Osnove Osnove istraživačkog rada istraživačkog rada

u sestrinstvuu sestrinstvu

4. Mjere centra4. Mjere centra

2

Mjere centralne tendencijeMjere centralne tendencije

aritmetička sredina - xmedijan (centralna vrijednost) – Cmod (dominantna vrijednost) – Dharmonijska sredina – Hgeometrijska sredina – G

__

3

Za sve srednje vrijednosti Za sve srednje vrijednosti vrijedi:vrijedi:

mora postojati mogućnost utvrđivanja srednje vrijednosti objektivnim računskim pravilom na jedinstveni načinmora biti sadržana između najmanje i najveće vrijednosti obilježjaako su sve vrijednosti obilježja jednake, i srednja vrijednost mora biti jednaka toj vrijednosti

4

Medijan (centralna vrijednost)Medijan (centralna vrijednost)CC

vrijednost koja se u nizu rezultata nalazi točno u sredini dijeli skup podataka na dva jednaka dijelatočka od koje je najmanja suma svih odstupanja

5

Medijan - primjeriMedijan - primjeri

Pr. 1:

C = 4Pr. 2:

C = (3+4)/2 = 3,5

1 1 3 3 4 4 4 5 6 6 7

1 1 3 3 4 4 4 5

6

Mod (dominantna vrijednost)Mod (dominantna vrijednost)DD

Najčešća vrijednost u nekom nizuPr. 3:

D = 4

Pr. 4:

D = 4, D = 6

1 1 3 3 4 4 4 5 6 6 7

1 1 3 3 4 4 4 6 6 6 7

7

Aritmetička sredinaAritmetička sredina

“Prosjek”, težište rezultataOmjer sume svih rezultata i ukupnog broja rezultata

x=x1...xN

N=∑i=1

N

xi

N

8

Svojstva aritmetičke sredineSvojstva aritmetičke sredine

1. Prvo svojstvo aritmetičke sredine Algebarski zbroj odstupanja originalnih

vrijednosti numeričkog obilježja od aritmetičke sredine jednak je nuli.

2. Drugo svojstvo aritmetičke sredine

Zbroj kvadrata odstupanja originalnih vrijednosti numeričkog obilježja od aritmetičke sredine jednak je minimumu.

3. Treće svojstvo aritmetičke sredine

Aritmetička sredina uvijek se nalazi između najmanje i najveće vrijednosti numeričkog obilježja varijable Xi

∑i

xi−x 2=min

xminxxMAX

∑i

xi−x =0

9

Jednostavna (neponderirana) Jednostavna (neponderirana) aritmetička sredinaaritmetička sredina

Pr. 5: Dva studenta mjerila su debljinu vlasi mikrometarskim vijkom. Izmjereni su sljedeći podaci u mikrometrima:

Koliko iznosi aritmetička sredina ovih dvaju mjerenja?

1. mjerenje 8,0 8,5 8,5 9,0 9,0 9,0 9,0 9,5 9,5 10,0

2. mjerenje 1,0 2,0 3,0 5,0 9,0 9,0 13,0 15,0 16,0 17,0

x=x1...xN

N=∑i=1

N

xi

N

10

Jednostavna (neponderirana) Jednostavna (neponderirana) aritmetička sredinaaritmetička sredina

Pr. 6: Izračunajte prosječnu starost prisutnih studen(a)t(ic)a!

R.B. Godine Br. stud.

x f f·x

1

2

3

.

.

.

Ukupno

x=f 1 x1...f k x k

N=∑i=1

k

f i xi

∑i=1

k

f i

11

ZadaćaZadaća

Zad. 1: Odredite mod, medijan i aritmetičku sredinu ocjena do sada položenih ispita!

12

Prikupljajući podatke o broju djece u obitelji, dobili smo da je 550 obitelji imalo ukupno 1661 dijete. Koliko je u prosjeku djece u jednoj obitelji?

Koju ćemo mjeru centralne tendencije ovdje koristiti?

broj djece

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

broj bračnih parova

s tim brojem djece

70

90

108

86

70

47

30

20

15

5

4

3

2

Zadaća

13

Ponderirana (vagana) Ponderirana (vagana) aritmetička sredinaaritmetička sredina

Ponderi su veličine kojima se množe (važu) vrijednosti numeričke varijable Xi.

Ponderirana aritmetička sredina je vagana frekvencijama – f

Ukoliko je grupiranjem kreirano k razreda aritmetička sredina se izračunava prema slijedećem izrazu

R - sredina razreda

x=∑ f⋅RN

x=f 1 R1...f k Rkf 1...f k

=∑i=1

k

f iR i

∑i=1

k

f i ___

14

Ponderirana (vagana) Ponderirana (vagana) aritmetička sredinaaritmetička sredina

Pr. 7: U jednoj školi mjerena je visina šesnaestogodišnjaka i izmerene su slijedeće vrijednosti u cm

196, 157, 177, 162, 168, 173, 164, 165, 192, 153,

186, 154, 157, 174, 180, 189, 169, 177, 162, 165,

173, 190, 159, 165, 184, 165, 180, 175, 172, 171,

167, 163, 166, 158, 151, 160, 157, 173, 169, 160,

140, 169, 185, 146, 183, 174, 167, 177, 170, 169.

Izračunajte aritmetičku sredinu visine!

15

Primjer 7 – rješenje IPrimjer 7 – rješenje I

1. korak: odrediti razrede

raspon:

širina razreda: broj razreda

R = 196 – 140 = 56

NR = 10 i = 5,6 ≈ 6

NR = 12 i = 4,7 ≈ 5

1. razred: 140, 141, 142, 143, 144

2. razred: 145, 146, 147, 148, 149

3. razred ...

R=xMAX−xmin

i= RN R

16

Primjer 7 – rješenje IIPrimjer 7 – rješenje IIR.B. RAZRED

1 140 – 144

2 145 – 149

3 150 – 154

4 155 – 159

5 160 – 164

6 165 – 169

7 170 – 174

8 175 – 179

9 180 – 184

10 185 – 189

11 190 – 194

12 195 – 199

Ukupno

17

Primjer 7 – rješenje IIIPrimjer 7 – rješenje III2. korak: popuniti razrede i odrediti frekvencije

R.B. RAZRED FREKVENCIJE f

1 140 – 144 * 1

2 145 – 149 * 1

3 150 – 154 *** 3

4 155 – 159 *****

5 160 – 164 ***** *

6 165 – 169 ***** ***** **

7 170 – 174 ***** ***

8 175 – 179

9 180 – 184

10 185 – 189

11 190 – 194

12 195 – 199

Ukupno

18

Primjer 7 – rješenje IVPrimjer 7 – rješenje IV3. korak: odrediti razredne sredine

R.B. RAZRED FREKVENCIJE f R

1 140 – 144 * 1 142

2 145 – 149 * 1 147

3 150 – 154 *** 3 152

4 155 – 159 ***** 5

5 160 – 164 ***** * 6

6 165 – 169 ***** ***** ** 12

7 170 – 174 ***** *** 8

8 175 – 179 **** 4

9 180 – 184 **** 4

10 185 – 189 *** 3

11 190 – 194 ** 2

12 195 – 199 * 1

Ukupno 50

19

Primjer 7 – rješenje VPrimjer 7 – rješenje V4. korak: izračunati Σf·R

R.B. RAZRED FREKVENCIJE f R f·R

1 140 – 144 * 1 142 142

2 145 – 149 * 1 147 147

3 150 – 154 *** 3 152 456

4 155 – 159 ***** 5 157

5 160 – 164 ***** * 6 162

6 165 – 169 ***** ***** ** 12 167

7 170 – 174 ***** *** 8 172

8 175 – 179 **** 4 177

9 180 – 184 **** 4 182

10 185 – 189 *** 3 187

11 190 – 194 ** 2 192

12 195 – 199 * 1 197

Ukupno 50

20

Primjer 7 – rješenje VPrimjer 7 – rješenje V4. korak: izračunati Σf·R

R.B. RAZRED FREKVENCIJE f R f·R

1 140 – 144 * 1 142 142

2 145 – 149 * 1 147 147

3 150 – 154 *** 3 152 456

4 155 – 159 ***** 5 157 785

5 160 – 164 ***** * 6 162 672

6 165 – 169 ***** ***** ** 12 167 2004

7 170 – 174 ***** *** 8 172 1376

8 175 – 179 **** 4 177 708

9 180 – 184 **** 4 182 728

10 185 – 189 *** 3 187 561

11 190 – 194 ** 2 192 384

12 195 – 199 * 1 197 197

Ukupno 50 8460

21

Primjer 7 – rješenje VIPrimjer 7 – rješenje VI5. korak: uvrstiti u formulu za aritmetičku sredinu i izračunati je

x=∑i=1

k

f i R i

∑i=1

k

f i

=846050

=169,20cm

22

Skraćeni postupak za izračunavanje Skraćeni postupak za izračunavanje aritmetičke sredine grupiranih aritmetičke sredine grupiranih

rezultatarezultataodredimo “privremenu” aritmetičku sredinu – najjednostavnije je uzeti sredinu razreda s najvišom frekvencijom odredimo intervalnu udaljenost (di) svakog pojedinog razreda od privremenog razredaizračunati aritmetičku sredinu po formuli:

RPR

d i=Ri−RPRi

x=RPR∑ f i⋅diN

⋅i

23

Primjer 7 – rješenje (drugi način) IPrimjer 7 – rješenje (drugi način) I4. korak: odrediti intervalnu udaljenost di

R.B. RAZRED FREK. f R d f·d

1 140 – 144 * 1 142 -5 -5

2 145 – 149 * 1 147 -4 -4

3 150 – 154 *** 3 152 -3 -9

4 155 – 159 ***** 5 157 -2

5 160 – 164 ***** * 6 162 -1

6 165 – 169 ***** ***** ** 12 167 0

7 170 – 174 ***** *** 8 172 1

8 175 – 179 **** 4 177 2

9 180 – 184 **** 4 182

10 185 – 189 *** 3 187

11 190 – 194 ** 2 192

12 195 – 199 * 1 197

Ukup. 50

24

Primjer 7 – rješenje (drugi način) IIPrimjer 7 – rješenje (drugi način) II5. korak: izračunati f·d

R.B. RAZRED FREK. f R d f·d

1 140 – 144 * 1 142 -5 -5

2 145 – 149 * 1 147 -4 -4

3 150 – 154 *** 3 152 -3 -9

4 155 – 159 ***** 5 157 -2 -10

5 160 – 164 ***** * 6 162 -1 -6

6 165 – 169 ***** ***** ** 12 167 0 0

7 170 – 174 ***** *** 8 172 1 8

8 175 – 179 **** 4 177 2 8

9 180 – 184 **** 4 182 3 12

10 185 – 189 *** 3 187 4 12

11 190 – 194 ** 2 192 5 10

12 195 – 199 * 1 197 6 6

Ukup. 50 22

25

Primjer 7 – rješenje (drugi način) IIIPrimjer 7 – rješenje (drugi način) III6. korak: uvrstiti u formulu za aritmetičku sredinu i izračunati je

x=RPR∑ f i⋅d iN

⋅i=1672250⋅5=1672,2=169,2 cm

26

ZadaćaZadaća

U nekom istraživanju određen je indeks tjelesne mase za 30 osoba.

Odredite mod, medijan i izračunajte aritmetičku sredinu na oba načina!

25.7 25 24.422.9 23.6 21.227.6 22.7 25.524.2 30.9 22.826.7 25.8 18.321.7 31.5 28.418.4 24.6 26.822.8 28.6 22.423.3 28.9 25.422.2 22.8 25.4

27

proteini Broj ispitanika

60-62 15

63-65 30

66-68 62

69-71 115

72-74 85

75-77 58

78-80 41

81-83 19

Zadaća

Mjeren je sadržaj ukupnih proteina u krvi zdravih ljudi. Izmjerne vrijednosti u g/l dane su u tablici

Prikažite distribuciju pomoću histograma frekvencija! Izračunajte aritmetičku sredinu!