oscillations libres dans un circuit rlc

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Oscillations libres dans un circuit RLC

Oscillations libres dans un circuit RLC

I. Exemple dapplication dun circuit LC.

Extrait de lintroduction du sujet LIBAN 2003: Application des oscillations lectriques

Dans cette partie, on tudie une application des oscillations lectriques dans le domaine de la mtorologie. Pour mesurer le taux d'humidit relative de l'air (not % d'HR), on peut employer un capteur appel "humidistance" dont le principe simplifi utilise un condensateur de capacit variant avec l'humidit.

Pour mesurer la valeur de la capacit du condensateur, on peut le placer dans le circuit ci-dessous dans lequel la bobine d'inductance L a une rsistance ngligeable.

L'interrupteur est d'abord plac en position 1 pour charger le condensateur, puis bascul en position 2 pour le dcharger. Un systme informatis d'acquisition de donnes permet de relever la tension aux bornes du condensateur au cours de la dcharge.Question discussion rponse:

1. Quelle est la nature de lnergie emmagasine par un condensateur?

2. Quelle est la nature de lnergie emmagasine par une bobine?

3. Sous quelle(s) forme(s) lnergie libre par le condensateur lors de sa dcharge dans le circuit (position 2) va t-elle se transformer?

Rponse:

1. Lnergie emmagasine par un condensateurest lectrique.

2. Lnergie emmagasine par une bobine est magntique.

3. Lnergie lectrique est transformer en nergie magntique dans la bobine et en nergie thermique dans la rsistance.

Nous allons tudier dans ce chapitre, lvolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur quand il se dcharge dans une bobine.

II. Dcharge oscillante dun condensateur dans une bobine.

1. Dispositif exprimental.

2. Visualisation sur un simulateur de la tension aux bornes du condensateur.

Le simulateur utilis est sur le site:

http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/phy_chi/Menu/Simulation/RLC2/Decharge_oscillante_dans_RLC.xls

Question discussion rponse:

1. Que se passe-t-il quand linterrupteur est en position 1?

2. Que se passe-t-il quand linterrupteur est en position 2?

3. Quelle est la nature de la tension aux bornes du condensateur?

4. Comment appelle-t-on ce phnomne?

5. Quelle hypothse pouvez-vous faire sur les volutions des nergies dans le condensateur et dans la bobine?

6. Quelle est linfluence de la valeur de la capacit sur les courbes?

7. Quelle est linfluence de la valeur de linductance sur les courbes?

8. Quelle est linfluence des rsistances sur la tension aux bornes du condensateur et sur les courbes dnergie? Pourquoi?

Rponses:

1. Quand linterrupteur est en position 1, le condensateur se charge.

2. Quand linterrupteur est en position 2, le condensateur se dcharge dans la bobine.

3. La tension aux bornes du condensateur est de nature sinusodale.

4. Il sagit doscillations libres. (libres car il ny a pas dapport dnergie aprs le dbut de la dcharge).

5. On peut proposer comme hypothse quil y a change dnergie entre le condensateur et la bobine.

6. Quand on augmente la valeur de la capacit, lnergie initiale du condensateur est plus leve. Lnergie reue par la bobine lest alors galement. La priode des oscillations augmentent galement.

7. Quand on augmente la valeur de linductance, la priode des oscillations augmentent mais na pas dinfluence sur lnergie de la bobine car cest le condensateur qui apporte lnergie initiale.

8. Quand on augmente la valeur des rsistances, les oscillations sont amorties. Une partie de cette nergie est transfre sous forme dnergie thermique (effet Joule).

3. Les trois rgimes libres dun circuit RLC; Influence de lamortissement.

Cette partie est galement vue en TP.

3.1. Rgime priodique. (libre non amorti).

Dans le cas dun circuit LC, o il ny a donc pas de rsistance, le rgime est appel:

priodique sinusodale ou harmonique.

Il ny a pas damortissement.

La priode propre est T0.

3.2. Rgime pseudo-priodique. (libre amorti).

Le rgime pseudo-priodique est observ pour des valeurs faible de la rsistance totale R + r.

La tension oscille toujours autour de zro, mais son amplitude dcrot au cours du temps.

On appelle pseudo-priode T la dure qui spare deux maxima positifs conscutifs.

Pour de faibles amortissements T = T0

Pour des amortissements un peu plus levs T

T03.3. Rgime critique (libre amorti) Limite externe du programme

Le rgime critique correspond un amortissement plus important. Ce rgime est la limite entre le rgime pseudo-priodique et le rgime apriodique.

3.4. Rgime apriodique. (libre amorti).

La valeur de R + r est trs importante. Lamortissement est trs lev.

On nobserve plus oscillation.

III. Rsolution analytique pour la tension aux bornes du condensateur dans le cas dun amortissement ngligeable.

1. Etablissement de lquation diffrentielle.

Aprs avoir charg le condensateur, on le place dans un circuit comportant une bobine.

La rsistance de la bobine est considre ngligeable.

On applique la loi dadditivit des tensions:

0

0

0

0

2

2

2

2

=

+

=

+

=

+

=

+

dt

u

d

LC

u

dt

q

d

L

u

dt

di

L

u

u

u

c

c

c

c

L

c

avec dt

dq

i

=

et q = Cuc

Lquation diffrentielle pour la tension uc scrit alors: 0

1

2

2

=

+

u

LC

dt

u

d

c

c

Remarque: Lquation diffrentielle pour la charge q scrit 0

1

2

2

=

+

q

LC

dt

q

d

2. Solution de lquation diffrentielle pour la tension uc.

Vrifions que lquation

+

=

f

p

0

0

2

cos

T

t

A

u

c

est une solution de lquation diffrentielle 0

1

2

2

=

+

u

LC

dt

u

d

c

c

Avec A, T0 et 0 tant des grandeurs dterminer.

est la priode propre du circuit LC. Elle sexprime en seconde (s)

0 est la phase lorigine.

Elle sexprime en radian(rad)

Dans un premier temps, on drive deux fois lexpression

+

=

f

p

0

0

2

cos

T

t

A

u

c

Rappel: uC est une fonction compose

(cos uC) = - sin uC

uC

(sin uC) = cos uC

uC

+

-

=

+

-

=

f

p

p

f

p

p

0

0

2

2

2

0

0

0

2

cos

0

2

2

sin

2

t

T

T

A

dt

du

t

T

T

A

dt

du

c

c

Dans un deuxime temps, on reporte uc et dt

u

d

c

2

2

dans lquation diffrentielle 0

1

2

2

=

+

u

LC

dt

u

d

c

c

0

0

2

1

2

cos

0

2

cos

1

2

cos

0

2

2

0

0

0

0

0

0

2

=

-

+

=

+

+

+

-

T

LC

t

T

A

t

T

A

LC

t

T

T

A

p

f

p

f

p

f

p

p

Dans un troisime temps, on identifie T0.

Pour ce faire, il faut saffranchir du temps, cest dire liminer la partie de lexpression qui dpend du temps.

Il suffit que 0

0

2

1

2

=

-

T

LC

p

cest dire que T0 = 2LC

L: inductance (H)

C : capacit (F)

Dans un quatrime temps, on identifie A et 0.

On prend en compte les conditions initiales t = 0.

t = 0 uc = Eet i = 0

alors

+

=

f

p

0

0

2

cos

T

t

A

u

c

en remplaant t = 0 et uc = E

E = A cos (0 + 0)

E = A cos 0

Donc A = E etcos 0 = 1

Soit A = E et 0 = 0

La tension aux bornes du condensateur scrit:

=

t

T

E

u

c

0

2

cos

p

E est lamplitude (V)

T0 est la priode propre (s)

0 est la phase lorigine (rad)

uc est la tension aux bornes du condensateur

3. Expression de l'intensit.

Rappel: on peut visualiser lintensit aux bornes de la rsistance et la mesurer laide de la loi dOhm.

On a q = Cuc

=

t

T

CE

q

0

2

cos

p

Avec

dt

dq

i

=

-

=

t

T

CE

T

i

0

0

2

sin

2

p

p

On peut galement exprimer lintensit ainsi:

Sachant que sin x = cos

+

2

p

x

, on a:

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