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Outubro de 2005Outubro de 2005 Sistemas DigitaisSistemas Digitais 11
Circuitos combinatórios típicos:Circuitos combinatórios típicos:circuitos aritméticoscircuitos aritméticos
Prof. Carlos SêrroProf. João Paulo Carvalho
SISTEMAS DIGITAISSISTEMAS DIGITAIS
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Circuitos aritméticosCircuitos aritméticos
Circuitos aritméticos são aqueles que Circuitos aritméticos são aqueles que realizam operações aritméticas sobre realizam operações aritméticas sobre números binários números binários
O circuito aritmético mais simples é o O circuito aritmético mais simples é o que soma números de apenas 1 bitque soma números de apenas 1 bit
Basta partir da conhecida tabela da Basta partir da conhecida tabela da soma binária para o obter um soma binária para o obter um semi-semi-somadorsomador
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Semi-somadorSemi-somador
Tabela de verdade lógica de um semi-Tabela de verdade lógica de um semi-somadorsomador
ABAB SomaSoma TransporteTransporte
0000 00 00
0101 11 00
1010 11 00
1111 00 11
A+BA+B A=0A=0 A=1A=1
B=0B=0 00 11
B=1B=1 11 1010
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Semi-somadorSemi-somador
Logigrama de um semi-somadorLogigrama de um semi-somador
ABAB SomaSoma TransporteTransporte
0000 00 00
0101 11 00
1010 11 00
1111 00 11
O nome semi-somador vem do facto de este circuito não O nome semi-somador vem do facto de este circuito não permitir somar o transporte que venha de bits de menor permitir somar o transporte que venha de bits de menor pesopeso
BAS
BACout⊕=⋅=
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Somador CompletoSomador Completo
A um somador de 1 bit que tenha em A um somador de 1 bit que tenha em conta o transporte de somas conta o transporte de somas anteriores chama-se anteriores chama-se somador somador completocompleto
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Somador CompletoSomador Completo
Tabela de verdade lógica e equaçõesTabela de verdade lógica e equações
B00 01 11 10
A
0
1 0
0
1 1
0
1
0 1
Cin
B00 01 11 10
A
0
1 1
1
1 0
1
0
0 0
Cin
A B Cin S Cout
0 0 0 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 1 0 0 1
1 1 1 1 1
in
inin
inin
CBA
BACBAC
BACBACS
⊕⊕=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
( )BACBA
BCACBAC
in
ininout
⊕⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅=
Porquê?
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Somador CompletoSomador Completo
Logigrama de um somador completoLogigrama de um somador completo
Semi-somadores
CIBAS ⊕⊕= ( )BACIBA
BCIACIBACO
⊕⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅=
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Somadores de n bitsSomadores de n bits
Assumindo blocos de somadores Assumindo blocos de somadores completos, é possível construir completos, é possível construir somadores de n bitssomadores de n bits
Exemplo: Um somador de 4 bitsExemplo: Um somador de 4 bits
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Somadores de n bitsSomadores de n bits
Somador Somador iterativoiterativo de 4 bits de 4 bits
Cn-1
Cn
An
Bn
Sn
Somador completo
Cn-1
Cn
An
Bn
Sn
Cn-1
Cn
An
Bn
Sn
Cn-1
Cn
An
Bn
Sn
Cn-1
Cn
An
Bn
Sn
A0 1
A2
A3
AB0
S0
B1
S1
B2
S2
B3
S3
Ci
CoC0
C3
Estrutura iterativa(série)
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Somadores de n bitsSomadores de n bits
Símbolo IEC de um somador sompleto de 4 bits
0
3 0
3
0
3
CI CO
P
Q
S
:
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SubtracçõesSubtracções
O algoritmo da subtracção numa base O algoritmo da subtracção numa base qualquer é semelhante ao da adiçãoqualquer é semelhante ao da adição Se o aditivo é maior ou igual ao Se o aditivo é maior ou igual ao
subtractivo, faz-se a subtracção (em subtractivo, faz-se a subtracção (em decimal)decimal) Neste caso não é gerado transporte para a Neste caso não é gerado transporte para a
coluna seguintecoluna seguinte Se o aditivo é menor do que o subtractivo, Se o aditivo é menor do que o subtractivo,
adiciona-se a base ao aditivo (em decimal) adiciona-se a base ao aditivo (em decimal) e só depois se faz a subtracçãoe só depois se faz a subtracção Neste caso gera-se um transporte igual a 1 para Neste caso gera-se um transporte igual a 1 para
a coluna seguintea coluna seguinte
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SubtracçõesSubtracções
Ex. na base 10Ex. na base 10
15 15 (10)(10)
-- 7 7 (10)(10)
8 8 (10)(10)
Ex. na base 16Ex. na base 16
B5 B5 (16)(16)
-- E E (16)(16)
A7 A7 (16)(16)
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Números com SinalNúmeros com Sinal
A representação de números inteiros A representação de números inteiros tem de ter em conta que os números tem de ter em conta que os números podem ser positivos, negativos ou o podem ser positivos, negativos ou o número 0número 0
Uma das alternativas é a Uma das alternativas é a representação por representação por módulo e sinalmódulo e sinal, em , em que o bit mais significativo indica o que o bit mais significativo indica o sinal. Se esse bit for 1 o número é sinal. Se esse bit for 1 o número é negativo, se for 0 é positivonegativo, se for 0 é positivo
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Números com SinalNúmeros com Sinal
Exemplo para números de 4 bits:Exemplo para números de 4 bits:
RepresentaçRepresentaçãoão
Número Número representadorepresentado
RepresentaçRepresentaçãoão
Número Número representarepresenta
dodo
00000000 00 10001000 -0-0
00010001 +1+1 10011001 -1-1
00100010 +2+2 10101010 -2-2
00110011 +3+3 10111011 -3-3
01000100 +4+4 11001100 -4-4
01010101 +5+5 11011101 -5-5
01100110 +6+6 11101110 -6-6
01110111 +7+7 11111111 -7-7
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Módulo e sinalMódulo e sinal
Inconvenientes:Inconvenientes: Duas representações diferentes para o Duas representações diferentes para o
zerozero O módulo e o sinal são processados de O módulo e o sinal são processados de
forma diferenteforma diferente É necessário escolher a operação a É necessário escolher a operação a
realizar de acordo com a operação realizar de acordo com a operação desejada e o sinal dos números envolvidosdesejada e o sinal dos números envolvidos
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Módulo e sinalMódulo e sinal
Por exemplo:Por exemplo: Se pretendermos fazer a operação (+5) + Se pretendermos fazer a operação (+5) +
(-3), o que é realmente necessário fazer é (-3), o que é realmente necessário fazer é a subtracção 5-3 ficando o sinal positivoa subtracção 5-3 ficando o sinal positivo
Se o problema for realizar (-5) + (+3), Se o problema for realizar (-5) + (+3), então há que realizar também uma então há que realizar também uma subtracção mas do módulo do número subtracção mas do módulo do número negativo menos o do positivo, isto é, 5-3, negativo menos o do positivo, isto é, 5-3, ficando depois o sinal negativoficando depois o sinal negativo
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Módulo e sinalMódulo e sinal
Obviamente, tudo isto complica a Obviamente, tudo isto complica a realização das operações (e, por realização das operações (e, por consequência, dos circuitos) que consequência, dos circuitos) que tenham que realizar essas operaçõestenham que realizar essas operações
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Complemento para 2Complemento para 2
Chama-se Chama-se complemento para 2complemento para 2nn de um de um número X de n bits, ao resultado da número X de n bits, ao resultado da operação 2operação 2nn – X – X
Por exemplo, o complemento para 2 Por exemplo, o complemento para 2 de 0101 é:de 0101 é:
1000010000
- 0101- 0101
1011 1011
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Complemento para 2Complemento para 2
Se um número X tem n bits, então o Se um número X tem n bits, então o seu complemento para 2 é seu complemento para 2 é representado por n bitsrepresentado por n bits
O complemento para 2 do O complemento para 2 do complemento para 2 de um número X complemento para 2 de um número X é X:é X: 22nn - (2 - (2nn – X) = X – X) = X
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Complemento para 2Complemento para 2
Formas alternativas de encontrar o Formas alternativas de encontrar o complemento para 2 de um número X:complemento para 2 de um número X: Inverter todos os bits de X e somar 1 ao Inverter todos os bits de X e somar 1 ao
resultadoresultado Manter todos os 0’s menos significativos e Manter todos os 0’s menos significativos e
ainda o primeiro 1 de X, e inverter os ainda o primeiro 1 de X, e inverter os restantes bits mais significativosrestantes bits mais significativos
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Complemento para 2Complemento para 2
Na representação de números com sinal em Na representação de números com sinal em complemento para 2, o bit mais significativo do complemento para 2, o bit mais significativo do número também indica o sinalnúmero também indica o sinal Se for 1 o número é negativo, se for 0 é positivoSe for 1 o número é negativo, se for 0 é positivo
Na representação de números com sinal em Na representação de números com sinal em complemento para 2complemento para 2 Um número positivo é representado pelo seu módulo Um número positivo é representado pelo seu módulo
(como na notação de sinal e módulo)(como na notação de sinal e módulo) Um número negativo é representado pelo complemento Um número negativo é representado pelo complemento
para 2 do seu módulopara 2 do seu módulo
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Complemento para 2Complemento para 2
Por exemplo, o número +6 é Por exemplo, o número +6 é representado em notação de representado em notação de complemento para 2 com 4 bits por complemento para 2 com 4 bits por 0110, e o número -6 é representado por 0110, e o número -6 é representado por 1010:1010: 6 = 0110 6 = 0110 ►► complementando bit a bit, 1001 complementando bit a bit, 1001
►►1001 +1 = 1010 = -6 1001 +1 = 1010 = -6 Repare-se que a determinação do Repare-se que a determinação do
complemento para 2 de um número complemento para 2 de um número positivo de n bits deixa positivo de n bits deixa automaticamente o bit de sinal a 1automaticamente o bit de sinal a 1
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Outubro de 2005Outubro de 2005 Sistemas DigitaisSistemas Digitais 2323
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Complemento para 2Complemento para 2
Os 16 números possíveis de representar em Os 16 números possíveis de representar em complemento para 2 com 4 bits são:complemento para 2 com 4 bits são:
RepresentaçRepresentaçãoão
Número Número representadorepresentado
RepresentaçãRepresentaçãoo
Número Número representarepresenta
dodo
00000000 00 10001000 -8-8
00010001 +1+1 10011001 -7-7
00100010 +2+2 10101010 -6-6
00110011 +3+3 10111011 -5-5
01000100 +4+4 11001100 -4-4
01010101 +5+5 11011101 -3-3
01100110 +6+6 11101110 -2-2
01110111 +7+7 11111111 -1-1
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Outubro de 2005Outubro de 2005 Sistemas DigitaisSistemas Digitais 2424
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Complemento para 2Complemento para 2
O intervalo de representação em O intervalo de representação em complemento para 2 é complemento para 2 é
[-2[-2n-1n-1, +2, +2n-1n-1-1]-1] Com 4 bits dá [-8,+7]Com 4 bits dá [-8,+7] Com 5 bits dá [-16,+15]. Etc.Com 5 bits dá [-16,+15]. Etc. A razão da assimetria entre o número de A razão da assimetria entre o número de
positivos e o de negativos radica no facto de positivos e o de negativos radica no facto de não haver duas representações para o 0 não haver duas representações para o 0 nesta notaçãonesta notação
![Page 25: Outubro de 2005 Sistemas Digitais 1 Circuitos combinatórios típicos: circuitos aritméticos Prof. Carlos Sêrro Prof. João Paulo Carvalho SISTEMAS DIGITAIS](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102711/552fc130497959413d8d4ed2/html5/thumbnails/25.jpg)
Outubro de 2005Outubro de 2005 Sistemas DigitaisSistemas Digitais 2525
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Complemento para 2Complemento para 2
Com esta representação, pode operar-se Com esta representação, pode operar-se sobre os números como em binário purosobre os números como em binário puro
O bit de transporte que resultar para O bit de transporte que resultar para além do último deve ser descartadoalém do último deve ser descartado
Não precisamos de nos preocupar com o Não precisamos de nos preocupar com o bit de sinal dos operandos e do resultadobit de sinal dos operandos e do resultado
Desde que o resultado caiba em n bits, Desde que o resultado caiba em n bits, ele está correctoele está correcto
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Outubro de 2005Outubro de 2005 Sistemas DigitaisSistemas Digitais 2626
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Complemento para 2Complemento para 2
ExemplosExemplos
Soma de 2 positivos
(+2) + (+5) = +7
001001010111
Soma de 2 negativos
1110 101111001
(-2) + (-5) = -7
Ignora-se o transporte porque sai dos 4 bits utilizados na representação
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Outubro de 2005Outubro de 2005 Sistemas DigitaisSistemas Digitais 2727
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Complemento para 2Complemento para 2
ExemplosExemplos
Soma de 1 positivo com 1 negativo com resultado negativo
Soma de 1 positivo com 1 negativo com resultado positivo
(+5) + (-3) = +2 0101 110110010
(+2) + (-5) = -3001010111101
Ignora-se o transporte porque sai dos 4 bits utilizados na representação
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Outubro de 2005Outubro de 2005 Sistemas DigitaisSistemas Digitais 2828
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Complemento para 2Complemento para 2
Quando a operação envolve dois Quando a operação envolve dois números com o mesmo sinal, é números com o mesmo sinal, é possível que o resultado não possa ser possível que o resultado não possa ser representado com o número de bits representado com o número de bits disponível. disponível.
Porque não “cabe” em n bitsPorque não “cabe” em n bits A esta situação chama-se OVERFLOWA esta situação chama-se OVERFLOW
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Outubro de 2005Outubro de 2005 Sistemas DigitaisSistemas Digitais 2929
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Complemento para 2Complemento para 2
Por exemplo, 4 + 5 = 9, que não é Por exemplo, 4 + 5 = 9, que não é representável com 4 bits em notação representável com 4 bits em notação de complemento para 2de complemento para 2
O resultado é incoerente pois dá, em notação decomplemento para 2, um número negativo: (-7)
010001011001
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Outubro de 2005Outubro de 2005 Sistemas DigitaisSistemas Digitais 3030
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Complemento para 2Complemento para 2
O overflow nunca ocorre em operações O overflow nunca ocorre em operações de adição entre números com sinal de adição entre números com sinal contrário. contrário.
Prova-se que o overflow ocorre sempre Prova-se que o overflow ocorre sempre que o transporte para o bit de sinal é que o transporte para o bit de sinal é diferente do transporte para o exterior diferente do transporte para o exterior dos n bitsdos n bits
![Page 31: Outubro de 2005 Sistemas Digitais 1 Circuitos combinatórios típicos: circuitos aritméticos Prof. Carlos Sêrro Prof. João Paulo Carvalho SISTEMAS DIGITAIS](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102711/552fc130497959413d8d4ed2/html5/thumbnails/31.jpg)
Outubro de 2005Outubro de 2005 Sistemas DigitaisSistemas Digitais 3131
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Complemento para 2Complemento para 2
Geometricamente temosGeometricamente temos
0 - 0000
1 - 0001
2 - 0010
3 - 0011
4 - 0100
5 - 0101
6 - 0110
7 - 0111
-1 - 1111
-2 - 1110
-8 - 1000-7 - 1001
-6 - 1010
-5 - 1011
-4 - 1100
-3 - 1101
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Outubro de 2005Outubro de 2005 Sistemas DigitaisSistemas Digitais 3232
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Somador/Subtractor binárioSomador/Subtractor binário
Em complemento para 2, realizar a Em complemento para 2, realizar a subtracção x-y é o mesmo que subtracção x-y é o mesmo que realizar a soma x + (-y)realizar a soma x + (-y)
Mas para isso precisamos de obter o Mas para isso precisamos de obter o simétrico do subtractivo nessa simétrico do subtractivo nessa notação notação no fundo, obter o complemento para 2 do no fundo, obter o complemento para 2 do
subtractivosubtractivo
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Somador/Subtractor binárioSomador/Subtractor binário
Se o conseguirmos fazer de forma fácil, Se o conseguirmos fazer de forma fácil, apenas precisamos de um somador apenas precisamos de um somador para fazer somas e subtracções em para fazer somas e subtracções em notação de complemento para 2notação de complemento para 2
Para obter o complemento para 2 do Para obter o complemento para 2 do subtractivo fazemos:subtractivo fazemos: Obtemos o seu complemento para 1, por Obtemos o seu complemento para 1, por
troca de 1s com 0s (usando um conjunto de troca de 1s com 0s (usando um conjunto de XORs)XORs)
Somamos 1 ao resultado que obtivermosSomamos 1 ao resultado que obtivermos
![Page 34: Outubro de 2005 Sistemas Digitais 1 Circuitos combinatórios típicos: circuitos aritméticos Prof. Carlos Sêrro Prof. João Paulo Carvalho SISTEMAS DIGITAIS](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022102711/552fc130497959413d8d4ed2/html5/thumbnails/34.jpg)
Outubro de 2005Outubro de 2005 Sistemas DigitaisSistemas Digitais 3434
Pro
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Somador/Subtractor binárioSomador/Subtractor binário
0 3 0
3
0 3
CICO
P
Q
S
=1
=1
=1
=1
A
B
Resultado
Controlo
Controlo Operação 0 A + B
1 A - B
x ⊕ 1 = xx ⊕ 0 = x
1++=− BABA