OSNOVE NOSIVIH KONSTRUKCIJA II

Prof. dr. sc. Željana Nikolić

Sveučilište u SplituGrađevinsko-arhitektonski fakultet

Sadržaj: 1. UVOD

2. ANALIZA NAPREZANJA I DEFORMACIJA

3. SVOJSTVA MATERIJALA

4. VEZE IZMEĐU NAPREZANJA I DEFORMACIJA

5. KOEFICIJENTI SIGURNOSTI I DOPUŠTENO NAPREZANJE

6. AKSIJALNO OPTEREĆENJE ŠTAPA

7. SMICANJE (ODREZ)

8. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPOVA

9. SAVIJANJE RAVNIH ŠTAPOVA 10. DEFORMACIJA RAVNOG ŠTAPA PRI SAVIJANJU

11. TORZIJA RAVNIH ŠTAPOVA

12. STABILNOST KONSTRUKTIVNIH ELEMENATA

13. VIRTUALNI RAD

14. STATIČKI NEODREĐENE KONSTRUKCIJE

1. UVOD

STATIČKI ODREĐENE KONSTRUKCIJE

Mehanika krutih tijela zasniva se na idealizaciji stvarnog tijela krutim tijelom koje ne mijenja oblik niti veličinu pod utjecajem vanjskih sila.

Unutrašnje sile ne ovise o deformacijama.

Rješenje sila veza i unutrašnjih sila iz uvjeta ravnoteže.

STATIČKI NEODREĐENE KONSTRUKCIJE

Realno tijelo se deformira (mijenja oblik i volumen) – unutrašnje sile ovise o deformacijama

Uvjeti ravnoteže nisu dovoljni za rješenje sila veza i unutrašnjih sila.

Potrebni dodatni uvjeti (veza između vanjskih sila, oblika tijela, vrste materijala s naprezanjima i deformacijama tijela)

Otpornost materijala – ovu zadaću rješava jednostavnim metodama uz uvođenje određenih pretpostavki.

Teorija elastičnosti i teorija plastičnosti također rješava probleme deformabilnog tijela, ali su uvjeti koji se postavljaju znatno složeniji.

Otpornost materijala proučava probleme čvrstoće, krutosti i stabilnosti pojedinih dijelova tehničkih konstrukcija od čvrstog deformabilnog materijala.

OTPORNOST MATERIJALA

ČVRSTOĆA Sposobnost prenošenja opterećenja bez pojave loma.

KRUTOST Otpornost konstrukcije na deformiranje (promjenu oblika i volumena).

STABILNOST Sposobnost konstrukcije i njezinih elemenata da pod zadanim opterećenjem zadrže prvobitni oblik elastične ravnoteže.

Elementi konstrukcije izloženi djelovanju opterećenja se deformiraju. Grana primijenjene mehanike koja utvrđuje vezu između sila koje djeluju na element i deformacija prouzrokovanih tima silama (progib grede uslijed poprečnog opterećenja, izduženje elementa uslijed vlačne sile, skraćenje štapa rešetke zbog tlačne sile, uvrtanje uslijed momenta torzije, …) naziva se otpornost materijala.

Vlačne sileVlačne sile razvlače materijal te uzrokuju povećanje duljine konstruktivnog elementa. Veličina produljenja ovisi o krutosti materijala, površini poprečnog presjeka i iznosu opterećenja.

Tlačne sileTlačne sile vrše zbijanje čestica materijala što uzrokuje skraćenje promatranog elementa.

Posmične silePosmične sile izazivaju pomicanje u horizontalnim ili vertikalnim paralelnim ravninama.

SavijanjeElement izložen poprečnom opterećenju deformira se savijanjem.

TorzijaPojava uvrtanja konstruktivnog elementa najčešće uzrokovana ekscentričnim opterećenjem.

Dimenzioniranje elemenata konstrukcije:

Proračun čvrstoće

Proračun stabilnosti

Proračun krutosti

Određivanje najmanjih dimenzija pojedinih dijelova konstrukcije pod djelovanjem zadanog opterećenja.

Određivanje deformacija konstrukcija pod djelovanjem zadanog opterećenja, koje moraju ostati u dopuštenim granicama određenima uvjetima uporabe same konstrukcije.

Određivanje opterećenja pod kojim konstrukcija i njezini elementi zadržavaju prvobitni elastični oblik.

Važnost otpornosti materijala u analizi konstrukcija:

- Kako bi se izračunale unutrašnje sile u pojedinim konstruktivnim elementima,

projektant mora odabrati dimenzije elemenata i vrstu materijala. Ovo zahtijeva

razumijevanje načina prijenosa sila među konstruktivnim elemetima i deformacija

koje te sile uzrokuju.

- Kod statički neodređenih konstrukcija unutrašnje sile nije moguće dobiti samo na

osnovu poznavanja geometrije i opterećenja. Raspodjela unutrašnjih sila ovisi o

relativnoj krutosti elemenata i sposobnosti njihovog deformiranja.

Načelo sigurnosti i racionalnosti

O sigurnosti građevinskih konstrukcija ovise ljudski životi i materijalna dobra.

Racionalnost podrazumijeva pravilan izbor dimenzija i metoda proračuna. Načela

sigurnosti i racionalnosti su međusobno suprostavljeni. Potrebno je upotrijebiti

onoliko materijala koliko je nužno da budu zadovoljeni traženi uvjeti sigurnosti.

Poznavanje mehaničkog ponašanja materijala

Inženjerske konstrukcije su sastavljene iz elemenata koji su izrađeni od konkretnog

materijala. Materijal posjeduje svoja mehanička svojstva. Otpornost materijala ovisi

o mehaničkim svojstvima materijala. Načelo sigurnosti i racionalnosti možemo

zadovoljiti tek uz poznavanje mehaničkih svojstava materijala.

Struktura prirodnih čvrstih tijela

Tijelo predstavlja skup čestica (molekula) na okupu. U početnom stanju tijela

odnosno nultom stanju molekularne sile su u ravnoteži. Vanjsko djelovanje uzrokuje

promjenu položaja čestica i sila među njima. Zbog razlike između novonastalih sila i

sila nultog stanja nastaje naprezanje u tijelu.

Opće pretpostavke otpornosti materijala

• Materijal je neprekinut (kontinuiran) – tvar ima svojstvo neprekinute sredine,

kontinuuma, tj. tvar jednoliko i bez šupljina ispunjava volumen tijela.

• Materijal je homogen – fizikalno-mehanička svojstva u svim točkama su

jednaka.

Nehomogen materijal – svojstva se mijenjaju od točke do točke.

• Materijal je izotropan - fizikalno-mehanička svojstva u svim smjerovima su

jednaka (metal, staklo).

Anizotropan materijal - fizikalno-mehanička svojstva u različitim smjerovima su

različita (drvo).

Ortotropan materijal - fizikalno-mehanička svojstva su jednaka u određenim

smjerovima vlakana (valjani čelik).

• Materijal je elastičan – elastičnost je svojstvo materijala da se vraća u prvobitno

stanje nakon uklanjanja vanjskih opterećenja. Realno tijelo ponaša se elastično

samo do jedne određene granice koja se naziva granica elastičnosti.

• Između naprezanja i deformacija postoji linearna zavisnost do određene

granice koja se naziva granicom proporcionalnosti.

• Hipoteza ravnih poprečnih presjeka – poprečni presjeci okomiti na os štapa pri

deformaciji tijela ostaju ravni i okomiti na deformiranu os štapa.

• Deformacije tijela su male u odnosu na konačne dimenzije tijela te ih u

matematičkom smislu možemo smatramo beskonačno malim veličinama prvog

reda. Promjene u rasporedu vanjskih sila zbog deformacija pojedinih tijela

možemo zanemariti pa jednadžbe ravnoteže postavljamo na nedeformiranom

tijelu.

Postupak rješavanja problema u otpornosti materijala

1. Usvajanje pretpostavki

Cilj: određivanje naprezanja i deformacija u elementima konstrukcije.

2. Postavljanje statičkih jednadžbiPostavljanje jednadžbi ravnoteže unutarnjih i vanjskih sila za promatrani dio konstrukcije.

3. Postavljanje geometrijskih jednadžbiUspostavljanje veze između deformacija i pomaka pojedinih dijelova konstrukcije.

4. Postavljanje fizikalnih jednadžbiUtvrđivanje veze između naprezanja i deformacija pojedinih dijelova konstrukcije.

5. Rješavanje sustava jednadžbiNa osnovu dobivenih rezultata utvrđuje se stanje naprezanja i deformacija promatranih dijelova konstrukcije.

Naprezanja bolje prikazuju stanje promatranog elementa nego unutrašnje sile.

Naprezanje:

Općenito - sila u presjeku elementa podijeljena s površinom na koju djeluje.

Jedinica za naprezanje - Pascal (Pa).

1 Pa = 1 N/m2 ili 1 MPa = 1 N/mm2.

Složeno stanje naprezanja u presjeku:

- normalno naprezanje

(okomito na ravninu promatranog presjeka)

- posmično naprezanje

( u ravnini promatranog presjeka).

2. ANALIZA NAPREZANJA I DEFORMACIJA

2.1. Naprezanja

2.1.1 Normalno naprezanje

Rezultat djelovanja uzdužne sile Nx je

naprezanje σxx jednoliko raspoređeno po

površini poprečnog presjeka:

AN x

xx =σ

Prvi indeks - smjer vanjske normale na

poprečni presjek

Drugi indeks - smjer naprezanja.

Naprezanje σxx - normalno naprezanje koje djeluje u smjeru osi x u poprečnom

presjeku s vanjskom normalom u smjeru osi x.

U slučaju nejednolike raspodjele naprezanja: dA

dN xxx =σ

dA - elementarna površina

dNx sila na elementarnu površinu

Ukupna sila: ∫σ=A

xxx dAN

2.1.1 Posmično naprezanje

Poprečna sila u ravnini poprečnog presjeka uzrokuje posmično naprezanje.

Normalno i posmično naprezanje u presjeku

Posmično naprezanje za poprečnu silu u smjeru y i jednoliku raspodjelu po površini poprečnog presjeka:

ATy

xy =τ

Ako u presjeku djeluje i poprečna sila u smjeru z:

ATz

xz =τ

Prvi indeks - smjer vanjske normale na poprečni presjek Drugi indeks - smjer naprezanja

Za nejednoliku raspodjelu naprezanja u presjeku:

dAdT,

dAdT z

xzy

xy =τ=τ

Odgovarajuće poprečne sile u presjeku:

∫∫ τ=τ=A

xzzA

xyy dAT,dAT

xyτ , xzτ ↔ xyσ , xzσ

2.1.1 Prostorno stanje naprezanja

Vektor punog naprezanja na ravninu presjeka: normalno naprezanje i posmično naprezanje

Orjentiramo li ravnine presjeka okomito na koordinatne osi y i z, dobit ćemo na svakoj od tih ravnina tri komponente naprezanja, jednu normalnu i dvije posmične.

Prostorno stanje naprezanja na diferencijalnom elementu

Matrica tenzora naprezanja (tenzor naprezanja):

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

σσσσσσσσσ

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

στττστττσ

=σ

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

ij

Stanje naprezanja u prostoru - određeno s 9 komponenti (3 normalne i 6 posmičnih) Elementi jednog retka matrice - komponente naprezanja u jednoj ravnini

Oznake: iiσ ↔ iσ , ijτ ↔ ijσ

ijσ su pozitivna:

- u pozitivnim smjerovima koordinatnih osi na površini s vanjskom normalom

orjentiranom u smjeru koordinatne osi

- u negativnim smjerovima koordinatnih osi na površini s vanjskom normalom

orijentiranom suprotno od koordinatne osi.

)z,y,x(ijij σ=σ → na paralelnim stranicama diferencijalnog elementa ne djeluju komponente naprezanja jednakog iznosa. Razlika između komponeti može se prikazati preko diferencijalnih prirasta naprezanja na razmacima dx, dy, dz.

Posmična naprezanja na diferencijalnom elementu u ravnini xy

0M0z =Σ (moment daju samo posmične komponente naprezanja okomite na z0)

02

dydzdxdxy2

dxdzdydyx2

dydzdx2

dxdzdy yxyx

xyxyyxxy =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

τ∂+τ−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

τ∂+τ+τ−τ /

: dzdydx

Zanemarenje diferencijalnih prirasta u odnosu na xyτ i yxτ → yxxy τ=τ

Analogno za 0M0x =Σ i 0M

0y =Σ : → zxxzyzzy , τ=ττ=τ

Općenito: )z,y,xj,i;ji(,jiij =≠τ=τ

Zakon o uzajamnosti posmičnih naprezanja: U dvjema međusobno okomitim ravninama komponente posmičnih

naprezanja koje su okomite na presječnicu tih ravnina jednake su po

iznosu i usmjerene su prema presječnici tih ravnina ili od nje.

Broj nezavisnih komponenti naprezanja se smanjuje s 9 na 6.

Matrica tenzora naprezanja ima oblik:

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

στττστττσ

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

στττστττσ

=σ

zyzxz

yzyxy

xzxyx

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

ij

Primjer:

Naprezanja u presjeku

Normalno

ϕ=

ϕ

ϕ==σϕ

2cosAF

cosA

cosFAN

Posmično

ϕ=ϕϕ=

ϕ

ϕ==τϕ

2sinA2Fcossin

AF

cosA

sinFAT

Normalno naprezanje opada s povećanjem kuta ϕ.

Najveće normalno naprezanje A/F=σ → u poprečnom presjeku okomitom na os

štapa (ϕ=0°).

Posmično naprezanje raste s povećanjem kuta ϕ od 0° do 45°. Najveće je za ϕ=45°

i iznosi A/F5.0=τ . S daljnjim povećavanjem kuta posmično naprezanje opada.

aa

φ

φ

F

R=F

T

N

F

A

2.1.1 Ravninsko stanje naprezanja

Tenzor naprezanja: [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡σττσ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡σττσ

=σyyx

xyx

yyyx

xyxxij

Jednadžbe transformacije

σ σ

σ

x

n n

y

τ

τ

τ

x

nt

t

y

y

x

φ

φA

B

O x

y

Jednadžbe transformacije služe za

određivanje naprezanja u proizvoljnom

smjeru ako su poznate komponente

naprezanja u dva međusobno okomita

smjera.

φ⋅=φ⋅=

cosABOBsinABOA

Uvjeti ravnoteže:

0X =∑ ; φ⋅⋅τ−φ⋅⋅σ=⋅τ+⋅σ sinABcosABA0B0 ntnxyx

⇓ φ⋅τ−φ⋅σ=φ⋅τ+φ⋅σ sincossincos ntnxyx (1)

0Y =∑ ; φ⋅⋅τ−φ⋅⋅σ=⋅τ+⋅σ cosABsinABB0A0 ntnxyy φ⋅τ+φ⋅σ=φ⋅τ+φ⋅σ cossincossin ntnxyy (2)

Iz (1) i (2) slijedi sustav od 2x2 jednadžbi:

1sincos)S(DET

cossincossin

sincossincos

22

xyyntn

xyxntn

=φ+φ=

φ⋅τ+φ⋅σ=τ⋅φ+σ⋅φ

φ⋅τ+φ⋅σ=τ⋅φ−σ⋅φ

Rješenje sustava:

φ⋅τ+φ⋅σ−σ

=τ

φ⋅τ+φ⋅σ+φ⋅σ=σ

2cos2sin2

2sinsincos

xyxy

nt

xy2

y2

xn

analogno je: φ+π

=φ21

φ⋅τ+φ⋅σ−σ

=τ

φ⋅τ−φ⋅σ+φ⋅σ=σ

2sincos2

2sincossin

xyxy

tn

xy2

y2

xt

yx

xy1e1

2arctg

21

σ−σ

τ=φ=α

Smjerovi i veličine glavnih naprezanja

Traži se kut φe=α za koji su normalna naprezanja ekstremna.Jednadžba (1) se derivira po ϕ i izjednači s nulom:

Jednadžbe transformacije:

ϕ⋅τ+ϕ⋅σ−σ

=τ

ϕ⋅τ+ϕ⋅σ+ϕ⋅σ=σ

2cos2sin2

2sinsincos

xyyx

nt

xy2

y2

xn (1)

(2)

02cos2cossin2cossin2d

dxyyx

n =ϕ⋅τ+ϕϕ⋅σ+ϕϕ⋅σ−=ϕ

σ

yx

xye

22tg

σ−σ

τ=φ (3)

Jednadžba (3) ima 2 rješenja za koja vrijedi: o902e1e =φ−φ

Kutevi koji određuju pravce ekstremnih normalnih naprezanja:

i o9012 ±α=α (4)

Uvrštavajući (4) u (1):

2xy

2yxyx

2,1minmax, 22τ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ−σ±

σ+σ=σ=σ

Maksimalno naprezanje ima pravac koji leži između dijagonale posmika i algebarski većeg normalnog naprezanja.

σ σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

x x

y

1

1

2

2

y

τ τ

τ

τ

x x

y

y

y y

x

x

S

1

2

α

A

B Dijagonala posmika – pravac koji spaja vrhove kvadrata prema kojem djeluju posmična naprezanja τxy

Pravci na kojima ne djeluje posmično naprezanje nazivaju se glavne osi naprezanja, a normalna naprezanja koja djeluju na tim pravcima nazivaju se glavna naprezanja i označavaju s σ1, σ2.

Uvrštavajući (4) u (2) dobivamo: 0nt =τ

121yxtn I=σ+σ=σ+σ=σ+σ I1 – prva invarijanta naprezanja

Zbroj normalnih naprezanja u bilo koja dva okomita smjera je uvijek konstantan.

yx

xy2

y2

xxy2

y2

xtn 2sincossin2sinsincos

σ+σ=

φ⋅τ−φ⋅σ+φ⋅σ+φ⋅τ+φ⋅σ+φ⋅σ=σ+σ

Deriviranjem jednadžbe (2)

po ϕ dobiva se da je najveće posmično naprezanje u ravnini koja je nagnuta za 45° u odnosu na osi glavnih naprezanja.

4παβ −=

( ) 2xy

2yx21

max τ2σσ

2σστ +

−=

−=

Kut najvećeg posmičnog naprezanja:

Najveće posmično naprezanje:

ϕ⋅τ+ϕ⋅σ−σ

=τ 2cos2sin2 xy

yxnt

σ

Mohr-ova kružnica naprezanja

Grafička konstrukcija za transformaciju naprezanja i određivanje smjerova i veličine glavnih naprezanja.

σxσy

τxy

τxy

(σ1+ σ2)/2 (σ1- σ2)/2

σ1

τ

σσ1

σ1

σ2

σ2

2αα

σ2

α

σ1

σ1σ2

σ2

σ1

σ1

σy

σx

τxy

σx

σy

τxy

Posebni slučajevi naprezanja

σσ x 1x xx

S

σ

=

=

0

0 =2

β = 45

σσ

xx

σx

τ

σ

σ

y

y

max =2

τmax = σ

ββ

= 45

2β

JEDNOOSNO STANJE NAPREZANJA

σx

σ = 0σ y

maxτmax

σ

σ σσ

σ

σ

xx x

1 2

x

τσ

σ

σ

σ

σσ

y

y

=

=

=

= =

= σ

σ σσ

σ

σ

xx x

1 2

x

τσ

σ

σ

σ

σσ

y

y

=

=

=

= =

=

IZOTROPNO STANJE NAPREZANJA /TLAČNO, VLAČNO/

Mohr-ova kružnica

degenerira u točku.

Nema glavnih osiju.

Nema posmika.

ČISTI POSMIK σ=σ=σ yx

σ

τ

τ

τ

σ

Max

y

a

b

c

d

a1

b1

c1

d1 0

π/2 + γπ/2 − γ

=

τ

ττ

x x

σ

σ

σ

σ

σ

y

y

x

a

b

c

d

a1

b1

c1

d1 0

π/2 + γπ/2 − γ

=

z

x

y

V

V

A

0

F

F

F

F

1 1

n

i

2k

r 1

r

u

wv

p

ij

)z,y,x(ww)z,y,x(vv)z,y,x(uu

===

kwjviuwvuprrrrrr

⋅+⋅+⋅=++=

Relativna deformacija:promjena udaljenosti među točkama podijeljena s početnom duljinom

Pomaci točke prikazani preko komponenti:

Ukupan pomak točke:

Apsolutna deformacija dužine AB:promjena razmaka među promatranim točkama tijela

Relativna deformacija: normalna i posmična

2.2. Pomaci i deformacije

∆l/2∆l/2 lx

Crtež. Deformiranje štapa izloženog djelovanju uzdužne sile

lx - početna duljina štapa

∆lx - produljenje (apsolutna deformacija)

Relativna normalna deformacija

x

xxx l

l∆=ε

Relativna normalna deformacija

Normalno naprezanje izaziva samo promjenu duljine štapa → nema promjene kuta među slojevima koji se pomiču.

Relativna normalna deformacija je bezdimenzionalna veličina najčešće izražena u %.Obično pozitivna vrijednost označava povećanje, a negativna smanjenje dužine.

Pravokutna ploča zglobnim ležajevima vezana s podlogom, opterećena posmičnom silom

Crtež. Deformiranje pravokutne ploče izložene posmičnoj sili

Ploča se posmično deformira - međusobno klizanje horizontalnih slojeva i promjena kuta

među stranicama.

Relativna posmična (kutna) deformacija predstavlja relativnu promjenu kuta među stranicama u odnosu na početni pravi kut.

y

xxy l

utg =γ≈γ

Relativna posmična deformacija

Pozitivnoj vrijednosti odgovara smanjenje pravog kuta, a negativnoj povećanje.

ux

ly

Veza između relativnih deformacija i pomaka u ravnini

u

A x

y

A’

dx

dy

dxxuu ⋅

∂+

B’

D’

C’

B0

d xxv

⋅∂

v

CD

α

β

xu

∂∂

Relativna promjena pomaka ″u″ u x smjeru:

xu

dx

udxxuu

xx ∂∂

=−

∂∂

+=ε

yv

dy

vdyyvv

yy ∂∂

=−

∂∂

+=ε

yutan

∂∂

=β

Normalna deformacija:

Analogno je:

xv

1xv

dxxudx

dxxv

tanxx ∂

∂≈

ε+∂∂

=

∂∂

+

∂∂

=α za εxx<<1

Posmična deformacija (ukupna promjena kuta):yu

xvtantanxy ∂

∂+

∂∂

=β+α=γ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=ε=εyu

xv

21

yxxy

Relativne normalne deformacije u prostoru:

zw;

yv;

xu

zzyyxx ∂∂=ε

∂∂=ε

∂∂=ε

zw

zu;

zy

yw;

yu

xv

zxyzxy ∂∂

+∂∂

=γ∂∂

+∂∂

=γ∂∂

+∂∂

=γ

Relativne posmične deformacije u prostoru:

Tenzor deformacija u prostoru:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

εεεεεεεεε

ε

Vrijedi uzajamnost posmičnih deformacija: 3,2,1j,i,jiij =ε=ε

.

(u smjeru koordinatnih osi)

(u koordinatnim ravninama)

zxzxyzyzxyxy 21;

21;

21

γ=εγ=εγ=ε

Veza između relativnih deformacija i pomaka u prostoru

U slučaju slobodnog pomicanja konstrukcije može doći do translacijskih pomaka irotacija, ali pri tome ne dolazi do deformacije konstrukcije. Deformacija se događa samo u uvjetima spriječenih pomaka odnosno rotacija. Primjer translatornog pomaka (nema deformacija):

δ t

Primjer rotacijskog pomaka (nema deformacija):

θ

Priroda materijala određena je tehničkim i ostalim svojstvima.

Tehnička svojstva materijala su: čvrstoća, tvrdoća, deformabilnost, krutost, krtost,

dinamička čvrstoća, elastičnost, plastičnost, ...

Čvrstoća je iznos naprezanja neposredno pred razaranje. Razlikujemo aksijalnu čvrstoću

(tlačnu i vlačnu) i posmičnu čvrstoću.

Tvrdoća je otpornost tijela (materijala) prodiranju drugih tijela.

Deformabilnost (aksijalna i posmična) je svojstvo materijala da pri naprezanju trpi

deformacije bez razaranja.

Krutost je svojstvo materijala da se pri naprezanju opire deformiranju.

Krtost je svojstvo materijala da se ne odupire udarnome naprezanju (udaru).

Ciklička čvrstoća je granično cikličko naprezanje koje materijal može izdržati.

3. SVOJSTVA MATERIJALA

Elastičnost je svojstvo materijala da nakon otklanjanja naprezanja u cijelosti vrati svoj

prvotni oblik.

Plastičnost je svojstvo materijala da pri određenom naprezanju trenutno poprima

deformacije bez povećanja naprezanja.

Puzanje (tečenje) je svojstvo materijala da pri vremenski stalnom naprezanju doživljava

prirast deformacija tijekom vremena.

Gustoća je količina materije po jedinici volumena.

Homogenost, izotropnost, ortotropnost, anizotropnost

Ostala važna svojstva: toplinska i električna provodljivost, boja, korozivna otpornost,

zavarljivost, ugradljivost, ...

Vrste materijala: kamen, drvo, opeka, beton, metali, plastici, ...

( ) ( )ij1ijijij f,f σ=εε=σ - funkcionalna veza između naprezanja i deformacija

Određuje se eksperimentalno ispitivanjem uzoraka izrađenim od određenog materijala.

Pokusi: rastezanje, pritisak, posmik, torzija, savijanje.

Pretpostavke: uzorak je od neprekinutog, homogenog i izotropnog materijala.

Osnovni oblik ispitivanja pri statičkom opterećenju – rastezanje (vlačni pokus).

4. VEZE IZMEĐU NAPREZANJA I DEFORMACIJA

4.1. Eksperimentalni podaci

• između točaka O i P: dijagram je pravac (sila F i produljenje ∆l linearno su ovisni)

• do točke E: deformacije su elastične (potpuno iščezavaju nakon rasterećenja)

• nakon točke E: u uzorku se, osim elastičnih,javljaju i trajne ili plastične deformacije

• u točki T: nastaje tečenje (popuštanje) materijala - deformacije rastu bez povećavanja opterećenja

• nakon točke T: nakon stanja tečenja dolazi do ojačanja materijala (materijal ponovno dobiva sposobnost da se opire djelovanju opterećenja)

• do točke M: sila se povećava sve do točke M, povećava se deformacija uzorka. U točki M sila prima maksimalnu vrijednost Fmax.

• nakon točke M: nastaje iscrpljenost materijala, deformacija uzorka raste uz smanjenje sile F

• u točki L: raskid uzorka.

Karakteristične točke dijagrama:

• σP – granica proporcionalnosti – najveće naprezanje do kojeg vrijedi linearna ovisnostizmeđu naprezanja i deformacija

• σE – granica elastičnosti – najveće naprezanje do kojeg se materijal ponašaelastično (nakon rasterećenja uzorak se vraća u prvobitni oblik)

• LPσ – granica tečenja (popuštanja) - naprezanje pri kojem deformacije rastu bez porastaopterećenja

• σM – vlačna čvrstoća – naprezanje koje odgovara najvećem opterećenju kojeguzorak može izdržati

• σL – granica loma – prijelomno naprezanje, raskid uzorka

≈

P

P

A

l0

E

E

σ

σσ

σ

σ σσt

ε ε

ε

L

Pl PlPLP

i

E

E∆

σ

δ

εP εe

ε

Da bi se dobio dijagram koji karakterizira mehanička svojstva materijalaneovisno o apsolutnim dimenzijama uzorka, dijagram rastezanja F-∆ltransformira se u koordinatni sustav σ-ε.

Ostale veličine:

• E - modul elastičnosti (Young-ov modul) - koeficijent proporcionalnosti izmeđunaprezanja i deformacija

• Et - tangentni modul (Et<E) - pojavljuje se nakon granice proporcionalnosti, porastomnaprezanja opada Et

• Ukupna deformacija: ε = εe + εP

• Relativno produljenje pri raskidu: δ = (lL-l0) / l0 x100%

Duktilni materijali (žilavi) δ > 5% (meki čelik, bakar) - znatne plastične deformacije

prije raskida uzorka

Krhki materijali δ < 5% (kamen, staklo, lijevano željezo) - raskid bez pojave znatnijih

plastičnih deformacija

Potpuni σ-ε dijagram za čelik, aluminij i beton

σσ σ

εεε

P

P P

σ − ε dijagram za čelikσ − ε dijagram za aluminij σ − ε dijagram za beton

σ σ σ

Vlačni test - čelik Tlačni test - beton

εP = - ν ε (uzdužne i poprečne deformacije su suprotnog predznaka)

l

∆l

νε/2 νε/2

Izotropni materijali 0 ≤ ν ≤ 0.5

Svi materijali u plastičnom području ν = 0.5

Čelik ν = 0.3, beton ν ≈ 0.17

Granične vrijednosti: guma (ν = 0.5), pluto (ν = 0.0)

4.2. Hook-eov zakon, konstante elastičnosti materijala

Hook-eov zakon za jednoosno stanje naprezanja

σ = E ⋅ ε

Iz σ-ε dijagrama: tg α = σ / ε = E

Vrijedi za jednoosno stanje naprezanja do granice proporcionalnosti.

Poisson-ov koeficijent νApsolutna vrijednost omjera između relativne poprečne i relativne uzdužne deformacije.

Hook-eov zakon pri posmiku

( ) γ⋅=γ⋅ν+

=τ G12E

G - modul posmika

(veza između posmičnih naprezanja i deformacija)

Konstante elastičnosti materijala:

E - modul elastičnostiG - modul posmikaν - Poisson-ov koeficijent

( ) MPa10808,03,012

101,2G,30,0,MPa101,2E 55

5 ⋅=+⋅

==ν⋅=

( ) MPa10508,116,012

105,3G,16,0,MPa105,3E 44

4 ⋅=+⋅

==ν⋅=

Hladno valjani čelik:

Beton (prosječno):

Naprezanje i deformacije u prostoru:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

εεεεεεεεε

,στττστττσ

εσ

Generalizirani Hook-eov zakon:

D – matrica konstanti elastičnosti

Potpuna veza naprezanja i deformacija u prostoru:

( )( )

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

εεεεεε

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ν−ν−

ν−ν−νν

νν−νννν−

ν−ν+=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

τττσσσ

zx

yz

xy

zz

yy

xx

zx

yz

xy

z

y

x

210000002100000021000000100010001

211E

εDσ ⋅=

4.3. Potpuna veza naprezanja i deformacija

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

εεε

⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ν−ν

ν

ν−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

τσσ

xy

yy

xx

2

xy

y

x

1000101

1E

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

τ⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ν+ν−

ν−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ε xy

y

x

xy

yy

xx

σσ

1000101

E1ε

ε

εDσ r ⋅= σDε 1r ⋅= −

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

εεε

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

τσσ

=

xy

y

x

xy

y

x

, εσ

Naprezanje i deformacije u ravnini:

Potpuna veza naprezanja i deformacija (ravninsko stanje naprezanja):

4.4. Zakon superpozicije

Pretpostavke: elastično, homogeno, izotropno tijelo → linearna ovisnost opterećenja, naprezanja, deformacija i pomaka

U nekoj točki ravninskog stanja 1. opterećenje 1

111 σDεσ ⋅=→ −

2. opterećenje 222 σDεσ 1 ⋅=→ − Ukupno ( )2121 , σσDεσσσ 1 +⋅=+= −

Uvjet: σ u granicama proporcionalnosti Zakon superpozicije: Stanje naprezanja (deformacija i pomaka) zbog zbroja dvaju ili više stanja opterećenja jednako je zbroju dvaju ili više stanja naprezanja (deformacija i pomaka) izazvano s dva ili više stanja opterećenja. Zakon superpozicije za jednoosno stanje naprezanja

σ1

σ2

σσ

σ

σ

2

1

l

σ1

σ2

σσ

σ2

1

E

E2

2

11

σε

σε

=

=

( )212121 σσE1εεε,σσσ +⋅=+=+=

ALNOSTIPROPORCIONσσ ≤

4.5. Saint Venantov princip

Ako zadano opterećenje zamijenimo sa statički ekvivalentnim opterećenjem, stanje naprezanja, deformacija i pomaka razlikuje se na relativno malom dijelu elastičnog tijela, upravilu u blizini djelovanja opterećenja. U presjecima dovoljno udaljenim od mjestadjelovanja opterećenja razlike su neznatne te se mogu zanemariti.

1

1

1

1a

σ= P/a

P

1

1

1

1a

= P/a

P

R

AσA

σ (1) (2)

(1) (2)

R

A

R

σ

A (1) (2) σ σA A

(1) (2)=

(1) (2)

4.6. Volumenska dilatacija

σ

σ

σ

3

2

1

σ

σ

σ

3

2

1

σ1, σ2, σ3 - glavna naprezanja

( )

( )

( )2133

1322

3211

σσσE1ε

σσσE1ε

σσσE1ε

ν−ν−=

ν−ν−=

ν−ν−=

dx1, dx2, dx3 - bridovi paralelepipeda u smjeru glavnih deformacija

Volumen prije deformacije:dV = dx1 dx2 dx3

Volumen nakon deformacije: dV1 = (1+ε1) (1+ε2) (1+ε3) dx1 dx2 dx3

Relativna promjena volumena - volumenska deformacija:

εV = (dV1-dV) / dV = (1+ε1) (1+ε2) (1+ε3) -1

Zanemarimo li beskonačno male veličine višeg reda:

εV = ε1 + ε2 + ε3

ili εV = ε1 + ε2 + ε3 = εxx + εyy + εzz = G1

G1 - prva invarijanta deformacija

Volumenska deformacija jednaka je zbroju normalnih deformacija na glavnim osima.

Dužinska deformacija zbog utjecaja temperature:

εt = α ∆T

α - koeficijent linearnog toplinskog rastezanja - jedinica K-1 (Kelvin-1)

Ukupna deformacija u promatranoj točki tijela:

( )[ ]

( )[ ]

( )[ ] TE1

TE1

TE1

yxzzz

xzyyy

zyxxx

∆α+σ+σν−σ=ε

∆α+σ+σν−σ=ε

∆α+σ+σν−σ=ε

zxzx

zx

yzyz

yz

xyxy

xy

E1

G2

E1

G2

E1

G2

τν+

=τ

=ε

τν+

=τ

=ε

τν+

=τ

=ε

4.7. Utjecaj temperature

5. KOEFICIJENTI SIGURNOSTI I DOPUŠTENO NAPREZANJE

Nosivost konstrukcije je sposobnost konstrukcije da prenese određeno opterećenje.

Razlikujemo nosivost u odnosu na određeni kriterij (nosivost pri slomu, nosivost na granici

elastičnog ponašanja, ...

Deformabilnost konstrukcije je svojstvo konstrukcije da pod djelovanjem opterećenja

promijeni svoj oblik. Promjena oblika je ograničena uporabljivošću konstrukcije.

Uporabljivost može biti u odnosu na progibe, zakrivljenost, nagibe, pukotine.

Granično opterećenje je maksimalno opterećenje koje konstrukcija može preuzeti, a da ne

bude prekoračen zadani kriterij. Razlikujemo granično opterećenje pri slomu, granično

opterećenje na granici elastičnosti, granično opterećenje za uporabljivost, ...

Radno (stvarno) opterećenje je opterećenje koje se očekuje da će se pojaviti na

konstrukciji.

Lokalni koeficijent sigurnosti je kvocijent granične sile (naprezanja) i radne sile

(naprezanja).

Globalni koeficijent sigurnosti je kvocijent graničnog opterećenja i radnog opterećenja.

Globalni koeficijent sigurnosti k raščlanjuje se na parcijalne koeficijente sigurnosti ki, od

kojih svaki izražava utjecaj jednog od faktora na konstrukciju.

k = k1 ⋅ k2 ⋅ k3 ⋅ ...

Parcijalni koeficijent sigurnosti je recipročan vjerojatnosti otkazivanja po određenom

parametru ili skupini parametara.

Koeficijent sigurnosti je uvijek veći od 1.

Važnost izbora koeficijenta sigurnosti: premali koeficijent - konstrukcija nije u stanju

ispunjavati uvjete uporabe, previsok koeficijent - neekonomična konstrukcija.

Izbor koeficijenta sigurnosti ovisi o:

- vrsti materijala konstrukcije

- veličini i karakteru opterećenja koje može djelovati na konstrukciju, a uvjetovano je

namjenom građevine (stambeni, industrijski, sportski, ...) i lokacijom objekta ( seizmičko

opterećenje, opterećenje snijegom i vjetrom).

Grublja procjena veličine i karaktera opterećenja → veći koeficijent sigurnosti.

Praktična ilustracija koeficijenta sigurnosti

δ

φFFFFFF FFFFFFF F1 2 4

AB

Radno opterećenje: F1 = 1.0 MN; F2 = F3 = F4 = 0.5 MN

Granično opterećenje:

- pri slomu F1 = 2.5 MN; F2 = F3 = F4 = 1.25 MN

- na granici elastičnog ponašanja F1 = 2.0 MN; F2 = F3 = F4 = 1.0 MN

- pri graničnim pomacima δ F1 = 1.5 MN; F2 = F3 = F4 = 0.75 MN

Globalni koeficijenti sigurnosti:

- protiv sloma k = 2.5 / 1.0 = 2.5

- protiv pojave graničnih pomaka k = 1.5 / 1.0 = 1.5

Lokalni koeficijenti sigurnosti:

Radne sile u presjecima A i B:

MAR, TAR, NAR, MBR, TBR, NBR

Sile na granici elastičnosti:

MAE, TAE, NAE, MBE, TBE, NBE

Lokalni koeficijenti sigurnosti:

kA = MAE / MAR

kB = MBE / MBR

Kod linearno elastičnih materijala i konstrukcija vrijedi:

kGLOB = max kLOK

Kod nelinearnih materijala i konstrukcija vrijedi:

kGLOB > max kLOK

Parcijalni faktori sigurnosti (lokalni i globalni)

Vjerojatnost pojave graničnog opterećenja pri slomu v=0.70 → koeficijent sigurnosti na

pojavu slomnog opterećenja kPARC = 1 / 0.70 = 1.42.

Kritično naprezanje σK - naprezanje kod kojeg konstrukcija dolazi u neželjeno stanje

(stanje loma ili pojava trajnih deformacija)

Dopušteno naprezanje σdop - naprezanje pri kojemu smo sigurni da materijal neće doći u

neželjeno stanje, tj. ne može doći do loma materijala ili pojave trajnih deformacija nazivamo

dopuštenim naprezanjem.

σdop = σK / k

Elastoplastični materijal Krhki materijal

7. SMICANJE (ODREZ)7.1. Čisti posmik

σ

τ

τ

τ

σ

a

b

c

d

a1

b1

c1

d1 0

π/2 + γπ/2 − γ

τ

x x

σ

σ

y

y

a

b

c

d

a1

b1

c1

d1 0

π/2 + γπ/2 − γ

Čisti posmik - 0,0 =σ≠τ

Čisti posmik ekvivalentan je istodobnom rastezanjui pritisku s jednakim intenzitetom u međusobno okomitim smjerovima.

σ=σ=σ yx

Posmična naprezanja ne mijenjaju volumen većsamo oblik tijela.

GAaT

⋅⋅

=δ

Mjera posmične deformacije je kut relativnog smicanja γ.Za posmične deformacije u ravnini xy: γ = 2εxy

Apsolutni pomak uslijed smicanja

Posmično naprezanje:

γ⋅==τ GAT

GAT⋅

=γ

GAT

atg

⋅=

δ=γ≈γ

A⋅G – posmična krutost

Srednja vrijednost posmičnih naprezanja

AT

=τ

Uvjet čvrstoće za elemente opterećene na smicanje dopAT

τ<=τ

7.2. Proračun elemenata opterećenih na smicanje (odrez)

Sila koja pripada jednoj zakovici: nFF1 =

- Zakovica je opterećena na smicanje u presjeku 1-1.

- Na trup zakovice djeluje bočni površinski pritisak.

- U presjeku oslabljenom s rupama za zakovice može doći do raskida ploče.

- U krajnjem dijelu ploče, između njezina kraja i zakovice može doći do smicanja.

Analiza naprezanja u spoju s vijcima (zakovicama) – jednorezni spoj

Površina smicanja

Bočni površinski pritisak

Uvjeti čvrstoće:

(1) Na smicanje zakovice dop21

4dF

τ≤π

=τ

(2) Na bočni površinski pritisak između trupa zakovice i ploče dop01

0 tdF

σ≤⋅

=σ

σ0 dop – dopušteni bočni površinski pritisak

Bočni površinski pritisak

Površina smicanja

Površina smicanja

Uvjeti čvrstoće:

(3) Na rastezanje ploče u presjeku oslabljenom s rupama za zakovice (m – broj rupa u

promatranom presjeku)

( ) dopdmbtF

σ≤⋅−

=σ

(4) Na smicanje u krajnjem dijelu ploče dop1

t2dc2

Fτ≤

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=τ

b

Uvjet čvrstoće na smicanje zakovice: dop2

4dn2

Fτ≤

π=τ

n – broj zakovica s jedne strane spoja

Bočni površinski pritisak: dop00 tdnF

σ≤⋅⋅

=σ

Analiza naprezanja u spoju s vijcima (zakovicama) – dvorezni spoj

Površine smicanja

• Materijalno tijelo, materijalni lik, materijalna crta - prostor D ispunjen materijalnim česticama

• Gustoća ρρρρ - količina materijalnih čestica po jedinici prostora

• Elementarna (diferencijalna) masa – produkt gustoće i elementa prostora D, dDdm ⋅ρ=

• Masa tijela – zbroj svih elementarnih masa u prostoru D, ∫∫ ⋅ρ==DD

dDdmM

• Sila težine – sila kojom Zemlja privlači materijalno tijelo mase M, dDgMgGD

⋅ρ⋅=⋅= ∫

• Središte masa ili težište – točka hvatišta sile težine. Nalazi se na sjecištu dviju ili više težišnica. Težišnica predstavlja pravac na kojem djeluje sila težine.

Pri zaokretanju materijalnog tijela središte masa ostaje na istome mjestu, dok se za svaki novi položaj uspostavlja nova težišnica. Ova činjenica se koristi za određivanje središta masa.

8. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAP OVA

8.1. Težina tijela, središte masa ili težište

Moment sile težine tijela G na bilo koju točku prostora jednak je sumi momenata elementarnih težina tijela dG na istu točku prostora.

GrGdrM T

D

0 ×=×= ∫

( ) ( ) eGkzjyixedGkzjyix TTTD

⋅×⋅+⋅+⋅=⋅×⋅+⋅+⋅∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ekGzejGyeiGxekdGzejdGyeidGx TTTDDD

×⋅+×⋅+×⋅=×⋅+×⋅+×⋅ ∫∫∫

GzdGz,GydGy,GxdGx TD

TD

TD

⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅ ∫∫∫

Koordinate težišta tijela: G

dGz

z,G

dGy

y,G

dGx

x DT

DT

DT

∫∫∫ ⋅

=

⋅

=

⋅

=

Analitičko određivanje koordinata težišta:

Težište volumena Homogeno tijelo ρ=const., dVgdG ⋅ρ⋅= , VgdVgG

V

⋅ρ⋅=⋅ρ⋅= ∫

V

dVx

x VT

∫ ⋅

= ; V

dVy

y VT

∫ ⋅

= ; V

dVz

z VT

∫ ⋅

=

Težište površine Homogena ploča (ρ=const.) deb. t, dAtgdG ⋅⋅ρ⋅= , AgdAtgG

A

⋅ρ⋅=⋅⋅ρ⋅= ∫

A

dAx

x AT

∫ ⋅

= ; A

dAy

y AT

∫ ⋅

= ; A

dAz

z AT

∫ ⋅

=

Težište linije Homogeno tijelo (ρ=const.) vrlo malih poprečnih dimenzija u odnosu na duljinu

dsAgdG ⋅⋅ρ⋅= , sAgdsAgGs

⋅⋅ρ⋅=⋅⋅ρ⋅= ∫

s

dsx

x sT

∫ ⋅

= ; s

dsy

y sT

∫ ⋅

= ; s

dsz

z sT

∫ ⋅

=

Težište složenih tijela

Homogeno tijelo (ρ=const.) se sastoji od n pravilnih dijelova čija su težišta poznata.

Koordinate težišta tijela

Volumen Površina Linija

Tx

V

Vxn

1ii∑ ∆⋅

A

Axn

1ii∑ ∆⋅

S

sxn

1ii∑ ∆⋅

Ty

V

Vyn

1ii∑ ∆⋅

A

Ayn

1ii∑ ∆⋅

S

syn

1ii∑ ∆⋅

Tz

V

Vzn

1ii∑ ∆⋅

A

Azn

1ii∑ ∆⋅

S

szn

1ii∑ ∆⋅

∑∆=n

1iVV ∑∆=

n

1iAA ∑∆=

n

1isS

8.2. Stati čki momenti i momenti tromosti (inercije) ravnih pre sjeka

Statički momenti presjeka površine A s obzirom na osi z i y

∫ ⋅=A

z dAyS ∫ ⋅=A

y dAzS

Na osnovu teorema o jednakosti momenta sile i momenata njezinih komponenti:

Tz yAS ⋅= Ty zAS ⋅=

∫=A

dAA - površina poprečnog presjeka.

Statički moment presjeka s obzirom na bilo koju os jednak je produktu površine popre čnog presjeka i pripadaju će koordinate težišta.

Za bilo koju težišnu os statički moment presjeka jednak je nuli.

Aksijalni momenti tromosti (inercije)presjeka s obzirom na osi z i y:

∫ ⋅=A

2z dAyI ∫ ⋅=

A

2y dAzI

Centrifugalni moment tromosti (inercije)presjeka s obzirom na osi z i y:

∫ ⋅⋅=A

zy dAyzI

Polarni moment tromosti (inercije) presjeka s obzirom na pol O:

∫ ⋅ρ=A

2P dAI

222 yz +=ρ

∫∫∫ ⋅+⋅=⋅+=A

2

A

2

A

22P dAydAzdA)yz(I

yzP III +=

Zbroj aksijalnih momenata tromosti u odnosu na dvij e međusobno ortogonalne osi jednak je polarnom momentu tromosti u odnosu na pol koji se nalazi na sjecištu koordinatnih osi.

Dimenzija momenata tromosti [l4]

Predznaci: Iz, Iy, Ip su uvijek pozitivniIzy može biti manji, jednak ili veći od nule

dA

y

z

y

A

z

I >0zy

dAy

z

yA

z

I <0zy

Ako je bar jedna od koordinatnih osi os simetrije presjeka → centrifugalni moment tromosti

s obzirom na te osi je jednak nuli.

dAy

z

y

z

dA-y

z

Elementarni centrifugalni momenti tromosti za simetrično raspređene površine dA u odnosu na os z dAyzdIzy ⋅⋅= su suprotnog

predznaka.

Zbroj para elementarnih površina = 0

→ Izy = 0

dA

y

y1

A

z

T

O

z

y

y1

a

b

ρ

Momenti tromosti obzirom na koordinatne osi z i y koje prolaze težištem presjeka T:

∫ ⋅=A

2z dAyI ; ∫ ⋅=

A

2y dAzI ; ∫ ⋅⋅=

Azy dAyzI

Momenti tromosti obzirom na koordinatne osi z1 i y1 paralelne s osima z i y:

∫ ⋅=A

21z dAyI

1 ; ∫ ⋅=

A

21y dAzI

1; ∫ ⋅⋅=

A11yz dAyzI

11

ayy;bzz 11 +=+= →→→→ ∫∫∫∫∫ ⋅++⋅=⋅+=⋅=AA

2

A

2

A

2

A

21z dAya2dAadAydA)ay(dAyI

1

zA

SdAy =⋅∫ statički moment presjeka u odnosu na težišne osi = 0 →→→→

8.3. Promjena momenta tromosti pri translaciji koord inatnog sustava

AaII 2zz1

+= AbII 2yy1

+= AbaII zyyz 11⋅⋅+=

Steiner-ovo pravilo za momente tromosti s obzirom n a paralelne osi:

Aksijalni moment tromosti presjeka s obzirom na zad anu os jednak je zbroju momenata tromosti s obzirom na paralelnu te žišnu os i produkta površine presjeka i kvadrata udaljenosti zadane i te žišne osi.

Steiner-ovo pravilo za centrifugalni moment tromost i:

Centrifugalni moment tromosti presjeka s obzirom n a zadani pravokutni koordinatni sustav jednak je zbroju centrifugalnog momenata tro mosti s obzirom na paralelni te žišni koordinatni sustav i produkta površine presjeka i k oordinata te žišta presjeka u zadanome pravokutnome koordinatnom sustavu.

AaII 2zz1

+= AbII 2yy1

+=

AbaII zyyz 11⋅⋅+=

dA

y

y1

A

z

T

O

z

y

y1

a

b

ρ

Polarni moment tromosti obzirom na pol O 1:

A)ba(IIIIdAI 22yzyz

A

21P 111

+++=+=⋅ρ= ∫

2220 ba +=ρ

→→→→ AII 20Pp1

ρ+=

Polarni moment tromosti presjeka ima najmanju vrijednost ako je pol u težištu.

dA

y

y1

A

z

T

O

z

y

y1

a

b

ρ

AaII 2zz1

+=

AbII 2yy1

+=

Od svih momenata tromosti s obzirom na skup paralelnih osi, najmanju vrijednost ima moment tromosti s obzirom na os koja prolazi težištem.

AII 20Pp1

ρ+=

9.6. Polumjer tromosti

dA

yy =is z

z z

y y

A A

zz =is y

AidAidAidAydAyI 2z

A

2z

A

2z

A

2s

A

2z ===== ∫∫∫∫

AidAidAidAzdAzI 2y

A

2y

A

2y

A

2s

A

2y ===== ∫∫∫∫

Polumjeri tromosti presjeka iz, iy : A

Ii,

A

Ii y

yz

z ==

Glavni polumjeri tromosti iu, iv : A

Ii,

A

Ii v

vu

u ==

9. SAVIJANJE RAVNIH ŠTAPOVA

Čisto savijanje – savijanje štapa u slučaju kada se u poprečnim presjecima pojavljuje samo moment savijanja.

Poprečno savijanje ili savijanje silama – savijanje štapa u slučaju kada se u poprečnim presjecima pojavljuje poprečna sila i moment savijanja.

Obično ili ravno savijanje – ravnina djelovanja momenta savijanja se poklapa s jednom od glavnih središnjih osi tromosti poprečnog presjeka štapa. Tada se štap savija u ravnini djelovanja momenta savijanja.

Koso savijanje – ravnina djelovanja momenta savijanja ne poklapa se ni s jednom od glavnih središnjih osi tromosti presjeka. Ravnina savijanja ne podudara se s ravninom djelovanja momenta savijanja.

P

a

la

P

c

-

+Tx

Mx +

Čisto savijanje i savijanje silama

A

lM

Tx

-Mx

Čisto savijanje

Čisto savijanje ravnog štapa konstantnog poprečnog presjeka od Hookeovog materijala (homogen, izotropan, elastičan)

9.1. Čisto savijanje

Uvjeti ravnoteže:

0dAT;0F

0dAT;0F

0dAN;0F

Axzzz

Axyyy

Axx

=∫ τ=∑ =

=∫ τ=∑ =

=∫σ=∑ =

0dAyM;0M

MdAzMM;0M

0dA)zy(MM;0M

Axzz

Axsyy

Axyxztxx

=∫σ=∑ =

=∫σ==∑ =

=∫ τ−τ==∑ =

Kako je 0MTT xzy === → 0dAy;MdAz;0dAA

xA

xA

x =∫σ=∫σ=∫σ

Nepoznat zakon raspodjele naprezanja σx

Bernoullieva hipoteza ravnih poprečnih presjeka – ravni poprečni presjeci pri deformaciji štapa ostaju ravni i okomiti na savijenu os štapa.

Uzdužna vlakna na konveksnoj strani se izdužuju

Uzdužna vlakna na konkavnoj strani se skraćuju

Neutralni sloj - sloj čija se vlakna ne produžuju niti

skraćuju

Presječnica neutralnog sloja i ravnine poprečnog

presjeka – neutralna os presjeka

Uzdužna deformacija: AB

ABBA 11xx

−=ε

Duljina vlakna prije deformacije:

ϕρ==== d'B'AdxBAAB 0000

Duljina vlakna nakon deformacije: ϕ+ρ= d)z(BA 11

ρ=

ϕρϕρ−ϕ+ρ=ε z

d

dd)z(xx

Naprezanje u uzdužnim vlaknima:

zE

Exxx ρ=ε=σ

Uvjeti ravnoteže u presjeku:

(1) 0dAz0dAzE

dAzE

dAAAAA

x =⇒=ρ

=ρ

=σ ∫∫∫∫

Statički moment površine je jednak nuli.

→ Neutralna os prolazi težištem poprečnog presjeka.

(2) zyAAA

x I0dAyz0dAyzE

dAy ==⇒=ρ

=σ ∫∫∫

z, y – gl. središnje osi tromosti

(3) MI

E

IdAzMdAzE

dAz

y

yA

2

A

2

Ax

=ρ

=→=ρ

=σ ∫∫∫

yEI

M1 =ρ

elasti čna ili progibna linija štapa(zakrivljenost neutralnog sloja)

Normalno naprezanje u svakoj točki presjeka:

zEIE

Mz

EE

yxxx =

ρ=ε=σ

zI

M

yx =σ

Mjesta najvećih naprezanja su u najudaljenijim vlaknima.

Normalna naprezanja su na neutralnoj osi jednaka nuli 0x =σ .

Moment otpora:

z

IW y

y =

Normalna naprezanja xσ u svakoj to čki popre čnog presjeka :

yx W

M=σ

yEI

M1 =ρZakrivljenost neutralnog sloja:

Dijagram normalnih naprezanja xσ za bilo kakav presjek s horizontalnom osi simetrije:

Presjek s horizontalnom osi simetrije y:

2h

z ±= → 2

h

I

M

yminmax,x ⋅±=σ

yy W

2hI

= → yminmax,x W

M±=σ

yminxmaxx W

M=σ=σ

Pravokutni presjek:

12

hbI

3

y =

2minmax,xhb

M6⋅±=σ

y

zb

h 6

hb

2h

IW

2y

y ==

yx W

Mminmax,

±=σ

Prostorni dijagram naprezanja za pravokutni presjek:

Okrugli presjek:

64

dI

4

y

π=

π⋅±=σ3maxx

d

M32

z

y

d

yx W

Mminmax,

±=σ

32

dW

3

y

π=

Naprezanje kod nepravilnog presjeka:

s

z

h1

h2

y

1max hz = , 2min hz −= :

1y

maxx hI

M=σ

2y

minx hI

M−=σ

Raspodjela normalnih naprezanja u poprečnom presjeku ne ovisi o obliku poprečnog presjeka.

Prostorni dijagram normalnih naprezanja za T presjek

Slučaj savijanja kada u proizvoljnom presjeku štapa djeluje moment savijanja i poprečna sila. Naprezanja u presjeku :

9.2. Opće savijanje štapova

Normalna σx

Posmična τxz, τzx

P1 P2 P3

xs s

3 3

1 2

d xx

A B

1 2M+ dM

T

sa

b

Z

M

T

b’

a

dx

s‘τxy

τyxσx

σx

dσxτyx

h/2

h/2B B’

τ τ

τ

b b‘

a

N+ dN

d x

a‘b

a a‘N

σσ

bI

ST

y

yzxz ⋅

⋅=τ

Posmično naprezanje:

Tz – poprečna sila u presjeku

Sy – statički moment površine odrezanog dijela presjeka s obzirom na neutralnu os

Iy – aksijalni moment tromosti cijelog presjeka

b – širina poprečnog presjeka

zx

xz

x dx

Tz Tz

My My+dMy

x

σx σx+dσx

τxz

τxz

τzx

x dx

zx

x

A1b

s

A

Z Z1

T/A

τmax = 32

H/2

H/2

)z4

h(

2

b

2

z2h

)z2

h(bS 2

2

y −⋅=+

⋅−⋅=

)z4

h(

bh

T6

bI

ST 22

3z

y

yzxz −==τ

A

T

2

3

bh

T

2

3 zzmaxxz ⋅=⋅=τ

Pravokutni presjek:

2

h

2

h

A

T

2

3 zmaxxz =τ

A

Tz

Kružni presjek:

τ r

224

z zrr

T

3

4 −π

=τ

A

T

3

4 zmax ⋅=τ

Raspodjela posmičnih naprezanja u I presjeku: zx

bI

ST

y

yzxz ⋅

⋅=τ

Raspodjela naprezanja u T presjeku

x

z

y

9.3. Glavna naprezanja i trajektorije glavnih naprez anja

Naprezanja pri savijanju silama:

zI

M

y

yx =σ bI

ST

y

yzxz =τ

Ravninsko stanje naprezanja

zxxz τ=τ 0z =σ

Glavna naprezanja:2

xz2

xx

minmax,2,1 42

1

2τ+σ±σ=σ=σ

ττττxz

σ2

σ2

σ1

σ1

σσσσxσσσσx

ττττxz

;

Smjerovi glavnih naprezanja:

x

xz0

22tg

στ=ϕ

1

xz10tg

στ=ϕ

2

xz20tg

στ=ϕ

ili

,

Ekstremna posmična naprezanja: 2xz

2x

21minmax,2,1 4

2

1

2τ+σ±=σ−σ±=τ=τ

(u presjecima nagnutima pod 45° prema smjerovima gl. naprezanja)

Trajektorije glavnih naprezanja

Međusobno okomite krivulje, tangente kojih u svakoj točki imaju smjerove glavnih naprezanja.

Trajektorije: vlačne i tlačne

ττττxz

σ2

σ2

σ1

σ1

σσσσxσσσσx

ττττxz

;

l

q

.lq2

.lq2

-

+Tz

My +

Vlačne i tlačne trajektorije su međusobno okomite.

Trajektorije sijeku neutralnu os pod kutem 45°.

Trajektorije su okomite na gornji i donji rub nosača.

P

A Ba l-a a

P

-

+Tz

My +

a l-a a

P P

9.4. Koso savijanje

y

zx

PPz

Py

My

Mz

z

y

y

yzx W

M=σ

-

Tz

-My-

Ty

Mzz

zyx W

M=σ

zx

yxx σ+σ=σ

Koso savijanje: superpozicija- savijanja u ravnini xy- savijanja u ravnini xz

-

-

vlak

tlakz

y

tlak

vlak

12

3 4

N.O.

1σ

y

z

4σ

2σ

3σ

2

y

2z

1max bh

lP6

hb

lP6

⋅⋅⋅

+⋅

⋅⋅=σ=σ

,

2

y

2z

2 bh

lP6

hb

lP6

⋅⋅⋅

−⋅

⋅⋅=σ

2

y

2z

3min bh

lP6

hb

lP6

⋅⋅⋅

−⋅

⋅⋅−=σ=σ 2

y

2z

4 bh

lP6

hb

lP6

⋅⋅⋅

+⋅

⋅⋅−=σ

9.5. Savijanje s uzdužnom silom

NN MM

z

y+ =

yyM I

zM

W

M ⋅==σ

A

NN =σ

yminmax,2,1 W

M

A

N ±=σ=σ

N.O.

yM W

M=σ

vlak

tlak

A

NN =σ

vlak

vlak

1σ

2σ

vlak

tlak

9.6. Koso savijanje s uzdužnom silom

NNMy

z

yMy

MzMz

N.O.

z

z

y

ymax W

M

W

M

A

N ++=σ

z

z

y

ymin W

M

W

M

A

N −−=σ

z

z

y

y

W

M""

W

M""

A

N ++=σ

9.7. Proračun čvrsto će pri savijanju silama

Točke s najvećim naprezanjima:

a) Točka s σx → max

b) Točka s τxz → max

c) Točka s σ1, σ2 → max

Točka s naglim promjenama širine poprečnog presjeka, npr. spoj pojasa i rebra kod I presjeka

dopy

maxmaxx W

M σ≤=σ

dopy

maxymaxzmaxxz bI

STτ≤

⋅⋅

=τ

6. AKSIJALNO OPTEREĆENJE ŠTAPA

Aksijalno opterećen štap je štap opterećen samo uzdužnom silom N.

+ Rastezanje (vlak) → N u smjeru vanjske normale presjeka

- Pritisak (tlak) → N u smjeru suprotnom od smjera vanjske normale presjeka

Za štap promjenjive aksijalne krutosti: ∑= ⋅

⋅=∆n

1i ii

ii

AE

lNl

6.1. Rastezanje i pritisak ravnog štapaPretpostavke:• Štap od homogenog, izotropnog materijala• Hipoteza ravnih poprečnih presjeka• Naprezanja jednoliko raspodijeljena u poprečnim presjecima dovoljno udaljenim od krajnjih presjeka štapa

E – modul elastičnostiA – površina poprečnog presjeka

A

P

A

N

x

xx −==σ

AE

P

Ex

x ⋅−=σ=ε

dxdudx

duxx ε=→=ε

AE

xPdx

AE

Pdxu

x

0

x

0xx ⋅

⋅−=⋅⋅

−=⋅ε= ∫∫

AE

lPl

⋅⋅−=∆ → skraćenje štapa

Aksijalna krutost

Rastezanje ravnog štapa razlikuje se samo po predznaku

A

Px =σ ,

AE

lPl

⋅⋅=∆ → produženje štapa

xσ

Uzdužna sila u presjeku )xl(AN x −γ=

6.2. Utjecaj vlastite težine

Pretpostavke:• Štap od homogenog, izotropnog materijala• Hipoteza ravnih poprečnih presjeka

E – modul elastičnostiA – površina poprečnog presjekaγ - specifična težina materijala

AE2

lGl

⋅⋅⋅=∆

Težina štapa AlG γ= → )xl(l

GN x −=

l

xl

A

G

A

N

x

xx

−⋅==σ ; )xl(lAE

G

Ex

x −⋅⋅⋅

=σ=ε

−⋅

⋅⋅=⋅

⋅⋅−⋅= ∫ 2

xxl

lAE

Gdx

lAE

)xl(Gu

2x

0x

→ produženje štapa

Sile u štapovima: tlaktg

PS1 →

φ−= ; vlak

sin

PS2 →

φ=

6.3. Sustavi sastavljeni iz više štapova

Pomak točke B → rezultirajući pomak

Produljenja i skraćenja štapova:

→⋅⋅−=∆

1

111 AE

lSl skraćenje; →

⋅⋅=∆

2

222 AE

lSl produljenje

φ

6.4. Stati čki neodre đeni sustavi štapova

lba =+

Jednadžba ravnoteže:

)1(PRR ba =+Jednadžba kontinuiteta:

ba ∆=∆

AE

bRb;

AE

aRa ba

⋅⋅=∆

⋅⋅=∆

)2(Rb

aR ab =

Iz (1) i (2) slijedi:

PRb

aR aa =+

Pl

b

b

abP

b

a1

PRa ⋅=

+=

+=

Pl

aRb ⋅=

AE

bR

AE

aR ba

⋅⋅=

⋅⋅

6.5. Naprezanja uslijed temperaturnih djelovanja

l

∆t=t-t0

αt , E, A

Slobodan štap

Produljenje štapa:

( ) ltlttl t0tt ⋅∆⋅α=⋅−⋅α=∆

Dužinska deformacija zbog utjecaja temperature:

ttt ∆⋅α=ε

α - koeficijent linearnog toplinskog rastezanja - jedinica K-1

(Kelvin-1)

l

∆t=t-t0

αt , E, A

Kod statički određenih sustava nema temperaturnih naprezanja jer je deformiranje slobodno.

Kod statički neodređenih konstrukcija pojavljuju se sile i naprezanja pri promjeni temperature.

Pri porastu temperature štap bi se produljio za:

ltll ttt ⋅∆⋅α=⋅ε=∆Reakcije koje ne dopuštaju produljenje:

BA FF =Uvjet kompatibilnosti:

0lll Ft =∆−∆=∆

AE

lFlt A

t ⋅⋅=⋅∆⋅α

Reakcije oslonca:

AEtFF tBA ⋅⋅∆⋅α==Naprezanja u štapu:

EtA

Ft

A ⋅∆⋅α==σ

∆t > 0 – porast temperature, naprezanje tlačno∆t < 0 – pad temperature, naprezanje vlačnoZa istovremeno djelovanje opterećenja i porasta temperature: ( ) Et ⋅ε−ε=σ

Štap sa sprije čenim pomacima uzdu ž osi izlo žen promjeni temperature:

AF

BFBF

6.6. Koncentracija naprezanja

Pri nagloj promjeni poprečnog presjeka (u okolici utora ili otvora) u linearnom području ponašanja materijala dolazi do lokalnog povećanja naprezanja koje nazivamo koncentracija naprezanja .

Faktor koncentracije naprezanjaS

maxk σ

σ=α

(αk >1) pokazuje stupanj koncentracije. σmax – maksimalno naprezanje, σS – srednje naprezanje po oslabljenom presjeku

nS A

F=σ

An – površina oslabljenog presjeka

10. DEFORMACIJA RAVNOG ŠTAPA PRI SAVIJANJU

Elasti čna linija ili progibna linija nosa ča - deformirana (savijena) uzdužna os štapa

Zakrivljenost nosača kod čistog savijanja: Zakrivljenost krivulje (matematički izraz)

y

y

IE

M1 =ρ

23

2

2

2

dxdw

1

dx

wd1

+

±=ρ

Zanemarujemo 2

dx

dw

kao diferencijalno malu veličinu višeg reda.

10.1. Diferencijalna jednadžba elasti čne linije

y

y2

2

IE

M

dx

wd −=

ili y2

2

y Mdx

wdIE −=

Deriviranjem po x slijedi

z3

3

y Tdx

wdIE −=

)x(qdx

wdIE

4

4

y =

Diferencijalna jednadžba progibne linije

(približna, vrijedi kad su pomaci mali u odnosu na raspon nosača)

Mehaničko značenje matematičkih veličina:

xy

xwx

Progibnalinija

x

My1M

Tz Tz1

y

q(x)

)x(ww = progib

)x(dx

dw ϕ= kut zaokreta progibne linije

2

2

yydx

wdIEM −= moment savijanja

3

3

yydx

wdIET −= poprečna sila

4

4

ydx

wdIE)x(q = opterećenje

yIE - krutost presjeka na savijanje

Greda opterećena jednoliko raspodijeljenim opterećenjem

A B

w

M x

l

wmax

x=0, w0=0 → 0C2 =

( )

( )

1

23

y

22

2

y

l0

y2

2

y

22

y

C2

xl

3

x

2

q

dx

dwIE

xlx2

q

dx

wdIE

0w,0w:uvjetiRubni

Mdx

wdIE

xxl2

q

2

xqxAM

2

lqBA

+

⋅−=⋅

⋅−=⋅

==

−=⋅

−⋅=⋅−⋅=

⋅==

21

34

y CxC6

xl

12

x

2

qwIE +⋅+

⋅−=⋅

10.2. Progibna linija stati čki odre đenih nosa ča

x

zx

q

x=l, wl=0 → 0lC6

l

12

l

2

q1

44

=⋅+

− ,

24

qlC

3

1 =

+

−

⋅=l

x

l

x2

l

x

EI24

lqw

34

y

4

−

+⋅==ϕ23

y

3

l

x6

l

x41

EI24

lq

dx

dw)x(

wmax za 0dx

dw = →

y

4

max EI

ql

384

5w

2

lw ==

( )y

3

A EI24

ql0 =ϕ=ϕ ( )

y

3

B EI24

qll −=ϕ=ϕ

Jednadžba progibne linije:

Jednadžba kuta zaokreta:

Progib u sredini raspona:

Kutevi zaokreta na ležajevima:

Desna konzola opterećena jednoliko raspodijeljenim opterećenjem

M x

l

q

w

( )

( )

21

4322

y

1

322

y

222

2

y

2A

2

2

A

CxC12

x

3

xl

2

xl

2

qwIE

C3

xlxxl

2

q

dx

dwIE

xlx2l2

q

dx

wdIE

xl2

qM

2

xqxA)x(M

2

qlM,lqA

++

+−=⋅

+

+−=⋅

+−=⋅

−−=+⋅−⋅=

−=⋅=

0w,0'w)0(uvjetiRubni 00 ===ϕ

C1=0, C2=0

A

MA

+

−

⋅=432

y

4

l

x

l

x4

l

x6

EI24

lqw

+

−

⋅==ϕ32

y

3

l

x

l

x3

l

x3

EI6

lq

dx

dw)x(

( )y

4

max EI8

qlwlw ==

( )y

3

max EI6

ql)l('wl ==ϕ=ϕ

Jednadžba progibne linije:

Jednadžba kuta zaokreta:

Progib na kraju konzole:

Najveći kut zaokreta:

Greda opterećena koncentriranom silom u sredini raspona P

A B /2 l /2 l

M

Rubni uvjeti : w0=0, C2=0

w’(l/2)=0, y

2

1 EI16

PlC =

−=

3

33

l

x

3

4

l

x

EI16

Plw

21

3

y

1

2

y

2

2

y

CxC3

x

4

PwIE

C2

x

2

P

dx

dwIE

x2

P

dx

wdIE

x2

P)x(M,

2

lx0Za

2

PBA

++−=⋅

+−=⋅

−=⋅

⋅=≤≤

==

Jednadžba progibne linije:

Jednadžba kuta zaokreta:

−=

3

33

l

x

3

4

l

x

EI16

Plw

( )y

3

max EI48

Plw2/lw ==

y

2

max EI16

Pl)0('w −==ϕ

Za lx2

l ≤< progibna linija je simetrična oko osi 2

lx =

Progib u sredini raspona:

Najveći kut zaokreta:

−==ϕ

2

22

l

x41

EI16

Pl

dx

dw)x(

Konzola opterećena momentom

A

l M M

M

y

22

21

2

y

1

1y

2

2

y

AHV

EI2

xMw

0C0,w(0)

CxC2

xMwIE

0C0,(0)w

CxMdx

dwIE

Mdx

wdIE

M)x(MMM,0AA

⋅−=

==

++−=⋅

==′

+⋅−=⋅

−=⋅

====

( )

y

2

max EI2

Mllww −==

ymax EI

Ml)l('w −==ϕ

• Određivanje reakcija

• Određivanje funkcije M(x)

• Integriranje diferencijalne jednadžbe y2

2

y Mdx

wdIE −= po područjima 2 puta

• Uvrštavanje rubnih uvjeta i izračunavanje konstanti integracije

• Ako ima više područja integracije, konstante integracije izračunavamo izjednačavanjem kuteva zaokreta i progiba u dodirnim točkama područja

10.3. Postupak odre đivanja progibne linije stati čki odre đenih nosa ča

12. TORZIJA RAVNIH ŠTAPOVA

Torzija (uvijanje) – slučaj opterećenja kada je štap opterećen momentima koji djeluju u ravnini okomitoj na os štapa.

U većini slučajeva torzija (uvrtanje) elemenata konstrukcije nastaje kao posljedica djelovanja ekscentričnog opterećenja.

Torzija uslijed ekscentričnog opterećenja

Torzija višekatnih zgrada uzrokovana djelovanjem horizontalnih sila (vjetar, potres)

Deformacija ravnog štapa pri torziji ovisi o obliku poprečnog presjeka:

• kružni poprečni presjekvrijedi hipoteza ravnih poprečnih presjekanema vitoperenja presjeka

• neokrugli poprečni presjekpoprečni presjeci ne ostaju ravnirješenje s teorijom elastičnostiotpornost materijala daje samo konačno rješenje

• tankostijeni zatvoreni poprečni presjekrješenje metodama otpornosti materijala uz uvođenje niza pretpostavki

11.1. Torzija štapova kružnog poprečnog presjeka

Pretpostavke:

• pri deformaciji štapa poprečni presjeci ostaju ravni i okomiti na os štapa (hipoteza ravnih poprečnih presjeka)

• poprečni presjeci rotiraju se oko osi štapa kao kruti diskovi (ne deformiraju se u svojoj ravnini); polumjeri u tim presjecima ostaju pravci i rotiraju se za isti kut (hipoteza krutosti presjeka)

• razmak između poprečnih presjeka se ne mijenja pri deformaciji štapa (nema normalnih naprezanja u smjeru osi štapa)

∫ τρ=A

t dAM

Relativno smicanje:dxd

dx'AAtg ϕ

ρ==γ≈γ

Relativni kut uvijanja:dxdϕ

=Θ → ρΘ=γ

Hookeov zakon za čisti posmik: GG ρΘ=γ=τ

Moment torzije ∫ρΘ=A

2t dAGM

32ddAI

4

A

2P

π=ρ= ∫

P

tIG

M=Θ ; ρ=ρ=ρΘ=τ

P

t

P

tIMG

GIMG

Najveće naprezanje:

rIM

IM

P

tmax

P

tmax =ρ=τ

P

tmax W

M=τ

16d

rIW

3P

Pπ

==

Pt IGM Θ=

Torzija – element u stanju čistog posmika

Glavna naprezanja: τ±=σ=σ minmax,2,1 ; o452,1 ±=ϕ

Analiza loma štapa opterećenog na torziju:

Krhki materijali – manja otpornost na razdvajanje čestica nego na smicanje, ravnina loma pod 45°

Elastoplastični materijali – manja otpornost na smicanje nego na razdvajanje čestica, lom u ravnini najvećih posmičnih naprezanja (okomito na uzdužnu os štapa)

Dimenzioniranje štapova opterećenih na uvijanje

• Uvjet čvrstoće

dopP

tmax W

Mτ≤=τ →

dop

tP

MWτ

≥

• Uvjet krutosti

dopP

tmax IG

MΘ≤=Θ →

dop

tP G

MIΘ

≥

Promjer štapa određujemo na osnovu oba uvjeta. Mjerodavna je veća vrijednost.

ŠTAP PRIJE UVIJANJA

ŠTAP NAKON UVIJANJA

11.2. Torzija štapova pravokutnog poprečnog presjeka

Poprečni presjeci se pri uvijanju znatno iskrivljuju. Ne vrijedi Bernouli-eva hipoteza ravnih poprečnih presjeka.

Dijagram posmičnih naprezanja (b<h)

2t

maxA bhM

α=τ=τ maxB τη=τ

3t

bhGMβ

=Θ 3t

bhGlM

β=ϕ

Vrijednosti koeficijenata α, β i η:

Torzijski moment tromosti: ∑=

=n

1ii

3it sb

31I

Maksimalno naprezanje: maxt

tmax b

IM

=τ

Maksimalno naprezanje u presjeku nastaje u sredini duljih stranica elementa koji ima najveću debljinu

11.3. Torzija štapova s otvorenim tankostijenim profilom

Tankostijeni presjek sastavljen od niza tankih pravokutnika:

11.4. Torzija štapova s tankim stijenkama zatvorenog profila

Poprečni presjeci tijekom deformacije se slobodno vitopere, ali se ne iskrivljuju u svojoj ravnini (oblik poprečnog presjeka ostaje nepromijenjen).

Središnja linija presjeka – skup točaka jednako udaljen od vanjske i unutarnje konture presjeka

Tok posmičnih naprezanja .konstt =⋅τ

po dužini zatvorene konture:

min0

ttA2

M=τ

A0 - površina obuhvaćena središnjom linijom presjeka

1010

10

1

Zatvoren profil Otvoren profil

1102M

tA2M

2t

min0

tZ

⋅⋅==τ ; ( )1014

M3sb

M33

t

i3

i

tO

⋅⋅==τ

∑;

151021043 2

Z

O =⋅⋅⋅

=ττ ; ZO 15τ=τ

11.5. Izbor poprečnog presjeka

Za preuzimanje torzijskog opterećenja zatvoreni presjeci su znatno povoljnjiji od otvorenih.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

π=

π−

π= 4

4444

p Dd1

32D

32d

32DI ; ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

π= 4

43

p Dd1

16DW

U štapu šupljeg poprečnog presjeka materijal je bolje iskorišten(za jednake momente otpora prstenastog i punog presjeka štap prstenastog presjeka može izdržati jednako opterećenje s manjim utroškom materijala).

Najpovoljniji su poprečni presjeci cijevnog oblika.

12. IZVIJANJE TLAČNO OPTEREĆENIH ELEMENATA

12.1. Ponašanje tlačno opterećenih konstruktivnih elemenata

Stupovi su konstruktivni elementi izloženi djelovanju tlačnih sila, iako su često opterećeni i momentima savijanja i tlačnim silama.

Ponašanje stupa pri djelovanju tlačne sile ovisi o dimenzijama poprečnog presjeka i duljini stupa.

Gubitak nosivosti stupa

Kratki stupovi imaju relativno veliku površinu poprečnog presjeka u odnosu na duljinu. Pri povećanju tlačne sile, može doći do sloma stupa uslijed prekoračenja graničnog naprezanja. Posljedica su dijagonalne pukotine i drobljenje stupa.Provjera granične nosivosti stupa provodi se metodama otpornosti materijala (uspostavljanjem ravnoteže na nedeformiranom sustavu).

Nosivost kratkog stupa ovisi o:- površini poprečnog presjeka - dopuštenom naprezanju materijala.

Veći poprečni presjek → manje naprezanje → stup može preuzeti veću silu

dopAN

σ≤=σ

Gubitak stabilnosti stupa

Vitki stupovi imaju relativno malu površinu poprečnog presjeka u odnosu na duljinu. Pri povećanju tlačne sile povećavaju se deformacije konstrukcije što može dovesti do izvijanja stupa i gubitka stabilnosti pri naprezanju nižem od granice popuštanja.Provjera nosivosti stupa na izvijanje provodi se metodama stabilnosti konstrukcija (uspostavljanjem ravnoteže na deformiranom sustavu).

PRI PRORAČUNU VITKIH ELEMENATA IZLOŽENIH TLAČNOM OPTEREĆENJU MJERODAVNO JE IZVIJANJE, A NE TLAČNA NOSIVOST.

12.2. Eulerova teorija izvijanja stupova

Švicarski matematičar Leonard Euler je prvi uočio da slom vitkih stupova opterećenih centričnom tlačnom silom nastaje zbog gubitka stabilnosti prouzročenog izvijanjem stupa, a ne gubitka nosivosti presjeka.

Prema Euler-ovoj teoriji, uslijed djelovanja tlačne sile, stup se izvija. Uklanjanjem opterećenja, stup se može vratiti u početni položaj.

Ako se tlačna sila poveća do neke kritične vrijednosti, stup dostiže kritično stanje (gubitak stabilnosti) nakon kojeg se više ne može vratiti u prvobitni položaj.

Pretpostavke:

• stup je prizmatičnog oblika s konstantnim poprečnim presjekom;

• os stupa je idealno ravna, a opterećenje djeluje u osi;

• materijal je homogen, izotropan i idealno elastičan (Hookeov);

• vrijedi hipoteza ravnih poprečnih presjeka (Navier, Bernouli);

• pomaci i deformacije su mali pa se zakrivljenost ( ) 2

32)'v(1

''v

+=ρ može

pojednostavniti i izraziti kao 2

2

dxvd''v ==ρ ;

• ravnoteža se uspostavlja na deformiranom položaju stupa.

Osnovni Euler-ov stup

l

N

vmax vN

M=N⋅v

N

Moment u presjeku stupa: 2

2

dxvdEINvM =−=

2

2

dxvdEI - moment unutrašnjih sila

Nv - moment vanjskih sila nastao kao posljedica promatranja ravnoteže na deformiranom položaju stupa.

0vkdx

vd 22

2=+ ;

EINk2 =

Rješenje DJ: kxcosbkxsinav +=

DJ:

Rubni uvjeti: v(0)=0, v(l)=0 → b=0,

0klsina = za a=0 (slučaj kada nema izvijanja štapa) ili za 0klsin =

π= ikl (i=1,2,...) →l

ik π=

Kritična sila: 2

22

ki lEIiN π

=

Pripadni oblik izvijanja:lxisinavi

π=

Najniža kritična sila (Eulerova kritična sila): 2

2

k lEIN π

=

Pripadni oblik izvijanja: lxsinav π

=

Kritična sila ovisi o aksijalnom momentu tromosti presjeka.

Kod poprečnih presjeka s različitim momentima tromosti Iy i Iz, izvijanje nastaje oko osi s manjim aksijalnim momentom tromosti.

z

z

y

y

N

N

Izvijanje stupa I-poprečnog presjeka

2

2

k lEIN π

=

DJ: 0dx

vdNdx

vdEI 2

2

4

4=+

Izvijanje ostalih osnovnih stupova

Duljina izvijanja clli = (udaljenost između dviju susjednih točaka infleksije deformacijske

linije), konstanta c ovisi o načinu pridržanja.

Kritična sila: 2i

2

kl

EIN π= ; 2AiI = → 2

i

22

klEAiN π

= → 2

2

kEAN

λπ

=

I - Moment tromosti presjeka; 2i - kvadrat radijusa tromosti

2

2

kEIN

lπ= 2

2

k )5.0(E INl

π=2

2

k )7.0(E INl

π= 2

2

k )2(E IN

lπ=

ll l

l

l = li 0.7l = li 0.5 l =2lil =li

N N N N

N N N

N

Crtež 13.7. Kritične sile, duljine i oblici izvijanja osnovnih stupova

M

Vitkost stupa:

i/li=λ

Kritično naprezanje:

2

2

kE

λπ

=σ

λ

stabilno

nestabilno

σk

AE2

kπ=σ

Euler-ova krivulja nosivosti stupa

Nosivost vitkih stupova

Ovisi o:• Duljini stupa

Kraći stupovi imaju veću nosivost. S porastom duljine stupa opada mu nosivost.

• Krutosti stupaKrutost stupa ovisi o modulu elastičnosti materijala E i aksijalnom momentu tromosti I. Dva stupa istih modula elastičnosti i površina poprečnog presjeka, za različit oblik poprečnog presjeka mogu imati različitu nosivost.

4RI

RA4

1

21

⋅π=

⋅π=

x

y

a

x

Ry

12aI

aA4

2

22

=

=

21

21IIAA

>=

Nosivost vitkih stupova

• Uvjetima pričvršćenja stupaStup sa spriječenim rotacijama krajeva (ukliješteni stup) ima manju duljinu izvijanja i može preuzeti veću silu nego zglobno pridržan stup (koji ima mogućnost zaokreta na krajevima).Stup s manjom duljinom izvijanja ima veću nosivost.

Nosivost stupa može se povećati smanjivanjem duljine izvijanja.

N

N

v

x

V

N/Nk

v0 u

v=v +u0

0

0.5

1.0 V=0

V=0.1 V=0.3

12.3. Izvijanje stupa s nesavršenom osi

12.4. Veza između popuštanja i izvijanja

Granična vitkost λ između ova dva ponašanja određena je izrazom:

TE σπ=λσ

0

elastičnaravnoteža

λ

popuštanje =σ σT

izvijanje = E/σ π λ2

π( σ )E/ T1/2

Veza između izvijanja i popuštanja Eulerovog stupa

Ponašanje stupova od elastoplastičnih materijala

S povećanjem opterećenja, kod elastoplastičnog materijala dolazi do popuštanja materijala koje izaziva smanjenje krutosti stupa uz daljnje povećanje poprečne deformacije pa je putanja ravnoteže znatno različita od one kod elastičnog stupa.

Vmax

Stup s početnim odstupanjemelastoplastični materijal

N

NE

Nm

NT

Stup s početnim odstupanjemelastični materijal

Idealno ravni stup

Putanja ravnoteže stupa od elastoplastičnog materijala

Projektne krivulje nosivosti stupova

Pokusi velikog broja istraživača pokazali su granice u kojima se mogu kretati kritične sile, za određene konstruktivne materijale i određene tipove presjeka.

Tehničkim propisima pojedine zemlje propisuju projektne krivulje nosivosti stupova za određene materijale i tipove poprečnih presjeka. 0

Kratkistupovi

σ σk T/

λ λ/ e 1.0

Vitkistupovi

λe =λelastičnosti

1.0Euler

Projektna nosivost čeličnih stupova

13. VIRTUALNI RAD

13.1. Načelo virtualnog rada

Načelom virtualnog rada izražavaju se uvjeti ravnoteže na indirektan način. Načelo

podrazumijeva davanje infinitezimalno malih, zamišljenih pomaka krutom tijelu.

Pomaci zadovoljavaju uvjete pridržanja odnosno veza tijela za relativno

nepomičnu podlogu.

Virtualni pomaci su zamišljeni ili stvarni diferencijalni pomaci. Označavamo ih

znakom varijacije ϕδδ ,r .

Virtualni rad sile F na virtualnom pomaku rδ : rFA δ⋅=δ

Virtualni rad momenta M na virtualnoj rotaciji (kutu zaokreta) ϕδ : ϕδ⋅=δ MA

Načelo virtualnog rada slobodnu materijalnu točku

Sile koje djeluju na materijalnu točku su u ravnoteži ako je virtualni rad

tih sila na bilo kojem virtualnom pomaku jednak nuli.

( ) 0rRrFFFrFrFrFA n21n21 =δ⋅=δ⋅+++=δ⋅++δ⋅+δ⋅=δ LL

∑=

==n

1iiFFR , glavni vektor sila = rezultanta sustava sila

Načelo virtualnog rada za slobodno kruto tijelo

Vanjske sile i momenti koji djeluju na kruto tijelo su u ravnoteži ako je

virtualni rad svih sila i momenata na bilo kojim virtualnim pomacima

rδ i rotacijama ϕδ jednak nuli.

0MrFA M =ϕδ⋅+δ⋅=δ ,

MM,F - dinama sustava sila

Načelo virtualnog rada u sustavu s idealnim vezama i virtualnim

pomacima koji ispunjavaju uvjete veza

Sustav s idealnim vezama je u ravnoteži ako je virtualni rad aktivnih sila

na bilo kojim virtualnim pomacima, koji zadovoljavaju uvjete veza,

jednak nuli.

Idealne veze – nemaju trenja, sila veze je u smjeru spriječenog gibanja, u

smjeru dozvoljenog gibanja nema sile. Rad sila veza na pomacima

idealnih veza je nula jer je rR δ⊥ ili je 0r =δ .

13.2.1. Određivanje nepoznatih sila koje uravnotežuju konstrukciju

u datom položaju

1. Traženu nepoznatu silu prevesti od sile veza ili presjeka u aktivnu

silu, a ukloniti vezu koju ona pruža.

2. Sustav postaje pomičan s jednim stupnjem slobode i moguće mu je

dati jedan nezavisan virtualni pomak koji ispunjava uvjete preostalih

veza.

3. Iz jednadžbe virtualnog rada 0A =δ odrediti nepoznatu silu.

13.2. Primjena načela virtualnog rada kod statički određenih sustava

( )

l

ll

l

aPB

0BaPBaPA0yByPA

y,ay

BP

BP

⋅=

=δϕ⋅⋅−⋅=δϕ⋅⋅−δϕ⋅⋅=δ=δ⋅+δ⋅=δδϕ⋅=δδϕ⋅=δ

• Odrediti reakciju na ležaju B koristeći načelo virtualnog rada.

• Odrediti moment u presjeku t-t koristeći načelo virtualnog rada.

( )

( )ll

l

l

ll

21tt

2

2tt1

2

2tttt1

1P2

21212

aaPM

0a

a1MaP

0a

aMMaPA

aya

aaa

−⋅⋅=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⋅−⋅

=δϕ⋅−

⋅−δϕ⋅−δϕ⋅⋅=δ

δϕ⋅=δ

δϕ⋅−

=δϕ→−⋅δϕ=δϕ⋅

−

−

−−

Pt

tl

a2

a1A B

P

δϕ

δϕ1

Mt-tMt-t

δyP

l-a2

• Odrediti poprečnu silu u presjeku t-t koristeći načelo virtualnog rada.

( )( )

l

ll

1tt

22tt12tt2tt1

1P

aPT

0aaTaP0aTaTaPA

ay

⋅=

=−+⋅−⋅=δϕ⋅−⋅−δϕ⋅⋅−δϕ⋅⋅=δ

δϕ⋅=δ

−

−

−−

Pt

tl

a2

a1A B

P

δϕ

δϕ

Tt-t

δyP

l-a2

Tt-t

13.2.2. Određivanje pomaka konstrukcije

Kao što se pomoću načela virtualnog rada mogu izračunati unutrašnje sile

uvodeći virtualne pomake, slično je moguće izračunati pomake

konstrukcije uvodeći virtualne sile. Kako bismo došli do realnih pomaka

konstrukcije, u proračun treba ući s realnim deformacijama koje nastaju

kao posljedica uvođenja virtualnih sila.

vi – pomak na mjestu i, u smjeru sile Pi

vij – pomak na mjestu i u smjeru sile Pi

uzrokovan silom Pj

ijiii vvv += ; jjjij vvv +=

1. indeks – mjesto, 2. indeks - uzrok

Teoremi o uzajamnosti radova i pomaka

ijijij vPvP ⋅=⋅ Betty-ev teorem o uzajamnosti radova

Rad jedne sile na pomacima nastalima uslijed djelovanja druge sile

jednak je radu druge sila na pomacima nastalima uslijed prve sile.

Za Pi=Pj=1:

ijji vv = Maxwell-ov teorem o uzajamnosti pomaka

Pomak na mjestu i u smjeru sile Pj uslijed djelovanja sile Pi jednak je pomaku

na mjestu i u smjeru sile Pi uslijed djelovanja sile Pj.

Općenito: ijji δ=δ

i j

Postupak proračuna pomaka:

1. Za promatranu konstrukciju i zadano opterećenje odrediti unutrašnje sile (Mix, Tix, Nix).

2. Na mjestu i u smjeru traženog pomaka (zaokreta) postavlja se virtualna sila Pj (ako se

traži zaokret postavlja se virtualni moment) jediničnog iznosa te se odrede pripadni

dijagrami unutrašnjih sila sile (mjx, tjx, njx).

3. Postavlja se jednadžba virtualnog rada u kojoj izjednačavamo rad vanjskih i unutarnjih

sila uv AA δ=δ

( )∫ ⋅+⋅+φ⋅=δ⋅l

0jxixjxixjxixjij duNdvTdMP

dxEI

md jx

jx =φ ... diferencijalna promjena zakrivljenosti

dxGAt

dv jxjx = ... diferencijalna promjena posmične deformacije

dxEAn

du jxjx = ... diferencijalna promjena uzdužne deformacije

4. Iz jednadžbe virtualnog rada izračunavamo traženi pomak (kako je virtualna sila Pj =1,

rad vanjskih sila na lijevoj strani jednadžbe odgovara traženom pomaku) :

dxEAn

NGAt

TEI

mM

l

0

jxix

jxix

jxixji ∫ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=δ ...pomak na mjestu j uzrokovan opterećenjem i

Primjer 1:Izračunati vertikalni pomak (progib) i kut zaokreta kraja konzole za

zadano jednoliko raspodijeljeno opterećenje q.

ll

q P =1j

xx

Mix

mjxM =-qx /2ix

2 m =-xjx

ql /22

l

- -

δϕ

l

M =1j

x

mjx

m =-1jx

l-

Pomak: EI8

qldxEI

x2

qx14l

0

2=

−⋅−=δ⋅ ∫ ; Zaokret:

EI6qldx

EI1

2qx1

3l

0

2=

−⋅−=ϕ⋅ ∫

Pravila integriranja produkta dviju funkcija

f (x)1

f (x)2

f1T

f2T

F1

F2

a

a

b

b

x

x

∫ ⋅=⋅=⋅b

aT12T2121 fFfFdx)x(f)x(f

F1 - površina lika ispod f1(x)

f2T - ordinata funkcije f2(x) ispod težišta f1(x)

F2 - površina lika ispod f2(x)

f1T - ordinata funkcije f1(x) ispod težišta f2(x)

Primjer 2: Odrediti kut zaokreta ϕ na ležaju proste grede.

l

q

x

Mixql /82+

ϕ

lx

+

M =1j

mjx

10.5

EI24ql5.0l

8ql

32

EI1

dxEI

mM

32

l

0

jxix

=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=

==ϕ ∫

14. STATIČKI NEODREĐENE KONSTRUKCIJE

14.1. Uvod

Statički neodređena konstrukcija – konstrukcija kod koje nije moguće odrediti

unutrašnje sile iz uvjeta ravnoteže jer je broj mogućih jednadžbi manji od broja

nepoznatih veličina potrebnih za izračun unutarnjih sila.

Lz2n3s −⋅−⋅= , 0s < - statički neodređena konstrukcija

0s = - statički određena konstrukcija

S=3x1-2x0-4=-1 S=3x1-2x0-5=-2

S=3x1-2x0-6=-3 S=3x2-2x1-5=-1

Postupak proračuna (jedanput statički neodređena

konstrukcija):

1. Uklanjanjem suvišne veze statički neodređen sustav se

pretvara u statički određen sustav. Zbog uklanjanja veze

nastaje pomak δ10 koji na stvarnoj konstrukciji ne postoji.

2. Na osnovnom sustavu na mjestu uklonjene veze dodaje se

sila koja mora prouzročiti pomak po iznosu jednak δ10, a

suprotnog smjera.

3. Iz uvjeta kompatibilnosti pomaka izračunava se tražena sila.

0X 01111 =δ+⋅δ

4. Konačno stanje unutrašnjih sila na konstrukciji dobiva se

superpozicijom stanja nastalog od vanjskog opterećenja i

izračunate sile na mjestu uklonjene veze.

1x

10

xx XmMM ⋅+= , 1x

10

xx XtTT ⋅+= ,

1x

10

xx XnNN ⋅+= , 1x

10

xx X⋅δ+δ=δ

14.2. Metoda silaMetoda sila je metoda rješavanja statički neodređenih konstrukcija oslobađanjem sila u prekobrojnim vezama.

PA

B

δ10

PB

Osnovni sustav

A

PB

A X1

Postupak proračuna (višestruko statički neodređene konstrukcije):

1. Uklanjanjem suvišnih veza statički neodređen sustav se pretvara u statički određen

sustav (tzv. osnovni sustav). Zbog uklanjanja veza nastaju pomaci δ10, δ2

0,..., δn0 koji

na stvarnoj konstrukciji ne postoje.

2. Na osnovnom sustavu na mjestu svake uklonjene veze dodaje se sila. Dodane sile

moraju prouzročiti pomake po iznosima jednake δ10, δ2

0,..., δn0, a suprotnog smjera.

3. Iz uvjeta kompatibilnosti pomaka izračunavaju se tražene sile.

0...XX

0...XX0...XX

0n22n11n

02222121

01212111

=δ++⋅δ+⋅δ

=δ++⋅δ+⋅δ=δ++⋅δ+⋅δ

M

4. Konačno stanje unutrašnjih sila na konstrukciji dobiva se superpozicijom stanja

nastalog od vanjskog opterećenja i izračunatih sila na mjestu uklonjenih veza.

...XmXmMM 2x

21x

10

xx +⋅+⋅+=

...XtXtTT 2x

21x

10

xx +⋅+⋅+=

...XnXnNN 2x

21x

10

xx +⋅+⋅+=

...XX 2x

21x

10

xx +⋅δ+⋅δ+δ=δ

Primjer 1: Konzola poduprta na slobodnom kraju.a b

PEI

l

Osnovni sustavX =11

1

Pab/l

m1

Mx0

Mx

b/l

2b/3l

1/32b/3l

Pab/l

t1

Tx0

Tx

1/l+

+-

+-

Pa/lPb/l

S = 3x1-0-4 = -1

m1 – dijagram momenata za jedinični moment na osnovnom sustavu Mx

0 – dijagram momenata za vanjsko opterećenje na osnovnom sustavu

Pri određivanju pomaka zanemaruje se utjecaj poprečnih sila.

Jednadžba kontinuiteta: 0

1111 X δ−=⋅δ

EI31

32

21

EI1

11ll

=⋅⋅⋅

⋅=δ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅⋅⋅=δ

lllb

32

2bb

32

31

2aPab

EI10

1 ( )b22PabX 2

11

01

1 +−

=δδ−

= ll

Unutrašnje sile:

110

xx XmMM +=

110

xx XtTT +=

Poprečne sile možemo izračunati: - metodom sila 11

0xx XtTT +=

- iz dijagrama momenata dx

dMT xx =

Primjer 2: Kontinuirana greda

Osnovni sustav

X =11

1m1

Mx0

Mx

q

EIll

EI

EI EI

q /8l2

q /16l2

q /8l2

2132

21

EI1

11 ⋅⋅⋅⋅

⋅=δl

21

8q

32

EI1 2

01 ⋅⋅⋅=δ ll

16qX

2

1l−

=

Primjer 3: Kontinuirana greda – utjecaj krutosti na ponašanje sustava

a) q

4EIll

EI

Mx

q /40l2

q /8l2

b)

q

4EIll

EI

q /8l2 q /10l2

Osnovni sustav, m1 i Mx0 isti kao i kada

je krutost cijelog nosača konstantna.

3EI451

32

21

EI1

EI41

11ll⋅=⋅⋅

⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=δ

24q

EI41

21

8q

32

EI41 32

01

lll⋅=⋅⋅⋅=δ

40qX

2

1l−

=

10qX

2

1l−

=

Primjer 4: Obostrano upeta greda

q

EIl

Osnovni sustavX =11

1

ql /82

m1

Mx0

Mx

X =X =11 2

ql /242

ql /122ql /122

Jednadžba kontinuiteta: 0

1111 X δ−=⋅δ

11EI1

11 ⋅⋅⋅=δ l

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⋅=δ 1

8q

32

EI1 2

01 ll

11

01

1Xδδ−

= ; 12qX

2

1l−

=

- Metoda pomaka je metoda rješavanja statički određenih i neodređenih konstrukcija.

Osnovne nepoznanice su pomaci čvorova konstrukcije.

Ravninska linijska konstrukcija

1

xG

yG

Promatrani cvor

u1

v1

ϕ1

Prostorna linijska konstrukcija

1

xG

zG

Promatrani cvor

u1

w1

ϕx1

yG

v1

ϕz1

ϕy1

14.3. Metoda pomaka

- Ukupno stanje sustava U (pomaci i sile) može se prikazati u obliku:

nn22110 yUyUyUUU ⋅++⋅+⋅+= L

y1, y2, ..., yn – pomaci čvorova konstrukcije

U0 – stanje sustava u kojem su svi nezavisni pomaci spriječeni. Nazivamo ga stanje

pune upetosti.

Ui – stanje sustava bez vanjskih sila. Dopušten je pomak yi=1, a svi ostali nezavisni

pomaci su spriječeni. Ovo stanje nazivamo stanje jediničnih pomaka.

Zadani sustav i opterećenje

EI2

EI3

p(x)

EI1

Diskretizacija sustava (definiranje broja nepoznatih pomaka) Pretpostavka: deformiranje uslijed savijanja u=y3 u=y3 φ2 2=yφ1 1=y

y1, y2, y3 – 3 nezavisna pomaka čvorova (minimalni broj pomaka) Utjecaj savijanja i uzdužnog deformiranja

E , I , A1 1 1 E , I , A2 2 2

E , I , A3 3 3

u =y1 1 u =y2 4φ1 3=y φ2 6=y

v =y1 2 v =y2 5

y1, y2, ..., y6 – 6 nezavisnih pomaka čvorova

Minimalni broj nezavisnih pomaka

Bez obzira kakva zanemarenja deformiranja vršimo, svaki sustav ima minimalni brojnezavisnih pomaka koji moramo uzeti u obzir pri diskretizaciji.

Ako zanemarimo uzdužne deformacije te biramo minimalni broj nezavisnih pomaka, sustave možemo podijeliti na nepomične i pomične.

Pri diskretizaciji možemo slobodno usvojiti veći broj nezavisnih pomaka od minimalnog,ali među njima moraju biti sadržani oni koji su se nalazili u minimalnom broju.

Minimalni broj nezavisnih pomaka Broj nezavisnih pomaka veći od minimalnog

EI2

3

1

y1 y3

y2

xG

yG

φG

EI

23 4

5

61

y3

y4

y5

y2

y8

y9

y6 y7

xG

yG

φG

Primjeri nepomičnih sustava Primjeri pomičnih sustava

Ako nakon zanemarenja uzdužnog deformiranja sustav ima samo kuteve zaokreta kao nezavisne pomake, nazivamo ga nepomičnim. U suprotnom je pomičan onoliko puta koliko ima nezavisnih translatornih pomaka.

Globalni i lokalni koordinatni sustav

- Globalni koordinatni sustav i globalne sile i pomaci

• U globalnom koordinatnom sustavu (obično desnom) definira se sustav kao cjelina

• Svaki nezavisni pomak dobije svoj redni broj

• Smjerovi pomaka, čvornih sila, opterećenja i unutrašnjih sila u globalnom

koordinatnom sustavu definiraju se pozitivnim smjerovima koordinatnih osiju.

φG

yG

xG

Smjerovi pozitivnih pomaka u globalnom

koordinatnom sustavu

- Lokalni koordinatni sustav i lokalne sile i pomaci

• Svaki element se definira početkom i krajem (brojem početnog i krajnjeg čvora)

yLxL

φL • Ishodište lokalnog sustava se bira u početnom čvoru. Lokalna os xL ide od

početnog prema krajnjem čvoru. Okomito na nju u skladu s orjentacijom desnog

koordinatnog sustava postavlja se lokalna os yL te zaokret φL.

• Predznaci pomaka, čvornih sila, opterećenja i unutrašnjih sila definiraju se

pozitivnim smjerovima lokalnih koordinatnih osiju ako se iskazuju u lokalnom

sustavu.

Analiza stanja pune upetosti Stanje pune upetosti je stanje kod kojeg su spriječeni pomaci svih čvorova konstrukcije.

p(x)

Sprijecenzaokret

Pomaci i unutrašnje sile postoje samo na onim elementima koji su izravno opterećeni.

Istodobno postoji djelovanje sila tih elemenata na pridržane čvorove.

Postoji kontinuitet (kompatibilnost) pomaka, ali ne postoji ravnoteža sila u pridržanim čvorovima.

Pomaci i sile cijelog sustava za stanje pune upetosti U: 0x

0x

0x

0x N,T,M,δ

Sile upetosti pojedinačnih elemenata:

F13 3

F23

F33

F53

F43

F63

1

p (x)1

F11

F21

F31

2

F62

F52

F42

Fi

m – sila upetosti što je daje zadano opterećenje na mjestu i u smjeru ″i″-tog pomaka, posredstvom m-tog elementa.

∑=m

mii FF – sila upetosti što je daje zadano opterećenje na mjestu i u smjeru ″i″-tog

pomaka, posredstvom svih elemenata.

Određivanje unutarnjih sila za stanje pune upetosti za svaki štap svodi se na rješavanje tri

puta statički neodređenog nosača metodom sila ili rješavanjem diferencijalnih jednadžbi

štapa s homogenim rubnim uvjetima.

q

EIl

Mx

ql /242

ql /122ql /122

0 l

12qlM

2

0 = ; 12qlM

2

l −=

Mx

P /8l

PEI

l/2 l/2

P /8lP /4l

0 l

8PlM0 = ;

8PlMl −=

Analiza stanja jediničnih pomaka

1

3

2

y =11

- Promatra se stanje za jedinični zaokret y1=1 - Postoje unutrašnje sile na elementima koji dodiruju promatrani

čvor. Istodobno postoje sile tih elemenata na čvorove sustava.

- Postoji kompatibilnost (kontinuitet) pomaka, ali ne postoji

ravnoteža čvorova.

Pomaci i sile na pojedinim elementima:

1k1

13

k123 k1

33 3

k313 k3

33

k323 k3

53

k343k3

63

kijm – sila na mjestu i u smjeru ″i″ koju daje jedinični pomak na mjestu i u smjeru ″j″

posredstvom elementa m.

∑=m

mijij kk – sila na mjestu i u smjeru ″i″ koju daje jedinični pomak na mjestu i u smjeru ″j″

posredstvom svih elemenata.

Zbog uzajamnosti radova vrijedi: jiij kk =

Ravnoteža čvorova sustava se uspostavlja linearnom kombinacijom stanja jediničnih

pomaka sa stanjem pune upetosti. Sada je promatrani sustav u ravnoteži, a postoji i

kontinuitet njegovih pomaka, što predstavlja traženo rješenje.

Jednadžbe ravnoteže:

0Fykykyk

0Fykykyk

0Fykykyk

nnnnini11n

ininiii11i

1nn1ii1111

=−++++

=−++++

=−++++

LLM

LLM

LL

ili u matričnom obliku

FYK =⋅ K – matrica krutosti, pravokutna i

simetrična Rješenje jednadžbi ravnoteže:

FKY 1 ⋅= −

Traženi pomaci ili sile na proizvoljnom mjestu:

nnx2x21x1x0x yUyUyUUU ⋅++⋅+⋅+= L

Analiza jediničnih stanja pomaka i sila upetosti štapnog elementa provodi se slijedećim metodama: - metoda pomaka – izravnom integracijom jednadžbi ravnoteže

- metoda pomaka – numeričko rješenje metodom virtualnog rada

- metoda sila

EIl

y

xM0 T0

N0

MlTl

Nl

Pozitivni predznaci sila i pomaka na rubovima odgovaraju pozitivnim smjerovima osi lokalnog koordinatnog sustava.

Jednadžba ravnoteže: syk =⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

−

−

−

−

=

lEI4

lEI60

lEI2

lEI60

lEI6

lEI120

lEI6

lEI120

00l

EA00l

EAlEI2

lEI60

lEI4

lEI60

lEI6

lEI120

lEI6

lEI120

00l

EA00l

EA

22

2323

22

2323

k ;

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ϕ

ϕ=

l

l

l

0

0

0

l

l

l

0

0

0

MTNMTN

;

vu

vu

sy

EIl

y

xM0 T0

N0

MlTl

Nl

N0

T0

M0

Nl

Tl

Ml

u0 v0 ϕ0 ul vl ϕl

Značenje prvog stupca (retka) u matrici

k16

k15

k14k11

k12

k13

1.0 u

lEAkk 1411 =−=

0kkkk 16151312 ====

Značenje drugog stupca (retka) u matrici v(y)

k21

k22

k23

k24

k25

k26

1.0

0kk 2421 ==

32522 lEI12kk =−=

22623 lEI6kk ==

Značenje trećeg stupca (retka) u matrici v(y)

k31

k32

k33

k34

k35

k36

0kk 3431 ==

23532 lEI6kk =−=

lEI4k33 = ;

lEI2k36 =

Zadatak 1:

1EI 2EI

2l1l

q

111k

211k

EI EIll

12

3

P

φ2 1=y

y =11

1 1k

22k

Nepoznati pomaci

Koeficijenti matrice krutosti

11F

21F

1

2

1F

2F

Određivanje koeficijenata kij

1

1111 l

EI4k = ; 2

2211 l

EI4k =

2

2

1

111 l

EI4lEI4k +=

Određivanje sila upetosti:

12qlF

211

1 −= ; 8

PlF 221 =

8Pl

12qlF 2

21

1 +−=

Postavljanje sustava jednadžbi: 1111 Fyk −=⋅ Uvrštavanje konkretnih vrijednosti: 21 ll = , 21 II = , Plq =⋅

Rješenje jednadžbe: 24Pl

8Pl

12Ply

lEI8 1 −=−=⋅ ,

EI192Ply

2

1 −=

Sile na rubovima elementa:

22222

10 ql

967

96ql

12ql

EI192Pl

lEI2

12qlM =−=−=

22222

11

111l

1l ql

485

48ql

12ql

EI192Pl

lEI4

12qlykFM −=−−=−−=⋅+=

2222

12

112

02

0 ql485

48ql

8ql

EI192Pl

lEI4

8PlykFM =−=−=⋅+=

2222

2l ql

9613

96ql

8ql

EI192Pl

lEI2

8PlM −=−−=−−=

Dijagrami unutrašnjih sila

796

2ql

548

2ql

ql 2

8Pl4

0168. ql 0 768. P

0 531. P0532. ql

Plql 2

9613

9613

=796

2ql

548

2ql

ql 2

8Pl4

+-

0168. ql

0532. ql+ +

--Tx

MxPlql 2 1313

=

Zadatak 2:

1EI 2EI

2l1l

1q 2q

111k 1

21k

233k2

23k

112k 2

32k122k

222k

11F 1

2F1q

22F

23F2q

EI EIll

qq

1 2

φ1 1=y φ2 2=y φ3 3=y

y =11

11k 1k

y =13

233k2

23k2

y =12

12

1k 232k

1k

2k

1F 1Fq 1

2F

23F

2

q

Nepoznati pomaci

Koeficijenti matrice krutosti

Sile upetosti

Koeficijenti matrice krutosti:

1

1111 l

EI4k = ; 1

1112 l

EI2k =

112

121 kk =

2

2

1

1222

12222 l

EI4lEI4kkk +=+=

2

2232 l

EI2k = ; 232

223 kk =

2

2233 l

EI4k =

Sile upetosti:

12lqF

2111

1 = ; 12lqF

2111

2 −=

12lqF

2222

2 = ; 12lqF

2222

3 −=

Uvrštavanje konkretnih vrijednosti: 21 ll = = l, 21 II = = I, q2q2q 12 ==

Jednadžbe ravnoteže:

6qly

lEI4y

lEI2

12qly

lEI2y

lEI8y

lEI2

12ql0y

lEI2y

lEI4

2

32

2

321

2

21

=⋅+⋅

−=⋅+⋅+⋅

−=+⋅+⋅

Rješenje:

EIql

961y

3

1 −= ; EIql

481y

3

2 −= ; EIql

965y

3

3 =

Vrijednosti momenata savijanja: 0M 1

1 =

2332

12

22 ql

163

EIql

965

lEI2

EIql

481

lEI4

12ql2MM =+

−+=−=

Dijagrami unutrašnjih sila:

ql165

2/l

ql325

T2

1 == ; ql1611

2/l

ql325

163

T

2

L2 =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

ql1619

2/l

ql412

323

T

2

D2 =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= ; ql1613

2/l

ql412

323

T

2

L3 =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=

Zadatak 3: Okvir s krutim prečkama

412k

422k 5

22k

512k

111k 2

11k1y1 =

411k

421k 5

21k

511k

Zadani sustav

1

1

2

2

3 3

4

5

4

5

66

EI EI

EIEI l

l

H1

H2

EI1→∞

EI1→∞

u =u =y5 6 2

u =u =y3 4 1

4k

4k 5k

5k1k 2k

1y4k

4k 5k

5k

Nepoznati pomaci

Jedinicni pomaci i koeficijenti krutosti

l

y =12

511

211

4113

111 kkk

lEI12k ==== 3

512

412 l

EI12kk −==

35

214

21 lEI12kk −== 3

522

422 l

EI12kk ==

Jednadžbe ravnoteže:

0HylEI122y

lEI122

0HylEI122y

lEI124

22313

12313

=−⋅+⋅⋅−

=−⋅−⋅⋅

Matrično: 0FYK =−⋅

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

2

1

2

13 H

H;

yy

;2224

lEI12 FYK

Rješenje:

3212

3211 l

EI24H2Hy;l

EI24HHy ⋅

+=⋅

+=

4lHMMMM 25

l5

04

l4

0⋅

==== ; ( )4

lHHMMMM 212l

20

1l

10

⋅+====

Dijagrami pomaka i unutrašnjih sila

4l)HH( 21 +

4l)HH( 21 +

4l)H2H( 21 +

4l)HH( 21 +

4lH2

4lH2

4lH2

2HH 21 +

2HH 21 +

2H2H 21 +

2H2

2H2

2H2H 21 +

2H3H 21 +

2H3H 21 +

2H2

2H2

4l)HH( 21 +

4l)HH( 21 +

4l)H2H( 21 +

4l)HH( 21 +

4lH2

4lH2

4lH2

Mx

2HH 21

2HH 21

2H2H 21

H2

2H2

Tx

dx

Nx

2H2H 21

2H3H 21

2H3H 21

H22

H2

+ -

-

-

Simetrično opterećen okvir s krutim prečkama

2q

1q

8Lq 2

1 ⋅

8Lq 2

2 ⋅

q

q

px Mx

Lq 21 ⋅

Lq 22 ⋅

Tx Nx

-

-

-

-

Simetrično opterećen okvir s deformabilnim prečkama

2q

1q

8Lq 2

1 ⋅

8Lq 2

2 ⋅q

q

px TxMx

Lq 21 ⋅

Lq 22 ⋅

Nx