado ǫ> 0, o conjunto ǫ-translação de f é relativamente denso.
A definição anterior é evidentemente equivalente à primeira, e assim omiti-
mos em geral Bohr em "Bohr quase-periódica".
Definição 2.0.12. (Fink) Uma função f é quase-periódica se para toda sequên-
cia (α′n),α′
n ∈ R, existe uma subsequência (αn) tal que f (t +αn) converge uni-
formemente em R.
As definições acima são equivalentes (ver Fink).
Lema 2.0.13. (Hale) Toda função a.p. é limitada e uniformemente contínua
em R
Demonstração: Se f é a.p., então ∀ǫ> 0, ∃l > 0 tal que ∀t ∈ R∃τ ∈ [t − l , t ] tal
que:
| f (t )− f (t −τ) |< ǫ (2.0.13)
Fazendo t ′ = t −τ, temos o ≤ τ′ ≤ l e
| f (t )− f (t ′) |< ǫ (2.0.14)
Tomando ǫ = 1, fixamos l como acima e notamos M = sups∈[0,l ] | f (s) |,
então | f (t ′) |≤ M e assim, | f (t ) |≤ M +1, ∀t ∈ R, e, assim, f é limitada.
33
Dado ǫ> 0 e l como no começo, como [-l,l] é compacto, f é uniformemente
contínua neste intervalo, e assim, existe δ> 0 tal que se t’,s’∈ [-l,l] são tais que
| t ′− s ′ |< δ, então | f (t ′)− f (s ′) |< ǫ.
Sejam agora t, s ∈ R com | t − s |< δ, t < s, e considere o intervalo [t,t+l].
Existe τ ∈ [t , t + l ] tal que | f (σ+τ)− f (σ) |< ǫ, ∀σ ∈ R; denotando t ′ = t −τ,
s ′ = s −τ, temos | f (t )− f (t ′) |< ǫ, | f (s)− f (s ′) |< ǫ, e | t ′− s ′ |< δ. Logo:
| f (t )− f (s) |≤| f (t )− f (t ′) | + | f (t ′)− f (s ′) | + | f (s ′)− f (s) |< ǫ (2.0.15)
Assim, f é uniformemente contínua em R.
Definição 2.0.14. (Bochner) O conjunto translação de uma função f definida
em R é o conjunto de funções t 7→ f (t +h), t ∈ R.
Definição 2.0.15. Uma função contínua f em R é normal se o conjunto das
translações de f é relativamente compacto no sentido de convergência uni-
forme em R, isto é, para cada sequência de translações f (· +h′n) existe uma
subsequência uniformemente convergente f (·+hn).
Definição 2.0.16. O hull H(f) de f é o fecho do conjunto de translação de f sob
a convergência uniforme.
Claramente, uma função é a.p. se e somente se for normal
Já possuímos os conceitos básicos a respeito das funções quase-periódicas.
Vamos tratar de algumas de suas propriedades.
Propriedades (Bochner)
34 Funções quase-periódicas
1. Se f é a.p., então f (· + a), f (a·), a ∈ R, f (·)+k , k f (·), k ∈ C , ¯f (·), | f (·) |,
[ f (·)]n , n ∈ N são a.p.
2. O limite uniforme de uma sequência de funções a.p. é a.p. Em particu-
lar, se f é a.p., então ∀g ∈ H( f ) é a.p.
Demonstração: Seja fnu−→ f , fn a.p.. Dado ǫ> 0, existe n0 tal que ∥ fn0 −
f ∥∞< ǫ/3. Como fn0 é a.p., ∃L tal que ∀Iγ = I [γ,γ+L] ⊂ R,∃ τ ∈ Iγ tal
que | fn0(t +τ)− fn0(t ) |< ǫ/3,∀t ∈ R. Assim:
| f (t+τ)− f (t ) |≤| f (t+τ)− fn0(t+τ) | + | fn0(t+τ)− fn0(t ) | + | fn0(t )− f (t ) |< ǫ,
(2.0.16)
e assim, f é a.p.
3. Se f1, f2 são a.p., f1 + f2 e f1 f2 são a.p.. Se inft∈R | f (t ) |> 0, 1/ f1 é a.p.
Demonstração: f1 + f2 segue da definição 1.
f1 f2 segue de:
f1 f2 =1
2[( f1 + f2)2 − f 2
1 − f 22 ] (2.0.17)
e da propriedade 1.
1/ f1 segue da definição 1.
4. Se f é a.p. e f’ existe e é uniformemente contínua em R, então f’ é a.p..
5. Se F : Ω ⊂ C → C é uniformemente contínua e ( f1(t ), ..., fn(t )) ∈Ω, ∀t ∈
R, f j a.p., então F ( f1(·), ..., fn(·)) é a.p..
35
Em particular, f,g a.p. ⇒f+g, fg a.p..
6. Se f é a.p. então:
∫t
0f a.p. ⇒
∫t
0f l i mi t ad a (2.0.18)
Teorem 2.0.17. Se f é a.p., o valor médio de f definido por:
M [ f ] = limT→∞
1
T
∫t+T
tf (s)d s (2.0.19)
existe e independe de t. Se f é a.p. e λ ∈R, definimos:
a(λ) = M [ f (·)e−iλ·] = limT→∞
1
T
∫T
0f (t )e−iλt d t (2.0.20)
Lema 2.0.18. Se f é a.p., então existe apenas uma quantidade enumerável de
λ para os quais a(λ) 6= 0.
A seguir, designamos os λ para os quais a(λ) 6= 0 por (λ j )), e os denomi-
namos expoentes de Fourier de f. Os coeficientes de Fourier são denomina-
dos a j = a(λ j ).
f (t ) ∼∑
a j e iλ j t (2.0.21)
Teorem 2.0.19. Se f e g são a.p., f 6= g , então suas séries de Fourier são difer-
entes. Além disso, se f (t ) ∼∑a j e iλ j t , então
∑ | an |2<∞. As operações usuais
nas séries de Fourier permanecem válidas.
Lema 2.0.20. Se f é a.p. com expoentes de Fourier λ j > 0, então∫t f é a.p..
36 Funções quase-periódicas
Exemplo 2.0.21.
f (t ) =+∞∑
n=1
1
n2e i t
n2 (2.0.22)
Consideremos a integral de f(t).
∫
f (t )d t ∼+∞∑
n=1
1
n2
ei tn2
in2
=+∞∑
n=1(−i )e
i tn2 (2.0.23)
Se∫
f (t )d t for a.p., sua expansão é∑+∞
n=1(−i )ei tn2 , mas
∑+∞n=1 | (−i ) |2= +∞,
e, assim,∫
f (t )d t não é a.p..
Lembremos que se f é periódica M [ f ] = 0, então∫t
0 f (s)d s é periódica.
Definição 2.0.22. Suponha (λ j ), λ j ∈ R. O módulo m(λ j ) do conjunto λ j é o
conjunto que consiste de todos os números reais que são combinações lineares
dos λ j com coeficientes inteiros.
m(λ j ) = N∑
n=1anλ jn , an ∈ Z (2.0.24)
Definição 2.0.23. Um conjunto α j de números reais é linearmente indepen-
dente (sobre R)se, ∀N,
N∑
j=1
r jα j = 0,r j ∈Q⇒ r j = 0 (2.0.25)
Observação 2.0.24. Isto é equivalente a ser L.I. sobre Z
Exemplo 2.0.25. 1,p
2
Definição 2.0.26. Se γn é uma sequência qualquer números reais, dizemos
que α j é uma base (racional) se:
37
1. α j é l.i.
2. Cada γ em γn é uma combinação linear (finita) de elementos de α j
A base é chamada de inteira se esta combinação linear puder ser tomada a
coeficientes inteiros.
Exemplo 2.0.27. 1. nw,n ∈ Z tem base inteira w
2. n +mp
2,n,m ∈ Z tem base inteira 1,p
2
3. 1n ,n ∈ N∗ tem base 1 (não-inteira)
4. 1,2,p
2, 3p
22 tem base 1,
p2
2
Nos interessaremos apenas pelas bases inteiras.
Definição 2.0.28. Se m( f ) possuir uma base inteira finita, dizemos que f é
quasi-periódica.
Deve-se notar que os conceitos de quasi-periódica e quase-periódica são
diferentes.
Definição 2.0.29. Se f é a.p. com expoentes λ j , o módulo de f , m( f ), é o
módulo de λ j
Definição 2.0.30. Se m( f ) tem uma base inteira com um único elemento β, f
é limit periodic.
Intuitivamente, o módulo de f nos dá uma idéia do quão complicada f é;
quanto maior o módulo, mais expoentes na sua série de Fourier existirão.
38 Funções quase-periódicas
Teorem 2.0.31. Suponha f , g a.p.. Se g (·+τ j ) converge uniformemente para
toda sequência (τ j ) tal que f (· +τ j ) converge uniformemente, então m(g ) ⊂
m( f ).
Observação 2.0.32. χ( f ) ≡ (τ j : f (t +τ j ) converge uniformemente . O teo-
rema anterior é então:
χ( f ) ⊃ χ(g ) ⇒ m(g ) ⊂ m( f ). (2.0.26)
χ( f ) ⊃ χ(g ): é "mais fácil"as translações de g convergirem que f: g é "mais
simples"que f: m(g ) ⊂ m( f )
Teorem 2.0.33. Se f é a.p., f ∼ ∑∞n=1 ane iλn t , então existe uma sequência de
inteiros K(k) e uma sequência de somas trigonométricas finitas
σk(t ) =K (k)∑
n=1r (k)
n ane iλn t (2.0.27)
tal que:
σk(t )− f (t )k→∞−−−→ 0 (2.0.28)
uniformemente em t. Além disso, os r kn não dependem de an.
Teorem 2.0.34. Suponha que f é a.p. com expoentes λn . Se τ j é uma sequên-
cia de números reais tal que e iλnτ jk→∞−−−→1 para todo λn , então:
| f (t +τ j )− f (t ) | j→∞−−−→ 0 (2.0.29)
uniformemente em t.
39
Observação 2.0.35. Para séries de Fourier:
σn(x) = 1
2a0 +
n∑
k=1
[ak coskπx
L+bk sin
kπx
L], (2.0.30)
ak =1
L
∫
−LL f (x)cos
kπx
Ld x (2.0.31)
bk =1
L
∫
−LL f (x)sin
kπx
Ld x (2.0.32)
σn+1 =1
n +1[s0 + s1 + ...+ sn] (2.0.33)
Teorem 2.0.36. [Féjer] f : R→R, 2L periódica e seccionalmente contínua
limn→∞
σn(x) = 1
2[ f (2.0.34)
Se f é contínua, σn → f uniformemente em R
Demonstração: Seja ǫ> 0. Do Teorema 2.0.33, existe k=kǫ tal que:
| f (t )−σk(t ) |< ǫ, ∀t ∈R (2.0.35)
Como e iλnτ jj→∞−−−→1 para todo λn , existe J=J(k,ǫ) tal que:
K (k)∑
n=1| r (k)
n an || e iλnτ j −1 |< ǫ (2.0.36)
para j > Jǫ (tomamos Jnǫ = J (k ,nǫ) e tomamos Jepsi lon = maxn=1,...,K (k) Jn,ǫ,
por exemplo). Logo, ∀t ∈ R, ∀ j ≥ Jǫ,
40 Funções quase-periódicas
| f (t +τ j )− f (t ) |≤ 2ǫ+ |σk(t +τ j −σk(t ) | ≤ 2ǫ+K (k)∑
n=1| r (
nk)an || e iλnτ j −1 |< 3ǫ,
(2.0.37)
donde segue o resultado anunciado
Teorem 2.0.37. Sejam f : R → C e φ 6= λn ⊂ R um subconjunto não-vazio
enumerável de R. Se para toda sequência de números reais τ j , a condição
limj→∞
e iλnτ j = 1 (2.0.38)
implicar
limj→∞
f (t +τ j ) = f (t ) (2.0.39)
uniformemente em t, então f é a.p.
Demonstração: Utilizamos a definição 5 de a.p..
Notemos inicialmente que f é contínua, pois, se τ j → 0, então e iλnτ jj→∞−−−→1
e, assim, f (t +τ j ) → f (t ), ∀t ∈R.
Seja τ j uma sequência de números reais. Como S1 é compacto , existe
θ1 ∈R tal que
limj→∞
e iλ1τ j = e iλ1θ1, 0≤λ1θ1 < 2π (2.0.40)
com τ(n)j subsequência de τ j . Indutivamente, constituímos assim
sequências τ(n)j e θn com
41
limj→∞
e iλnτ(n)j = e iλnθn , 0 ≤λnθn < 2π, (2.0.41)
e τ(n)j subsequência de τ(n−1)
j . Tomamos τ′j = τ(N )j se λn = λ1, ...,λN e
τ′j = τ( j )j se λn for infinita. Logo,
limj→∞
e iλnτ′j = e iλnθn (2.0.42)
Assim f (t +τ′j −θn)j→∞−−−→ f (t +θn) uniformemente e, pela Definição 5, f é
a.p..
Teorem 2.0.38. Suponha f a.p. e g : R→C . Se, para cada sequência de números
reais τ j para os quais f (t + τ j ) − f (t )j→∞−−−→0 uniformemente em t tivermos
g (t +τ j − g (t )j→∞−−−→ uniformemente em t, então g é a.p. e m[g]⊂m[f].
Demonstração: Seja τ j uma sequência tal que e iλnτ jj→∞−−−→1, com λn os
expoentes de f. Pelo Teorema 5, f(t+τ j )j→∞−−−→f(t) uniformemente em t, e pela
hipótese, g(t+τ j )j→∞−−−→g(t) uniformemente em t. Logo, pelo Teorema 2.0.37, f
é a.p..
A demonstração de que m[g]⊂m[f] segue de Favard, p.81.
Nosso próximo será empregar funções quase-periódicas em equações difer-
enciais. Consideremos a seguinte situação:
y · = f (t ) (2.0.43)
f a.p., M[f]=0,∫t f não necessariamente limitada. Queremos obter uma
aproximação a.p. da solução de y ·=f(t).
42 Funções quase-periódicas
Lema 2.0.39. [Bogoliubov] Suponha que f a valores em Cn é a.p. e M[F]=0.
Para todo η > 0, existe uma função escalar contínua ξ′η, 0 < η <∞, ξηη→∞−−−→0
tal que a função a.p. fη definida por:
fη(t ) =∫t
−∞e−η(t−s) f (s)d s,
é a única solução limitada em R de y · = f (t )−ηy e satisfaz
| fη(t ) |≤ ξη/η e
∣∣∣∣
d
d tfη(t )− f (t )
∣∣∣∣≤ ξη
para todo t ∈R. Além disso, m[ fη] =m[ f ].
Demonstração: Como M [ f ] = 0, existe uma função escalar decrescente ǫ =
ǫ(T ), 0 < T <∞, ǫ(T )T→+∞−−−−→0 tal que:
∣∣∣∣
1
T
∫t+T
tf (s)d s
∣∣∣∣≤ ǫ(T ),
para todo T>0, e
fη(t ) =∫t
−∞e−η(t−s) f (s)d s.
Fazendo u = t − s, temos
∫∞
0e−ηs f (t − s)d s =
∞∑
k=0
∫(k+1)T
kTe−ηs f (t − s)d s
=∞∑
k=0
e−nηT∫(k+1)T
kTf (t − s)e−η(s−kT )d s
43
E então
| fη(s) | =|∞∑
k=0
e−nηT∫(k+1)T
kTf (t − s)e−η(s−kT )d s |≤
∞∑
k=0
| e−nηT∫(k+1)T
kTf (t − s)e−η(s−kT )d s |≤
∞∑
k=0
| e−nηT∫(k+1)T
kTf (t − s)[e−η(s−kT ) −1+1]d s |≤
∞∑
k=0
| e−nηT∫(k+1)T
kTf (t − s)[e−η(s−kT ) −1]d s | +
∞∑
k=0
| e−ηkT∫(k+1)T
kTf (t − s)d s | .
Seja B=supf (t) | f (t ) |<+∞. Temos:
| fη(t) |≤∞∑
k=0
e−nηT∫(k+1)T
kT| f (t−s) | (1−e−η(s−kT ))d s+
∞∑
k=0
|∫(k+1)T
kTf (t−s)d s | ≤(47)
B∞∑
k=0
e−nηT∫(k+1)T
kT(1−e−η(s−kT ))d s +
∞∑
k=0
e−nηT T ǫ(T )≤u=s−kT
B∞∑
0e−ηkT
∫T
0(1−e−ηud u+T ǫ(T )
1
1−e−ηT≤ B
∫T
0(1−e−ηu)d u+T ǫ(T )
1
1−e−ηT
≤ BT +T ǫ(T )[1−e−ηT ]−1 (2.0.44)
Como ǫ(T )T→∞−−−→ 0 é decrescente, sempre existe uma solução para a equação
1−e−ηT = ǫ(T ) (2.0.45)
(para se convencer, basta olhar a intersecção dos gráficos). Seja Tη solução
desta equação. Como ǫ(T ) > 0 para todo T, temos Tηη→∞−−−→. Como ǫ(T )
T→∞−−−→
0, temos ηTηη→0−−→ pois 1−e−ηTη = ǫ(Tη). A solução Tη é contínua em η. Defin-
imos ζ(η) = (B +1)ηTη. Assim, ζ é contínua, ζ(η)η→∞−−−→ 0 e, como (51) é válida
44 Funções quase-periódicas
para todo T > 0, em particular,
| fη |≤ BT +Tηǫη(1−e−ηTη)−1 = BTη+Tη =ζ(η)
η(2.0.46)
Logo, a propriedade 2 está provada.
Temos
fη(t ) =∫t
−∞e−η(t−s) f (s)d s
Assim, fη é solução da equação diferencial
d fηd t
(t ) = f (t )−η
∫t
−∞e−η(t−s) f (s)d s = f (t )−η fη(t )
Logo,
|d fηd t
(t )− f (t ) |= η | fη(t ) |≤ ζ(η).
Finalmente, resta mostrar que fη é a.p. com m[ fη] = m[ f ]. Seja (τ j ) uma
sequência de números reais tais que f (t + τ j − f (t )j→∞−−−→ 0 uniformemente
para t ∈ R. Então:
| fη(t +τ j )− fη(t ) | =|∫0
−∞eηs[ f (t +τ j + s)− f (t + s)]d s |
≤∫0
−∞eηs sup
u∈R| f (u +τ j )− f (u) | d s
≤ η−1 supu∈R
| f (u +τ j )− f (u) | j→∞−−−→ 0,
de forma que fη(t+τ j )− fη(t )j→∞−−−→ 0 uniformemente para t ∈ R. Pelo Teorema
7, fη é a.p. e m[ fη] ⊂m[ f ].
Por (55),d fηd t é a.p., e m[
d fηd t ] = m[ fη]. Mas f (t ) = d fη
d t (t )+η fη(t ); logo, m[ f ] ⊂
m[ fη] e, assim, m[ f ]= m[ fη].
45
Assim, se f é a.p., a solução do y . = f (t ) pode ser aproximada por uma
função a.p..
Também é de interesse considerar o caso em que f depende de outros parâmet-
ros.
Definição 2.0.40. Uma função contínua f (t , x) a valores em Cn, t ∈R, x ∈Ck ,
é dita a.p. em t uniformemente em relação a x em um conjunto compacto Λ
( f ∈U AP (Ck ,Cn)) se f (t , x) é contínua em R X Ck e ∀η> 0, ∃l > 0 tal que em
qualquer intervalo I de tamanho l , ∃τ ∈ I tal que:
| f (t +τ, x)− f (t , x) |< η (2.0.47)
para todo t ∈ R, x ∈Λ.
Queremos agora considerar o seguinte problema:
∂y
∂t= f (t , x) (2.0.48)
com f u.a.p..
Lema 2.0.41. Seja f :R X Ck →Cn, f ∈U AP (Ck ,Cn) e k ⊂Ck compacto, dig-
amos K = Bσ = x ∈ Ck , | x |≤ σ. Se M[f(.,x)]=0 para x ∈ Bσ então ∀σ1 < σ,
∃η0 > 0 e uma função w(t , x,η) definida e contínua para t ∈R, x ∈ Bσ, 0 < η<
η0 a qual é w ∈ U AP (Bσ1 X (0,η0),Cn), m[w(., x,η)] = m[ f (., x)], w(t , x,η)
tem derivadas de qualquer ordem em relação a x e é tal que se
g (t , x,η) = ∂w(t , x,η)
∂t− f (t , x) (2.0.49)
46 Funções quase-periódicas
então g (t , x,η), ηw(t , x,η) e η∂w∂η
tendem a zero quando η→ 0 uniformemente
em relação a t ∈ R, x ∈ Bσ1. Se, além disso, f(t,x) tiver derivadas parciais
contínuas em relação a x, então ∂g∂t (t , x,η)
η→0−−→ 0 uniformemente em
R X Bσ1.
Demonstração: Do Lema 2.0.39, existe fη ∈ U AP (Bσ,Cn) definida pela pro-
priedade 1 que é a.p. uniformemente para η em compactos de (0,∞) e tal
que
| fη(t , x) |≤ ζ(η)
η(2.0.50)
∂ fη∂t
(t , x)− f (t , x) =−η fη(t , x) (2.0.51)
com ζ(η)η→0−−→ 0.
Para a > 0 fixado e um inteiro q ≥ 1, definimos:
a =
da(1−a−2 | x |2)2q if | x |≤ a,
0 if | x |> a
(2.0.52)
com da uma constate escolhida de forma que∫
Bσa = 1 (a idéia é
regularizar fηemx).
Definimos:
w(t , x,η)=∫
Bσ
a(x − y) fη(t , y)d y (2.0.53)
temos w ∈U AP (Bσ,Cn) pois fη possui esta propriedade.
47
a tem derivadas parciais contínuas até a ordem 2q-1 com relação a x,
as quais são limitadas por G(a)/(área de integração) com G(a), 0 < a < ∞,
contínua. Pode acontecer que G(a)a→0−−−→∞. Assim, w tem derivadas parciais
com relação a x de ordem até 2q-1. Temos:
∂αx w(t , x,η)=∫
Bσ
∂αxa(x − y) fη(t , y)d y
e
∣∣∂αx w(t , x,η)
∣∣≤
∫
Bσ
∣∣∂αxa(x − y)
∣∣ | fη(t , y) | d y
≤∫
Bσ
G(a)∫
Bσd z
ζ(η)
ηd y
=G(a)ζ(η)η−1
Uma vez que q é arbitrário, o número de derivadas com relação a x pode ser
tão grande quanto desejado.
Vamos escolher a = aη de forma que aηη→0−−→ 0, G(aη)ζη
η→0−−→ 0. Temos,
assim
| ηw(t , x,η) |≤G(Aηζηη→0−−→ 0, (2.0.54)
| η∂w(t , x,η)
∂x|≤G(Aηζη
η→0−−→ 0, (2.0.55)
uniformemente em (t , x)∈ R X B j .
Para todo σ1 < σ, escolha η0 pequeno tal que σ1 −aη < σ para 0 < η < η0.
Da definição de a(x), segue que:
∫
Bσ
aη(x − y)d y = 1 (2.0.56)
48 Funções quase-periódicas
para todo x ∈ Bσ1, 0< η< η0. Fazendo g− = g +ηw , temos, de (61), (62) e (64),
g−(t , x,η) = g+ηw = ∂w
∂t− f (t , x)+ηw =
∫
Bσ
a(x−y)[∂t f (t , y)− f (t , x)+η f (t , y)]d y =∫
Bσ
a(x − y)[ f (x, y)− f (t , x)]d y (2.0.57)
Da definição de a,
| g−(t , x,η) |≤ sup0≤|x+y |≤aη
| f (t , y)− f (t , x) | η→0−−→ 0, (2.0.58)
pois aηη→0−−→ 0 e f é uniformemente contínua em R X Bσ1; logo, existe δ(η)
definida para 0< η< η0 com δη→0−−→ 0 tal que:
| g−(t , x,η) |< δ(η). (2.0.59)
Assim,
| g (t , x,η) |< δ(η)+G(aηζ(η)η→0−−→ 0, (2.0.60)
onde gη→0−−→ 0 uniformemente em R X Bσ1. Se, além disso, f possui derivadas
parciais primeiras contínuas em x, então, integrando por partes em (71),
∂g−
∂x(t , x,η)=
∫
Bσ
aη(x − y)[∂ f
∂x(t , y)− ∂ f
∂x(t , x)]d y. (2.0.61)
Como acima, existe δ1(η), δ1(η)η→0−−→ 0, t.q.
| ∂g−
∂x|< δ1(η)
η→0−−→ 0, (2.0.62)
e, assim, | ∂g∂x |< δ1(η)+G(aη)ζ(η)
η→0−−→ 0, donde ∂g∂x
η→0−−→ 0 uniformemente em
49
R X Bσ1.
Se f(t,x) é periódica em alguma das componentes, w(t , x,η) pode ser es-
colhida periódica nessas componentes.
Se g é um n-vetor e φ é um r-vetor, dizemos que g (φ) é multiplamente
periódica em φ com vetor período ω = (ω1, ...,ωr ), ω j > 0, j=1,2,...,r, se g for
periódica na j-ésima componente deφ com períodoω j . Se g é multiplamente
periódica, então:
g (φ1 + t , ...,φr + t ) (2.0.63)
é a.p. em t uniformemente em φ.
Notando φ+ t = (φ1 + t , ...,φr + t ), definiremos o valor médio:
Mφ[g (φ)] = limT→∞
1
T
∫T
0g (φ+ t )d t (2.0.64)
Se φ= (φ1,φ2) e
g (φ)∑
j ,k
a j ke i (kµφ1+ jωφ2 (2.0.65)
temos:
Mφ[g (φ)] =∑
j ,k,kµ+ jω=0
a j ke i (kµφ1+ jωφ2 (2.0.66)
e isto pode ser uma função de φ se µ
ω∈Q
50 Funções quase-periódicas
O Lema 5 pode ser estendido a funções do tipo g (t ,φ, x) multiplamente
periódica emφ e a.p. em t uniformemente sobre (φ, x,η)∈Cr X Bσ1 X (0,η1)
tal que:
G(t ,φ, x,η) = ∂w
∂t+
r∑
j=0
∂w
∂φ j− g (t ,φ, x) (2.0.67)
e ηw , η∂w∂φ
, η∂w∂x
η→0−−→ 0 uniformemente em (t ,φ, x) ∈R X Cr X Bσ1. Se g
possuir derivadas parciais primeiras contínuas em relação a x, então as
derivadas parciais de G(t ,φ, x,η) em relação a φ, x também tendem a 0
quando η→ 0 uniformemente em t, φ, x. A demonstração disto é muito
similar à do Lema 5.
Capítulo
3
Séries de Fourier
3.1 Notações
Escrevemos E para representar o corpo dos números reais R ou o corpo
dos números complexos C. Similarmente, Ed representa Rd ou Cd .
O conjunto de funções quase-periódicas a valores em E é denotado por
A P (E), e, similarmente, escrevemos A P (Ed ) para o conjunto das funções
quase-periódicas a valores vetoriais em Ed . O conjunto das funções de uma
variável real a valores em Ed contínuas e limitadas é denotado por B(Ed ).
3.2 Famílias uniformemente quase-periódicas
3.2.1 Introdução
Até agora, interessamo-nos apenas a funções quase-periódicas de uma
única variável, f ∈A P (E) ou f ∈A P (Ed ). Entretanto, o interesse no estudo
52 Séries de Fourier
de equações diferenciais quase-periódicas é o estudo de sistemas do tipo
x = f (x, t ), x ∈ Ed , t ∈R,
com f uma função quase-periódica em t para cada x ∈ Ed fixado. Neste
contexto, é importante considerar o que ocorre com t 7→ f (ϕ(t ), t ) quando
ϕ ∈ A P (Ed ). Notemos que, se f é T -periódica em t para todo x fixado e ϕ
é T -periódica, então t 7→ f (ϕ(t ), t ) é T -periódica. Esta propriedade, entre-
tanto, não se generaliza ao caso das funções quase-periódicas.
Exemplo 3.2.1. Consideremos a função f : R×R → R definida por f (x, t ) =
sin(xt ). Para todo x ∈ R fixado, t 7→ f (x, t ) é periódica; além disto, a função
t 7→ sin t é periódica. Entretanto, g (t ) = f (sin t , t ) = sin(t sin t ) não é quase-
periódica; na verdade, esta função não é uniformemente contínua.
−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5g(t) = sin(t sin t)
t
g(t)
Figura 3.1: Gráfico de g (t ) = sin(t sin t )
De fato, considere as sequências (tn) e (sn) dadas por
tn = 2nπ, sn = 2nπ+ 1
4n, n ∈N∗
Temos g (tn) = 0 para todo n ∈N∗, enquanto que sn sin(sn)=(
2nπ+ 14n
)
sin(
14n
)
3.2 Famílias uniformemente quase-periódicas 53
pode ser estimado por
(
2nπ+ 1
4n
)
sin
(1
4n
)
≤(
2nπ+ 1
4n
)1
4n= π
2+ 1
16n2,
(
2nπ+ 1
4n
)
sin
(1
4n
)
≥(
2nπ+ 1
4n
)2
π
1
4n= 1+ 1
8πn2,
donde
1+ 1
8πn2≤ sn sin(sn) ≤ π
2+ 1
16n2,
e, assim, para n suficientemente grande, sin1 ≤ sin(sn sin(sn)) ≤ 1, isto é,
sin1 ≤ g (sn) ≤ 1.
Logo, temos
|tn − sn| −−−→n→∞
0 mas |g (tn)− g (sn)| ≥ sin1 > 0 para todo n ∈N∗,
o que mostra que g não é uniformemente contínua. Assim, t 7→ f (sin t , t ) não
é quase-periódica.
O Exemplo 3.2.1 mostra que é necessário exigir mais regularidade da função
f (x, t ) para poder garantir que f (ϕ(t ), t ) seja quase-periódica quando ϕ(t ) e
t 7→ f (x, t ) o forem para cada x ∈ Ed . Isto motiva a definição de famílias uni-
formemente quase-periódicas.
54 Séries de Fourier
3.2.2 Famílias uniformemente quase-periódicas
Fornecemos a definição de famílias uniformemente quase-periódicas em
termos do conjunto ε-translação
T ( f ,ε)= τ ∈R : | f (t +τ)− f (t )| ≤ ε, ∀t ∈R.
Lembremos que f ∈ A P (Ed ) se e somente se T ( f ,ε) é relativamente denso
para todo ε> 0.
Definição 3.2.2. Seja F uma família de funções quase-periódicas. Dizemos
que F é uma família uniformemente quase-periódica (u.a.p.) se for uni-
formemente limitada e se, para todo ε > 0, o conjunto ε-translação de F
definido por
T (F ,ε) =⋂
f ∈F
T ( f ,ε)
é relativamente denso e contém um intervalo em torno de 0.
Notemos que o fato de conter um intervalo em torno de 0 está automatica-
mente satisfeito para o conjunto ε-translação de uma única função, T ( f ,ε),
devido à continuidade uniforme de f . Exigir que T (F ,ε) contenha um inter-
valo em torno de 0 corresponde assim a exigir que a família F seja uniforme-
mente equicontínua.
O estudo das famílias u.a.p. pode ser feito de forma mais conveniente
através do uso das funções de translação de Bochner.
Definição 3.2.3. Uma função v : R → R contínua e limitada é chamada de
função de translação se satisfaz as seguintes propriedades:
3.2 Famílias uniformemente quase-periódicas 55
1. para todo τ ∈R, v(τ) ≥ 0 e v(−τ) = v(τ);
2. v(0) = 0;
3. v(t + s) ≤ v(t )+v(s).
A Definição 3.2.4 introduz o conceito de função de translação associada a
uma função e permite compreender a nomenclatura dada na Definição 3.2.3.
Definição 3.2.4. Seja f : R → Ed uma função contínua e limitada. A função
de translação de Bochner associada a f , v f , é definida sobre R por
v f (τ) = supt∈R
| f (t +τ)− f (t )|.
Proposição 3.2.5. 1. A função de translação de Bochner v f associada a uma
função f é uma função de translação.
2. Toda função de translação v é função de translação de Bochner associada
a si mesma, vv = v.
3. f ∈A P (Ed ) se e somente se v f ∈A P (R).
Demonstração: 1. É imediato que v f satisfaz 1 e 2 da Definição 3.2.3. Além
disso,
v f (τ+σ) = supt∈R
| f (t +τ+σ)− f (t )| = supt∈R
| f (t +τ)− f (t −σ)| ≤
≤ supt∈R
| f (t +τ)− f (t )|+ supt∈R
| f (t )− f (t −σ)| = v f (τ)+v f (σ),
e, assim, v f é função de translação.
56 Séries de Fourier
2. Temos v(t +τ)−v(t ) ≤ v(τ) e v(t +τ)−v(t ) ≥ v(t +τ)−v(t +τ)−v(−τ) =
−v(τ), donde |v(t +τ)−v(t )| ≤ v(τ), e, assim,
vv (τ) = supt∈R
|v(t +τ)−v(t )| = v(τ),
uma vez que o supremo é atingido em t = 0.
3. Basta notar, utilizando o item 2, que, para ε> 0,
T ( f ,ε)= τ ∈R : v f (τ) ≤ ε = τ ∈R : vv f(τ) ≤ ε= T (v f ,ε).
Em vista da Proposição 3.2.5, uma função de translação de Bochner asso-
ciada a uma certa f é chamada simplesmente de função de translação (asso-
ciada a f ). As funções de translação permitem obter um critério para decidir
de uma dada família de funções quase-periódicas é u.a.p., dado no teorema
a seguir.
Teorem 3.2.6. Seja F uma família uniformemente limitada de funções con-
tínuas e defina v(τ)= sup f ∈Fv f (τ). Então v é limitada, satisfaz as propriedades
1-3 da Definição 3.2.3, e é assim uma função de translação se for contínua.
Além disso, a família F é u.a.p. se e somente se v ∈A P (R).
Demonstração: Como F é uniformemente limitada e
v(τ) = supf ∈F
supt∈R
| f (t +τ)− f (t )|,
3.2 Famílias uniformemente quase-periódicas 57
segue que v é limitada. Além disso, para todo τ ∈R, temos
v(τ) ≥ 0, v(−τ) = supf ∈F
v f (−τ) = supf ∈F
v f (τ) = v(τ), v(0) = supf ∈F
v f (0) = 0;
também, para t , s ∈R, temos, para toda f ∈F ,
v f (t + s) ≤ v f (t )+v f (s) ≤ v(t )+v(s),
donde
v(t + s) = supf ∈F
v f (t + s)≤ v(t )+v(s).
Logo, v satisfaz as propriedades 1-3 da Definição 3.2.3.
Para todo ε> 0, temos
T (v,ε) =T (F ,ε).
De fato, como na Proposição 3.2.52, temos vv = v , pois v satisfaz as pro-
priedades 1-3 da Definição 3.2.3. Assim, temos
τ ∈ T (v,ε) ⇐⇒ vv (τ) ≤ ε
⇐⇒ v(τ) ≤ ε
⇐⇒ ∀ f ∈F , v f (τ) ≤ ε
⇐⇒ ∀ f ∈F ,τ ∈T ( f ,ε)
⇐⇒ τ ∈ T (F ,ε).
Assim, se v ∈ A P (R), então v é também uniformemente contínua e, para
todo ε> 0, T (v,ε) =T (F ,ε) é relativamente denso e contém um intervalo em
torno de 0; logo, F é u.a.p.; reciprocamente, se F é u.a.p., T (F ,ε) = T (v,ε)
58 Séries de Fourier
é relativamente denso e contém um intervalo em torno de 0 para todo ε> 0;
logo, v é uniformemente contínua e v ∈A P (R).
Um caso particular do Teorema 3.2.6 é o de uma família finita de funções
F .
Corolário 3.2.7. Se F é uma família finita de funções de A P (Ed ), então F é
uma família u.a.p..
Demonstração: Como F é uma família finita de funções limitadas, F é uni-
formemente limitada. Além disso, v = supf ∈Fv f é quase-periódica por ser
supremo de uma família finita de funções quase-periódicas1. Logo, o Teo-
rema 3.2.6 garante que F é uma família u.a.p..
Notemos que, em particular, se f1, f2 ∈ A P (Ed ), então T ( f1,ε)∩T ( f2,ε)
é relativamente denso para todo ε > 0, o que não é trivial: a interseção de
dois conjuntos relativamente densos quaisquer pode não ser relativamente
densa, e pode inclusive ser vazia.
A Definição 3.2.2 de família uniformemente quase-periódica se inspira da
definição de Bohr para uma função quase-periódica, utilizando por base o
conceito de conjunto ε-translação. Assim como no caso de funções quase-
periódicas, uma outra definição pode ser dada em termos de subsequências
convergentes de sequências de translações, inspirada assim na definição de
Bochner.
Teorem 3.2.8. Seja F uma família uniformemente limitada de funções quase-
periódicas. Então F é u.a.p. se e somente se, dada uma sequência real (α′n)n ,
1Basta notar que max f , g = g+max f −g ,0 e que max f ,0 = f +| f |2 e utilizar as propriedades já conhecidas
da soma e do módulo de funções quase-periódicas.
3.2 Famílias uniformemente quase-periódicas 59
existir uma subsequência (αn)n tal que t 7→ f (t +αn) converge uniformemente
em t ∈ R e f ∈ F , isto é, dado ε > 0, existe N = N (ε) tal que, para todos t ∈ R,
f ∈F e n,m ≥ N, temos | f (t +αn)− f (t +αm)| < ε.
Demonstração: Suponhamos que F é u.a.p. e definamos v(τ)= supf ∈Fv f (τ).
Pelo Teorema 3.2.6, v ∈ A P (R). Dada uma sequência real (α′n)n , existe as-
sim uma subsequência (αn)n tal que t 7→ v(t +αn) converge uniformemente
em t ∈ R. Assim, dado ε > 0, existe N = N (ε) tal que, se n,m ≥ M , en-
tão supt∈R |v(t +αn) − v(t +αm)| < ε. Mas v(αn −αm) = supt∈R | f (t +αn −
αm)− f (t )| = supt∈R | f (t +αn) − f (t +αm)| < ε, e, assim, para todo f ∈ F ,
v f (αn −αm) < ε. Logo, | f (t +αn −αm) − f (t )| < ε para todo t ∈ R, donde
| f (t +αn)− f (t +αm)| < ε para todo t ∈ R, fornecendo assim o resultado de-
sejado.
Para a recíproca, definimos v(τ) = supf ∈Fv f (τ); pelo Teorema 3.2.6, v sat-
isfaz as propriedades 1-3 da Definição 3.2.3. Tomamos (α′n)n uma sequência
real qualquer. Seja (αn)n uma subsequência tal que t 7→ f (t +αn) converge
uniformemente em t ∈ R e f ∈ F . Seja ε > 0. Então existe N = N (ε) tal que,
para todos t ∈R e f ∈F , se n,m ≥ N , temos | f (t +αn)− f (t +αm)| < ε. Logo,
v(αn −αm) = sup f ∈Fsupt∈R | f (t +αn −αm)− f (t )| ≤ ε para n,m ≥ N , e, assim,
|v(t +αn)− v(t +αm)| ≤ v(αn −αm) ≤ ε para todo t ∈ R se n,m ≥ N . Logo,
t 7→ v(t +αn) converge uniformemente em t ∈R.
Para concluir que v ∈ A P (R), resta mostrar que v é contínua em R. Mas
vale que |v(t +δ)− v(t )| ≤ v(δ) e, assim, basta mostrar que v é contínua em
0. Suponha, para obter uma contradição, que (δ′′n)n é uma sequência tal que
δ′′n −−−→
n→∞0 mas v(δ′′
n) não tende a 0. Assim, existem η0 > 0 e uma subsequên-
60 Séries de Fourier
cia (δ′n)n de (δ′′
n)n tais que v(δ′n) ≥ 2η0 > 0 para todo n ∈ N. Tomemos uma
subsequência (δn)n de (δ′n)n tal que t 7→ f (t +δn) converge uniformemente
em t ∈ R e f ∈ F ; como f é contínua e δn −−−→n→∞
0, este limite uniforme é
f . Logo, existe N tal que, para toda f ∈ F e todo t ∈ R e para n ≥ N , temos
| f (t +δn)− f (t )| < η0, isto é, v f (δn) < η0, donde v(δn) ≤ η0, o que contradiz
o fato de termos v(δ′n) ≥ 2η0 > 0 para todo n ∈ N. Esta contradição mostra
assim que v é contínua em 0 e, portanto, em R.
Logo, v ∈A P (R), e, pelo Teorema 3.2.6, F é u.a.p..
3.2.3 Famílias a um parâmetro em Ed
Começamos o estudo das famílias uniformemente quase-periódicas mo-
tivados pela questão de saber quando f (ϕ(t ), t ) é quase-periódica sabendo
que t 7→ f (x, t ) é quase-periódica para x fixado e ϕ é quase-periódica. Volta-
mos agora a esta questão, definindo o conceito de funções uniformemente
quase-periódicas em compactos.
Definição 3.2.9. Seja Ω⊂ Ed e seja f : Ω×R→ Ed uma função contínua. Para
x ∈Ω, notamos por fx : R→ Ed a função dada por fx(t ) = f (x, t ). Dizemos que
f é uniformemente quase-periódica em compactos de Ω, e escrevemos
f ∈UA P (Ω,Ed ),
se, para todo K ⊂Ω compacto, a família
FK = fx; x ∈K
for uniformemente quase-periódica.
3.2 Famílias uniformemente quase-periódicas 61
O teorema a seguir fornece uma importante caracterização das funções
uniformemente quase-periódicas em compactos em termos da continuidade
da aplicação que a cada x associa fx.
Teorem 3.2.10. Suponha que f : Ω×R→ Ed seja contínua e tal que t 7→ f (x, t )
é quase-periódica para todo x ∈Ω. Então f ∈ UA P (Ω,Ed ) se e somente se a
aplicação
F :
Ω→B(Ed )
x 7→ fx,
com fx : t 7→ f (x, t ), for contínua em relação à norma uniforme de B(Ed ).
Demonstração: Suponha F contínua e seja K ⊂ Ω compacto, de forma que
F é uniformemente contínua em K . Seja ε > 0. Então existe δ = δ(ε) > 0 tal
que, se x, y ∈ K são tais que ‖x − y‖ < δ e t ∈ R, então | f (x, t )− f (y, t )| < ε3 .
Considerando a cobertura de K por bolas de raio δ, podemos tomar, pela
compacidade de K , x1, . . . , xn ∈ K tais que K ⊂⋃nj=1 B(x j ,δ). A família fx j ; j =
1, . . .n é uma família finita de funções quase-periódicas, e é portanto u.a.p.
pelo Corolário 3.2.7; assim, T =⋂nj=1 T ( fx j , ε3 ) é relativamente denso e contém
um intervalo em torno de 0. Seja τ ∈ T . Para y ∈K , escolha j tal que ‖y−x j‖<
δ, e, assim,
| f (y, t +τ)− f (y, t )| ≤
≤ | f (y, t +τ)− f (x j , t +τ)|+ | fx j (t +τ)− fx j (t )|+ | f (x j , t )− f (y, t )| < ε.
Logo, τ ∈ T ( fy ,ε) para todo y ∈ K , donde τ ∈ T (FK ,ε) com FK = fy ; y ∈ K .
Assim, T (FK ,ε) ⊃T , donde segue que T (FK ,ε) é relativamente denso e con-
62 Séries de Fourier
tém um intervalo em torno de 0. Além disso, | f (y, t )| ≤ | fx j (t )| + ε3 ≤ M + ε
3
com M = maxi=1,...,n
supt∈R
| fxi (t )| < +∞, e, assim, FK é uniformemente limitada.
Logo, FK é uma família u.a.p. para todo K ⊂Ω compacto, donde segue que
f ∈UA P (Ω,Ed ).
Reciprocamente, suponha f ∈UA P (Ω,Ed ) e seja F como no enunciado.
Fixe K ⊂Ω compacto. Queremos mostrar que F é uniformemente contínua
sobre K . Seja ε> 0. Como FK = fx ; x ∈ K é uma família u.a.p., T = T (FK , ε3 )
é relativamente denso e, assim, existe L tal que [a, a +L]∩T 6= ; para todo
a ∈R. Notemos agora que, como f é contínua, f é uniformemente contínua
em K × [0,L], e, assim, existe δ > 0 tal que, se x, y ∈ K com ‖x − y‖ < δ e
t ∈ [0,L], temos | f (x, t )− f (y, t )| < ǫ3 . Agora, se t ∈R, existe τ ∈ [−t ,−t +L]∩T ,
de forma que t +τ ∈ [0,L] e, assim, se x, y ∈K com ‖x − y‖< δ, temos
| f (x, t )− f (y, t )| ≤
≤ | f (x, t )− f (x, t +τ)|+ | f (x, t +τ)− f (y, t +τ)|+ | f (y, t +τ)− f (y, t )| < ε
pois τ ∈ T . Como isto é válido para todo t ∈ R, se x, y ∈ K com ‖x − y‖ < δ,
temos
supt∈R
| f (x, t )− f (y, t )| ≤ ε,
e, assim, F é uniformemente contínua em K . Como isto é válido para todo
K ⊂Ω compacto, F é contínua em2Ω.
A questão da quase-periodicidade da composta t 7→ f (ϕ(t ), t ) para ϕ ∈
2Notemos que isto é válido sem nenhuma hipótese sobre Ω, isto é, Ω é um subconjunto qualquer de Ed .De fato, se x ∈Ω e (xn ) é uma sequência de pontos em Ω que tende a x, então o conjunto x, xn ;n ∈ N é umsubconjunto compacto de Ω, e vale então a continuidade de F neste conjunto; em particular, F (xn) −−−−−→
n→+∞F (x), e obtemos a continuidade de F em x para todo x ∈Ω.
3.2 Famílias uniformemente quase-periódicas 63
A P (Ed ) e f ∈ UA P (Ω,Ed ) é respondida de forma positiva pelo teorema a
seguir.
Teorem 3.2.11. Seja ϕ ∈A P (Ed ), Ω⊂ Ed contendo um compacto que contém
a imagem de ϕ e f ∈UA P (Ω,Ed ). Então t 7→ f (ϕ(t ), t ) é quase-periódica.
Demonstração: Seja K um compacto em Ω que contém a imagem de ϕ e
tomemos F a função definida no enunciado do Teorema 3.2.10. Seja ε > 0.
Pelo Teorema 3.2.10, F é contínua e, como K ⊂Ω é compacto, F é uniforme-
mente contínua sobre K , de forma que existe δ > 0 tal que, se x, y ∈ K com
‖x − y‖≤ δ, então, para todo t ∈R, | f (x, t )− f (y, t )| < ε2 .
Seja η= minδ, ε2 > 0 e considere a família G = ϕ∪FK com FK = fx; x ∈
K . Como FK é u.a.p., G é u.a.p. pelo Teorema 3.2.6: se v(τ) = supx∈K v fx (τ),
então v ∈A P (R) pelo Teorema 3.2.6, e, pela Proposição 3.2.53, vϕ ∈A P (R),
de forma que w = supv, vϕ ∈A P (R) e, assim, G é u.a.p. pelo Teorema 3.2.6.
Assim, T (G ,η) =T (ϕ,η)∩T (FK ,η) é relativamente denso.
Seja τ ∈ T (G ,η). Então τ ∈ T (ϕ,η), donde |ϕ(t +τ)−ϕ(t )| ≤ η≤ δ para todo
t ∈R, e τ ∈ T (FK ,η) ⊂T (FK , ε2), de modo que, para todo t ∈R,
| f (ϕ(t +τ), t +τ)− f (ϕ(t ), t )| ≤
≤ | f (ϕ(t +τ), t +τ)− f (ϕ(t ), t +τ)|+ | f (ϕ(t ), t +τ)− f (ϕ(t ), t )| < ε
Assim, τ ∈ T (g ,ε), com g : t 7→ f (ϕ(t ), t ). Logo, T (G ,η) ⊂ T (g ,ε), e, como
T (G ,η) é relativamente denso, o mesmo ocorre para T (g ,ε), de forma que
g ∈A P (R).
64 Séries de Fourier
3.3 Séries de Fourier
3.3.1 Introdução
Seja f : R → Ed uma função contínua T -periódica. Definindo λn = 2nπT
para n ∈Z, os coeficientes de Fourier de f são definidos por
an = 1
T
∫T
0f (t )e−iλn t d t , n ∈Z. (3.3.1)
Assim, podemos fazer a correspondência formal entre f e sua série de Fourier
f ∼+∞∑
n=−∞ane iλn t .
Os principais resultados referentes à teoria das séries de Fourier, apresenta-
dos, por exemplo, em [2, 10], são os seguintes:
1. A aplicação que a cada f associa os números (an ,λn) é injetora.
2. A série∑+∞
n=−∞ |an|2 converge e vale a equação de Parseval,
+∞∑
n=−∞|an|2 =
1
T
∫T
0| f (t )|2d t .
3. A função f pode ser uniformemente aproximada por somas parciais al-
teradas de sua série de Fourier (através, por exemplo, do Teorema de
Fejér); isto é, existem números bn,m independentes de f tais que, para
3.3 Séries de Fourier 65
m fixo, bn,m = 0 para n grande e, para todo t ∈R,
∣∣∣∣ f (t )−
+∞∑
n=−∞bn,mane iλn t
∣∣∣∣<
1
m.
Desejamos estender estes resultados a funções f ∈A P (Ed ). Uma vez que
as funções T -periódicas estão contidas em A P (Ed ) para todo T > 0, não há
motivo para se fixar um valor particular de T na definição de λn e em (3.3.1).
Assim, a ideia para a generalização da definição dos coeficientes de Fourier
consiste em considerar λ ∈R qualquer e tomar o limite quando T →+∞ em
(3.3.1).
3.3.2 Transformada de Bohr
No que segue, a teoria de Séries de Fourier será desenvolvida para funções
de UA P (Ω,Ed ) com Ω ⊂ Ed . O caso de funções de A P (Ed ) é obtido assim
como caso particular tomando Ω reduzido a um único ponto. Em primeiro
lugar, desejamos definir o análogo dos coeficientes de Fourier, a transfor-
mada de Bohr, e mostrar algumas de suas propriedades.
Definição 3.3.1. Sejam f ∈ UA P (Ω,Ed ) e λ ∈ R. A transformada de Bohr
a( f ) de f é a aplicação a( f ) : Ω×R→ Ed definida por
a( f )(x,λ) = a( f , x,λ)= limT→+∞
1
T
∫T
0f (x, t )e−iλt d t . (3.3.2)
Notemos que, pela definição, a transformada de Bohr a( f ) é linear em f .
A primeira questão à qual nos interessamos é a existência da transformada
66 Séries de Fourier
de Bohr e sua regularidade em x, que é enunciada no teorema a seguir3.
Teorem 3.3.2. Se f ∈ UA P (Ω,Ed ), então a( f ) existe. Além disso, para λ ∈ R
fixado, o limite em (3.3.2) é uniforme em x sobre todo compacto K ⊂Ω, e, por
conseguinte, x 7→ a( f , x,λ) é contínua em Ω.
Demonstração: Basta mostrar o resultado para λ = 0, o caso geral podendo
ser obtido por multiplicação por e−iλt . De fato, suponha que a( f )(x,0) exista
para todo f ∈UA P (Ω,Ed ) e todo x ∈Ω e que, para f ∈UA P (Ω,Ed ) fixada,
o limite em (3.3.2) com λ= 0 seja uniforme em x sobre todo compacto K ⊂Ω.
Tome f ∈UA P (Ω,Ed ) e λ ∈R e considere g (x, t ) = f (x, t )e−iλt . Temos então
g ∈UA P (Ω,Ed ), de forma que, por hipótese,
limT→+∞
∫T
0g (x, t )d t
existe e é uniforme em x sobre todo compacto K ⊂Ω, isto é,
limT→+∞
∫T
0f (x, t )e−iλt d t
existe e é uniforme em x sobre todo compacto K ⊂Ω. Assim, a( f , x,λ) existe
e o limite em (3.3.2) é uniforme em x sobre todo compacto K ⊂Ω.
Mostraremos então o teorema para λ = 0. Seja K ⊂ Ω compacto. Como
FK = fx ; x ∈ K é u.a.p., existe M > 0 tal que | f (x, t )| ≤ M para todo x ∈ K ,
t ∈ R. Seja ε> 0. Como FK é u.a.p., T (FK , ε8) é relativamente denso e, assim,
existe L = L(ε) > 0 tal que [a, a +L]∩T (FK , ε8) 6= ; para todo a ∈ R. Seja S =
3Interessamo-nos apenas à regularidade de a( f ) enquanto função de x, a λ fixado. Isto se deve ao fato dea( f ) não ser regular em λ, como será visto a seguir: x 7→ a( f )(x,λ) não é a função identicamente nula apenaspara uma quantidade enumerável de λ ∈R.
3.3 Séries de Fourier 67
S(ε) > 16ML(ε)ε
. Então, para n ∈N∗,
1
nS
∫nS
0f (x, t )d t =
n−1∑
k=0
1
nS
∫(k+1)S
kSf (x, t )d t . (3.3.3)
Para cada k = 0, . . . ,n−1, existe τk ∈ [kS,kS+L]∩T (FK , ε8 ), e, assim, podemos
estimar∣∣∣∣
∫S
0
[
f (x, t +τk)− f (x, t )]
d t
∣∣∣∣≤
Sε
8,
∣∣∣∣
∫0
kS−τk
f (x, t +τk)d t
∣∣∣∣≤ ML,
∣∣∣∣
∫(k+1)S−τk
Sf (x, t +τk)d t
∣∣∣∣≤ ML.
A identidade
∫(k+1)S
kSf (x, t )d t −
∫S
0f (x, t )d t =
∫(k+1)S−τk
kS−τk
f (x, t +τk)d t −∫S
0f (x, t )d t =
=∫S
0
[
f (x, t +τk)− f (x, t )]
d t+∫0
kS−τk
f (x, t+τk)d t+∫(k+1)S−τk
Sf (x, t+τk)d t
permite assim estimar
∣∣∣∣
∫(k+1)S
kSf (x, t )d t −
∫S
0f (x, t )d t
∣∣∣∣≤
Sε
8+2ML,
e, por (3.3.3), obtemos assim, para todo n ∈N∗,
∣∣∣∣
1
nS
∫nS
0f (x, t )d t − 1
S
∫S
0f (x, t )d t
∣∣∣∣≤
ε
8+ 2ML
S< ε
4. (3.3.4)
Seja T0 = T0(ε) = max
S(ε), 8MS(ε)ε
. Para todo T > T0, existe um único in-
68 Séries de Fourier
teiro nT ∈N∗ tal que nT S ≤T < (nT +1)S. Temos assim
∣∣∣∣
1
T
∫T
0f (x, t )d t − 1
nT S
∫nT S
0f (x, t )d t
∣∣∣∣=
1
T
∣∣∣∣
∫T
0f (x, t )d t −
∫nT S
0
T f (x, t )
nT Sd t
∣∣∣∣=
= 1
T
∣∣∣∣
nT S −T
nT S
∫nT S
0f (x, t )d t +
∫T
nT Sf (x, t )d t
∣∣∣∣≤
≤ M
T[|nT S −T |+ |T −nT S|] ≤
≤ 2MS
T< ε
4.
(3.3.5)
Como n ∈N∗ em (3.3.4) é qualquer, podemos combinar (3.3.4) e (3.3.5), ob-
tendo, para T >T0 e todo x ∈ K ,
∣∣∣∣
1
T
∫T
0f (x, t )d t − 1
S
∫S
0f (x, t )d t
∣∣∣∣<
ε
2.
Assim, para T1,T2 > T0 e todo x ∈ K , obtemos
∣∣∣∣
1
T1
∫T1
0f (x, t )d t − 1
T2
∫T2
0f (x, t )d t
∣∣∣∣< ε, (3.3.6)
e, assim, obtemos a existência de
limT→+∞
1
T
∫T
0f (x, t )d t = a( f , x,0)
uniformemente em relação a x ∈ K . A continuidade de x 7→ limT→+∞1T
∫T0 f (x, t )d t
garante assim que x 7→ a( f , x,0) é contínua em x para x ∈ K . Como K ⊂Ω é
um subconjunto compacto qualquer de Ω, isto conclui a demonstração do
teorema no caso λ= 0, e o caso geral segue como observado anteriormente.
Observação 3.3.3. Seja f : R→ Ed uma função T0-periódica. Mostremos que
3.3 Séries de Fourier 69
o limite
limT→+∞
1
T
∫T
0f (t )d t
existe. Notamos M = supt∈R∣∣ f (t )
∣∣ < +∞. Notemos, inicialmente, que, para
todo n ∈N∗, temos, pela T0-periodicidade de f , que
1
nT0
∫nT0
0f (t )d t = 1
nT0
n−1∑
k=0
∫(k+1)T0
kT0
f (t )d t = 1
nT0
n−1∑
k=0
∫T0
0f (t )d t = 1
T0
∫T0
0f (t )d t .
(3.3.7)
Agora, se T >T0, existe um único inteiro nT ∈N∗ tal que nT T0 ≤T < (nT +1)T0,
e
∣∣∣∣
1
T
∫T
0f (t )d t − 1
nT T0
∫nT T0
0f (t )d t
∣∣∣∣=
1
T
∣∣∣∣
∫T
0f (t )d t −
∫nT T0
0
T f (t )
nT T0d t
∣∣∣∣=
= 1
T
∣∣∣∣
nT T0 −T
nT T0
∫nT T0
0f (t )d t +
∫T
nT T0
f (t )d t
∣∣∣∣≤
≤ M
T[|nT T0 −T |+ |T −nT T0|] ≤
2MT0
T.
(3.3.8)
Combinando (3.3.7) e (3.3.8), obtemos assim
∣∣∣∣
1
T
∫T
0f (t )d t − 1
T0
∫T0
0f (t )d t
∣∣∣∣≤
2MT0
T−−−−→T→+∞
0, (3.3.9)
donde
limT→+∞
1
T
∫T
0f (t )d t = 1
T0
∫T0
0f (t )d t . (3.3.10)
Estes cálculos justificam a estratégia de demonstração do Teorema 3.3.2.
No caso quase-periódico, a igualdade (3.3.7) não é válida, mas, substituindo
T0 por um número suficientemente grande S, a quase-periodicidade de f per-
mite esperar que 1nS
∫nS0 f (t )d t e 1
S
∫S0 f (t )d t estejam suficientemente próxi-
mas; na demonstração do Teorema 3.3.2, isto foi obtido em (3.3.4). A pas-
70 Séries de Fourier
sagem seguinte, (3.3.8), pode ser repetida sem modificações no caso quase-
periódico, que é o que foi feito em (3.3.5). Porém, não é possível concluir como
em (3.3.9), pois T0 foi substituído por S, que não é mais uma constante mas
depende da aproximação entre 1nS
∫nS0 f (t )d t e 1
S
∫S0 f (t )d t , traduzida por um
certo parâmetro ε. Logo, em vez de concluir diretamente como em (3.3.9), é
necessário aproximar 1T
∫T0 f (t )d t para dois valores de T grandes o suficiente,
obtendo assim a existência do limite por um argumento de completude do
espaço Ed , como foi feito em (3.3.6). Logo, a ideia da demonstração no caso
quase-periódico é a mesma que no caso periódico, sendo necessário apenas
adaptar os argumentos que não são mais válidos.
Como corolário de (3.3.10), obtemos que, se f é T0-periódica, então a sua
transformada de Bohr em 0, a( f ,0), é o valor médio de f .
O Teorema 3.3.2 garante a existência da transformada de Bohr para toda
função quase-periódica f ∈UA P (Ω,Ed ). Dizemos que
∑
λ∈Ra( f , x,λ)e iλt (3.3.11)
é a série de Fourier da função quase-periódica f , e fazemos a identificação
formal entre f e sua série de Fourier,
f (x, t )∼∑
λ∈Ra( f , x,λ)e iλt . (3.3.12)
Note que a expressão em (3.3.11) é puramente formal, sendo apenas uma
notação diferente para o resultado da transformação de Bohr aplicada a uma
dada função f . A justificativa para a escolha desta notação virá com os próx-
3.3 Séries de Fourier 71
imos resultados sobre a série de Fourier.
No caso de uma função f T -periódica, as integrais
∫T
0f (t )d t e
∫a+T
af (t )d t
possuem o mesmo valor para todo a ∈ R. É conveniente obter um resultado
análogo para a expressão da transformada de Bohr (3.3.2).
Corolário 3.3.4. Se f ∈UA P (Ω,Ed ), então
a( f , x,λ)= limT→+∞
1
T
∫a+T
af (x, t )e−iλt d t , (3.3.13)
e o limite é uniforme em (x, a) sobre todo compacto de Ω×R.
Demonstração: Como no Teorema 3.3.2, basta demonstrar o resultado para
λ= 0 e o caso geral pode ser obtido notando que a( f , x,λ)= a( f e−iλt , x,0).
Fixe K ⊂Ω compacto. Para x ∈ K , a ∈ R, notemos fx,a : R→ Ed a aplicação
dada por fx,a(t ) = f (x, t + a). Como f ∈ UA P (Ω,Ed ), a família fx,0; x ∈ K
é u.a.p., o que quer dizer, pelo Teorema 3.2.6, que v0 definida por v0(τ) =
supx∈K v fx,0(τ) pertence a AP (R). Porém, pela definição de função de translação,
é trivial que v fx,a = v fx,0 para todo a ∈R, e, assim, v0(τ) = supx∈K ,a∈R v fx,a (τ), de
forma que, pelo Teorema 3.2.6, a família F = fx,a ; x ∈ K , a ∈R é u.a.p..
Com este fato, toda a demonstração do Teorema 3.3.2 continua válida se
substituirmos f por fa dada por fa(x, t ) = f (x, t + a), e todos os resultados
obtidos são uniformes em relação a a ∈ R pois M , L e ε podem ser escolhi-
das independentes de a, do fato que F é u.a.p.. A conclusão do Teorema é,
72 Séries de Fourier
portanto, que
limT→+∞
1
T
∫T
0f (x, t +a)d t
existe e é uniforme em (x, a)∈ K ×R; isto é, por uma mudança de variáveis,
limT→+∞
1
T
∫a+T
af (x, t )d t
existe e é uniforme em (x, a)∈ K ×R.
Já sabendo que o limite em (3.3.13) existe e é uniforme em (x, a) ∈ K ×R,
fixamos (x, a) ∈ K ×R. Temos que
1
T
∫a+T
af (x, t )d t − 1
T
∫T
0f (x, t )d t = 1
T
[∫a+T
Tf (x, t )d t −
∫a
0f (x, t )d t
]
,
donde∣∣∣∣
1
T
∫a+T
af (x, t )d t − 1
T
∫T
0f (x, t )d t
∣∣∣∣≤
2aM
T−−−−→T→+∞
0;
assim, para (x, a)∈ K ×R fixado,
limT→+∞
1
T
∫a+T
af (x, t )d t = lim
T→+∞
1
T
∫T
0f (x, t )d t = a( f , x,λ),
o que conclui a demonstração.
Coletamos agora outras propriedades da transformada de Bohr.
Corolário 3.3.5. Sejam f ∈UA P (Ω,Ed ) eα ∈R, e notemos por fα ∈UA P (Ω,Ed )
a função definida por fα(x, t ) = f (x, t +α). Então a( fα, x,λ) = e iλαa( f , x,λ)
para todo (x,λ) ∈Ω×R.
3.3 Séries de Fourier 73
Demonstração: O resultado é mostrado calculando
a( fα, x,λ) = limT→+∞
1
T
∫T
0f (x, t +α)e−iλt d t =
= limT→+∞
1
T
∫α+T
αf (x, t )e−iλ(t−α)d t =
= e iλα limT→+∞
1
T
∫α+T
α
f (x, t )e−iλt d t = e iλαa( f , x,λ).
Por analogia ao caso periódico, dada f ∈UA P (Ω,Ed ), chamamos a( f , x,0)
de valor médio de f (no ponto x ∈Ω) e denotamo-lo por Mt ( f ); quando f for
uma função unicamente de t , escrevemos simplesmente M ( f ). Notamos que
M (e iλt ) =
0 seλ 6= 0,
1 seλ= 0;
(3.3.14)
de fato, se λ 6= 0,
M (e iλt ) = limT→+∞
1
T
∫T
0e iλt d t = lim
T→+∞
e iλT −1
iλT= 0,
e
M (1) = limT→+∞
1
T
∫T
0d t = 1.
Proposição 3.3.6. Seja f : R→ Ed dada por
f (t ) =+∞∑
n=0ane iλn t
em que a série converge absoluta e uniformemente sobre R e λn 6=λm se n 6= m.
74 Séries de Fourier
Então f ∈A P (Ed ) e
a( f ,λ)=
an seλ=λn,
0 senão.
Demonstração: É claro que, para todo N ∈N,∑N
n=0 ane iλn t é quase-periódica
enquanto soma finita de funções periódicas, e, assim, a convergência uni-
forme desta série garante que f ∈A P (Ed ). Temos
a( f ,λ)= limT→+∞
1
T
∫T
0
(+∞∑
n=0ane iλn t
)
e−iλt d t =
= limT→+∞
+∞∑
n=0an
1
T
∫T
0e i (λn−λ)t d t =
=+∞∑
n=0an lim
T→+∞
1
T
∫T
0e i (λn−λ)t d t =
an seλ=λn ,
0 senão,
em que a troca da ordem dos símbolos limT→+∞ e∑+∞
n=0 é possível devido à
convergência uniforme em T da série∑+∞
n=0 an1T
∫T0 e i (λn−λ)t d t , uma vez que
∣∣∣an
1T
∫T0 e i (λn−λ)t d t
∣∣∣≤ |an|.
A transformada de Bohr também exibe regularidade em f , dada pelo seguinte
resultado.
Proposição 3.3.7. Sejam f , g ∈UA P (Ω,Ed ) e fixe λ ∈R, x ∈Ω. Então
∣∣a( f , x,λ)−a(g , x,λ)
∣∣≤ sup
t∈R
∣∣ f (x, t )− g (x, t )
∣∣ .
3.3 Séries de Fourier 75
Demonstração: De fato,
∣∣a( f , x,λ)−a(g , x,λ)
∣∣≤ lim sup
T→+∞
1
T
∫T
0
∣∣ f (x, t )− g (x, t )
∣∣d t ≤
≤ supt∈R
∣∣ f (x, t )− g (x, t )
∣∣ .
Como consequência disto, se fn é uma sequência em UA P (Ω,Ed ) que
converge uniformemente para f em K ×R para todo compacto K ⊂Ω, então
a( fn, x,λ) → a( f , x,λ) uniformemente em K para cada λ ∈ R. Isto é, ocorre a
convergência formal da série de Fourier de fn à série de Fourier de f .
Teorem 3.3.8. Seja f ∈ A P (R) não-identicamente nula com f (t ) ≥ 0 para
todo t ∈R. Então M ( f ) > 0.
Demonstração: Seja t0 ∈ R tal que f (t0) > 0 e note M = f (t0). Escolha δ > 0
tal que f (t ) ≥ 2M3 em (t0 −δ, t0 +δ). Como o conjunto translação T ( f , M
3 ) é
relativamente denso em R, tomamos L > 2δ tal que [a, a +L]∩T ( f , M3 ) 6= ;
para todo a ∈R.
Para a ∈ R, queremos encontrar um minorante uniforme em a e L para∫a+L
a f (t )d t . Seja τ ∈ [a−t0, a−t0+L]∩T ( f , M3 ), de forma que t0+τ ∈ [a, a+L].
Se t ∈ (t0 +τ−δ, t0+τ+δ), então t −τ ∈ (t0 −δ, t0+δ), de forma que
f (t ) ≥ f (t −τ)−∣∣ f (t −τ)− f (t )
∣∣≥ 2M
3− M
3= M
3.
Mas (t0+τ−δ, t0+τ+δ)∩ [a, a +L] é um intervalo de comprimento superior
76 Séries de Fourier
a δ, pois L > 2δ e t0 +τ ∈ [a, a +L]; logo,
∫a+L
af (t )d t ≥ M
3δ.
Tomamos, em particular, a = (n−1)L para n inteiro, obtendo assim∫nL
(n−1)L f (t )d t ≥M3 δ e, portanto,
1
NL
∫N L
0f (t )d t = 1
NL
N∑
n=1
∫nL
(n−1)Lf (t )d t ≥ Mδ
3L.
Fazendo N →+∞, obtemos finalmente que M ( f ) ≥ Mδ3L > 0.
3.3.3 Convergência em média
Em analogia com a teoria de convergência L1, podemos analisar a con-
vergência de sequências de funções uniformemente quase-periódicas na mé-
dia M .
Definição 3.3.9. Seja ( fn) uma sequência de funções de UA P (Ω,Ed ). Dize-
mos que ( fn) converge em média se
Mt (∣∣ fn − fm
∣∣2
) −−−−−−→n,m→+∞
0
uniformemente sobre todo compacto K ⊂Ω.
Notemos que a convergência uniforme de ( fn) sobre K ×R para todo K ⊂Ω
compacto implica a convergência em média devido à Proposição 3.3.7; de
fato, temos
Mt (∣∣ fn − fm
∣∣2
) ≤ supt∈R
∣∣ fn(x, t )− fm(x, t )
∣∣2
.
3.3 Séries de Fourier 77
A recíproca não é válida em geral, mas passa a ser válida se exigirmos uni-
formidade na sequência ( fn).
Teorem 3.3.10. Seja ( fn) uma sequência de funções de UAP (Ω,Ed ) e suponha
que a família FK = t 7→ fn(x, t ); x ∈ K ,n ∈ N é u.a.p. para todo K ⊂Ω com-
pacto. Então ( fn) converge em média se e somente se convergir uniformemente
sobre K ×R para todo K ⊂Ω compacto.
Demonstração: Já sabemos que a convergência uniforme implica a con-
vergência em média. Suponhamos então que ( fn) não converge uniforme-
mente sobre K ×R para todo K ⊂Ω compacto e mostremos que isto viola a
convergência em média.
Seja K ⊂Ω compacto tal que ( fn) não converge uniformemente sobre K ×
R. Então existe ε > 0 tal que, para todo N ∈ N, existem n,m ≥ N e (x0, t0) ∈
K ×R tais que∣∣ fn(x0, t0)− fm(x0, t0)
∣∣> ε.
O conjunto translação T (FK , ε20 ) contém uma vizinhança da origem e, assim,
tomamos δ > 0 tal que (−δ,δ) ⊂ T (FK , ε20 ). Se t ∈ (t0 −δ, t0 +δ) temos então
que
∣∣ fn(x0, t )− fm(x0, t )
∣∣≥
≥∣∣ fn(x0, t0)− fm(x0, t0)
∣∣−
[∣∣ fn(x0, t0)− fn(x0, t )
∣∣+
∣∣ fm(x0, t )− fm(x0, t0)
∣∣]
>
> ε−[ ε
20+ ε
20
]
= 9ε
10>
√
2
3ε.
Seja g : R → R+ definida por g (t ) =∣∣ fn(x0, t )− fm(x0, t )
∣∣2
. Então g (t0) > ε2 e
g (t ) > 2ε2
3 para t ∈ (t0 −δ, t0 +δ). Esta é exatamente a mesma situação encon-
78 Séries de Fourier
trada na demonstração do Teorema 3.3.8. Assim, exatamente como naquele
teorema, é possível tomar L > 2δ tal que
1
JL
∫JL
0g (t )d t ≥ δε2
3L
para todo J ∈N e, fazendo J →+∞, obtemos então que
Mt (∣∣ fn(x0, t )− fm(x0, t )
∣∣2
) ≥ δε2
3L.
Para resumir, notando ρ = δε2
3L > 0, obtivemos ρ > 0 tal que, para todo N ∈
N, existem n,m ≥ N e x0 ∈ K tais que
Mt (∣∣ fn(x0, t )− fm(x0, t )
∣∣2
) ≥ ρ.
Isto mostra então que ( fn) não converge em média, como desejado.
3.3.4 Desigualdade de Bessel
Nosso objetivo é obter as propriedades 1, 2 e 3 da série de Fourier de
funções periódicas também para o caso das funções quase-periódicas. Começare-
mos por 2, a equação de Parseval. O termo 1T
∫T0
∣∣ f (t )
∣∣2
d t corresponde ao
valor médio de∣∣ f
∣∣2
; seu análogo o caso quase-periódico é então a(∣∣f
∣∣2
, x,0)=
Mt (∣∣ f
∣∣2
). Como primeiro passo para a obtenção de 2, temos o teorema abaixo.
Teorem 3.3.11. Seja f ∈UA P (Ω,Ed ). Para todo x ∈Ω e todo conjunto finito
λ1, . . . ,λN de números reais distintos, temos
N∑
n=1
∣∣a( f , x,λn)
∣∣2 ≤ Mt (
∣∣ f
∣∣2
).
3.3 Séries de Fourier 79
Demonstração: Primeiramente, notamos que, para toda função quase-periódica
g :R→ Ed , g = (g1, . . . , gd ) com g j : R→ E quase-periódica, temos que∣∣g (t )
∣∣2 =
⟨
g (t ), g (t )⟩
= ∑dj=1 g j (t )g j (t ), e, assim,
∣∣g
∣∣2
também é quase-periódica; logo,
M (∣∣g
∣∣2
) está bem definido. Isto é em particular o caso para Mt (∣∣ f
∣∣2
), e, como∑N
n=1 a( f , x,λn)e iλn t é quase-periódica enquanto soma de funções periódi-
cas, usando a linearidade de Mt e (3.3.14), temos
0 ≤ Mt
(∣∣∣∣∣f (x, t )−
N∑
n=1a( f , x,λn)e iλn t
∣∣∣∣∣
2)
=
= Mt
(⟨
f (x, t )−N∑
n=1a( f , x,λn)e iλn t , f (x, t )−
N∑
n=1a( f , x,λn)e iλn t
⟩)
=
= Mt (∣∣ f
∣∣2
)−2ReN∑
n=1Mt
(⟨
f (x, t ), a( f , x,λn)e iλn t⟩)+
+N∑
n=1
N∑
m=1Mt
(⟨
a( f , x,λn)e iλn t , a( f , x,λm)e iλm t⟩)=
= Mt (∣∣ f
∣∣2
)−2ReN∑
n=1
⟨
Mt
(
f (x, t )e−iλn t) , a( f , x,λn)⟩
+
+N∑
n=1
N∑
m=1
⟨
a( f , x,λn)M(
e i (λn−λm)t) , a( f , x,λm)⟩
=
= Mt (∣∣ f
∣∣2
)−2N∑
n=1
∣∣a( f , x,λn)
∣∣2 +
N∑
n=1
∣∣a( f , x,λn)
∣∣2 =
= Mt (∣∣ f
∣∣2
)−N∑
n=1
∣∣a( f , x,λn)
∣∣2
,
o que mostra o resultado desejado.
Notemos que, se f ∈A P (Ed ),
Λn =
λ ∈R :∣∣a( f ,λ)
∣∣2 ≥ 1
n
é um conjunto finito de números reais; de fato, se não o fosse, então, para
80 Séries de Fourier
N > nMt (∣∣ f
∣∣2
) inteiro, poderíamos tomar N valores distintos λ1, . . . ,λN em
Λn, e teríamosN∑
n=1
∣∣a( f ,λn)
∣∣2 ≥
N∑
n=1
1
n= N
n> Mt (
∣∣ f
∣∣2
),
o que contradiz o Teorema 3.3.11. Logo,
Λ( f ) =
λ ∈R : a( f ,λ) 6= 0
=+∞⋃
n=1Λn
é um conjunto enumerável. Isto mostra então o seguinte corolário.
Corolário 3.3.12. Seja f ∈ A P (Ed ). Então existe um conjunto enumerável
Λ( f ) ⊂R tal que a( f ,λ)= 0 se λ ∉Λ( f ).
Para f ∈ UA P (Ω,Ed ), este raciocínio pode ser feito para cada x ∈ Ω fix-
ado, obtendo assim um conjunto enumerávelΛx( f ) como no Corolário 3.3.12,
mas os conjuntos Λx( f ) podem a princípio ser diferentes para valores difer-
entes de x. É desejável, entretanto, obter também que
ΛK ( f ) =
λ ∈R : x 7→ a( f , x,λ) não é a função nula sobre K
seja um conjunto enumerável para todo K ⊂ Ω compacto, e isto é possível
graças ao fato de f ser uniformemente quase-periódica. Uma forma de mostrar
este fato é considerar a função
F :
R→C (K ,Ed )
t 7→ f t ,(3.3.15)
com f t definida por f t (x) = f (x, t ), a valores no espaço de Banach C (K ,Ed )
das funções contínuas de K a valores em Ed munido da norma uniforme,
3.3 Séries de Fourier 81
∥∥g
∥∥= supx∈K
∣∣g (x)
∣∣. Esta análise necessita do uso da teoria das funções quase-
periódicas a valores em espaços de Banach, que escapa do escopo deste texto,
e está feita em [9]. Vale lembrar, entretanto, que a maioria dos resultados uti-
lizados aqui se generaliza naturalmente, com demonstrações similares, ao
contexto dos espaços de Banach, substituindo os conjuntos limitados en-
volvidos por conjuntos pré-compactos. O Corolário 3.3.12 pode igualmente
ser generalizado a este contexto, mas sua demonstração necessita de uma
análise bem mais fina que a realizada aqui, e contentamo-nos de fornecer
seu enunciado no caso geral, correspondente ao Teorema 6.13 de [9].
Teorem 3.3.13 ([9], Teorema 6.13). Seja f uma função quase-periódica a val-
ores em um espaço de Banach X . Então a sua transformada de Bohr a( f ,λ) é
não-nula apenas em um conjunto enumerável de valores λ.
Notemos que a função F definida em (3.3.15) tem imagem pré-compacta
devido ao Teorema de Arzelà-Ascoli, pois as funções t 7→ f (x, t ) são uniforme-
mente equicontínuas e uniformemente limitadas sobre R para x ∈ K , devido
ao fato de f ser uniformemente quase-periódica. Aplicando o Teorema 3.3.13
a F , obtemos o seguinte resultado.
Corolário 3.3.14. Sejam f ∈ UA P (Ω,Ed ) e K ⊂ Ω compacto. Então existe
um conjunto enumerável ΛK ( f ) ⊂ R tal que a( f , x,λ) = 0 para todo x ∈ K se
λ ∉ΛK ( f ).
Notemos que, se Ω for σ-compacto, i.e., Ω pode ser escrito como uma re-
união enumerável de compactosΩ=⋃∞n=1 Kn , então é possível obter um con-
junto enumerável ΛΩ( f ) tal que a( f , x,λ) = 0 para todo x ∈ Ω se λ ∉ ΛΩ( f ),
82 Séries de Fourier
bastando para isso tomar
ΛΩ( f ) =∞⋃
n=1ΛKn ( f ).
Em todo o restante desta seção, suporemos que Ω é σ-compacto.
Definição 3.3.15. Seja f ∈UA P (Ω,Ed ) com Ω σ-compacto. Os elementos do
conjunto enumerável
Λ( f ) =
λ ∈R : x 7→ a( f , x,λ) não é a função nula sobre Ω
são chamados de expoentes de f , eΛ( f ) é chamado de conjunto dos expoentes
de f .
Observamos que os expoentes de f e os expoentes de fα dada por fα(x, t ) =
f (x, t +α) são os mesmos, devido ao Corolário 3.3.5; isto é, Λ( f ) =Λ( fα).
Como Λ( f ) é enumerável, podemos fixar uma enumeração neste con-
junto por N, e, assim, escrevemos Λ( f ) = λn ;n ∈ N. Neste caso, a identi-
ficação formal (3.3.12) é escrita como
f (x, t ) ∼+∞∑
n=0a( f , x,λn)e iλn t .
Como antes, esta identificação é puramente formal e a notação
+∞∑
n=0a( f , x,λn)e iλn t
não implica nenhum tipo de convergência. Porém, como consequência ime-
diata do Teorema 3.3.11, temos a convergência dada no seguinte teorema.
3.3 Séries de Fourier 83
Teorem 3.3.16 (Desigualdade de Bessel). Seja f ∈ UA P (Ω,Ed ) com Ω σ-
compacto e Λ( f ) = λn ;n ∈N. Então, para todo x ∈Ω,
+∞∑
n=0
∣∣a( f , x,λn)
∣∣2
(3.3.16)
converge e+∞∑
n=0
∣∣a( f , x,λn)
∣∣2 ≤ Mt (
∣∣ f
∣∣2
). (3.3.17)
Neste ponto, não temos nenhum resultado quanto à regularidade da con-
vergência de (3.3.16); entretanto, no Teorema 3.3.17 logo abaixo, será mostrado
que esta converge uniformemente sobre todo compacto K ⊂Ω.
3.3.5 Equação de Parseval
A propriedade 2 fornece a equação de Parseval para funções periódicas, e
desejamos generalizá-la ao caso de funções quase-periódicas. Mais precisa-
mente, desejamos mostrar o seguinte resultado.
Teorem 3.3.17 (Equação de Parseval). Seja f ∈UA P (Ω,Ed ) comΩσ-compacto
e note Λ( f ) = λn ;n ∈N o conjunto dos expoentes de f . Então
+∞∑
n=0
∣∣a( f , x,λn)
∣∣2
(3.3.18)
converge uniformemente sobre todo compacto K ⊂Ω e
+∞∑
n=0
∣∣a( f , x,λn)
∣∣2 = Mt (
∣∣ f
∣∣2
). (3.3.19)
O resto desta seção será consagrado à demonstração deste teorema. Note-
mos que é suficiente mostrá-lo para funções f ∈UA P (Ω,Ed ) com a( f , x,0)=
84 Séries de Fourier
0. De fato, supondo o teorema mostrado para este caso, se f ∈UA P (Ω,Ed ),
notamos g (x, t ) = f (x, t )−a( f , x,0); temos então g ∈UA P (Ω,Ed ) e, por lin-
earidade da transformada de Bohr,
a(g , x,λ) = a( f , x,λ)−a( f , x,0)a(1, x,λ)=
a( f , x,λ) se λ 6= 0,
0 se λ= 0,
pois a(1, x,λ) = a(e−iλt , x,0) = M (e−iλt ), que foi calculado em (3.3.14). Em
particular, Λ(g ) =Λ( f ) \ 0 e a(g , x,0) = 0. Assim,
+∞∑
n=0
∣∣a( f , x,λn)
∣∣2 =
+∞∑
n=0λn 6=0
∣∣a( f , x,λn)
∣∣2 +
∣∣a( f , x,0)
∣∣2 =
+∞∑
n=0
∣∣a(g , x,λn)
∣∣2 +
∣∣a( f , x,0)
∣∣2 =
= Mt (∣∣g
∣∣2
)+∣∣a( f , x,0)
∣∣2 = Mt (
∣∣ f −a( f , x,0)
∣∣2
)+∣∣a( f , x,0)
∣∣2 =
= Mt (∣∣ f
∣∣2
)−2Re Mt
(⟨
f , a( f , x,0)⟩)
+2∣∣a( f , x,0)
∣∣2 = Mt (
∣∣ f
∣∣2
)
pois Mt
(⟨
f , a( f , x,0)⟩)
=⟨
Mt ( f ), a( f , x,0)⟩
=∣∣a( f , x,0)
∣∣2
. Logo, o Teorema
3.3.17 mostrado no caso a( f , x,0)= 0 implica o Teorema 3.3.17 no caso geral.
Uma segunda simplificação possível de se fazer na demonstração do Teo-
rema 3.3.17 é notar que, mostrando a equação (3.3.19), a convergência uni-
forme de (3.3.18) será uma consequência. De fato, já vimos no Teorema
3.3.16 que (3.3.18) converge ponto a ponto. Notemos que o Teorema 3.3.2
garante a continuidade de x 7→ ∑Nn=0
∣∣a( f , x,λn)
∣∣2
para todo N ∈ N, e esta
soma é claramente monótona em N ; logo, para garantir a convergência uni-
forme sobre todo compacto K ⊂ Ω (utilizando o Teorema de Dini; ver [30],
Teorema 7.13), basta garantir a continuidade de x 7→ ∑+∞n=0
∣∣a( f , x,λn)
∣∣2
. As-
sim, se mostrarmos (3.3.19), teremos esta continuidade devido à continuidade
3.3 Séries de Fourier 85
de x 7→ Mt (∣∣ f
∣∣2
) = a(∣∣ f
∣∣2
, x,0), e seguirá então a convergência uniforme de
(3.3.18). Devido a esta simplificação, consideramos a partir de agora apenas
funções f ∈A P (Ed ).
O Teorema 3.3.16 já fornece a desigualdade (3.3.17), e, assim, para mostrar
(3.3.19), basta mostrar que, para todo ε> 0, existe N ∈N tal que
N∑
n=0
∣∣a( f ,λn)
∣∣2 ≥ M (
∣∣ f
∣∣2
)−ε. (3.3.20)
Para demonstrar o Teorema 3.3.17, utilizamos a equação de Parseval para
a transformada de Fourier. Lembramos que4, se f ∈ L2(R,Ed ), é possível definir
sua transformada de Fourier F ∈ L2(R,Ed ), que, quando f ∈ L1(R,Ed )∩L2(R,Ed ),
é dada pela expressão
F (λ)=∫+∞
−∞f (t )e−iλt d t ,
e f e F satisfazem a equação de Parseval,
∫+∞
−∞
∣∣ f (t )
∣∣2
d t = 1
2π
∫+∞
−∞|F (λ)|2 dλ. (3.3.21)
Já vimos que basta mostrar o Teorema 3.3.17 no caso f ∈ A P (Ed ) com
a( f ,0) = 0. Se f ∈ A P (Ed ), não vale que f ∈ L2(R,Ed ) exceto se f é a função
nula, pois uma função de L2(R,Ed ) tende a zero no infinito. Porém, para T > 0
dado, podemos definir fT por fT (t ) = f (t ) se t ∈ [0,T ], fT (t ) = 0 senão, e assim
fT ∈ L2(R,Ed ). A sua transformada de Fourier é
FT (λ) =∫+∞
−∞fT (t )e−iλt d t =
∫T
0f (t )e−iλt d t ,
4Para mais detalhes, ver por exemplo o Capítulo IV de [7].
86 Séries de Fourier
e definimos a função aT por aT (λ) = 1T FT (λ). Pela equação de Parseval (3.3.21),
obtemos que
1
T
∫T
0
∣∣ f (t )
∣∣2
d t = 1
T
∫+∞
−∞
∣∣ fT (t )
∣∣2
d t = 1
2πT
∫+∞
−∞|FT (λ)|2 dλ= T
2π
∫+∞
−∞|aT (λ)|2 dλ,
e, assim,
M (∣∣ f
∣∣2
) = limT→+∞
T
2π
∫+∞
−∞|aT (λ)|2 dλ.
Já sabemos que, para mostrar o Teorema 3.3.17, basta mostrar (3.3.20), e, as-
sim, basta mostrar que, dado ε> 0, existem N ∈N e T0 > 0 tais que, se T >T0,
T
2π
∫+∞
−∞|aT (λ)|2 dλ<
N∑
n=0
∣∣a( f ,λn)
∣∣2 +ε. (3.3.22)
Assim, todo o trabalho da demonstração do Teorema 3.3.17 consiste em mostrar
(3.3.22), o que é feito por uma sequencia de lemas.
Lema 3.3.18. Para todos µ0 ∈R e ε> 0, existem números δ> 0 e T0 > 0 tais que
T
2π
∫µ0+δ
µ0−δ|aT (λ)|2 dλ<
∣∣a( f ,µ0)
∣∣2 +ε
para T > T0.
Demonstração: Substituindo f por f (t )e−iµ0t , a função aT é substituída por
1
T
∫T
0f (t )e−iµ0t e−iλt d t = aT (λ+µ0);
logo, se tivermos o resultado do lema válido para µ0 = 0, seguirá que, para
3.3 Séries de Fourier 87
T > T0,
T
2π
∫µ0+δ
µ0−δ|aT (λ)|2 dλ= T
2π
∫δ
−δ
∣∣aT (λ+µ0)
∣∣2
dλ<
<∣∣a( f (t )e−iµ0t ,0)
∣∣
2 +ε=∣∣a( f ,µ0)
∣∣2 +ε.
Assim, basta considerar o caso µ0 = 0. Note que, na substituição de f por
f (t )e iµ0t , não temos necessariamente que a( f (t )e iµ0t ,0) = 0, e, assim, mostraremos
o lema para uma função f tal que a( f ,0) pode ser não-nulo.
Sejam α ∈R e
F (t ) = 1
α
∫t+α
tfT (s)d s.
Como fT é a suporte compacto, F também o é, e temos
1
T
∫+∞
−∞F (t )e−iλt d t = 1
αT
∫+∞
−∞
∫t+α
tfT (s)e−iλt d sd t =
= 1
αT
∫+∞
−∞
∫s
s−αfT (s)e−iλt d t d s =
= 1
αT
∫+∞
−∞fT (s)
e−iλ(s−α) −e−iλs
iλd s =
= e iλα−1
iλα
1
T
∫+∞
−∞fT (s)e−iλsd s = e iλα−1
iλαaT (λ).
Logo, pela equação de Parseval (3.3.21),
1
T
∫+∞
−∞|F (t )|2 d t = T
2π
∫+∞
−∞
∣∣∣∣
e iλα−1
iλα
∣∣∣∣
2
|aT (λ)|2 dλ. (3.3.23)
Lembremos que
limα→+∞
1
α
∫t+α
tf (s)d s = a( f ,0)
e, pelo Corolário 3.3.4, este limite é uniforme em t ∈R. Logo, se ε> 0 é dado,
88 Séries de Fourier
podemos escolher α de forma que
∣∣∣∣
1
α
∫t+α
tf (s)d s
∣∣∣∣
2
<∣∣a( f ,0)
∣∣2 +ε
para todo t ∈R. Para T >α, se t ∈ [0,T −α], então
F (t ) = 1
α
∫t+α
tf (s)d s,
e, assim, |F (t )|2 <∣∣a( f ,0)
∣∣2+ε. Se t ∉ (−α,T ), então F (t ) = 0. Para t ∈ (−α,T )\
[0,T −α], podemos estimar F (t ) simplesmente por
|F (t )| ≤ 1
α
∫t+α
t
∣∣ fT (s)
∣∣d s ≤
∥∥ f
∥∥∞ .
Logo,
1
T
∫+∞
−∞|F (t )|2 d t = 1
T
∫0
−α|F (t )|2 d t + 1
T
∫T−α
0|F (t )|2 d t + 1
T
∫T
T−α|F (t )|2 d t <
< α
T
∥∥ f
∥∥2∞+ T −α
T
(∣∣a( f ,0)
∣∣2 +ε
)
+ α
T
∥∥ f
∥∥2∞ ≤
∣∣a( f ,0)
∣∣2 +ε+ 2α
T
∥∥ f
∥∥2∞ .
(3.3.24)
Além disto, para o valor de α escolhido, podemos encontrar δ > 0 tal que∣∣∣
eiλα−1iλα
∣∣∣
2≥ 1
1+ε se |λ| < δ, pois limλ→0eiλα−1
iλα = 1. Combinamos isto e (3.3.24)
3.3 Séries de Fourier 89
em (3.3.23), obtemos então que
T
2π
∫δ
−δ|aT (λ)|2 dλ≤ T (1+ε)
2π
∫δ
−δ
∣∣∣∣
e iλα−1
iλα
∣∣∣∣
2
|aT (λ)|2 dλ≤
≤ T (1+ε)
2π
∫∞
−∞
∣∣∣∣
e iλα−1
iλα
∣∣∣∣
2
|aT (λ)|2 dλ=
= 1+ε
T
∫∞
−∞|F (t )|2 d t ≤
≤∣∣a( f ,0)
∣∣2
(1+ε)+ε(1+ε)+ 2α(1+ε)
T
∥∥ f
∥∥2∞ ,
e, para T grande, isto fornece a estimativa desejada.
Isto permite utilizar as funções aT (λ) para aproximar a( f ,λ). Os próximos
lemas buscam mostrar que aT (λ) está concentrado em uma reunião finita de
intervalos pequenos.
Lema 3.3.19. Seja v a função de translação de uma função quase-periódica.
Seja
S (ε) = λ : |e iλt −1| ≤ 1 para todo t ∈T (v,ε).
Então S (ε) é finito para todo ε > 0. Além disso, se S (ε) = λ1, . . . ,λn, então,
para todo ρ > 0, existe A > 0 tal que, se |λ−λi | ≥ ρ então |e iλt − 1| > 1 para
algum t ∈ [0, A]∩T (v,ε).
Demonstração: Notemos inicialmente que
∣∣e iλt −1
∣∣
2 = (cos(λt )−1)2 + sin(λt )2 = 2(1−cos(λt )),
e, assim,
∣∣e iλt −1
∣∣≤ 1 ⇐⇒ cos(λt ) ≥ 1
2⇐⇒ λt ∈
[
−π
3,π
3
]
mod 2π
90 Séries de Fourier
Temos que v ∈ A P (R) enquanto função de translação de uma função
quase-periódica, e, assim, T (v,ε) contém um intervalo da forma (−δ,δ) com
0 < δ < 1. Se |λ| > π3δ , então λ(−δ,δ) = λδ(−1,1) ⊃ [−π
3 , π3 ]; assim, existe
t ∈ (−δ,δ) tal que λt ∈ (π3 , π2 ), e, então, |e iλt − 1|2 = 2(1 − cos(λt )) > 1 pois
cos(λt ) < 12 . Logo, λ ∉S (ε), e então S (ε) ⊂
[
− π3δ , π
3δ
]
.
Como T (v,ε) é relativamente denso em R, tomamos L > 0 tal que todo
intervalo de comprimento L intercepta T (v,ε). Se λ1,λ2 ∈ S (ε) são distin-
tos, então |λi t | ∈[
−π3 , π3
]
mod 2π para i = 1,2 e todo t ∈ T (v,ε), e então
|(λ1 −λ2)t | ∈[
−2π3 , 2π
3
]
mod 2π para todo t ∈ T (v,ε), donde
|(λ1 −λ2)t | ∉(
2π
3,
4π
3
)
, ∀t ∈T (v,ε),
|t | ∉(
2π
3|λ1 −λ2|−1 ,
4π
3|λ1 −λ2|−1
)
, ∀t ∈T (v,ε),
e, assim,(
2π
3|λ1 −λ2|−1 ,
4π
3|λ1 −λ2|−1
)
∩T (v,ε) =;.
Logo, o comprimento deste intervalo deve ser inferior a L, isto é, 2π3 |λ1 −λ2|−1 ≤
L, e então
|λ1 −λ2| ≥2π
3L.
Logo, dois pontos distintos de S (ε) distam de ao menos 2π3L e, como S (ε) ⊂
[
− π3δ , π
3δ
]
, S (ε) é um conjunto finito (cujo número de pontos n satisfaz n ≤
1+ Lδ
).
Escrevamos S (ε) = λ1, . . . ,λn e seja ρ > 0. Considere o conjunto com-
pacto
K =
λ ∈R : |λ−λi | ≥ ρ, i = 1, . . . , N , e |λ| ≤ π
3δ
.
3.3 Séries de Fourier 91
Se λ ∈ K , então, em particular, λ ∉ S (ε), e, então, existe t ∈ T (v,ε) tal que
|e iλt−1| > 1; como T (v,ε) é simétrico em relação à origem e |e iλt−1| = |e−iλt−
1|, podemos supor t > 0. Logo, λ ∈ Bt para um certo t ∈T (v,ε)∩(0,+∞), com
Bt = λ ∈R : |e iλt −1| > 1.
Logo,
K ⊂⋃
t∈T (v,ε)∩(0,+∞)Bt ,
e, como K e compacto e cada Bt é aberto, segue então que existem t1, . . . , tm ∈
T (v,ε)∩ (0,+∞) tais que
K ⊂m⋃
j=1Bt j .
Seja A = maxδ, t1, . . . , tm. Se |λ−λi | ≥ ρ para todo i = 1, . . . ,n, então, se |λ| ≤π
3δ , temos λ ∈ K e assim existe j ∈ 1, . . . ,m tal que λ ∈ Bt j , donde |e iλt j −
1| > 1 e t j ∈ [0, A]∩T (v,ε); se |λ| > π3δ , temos, conforme visto no início da
demonstração, que |e iλt − 1| > 1 para um certo t ∈ (0,δ), donde t ∈ [0, A]∩
T (v,ε). Logo, em todo caso, existe t ∈ [0, A]∩T (v,ε) tal que |e iλt −1| > 1.
Lema 3.3.20. Sejam v uma função de translação de uma função quase-periódica,
ε > 0 e ϕ(t ) = max(0,ε− v(t )). Então existem λ1, . . . ,λN tais que, para todo
ρ > 0, existe S > 0 tal que
1
S
∫S
0
∣∣e iλt −1
∣∣
2ϕ(t )d t > 1
18S
∫S
0ϕ(t )d t
se |λ−λi | ≥ ρ para i = 1, . . . , N.
Demonstração: A função ϕ é quase-periódica enquanto o máximo de duas
funções quase-periódicas, ϕ(t ) ≥ 0 para todo t ∈ R e ϕ(0) = ε > 0; logo, pelo
92 Séries de Fourier
Teorema 3.3.8, M (ϕ) > 0; notemos M = M (ϕ). Aplicando o Lema 3.3.19 a v
e S ( M2 ), notamos S ( M
2 ) = λ1, . . . ,λN e então, para todo ρ > 0, existe A > 0
satisfazendo as condições do Lema 3.3.19.
Sejam S > 2A e λ tal que |λ−λi | ≥ ρ para i = 1, . . . , N . Do Lema 3.3.19,
existe τ ∈ [0, A]∩T (v, M2 ) tal que |e iλτ−1| > 1. Então
1
S
∫S
0
∣∣e iλt −1
∣∣
2ϕ(t )d t ≥ 1
2S
∫S−A
0
∣∣e iλt −1
∣∣
2ϕ(t )d t+ 1
2S
∫S
0
∣∣e iλt −1
∣∣
2ϕ(t )d t ≥
≥ 1
2S
∫S−A
0
∣∣e iλt −1
∣∣
2ϕ(t )d t + 1
2S
∫τ+S−A
τ
∣∣e iλt −1
∣∣
2ϕ(t )d t =
= 1
2S
∫S−A
0
∣∣e iλt −1
∣∣
2ϕ(t )d t + 1
2S
∫S−A
0
∣∣e iλ(t+τ) −1
∣∣
2ϕ(t +τ)d t =
= 1
2S
∫S−A
0
(∣∣e iλt −1
∣∣
2ϕ(t )+
∣∣e iλ(t+τ) −1
∣∣
2ϕ(t +τ)
)
d t .
Como |e iλτ−1| > 1, temos que λτ ∉[
−π3 , π3
]
mod 2π; logo, ao menos um den-
tre λt e λ(t +τ) deve estar fora de[
−π6 , π6
]
mod 2π, e então
max∣∣e iλt −1
∣∣
2,∣∣e iλ(t+τ) −1
∣∣
2
> 2(1−cos(π
6)) = 2−
p3 > 1
4.
Além disso, como τ ∈ T (v, M2 ), temos v(t +τ) ≤ v(t )+v(τ) ≤ v(t )+ M
2 , e então
ϕ(t +τ) = max0,ε− v(t +τ) ≥ max0,ε− v(t )− M2 ≥ max0,ε− v(t )− M
2 =
ϕ(t )− M2 . Logo,
1
2S
∫S−A
0
(∣∣e iλt −1
∣∣
2ϕ(t )+
∣∣e iλ(t+τ) −1
∣∣
2ϕ(t +τ)
)
d t ≥
≥ 1
2S
∫S−A
0
(∣∣e iλt −1
∣∣
2 +∣∣e iλ(t+τ) −1
∣∣
2)
(ϕ(t )− M
2)d t >
> 1
8S
∫S−A
0(ϕ(t )− M
2)d t ,
3.3 Séries de Fourier 93
e então, para S > 2A, temos
1
S
∫S
0
∣∣e iλt −1
∣∣
2ϕ(t )d t > 1
8S
∫S−A
0(ϕ(t )− M
2)d t .
Temos também que
limS→+∞
1
8S
∫S−A
0(ϕ(t )− M
2)d t = 1
8lim
S→+∞
S − A
S
[1
S − A
∫S−A
0ϕ(t )d t − M
2
]
= M
16
e, então, como limS→+∞1
18S
∫S0 ϕ(t )d t = M
18 , para S suficientemente grande,
temos1
8S
∫S−A
0(ϕ(t )− M
2)d t > 1
18S
∫S
0ϕ(t )d t ,
donde1
S
∫S
0
∣∣e iλt −1
∣∣
2ϕ(t )d t > 1
18S
∫S
0ϕ(t )d t .
Lema 3.3.21. Para todo ε> 0, existe um conjunto finito de números λ1, . . . ,λN
tais que, para todo ρ > 0, existe T0 > 0 tal que, para T >T0,
T
2π
∫
U|aT (λ)|2 dλ< ε
com U = λ ∈R : |λ−λi | ≥ ρ, i = 1, . . . , N .
Demonstração: Para T > τ> 0, seja ψ(t ) = fT (t +τ)− fT (t ), de forma que
1
T
∫+∞
−∞ψ(t )e−iλt d t = aT (λ)(e iλτ−1)
94 Séries de Fourier
e então, pela equação de Parseval (3.3.21),
1
T
∫+∞
−∞
∣∣ψ(t )
∣∣2
d t = T
2π
∫+∞
−∞|aT (λ)|2
∣∣e iλτ−1
∣∣
2dλ.
Seja v a função de translação associada a f ∈A P (Ed ). Então
• se t , t +τ ∈ [0,T ],∣∣ψ(t )
∣∣=
∣∣ fT (t +τ)− fT (t )
∣∣=
∣∣ f (t +τ)− f (t )
∣∣≤ v(τ);
• se t , t +τ ∉ [0,T ], ψ(t ) = 0;
• caso contrário,∣∣ψ(t )
∣∣≤
∥∥ f
∥∥∞.
Assim,
1
T
∫+∞
−∞
∣∣ψ(t )
∣∣2
d t = 1
T
∫T
−τ
∣∣ψ(t )
∣∣2
d t =
= 1
T
∫0
−τ
∣∣ψ(t )
∣∣2
d t + 1
T
∫T−τ
0
∣∣ψ(t )
∣∣2
d t + 1
T
∫T
T−τ
∣∣ψ(t )
∣∣2
d t ≤
≤ v(τ)2 +2τ
∥∥ f
∥∥2∞
T.
Se T > 72τ‖ f ‖2∞
ε, temos então que
T
2π
∫+∞
−∞|aT (λ)|2
∣∣e iλτ−1
∣∣
2dλ≤ ε
36+v(τ)2.
Seja ϕ(τ) = max
0, 16ε
12 −v(τ)
; então ϕ(τ) ≥ 0 para todo τ e, assim,
T
2π
∫+∞
−∞|aT (λ)|2
∣∣e iλτ−1
∣∣
2ϕ(τ)dλ≤ ε
36ϕ(τ)+v(τ)2ϕ(τ)
para todo τ e T > 72τ‖ f ‖2∞
ε; mas v(τ) < 1
6ε12 quando ϕ(τ) > 0, e então
T
2π
∫+∞
−∞|aT (λ)|2
∣∣e iλτ−1
∣∣
2ϕ(τ)dλ≤ ε
18ϕ(τ) para todo τ e T >
72τ∥∥ f
∥∥2∞
ε.
3.3 Séries de Fourier 95
Logo,
T
2π
∫+∞
−∞|aT (λ)|2 1
S
∫S
0
∣∣e iλτ−1
∣∣
2ϕ(τ)dτdλ≤ ε
18
1
S
∫S
0ϕ(τ)dτ (3.3.25)
para todo S > 0 e T > 72S‖ f ‖2∞
ε.
Do Lema 3.3.20, obtemos λ1, . . . ,λN tais que, para todo ρ > 0, existe S > 0
tal que1
S
∫S
0
∣∣e iλt −1
∣∣
2ϕ(t )d t > 1
18
1
S
∫S
0ϕ(t )d t
se |λ−λi | ≥ ρ para i = 1, . . . , N . Assim, para um tal S, temos
T
2π
∫+∞
−∞|aT (λ)|2 1
S
∫S
0
∣∣e iλτ−1
∣∣
2ϕ(τ)dτdλ≥
≥ T
2π
∫
U|aT (λ)|2 1
S
∫S
0
∣∣e iλτ−1
∣∣
2ϕ(τ)dτdλ>
> T
2π
∫
U|aT (λ)|2 1
18S
∫S
0ϕ(τ)dτdλ; (3.3.26)
logo, de (3.3.25) e (3.3.26), obtemos, para T > 72S‖ f ‖2∞
ε,
T
2π
∫
U|aT (λ)|2 1
18S
∫S
0ϕ(τ)dτdλ< ε
18
1
S
∫S
0ϕ(τ)dτ;
como 1S
∫S0 ϕ(τ)dτ −−−−→
S→+∞M (ϕ) > 0, temos que 1
S
∫S0 ϕ(τ)dτ > 0 para S sufi-
cientemente grande, e então
T
2π
∫
U|aT (λ)|2 dλ< ε
para T > 72S‖ f ‖2∞
ε.
Finalmente, podemos mostrar o Teorema 3.3.17.
96 Séries de Fourier
Demonstração:[Demonstração do Teorema 3.3.17] Pelo que foi discutido acima,
basta mostrar (3.3.22). Seja ε > 0. O Lema 3.3.21 fornece números λ0, . . . ,λN
tais que, para todo ρ > 0, existe T0(ρ) > 0 tal que, para T > T0(ρ),
T
2π
∫
Uρ
|aT (λ)|2 dλ< ε
2
com Uρ como no enunciado do lema. Agora, pelo Lema 3.3.18, existem δ> 0
e T1 > 0 tais que, para T >T1 e para todo i ∈ 0, . . . , N ,
T
2π
∫λi+δ
λi−δ|aT (λ)|2 dλ<
∣∣a( f ,λi )
∣∣2 + ε
2(N +1)
Tomamos então ρ = δ, e daí, se T > T0(δ),
T
2π
∫
Uδ
|aT (λ)|2 dλ< ε
2,
e lembramos que Uδ= λ ∈R : |λ−λi | ≥ δ, i = 0, . . . , N Logo, se T > maxT0(δ),T1,
temos então
T
2π
∫+∞
−∞|aT (λ)|2 dλ= T
2π
∫
Uδ
|aT (λ)|2 dλ+N∑
n=0
T
2π
∫λn+δ
λn−δ|aT (λ)|2 dλ<
<N∑
n=0
∣∣a( f ,λn)
∣∣2 +ε.
Assim, generalizamos finalmente a propriedade 2 para o caso de funções
quase-periódicas. Note que isto implica em particular que a propriedade 1
também vale para funções quase-periódicas: se f ∈ UA P (Ω,Ed ) é tal que
a( f , x,λ)= 0 para todo (x,λ) ∈Ω×R, então, pelo Teorema 3.3.17, Mt (∣∣ f
∣∣2
) = 0,
e, assim, do Teorema 3.3.8,∣∣ f
∣∣2
é a função identicamente nula, isto é, f (x, t ) =
3.3 Séries de Fourier 97
0 para todo (x, t ) ∈ Ω×R; como a transformada de Bohr é linear em f , isto
prova então a sua injetividade. Assim, a única propriedade que resta gener-
alizar ao caso de funções quase-periódicas é 3, que é o assunto da próxima
seção.
3.3.6 Teorema de aproximação
O objetivo desta seção é generalizar a propriedade 3 ao caso das funções
quase-periódicas. Para isto, seguiremos a ideia da demonstração de 3 para o
caso de funções periódicas.
Seja f ∈UA P (Ω,Ed ) com Ω σ-compacto e seja Λ( f ) = λn ;n ∈N∗ o con-
junto dos expoentes de f , em que supomos λn 6= λm se n 6= m. Podemos en-
tão escolher uma base racional5 B = βn ;n ∈N∗ de Λ( f ), isto é, B é um con-
junto de números reais linearmente independente sobre Q e cada λn ∈Λ( f )
se escreve como combinação linear (finita) dos elementos de B a coeficientes
racionais. Note que podemos ter bases B de Λ( f ) cujos elementos não estão
necessariamente em Λ( f ).
Sejam m = (m1, . . . ,mn) ∈ N∗n e α = (α1, . . . ,αn) ∈ Rn com α1, . . . ,αn lin-
earmente independentes sobre Q. Definimos o polinômio trigonométrico
5Uma tal base pode ser construída da seguinte forma: tomamos β1 = λ1 se λ1 6= 0, β1 = λ2 senão, e nota-mos i1 = 1 no primeiro caso e i1 = 2 no segundo. Então B1 = β1 é linearmente independente sobre Q e todonúmero de Λ1 = λ1, . . . ,λi1 pode ser escrito como combinação linear a coeficientes racionais dos elemen-tos de B1. Supondo construídos Bk = β1, . . . ,βk , Λk = λ1, . . . ,λik tais que Bk é linearmente independentesobre Q e todo número de Λk pode ser escrito como combinação linear a coeficientes racionais dos elemen-tos de Bk , escolhemos ik+1 como o menor índice tal que λik+1 não pode ser escrito como combinação lineara coeficientes racionais dos elementos de Bk . Se um tal índice não existir, paramos o procedimento. Senão,definimos βk+1 = λik+1 , Bk+1 = Bk ∪ βk+1 e Λk+1 = λ1, . . . ,λik+1 . Bk+1 é então linearmente independente so-breQ e todo elemento deΛk+1 pode ser escrito como combinação linear a coeficientes racionais dos elementosde Bk+1. Construímos então por recorrência B1 ⊂ B2 ⊂ B3 ⊂ ·· · , que pode ou não ser finita. Basta então tomarB = ⋃
k Bk , e B satisfaz então as propriedades desejadas, pois toda subfamília finita de B está contida em umcerto Bk , e é então linearmente independente sobre Q, e todo λn ∈ Λ( f ) pode ser escrito como combinaçãolinear a coeficientes racionais dos elementos de Bk , com k tal que ik ≥ n ou k o último índice do processo deconstrução quando este acaba em um número finito de etapas.
98 Séries de Fourier
K (m,α, t ) por
K (m,α, t ) = Km1(α1t ) · · ·Kmn (αn t )=
=m j−1∑
ν j=−m j+1j=1,...,n
(
1−|ν1|m1
)
· · ·(
1−|νn|mn
)
e−i (ν1α1+···+νnαn )t ,(3.3.27)
com
Km j (t ) =m j−1∑
ν j=−m j+1
(
1−∣∣ν j
∣∣
m j
)
e−iν j t .
Notemos que, se k ∈N∗,
Kk(t ) =k−1∑
ν=−k+1
(
1−|ν|k
)
e−iνt =
= 1
k(e i t −2+e−i t )
k−1∑
ν=−k+1
(k −|ν|) e−iνt (e i t −2+e−i t ) =
= 1
k(e i t −2+e−i t )
k−1∑
ν=−k+1
(k −|ν|) (e−i (ν−1)t −2e−iνt +e−i (ν+1)t ) =
= 1
k(e i t −2+e−i t )
[k−2∑
ν=−k
(k −|ν+1|)e−iνt −2k−1∑
ν=−k+1
(k −|ν|) e−iνt +
+k∑
ν=−k+2
(k −|ν−1|)e−iνt
]
=
= 1
k(e i t −2+e−i t )
(
e i kt −2+e−i kt)= 1
k
(
e i k2 t −e−i k
2 t
e i t2 −e−i t
2
)2
= 1
k
(
sin kt2
sin t2
)2
.
Assim, Kk(t ) ≥ 0 para todo t ∈R e, então, K (m,α, t ) ≥ 0. Além disto, K (m,α, t )
é um polinômio trigonométrico em t e, portanto, uma função quase-periódica.
Como α1, . . . ,αn é linearmente independente, ν1α1 + . . .+νnαn = 0 se e so-
mente se ν1 = ·· · = νn = 0, e então a(K (m,α, t ),0) é o coeficiente correspon-
dente a ν1 = ·· · = νn = 0, isto é, a(K (m,α, t ),0) = 1, donde Mt (K (m,α, t )) = 1.
Dada f ∈UA P (Ω,Ed ) com Ωσ-compacto e m,α como acima, definimos
3.3 Séries de Fourier 99
os polinômios trigonométricos de Bochner-Fejér σ(m,α, x, s) associados a f
por
σ(m,α, x, s) = Mt ( f (x, s + t )K (m,α, t )) =
= Mt
m j−1∑
ν j=−m j+1j=1,...,n
(
1− |ν1|m1
)
· · ·(
1− |νn |mn
)
e−i (ν1α1+···+νnαn )t f (x, s + t )
=
=m j−1∑
ν j=−m j+1j=1,...,n
(
1− |ν1|m1
)
· · ·(
1− |νn |mn
)
Mt
(
e−i (ν1α1+···+νnαn)(t+s) f (x, s + t ))
e i (ν1α1+···+νnαn )s =
=m j−1∑
ν j=−m j+1j=1,...,n
(
1− |ν1|m1
)
· · ·(
1− |νn |mn
)
a( f , x,ν1α1 +·· ·+νnαn)e i (ν1α1+···+νnαn )s.
Como a( f , x,ν1α1+·· ·+νnαn) = 0 para todo x ∈Ω exceto se ν1α1+·· ·+νnαn ∈
Λ( f ), segue que Λ(σ(m,α, x, s)) ⊂Λ( f ). Notando Λ( f ) = λk ;k ∈N, podemos
escrever estes polinômios sob a forma
σ(m,α, x, s) =+∞∑
k=0
d (m,α,k)a( f , x,λk)e iλk s (3.3.28)
com
d (m,α,k)=(
1−|ν1|m1
)
· · ·(
1−|νn|mn
)
se ν1α1+·· ·+νnαn =λk (pela independência linear de α1, . . . ,αn, isto ocorre
para no máximo um conjunto de inteiros ν1, . . . ,νn) e 0 senão. Então d (m,α,k)
satisfazem as seguintes propriedades:
• 0≤ d (m,α,k)≤ 1;
• para (m,α) fixados, apenas uma quantidade finita dos d (m,α,k) é não-
100 Séries de Fourier
nula;
• d (m,α,n) dependem de f apenas por Λ( f ) (isto é, para duas funções
com os mesmos expoentes, os valores de d (m,α,n) são os mesmos).
Lema 3.3.22. Seja f ∈ UA P (Ω,Ed ) com Ω σ-compacto e notemos A o con-
junto dos pares (m,α) ∈ N∗n ×Rn tais que α1, . . . ,αn são linearmente inde-
pendentes sobre Q. Para K ⊂Ω compacto, a família
F = t 7→ f (x, t ); x ∈ K ∪ s 7→σ(m,α, x, s); x ∈K , (m,α) ∈A
é u.a.p..
Demonstração: Seja v função de translação da família t 7→ f (x, t ); x ∈ K ,
isto é, v(τ) = supx∈K supt∈R∣∣ f (x, t +τ)− f (x, t )
∣∣. Para (m,α) ∈A , temos
|σ(m,α, x, s +τ)−σ(m,α, x, s)| =∣∣Mt ([ f (x, s + t +τ)− f (x, s + t )]K (m,α, t ))
∣∣=
= limT→+∞
1
T
∣∣∣∣
∫T
0[ f (x, s + t +τ)− f (x, s + t )]K (m,α, t )d t
∣∣∣∣≤
≤ lim supT→+∞
1
T
∫T
0
∣∣ f (x, s + t +τ)− f (x, s + t )
∣∣K (m,α, t )d t ≤
≤ v(τ) limT→+∞
1
T
∫T
0K (m,α, t )d t = v(τ)Mt (K (m,α, t )) = v(τ)
usando que K (m,α, t ) ≥ 0 e Mt (K (m,α, t )) = 1. Logo, a função de translação
vF da família F é
vF (τ) =maxv(τ), sup(m,α)∈A
supx∈K
sups∈R
|σ(m,α, x, s +τ)−σ(m,α, x, s)| = v(τ),
e o Teorema 3.2.6 permite então concluir que F é u.a.p..
3.3 Séries de Fourier 101
Podemos então enunciar o resultado principal desta seção, que generaliza
a propriedade 3 das séries de Fourier de funções periódicas.
Teorem 3.3.23 (Teorema de Aproximação). Seja f ∈ UA P (Ω,Ed ) com Ω σ-
compacto. Dados ε> 0 e um compacto K ⊂Ω, existe um polinômio trigonométrico
p(x, t ) em K×R tal que∣∣ f (x, t )−p(x, t )
∣∣< εpara todo (x, t )∈ K×R. Além disso,
p pode ser escolhido tal que Λ(p) ⊂Λ( f ).
Demonstração: Do Lema 3.3.22 e do Teorema 3.3.10, basta exibir uma se-
quência de polinômios trigonométricos de Bochner-Fejér que converge em
média para6 f . Fixe K ⊂Ω compacto e ε> 0.
Seja Λ( f ) = λn ;n ∈ N∗ e escolhamos uma base racional B = βn ;n ∈ N∗
de Λ( f ). Do Teorema 3.3.17,∑+∞
n=1
∣∣a( f , x,λn)
∣∣2
converge uniformemente em
K , e podemos então tomar N ∈N de forma que
+∞∑
n=N+1
∣∣a( f , x,λn)
∣∣2 < ε
2, ∀x ∈ K . (3.3.29)
Considere os expoentes λ1, . . . ,λN e escolha p ∈N de tal forma que β1, . . . ,βp
é uma base racional de λ1, . . . ,λN . Escolha os números r (i )j ∈Q, j = 1, . . . , p,
i = 1, . . . N , de forma que
λi = r (i )1 β1 + . . .+ r (i )
p βp , i = 1, . . . , N ,
6Em particular, como estes polinômios têm a forma (3.3.28), a função quase-periódica f de série de Fourier
f (x, t) ∼+∞∑
n=0a( f , x,λn )eiλn t
será aproximada por polinômios trigonométricos do tipo
p j (x, t) =+∞∑
n=0bn, j a( f , x,λn )eiλn t
em que os bn, j são dados pelos d(m,α,k) em (3.3.28) e, então, para j fixado, bn, j = 0 para n grande, e temosentão uma situação análoga à de 3, como desejado.
102 Séries de Fourier
e seja q o mínimo múltiplo comum dos denominadores de r (i )j , de forma que
s(i )j = qr (i )
j é inteiro para todos j = 1, . . . , p e i = 1, . . . N . Então
λi = s(i )1
β1
q+ . . .+ s(i )
p
βp
q, i = 1, . . . , N .
Seja S =maxi , j
∣∣∣s(i )
j
∣∣∣ e seja ρ ∈ (0,1) tal que
ρ2N∑
n=1
∣∣a( f , x,λn)
∣∣2 < ε
2, ∀x ∈ K , (3.3.30)
o que é possível devido à continuidade da função x 7→ ∑Nn=1
∣∣a( f , x,λn)
∣∣2
so-
bre o compacto K . Tome M inteiro positivo tal que
(
1− S
M
)p
> 1−ρ. (3.3.31)
Para i = 1, . . . , p, defina αi = βiq e tome mi > M inteiro. O polinômio de
Bochner-Fejér σ(m,α, x, t ) de f (x, t ) é então dado por
σ(m,α, x, t ) =+∞∑
n=1d (m,α,n)a( f , x,λn)e iλn t =
=N∑
n=1
(
1−∣∣s(n)
1
∣∣
m1
)
· · ·(
1−∣∣s(n)
p
∣∣
mp
)
a( f , x,λn)e iλn t++∞∑
n=N+1
d (m,α,n)a( f , x,λn)e iλn t .
Logo, pela equação de Parseval e utilizando que 0 ≤ d (m,α,n) ≤ 1, (3.3.29),
3.3 Séries de Fourier 103
(3.3.30) e (3.3.31), temos
Mt (∣∣ f (x, t )−σ(m,α, x, t )
∣∣2
) =
=N∑
n=1
∣∣∣∣∣∣∣
1−p∏
j=1
1−
∣∣∣s(n)
j
∣∣∣
m j
∣∣∣∣∣∣∣
2
∣∣a( f , x,λn)
∣∣2 +
+∞∑
n=N+1
|1−d (m,α,n)|2∣∣a( f , x,λn)
∣∣2 <
<N∑
n=1
∣∣∣∣1−
(
1− S
M
)p∣∣∣∣
2∣∣a( f , x,λn)
∣∣2 +
+∞∑
n=N+1
∣∣a( f , x,λn)
∣∣2 <
< ρ2N∑
n=1
∣∣a( f , x,λn)
∣∣2 +
+∞∑
n=N+1
∣∣a( f , x,λn)
∣∣2 < ε.
É importante notar que segue deste resultado, e do fato que o limite uni-
forme de funções quase-periódicas é ainda quase-periódica, o seguinte corolário,
que caracteriza a classe A P (Ed ).
Corolário 3.3.24. A P (Ed ) é o conjunto das funções de R em Ed que podem ser
uniformemente aproximadas por polinômios trigonométricos.
Capítulo
4
Método da média
O método da média é um dos mais importantes métodos para a deter-
minação de soluções periódicas e quase-periódicas de equações diferenciais
não-lineares que contém um parâmetro pequeno. Consideremos as hipóte-
ses seguintes:
(H1) Seja f : R×Cn × [0,+∞) −→ Cn contínua, f (t , x,ε) quase-periódica em
t , uniformememte para x em compactos e ε fixado, ou seja, f (·, ·,ε) ∈
A P (Cn,Cn), para cada ε≥ 0.
(H2) f tem primeiras derivadas parciais com relação a x contínuas e
f (t , x,ε)→ f (t , x,0) e∂ f
∂x(t , x,ε) → ∂ f
∂x(t , x,0),
quando ε→ 0, uniformemente em t ∈R e x em compactos.
Considere o sistema
x = ε f (t , x,ε) (4.0.1)
106 Método da média
e o sistema "médio"
x = ε f0(x) (4.0.2)
sendo f0(x) = limT→∞
1
T
∫T
0f (t , x,0)d t = Mt ( f (t , x,0)). Toda solução de x = 0 é
constante, portanto o sistema (4.0.1) é uma pertubação de um sistema que
é crítico com relação à classe das funções periódicas de qualquer período e
, em particular, com relação à A P . Por outro lado, mostraremos que existe
uma transformação de variáveis quase-periódicas que leva x → y e o sistema
(4.0.1) num sistema da forma
y = ε f0(y)+ε f1(t , y,ε) (4.0.3)
onde f1 satisfaz as mesmas hipóteses que f e além disso f1(t , y,0) = 0.
Se existe um y0 tal que f0(y0) = 0 podemos fazer uma outra mudança de
variáveis z = y − y0 e reescrever o sistema como:
z = ε[ f0(y0+z)+ f1(t , y0+z,ε)] = ε∂ f0
∂y(y0)z+
[
f0(y0+z)− f0(y0)−∂ f0
∂y(y0)z
]
+ f1(t , y0+z,ε)
Logo, em uma vizinhança de y0, podemos aplicar os métodos estudados an-
teriormente ao sistema linear
z = ε∂ f0
∂y(y0)z,
se este for não crítico com relação à classe de funções consideradas.
Agora, enunciamos um resultado do Apêndice de [?].
Lema 4.0.25. Seja g : R×Cn −→ Cn contínua, g (t , x) quase-periódica em t
uniformemente para x em compactos, com derivadas parciais com relação a
107
x contínuas e valor médio igual a zero, isto é,
limT→∞
1
T
∫T
0g (t , x)d t = 0.
Então, para cada ε > 0, existe uma função u(t , x,ε), contínua em R×Cn ×
(0,+∞), quase-periódica em t para x em compactos e ε fixado, tendo derivada
com relação a t contínua e derivadas de ordem arbitrária especificada com
relação a x tal que, se
h(t , x,ε)= ∂u
∂t(t , x,ε)− g (t , x)
então todas as funções h, ∂h∂x , εu e ε∂u
∂x tendem a zero quando ε→ 0 uniforme-
mente para t ∈R e x em compactos.
Vale observar que se g (t , x) for um polinômio trigonométrico com coefi-
cientes que são funções inteiras de x, ou seja,
g (t , x) =∑
1≤k≤n
ak(x)e iλk t ,
para λk reais não nulos, 1 ≤ k ≤n, então a função
u(t , x) =∑
1≤k≤n
ak(x)
iλke iλk t
satisfaz as condições do lema anterior e independe de ε. Vejamos o próximo
resultado:
Lema 4.0.26. Sejam f satisfazendo as hipóteses (H1) e (H2), f0 a média em t
de f (·, ·,0) e Ω um subconjunto compacto arbitrário de Cn . Então existe um
ε0 > 0 e uma função u(t , x,ε) contínua em (t , x,ε) ∈ R×Cn × (0,ε0], quase-
108 Método da média
periódica em t para x em compactos e ε fixado, satisfazendo as condições do
Lema 4.0.25, com g (t , x) = f (t , x,0)− f0(x) tal que a transformação de var-
iáveis
x = y +εu(t , y,ε), (t , y,ε)∈R×Ω× [0,ε0] (4.0.4)
aplicada a equação x = ε f (t , x,ε) nos dá a equação
y = ε f0(y)+εF (t , y,ε) (4.0.5)
onde F (t , y,ε) satisfaz as mesmas hipóteses que f para (t , y,ε) ∈ R×Ω× [0,ε0]
e, além disso, F (t , y,0)= 0.
Demonstração: Se g (t , x) = f (t , x,0)− f0(x) então pelo lema anterior, para
todo ε> 0, existe uma função u(t , x,ε) tal que
εu(t , x,ε)→ 0, ε∂u
∂x(t , x,ε)→ 0 e f (t , x,0)− f0(x)− ∂u
∂t(t , x,ε) → 0,
quando ε → 0, uniformemente em t ∈ R e x ∈ Ω compacto. Devido a essas
convergências, definimos as funções εu(t , x,ε), ε∂u∂x (t , x,ε) e f (t , x,0)− f0(x)−
∂u∂t (t , x,ε) como sendo zero em ε= 0.
Para qualquer ε1 > 0 seja Ω1 um subconjunto compacto em Cn contendo
o conjunto
x : x = y +εu(t , y,ε), (t , y,ε)∈R×Ω× [0,ε1]
Observe que Ω ⊂ x : x = y + εu(t , y,ε), (t , y,ε) ∈ R×Ω× [0,ε1] ⊂ Ω1, pois
y = y +0.u(t , y,0). Como ε∂u∂y (t , y,ε) → 0 quando ε→ 0, uniformemente em
t ∈ R e y ∈ Ω, existe um ε2 > 0 talque a transformação linear I + ε∂u∂y (t , y,ε)
tem inversa limitada para (t , y,ε) ∈ R×Ω× [0,ε2]. Assim podemos aplicar o
109
Teorema da Função Implícita à função
H : R×Ω1×Ω× [0,ε2] −→Cn, H(t , x, y,ε)= x − y −εu(t , y,ε)
cuja derivada é∂H
∂y(t , x, y,ε) =−
[
I +ε∂u
∂y(t , y,ε)
]
. Assim, a equação x = y +
εu(t , y,ε) pode ter no máximo uma solução y ∈ Ω para cada (t , x,ε) ∈ R×
Ω1×[0,ε2]. Para qualquer x0 ∈Ω1 o Teorema da Função Implícita implica que
existe um ε3 = ε3(x0) > 0 tal que a equação x = y +εu(t , y,ε) tem uma única
solução y = y(t , x,ε) definida e contínua para |x−x0| < ε, |y−x0| < ε, ε ∈ [0,ε3].
Como Ω1 é compacto podemos escolher ε4 > 0 independente de x0 tal que a
mesma propriedade seja válida com ε3 trocado por ε4. Se ε0 = minε1,ε2,ε4
então (4.0.4) define um homeomorfismo. Portanto, a transformação (4.0.4)
está bem definida para (t , y,ε)∈R×Ω× [0,ε0] Na variável x a equação é
y +ε∂u
∂t(t , y,ε)+ε
∂u
∂y(t , y,ε)y = x (4.0.6)
= ε f (t , y +εu,ε)
= ε f0(y)+ε[ f (t , y,0)− f0(y)]+ (4.0.7)
+ ε[ f (t , y +εu,ε)− f (t , y,0)]
Logo
(
I +ε∂u
∂y
)
y = ε f0(y)+ε[
f (t , y,0)− f0(y)− ∂u
∂t
]
+ε[ f (t , y +εu,ε)− f (t , y,0)]
e assim
y =(
I +ε∂u
∂y
)−1(
ε f0(y)+εF (t , y,ε))
e F satisfaz as condições requeridas.
110 Método da média
Seja Reλ(A) a parte real dos autovalores de uma matriz A.
Teorem 4.0.27. Seja f uma função satisfazendo as hipóteses (H1) e (H2). Se
existe x0 tal que f0(x0) = 0 e Reλ[∂ f0
∂x (x0)]
6= 0, então existe um ε0 > 0 e uma
função x∗(·,ε) : R→ Cn , satisfazendo (4.0.1), contínua para (t ,ε) ∈ R× [0,ε0],
quase-periódica em t para cada ε fixo, m[x∗(·,ε)] ⊂ m[ f (·, x,ε)], x∗(·,0) = x0 e
tal solução é única numa vizinhança de x0. Ainda mais, se Reλ(A) < 0, então
x∗(·,ε) é uniformemente assintoticamente estável para 0 ≤ ε ≤ ε0 e se um dos
autovalores de A tiver parte real positiva , x∗(·,ε) é instável.
Teorem 4.0.28. Seja f uma função como acima. Se f (t +T, x,ε) = f (t , x,ε),
para todo (t , x,ε)∈R×Cn×[0,+∞) e existe x0 tal que f0(x0) = 0 e det[∂ f0
∂x (x0)]
6=
0, então existe um ε0 > 0 e uma função x∗(t ,ε) satisfazendo (4.0.1, contínua
para (t ,ε) ∈ R× [0,ε0], x∗(·,0) = x0 e x∗(t +T,ε) = x∗(t ,ε) para todo t e ε. Tal
solução é única numa vizinhança de x0.
Tais resultados são consequências diretas do Lema IV.4.3 e Teorema IV. 4.2
de [?].
Exemplo 4.0.29. A equação de Van der Pol com termo forçante
z1 = z2
z2 =−z1 +ε(1− z21)z2 + A sin w1t +B sin w2t
(4.0.8)
onde ε≥ 0, A e B constantes reais, w1 e w2 constantes positivas tais que
m +m1w1 +m2w2 6= 0 (4.0.9)
para todos inteiros m, m1 e m2 com |m|+ |m1|+ |m2| ≤ 4.
111
Denotando g (t ) = A sin w1t +B sin w2t , f (z1, z2) = (1−z21 )z2 podemos ree-
screver a equação (4.0.8) como
z = Az +εF (z)+G(t ) (4.0.10)
sendo A =
0 1
−1 0
, F (z) =
0
f (z1, z2)
e G(t ) =
0
g (t )
.
Agora, precisamos reescrever a equação (4.0.10) na "forma padrão", isto
é, na forma x = εH(t , x,ε). Se ε= 0 então a solução de (4.0.10) é
z(t , x) = e At x+∫t
0e A(t−s)G(s)d s = e At
x1
x2
+
A1 sin w1t +B1 sin w2t
A1w1 cos w1t +B1w2 cos w2t
,
sendo A1 = A
1−w 21
e B1 = B
1−w 22
. Assim, ∂z∂x (t , x) = e At =
cos t sin t
−sin t cos t
.
Vamos fazer a seguinte mudança de coordenadas
x = x(t , z) = e−At z −e−At∫t
0e A(t−s)G(s)d s = e−At z −
∫t
0e−AsG(s)d s.
Daí,∂x
∂t=−Ae−At z +e−At z −e−AtG(t ) = εe−At F (z) = εH(t , z)
Considere
H0(z) = limT→∞
1
T
∫T
0H(t , z)d t = lim
T→∞
1
T
∫T
0e−At F (z)d t
∫T
0e−At F (z)d t =
∫T
0
cos t −sin t
sin t cos t
0
(1− z21)z2
d t
112 Método da média
A equação "média"é
x = εH0(z) = ε
8
x1[2(2− A21 −B 2
1)− (x21 +x2
2)]
x2[2(2− A21 −B 2
1)− (x21 +x2
2)]
(4.0.11)
sendo H0(0) = 0 e H′0(0) =
2(2− A21 −B 2
1) 0
0 2(2− A21 −B 2
1)
. Segundo o Teo-
rema 4.0.27, se 2− A21 −B 2
1 6= 0, existe uma solução x∗(t ,ε) quase periódica
de (4.0.11) tal que m[x∗(·,ε)] ⊂ 1, w1, w2 e x∗(t ,0) = 0. Ainda, se A21 +B 2
1 > 2
então x∗(t ,ε) é uniformemente assintoticamente estável e instável se A21 +
B 21 < 2. Consequentemente, o problema (4.0.8) admite solução z∗(t ,ε) quase-
periódica que é u.a.e. (instável) se A21 +B 2
1 > 2 (<) e a solução para ε= 0 é
z1 = A1 sin w1t +B1 sin w2t
z2 = z1
Como A1 = A
1−w 21
e B1 = B
1−w 22
, podemos ter A21 + B 2
1 > 2 se fizermos A
ou B suficientemente grande, ou w1 ou w2 suficientemente próximos de 1
(ressonância). Se A21 +B 2
1 < 2 então a equação (4.0.11) tem um círculo de
pontos de equilíbrio
x21 +x2
2 = 2(2− A21 −B 2
1).
Capítulo
5
Equações fracamente não-lineares - caso
não-crítico
5.1 Equações fracamente não-Lineares - caso não-crítico
Seja A(t ) uma matriz n ×n contínua e T -periódica. Para ρ ≥ 0 e σ≥ 0 seja
Ω(ρ,σ) = (x,ǫ) ∈Cn ×Cr : |x| ≤ ρ and |ǫ| ≤σ,
e sejam η(ρ,σ) e M (σ) funções contínuas e não-decrescentes em ambas as
variáveis, com η(0,0) = 0 e M (0) = 0. Denote por
L i p(η, M )
o conjunto das funções q : R×Ω(ρ0,ǫ0) →Cn contínuas e que satisfazem:
(i) |q(t ,0,ǫ)| ≤ M (|ǫ|),
(ii) |q(t , x,ǫ)−q(t , y,ǫ)| ≤ η(ρ,σ)|x − y |,
114 Equações fracamente não-lineares - caso não-crítico
(iii) q(t , x,ǫ) é contínua em x, ǫ, uniformemente para t ∈R,
for all (t , x,ǫ), (t , y,ǫ)∈R×Ω(ρ,σ), 0≤ ρ ≤ ρ0 e 0≤σ≤ ǫ0.
1) Se q ∈L i p(η, M ) então q(·, x,ǫ) ∈B(R).
|q(t , x,ǫ)| ≤ |q(t , x,ǫ)−q(t ,0,ǫ)|+|q(t ,0,ǫ)| ≤ η(ρ,σ)|x|+M (|ǫ|), par a(t , x,ǫ)∈R×Ω(ρ,σ)
• Uma função q ∈ A P ∩L i p(η, M ) se q ∈ L i p(η, M ) e para cada ǫ fixo,
q(t , x,ǫ) é AP em t uniformemente com respeito a x, para x em com-
pactos.
• Uma função q ∈PT∩L i p(η, M ) se q ∈L i p(η, M ) e q(t+T, x,ǫ)= q(t , x,ǫ)
para todo (t , x,ǫ) ∈R×Ω(ρ0,ǫ0).
2) Se q(t , x,ǫ) → 0 e ∂q(t ,x,ǫ)∂x → 0 quando x → 0, ǫ → 0 uniformemente em t ,
então existem η e M tais que q ∈L i p(η, M ).
Teorem 5.1.1. Suponha D ∈ B(R),A P ,PT . Se q ∈ D ∩L i p(η, M ) e o sis-
tema (H) é não crítico com respeito à D, então existem constantes ρ1 > 0 e ǫ1 >
0, e uma função x∗(t ,ǫ) contínua em t ,ǫ para t ∈ R, 0 ≤ |ǫ| ≤ |ǫ1|, x∗(t ,0) = 0,
x∗(·,ǫ) ∈D, |x∗(·,ǫ)| ≤ ρ1, 0 ≤ |ǫ| ≤ ǫ1. tal que x∗(t ,ǫ) é uma solução de
x = A(t )x +q(t , x,ǫ), (5.1.1)
e é a única solução em D com norma ≤ ρ1.
Se D =A P então m[x∗(·,ǫ)] ⊂ m[q, A], 0 ≤ |ǫ| ≤ ǫ1.
Demonstração: Para um dado ρ1 > 0, 0 ≤ ρ1 ≤ ρ0, seja Dρ1 = x ∈ D, |x| ≤ ρ1.
Então Dρ1 é um subconjunto fechado e limitado do espaço de Banach D. Para
5.1 Equações fracamente não-Lineares - caso não-crítico 115
qualquer x ∈ Dρ1, a função q(·, x(·),ǫ) ∈ D (para o caso A P , ver Teorema 12,
apêndice).
Como (H) é não-crítico com respeito a D, podemos considerar a transfor-
mação w =T x, x ∈D, definida por
w =T x =Kq(·, x(·),ǫ),
onde K é o operador definido no Teorema 1.1. Do Teorema 1.1, Tq(·, x(·),ǫ) ∈
D, sempre que x ∈Dρ1. Assim
T : Dρ1 →D.
Mais ainda, os pontos fixos de T em Dρ1 são exatamente as soluções de (5.1.1)
em Dρ1.
Vamos agora usar o Teorema da Contração de Banach para mostrar que
T tem um único ponto fixo em Dρ1 para ρ1 e |ǫ| suficientemente pequenos.
Como q ∈L i p(η, M ),
|q(t , x,ǫ)| ≤ η(ρ1,ǫ1)|x|+M (ǫ1), para (t , x,ǫ)∈R×Ω(ρ1,ǫ1).
Seja k a constante do Teorema 1.1. Escolhamos ρ1 ≤ ρ0 e ǫ1 ≤ ǫ0 positivos
tais que
kη(ρ1,ǫ1) ≤ 1
2e
k
ρ1M (ǫ1) ≤ 1
2,
assim
kη(ρ1,ǫ1)ρ1 +kM (ǫ1) < ρ1,
116 Equações fracamente não-lineares - caso não-crítico
isto é,
k[η(ρ1,ǫ1)ρ1 +M (ǫ1)] < ρ1.
Agora, com estas escolhas de ρ1 e ǫ1 temos
|T x| = |K q(·, x(·),ǫ)| ≤ k|q(·, x(·),ǫ)|
≤ k[η(ρ1,ǫ1)|x(·)|+M (ǫ1)] ≤ k[η(ρ1,ǫ1)ρ1 +M (ǫ1)]
< ρ1
Logo T : Dρ1 →Dρ1, e para todo x, y ∈Dρ1 e 0 ≤ |ǫ| ≤ ǫ1|
|T x −T y | = |K q(·, x(·),ǫ)−K q(·, y(·),ǫ)|
≤ k|q(·, x(·),ǫ)−q(·, y(·),ǫ)|
≤ kη(ρ1,ǫ1)|x − y |,
e
kη(ρ1,ǫ1) ≤ 1
2.
Logo T é uma contração uniforme em Dρ1 para 0 ≤ |ǫ| ≤ ǫ1 e tem um único
ponto fixo x∗(t ,ǫ)∈Dρ1.
Como q(t , x,ǫ) é contínua em x,ǫ, uniforme em t ∈ R, x∗(t ,ǫ) é contínua
em t ,ǫ, t ∈R, 0 ≤ |ǫ| ≤ ǫ1. Para ǫ= 0, x = 0 é claramente uma solução de (5.1.1),
logo x∗(·,0) = 0.
Para provar a última afirmação do teorema, suponha α′n uma sequên-
cia em R. Seja M um compacto contendo x∗(t ,ǫ), t ∈ R,0 ≤ |ǫ| ≤ ǫ1. O Teo-
rema 11 do Apêndice garante que existe αn ⊂ α′n tal que q(t +αn , x,ǫ)
converge uniformemente para t ∈ R, x ∈ M e cada ǫ fixo. Como x∗(t ,ǫ) =
5.2 Propriedade geral do ponto de sela 117
K q(·, x∗(·,ǫ),ǫ) e K é linear contínua em B(R), temos que x∗(t+αn ,ǫ) con-
verge uniformemente para t ∈R para cada ǫ fixo.
O fato que m[x∗(·,ǫ)] ⊂ m[q, A] segue do Teorema 8 do Apêndice.
5.2 Propriedade geral do ponto de sela
Vamos reduzir a equação
x = A(t )x +q(t , x,ǫ) (5.2.1)
a uma forma mais simples.
Seja x = x∗(·,ǫ)+ y , onde x∗(·,ǫ) é a função dado no Teorema 5.1.1. Se x é
solução de (5.2.1) então
x = A(t )x +q(t , x,ǫ)= A(t )x∗(t ,ǫ)+ A(t )y +q(t , x∗(t ,ǫ)+ y,ǫ)
e
x = x∗(t ,ǫ)+ y = A(t )x∗(t ,ǫ)+q(t , x∗(t ,ǫ),ǫ)+ y .
Logo
y = A(t )y +q(t , x∗(t ,ǫ)+ y,ǫ)−q(t , x∗(t ,ǫ),ǫ)︸ ︷︷ ︸
=p(t ,y,ǫ)
. (5.2.2)
Se q ∈L i p(η, M ) então p ∈L i p(η,0).
Para simplificar ainda mais as equações, seja X (t ) = P (t )eB t , onde B é a
matriz constante, a matrix principal de (H), e seja y =P (t )z.
118 Equações fracamente não-lineares - caso não-crítico
Se y é solução de (5.2.2) então P (t )= X (t )e=B t e
y = P (t )z+P (t )z = ((x)(t )e−B t−B X (t )e−B t )z+P (t )z = A(t )P (t )z︸ ︷︷ ︸
y
−BP (t )z+P (t )z
y = A(t )y +p(t , y,ǫ).
Logo P (t )z −BP (t )z = p(t , y,ǫ), e assim
z = B z +P−1(t )p(t ,P (t )z,ǫ)︸ ︷︷ ︸
:= f (t ,z,ǫ)
(5.2.3)
Finalmente, garantimos que se q ∈D∩L i p(η, M ) então f ∈D∩L i p(η,0),
para D ∈ B(R),A P ,PT .
O restante da discussão está centrada em (5.2.3) com a hipótese de que
f ∈ L i p(η,0) e os autovalores da matriz B têm parte real não-nulas, k com
parte real positiva e n −k com parte real negativa. Então decompomos
Cn =Cn+⊕Cn
− , Cn+ =π+C
n , Cn− =π−C
n,
onde π+,π− são os operadores projeção, Cn+ tem dimensão k e Cn
− tem di-
menão n −k , Cn+ e Cn
− são invariantes sob B , e existem k ,α≥ 0 tais que
|eB tπ+z| ≤ keαt |π+z| , t ≤ 0
|eB tπ−z| ≤ keαt |π−z| , t ≥ 0.
Para σ ∈R, seja z(t ,σ, zσ,ǫ) a solução de (5.2.3) com z(σ,σ, zσ,ǫ) = zσ. Seja
5.2 Propriedade geral do ponto de sela 119
k a constante acima, e para δ> 0 defina
S(σ,δ,ǫ) = zσ ∈Cn : |π−zσ| < δ
2k, |z(t ,σ, zσ,ǫ)| < δ, t ≥σ
U (σ,δ,ǫ) = zσ ∈Cn : |π+zσ| < δ
2k, |z(t ,σ, zσ,ǫ)| < δ, t ≤σ
.
Além disso, seja B nρ = z ∈Cn : |z| < ρ.
Teorem 5.2.1. Se f ∈L i p(η,0) e os autovalores de B têm parte real não nula,
então existem δ > 0, ǫ1 > 0, β > 0 tais que para qualquer σ ∈ R, 0 ≤ |ǫ| ≤ ǫ1, a
aplicação π− é um homeomorfismo de S(σ,δ,ǫ) sobre (π−Cn)∩B n
δ/2k . S(σ,δ,0)
é tangente a π−Cn em zero, e
|z(t ,σ, zσ,ǫ)| ≤ 2k|π−zσ|e−β(t−σ) , t ≥σ,
para qualquer zσ ∈ S(σ,δ,ǫ). A aplicaçãoπ+ é um homeomorfismo de U (σ,δ,ǫ)
em (π+Cn)∩B n
δ/2k , U (σ,δ,0) é tangente a π+Cn em zero, e
|z(t ,σ, zσ,ǫ)| ≤ 2k|π+zσ|eβ(t−σ) , t ≤σ,
para qualquer zσ ∈U (σ,δ,ǫ).
Mais ainda, se g (·,σ,ǫ) : (π−Cn)∩B n
δ/2k → S(σ,δ,ǫ) é a inversa do homeo-
morfismo π−, então g (z−,σ,ǫ) é Lipschitziana em z− com constante de Lips-
chitz 2k.
Se f ∈ A P ∩L i p(η,0) então g (z−,σ,ǫ) é A P em σ com módulo contido
em m[ f ]. Se f ∈PT ∩L i p(η,0), então g (z−,σ,ǫ) é T-periódica em T.
Valem as mesmas condições para a inversa deπ+ de U (σ,δ,ǫ) sobre (π+Cn)∩
120 Equações fracamente não-lineares - caso não-crítico
B nδ/2k .
Demonstração: A prova é bastante similar a da propriedade usual de ponto
de sela. Vamos destacar as diferenças.
Podemos mostrar que para cada solução z(t ) de (5.2.3) que é limitada em
[σ,∞), existe z− ∈Cn− tal que
z(t ) = eB(t−σ)z−+∫t
σeB(t−s)π− f (s, z(s),ǫ)d s+
∫0
∞e−B sπ+ f (t+s, z(t+s),ǫ)d s , t ≥σ
e para qualquer solução z(t ) de (5.2.3) que é limitada em (−∞,σ], existe um
z+ ∈Cn+ tal que z(t ) satisfaz a relação
z(t ) = eB(t−σ)z++∫t
σeB(t−s)π+ f (s, z(s),ǫ)d s+
∫0
−∞e−B sπ− f (t+s, z(t+s),ǫ)d s , t ≤σ.
Ver o restante no livro.
Agora suponha que f ∈ A P ∩L i p(η,0). Provemos que a representação
g (z−,σ,ǫ) de S(σ,δ,ǫ) é AP em σ com módulo contido em m[ f ].
5.2 Propriedade geral do ponto de sela 121
Como
g (z−,σ,ǫ) = z−+∫0
∞e−B sπ+ f (σ+ s, z∗(σ+ s,σ, z−,ǫ),ǫ)d s,
será necessário estimar z∗(σ+ s,σ, z−,ǫ) como uma função de σ e s.
Para simplificar a notação, seja z(t ,σ) = z∗(t ,σ, z−,ǫ), f (t , z) = f (t , z,ǫ). A
equação para z(σ+ t ,σ) se torna
z(σ+t ,σ) = eB t z−+∫t
0eB(t−s)π− f (σ+s, z(σ+s,σ))d s+
∫0
∞e−B sπ+ f (σ+t+s, z(σ+t+s,σ))d s.
(5.2.4)
O objetivo é mostrar que z(σ+ t ,σ) é AP em σ se f ∈ A P ∩L i p(η,0).
Suponha que α′ = α′n é uma sequência em R. Existe uma subsequência α=
αn de α′ tal que f (t +αn , z) converge uniformemente para t ∈ R, |z| ≤ δ.
Para n,m ∈N, sejam
γn,m = sups∈R,|z|≤δ
| f (s +αn, z)− f (s +αm, z)|
un,m(t ,σ) = |z(σ+ t +αn,σ+αn)− z(σ+ t +αm,σ+αm)|.
122 Equações fracamente não-lineares - caso não-crítico
Então (5.2.4) implica que
un,m(t ,σ) =∣∣∣∣
∫t
0eB(t−s)π− f (σ+αn + s, z(σ+αn + s,σ+αn))d s
+∫0
∞e−B sπ+ f (σ+ t +αn , z(σ+ t +αn ,σ+αn))d s
−∫t
0eB(t−s)π− f (σ+σm + s, z(σ+αm + s,σ+αm))d s
−∫0
∞e−B sπ+ f (σ+ t +αm, z(σ+ t +αm,σ+αm))d s
∣∣∣∣
≤∫t
0ke−α(t−s)k1| f (σ+αn + s, z(σ+αn + s,σ+αn))
− f (σ+αm + s, z(σ+αm + s,σ+αm))|d s
+∫∞
0ke−αsk1| f (σ+ t +αn , z(σ+ t +αn ,σ+αn))
− f (σ+ t +αm, z(σ+ t +αm,σ+αm))|d s
≤∫t
0kk1e−α(t−s)η(δ,ǫ1)un,m(s,σ)d s +
∫t
0kk1e−α(t−s)γn,md s
+∫∞
0kk1e−αsη(δ,ǫ1)un,m(s,σ)d s +
∫∞
0kk1e−αsγn,md s
=∫t
0kk1e−α(t−s)η(δ,ǫ1)un,m(s,σ)d s +
∫t
0kk1e−α(t−s)γn,md s
+kk1e−αt∫t
0eαsd sγn,m +kk1γn,m
∫∞
0e−αsd s
=∫t
0kk1e−α(t−s)η(δ,ǫ1)un,m(s,σ)d s +
∫t
0kk1e−α(t−s)γn,md s
+kk1e−αt
[eαs
α
]t
0γn,m +kk1γn,m
[e−αs
α
]0
∞
=∫t
0kk1e−α(t−s)η(δ,ǫ1)un,m(s,σ)d s +
∫t
0kk1e−α(t−s)γn,md s
+kk1e−αt
[eαt
α− 1
α
]
γn,m +kk1γn,m
[1
α
]
=∫t
0kk1e−α(t−s)η(δ,ǫ1)un,m(s,σ)d s +
∫t
0kk1e−α(t−s)γn,md s
+kk1
[1
α− e−αt
α
]
γn,m + kk1
αγn,m
︸ ︷︷ ︸
≤ 2kk1α γn,m
.
5.2 Propriedade geral do ponto de sela 123
Assim mostramos que
un,m(t ,σ) ≤ 4kk1
αγn,m → 0, n,m → 0.
Logo, z(σ+ t ,σ) é AP em σ com módulo contido no módulo de f . Em partic-
ular, g (z−,σ,ǫ) = z∗(σ,σ, z−,ǫ) é AP com módulo contido em m[ f ].
Se f ∈PT ∩L i p(η,0), então g (z−,σ+T,ǫ)= g (z−,σ,ǫ),∀σ, uma vez que
z(σ+ t +T,σ+T )= z(σ+ t ,σ) , ∀σ, t ,
da unicidade de solução de (5.2.4).
Exemplo 5.2.2. Equação de Van der Pol com termo forçante.
x1 = x2
x2 =−x1 +k(1−x21)x2 +ǫg (t ),
k 6= 0 e ǫ≥ 0 parâmetros reais e g ∈A P .
Se x = (x1, x2), então o sistema fica
x = Ax +q(t , x,ǫ),
onde
A =
0 1
−1 k
e q(t , x,ǫ)=
0
−kx21x2 +ǫg (t )
.
Temos
d et (A −λI )=λ(λ−k)+1=λ2 −kλ+1= 0 e Re(λ) = k
2.
124 Equações fracamente não-lineares - caso não-crítico
Claramente q ∈A P ∩L i p(η, M ), onde
|q(t , x,ǫ)−q(t , y,ǫ)| = |k||x21x2 − y2
1 y2| ≤ kρ2
︸︷︷︸
η(ρ)
|x − y |
e
|q(t ,0,ǫ)| ≤ ǫsupt∈R
|g (t )|︸ ︷︷ ︸
M(ǫ)
.
O Teorema 5.1.1 garante que existem ρ1 > 0, ǫ1 > 0 tais que o sistema tem
uma solução AP x∗(t ,ǫ) com m[x∗(·,ǫ)] ⊂ m[g ], x∗(·,0) = 0 e esta solução é a
única numa ρ1-vizinhança de x1 = x2 = 0.
Como os autovalores de A tem parte real negativa se k < 0 e parte real pos-
itiva e k > 0, o Teorema 5.2.1 garante que a solução x∗(t ,ǫ) é assintoticamente
estável se k > 0 e instável se k < 0.
Capítulo
6
O método alternativo
6.1 Introdução
Nosso objetivo nestas notas será fazer algumas aplicações do Método
Alternativo no estudo de existência e bifurcação de soluções periódicas e lim-
itadas de equações diferenciais não lineares.
Para um estudo mais geral e completo desse método recomendamos o ar-
tigo de Cesari[2] e também o livro de Chow e Hale[3]. Procuramos seguir em
parte as idéias desenvolvidas em Hale[9]. Na parte especí fica de aplicações
a equações de segunda ordem procuramos seguir o artigo de Chow, Hale e
Mallet-Paret[4].
No estudo de soluções limitadas de equações não lineares procuramos es-
tabelecer relação entre o conceito de dicotomia exponencial e a Alternativa
de Fredholm e apresentar alguns resultados obtidos por Rodrigues-Silveira[23,
24] e Rodrigues e Ruas-Filho [21, 22].
Tres boas referências para o estudo de dicotomia exponencial são os livros:
126 O método alternativo
Coppel[6] e Daleccki-Krein[7] e Henry[12]. A bibliografia, do final destas no-
tas, apresenta uma lista de trabalhos interessantes relacionados com o tema
que estamos tratando.
6.2 O método alternativo
Estamos interessados em analisar as soluções da equação:
Lx = N (x,λ) (6.2.1)
Sejam X , Z espaços de Banach e Λ⊂Rk um conjunto aberto. Seja L : X →
Z um operador linear contí nuo e N : X ×Λ→ Z um operador não linear, de
classe C 1.
Consideremos as seguintes hipóteses:
• L é um operador de Fredholm, ou mais precisamente: d i mN (L) := p <
∞, cod i mR(L) := q <∞
• Existem projeções contí nuas: P ∈ L (X ), Q ∈ L (Z ), tal que R(P ) =
N (L), R(I −Q)=R(L).
A Figura 1 será muito útil para entender o estudo que será feito a seguir.
Temos que L|(I−P )(X ) : (I −P )(X ) →R(L) é sobrejetiva e contí nua. Do Teo-
rema do Gráfico Fechado segue que essa aplicação tem inversa K : R(L) →
(I −P )(X ), contí nua. Além disso vale que: K L = I −P e L K = IR(L).
Fazendo x =P x+(I −P )x :=u+v , com u ∈N (L), P v = 0, a equação acima
6.2 O método alternativo 127
(I-P)X
N
X Z
R
(L)
(L)=(I-Q)Z
P Q
Figura 6.1: Decomposição dos Espaços.
é equivalente ao seguinte sistema de equações:
(I −Q)Lv = (I −Q)N (u +v,λ)
QLv =QN (u +v,λ)
que é equivalente a:
Lv = (I −Q)N (u +v,λ)
0 =QN (u +v,λ)
que por sua vez é equivalente a:
v =K (I −Q)N (u +v,λ)
QN (u +v,λ) = 0(6.2.2)
A primeira equação é chamada equação auxiliar.
Em geral, impondo-se condições sobre a não linearidade N , procura-se
resolver a equação auxiliar via Teorema das Função Implí cita ou Teorema
de Ponto Fixo encontrando-se uma unica solução v∗(u,λ). Substituindo na
128 O método alternativo
segunda equação obtemos:
QN (u +v∗(u,λ),λ) = 0
que é chamada equação de bifurcação.
Temos assim q equações com p +k incógnitas.
Exemplo 6.2.1. Seja X =P1ω := g ∈C 1(R,Rn) : g ω-periódica e
Z =Pω := g ∈C (R,Rn) : g ω-periódica
Seja f : R×Rn ×R→ R uma função contí nuamente diferenciável tal que,
f (·, x,λ) é ω-periódica, para cada (x,λ) ∈Rn ×R.
Procura-se estudar as soluções ω-periódicas da equação:
x =λ f (t , x,λ) (6.2.3)
Se g ∈ X , consideremos
(Lg )(t ) := g (t ), N (g ,λ)(t ) :=λ f (t , g (t ),λ)
Neste caso temos que
N (L) = funções constantes, R(L) = g ∈Pω :1
ω
∫ω
0g (t ) d t = 0.
Consideremos as projeções:
Q : Z → Z , (Qg )(t ) := 1
ω
∫ω
0g (s) d s
e seja P a restrição de Q a X .
6.2 O método alternativo 129
Se Qg = 0, temos:
(K g )(·) := (I −P )∫·
0g (s)d s
Alternativa de Fredholm:A equação x = g (t ) tem solução ω-periódica se e
só se (Qg )(t ) = 1ω
∫ω0 g (s) d s = 0. Neste caso existe uma única solução ω-
periódica x(t ) := (K g )(t ) tal que P x = 0.
A equação auxiliar é dada por:
v =K (I −Q)(N (u +v,λ)),
ou equivalentemente,
˙v(t ) =λ f (t ,u +v(t ),λ)− λ
ω
∫ω
0f (s,u +v(s),λ) d s
Seja β> 0, um número real fixado. Existe δ> 0, tal que se |λ| < δ e |u| ≤ β,
tem-se v∗(u,λ), tal que v∗(u,0) ≡ 0. Isto pode ser mostrado utilizando-se o
Teorema do Ponto Fixo de Banach. A equação de bifurcação é então dada
por:
H(u,λ) =Q(N (u +v∗(u,λ),λ)) :=λ1
ω
∫ω
0f (s,u +v∗(u,λ)(s),λ) d s = 0
Excluindo a solução óbvia λ= 0 temos a equação:
h(u,λ) = 1
ω
∫ω
0f (s,u +v∗(u,λ)(s),λ) d s = 0
Por exemplo, se existir u0 < β, tal que ∂h∂u (u0,0) 6= 0, temos que a equação
acima pode ser resolvida numa vizinhanca de (u0,0), encontrando-se u =
130 O método alternativo
u(λ), com u(0) =u0. Se isto não estiver satisfeito, tenta-se resolver de alguma
outra maneira, explorando termos de mais alta ordem.
Consideremos a equação de Van der Pol:
u −λ(1−u2)u +u = 0
ou o sistema equivalente:
u = v
v =−u +λ(1−u2)v
Introduzindo coordenadas polares, u = r cos θ, v =−r sen θ, temos o sis-
tema de equações:
θ = 1+λ(1− r 2cos2 θ)sen θ cos θ
r =λ(1− r 2 cos2 θ) r sen θ
Para valores de r num intervalo limitado e para valores de λ suficiente-
mente pequenos, podemos considerar a equação:
d r
dθ=λg (r,θ,λ) (6.2.4)
onde
g (r,θ,λ) := (1− r 2 cos2 θ) r sen θ
1+λ(1− r 2cos2 θ)sen θ cos θ
Procura-se soluções 2π-periódicas dessa equação. Seguindo o procedi-
mento acima, fazemos r := u + v , onde u é constante e v tem valor médio
6.3 Soluções periódicas 131
zero. Temos assim que resolver a equação:
h(u,λ) = 1
2π
∫2π
0g (θ,u +v∗(u,λ)(θ),λ) dθ= 0 (6.2.5)
Como v∗(u,0) ≡ 0, temos que:
h(u,0) = 1
2π
∫2π
0(1−u2cos2 θ)usi n2 θ dθ= 1
2u(1− u2
4)
Temos assim que u = 0 u = 2 e u = −2 são soluções de h(u,0) = 0. Além
disso, dhdu 6= 0, para esses valores. Daí segue que essa equação pode ser re-
solvida, encontrando-se u = u(λ), na vizinhança de cada um desses pontos,
obtendo-se assim soluções periódicas da equação de van der Pol. Pode-se
mostrar que u = 2 e u =−2 dão origem à mesma órbita. Para mais detalhes,
tais como a recuperação das informações em termos das variáveis originais,
ver Hale[9,p.187].
6.3 Soluções periódicas
Seja A(t ) uma matriz n ×n, ω-periódica e contí nua em t . Seja F :
R×Rn ×Rk →Rn uma função de classe C 1, ω-periódica. Nosso objetivo neste
capí tulo será estudar soluções periódicas da seguinte equação:
x = A(t )x +F (t , x,λ)
Consideremos a equação diferencial:
x = A(t )x (H)
132 O método alternativo
Se X (t ) é uma matriz fundamental, seja T (t , s)= X (t )X −1(s) o operador de
evolução.
Seja f : R → Rn uma função contí nua e ω-periódica. Consideremos a
equação não homogênea:
x = A(t )x + f (t ) (N H)
Supomos em primeiro lugar que a única solução ω-periódica de (H) é a
solução nula. Isto é equivalente a dizer que T (ω,0)x0 = x0 implica x0 = 0, ou
ainda que I −T (ω,0) é invertí vel.
Neste caso dizemos que o sistema (H) é não crí tico com relação ao espaço
Z := Pω := g ∈ C (R,Rn) : g é ω-periódica. Seja X := Pω := g ∈ C 1(R,Rn) :
g é ω-periódica.
Uma solução de (NH) é dada por
x(t ) = T (t ,0)x0 +∫t
0T (t , s) f (s) d s.
Essa solução é ω-periódica se e só se:
x0 =T (ω,0)x0 +∫ω
0T (ω, s) f (s) d s =T (ω,0)x0 +T (ω,0)
∫ω
0T (0, s) f (s) d s
Assim, no caso não crí tico, temos que x(t ) é solução ω-periódica se e só se:
x0 = (I −T (ω,0))−1∫ω
0T (0, s) f (s) d s.
Consideremos agora o caso crí tico. A equação
(I −T (ω,0))x0 =∫ω
0T (ω, s) f (s) d s
6.3 Soluções periódicas 133
tem solução se e só se, para toda solução y0 de
y0(I −T (ω,0)) = 0
tem-se
y0
∫ω
0T (ω,0) f (s) d s =
∫ω
0y0T (ω, s) f (s) d s = 0
Vemos que y0T (ω, s) é solução ω-periódica da equação adjunta:
y =−y A(t ) (Ad j )
se e só se y0(I −T (ω,0)) = 0.
Lema 6.3.1. (Alternativa de Fredholm) A equação não homogênea (N H) tem
solução ω-periódica se e só se f é ortogonal a todas as soluções ω-periódicas
da equação adjunta (Ad j ).
Observações
• Pode-se mostrar que a dimensão do espaço das soluções ω-periódicas
da equação homogênea (H) é igual à dimensão do espaço da soluções
ω-periódicas da equação adjunta (Ad j ).
• Se f não for ortogonal a todas as soluções ω-periódicas da equação ad-
junta então pode-se mostrar que toda solução de (N H) é não limitada.
Neste caso tomamos: (Lx)(t ) := x(t )− A(t )x(t ) e temos
N (L) = x : x é solução ω-periódica de (H)
134 O método alternativo
R(L) = g ∈ Z :∫ω
0y(s)g (s) d s = 0,∀ solução ω-periódica, y , de (Ad j )
Nosso próximo objetivo será construir as projeções.
SejaΦ := (φ1, · · · ,φp), tal que φ1, · · · ,φp é uma base de soluçõesω-periódicas
de (H). Sem perda de generalidade, podemos supor que:
∫ω
0Φ
∗(t )Φ(t ) d t = Ip×p
onde (∗) indica a transposta.
Definimos a projeção P : X →N (L) por
(P f )(t ) :=Φ(t )∫ω
0Φ
∗(s) f (s) d s.
Poderí amos, também sem perda de generalidade, em vez da condição
acima assumir que:
Φ∗(0)Φ(0) = Ip×p
e então tomar a projeção:
(P f )(t ) :=Φ(t )Φ∗(0) f (0)
Analogamente, consideramos uma base de soluções ψ1, . . . ,ψp, ω-periódicas
da equação adjunta (Ad j ),
Ψ :=
ψ1
...
ψp
A escolha da projeção mais conveniente é em geral ditada pelo problema
6.3 Soluções periódicas 135
que está sendo tratado.
Também, sem perda de generalidade podemos supor que:
∫ω
0Ψ(s)Ψ∗(s) d s = Ip×p.
Definimos a projeção I −Q : Z →R(L), através de:
(Q f )(t ) :=Ψ∗(t )
∫ω
0Ψ(s) f (s) d s.
O Lema 3.1 pode então, neste caso, ser refraseado da seguinte maneira:
Teorem 6.3.2. (Alternativa de Fredholm) A equação não homogênea (N H)
tem solução ω-periódica se e só se Q f = 0. Se Q f = 0 então (N H) tem uma
única solução ω-periódica, x(t ) := (K f )(t ), tal que PK f = 0.
Consideremos agora a equação:
x = A(t )x +F (t , x,λ) (6.3.1)
Assuminos novamente que F : R×Rn ×Rk é continuamente diferenciável
e que f (·, x,λ) é ω-periódica. Como anteriormente, fazemos x = u + v , com
P v = 0 e obtemos o sistema:
v =K (I −Q) f (·,u +v,λ)
Q f (·,u +v,λ)= 0
Impondo condições sobre f , pode-se resolver a equação auxiliar, obtendo-
se v∗(u,λ)(t ). Substituindo-se na segunda equação, obtemos:
Q f (·,u +v∗(u,λ)(·),λ) = 0,
136 O método alternativo
ou equivalentemente,
H(u,λ) :=∫ω
0Ψ(t ) f (t ,u +v∗(u,λ)(t ),λ) = 0
Observação 6.3.3. O sistema x = Ax é não crí tico com relação a Pω, se e só se,
para todo autovalor µ de A tem-se µ 6= 2nπiω
, ∀n ∈Z.
6.4 Soluções limitadas
Seja A(t ) uma matriz n ×n, contí nua em t ∈R. Consideremos o sistema:
x = A(t )x (H)
Definição 6.4.1. Dizemos que o sistema (H) admite uma dicotomia exponen-
cial em R+ se existirem constantes positivas, K , α e projeção P+(s), para cada
s ≥ 0, tal que T (t , s)P+(s) = P+(t )T (t , s),
‖T (t , s)P+(s)‖ ≤K e−α(t−s), t ≥ s ≥ 0
‖T (t , s)(I −P+(s))‖ ≤K e−α(s−t), s ≥ t ≥ 0
Observação 6.4.2. Valem os seguintes resultados:
• Se P+(0)x0 = x0 então T (t ,0)x0 é solução limitada de (H).
• Se (I −P+(0))x0 6= 0 então T (t ,0)x0 é solução não limitada de (H).
Temos a seguinte definição análoga para t ≤ 0.
Definição 6.4.3. Dizemos que o sistema (H) admite uma dicotomia exponen-
cial em R− se existirem constantes positivas, K , α e projeção P−(s), para cada
6.4 Soluções limitadas 137
s ≤ 0, tal que
‖T (t , s)P−(s)‖ ≤K e−α(s−t), t ≤ s ≤ 0
‖T (t , s)(I −P−(s))‖ ≤K e−α(t−s), s ≤ t ≤ 0
Utilizando-se a mesma idéia, pode-se definir dicotomia exponencial em
R. Um sistema linear autônomo x = Ax, onde A é uma matriz n ×n, admite
dicotomia exponencial em R+ se e só se A não tem autovalores no eixo imag-
inário. Neste caso pode-se tomar a projeção:
P+(0) := 1
2πi
∫
γ(zI − A)−1 d z
onde γ é qualquer curva simples retificável fechada contida no semi-plano
à esquerda que contem no seu interior todos os autovalores de A que têm
parte real negativa.
Neste caso podemos tomar P+(s) ≡ P+(0). para s ≥ 0. A seguir daremos
uma interpretação geométrica do conceito de dicotomia exponencial.
Seja X um espaço de Banach, e S1, S2 sub-espaços fechados. Define-se a
distância angular entre esses dois sub-espaços como sendo:
Sn(S1,S2) := infxk∈Sk , ‖xk‖=1, k=1,2
‖x1 +x2‖
Quando estivermos trabalhando em um espaço de Hilbert temos:
Sn(S1,S2) = 2 sen(θ
2)
onde θ é o ângulo mí nimo entre os sub-espaços S1, S2.
Suponhamos que (H) admite dicotomia exponencial em R+. Seja S1(t ) :=
138 O método alternativo
R(P+(t )) e S2(t ) :=R(I−P+(t )). Então, condições iniciais em S1(0) dão origem
a soluções que decaem exponencialmente, condições iniciais em S2(0) dão
origem a soluções que crescem exponencialmente e a distância angular en-
tre os sub-espaços S1(t ), S2(t ) é maior ou igual a um número positivo.
Num certo sentido, a recí proca do resultado acima também é válida. Os
próximos resultados dizem respeito à robustez do conceito de dicotomia ex-
ponencial.
Consideremos os sistemas:
x = A(t )x (H)
x = A(t )x +B(t )x (P )
onde A(t ) e B(t ) são contí nuas em J :=R+, R−, ou R.
Teorem 6.4.4. Suponhamos que (H) admite dicotomia exponencial em J. En-
tão existe δ > 0, tal que se supt∈J ‖B(t )‖ ≤ δ, então o sistema (P ) admite dico-
tomia exponencial em J.
Teorem 6.4.5. Suponhamos que (H) admite dicotomia exponencial em R+.
Se∫∞
0 ‖B(t )‖ d t <∞, então o sistema (P ) admite dicotomia exponencial em
R+.
Este último teorema tem um correspondente em R−.
Seja f : R → Rn uma função contí nua e limitada. Consideremos os sis-
temas:
x = A(t )x + f (t ) (N H)
y =−y A(t ) (Ad j )
6.4 Soluções limitadas 139
Teorem 6.4.6. (Alternativa de Fredholm) Supomos que (H) admite dicoto-
mia exponencial em R+ e em R−. Então:
• Toda solução limitada em R da equação (Ad j ) decai exponencialmente
quando |t |→∞.
• Se f é limitada em R então (N H) tem solução limitada em R, se e só se f é
ortogonal a todas as soluções limitadas em R da equação adjunta, (Ad j ).
Prova: Seja X0 o subespaço de Rn, constituido das condições iniciais, em
t = 0, de soluções de (H) que são limitadas em R. Seja X +(resp. X −), o sub-
espaço, tal que X0⊕X +(resp. X0⊕X −) seja o sub-espaço das condições iniciais
de soluções limitadas em R+(resp.R−). Seja X1 um sub-espaço tal que X0 ⊕
X +⊕X −⊕X1 =Rn. Sejam P0, P+, P−, P1 as projeções correspondentes.
Definimos: P+(s) := T (s,0)(P0 +P+)T (0, s), P−(s) := T (s,0)(P0 +P−)T (0, s).
Pode-se provar que com essas novas projeções, temos dicotomias expo-
nenciais em R+ e em R− (Ver Coppel[6,p.16]).
Da Fórmula da Variação das Constantes segue que se x(t ) é solução de
(N H), então existe x0 tal que:
x(t ) = T (t ,0)x0 +∫t
0T (t , s) f (s) d s.
Para t ≥ 0, temos:
∫t
0T (t , s) f (s) d s =
∫t
0T (t , s)P+(s) f (s) d s +
∫t
0T (t , s)(I −P+(s)) f (s) d s =
∫t
0T (t , s)P+(s) f (s) d s+
∫t
∞T (t , s)(I−P+(s)) f (s) d s+
∫∞
0T (t , s)(I−P+(s)) f (s) d s
140 O método alternativo
Assim
x(t ) = T (t ,0)[x0 +∫∞
0T (0, s)(I −P+(s)) f (s) d s]+
∫t
0T (t , s)P+(s) f (s) d s +
∫t
∞T (t , s)(I −P+(s)) f (s) d s
Da dicotomia exponencial segue que:
‖∫t
0T (t , s)P+(s) f (s) d s +
∫t
∞T (t , s)(I −P+(s)) f (s) d s‖≤
[∫t
0K e−α(t−s) d s +
∫t
∞K e−α(s−t) d s]‖ f ‖∞ ≤ 2K
α‖ f ‖∞.
Temos assim que x(t ) é limitada em R+, se e só se:
(I −P+(0))(x0 +∫∞
0T (0, s)(I −P+(s)) f (s) d s)= 0
e daí :
(I −P+(0))x0 =−∫∞
0T (0, s)(I −P+(s)) f (s) d s =−
∫∞
0(I −P+(0))T (0, s) f (s) d s
Daí decorre que:
(I −P−(0))(I −P+(0))x0 =−∫∞
0(I −P−(0))(I −P+(0))T (0, s) f (s) d s (6.4.1)
Analogamente, para t ≤ 0 podemos escrever:
x(t ) = T (t ,0)[x0 −∫0
−∞T (0, s)(I −P+(s)) f (s) d s]+
∫t
0T (t , s)P−(s) f (s) d s +
∫t
−∞T (t , s)(I −P−(s)) f (s) d s
6.4 Soluções limitadas 141
Assim x(t ) é limitada em R−, se e só se,
(I −P−(0))(x0 −∫0
−∞T (0, s)(I −P−(s)) f (s) d s)= 0
que é equivalente a:
(I−P−(0))x0 = (I−P−(0))∫0
−∞T (0, s)(I−P−(s)) f (s) d s =
∫0
−∞(I−P−(0))T (0, s) f (s) d s
A relação acima implica:
(I −P+(0))(I −P−(0))x0 =∫0
−∞(I −P+(0))(I −P−(0))T (0, s) f (s) d s (6.4.2)
Como P+(0) comuta com P−(0), temos de (4.1) e (4.2) que:
∫∞
−∞(I −P+(0))(I −P−(0))T (0, s) f (s) d s = 0 (6.4.3)
Mostremos agora que toda solução limitada em R da equação (Ad j ) é da
forma y0(I −P+(0))(I −P−(0))T (0, s).
Seja z0T (0, s) solução de (Ad j ), limitada em R. Afirmamos que z0P+(0) =
0. Suponhamos que não. Seja w0 := z0P+(0) Temos que w0P+(0) = w0 6= 0 e
então temos:
‖w0‖= ‖w0P+(0)‖ = ‖w0T (0, s)T (s,0)P+(0)‖ ≤
‖w0T (0, s)‖‖T (s,0)P+(0)‖ ≤ ‖w0T (0, s)‖K e−αs .
142 O método alternativo
Logo,eαs
K‖w0‖ ≤ ‖w0T (0, s)‖
o que dá uma contradição.
Temos assim que z0(I−P+(0)) = z0. Com raciocí nio semelhante mostra-se
que z0(I −P+(0))(I −P−(0)) = z0.
Concluí mos que z0T (0, s) solução de (Ad j ), é limitada em R, se e só se,
z0T (0, s) = z0(I −P+(0))(I −P−(0))T (0, s), o que demonstra nossa afirmação.
Reciprocamente, suponhamos que:
∫∞
−∞(I −P+(0))(I −P−(0))T (0, s) f (s) d s = 0
e mostremos que a equação (N H) tem solução limitada em R.
Tomemos x0, tal que:
(I −P−(0))x0 =∫0
−∞(I −P−(0))T (0, s) f (s) d s
(I −P+(0))x0 =−∫∞
0(I −P+(0))T (0, s) f (s) d s
P+(0)P−(0)x0 = 0
Daí decorre que a solução:
x(t ) := T (t ,0)x0 +∫t
0T (t , s) f (s) d s
é limitada em R.
Teorem 6.4.7. (Recí proca da Alternativa de Fredholm) Supomos que ‖A(t )‖
é limitada em R. Supomos que valem as seguintes hipóteses:
6.4 Soluções limitadas 143
• Toda solução limitada em R da equação (Ad j ) decai exponencialmente
quando |t |→∞.
• Se f é limitada em R então (N H) tem solução limitada em R, se e só se f é
ortogonal a todas as soluções limitadas em R da equação adjunta, (Ad j ).
Então (H) admite dicotomia exponencial em R+ e em R−.
Os resultados acima, para soluções limitadas, foram desenvolvidos em
versões mais gerais em Rodrigues-Silveira[23,24] e Rodrigues e Ruas-Filho[22].
Nosso próximo objetivo será fazer uma preparação para a utilização do
Método Alternativo, encontrando projeções convenientes.
Neste caso vamos tomar (Lx)(t ) := x(t )− A(t )x
Seja Φ := (φ1, · · · ,φp), onde φ1, · · · ,φp é uma base de soluções limitadas
em R de (H). Sem perda de generalidade, podemos supor que:
Φ∗(0)Φ(0) = Ip×p
Definimos a projeção P : X →N (L) por
(P f )(t ) :=Φ(t )Φ∗(0) f (0).
Analogamente, consideramos uma base de soluções ψ1, . . . ,ψq limitadas
em R da equação adjunta (Ad j ), Ψ :=
ψ1
...
ψq
.
Também, sem perda de generalidade podemos supor que:
144 O método alternativo
∫∞
−∞Ψ(s)Ψ∗(s) d s = Iq×q .
Definimos a projeção I −Q : Z →R(L), a partir de:
(Q f )(t ) :=Ψ∗(t )
∫∞
−∞Ψ(s) f (s) d s.
Teorem 6.4.8. (Alternativa de Fredholm) A equação não homogêna (N H)
tem solução limitada em R se e só se Q f = 0. Se Q f = 0 então (N H) tem uma
única solução limitada em R, x(t ) := (K f )(t ), tal que PK f = 0.
Nosso próximo objetivo será aplicar os resultados acima no estudo de per-
turbação em torno de órbita homoclí nica ou heteroclí nica.
Consideremos os sistemas:
x = f (x) (NP )
x = f (x)+F (t , x,λ) (P )
onde f : Rn →Rn e F : R×Rn×Rk →Rn são funções de classe C 2 e F (t , x,0)≡ 0.
Sejam Ai := fx(xi ), i = 1,2, onde xi , i = 1,2 são pontos de equilí brio de
(P ) e supomos todos os autovalores de Ai têm parte real não nula. Não ex-
cluí mos a possibilidade x1 = x2 (caso homoclí nico). Assumimos também
que existe uma órbita ligando os pontos de equilí brio xi , i = 1,2. Seja x(t )
uma parametrização dessa órbita. Assumimos que x(t ) pertence à variedade
instável de x1 e à variedade estável de x2.
Pode-se mostrar que x(t ) → x1, (x2), quando t →+∞, (−∞), respectiva-
mente, exponencialmente.
6.4 Soluções limitadas 145
Vamos então procurar solução x(t ) de (P ), próxima de alguma transladada
de x(t ). Seja S1 := x(0)+S a secção normal a x(t ), por x(0), onde S é um sub-
espaço vetorial do Rn de dimensão n −1.
Seja α ∈R, tal que, x(t −α) esteja próxima de x(t ) e tal que x(−α) ∈ S1.
Introduzindo a mudança de variáveis: x(t −α) := x(t )+ z(t ), com z(0) ∈ S,
obtemos o sistema:
z = fx(x(t ))z +G(t , z,λ,α) (6.4.4)
onde G(t , z,λ,α) := f (x(t )+z)− f (x(t ))− fx (x(t ))z+F (t−α, x(t )+z,λ) =O(|λ|+
|z|2).
Seja A(t ) := fx(x(t )) e consideremos os sistemas:
x = A(t )x (H)
x = A(t )x + f (t ) (N H)
y =−y A(t ) (Ad j )
Temos que:
‖A(t )− A2‖ = ‖ fx(x(t ))− fx(x2)‖ ≤ const.‖x(t )−x2‖
que decai exponencialmente, quando t →∞. Raciocí nio semelhante pode
ser feito quando t →−∞.
Assim o sistema (H) admite dicotomia exponencial em R+ e em R− e por-
tanto vale a Alternativa de Fredholm para soluções limitadas em R.
Sabemos que φ1(t ) := ˙x(t)‖ ˙x(0)‖ é uma solução limitada de (H).
Seja Φ := (φ1, · · · ,φp) uma base de soluções limitadas em R de (H). Sem
146 O método alternativo
perda de generalidade, podemos supor que:
Φ∗(0)Φ(0) = Ip×p
Definimos a projeção P : X →N (L) por
(P f )(t ) :=Φ(t )Φ∗(0) f (0).
Analogamente, consideramos uma base, ψ1, . . . ,ψq, de soluções limitadas
em R da equação adjunta (Ad j ). Seja, Ψ :=
ψ1
...
ψq
.
Também, sem perda de generalidade podemos supor que
∫∞
−∞Ψ(s)Ψ∗(s) d s = Iq×q .
Definimos a projeção I −Q : Z →R(L), a partir de:
(Q f )(t ) :=Ψ∗(t )
∫∞
−∞Ψ(s) f (s) d s.
Fazemos agora z(t ) :=Φ(t )a+w(t ), onde a :=
a1
...
ap
. Como P w = 0 implica
que (φ1(0))∗w(0) = 0 e como queremos que z(0) ∈ S seja ortogonal a ˙x(0),
6.5 Aplicações 147
temos que impor a1 = 0 e então a =
0
a2
...
ap
.
A equação auxiliar é então dada por
w =K (I −Q)[G(·,Φ(·)a +w,λ,α)] (6.4.5)
Do Teorema das Funções Implí citas segue que a equação acima pode ser
resolvida numa vizinhança da origem, encontrando-se solução w∗(a,α,λ)(t )
que satisfaz
w∗(0,α,0) = 0.
Substituindo-se na equação de bifurcação obtemos:
QG(·,Φ(·)a +w∗(a,α,λ)(·),λ,α) = 0 (6.4.6)
que é equivalente a:
∫∞
−∞Ψ(s)G(s,Φ(s)a +w∗(a,α,λ)(s),λ,α) d s = 0 (6.4.7)
6.5 Aplicações
Vamos considerar a equação:
x + g (x) = 0 (6.5.1)
148 O método alternativo
e a equação perturbada:
x + g (x) =−λ1x +λ2 h(t ) (6.5.2)
ou os sistema equivalentes:
x1 = x2
x2 =−g (x1)(6.5.3)
x1 = x2
x2 =−g (x1)−λ1x2 +λ2 h(t )(6.5.4)
onde h é C 2 e 1-periódica. Exemplos tí picos serão: g (x) = −x + x3, g (x) =
−x +x2, h(t )= cos 2πt
Vamos supor que a origem de (5.1) é um ponto de equilí brio hiperbólico.
Seja g1(x) :=∫x
0 g (s) d s. Vamos assumir que g1 tem um gráfico como mostra
a Figura 2.
6.5.1 O caso periódico (sub-harmônico)
Seja p(t ) :=
p1(t )
p2(t )
uma solução m-periódica do sistema acima, satis-
fazendo p2(0) = p1(0) = 0. Vamos considerar a secção normal como sendo
o eixo x.
Vamos procurar solução m-periódica do sistema (5.2) próxima de p(t +α)
para algum α ∈R. Ver Hale-Táboas [11].
6.5 Aplicações 149
x
g1(x)
Figura 6.2:
Consideremos o sistema variacional:
x = A(t )x (H)
onde A(t ) :=
0 1
−g ′(p1(t )) 0
Supomos que o espaço das soluções m-periódicas de (H) tem dimensão
1. Neste caso temos que Φ(t ) := p(t)|p1(0)| é uma base para este espaço. Temos
também que Φ∗(0)Φ(0) = 1. Consideramos a projeção
(P f )(t ) :=Φ(t )Φ∗(0) f (0).
Consideramos a seguinte base de soluções da equação adjunta: Ψ(t ) := 1ξ
(−p1(t ), p1(t ))
onde ξ :=√
∫m2
−m2‖ p(t )‖2.
150 O método alternativo
Utilizaremos a projeção I −Q : Z →R(L), definida a partir de:
(Q f )(t ) :=Ψ∗(t )
∫m2
−m2
Ψ(s) f (s) d s.
Fazendo x(t −α) := p(t )+ z(t ) em (5.2), com z(0) pertencente ao eixo x,
isto é z2(0) = 0, vamos aplicar o Método Alternativo.
A equação auxiliar é dada por:
z =K (I −Q)[G(·, z,λ,α)] (6.5.5)
onde
G(t , z,λ,α) :=
0
−g (p1(t )+ z1)+ g (p1(t ))+ g ′(p1(t ))z1 −λ1p1(t )−λ1z2 +λ2 h(t −α)
=O(|λ|+ |z|2).
Usando o Teorema das Funções Implí citas resolvemos a equação auxiliar
encontrando z∗(λ,α)(t ). Substituindo na equação de bifurcação, obtemos:
Q[G(·, z∗(λ,α),λ,α)] = 0
que é equivalente a:
λ1
∫m2
−m2
[p1(s)]2 d s =
∫m2
−m2
p1(s) [−g (p1(s)+z∗1 (λ,α)(s))+g (p1(s))+g ′(p1(t ))z∗
1 (λ,α)(s)−λ1z2+λ2 h(s−α)]d s
6.5 Aplicações 151
Como,
∫m2
−m2
p1(s) [−g (p1(s)+z∗1 (λ,α)(s))+g (p1(s))+g ′(p1(t ))z∗
1 (λ,α)(s)−λ1z2+λ2 h(s−α)]d s =
λ2
∫m2
−m2
h(s −α)p1(s) d s +·· · ,
o nosso problema fica reduzido a resolver:
λ1
∫m2
−m2
[p1(s)]2 d s =λ2
∫m2
−m2
h(s −α)p1(s) d s +·· ·
Fazendo,
H(α) := 1∫m
2
−m2
[p1(s)]2 d s
∫m2
−m2
h(s −α)p1(s) d s
nossa equação de bifurcação fica sendo dada por:
λ1 =λ2H(α)+·· ·
Temos que H(α) é 1-periódica em α.
Suponhamos a seguinte hipótese:
• H tem um máximo αM e um mí nimo αm com H ′′(αM ) < 0, H ′′(αM ) > 0
e H ′(α) 6= 0, para todos os outros α ∈ [0,2π]. H(αM ) > 0, H(αm) < 0.
Teorem 6.5.1. Dentro das hipóteses acima, existem duas curvas de bifurcação
ΓM , Γm de soluções m-periódicas da equação (5.2). Ver Figura 3
6.5.2 O caso limitado (homoclínico)
152 O método alternativo
λ
λ
Γ
Γ
1
2
M
m
Figura 6.3: Curvas de bifurcação no caso de soluções periódicas.
Seja p(t ) :=
p1(t )
p2(t )
uma solução limitada do sistema acima, satisfazendo
p2(0) = p1(0) = 0. Vamos considerar a secção normal como sendo o eixo x.
Vamos procurar solução limitada em R do sistema (5.2) próxima de p(t +
α) para algum α ∈R.
Consideremos o sistema variacional:
x = A(t )x (H)
onde A(t ) :=
0 1
−g ′(p1(t )) 0
Pode-se mostrar que o espaço das soluções limitadas de (H) e da equação
adjunta, (Ad j ) têm dimensão 1. Neste caso temos que Φ(t ) := p(t)|p1(0)| é uma
base para este espaço. Temos também que Φ∗(0)Φ(0) = 1.
6.5 Aplicações 153
Consideramos a projeção
(P f )(t ) :=Φ(t )Φ∗(0) f (0).
Consideramos a seguinte base so espaço das soluções da equação ad-
junta, limitadas em R: Ψ(t ) := 1ξ
(−p1(t ), p1(t )) onde ξ :=√
∫∞−∞ ‖p(t )‖2.
Definimos a projeção I −Q : Z →R(L), a partir de:
(Q f )(t ) :=Ψ∗(t )
∫∞
−∞Ψ(s) f (s) d s.
Fazemos x(t −α) := p(t )+ z(t ) em (5.2), com z(0) pertencente ao eixo x,
isto é z2 = 0 vamos aplicar o Método Alternativo. A equação auxiliar é dada
por:
z =K (I −Q)[G(·, z,λ,α)] (6.5.6)
onde
G(t , z,λ,α) :=
0
−g (p1(t )+ z1)+ g (p1(t ))+ g ′(p1(t ))z1 −λ1p1(t )−λ1z2 +λ2 h(t −α)
=O(|λ|+ |z|2).
Usando o Teorema das Funções Implí citas resolvemos a equação auxiliar
encontrando z∗(λ,α)(t ). Substituindo na equação auxiliar, obtemos:
Q[G(·, z ∗ (λ,α),λ,α)] = 0
154 O método alternativo
que é equivalente a:
λ1
∫∞
−∞[p1(s)]2 d s =
∫∞
−∞p1(s) [−g (p1(s)+z∗
1 (λ,α)(s))+g (p1(s))+g ′(p1(t ))z∗1 (λ,α)(s)−λ1z2+λ2 h(s−α)]d s
Como,
∫∞
−∞p1(s) [−g (p1(s)+z∗
1 (λ,α)(s))+g (p1(s))+g ′(p1(t ))z∗1 (λ,α)(s)−λ1z2+λ2 h(s−α)]d s =
λ2
∫∞
−∞h(s −α)p1(s) d s +·· · ,
o nosso problema fica reduzido a resolver:
λ1
∫∞
−∞[p1(s)]2 d s =λ2
∫∞
−∞h(s −α)p1(s) d s +·· ·
Fazendo,
H(α) := 1∫∞−∞ [p1(s)]2 d s
∫∞
−∞h(s −α)p1(s) d s
nossa equação de bifurcação fica sendo dada por:
λ1 =λ2H(α)+·· ·
Temos que H(α) é 1-periódica em α.
Suponhamos a seguinte hipótese:
• H tem um máximo αM e um mí nimo αm com H ′′(αM ) < 0, H ′′(αM ) > 0
e H ′(α) 6= 0, para todos os outros α ∈ [0,2π]. H(αM ) > 0, H(αm) < 0.
Teorem 6.5.2. Dentro das hipóteses acima, existem duas curvas de bifurcação
ΓM , Γm de soluções limitadas em R da equação (5.2). Ver Figura 4
6.5 Aplicações 155
λ
λ
Γ
Γ
1
2
M
m
Figura 6.4: Curvas de bifurcação no caso de soluções limitadas.
Observação 6.5.3. • Para g (x) :=−x+x2 e f (t ) := cos 2πt , obtém-se H(α)=
(const .)sen α. Ver [4].
• Consideremos os sistemas:
x1 = x2
x2 = x1 −x21
(NP )
x1 = x2
x2 = x1 −x21 −λ1x2 +λ2 cos 2πt
(P )
Pode-se mostrar quando é feita uma pequena perturbação de (NP ), obtendo-
se o sistema (P ), a origem de (NP ) transforma-se numa solução per-
iódica pequena de (P ), com as mesmas propriedades locais de estabil-
idade, isto é ela tem uma variedade instável e uma variedade estável
locais semelhantes àquelas correspondentes do sistema (NP ). Pode-se
mostrar que cada solução limitada de (P ) encontrada acima,utilizando-
156 O método alternativo
se o Método de Liapunov-Schmidt, vai tender à solução periódica pe-
quena de (P ), quando |t | →∞. Assim, essas soluções limitadas estarão
na intersecção da variedade estável com a variedade instável da solução
periódica pequena.
• Os resultados acima podem ser estendidos para sistemas bi-dimensionais
do tipo: do tipo:
x = g (x)+F (t , x,λ)
onde x = g (x) é um sistema reversí vel, com as devidas adaptações. Ver
[20].
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Índice Remissivo
função
de translação, 54
base
inteira, 37
racional, 36
conjunto
de translação, 33
dos expoentes, 82
linearmente independente, 36
relativamente denso, 31
convergência em média, 76
dicotomia exponencial, 7, 136
expoentes de uma função, 82
família
uniformemente quase-periódica, 54
função
(Bohr) quase-periódica, 32
a.p. em t uniformemente com relação a x, 45
de translação de Bochner, 55
limit periodic, 37
normal, 33
quase-periódica, 32
quasi-periódica, 37
uniformemente quase-periódica, 30
uniformemente quase-periódica em compactos,
60
hull, 33
módulo, 36, 37
número de translação, 31
sistema não-crítico, 7
transformada de Bohr, 65