1

Outras funções: Função composta. Função injetora, sobrejetora e bijetora. Função inversa e Função simétrica. Função composta Sejam f e g duas funções tais que Imf ⊂ Dg. A função dada por

y=g(f(x)), x ∈ Df, denomina-se função composta de g e f. É usual a notação gof para indicar a composta de g e f.

OBS:

1. A expressão (gof)(x)=g(f(x)) se lê: “g composta com f”. 2. Em geral, gof≠fog, isto é, a composição de funções não é comutativa. 3. O domínio de gof é o conjunto de todos os valores de x no domínio de f tais que f(x)

está no domínio de g. Em outras palavras, (gof)(x) está definida sempre que tanto f(x) quanto g(f(x)) estiverem definidas.

Exemplos: 1. Sejam f(x)=2x-3 e g(x)=x2+4. Determine:

a) gof(x) b) fog(x)

2. Sejam f(x)=x2 e g(x)= x . Determine: a) gof(x) b) fog(x) Exercícios

1)

2

c) f(x) = 1)( 2 −= xxgex Exercícios propostos:

Respostas: 1) B 2) a)

2)

1)

2)

a)

b)

c)

3)

4)

5)

6)

3

b)

c)

3)

4)

5)

6)

4

Função injetora Uma função f: A → B é denominada de função injetora quando quaisquer elementos distintos em A, correspondem a imagens distintas em B.

Exemplo: Verifique se as funções dadas a seguir são injetoras.

a) f(x)=3x b) f(x)= 1/2x c) f(x)=x2

5

Função sobrejetora Uma função f: A → B é denominada de função sobrejetora se o contradomínio B é igual ao conjunto imagem, ou seja, todo elemento de B está relacionado através de f, com algum elemento de A.

Exemplo: Verifique se as funções dadas a seguir são sobrejetoras.

a) f(x)=3x b) f(x)=x

6

Função bijetora Uma função f: A → B é denominada de função bijetora se, e somente se, é simultaneamente injetora e sobrejetora. Diz-se que uma função é bijetora se ela tem uma relação um a um. Ilustração:

Exercícios

1)

7

Função inversa Uma função f: A→B admite f-1: B→A como sendo a sua inversa se, e somente se for bijetora. A função f leva o elemento x de A no elemento y de B. A sua inversa f-1 leva o elemento y de B no elemento x de A.

Exemplo: f(x)=x3-4 é bijetora. Determine sua inversa. Exercícios propostos

2)

1)

8

Respostas:

1) a)1 b) 1+√y

2) a) (y-3)/2 b) (3y+1)/4 c) 3 2−y d)1+ 3 2−y e) y 3 -2

f) (y+1)3 g) 3 31 y−

3) Não, pois f não é injetora, por exemplo: f(-1)=f(1)=1, e portanto f não é bijetora.

4) a) (y+2)/12 b) 3

2

3−y c) y−4 d)

2

3 y+ e) 32 −y

2)

3)

4)

9

Função simétrica Definição: Seja f-1: B →A a função inversa de uma função f. Se trocarmos, nessa função, a variável x por y e a variável y por x, teremos uma nova função, que chamaremos função simétrica. Exemplos:

OBS: Grande parte da literatura chama essa função g de função inversa da função f. Geometricamente, os gráficos da função f e da função simétrica g são simétricos em relação à reta f(x)=x. Exemplos:

10

Exercícios

2) Assinale o gráfico que representa a função simétrica da função f(x)=3-(3/4)x

1)

11

Exercícios propostos:

Respostas

1) a) D= IR-{2} e Im(f)=IR . Função simétrica é: y=(2x+1)/(1-x) b)D=IR e Im(f)=IR . Função simétrica: y=x/2 – 5/2.

2)

1)

a)

b)

2)

12