Mtodos Numricos en Optimizacin y Resolucin de Ecuaciones

Jorge Mauricio Oviedo 1

Resumen: El presente trabajo tiene por objetivo brindar una exposicin clara y exhaustiva de los principales Mtodos Numricos

en materia de resolucin de Ecuaciones y Optimizacin. Para llevar a

cabo dicha tarea se presenta una revisin terica de tales tpicos

complementada con ejemplos grficos y algebraicos diseados para

una fcil y didctica asimilacin. Se brindan adems rutinas de

programacin en Mathematica que automatizan la tarea de

resolucin de dichos problemas y permiten visualizar la evolucin de

los algoritmos. De esta manera, se logra cumplir el fin de fomentar

el uso de tales mtodos cuantitativos minimizando el esfuerzo de

aprendizaje y resolucin.

Palabras clave: Funcin, Ecuacin algebraica, Mximo Global, Mximo Local, Derivada, Matriz Jacobiana

1 joviedo@eco.unc.edu.ar

1.- Mtodo de Newton para la resolucin de Ecuaciones

No siempre es posible resolver exactamente una ecuacin; por ejemplo esto ocurre con las ecuaciones 035 =+ xx 0 =+ xsenx .Los mtodos numricos para resolver ecuaciones surgen para salvar los inconvenientes que se presentan cuando no existe una va algebraica para hallar los valores de una variable que satisfacen una ecuacin. Tambin existen situaciones en que si bien existen formulas o vas algebraicas exactas de hallar races de una ecuacin la complejidad y la extensin de estos exigen una gran labor de clculos a tal punto que los mtodos numricos son preferidos aun cuando algebraicamente es viable obtener las soluciones. Tal es el caso de polinomios de grado tres o cuatro completos no factorizables y con races irracionales (de modo que impidan hallar races por el mtodo de Descartes) cuya complejidad y extensin de sus frmulas2 exactas para todas sus races hacen de los mtodos numricos una alternativa de solucin preferible en cuanto a su economa en trminos de esfuerzo3.

Dentro de dichos mtodos se encuentra el Mtodo de Newton para hallar los ceros de una ecuacin. A continuacin se pasa a describir su funcionamiento.

Sea f(x) una funcin. Una solucin de la ecuacin f(x)=0 es un nmero r tal que f(r)=0. La grfica de y=f(x) pasa por el punto (r,0)como se muestra en figura de abajo.

Si no se conoce r, se hace una conjetura x1. (la manera de plantear esta conjetura inicial depende de la funcin particular f). Luego para hacer una conjetura mejor se usa el hecho de un pedazo de una curva diferenciable se parece a una recta; tal recta es su recta tangente en cualquier punto. Se traza entonces la tangente en (x1 , f(x1)), como se muestra en la figura. Si la tangente no es paralela al eje de las abscisas, sta intercepta el eje x en un punto que se llamar x2.(Sin duda, si la grafica de f fuera una recta, entonces x2 sera precisamente r). Por lo tanto su ecuacin mediante la frmula de punto pendiente es:

))((')( 111 xxxfxfy =

La interseccin de sta recta con el eje x, que se llamar x2, se obtiene estableciendo ; 0=y

))((')(0 111 xxxfxf =

al resolver se tiene:

)(')(

1

112 xf

xfxx =

Este proceso puede repetirse usando este valor como una nueva conjetura arribndose a este resultado:

)(')(

2

223 xf

xfxx =

Este mecanismo se puede repetir tantas veces como se desee obtenindose una sucesin de estimativos x1,x2, x3,.... la cual a menudo se aproxima a r.

La i-sima iteracin ser:

2 Tales expresiones son conocidas como las frmulas de Cardano y Tartaglia. 3 Vale destacar que la complejidad de dichas formulas no quitan mrito a su existencia ya que las misma proveen los resultados exactos de las races (reales y complejas) del polinomio no en cambio as un mtodo numrico que solo brinda una aproximacin. A su vez dichas formulas tambin permiten obtener soluciones genricas para el caso de que los coeficientes sean parmetros simblicos.

)(')(

1

11

=

i

iii xf

xfxx siempre que 01 )x('f i

Una manera distinta y equivalente de explicar el desarrollo de la frmula del algoritmo de Newton consiste en decir que en primer lugar se parte de un punto arbitrario llamado x1; en ese punto se aproxima la funcin por medio de un desarrollo en serie de primer orden de la funcin (que ser una recta tangente en x1); se halla el cero de esa recta y se toma dicho valor como una nueva aproximacin. En este nuevo punto se calcula el nuevo desarrollo en serie y el valor que lo anula para repetir nuevamente todo el proceso sucesivamente.

))((')()( 0000 xxxfxfxf + Luego el valor de x que lo anula es

)(')(

0))((')(0

012000 xf

xfxxxxxfxf ==+

que tambin puede expresarse como:

112 hxx += donde : )(')(

1

11 xf

xfh =

El grfico a continuacin expresa geomtricamente lo expuesto mas arriba:

r

f(x1)+f(x-x1)

y=f(x)

x1 x2

h1

Este proceso iterativo continuar indefinidamente a menos que se imponga un limite a su retroalimentacin como podran ser un numero delimitado de antemano de iteraciones, continuar hasta que la mejora en cada nueva iteracin sea menor a un cierto (hi < ), o bien que se generen iteraciones hasta que se obtenga una aproximacin con un error menor un cierto . A continuacin se pasar aplicar el mtodo para resolver la ecuacin del siguiente ejercicio:

Calcular los ceros de las siguientes funciones utilizando el algoritmo de Newton. x - 40 = 0

0402 =x que no es otra cosa que encontrar los ceros para 40)( 2 = xxfiii hxx +=+1 donde

i

i

i

ii x

xxfxfh

2)55(

)(')( 2 == que ser el algoritmo para este problema

Partiendo del valor arbitrario tomando como mximo 12 iteraciones, y con un =

100 =x

=10-150 y mostrando los resultados con una precisin de 80 dgitos4 se tiene: X1 10.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 H1 -3.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 X2 7.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 H2 -0.64285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714 X3 6.3571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571429 H3 -0.032504012841091492776886035313001605136436597110754414125200642054574638844301766 X4 6.3246388443017656500802568218298555377207062600321027287319422150882825040128411 H4 -0.000083523413493065507103856635376978935855953440960951321113547744636144462482978333 X5 6.3245553208882725845731529651944785587848503065911417774108286673436463595503581 H5 -5.5151392055131931580771687281277792475144170990697943938438391161513754580059969 10-10 X6 6.3245553203367586640218336493867616859720723818397000675038492279592624479352206 H6 -2.4046560521324618532916389534818140358966177883653039903886809939790972018150477 10-20 X7 6.3245553203367586639977870888654370674391559923048819271448830500756094080313338 H7 -4.5713654448273429873344490420530752857314565528455965007375866702855870496647405 10-41 X8 6.3245553203367586639977870888654370674391102786504336537150097055851888772784764 H8 -1.6520831087495954435675413891322179186997801873763535206036666032351326370208797 10-82 X9 6.3245553203367586639977870888654370674391102786504336537150097055851888772784764 H9 -2.1577632418198205526626200411062550054508138257996570752721460036732494624156111 10-165 Ahora se buscarn si existen otros ceros partiendo de un x0 distinto. Partiendo del valor arbitrario 150 =x tomando como mximo 10 iteraciones, y un ==10-200 y mostrando los resultados con una precisin de 80 dgitos5 se tiene: X1 - 8.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 H1 1.5000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 X2 - 6.5000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 H2 0.17307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692307692 X3 - 6.3269230769230769230769230769230769230769230769230769230769230769230769230769231 H3 0.0023673135375263034837502922609305588028992284311433247603460369417816226326864625 X4 - 6.3245557633855506195931727846621463642740238484919335983165770399812953004442366 H4 4.4304877643733296561423855050433053228690602844397508696362076026522851846249199 10-7 X5 - 6.3245553203367741822602071704235958599434915615859051543414900763605350352157182 H5 1.5518262420081539120579037881603343964386489853456387561837059759392792262229903 10-14 4 Vale la misma aclaracin hecha en la nota 5 5 Idem Nota 6

X6 - 6.3245553203367586639977870888844752809056099582419407678516366199729731981559588 H6 1.9038213466499679591507114136598259916945040554452674391224321320572551310909978 10-29 X7 - 6.3245553203367586639977870888654370674391102786504336537150383600560281576015061 H7 2.8654470839280323029642085402755693631211597952870187069157961949812304584038551 10-59 X8 - 6.3245553203367586639977870888654370674391102786504336537150097055851888772784764 H8 6.4911970683454077450317098606081127268718498498540050379311714262532551407082728 10-119X9 - 6.3245553203367586639977870888654370674391102786504336537150097055851888772784764 H9 3.3311147777147162801174591516926951459311776614889959932680683437324501667442319 10-238

En los dos casos, h9 es menor en valor absoluto que el tolerable (e), por ende el algoritmo se detiene .f(x9)=2.7293785982157276048652981011696031314545521228138240106459027872418453223077557 10-164 f(x9)= 1.6350492611402659518404583309289544723673072727332556435263462505763572913508921 10-98 como se observa las evaluaciones en los puntos hallados son casi iguales a cero por lo que los valores hallados son muy buenas aproximaciones para las races de esta ecuacin.

Sabiendo de antemano que, dada la caracterstica de esta funcin polinmica, tendr como mximo tantas races reales como el grado de la misma (2), se ha terminado con el procedimiento.

Geomtricamente para los primeros cuatro pasos partiendo con x1 =10, el mtodo luce como sigue: 1 2

-5 5 10 15 20

-100

-50

50

100

-5 5 10 15 20

-100

-50

50

100

3 4

-5 5 10 15 20

-100

-50

50

100

-5 5 10 15 20

-100

-50

50

100

Para el caso de sistemas de ecuaciones el algoritmo de Newton toma la siguiente forma:

))F(x(xJxx 1i1i1

1ii

= Donde las variables ahora representan vectores (puntos N dimensionales) y J y F representan al Jacobino del Sistema de Ecuaciones y al conjunto de ecuaciones respectivamente.

El mtodo de Newton sirve tambin para detectar las raices complejas siempre que se definan adecuadamente los valores.

As como para dar lugar a este mtodo se utiliz un desarrollo en serie de orden uno el lector curioso podra preguntarse por que no aproximar la funcin por medio de un desarrollo de orden, dos tres, cuatro, etc que sin lugar a dudas ser una mejor aproximacin. Sin embargo se puede demostrar que dicho esfuerzo algebraico no redunda en un incremento la velocidad de convergencia del mtodo (es decir la rapidez con que se aproxima al valor buscado) ya que cualquiera sea el orden del polinomio utilizado en su aproximacin el orden de convergencia del algoritmo es igual a dos (aproximadamente, esto puede interpretarse como que en cada paso la exactitud se duplica)6.

En comparacin a otros mtodos este es uno de los mas veloces, pero al igual que otros no esta exento de fallas. Entre estas cabe mencionar las siguientes:

podra darse un caso en que el valor de partida o al que se arriba luego de algunas sucesiones, la derivada sea nula es decir es decir la funcin en ese punto presenta una tangente horizontal y el algoritmo explota al no estar definido en una derivada primera nula.

En determinadas situaciones cuando se producen cambios bruscos y simtricos de convexidad el algoritmo puede entrar en un circulo vicioso para siempre. Tal es el caso de las funciones cbicas como cuya comportamiento geomtrico se da a lucir a continuacin

xxxf = 3)(

6 Para una demostracin de lo expuesto puede verse Luemberguer, Programacin lineal y no lineal citado en la bibliografa al final

1 2

-3 -2 -1 1 2 3

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

-3 -2 -1 1 2 3

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

3 4

-3 -2 -1 1 2 3

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

-3 -2 -1 1 2 3

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

.

como se aprecia partiendo de un valor menor que uno, en este caso x1=5-0.5, el algoritmo no converge a la raz si no que oscila permanentemente en un circulo vicioso para toda la eternidad sin poder escaparse de l. De esta manera resulta imposible que detecte cualquiera de las tres races ubicadas en 1, 0 , 1. como todo mtodo numerico los valores que se obtienen estan condicionados

por el valor de arranque y en ese sentido cuando se hala una raiz no se puede estar seguro que sea la nica mas cuando no se conoce mucho como se comporta

la funcin. En estos casos es aconsejable tomar varios puntos de arrranque distintos y observar lo que sucede.

Por ultimo puede llegar a suceder que debido a la lejana del valor inicial con respecto a la raiz buscada conduzcan a un alejamiento continuo de dicho valor ya que el mtodo no puede en estos casos adaptarse con total fidelidad a la curvatura de la funcin. Un ejemplo de este ultimo problema se puede observar en la siguient funcin:

1.0)(2 = xxexf cuyo comportamiento cuando se aplica el mtodo de Newton

para hallar la raiz ubicada en el punto -0.1 aproximadamente partiendo de 0.1, se muestra en las siguientes graficas:

1 2

-1 1 2 3 4 5 6

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

-1 1 2 3 4 5 6

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

3 4

-1 1 2 3 4 5 6

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

-1 1 2 3 4 5 6

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

obsrvese la similitud del mtodo de Newton con el de Newton-Raphson para minimizar funciones, en cuanto a su formula y a los problemas esto se debe a que bsicamente resuelven el mismo tipo de problemas solo que desfasados en una derivada de orden uno.

Un mtodo alternativo que no reviste de este ultimo problema es el mtodo de la secante o tambin que en vez usar rectas tangentes utiliza rectas secantes en donde se deben dar dos valores iniciales para arrancar. Este mtodo es mas inteligente ante los cambios bruscos de curvaturas como en la funcin anterior que el mtodo de Newton, pero tiene la desventaja de no converge tan rpidamente como aquel.

Otro mtodo tambin usado es el mtodo de la biseccin que consiste en tomar un rango de valores en donde se produce un cambio de signo de la funcin y mediante evaluaciones sucesivas se van eliminando la mitad del intervalo original. Es ultimo mtodo tiene la enorme ventaja de no presentar los inconvenientes del mtodo de Newton pero resulta tambin ser el de menor velocidad de convergencia.

2.- Metodo de Newton-Raphson para Optimizacin

Los mtodos numricos para optimizar funciones surgen para dar respuesta a los problemas con que usualmente se topan los mecamismos tradicionales de optimizacin simblica, como suelen ser los casos en que la funcin objetivo no pueda ser derivable por una va simblica, o cuando la ecuacin resultante de la condicin de primer orden no puede resolverse por una va algebraica. Ejemplos de este tipo de este ultimo serian cuando la funcin objetivo es

Dentro de los mtodos numricos para resolver este tipo de problemas se

encuentra el desarrollado por Newton-Raphson. El algoritmo consiste en buscar los

valores de la variable independiente que hacen mnima a la funcin a travs de sucesivas iteraciones.

La idea subyacente que sigue el mtodo es la de, partir de un punto arbitrario x0,

que se toma como una primera aproximacin, y mejorarlo llevndo esta estimacin al valor que hace mnima la parbola que mejor se ajuste a la funcin en el punto x0. Luego se toma como segunda aproximacin este ultimo valor as hallado, x1 , y se lo sustituye por el punto que hace mnima la nueva parbola que mejor se ajuste a la funcin en el punto x1, y as sucesivamente. La parbola que mejor se ajusta a una funcin en un punto dado es la que se obtiene por medio de un desarrollo en serie de segundo orden de dicha funcin, es decir por medio de un polinomio de Taylor de grado dos, ya que por definicin el polinomio de Taylor de una funcion es aquel polinomio con la propiedad de que en el punto en donde se desarrolla los valores de sus derivadas sucesivas hasta el orden n (dos en este caso) coinciden con los de la funcin original. Es este pues la idea intuitiva del mtodo de Newton-Raphson.

A continuacin se traducir lo antes mencionado a un lenguaje mas formal: Sea x0 un valor inicial y sea T el desarrollo en serie de Taylor de orden dos de f (x) expandido en x

),,( 02 xxf0 , se tiene:

20

0000 )(2

)(''))((')()( xx

xfxxxfxfxf ++ )x,x,f(T 02=

luego x1, el valor de x en donde se minimiza ser: )x,x,f(T 02

)x(''f)x('f

xx)xx)(x(''f)x('fx

)x,x,f(T

0

001000

02 0 ==+=

que se puede expresar como

001 hxx += donde )('')('

0

00 xf

xfh =

que es formula del algoritmo de Newton-Raphson siempre que se cumpla adems la condicin de segundo orden:

000

2>=

)x(''f

x)x,x,f(T

as se obtiene x1 el nuevo valor de la estimacin el cual servir para iniciar nuevamente el proceso obtenindose en este segundo paso:

112 hxx += donde )(')(''

1

11 xf

xfh =

y en general en el i-simo paso se tendr:

11 += iii hxx donde )(')(''

1

11

=

i

ii xf

xfh

siendo esta la expresin del proceso iterativo que como puede observarse consta de infinitos pasos a menos que se impongan ciertas condiciones para su detencin. Estas bsicamente pueden ser de dos tipos: por un lado se puede fijar de antemano un numero predeterminado de pasos, por otro lado puede establecerse que este proceso iterativo concluya cuando la mejora de un paso con respecto a otro sea menor que un cierto nmero (es decir |hi| < )o bien se imponen ambas y el proceso concluye cuando sucede cualquiera de las dos.

A continuacin se ver la aplicacin del mtodo a siguiente ejercicio:

2) Encontrar el mnimo de la siguiente funcin: f(x) = x2 + x4

Para resolver este problema en primer lugar obtenemos f y f en forma genrica;

342)( xxxf += 2122)( xxf +=

Con lo cual 23

12242

i

iii x

xxh +

+= y por ende el algoritmo es

21

13

11 122

42

+

+=i

iiii x

xxxx

Partiendo del valor arbitrario tomando como mximo 12 iteraciones, y un = 150 =x=10-50 y mostrando los resultados con una precisin de 80 dgitos7 se tiene: X1 10 H1 - 3.3444259567387687188019966722129783693843594009983361064891846921797004991680532 X2 6.6555740432612312811980033277870216306156405990016638935108153078202995008319468 H2 -2.2351565479591666878283937794547070057761162521008143577656954467623290003060702 X3 4.4204174953020645933696095483323146248395243469008495357451198610579705005258765 H3 -1.4983958020009316656887167648883680507010509654546487075521051759339652884153298 X4 2.9220216933011329276808927834439465741384733814462008281930146851240052121105467 H4 -1.0113046059534156191562822119042580487845678296380645075442815545517707707042004 X5 1.9107170873477173085246105715396885253539055518081363206487331305722344414063463 H5 -0.69251841081575773302824699870127423107518252347233164513185603908683460354855320 X6 1.2181986765319595754963635728384142942787230283358046755168770914853998378577931 H6 -0.48806627674154650153913342460965883900155201998247649705279027200751257907903599 X7 0.73013239979041307395723014822875545527717100835332817846408681947788725877875712 H7 -0.35931124904057008118718047084433992581342700482644856955183947152066709556702817 X8 0.37082115074984299277004967738441552946374400352687960891224734795722016321172894 H8 -0.25906312355599756609930709752309080578327052667731071877987308146944797332833470 X9 0.11175802719384542667074257986132472368047347684956889013237426648777218988339424 H9 -0.10656390340944918099020834749206622112804747599847606755986506135596055476460302 X10 0.0051941237843962456805342323692585025524260008510928225725092051318116351187912213 H10 -0.0051935633476767009119847833998909895159464073696191528315789367781021792224442514 X11 5.6043671954476854944896936751303647959348147366974093026835370945589634696983093 10-7 H11 -5.6043671954406444070398163343989344115839742149374821722839450946397976467260393 10-7 X12 7.0410874498773407314303843508405217599271303995919999191658229722700391480773801 10-19 H12 -7.0410874498773407314303843508405217459641153498237594945963842481084075086798773 10-19

7 Ntese que se dijo mostrando y no trabajando con una precisin de 80 dgitos ya que los clculos internamente fueron efectuados en forma exacta usando operaciones simblicas. De este modo, en cada iteracin no existen errores de arrastre por redondeos en pasos anteriores evitando as posibles cadas en situaciones caticas. Se uso para ello el software Mathemtica 4.0 cuyas rutinas de programacin se exponen al final del trabajo.

X13 1.3963015049768240424569438724161631639397502869478954113276168758990795713483516 10-54 H13 -1.3963015049768240424569438724161631639397502869478954113276168758990795713483516 10-54 as el valor critico x13 es un valor candidato a ser un mnimo. Para comprobar que efectivamente evaluamos dicho valor en la condicin de segundo orden:

02122 21313 >=+= x)x("f ya que x13 es positivo por lo tanto se cumple la CSO, y el valor encontrado hace mnima la funcin (f(x13) = 0).

Geomtricamente para los cuatro primeros pasos, esto luce como sigue8:

-10 -5 5 10

2000

4000

6000

8000

10000

12000

-10 -5 5 10

2000

4000

6000

8000

10000

12000

8 El formato de lectura de los cuatro pasos es

4321

-10 -5 5 10

2000

4000

6000

8000

10000

12000

-10 -5 5 10

2000

4000

6000

8000

10000

12000

En donde la grafica en color azul muestra la funcin del ejercicio y las graficas rojas las parbolas de aproximacin que surgen de los desarrollos en serie de orden dos expandidas en el punto de inicio la primera, en el punto donde se minimiza la primer parbola la segunda, en

la minimizacin de la segunda parbola lo hace la tercera y la cuarta en el punto mnimo de esta ultima.

As como para dar lugar a este mtodo se utiliz un desarrollo en serie de orden

dos uno se podra preguntar por que no aproximar la funcin por medio de un desarrollo de orden tres, cuatro, etc que sin lugar a dudas ser una mejor aproximacin. Sin embargo se puede demostrar que dicho esfuerzo algebraico no redunda en un incremento la velocidad de convergencia del mtodo (es decir la rapidez con que se aproxima al valor buscado) ya que cualquiera sea el orden del polinomio utilizado en su aproximacin el orden de convergencia del algoritmo es igual a dos ( aproximadamente, esto puede interpretarse como que en cada paso la exactitud se duplica).

En comparacin a otros mtodos este es uno de los ms veloces, pero al igual que

otros no est exento de fallas. Entre estas cabe mencionar las siguientes:

Podra darse un caso en que el valor de partida o en un valor arribado la derivada segunda en ese punto sea igual a cero. En dicho caso el mtodo explota pues en dicho punto la parbola se transforma en una recta y el mtodo no sabe en que direccin continuar para minimizar a la funcin. En dicho punto la funcin experimentar un punto de inflexin (siempre que la primer derivada impar, precedida de todas sus inmediatas pares anteriores igual a cero, sea no nula). Se puede decir que en estos casos el mtodo enloquece y no puede continuar.

Al igual que todos los mtodos numricos de optimizacin estn condicionados por el valor inicial de arranque pudindose normalmente presentar situaciones en donde se arriben a diferentes resultados segn de donde se parta. Adems en estos casos no se puede distinguir un optimo global de un uno local. En consecuencia es aconsejable usar varios puntos de partidas y luego evaluar el menor de todos los ptimos encontrados.

La condicionalidad del mtodo con respecto a la semilla de arranque puede

adems hacer que en determinadas situaciones una alejada eleccin del valor inicial con respecto al optimo buscado hagan confundir al mtodo ya que al no ser lo suficientemente sensible a la curvatura de la funcin pueden obtenerse valores que en el proceso de aproximacin se pasen del objetivo alejndose cada vez siendo atrados por otro punto critico. En algunos casos puede que en el proceso de acercarse a un mnimo se aproximen inclusive a un mximo. Un ejemplo de este tipo de problema se encuentra en la siguiente funcin:

partiendo del valor x2

)( xxexf = 0 =0.1 Geomtricamente este problema se ilustrara como:

-1 1 2 3 4 5 6

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

-1 1 2 3 4 5 6

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

-1 1 2 3 4 5 6

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

-1 1 2 3 4 5 6

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

En donde se ve claramente como partiendo del valor inicial 0.1 con el animo de

aproximarnos al mnimo que se encuentra en ...707172.02

1 =x el algoritmo se pa e en bus ulta or M

sa y se d sva atrado ca de un mximo. Los res dos arrojados pathemtica son:

f@x_D= - xE^H- x^2L- 0.1;x1= 110;g@1D= x1; NAg@2D= x1 - f'@x1Df''@x1D,100E g@i_D:= g@i- 1D- f'@g@i - 1f''@g@i - 1DDDD

Catch@Do@Print@N@g@iD,80 ; If@Abs@f'@g@i < 0.0000000001,Throw N@g@iD,100D,i ,8i,10 DD DDD @8

de f respectivamente presentando todas las fallas descriptas con anterioridad. La intuicin que existen detrs de estas nuevas frmulas para el caso multivariado se puede expresar diciendo que partiendo de un punto arbitrario lo que se busca es hallar el valor que minimiza al paraboloide elptico que mejor se adapta a la hipersuperficie en ese punto n-dimensional del cual se parti. Evidentemente el paraboloide elptico que mejor se adapte ser aquel correspondiente al desarrollo de Taylor de orden dos multivariado.

Un mtodo alternativo tambin famoso para optimizar funciones de varias variables es el mtodo del gradiente tambin conocido como mtodo de descenso por la menor pendiente. Como su nombre lo indica la idea del mtodo se basa en el concepto de que la derivada direccional de una funcin en un punto es mxima cuando esta se calcula en torno a la direccin del gradiente. Este mtodo no posee las falencias del anterior pero su orden de corvengencia es mucho menor. Tambin suelen utilizarse combinaciones de ambos mtodos para diversificar las falencias de cada uno10.

10 Existen una gran diversidad de mtodos de optimizacin. Para una visin mas amplia de stos y otros mtodos adicionales puede verse Luemberguer, Programacin lineal y no lineal.

BIBLIOGRAFA:

APSTOL, Tom: Calculus. Ed. Revert. 1976. Segunda Edicin

CHIANG, Alpha: Economa Matemtica. Ed. McGraw-Hill. 1998

LUEMBERGER, M.: Programcicion lineal y no lineal

STEWARD, James: Clculo. Ed. Iberoamerica.1981

STEIN, S.: Clculo con geometra analtica. Ed Mc. Graw-Hill. 1995