Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

Institut für Mechanik

Übungsaufgaben

zur

Technischen Mechanik

- Festigkeitslehre -

Ausgabe 2010

Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

Fakultät für Maschinenbau

Institut für Mechanik

 

Übungsaufgaben zur Technischen Mechanik

-Festigkeitslehre-

zum Gebrauch in den Übungen

Zusammengestellt von Prof. Dr.-Ing.habil. Siegfried Koczyk Dr.-Ing. Ingrid Dankert

Inhalt: Seite

1. Grundlagen 1 2. Zug/Druck, Abscherung 4 3. Flächenmomente 11 4. Biegung 14 5. Torsion 28 6. Querkraftschub, Schubmittelpunkt 36 7. Zusammengesetzte Beanspruchung 41 8. Satz von Castigliano 47 9. Stabilität 57 10. Rotationssymmetrische Spannungszustände 62 11. Dauerfestigkeit 65

1

1 Grundlagen 1.1 Geg.: Metallstreifen auf Zug beansprucht

h = 1mm F Fh dick b

a für F = 0: b0 = 30,012 mm a0 = 100,210 mm für F = 6000 N: b = 29,971 mm a = 100,66 mm Ges.: Elastizitätsmodul E,

Querkontraktionszahl ν 1.2 Geg.: Gummistreifen mit aufgezeichnetem Quadrat

a

bσ0 σ0 a0 = b0 = 28,28 mm bei Belastung a = 36,3 mm b = 24,6 mm Ges.: Querkontraktionszahl ν 1.3 Geg.: Träger durch Biegemoment und

Oberseite O ( )εO

Unterseite U ( )εU

Längskraft beansprucht E = 70,6·103 N/mm2

εo = -0,7 ‰ εu = +2,8 ‰ Ges.: 1. Voraussetzungen zur Berechnung

der Spannungen 2. σo und σu 1.4 Geg.: Blechstreifen mit schrägliegender

Schweißnaht σ0; α = 60° σ0σ0

Schweißnaht

Ges.: σα, τα α

2

σ

σ

σ

1

2

3

1.5 Geg.: a) σ1, σ2 > 0; σ3 = 0 b) σ1 > 0; σ2 = 0; σ3 < 0 Ges.: τmax für a) und b) y

x

z

σ

σ

σ

y

x

z

τττ

τ

τ

τ

yxyz

xy

xzzx

zy

1.6 Geg.: σx = 100 N/mm2 τxy = 0 N/mm2 σy = 80 N/mm2 τyz = 20 N/mm2 σz = 90 N/mm2 τzx = 20 N/mm2 Ges.: Hauptspannungen 1.7

y

z

x

Gleitstück(elastisch)

starr

Geg.: Für Gleitstück: ΔT = 20 K E = 2,06·105 N/mm2 ν = 0,3 αth = 11,5·10-6 ¹/K Ges.: εx, σy, σz bei Erwärmung des Gleitstücks um ΔT

3

y,v

x,u

3

2

1

1.8 F

x y

z

h

b

Stempel(starr)

Gesenk(starr)

Würfel(elastisch)

Geg.: h = b = 20 mm, F = 1500 N E = 103 N/mm2, ν = 0,4 Ges.: σx, σy, σz, Δh 1.9 Geg.: Spannungsmessung mittels Dehnungsmeßstreifen E = 2,0·105 N/mm2, ν = 0,3

b

a

αb

αc

y

x

c Dehnungsmessung: εa = 0,6·10-3 εb = 0,75·10-3 εc = -0,4⋅10-3 Var.A: αb = 60°, αc = 120° Var.B: αb = 45°, αc = 90° Ges.: 1. εx, εy, γxy, 2. σx, σy, τxy 3. Hauptdehnungen ε1, ε2, ϕ0 4. Hauptspannungen σ1, σ2, ϕ0 (Größe, Richtung) 1.10 Geg.: E = 2,0·105 N/mm2, ν = 0,3 Koordinaten: x1 = y1 = 0 x2 = 100 mm y2 = 50 mm x3 = 60 mm y3 = 120 mm Verschiebungen lt. Messung u1 = 0,05 mm, v1 = 0,08 mm u2 = 0,16 mm, v2 = 0,12 mm u3 = 0,10 mm, v3 = 0,20 mm Ges.: σx, σy, τxy im Dreieck 1 2 3 (Voraussetzung: Spannungen sind konstant)

4

2 Zug/Druck, Abscherung 2.1 F

D zh

2D

o

o

Geg.: Brückenpfeiler F = 2,0 MN D = 500 mm h = 10 m ρ = 2,3 g/cm3 g = 9,81 m/s2 Ges.: σ(z), Zahlenwert für σ(z = h) 2.2 Ein Stab mit Rechteckquerschnitt (konstante Dicke, linear veränderliche Breite) ist am oberen Ende eingespannt und durch sein Eigengewicht belastet.

D

b0

2b0

Dh

b(z) a

Geg.: ρ, E, h, a, b0 Ges.: 1. Spannung σz 2. Spannung an der Einspannstelle 3. Verlängerung des Stabes Schnitt D-D2.3 Geg.: Geologische Erkundungsbohrung a = 6000 m Bohr-

gestängeρ = 7,86·103 kg/m3 E = 2,1·105 N/mm2

Ges.: 1. σzmax beim Hochziehen des z

a Bohrgestänges 2. Verschiebung vz(z = a) 3. σzmax für a = 10 000 m 2.4 Zugstab vor dem Zerreißen Geg.: a0 = 100 mm

a = 110 mm F

ad

AoF d0 = 10 mm

d = 7,6 mm F = 40 kN Ges.: 1. σB im Querschnitt A 2. mittlere Bruchdehnung εBm 3. εB in A bei Vernachlässigung der Volumendehnung

5

2.5 F

d

d1

o

Geg.: F = 40 kN d = 2 cm E = 2,06·105 N/mm2 ν = 0,3 Ges.: d1 so, daß der Bolzen die Zylinderwand o berührt 2.6

1

2m

Geg.: Hebevorrichtung aus zwei Fachwerkstäben m = 1500 kg α = 30° σzul = 100 N/mm2 Ges.: T-Profil nach DIN 1024 für Stab 1

F

h

do

2.7 Stanzen eines Loches Geg.: h = 1 mm d = 10 mm τB = 500 N/mm2 Ges.: Erforderliche Kraft F 2.8 F FGeg.: Bolzenverbindung F = 20 kN d = 45 mm δ = 45 mm

d

a

FF/2 F/2

/2 /2

o b a = 90 mm b = 50 mm σzul = 50 N/mm2 τzul = 30 N/mm2

b σLzul = 10 N/mm2 Ges.: Spannungsnachweis (Es ist mit Nennspannungen

zu rechnen.)

6

2.9 F F

d

d

F/2 F/2

b

a

1

2

F

1

2 2

o

Geg.: Bolzenverbindung F= 10 kN δ1 = 12 mm δ2 = 8 mm Ges.: Kräfte F1 und F2, die durch Bolzen 1 bzw. 2 übertragen werden o 2.10

F

d1

h2

h1

d2d3

o

oo

Geg.: Dimensionierung einer Buchse, F = 50 kN σzul = 50 N/mm2 τzul = 25 N/mm2 p1 zul = 20 N/mm2(Welle-Buchse) p2 zul = 50 N/mm2 (Buchse-Grundkörper) Ges.: d1, d2, d3, h1, h2 2.11 Geg.: Abgesetzter Stab mit Spiel E1 = E2 = 2,1·105 N/mm2 A1 = 8 cm2 (EA)

(EA)12

a a1 2 δ

A2 = 7 cm2 a1 = 2,0 m a2 = 1,5 m δ = 1,2 mm bei T = 0 αth = 12⋅10-6 1/K

ΔT = 40 K Ges.: 1. FL bei Erwärmung um ΔT 2. σd max

7

2.12 Geg.: E = 2,1⋅105 N/mm2

1 2 3

a

alle Stäbe: A = 400 mm2 a = 60 cm δ = 1 mm β = 30° Ges.: 1. Stabkräfte nach Anschluß von Stab 2 2. Spannungen in den 3 Stäben 2.13 Geg.: Balken durch Seile gehalten

a

a aF

12

E,A, ,T =T =T1 2th

vFstarr

F = 500 N a = 50 cm A = 0,5 cm2 E = 2,1⋅105 N/mm2 αth = 12⋅10-6 1/K Ges.: 1. σ1 und σ2

2. Temperaturbereich Tu ≤ T ≤ To so, daß beide Seile beansprucht werden (σ1bzw. σ2) 3. Verschiebungen vF für Tu bzw. To

F

F

aE A1 1

E A2 2

starr

starr

2.14 Geg.: Durch starre Platten verbundene Hohlzylinder F, a, E1A1, E2A2, δ, δ << a Ges.: 1. F*, bei der der innere Zylinder die Grundplatte berührt 2. Längskräfte FL1 und FL2 in den Zylindern für F>F*

3. Verschiebung der Platten für F>F*

8

2.15

B

F

2a a a

2bEA2

EA1

starr

Geg.: F = 2000 N b = 1000 mm EA1 = 1,5⋅107 N EA2 = 2,0⋅107 N Ges.: 1. Auflager- und Stabkräfte 2. Verlängerung des Stabes 2 2.16 Geg.: q, EA, a, b Federkonstante c Ges.: Auflagerkraft, Stabkraft und Federkraft 2.17 Geg.: EZ = 2,06⋅105 N/mm2 AZ = 1960 mm2 EG = 1,22⋅105 N/mm2 AG = 2,0⋅104 mm2 a = 500 mm σ0 = 20 N/mm2 Ges.: 1. Verkürzung Δa der beiden Zuganker Z, damit in G σ = - σ0 wird (F=0) 2. Spannungen in Z und G, wenn zusätzlich F = 40 kN wirkt 3. Kraft F, damit in G σ = 0 wird.

q

c

EA

a aB

b

starr

F

F

aG

Z ZE ,A

G

G

E ,AZ ZE ,AZ Z

starr

starr

9

2.18 Geg.: aB = 150 mm AE = 12 mm d = 12 mm di = 15 mm da = 60 mm σzul = 80 N/mm2 Gewindesteigung p = 1,5 mm EE = 4⋅102 N/mm2 (Einlage) EB = 2⋅105 N/mm2 (Gewindebolzen)

F F

aE

aB

dadid

starr starr

o oo

Ges.: 1. σ im Schraubenschaft nach Anziehen der Mutter (¹/20 Umdrehung) 2. zulässige Kraft F 2.19

ad

d0

Druck p

d1

as As

starr

o o

Geg.: Flanschverbindung d0 = 500 mm d1 = 550 mm as = 52 mm ad = 2 mm As = 201 mm2 Anzahl der Schrauben n = 36 Es = 2,06·105 N/mm2

Ed = 1,25·105 N/mm2 Ges.: 1. Für p = 0 sei der Dichtungs- druck pd0 = 20 N/mm2 Wie groß sind die Schraubenkräfte? 2. Dichtungsdruck pd, wenn zusätzlich p = 2 N/mm2 ist. 2.20 Ein dünner Kreisring mit Reckteckquerschnitt (Breite b, Dicke t) wird erwärmt und auf ein starres Rad aufgezogen. Geg.: E, r, b, t, αT, δ, r1 = r - δ, δ << r Ges.: 1. Erforderliche Temperaturdifferenz ΔT für das Aufschrumpfen. 2. Wie groß ist die Zugspannung im Ring, wenn er sich auf die Ausgangstemperatur abgekühlt hat? 3. Wie groß ist dann der Anpressdruck p des Ringes auf das Rad?

10

2.21 Eine starre quadratische Platte (Eigengewicht FG) ist auf vier gleichlangen elastischen Stützen unterschiedlicher Dehnsteifigkeit gelagert.

2 a

EA 2EA

3EA 4EA

b Geg.: FG, a, b, EA Ges.: 1. Die Kräfte in den vier Stützen, 2. die Absenkung w der Plattenmitte. 2.22 Auf drei Pfosten gleicher Dehnsteifigkeit liegt ein starrer Balken. Geg.: F, a, EA

32 a

F

a

a a

2a

x Ges.: 1. An welcher Stelle x muß die Kraft F angreifen, damit der Balken in horizontaler Lage verbleibt? 2. Wie groß sind dann die Spannungen in den Pfosten? 3. Welche Schrägstellung des Balkens tritt für x = 2/3 a auf? 2.23 In der Lagerungskonstruktion für den starren Körper K ist der untere Stützstab um δ zu kurz geraten. Bei der Montage muß eine Kraft FM aufgebracht werden, damit der untere Stab den Boden berührt. Nach der Montage wird FM wieder entfernt. Alle Stäbe haben den gleichen Durchmesser d. a a

aAl

aSt K Stahl

Aluminium

FM

δ

Geg.: aAl = 1 m, aSt = 1,5 m, d = 2 mm, δ = 5 mm EAl = 0,7⋅105 N/mm2, ESt = 2,1⋅105 N/mm2 Ges.: 1. Wie groß ist die Montagekraft FM? 2. Wie groß sind die Stabkräfte nach der Montage? 3. Wie groß ist die Absenkung des Körpers K nach der Montage? 2.24 Zwei starre Balken sind durch zwei elastische Stäbe miteinander verbunden und in A und B gelagert. Stab 2 wird um ΔT erwärmt. Geg.: EA, αT, ΔT, a Ges.: Wie groß sind die Stabkräfte?

a a

a

a a

A1 2

EA EA,αT

B

11

3 Flächenmomente 9c

c

10cx

y

c

yS

S

3.1 Geg.: c Ges.: 1. Lage des Schwerpunktes 2. Flächenträgheitsmomente h

xy

5h

h8h

yS

S3.2 Geg.: h Ges.: 1. Lage des Schwerpunktes

2. Flächenträgheitsmomente

yx

sd

3.3 Geg.: d, s Ges.: Flächenträgheitsmomente 3.4

th

t

Geg.: b = 300 mm c = 400 mm t = 10 mm I 200 DIN 1025 Ges.: Flächenträgheitsmomente b

c

y

xI 200

I 200S

12

y

xh

b

3.5 Geg.: b = 20 mm h = 40 mm δ = 2 mm Ges.: Ixx, Iyy 1. als dickwandiger Träger 2. als dünnwandiger Träger 3. Vernachlässigungen bei 2. gegenüber 1. 3.6

5a3a 3a

y

x

1

2

S

Geg.: a Ges.: 1. Schwerpunktlage 2. Ixx, Iyy, Ixy 3. Hauptträgheitsmomente, Richtung der Hauptachsen (Winkel α) 3.7 60

10

80

y

xs

x

y

1

2

10

S

S

Geg.: Skizzierter Querschnitt (Maße in mm) Ges.: 1. Fläche A 2. Lage des Schwerpunktes ( SS y,x )

3. Ixx, Iyy, Ixy 4. Hauptträgheitsmomente I1, I2

5. Winkel α 50

50

10

10

100

10

2

1

x

y

3.8 Geg.: Skizzierter Querschnitt (Maße in mm) Ges.: 1. A 2. Ixx, Iyy, Ixy S 3. I1, I2, α

13

3.9 250 250300

20 460 20

y

600

x

y

700

3020

S

S

Geg.: Skizzierter Querschnitt (Maße in mm) Ges.: 1. A, Sy 2. I1, I2 3.10 120

140

50

40

60

10y

xyS

S

Geg.: Skizzierter Querschnitt (Maße in mm) Ges.: 1. A, Sy 2. I1, I2

10

100

35

y

S x

3.11 Geg.: Querschnitt mit 6 symmetrisch angeordneten Bohrungen (Maße in mm) Ges.: 1. Querschnittsfläche A 2. Hauptträgheitsmomente I1 und I2

14

4 Biegung 4.1 q

zy

B C

2a aG

Geg.: q, a, Querschnitt Aufg. 3.2 Ges.: 1. Auflagerreaktionen 2. Schnittgrößen 3. Max. Biegemoment 4. Biegespannungsverteilung im am stärksten beanspruchten Querschnitt 4.2 Geg.: a = 1 m b/c = 2 q = 10 N/mm

q

F

b

caF = 4000 N σzul = 200 N/mm2 Ges.: 1. Querkraft- und Momentenverlauf (Skizze) 2. Abmessungen des Querschnitts 4.3 Geg.: Abmessungen der Welle

q

250 250500 500

1500

60 60

80 8090B C nach Skizze, q = 40 N/mm Ges.: 1. Verlauf der Schnittgrößen 2. Verlauf der maximalen Biegespannungen (Nenn- spannungen) 4.4 Geg.: q = 10 N/mm, F = 1500 N σzul = 100 N/mm2 a = 600 mm

B

q

a a

C

FQuerschnitt wie Aufg. 3.1 Ges: 1. Schnittgrößen und max. Biege- moment 2. Abmessung c, Verlauf der Biegespannungen im am stärksten beanspruchten Querschnitt

15

4.5 Geg.: F = 2 kN, q = 4 kN/m

B

q

C

F

d D

a a

σzul = 115 N/mm2, a = 1 m D/d = 4/3 Ges.: 1. Auflagerreaktionen 2. Schnittgrößen 3. Abmessungen des Querschnitts 4.6 Geg.: a = 500 mm d = 50 mm q

F a4a

d σzul = 100 N/mm2 Ges.: Belastung q, damit σzul an keiner Stelle überschritten wird, wenn 1. F = 3 qa 2. F = 2 qa ist. 4.7 Geg.: I 200 DIN 1025 c

q

yz a

Ι 200

c = 10 mm Ges.: 1. σb (y) für z = 0 a) für den unverstärkten Träger b) für den verstärkten Träger

2. prozentuale Absenkung der maximalen Zugspannung F4.8 Geg.: F, a, h0, b (h0 << a)

3h0

h0

a

b dick Ges.: Ort und Größe der max. Biegespannung

16

4.9 a/2 a/2

F

6 Blattfedern,Höhe h, Breite b

h

Geg.: F = 2 kN, a = 80 cm, h = 0,5 cm, b = 5 cm Ges.: 1. σbmax

2. Spannungsverlauf im Gesamtquerschnitt 4.10 Geg.: F, a, σzul, ρ (Dichte)

a

F

Breite b hGes.: 1. Masse m des Trägers als Funktion von h 2. Erforderliches b für ein vorgegebenes h 3. Warum kann man h nicht beliebig vergrößern ? 4. 11 Geg.: a = 100 cm, d = 15 cm, h = 20 cm, b = 5 cm, t = 1 cm, s = 0,8 cm, F = 20 kN, ρ = 7,85 g/cm3 Ges.: 1. σbmax 2. σbmax* für Träger ohne Löcher 3. Masse m und Masse m* des Trägers ohne Löcher 0,4a 0,4a

FF

A

A

s

b

ht

t

d

Schnitt A-A0,12a 0,19a 0,19a 0,19a 0,19a 0,12a

a

17

4.12 Geg.: a = 800 mm Ges.: d0, d1, d(z) zwischen A und B so, b1 = 300 mm daß überall σbmax = σzul wird b0 = 50 mm F = 50 kN σzul = 80 N/mm2

d0 d1

FBA

F/2b0

b /21 F/2

a/2a/2z

FBreite b

za

h(z)h0

4.13 Geg.: F = 50 kN a = 200 mm b = 20 mm σzul = 100 N/mm2 Ges.: Verlauf der Höhe h(z) bei konstanter Breite b, so daß überall σbmax = σzul wird. 4.14 Geg.: Konsole aus Grauguß t = 20 mm a

FA

A

b a = 500 mm F = 120 kN σzul = 60 N/mm2 t

h

tSchnitt A-A

σdzul = 150 N/mm2 Ges.: b und h im Schnitt A-A so, daß σzmax = σzul und σdmax = σdzul wird.

18

4.15 Geg.: Balken aus plattiertem Material a = 200 mm, h0 = 12 mm, h1 = 1 mm, b = 20 mm F = 1 kN, E0 = 2,0⋅105 N/mm2, E1 = 1,2⋅105 N/mm2 Ges.: 1. Spannungsverlauf im Querschnitt an der Laststelle 2. Maximale Spannungen im Grund- und Deckmaterial F

E1

E1a/2 a/2A B

h1

h1

h0Breite bE0

4. 16 Geg.: Betonbalken mit Stahleinlagen q = 1 kN/cm, c = 2 m, b = 200 mm, h = 400 mm, a = 180 mm, EB = 3,5·104 N/mm2, Es = 2,0·105 N/mm2 4 Stahleinlagen d = 10 mm Ges.: 1. Spannungsverlauf im Querschnitt in der Mitte des Balkens 2. Maximale Druck- und Zugspannungen im Beton und Spannung in den Stahleinlagen (d<<b,h) 4.17 Geg.: b = 40 mm h = 60 mm Mb = 1000 Nm α = 30° Ges.: 1. Spannungsverteilung 2. Spannungsnullinie 3. σzmax 4.18

h

b

y

x

Mb

A Bc

q

h/2

h/2a

b

d

E (Beton)B

E (Stahl)S

F

2F

h

aah

b

19

Geg.: F = 3000 N a = 800 mm h = 100 mm σzul = 140 N/mm2 Ges.: Erforderliche Breite b 4. 19

B

F1

CF2

a 2a4a

F1

F2

Geg.: F1 = 7⋅103 N F2 = 3,5⋅103 N a = 1 m Profil I 160 nach DIN 1025 Ges.: 1. Auflagerkräfte 2. Biegemomentenverläufe 3. Spannungsverteilung und σzmax bei F1 und F2 4.20 Ein Kragträger mit dünnwandigem Rechteckquerschnitt wird durch die Momente Mx und My belastet. Geg.: F, a , t, h; Mx = Fa, My = 2Fa, b = 2h

b

z

Mx My h t

t<<b,h

a Ges.: Man ermittle die Normalspannungs-

verteilung über den Querschnitt und stelle diese grafisch dar.

2c

c

c

4c

2c

c

Mb

4.21 Geg.: Mb, c Ges.: 1. Spannungsverteilung 2. Spannungsnullinie 3. Maximalspannung σzmax

20

a

q

3c

c

4cc

4.22 Geg.: q = 4000 N/m a = 1 m c = 20 mm Ges.: Ort und Größe von |σz |max 4.23

xy

z

a F

FF

1

3

2

Geg.: F1 = F2 = F3 = 104 N a = 100 mm Profil nach Aufg. 3.7 Ges.: 1. σz (x,y) im Einspann- querschnitt 2. Max. Zugspannung σzmax 4.24 Geg.: a = 300 mm

A

x

z

ya/3 a/3 a/3

B

FF

d

12 d = 40 mm

F1 = 1 kN F2 = 1,2 kN Ges.: 1. σzmax an den Last- eintragungsstellen 2. Ist ein weiterer maximaler Wert σzmax zwischen F1 und F2 möglich?

F

y

Fc

c

9c

10c

4.25 Geg.: F = 40 kN, c = 10 mm Ges.: 1. σ(y) 2. Spannungsnullinie 3. σzmax

b

h d

F

21

4.26 Geg.: b = 60 mm h = 80 mm d = 40 mm σzul = 140 N/mm2 Ges.: Zulässige Kraft 4.27

B

q

b

b

C

Geg.: q = 10 kN/m b = 1 m σzul = 160 N/mm2 Ges.: 1. Schnittgrößenverläufe 2. Erforderliches I-Profil nach DIN 1025

x

y

b

h

a

a

I

II

III

IV

1

2

4.28 Geg.: Rechteckquerschnitt b, h Ges.: Kernquerschnitt I, II, III, IV 4.29 Geg.: Gleichseitiges Dreieck, b Ges.: Kernquerschnitt x

y

II III

I

S b

22

4.30

h

x

y b

Geg.: I-Profil, Ixx, Iyy, A, h, b Ges.: Kernquerschnitt 4.31

aEI

B E

qGeg.: q, a, EI Ges.: 1. Gleichung der elastischen Linie 2. Vertikalverschiebung vE des

Punktes E 4.32

aEI

q

A B

F

Geg.: q, a, EI, F Ges.: 1. Gleichung der elastischen Linie 2. Kraft F, so daß vB = 0 wird 4.33

2aa

EIF

B C

Geg.: a, F, EI Ges.: 1. Auflagerkräfte 2. Momentenverlauf 3. Gleichung der elastischen Linie 4. Verschiebung vF bei F 4.34 Geg.: F = 1000 N a = 2 m Querschnitt nach Aufg. 3.1 mit c = 10 mm E = 2,0·105 N/mm2 Ges.: 1. Gleichung der elastischen Linie 2. Verschiebung vF bei F 4.35

2a

EI

a

F

B

CB

a

C

Dq

b

0

23

Geg.: q0 = 50 kN/m a = 2,5 m b = 1 m σzul = 120 N/mm2 E = 2,1⋅105 N/mm2 Ges.: 1. Auflagerreaktionen 2. Erforderliches I-Profil nach DIN 1025 3. Verschiebung des Punktes D 4.36 C

F

qEI

BAEI

a 2

a

Geg.: a = 2 m q = 1 kN/m F = 1 kN EI = 2⋅1012 Nmm2 Ges.: 1. Koordinatensysteme

2. Rand- und Übergangsbedingungen

3. Elastische Linie 4. Verschiebung vc 4.37/4.38/4.39 4.37 4.38

EIF

A B

a

a

EIF

A B

a

a

4.39 Geg.: F, a, EI für 4.37, 4.38 und 4.39 Ges.: 1. Elastische Linie 2. Auflagerreaktionen 3. Skizze des qualitativen Verlaufs der elastischen Linie 4. Verschiebung vF bei F

EI

4.40 Geg.: q, a, EI = konst.

F

A B

a

a

B G C

a a a

D

q

24

Ges.: Verschiebung der Punkte G und D 4.41

B G C

a 2a a

D

qGeg.: q, a, EI = konst. Ges.: Verschiebung der Punkte G und D 4.42 Geg.: a = 100 mm d = 15 mm

B D

2a a

d

C

hΔh = 0,1 mm

E = 2⋅105 N/mm2 Ges.: Lagerkraft C, wenn die Welle bei der Montage in das Lager C gezwungen wird 4.43

B D

a

d

C

hF

a a

Geg.: wie Aufg. 4.42 Ges.: F, damit die Welle das Lager C berührt

B M0

C

2a a

4.44 Geg.: a, M0, EI=konst. Ges.: 1. Auflagerreaktionen 2. Mb-Verlauf mit Skizze 3. Elastische Linie mit Skizze 4.45

D Ca a

a

qGeg.: a, q, EI=konst

B

25

Ges.: 1. Auflagerreaktionen 2. Mb-Verlauf mit Skizze 3. Durchbiegung vC 4.46

B C

b

a

III

q

21

1

Geg.: b = 2 m a = 1,5 m q = 2⋅104 N/m I1 = 5⋅106 mm4 I2 = 6⋅106 mm4 E = 2,1⋅105 N/mm2 Ges.: 1. Auflagerreaktionen 2. Max. Verschiebungen in allen Bereichen

q

B C DK

a a a

4.47 Geg.: q, a, EI=konst. Ges.: 1. Auflagerreaktionen 2. Verschiebung des Punktes K

aB C

q (Scheitelwert)0

z

q(z)4.48 Geg.: a, q0, EI=konst. q(z) – Parabel 2. Ordnung Ges.: Auflagerreaktionen mit Hilfe der Differential- gleichung (EI v")" = q(z) q4.49

BG

C

2aa

Geg.: a, q, EI = konst.

a

26

Ges.: 1. Auflagerreaktionen und Gelenkkräfte 2. Biegemomentenverlauf mit Skizze 3. Elastische Linie 4. Verschiebung von G 4.50 Geg.: a, q, c, EI=konst. Ges.: 1. Verschiebung vD von D 2. vD |c=0

3. vD |c=∞ 4.51 Geg.: q0, a, EI = konst. Ges.: Man ermittle die Lagerreaktionen und die Biegelinie für den dargestellten Durchlaufträger. 4.52 Geg.: q0, a, c, EI = konst. Ges.: Die Durchbiegung v(z) des links elastisch

gestützten rechts eingespannten Trägers unter einer Strecklast in Form einer quadratischen Parabel.

4.53 Ein Balken ist in A gelenkig und in B durch eine Parallelführung gelagert. Zusätzlich sind

a

q0

A B Ca

A B

c

a a

D

q

a aF

BcBA

cA

z

q0

EIc

a

27

in A eine Drehfeder und in B eine Dehnfeder angebracht. Im unbelasteten Zustand sind beide Federn entspannt.

Geg.: F, a, EI, aEIcA = , 3B a

EIc =

Ges.: Moment MA in der Drehfeder und Kraft FB in der Dehnfeder, wenn in der Balkenmitte die Kraft F angreift.

4.54

y

α

M0

h

b

x

Ein Kragträger der Länge a mit Rechteckquerschnitt wird am freien Ende durch ein Moment M0 belastet, das unter dem Winkel α gegen die x-Achse geneigt ist.

a Geg.: M0, α, a, b, h, E Ges.: 1. Die Verschiebung des Querschnitts am freien Ende 2. Welche Richtung hat die Verschiebung und welchen Winkel hat sie zur Spannungsnulllinie?

F

E b z

a

a

t 2a x

y t<<a

F

S

4.55 Für den Träger mit dünnwandigem Profil (siehe Skizze) berechne man die Verschiebung des Lastangriffspunktes. Geg.: F, a, E, b, t 4.56 Ein Balken auf zwei Stützen ist durch eine konstante Streckenlast beansprucht.

q0

A B

a

2a S

t

t

q0

b

Geg.: a = 65 mm, t = 10 mm, b = 2 m, q0 = 104 N/m E = 2,1⋅105 N/mm Ges.: Die Verschiebung des Schwerpunktes der Querschnittsfläche in Balkenmitte infolge Biegung.

28

5 Torsion 5.1

F

F ab

b

d

F

F

Geg.: a = 240 mm d = 2 mm (Kreisquerschnitt) G = 7,92⋅104 N/mm2 α = 15° Ges.: 1. F 2. τtmax

5.2

Md

Aa

B

F

b

Geg.: d = 30 mm (Kreis) a = 1000 mm b = 400 mm G = 7,92⋅104 N/mm2 F = 150 N Ges.: 1. Leistung bei n = 24 U/min 2. τtmax 3. Verdrehung der Querschnitte A und B zueinander 5.3 Geg.: F1 = 2⋅104 N ; F2 = 5⋅103 N ; τtmax = 100 N/mm2 ; G = 8,1⋅104 N/mm2 a = 1 m ; a1 = 0,1 m ; a3 = 0,4 m ; d1 = 0,2 m ; d2 = 0,4 m ; b1 = b2 = 0,05 m Ges.: 1. M0, 2. d3 und d4 3. Verdrehung von B gegenüber A

b

F

B

d

aa

a

bd

M0

AF

F

d

d

d

3

3

1

11

1

1

42

2

F2

2

3

M0

29

d1

MAntrieb

d2

Abtrieb

M2

15.4 Geg.: Gesamtübersetzungsverhältnis

i = nan/nab=16, τtzul ,Wirkungsgrad pro Stufe η= 0,96 Ges.: 1. Verhältnis der Momente M2:M1 2. Verhältnis der Wellendurchmesser d2:d1 (Nur Torsion berücksichtigen) 5.5 Geg.: D = D1 = 50 mm,

DMt Mt Welle wird abgedreht auf D = D2 = 48 mm Ges.: 1. Relative Spannungserhöhung 2. Relative Drillungszunahme 5.6 Geg.: D = 60 mm (Vollwelle)

DMt Mtd d = 30 mm (Hohlwelle) Ges.: 1. Relative Verminderung der Masse 2. Relative Spannungserhöhung und Drillungszunahme der Hohlwelle gegenüber der Vollwelle 5.7

d D

x

a

Geg.: a, G, D, d Torsionsfederzahl ct Ges.: x, damit ct den vorgegebenen Wert annimmt

30

5.8 Geg.: a1 = 1100 mm, a2 = 1200 mm Abtrieb Antrieb Abtrieb

B C Dd2

2

d1

1a a

G = 7,92⋅104 N/mm2 τzul = 30 N/mm2

PC = 150 kW, PB = 80 kW ϑzul = 0,25°/m, n = 200 U/min

Ges.: 1. Torsionsmomentenverlauf 2. d1 und d2 (Biegung bleibt unberücksichtigt) 3. Verdrehwinkel ϕCB und ϕCD

5.9 Geg.: d, a, E, ν, die Messung des

d

MMDehnungsmeßstreifen

a

t t Torsionsmomentes soll mit Dehnungsmeßstreifen erfolgen, α = 45° , gemessene Dehnung ε Ges.: Torsionsmoment Mt

A Ad

d

B

= 150 mm = 250 mma2a1

1 25.10 Geg.: Welle mit verschiebbarem

Zahnrad A Mt = 300 Nm

τzul = 100 N/mm2 ϕ A,Bzul = 0,1° G = 7,7⋅104 N/mm2 Querschnitt 1 = Quadrat Querschnitt 2 = Kreis Ges.: 1.

t2

t1

t2

t1

II,

WW

2. erforderlicher Durchmesser d Hinweis: Zahnradbreiten sind gegenüber Wellenlängen vernachlässigbar.

31

5.11

MMd

Stahl

Stahl Kupfer

s

MMd d

a

a

t

t t

t

1

Variante 1:

Variante 2:

Geg.: d = 25 mm, a = 400 mm d1 = 35 mm, s = 1,5 mm Mt = 200 Nm G Stahl = 8⋅104 N/mm2 GKupfer = 4,8⋅104 N/mm2 Ges: 1. τmax, Verdrehwinkel ϕ für Stahlwelle (Var. 1) 2. Momente, die von der Stahlwelle und vom Kupferrohr übertragen werden 3. τmax für Stahlwelle und Kupferrohr 4. Verdrehwinkel ϕ für Var. 2

F

rr

Fa

a

i

5.12 Geg.: F, G, ra, ri, a Ges.: 1. Verdrehwinkel ϕ 2. τtmax

5.13

Md d d

d

dM

3a a 2a aa2

A B1 1

2

2 30 0

Geg.: M0, G, a, d1 d2 = 4/3 d1, d3 = 2 d1

Ges.: 1. τtmax

2. ϕAB

5.14 Geg.: Mt = 5000 Ncm, τzul= 30 N/mm2, b/h = 2, G = 8,1⋅104 N/mm2, a1 = 40 cm, a2 = 80 cm Ges.: 1. d so, daß überall gilt τtmax ≤ τzul (nur Nennspannungen) 2. ϕAB

Mh d

A B

Mh d

b

0 0

a1 a2

5.15

32

M

Mr

21

2

1a2a1

Geg.: M1, M2 = 2M1, r, G, a1, a2 = 2a1 Ges.: 1.τtmax 2. ϕ1, ϕ2

5.16 Geg.: Mt = 3 kNm

Torsionsnachgiebigkeit der gesamten Welle 1/cd = 0,00124°/Nm

G = 7,9⋅104 N/mm2 a = 1520 mm, a1 = 956 mm , d = 80 mm, s = 3 mm

Ges.: 1. ϕAB 2. Torsionsnachgiebigkeit 1/cR des Stahlrohres 3. τtmax im Stahlrohr

d

sStahlrohr

Aa

Ba1

5.17 Geg.: D = 150 mm, d = 4 mm

Mt

Dd

t

Mt

Blechdicke s

Schweißpunkte

t = 12 mm, s = 0,6 mm Max. Schubkraft für einen Schweißpunkt FPmax = 2000 N Mt = 1200 Nm, G = 8⋅104 N/mm2 Ges.: 1. FPvorh 2. τtvorh 3. ϑ [ °/m ]

33

5.18

1

th

a2

h

t

a a

t h

a

th

a

43

2

Geg.: Mt = 4800 Ncm a = 24 mm, h = 30 mm t = 1,5 mm G = 8,07⋅104 N/mm2 Ges.: Für die einzelnen Querschnitte 1. τt 2. ϑ[1/m] 5.19 Geg.: h = 120 mm, b = 80 mm, δ1 = 6 mm, δ2 = 12 mm τtzul = 30 N/mm2, ϑzul = 0,35 °/m, G = 8,0⋅104 N/mm2 Ges.: Mtzul für die 3 Querschnitte, 1. wenn τtzul zugrunde gelegt wird 2. wenn ϑzul zugrunde gelegt wird

h

b

Riß

b

h

1 2 3 ( Abmessungen wie 2)2

1

Vollquerschnitt Hohlquerschnitt offener Querschnitt 5.20

d dM

a aA BC

1 2

21

t

Geg.: a1, a2, d1, d2, Mt, G Ges.: MA, MB, ϕC

34

5.21 Geg.: b, c, d, Mt, G Ges.: Für beide Querschnitte: It, Wt, τtmax, ϑ

db

db

c

d

d

d

db

c

d

d

5.22

3a a a

M02r0r0 Eine Welle mit Kreisquerschnitt besteht aus

zwei Bereichen mit konstantem Radius und einem konischen Bereich. Der Endquerschnitt wird durch ein Moment M0 beansprucht. Geg.: M0, a, r0, G Ges.: Verdrehwinkel ϕE des Endquerschnittes infolge M0

5.23 Ein dünnwandiges Aluminiumrohr und eine Stahlwelle werden durch zwei starre Endplatten miteinander verbunden und durch ein Moment M0 auf Torsion beansprucht. Geg.: r1 = 2r, r2 = r, t = r/8, GAl, GSt = 3Gal, r, τAlzul Ges.: 1. Welcher Anteil von M0 wird vom Aluminiumrohr aufgenommen? 2. Wie groß darf M0 höchstens sein, damit die zulässige Schubspannung im

Aluminiumrohr nicht überschritten wird?

M0 M0

A

A

t

a

r1 r2

Schnitt A-A

35

5.24 Am freien Ende eines einseitig eingespannten, dünnwandigen Kastenträgers sind zwei starre Querarme angeschweißt. Zwei um den Wert a zu kurze Federn werden mit den Querarmen verbunden. Geg.: G, c, b, h, t, a Ges.: 1. Wie groß ist nach der Montage das Torsionsmoment? 2. Wie groß ist die maximale Schubspannung im Träger?

a

a

h h

h2h2

2t2t t

t

2h 2h

a

a

c

b

c

A

A

Kastenträger

Ansicht A:

36

6 Querkraftschub, Schubmittelpunkt 6.1 Geg.: F, q = 2F/a, h, b = 2h, d (d<< h) Ges.: 1. Maximale Biegespannung 2. Verteilung der Querkraftschubspannungen 3. τmax nach Größe und Ort und σmax nach Größe und Ort für a = 2h, 5h und 10h 4. Schätzen Sie das Verhältnis der maximalen Schub- und Biegespannungen ein.

F

qq

d

d

bF

h

a

6.2 Geg.: a, q, F = qa, h, b = h, d (d<< h) Ges.: 1. Ort und Größe der max. Biegespannung 2. Ort und Größe der max. Schubspannung

3. τmax nach Größe und Ort und σmax nach Größe und Ort für a = 3h, 5h und 10h 4. Schätzen Sie das Verhältnis der maximalen Schub- und Biegespannungen ein.

A

3/2 a a a

BG C

FqF, q

bh

d

d

6.3 Geg.: -200 DIN 1026 mit h = 200 mm Ixx = 1910 cm4 Gurtplatten: b = 200 mm c = 10 mm Profile und Gurtplatten sind durch Nietreihen verbunden Nietteilung t = 100 mm d = 16 mm. FQ = 105 N Ges.: Scherspannung im Niet

dF

c

x

y

h

cb

Q

S

37

6.4 Geg.: F = 5⋅104 N, h = b, d = 10 mm c = 5 mm, a = 3000 mm, σzul = 100 N/mm2, τzul = 70 N/mm2 Ges.: 1. h

d

dch

b

F

0 0 0

aa aa S

2. a0

6.5 Geg.: F = 2⋅104 N, c = 1500 mm, h = 50 mm, b = 90 mm τzul = 70 N/mm2, a = 5 mm Ges.: Erforderliche Schweißnahtlänge c0

Fc/2

Schweißnähte b

h

a

0 0

ccc

M

F

b

hxy

c

d

s

Q

6.6 Geg.: FQ, h, b, d (d<< b) Ges.: 1. Schubspannungsverteilung 2. Lage des Schubmittelpunktes M

38

6.7

b

F

h

F

A Ba

Geg.: F, a, h, b, E, ν Ges.: 1. Verschiebung von B, einschließlich Querkraftschub 2. vB (Schub) / vB (Biegung) für a/h = 3, 5, 10

F

hys

b1

b

Q

6.8 Geg.: FQ, h, b, b1 = β⋅b Ges.: Querkraftschubspannungen τ (y) 6.9 Geg.: a = 1000 mm, h1 = 300 mm, h2 = 600 mm, b1 = 150 mm, b2 = 300 mm, d = 4 mm, σzul = 110 N/mm2, τzul = 60 N/mm2 Ges.: 1. zulässige Belastung für maximale Biegebeanspruchung 2. zulässige Belastung für maximale Querkraftschubspannung

h

F

h

F

d

a bb

1

2

1 2

39

FQ

ra

ri

6.10 Geg.: FQ, ri, ra Ges.: Maximale Querkraftschubspannung τmax 1. für beliebige ra und ri 2. für ri = 0 3. für ra -ri = δ << ri

b

a cM

xM

d

6.11 Geg.: a, b, c, d Ges.: Lage des Schubmittelpunktes M

b

d

M

yMd

d

h

c

S

6.12 Geg.: h, b, c, d (d<< h) Ges.: Lage des Schubmittelpunktes M

0

0

d

rM

xM 6.13 Geg.: r, d (d<< r), ϕ0 Ges.: Lage des Schubmittelpunktes M

40

6.14

h1

d

d

d

h2

d

MMb

FQ

c

bxM

S

Geg.: h1 = 80 mm, h2 = 40 mm b = 40 mm, c = 20 mm d = 4 mm Biegemoment Mb = 1510 Nm Querkraft FQ = 3000 N Ges: 1. Max. Biegespannung 2. Max. Querkraftschubspannung 3. Lage des Schubmittelpunktes M (xM)

a

a

d

d

d

Mx SM

xM

FQ

2d

6.15 Geg.: a, d (d<<a) Biegemoment Mx Querkraft FQ

Ges.: 1. Max. Biegespannung 2. Max. Schubspannung 3. Lage des Schubmittelpunktes M (xM)

41

7 Zusammengesetzte Beanspruchung 7.1 An einem in A und B gelagerten I-Träger ist ein Kragarm mit Kastenprofil angeschweißt. Das Eigengewicht beider Profile pro Längeneinheit sei q. Geg.: a, b, a, t Ges.: Man ermittle die Normalspannungsverteilung in den Schnitten C und D!

Schnitt E-E Schnitt F-F

A

B

C D

E E

F F

b

b b

t

a

a t

a

2a

t<<a

7.2 Ein quadratischer Träger mit axialer Bohrung wird durch eine Kraft F belastet. Geg.: F, a, r Ges.: Man berechne die maximale Normalspannung maxσ im Schnitt D-D für die

dargestellten Lagen des Profils!

Schnitt D-D

r

x y

4r r

4r

4r 4r

3a 3a

F

B

C

D

45°

D a 2

x

y

42

7.3 F1

F2

a

b

h x

y 1 2

2

6h

6h

Eine eingespannte Säule trägt eine vertikale Last F1 und eine horizontale Last F2. Die Säule besteht aus drei Schichten mit unterschiedlichen E-Modulen. Geg.: F1, F2, a, h, b, E; E1 = E, E2 = 4E Ges.: Ermitteln Sie die Normalspannungs- verteilung im Einspannquerschnitt! 7.4 Die dargestellte Säule wird durch eine vertikale Kraft F exzentrisch belastet. Dabei sind sowohl F als auch die Exzentrizität e unbekannt. In den Punkten B und C werden die Dehnungen εB und εC gemessen. Geg.: a, E, εB, εC Ges.: Wie groß ist F? 7.5 Würfel mit Kantenlänge b Fall a: Verschiebungen vx, vy möglich Fall b: Verschiebungen vx, vy verhindert Geg.: F = 1500 N, b = 20 mm, ν = 0,4 Ges.: 1. σV (Schubspannungshypothese) 2. σV (Gestaltänderungshypothese) 7.6 Geg.: σx = -80 N/mm2; σy = 100 N/mm2

B C

F e

S K

S K 2a

a

4a

a B C

x y z

F

b

b

σy

σz

σx τxz

τzx σz = 80 N/mm2, τxz = τzx = 50 N/mm2 ν = 0,3 Ges.: Vergleichsspannung nach allen 4 Hypothesen

43

7.7 Schiffspropellerwelle auf Druck und Torsion beansprucht Zul. Verdrehwinkel ϕzul Geg.: F = 106 N; Pe = 3600 kW

Mt Mt F F

a

dn = 110 U/min Re = 350 N/mm2 G = 0,808⋅105 N/mm2

ν = 0,3 a = 10 m, ϕzul = 5° Ges.: 1. Torsionsmoment Mt 2. Erf. Durchmesser d

3. Sicherheit gegen Streckgrenze Re nach allen 4 Vergleichsspannungshypothesen 7.8 F

h

bh

a

F

c

Geg.: F = 5⋅104 N c = 400 mm a = 80 mm b = 100 mm h = 10 mm

Ges.: 1. σbmax,

2. τmax infolge Querkraftschub 3. σVmax (Gestaltänderungshypothese)

7.9 Geg.: F = 2000 N ; ν = 0,3 b

a F

d

a = 0,5 m ; b = 1,0 m ; d = 50 mm Ges: Maximale Vergleichsspannung σVmax nach allen 4 Hypothesen 7.10

d q0

a2a

Geg.: q0 = 1000 N/m, a = 1 m d = 50 mm Ges.: Maximale Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungshypothese

44

bF2

aa

F1

b

DiDa

7.11 Geg.: a = 400 mm, F1 = 1000 N b = 200 mm, F2 = 4000 N Da = 50 mm σzul = 160 N/mm2 Ges.: Di nach der Gestaltänderungs- hypothese 7.12 Geg.: F1 = 1000 N, F2 = 2000 N, F0 = 5000 N, MT = 105 Nmm a = 50 cm, d = 35 mm, D = 50 mm Ges.: σVmax nach der Gestaltänderungshypothese in den Schnitten I-I und II-II

a a a

F , F1 2

F1

dD

F0

F1MT

MT

F2I

I

II

II

F0

2MT

F1

a

2a

a

3a

F

F

7.13 Geg.: F = 1000 N, a = 50 cm σzul = 120 N/mm2 Rohrquerschnitt mit da = 100 mm Ges.: Innendurchmesser di nach der Gestaltänderungshypothese

45

7.14 Geg.: a1 = 55 mm, a2 = 70 mm a3 = 60 mm, r1 = 120 mm r2 = 50 mm, Fu1 = 4500 N d = 35 mm

Für beide Zahnräder gilt: α = 20° (Eingriffswinkel), β = 20° (Schrägungswinkel)

F F F Fa u r u= =tan , tancos

βαβ

Ges.: 1. σVmax (Gestaltänderungshypothese) 2. σV unmittelbar links von Rad 1

dr2

Fr2Fu2

Fa2

Fa1

Fr1Fu1

r1

a1a2

a3

7.15

b

hx

yz MtMbx

S

Geg.: Schnittgrößen Mbx = 2160 Nm, Mt = 1340 Nm b = 60 mm, h = 30 mm Ges.: 1. Max. Biegespannung (Ort und Betrag) 2. Max. Schubspannung (Ort und Betrag)

3. σVmax nach der Gestaltänderungshypothese (Ort und Größe)

7.16 Geg.: p = 1 MPa h

rDruck p

dünnwandiges Rohr

M M M = 108 Nmm h = 5 mm r = 50 cm Ges.: σV nach der Gestaltänderungshypothese

46

7.17 Geg.: Dünnwandiges Rohr unter h

2rF

p

h

2rp

h

az

Innendruck und Wärmedehnung h/r = 0,02, p = 1,5 MPa, T0 = 20°C T1 = 200 °C, Re = 255 N/mm2 bei 20°C Re = 206 N/mm2 bei 200°C α = 12,1⋅10-6⋅1/K E = 1,91⋅105 N/mm2 bei 200°C ν = 0,3 Ges.: 1. Spannungen der Rohrinnenwand bei z/r > 1 für alle 3 Fälle 2. σV nach der Gestaltänderungshypothese für alle 3 Fälle 3. Sicherheit gegen Streckgrenze für alle 3 Fälle

47

8 Satz von Castigliano 8.1 Geg.: F1, F2, a, b, EI

a

b

F1

F2

EI

B

C

Ges.: 1. Verschiebungen vC1 und vC2 von C in Richtung von F1 und F2 2. Einflußzahlen von F1 und F2 bezüglich vC1 und vC2 (Nur Biegearbeit berücksichtigen!) 8.2

B

F0

CM0

a bc

c

c

8c

6c

A

A

Schnitt A-A

Geg.: F0 = 7,5⋅103 N M0 = 1,5⋅103 Nm a = 2 m, b = 1 m E = 2⋅105 N/mm2 c = 10 mm I-Querschnitt (siehe Skizze) Ges.: 1. Verschiebung vF und Neigung ϕF an der Lastangriffsstelle 2. Einflußzahlen von F0 und M0 bezüglich vF und ϕF (Nur Biegearbeit berücksichtigen!) 8.3 q

D

b2bEI

BC

Geg.: q, b, EI Ges.: Verschiebung vD und Biegewinkel ϕB

8.4 bGeg.: F = 2⋅103 N

b

b

B

F

60°

C

EI

b = 0,8 m EI = 3,2⋅1010 Nmm2 Ges.: Verschiebungen des Kraftangriffs- punktes in vertikaler und horizontaler Richtung (Nur Biegearbeit berücksichtigen!)

48

8.5

b

FEI

b b

C

30°

B

Geg.: F, b, EI Ges.: Verschiebung des Rollenlagers C (Nur Biegearbeit berücksichtigen!) 8.6 Geg.: F, a, b, EI a

BEI

b

C

F

Ges.: Verschiebung des Punktes C in vertikaler und horizontaler Richtung (Nur Biegearbeit berücksichtigen!) 8.7

BG

CD

q

a 2a aEI

Geg.: q, a, EI Ges.: Verschiebungen von G und D (Nur Biegearbeit berücksichtigen!)

B Cb

D

F30°

EI

8.8 Geg.: F, b, EI Ges.: Verschiebungen des Lagers C und des Kraftangriffspunktes D

49

8.9 a a

B

C

EI1 EI1

EI2

F

b

Geg.: F = 5 103 N a = 1,5 m b = 2 m EI1 = 2⋅1012 Nmm2 EI2 = 6⋅1012 Nmm2 Ges: Verschiebung des Kraftangriffspunktes

a 2a

BC

a2

1

3 45

F

2a

8.10 Geg.: F, a, EA (Dehnsteifigkeit der 5 Stäbe) Ges.: Verschiebungen des Kraftangriffspunktes 8.11

AF

C

Bba

EI, GIt

z

yx

Geg.: F, b, a, EI, GIt Ges.: Verschiebungen von C in x-, y- und z-Richtung

b

b

B

a

EI, GIt

F1

F2

z

yx

A

D

C

8.12 Geg.: F1 = F, F2 = 2F, b, a = b/2, EI, GIt Ges.: Verschiebung von D in x-, y- und z-Richtung

50

8.13 Geg.: b, F, EI, GIt F b

D

C

b

GI , EIt

b b

B

z y

x

(Kreisquerschnitt) B: Verschiebung in x,y,z-Richtung verhindert C: Verschiebung in y, z-Richtung verhindert D: Verschiebung in z-Richtung verhindert Ges.: Verschiebung des Last- angriffspunktes für G = 2/5 E 8.14 x

z y

aII

I

r

F

Geg.: F, r, a = 2r, EI, ν = 0,3 (Kreisquerschnitt) Ges.: 1. Verschiebungen des Punktes I 2. Verschiebungen des Punktes II in x-, y- und z-Richtung 8.15 Geg.: F1 = 100 N F2 = 50 N

d

aI

d F3

a

a

F1

F2

F3 = 100 N a = 0,6 m d = 20 mm (Kreisquerschnitt) E = 2⋅105 N/mm2 ν = 0,3 Ges.: Verschiebungen des Punktes I

51

8.16

BK C D

q0

a a a

Geg.: a, q0, EI Ges.: 1. Auflagerkräfte 2. Verschiebung des Punktes K

D

F2F

A B C

a a a

8.17 Geg.: F, a, EI Ges.: 1. Verschiebungen vA und vB 2. Einflußzahlen αAA, αBB, αAB, αBA

q

C DB

a a

8.18 Geg.: q, a, EI Ges.: 1. Auflagerkräfte 2. Neigung an den Lagerstellen B, C und D 8.19 Geg.: q, a EI

q

D

CB

a

2a

Ges.: 1. Prinzipskizze des Durchbiegungs- verlaufes 2. Auflagerkräfte 3. Neigung des Trägers an der Stelle D

52

C

bq

DaB

8.20 Geg.: q, a, b, EI Ges.: 1. Auflagerreaktionen 2. Welcher Drehfederkonstanten entspricht der Teil DC des Tragwerks? (Nur Biegearbeit berücksichtigen!) 8.21

B

C

a

a

K

q

3a

D

Geg.: a, q, EI Ges.: 1. Auflagerreaktionen 2. Neigung bei K 3. Momentenverlauf (Nur Biegearbeit berücksichtigen!)

q

EI

B

C

a

Da

8.22 Geg.: a, q, EI Ges.: 1. Auflagerreaktionen 2. Verschiebung von D

a

aa

F

B

C

8.23 Geg.: a, F, EI Ges.: 1. Auflagerreaktionen 2. Verlauf der Biegemomente

53

8.24

t

FDGeg.: Zylindrische Schraubenfeder i = Anzahl der Windungen d = Drahtdurchmesser E, G, D, t, F Ges.: Federzahl c (Nur Biege- und Torsionsarbeit berücksichtigen.) 8.25

t

D Mt

Geg.: wie 8.24 Ges.: Drehfederzahl cϕ

(Nur Biege- und Torsionsarbeit berücksichtigen.) 8.26

EI

F

cEI

F

c

a aGeg.: c, EI, a, F Ges.: Ersatzfederzahl cers für beide Fälle 8.27

EIc

F

EIc

F

a/2

a/2 a/2

a/2

Geg.: c, EI, a, F Ges.: Ersatzfederzahl cers für beide Fälle

54

B

a

c

qc

8.28 Geg.: a, c, cϕ, EI, q Ges.: Auflagerreaktionen (Spezialfälle c ⇒ 0, c ⇒ ∞, cϕ⇒0, cϕ ⇒ ∞) B

Fa

aFA

a a

8.29 Geg.: F, a, EI = konst. Ges.: 1. Prinzipskizze der Verformung 2. Auflagerreaktionen 3. Verschiebung der Kraftangriffspunkte

F

a

45°C

B8.30 Geg.: F, a, EI Ges.: 1. Auflagerreaktionen 2. Verschiebung des Last- angriffspunktes 8.31 Geg.: F = 10 000 N, a = 1 m b = 200 mm, h = 50 mm

Seil

EAa

hF

B C

a a

h

b

A = 50 mm2, E = 2⋅105 N/mm2 ρ = 7,85 kg/dm3 Ges.: 1. Auflagerreaktionen 2. σbmax 3. σz im Seil 4. vC 5. Punkte1-4 mit Eigengewicht des Balkens BC

55

A

EA (Seil)

q

CB

4a

3a

EJ

8.32 Geg.: q, a, EI, EA Ges.: 1. Seilkraft und Auflagerreaktionen 2. vC

q

G

a

B CEI

2a

8.33 Geg.: a, q, EI = konst. Ges.: 1. Gelenkkräfte, Auflagerkräfte 2. FL-, FQ-, Mb-Verläufe 8.34 Geg.: a, b, F, EI = konst. Ges.: 1. Momentenverlauf (Skizze) 2. Verschiebung des Kraftangriffspunktes

a

bEI

EA

SeilB C

q

F8.35 Geg.: q, a, b = 1,5 a F = q b, EI, EA Ges.: 1. Auflagerkräfte, Seilkraft 2. Verschiebung von C

56

a2a

F

a

EI

8.36 Geg.: a, F, EI = konst. Ges.: Federkonstante c 8.37

a a a

F

B CGeg.: F, a, EI = 5/4 GIt Ges.: 1. Auflagerreaktionen 2. Verschiebung des Lastangriffspunktes 8.38 Geg.: F, a, b = a, EI = 5/4 GIt

Ges.: 1. Auflagerreaktionen 2. Verschiebung des Lastangriffspunktes 8.39 Geg.: F, a, EI = 5/4 GIt Ges.: 1. Auflagerreaktionen 2. Verschiebung des Lastangriffspunktes 8.40 Geg.: a = 1 m, b = 10 mm, h = 20 mm, E = 2,1⋅105 N/mm2

ba

C

FB

B

aF

C

Ausgangstemperatur Tm = 293 K, To = 333 K, Tu = 293 K lineare Temperaturverteilung über h, αth = 12⋅10-6 1/K

ATo

Tu

h

a

Bb

h

Ges.: 1. Lagerkraft FB 2. Neigung bei B

57

9 Stabilität b b

hF

Ac c

9.1 Geg.: c, b, h Ges.: Fk

F

ac

starr

b

9.2 Geg.: c, a, b Ges.: Fk

F EI a

2a

a

Astarr

a6EI

Blattfedern(einseitigwirkend)

9.3 Geg.: a, EI Ges.: Fk

9.4 F

astarr

cc

Geg.: a, c Ges.: Fk

9.5

58

Fz

yF

zx a

d 2b

b

Geg.: F = 1 kN E = 2,0⋅105 N/mm2 Knicksicherheit sK = 5 a = 1m Zwei Querschnittsformen (siehe Bild) Hinweis: Lagerung des Knickstabes ist in

zwei Ebenen unterschiedlich (siehe Bild) Ges.: 1. Wie ist der Rechteckquerschnitt

zweckmäßig anzuordnen? 2. d 3. b (elastisches Knicken vorausgesetzt) 9.6 Geg.: Starre Stäbe der Länge a gelenkig verbunden und elastisch gestützt, Federzahl c Ges.: 1. Eigenwertgleichung 2. Eigenfunktionen 3. Fk

a a a a

Ac c c B

G1 G2 G3 F 9.7 Geg.: a, c, ϕ0 für ϕ = 0 ist x = 0 und Federkraft Fc = 0 Ges.: 1. F = F(ϕ), 2. Für ϕ0 = π/3 graf. Darstellung F = F(ϕ) 3. Diskussion des Verlaufs von F = F(ϕ)

a

a

F

x

c0

9.8

59

Geg.: Stab mit Kreisquerschnitt F = 20 kN, E = 2,0⋅105 N/mm2 d F

a

Knicksicherheit sK = 5 a = 50 cm für elast.-plast. Knicken:

σk = (310 - 1,14 λ) N/mm2 Ges.: 1. Grenzschlankheitsgrad λp 2. Durchmesser d 9.9 Geg.: 4 verschiedene Querschnitte mit gleichem Flächeninhalt Ges.: Verhältnis der kritischen Kräfte

F

b

2b

a

a

d 0,7da

da

c

9.10

1

2

3

a

Geg.: 3 Stäbe, bei Raumtemperatur spannungsfrei I = 2 700 mm4, αth = 12,2⋅10-6 1/K A = 300 mm2, λp = 109 a = 700 mm, E = 2,1⋅105 N/mm2 Ges.: 1. Schlankheitsgrad λ und Entscheidung, ob Eulerformeln zulässig sind 2. ΔTk bei der Knicken erfolgt

60

9.11 a a

a

q

I1

A ,I2 2

Geg.: E = 2,0⋅105 N/mm2 a = 2 500 mm I1 = 2,14⋅107 mm4 I2 = 1,17⋅106 mm4 A2 = 3350 mm2 Ges.: 1. qkrit bei der Stützstab ausknickt (Stützstab wird für q<qkrit als starr angesehen) 2. Verlauf des Biegemomentes im horizontal liegenden Balken, für q>qkrit

9.12 Geg.: Kolbenstange, d = 30 mm, a = 480 mm D = 200 mm, p = 7⋅105 N/m2 E = 2,0⋅105 N/mm2 σk = (283,5-0,802λ) N/mm2 (elast.-plast. Knicken) Ges.: 1. Grenzschlankheitsgrad λp 2. Knicksicherheit sK

pD

d

a

M

F F F

a

c

A B C

9.13 Geg.: a, EI, c Ges.: 1. Fk für Fall A, Eigenwertgleichung und Lösung für EI/ca3 = 0,01, 0,1 und 1 2. Knicklast für B und C als Grenzfälle von A

61

9.14 Geg.: a, EI, cd FFF

a

cd

A B C

Ges.: 1. Fk für Fall A Eigenwertgleichung und Lösung für EI/cda = 0,01, 0,1 und 1 2. Knicklast für B und C als Grenzfälle von A h

a

Fe

h

a

Fe

9.15 Geg.: Exzentrisch belasteter Zug- bzw. Druckstab h, e = h/2, I, A, E, a, F Ges.: |σmax| bezogen auf F/A 9.16 Geg.: a, b, E, I, A

C FB

b a

Ges.: 1. Eigenwertgleichung des Problems 2. Knicklast Fk für a = b, Schlankheitsgrad λ 9.17

FI2I1

a1

a

Geg.: a, b, E, I1, A1, I2, A2

Ges.: 1. Eigenwertgleichung des Problems 2. Für I1 = 0,49 I2 und a1 = 0,4 a ist Fk zu ermitteln 3. Man diskutiere den Fall, daß im Bereich von a1 σ > σp wird (elast.-plast. Verhalten des Materials)

62

10 Rotationssymmetrische Spannungszustände 10.1

da2 da1di2 di1

Preßsitz zweier Rohre Geg.: di1 = 160 mm, da1 = 300,2 mm di2 = 300 mm, da2 = 500 mm E1 = E2 = 2,1⋅105 N/mm2 ν1 = ν2 = 0,3 Ges.: 1. Schrumpfdruck ps 2. σr (r) und σϕ (r) in beiden Rohren 10.2 Kreisringscheibe unter allseitigem Zug Geg.: ri, ra, σa Ges.: 1. σr (r) , σϕ (r) speziell σr (ri), σϕ (ri) 2. Man diskutiere das Ergebnis unter der Annahme ri/ra ⇒ 0 10.3 Geg.: Innenradius der Kreisringscheibe wird um Δr aufgeweitet E = 2,1⋅105 N/mm2, ν = 0,3 ra = 3ri, Δr = 0,001⋅ri Ges.: σr (r), σϕ (r), σV (r) (Gestaltänderungs- hypothese), graf. Darstellung

ra

ri

σa

rra

i

63

s

rari

10.4 Geg.: ri = 50 mm, ra = 250 mm E = 2,1⋅105 N/mm2, ν = 0,3 s = 0,1 mm, ρ = 7,85 kg/dm3 Ges.: Drehzahl, bei der die Scheibe am Gehäuse anläuft a) Welle sei starr b) Betrachtung einer Vollscheibe 10.5 Rotierende Turbinenscheibe mit z Schaufeln Geg.: Masse einer Schaufel ms = 100 g

h

ri

rars

Schaufelanzahl z = 230 Schaufelschwerpunktradius rs = 425 mm Drehzahl n = 3000 U/min ri = 70 mm, ra = 380 mm, h = 20 mm ρ = 7,85 kg/dm3, E = 2,1⋅105 N/mm2, ν = 0,3 Ges.: σr, σϕ, σV (Gestaltänderungshypothese) am Außen- und Innenrand der Scheibe

ri

ra

10.6 Geg.: Rotierende Scheibe konstanter Dicke auf Vollwelle aufgeschrumpft ra = 300 mm, ri = 100 mm Δr = 0,1 mm für Scheibe und Welle: E = 4,5⋅104 N/mm2, ν = 0,3, ρ = 1,8 kg/dm3 (Magnesium-Legierung) Ges.: Winkelgeschwindigkeit ω, bei der sich die Scheibe zu lösen beginnt

64

h

r

Druck p

r1

Wandstärke h

120°

Druck p

10.7 Geg.: Zylinderkessel mit halbkugelförmigen Böden unter Innendruck p = 0,6 N/mm2, r = 200 mm h = 1 mm Ges.: 1. Spannungen σϕ und σϑ 2. Diskussion der Ergebnisse 10.8 Geg.: Rotationssymmetrischer Kessel unter Innendruck r1 = 500 mm, r2 = 1500 mm, h = 10 mm p = 1 N/mm2 Ges.: Spannungen σϕ und σϑ

(grafische Darstellung) 10.9

p

h

A C

Br0

r

Geg.: Ringkessel mit Kreisringquerschnitt unter Innendruck p = 2 N/mm2 r0 = 500 mm, r = 250 mm h = 10 mm Ges.: Verlauf der Spannungen σϑ(α) und σϕ(α) 10.10 Geg.: Kesselboden in Form eines Korbbogens p = 1 N/mm2, h = 10 mm

h

D

Druck p

C

B A

ark

rz

b0

rz = 500 mm, a = 150 mm rk = 800 mm Ges.: 1. α0, b

2. Verlauf von σϑ und σϕ (graf.Darstellung)

3. Man diskutiere das Ergebnis

65

11 Dauerfestigkeit 11.1

20 24

I

I6

Geg.: Tretlagerwelle eines Fahrrades durch wechselndes Biegemoment und schwellendes Torsionsmoment belastet Stelle I: Mb = 104 Nm, Mt = 136 Nm, Werkstoff 34Cr4 Ges.: Sicherheitsnachweis für Querschnitt I nach DIN 743 11.2

60206

F

100

115

140

185

160

163168

343228

F

I II III IV

Geg.: Radachse eines D-Zug-Wagens, anteilige Wagenmasse pro Lagerstelle 10,2 t, Werkstoff St50 (Horizontalkräfte, Schwingungs- kräfte, Achsmasse werden vernach- lässigt) Ges.: 1. Nennbiegespannungen in den Querschnitten I bis IV 2. Sicherheitsnachweis für Querschnitt I nach DIN 743 11.3

R3

8

8

M12

I IR3

Flanschschraube für Hochdruckgefäß Geg.: Längskräfte der Schraube* min 30 000 N max 35 000 N momentenfreie Beanspruchung Werkstoff 34Cr4 Hohlkehle poliert o 8 Ges.: Sicherheitsnachweis für Querschnitt I nach DIN 743 * aus Vorspannung und Betriebskraft mit Verspannungsdiagramm bestimmt

o 8

66

11.4

28 18

Geg.: Paßfederverbindung Schnittgrößen an der Kerbstelle Fl = 3,85⋅103 N, Mb = 62,2 Nm (Umlaufbiegung), Mt = 53 Nm Werkstoff 34Cr4 Ges.: Nachweis der Dauerfestigkeit für die Wellen-Naben-Verbindung nach DIN 743

5095

F

F

60

Nut Form A

11.5 Radachse einer Laufkatze Geg.: F = 16,5⋅103 N Ges.: Nachweis der Festigkeit nach DIN 743 Werkstoff: St 50 R2 = 40 μm 11.6 Geg.: Gezeichneter Wellenabsatz aus 34Cr4

28 18

1,8

R = 10 μm Sicherheit: statisch 1,5 schwingend 2 Ges.: maximal zulässige Kräfte bzw. Momente zu folgenden Beanspruchungsarten Beanspruchungsart Belastungscharakter Zug, Biegung, Torsion statisch Zug, Biegung, Torsion wechselnd Zug schwellend

67

11.7 Die skizzierte Welle wird im Schnitt I-I durch das wechselnde Biegemoment Mb und das wechselnde Torsionsmoment Mt (Lastfall III für beide Momente) stoßartig beansprucht. Geg.: Mb = 2⋅104 Nmm, Mt = 5⋅104 Nmm d = 20 mm, D = 28 mm, r = 2 mm Werkstoff: St60, Hohlkehle geschliffen σbw = 280 N/mm2, τtw = 160 N/mm2 βkb = 1,35 Kerbwirkungszahl bei Biegung βkt = 1,18 Kerbwirkungszahl bei Torsion K = 0,9 Faktor des Größeneinflusses

OF = 0,92 Faktor der Oberflächenbeschaffenheit bei Biegung

Mt Mt

Mb Mb

I

I

r

D d

ϕ = 1,3 Stoßzahl Ges.: Sicherheit gegen Dauerbruch 11.8 Für die skizzierte Welle, die durch die dargestellten Zahnkräfte stoßfrei belastet wird, ist ein Festigkeitsnachweis (Dauerfestigkeit) zu führen. Geg.: F = 1000 N, D = 150 mm, d = 60 mm, b = 1 m, a = 0,2 m, α = 20° Werkstoff: C45, Oberfläche: geschlichtet, Verbindung: Zahnrad-Welle mit Paßfeder Für die Biegebeanspruchung ist der Lastfall III (wechselnd), für die Torsionsbeanspruchung der Lastfall II (schwellend) anzunehmen. σbw = 320 N/mm2, τsch = 270 N/mm2 βkb = 2,5 Kerbwirkungszahl bei Biegung βkt = 1,75 Kerbwirkungszahl bei Torsion K = 0,68 Faktor des Größeneinflusses OF = 0,88 Faktor der Oberflächenbeschaffenheit bei Biegung OFt = 0,93 Faktor der Oberflächenbeschaffenheit bei Torsion Ges.: Sicherheit gegen Dauerbruch

a a

b

d

5F

F

D5D