osnove statike
TRANSCRIPT
![Page 1: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/1.jpg)
MEHANIKAOsnovni pojmi,
principi in metode mehanike togega in
trdnega telesa
![Page 2: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/2.jpg)
Davorin Babič2
Mehanika je naravoslovna veda, ki se ukvarja s preučevanjem gibanj in gibalnih stanj teles,
nastalih zaradi delovanja zunanjih vzrokov – sil.
Glede na gibalno stanje delimo mehaniko na:
STATIKOSTATIKO ininKINETIKOKINETIKO..STATIKASTATIKA raziskuje pogoje raziskuje pogoje mirovanjamirovanja in in ravnotežjaravnotežja teles pod vplivom sil.teles pod vplivom sil.KINETIKA KINETIKA raziskuje in opisuje pogoje raziskuje in opisuje pogoje gibanjagibanjateles.teles.
![Page 3: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/3.jpg)
Davorin Babič3
Glede na razsežnosti in agregatna stanja teles delimomehaniko na:
•• mehaniko točkastega telesamehaniko točkastega telesa
•• mehaniko sistema točkastih telesmehaniko sistema točkastih teles
•• mehaniko togega telesamehaniko togega telesa
•• mehaniko trdnega telesamehaniko trdnega telesa
•• mehaniko tekočin.mehaniko tekočin.
![Page 4: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/4.jpg)
Davorin Babič4
Točkasto teloTočkasto telo
Točkasto teloTočkasto telo je model telesa, s katerim proučujemo gibanje vsega telesa s predpostavko, da je v njem združena
vsa snov, ne glede na obliko telesa.
Zaradi razsežnosti ( dimenzij ) točkastega telesa lahkopredpostavimo, da nanj delujejo samo zunanje sile.
![Page 5: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/5.jpg)
Davorin Babič5
Sistem točkastih telesSistem točkastih teles
Sistem točkastih telesSistem točkastih teles je množica več točkastih teles,med katerimi poleg zunanjih delujejo tudi
notranje sile.
![Page 6: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/6.jpg)
Davorin Babič6
Togo teloTogo telo
Togo teloTogo telo je model telesa, ki pod vplivom sil ne spremenisvoje oblike ( se ne deformira ).
![Page 7: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/7.jpg)
Davorin Babič7
Definicija sil in njihova delitevDefinicija sil in njihova delitev
V mehaniki definiramo s silo vsak vzrokvzrok, ki skuša spremenitispremenitigibalno stanjegibalno stanje nekega telesa.
Silo definiramo tudi kot vplivvpliv nekega telesa na drugo,opazovano telo.
Zelo pogosta delitev sil v mehaniki je naslednja:• aktivne in pasivne sileaktivne in pasivne sile
• zunanje in notranje silezunanje in notranje sile
• volumske in površinske silevolumske in površinske sile.
![Page 8: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/8.jpg)
Davorin Babič8
Aktivne in pasivne sileAktivne in pasivne sile
Aktivne sileAktivne sile so sile, ki skušajo telo spraviti v gibanje.Mednje uvrščamo silo težesilo teže, , različne vlečne silerazlične vlečne sile, , pritiskpritisk
vetravetra...
Pasivne silePasivne sile so sile, ki nasprotujejo gibanju telesa.Mednje uvrščamo različne uporeupore ( ( upor zrakaupor zraka, , upor trenjaupor trenja,,
upor podporupor podpor ...).
![Page 9: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/9.jpg)
Davorin Babič9
Zunanje in notranje sileZunanje in notranje sile
Zunanje sileZunanje sile so sile, ki delujejo na neko telo od zunajod zunaj.
Notranje sileNotranje sile so sile, s katerimi se neko telo upiraupiradelovanju zunanjih sildelovanju zunanjih sil.
![Page 10: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/10.jpg)
Davorin Babič10
Volumske in površinske sileVolumske in površinske sile
Sile, porazdeljene po vsej prostornini telesa, imenujemovolumskevolumske ali prostorninske sileprostorninske sile.
Sile, porazdeljene po površini telesa, imenujemopovršinske silepovršinske sile.
![Page 11: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/11.jpg)
Davorin Babič11
Geometrijska podoba sileGeometrijska podoba sile
Sila je vektorska količinavektorska količina, zato je enolično določena znaslednjimi parametri:
•• velikostjo ( velikostjo ( jakostjojakostjo ))
•• smerjosmerjo
•• usmerjenostjousmerjenostjo
•• prijemališčemprijemališčem.
![Page 12: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/12.jpg)
Davorin Babič12
Osnovni principi in zakoni mehanikeOsnovni principi in zakoni mehanike
Mehanika je zgrajena na svojih principih (aksiomih) in zakonih, ki jih v naravi ugotovimo s pravilnimin temeljitim opazovanjem ter s pravilnimi zaključki.
Statika togega telesa je zgrajena na treh osnovnih aksiomih: aksiom o prenosnosti sile, aksiom o ravnotežnem paru sil in aksiom o paralelogramu sil.
![Page 13: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/13.jpg)
Davorin Babič13
Aksiom o prenosnosti sileAksiom o prenosnosti sile
Statičen vpliv sile F na togo telo ostane Statičen vpliv sile F na togo telo ostane nespremenjen, če njeno prijemališče P prenesemo nespremenjen, če njeno prijemališče P prenesemo v katerokoli točko Pv katerokoli točko P11, P, P22, ... premice smernice p , ... premice smernice p vektorja F.vektorja F.
![Page 14: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/14.jpg)
Davorin Babič14
Aksiom o ravnotežnem paru silAksiom o ravnotežnem paru sil
Na togem telesu se statično stanje ne spremeni, če Na togem telesu se statično stanje ne spremeni, če nanj dodamo ali odvzamemo poljubni ravnotežni nanj dodamo ali odvzamemo poljubni ravnotežni par sil.par sil.
![Page 15: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/15.jpg)
Davorin Babič15
Aksiom o paralelogramu silAksiom o paralelogramu sil
Statičen vpliv dveh sil s skupnim prijemališčem na Statičen vpliv dveh sil s skupnim prijemališčem na togo telo je isti, kot če ju nadomestimo z eno togo telo je isti, kot če ju nadomestimo z eno samo silo, njuno samo silo, njuno rezultantorezultanto..
![Page 16: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/16.jpg)
Davorin Babič16
Newtonovi zakoniNewtonovi zakoni
1. Newtonov zakon1. Newtonov zakon
Telo miruje ali se giblje premo enakomerno, če nanj Telo miruje ali se giblje premo enakomerno, če nanj ne deluje nobena sila oziroma če je ne deluje nobena sila oziroma če je rezultantarezultantanaj delujočih sil nična.naj delujočih sil nična.
0 0n
ii 1
v oz. v const. F=
= = ⇔ =∑v vv
![Page 17: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/17.jpg)
Davorin Babič17
2. Newtonov zakon2. Newtonov zakon
Pospešek je sorazmeren s silo in ima smer sile.Pospešek je sorazmeren s silo in ima smer sile.
amF vv⋅=
![Page 18: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/18.jpg)
Davorin Babič18
3. Newtonov zakon
Če deluje prvo telo na drugo telo s silo, deluje Če deluje prvo telo na drugo telo s silo, deluje drugo telo na prvo z nasprotno enako silo.drugo telo na prvo z nasprotno enako silo.
1221 FFvv
−=
![Page 19: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/19.jpg)
Davorin Babič19
Interpretacija Newtonovih zakonov
![Page 20: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/20.jpg)
Statika togega telesa
1.1. Sile in momenti v Sile in momenti v ravnini in prostoruravnini in prostoru
2.2. Statično določeni Statično določeni podprti nosilcipodprti nosilci
![Page 21: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/21.jpg)
Davorin Babič21
1.1 Predstavitev sile z vektorjem v 1.1 Predstavitev sile z vektorjem v ravnini in v prostoruravnini in v prostoru
Za nazorno predstavitev silv nekem prostoru uporabimo
pravokotni koordinatni sistem,pravokotni koordinatni sistem,v katerem lahko vsako silo
enolično razstavimo napravokotne komponentepravokotne komponente.
![Page 22: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/22.jpg)
Davorin Babič22
1.1.1 Sila v ravnini1.1.1 Sila v ravnini
Silo F v ravnini p.k.s.razstavimo na dve pravokotni
komponenti Fx in Fy.
x
y
yx
y
x
yxyxyx
FF
tg
FFF
FF
FF
FFjFiFFFF
=
+=
⋅=
⋅=
=⋅+⋅=+=
α
α
α
22
sin
cos
),(vvvvv
![Page 23: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/23.jpg)
Davorin Babič23
1.1.2 Sila v prostoru1.1.2 Sila v prostoru
Silo F v prostoru p.k.s.razstavimo na tri med seboj
paroma pravokotnekomponente Fx ,Fy in Fz.
222
cos
cos
cos
),,(
zyx
z
y
x
zyx
zyxzyx
FFFF
FF
FF
FF
FFF
kFjFiFFFFF
++=
⋅=
⋅=
⋅=
=
=⋅+⋅+⋅=++=
γ
β
α
vvvvvvv
![Page 24: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/24.jpg)
Davorin Babič24
1.1.3 Osnovne vektorske operacije1.1.3 Osnovne vektorske operacijes silamis silami
Ker so sile vektorske količine, veljajo zanje pravila vektorskegKer so sile vektorske količine, veljajo zanje pravila vektorskegaaračuna. Vektorske operacije lahko izvajamo računa. Vektorske operacije lahko izvajamo geometrijskogeometrijsko ali paali paanalitičnoanalitično..
Za statiko togega telesa so uporabne naslednje vektorskeZa statiko togega telesa so uporabne naslednje vektorskeoperacije:operacije:
•• seštevanjeseštevanje
•• odštevanjeodštevanje
•• množenje s skalarjemmnoženje s skalarjem..
![Page 25: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/25.jpg)
Davorin Babič25
1.1.4 Seštevanje, odštevanje in 1.1.4 Seštevanje, odštevanje in množenje s skalarjemmnoženje s skalarjem
Seštevanje in odštevanje sil geometrijsko izvajamo poparalelogramskemparalelogramskem ali trikotniškem pravilutrikotniškem pravilu:
Analitično izvajamo seštevanje, odštevanje in množenje sils skalarjem po komponentahkomponentah:
),(),(
),(),(),( 2121221121
yxyx
yyxxyxyx
kFkFFFkFk
FFFFFFFFFF
=⋅=⋅
±±=±=±v
vv
![Page 26: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/26.jpg)
Davorin Babič26
1.2 Sistem sil v ravnini1.2 Sistem sil v ravnini
Sistem silSistem sil imenujemo množico več silveč sil, ki istočasno delujejona neko telo.
V ravnini splošni sistem silsplošni sistem sil delimo na:
•• komplanarnokomplanarno--centralni sistem silcentralni sistem sil
•• komplanarnokomplanarno--vzporedni sistem silvzporedni sistem sil
•• kolinearnikolinearni sistem sil.sistem sil.
![Page 27: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/27.jpg)
![Page 28: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/28.jpg)
Davorin Babič28
1.3 Sistem sil v prostoru1.3 Sistem sil v prostoru
V prostoru splošni sistem silsplošni sistem sil delimo na:
• prostorskiprostorski--centralni sistem silcentralni sistem sil
•• prostorskiprostorski--vzporedni sistem sil.vzporedni sistem sil.
![Page 29: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/29.jpg)
![Page 30: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/30.jpg)
Davorin Babič30
1.4 Centralni sistem sil1.4 Centralni sistem sil
Je sistem sil, v katerem se Je sistem sil, v katerem se sile oziroma njihove smernice sile oziroma njihove smernice sekajo v isti točki (C)sekajo v isti točki (C). Pravimo mu tudi . Pravimo mu tudi sistem sil s sistem sil s skupnim prijemališčemskupnim prijemališčem..
![Page 31: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/31.jpg)
1.4.1 Praktični primer centralnega 1.4.1 Praktični primer centralnega sistema silsistema sil
![Page 32: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/32.jpg)
![Page 33: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/33.jpg)
![Page 34: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/34.jpg)
![Page 35: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/35.jpg)
![Page 36: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/36.jpg)
Davorin Babič36
1.4.2 1.4.2 RezultantaRezultanta centralnega sistema centralnega sistema silsil
RezultantaRezultanta je sila, ki popolnoma nadomesti določen sistemsil na togo telo.Rezultanto centralnega sistema sil določamo :
•• geometrijskogeometrijsko ( s pomočjo poligona silpoligona sil )
• analitičnoanalitično ( s pomočjo projekcijskih enačbprojekcijskih enačb ).
Sliko obremenitve togega telesa s silami imenujemo legopislegopissilsil. V njem so sile narisane samo po legilegi in smerismeri v meriludolžin ( mmLL ).
![Page 37: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/37.jpg)
Davorin Babič37
1.4.3 Poligon ( mnogokotnik ) sil1.4.3 Poligon ( mnogokotnik ) sil
Je slika sil, kjer so sile vrisane po Je slika sil, kjer so sile vrisane po smerismeri in in velikostivelikosti v v določenem merilu sil ( določenem merilu sil ( mmFF ).).
Dobimo ga tako, da h koncu poljubno izbrane prve sile Dobimo ga tako, da h koncu poljubno izbrane prve sile vzporedno dodamo začetek naslednje sile, na konec te zopet vzporedno dodamo začetek naslednje sile, na konec te zopet začetek naslednje in postopek ponavljamo tako dolgo, da začetek naslednje in postopek ponavljamo tako dolgo, da narišemo vse sile. V splošnem dobimo narišemo vse sile. V splošnem dobimo odprtodprt mnogokotnik silmnogokotnik sil..
Zveznica od začetka prve do konca zadnje sile predstavlja Zveznica od začetka prve do konca zadnje sile predstavlja velikost velikost rezultanterezultante sistema silsistema sil..
![Page 38: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/38.jpg)
LegopisLegopis silsil Poligon silPoligon sil
s2
s3
C 1Fv
2Fv3F
v
1Fv
2Fv
3Fv
Rv
s1
![Page 39: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/39.jpg)
Davorin Babič39
1.4.4 Analitično določanje 1.4.4 Analitično določanje rezultanterezultantec.s.s.c.s.s.
Analitično je rezultanta c.s.s. določena z vektorsko enačbovektorsko enačbo
∑=
=++++=n
iin FFFFFR
1321 ...
vvvvvv
Dobljeno vektorsko enačbo lahko zapišemo s skalarnimiskalarnimi( projekcijskimiprojekcijskimi ) enačbami za prostor in za ravnino.
![Page 40: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/40.jpg)
Davorin Babič40
RezultantaRezultanta c.s.s. v prostoruc.s.s. v prostoru•• KomponentnaKomponentna oblika:oblika:
),,( zyxzyxzyx RRRkRjRiRRRRR =⋅+⋅+⋅=++=vvvvvvv
•• Posamezne Posamezne komponentnekomponentne ::
∑∑
∑∑
∑∑
==
==
==
⋅==++++=
⋅==++++=
⋅==++++=
n
iii
n
iiznzzzzz
n
iii
n
iiynyyyyy
n
iii
n
iixnxxxxx
FFFFFFR
FFFFFFR
FFFFFFR
11321
11321
11321
cos...
cos...
cos...
γ
β
α
•• Velikost Velikost rezultanterezultante ::222zyx RRRRR ++==
v
![Page 41: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/41.jpg)
Davorin Babič41
RezultantaRezultanta c.s.s. v ravninic.s.s. v ravnini•• KomponentnaKomponentna oblika:oblika:
),( yxyxyx RRjRiRRRR =⋅+⋅=+=vvvvv
•• Posamezne Posamezne komponentnekomponentne ::
∑∑
∑∑
==
==
⋅==++++=
⋅==++++=
n
iii
n
iiynyyyyy
n
iii
n
iixnxxxxx
FFFFFFR
FFFFFFR
11321
11321
sin...
cos...
α
α
•• Velikost Velikost rezultanterezultante ::
22yx RRRR +==
v
![Page 42: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/42.jpg)
Davorin Babič42
Smer rezultante določamo z naklonskimi kotinaklonskimi koti proti koordinatnim osem:
• v prostoru:
RRRRRR
zR
yR
xR
=
=
=
γ
β
α
cos
cos
cos
• v ravnini:
x
yR R
Rtg =α
![Page 43: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/43.jpg)
Davorin Babič43
Zaradi preglednosti in natančnega računanja rezultante nekega c.s.s. jeprimerno uporabljati tabele, v katere vnašamo podatke po vrsti ter na koncu izračunamo željene komponente rezultante. V našem primeru jepodana tabela za c.s.s. v ravnini, ki se jo da izdelati v programu ExcelExcel.
ii FFii ααii coscosααii sinsinααii FFii coscosααii FFii sinsinααii
F1 cos α1 F1 sin α1
2 F2 α2 cos α2 sin α2 F2 cos α2 F2 sin α2
3 F3 α3 cos α3 sin α3 F3 cos α3 F3 sin α3
.
...
.
...
.
...
.
.n Fn αn cos αn sin αn Fn cos αn Fn sin αn
sin α1cos α1α1F11
∑=
α=n
1iiix cosFR ∑
=
α=n
1iiiy sinFR
![Page 44: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/44.jpg)
Davorin Babič44
V primeru, ko poznamo samo dve sili in kot med njima (ϕ), lahko njunorezultanto izračunamo s pomočjo kosinusovegakosinusovega izrekaizreka:
ϕcos2 2122
21 ⋅⋅⋅++= FFFFR
![Page 45: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/45.jpg)
Davorin Babič45
1.4.5 Ravnotežje centralnega sistema 1.4.5 Ravnotežje centralnega sistema silsil
Pogoj za ravnotežje centralnega sistema silravnotežje centralnega sistema sil izhaja iz prvegaprvegaNewtonovega zakonaNewtonovega zakona, ki pravi, da mora biti za mirovanje oz.za premoenakomerno gibanje točkastega telesa rezultantarezultantavseh sil na njem ničnavseh sil na njem nična:
Dobljena vektorska enačba velja za prostor in za ravnino in joimenujemo RAVNOTEŽNI POGOJRAVNOTEŽNI POGOJ.
01
21 ==+++= ∑=
n
iin FFFFRvv
Kvvv
![Page 46: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/46.jpg)
Davorin Babič46
1.4.6 Ravnotežne enačbe c.s.s. v 1.4.6 Ravnotežne enačbe c.s.s. v prostoruprostoru
Ravnotežni pogoj c.s.s. v prostoru opišemo s tremi skalarnimienačbami:
So tri linearne enačbe, s katerimi določimo tri neznanke, kipogojujejo ravnotežje točkastega telesa v prostoru.
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=⋅==
=⋅==
=⋅==
⇔=
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
= =
= =
= =
n
i
n
iiiizz
n
i
n
iiiiyy
n
i
n
iiiixx
FFR
FFR
FFR
R
1 1
1 1
1 1
0cos
0cos
0cos
0
γ
β
αv
![Page 47: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/47.jpg)
Davorin Babič47
1.4.7 Ravnotežni enačbi c.s.s. v 1.4.7 Ravnotežni enačbi c.s.s. v ravniniravnini
Ravnotežni pogoj c.s.s. v ravnini opišemo z dvema skalarnimaenačbama:
Sta dve linearni enačbi, s katerima določimo dve neznanki, kipogojujeta ravnotežje točkastega telesa v ravnini.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⋅==
=⋅==⇔=
∑∑
∑∑
==
==n
iii
n
iiyy
n
iii
n
iixx
FFR
FFRR
11
11
0sin
0cos0
α
αv
![Page 48: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/48.jpg)
Davorin Babič48
Ravnotežna pogoja c.s.s. v prostoru oziroma na ravnini si lahko tudigeometrijsko predstavimo. Rezultanto c.s.s. geometrijsko iščemo s poligonom sil. Če je poligon sil sklenjen ( zaprt ) liksklenjen ( zaprt ) lik, je rezultantasistema nična, saj se stikata začetek prve in konec zadnje sile.
LegopisLegopis silsil Poligon silPoligon sils3
1Fv
2Fv
3Fv
4Fv
s2
C 1Fv
2Fv3F
v
0R =v
4Fv
s1
s4
![Page 49: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/49.jpg)
Davorin Babič49
1.4.8 Posebni primeri ravnotežja 1.4.8 Posebni primeri ravnotežja c.s.s. v ravninic.s.s. v ravnini
• Ravnotežje dveh silRavnotežje dveh sil
F1
F1
Q
Dve sili sta v ravnotežju natanko takrat, kadar sta Dve sili sta v ravnotežju natanko takrat, kadar sta enakoenakovelikiveliki in in nasprotno usmerjeninasprotno usmerjeni..
![Page 50: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/50.jpg)
Davorin Babič50
• Ravnotežje treh silRavnotežje treh sil
F11
F31
F21
Tri sile so v ravnotežju natanko takrat, kadar je Tri sile so v ravnotežju natanko takrat, kadar je trikotniktrikotniksil sklenjensil sklenjen..
![Page 51: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/51.jpg)
Davorin Babič51
• Ravnotežje štirih in več silRavnotežje štirih in več sil
Štiri in več sil je v ravnotežju, ko je
mnogokotnik silmnogokotnik sil sklenjensklenjen.
![Page 52: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/52.jpg)
Davorin Babič52
1.4.9 Razstavljanje sile na 1.4.9 Razstavljanje sile na komponentekomponente
Silo razstavimo tako, da jo nadomestimo z več silaminadomestimo z več silami, ki jih imenujemo komponentekomponente, katerih skupni učinek je enak prvotni siliprvotni sili. Razstavljanje sile je nasprotna operacija sestavljanju sil (seštevanju sil in iskanju rezultante).V centralnem sistemu sil lahko podano silo enolično v prostoru razstavimo na tri komponente v smereh treh premic, tri komponente v smereh treh premic, ki ne leže v isti ravniniki ne leže v isti ravnini. Na ravnini lahko silo enolično razstavimo na dve komponenti v smereh dveh nevzporednih dve komponenti v smereh dveh nevzporednih premicpremic, ki skupaj z dano silo tvorita to ravnino.
![Page 53: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/53.jpg)
Davorin Babič53
• Razstavljanje sile na tri komponente v prostoru (grafično)Razstavljanje sile na tri komponente v prostoru (grafično)
![Page 54: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/54.jpg)
Davorin Babič54
• Razstavljanje sile na tri komponente v prostoru (analitično)Razstavljanje sile na tri komponente v prostoru (analitično)
1 2 3( , , ); , ,x y zF F F F s s sPodano:
1 2 3( , , )F K K K=v
Iščemo:
(cos , cos , cos ), 1,2, 3i i i in i= α β γ =v,
Po vstavljanju in urejanju podatkov dobimo sistem treh sistem treh linearnih enačblinearnih enačb oblike:
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
cos cos cos
cos cos cos
cos cos cos
x
y
z
K K K F
K K K F
K K K F
⋅ α + ⋅ α + ⋅ α =
⋅ β + ⋅ β + ⋅ β =
⋅ γ + ⋅ γ + ⋅ γ =
![Page 55: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/55.jpg)
Davorin Babič55
• Razstavljanje sile na dve komponenti v ravnini (grafično)Razstavljanje sile na dve komponenti v ravnini (grafično)
![Page 56: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/56.jpg)
Davorin Babič56
• Razstavljanje sile na dve komponenti v ravnini (grafično) 2Razstavljanje sile na dve komponenti v ravnini (grafično) 2
Na osnovi trikotniškega oziroma paralelogramskega pravilalahko podano silo razstavimo na dve komponenti, katerih smernici oklepata kot 00ºº< < αα1212 < 180< 180ºº.. Pri tem so lahko podani naslednji podatki:
• smernici delovanja obeh komponentsmernici delovanja obeh komponent
•• velikosti obeh komponentvelikosti obeh komponent
•• velikost, smernica in usmerjenost ene komponentevelikost, smernica in usmerjenost ene komponente
•• velikost ene in smernica druge komponentevelikost ene in smernica druge komponente.
![Page 57: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/57.jpg)
![Page 58: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/58.jpg)
Davorin Babič58
• Razstavljanje sile na dve komponenti v ravnini (analitično)Razstavljanje sile na dve komponenti v ravnini (analitično)
1 2( , ); ,x yF F F s s=v
1 2( , )F K K=v
(cos , sin ), 1,2i i in iPodano:
Iščemo:
= α α =v,
Po vstavljanju in urejanju podatkov dobimo sistem dveh sistem dveh linearnih enačblinearnih enačb oblike:
1 1 2 2
1 1 2 2
cos cos
sin sinx
y
K K F
K K F
⋅ α + ⋅ α =
⋅ α + ⋅ α =
![Page 59: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/59.jpg)
Davorin Babič59
• Razstavljanje sile na dve komponenti v ravnini (analitično) 2Razstavljanje sile na dve komponenti v ravnini (analitično) 2
Prej omenjeno analitično pravilo razstavljanja sile na dve komponenti v ravnini je pravilo projekcijpravilo projekcij. Poleg tega lahko silo razstavimo s pomočjo sinusovegasinusovega izrekaizreka:
2 1
1
2
1 2
180 ( )
sin sin sinK KF
β = − α − αγ = α − α
δ = α − α
= =β δ γ
o
![Page 60: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/60.jpg)
Davorin Babič60
1.5 Splošni sistem sil1.5 Splošni sistem sil
Splošni sistem silSplošni sistem sil opredelimo kot množico silmnožico sil, katerih smernice se med seboj ne sekajone sekajo v eni sami točkiv eni sami točki, ampak delujejo sile na togo telo na smernicah z različnimi različnimi prijemališčiprijemališči.
![Page 61: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/61.jpg)
Davorin Babič61
1.5.1 Statični moment sile1.5.1 Statični moment sile
Učinek delovanja sile na togo telo, ki je vrtljivo vpetovrtljivo vpeto v neki točki, nam ponazarja vrtenjevrtenje ali rotacijarotacija tega telesa okrog dane točke. Jakost rotacije merimo s statičnim momentom statičnim momentom silesile.
![Page 62: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/62.jpg)
Davorin Babič62
1.5.2 Elementi statičnega momenta1.5.2 Elementi statičnega momenta
![Page 63: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/63.jpg)
Davorin Babič63
Statični moment sile je Statični moment sile je vektorska veličinavektorska veličina in je definiran z in je definiran z vektorskim produktom krajevnega vektorja prijemališča sile vektorskim produktom krajevnega vektorja prijemališča sile rrin sile in sile FF ::
( ) ( ) ( )
( )
; ;
, ,
z y z x y x
x y z
x z y y x z z y x
x y z
i j kM r F x y z yF zF i xF zF j xF yF k
F F F
M yF zF M zF xF M xF yF
M M M M
= × = = − − − + −
= − = − = −
=
vv v
uur v vv vv
uur
sinM M r F= = ⋅ ⋅ ϕv vvNjegova Njegova velikostvelikost znaša:znaša:
Ker velja :Ker velja : sina r= ⋅ ϕ M F a= ⋅dobimo :dobimo :
![Page 64: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/64.jpg)
Davorin Babič64
1.5.3 Statični moment več sil in 1.5.3 Statični moment več sil in njihove njihove rezultanterezultante
Za statični moment več sil in njihove rezultante velja VARIGNONOV IZREKVARIGNONOV IZREK, ki pravi:
Moment Moment rezultanterezultante glede na neko točko je enak vsoti glede na neko točko je enak vsoti momemtovmomemtov posameznih komponent glede na isto točko.posameznih komponent glede na isto točko.
1 21
;
i n
i
n
R F F F Fi
R F i i
M M M M M
M R a M F a=
= = + + +
= ⋅ = ⋅
∑ K
![Page 65: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/65.jpg)
Davorin Babič65
1.5.4 Dvojica sil1.5.4 Dvojica sil
Dve enako veliki in nasprotno usmerjeni sili, delujoči na Dve enako veliki in nasprotno usmerjeni sili, delujoči na vzporednih smernicahvzporednih smernicah, imenujemo dvojica sildvojica sil. Dvojica sil ima nično nično rezultantorezultanto, na togem telesu pa povzroča učinek rotacijeučinek rotacijeokrog osi, pravokotne na ravnino dvojicepravokotne na ravnino dvojice.
![Page 66: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/66.jpg)
Davorin Babič66
1.5.5 Moment dvojice sil1.5.5 Moment dvojice sil
( )V i ii
M F a F b F c c b F F a= ⋅ = − ⋅ + ⋅ = − ⋅ = ⋅∑
Moment dvojice sil je enakproduktu sile F in medsebojne produktu sile F in medsebojne pravokotne razdalje a med pravokotne razdalje a med silamasilama..Ni odvisen od lege Ni odvisen od lege momentnemomentnetočke (vrtišča V) in je za dano točke (vrtišča V) in je za dano dvojico stalendvojico stalen..
![Page 67: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/67.jpg)
Davorin Babič67
1.5.6 1.5.6 RezultantaRezultanta in in rezultirajočirezultirajočimoment splošnega sistema silmoment splošnega sistema sil
Splošni sistem sil v ravnini (Splošni sistem sil v ravnini (komplanarnikomplanarni sistem)sistem)
Splošni sistem silSplošni sistem sil v ravnini tvorijo v ravnini tvorijo sile, sile, ki delujejo v tej ravniniki delujejo v tej ravnini in mu in mu pravimo pravimo komplanarnikomplanarni sistemsistem..KomplanarniKomplanarni sistem sil sistem sil temelji na temelji na osnovnih aksiomih statikeosnovnih aksiomih statike, zato , zato predpostavimo, da je dana ravnina predpostavimo, da je dana ravnina togo ali del togega telesatogo ali del togega telesa..Izračun Izračun rezultanterezultante in in momenta silmomenta silkomplanarnegakomplanarnega sistema temelji na sistema temelji na že omenjenih pravilih.že omenjenih pravilih.
![Page 68: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/68.jpg)
Davorin Babič68
RedukcijskoRedukcijsko pravilopravilo
Silo na togem telesu smemo prenesti v poljubno točko, če Silo na togem telesu smemo prenesti v poljubno točko, če prenešeniprenešeni sili dodamo moment dvojice, ki je enak momentu sili dodamo moment dvojice, ki je enak momentu prvotne sile glede na redukcijsko točko. Statični vpliv sile po prvotne sile glede na redukcijsko točko. Statični vpliv sile po
redukciji ostane nespremenljiv.redukciji ostane nespremenljiv.
![Page 69: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/69.jpg)
Davorin Babič69
Po uporabi redukcijskega pravila na danem komplanarnem sistemu imajo vse sile skupno prijemališče (centralni sistem) in jih lahko nadomestimo z rezultantorezultanto:
1 1
2 2
,n n
x ix y iyi i
x y
R F R F
R R R= =
= =
= +
∑ ∑
Podobno sestavimo vse momente posameznih sil v rezultirajočirezultirajoči momentmoment:
1 1( )
n n
V i i i iy i xii i
M F a x F y F= =
= ⋅ = ⋅ − ⋅∑ ∑Lega in smer Lega in smer rezultanterezultante je določena z enačbama:
, tg yVR
x
RMaR R
= α =
![Page 70: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/70.jpg)
Davorin Babič70
Splošni sistem sil v prostoruSplošni sistem sil v prostoru
Splošni sistem sil v prostoruSplošni sistem sil v prostorusestavljajo sile, ki ne leže v eni ki ne leže v eni sami ravninisami ravnini. Takšen sistem sil nam tudi nazorno prikaže gibanje togega telesa v prostoru:
• translacijotranslacijo (rezultanta) in
• rotacijorotacijo (statični moment).
![Page 71: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/71.jpg)
Vaja 1:Vaja 1:
Določi sili v veznih palicah, kateri nosita breme B tako, da bo sistem v ravnotežju!Masa bremena je 100 kilogramov.
B
![Page 72: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/72.jpg)
Grafična rešitevGrafična rešitev
LegopisLegopis silsil Poligon silPoligon sil
B
Gv
1Fv
2Fv
o45
x
y
iv
jv
![Page 73: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/73.jpg)
Vaja 2:Vaja 2:
Določi silo in naklonski kot vrvi, pod katerim mora mož na sliki držati gredo,Da bo ta mirovala.Masa bremena je 100 kilogramov.
FF
GG
![Page 74: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/74.jpg)
![Page 75: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/75.jpg)
![Page 76: Osnove statike](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050702/553ce2f05503463a458b4b67/html5/thumbnails/76.jpg)