Matematiki fakultet , Beograd 2004. SEMINARSKI RAD Osnovni identitetiu trigonometriji

O S N O V N I I D E N T I T E T I U T R I G O N O M E T R I J I 2 Sadraj: Uvod u trigonometriju..................................................................................3 Trigonometrijske funkcije ............................................................................6 Grafici trigonometrijskih funkcija ................................................................7 Svoenje trigonometrijskih funkcija na otar ugao .....................................8 Trigonometrijske vrednosti zbira i razlike ..................................................9 Primeri ......................................................................................................... 11 Transformacije proizvoda i zbira trigonometrijskih funkcija ...................... 13 Primeri ........................................................................................................15 O S N O V N I I D E N T I T E T I U T R I G O N O M E T R I J I 3 Uvod u trigonometriju Granaelementarnematematikekojaizraunavaelementetrougladefinisanog numerikim podacima.Deli se na trigonometriju u ravni, ako je trougao u ravni,i na sfernu trigonometriju,akotrougaoobrazujuvelikekrunicesfere.Ovajizrazsvevieoznaava prouavanje,,trigonometrijskihodnosa'':sinus,kosinus,tangensikotangensjednoglukaili ugla.Kae se i da su to krune funkcije. Nastalajeirazvilasezajednosaastronomijom,kaonjendeouvidunumerikog aparatasaglasnogpraktinimpotrebamaastronomije.Kolikojetrigonometrijabilavezana zaastronomijuveomajasnosvedoiinjenicadajevremenskiprenastalairazvilase sferna nego ravna trigonometrija. KodGrka,trigonometrijajeskuptehnikauskopovezanihzaastronomiju.Onase zanimasamozasfernefigure,kaofunkcijekoristisamotetivekrunihlukova,za ustanovljenjetablicaoslanjasenaupisanetvorougaoizakorienjesfernihfigurana Menelajevuteoremu.prouavanjeevolucijetrigonometrije,poevodovogverazvijenog doba,odnosi se na sledee:uvod u ravnu trigonometriju,zamenu sinusa sa tetivama,pojavudrugihtrigonometrijskihlinija,novepostupkezaizraunavanjetablica,pojavudecimalnih razlomaka,zatim,odkrajaXVIvekanaprimenu,najprealgebrenatrigonometriju,i infinitezimalne analize. Antika Starogrki,antikiastronomiHiparh,Aristarh,Ptolomej,Menelajidrugistvorilisuitav trigonometrijskiaparatzapotrbeastronomije.Razvilisupreciznoraunsatetivama krunice,to praktino znai raun sa sinusom i kosinusom i na osnovu tog rauna sastavili su prve numerike tablice za sinus i kosinus. Menelajjesastavioestknjigaotetivamakrunice,alijeovajradizgubljen;ipak, moda je on sadrao modele koji potiu bar od Hiparha,astronoma iz II veka p.n.e.Od tada ,,polutetiva dvostrukog luka'',dananji sinus ima osnovnu ulogu u trigonometriji. Najbolje sauvani spomenik grke trigonometrije je skup od IX do XI poglavlja prve knjige ptolomejeve Matematike sintakse iliAlmagesta. Devetopoglavlje:,,Procenaupisanihpravih(dui)ukrunici'',odnosisena konstrukcijutablicatetiva.OvomprilikomPtolomejjedodaojedanstav(kojidanasnosi njegovoime),kojiglasi:,,Usvakometvorougluupisanomukrunici,proizvoddveju dijagonala jednak je zbiru proizvoda suprotnih stranica''. Indusi i Arapi Uistomsmislutrigonometrijusurazvijaliistaroinduskimatematiari,kojisuseistakli svojimnumerikimtrigonometrijskimtablicama.Indusisudalitehnikoimepolutetivi O S N O V N I I D E N T I T E T I U T R I G O N O M E T R I J I 4 dvostrukogugla.Ovoimepostalojenasinusprekoprevodanaarapskijezik,zatimsa arapskog na latinski jezik. Zapadna renesansa U razdoblju od XII do XV veka u Evropi se intenzivno prevode na latinski jezik,uzkomentare i razliite prerade i dopune,matematika dela sa grkog i arapskog,a meu njimaidelaizastronomijeitrigonometrije.Tadaseveuvelikokoristesinusnateoremai druge trigonometrijske relacije u vezi sa reavanjem trougla.Postepeno se razvijaju i uvode trigonometrijske simbolike oznake. TrigonometrijunaZapadunaroitosuprouavaliuXIVvekupredstavnici Oksfordske kole,posebno John Maurduith i Richard Wallingford. Najistaknutiji predstavnik te epohe u oblasti trigonometrije je Regiomontanus.On oko 1464. godine sastavlja svoje delo ,,De Triangulis'' (o trouglovima).To je prvo celovito delo iztrigonometrije,aobjavljenojeposlenjegovesmrti1533.godine,ikaotakvobilojeod presudnog uticaja na dalji razvoj trigonometrije u XVI i XVII veku. Njemusedugujeitablicatangensa,Tabulasecunda(drugatablica),gdejepoluprenik podeljen na 100000 delova. PrviVijetovimatematikiradoviodnosesenatrigonometriju.Njegov,,Canon mathematicus''(matematikizakon,1579.godine)jetablicaesttrigonometrijskihlinija, klasinih za njegovu epohu,koje su izraunate od minuta do minuta za poluprenik 100000 (ponekadsajednomilidvedecimaleprekocelogdela).Tojeprvapotpunatablicate vrste.Tusenalazeformulezareenjeravnihisfernihtrouglova.Zahvaljujuisvojim algebarskimoznakama,Vijetjemogaodatisasvimnoveizrazelinijamaviestrukogdatog luka u funkciji linija ovog luka.On pokazuje duboku analogiju izmeu ovih formula i onih u razvitku stepena binoma.Od tada,trigonometrija,kao prouavanje krunih linija, i algebra polinoma pruaju meusobni oslonac. Ka novijem vremenu Do XVII veka trigonometrija se skoro iskljuivo bavila reavanjem trougla u vezi sa raznimprimenamauastronomiji,geografiji,moreplovstvu,geodezijiiarhitekturi,irazvijala sepretenonaosnovugeometrijskihmetoda,aodtadapoelaserazvijatinaosnovu analitikih,odnosno aritmetiko-algebarskih metoda. BitniprogresostvarujesetokomXVIIIveka,naroitoradovimaOjlera,kakou pogledusadrajatakoiupogledusimbolikogaparata.Onistinskizasnivamodernu trigonometriju.Njemusedugujesadanjaupotrebamalihlatinskihslovaa,b,czastranice trougla u ravni ili na sferi i odgovarajua velikaslovaA,B,C za suprotneuglove.Meutim njegovnajveidoprinosjestenjegovoprouavanjekrunihfunkcija.Akosepoluprenik uzmezajedinicu,tefunkcijesu,,trigonometrijskelinije''dateunjihovimrazvojimabilo u cele brojeve,bilo u beskonane proizvode.Prvi je trigonometriju sistemski izloio analitiki i tako joj dao savremeni oblik. ZarazvojsfernegeometrijezasluanjeR.Bokovi(1711-1787).Uistoriji matematikesenaglaavadajeoncelusfernutrigonometrijusveonaestteoremaijednu konstrukciju,idajepokazaokakoseizmnogobrojnihodnosakojisumoguiusfernoj O S N O V N I I D E N T I T E T I U T R I G O N O M E T R I J I 5 trigonometrijidobijajuetiriosnovneitejednainesezovuBokovievediferencijalne jednaine.

Analitikizasnovana,trigonometrijanalazitokomXIXvekairokuprimenuu mehanici,fiziciitehnici.Takoe,funkcijesinusikosinuspostalesuosnovnosredstvou matematikimtumaenjimaoscilatornihkretanjaipojava.Trigonometrijskefunkcijesu danas predmet teorije funkcija kao posebne grane matematike, pa se trigonometrija vie ne tretirakaoposebnaoblastmatematike,areavanjetrouglapomoutrigonometrijskih metoda obino se posmatra kao posebno poglavlje u matematici. DVA VELIKA IMENA U TRIGONOMETRIJI MENELAJ ili MENELAUS ALEKSANDRIJSKI(I vek) grki astronom i matematiar. Napisao je delo,koje nije pronaeno,o izraunavanju tetiva u krunici,kao i raspravu u tri Knjige,Sferike,koja je do nas stigla na arapskom jeziku.Prva knjiga tog dela zasniva sfernu geometrijudajuipovlaenuuloguvelikimkrunicama.Drugaknjigajeisto astronomska,atreastvarasfernutrigonometriju,zasnovanunadveteoremezvane ,,Menelajevim'':jednaseodnosinaravan,adruganasferu.Menelajevateoremauravnije igrala osnovnu ulogu u teoriji transferzala,a sferni stav ostao je vie stolea osnova sferne trigonometrije. REGIOMONTANUS,poznatijikaoJohanesMiler(JohannesMller,1436-1476), nemaki astronom i matematiar.Uenik u Beu Pojerbaha(Georg von Peuerbach,1423-1461),daje dobra izdanja rukopisa velikih grkih astronoma,kao i dela svog uitelja. Njegovoglavnodelo,Detriangulisomnimodis(osvakojakimtrouglovima),napisanoje oko1464.godine,aobjavljenojeposlenjegovesmrtiuNirnbergu1533.godine.Ovodelo mnogodugujegrko-arapskojtradiciji,alijepremasvomizlaganjuveomaoriginalnoi zasniva zapadnu trigonometriju.

O S N O V N I I D E N T I T E T I U T R I G O N O M E T R I J I 6 Trigonometrijske funkcije Neka je k trigonometrijski krug(poluprenik je 1),sl. 1,na kome jedefinisanopreslikavanjeK(o ),o jeugaoC'OA,o eR,tako da je K(o )=A(x,y). ApscisatakeK(o ),odnosno AOMO,jekosinusodo ,uoznaci: coso ,aordinatatakeK(o ),odnosno AOAM,jesinusodo ,u oznaci sino .

Sinus i kosinus su trigonometrijske funkcije,koje su ograniene, jer je slika 1OA= 1 , pa jeo sin s 1i o cos s 1 . Takodje,sa slike se vidi da je na osnovu Pitagorine teoreme AM2+ MO2= OA2, tj.

sin2o+cos2o= 1

Ovo vai za bilo koje realno o . Pored sinusa i kosinusa postoje jo i tangens ,kotangens,sekans i kosekans. Tangens ugla o je po definiciji oocossin,za coso = 0,u oznaci tgo ,a kotangens ugla oje po definiciji oosincos,za sino 0 = ,u oznaci ctgo .Po definiciji vai da je Sekans ugla oje po definiciji o cos1 ,u oznaci seco ,dok je kosekans ugla opo definiciji o sin1 ,u oznaci cosek o . Znai: tgo ctg o= 1 O S N O V N I I D E N T I T E T I U T R I G O N O M E T R I J I 7 sino= hipotenuzanaspramna kateta ) ( tgo= ) () (nalegla katetanaspramna kateta coso= hipotenuzanalegla kateta ) ( ctgo= ) () (naspramna katetanalegla kateta Grafici trigonometrijskih funkcija Grafik funkcije y = sinx prikazan je na slici 4. To je sinusoida koja se nalazi izmedju pravihy = 1 i y= -1.Funkcija ima nule x = kt ,k Z e , maksimalna vrednost,y = 1, je za x ttm 22 + = , m,a minimum je y = -1 za x =ttn 223+ ,n Z e . Grafik funkcije y = cosx prikazan je na slici 5. To je kosinusoida koja ima nule u taki x =ttk +2, k Z e ,maksimalna vrednost je y = 1,za x =t m 2 , m Z e ,a minimalna vrednost je y = -1 za x =t t n 2 + , n Z e .To je parna funkcija. Grafik funkcije y = tgx prikazana je na slici 6. Nule funkcije su x =t k , k Z e (kao kod sinusa). Nema ekstremuma.U prekidnim takama x ttm 22 + = , m Z e ,ima vertikalne asimptote.Funkcija je rastua.

slika 4 slika 5 slika 6 O S N O V N I I D E N T I T E T I U T R I G O N O M E T R I J I 8 Grafik funkcije y = ctgx prikazana je na slici 7.Njene nule su x =ttk +2, k Z e ,i u prekidimax = mt , m Z e ,ima vertikalne asimptote.Funkcijastalno opada. Svoenje trigonometrijskih funkcija na otar ugao Primeri: Primer 1:( )1)23() ( sin223sin2222=+|.|

\|+tttx ctgxx ctgx slika 7 O S N O V N I I D E N T I T E T I U T R I G O N O M E T R I J I 9 1 cos sincossinsinsincoscos sin cos2 22222222222= + = + = + x xxxxxxxx tgxx ctgx Primer 2:8175cos74cos7cos =t t t

72cos )72cos(75cost ttt = = 7sin 874cos74sin 27sin 874cos72cos72sin 47sin 874cos72cos7cos7sin 8tt ttt t ttt t t t=== 817sin 87sin7sin 8) 7sin(7sin 878sin= =+ =ttttttt Trigonometrijske vrednosti zbira i razlike Neka je u koordinatnoj ravni xOy data taka M(x,y).Uoimo vektor M O ,sl.3,iakosaiijoznaimojedininevektoreosaOxiOy, tada jeX O = xii Y O =y j.Kako jeM O =X O +Y O ,sledi da jeM O =xi+ y j .To emo koristiti kod izraunavanja vrednosti funkcijasin(o + | )icos(o + | )prekofunkcijaodo i| .slika 3

Neka je na trigonometrijskom krugu K(o + | ) = B i K(o ) = A, slika 2.Tada je duina lukaB A jednaka| .Iz toga sledi da jeB O =cos(o + | ) i + sin(o + | ) j .Postavimo nov koordinatni sistem,tako da mu osa Ox' sadri vektorA O.Osa Oy' je norma-lnanaOx',pajeK(2t+o )=A'.Unovomkoordinatnom sistemu je: B O = cos ' i |+ sin ' j |.Sadavektore' i=A Oi' j=' A Oizrazimouprvobitnom koordinatnom sistemu: ' i=i o cos + sin j oi ' j = cos(2t +o ) i + sin(2t +o ) j = -sin i o + cos j oi zamenimoi i j u izrazu za B O ,paebiti: B O =cos | (cos i o +sin j o )+sin | (-sin i o +cos j o ).Kadaovo sredimo i izjednaimo sa prvobitnim izrazom zaB O dobiemo: O S N O V N I I D E N T I T E T I U T R I G O N O M E T R I J I 10 B O =cos(o + | ) i +sin(o + | ) j =(coso cos | -sino sin | ) i +(sino cos | + coso sin | ) j ,aodavdeje:(cos(o + | )-coso cos | +sino sin | ) i +(sin(o + | )- sino cos |- coso sin | ) j =0 .Kako sui ij nekolinearni vektori,ovo je mogue samo u sluaju0i + 0 j =0,odakle sledi: (1) sin(o + | ) = sino cos |+ coso sin |(2) sin(o - | ) = sino cos |- coso sin |(3) cos(o + | ) = coso cos |- sino sin |(4) cos(o - | ) = coso cos |+ sino sin | Dalje,kombinacijomidentiteta 1 i 3,kao i 2 i 4,sa tg( ) | o =( )( ) | o| ocossinve poznatim da je tg( ) | o =| o| otg tgtg tg 1dobijamo: Dok kombinacijom istih sa ve poznatom da je ctg( ) | o =( )( ) | o| osincos dobijamo: ( ) | o ctg =o || octg ctgctg ctg 1 Zamenom argumenta|sa o ,u formulama 1 i 3,kao i u formulama za tg zbira i ctg zbira dobijamo formule za funkcije dvostrukog argumenta. Kombinujui ove i ranije izvedene formule stie se do identiteta kojim se funkcije izraavaju preko cos2o . o oo o o o o o2 cos 1 cos 22 cos ) cos 1 ( cos sin cos 2 cos22 2 2 2+ == = cos2o= cos o2 - sin o2 sin2o= 2 o ocos sintg2o= oo212tgtg ctg2oooctgctg212= O S N O V N I I D E N T I T E T I U T R I G O N O M E T R I J I 11 Slino se dobija i za 2sin o2=1-o 2 cos ,pa je: Mogue je izraziti trigonometrijske funkcije preko tg2o to je veoma praktino u reavanju odreenih zadataka. 21222cos2cos2sin2cos2cos2sin 22cos2sin2cos2sin 22cos2sin 222 sin sin222 222 2oooo ooo oo oo oo o ootgtg+=+=+= = =uvodjenjem smene t = tg2o dobija se sledee: oo oooooo ooooo o ooo o oocos 1cos 12 2 cos 12 cos 1cos 1cos 12 2 cos 12 cos 12cos 12cos22 cos 1cos2cos 12sin22 cos 1sin2222+= +=+= +=+= +== =ctg ctgtg tg O S N O V N I I D E N T I T E T I U T R I G O N O M E T R I J I 12 212sintt+= ocos2211tt+= o tg212tt= octgtt212= o Primeri: Dokazati identitete: I primer:)4cos(222 sin 2cos sin3 3t = +xxx x Sreivanjem leve strane dobija se: =+ +x xx x x x x xcos sin 2 2) cos cos sin )(sin cos (sin2 22cos sin) cos sin 1 ( 2) cos sin 1 )( cos (sin x xx xx x x x += + Sreivanjem desne strane dobija se: 2sin cos) sin22cos22(22)4sin sin4cos (cos22 x xx x x x+= + = +t t II primer: tgxtgxxx+=+112 sin 1sin 2 12 Sreivanjem leve strane dobija se: x xx xx xx x x xx xx xx x x xx x xsin cossin cos) sin (cos) sin )(cos sin (cos) sin (cossin coscos sin 2 sin cossin 2 sin cos2 22 22 22 2 2+=++ =+=+ + + Sreivanjem desne strane dobija se: x xx xxx xxx xxxxxsin cossin coscossin coscossin coscossin1cossin1+=+=+ O S N O V N I I D E N T I T E T I U T R I G O N O M E T R I J I 13 III primer: xxx x x xsin 1616 sin8 cos 4 cos 2 cos cos = Proirimo levu stranu sa 16sinx: xxxx xxx x xxx x x xxx x x x xsin 1616 sinsin 168 cos 8 sin 2sin 168 cos 4 cos 4 sin 4sin 168 cos 4 cos 2 cos 2 sin 8sin 168 cos 4 cos 2 cos cos sin 16== = = IV primer: 1 cos sin 3 cos sin2 2 6 6= + + x x x x 1 cos sin 3 ) sin (cos cos sin 3 1cos sin 3 cos sin 3 sin cos 3 ) sin (cos2 2 2 2 2 22 2 2 4 2 4 3 2 2= + + = + +x x x x x xx x x x x x x x V primer:tgx xx xxsin cossin cos)4(+= t Sreivanjem leve strane se dobija izraz: x xx xxx xxx xxxxxtgxtgxsin cossin coscossin coscossin coscossin1cossin111+=+=+=+ VI primer: xxx tg2 sin 12 sin 1)4(2+= t xxxxxxx tg2 sin 12 sin 1)2cos( 1)2cos( 1)2( cos 2)2( sin 2)4(222+= + == ttttt Transformacije proizvoda i zbira trigonometrijskih funkcija Trigonometrijskefunkcijesuveoma,,fleksibilne'',kakoupogledutransformacijasamih funkcija,tako i njihovih argumenata.Zavisno od problema koji se reava,nekada nam vieodgovara izraz u obliku proizvoda nego u obliku zbira i obrnuto.Za tako neto slue sledee formule. Proizvod trigonometrijskih vrednosti O S N O V N I I D E N T I T E T I U T R I G O N O M E T R I J I 14 Dokaz: za izvoenje ovih formula koriste se formule za kosinus razlike i zbira,kao i formule za sinus razlike i zbira. Sabiranjem:sin(o + | ) = sino cos |+ coso sin |+ sin(o - | ) = sino cos |- coso sin |dobija se: 2sino cos | = sin(o + | )+sin(o - | ) Zatim sabiranjem:cos(o + | ) = coso cos |- sino sin |+ cos(o - | ) = coso cos |+ sino sin | dobija se: I na kraju oduzimanjem: cos(o - | ) = coso cos |+ sino sin | -cos(o + | ) = coso cos |- sino sin | dobija se:

Zbir i razlika trigonometrijskih vrednosti Kao i prethodne i ove formule se izvode iz kosinusa zbira i razlike,kao i iz sinusa zbira i razlike,osim to se ovde uvodi smene 2y x += o i 2y x = | . (5) 2) sin( ) sin(cos sin| o | o| o + += y xy x y xsin sin2cos2sin 2 + = +(6)coso cos | =2) cos( ) cos( | o | o + +y xy x y xcos cos2cos2cos 2 + = +2) sin( ) sin(cos sin| o | o| o + +=coso cos | =2) cos( ) cos( | o | o + + sino sin | =2) cos( ) cos( | o | o + O S N O V N I I D E N T I T E T I U T R I G O N O M E T R I J I 15 (7) sino sin | =2) cos( ) cos( | o | o + x yy x y xcos cos2sin2sin 2 = + Razlike sinusa: sinx-siny = sinx + sin(-y)(zato sto je sinusna funkcija neparna) Iz formule (5) se dobija:y xy x y xsin sin2cos2sin 2 =+ Tkoe,korisna je i formula za sinx-cosy koja se dobija tako to se sinus prevede u kosinus ili obrnuto(jer se zna da je : )2cos( sin x x =t ilicosx = sin( x 2t) ) sinx-cosy = sinx - sin( y 2t) = sinx + sin(y - 2t) =22cos22sin 2t t+ + y x y x Primeri: VII primer:)4 2(cos 1 cos 1cos 1 cos 1 t+ = + + + xctgx xx x, t < x < t 2 Levu stranu emo pomnoiti sa 2 22,pa se dobija: O S N O V N I I D E N T I T E T I U T R I G O N O M E T R I J I 16 ||.|

\|||.|

\|+=||.|

\|+||.|

\|++2sin2cos222sin2cos222cos 12cos 1222cos 12cos 122x xx xx xx xkako jet < x < t 2 tt< 0,i uklanjanjem aps. zagrada dobija se: |.|

\|+ =|.|

\|+ |.|

\|+ = + 4 24 2sin4 2cos2sin222cos222sin222cos22tttxctgxxx xx x VIII Primer:|.|

\|+ |.|

\|+ = +234sin2 4sin 4 3 cos sin cosx xx x xt t |.|

\|+|.|

\|+ ==||||.|

\| ||||.|

\|+ + =|.|

\|+ == + = + = +234sin2 4sin sin 4)222sin222sin 2 ( sin 2 ) 22cos (cos sin 2) 2 sin (cos sin 2 sin 2 sin 2 cos sin 2 ) 3 cos (cos cos sin 2x xxx x x xx x x xx x x x x x x x x x xt tt tt IX Primer:2sin2sin2sin 4 1 cos cos cosz y xz y x + = + +, x + y + z = t |.|

\| += |.|

\| + = + =2cos2 2sin2sin ) (y x y x zy x ztt ,takoe je 2sin 2 cos 12 zz = Sreivanjem leve strane dobija se: O S N O V N I I D E N T I T E T I U T R I G O N O M E T R I J I 17 2sin2sin2sin 4 1 sin )2sin(2sin 4 12sin22sin22sin 2 2 12cos2cos2cos 2 112cos 22cos2cos 212sin 22cos2cos 2 cos 1 1 cos cos22z y xzy xzy x y x y x y xy x y x y xy x y x y xz y x y xz y x+ = ==||||.|

\| + + + =+|.|

\| ++ == ++ +== + += + + +

X primer: 199 cos 159 cos 9 cos 21 sin100 cos 160 cos 10 cos 20 sin= + + 1) 9 21 sin() 10 20 sin(9 sin 21 cos 9 cos 21 sin10 sin 20 cos 10 cos 20 sin) 9 90 cos( ) 21 180 cos( 9 cos 21 sin) 10 90 cos( ) 20 180 cos( 10 cos 20 sin= + + == + + = + + + + Literatura - Matematiskop Vladimir Stojanovi O S N O V N I I D E N T I T E T I U T R I G O N O M E T R I J I 18 - Matematika za II razred srednje koleSran Ognjanovi Vladimir Mii ivorad Ivanovi - Zbirka zadataka i testova za II razredivorad Ivanovi gimnazija i tehnikih kola,krugSran Ognjanovi - Putevima razvitka matematike Ernest Stipani - Internet prezentacije