Cuprins P r e f a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I . O s c i l a ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I.1. Oscila ii n sisteme mecanice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I . 1 . a ). M i carea oscilatorie armonic ( M . O . A) . . . . . . . . . . . . . 6 I.1.b. Compunerea oscila iilor ar m onice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 I . 1 . c ) M icarea oscilatorie amortizat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 I . 1 . d . M icarea oscilatorie ntre inut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 I . 1 . e A u t o o s c i l a i i . E c u a ia Van der Pol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 I.2. Oscila ii n sisteme electrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 I.2.a. Oscila i i a r m o n i c e n c i r c u i t e L C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 I.2.b. Oscila i i am or tizate n cir cuite RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 I . 2 . c O s ci l a i i n t re inute n circuitele RLC se rie . . . . . . . . 3 6 I.2.d. Autooscila i i n s i s t em e e l e c t ri c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9 I.3. Exerci ii i probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1

Fizica I

Eleonora Rodica Bena

PREFACartea de fa cuprinde sub o form mai dezvoltat prima parte a leciilor predate de autoare la disciplina Fizic I din programa anului I a Facultii de Electronic, Telecomunicaii i Tehnologia Informaiei, Universitatea Politehnica din Bucureti. n ntocmirea materialului prezentat s-a presupus c cititorul are cunotine de baz de fizic i matematic de liceu iar unde elementele de matematic au depit acest nivel s-au introdus note, observaii i anexe suplimentare. Disciplina Fizica I fiind o disciplin fundamental, trateaz problemele de baz ale fizicii clasice, formulate i rezolvate cu muli ani n urm, dar metodele utilizate constituie nc instrumente folositoare unui viitor inginer. Pentru nelegerea rolului i utilitii noiunilor i fenomenelor abordate sunt prezentate numeroase aplicaii actuale ale acestora n tehnologia zilelor noastre. La fiecare capitol sunt prezentate exemple, exerciii i probleme cu rezolvri amnunite, care constituie ns doar baza studiului, deci studenii sunt invitai s consulte crile, manualele i culegerile de probleme din bibliografie. mi exprim sperana c acest manual este accesibil i va fi util tuturor celor care studiaz fizica clasic. Mulumesc referenilor pentru efortul de a citi acest material i pentru recomandrile fcute. Mulumesc de asemenea domnioarei Anca Mateia pentru tehnoredactarea materialului i Editurii CREDIS din Universitatea din Bucureti pentru ncrederea constant pe care mi-o arat prin publicarea n condiii grafice deosebite a materialelor prezentate. Autoarea

4

Fizica I

Eleonora Rodica Bena

I. OSCILAIII.1. Oscilaii n sisteme mecaniceMicarea oscilatorie este micarea de o parte i de alta a unei poziii poziia de echilibru. Micarea oscilatorie poate fi: micare oscilatorie periodic (oscilaie periodic); micare oscilatorie pseudoperiodic; care se

- micare oscilatorie aperiodic. Micarea oscilatorie periodic este micarea repet n mod identic dup anumite intervale de timp. Mrimile caracteristice acestei micri sunt: -

elongaia - deprtarea fa de poziia de echilibru la un moment dat: x(t) (sau y(t)). amplitudinea - deprtarea maxim fa de poziia de echilibru (elongaia maxim); notaie: A, xmax, ymax. oscilaie complet - fenomen care presupune revenirea oscilatorului n poziia iniial. perioada micrii este durata unei oscilaii complete; notaie: T, [T] = s: frecvena micrii oscilatorii este dat de numrul de oscilaii complete1 . T 2 ; [ ] = rad s1 T

-

-

-

-

n-1

unitatea

de

timp;

notaie:

(uneori f); []=Hz=s . Se observ c: =

- p u l s a i a m i c r i i o s c i l a t o r i i : = 2 =

5

Fizica I

Eleonora Rodica Bena

I.1.a). Micarea oscilatorie armonic (M.O.A)Presupunem un corp de mas m, legat de un resort, cu constanta de elasticitate k, aezat pe o suprafa orizontal neted Notm x0=0 poziia (Ff=0). corpului cnd resortul este nealungit (sau necomprimat) (fig.I.1a) (poziia de echilibru). Alungim resortul astfel nct corpul s se afle la distana xmax=A fa de 0. n resort iax

k

m 0

a) x

Fet=0 0 xmax=A

b)

v

Fe

x c) -xmax x

Fig. I.1

natere o for elastic F = k x , care se opune alungirii ( F i g . I . 1 b ) . Lsm corpul liber; el va fi acionat de Fe, revenind n poziia de echilibru, cnd Fe=0, dar avnd vitez; datorit acestei viteze i va continua micarea, comprimnd resortul. Cnd ajunge la distana x=-xmax fa de 0 el se va opri (v=0), dar resortul fiind puternic comprimat, apare o for e l a s t i c F e , c a r e v a readuce corpul la poziia de echilibru, etc. (fig.I.1c)

Vom cuta dependena elongaiei x de timpul t. Pentru aceasta vom scrie legea a II- a a dinamicii: F = ma (I.1) Se observ c, n absena frecrii, singura for care acioneaz n sistem este Fe (pentru c ea readuce corpul n poziia de echilibru, se mai numete i for de revenire). innd seama de relaiile din mecanic:

6

Fizica I

Eleonora Rodica Bena

x x0 & v = t lim t t = ( x ( t ) ) ' = x ( t ) t0 0 v v0 a = lim & = ( v ( t ) ) ' = v ( t ) = && ( t ) x t t0 t t 0 (adic viteza este prima derivat n raport cu timpul a elongaiei, iar acceleraia este prima derivat n raport cu timpul a vitezei, deci derivata a doua a elongaiei), obinem: && mx = kxsau&& + x k x=0 m

(I.2)

k 2 = 0 i n u m i m 0 p u l s a i a p r o p r i e a s i s t e m u l u i ; m ecuaia (I.2) devine:

Notm

2 && + 0 x = 0 x

(I.3)

Aceast ecuaie are ca soluie o funcie armonic (fie sinus, fie cosinus, fie o exponenial cu exponent imaginar). Vom alege soluia de forma:

x = C sin ( 0 t + 0 ) & v = x = C0 cos ( 0 t + 0 )

(I.4)

Cele dou constante care apar (C, 0) se determin din condiiile iniiale i anume: n momentul nceperii micrii oscilatorii (t=0) (cnd corpul a fost lsat liber fig.1b) el avea x=xmax=A i v=0.

v ( 0 ) = C0 cos 0 = 0D e a i c i r e z u l t : c o s 0 = 0 , a d i c 0 = ;sin = 1 , d e c i C = A . 2 2

x ( 0 ) = C sin 0 = A

O b i n e m s o l u i a c o m p l e t : x ( t ) = A sin 0 t + . 2 Dac la t=0 corpul era ntr-o poziie oarecare, cu o

anumit vitez, general:

vom

obine

alte

valori

pentru

0,

deci

n

7

Fizica Ix ( t ) = A sin ( 0 t + 0 ) v ( t ) = A0 cos ( 0 t + 0 )2 a ( t ) = A0 sin ( 0 t + 0 )

Eleonora Rodica Bena(a) (b) (c)

(I.5)

Se observ c elongaia, viteza i acceleraia sunt funcii periodice de timp, avnd periodicitatea funciilor sinus sau cosinus;x ( t ) = x ( t + T0 ) sin ( 0 t + 0 ) = sin 0 ( t + T0 ) + 0 0 ( t + T0 ) + 0 ( 0 t + 0 ) = 2 , d e u n d e r e z u l t 0 T 0 = 2 , a d i c

T0 =

2 . 0

Argumentul funciilor sin sau cos poart denumirea de faza micrii oscilatorii: ( t ) = 0 t + 0 (I.6) iar 0 se numete faz iniial (este traducerea n radiani a deprtrii iniiale fa de poziia de echilibru).Exemple:

1. Un resort cu constanta de elasticitate k=400N/m susine un corp cu masa m=4kg. Sistemul este scos din echilibru i execut oscilaii armonice verticale. Aflai pulsaia i amplitudinea micrii oscilatorii tiind c n momentul n care elongaia este y=4cm, viteza de oscilaie este v=30cm/s.Rezolvare:

P u l s a i a p r o p r i e 0 =

k = 10rad / s m

Din

y = A sin ( 0 t + 0 ) obinem v = A0 cos ( 0 t + 0 ) y2 A2 v22 A 20

y2 = sin2 ( 0 t + 0 ) 2 A care, 2 2 v = cos ( 0 t + 0 ) A 22 0

adunate conduc la relaia y = 4 c m = 4 10 2 m

+

= 1; d e a i c i A = y 2 +

v22 0

;

8

Fizica Iv = 30cm / s = 30 10 2 m / s ,

Eleonora Rodica Bena

d e c i A = 16 104 +

( 30 )2 104102

= 102 16 + 9 = 5 102 m = 5cm

2.

Un

corp

efectueaz Aflai

oscilaii

descrise micrii

de

ecuaia

x = 10 sin 100 t + ( cm ) . 3

frecvena

oscilatorii,

viteza mobilului n momentul n care x = 5cm i care este primul moment fa de cel al nceperii micrii oscilatorii cnd se ntmpl acest lucru.Rezolvare:

Comparnd ecuaia dat cu ecuaia (I.5.a) observm c A = 1 0 c m i a r 0 = 1 0 0 r a d / s . 0 = 2 0 , d e u n d e 0 = 0 = 50Hz . 2 nlocuind x=5cm n ecuaia de micare, obinem 3 1 . sin 100 t + = , d e c i cos 100 t + = 3 2 3 2 3 R e z u l t v = A0 cos 100t + = 10 102 100 = 5 3m / s . 3 2 P e n t r u a f l a r e a m o m e n t u l u i n c a r e x = 5 c m i v = 5 3 m / s , i n e m s e a m a c sin =1 5 pentru = sau = . 2 6 6 = , din care rezult t10

t=0 A 0 t+0

A

x=Asin0

x Fig.I.2

x=Asin(t+0)

x

n cazul a dou oscilaii, putem considera t=0 i obinem fazorii (1) i (2) din figura I.3:y A1 (1) 01 02 (2) x Fig.I.3 A2 A

Acetia se compun ca doi vectori obinuii, astfel nct suma lor va fi:2 A = A1 + A 2 + 2A1A 2 cos (02 01 ) 2

Aceasta este tot un fazor care face cu Oy unghiul 0:

13

Fizica IA1 sin 01 + A 2 sin 02 A1 cos 01 + A 2 cos 02

Eleonora Rodica Bena

tg0 =

deci va reprezenta o micare oscilatorie de tipul: x ( t ) = A sin ( t + 0 )Concluzie: prin suprapunerea a dou oscilaii armonice p a r a l e l e , d e a c e e a i f r e c v e n s e o b i n e t o t o o s c i l a i e a r m o n i c paralel cu cele date, de aceeai frecven dar cu amplitudine i faz iniial diferite. Analiznd formula (I.12) se observ urmtoarele:

1)

dac

defazajul

iniial

0 = 02 01

este

0,

2,

.2n (I.13)

(multiplu par de ), cos2n=1, deci A = A1 + A 2 = A max Se spune c cele dou oscilaii sunt n faz:

2) dac defazajul iniial este 0=(2n+1) (multiplu impar de ), cos(2n+1) =-1, A = A1 A 2 = A min (I.14) Se spune c cele dou oscilaii sunt n opoziie de faz. 3) dac defazajul iniial este 0=(2n+1) , cos(2n+1) =0, deci 2 22 2 A = A1 + A 2

(I.15)

cele dou oscilaii fiind n cuadratur de faz.2) Compunerea a dou oscilaii paralele, cu frecvene puin diferite

Presupunem c un punct material este supus simultan la d o u m i c r i o s c i l a t o r i i d e p u l s a i i 1 = 0 i 2 = 0 + , u n d e