otkriće ubrzanog širenja svemira

8/17/2019 Otkriće ubrzanog širenja svemira

1/67

SVEUˇCILI

ˇSTE U ZAGREBU

PRIRODOSLOVNO–MATEMATI ČKI FAKULTET

MATEMATI ČKI ODSJEK

Andrea Rude ž

OTKRI ĆE UBRZANOG ŠIRENJA

SVEMIRA

Diplomski rad

Voditelj rada:doc. dr. sc. Davor Horvati ć

Zagreb , travanj, 2016


2/67

Ovaj diplomski rad obranjen je dana pred ispitnim povjerenstvomu sastavu:

1. , predsjednik

2. , član

3. , član

Povjerenstvo je rad ocijenilo ocjenom .

Potpisi članova povjerenstva:

1.

2.

3.


3/67

Posebno zahvaljujem svom mentoru doc. dr. sc. Davoru Horvati´ cu na strpljenju, vodstvu iizuzetnoj suradnji tijekom izrade rada.

Hvala svim kolegama i prijateljima koji su bili uz mene za vrijeme mog studiranja, a posebno hvala velikoj prijateljici i kolegici Marini Suton ˇ cija pomo´ c i nesebiˇ cnost je

uˇ cinila izazov studiranja na PMF-u mnogo lakˇ sim. Zahvaljujem roditeljima, sestri i bra´ ci koji su me bodrili kroz svaki ispit i bili podrˇ ska usvemu. Takoder, hvala mojim maliˇ sanima, ne´ caku i ne´ cakinjama, koji su uspjeli izmamiti

osmijeh na mom licu svaki dan.


4/67

Sadr žaj

Sadr žaj iv

Uvod 1

1 Fundamentalna opa žanja 31.1 Povijesna pozadina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Sastav svemira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Kozmi čko mikrovalno pozadinsko zraˇcenje . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Svemir je homogen i izotropan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Hubbleov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Dinami čki modeli svemira 112.1 Robertson-Walker metrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Friedmanova jednadˇzba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Jednadžba uida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4 Jednadžba stanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5 Modeli svemira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Odredivanje kozmolo ških parametara 353.1 Metoda najmanjih kvadrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2 Odredivanje Hubbleove konstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3 Odredivanje ubrzanja ekspanzije svemira . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4 Odredivanje gusto´ce materije i tamne energije . . . . . . . . . . . . . . . 45

4 Hubbleov zakon u nastavi zike i astronomije 474.1 Problemi u nastavi astronomije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Bibliograja 53

A Kod u programskom jeziku Python 59

iv


5/67

Uvod

Koja je sudbina svemira? Pitanje je koje je tisu ćljećima okupiralo ljudski um, a na koje suodgovor dali znanstvenici S. Perlmutter, B.P. Schmid te time zaslu žili Nobelovu nagraduza ziku 2011. godine. Ve´c gotovo jedno stolje će se zna da se svemir širi, ali otkriće ubr-zanog širenja svemira je potpuno protreslo suvremenu astronomiju.

U ovom radu ćemo poku šati prikazati osnove suvremene astronomije i na čin na kojise došlo do otkrića ubrzanog širenja svemira. Prvo poglavlje nam daje uvid u fundamen-talna opa žanja u svemiru te na neki na čin postavlja bazu za teoriju nastanka svemira. Udrugom poglavlju ukratko čemo opisati metriku svemira te primjeniti Einsteinovu op´ cu te-oriju relativnosti da bi do šli do ključne jednad žbe koja opisuje pona šanje protor-vremena -Fridmanove jednad žbe. Na temelju nje ćemo izgraditi razne modele svemira, od praznogsvemira do svemira koji sadr ži materiju, radijaciju, i kozmoloˇsku konstantu. U svim timmodelima geometrija prostora mo že varirati od ravnog do pozitivno ili negativno zakrivlje-nog svemira. U tre ćem poglavlju pomo ću programskog jezika Python, uzimaju´ ci podatkeo udaljenosti i crvenom pomake za supernove tipa Ia, odrediti ćemo Hubbleovu konstantui parametar deceleracije-parametar koji nam govori da se svemir ubrzano ˇ siri.

Ubrzano širenje svemira za sobom povlaˇci pitanje postojanje tamne materije i tamneenergije - komponenti svemira o kojima i danas postoji velika polemika u znanstvenoj zajednici. Takoder, rje šenje zagonetke ubrzane ekspanzije va žno je jer otkriva budu ćnostnašeg svemira. Za sada mo žemo samo spekulirati o nekoliko mogu´cih scenarija. Na pri-mjer, ako gusto ća tamne energije raste dovoljno brzo mo že se dogoditi raspad svih vezanih

sustava: galaksija, planetarnih sustava, planeta, atoma te atomskih jezgara.Jedno je sigurno, zika 21. st. je obilje žena otkri ćem ubrzanog širenja svemira, te jeotvoren novi put za daljnja istra živanja misterioznog prostora u kojem se nalazimo.

1


6/67


7/67

Poglavlje 1

Fundamentalna opa žanja

1.1 Povijesna pozadina

Prva razmi šljanja o kozmolo škim pitanjima nalazimo kod Talesa iz Mileta (6 st. pr. Kr.),koji je smatrao da je svemir kona čan i ograni čen nebeskim svodom. Za njega je Zemljadisk koji pluta na oceanu, a ishodi šte svega je voda. Filolaj (pitagorejac, 5. st. pr. Kr.)navodi da se svemir sastoji od sredi šnjeg ognja (vatre), oko kojeg se gibaju nebeska tijela:Zemlja, Mjesec, Sunce, pet planeta i zvijezde staja ćice. To je ujedno povijesno prvi modelsvemira. Aristotel (4.st. pr. Kr.) smjestio je Zemlju u centar svemira, okru ženu sferamana kojima se nalaze nebeska tijela. Takav model svemira ostao je gotovo nepromijenjensljedećih 1500 godina. Tek krajem srednjeg vijeka javlja se ponovo ideja o heliocentriˇ cnomsustavu u djelima Nikole Kopernika. Talijanski znanstvenik Giordano Bruno je oti šaokorak dalje tvrde ći da Sunčev sustav nije posebno mjesto u svemiru ve´c samo jedan odmnogih zvjezdanih sustava. Po četkom 17. st. izumljen je teleskop - jedan od najva žnijihinstrumenata koji nam pru ža uvid u svemir.

1687. godine Isaac Newton u svom djelu Principia opisuje stati čan, stalan i beskona čansvemir. Uvodi op ću gravitacijsku silu kao privla čnu silu izmedu masa, na temelju čega suse mogla obrazlo žiti gibanja svih tijela u Sun čevu sustavu. Gravitacija je bila klju č zanebeska gibanja, a njegova je zika bila teorija reda u svemiru.

U 20. st., Albert Einstein s Op´ com teorijom relativnosti , predstavlja potpuni novi pris-tup prirodi svemira. U svojoj knjizi Kosmologische Betrachtung zur allgemeinen Relativi-taetstheorie opisuje svemir kao prostorno-vremenski kontinuum s ˇ cetiri dimenzije, od kojih jedna pripada vremenskoj koordinati; tako je onda svemir prostorno ograni čen i statičante sadrži konačnu količinu tvari; zatim navodi: ” Zakrivljenost prostora je promjenjiva svremenom i polo žajem, ovisno o raspodjeli tvari, ali svemir mo žemo pojednostavljeno pri-kazati kao sferi čan prostor.“ Sve to Einstein pretvara u matemati čku formu, te u jednad žbugravitacijskog polja uvodi kozmolo šku konstantu Λ da bi svemiru osigurao nepromjenji-

3


8/67

4 POGLAVLJE 1. FUNDAMENTALANA OPA ˇ ZANJA

vost u vremenu. Medutim, nedugo zatim, Albert Friedman objavljuje matematiˇ cko rješenjeEinsteinove op će teorije relativnosti koje opisuje svemir koji se širi ili kontrahira. Kona čno,1929. godine Edwin Hubble, formulira zakon crvenog pomaka ; empirički zakon po kojem je brzina udaljavanja galaktike proporcionalna njezinoj udaljenosti.

1.2 Sastav svemira

Svemir se sastoji od razli čitih elementarnih čestica. Materijalni objekti koji nas svakod-nevno okru žuju gradeno su od atoma. Atomi su gradeni od protona, neutrona i elektrona.Protoni i neutroni spadaju u barione, ˇcestice sastavljene od tri kvarka. Proton je graden oddva gornja i jednog donjeg kvarka. Gornji kvarkovi imaju naboj po + 2/ 3e, a donji + 1/ 3e,te je time ukupni naboj protona jednak + 1e. Neutron se sastoji od jednog gornjeg i jednogdonjeg kvarka, stoga je elektri čki neutralan. Slobodni neutroni su nestabilni, raspadaju seu protone, s vremenom poluraspada τ = 890s. Prema do sada poznatoj zici, protoni sustabilne čestice.

Elektroni su primjer leptona, skupine elemetarnih ˇ cestica koja se ne sastoji od kvarkova.Elektoni imaju isti elektri čni naboj kao i protoni, ali suprotnog predznaka. Na velikimskalama, svemir je elektri čki neutralan. Broj protona, jednak je broju elektrona. Budu´ ci dasu protoni 1836 puta masivniji od elektrona, kada se govori o komponenti svemira koja sesastoji od iona, atoma i molekula, obiˇcno se misli na barionsku masu (protone i neutrone).

Foton je čestica bez mase, a mo že se opisati kao elektromagnetski val odredene frek-vencije. Elektromagnetsko zraˇcenje ima tzv. dualnu prirodu, tj. moˇzemo ga zamisliti kaoval ili kao roj fotona. Svjetlost, promatrana kao val, je karakterizirana valnom duljinom, tj.frekvencijom. Za elektormagnentske valove vrijedi relacija λ = c/ f , gdje je c brzina svje-tlosti. Kada svjetlost promatramo kao roj čestica, svaki foton ima energiju E γ = h f , gdje je h = 2π Planckova konstanta. Elektromagnetsko zraˇ cenje širokog spektra energija, odradio do gama zraka, pro žima svemir. Kada je sustav u termodinami čkoj ravnote ži, gusto ća

fotona u sustavu, kao funkcija u ovisnosti o energiji fotona, ovisi samo o temperaturi T .Gusto ća fotona u intervalu frekvencija f → f + d f je dana funkcijom zra čenja crnog tijela

( f )d f = 8πh

c3 f 3d f

ex p (h f / kT ) −1, (1.1)

Prikazano na Slici 1.1.


9/67

1.2. SASTAV SVEMIRA 5

Slika 1.1: Zra čenje crnog tijela. Slika preuzeta iz [1].

Maksimum funkcije zra čenja crnog tijela se dogada u to čki kada h f ≈ 2.82kT . Integri-rajući jednad žbu (1.1) preko svih frekvencija dobivamo ukupnu gusto ću energije zra čenjacrnog tijela

γ = α T 4, (1.2)

gdje je

α = π2

15k 43c3

= 7.56 ×10−16Jm−3K−4. (1.3)Gusto ća broja fotona zra čenja crnog tijela mo že biti izračunata iz formule (1.1) i iznosi

nγ = βT 3, (1.4)

gdje je

β = 2.404

π2

k 33

c3

= 2.03

×107Jm−3K−4. (1.5)

Dijeljenje jednad žbe (1.2) s jednadžbom (1.4) daje srednju energiju fotona

E sredn ja = h f sredn ja = 2.70kT , (1.6)

blizu maksimuma spektra.Komponenta svemira koja nam je trenutno uglavnom nepoznata, a ima potpis materije

zove se tamna materija. Kada astronomi govore o tamnoj materiji obi čno podrazumijevaja


10/67


11/67

1.4. SVEMIR JE HOMOGEN I IZOTROPAN 7

Za usporedbu, gusto ća protona i neutrona je milijardu puta manja. Srednja energija fotonapozadinskog zra čenja je poprili čno mala, i iznosi

E sredn ja = 6.34 ×10−4eV. (1.9)

Srednja energija pozadinskog zra čenja odgovara valnoj duljini od 2 milimetra, nalazi seu mikrovalnom spektru elektromagnetskog zraˇ cenja i otuda naziv kozmiˇ cko mikrovalno pozadinsko zraˇ cenje .

Pozadinsko zra čenje je jedan od najvaˇznijih dokaza teorije velikog praska. Prema toj te-oriji, rani svemir je bio gust i vru ć (T 104K). Nakon formiranja jezgara lakih elemenatau prvotnoj nukleosintezi, svemir je slijede ćih 300 000 godina proveo u širenju i hladenju.Jezgre, fotoni i elektroni neprestano su se sudarali i saˇcinjavali su homogenu, gustu i ne-prozirnu plazmu. Iako su se suprotno nabijeni elektroni i jezgre u toj plazmi privla čili, akobi se neki od njih i uspjeli nakratko spojiti u čitave atome, fotoni visokih energija brzo biih ponovo ionizirali na sastavne dijelove. Takav svemir proizvodio je zra čenje istog pot-pisa kao crno tijelo. Tek s padom temperature na otprilike 3000 K, fotoni viˇ se nisu imalidovoljno energije za ionizaciju te se elektroni i jezgre povezuju u neutralne atome. To jetrenutak u kojem svemir postaje elektriˇcno neutralan, a time i proziran. Fotoni se od togtrenutka nastavljaju vi še-manje neometano gibati sve do danas i u njima je zabilje žena prvafotograja svemira. Ti fotoni sa činjavaju ono što nazivamo kozmi čko mikrovalno pozadin-sko zračenje. Sa širenjem svemira i ta fotonska kupka se razrjeduje i gubi energiju. To jerazlog za što je danas pozadinsko zra čenje temperature 2.725 K.

1.4 Svemir je homogen i izotropan

Prema kozmolo škom na čelu svemir je na velikim skalama izotropan i homogen. Izotrop-nost znači da ne postoji poseban smjer u svemiru, tj. svemir izgleda isto bez obzira u kojem smjeru ga promatramo. Homogenost zna či da ne postoji posebna lokacija u svemiru,tj. svemir izgleda isto bez obzira s koje lokacije ga promatrao. Homogenost ne impliciraizotropnost i obratno. Papir s prugama na Slici 1.2.a je homogen na skali ve ćoj od širinepruge, ali nije izotropan. Smjer pruga je poseban smjer po kojem se moˇ zete orijentirati.Nadalje, papir s krugovima na Slici 1.2.b je izotropan oko ishodi šta, ali nije homogen.Krugovi imaju sve ve će radijuse kako se udaljavaju od centra, te se stoga mo že odreditipoložaj u odnosu na centar.


12/67


Slika 1.2: a) homogen uzorak na skali ve´coj od širine pruge; b) izotropan uzorak.Slikapreuzeta iz [1].

Najbolji dokaz izotropnosti svemira je jednolikost temperature kozmiˇ ckog mikroval-nog pozadinskog zra čena. Naime, razlika temerature pozadinskog zra čenja snimljenog sdvije antene, medusobno udaljene od deset lu čnih sekundi do 180 ◦, je manja od 1 / 10000K. Nadalje, jednolikost gusto će pozadinskog zra čenja upu ćuje na homogenost svemira uvrijeme nastanka mikrovalnog pozadinskog zra čenja. Takoder, snimke pozadinskog x-zračenja mnogih udaljenih kvazara i galaksija dokazuju izotropnost svemira.

Slika 1.3: Snimke pozadinskog zra čenje pomo ću COBE satelita. Traka po sredini tre ćefotograje su smetnje od naˇse galaktike. Slika preuzeta iz [3].


13/67

1.5. HUBBLEOV ZAKON 9

1.5 Hubbleov zakonGodine 1912., ameri čki astronom Vesto Melin Slipher je promatraju´ ci spiralne maglice,došao do otkri ća da su linije u njihovim spektrima, u pravilu, pomaknute prema crvenomdijelu spektra. Budu ći da brzina galakti čkih klastera nije ve ća od 1000kms−1, za što jeDopplerov pomak 0 .003, to bi značilo je glavni uzrok crvenog pomaka širenje svemira.Crveni pomak z deniran je kao omjer promjene valne duljine spektralne linije ∆λ premavalnoj duljini u mirovanju λ0.

z = λ −λ0

λ0

= ∆λλ

0

. (1.10)

Dopplerov efekt, u slu čaju da se izvor elektromagnetskog vala udaljuje od promatra čabrzinom v gdje je v c glasi

v = c∆ λλ0

= cz. (1.11)

U protivnom, potrebno je rabiti relativistiˇ cki izraz

1 + z = 1 + vc

1 − vc. (1.12)

Edwin Hubble, godine 1929., je otkrio da postoji veza izme du udaljenosti galaksija i nji-hove brzine udaljavanja. Zapisano matemati čki,

v = H 0d , (1.13)

gdje je H

0 konstanta proporcionalnosti izmedu brzine i udaljenosti galaksije. Zapisanopreko crvenog pomaka z Hubbleov zakon glasi

cz = H 0d . (1.14)

Slika 1.4. pokazuje spektare razli čitih zvijezda koje su na razli čitoj udaljenosti od nas.Spektar se mo že koristiti da bi se otkrili elementi u sastavu zvijezda, ali i za odredivanjecrvenog pomaka.


14/67


Slika 1.4: Spektri razli čitih zvijezda. Slika preuzeta iz [4].

Napomenimo da galaksije mogu imati i plavi pomak u spektru. Danas je poznato viˇ seod 1000 galaksija koje pokazuju plavi pomak. No ve ćina njih pripada Mjesnoj skupini štoukazuje da je gravitacijski utjecaji prevladavaju nad ˇ sirenjem svemira.


15/67


16/67

12 POGLAVLJE 2. DINAMI ˇ CKI MODELI SVEMIRA

U zakrivljenom, promjenjivom svemiru, pojam udaljenosti postaje kompleksan. Akomjerimo udaljenost po radijalnoj zraci (( θ, φ) = konst .) do točke sa sugibaju ćom koordina-tom r , RW metrika nam daje vrijednost

d p = r

0a (t )dr = a (t )r . (2.2)

Gore navedeni izraz zovemo vlastita udaljenost. Sugibaju´ ca koordinata r se ne mije-nja s vremenom, a a(t 0) = 1, pa je sugibaju ća udaljenost jednaka vlastitoj udaljenosti usadašnjosti.Vlastita udaljenost se mijenja s vremenom

ḋ p = ȧr = ȧa

d p. (2.3)

Ako usporedimo s Hubbleovim zakonom, imamo

H =ḋ pd p

= ȧa

. (2.4)

U trenutku t = t 0, imamo linearnu ovisnost vlastite udaljenosti i brzine

v0 = H 0d p(0), (2.5)

gdje je

H 0 =ȧa t = t 0

. (2.6)

Ukoliko je udaljenost ve ća od d (t 0) = c/ H 0 dobivamo da je brzina udaljavanja galaksijeveća od brzine svjetlosti. Napomenimo, to ne kr ši zakone specijalne teorije relativnosti.U općoj teoriji relativnosti nema ograniˇcenja na to da se dva objekta relativno udaljavajubrzinom ve ćom od brzine svjetlosti ukoliko se prostor širi.Pri traženju vektora skale a(t ) potrebna nam je udaljenost do zvijezda. Nije lako na ći pravuudaljenost do zvijezda, ali ono što možemo mjeriti je crveni pomak.Promatrimo dva uzastopna valna brijega emitirane svjetlosti s neke zvijezde. Prvi valnibrijeg je emitiran u vrijeme t e i opažen u vrijeme t 0. Sljedeći valni brijeg je emitiran uvrijeme t e + λ e / c, a opažen u vrijeme t 0 + λ0/ c. Općenito λe λ0. Budući da se faktor skalea (t ) nije značajno promijenio, mo žemo pisati

c t 0

t e

dt a (t )

= c t 0+ λ0/ c

t e + λe / c

dt a (t )

= r . (2.7)


17/67

2.2. FRIEDMANOVA JEDNAD ˇ ZBA 13

Ako s obje strane oduzmemo integral

t 0

t e+ λe / c

dt

a (t ) dobivamo

t e + λe / c

t e

dt a (t )

= t 0+ λ0/ c

t 0

dt a (t )

. (2.8)

Kako je a(t ) gotovo konstanta u integralima s lijeve i desne strane prethodne jednakosti,možemo pisati

1a (t e)

t e + λe / c

t e

dt = 1a (t 0)

t 0+ λ0 / c

t 0

dt , (2.9)

ili

λ ea (t e)

= λ0a (t 0)

. (2.10)

Koriste ći deniciju crvenog pomaka z = λ0−λeλe te da je a (t 0) = 1 imamo

1 + z = a(t 0)a (t e)

= 1a (t e)

. (2.11)

2.2 Friedmanova jednad žbaPri dinami čkoj analizi svemira koristit ćemo se svojstvom gravitacijske sile, prema kojem je gravitacijska sila u unutra šnjosti šuplje kugle jednaka nuli. Naime, kuglina (homogena)površina, djeluje izvjesnom silom na svaku to čku u njenoj unutra šnjosti, ali je rezultantnasila na svaku unutarnju to čku jednaka nuli. Kod razmatranja dinamike širenja svemiramožemo odabrati zami šljenu kuglu, čiji je polumjer Rk dovoljno velik da gusto ću unutarkugle mo žemo smatrati jednolikom, a povr šina kugle mo že predstavljati ostatak svemira.

Ukoliko se kugla širi ili kontrahira izotropno, njen radijus Rk (t ) se povećava ili smanjujes vremenom. Smjestimo li probnu masu m na površinu kugle gravitacijska sila koju osje ća

probna masa bit će po Newtonovom op ćem zakonu gravitacije

F = −GM k m Rk (t )2

. (2.12)

Akceleracija na povr šini kugle je, po Drugom Newtonovom zakonu,

d 2 Rk dt 2

= −GM k

Rk (t )2. (2.13)


18/67


Ako pomno žimo svaku stranu jednad žbe s dRk / dt i integriramo iz

” jednadžbe akceleracije“

dobit ćemo ”energetsku jednad žbu“,

12

dR k dt

2

= GM k Rk (t )

+ U . (2.14)

Matemati čki, U je konstanta integracije, ali zikalno odgovara ukupnoj energiji po jedinicimase na povr šini kugle, tj. sumi gravitacijske i kinetiˇcke energije po jedinici mase. Budu´cida je širenje kugle izotropno oko njenog centra, mo žemo radijus kugle pisati

Rk (t ) = a (t )r k , (2.15)

gdje je a(t ) faktor skale , a r k sugibaju´ ci (eng. comoving ) radijus kugle.Dakle, jednad žbu (2.3) mo žemo napisati

12

r 2k ȧ2 =

4π3

Gr 2k ρ(t )a (t )2 + U . (2.16)

Dijeleći svaku stranu jednad žbe s r k a 2/ 2 dobit ćemo Friedmanovu jednadˇ zbu u Newtono-vom obliku .

ȧa

2

= 8π

3 Gr 2k ρ(t )a (t )

2

+ U . (2.17)

Ako je U > 0 desna strana jednad žbe je uvijek pozitivna i kugla će se zauvijek širiti.Ako promatramo slu čaj U < 0 desna strana jednad žbe (2.17) će na početku biti pozitivna ikugla će se širiti. No budu ći da je ρ ∝ 1/ a (t )3, u trenutku kada je

a = GM k

Ur k , (2.18)

desna strana jednad žbe (2.17) će biti jednaka 0, i širenje prestaje. Nakon toga trenutka,kugla se kontrahira.Naposljetku, promatrimo ˇsto se dogada kada je U = 0. To je granični slučaj u kojem ȧ → 0kako t → ∞i ρ → 0.

Važno je napomeniti da je da je Friedmanova jednadˇ zba u Newtonovom obliku tek slikakako se objekt koji se izotropno širi pona ša pod utjecajem svoje gravitacije, te ne predstav-lja homogen i izotropan svemir. Naime, u konaˇcnom sferi čnom volumenu postoji posebnalokacija, centar kugle, što krši princip homogenosti. Takoder, postoji poseban smjer, premacentru, što krši princip homogenosti.


19/67

2.2. FRIEDMANOVA JEDNAD ˇ ZBA 15

Ukoliko želimo matemati čki opisati opći slučaj, izotropnog i homogenom svemira, mo-ramo na Eisteinovu jednad žbu polja primijeniti Robertson-Walkers metriku. Prema Eins-teinovoj teoriji polja prisustvo materije (mase i energije) stvara zakrivljenost prostora.Einsteinova jednad žba polja glasi

G µv = 8πG

c2 T µv −Λg

µv, (2.19)

gdje je G µv Einsteinov tenzor, T µv tenzor energije-impulsa, g µv tenzor metrike, Λ koz-molo ška konstanta, a G gravitacijska konstanta.Einsteinov tenzor 2 je tenzor drugog reda koji opisuje mjeru zakrivljenost prostora. T µv jetenzor drugog reda sastavljen od niza komponenata koje sadr že cjelokupnu informaciju ozikalnom stanju prostora. Pojedine komponente govore o ukupnoj gusto´ ci mase i energijeprostora, gusto ći momenta, toku energije i toku momenta, te transferu momenta u vremenušto je jednako sili koja je proizvedena poljem i materijom u jednoj toˇ cki prostora i djelujena materiju u drugoj to čki. Tenzor T µv je konzervativnog karaktera, odnosno energija imasa ne mogu nastati iz ni čega niti nestati. Matemati čki, divergencija div T µv = 0.Iz Einsteinove teorije pomo´cu Robertson-Walkers metrici moˇ zemo dobiti Friedmanovu jednadžbu u općoj relativnosti

ȧa

2=

8πG3c2

(t ) − κ c2

R20a (t )2, (2.20)

ili zapisano pomo ću Hubbleovog parametra,

H (t )2 = 8πG

3c2 (t ) −

κ c2

R20a (t )2. (2.21)

Budu ći da opća relativnost u limesu vodi do Newtonove zike, za o čekivati je da će namalim skalama jednadˇzba (2.21) biti sli čna Friemanovoj jednadˇzbi u Newtonovom obliku.To se i dogada uz dvije va žne korekcije.Prvo, gusto ća mase ρ(t ) je zamijenjena s ukupnom gusto ćom energije (t )/ c2, što uklju čujeenergiju mase mirovanja i druge oblike energije (npr. fotona, termalne energije atoma,

tamne materije).Drugo, ”potencijalna energija“ povezana je sa zakrivljenoˇ sću prostora.Ako je svemir ravan, tj. κ = 0 Friedmanova jednad žba (2.21) poprima oblik

H (t )2 = 8πG

3c2 (t ). (2.22)

2Tenzor je matematiˇcka ili zikalna veli čina invarijantna na translacije, a ima N n komponenti gdje jeN dimenzija prostora te n stupanj tenzora. Tenzor mo že biti linearni operator ili skup objekata (naj češćediferencijalnih jednad žbi).


20/67


21/67

2.3. JEDNAD ˇ ZBA FLUIDA 17

Slika 2.1: Ovisnost zakrivljenosti o Ω . Slika preuzeta iz [5].

2.3 Jednad žba uida

Prema prvom zakonu termodinamike,

dE = −PdV + dQ , (2.28)promjena unutra šnje energije nekog tijela jednaka je zbroju rada PdV i dovedene toplinedQ .Zamislimo da izotropan, homogen svemir, na velikim skalama, sadr ži sugibaju će ćelijeistog sadržaja. Te ćelije možemo smatrati zatvorenim sustavima koje nemaju okruˇ zenjekojem će predati gubitak energije − pdV budući da sve ćelije imaju isti gubitak energije.Za sugibaju ći volumen V proporcionalan a(t )3 prvi zakon termodinamike, ima adijabatskuformu (entropija je konstantna)

dE + PdV = 0 ⇒ ˙ E + PV̇ = 0. (2.29)Promotrimo prostor sugibaju´ceg volumena V . Promjena volumena je

V̇ (t ) = 3Va2ȧ = V 3ȧa . (2.30)

Unutra šnja energija je

E (t ) = V (t ) (t ), (2.31)

pa je promjena unutra šnje energije jednaka

˙ E = V ̇ + V̇ . (2.32)


22/67


Kombiniranjem jednadˇzbi (2.29), (2.30) i (2.32) prvi zakon termodinamike u svemiru kojise širi ili kontrahira ima oblik

V (˙ + 3ȧa

+ 3ȧa

P ) = 0, (2.33)

ili

˙ + 3ȧa

( + P ) = 0, (2.34)

Jednad žba (2.29) se zove jednadˇ zba uida i jedna je od ključnih jednad žbi u opisivanjusvemira.

Kombiniranjem Friedmanove jednadˇ zbe s jednadžbom uida mo žemo dobiti informa-ciju o tome kako se brzina širenja ili kontrahiranja svemira mijenja kroz vrijeme. Friedma-nova jednad žba (2.21) pomno žena s a2 ima oblik

ȧ 2 = 8πG

3c2 a 2 −

kc2

R20. (2.35)

Deriviraju ći po vremenu dobivamo

2ȧ ä = 8πG

3c2 (˙ a 2 + 2 a ȧ ). (2.36)

Dijele ći s 2a ȧ ,äa

= 8πG

3c2˙

aȧ

+ 2 (2.37)

Jednad žbu uida mo žemo napisati u obliku

˙ aȧ

= −3( + P ). (2.38)Kombiniraju ći prethodne dvije jednad žbe dobivamo jednadˇ zbu akceleracije

äa

= −4πG3c2

( + P ). (2.39)

Budu ći da je tlak barionske materije i zra čenja pozitivan, ukoliko samo on pridonosi kom-ponenti tlaka u jednad žbi (2.39) akceleracija će biti negativna, tj. relativna brzina bilo kojedvije točke u svemiru će se smanjivati. Medutim, ako svemir ima komponentu tlaka

P < − /3, (2.40)takva komponenta će uzrokovati pozitivnu akceleraciju, tj. relativna brzina izmedu bilokoje dvije to čke će se povećavati. Kozmolo ška konstanta je komponenta svemira koja imatlak P = − i mogla bi uzrokovati pozitivnu akceleraciju. Vi še o tome u poglavlju (2.4).


23/67

2.4. JEDNAD ˇ ZBA STANJA 19

2.4 Jednad žba stanjaBudu ći da želimo na ći faktor skale, gusto ću energije i tlak u ovisnosti o vremenu, osimFriedmanove i uidne, potreban nam je joˇ s jedna jednad žba. Kada bismo imali jednadˇzbuoblika

P = P( ), (2.41)

sustav jednad žbi bi bio potpun.Svemir mo žemo prikazati kao idealan uid. Model svemira kao idealnog uida, nasuprotmodelu idealnog plina, opisuje i mladi svemir. U tom modelu, jednad žba stanja svemiraima jednostavan linearan oblik

P = w , (2.42)

gdje je w bezdimenzionalan. Promatrajmo prvo rijedak plin nerelativisti čkih (vtermalno c),masivnih čestica. Tlak takvog plina jeP =

N V

kT . (2.43)

Zapisano u drugom obliku,

P = ρ

µkT , (2.44)

gdje je µ srednja masa čestica plina. Gusto ća energije nerelativisti čkog plina je gotovou potpunosti odredena masom čestica, tj. ≈ ρc2. Dakle, zakon idealnog plina, izra ženpreko gusto će energije, glasi

P ≈ kT µc2

. (2.45)

Budu ći da su temperatura T i srednja termalna kvadratna brzina v2 povezane relacijom

3kT = µ v2 , (2.46)

te da jednad žbu stanja nerelativisti čkog plina mo žemo pisati

P nerel = w nerel , (2.47)

dobivamo

w ≈v2

3c2 1. (2.48)


24/67


Aproksimiraju ći, nerelativisti čka komponenta svemira ima w = 0, a relativistička w = 1.Medutim, od posebnog interesa za kozmologe je komponenta svemira za koju je w < 1/ 3,budući da bi ona uzrokovala ubrzano širenje svemira. Tu komponentu ˇcesto zovemo tam-nom energijom . Poseban oblik tamne energije je kozmolo ška konstanta koja, ukoliko pos-toji, ima = −1.Budu ći da je ukupna gusto ća energije jednaka sumi gusto ća energije razli čitih kompone-nata

=w

w, (2.49)

a ukupni tlak je suma tlakova razli čitih komponenti,

P =w

P w =w

w w, (2.50)

jednadžba uida mora vrijediti za svaku komponentu posebno. Stoga mo žemo pisati

˙ w + 3ȧa

( w + P w) = 0, (2.51)

ili

˙ w + 3ȧ

a(1 + w) w = 0. (2.52)

Prethodnu jednad žbu možemo pisati kao

d w w

= −3(1 + w)daa

(2.53)

Ako pretpostavimo da je w konstanta, imamo

w(a ) = w,0a−3(1+ w), (2.54)

gdje smo koristili normalizaciju da je a0 = 1, te da je gustoća energije komponente w

jednaka w,0 u sadašnjosti. Zaklju čujemo da se gusto ća energije materije (u koju ubrajamotamnu materiju i barionsku masu) m ∝ 1/ a 3 ,tj.

m(a ) = m,0/ a 3, (2.55)

a gustoća energije radijacije (u što ubrajamo fotone i sve relativistiˇcke čestice) r ∝ 1/ a 4,tj. r (a ) = r ,0/ a 4. (2.56)


25/67

2.5. MODELI SVEMIRA 21

2.5 Modeli svemiraFriedmanova jednadˇzba može biti napisana u obliku

H (t )2 = 8πG

3c2 (t ) −

κ c2

R20a (t )2, (2.57)

gdje je H ≡ ȧ / a , a (t ) ukupna gusto ća energije od svih komponenata svemira, uklju čujućikozmolo šku konstantu. Jednad žba (2.27) nam govori vezu izmedu κ, R0, H 0 i Ω0,κ

R0=

H 20c2

(Ω0 −1). (2.58)Stoga, Friedmanovu jednad žbu možemo zapisati bez da izravno koristimo zakrivljenost κ

H (t )2 = 8πG

3c2 (t ) −

H 20a (t )2

(Ω0 −1). (2.59)Dijeleći s H 20 dobivamo

H (t )2

H 20=

(t ) k ,0

+ 1 −Ω0

a (t )2 , (2.60)

gdje je kritična gustoća danas

k ,0 ≡3c2 H 20

8πG. (2.61)

Znamo da se na š svemir sastoji od materije (nerelativistiˇcke tvari) za koju vrijedi ovis-nost m = m,0/ a 3, i radijacije (relativisti čke komponente) za koju je ovisnost r = r ,0/ a 4.Takoder, pretpostavlja se da se svemir sastoji od kozmoloˇ ske konstante za koju je Λ =

Λ ,0 = konstanta . Neki znanstveni sumnjaju da se svimir sastoji i od komponente za koju je w u rasponu od −1 < w < −13 . Kako nema sna žnih dokaza koji idu u prilog tome, mićemo razmatrati samo svemir koji se sastoji od nerelativisti čke (w = 0) i relativističke(w = 1/ 3) komponente, te kozmoloˇske konstante ( w = −1).Dakle, Friedmanovu jednad žbu možemo napisati u obliku

H 2

H 20=

Ω r ,0a 4

+Ωm,0a 3

+ Ω Λ ,0 + 1 −Ω0

a 2 , (2.62)

gdje je Ωr = r ,0/ k ,0, Ωm = m,0/ k ,0, ΩΛ = Λ ,0/ k ,0 i Ω0 = Ω r ,0 + Ω m,0 + Ω Λ ,0. Kako je H = ȧ / a , množeći prethodnu jednad žbu s a2 i vadenjem drugog korijena, imamo

H −10 ȧ =Ω r ,0a 2

+Ωm,0

a+ Ω Λ ,0a 2 + (1 −Ω 0)

(1/ 2)

. (2.63)


26/67


Rješenje diferencijalne jednadˇzbe prvog reda je

a

1

da

Ω r ,0/ a 2 + Ω m,0/ a + Ω Λ ,0a 2 + (1 −Ω)1/ 2

= H 0 t e

t 0

dt . (2.64)

gdje integriramo od a (t 0) = 1 do vremena u prošlosti a (t e). Ako stavimo da je t 0 = 0 ondat e zovemo look-back vremenom i to je vrijeme mjereno retrospektivno. U limesu kadaa → 0, t e označava starost svemira. Ili obratno, moˇzemo t e pridružiti vrijednost 0, u tomslučaju t 0 označava starost svemira.

Ako pretpostavimo da je zakrivljenost svemira κ = 0, tada iz jednadžbe (2.53) slijedida je Ω0 = 1. Kako vrijedi da je

Ω0 = Ω r ,0 + Ω m,0 + Ω Λ ,0, (2.65)

to znači da je u slučaju da se svemir sastoji samo od jedne komponente, ΩΛ = 1 ili Ω r = 1ili Ωm = 1

Integral (2.64) nema jednostavno analitiˇ cko rješenje, no za danu vrijednost Ω može bitiintegriran numeri čki.

Svemir materije

Za slučaj ravnog svemira koji sadr ži samo nerelativisti čku masu, jednad žba (2.5) izgleda

H 0t = a

0

√ adaΩm,0

= 23

a 2/ 3. (2.66)

Zapisano kao ovisnost faktora o vremenu,

a (t ) = t t 0

2/ 3

, (2.67)

gdje je t 0 starost svemira u ovom modelu

t 0 =

2

3 H 0. (2.68)

Iz prethodne jednad žbe je očito da će se takav svemir širiti zauvijek. Sudbina takvogsvemira poznata je kao Big Chill budući da se temeratura svemira smanjuje kako se ˇsiri.Ako gledamo neku galaksiju s crvenim pomakom z, njena vlastita udaljenost, za ovaj modelsvemira, u vrijeme mjerenja je

d p(t 0) = c t 0

t e

dt (t / t 0)2/ 3

= 3ct 0 1 −t et 0

1/ 3

= 2c H 0

1 − 1√ 1 + z , (2.69)


27/67


28/67


Slika 2.2: Svemir koji sadr ži samo mate-riju i za koji je κ = + 1. Slika preuzeta iz[22].

Slika 2.3: Svemir koji sadr ži materiju iza koji je κ = −1. Slika preuzeta iz [22].

Slika 2.4: Ovisnost faktora skale o kozmolo škom vremenu za svemir koji sadr ži samonerelativisti čku masu. Slika preuzeta iz [1].

Sitterov svemir

De Sitterov svemir opisuje ravni svemir ( κ = 0), bez materije m = 0, te bez radijacije r =0. Jedina komponenta svemira je tamna energija, tj. kozmolo ška konstanta. Friedmannova jednadžba za ravni svemir koji sadr ži samo kozmolo šku konstantu glasi

ln(a ) = H 0dt ⇒ a (t ) = e H 0(t −t 0). (2.73)


29/67


Na prvi pogled, rje šenje Sitterovog svemira se ˇcini strogo matemati čko budući da jeočito da svemir, uz kozmolo šku konstantu, sadr ži barionsku masu i radijaciju. Medutim,ako se svemir nastavi širiti, gusto ća materije i radijacije ´ce se toliko smanjiti da će prevlada-vati utjecaj kozmolo ške konstante. Vlastita udaljenost svjetlosnog izvora, koji ima crvenipomak z u vrijeme kada ga mi mjerimo je

d p(t 0) = c t 0

t e

e H 0(t 0−t )dt = c H 0

e H 0(t 0−t ) −1 = c H 0

z, (2.74)

dok je vlastita udaljenost u vrijeme emitiranja svjetlosti

d p(t e) = c H 0

z1 + z. (2.75)

Sitterov model svemira je ujedno i jedini model u kojem vlastita udaljenost linearno ovisio crvenom pomaku. U drugim modelima, d p ∝ z vrijedi samo u limesu z 1. Takoder,možemo primijetiti da u limesu z → ∞, d p(t 0) → ∞, ali d p(t e) → c/ H 0. U ovom modelusvemira, svjetlosni objekti u trenutku kada ih promatramo su na vrlo velikoj udaljenosti(d p) c/ H 0), ali mi ih vidimo onakvima kakvi su bili netom prije nego su dosegli udalje-nost c/ H 0.Štovi še, u Sitterovom svemiru postoje podruˇcja koja ne mogu medusobno komunicirati, tj.postoji horizont dogadaja (kozmolo ški horizont).

Ako želimo odrediti podru čje koje je kauzalno povezano s opa žačem u ishodi štu, pro-matraju se fotoni koji se gibaju radijalno iz ishodi šta prema van. Rje šenje Friedmanove jednadžbe za Sitterov svemir je a(t ) = a 0e H 0t te je stoga element duljine dan s

ds2 = 0 = dt 2 −a 0e2 H 0t dr 2. (2.76)

Iz gornje jednad žbe slijedi

dr = 1a 0

e− H 0 t dt . (2.77)

Integriranjem dobivamo

r = 1a 0 H 0

(1 −e− H 0t ). (2.78)

U limesu t → ∞imamor =

1a 0 H 0

. (2.79)


30/67


Dakle, postoji maksimalna koordinatna udaljenost kou fotoni mogu pre´ ci, čak i kada za toimaju beskona čno vremena. Op će rješenje Friedmanove jednad žbe za svemir koji sadr žisamo kozmolo šku konstantu je

a (t ) =sinhHt κ = -1

e Ht κ = 0coshHt κ =+ 1,

Možemo zaklju čiti da sva rješenja evoluiraju prema slu čaju κ = 0 kako se svemir širi.Općenito, H nije Hubbleov parametar u proizvoljnom trenutku t , osim u slučaju κ = 0,ali teži H 0 kako hiperbolna funkcija postaje sve bliˇza eksponecijalnoj u ekspandiraju´cemsvemiru.Na slici (2.5) prikazani su grafovi ovisnosti faktora skale a o vremenu t ravni svemir kojisadrži samo jednu komponentu.

Slika 2.5: Ovisnost faktora skale o kozmolo škom vremenom za ravni svemir s jednomkomponentom. Slika preuzeta iz [1].


31/67


32/67


a kolaps doživljava u trenutku

t kolaps = 2π3 H 0

1

Ω m,0 −1. (2.86)

Slika 2.6: Ovisnost faktora skale o kozmolo škom vremenu za ravni svemir koji sadr ži

materiju i kozmolo šku konstantu. SLika preuzeta iz [1].

Primjetimo, ravan svemir koji sadrˇzi negativnu kozmoloˇsku konstantu, ima kratak vijek trajanja. Tako, za slu čaj Ωm,0 = 1.1 prikazan na slici (2.6) vrijeme kolapsa t kolaps = 7 H −10Friedmannova jednad žba za ovaj model svemira ali kojem je kozmolo ška konstanta pozi-tivna je

H 0t = 2

3

1 −Ωm,0

ln aa m,Λ

3/ 2

+ 1 + aa m,Λ3

, (2.87)

gdje je

a m,Λ =Ωm,0ΩΛ ,0

. (2.88)

U ranom svemiru, kada je a a m,Λ faktor skale je imao ovisnost

a (t ) ≈32 Ωm,0 H 0t

2/ 3

, (2.89)


33/67


a kasnije, kada je a

a

m,Λ

a (t ) ≈ a m,Λ e√ 1−Ω m,0 H 0t . (2.90)

Ukoliko svemir koji sadr ži kozmolo šku konstantu i nerelativistiˇcku masu nije ravan, su-srećemo se sa širokom lepezom mogu ćnosti kao što je prikazano na slici (2.7). Zakrivljensvemir s komponentom nerelativistiˇ cke mase i kozmolo škom konstantom ima Friedma-novu jednad žbu

H (t )2

H 20=

Ωm,0a 3

+1 −Ω m,0 −ΩΛ ,0

a 2 + Ω Λ ,0. (2.91)

Slika 2.7: Svemir u kojem je Ω m,0 = 0.3, a κ i Ω Λ ,0 mijenjaju vrijednost. Slika preuzeta iz[1].

Uz već spomenute sudbine svemira kao ˇsto su Big Chill i Big Crunch, u ovom modelusvemira mo že doći i do Big Bounce ili do faze koju zovemo loitering . Ako su i Ωm,0 i ΩΛ ,0pozitivni, onda su prvi i zadnji član desne strane jednad žbe (2.90) pozitivni, te ukoliko jesvemir pozitivno zakrivljen, srednji član može biti i pozitivan i negativan. Dakle, H 2 će bitipozitivan za male vrijednosti a (kada dominira nerelativistiˇcka masa i za velike vrijednostia , kada dominira kozmolo ška konstanta, a negativan za vrijednosti izmedu. Budu ći da jenegativna vrijednost H 2 nezikalna, to bi zna čilo da postoje zabranjene vrijednosti faktoraskale. Medutim, pretpostavimo da je na po četaku svemira a 1 i H < 0. U tom slučaju


34/67


Slika 2.8: Mogu ći ishodi za svemir kojisadrži Λ i materiju. Slika preuzeta iz[17].

Slika 2.9: Mogu ći ishodi za svemir kojisadrži Λ i materiju. Slika preuzeta iz[18].

svemir bi se kontrahirao iz faze u kojoj domira kozmolo ška konstanta do trenutka kadasrednji član u jednadžbi (2.91) postane dominantan, tj. do trenutka kada je a = amin . Na-kon tog bi svemir po čeo ekspandirati. Dakle, mogu će je da svemir ekspandira bez po četnogvelikog praska. Takoder, pri pa žljivo odabranim vrijednosti Ω

m,0 i Ω

Λ ,0 moguće je da se

dogodi tzv. loitering faza. Naime, ukoliko bi ranim svemirom dominirala nerelativisti čkamasa svemir bi se širio a ∝ t 2/ 3 i za odredene vrijednosti kozmolo ških komponenti bi mo-gao ući u tzv. loitering fazu, gdje je a gotovo konstantano kroz dugi period.Interes za loitering fazu svemira se naglo pove ćao 60-ih godina pro šlog stolje ća kada sumjerenja pokazala pove´can broj kvazara sa z ≈ 2. Naime, loitering crvenog pomaka sedogada ako je kozmolo ška konstanta uravnote žena s gusto ćom materije tako da je (1 + z)3 =Ω Λ ,0/ Ω m,0, gdje je Ω Λ ,0 = λ/ 3 H . Takoder, Loitering svemir ima neka zanimljiva svojstvakoja se ne pojavljuju u drugim modelima. Tako, duga loitering faza rezultira starijim sve-mirom, što donekle ubla žava problem starosti svemira kod modela svemira kojima domi-nira materija. Takoderpertubacije gusto će su eksponencijalne δ

∝ exp( √ 4πGt ), a ne slabe

δ ∝ t 2/ 3 kao u Einstein-Sitter svemiru.Na slikama (2.8) i (2.9) su prikazane razne mogu ćnosti za svemir koji sadr ži nerelati-vističku masu i kozmolo šku konstantu.

Referentni model

Referentni model, danas najprihva ćeniji model svemira, je ravan, sadr ži materiju, radija-ciju i kozmolo šku konstantu.


35/67


Pri računanju energijske gusto´ce fotona uzimamo u obzir samo mikrovalno pozadinskozračenje budu ći da je taj doprinos energiji ve ći od doprinosa svih fotona stvorenih u zvi- jezdama od po četka svemira

CMB = α T 40 = 0.260MeVm −3. (2.92)

Što povla či da je parametr gusto će CMB-a

ΩC MB = CMB ,0

k ,0=

0.260 MeVm −3

5200MeVm −3 = 5.0 ×10−

5. (2.93)

Ako pretpostavimo da galaksije emitiraju svjetlost jednakom stopom zadnjih 14 giga go-dina onda je ukupna gusto ća energije galakti čke svjetlosti

galakti čkesvj . Lt 0 ≈ 0.007MeVm −3, (2.94)

gdje je L srednji luminozitet zvijezda, a n srednji broj zvijezda.Dakle, prosje čna energijska gusto ća fotona zvijezda je tek 3% ukupne energijske gusto ćeCMB. U komponentu radijacije ulazi i kozmiˇ cko pozadinsko neutrino zraˇcenje. Smatra seda energetska gusto ća relativisti čkih neutrina

ν = 7

8

4

11

4/ 3

C MB

≈ 0.277 CMB

→ Ων = 0.681ΩCMB . (2.95)

Dakle, parametar gusto će radijacije u referentnom modelu iznosi

Ωr , 0 = Ω CMB ,0 + Ω ν,0 = 5 ×10−5 + 3.5 ×10−

5 = 8.4 ×10−5. (2.96)

Nerelativisti čka masa se sastoji on barionske mase ali i od tamne materije. Od toga 4%čini barionska masa, a 26% čini tamna materija. Kako je svemir ravan, vrijedi Ω Λ ,0 = 1 −Ω rel ,0 −Ωnerel ,0 ≈ 0.70. Referentni model svemira je bio prvo dominiran radijacijom, zatimnerelativsti čkom masom, a sada ulazi u fazu u kojem dominira kozmolo ška konstanta.Faktor skale u vrijeme kada su materija i radijacija jednako pridonosile gusto´ ci svemira je

iznosio m(a ) r (a )

= m,0 r , 0

a → a r ,m = m,0 r ,0 ≈ 2.8 ×10−

4, (2.97)

dok se energijska jednakost Λ i materije dogodila

Λ (a ) m(a )

= Λ ,0 m,0

a 3 → a m,Λ ≈0.30.7

1/ 3

≈ 0.75. (2.98)


36/67


Slika 2.10: Referentni model svemira. Slika preuzeta iz [1].

Slika (2.10) pokazuje ovisnost faktora skale o vremenu za referentni model. Iz slike jeočito da živimo u vremenu kada je gusto´ca energije nerelativistiˇcke mase jednaka gusto ćienergije kozmolo ške konstante. U limesu z → ∞, d p(t 0) → 3.24c/ H 0 što znači da refe-rentni model svemira ima konaˇcan horizont. Ako je ovaj model toˇcan to nam ukazuje dane možemo vidjeti objekte koji su dalje od 14 gigaparseka jer svjetlost nije imala vremenadoći do nas.Jedno od najopse žnijih istraživanja i najdetaljnijih mjerenja svemira provedeno je 2001.god. satelitom WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe). Kombiniraju ći s poda-cima dobivenim Sloanovim digitalnim pregledom neba (Sloan Digital Sky Survey), Hub-bleovim svemirskim teleskopom (Hubble Space Telescope), COBE satelitom (Cosmic Bac-kground Explorer Satellite), uzimaju´ ci teorijsku pretpostavku gusto´ce neutrina te da je sve-mir ravan, dobiveni su podaci za svemir kao što su navedeni u tablici.

Model svemira H 0(km/ sMpc ) Ωm,0 Ωr ,0 ΩΛ ,0 Ω0 Starost(bil. god.) Horizont (Mpc)WMAP 70.4 0.2722 8.42E-5 0.728 1.000000 13.75 14.375

Benchmark 70 0.3 8.4E-5 0.7 1.000084 13.46 13.897Low density 70 0.05 8.4E-5 0 0.050084 13.04 17.802

Materija samo 70 1.0 0 0 1.0 9.31 8.558

Iz tablice je vidljivo da je razlika starosti svemira i udaljenosti horizonta izmedu WMAPi referentnog modela 3%. Medutim, 3% je vi še od 3σ što čini točnost referentnog modela


37/67


upitnom.U tablici su takoder navedeni podaci za Low density model svemira. Taj model uklju čujesamo ono što je dosad izmjereno u svemiru, tj. radijaciju i materiju te prema teoriji gene-ralne relativnosti, veliku negativnu zakrivljenosti. Iz slike (2.11) mo žemo vidjeti da je LowDensity model konzistentan s mjerenjima do z ≈ 2.

Slika 2.11: Udaljenost u ovisnosti o crvenom pomaku. Redom grafovi, od vrha premadnu: vlastita udaljenost, kutna udaljenost, luminozna udaljenost, modularna udaljenost.Slika preuzeta iz [13].


38/67


Detaljnija mjerenja Union-2 SN satelitom, iz 2010. godine, prikazana na slici (2.12)ukazuju da danas, s velikom sigurno šću, možemo odbaciti Low density model i modelsvemira koji sadr ži samo materiju.

Slika 2.12: Udaljenost u ovisnosti o crvenom pomaku. Slika preuzeta iz [13].


39/67

Poglavlje 3

Odredivanje kozmolo ških parametara

3.1 Metoda najmanjih kvadrata

Jedna od najva žnijih metoda za obradu eksperimentalnih podataka je metoda najmanjihkvadrata. Osnovni problem koji rje šava ova metoda je kako iz dobivenih eksperimentalnihpodataka dobiti funkcionalnu ovisnost.Neka je funkcija f zadana na diskretnom skupu to čaka x0, ..., xn . Pretpostavljamo da je tihtočaka mnogo vi še nego nepoznatih parametara aproksimacijske funkcije.Aproksimacijska funkcija

ϕ( x, a o , ..., a m) (3.1)

odreduje se iz uvjeta da je 2-norma vektora pogre šaka u čvorovima aproksimacije

S =n

k = 0

= ( f ( xk ) −ϕ( xk ))2 → min . (3.2)

Kvadrat 2-norme vektora greˇske S je funkcija nepoznatih parametara

S = S (a 0, ...a m). (3.3)

Budu ći da S ima kvadratnu ovisnost o čito je uvijek pozitivana, neovisno o parametrima.Dakle, postavlja se pitanje kako minimizirati funkciju S kao funkciju vi še varijabli a 0, ..., a m.Kako je S funkcija u ovisnosti o parametrima ak , ona je dovoljno glatka funkcija te je nu žniuvjet ekstrema

∂S ∂a k

= 0 k = 0, ...m. (3.4)

35


40/67

36 POGLAVLJE 3. ODREDIVANJE KOZMOLO ˇ SKIH PARAMETARA

Ukoliko želimo zadane to čke ( x0, f

0)..., ( x

n, f

n) aproksimirati pravcem

ϕ( x) = a 0 + a 1 x, (3.5)

greška aproksimacije u čvorovima koje minimaliziramo će biti

S (a 0, a 1) =n

k = 0

( f k −ϕ( xk ))2 =n

k = 0

( f k −a 0 −a 1 xk )2 → min . (3.6)

Parcijalne derivacije za parametre a0 i a 1 su

0 = ∂S ∂a 0 = −2

n

k = 0( f k −a 0 −a 1 xk ), (3.7)

0 = ∂S ∂a 1

= −2n

k = 0

( f k −a 0 −a 1 xk ) xk . (3.8)

Ako podijelimo prethodne jednadˇzbe s 2 i sredimo po nepoznanicama a0 i a1, dobivamolinearni sustav

a 0(n + 1) + a 1n

k = 0

xk =n

k = 0

f k (3.9)

a 0n

k = 0

xk + a 1n

k = 0

xk 2 =n

k = 0

f k xk . (3.10)

Ozna čimo li

sl =n

k = 0

xlk , t l =n

k = 0

f k xlk , l ≥ 0, (3.11)

tada linearni sustav mo žemo pisatis0a 0 + s1a 1 = t 0 (3.12)

s1a 0 + s2a 1 = t 1. (3.13)

Uz prirodan uvjet pravca da imamo barem dvije razliˇ cite točke xk i iz linearne nezavisnostivektora

(1, 1, ..., 1)T ( x0, x1, ..., xn)T , (3.14)


41/67

3.1. METODA NAJMANJIH KVADRATA 37

očito je da je matrica sustava regularna te da imamo jedinstveno rjeˇ senje.Da bi dokazali da je to minimum trebamo dokazati pozitivnu deniranost Hesseove ma-trice. 1 Medutim, budu ći da S predstavlja paraboloid s otvorom prema gore, u varijablamaa 0, a 1, očito je da takvi paraboloidi imaju minimum.

Medutim ϕ ne mora linearno ovisiti o parametrima. U tom sluˇcaju imamo nelinearansustav jednad žbi koji se relativno te ško rješava. U tom slučaju imamo ozbiljan optimi-zacijski problem koji se rje šava metodama pretra živanja ili posebno prilagodenim me-todama upravo za rje šavanje nelinearnog problema najmanjih kvadrata kao npr. Leven-berg–Marquardt metoda. Ponekad se problem mo že transformirati u linearni problem naj-manjih kvadrata. Medutim, rjeˇsenja lineariziranog problema najmanjih kvadrata i rjeˇ senjaoriginalnog nelinearnog problema, u principu, nisu jednaka zbog razli čitih mjera za uda-ljenost, tj. gre šku.Neka su zadane to čke ( x0, f 0), ..., ( xn , f n), koje po diskretnoj metodi najmanjih kvadrataaproksimiramo funkcijom oblika

ϕ( x) = a 0ea1 x. (3.15)

Greška u čvorovima koje minimaliziramo je

S = S (a 0, a 1) =n

k = 0

( f k −ϕ( xk ))2 =

n

k = 0

( f k −a 0ea1 xk )2 → min . (3.16)

Parcijalnim deriviranjem po varijablama a 0 i a 1 dobivamo nelinearan sustav jednad žbi

0 = ∂S ∂a 0

= −2n

k = 0

( f k −a 0ea1 xk )ea1 xk , (3.17)

0 = ∂S ∂a 1

= −2n

k = 0

( f k −a 0ea1 xk )a 0 xk ea1 xk . (3.18)

Logaritmiranjem funkcije

ϕ( x) = a 0ea1 x (3.19)

imamo

ln ϕ( x) = ln(a 0) + a 1 x. (3.20)

1Hesseova matrica je kvadratna matrica derivacija drugoga reda funkcije ϕ. Često je se ozna čava ∇ϕ.Matrica A je pozitivno denitna ako za svaki ne nul–vektor x 0 vrijedi da je x∗ Ax > 0, gdje je x∗ komplek-sno konjugiran vektor x.


42/67


Logaritmiranjem funkcije f u točkama xk te supstituiranjem dobivamo

h( x) = ln f ( x) hk = h( xk ) = ln f ( x) k = 0, ..., n. (3.21)

Ψ ( x) = ln ϕ( x) = b0 + b1 x, (3.22)

gdje je

b0 = ln a 0 b1 = a 1. (3.23)

Dakle, imamo linearni problem najmanjih kvadrata

S̃ = S̃ (b0, b1) =n

k = 0

(hk −Ψ ( xk ))2 =n

k = 0

(hk −b0 −b1 xk )2 → min . (3.24)

Iz toga slijedi da je

a 0 = eb0 a 1 = b1. (3.25)

Ovako dobiveno rje šenje uvijek daje pozitivan a 0, tj. ϕ( x). Očito je da je to točno rješenjesamo za ( xk , f k ) u slučaju kada je f k pozitivno. Ipak, i kad su neki f k

≤ 0, korištenjem

translacije svih podataka moˇzemo dobiti sve pozitivne f k te se postupak ponavlja.Na kraju, postavlja se pitanje kako znamo jesmo li izabrali dobar oblik aproksimacijskefunkcije? Ukoliko graf pogreˇske jednoliko oscilira oko nule onda je izbrana odgovaraju´ cafunkcija.

3.2 Odredivanje Hubbleove konstante

Suvremena astronomija, bazirana na Friedmanovoj jednad žbi, se bavi problematikom opi-sivanja svemira uz pomo ć faktora skale i mogu ćih komponenti svemira. Ukoliko bismo

mjerenjima mogli odrediti komponente svemira, faktor skale bi jednostavno proizlazio izFriedmanove jednadˇzbe. No, takoder, ako bismo znali faktor skale, mogli bismo odreditienergijsku gusto ću svake komponente svemira.Budu ći da je odredivanje to čne funkcionalne ovisnosti a(t) zahtjevno, korisno je razvitiTaylorov red za a(t ) u trenutaku t 0

a (t ) = a (t 0) + dadt t = t 0

(t −t 0) + 12

d 2adt 2 t = t 0

(t −t 0)2 + ... (3.26)


43/67

3.2. ODREDIVANJE HUBBLEOVE KONSTANTE 39

Budući da a(t ) ne varira značajno s vremenom, uzimaju´ci u obzir samo prvih nekolikočlanova Taylorovog reda dobit ćemo dovoljno dobru aproksimaciju faktora skale a(t ). Uko-liko uzmemo u obzir samo prva tri ˇclana Taylorovog reda za a(t ) u trenutku t 0, te podijelimo jednadžbu s faktorom skale u sada šnjosti a (t 0) dobivamo

a (t )a (t 0) ≈ 1 +

ȧa t = t 0

(t −t 0) + 12

äa t = t 0

(t −t 0)2. (3.27)

Koriste ći normalizaciju a (t 0) = 1 imamo

a (t ) ≈ 1 + H 0(t −t 0) − 12

q0 H 02(t −t 0)2, (3.28)

gdje je q0 bezdimenzionalni deceleracijski parametar

q0 = −äaȧ 2 t = t 0

= − ä

ȧ 2 H 2 t = t 0. (3.29)

Pozitivna vrijednost q0 odgovara ä < 0 što bi značilo da se širenje svemira usporava. Na-protiv, negativna vrijednost q0 odgovara ä > 0 što bi značilo da se širenje svemira ubrzava.

U prethodnom poglavlju je pokazano da Hubbleov zakon r = c H 0 z vrijedi za male vrijednosti z bez obzira u kojem modelu svemira se nalazimo. Iz toga slijedi da bi prikazanona r-z grafu, omjer c/ H 0 predstavljao nagib pravca. Dakle, da bismo odredili Hubbleovu

konstantu, trebamo znati samo nagib pravca u r-z grafu. Medutim, postavlja se pitanjekako odrediti udaljenost r ? Udaljenost r je vlastita udaljenost izmedu dviju to čaka kada jefaktor skale ksiran na nekoj vrijednosti. Ukoliko znamo komponente od kojih se sastojisvemir, lako mo žemo odrediti udaljenost r kao funkciju u ovisnosti o z. No ako želimoodrediti op ći izraz za svojstvenu udaljenost bez obzira u kojem modelu svemira se nala-zimo (budu ći da još ne znamo u kojem modelu svemira živimo) moramo koristiti razvojfaktora skale a(t ) u Taylorov red budu ći da je on strogo matemati čki.Kombiniraju ći izraz

d p(t 0) = c

t 0

t e

dt a (t )

(3.30)

i prva dva člana Taylorovg reda za a (t )

1a (t ) ≈ 1 − H 0(t −t e) +

1 + q02

H 20 (t −t e)2, (3.31)

imamo

d p(t 0) ≈ c(t 0 −t e) + cH 0

2 (t 0 −te ). (3.32)


44/67


Član c(t 0 −

t e) nam govori kolika bi bila udaljenost u statiˇcnom svemiru , a cH

0(t

0 −t e)/ 2 je

korekcija udaljenosti zbog širenja svemira. Kako je z = 1a (t ) −1 jednad žbu (3.31) mo žemoizraziti preko z te iz toga izraziti lookback vrijeme, z ≈ H 0(t −t e) +

1 + q02

H 20 (t −t e)2

→ t 0 −t e ≈ H −1

0 z − 1 + q0

2 z2 . (3.33)

Dakle, kombiniraju ći jednad žbe (3.32) i (3.33) imamo

d p(t 0) ≈ c H 0

z −1 + q0

2 z2 +

cH 02

z2

H 20=

c H 0

z 1 − 1 −q0

2 z . (3.34)

Medutim, ono što najčešće mjerimo je luminozna udaljenost D L . Koristeći metodu stan-dardnih svije´ ca udaljenost D L (u megaparsecima) ra čunamo formulom

µ = m − M = 5log10 D L −25, (3.35)gdje je µ atenuacija sjaja zvijezde, M je apsolutni sjaj zvijezde, m prividan sjaj zvijezde.Prividinim sjajem zvijezda opisujemo koliko je zvijezda sjajna na na šem nebu. Ovisio njenom stvarnom sjaju, njenoj udaljenosti do nas i o koli čini zračenja koje apsorbirameduzvjezdana materija na putu do nas.Prividni sjaj zvijezde dan je formulom

m = −2.5log F + konst ., (3.36)gdje je F tok zračenja. Kao primarni standard odabrana je zvijezda Vega, mVega = 0mag.Apsolutni sjaj M deniran je kao prividan sjaj koji bi zvijezda imala kada bi bila udaljena10 Parseca.Iz

F D L = L4π D L

; F 10 = L4π102 →

F D LF 10

= 100 D2 L → µ

= m − M = 5log10 D L −25. (3.37)

Ali luminozna udaljenost nije vlastita udaljenost iz Hubbleovog zakona. Štovi še, u Rebertson-Walkers metrici, tok zra čenja F je

F = L

4πS k (r )2, (3.38)

gdje je

S κ (r ) = R0 sin (r / R0) κ = + 1r κ = 0 R0 sinh (r / R0) κ = -1.


45/67

3.2. ODREDIVANJE HUBBLEOVE KONSTANTE 41

Dakle, ako je svemir pozitivno zakrivljen fotoni su rasprˇ seni preko manje povr šine, a ako jenegativno zakrivljen, fotoni su raspr šeni preko ve će površine te je tok manji nego što bi biou ravnom svemiru. Dodatno, zbog ˇsirenja svemira tok zra čenja je manji za faktor (1 + z)−2.Prvo, ukoliko je emitirana svjetlost valne duljine λe, u vrijeme kada je mi detektiramosvjetlost će imati valnu duljinu

λ0 = 1a (t e)

λ e = (1 + z)λ e . (3.39)

Dakle, energija će pasti na vrijednost

E 0 = E e

1 + z. (3.40)

Drugo, ako su dva fotona emitirana u intervalu δt e , vremenski interval kada ih mi detekti-ramo će biti δt 0 = δt e(1 + z).Dakle, ukupan tok zra čenja je

F = L

4πS k (r )2(1 + z)2. (3.41)

Dosada šnja mjerenja upu ćuju na to da je svemir gotovo ravan, radijusa zakrivljenosti R0većeg od trenuta čnog horizonta. Objekti s kona čnim crvenim pomakom su na udaljenostimanjoj od horizonta, dakle, manjoj i od R0. Stoga S k

≈ r . Nadalje, u slučaju ravnog

svemira ovisnost izmedu luminozne i vlastite udaljenosti je

D L = r (1 + z) = d p(1 + z) (3.42)

Ako uvrstimo izraz (3.34) za vlastitu udaljenost u prethodnu jednadˇ zbu dobivamo

D L ≈ c H 0

z 1 − 1 + q0

2 z (1 + z) ≈

c H 0

z 1 + 1 −q0

2 z (3.43)

U limesu kada z → 0d p(t 0)

≈ D L

≈

c

H 0 z, (3.44)

a tok zračenja

F ≈ L4π D2 L

. (3.45)

Zaklju čujemo, za odredivanje Hubbleove konstante mo žemo koristiti nagib pravca D L − zgrafa.


46/67


Trenutno najbolje standardne svije´ce predstavljaju supernove tipa Ia. Budu´ci da susupernove jako sjajne, mogu će ih je vidjeti na velikim udaljenostima. Zahvaljuju ći tojčinjenici, mogu će je promatrati dijelove svemire udaljene od nas do 1000 MPc što činiznačajan dio procijenjenog horizonta svemira. Supernove tipa Ia nastaju u dvojnim zvjez-danim sustavima u kojima je bar jedan član bijeli patuljak, a drugi mo že biti bilo kojazvijezda, od crvenih divova do patuljaka. Bitno je da je bijeli patuljak mase M > 1.38 M 0,( M 0 je masa Sunca), jer su oni dovoljno nestabilni da se u njima mo že dogoditi kolosalnaeksplozija. Budu ći da je ubrzanje sile te že na površini crvenog diva malo, bijeli patuljak svojom gravitacijom uspijeva polagano prisvajati materiju crvenog divu. Pritom dolazi dogubitka kutnog momenta i dvije zvijezde se polagano spiralno pribliˇ zavaju jedna drugojšto kao posljedicu dovodi do jo š bržeg pove ćanja mase bijelog patuljka. Kada masa bije-log patuljka naraste unutar 1% od Chandrasekharove granice od 1 .44 M 0, počinje processabijanja bijelog patuljka. Ako se bijeli patuljak sastoji od ugljika i kisika zbog rasta tem-perature i tlaka uzrokovanih uruˇsavanjem, u bijelom patuljku se poˇcne odigravati fuzijaugljika i kisika. Budu ći da se patuljak sastoji od degenerirane materije koja se ne mo žepolagano širiti, fuzijski procesi naglo podi žu temperaturu u sredi štu patuljka na vi še odmilijardu stupnjeva celzijevih te se ta energija naglo oslobada u eksploziji koja uniˇ stavazvijezdu kada ona prede kriti čnu granicu od (1 −2) ·1044J. Eksplozije bijelog patuljka suzbog Chandrasekharove granica i svojstva degenerirane tvari popriliˇ cno uniformne. Mak-simalni apsolutni sjaj eksplozije je uvijek - 19.3 magnituda (oko 5 milijardi puta sjajnijeod Sunca) s malo varijacija.

Na web stranici Supernova Cosmology Project 2 nalaze se podaci o nekoliko stotinasupernova s podacima o imenu supernove, crvenom pomaku z, atenuaciji sjaja supernove µ i eksperimentalnoj neododredenosti ∆ µ.Za male crvene pomake, ovisnost udaljenosti i crvenog pomaka dana je Hubbleovim zako-nom

H 0 D L = cz. (3.46)

Za odredivanje kozmolo ških parametara koristit ćemo se programskim jezikom Python. To

je interpreterski, interaktivni, objektu orjentiran, slobodan programski jezik sa vrlo dobrompopratnom dokumentacijom i literaturom. Budu´ ci da sadži brojne kvalitetne biblioteke zanumeriku, simboliku, crtanje itd., Python se često koristi u istra živanjima i edukaciji izzike i srodnih podru čja znanosti i tehnike.Hubbleovu konstantu (u km / s / Mpc) ćemo odrediti koriste ći podskup mjerenja za koji je z < 0.12. U programskom jeziku Python smo napisali kod (prilog A), koji aproksimirapravac u D L − z grafu metodom najmanjih kvadrata.

2http: // supernova.lbl.gov / Union /


47/67

3.3. ODREDIVANJE UBRZANJA EKSPANZIJE SVEMIRA 43

Linearnom regresijom dobivamo da Hubblova konstanta iznosi:

H 0 = (68.0 ±0.4)km / s/ Mpc . (3.47)

0 . 0 0 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 0 . 1 0 0 . 1 2

z

0

1 0 0

2 0 0

3 0 0

4 0 0

5 0 0

6 0 0

D

L

[

M

p

c

]

Slika 3.1: D L − z graf

3.3 Odredivanje ubrzanja ekspanzije svemira

Širenje svemira nema neku brzinu brzinu koja se pove ćava, ve ć se sve kozmolo ške uda-ljenosti pove ćavaju za isti faktor. Ako bi živjeli u svemiru koji ima stalnu stopu širenjaonda bi brzina udaljavanja bila jednostavno proporcionalna udaljenosti d prema Hubble-ovom zakonu cz = H 0d . Dakle, prema Hubbleovom zakonu, udaljeniji objekti bi imali ve´ cicrveni pomak bez da svemir ima promjenjivu stopu širenja. Prikazano na grafu, ovisnostcrvenog pomaka i udaljenosti bi bio pravac.No, što nam mogu pokazati mjerenja? Ukoliko znamo udaljenost do nekog objekta, tadamožemo znati koliko vremena je svjetlosti trebalo da dode do nas, i ukoliko je ˇ sirenje sve-mira jednako kao što mjerimo danas, mogli bismo izra čunati crveni pomak.No što ako širenje svemira akcelerira ili decelerira? Ukoliko širenje decelerira, kori štenjesadašnje stope širenja bi podcijenilo ukupno širenje dok je svjetlost putovala i pravi crveni


48/67


pomak bi bio ve ći od našeg predvidanja za danu udaljenost. Obratno, ukoliko je ˇ sirenjeakcelerirano, na š proračun bi precijenio ukupno širenje i pravi crveni pomak bi bio manjinego što smo izračunali.Za veće crvene pomake Hubbleov zakon glasi

H 0 D L = cz(1 + (1 −q0) z2

), (3.48)

gdje pozitivan parametar deceleracije q0 odgovara svemiru čije širenje usporava.

0 . 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 . 0 1 . 2 1 . 4 1 . 6 1 . 8

z

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

D

L

[

G

p

c

]

Slika 3.2: D L − z graf

Iako iz mjernih podataka nije o čito da postoji odstupanje Hubbleovog linearnog za-kona, podataka ima dovoljno da statisti čka analiza nedvosmisleno poka že kvadratnu ovis-nost udaljenosti D L i crvenog pomaka z gdje je bezdimenzionalni parametar deceleracijenegativan i razli čit od nule

q0 = −0.15 ±0.04, (3.49)a Hubbleov parametar,

H 0 = (69.18 ±0.37)km / s/ Mpc . (3.50)Dakle, zaklju čujemo da živimo u svemiru koji se ubrzano širi. Postoje razni modeli u

kojima se svemir širi ubrzano kako je prikazano na slici (3.3). Cilj znanstvenika 21. st. jeotkriti koji se model najbolje sla že s opažanjima u svemiru.


49/67


50/67


Koriste ći jednadžbu (2.64) dobivamo

D L H 0 = (1 + z)c 1

1/ (1+ z)

da

a Ω r ,0/ a 2 + Ω m,0/ a + Ω Λ ,0a 2 + (1 −Ω0)(3.53)

Ukoliko ksiramo ravnu geometriju prostora za koju je Ω m + Ω Λ = 1 dobivamo pribli žno jednu trećinu materije i dvije tre ćine tamne energije.

Ωm = 0.29 (3.54)ΩΛ = 0.71 (3.55)

Prikazujemo ovaj rezultat graˇcki na slici 3.4.

0 . 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 . 0 1 . 2 1 . 4 1 . 6 1 . 8

z

0

2 0 0 0

4 0 0 0

6 0 0 0

8 0 0 0

1 0 0 0 0

1 2 0 0 0

1 4 0 0 0

D

L

[

M

p

c

]

Ω

m

= 0 . 2 9 , Ω

Λ

= 0 . 7 1

Slika 3.4: Ovisnost D L − z za različite modele svemira


51/67

Poglavlje 4

Hubbleov zakon u nastavi zike i

astronomije

Otkriće ubrzanog širenja svemira se ne pojavljuje kao nastavna cjelina u kurikulumu pred-meta zike, ve ć se može obradivati u predmetu astronomija. U školama Republike Hrvat-ske, astronomija nije obvezni predmet ve´c se može učiti kao izborni predmet, fakultativnipredmet ili izvannastavna aktivnost (astronomska grupa-sekcija). Op ćenito, nema izvedbe-nog niti operativnog plana za predmet astronomije te stoga iziskuje dodatni napor profesoravezano uz izbor i obradu tema, kao i uskladivanje kurikuluma sa sadr žajima predmeta ma-tematike, zike, geograja i sl. U ishodima predmetnog kurikuluma nastave zike stoji daće učenik moći tumačiti širenje svemira pomo ću Hubbleovog zakona, opisati glavne epohenastanka svemira prema teoriji velikog praska, objasniti razvoj i strukturu raznih zvijezda,objasniti podrijetlo i nastanak razliˇcitih elemenata u svemiru. Takoder, u prijedlogu kuri-kuluma iz velja če 2016. godine, u obrazovne ishode petog ciklusa (3. i 4. razred srednješkole) za prirodoslovne predmere, u domeni organiziranost prirodnih sustava e stavljennaglasak na koncept širenja svemira. Dakle, mo že se očekivati da će s razvojem obrazova-nja i ova tema postati obvezni dio kurikuluma za prirodoslovna podruˇ cja.

Hubbleov zakon ne predstavlja problem u čenicima budu ći da se radi o običnoj line-arnoj jednad žbi. Dopplerov efekt, potreban za razumijevanje Hubbleovog zakona, se uˇ ciu trećem razredu gimnazije. Štovi še, učenici mogu sami odrediti Hubbleovu konstantu.Koriste ći se podacima o udaljenosti i crvenom pomaku mogu na´ ci više pravaca kroz dvijetočke u D L − z grafu, usporediti njihove nagibe i izra čunati srednji nagib, a iz toga Hub-bleovu konstantu.Takoder, uˇ cenici mogu nacrtati graf uz pomo´c nekog kompjuterskog pro-grama, poput Excela te iz njega o čitati podatke. Ovo je izvrstan primjer interdisciplinar-nosti predmeta informatike, zike i astronomije.

47


52/67


53/67

4.1. PROBLEMI U NASTAVI ASTRONOMIJE 49

Naposlijetku, navest ćemo par zadataka koji su se pojavljivali na natjecanjima iz astro-nomije, od školskog do olimpijskog.

1. Valnoj duljini kojoj u spektru odgovara polo žaj od točno 500 nm, za zvijezdu Sirius je, zbog Dopplerovog u činka, izmjerena vrijednost od 499,987 nm. Izraˇ cunajte, iz tog po-datka, radijalnu brzinu Siriusa. Udaljava li se Sirius od Zemlje ili joj se pribli žava?

2. Galaktički protoklaster BoRG-58 ima kozmolo ški pomak prema crvenome od 8.Koja je brzina udaljavanja tog objekta od nas? Obavezno uzeti u obzir relativistiˇ cke efekte!

3. Natrijeva D-linija, mjerena u laboratoriju, nalazi se na 589,3 nm. Ista ta linija, aliopažena u spektru galaksije, nalazi se na 600,0 nm. Odredite brzinu kojom se ta galaksijaudaljava od nas te njenu trenutnu udaljenost u parsecima i svjetlosnim godinama, ako jeHubbleov parametar H 0 = 7 ·104 s−1 Mpc−1.

4. Na temelju spektra galskije s crvenim pomakom z = 6.03 odredena starost zvijezdau galaksiji izmedu 560 i 600 milijuna godina. Pri kojoj vrijednosti z je počelo formiranjezvijezda u ovoj galaksiji. Pretpostavite da je svemir star t 0 = 13.7 × 109 godina i dase nalazimo u ravnom modelu svemira s kozmolo škom konstantom Λ = 0. (U takvommodelu a 2/ 3, a vrijeme se računa od velikog praska.)

4.1 Problemi u nastavi astronomije

Danas predmet astronomije vodi širok spektar prola profesora kao što je navedeno na slici(4.1). Štovi še, na nastavni čkim smjerovima prirodoslovno-matemati čkog fakulteta u Za-grebu, ne postoji obvezan predmet koji se bavi ovom tematikom ve ć se samo neki elementispominju u kolegiju astronomija i astrozika. Dakle, u nedostatku dodatne edukacije, nijeiznenaduju će da mnogi nastavnici nisu spremni preuzeti predmet poput astronomije u os-novnim i srednjim školama. No, zahvaljuju ći projektima koji uklju čuju popularizacijuznanosti, mnogi u čenici će znati pone što o ovoj temi. Iako zainteresirani za ovo podruˇcjeznanosti, u mnogim školama ne će dobiti adekvatno obrazovanje zbog nedostatka kvali-ciranih profesora i sredstava ˇskole. U sklopu cjelo životnog učenja, profesori će sigurnoimati priliku pohadati seminare i radionice na tu temu, te bi se u dogledno vrijeme situacijatrebala promijeniti.


54/67

50 POGLAVLJE 4. HUBBLEOV ZAKON U NASTAVI FIZIKE I ASTRONOMIJE

Slika 4.3: Profesori koji izvode nastavu astronomije. Slika preuzeta iz [21].

U Hrvatskoj se natjecanja iz astronomije vode na školskoj, županijskoj i dr žavnoj ra-zini. Na medunarodnoj razini se odrˇzavaju olimpijade Intenational Olympiad Astronomy(IOA) i International Olympiad on Astronomy and Astrophysics (IOAA). Statiske ne iduu prilog Hrvatskoj jer smo na dnu ljestive po osvojenim medaljama. Na grakonu ispod jeprikazana distribucija medalja za 2013. godinu. Na natjecanjima u RH u čenici pokazujusvoje teorijsko i prakti čno znanje. Teorijsko znanje se ispituje standardiziram testovimakoji sadr že pitanja otvorenog i zatvorenog tipa. Na testovima u čenici pokazuju svoje zna-nje i razumijevanje te sposobnost primjene, analize, sinteze i evaluacije. Prakti čni rad jemali znanstveni rad i tekst koji ima osnovne elemente znanstvenog ˇ clanka. U prakti čnomdijelu rada u čenici izabiru temu uz pomo ć mentora. Rad mo že biti opažački, eksperimen-talni, teorijski (ne esej) ili izrada astronomskog pomagala. Budu´ ci da to zahtjeva testiranjeznanstvene hipoteze i apstraktan na čin razmi šljanja, bitna je intenzivna interakcija izmedumentora i učenika, tj. mentor mora imati vrlo aktivnu ulogu u svim koracima stvaranjarada. Na medunarodnom natjecanju IOA u čenici moraju pokazati sposobnost rje šavanjateorijskih, prakti čnih i opažačkih problema, dok na natjecanju IOAA, uz sve prethodnonavedeno, pokazuju i znanje obrade podataka.


55/67

4.1. PROBLEMI U NASTAVI ASTRONOMIJE 51

Slika 4.4: Osvojene medalje na IOAA za 2013. godinu.


56/67


57/67

Bibliograja

[1] B. Rydmen, Introduction to cosmology, Addison-Wasley, 2002.

[2] J. Planini ć, Kaos i kozmos , Algoritam, Zagreb, 2001. 303.

[3] K. Kumeri čki, Kozmicko pozadinsko zraˇ cenje — prva fotograja svemira , http://www.phy.pmf.unizg.hr/ ˜ kkumer/articles/korcula02proc.pdf , 20.2.2016.

[4] N. Wright, http://www.astro.ucla.edu/ ˜ wright/cosmolog.htm , 20.02.2016.

[5] S. Nerlich, Astronomy withou telescope-enough with thedar already , http://www.universetoday.com/86122/astronomy-without-a-telescope-enough-with-the-dark-already/ ,10.03.2016.

[6] S. Gruji ć, Standardni modeli zike ˇ cestica i kozmologije , Diplomski rad,Prirodoslovno-matematiˇ cki fakultet, Sveu čilište Novi Sad, Novi Sad, 1991.

[7] H. Kurki-Suonio Lecture courses , http://www.helsinki.fi/ ˜ hkurkisu/ ,05.03.2016.

[8] H. Štefan čić, Problem tamne energije-ˇ sto uzrokuje daˇ snje ubrzano ˇ sirenje svemira ,http://ljskola.hfd.hr/arhiva/2004/stefancic.pdf , 07.03.2016.

[9] A. Pisani., Cosmology with cosmic voids , https://www.archives-ouvertes.fr/

tel-01086451/document , 07.03.2016.[10] F. Steiner, Soulution of the Friedmann equation determening the time evolution,

acceleration and the age of universe , https://www.uni-ulm.de/fileadmin/website_uni_ulm/nawi.inst.260/paper/08/tp08-7.pdf , 10.03.2016.

[11] D. Borkovi ć, Jednadˇ zbe stanja kozmiˇ ckih uida i asimptotsko ˇ sirenje svemira , Di-plomski rad, Prirodoslovno-matemati čki fakulte, Sveu čilište u Zagrebu, Zagreb,2013.

53

http://www.phy.pmf.unizg.hr/~kkumer/articles/korcula02proc.pdfhttp://www.phy.pmf.unizg.hr/~kkumer/articles/korcula02proc.pdfhttp://www.phy.pmf.unizg.hr/~kkumer/articles/korcula02proc.pdfhttp://www.phy.pmf.unizg.hr/~kkumer/articles/korcula02proc.pdfhttp://www.phy.pmf.unizg.hr/~kkumer/articles/korcula02proc.pdfhttp://www.astro.ucla.edu/~wright/cosmolog.htmhttp://www.astro.ucla.edu/~wright/cosmolog.htmhttp://www.astro.ucla.edu/~wright/cosmolog.htmhttp://www.universetoday.com/86122/astronomy-without-a-telescope-enough-with-the-dark-already/http://www.universetoday.com/86122/astronomy-without-a-telescope-enough-with-the-dark-already/http://www.universetoday.com/86122/astronomy-without-a-telescope-enough-with-the-dark-already/http://www.helsinki.fi/~hkurkisu/http://www.helsinki.fi/~hkurkisu/http://www.helsinki.fi/~hkurkisu/http://www.helsinki.fi/~hkurkisu/http://ljskola.hfd.hr/arhiva/2004/stefancic.pdfhttp://ljskola.hfd.hr/arhiva/2004/stefancic.pdfhttps://www.archives-ouvertes.fr/tel-01086451/documenthttps://www.archives-ouvertes.fr/tel-01086451/documenthttps://www.archives-ouvertes.fr/tel-01086451/documenthttps://www.uni-ulm.de/fileadmin/website_uni_ulm/nawi.inst.260/paper/08/tp08-7.pdfhttps://www.uni-ulm.de/fileadmin/website_uni_ulm/nawi.inst.260/paper/08/tp08-7.pdfhttps://www.uni-ulm.de/fileadmin/website_uni_ulm/nawi.inst.260/paper/08/tp08-7.pdfhttps://www.uni-ulm.de/fileadmin/website_uni_ulm/nawi.inst.260/paper/08/tp08-7.pdfhttps://www.uni-ulm.de/fileadmin/website_uni_ulm/nawi.inst.260/paper/08/tp08-7.pdfhttps://www.archives-ouvertes.fr/tel-01086451/documenthttps://www.archives-ouvertes.fr/tel-01086451/documenthttp://ljskola.hfd.hr/arhiva/2004/stefancic.pdfhttp://www.helsinki.fi/~hkurkisu/http://www.universetoday.com/86122/astronomy-without-a-telescope-enough-with-the-dark-already/http://www.universetoday.com/86122/astronomy-without-a-telescope-enough-with-the-dark-already/http://www.astro.ucla.edu/~wright/cosmolog.htmhttp://www.phy.pmf.unizg.hr/~kkumer/articles/korcula02proc.pdfhttp://www.phy.pmf.unizg.hr/~kkumer/articles/korcula02proc.pdf


58/67

[12] L. Babi ć, Brzina svjetlosti i barionska komponenta svemira , http://plotnikov.chem.pmf.hr/ ˜ zbabic/plankon/barcomp.pdf , 20.03.2016.

[13] J. L., Christiansen i A. Siver, Computing Accurate Age and Distance Factors in Co-smology , American Journal of Physics, 80(5), 2012, str.1-11.

[14] Nacionalni kurikum nastavnog predmeta zike , Ministarstvo znanosti obrazovanja išporta RH, 2016.

[15] R. Fuchs, D. Vican i I. Milanovi ć Litre, Nacionalni okvirni kurikulum: za predˇ skolskiodgoj i obrazovanje te op´ ce obavezno i srednjoˇ skolsko obrazovanje , Ministarstvo zna-nosti, obrazovanja i športa RH, 2011.

[16] Anonymous, http://www.universeadventure.org/fundamentals/popups/ model-sq-hubble2.htm , 1.4.2016.

[17] F.B. Abdalla, Observational cosmology: The Friedmann equation , http://zuserver2.star.ucl.ac.uk/ ˜ hiranya/PHAS3136/PHAS3136/PHAS3136_files/Cosmo3_56_fried.pdf , 20.03.2016.

[18] NASA / IPAC Extragalactic Database (NED), https://ned.ipac.caltech.edu/ ,13.03.2016.

[19] Universe adventure, http://www.universeadventure.org/ , 25.03.2016.[20] E-škola astronomije http://eskola.zvjezdarnica.hr/ , 26.03.2016.

[21] Agencija za odgoj i obrazovanje http://www.azoo.hr/ , 1.4.2016.

[22] U. Yildiz, Solutions of Friedman equation, http://particle.korea.ac.kr/research/yildiz_universemodels_friedmann.pdf , 18.03.2016.

http://plotnikov.chem.pmf.hr/~zbabic/plankon/barcomp.pdfhttp://plotnikov.chem.pmf.hr/~zbabic/plankon/barcomp.pdfhttp://plotnikov.chem.pmf.hr/~zbabic/plankon/barcomp.pdfhttp://plotnikov.chem.pmf.hr/~zbabic/plankon/barcomp.pdfhttp://www.universeadventure.org/fundamentals/popups/model-sq-hubble2.htmhttp://www.universeadventure.org/fundamentals/popups/model-sq-hubble2.htmhttp://zuserver2.star.ucl.ac.uk/~hiranya/PHAS3136/PHAS3136/PHAS3136_files/Cosmo3_56_fried.pdfhttp://zuserver2.star.ucl.ac.uk/~hiranya/PHAS3136/PHAS3136/PHAS3136_files/Cosmo3_56_fried.pdfhttp://zuserver2.star.ucl.ac.uk/~hiranya/PHAS3136/PHAS3136/PHAS3136_files/Cosmo3_56_fried.pdfhttp://zuserver2.star.ucl.ac.uk/~hiranya/PHAS3136/PHAS3136/PHAS3136_files/Cosmo3_56_fried.pdfhttp://zuserver2.star.ucl.ac.uk/~hiranya/PHAS3136/PHAS3136/PHAS3136_files/Cosmo3_56_fried.pdfhttp://zuserver2.star.ucl.ac.uk/~hiranya/PHAS3136/PHAS3136/PHAS3136_files/Cosmo3_56_fried.pdfhttps://ned.ipac.caltech.edu/https://ned.ipac.caltech.edu/http://www.universeadventure.org/http://eskola.zvjezdarnica.hr/http://eskola.zvjezdarnica.hr/http://www.azoo.hr/http://www.azoo.hr/http://particle.korea.ac.kr/research/yildiz_universemodels_friedmann.pdfhttp://particle.korea.ac.kr/research/yildiz_universemodels_friedmann.pdfhttp://particle.korea.ac.kr/research/yildiz_universemodels_friedmann.pdfhttp://particle.korea.ac.kr/research/yildiz_universemodels_friedmann.pdfhttp://particle.korea.ac.kr/research/yildiz_universemodels_friedmann.pdfhttp://www.azoo.hr/http://eskola.zvjezdarnica.hr/http://www.universeadventure.org/https://ned.ipac.caltech.edu/http://zuserver2.star.ucl.ac.uk/~hiranya/PHAS3136/PHAS3136/PHAS3136_files/Cosmo3_56_fried.pdfhttp://zuserver2.star.ucl.ac.uk/~hiranya/PHAS3136/PHAS3136/PHAS3136_files/Cosmo3_56_fried.pdfhttp://zuserver2.star.ucl.ac.uk/~hiranya/PHAS3136/PHAS3136/PHAS3136_files/Cosmo3_56_fried.pdfhttp://www.universeadventure.org/fundamentals/popups/model-sq-hubble2.htmhttp://www.universeadventure.org/fundamentals/popups/model-sq-hubble2.htmhttp://plotnikov.chem.pmf.hr/~zbabic/plankon/barcomp.pdfhttp://plotnikov.chem.pmf.hr/~zbabic/plankon/barcomp.pdf


59/67

Sa žetak

U uvodnom dijelu ovog diplomskog rada izne šene su činjenice i pretpostavke o svemiruu kojem živimo na temelju razli čitih istra živanja. Opisan je sastav svemira, uvedena jepretpostavka da je svemir homogen i izotropan na velikim skalama, te Hubbleov zakonkoji nam govori o proporcionalnosti izmedu udaljenosti i brzine udaljavanja galaksija. Ko-risteći Dopplerov efekt i ovisnost izmedu crvenog pomaka i brzine, Hubbleov zakon poka-zuje proporcionalnu vezu izmedu crvenog pomaka i udaljenosti.U drugom poglavlju su opisani neki od modela svemira koji proizlaze Friedmanove jed-nadžbe temeljene na Roberston-Walkers metrici i Einsteinovoj Op ćoj teoriji relativnosti.Na temelju mjerenja crvenog pomaka razliˇ citih galaksija tra žili smo model koji se najbo-lje uklapa u mjerenja. U tre ćem poglavlju smo na preuzeli mjerenja o crvenom pomakui udaljenosti supernova tipa Ia i odredili faktor akceleracije širenja svemira. Naposljetku,približili smo i prilagodili dijelove diplomskog rada za nastavu astronomije i zike u sred-njim školama.


60/67


61/67

Summary

In this master thesis we will describe basic cosmological concepts and layout evidence foraccelerated expansion of the universe. In introduction we will present facts and assumpti-ons about universe in which we live based on di ff erent astronomical surveys. Compositionof universe is described, and we introduced the assumption that universe is homogeneousand isotropic on big scales, and that Hubble’s law shows that recessional velocity of ga-laxies is proportional to its distance. We have used Doppler’s e ff ect to express connectionsbetween redshift and distance and to write Hubble’s law in di ff erent form, showing propor-tionality between redshift and distance.In second chapter we have described models of the universe which originate from Fried-mann equation based on Robertson-Walkers metrics and Einstein’s gravitational equation.Based on redshifts of di ff erent galaxies we have search for the model that best ts theobservations. In third chapter we have used the measurements of redshifts and distancesfor Supernova type Ia and determined the acceleration factor of expansion of the universe.At the end, we have discussed topic of the expansion of the universe in a way that it iscomprehensive for the pupils in high school.


62/67


63/67

Dodatak A

Kod u programskom jeziku Python

Python je ra čunalni jezik op će namjene. Izrazito je elegantan za upotrebu. Popularan je uznanstvenoj zajednici jer postoji velik broj korisnih Python biblioteka od op´ cih pa do onihza specijalizirane znanstvene primjene.

Učitavanje potrebnih bibiloteka.1 f rom f u t u r e i m p o r t d i v i s i o n2 i m p o r t m a t p l o t l i b . p y pl o t a s p l t3 i m p o r t numpy as np4 i m p o r t s c i p y5 i m p o r t sc ip y . s t a t s6 i m p o r t u r l l i b7 f rom s c i p y i m p o r t i n t e g r a t e

Učitavamo podatke s web adrese te koriste´ci NumPy funkciju loadtxt() pretvaramo iz da-toteke u NumPy listu.

1 # s n s = u r l l i b . u r l op en ( ’ ht t p : / / sup erno va . lb l . gov / Union / f i g u r e s / SCPUnion2. 1 m u v s z . t x t ’ )

2 s n s = u r l l i b . u rl op en ( ’ h t t p : / / s upe rnova . l b l . gov / Union / f i g u r e s / SC PU nion2 m u v s z . t x t ’ )

3 d a t = n p . l o a d t x t ( s n s , u s e c o l s = ( 1 , 2 , 3 ) ) ; d a t . s hape

Pretvaramo mjerene podatke µ i ∆ µ u D L i ∆ D L.1 d e f DL(mu) :2 r e t u r n 1 . / 1 0 0 0 0 0 .

∗np . ex p ( 1 . / 5 .

∗mu∗

np . log (1 0) )34 d e f di ff DL (mu) :5 r e t u r n 1 . / 5 0 0 0 0 0 .

∗np . ex p ( 1 . / 5 .

∗mu∗

np . log (1 0) )∗

np . log (1 0)67 DLdat = np . ar r ay ( [ ( z , DL( valmu ) , dif fDL ( valmu )

∗errm u ) f o r z , valmu , err mu

i n da t ] ) ; DLdat . shape

59


64/67

Deniramo generi čki izraz aproksimacijsku funkciju i odgovaraju´ cu funkciju udalje-nosti tj. odstupanja ( čije kvadrate će minimizirati funkcija leastsq()). Nakon minimizacijetestiramo zastavicu ier ukoliko leastsq() nije uspje šna dobijemo odgovaraju´cu poruku ogrešci.

1 d e f d i s t ( p , f un , d a t a ) :2 r e t u r n np . ar r ay ( [ ( y − f u n (p , x ) ) / e r r f o r (x , y , er r ) i n d a t a ] )34 d e f c h i s q ( p , f un , d a t a ) :5 r e t u r n sum ( d i s t ( p , f un , d a ta )

∗∗2 )

67 d e f l e a s t s q f i t ( fcn , i n i t , da ta ) :8 ” ” ” F i t f u n c t i o n f cn , s t a r t i n g f ro m i n i t i n i t i a l v a l u e s t o d a t a . ” ””9 p f i n a l , cov x , i n f o d i c t , msg , i e r = s c i py . op t i m ize . m inpack . l e a s t s q (

d i s t , i n i t , ( fcn , d at a ) , f u l l o u t p u t = True )10 p a r e r r s = np . sq r t ( sc i py . d i ag on al ( cov x ) )11 f o r k i n r a ng e ( l e n ( i n i t ) ) :12 p r i n t ”p[%d] = %.3f +− %.3f ” % ( k , p f i n a l [ k ] , p a r e r r s [ k ] )13 c h i 2 = c h i s q ( p f i n a l , f cn , d a t a )14 d f = l e n ( da t a )−l e n ( i n i t )15 p r i n t ” ch i ˆ2 / d . o . f = %.1f / % i ( p−v a l u e = %.4 f ) ” % ( ch i2 , d f , s c i p y .s t a t s .

otkriće ubrzanog širenja svemira

Documents