otros conceptos - alvaro j. riascos villegas · 2020-02-04 · el concepto de equilibrio de nash...

Capítulo 3

Otros conceptos

Una de las debilidades de la teoría desarrollada hasta este punto es la mul-tiplicidad de equilibrios que se pueden encontrar incluso en juegos muy sen-cillos. En este capítulo introduciomos formas de eliminar algunos de estosequilibrios usando conceptos de solución más demandantes estratégicamentey/o epistemológicamente.

3.1. Equilibrio perfecto

La eliminación de estrategias dominadas débilmente es dificil de justificarsobre la base del comportamiento puramente racional: una estrategia domi-nada débilmente puede ser un mejor respuesta a alguna estrategia de otrojugador. Luego, sólo si estamos seguros de que el otro jugador no va utili-zar esa estrategia se justifica eliminarla. El concepto de equilibrio de Nashtampoco elimina estrategias dominadas débilmente: Puede existir un equi-librio de Nash tal que un jugador está utilizando un estrategia dominadadébilmente. Para mayor ilustración consideremos el siguiente juego.1

Ejemplo 3.1 (Equilibrio de Nash dominado).

1\2 A Ba 1,1 0,-3b -3,0 0,0

La estrategia (b, B) es un equilibrio de Nash en el cual ambas estrategias sondébilmente dominadas.

1Esta sección está basada en Mas-Colell et. al. [1995].

57

Riascos, A. Teoría de Juegos y sus Aplicaciones Versión 3.0, 2020

Vamos a ver que si suponemos cierta cautela por parte de los jugadores, enla medida que estos reconozcan que con cierta probabilidad sus adversariospueden no jugar Nash, entonces es posible racionalizar la eliminación deestrategias dominadas débilmente.Quisiéramos definir un concepto de equilibrio que sea robusto a cierto tipode perturbaciones del juego que reflejan la posibilidad de que los jugadorespuedan cometer errores. La definición que captura esta idea es la siguiente:

Definición 3.2 (Equilibrio perfecto en forma normal). Sea εi : Si → (0, 1)tal que

∑s∈Si

εi(s) < 1 y ∆εi = σi ∈ Σ(Si) : σi(s) ≥ εi(s)∀s ∈ Si. Es decir,∆εi es el conjunto de todas las estrategias mixtas con soporte completo ydeterminado por εi. Denotamos por Gε =

(N, (∆εi)i=1,...,N , (πi)

)el juego

perturbado por (εi)i=1,...,N

Decimos que σ es un equilibrio perfecto en forma normal si es un equilibriode Nash y si existen sucesiones

(εki)k=1,...,

y equilibrios de Nash σk de losjuegos perturbados Gεk

(σki)k=1,...,

tal que:

1. lımk→∞ εki (s) = 0 ∀i, s ∈ Si

2. lımk→∞ σki = σi

En otras palabras, un juego perturbado es aquel en el que se juegan todaslas estrategias puras con probabilidad positiva. De esta manera, la definiciónde equilibrio perfecto solo requiere que exista una sucesión de juegos pertur-bados y equilibrios de Nash de los juegos perturbados, que converja al juegooriginal y estrategia candidata a ser un equilibrio perfecto. Intuitivamente ladefinición captura la idea de que los agentes pueden cometer errores (trem-bling hand) y por lo tanto evalúan juegos ligeramente perturbados donde losagentes le asignan probabilidad positiva a todas la estrategias puras.La definición anterior puede resultar muchas veces difícil de trabajar porquerequiere que se computen muchos juegos por lo que la siguiente proposiciónpuede ayudar a verificar si un equilibrio de Nash es perfecto.

Proposición 6. Sea G = (N, (Si)i=1,...,N , (πi)i=1,..,N ) un juego en formanormal. Una estrategia conjunta de

(σ1, ..., σn

)es un equilibrio perfecto (en

forma normal) del juego G si y solamente si para cada jugador i existe(σik)k=1,...

sucesión de estrategias mixtas de soporte completo tal que:

1. Para todo i, lımk→∞ σik = σi

58


2. Para todo i y k, σi es la mejor respuesta cuando los demás juegan σ−ik .

Ejemplo 3.3. Considere el juego:

1\2 X YAa 0,1 0,1Ab 0,1 0,1Ba -1,2 1,0Bb -1,2 2,3

(Aa,X) es un equilibrio perfecto en forma normal. Tome, por ejemplo, lasucesiones de estrategias mixtas por completo σ1

k = (1 − 3k ,

1k ,

1k ,

1k ) y σ2

k =(1 − 1

k ,1k ) con k = 4, 5, 6, .... Note que la suma de todos los componentes

de la estrategia es uno y cada uno está entre cero y uno, para todo k en eldominio definido. También es importante resaltar que esta es una estrategiamixta por completo ya que únicamente cuando k →∞ algunos componentesde la estrategia se vuelven cero.Para probar que efectivamente se trata de un equilibrio perfecto se necesitamostrar que se cumplen las dos condiciones de la proposición anterior.

1. lımk→∞ σik = σi ∀i

lımk→∞ σ1k = lımk→∞(1− 3

k ,1k ,

1k ,

1k ) = (1, 0, 0, 0) = σ1

lımk→∞ σ2k = lımk→∞(1− 1

k ,1k ) = (1, 0) = σ2

2. Para todo i y k, σi es la mejor respuesta ante σ−ik .

Para el jugador 1:π1(Aa, σ2

k) = (1− 1k ) ∗ 0 + ( 1

k ) ∗ 0 = 0

π1(Ab, σ2k) = (1− 1

k ) ∗ 0 + ( 1k ) ∗ 0 = 0

π1(Ba, σ2k) = (1− 1

k ) ∗ (−1) + ( 1k ) ∗ 1 = −1 + 2

k

π1(Bb, σ2k) = (1− 1

k ) ∗ (−1) + ( 1k ) ∗ 2 = −1 + 3

k

Note que tanto Ba como Bb tienen un pago que se va reduciendoen la medida que k crece. El pago más alto entonces lo tienecuando k = 4 y para ambas estrategias este pago es menor quecero. Por lo tanto para i = 1 es verdad que σ1 = Aa es mejorrespuesta para todo k.

Para el jugador 2:π2(σ1

k, X) = (1− 3k ) ∗ 1 + ( 1

k ) ∗ 1 + ( 1k ) ∗ 2 + ( 1

k ) ∗ 2 = 1 + 2k

59


π2(σ1k, Y ) = (1− 3

k ) ∗ 1 + ( 1k ) ∗ 1 + ( 1

k ) ∗ 0 + ( 1k ) ∗ 3 = 1 + 1

k

Note que el pago de jugar X es el de jugar Y más 1k y como k es

un número positivo, siempre va a ser mejor jugar X. Con esto sedemuestra que σ2 = X es mejor respuesta para todo k.

Ejercicio 3.4. Considere el juego:

1\2 X YAa 0,2 0,2Ab 0,2 0,2Ba -1,0 3,0Bb -1,-1 -1,-1

Encuentre todos los equilibrios perfectos en forma normal y las sucesionesde estrategias mixtas que los soportan.

Ejercicio 3.5. Mostrar que en todo equilibrio perfecto en forma normalninguna estrategia débilmente dominada es jugada con probabilidad positiva.

Ejercicio 3.6. Mostrar que en un juego con únicamente dos jugadores todoequilibrio de Nash en el no se juegan estrategias débilmente dominadas conprobabilidad positiva es un equilibrio perfecto en forma normal (véase Kreps,página 439).

Ejercicio 3.7. Considere el juego:

1\2 X YA 2,2 2,2BC 4,1 1,0BD 0,0 0,1

Este juego tiene un equilibrio perfecto en formal normal pero no extensiva(véase capítulo sobre juegos dinámicos).

Selten [1975] demostró que todo juego finito tiene un equilibrio perfecto enforma normal. En particular, todo juego finito tiene un equilibrio de Nashen el que ninguna estrategia débilmente dominada se juega con probabilidadpositiva.

3.2. Equilibrio fuerte y equilibrio inmune a coali-ciones

El concepto de equilibrio de Nash se basa en la idea de que, en equilibrio,no deben existir incentivos unilaterales a desviarse. Esto es, ningún jugador

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puede hallar beneficioso desviarse de la estrategia que le corresponde en Nashsuponiendo que los demás mantienen fija la estrategia que les correspondeen Nash. Un generalización natural de esta idea es suponer que no existenincentivos a que ningún grupo de personas (i.e., coaliciones) se desvien delas estrategias que a ese grupo les corresponde cuando se supone que losque están fuera de la coalición mantiene sus estrategias fijas. La siguientedefinición formaliza esa idea.

Definición 3.8 (Equilibrio fuerte). Una estrategia conjunta σ es un equili-brio fuerte si para todo C ⊂ N no existe una estrategia conjunta (σi)i∈C talque:

πi((σi)i∈C , σN\C) > πi(σ), ∀i ∈ C

Podemos deducir inmediatamente de la definición que un equilibrio fuerte eseficiente débilmente en el sentido de Pareto.

Ejemplo 3.9. Este juego tiene un único equlibrio fuerte pero dos equilibriosde Nash.

1\2 A BA 1,1 0,0B 0,0 4,4

Este es un concepto de equilibrio muy fuerte (no existe en el caso del Dilemade los Prisioneros) y pueden darse otro tipo de dificultades como lo ilustrael siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.10 (Bernheim, Peleg y Whinston 1987). Considere el siguientejuego entre tres individuos.

1\2 A BX 0,0,10∗ -5,-5,0Y -5,-5,0 1,1,43 M

1\2 A BX -2,-2,0 -5,-5,0Y -5,-5,0 -1,-1,5∗

3 N

En este juego existen dos equilibrios de Nash - Cournot y uno de ellos dominaal otro. Ninguno de los dos equilibrios de Nash - Cournot son un equilibriofuerte pero el equilibrio dominado tiene algunas características que motivanel próximo concepto de equilibrio que introduciremos.Para ver que el primer equilibrio (X,A,M) no es un equilibrio fuerte obsérve-se que 1 y 2 tienen un incentivo a desviarse. El segundo equilibrio claramente

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no es un equilibrio fuerte. Ahora, considere los incentivos a desviarse del se-gundo equilibrio (dominado) al primero. Si los jugadores 1 y 2 creen que eljugador 3 va jugar M , la misma idea del equilibrio fuerte nos suigiere que 1y 2 no deberían de tener incentivos para desviarse juntos de sus estrategiasX y A respectivamente. Sin embargo, este no es el caso, ellos tendrían elincentivo a desviarse juntos y jugar Y , B respectivamente. Pero si el juga-dor 3 internaliza ese argumento entonces preferiría jugar N y volvemos alequilibrio ineficiente.

El problema de tipo conceptual identificado en el anterior ejemplo motiva laintroducción de un concepto más débil.

Definición 3.11 (Equilibrio inmune a coaliciones informalmente). Una es-trategia conjunta es un equilibrio inmune a coaliciones si:

1. Es un equilibrio de Nash - Cournot.

2. No existen incentivos a desviaciones bilaterales admisibles. Una des-viación bilateral es admisible si es un equilibrio de Nash - Cournotdel juego reducido de dos jugadores donde todos los demás jugadorestienen sus estrategias fijas.

3. No existen desviaciones trilaterales admisibles. Una desviación trila-teral es admisible si no existen incentivos a desviaciones bilateralesadmisibles ni a desviaciones unilaterales admisibles.

4. Así sucesivamente ad infinitum.

Ciertamente este es un concepto de equilibrio más débil que el concepto deequilibrio fuerte (menos desviaciones estratégicas del candidato a equilibrioson admisibles). Notemos que, por ejemplo, en el dilema de los prisionerosno existe un equilibrio fuerte pero el equilibrio en estrategias dominadas síes un equilibrio inmune a coaliciones.En el último ejemplo de las anteriores notas el equilibrio (Y,B,N) es unequilibrio inmune a coaliciones. Para ver esto verifiquemos las condicionesde la definición anterior. (Y,B,N) es un equilibrio de Nash y no existenincentivos bilaterales a desviarse (menos aún a desviaciones bilaterales ad-misibles). Ahora, considere los incentivos a una desviación de la coalición detodos los jugadores. Claramente existe un incentivo a moverse al equilibriode Nash - Cournot (X,A,M).

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Preguntémonos entonces si esta desviación es admisible. Para ser admisibleno debería de haber ningún incentivo a desviaciones bilaterales admisibles.Sin embargo, los jugadors 1 y 2 si tiene un incentivo a desviarse y esta des-viación sí es admisible pues es un equilibrio de Nash - Cournot del subjuegoque definen ellos dos.Este es un concepto muy fuerte de equilibrio y deja de existir en muchascircunstancias. Un resultado interesante de Moreno y Wooders (1996) afirmaque si en el conjunto de estrategias no dominadas iterativamente existe unaque domina débilmente a todas las demás, entonces esta estrategia es unequilibrio inmune a coaliciones.

3.3. Juegos con comunicación

Considere el siguiente juego.

1\2 X2 Y2

X1 2,2 0,6Y1 6,0 1,1

(Y1, Y2) es un equilibrio de Nash pero la ineficiencia del equilibrio motivala introducción de un mecanismo de coordinación. Una forma de hacer es-to es permitir que los jugadores se comuniquen. Esto puede hacerse con unespacio de estrategias muy complicado. Una alternativa es suponer que la co-municación se manifiesta en la posibilidad de firmar contratos de obligatoriocumplimiento.Suponga que se introduce un contrato: si ambos lo firman ambos prometenjugar (X1, X2). Si solamente uno lo firma, digamos i, entonces i prometejugar Yi. El nuevo juego es:

1\2 X2 Y2 S2

X1 2,2 0,6 0,6Y1 6,0 1,1 1,1S1 6,0 1,1 2,2

Ahora (S1, S2) es un equilibrio de Nash (de hecho un equilibrio perfecto).Ahora, suponga que se introduce un contrato adicional: si ambos lo firmanambos entonces se lanza una moneda al aire. Si cae cara juegan (X1, Y2).Si cae sello juegan (Y1, X2). Si solamente uno firma este segundo contrato,digamos i, entonces i promete jugar Yi. El nuevo juego es:

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1\2 X2 Y2 S2 S‘2X1 2,2 0,6 0,6 0,6Y1 6,0 1,1 1,1 1,1S1 6,0 1,1 2,2 1,1S‘1 6,0 1,1 1,1 3,3

Ahora (S1, S2), (S′1, S′2) es un equilibrio de Nash (de hecho equilibrios perfec-

tos) y existe un tercer equilibrio que cada jugador juega la estrategia mixta(0, 0, 2

3 ,13).

3.4. Juego con Contratos

Un juego con contratos es un juego en forma normal al que permitimos añadirtodo tipo de contratos de obligatorio cumplimiento y que pueden ser firmadospor cualquier número de jugadores. Los jugadores que firman el contratoquedan restringidos a jugar cierto tipo de estrategias correlacionadas.Sea G = (I, (Si)i∈I , (πi)i∈I) un juego en forma normal. Dado un conjuntode jugadores C ⊂ I, definimos el conjunto de estrategias de este grupocomo SC = Πi∈CSi y su conjunto de estrategias mixtas (correlacionados)lo definimos como ∆(SC). Los elementos de ∆(SC) los llamamos estrategiascorrelacionadas del conjunto de jugadores C. Interpretamos (C) como unperfil de recomendaciones estocásticas, sugeridas por un planificador centralo árbitro, sobre cómo jugar el juego.El valor esperado de una estrategia correlacionada τ(C) ∈ ∆(SC) se definecomo: πi =

∑sC inSC

τ(C)(s)π(s). Un contrato es una función τ : P (S) →∆(S) tal que τ(C) ∈ ∆(SC). Dado τ interpretamos τ(C) como la estrategiacorrelacionado a la que se comprometen los firmantes C. El conjunto de todoslos contratos define el conjunto de todas los perfiles de utilidades esperadasposibles de los jugaodres I si les permitieramos extender el juego a uno en elque pueden escoger de todos los contratos de obligatorio cumplimiento. Sinembargo, no todos estas utilidades se realizarían por jugadores que actuanen función de su propio beneficio.Sea vi el valor minmax para cada jugador (el mínimo valor al que los opo-nentes pueden forzar a i).Recordemos que para todo juego el valor minmaxes mayor o igual al valor maxmin (el mayor valor que un jugador puedegarantizar). Una estrategia correlacionada σ es individualmente racional siπi(σ) ≥ vi.

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Decimos que una estrategia correlacionada es un equilibrio del juego concontratos si ningún agente tiene un incentivo unilateral a desviase de larecomendaciones del contrato.Todas las estrategias correlacionadas individualmente racionales son un equi-librio del juego de contratos.Suponer que los contratos son de obligatorio cumplimiento es una hipótesismuy fuerte. Sin embargo, es posible que, simplemente permitiendo que estosse comuniquen, ellos lleguen a acuerdos compatibles con sus incentivos (selfenforcing). Este es el propósito del siguiente concepto.

3.5. Equilibrio correlacionado

Considere el siguiente juego.

1\2 A BX 5,1 0,0Y 4,4 1,5

Este juego tiene dos equilibrios de Nash en estrategias puras: (X,A) y (Y,B) .Además existe un equilibrio simétrico en estrategias mixtas

(12 ,

12

)cuyo pago

esperado es 52 para cada jugador. Este último es ineficiente pues la estrate-

gia (Y,A) tiene un mayor pago para ambos jugadores. Obsérvese que esteequilibrio en estrategias mixtas le asigna una probabilidad positiva a (X,B) .Vamos a ver que esta ineficiencia en parte se le puede atribuir a la selecciónaleatoria independiente que hacen los dos jugadores en sus estrategia mixtas.Suponga que existe un mecanismo que permite coordinar las acciones delos jugadores en este juego con base en un mecanismo del tipo: al tiraruna moneda al aire si cae cara jugamos (X,A) si cae sello (Y,B). El valoresperado de cada jugador sería 3, mejor que la estrategia mixta pero aúnineficiente pues (Y,A) sigue teniendo un mayor pago para ambos jugadores.Si ambos acordaran la utilización de este mecanismo éste sería un equilibrioen el sentido de que no existen incentivos a desviarse.¿Es posible acordar un mecanismo que sea un equilibrio y el pago esperadosea aún mejor? Si el mecanismo permite dar señales privadas a cada jugadorla respuesta es sí. Vamos a demostrar que si se utiliza un mecanismo decoordinación con señales privadas, existe un equilibrio (que definimos másadelante) en el cual la utilidad de cada individuo es 3.3.La diferencia entre un mecanismo con señales privado o públicas quedará

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claro más adelante una vez definamos formalmente el concepto de recomen-daciones. Por el momento, notemos que en el mecanismo descrito los agentespodrían intentar desviaciones de la recomendación condicionales a las reco-mendaciones que el mecanismo le hace a los demás jugadores. En un me-canismo privado las posibles desviaciones son únicamente condicionales a larecomendaciones privadas que el jugador recibe (es decir, no se puede pla-near una estrategia dependiendo de las recomendaciones a los demás porqueestas no son observadas). Un ejemplo clásico de un mecanismo de coordina-ción con señales públicas son las señales de un semáforo en una intersecciónde dos vías.

Definición 3.12 (Mecanismo de coordinación estocástico). Un mecanismode coordinación estocástico M para un juego en forma estratégica G es unespacio de probabilidad (Ω, Pii=1,...N , p) donde Ω es un universo de even-tos, P = Pii=1,...N es una partición de Ω y p es una probabilidad sobre lapartición.2

El mecanismo de coordinación estocástica tiene como objeto permitir lacoordinación de las estrategias con base en recomendaciones a cada juga-dor γi : Ω → Σi y donde cada jugador conoce la distribución conjunta delas funciones de recomendación. Más precisamente, los jugadores conocenel mecanismo de coordinación estocástico y por lo tanto pueden deducir ladistribución conjunta de las funciones de recomendación.

Definición 3.13 (Equilibrio correlacionado). Dado un mecanismo de coor-dinación estocástico M, un equilibrio correlacionado es un recomendaciónpara cada jugador γi : Ω → Σi, medible con respecto P tal que para todoγi : Ω→ Σi medible con respecto a P :∑

ω∈Ω

p(ω)πi (γ(ω)) ≥∑ω∈Ω

p(ω)πi (γi (ω) , γ−i (ω))

En otras palabras, la idea es dar una recomendación privada a los jugadoresen donde las probabilidades de cada recomendación son conocidas por todoslos agentes. A partir de estas probabilidades los agentes calculan su pagoesperado y evalúan si tienen incentivos a seguir la recomendación o no.

Ejemplo 3.14. Considere el juego anterior y el siguiente mecanismo de coor-dinación estocástico,M = (ω1, ω2, ω3, P1, P2, p) donde P1 = ω1 , ω2, ω3,P2 = ω3 , ω1, ω2 y p es la distribución de probabilidad uniforme sobre

2Más formalmente, sobre la σ− álgebra generada por la partición Pii=1,...,N .

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Ω = ω1, ω2, ω3 (obsérvese que la σ− álgebra generada por la partición espartes de Ω). Ahora considere las siguientes recomendaciones: γ1(ω1) = Xy γ1(ω2) = γ1(ω3) = Y ; y γ2(ω3) = B y γ2(ω1) = γ2(ω2) = A. Enton-ces la recomendación conjunta (γ1, γ2) es un equilibrio correlacionado parael mecanismo de coordinación estocásticoM. Para ver esto mostremos queningun jugador tiene incentivos a desviarse. Para el jugador 1, sea γ una re-comendación medible con respecto a P1. Es fácil verificar para las diferentesalternativas de γ que no existen incentivos a desviarse. Para el jugador 2 sehace una verificación similar.

La condición que define el concepto de equilibrio correlacionado se puedeescribir de la siguiente forma:

Ep [πi (γ)] ≥ Ep [πi (γi, γ−i)] ,

donde el valor esperado se calcula con respecto a la distribución p.Observemos también que la siguiente definición es equivalente a la definiciónanterior lo que sugiere que el espacio de eventos Ω no es esencial.

Definición 3.15 (Mecanismo de coordinación estocástico en forma reduci-da). Un mecanismo de coordinación estocástico (en forma reducida) para unjuego en forma normal es una distribución de probabilidad p : Σ1×...×ΣN →[0, 1]. Por simplicidad vamos a considerar únicamente el caso en el que la dis-tribución es de soporte finito.

Definición 3.16 (Equilibrio correlacionado en forma reducida). Un equili-brio correlacionado es un mecanismo de coordinación estocástico p : Σ1 ×... × Σn → [0, 1] tal que para toda función de recomendaciones para cadajugador γi : Σi → Σi se tiene:∑

σ∈Σ

p(σ)πi (σ) ≥∑σ∈Σ

p(σ)πi (γi (σi) , σ−i)

Ejercicio 3.17. Demostrar la equivalencia de las dos definiciones de equili-brio correlacionado.

Observemos que para verificar que no hay incentivos a desviarse en un equi-librio correlacionado, basta con verificar que no existen incentivos a des-viarse de las recomendaciones a estrategias puras. Podemos interpretar esteconcepto de equilibrio de la siguiente forma; cada jugador recibe de formaprivada una recomendación para jugar σi y todos saben que la probabili-dad con la que el mecanismo recomienda cualquier estrategia conjunta es

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p : Σ1× ...×Σn → [0, 1]. Luego un equilibrio correlacionado es uno en el queningún jugador tiene un incentivo a utilizar una función de recomendacióndistinta a la función identidad.Todo equilibrio de Nash es un equilibrio correlacionado. Sea σ∗ = (σ∗1, ..., σ

∗N )

un equilibrio de Nash. Entonces si definimos Ω =∏i Si y p = σ∗1 × ...× σ∗N

este es un mecanismo de coordinación que soporta el equilibrio correlacionadodonde la recomendación es la función constante γi = σ∗i .

Hay otra forma de representar un equilibrio de Nash como un equilibriocorrelacionado (considere el espacio de estados como las estrategias mixtasconjuntas y suponga que el mecanismo de coordinación se concentra en elequilibrio de Nash). Cuando existen varios equilibrios de Nash, cualquier dis-tribución sobre estos es un equilibrio correlacionado. Cuando el mecanismode coordinación es público estos son los únicos equilibrios correlacionadosque existen.La idea de un equilibrio correlacionado con señales públicas es idéntico a ladefinición anterior excepto que a los jugadores se les permite utilizar reco-mendaciones de la forma γi : Σ→ Σi.

Ejemplo 3.18. Reescribamos el ejemplo anterior como un equilibrio corre-lacionado en forma reducida. Para esto, basta con deducir la distribuciónconjunta de las dos recomendaciones (variable aleatorias) sobre el conjuntode estrategias mixtas. Esa distribución conjunta es el equilibrio correlaciona-do en forma reducida. En este caso le asigna probabilidad 1

3 a ((1, 0), (1, 0)),((0, 1), (1, 0)), ((0, 1), (0, 1)) y probabilidad cero a ((1, 0), (0, 1)).

Ejemplo 3.19 (Juego de la gallina). Este juego sirve para ilustrar que losequilibrios correlacionados pueden darle probabilidad positiva a estrategiasconjuntas que no son equilibrios Nash (incluso una probabilidad alta) y me-jorar el pago esperado de todos los jugadores. Considere el siguiente juego:

1\2 Chicken out DareChicken out 6,6 2,7

Dare 7,2 0,0

Este juego describe la situación en la que se encuentran dos piloto que vandirecto uno contra el otro. Si uno de los dos se acobarda (Chicken out) yesquiva al otro mientras que el segundo mantiene el rumbo, el cobarde recibeun pago bajo y el que mantuvo el rumbo un pago alto. Si ambos mantienenel rumbo, colisionan por lo que el pago es bajo para ambos. Si ambos seacobardan, hacen como si nada hubiera pasado y el pago es alto para ambos.

68


Este juego tiene dos equilibrios de Nash en estrategias puras, y uno en mixtas:

EN =

(D,C), (C,D),

((2

3,1

3

),

(2

3,1

3

))El pago que recibe cada uno de los jugadores en cada uno de los equilibrioses el siguiente:

π1(C,D) = 2 π2(C,D) = 7π1(D,C) = 7 π2(D,C) = 2

π1

((23 ,

13

) (23 ,

13

))= 4.6 π2

((23 ,

13

) (23 ,

13

))= 4.6

De estos pagos es posible ver que los dos Nash en puras llevan a resultadosmuy desiguales entre los jugadores y que el pago del equilibrio en mixtas,aunque es más equitativo, es bajo. Por este motivo, puede ser interesanteintentar combinar los equilibrios de Nash con la estrategia conjunta (C,C)para mejorar los pagos de los jugadores. El riesgo es que, como (C,C) no esun equilibrio de Nash, al darle una probabilidad alta, los jugadores tenganincentivos a desviar.

Probemos que la siguiente recomendación es un equilibrio correlacionado.

γ =

(C,C) con probabilidad 1

2

(D,C) con probabilidad 14

(C,D) con probabilidad 14

Jugador 1

1. Cuando la recomendación es jugar CEn este caso el jugador uno no sabe si el otro recibió la recomen-dación de jugar C o D. Por este motivo usamos Bayes:

P (γ2 = C | γ1 = C) =12

12

+ 14

= 23

P (γ2 = D | γ1 = C) = 13

a) Pago esperado de seguir la recomendación

π1(s1 = γ1, s2 = γ2 | γ1 = C) =2

3∗ 6 +

1

3∗ 2 =

14

3

69


b) Pago esperado de desviar

π1(s1 = D, s2 = γ2 | γ1 = C) =2

3∗ 7 +

1

3∗ 0 =

14

3

c) Concluyo: El jugador 1 no tiene incentivos a desviar porque143 = 14

3 .

2. Cuando la recomendación es jugar DEn este caso el jugador 1 sabe que al otro le recomendaron jugarC.a) Pago esperado de seguir la recomendación

π1(s1 = γ1, s2 = γ2 | γ1 = D) = 7


π1(s1 = C, s2 = γ2 | γ1 = C) = 6

c) Concluyo: Como 6 < 7 no tiene incentivos a desviar.

Jugador 2

1. Cuando la recomendación es jugar C En este caso el jugador dosno sabe si el otro recibió la recomendación de jugar C o D. Poreste motivo usamos Bayes:

P (γ1 = C | γ2 = C) =12

12

+ 14

= 23

P (γ1 = D | γ2 = C) = 13

a) Pago esperado de seguir la recomendación

π2(s1 = γ1, s2 = γ2 | γ2 = C) =2

3∗ 6 +

1

3∗ 2 =

14

3


π2(s1 = γ1, s2 = D | γ2 = C) =2

3∗ 7 +

1

3∗ 0 =

14

3

c) Concluyo: El jugador 2 no tiene incentivos a desviar porque143 = 14

3 .

70


2. Cuando la recomendación es jugar D En este caso dos sabe queuno recibió la recomendación de jugar Ca) Pago esperado de seguir la recomendación:

π2(s1 = γ1, s2 = γ2 | γ2 = D) = 7


π2(s1 = γ1, s2 = C | γ2 = D) = 6

c) Concluyo: Como 6 < 7 dos no tienen incentivos a desviar.

De esta manera se concluye que γ es un equilibrio correlacionado. Calculemosel pago esperado para los jugadores de que se juegue este equilibrio:

Jugador 1

π1(s1 = γ1, s2 = γ2) =1

2∗ 6 +

1

4∗ 7 +

1

4∗ 2 +

0

4∗ 0 = 5,25

Jugador 2

π2(s1 = γ1, s2 = γ2) =1

2∗ 6 +

1

4∗ 2 +

1

4∗ 7 +

0

4∗ 0 = 5,25

Este pago es más alto que cualquier pago construido a partir de una com-binación convexa de equilibrio de Nash. El diagrama de la siguiente página(Maschler et al., 2013), muestra que efectivamente este es el pago simétricomás alto que se puede conseguir en este juego con un equilibrio correlacio-nado.

Ejercicio 3.20. En el ejemplo de la batalla de los sexos

1. Determine si p((1, 0), (1, 0)) = 38 , p((0, 1), (1, 0)) = 1

4 y p((0, 1), (0, 1)) =38 (todo lo demás cero) es un equilibrio correlacionado.

2. Demostrar que el conjunto de equilibrios correlacionados es conjuntoconvexo.

3. Mostrar que la intersección de este conjunto con el conjunto de lasdistribuciones de probabilidad correlacionadas es igual al conjunto deequilibrios de Nash.

Este ejercicio pone en evidencia dos propiedades geométricas genéricasde los equilibrios correlacionados.

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2 325 42

3 514

6 7

2

325

423

514

6

7

π1

π2

Figura 3.1: Pagos del Juego de la Gallina. En gris claro se encuentran lospagos posibles del juego, en gris más oscuro los pagos que se pueden con-seguir con equilibrios correlacionados y en gris oscuro los pagos que vienende combinaciones convexas de equilibrios de Nash. Fuente: Mascheler et. al,2013

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Una característica sobresaliente de la definición de equilibrio correlacionadoes que le da un papel importante a las asimetrías de información. Espe-cíficamente, en un equilibrio correlacionado todos los jugadores usan unarecomendación distinta. El siguiente ejemplo resalta el papel que juegan lasasimetrías de información en situaciones estratégicas. En particular, vamosa ver que perder información expost puede tener como consecuencia unaganancia en eficiencia.

Ejemplo 3.21 (Valor de la información). Considere el juego de la siguientefigura.

3 M N Q

1\2 A B 1\2 A B 1\2 A B

X 0,0,3 0,0,0 X 2,2,2 0,0,0 X 0,0,0 1,1,1Y 1,1,1 0,0,0 Y 0,0,0 2,2,2 Y 0,0,0 0,0,3

Tabla Página 60 VegaEste juego tiene dos equilibrios de Nash en estrategias puras: (Y,A,M) y(X,B,Q) . Ambos equilibrios tiene un pago neto de 1 para cada jugador.Existen sin embargo estrategias conjuntas que domina a ambos equilibrios:(X,A,N) , (Y,B,N) . Consideremos ahora el siguiente mecanismo de coor-dinación estocástico (en forma reducida): p (X,A,N) = p (Y,B,N) = 1

2 .Entonces p soporta un equilibrio correlacionado con pago esperado 2 paracada jugador.Ahora supongamos que 3 se le da la opción de pagar por conocer la reco-mendación puntual que el mecanismo le hace a los otros dos jugadores. Eneste caso 3 respondería de la siguiente forma: Si los otros dos juegan (X,A)el juega M y si juegan (Y,B) el juega Q. Luego si los otros dos jugadoresson informados de que 1 ha comprado esta opción ciertamente no jugaran lasestrategias recomendadas y no habrá coordinación impidiendo que los juga-dores obtuvieran un pago de 2. Luego la opción de obtener más informaciónpara 3 no tiene ningún valor.

Ejercicio 3.22. Considere el siguiente juego que representa los pagos posi-bles de dos conductores que se acercan a una intersección.

H\1 C SC -100,-100 1,0S 0,1 0,0

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1. Mostrar que este juego tiene dos equilibrios de Nash en estrategiaspuras y uno e mixtas.

2. Calcular un equilibrio correlacionado.

3.6. Juegos generalizados y con un continuo de ju-gadores

En este sección exploraremos conceptos más avanzados en comparación conel resto del libro y supondremos conocimientos básicos de teoría de la medida.Esta sección no es necesaria para comprender el resto del libro, y está bien sies omitido por lectores que no están familiarizados con teoría de la medida.Este teoría será utilizada únicamente en una aplicación que haremos másadelabte a la teoría del equilibrio general. El modelo que se va a introducirestá basado en Riascos, A. y Torres Martinez, J.P (2012): On the existenceof pure strategy equilibria in large generalized games with atomic players.Consideramos dos generalizaciones importantes de la teoría de juegos estra-tégicos en forma normal. De una parte permitimos que el espacio de accionesde cada jugador dependa de las acciones de los demás (juego generalizado) yde otra parte permitimos que además de un número finito de jugadores (lla-mados atómicos) exista un continuo de jugadores (jugadores no-atómicos).Sin embargo, las acciones del continuo de jugadores solo tiene influencia so-bre los pagos de los demás (atómicos y no-atómicos) a través de un mensajeque agrega las acciones de los jugadores no-atómicos.3

3.6.1. El modelo

Sea G = (T, (Kt,Γt, ut)t∈T , h) un juego generalizado con un número infinitode jugadores T = T1∪T2, donde T1 ⊂ R es un conjunto compacto de medidafinita de jugadores no atómicos con respecto a la medida de Lebesgue λ, y T2

es un conjunto finito de jugadores.4 Cada jugador t ∈ T1 tiene un conjuntocompacto no vacio de acciones Kt ⊂ K, donde K ⊂ Rn es un conjuntocompacto y

⋂t∈T1 Kt 6= ∅. De otra parte cada jugador t ∈ T2 tiene un

conjunto compacto, no vacío de acciones Kt ⊂ Rnt , con nt ∈ N.3Cada una de las generalizaciones se podría presentar de forma independiente y adaptar

la misma prueba para cada caso.4En otras palabras, (T1,B(T1), λ) es un espacio de medida, donde B(T1) es la σ− algebra

de conjuntos de Borel de T1.

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Un estrategia conjunta para los jugadores en T1 está dada por una funciónf : T1 → K tal que f(t) ∈ Kt, para todo t ∈ T1. Como T2 es finito, unaestrategia conjunta para los jugadores en T2 es un vector a := (ai; i ∈ T2) ∈Πt∈T2Rnt tal que at ∈ Kt, para todo t ∈ T2. Sea F(Ti) el espacio de todaslas estrategias conjuntas de los jugadores Ti, con i ∈ 0, 1. Dado t ∈ T2,sea F−t(T2) el conjunto de acciones a−t := (aj ; j ∈ T2 \ t) que toman losdemás jugadores j ∈ T2 \ t.En el juego G = (T, (Kt,Γt, ut)t∈T , h) los jugadores no necesariamente in-corporan las acciones de los otros jugadores en T1, en otras palabras, losjugadores no necesariamente toman en cuenta las acciones de los otros juga-dores no-atómicos para determinar su estrategia óptima. Sin embargo, cuan-do los jugadores toman su decisión, estos consideran información agregadade las acciones de los jugadores. Formalmente, dado un perfil de accionesde jugadores no-atómicos f ∈ F(T1), el agente t ∈ T1 toma en cuenta lasacciones de los jugadores no-atómicos solo por medio del mensaje dado porla función h : T1 × K → Rl. En otras palabras, cada jugador T va a teneren cuenta la información agregada mediante el mensaje dado por la funciónm(f) =

∫T1

h(t, f(t))dλ para incorporar a sus estrategias.

Ahora, nos vamos a concentrar en los perfiles de acciones para los cuales losmensajes están bien definidos, decimos que f es un perfil de estrategias delos jugadores en T1 si tanto f ∈ F(T1) como h(·, f(·)) es una función medibledesde T1 hasta Rl.5 Sobre el comportamiento de los jugadores atómicos noson necesarias restricciones de medibilidad. Por estó razón, el conjunto deestrategias de los jugadores en T2 es idóntico al espacio de perfiles de accionesF(T2).El conjunto de mensajes asociados con el perfil de estrategias de jugadoresno-atómicos estó dado por

M =

∫T1

h(t, f(t))dλ : f ∈ F(T1) ∧ h(·, f(·)) es medible

⊂ Rl, (3.1)

que es no vacío dado que⋂t∈T1 Kt es un conjunto no-vacóo y h es una

función continua. También, dado que los conjuntos K y T1 son compactos,5En Schmeidler (1973) y Rath (1992), los jugadores son no-atómicos y toman en cuen-

ta solamente el promedio de las acciones escogidas por los otros jugadores. Entonces,siguiendo nuestra notación, l = n y h(t, x) = x. Por lo tanto, ellos definen los perfiles deestrategias como funciones medibles desde el conjunto de jugadores hasta el conjunto deacciones.

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para cualquier perfil de acciones f : T1 → K, la función h(·, f(·)) : T1 → Rles acotada. Por lo que, si esta es medible entonces también es integrable. Porestas razones, en la definición del conjunto de mensajes M solo se requeríaque h(·, f(·)) fuera medible.En nuestro juego, los mensajes acerca de los perfiles de estrategias de losjugadores en T1 junto con los perfiles de estrategias de los jugadores en T2

pueden restringir el conjunto de estrategias admisibles disponibles para unjugador t ∈ T . Esto es, dado un vector (m, a) ∈ M × F(T2) las estrategiasdisponibles para un jugador t ∈ T1 están dadas por un conjunto Γt(m, a) ⊂Kt, donde Γt : M×F(T2) Kt es una correspondencia continua con valoresno vacíos y compactos. De forma análoga, dado (m, a−t) ∈M ×F−t(T2), elconjunto de estrategias para el jugador t ∈ T2 es Γt(m, a−t) ⊂ Kt, dondeΓt : M×F−t(T2) Kt es un correspondencia continua con valores no-vacóos,compactos y convexos. Nos referimos a las correspondencias (Γt; t ∈ T ) comocorrespondencias de estrategias admisibles.Dado un conjunto A ⊂ Rk, definimos U(A) como una colección de funcionescontinuas u : A → R. Supongamos que U(A) esta dotada con la topolo-góa de la norma del supremo. Suponemos que cada jugador t ∈ T1tieneuna función objetivo ut ∈ U(K ×M × F(T2)) y que cada jugador t ∈ T2

tiene una función objetivo ut ∈ U(M × F(T2)) que se supone son cuasi-cóncavas en las estrategias. Finalmente, suponemos que la correspondenciaU : T1 → U(K ×M × F(T2)) definida por U(t) = ut es medible.6

Definición. Un equilibrio de estrategias puras de Nash de un juego gene-ralizado G = (T, (Kt,Γt, ut)t∈T , h) esta dado por los perfiles de estrategias(f∗, (a∗t ; t ∈ T2)) tales que, para cualquier jugador no-atómico t ∈ T1,

ut(f∗(t),m(f∗), a∗) ≥ ut(f(t),m(f∗), a∗), ∀f(t) ∈ Γt(m

∗, a∗), (3.2)

y para cualquier jugador atómico t ∈ T2, ut(m(f∗), a∗) ≥ ut(m(f∗), at, a∗−t), ∀at ∈

Γt(m∗, a∗−t), donde el mensaje m(f∗) :=

∫T1h(t, f∗(t))dλ pertenece al con-

junto M .

En nuestra definición de equilibrio de Nash, cada agente maximiza su funciónobjetivo, mientras que en Balder (1999) y Rath (1992), en el equilibrio, casi

6Supongamos que hay un número finito de tipos en el conjunto de agentes no-atómicos,T1. Esto es, hay una partición finita de T1 en conjuntos Lebesgue-Medibles I1, . . . , Ir talque, dos jugadores t y t′ pertenecientes al mismo elemento de la partición son idénticos.En este caso, la restricción acerca de la medibilidad de U se satisface de forma trivial.

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todos maximizan su función objetivo. Sin embargo, teniendo en cuenta quelas funciones objetivo son continuas y los espacios de acciones compactos, da-do un equilibrio para cualquiera de los juegos estudiados en estos artóculos,siempre es posible cambiar las asignaciones asociadas con el conjunto de losjugadores no-atómicos que no maximizan, dóndoles a cada uno de ellos unaestrategia óptima, sin cambiar la integrabilidad de los perfiles de acciones oel valor de los mensajes. De este modo, el Teorema 2 en Rath (1992) y elTeorema 2.1 de Balder (1999) aseguran la existencia del equilibrio de Nashdonde todos los jugadores maximizan su función objetivo.

Teorema. Considere un juego generalizado G = (T, (Kt,Γt, ut)t∈T , h) don-de,

1. El conjunto de los jugadores es T1 ∪T2, donde T1 es un conjunto com-pacto de medida finita de jugadores no-atómicos, y T2 es un conjuntofinito de jugadores atómicos.

2. Para cualquier t ∈ T, los espacios de acciones Kt son no-vacóos y com-pactos, las correspondencias de estrategias admisibles Γt son continuasy tienen valores no-vacóos y compactos, y las funciones objetivo ut soncontinuas.

3. Cada jugador atómico tiene un conjunto convexo de acciones, una co-rrespondencia con valores convexos de estrategias admisibles, y unafunción objetivo cuasi-concava en su propia estrategia.

4. Existe un conjunto compacto K tal que, para cualquier t ∈ T1, Kt ⊂ Ky ∩t∈T1

Kt este es no vacio.

5. La función h : T1 × K → Rl es continua.

6. La correspondencia U : T1 → U(K × M × F (T2)), que asocia concualquier t ∈ T1 la función objetivo ut, es medible.

Entonces, existe un equilibrio de estrategias puras de Nash.

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otros conceptos - alvaro j. riascos villegas · 2020-02-04 · el concepto de equilibrio de nash...

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