Cuprins Prefa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

I . Osci la i i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I .1. Osci la i i n s isteme mecanice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I .1.a). Micarea osci lator ie armonic (M.O.A) . . . . . . . . . . . . . 6

I .1.b. Compunerea osci la i i lor armonice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

I .1.c) Micarea osci lator ie amort izat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

I .1.d. Micarea osci lator ie ntre inut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

I .1.e Autoosci la i i . Ecua ia Van der Pol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

I .2. Osci la i i n s isteme electr ice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

I .2.a. Osci la i i armonice n c i rcui te LC .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

I .2.b. Osci la i i amort izate n c i rcui te RLC.. . . . . . . . . . . . . . . . . 34

I .2.c Osci la i i ntre inute n c i rcui te le RLC ser ie . . . . . . . . 36

I .2.d. Autoosci la i i n s isteme electr ice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

I .3. Exerci i i i probleme.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Fizica I Eleonora Rodica Bena

4

PREFA

Cartea de fa cupr inde sub o form mai dezvol ta t pr ima par te a lec i i lo r predate de autoare la d isc ip l ina F iz ic I d in programa anulu i I a Facul t i i de Elect ron ic , Telecomunica i i i Tehnologia In forma ie i , Univers i ta tea Pol i tehnica d in Bucure t i .

n n tocmirea mater ia lu lu i prezentat s-a presupus c c i t i toru l are cuno t in e de baz de f iz ic i matemat ic de l iceu iar unde e lemente le de matemat ic au dep i t acest n ive l s-au in t rodus note, observa i i i anexe supl imentare.

Disc ip l ina F iz ica I f i ind o d isc ip l in fundamenta l , t ra teaz prob lemele de baz a le f iz ic i i c las ice, formulate i rezo lvate cu mul i an i n urm , dar metodele ut i l izate const i tu ie nc ins t rumente fo los i toare unui v i i tor ing iner . Pentru n elegerea ro lu lu i i u t i l i t i i no iun i lor i fenomenelor abordate sunt prezentate numeroase apl ica i i ac tua le a le acestora n tehnolog ia z i le lor noast re.

La f iecare capi to l sunt prezentate exemple, exerc i i i i prob leme cu rezolv r i amnun i te , care const i tu ie ns doar baza s tudiu lu i , dec i s tuden i i sunt inv i ta i s consul te c r i le , manuale le i cu leger i le de probleme d in b ib l iograf ie .

mi expr im speran a c acest manual este accesib i l i va f i u t i l tu turor ce lor care s tud iaz f iz ica c las ic .

Mul umesc referen i lo r pent ru efor tu l de a c i t i acest mater ia l i pent ru recomand r i le fcute.

Mul umesc de asemenea domnioare i Anca Mate ia pent ru tehnoredactarea mater ia lu lu i i Ed i tur i i CREDIS d in Univers i ta tea d in Bucure t i pent ru ncrederea constant pe care mi-o arat pr in publ icarea n condi i i graf ice deosebi te a mater ia le lor prezentate.

Autoarea

Fizica I Eleonora Rodica Bena

I. OSCILAII

I.1. Oscila i i n sisteme mecanice

Micarea osc i la tor ie este micarea de o par te i de a l ta a unei poz i i i poz i ia de echi l ibru.

Micarea osc i la tor ie poate f i :

- micare osc i la tor ie per iod ic (osc i la ie per iod ic ) ;

- micare osc i la tor ie pseudoper iod ic ;

- micare osc i la tor ie aper iod ic . Micarea osc i la tor ie per iod ic este micarea care se

repet n mod ident ic dup anumi te in terva le de t imp. M r imi le caracter is t ice aceste i mic r i sunt :

- e longa ia - dep r tarea fa de poz i ia de ech i l ib ru la un moment dat : x( t ) (sau y( t ) ) .

- ampl i tud inea - dep r tarea maxim fa de poz i ia de echi l ibru (e longa ia maxim ) ; nota ie : A, xm a x , ym a x .

- osc i la ie complet - fenomen care presupune reveni rea osc i la toru lu i n poz i ia in i ia l .

- per ioada mic r i i es te durata unei osc i la i i complete; nota ie : T, [T ] = s :

- f recven a mic r i i osc i la tor i i es te dat de num ru l de osc i la i i complete n un i ta tea de t imp; nota ie : (uneor i f ) ; [ ]=Hz=s - 1 .

Se observ c : = 1T

.

- pu lsa ia mic r i i osc i la tor i i : = = 22T

; [ ] = rad 1s

5

Fizica I Eleonora Rodica Bena

I.1.a ) . Micarea osci lator ie armonic (M.O.A)

6

= F k x

= F m a

Fig . I .1

Presupunem un corp de mas m , legat de un resor t , cu constanta de e last ic i ta te k , aezat pe o suprafa or izonta l neted (F f=0) . Notm x0=0 pozi ia corpulu i cnd resor tu l este nealungi t (sau necompr imat) ( f ig . I .1a) (poz i ia de echi l ibru) . A lungim resor tu l ast fe l nct corpul s se af le la d is tan a xm a x=A fa de 0. n resor t ia

na tere o for elastic , care se opune alungir i i (F ig. I .1b) . Lsm corpul l iber ; e l va f i ac ionat de Fe , revenind n poz i ia de echi l ibru, cnd Fe=0, dar avnd v i tez ; dator i t aceste i v i teze i va cont inua micarea, compr imnd resor tu l . Cnd a junge la d is tan a x=-xm a x fa de 0 el se va opri (v=0), dar resortul f i ind puternic comprimat, apare o for e last ic Fe , care va readuce corpul la poz i ia de echi l ibru, e tc . ( f ig . I .1c)

k ma)

0 x

eF

Vom cuta dependen a e longa ie i x de t impul t . Pentru aceasta vom scr ie legea a I I - a a d inamic i i :

( I .1)Se observ c , n absen a f rec r i i , s ingura for care

ac ioneaz n s is tem este Fe (pentru c ea readuce corpul n poz i ia de echi l ibru, se mai nume te i for de reveni re) .

innd seama de re la i i le d in mecanic :

t=0

x m a x=A x0

b )

v

xeF

x

c)

-x m a x

Fizica I Eleonora Rodica Bena

( )( ) ( )( )( )

= = = =

0

0

0t t 0

0t t 0

x xv lim x t

t tv v

a lim v t ' vt t

( ) ( )=

= =

&

& &&

' x t

t x t

= &&mx kx

(adic v i teza este pr ima der ivat n rapor t cu t impul a e longa ie i , iar accelera ia este pr ima der ivat n rapor t cu t impul a v i tezei , dec i der ivata a doua a e longa ie i ) , ob inem:

sau

+ =kx x 0m

&& ( I .2)

Notm = 20km

+ =20x x 0

( )( )

+ + 0 0 0t

i numim 0 pu lsa ia propr ie a s is temulu i ; ecua ia ( I .2) dev ine: && ( I .3)

Aceast ecua ie are ca so lu ie o func ie armonic ( f ie s inus, f ie cos inus, f ie o exponen ia l cu exponent imaginar) . Vom alege so lu ia de forma: = = = &

0 0x Csin t

v x C cos ( I .4)

Cele dou constante care apar (C, 0 ) se determin d in condi i i le in i ia le i anume: n momentu l nceper i i mic r i i osc i la tor i i ( t=0) (cnd corpul a fost lsat l iber f ig .1b) e l avea x=xm a x=A i v=0. ( )( )

= =

x 0 Csin

v 0 C

= =

0

0 0

A

cos 0

De a ic i rezul t : cos 0=0, ad ic = =;sin 12 20 , dec i C=A. Ob inem solu ia complet : ( ) = + 0t .2x t A sin

Dac la t=0 corpul era n t r -o poz i ie oarecare, cu o anumit v i tez , vom ob ine a l te va lor i pentru 0 , dec i n genera l :

7

Fizica I Eleonora Rodica Bena

8

( )( )

(a)

(b)

(c)

0

0

( ) ( )( )( )

= + = + = +

0 0

0 020 0

x t A sin t

v t A cos t

a t A sin t

( I .5)

Se observ c e longa ia , v i teza i accelera ia sunt func i i per iod ice de t imp, avnd per iod ic i ta tea func i i lo r s inus sau cos inus;

( ) ( ) ( ) ( ) + + = + + = 0 0T0 0 0 0x t x t T sin t sin t ( ) ( ) + + 0 0 0 0t T t + = 0 2 , de unde rezul t 0 T0=2 , ad ic = 0 0

2T

+ 0 0t t

.

Argumentu l func i i lo r s in sau cos poar t denumirea de faza mic r i i osc i lator i i :

( ) = ( I .6)iar 0 se nume te faz in i ia l (este t raducerea n rad iani a dep r t r i i in i ia le fa de poz i ia de echi l ibru) .

Exemple :

1 . Un resor t cu constanta de e last ic i ta te k=400N/m sus ine un corp cu masa m=4kg. S is temul este scos d in echi l ibru i execut osc i la i i armonice ver t ica le. Af la i pu lsa ia i ampl i tud inea mic r i i osc i lator i i t i ind c n momentu l n care e longa ia este y=4cm, v i teza de osc i la ie este v=30cm/s.

Rezolvare :

Pulsa ia propr ie =0 km = 10rad / s

( )( )

+ + 0 0

0 0 0

tt

( )Din ob inem

= = y A sin

v A cos ( )+ = = +

0 0

0 0

t

t

22

2

22

2 20

y sinAv cos

A

care,

adunate conduc la re la ia + =2 2

2 2 20

y v 1A A

; de a ic i = + 2

220

v

24 10 m

A y ;

y=4cm=

Fizica I Eleonora Rodica Bena

9

210 m / s= =v 30cm / s 30 ,

dec i ( ) = + = + = 2 44 2230 10A 16 10 10 16 9 5 1010

=2m 5cm 2. Un corp efectueaz osc i la i i descr ise de ecua ia

( ) + cm3= x 10 sin 100 t . Af la i f recven a mic r i i osc i lator i i ,

v i teza mobi lu lu i n momentu l n care x = 5cm i care este pr imul moment fa de ce l a l nceper i i mic r i i osc i la tor i i cnd se n tmpl acest lucru.

Rezolvare :

Comparnd ecua ia dat cu ecua ia ( I .5 .a) observm c

A=10cm iar 0 =100 rad/s . 0 =20 , de unde =0 2 =0 50Hz .

n locuind x=5cm n ecua ia de micare, ob inem

+ = 3s 100 t

3 2 +

13 2

=sin 100 t , dec i co .

Rezul t = + = = 2

03v A cos 100 t 10 10 100 5

3 23 m / s .

Pentru af larea momentu lu i n care x=5 cm i = 3 m / sv 5 , inem seama c = 1sin

2 pentru =

6 sau = 5

6.

n cazul problemei : + =1 3 6100 t , d in care rezul t t 1

Fizica I Eleonora Rodica Bena

Rezolvare : Presupunem c unghiu l maxim

(ampl i tud inea unghiu lar ) fcut de f i r cu ver t ica la este 6o. Descompunem greutatea corpulu i n dou componente: - una de-a lungul f i ru lu i (Gn=Gcos )

(pre luat de tens iunea n f i r ) - una tangent la t ra iector ie,

Gt=Gsin , care este ch iar for a de reveni re.

10

Pentru unghiur i 6o putem scr ie =l lAB xsin ( innd

seama c AB este ch iar e longa ia ) . Atunc i ltmgG x

= = G F k x

poate f i

pus sub forma , cu

t = lmgk . Folos ind re la ia

= = lk gm

20 , rezul t = lT 2 g

0 .

Observa ie : or i de cte or i un corp m este supus unei for e de

reveni re de t ipu l = F k x x (k=constant , =e longa ia ) (propor ional cu e longa ia i de sens contrar cu ea) acesta

execut o micare osc i la tor ie cu = i 0 km = 0mT 2k

.

Pasul de baz n rezolvarea problemelor n care se cere per ioada mic r i i osc i la tor i i este dec i gs i rea expres ie i for ei de reveni re, punerea acestei expres i i sub forma =revF kx (dec i gs i rea lu i k nu neap ra t constanta e last ic a unui resor t ) i

ca lcu larea per ioadei = mT 2k

.

F l

B G t

G n A

G

Fizica I Eleonora Rodica Bena

Energia n micarea osci lator ie armonic

n decursul MOA corpul posed energ ia c inet ic

( ) = = 2 2 22 0c mA cosmvE 2 2+ 0 0t iar resor tu l posed energ ia

poten ia l deforma ional ( ) + 0 0 0t= = 2 2 22p mA sinkxE 2 2 . Se

observ c ambele t ipur i de energ i i sunt func i i de t imp. Energ ia

to ta l =

2 20m A2

= +c pE E E este ns constant n t imp, ad ic se conserv . Deducem c n cursu l MOA are loc un t ransfer de energ ie de la resor t la corp i rec iproc, energ ia to ta l f i ind aceea i . Valoarea energ ie i to ta le se mai poate ca lcu la n fe lu l urm tor : - la poz i ia de echi l ibru, e longa ia e nu l , v i teza este maxim , dec i Ec=max, iar Ep=0;

= =t c maE E2max

xmv

2

11

- n poz i i i le ext reme ( )= =x A,v 0 , =cE 0 , = = 2p kAax 2E m , deci = =

2

maxkA

2t pE E

I.1.b . Compunerea osc i la i i lor armonice

1) Compunerea a dou osci la i i paralele, cu aceea i f recven

Presupunem c asupra unui punct mater ia l se exerc i t dou for e de t ip e last ic , care produc dou mic r i osc i la tor i i de aceea i f recven , pe aceea i dreapt , dar cu ampl i tud in i i faze in i ia le d i fer i te:

( ) ( )( ) ( )

= += +

1 1 0

2 2

x t A sin t

x t A sin t

(a)

(b)1

02

( ) ( ) = +1 2t x t

( I .7)

Osci la ia rezul tant va f i :

( )x t x ( I .8)

Fizica I Eleonora Rodica Bena

( )( ) = + 0tx t A sin ( I .9)dec i va f i to t armonic , dar cu a l t ampl i tud ine i a l t faz in i ia l . Pentru ca lcu lu l ampl i tud in i i rezul tante i a fazei 0 se pot fo los i dou metode:

a) metoda anal i t ic b) metoda fazor ia l (Fresnel )

a) metoda anal i t ic

n locuim re la i i le ( I .7) i ( I .9) n ( I .8) :

( ) ( ) ( ) + = + +0 1 01 2A sin t A sin t A sin + 02t Fo los im re la ia t r igonometr ic : ( ) + = +sin sin cos s in cos i ob inem:

+ =

+ +0 0

1 01 1 01 2 02 2

A sin t cos A cos t sinA sin t cos A cos t sin A sin t cos A cos + 02t sin

Aceast re la ie t rebuie ndepl in i t la or ice moment , dec i ,

n par t icu lar i la t=0 sau = 2 TT 4 2

= =T Tt4 4

1 2

La (

La : A cos A cos

= = += = +

0 1 01 2 02

0 01 0

t 0 : A sin A sin A sin Tt A cos 4

a)

(b)2

( I .10)

mp r ind ce le dou re la i i ob inem:

2 02

2 02

sincos

+= +1 01

01 01

A sin Atg

A cos A ( I .11)

Rid icnd la p t ra t ce le dou ecua i i ( I .10) i adunndu- le , ob inem:

( ) 02 01

= + +2 2 21 2 1 2A A A 2A A cos ( I .12)(am fo los i t re la i i le t r igonometr ice: + =2 2os 1sin c

( ) ( ) + = 01 02 01 02 01 02cos cos sin sin cos cos = 02 01 ) b) metoda fazorial (Fresnel)

Un fazor este un vector ro t i tor ; e l se poate reprezenta n t r -o d iagram xOy pr in t r -un segment de dreapt or ientat , care face un unghi var iab i l cu axele.

12

Fizica I Eleonora Rodica Bena

( )Elonga ia + 0t=x A sin la momentu l t se poate reprezenta pr in t r -un vector de modul A, care face cu una d in axe (de exemplu Oy) unghiu l = + 0t

( )

( f ig . I .2)

Fig . I .2

13

n cazul a dou osc i la i i , putem considera t=0 i ob inem fazor i i (1) i (2) d in f igura I .3:

Fig . I .3

Ace t ia se compun ca doi vector i ob inui i , ast fe l nct suma lor va f i :

02 01= + +2 21 2 1 2A A A 2A A cos Aceasta este to t un fazor care face cu Oy unghiu l 0 :

t=0

x

y

t>0

A

0

x=As in 0

A

x

y

t+ 0

x=As in( t+ 0 ))

y

x

A

A 1

A 2 0 2

(2 )

(1 )

0 1

Fizica I Eleonora Rodica Bena

2 02

2 02

sincos

+= +1 01

01 01

A sin Atg

A cos A

deci va reprezenta o micare osc i la tor ie de t ipu l :

( )( ) = + 0tx t A sin Concluzie : pr in suprapunerea a dou osc i la i i armonice para le le , de aceea i f recven se ob ine to t o osc i la ie armonic para le l cu ce le date, de aceea i f recven dar cu ampl i tud ine i faz in i ia l d i fer i te .

Anal iznd formula ( I .12) se observ urm toare le: 1) dac defazaju l in i ia l = 0 02 01

=1 2 maxA A

este 0, 2 , .2n (mul t ip lu par de ) , cos2n=1, dec i

= +A A ( I .13)Se spune c ce le dou osc i la i i sunt n faz :

2) dac defazaju l in i ia l este 0=(2n+1) (mul t ip lu impar de ) , cos(2n+1) =-1,

= A A =1 2 minA A ( I .14)Se spune c ce le dou osc i la i i sunt n opoz i ie de faz .

3) dac defazaju l in i ia l este 0=(2n+1) , cos(2n+1) =0, dec i 2 2= +2 21 2A A A ( I .15)

ce le dou osc i la i i f i ind n cuadratur de faz .

2) Compunerea a dou osci la i i paralele, cu frecven e pu in di fer i te

Presupunem c un punct mater ia l este supus s imul tan la dou mic r i osc i la tor i i de pulsa i i = 1 0 i = + 2 0 , unde

Fizica I Eleonora Rodica Bena

Apl icnd re la ia t r igonometr ic

+ cos2 2

+ =sin sin 2sin ob inem:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

+ = = + + +

=

1 2 2 1

0 0

0

t tx t 2A sin cos

2 2t

2A sin cos2 2

x t 2A cos t sin t

+ 0 0 t

( )

( I .17)

Se observ c osc i la ia rezul tant poate f i considerat to t o osc i la ie armonic cu pulsa ia 0 dar a c re i ampl i tud ine este var iab i l n t imp:

( ) = A t 2A cos t

' ' '1 2 3,t , t ....

Reprezentnd graf ic ecua ia ( I .17) ob inem aspectu l d in f igura I .4 .

Fig . I .4

x cos( t )

15

Se observ de asemenea c osc i la ia rezul tant prez int maxime i min ime per iod ice. Fenomenul poar t numele de b t i (de la fenomenul sonor s imi lar ) ; per iod ic punctu l mater ia l pu lseaz cu ampl i tud inea 2A ( t 0=0, t 1 , t 2.. )sau se

opre te ( ) . tIn terva lu l de t imp nt re dou maxime succesive sau dou

zerour i succesive se nume te per ioada b t i lor .

--

2A

'1t '

2t '3t

T b

t

s in0 t

0 1t 2t

Fizica I Eleonora Rodica Bena

( ) ( )( ) ( )

deci

deci

= =

= =

' '1 1

' '2 2

A t 2A cos t 0,

A t 2A cos t 0,

=

=

'1

'2

t23t2

( ) deci = 2 12

(b)

= =' '2 1 bt t , T ( I .18)

3) Compunerea a dou osci la i i perpendiculare, de aceea i f recven

Presupuneam c un punct mater ia l este supus s imul tan la dou mic r i osc i la tor i i de aceea i f recven , de ampl i tud in i d i fer i te , pe dou d i rec i i perpendicu lare Ox i Oy.

( )0 (a)

y Bsin

== +

0

0

x A sin t t

( I .19)

(am notat 0=0 2 -0 1 ) Vom deduce ecua ia t ra iector ie i pe care va evolua punctul

mater ia l : Din ( I .19a)

= 2

0 2xs t 1 =0 xsinA

( I .20)A

; cot

Scr iem ( I .19b) sub forma: + 0 0t sin= 0 0y sin t cos cosB i n locuim cele dou expres i i ( I .20) :

0 0in

16

= + 2

2y x xcos 1 sB A A

sau = 2 2

20 02

y x xcos 1 sinB A A

+ =2 2

2 20 02 2

y x 2xycos cos sinABB A

2

20 02

x sinA

Rezul t = 20 0sin+ 2 2

2 2x y 2xy cos

A BA B ( I .21)

Ecua ia ob inut este ecua ia t ra iector ie i punctu lu i supus la ce le dou osc i la i i perpendicu lare i reprez int o e l ips ro t i t fa de axele xOy ( f ig . I .5) .

Fizica I Eleonora Rodica Bena

Fig . I .5

y

2A

x

2B

E l ipsa este nscr is n dreptunghiu l de la tur i 2A i 2B. Unghiu l de rota ie i semiaxele e l ipsei depind de ampl i tud in i le ce lor dou osc i la i i i de defazaju l lor 0 . Cazuri part iculare:

( ) = +0 2n 1 21) (n=0,1,2.. )

17

( ) + =cos 2n 1 0;2

( ) =1 12

+2sin 2n , iar ecua ia ( I .21) dev ine:

+ =2 2

2 2x y 1A B

( I .22)

care este o e l ips rapor tat la axele xOy, cu semiaxele A i B ( f ig . I .6a)

Fig . I .6

x

y

A

B

x

y

a b

Fizica I Eleonora Rodica Bena

Dac A=B=R, ecua ia ( I .22) dev ine

18

+ =2 2 2x y R ( I .23)care este ecua ia unui cerc (F ig. I .6b)

2) , (n=0,1,2.) =0 2n 2n acest caz cos(n )=(-1)n iar s in2(n )=0. Ecua ia ( I .21)

dev ine:

( ) = 2

nx y1 0A B ( I .24)

2a) dac n este par , ( -1)n=1, iar d in ( I .24) ob inem dou so lu i i de t ipu l

= By x ( I .25)A

care este ecua ia unor drepte confundate, de-a lungul d iagonalei dreptunghiu lu i n care este nscr is e l ipsa (F ig. I .7a)

Fig . I .7 2b) dac n este impar , ( -1)n=-1, iar d in ( I .24) ob inem dou so lu i i de t ipu l :

= By xA

( I .26)

care este to t ecua ia unor drepte confundate, de-a lungul ce le i la l te d iagonale a dreptunghiu lu i respect iv (F ig. I .7b) .

Exemple :

1 . Un punct mater ia l de mas m=100g este legat de un resor t cu k=40N i poate executa osc i la i i cu ampl i tud inea A=5cm pe or izonta l , la t=0 f i ind n poz i ia de echi l ibru. Af la i momente le

x

y

a )

x

y

b )

Fizica I Eleonora Rodica Bena

n care energ ia c inet ic i energ ia poten ia l sunt egale, precum i va loarea acestor energ i i .

Rezolvare:

ga ie i : ( )Ecua ia e lon = +0 0t =0;

x A sin

La t=0, x=0, dec i 0Ecua ia v i teze i 0s t

Energ ia c inet ic

= 0v A co

20 0=

2 2

cm A c s t

E2

iar o =

2 2 20 0

pm A sin t

E2

Ec=E

19

p , ad ic =0 0cos t sin t sau 2 2 =2 02sin t 1, de unde

0 = sin t ;2 2 = +0 kt ;2 4 k=0,1,2..

=0 0t ;4

=1 03t ;4

= 05 ....4

2t

1 dec i = = =0 k 40 20sm 0,1 = =0 1 3t ; t 80 , e tc .

Energ ia to ta l a osc i la toru lu i este

80

2 2 40m A 0,1 400 25 10 0,1= = =E J2 2 2

Iar = =c pE E =E 1 J2 40

I.1.c ) Micarea osci lator ie amortizat

tu i t d in t r -un corp i un resor t

S presupunem un s is tem alc pe o suprafa or izonta l cu f rec r i . Pentru o c las larg

de fenomene, for a de f recare poate s f ie d i rect propor ional cu v i teza corpulu i : = = &fF v x . Legea a I I -a a d inamic i i pentru corpul m sub ac iu e last ice (Fe=-kx) i a for ei de f recare se scr ie :

nea for ei

= && &mx x kx ( I .27)sau

+&&x + =& kx x 0m m

( I .28)

Fizica I Eleonora Rodica Bena

Notm = = 20k m m

=20 x 0= rtx Ce

==

&&&

rt

2 rt

x rCe

x r Cert

+ + =2 20r 0

2 ; ( I .29)

i numim coef ic ient de amort izare. Ecua ia ( I .28) dev ine

+ +&& &x 2 x ( I .30) i admi te ca so lu ie o func ie de t ipu l (C=const . , r=const . )

n locuind n ( I .30) i s impl i f icnd pr in Ce , ob inem:

r 2

care este o ecua ie a lgebr ic de gradul a l I I - lea (ecua ia caracter is t ic ) cu so lu i i le :

2 20r

2 20 0

= 1,2 ( I .31)Pentru d iscutarea so lu i i lo r x( t ) vom considera mai mul te

cazur i .

Cazul 1 .

Fizica I Eleonora Rodica Bena

( ) ( ) ( ) +0 in t = + =t t0 0x t A e cos t A e s ( I .32)Se observ c so lu ia este asemn toare cu cea de la

micarea osc i la tor ie armonic dar :

1) pu lsa ia = 2 20 0 2) ampl i tud inea nu mai este constant n t imp c i este de

forma:

( ) = t0A t A e ( I .33)adic scade exponen ia l cu t impul

Reprezentm graf ic x=x( t ) ( f ig . I .8)

Fig . I .8

x( t )

s in (

t

t+ )

teA 0

Observm c micarea nu mai este per fect per iod ic pentru c nu se mai repet n mod ident ic dup f iecare per ioad (ampl i tud inea scade) . Din aceast cauz

2 202 2

( )

= =T ( I .34)

se nume te pseudoper ioad iar pseudopulsa ie . Micarea ob inut e o micare osc i la tor ie amort izat .

Pentru o ast fe l de micare se def inesc urm toare le m r imi caracter is t ice: a) t impul de re laxare a osc i la i i lo r amort izate - se def ine te ca durata dup care ampl i tud inea osc i la ie i scade de e or i (e=2,71=baza logar i tmulu i natura l ; lne=1) :

21

= 0AA e

, ad ic =0 0A A ee , de unde

Fizica I Eleonora Rodica Bena

22

=1 ( I .35)

b) decrementu l logar i tmic se def ine te dup re la ia ( )

( )( )

( ) ( )

+ += =+ + + T

t0t T

0

x t A e sin tln ln

x t T A e sin t ( I .36)

t i ind c s inusul ia acelea i va lor i dup o per ioad T (corespunz toare unui unghi 2 ) ob inem:

=

t

t Teln lne

e e = = T T ( I .37)

Semni f ica ia f iz ic a decrementu lu i logar i tmic se ob ine

d in urm toare le considera i i : innd cont c 1 = , vom ob ine

= =1 n

T, unde n este num ru l de osc i la i i complete efectuate n

t impul de re laxare.

Cazul 2 : 0

Fizica I Eleonora Rodica Bena

23

)( ) ( t1 2A t e= +x t A ( I .39)Aceast func ie nu e obl igator iu monoton ( f ig . I .10) ,

reprezentnd o micare aper iod ic mai spec ia l .

Fig . I .10

x( t )

A

I.1.d. Micarea osci lator ie ntre inut

Prezen a inev i tab i l a for elor de f recare produce

scderea energ ie i osc i la i i lo r , n medie propor ional cu 2 te . n scopul recuper r i i energ ie i p ierdute, asupra osc i la toru lu i se

poate ac iona cu o for per iod ic exter ioar , ( ) =F t 1i t0F e (sau F=F0s in1 t sau F=F0cos1 t ) . Per ioada for ei este

sau

F=F0s in1 t sau F=F0cos1 t ) . Per ioada for ei este =1 12T . n

acest caz legea a I I -a a d inamic i i pentru corpul m pr ins de resor tu l cu constanta de e last ic i ta te k , n prezen a f rec r i lor , se scr ie :

+ 1i t0F e ( I .40)= && &mx kx xCu nota i i le = = 20k m2 ,m , ecua ia ( I .40) dev ine:

+ +&& & 20x 2 x = 1i t0Fx em

t

( I .41)

Ecua ia de mai sus este o ecua ie d i feren ia l neomogen de ord inul a l I I - lea. Teor ia acestor ecua i i (vez i curs a lgebr ) prevede c so lu ia unei ast fe l de ecua i i con ine doi termeni : pr imul termen xo va f i so lu ia ecua ie i omogene asociate

Fizica I Eleonora Rodica Bena

24

= 20 x 0

( )

+ +&& &x 2 x iar a l do i lea, xp , o so lu ie par t icu lar de forma

membrulu i drept (ad ic , n cazul nost ru, o exponen ia l cu pu lsa ia 1 ) : x( t )=xo( t )+xp( t )

cu = +o 0n t( )

tx (t) Ae si = 1i tCepx t

S scr iem ( ) = + 1iox t x Ce ( )( )t ; a tunc i

= +=

& &&& &&

1

1

i to 1

i t2o 1

x t x Ci e

x t x C e

&x &&x

n locuind x , i n ecua ia ( I .41) ob inem: + + + +&& &1 1i t i t i t2 20 1 0 1 0 0 0x C e 2 x 2 iC e x Ce =1 1i t2 0F em

=20 0x 0

Dar xo este so lu ia ecua ie i omogene, dec i este sat is fcut ecua ia

+ +&& &0 0x 2 x Ob inem ( ) =1 1i t0Fe em + i t2 20 1 1C 2 i de unde

( ) +0

1

m2i

=2 20 1

F

C

sau, ampl i f icnd f rac ia cu conjugata numi toru lu i

( )( )

+1

2 21

2i

4=

2 20 10

22 20 1

FC

m ( I .42)

iar

( ) ( )( )

+

2 20 10

p 22 20 1

2iFx t

m 4

= 11 i t2 2

1

e

( )

( I .43)

La nceputu l mic r i i ( t mic) so lu ia = +o 0in t tx Ae s conteaz , dec i mobi lu l va executa o micare combinat , care

Fizica I Eleonora Rodica Bena

25

depinde att de pulsa ia = 2 20 1 ct i de pulsa ia a

for ei n t re in toare. Regimul acesta se nume te reg im

t ranz i tor iu . Cnd t cre te , dator i t factoru lu i te d in xo , xo va d isp rea i x( t )=xp( t ) .

Acest reg im se nume te reg im permanent i n acest reg im:

( ) ( ) ( ) ( )

= + + +

12 2

i t0 0 1 12 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 1 1 0 1 1 0 1 1

F 2i1x t em

4 4 4

S notm 1

2 20 1

2=tg ; a tunc i

( )

+

2 20 1

2 214

= =+ 2 22 2

0 1

1cos1 tg

( )

+ 2 214= =

+1

2 22 20 1

2tgsin1 tg

Solu ia x( t ) dev ine:

( ) ( ) ( ) = isin

+1i t0

22 2 2 20 1 1

F 1x t e cosm

4

Dar cos isi = in e ( formule le lu i Euler) , dec i ( )( ) ( )

= +

022 2 2

0 1

F 1x tm

4

1i t

21

e ( I .44)

Putem nota:

( ) ( ) + 2 214) ( )

= 01 22 20 1

F 1A ,m

( I .45)

i s o considerm ampl i tud inea mic r i i n t re inute, dec i : ( ) ( 1i te = 1x t A ,

Discu ie :

Fizica I Eleonora Rodica Bena

1) Se observ c n reg im permanent punctu l mater ia l nu va

mai osc i la cu per ioada sa propr ie =02T , n ic i cu

pseudoper ioada

0

=0

T2 2

2 (ca la micarea amort izat )

c i va prelua per iod ic i ta tea for ei , osc i lnd cu per ioada =12T .

1

2) n t re e longa ia x( t ) i for a nt re in toare F( t ) apare un

defazaj cu 1

2 22

=0 1

tg

Acest defazaj este cupr ins n t re 0 i , dup cum urmeaz ( f ig . I .11)

a) dac 1 0 , =1li 0m tg 0, 0 ; osc i la ia i for a vor f i n faz .

b) dac =1 0 , g , dec i t 2 (cuadratur de faz )

c) dac 1 0, 2 0 (pr in va lor i negat ive) ,

1tg

(osc i la ia i for a sunt n opozi ie de faz )

Fig . I .11

2

0 1

Fenomenologic , defazaju l depinde de modul n care s is temul poate urm r i osc i la i i le for ei . Dac s is temul este

26

Fizica I Eleonora Rodica Bena

foar te e last ic (0 foar te mare) i for a s lab per iod ic ( lent var iab i l ) s is temul urm re te instantaneu for a, =0.

Dac s is temul este mai pu in e last ic i for a este rap id var iab i l , osc i la i i le for ei sunt mai greu urm r i te de s is tem i apare opozi ia de faz (cnd F este maxim x este min im i invers) .

27

( )

3) Ampl i tud inea mic r i i n t re inute A(1 , ) ( I .45) este o func ie care at inge un maxim, depinznd de va loarea lu i 1 . S notm func ia de la numi toru l expres ie i ( I .45) cu

1f , : ( ) ( ) = 22 21 0f , + 2 21 14

A(1 , ) va f i maxim cnd f (1 , ) este min im , ad ic f (1 , )=0 (der ivat nu l ) . ( ) ( ) ( ) = ' 2 21 0 1 1f , 2 2 + =2 18 0, de unde rezul t

=2 2 r2= 1 0 (pu lsa ia de rezonan a ampl i tud in i i ) . Se spune c n aceste condi i i (A=max) s-a ob inut

fenomenul de rezonan n ampl i tud ine. La rezonan ampl i tud inea devine:

( ) 2 20

1= or FA m 2 i va loarea sa depinde numai de ( la fe l ca

i va loarea pulsa ie i de rezonan r ) . Ne amint im c pentru a ex is ta osc i la i i

Fizica I Eleonora Rodica Bena

Fig . I .12

A(1 )

1r

2r 0

28

n mod pract ic , este destu l de mic comparat iv cu , ast fe l nct se obinuie te s se considere r 0 . Fenomenologic , la rezonan , energ ia adus de for a nt re in toare n s is tem nu mai contr ibuie la acoper i rea d is ip r i lor de energie c i duce la cre terea ampl i tud in i i mic r i i . Dac ampl i tud inea este prea mare, legea lu i Hooke (F=-kx) nu mai rmne valabi l , ad ic se depe te l imi ta de e last ic i ta te a resor tu lu i , iar s is temul se deter ioreaz . D in acest mot iv rezonan a este dun toare n s is temele mecanice. Acestea t rebuie const ru i te ast fe l nct f recven ele lor propr i i de osc i la ie (0 ) s f ie depar te de f recven ele or ic ror factor i per turbator i , pentru a se ev i ta d is t rugerea lor .

Cel mai cunoscut dezastru provocat de rezonan a mecanic este prbu i rea podulu i Tacoma Narrows Br idge d in Washington la numai pat ru lun i de la deschiderea sa (1940) ; o fur tun nso i t de rafa le de vnt a produs osc i la i i for ate a le l in i i lor de suspensie a le podulu i dator i t a t inger i i rezonan ei ( f recven a rafa le lor a deveni t egal cu f recven a propr ie a s t ructur i i 0,2Hz ) osc i la i i le s-au ampl i f icat foar te mul t i podul s-a prbu i t .

1

20

0

mF

1

2

0

2

Fizica I Eleonora Rodica Bena

I .1 .e Autoosci la i i . Ecua ia Van der Pol

Dup cum am men ionat , osc i la i i le propr i i cu pulsa ia 0 sunt osc i la i i n juru l poz i ie i de echi l ibru s tab i l , ampl i tud inea lor depinznd de energ ia to ta l in i ia l pr imi t de s is tem

2 2

0mA2

=tE .

Dator i t f rec r i i , aceste osc i la i i se amort izeaz , dec i

osc i la i i le propr i i nu pot f i s ta ionare; pentru ca e le s se men in , s is temul t rebuie s pr imeasc energ ie d in exter ior , ast fe l nct , energ ia pr imi t n t r -o per ioad s f ie egal cu energ ia p ierdut pr in f recare n t r -o per ioad . Dac pr in t r -o autoreglare s is temul pr ime te energ ie d in exter ior ast fe l nct s - i men in s tarea s ta ionar de osc i la ie , se spune c s is temul e fectueaz autoosc i la i i .

Vom considera urm toru l exemplu: un corp de mas m este legat de un resor t i aezat pe o band ru lant care se deplaseaz cu v i tez constant .

For a de f recare n t re corp i

band va depinde de v i teza re la t iv a corpulu i fa de band (s nu u i tm c m execut osc i la i i dator i t for ei e last ice d in resor t ) .

m

29

Fizica I Eleonora Rodica Bena

Dependen a for ei de f recare de v i teza re la t iv v este

redat n f igura I .13.

30

v

Fig . I .13

F f (v )

a

b c

Se observ c v i teza re lat iv poate f i poz i t iv sau negat iv ; for a de f recare de asemenea, poate f i poz i t iv sau negat iv .

Starea de echi l ibru a corpulu i nu este s tabi l . Cnd corpul se deplaseaz n acela i sens cu banda, for a de f recare n t re corp i band este o for act iv ( l t rage supl imentar pe corp) , ad ic lucru l e fectuat de F f este poz i t iv (L>0) . Cnd corpul se deplaseaz n sens opus deplas r i i bandei , F f este paraz i t , lucru l mecanic este negat iv (L

Fizica I Eleonora Rodica Bena

micora. Din nou se t rece n domeniu l ab cnd A va cre te , e tc . Se observ c s is temul i autoregleaz ampl i tud inea, s tab i l indu-se o ast fe l de va loare a aceste ia nct energ ia c t igat n t r -o jum ta te de per ioad este egal cu energ ia p ierdut n ceala l t jum ta te de per ioad . O ecua ie care descr ie s is teme capabi le s e fectueze autoosc i la i i es te ecua ia Van der Pol :

( ) && &2 2mx d x + =x kx 0

( )2 2d x

unde este o constant iar d se nume te e longa ia caracter is t ic Van der Pol . Presupunem c un s is tem descr is de ecua ia Van der Pol sufer o mic per turba ie i ncepe s osc i leze cu o ampl i tud ine mic la nceput (x2

Fizica I Eleonora Rodica Bena

Fig . I .14

E

A S

E + E -

A

Dac AE- , osc i la ia t inde s se ampl i f ice, A cre te . Dac A>AS, E+0

-

+ i

+ q

-q i

(a ) (b ) (c )

= dqdt

i , sarc ina de

pe arm tur i scade i d i feren a de poten ia l scade ( f ig . I .15b) .

Fizica I Eleonora Rodica Bena

Curentu l i f i ind var iab i l , va produce n bobin un cmp

magnet ic var iab i l , dec i un f lux magnet ic var iab i l , care va produce n c i rcu i t o tens iune e lect romotoare indus , de sens contrar ce le i datorate condensatoru lu i . Ast fe l , dup ce condensatoru l se descarc , va f i re nc rcat n sens contrar , urmnd s se descarce pr in bobin i s produc un curent de sens contrar ( f ig . I .15c) , e tc . Rezul t osc i la i i a le curentulu i pr in bobin i a le sarc in i i e lect r ice de pe arm tur i le condensatoru lu i . Fenomenul se poate t ra ta cant i tat iv pr in analogie cu ce l mecanic . Ast fe l , as imi lnd energ ia e lect r ic d in

condensator =

2

eqW2C

cu energ ia poten ia l (e last ic ) a

resor tu lu i

2kx2

= pE ) , observm c putem as imi la 1C

cu k iar q

cu x.

33

Asimi lnd energ ia cmpulu i magnet ic d in bobin =2

mLiW2

cu energ ia c inet ic =2

cmv

2= = &&, i q

E , observm coresponden a Lm i iv ( n t r -adev r v x ) (vez i tabelu l comparat iv) .

Osc i la i i mecanice Osci la i i e lect r ice x (e longa ia ) q (sarc ina e lect r ic )

v (v i teza) = x& &i ( in tens i ta tea curentu lu i ) = q m (masa) L ( inductan a bobinei )

k (constanta e last ic )

1C

( inversu l capaci t i i condensatoru lu i )

=2

cmv

2E =

2

mLiW2

(energ ia cmpulu i magnet ic)

=2

pkxE2

=2

eqW2C

(energ ia cmpulu i e lect r ic )

Analog cu ecua ia ( I .2) putem scr ie :

+ =1q q 0LC

&& ( I .46)

Fizica I Eleonora Rodica Bena

=20 1LC ( I .47)( ) ( )( ) ( )

= += +

0

0 0

t

t0 0

0 0

q t q sin

i t q cos ( I .48)

Per ioada osc i la i i lor d in c i rcu i t per ioada propr ie se

scr ie =T 2 LC0 - cunoscut ca formula lu i Thomson. Se observ c i n acest caz are loc un t ransfer

( t ransformare) a l energ ie i cmpulu i e lect r ic n energ ie a cmpulu i magnet ic , cu conservarea energ ie i to ta le .

n t r -adev r : ( ) ( ) +0 0 0t2C

=2 2

eq sin

W t ( ) ( );

34

+=2 2 20 0 0 0

mLq cos t

W t2

( )

( )= +e mW W t W = =20qt

2C

= ce uc

constant .

Observa ie :

Putem t rata fenomenele d in c i rcu i tu l LC fo los ind legea lu i K i rchhof f n acest c i rcu i t i anume:

, unde e este tens iunea e lect romotoare indus n bobin

iar u tens iune la bornele condensatoru lu i .

( ) ( )= = &&Li Lqdt

= = c q t d du iar eC dt Legea lu i K i rchhof f dev ine:

+ =&& &&qLq 0 sau q + =1 q 0,C LC

ident ic cu ( I .46) .

I.2.b . Osci la i i amortizate n c i rcuite RLC

Presupunem un c i rcu i t format d in t r -o bobin de inductan L i rez is ten R i un condensator de capaci ta te C, in i ia l nc rcat cu sarc ina q 0 . Dator i t prezen ei rez is ten ei vor ap rea p ierder i n c i rcu i t , analoge cu ce le datorate for ei de f recare. Cderea de tens iune pe rez is tor va f i = = &i RqRu R , dec i putem as imi la coef ic ientul d in ( I .28) cu : RR ; atunc i ecua ia

Fizica I Eleonora Rodica Bena

&x2 din ( I .30) ( I .46) va mai avea un termen analog cu termenul

35

= R2L

.

Ecua ia + +&& &q q =R 1 q 0L LC

=20 q 0 devine

+ +&& &q 2 q ( I .49)Ca i n cazul osci la i i lo r mecanice vom presupune mai

mul te cazur i :

Cazul 1 : 0 , ad ic 1 R2LLC , adic LR 2C

LC

Cant i ta tea se nume te impedan a caracter is t ic a

c i rcu i tu lu i . n acest caz, notnd = 2 2 20 = 2

21 R

LC 4L, ob inem

solu ia ecua ie i ( I .49) :

( ) ( ) +0 in t = + =t t0 0q q e cos t q e s ( I .50)n c i rcu i t apar osc i la i i amort izate.

T impul de re laxare devine = =1 2L

R iar decrementu l

logar i tmic = R T2L

> LR 2C

Cazul 2 :

Fizica I Eleonora Rodica Bena

Observa ie : Fo los ind legea lu i K i rchhof f n c i rcu i tu l RLC ob inem:

36

= +c Re u u= &&e Lq

unde - tens iune e lect romotoare indus n bobin

=c qu C= =u Ri Rq

&R , ad ic + + =&& &R 1q q q 0L LC

+ = +R cu u= &&e Lq= = &u Ri Rq

, ident ic cu ( I .49)

I.2.c Osci la i i ntre inute n c i rcuitele RLC ser ie

Considerm un c i rcu i t a lc tu i t d in t r -o bobin de inductan L , un condensator de capaci ta te C, un rez is tor de rez is ten R i o surs de tens iune a l ternat iv u( t ) ( f ig . I .16) .

Fig . I .16

n acest c i rcu i t iau na tere osc i la i i n t re inute a le curentu lu i i a le tens iun i lor la bornele e lemente lor .

Legea lu i K i rchhof f n acest c i rcu i t se scr ie :

( )u t e ( I .51)unde - tens iunea elect romotoare indus n bobin ,

R - cderea de tens iune pe rez is tor ,

=c qu C - tens iunea la bornele condensatoru lu i . Considernd tens iunea surse i de t ipu l ( ) = max 1U sin tu t ,

ob inem

+ + =&& & UR 1q q qL LC

max1sin tL

( I .52)

Der ivnd ecua ia n rapor t cu t impul ob inem: + + =&& & maxUR 1i i i

L LC L1

1cos t ( I .53)

R L

u

C

( t )

Fizica I Eleonora Rodica Bena

37

( )Aceasta este o ecua ie d i feren ia l neomogen , care, n regim permanent , are solu ia : ( ) = +1tmaxi t I cos

dec i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + = = & &&max 1 m1I

q t sin t ; q t i t ; q t I si +ax 1 1n t Atunci ecua ia ( I .52) dev ine:

( ) ( ) ( ) + + = + +maxmax 1 max 1 1 1 max1I

U sin t LI sin t sin t RI cosC

+1t ( I .54)Notnd =1 LXL - reactan a induct iv ; [ ] = LX

= c11 X

C - reactan a capaci t iv ; = cX ,

dezvol tnd ( ) + = +1 1sin t sin t cos cos 1t sin ( ) + = 1 1cos t cos t cos si 1n t sin

i ident i f icnd coef ic ien i i lu i 1n tsi , respect iv 1s t

in a) b)

co d in ambi i

membr i a i ecua ie i ( I .54) , ob inem:

( )+ = max max L c maxU I X X cos RI s ( ) =L cX X sin Rcos ( I .55)

Din ( I .55b) ob inem

L cR

X X

( )

( I .56) =tgiar dup efectuarea ca lcu le lor n ( I .55a) ob inem:

= +2max maxU I R 2L cX X

) ( I .57)

Cant i ta tea (+ 2R X =2L cX Z[

se nume te impedan a c i rcu i tu lu i

( ] = Z ). iar ( I .57) ia aspectul leg i i lu i Ohm:

( )= = U Z I= c maxX I

max maxU ZI sau ( I .58)

Tensiunea maxim la bornele condensatoru lu i : . c maxU

Tensiunea maxim la bornele bobinei : = L maxX IL maxU . Rezonan a tens iuni lor presupune =L maxU c maxU =L cX X, ad ic .

Fizica I Eleonora Rodica Bena

n acest caz = =1 01LC , dec i pu lsa ia surse i n t re in toare t rebuie s f ie egal cu pu lsa ia propr ie a c i rcu i tu lu i .

La rezonan a tens iuni lor Z=R, iar curentu l este maxim, dec i i tens iuni le la bornele e lemente lor react ive (condensator i bobin ) vor cre te foar te mul t . Se poate def in i factoru l de cal i ta te (sau de supratens iune) :

38

0 0U U R C = = = cL UU 1 LQ ( I .59)

Acesta arat de cte or i este mai mare, n reg im de rezonan , tens iunea maxim la bornele e lemente lor react ive fa de tens iunea maxim a surse i . n c i rcu i te le RLC se def ine te puterea act iv :

= =2

2

RUP RI

R L +

2

21C

( I .60)

La rezonan puterea act iv este maxim : =2

maxUR

( )P .

Reprezentnd =P f se ob ine graf icu l cal i tat iv d in f ig . I .17

Fig . I .17

P

P m a x

S ca lcu lm pulsa i i le 1 2 i pentru care = maxP 2P :

maxP2

1 0 2

Fizica I Eleonora Rodica Bena

+ 2

RU

1R LC

=

2 2

2U2R

din care se ob ine ecua ia = 1L RC

, cu rdc in i le poz i t ive:

=1,2 RC R2LC+2 2C 4LC

39

Calcu lnd rapor tu l 2 10

se ob ine:

2 10

= =R 1LCL Q

( I .61)

I.2.d. Autoosci la i i n s isteme e lectr ice

A. Osci latorul cu tub electronic este prezentat schemat ic n f igura I .18.

T t r iod (A-anod, G-gr i l , K-catod) Lg , La bobine C condensator K1 - n t rerup tor

Fig . I .18

T A

- +

L a

C

K 1

L g

K

G

Cnd c i rcu i tu l anodic se nchide cu n t rerup toru l K1 , condensatoru l C se va nc rca i se va desc rca per iod ic pr in bobina La a c i rcu i tu lu i osc i lant (La , C) . Dator i t rez is ten ei act ive a bobinei La , osc i la i i le d in acest c i rcu i t vor f i amort izate. Pentru a ob ine osc i la i i neamort izate, n c i rcui tu l gr i l -catod se in t roduce bobina Lg cuplat induct iv cu bobina La . Osci la i i le d in c i rcu i tu l (La , C) vor produce n Lg o tens iune e lect romotoare var iab i l cu aceea i f recven ca cea d in c i rcu i t ; aceast tens iune var iab i l n t re catod i gr i l comand curentu l anodic

Fizica I Eleonora Rodica Bena

a l tubulu i , m r indu- l sau micorndu- l n acela i r i tm cu osc i la i i le d in c i rcui tu l osc i lant .

De exemplu: dup nch iderea n t rerup toru lu i , n decursul unei semiper ioade a osc i la i i lo r poten ia lu l gr i le i este poz i t iv , tubul este deschis , pr in e l t rece curent anodic . n acest t imp sarc ina negat iv de pe arm tura super ioar a condensatoru lu i t rece pr in bobin La , formnd un curent , urmat i de o d is ipare pr in efect Joule. n acela i t imp ns , curentu l anodic are acela i sens ca i curentu l d in c i rcui tu l osc i lant (e i sunt n faz ) ast fe l c acest curent compenseaz p ierder i le Joule.

n decursul semiper ioadei urm toare , poten ia lu l gr i le i este negat iv , tubul este nchis dec i nu mai ex is t curent anodic .

Ast fe l , n decursul f iec re i per ioade, tubul e lect ronic in t roduce automat , la momentu l necesar , bater ia n c i rcu i tu l osc i lant , as igurnd compensarea p ierder i lor Joule i men innd n c i rcu i t osc i la i i neamort izate. Osci la i i le neamort izate ob inute reprez int autoosci la i i pent ru c n acest s is tem apar toate e lemente le caracter is t ice s is temelor autoosc i lante: - sursa de energ ie constant , - supapa ( t r ioda) ca d ispozi t iv care reg leaz debi tarea energ ie i de c t re surs , - s is temul osc i lant (c i rcu i tu l La , C) , - reac iunea pozi t iv (cupla ju l induct iv L a-Lg) (pr in in termediu l su s is temul comand supapa)

B. Osci latorul cu tranzistor este prezentat n f igura I .19.

40

L a

T t ranz is tor (C-colector , B-baz , E-emi tor )

Fig . I .19

K 1

E L r

- +

C

C r R T

B C

Fizica I Eleonora Rodica Bena

Reac iunea poz i t iv se rea l izeaz pr in bobina de

reac iune L r , conectat cu un cap t la emi toru l t ranz is torulu i iar cu un cap t , pr in in termediu l condensatorulu i Cr la baza t ranz is toru lu i .

Bobina L r este conectat ast fe l nct , la cre terea curentu lu i d in c i rcu i tu l co lectoru lu i , la baz s f ie ap l icat o tens iune ce deschide t ranz is toru l , iar la micorarea curentu lu i d in c i rcui tu l co lectoru lu i , tens iunea la baz s b locheze t ranz is toru l .

Rezis toru l R d in c i rcu i tu l bazei s tab i le te va lor i le in i ia le a le in tens i t i i curentu lu i B-C n l ipsa unei tens iun i var iab i le la capete le bobinei L r . La nchiderea n t rerup toru lu i , n c i rcu i tu l osc i lant iau na tere osc i la i i care, pr in c i rcui tu l de reac iune, d i r i jeaz in tens i ta tea curentu lu i C-B iar condensatoru l c i rcu i tu lu i osc i lant este a l imentat per iod ic , pr in in termediu l t ranz is toru lu i , cu o sarc in e lect r ic supl imentar . P ierder i le Joule n decurs de o per ioad d in c i rcui tu l osc i lant sunt compensate pr in a l imentarea cu energ ie de la surs .

I.3. Exerci i i i probleme

1. Un corp cu G=49N execut osc i la i i amort izate n t r -un mediu n care n tmpin o for a de rez is ten propor ional cu v i teza

sa. Cunoscnd pseudoper ioada

41

=T s4

, decrementu l logar i tmic

= 32

i t i ind c la t 0=0 are x0 =10cm i v0=20cm/s, s se

determine legea de micare x( t ) i factoru l de amort izare.

( )Rezolvare: = + 0t tx(t) Ae sin 2T

= = 8rad / s

= T , de unde = = 3 4

T 2= 6rad / s

Din condi i i le in i ia le x(0)=As in0 Der ivnd x( t ) n rapor t cu t impul ob inem

( ) ( ) ( ) = + + t tv t A e sin t Ae cos +0 0t

Fizica I Eleonora Rodica Bena

La t 0=0, 0 0A cos

=

= +v(0) A sin

x(0)=10 cm; v(0)=20cm/s; rezul t : ( )

=

0

0 0

A sin 10 (1)A cos sin 20 (2)

mp r im ecua ia (2) la ecua ia (1) : =0 0in 2

0

cos ssin

; =0ctg 2 ; pr in n locui re:

42

=0 6 2;8ctg =0ctg 1, ; =0 4 =sin 10,4

de unde =A 10 2cm ; A

Ob inem: = + t cm46tx(t) 10 2e sin 8 .

2 . Gs i i energ ia p ierdut pr in f recare n t impul pr imei per ioade de osc i la ie pentru pendulu l d in problema precedent .

Rezolvare: La t 0=0, =0mv

2

20

cE , unde = = =G 49 Kg;g 9,8m 5

v0=20 cm/s=0,2m/s

( ) =2,2 0,1J= 0c 5E 02 =

0

20

pkx

E ;2

= 20k m ; (0 =pulsa ia propr ie) t im c = 2 2 20 , + =36 100;

( )

de unde = + =2 2 20 640 =10rad/s , k=500N/m.

0p

500 0,12

= =2

E 2,5J

Energ ia to ta l in i ia l : = + =0 0pE 2,6J0 cE E

Dup o per ioad :

= + = + = Tx(T) 10 2e sin(8T ) 10 2 e sin(2 ) 10 2 e sin 10 24 4

= 2 e4 2

= =x(T) 10e cm 0,1e m Din re la ia : +

t t ,4 4

= + + tv(t) A e sin t A e cos ob inem:

Fizica I Eleonora Rodica Bena

( ) 2 2e2

v T A e sin A e cos 10 2 6 e 10 2 84 4 2

20e cm / s

= + = +

=

= 0,2e m / s. = 20,1e J= =

22 2

cmv (T) 5E (T) (0,2) e

2 2

= =2 2

pkx (T) 500 (0,1) eE (T)

2 2=

222,5e J

= 22,6eE(T) J Energ ia p ierdut pr in f recare va f i

2 36(1 e )

= 0,49m

= = =0E E E(T) 2,6(1 e ) 2, J 3 . O bobi de soc cu masa m=1g este e lect r izat cu sarc ina poz i t iv q=1C i es te atrnat de un f i r cu l n t re arm tur i le unui condensator ast fe l nct :

E para le l i de acela i sens cu g

a)

E para le l i de sens contrar cu g

b)

E perpendicu lar pe gc)

E=98V/cm; g=9,8m/s2 . S se deduc per ioada mic i lor osc i la i i n ce le t re i cazur i i s se compare cu per ioada T0 n absen a cmpulu i .

43

Fizica I Eleonora Rodica Bena

Rezolvare:

44

a) .Asupra bobi ei ac ioneaz for a

ver t ica l a )

= +R F G =F qE

unde

este for a e lect r ic .

Aceast rezul tant se descompune n =tR R sin i =R R cosn . Componenta tangen ia l este ch iar for a de reveni re, dec i

= +revF (qE mg)sin

Pentru o5 , sin tg = lx , dec i = + lrev

xqE mg) ;F (

n micarea armonic =revF kx, (de sens contrar) , dec i +l

qE mgk ;=

= =T 2 2 +lm m

k qE mg

210 V / m;

= == == =

6

3

E 98V / cm 98

q 1 C 10 C;

m 1g 10 Kg

2 1s2 10

= = = +

3 5

6 2 3 410 0,49 49 10T 2 2

10 98 10 10 9,8 2 98 10 ( )10

= =l0 0,T 2 2 2sg 9 49,8

< 0T T3 6mg qE 10 9,8 10 98 10 0, T ,

b) Acum R adic mobi lu l nu mai rev ine n poz i ia de echi l ibru dac in i ia l fcea or ice unghi cu ver t ica la.

= = =2

E

+

- F

G

E

q

Fizica I Eleonora Rodica Bena

45

c) = +2 2 2 2E m gR q +l

2 2

revq E

2 2m gF x

=2 2

T 2q E +

l2 2

m

m g

=qE mg ( n cazul de fa )

= =

= 04

T 22mg

T.

2

l l 4m 12

g 2

4. Presupunem c n t r -o inc int ex is t p lasm , g lobal neutr , cu

densi ta tea de ion i /e lect ron i 6 30 cmn 1 . La un moment dat apare n t r -o reg iune un mic exces de sarc in , ceea ce corespunde unui def ic i t de sarc in n t r -o reg iune nvecinat . Presupunem c ex is t mai mul te reg iuni de acest fe l , d ispuse pe dou p lane imaginare para le le . Descr ie i procesul osc i la i i lo r p lasmei de-a lungul unei axe perpendicu lare pe ce le dou p lane.

Rezolvare:

Cele dou p lane imaginare se comport ca arm tur i le unui condensator p lan, nc rcat cu

sarc ina q. Cum q d = =0

qUC S

iar

= UEd

(cmp uni form), =qE ,S

para le l cu0

axa Ox. Considerm o sarc in e lementar (e lect ron) n reg iunea d int re ce le dou p lane imaginare. For a exerc i ta t de cmp asupra e lect ronulu i este F=eE, dec i legea de micare va f i :

= 2

2d xm eE

=x neSx

dt

S ca lcu lm sarc ina q deplasat de ce i n e lectron i d in un i ta tea de vo lum de pe un perete pe ce l la l t : = q ne V

++ --F

G

E

R

--

+q E

x

Fizica I Eleonora Rodica Bena

= = =2 2

2 2d q d x eEneS neS nedt dt

20

S qm m S

46

= 2 2

0

ne q,m

2d qdt

ad ic + =2pq 0,&&q unde =2

2p

0

nem

2 75 10 Hz

se nume te

f recven a de osc i la ie a p lasmei .

p . 5 . Gs i i ecua ia osc i la ie i armonice rezul ta t pr in suprapunerea a n osc i la i i de aceea i ampl i tud ine i avnd f recven ele n progres ie ar i tmet ic , cu pr imul termen i ra ia . D iscu ie dup N.

Rezolvare:

Vom avea:

( )( )

( )

== += + =

= +

1 0

2 0

3 0 1

N 0

x A cos t;x A cos tx A cos 2 t x x x...x A cos N 1 t

+ + +2 N.... x

( ) + = 1 t

=i te q.

Considerm func ia complex : ( ) ( )

( )( )

+ +

= + + + +

+ + + +

% i Ni t i 2 ti t0i N 1 ti t i t 2i t

0

u A e e e ....... e

A e 1 e e ..... e .

n parantez apare suma unei progres i i geometr ice cresc toare,

cu ra ia Se t ie c aceast sum este dat de expres ia

= n1 qS

1 q (n = num ru l termeni lor ) .

n cazul nost ru n=N i ob inem

Ni t i t2

Nt i t2

e

e

= =

N Ni tNi t 2 2

i t i t i2 2

1 e e eS1 e

e e

Fizica I Eleonora Rodica Bena

N tsin( )2tsin( )

2

= Ni t2

i t2

eS

e

(S-a fo los i t re la ia i ie e = 2isin )

( ) = + % 0siN 1

u A exp i t2

N tn2tsin

2

Folos ind re la ia = +os isinie c se observ c ( ) ( ) + = + + + + 1 t

%

=x R ( ) ( )

0x A cos t cos t ...... cos N este par tea real

a func ie i u :

= + 0

N tsinN 1 2A cos tt2 sin

2

x t %eu, dec i

Notnd ( ) ( ) + + + = =1 Nm N 12 2

= + N 12

ob inem:

( )

= 0 mx t A cos t

N tsin2tsin

2

Aceasta reprez int to t o osc i la ie armonic de pulsa ie m, dar are o ampl i tud ine var iab i l n t imp

N tn2tsin

2

= 0si

A A

Dac N=2, regs im rezul ta tu l ob inut n cazul fenomenulu i de b t i

= =

t t2sin cossin t 2 2 2c

t tsin sin2 2

os t2

47

Fizica I Eleonora Rodica Bena

48

Dac , N N tn2

si este rapid var iab i l , se produc modula i i sub

form de pulsur i .

6 . Considerm un osc i la tor cu f recare, avnd decrementu l logar i tmic , n t re inut de o for s inusoidal , = 0 1F F sin t . Dac pu lsa ia osc i la i i lo r neamort izate este 0 , gs i i pu lsa ia v la care se insta leaz rezonan a v i tezelor (ampl i tud inea v i tezei dev ine maxim ) . Calcu la i media puter i i d is ipate pr in f recare la rezonan .

Rezolvare:

Ecua ia de micare este = 00 1F sin tm+ +&& &2x 2 x x

Der ivm aceast ecua ie n rapor t cu t impul :

+ + =&& & 2 00 Fv 2 v v m 1 1cos t

( )

(1)

n regim sta ionar , so lu ia aceste i ecua i i va f i :

( ) = +1s t

( )

maxv t v co (2)

Pentru determinarea lu i vm a x , n locu im so lu ia (2) n ecua ia (1)

+1t

( )= & max 1v(t) v sin

( ) +1s t= && 2max 1v t v co ( ) ( ) ( ) + + + +2 2 0max 1 1 max 1 1 0 max 1 Fv cos t 2 v sin t v cos t m

( = 1 1cos t;

) ( ) ( ) + + =2 2 0max 0 1 1 max 1 1 1 1Fv cos t 2 v sin t cos t;m ( ) ( )

=

2 2 2 2max 0 1 1 max 0 1 1 max 1

0max 1 1 1 1

v cos t cos v sin t sin 2 v

F2 v cos t sin cos t

m

1sin t cos

Egalnd coef ic ien i i lu i cos1 t i s in1 t d in ambi i membr i ob inem:

( ) 2 2max 0 1 max 1v cos 2 v = 0 1Fsin m

Fizica I Eleonora Rodica Bena

49

=v cos 0( ) 2 2max 0 1 max 1v sin 2 Din ecua ia a I I -a rezul t

=tg

12 20 1

2 , care conduce la

( )

2 21=

+1

22 20 1

2sin4 ( ) i

= +

2 20 1

22 2 2 20 1 1

s4

co

Deci ( ) ( )

+ 2 214= 0 1max 1 22 2

0 1

F 1vm

(ampl i tud inea v i tezei )

Maximul aceste i ampl i tud in i ( rezonan a v i tezelor) este at ins

cnd =max

10;

ddv Efectund ca lcu lu l ob inem v=0 , ad ic

rezonan a v i tezelor se at inge cnd for a nt re in toare are exact pu lsa ia propr ie a osc i la torulu i , ind i ferent de . Valoarea maxim a ampl i tud in i i v i tezei la rezonan va f i :

( ) = 00F F

2 m= 0 0max m

1vm 2

La rezonan a v i tezelor = 2

. ( ) tg Puterea d is ipat n func ie de v i tez va f i , la f iecare moment :

( ) ( ) ( )

( )

= = = + =

= +

2 2 2f m 1

2 2 20 1 1

2 22 2 2 20 1 1

P t F v v t v cos t 2 mv

F sin t2 mm 4

2 2m 1sin t

La rezonan ( ) 2 20 0F sin t

m 2 m

= = 2 2 20 0 0

2 20

F sin t2P t4

( ) = 2 2

0t Fdt2 4 m

= = 0 0medieT T

0 0f

0 00 0

F 1 cos21P P t dtT 2 mT

7. Un c i rcu i t LC este format d in t r -o bobin ideal cu inductan a

=0,1L H (Henry) i un condensator cu capaci ta tea =

0,1C F .

Fizica I Eleonora Rodica Bena

Af la i per ioada propr ie T0 a osc i la i i lo r e lect r ice d in c i rcu i t i energ ia cmpulu i e lect r ic i magnet ic dup =t 10s de la nchiderea c i rcu i tu lu i , ( t i ind c in i ia l condensatoru l a fost nc rcat cu sarc ina q0=1C). Rezolvare:

= = 0T 2 LC 2 0,1 0,1 10 = 6 42 10 s

( )

Conform ecua i i lo r ( I .48)

( ) +0 0 0t=q t q sin - este sarc ina e lect r ic de pe arm tur i la momentu l t

( ) ( ) +0 0t= 0 0i t q cos - este in tens i ta tea curentu lu i pr in bobin la momentu l t La t=0, condensatoru l are sarc ina q0 , dec i q0=q0s in0 , de unde s in0=1, dec i

50

=0 2( )

.

( ) +0 0 0t2C

=2 2

eq sin

W t

= 4 110 s= =00

2 1T LC

; =2 2k = = 5 40 t 10 5 10

sin 2k sin2 ( ) + = = 1

2, dec i

= = =

2 12 50

e6

q 10 10W t J0,12C 22 10

( ) ( ) +0 0t= 2 2 20 0m Lq cosW t 2 ; + = s 2k 0,2co Wm=0

PREFAI. OSCILAIII.1. Oscilaii n sisteme mecaniceI.1.a). Micarea oscilatorie armonic (M.O.A)I.1.b. Compunerea oscilaiilor armoniceI.1.c) Micarea oscilatorie amortizatI.1.d. Micarea oscilatorie ntreinutI.1.e Autooscilaii. Ecuaia Van der Pol

I.2. Oscilaii n sisteme electriceI.2.a. Oscilaii armonice n circuite LCI.2.b. Oscilaii amortizate n circuite RLCI.2.c Oscilaii ntreinute n circuitele RLC serieFig.I.16

I.2.d. Autooscilaii n sisteme electrice

I.3. Exerciii i probleme