otimizaÇÃo do despacho econÔmico atravÉs do mÉtodo primal-dual de pontos interiores puro
DESCRIPTION
OTIMIZAÇÃO DO DESPACHO ECONÔMICO ATRAVÉS DO MÉTODO PRIMAL-DUAL DE PONTOS INTERIORES PUROTRANSCRIPT
-
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN
CARLOS AUGUSTO DA SILVEIRA DE JESUS
OTIMIZAO DO DESPACHO ECONMICO ATRAVS DO MTODO PRIMAL-
DUAL DE PONTOS INTERIORES PURO
CURITIBA
2013
-
CARLOS AUGUSTO DA SILVEIRA DE JESUS
TRABALHO 1 RESOLUO DO PROBLEMA DE OTIMIZAO DO DESPACHO
ECONMICO ATRAVS DO MTODO PRIMAL-DUAL DE PONTOS INTERIORES
PURO
Trabalho apresentado ao Programa de
Ps-Graduao em Engenharia Eltrica,
rea de Concentrao: Sistemas de
energia Sistemas de potncia,
Departamento de Engenharia Eltrica,
Setor de Tecnologia, Universidade
Federal do Paran, como primeira parte
da avaliao da disciplina TE-831
Tcnicas de otimizao aplicadas a
sistemas eltricos de potncia.
Docente: Prof. Dr. Thelma Fernandes
CURITIBA
2013
-
RESUMO
Desde a dcada de 80, houve um aumento significativo na utilizao da tcnica dos mtodos de pontos interiores na resoluo de problemas de sistemas eltricos de potncia. Esses mtodos se constituem basicamente em formulaes matemticas que transformam as restries de desigualdade de um problema em restries de igualdade, por meio da utilizao de variveis de folga com valores estritamente positivos. Estas, por sua vez, so introduzidas funo objetivo atravs do parmetro barreira logartmica. A funo Lagrangeana modelada para o novo problema modificado atravs da considerao destas variveis. As condies de otimalidade de primeira ordem (KKTs) so derivadas com base nessa funo Lagrangeana, sendo ento desenvolvidos algoritmos visando solucionar este problema e buscando o ponto de otimizao sob tais condies. Sendo assim, este trabalho tem por objetivo o desenvolvimento de algoritmos computacionais, objetivando a resoluo do problema de otimizao do despacho econmico atravs do mtodo primal-dual de pontos interiores puro.
Palavras-chave: Otimizao do despacho econmico. Mtodo dos pontos interiores
primal-dual puro.
-
LISTA DE TABELAS
TABELA 1: CUSTO E LIMITE OPERACIONAL DA USINA TRMICA ....................... 7
TABELA 2: DADOS DAS METAS ENERGTICAS DAS HIDRULICAS ................... 7
TABELA 3: CARGA TOTAL PARA TRS PATAMARES ............................................ 7
TABELA 4: DESPACHO DAS USINAS CENRIO 1 .............................................. 20
TABELA 5: DESPACHO DAS USINAS CENRIO 2 .............................................. 21
TABELA 6: DESPACHO DAS USINAS CENRIO 3 .............................................. 21
TABELA 7: DESPACHO DAS USINAS CENRIO 4 .............................................. 21
TABELA 8: DESPACHO DAS USINAS CENRIO 5 .............................................. 22
TABELA 9: DESPACHO DAS USINAS CENRIO 6 .............................................. 22
-
SUMRIO
1 INTRODUO ..................................................................................................... 6
1.1 CONTEXTO ................................................................................................... 6
1.2 OBJETIVOS ................................................................................................... 6
1.2.1 Objetivo geral........................................................................................... 7
1.2.2 Objetivos especficos ............................................................................... 7
2 RESOLUO DO PROBLEMA PROPOSTO ...................................................... 9
2.1 FORMULAO DO PROBLEMA PROPOSTO ............................................. 9
2.2 FORMULAO DO PROBLEMA PROPOSTO BASEADA EM VARIVEIS
DE FOLGA E BARREIRA LOGARTMICA ............................................................ 13
2.3 FUNO LAGRANGEANA .......................................................................... 14
2.4 CONDIES DE OTIMALIDADE DE KARUSH-KUHN-TUCKER ............... 14
2.5 MTODO DE NEWTON ............................................................................... 15
2.6 APLICAO DO MTODO DE NEWTON S CONDIES DE KKT ......... 16
2.7 ATUALIZAO DE Zk E ........................................................................... 17
3 RESULTADOS OBTIDOS .................................................................................. 20
4 ANLISE DOS RESULTADOS E DISCUSSO ................................................. 23
5 CONCLUSES E TRABALHOS FUTUROS ...................................................... 25
-
6
1 INTRODUO
O conceito de otimizao est implcito nos mtodos de resolues de
muitos problemas de sistemas eltricos de potncia. Usando a filosofia da
otimizao, pode-se analisar um problema de deciso envolvendo a seleo de
valores para um dado nmero de variveis inter-relacionadas, concentrando-se a
ateno num nico objetivo, formulado para quantificar desempenho e medir a
qualidade da deciso. Este objetivo , maximizado ou minimizado, dependendo da
formulao, sujeito s restries que podem limitar a seleo dos valores das
variveis envolvidas [3].
Deve-se notar, entretanto que s vezes muito difcil representar todas as
complexidades das interaes das variveis, restries e objetivos apropriados
quando tentamos resolver um problema de deciso complexo. Sendo assim, uma
formulao particular deve ser entendida apenas como uma aproximao. No
entanto, uma boa modelagem e tambm uma interpretao consistente dos
resultados fornecidos so sempre fundamentais e necessrios para se obter
concluses coerentes [3].
1.1 CONTEXTO
O problema de otimizao, em particular o despacho econmico, esto
inseridos diretamente no contexto da programao da operao dos sistemas
eltricos de potncia. Atravs destes estudos que realizado o planejamento
energtico brasileiro.
1.2 OBJETIVOS
Os objetivos deste trabalho so a familiarizao com o problema de
otimizao do despacho econmico de sistemas de potncia, bem como o
desenvolvimento de algoritmos em um estudo de caso, resolvendo o problema
atravs do mtodo primal-dual de pontos interiores puro.
-
7
1.2.1 Objetivo geral
O objetivo geral deste trabalho a familiarizao com o problema de
otimizao do despacho econmico de sistemas de potncia utilizando o mtodo
primal-dual de pontos interiores puro.
1.2.2 Objetivos especficos
Alm da familiarizao com o problema utilizando o mtodo descrito
anteriormente, o trabalho prope um estudo de caso a ser programado no software
Matlab. O problema apresentado seguir ser resolvido atravs do mtodo j
supracitado anteriormente.
Problema: Suponha um sistema cuja carga alimentada por 1 usina trmica
e 2 hidrulicas. Os custos de gerao trmica e as capacidades de gerao so:
TABELA 1: CUSTO E LIMITE OPERACIONAL DA USINA TRMICA
Produtor Custo [$ / h] Capacidade [pu]
1 21111 12)( PgPgPgC 0 1Pg 5
FONTE: Enunciado 1 trabalho (1 sem/2013)
Alm disto, tm-se mais duas usinas hidrulicas, cujas metas energticas
para um ms esto apresentadas na Tabela 2.
TABELA 2: DADOS DAS METAS ENERGTICAS DAS HIDRULICAS
Barra Custo [$ / h] Capacidade
[pu]
Meta
[pu.h]
Meta 2 (hidrulica) 22222 00)( PgPgPgC
0 2Pg 3.5 880
Meta 3 (hidrulica) 23333 00)( PgPgPgC 0 3Pg 3.5 950
FONTE: Enunciado 1 trabalho (1 sem/2013)
TABELA 3: CARGA TOTAL PARA TRS PATAMARES
Patamar horas [pu]
Pesada 148 4.3560
Mdia 428 3.9600
-
8
Leve 168 1.1880
FONTE: Enunciado 1 trabalho (1 sem/2013)
Com isso deve-se apresentar os valores dos despachos da trmica e das
hidrulicas para os 3 patamares, analisando as solues determinadas sob os
seguintes aspectos:
- Dependncia da velocidade de convergncia (nmero de iteraes);
- Diferentes valores iniciais do parmetro barreira;
-
9
2 RESOLUO DO PROBLEMA PROPOSTO
Neste captulo ser apresentada a modelagem matemtica sugerida pela
disciplina para o problema proposto, utilizando os mtodos anteriormente descritos.
2.1 FORMULAO DO PROBLEMA PROPOSTO
Para o ms de estudo do problema proposto so fornecidas as metas
energticas de cada usina hidrulica:
950
880
3
2
Meta
MetaMeta
(1)
Onde:
iMeta : meta energtica da usina hidrulica i;
A carga que deve ser atendida ao longo de 3 patamares representada pelo
vetor Pd (demanda de potncia ativa) com dimenso [3 x 1]:
Assim,
3560.4
9600.3
1880.1
3
2
1
Pd
Pd
Pd
Pd
(2)
Onde:
kPd : representa a carga de potncia ativa do sistema no patamar k;
Outros dados de entrada so os vetores que representam os limites
mximos e limites mnimos de gerao de potncia ativa da usina termeltrica e das
usinas hidreltricas:
-
10
5.3
5.3
5
5.3
5.3
5
5.3
5.3
5
33
32
31
23
22
21
13
12
11
Pgmax
Pgmax
Pgmax
Pgmax
Pgmax
Pgmax
Pgmax
Pgmax
Pgmax
Pgmax
(3)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
33
32
31
23
22
21
13
12
11
Pgmin
Pgmin
Pgmin
Pgmin
Pgmin
Pgmin
Pgmin
Pgmin
Pgmin
Pgmin
(4)
Onde:
kiPgmin : Limite mnimo de gerao de potncia ativa para uma usina i no patamar k;
kiPgmax : Limite mximo de gerao de potncia ativa para uma usina i no patamar k.
Os custos quadrticos e lineares das usinas para cada patamar so
representados pela matriz Q e vetor b:
)
0
0
1
0
0
1
0
0
1
(
diagQ
(5)
-
11
0
0
2
0
0
2
0
0
2
b
(6)
Para o ms em estudo, deve-se fazer o despacho de gerao hidrotrmico
para cada patamar considerado no problema (por exemplo: patamares pesada,
mdia e leve). Ou seja, deve-se otimizar a varivel de otimizao que referente
gerao de potncia ativa Pg:
33
32
31
23
22
21
13
12
11
Pg
Pg
Pg
Pg
Pg
Pg
Pg
Pg
Pg
Pg
(7)
Onde:
kiPg : gerao de potncia ativa para uma usina i no patamar k;
A funo objetivo do problema uma funo custo de gerao de usinas
trmicas:
C(Pg) = Pgt Q Pg + bt Pg
(8)
As restries a que este problema est sujeito so:
-
12
a) Restries de igualdade: Equaes de balano de potncia ativa,
que colocam a premissa de que a potncia gerada total por patamar deve
ser igual carga por patamar:
Iaux x Pg Pd = 0 (9)
Onde:
0
0
0
111000000
000111000
000000111
3
2
1
33
32
31
23
22
21
13
12
11
Pd
Pd
Pd
Pg
Pg
Pg
Pg
Pg
Pg
Pg
Pg
Pg
(10)
b) Restries de desigualdade:
Os limites de gerao so:
Pgmin Pg Pgmax (11)
-Pg + Pgmin 0 (12)
Pg - Pgmax 0 (13)
As metas energticas devem ser satisfeitas:
MetaPgasMatriz_hor (14)
-
13
950
880
168004280014800
016800428001480
3
2
3
3
3
2
3
1
2
3
2
2
2
1
1
3
1
2
1
1
Meta
Meta
Pg
Pg
Pg
Pg
Pg
Pg
Pg
Pg
Pg
(15)
Problema a ser resolvido:
min C(Pg) = Pgt Q Pg+ bt Pg
(16)
s.a
Iaux x Pg Pd = 0
-Pg + Pgmin 0
Pg - Pgmax 0
0 MetaPgasMatriz_hor
2.2 FORMULAO DO PROBLEMA PROPOSTO BASEADA EM VARIVEIS
DE FOLGA E BARREIRA LOGARTMICA
Para se transformar as restries de desigualdade em restries de
igualdade, so introduzidas variveis de folga ao problema. As restries passam a
ser representadas da seguinte maneira:
Pg - Pgmax + smax = 0 (17)
Pg + Pgmin + smin = 0 (18)
0 smetaMetaPgasMatriz_hor (19)
Obs: As variveis de folga smin, smax, smeta devem ser todas 0.
-
14
A fim de se representar as restries de no negatividade das variveis de
folga, o problema modificado com a introduo da barreira logartmica na funo
objetivo do problema. O objetivo da barreira penalizar a funo objetivo quando as
variveis de folga se aproximam da barreira.
O problema modificado passa a ser assim representado:
)}(ln)]ln()([ln{ - )C(min 2
1
9
1
i
i
ii
i
tt smetaspmaxspminco
PgbPgQPgPg (20)
s.a
Iaux * Pg Pd = 0
Pg - Pgmax + smax = 0
Pg + Pgmin + smin = 0
0 smetaMetaPgasMatriz_hor
2.3 FUNO LAGRANGEANA
A funo Lagrangeana associada a este problema :
)(
) () - (][
)}(ln)]ln()([ln{ - ) ,,(
2
1
9
1
smetaMetaPgasMatriz_hormeta
smin PgminPgminsmax PgmaxPgmaxPd - PgIaux
PgbPgQPgPg
t
ttT
ii
iii
tt smetaspmaxspmincoL
(21)
As variveis do problema primal so: Pg, smin, smax, smeta.
As variveis duais so os multiplicadores de Lagrange associados s
restries: ,maxe min , meta .
2.4 CONDIES DE OTIMALIDADE DE KARUSH-KUHN-TUCKER
-
15
As condies necessrias de otimalidade de primeira ordem para este novo
problema de otimizao so:
metaasMatriz_horminmaxIauxbPgQPg TTL 2 (22)
][ Pd - PgIaux L (23)
smaxPgmaxPgpmax - L (24)
smin PgminPgpm - Lin (25)
smetaMetaPgasMatriz_hormeta L (26)
maxmaxsmax Se - L (27)
minminsmin Se - L (28)
metaSe metasmeta - L (29)
onde:
maxS : matriz diagonal das variveis smax;
minS : matriz diagonal das variveis smin;
metaS : matriz diagonal das variveis smeta;
max : Vetor das variveis max ;
min : Vetor das variveis min ;
meta : Vetor das variveis meta ;
2.5 MTODO DE NEWTON
Suponhamos uma f(z), que se deseja encontrar o timo da funo. A partir de
um ponto inicial de partida zk busca-se o ponto timo atravs da direo de busca
zk, sendo que:
zk = - [ W(zk)]-1 * f(zk) (30)
Onde:
W(zk ) a Matriz Hessiana de f(zk).
-
16
A cada iterao k=k+1, o valor de zk atualizado da seguinte forma: zk+1 = zk
+ zk, at que se encontre o timo.
2.6 APLICAO DO MTODO DE NEWTON S CONDIES DE KKT
Aplicando o Mtodo de Newton s condies de KKT para resoluo do
sistema por mtodo iterativo, obtm-se o seguinte sistema de equaes
linearizadas:
W * z = - zL
(31)
Onde:
smeta
smin
smax
meta
min
max
Pg
z
(32)
A matriz Hessiana W apresenta a estrutura abaixo:
metameta
maxmin
maxmax
S
S
S
emasMatriz_hor
ee
ee
Iaux
asMatriz_horeeIauxQ
W
000000
00000
000000
)(000000
0)(00000)(
00)(0000)(
0000000
000)()(2
diag
diagdiag
diagdiag
diagdiag TT
(33)
O sistema de equaes resolvido a cada iterao:
-
17
L
L
L
L
L
L
L
L
.
smeta
smin
smax
meta
min
max
Pg
smeta
smin
smax
meta
min
max
Pg
W
(34)
2.7 ATUALIZAO DE Zk E
A cada iterao, o sistema linear do item anterior resolvido, sendo a
prxima etapa a determinao do comprimento do passo nos espaos primal e dual,
de modo que:
- as variveis de folga smin, smax, smeta sejam todas 0;
- os multiplicadores de Lagrange sejam: min 0, max 0 ; meta 0;
p = min { minsi
-
18
zpk+1 = zpk + p . zpk (37)
zdk+1 = zdk + d . zdk
(38)
Onde:
p e d garantem que as restries de desigualdades no seja violadas,
uma constante que tem por finalidade garantir a interioridade da nova
aproximao, sendo utilizado o valor 0,9995 ;
smeta
spmax
spmin
Pg
zp
(39)
meta
max
min
zd
(40)
O ltimo passo dentro de cada iterao recalcular o valor do parmetro
barreira . O clculo do parmetro baseado na relao:
l
t
2
s
(41)
Onde:
l: nmero de restries de desigualdade;
: fator de acelerao ( 1);
s : vetor formado pelos elementos de [ smin ; smax; smeta] T;
: vetor formado pelos elementos de[min ; max; meta] T.
-
19
2.8 ALGORITMO PARA RESOLUO DO PROBLEMA DE OTIMIZAO VIA
PRIMAL-DUAL DE PONTOS INTERIORES.
Passo 0 : Escolha o , valores iniciais para variveis primais e duais. Faa k = 0.
Passo1: Calcule o valor das condies de otimalidade ( clculo de z L ).
Passo2: Se (norma infinita de z L) < tol = 10-6 , FIM, a soluo zk. Caso
contrrio, faa k= k+1 e v ao Passo 3.
Passo 3: Resoluo do Sistema Linear:
Wk * zk = - z L (50)
Passo 4: Determine o comprimento do passo nos espaos prima e dual (p e d ).
Passo 5 : Atualize todas as variveis.
Passo 6: Atualize o parmetro barreira .
Passo 7:Retorne ao Passo 1.
-
20
3 RESULTADOS OBTIDOS
Para o problema exposto foram simuladas no Matlab seis situaes:
1. Cenrio 1: Parmetro barreira ( ) = 1, Fator de acelerao ( ) = 1;
2. Cenrio 2: Parmetro barreira ( ) = 0.1, Fator de acelerao ( ) = 0.5;
3. Cenrio 3: Parmetro barreira ( ) = 10, Fator de acelerao ( ) = 20;
4. Cenrio 4: Parmetro barreira ( ) = 0,025, Fator de acelerao ( ) = 30;
5. Cenrio 5: Parmetro barreira ( ) = 0,5, Fator de acelerao ( ) = 0,5;
6. Cenrio 6: Parmetro barreira ( ) = 5000, Fator de acelerao ( ) = 0,5;
Os resultados obtidos para o problema exposto seguem abaixo e sero
discutidos no captulo seguinte.
Resultados para o cenrio 1:
Parmetro barreira ( ) = 1
Fator de acelerao ( ) = 1;
Nmero de Iteraes (K) = 21;
Nmero de condicionamento da matriz (cond_matriz) = - 3.94027e+008
TABELA 4: DESPACHO DAS USINAS CENRIO 1
Patamar 1Pg (pu) 2Pg (pu) 3Pg (pu)
Leve 0.0000 2.1497 2.2063
Mdia 1.6423 1.0900 1.2277
Pesada 0.0372 0.5674 0.5834
Resultados para o cenrio 2:
Parmetro barreira ( ) = 0,2
Fator de acelerao ( ) = 0,5;
-
21
Nmero de Iteraes (K) = 7;
Nmero de condicionamento da matriz (cond_matriz) = - 40253.7;
TABELA 5: DESPACHO DAS USINAS CENRIO 2
Patamar 1Pg (pu) 2Pg (pu) 3Pg (pu)
Leve 0.1609 2.0686 2.1265
Mdia 1.5662 1.1275 1.2663
Pesada 0.1759 0.5000 0.5121
Resultados para o cenrio 3:
Parmetro barreira ( ) = 10
Fator de acelerao ( ) = 20;
Nmero de Iteraes (K) = 11;
Nmero de condicionamento da matriz (cond_matriz) = - 3.33286e+009;
TABELA 6: DESPACHO DAS USINAS CENRIO 3
Patamar 1Pg (pu) 2Pg (pu) 3Pg (pu)
Leve 0.0000 2.1564 2.1996
Mdia 1.6423 1.0875 1.2302
Pesada 0.0372 0.5677 0.5831
Resultados para o cenrio 4:
Parmetro barreira ( ) = 0,025
Fator de acelerao ( ) = 30;
Nmero de Iteraes (K) = 8;
Nmero de condicionamento da matriz (cond_matriz) = - 3.76568e+009;
TABELA 7: DESPACHO DAS USINAS CENRIO 4
Patamar 1Pg (pu) 2Pg (pu) 3Pg (pu)
Leve 0.0000 2.1647 2.1913
-
22
Mdia 1.6423 1.0746 1.2431
Pesada 0.0372 0.5933 0.5575
Resultados para o cenrio 5:
Parmetro barreira ( ) = 0,5
Fator de acelerao ( ) = 0,5
Nmero de Iteraes (K) = 6;
Nmero de condicionamento da matriz (cond_matriz) = 40316.8
TABELA 8: DESPACHO DAS USINAS CENRIO 5
Patamar 1Pg (pu) 2Pg (pu) 3Pg (pu)
Leve 0.3852 1.9547 2.0161
Mdia 1.5635 1.1293 1.2672
Pesada 0.2852 0.4466 0.4562
Resultados para o cenrio 6:
Parmetro barreira ( ) = 5000
Fator de acelerao ( ) = 0,5
Nmero de Iteraes (K) = 8;
Nmero de condicionamento da matriz (cond_matriz) = - 3.8315e+008
TABELA 9: DESPACHO DAS USINAS CENRIO 6
Patamar 1Pg (pu) 2Pg (pu) 3Pg (pu)
Leve 2.1528 1.0818 1.1214
Mdia 2.5619 0.6728 0.7253
Pesada 0.4548 0.3636 0.3696
-
23
4 ANLISE DOS RESULTADOS E DISCUSSO
A anlise dos resultados de fundamental importncia para a interpretao
dos resultados do problema.
.Cabe ressaltar algumas particularidades do mtodo:
O nmero de iteraes para convergncia depende ao valor inicial
dado o parmetro barreira, sendo que o valor ideal varia conforme
cada sistema [3].
A medida que o sistema vai se aproximando da soluo tima, a
matriz W (equao 33) tende a se tornar mal condicionada, o que
pode dificultar a convergncia. Para contornar este problema, deve-se
ter domnio sobre o mtodo e o problema, alm de estabelecer limites
para o parmetro barreira [3].
A escolha do fator de acelerao, utilizado para atualizao do
parmetro barreira em (44), principalmente para sistemas mal
condicionados, fundamental para a convergncia do algoritmo [3].
Para as situaes simuladas, podem-se tirar as seguintes concluses:
Quanto menor o valor de , maior a chance de ocorrerem problemas de
estabilidade numrica.
A usina trmica despacha energia para o patamar de carga leve apenas para
valores baixos de (ao redor de 0,5). Para os demais casos, para atender o
as metas energticas propostas o sistema prioriza a gerao hidrulica.
Para todos os casos o sistema convergiu com um nmero relativamente baixo
de iteraes (entre 6 e 9). Apenas no cenrio 1, onde os valores de e
so valores baixos e prximos que o sistema demorou um pouco mais para
convergir (21 iteraes).
Para o cenrio 6, onde o valor inicial de elevado com um beta quase que
no limite inferior de estabilidade numrica, percebe-se que o sistema utiliza a
-
24
unidade trmica para gerao de valores que ultrapassam os 50% de sua
capacidade.de potncia para os patamares de carga leve e mdia.
O cenrio 5 obteve o melhor resultado de velocidade de convergncia. Neste
caso, foram utilizados baixos valores para e de 0,5 e a usina trmica foi
acionada para os trs patamares de carga.
-
25
5 CONCLUSES E TRABALHOS FUTUROS
Este trabalho proporcionou a familiarizao com o problema proposto. A
otimizao do despacho econmico no sistema eltrico de potncia de
fundamental importncia no contexto do mbito de operao do sistema interligado
nacional. Em particular, o estudo gerou um maior conhecimento no mtodo de
pontos interiores verso primal-dual puro aplicado a este tipo de problema. O
desenvolvimento de algoritmos de programao contextualizou e proporcionou
resultados satisfatrios para os objetivos propostos inicialmente.
Como estudos futuros, deseja-se aplicar a metodologia em sistemas mais
robustos, bem como em problemas com funes multiobjetivos.
-
26
REFERNCIAS
[1] ABNT. NBR 6023 Informao e documentao - Referncias -
Elaborao. 2002.
[2] UFPR. Normas para apresentao de documentos cientficos, 2 - Teses,
dissertaes, monografias e outros trabalhos acadmicos. 2007.
[3] UFPR. Notas de aula da disciplina TE831: Tcnicas de Otimizao
Aplicadas a Sistemas Eltricos de Potncia. 2013.
[4] UFPR. Enunciado do primeiro trabalho de aula da disciplina TE831:
Tcnicas de Otimizao Aplicadas a Sistemas Eltricos de Potncia. 2013.