1

OSNOVNE VERJETNOSTNEGA RAČUNA

Osnovna pojma

POSKUS, DOGODEK

POSKUS vsak akt,hote ali nehote opravljeno dejanje,realizacija množice skupaj nastopajočih dejstev

Met kocke,rojstvo otroka,testiranje izdelka za kontrolo, ...

2

DOGODEK

določeno dejstvo,ki se pri poskusu lahko zgodi ali pa ne zgodi

pade ena pika, rojen otrok je deklica,izdelek je uporaben ...

3

Označimo

POSKUSI DOGODKI

, , ,... , , ,...A B C

Dan poskus in dogodek A Poskus ponavljamo in štejemo kolikokrat se zgodi dogodek A

4

mogoče troje

dogodek A se vedno zgodi

gotov dogodek

Gdogodek A se nikoli ne zgodi

nemogoč dogodek

Ndogodek A se včasih zgodi, včasih pa se ne zgodi

slučajen dogodek

5

Geometrijska ponazoritev dogodkov

A

B

C

6

RELACIJE IN OPERACIJE med dogodki

A način B,če se hkrati z A zgodi B

A BPonazoritev

AB

Velja tranzitivnost

A B B C A C

7

ekvivalentna sta dogodka,ki se zgodita vedno hkrati

AB A BA B velja

8

Seštevanje dogodkov +

A, B dva dogodka

Vsoto A + B

definiramo

vsota dogodkov A in B je dogodek,ki se zgodi,če se zgodi vsaj eden od obeh dogodkov vsote

9

ponazoritev

A+B

AB

10

primer poskus

izbor karte iz kupa 32 igralnih kart

dogodka

A ... izbrana karta pik

B ... izbrana karta as

11

vsotaA + B

izbrana karta pik ali as(lahko tudi pikov as)

posplošitev A A A1 n2 ...

je dogodek, da se zgodi vsaj eden od iA

Lastnosti komutativnost

A + B = B + A asociativnost

( A + B ) + C = A + ( B + C )

12

Množenje dogodkov

A, B dva dogodka Produkt A.B

definiramo

Produkt dogodkov A in B je dogodek,ki se zgodi,če se zgodita oba dogodka hkrati

,

13

ponazoritev

A

B

A.B

14

primer poskus

izbor karte iz kupa 32 igralnih kart

dogodka

A ... izbrana karta pik

B ... izbrana karta as

produkt A·B izbrana karta pikov as

15

posplošitev 1 2. .... nA A A

je dogodek, ki se zgodi,če se zgodijo vsi dogodki v produktu hkrati

lastnosti

komutativnost

A.B = B.A

asociativnost

A.(B.C) = (A.B).C

distributivnost

(A+B).C = A.C + B.C

16

nasprotni dogodek A

dogodku A nasprotni dogodek

je dogodek, ki se zgodi,če se A ne zgodi in se ne zgodi,če se A zgodi

tudi negacija dogodka A

lastnosti

A AA A N

A A G

N GG N

17

ponazoritev

A

A

18

nezdružljiva sta dogodka A in B če se ne moreta zgoditi hkrati

velja A.B = N

združljiva sta dogodka A in B, če se lahko zgodita hkrati

sestavljen dogodek je dogodek A, če ga moremo pisati kot vsoto dveh ali več drugih dogodkov

A = B + C

19

primer rdeča karta = srce + kara

as = pik as + srce as + križ as + karo as

izid ali elementarni dogodek

je dogodek,ki ga ni možno pisati kot vsoto dveh ali več drugih dogodkov

20

Pri večkratni ponovitvi poskusa se lahko zgodijo dogodki 1 2 n,A ,...AA

definicija Množica dogodkov

S = A A A1 2 n, ,...

je popoln sistem, če se pri vsaki ponovitvi poskusa zgodi natanko eden izmed njih

21

Iz definicije izhaja

1. dogodki v so paroma nezdružljivi

i j.A N, i j A

2. vsota dogodkov iz S je gotov

dogodek G

1 2 nA ...A GA

22

Ponovitev poskusa je za dogodek A u g o d n a,če zgodi dogodek A pri tej ponovitvi.

m : število ugodnih ponovitev

n : število ponovitev

f Am

n

relativna frekvenca dogodka A

23

Velja:

z večanjem n (število ponovitev poskusa)se relativna frekvenca stabilizira, zato statistična definicija VERJETNOST DOGODKA A je število,pri katerem se njegova relativna frekvenca stabilizira,ko število ponovitev poskusa večamo

ali

P Am

nn

lim

24

verjetnost dogodka se vedno nanaša na čisto določen poskus

verjetnost je odvisna od razmer v poskusu in ne od volje tistega, ki poskus izvajapri ponovitvah istega poskusa se pogoji (kompleks pogojev)ne smejo spreminjati

25

Klasična definicija

VERJETNOSTI

A : sestavljen dogodek iz m dogodkov popolnega sistema izidov

1 2 nA ,A ,...AS = m < n

1 2 mA=A A ... A v e r j e t n o s t dogodka A je

P A m

n

26

Izidi v popolnem sistemu so enakoverjetni

1iP A

n

Lastnosti verjetnosti

. 1 0P A . 2 1P G . 3 0P N

4. P A B P A P B A,B nezdružljiva

5. P A B P A P B P A B A,B združljiva

Posledica: Verjetnost slučajnega dogodka je

0 1P A

27

POGOJNA VERJETNOST

Dana sta dva dogodka A in B in njuni verjetnosti: P(A) in P(B) Vzemimo,da se je B zgodil in ima nato A neko verjetnost,ki je različna od P(A)Tej verjetnosti pravimo pogojna verjetnost dogodka A pri pogoju B

/P A Bpišemo

28

Podobno, zgodil se je A in ima nato B neko verjetnost različno od P(B)

Pravimo ji pogojna verjetnost dogodka A pri pogoju B

pišemo /P B A

Veljata zvezi

in

. .P A BBP AP A BAP

P AB P B

29

definicija

dogodka A in B sta med seboj neodvisna, kadar velja

P(A/B) = P(A) in P(B/A) = P(B)

Za neodvisna dogodka velja

P(A.B) = P(A).P(B)

30

R E L E J N I(FAZNI)P O S K U S I

Poskus poteka v dveh fazah

1. V prvi fazi se zgodi eden od dogodkov popolnega sistema 1. V prvi fazi se zgodi eden od dogodkov popolnega sistema

1 2, ,... nH H HS =

1 2( ), ( ),... ( )nP H P H P Hpoznamo

31

2. Pogoji v drugi fazi so odvisni od tega,kateri dododek se je zgodil v 1.fazi in v 2. fazi se lahko zgodi dogodek A

poznamo

1 2( / ), ( / ),... ( / )nP A H P A H P A H

?

kakšna je P(A) pred prvo fazo? kakšna je P(A) pred prvo fazo?

32

Izrek Verjetnost dogodka A vnaprej pred 1.fazo poskusa se imenuje totalana verjetnost in je enaka

1

( ) ( ). ( / )n

i ii

P A P H P A H

33

Lahko postavimo tudi nalogo

Pri faznem poskusu se je v drugi fazi zgodil dogodek A. Ne vemo pa, kateri od dogodkov popolnega sistema se je zgodil v prvi fazi.

Postavimo hipotezo da se je zgodil v prvi fazi dogodek kH

Izrek Verjetnost veljavnosti hipoteze je

kkk

.

A P A

AP H P HHP BAYESOVA formula